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TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
CAPÍTULO 5
INCIDENCIA NORMAL DE ONDAS PLANAS UNIFORMES EN FRONTERAS PLANAS.
5.1 Incidencia Normal de O.P.U. a través de medios con pérdidas (≠≠).
Ahora se van a considerar las ondas planas uniformes (OPU) que inciden en una frontera entre dos medios. En la figura 1 se muestra una frontera plana entre dos medios con diferentes propiedades materiales para el medio 1 y para el medio 2.
Figura 5.1 Ilustración de la frontera y los campos incidente, i, Reflejado, r, Transmitido, t.
Una onda plana uniforme (que se desplaza al frente) viaja a la derecha en el medio 1, e incide en la interfase normal a la frontera. este campo incidente se escribe en forma fasorial como:
Ecuación 5.1a
Ecuación 5.1b
Ecuación 5.2a
Ecuación 5.2b
Donde
Ecuación 5.3
y
Ecuación 5.4a
Ecuación 5.4b
La frontera origina una onda reflejada, la cual se representa como
Ecuación 5.5a
Ecuación 5.5b
Ecuación 5.6a
Ecuación 5.6b
Esto concuerda con la solución general de la ecuación de onda para este material. Una parte de la onda incidente se va a transmitir en el segundo medio, la cual representamos como
Ecuación 5.7a
Ecuación 5.7b
Ecuación 5.8a
Ecuación 5.8b
Donde
Ecuación 5.9a
Ecuación 5.9b
y
Ecuación 5.10a
Ecuación 5.10b
Si suponemos que el medio 2 tiene una extensión infinita, entonces no va a existir la componente que se desplaza hacia atrás, de la onda transmitida, y así, no van a haber reflexiones en el punto más lejano del medio. No obstante, las soluciones en 5.1, 5.2 ,5.5 ,5.6, 5.7 y 5.8 satisfacen las ecuaciones de Maxwell en sus respectivos medios. Si
podemos encontrar las incógnitas en estas ecuaciones, , tal que se satisfagan las condiciones de frontera en la frontera Z=0, entonces habremos encontrado una solución válida.
En la frontera Z=0, las condiciones de frontera requieren que las componentes
tangenciales del campo magnético total sean continuas. Puesto que están definidos en la dirección X,
, para Z=0 Ecuación 5.11a
y de manera similar para , los cuales están definidos en la dirección y,
, para Z=0 Ecuación 5.11b
Substituyendo las formas de los campos en 5.11 obtenemos:
Ecuación 5.12a
y
Ecuación 5.12b
Se puede demostrar que
Ecuación 5.13
Las cantidades son los coeficientes de reflexión y de transmisión (de la frontera)
respectivamente. Es muy sencillo demostrar que . La magnitud de si puede
exceder la unidad. Nótese que van a ser reales sólo si ambas regiones son sin
pérdidas, es decir, ; de otra manera, serán, en general, complejos, en forma polar se escriben como
Ecuación 5.14a
Ecuación 5.14b
Ahora suponemos que la forma de la onda incidente es
Ecuación 5.15
donde la magnitud de esta onda incidente se denota por . De esta manera, las formas fasoriales de los campos vectoriales se vuelven, en términos de Em, la magnitud del campo incidente, utilizando 5.12a y 5.12b:
Ecuación 5.16a
Ecuación 5.16b
Ecuación 5.16c
Ecuación 5.16d
Ecuación 5.16e
Ecuación 5.16f
Multiplicando 5.16 por ejty tomando la parte real del resultado, obtenemos las formas en el dominio del tiempo:
Ecuación 5.17a
Ecuación 5.17b
Ecuación 5.17c
Ecuación 5.17d
Ecuación 5.1e
Ecuación 5.17f
El vector de densidad de potencia (recuerde las ecuaciones 3.35) de la onda transmitida es
Ecuación 5.18a
Ecuación 5.18b
Ecuación 5.18c
Donde:
Ecuación 5.19
y
Ecuación 5.20
Nótese que éste es un cálculo simple en el medio 2 porque sólo hay una onda en este medio. En el medio 1 hay dos ondas, una que se propaga hacia adelante y una que se propaga hacia atrás. En este medio el vector de Poynting contiene un producto cruz combinado.
De igual manera, pueden obtenerse ecuaciones para calcular la densidad de potencia promedio reflejada y la incidente, aunque esta última no debería tener variaciones, es idéntica a la vista en el capítulo 3, ecuación 3.37. Entonces la densidad de potencia promedio reflejada es:
Ecuación 5.21
Y la densidad de potencia promedio incidente es:
Ecuación 5.22
5.2 Incidencia Normal de O.P.U. a través de medios sin pérdidas (==).
Si ambos medios son sin pérdidas, es decir, ==, los resultados anteriores se vuelven simples. Los coeficientes de transmisión, reflexión y la impedancia intrínseca se vuelven números reales:
Ecuación 5.23a
Ecuación 5.23b
Ecuación 5.23c
Ecuación 5.23d
Si los dos medios son sin pérdidas, entonces 2=0, asi que:
Ecuación 5.23e
Ecuación 5.23f
Donde Ecuación 5.23g
Ecuación 5.23h
Las formas fasoriales de los campos se vuelven
Ecuación 5.24a
Ecuación 5.24b
Ecuación 5.24c
Ecuación 5.24d
Ecuación 5.24e
Ecuación 5.24f
Multiplicando 5.24 por e jt y tomando la parte real del resultado se obtienen las formas en el dominio del tiempo, las cuales son
Ecuación 5.25a
Ecuación 5.25b
Ecuación 5.25c
Ecuación 5.25d
Ecuación 5.25e
Ecuación 5.25f
En el medio 1 la suma de los dos campos, incidente y reflejado, va a ser llamada campo total en el medio uno y va formar lo que se conoce como "onda estacionaria"(Standing Wave), la forma fasorial de los campos totales es:
Ecuación 5.26a
Ecuación 5.26b
Ecuación 5.26c
Ecuación 5.27a
Ecuación 5.27b
La magnitud del campo eléctrico total en la región 1 varía con Z de acuerdo al término entre corchetes en la ecuación 5.26c:
#9; #9; #9; Ecuación 5.28
Donde:
Ecuación 5.29
Para positivo el máximo va a ocurrir en Z=0 y en:
, para n = 0,1,2,... Ecuación 5.30
Ecuación 5.31
El mínimo va a ocurrir en
, para m=1,3,5,... Ecuación 5.32
Ecuación 5.33
La ecuación 5.28 resulta en una "onda estacionaria".
La razón del valor máximo al valor mínimo se conoce como la Razón de Onda Estacionaria (Standing Wave Ratio), y se denota por la letra S:
Ecuación 5.34
En términos de S:
Ecuación 5.35
En la figura 5.2 se aprecia la gráfica de los campos eléctrico y magnético totales, ecuaciones 5.28, 5.31 y 5.33.
Figura 5.2 Gráfica de la magnitud de los campos totales en el medio 1(Eléctrico y Magnético).
La densidad de potencia promedio es, para este caso ==
Ecuación 5.36a
Ecuación 5.36b
Ecuación 5.37a
Ecuación 5.37b
Se puede demostrar que:
Ecuación 5.38
y
Ecuación 5.39
y
Ecuación 5.40
Ejemplo Sugerido: Una O.P.U. que viaja en el espacio libre incide de manera normal sobre la superficie de un medio sin pérdidas (permeabilidad =2: 9o , permitivividad = 4o y 2 = 0). Si la frecuencia de operación es f = 200 Mhz y el campo magnético incidente es i = cos ( t - 1 y ) az , encuentre expresiones completas en el dominio del tiempo para el campo eléctrico incidente y el campo magnético reflejado, también encuentre el coeficiente de transmisión.
5.3 Incidencia Normal de O.P.U.sobre conductores perfectos (=
Supongamos que el medio 2 es un conductor perfecto =. Puesto que los campos en un conductor perfecto son cero, entonces no habrá onda transmitida y las condiciones de frontera en Z=0 son:
en Z = 0 Ecuación 5.41
ó
Ecuación 5.42
puesto que:
Ecuación 5.43
entonces:
Ecuación 5.44
Nótese que este resultado se pudo haber obtenido más directamente haciendo 2=en 5.12a (ya que 2 =, entonces 2=) el coeficiente de reflexión se vuelve:
Ecuación 5.45
y el coeficiente de transmisión en 5.12b se vuelve:
Ecuación 5.46
De esta manera, los campos totales en el medio 1 se vuelven:
Ecuación 5.47a
Ecuación 5.47b
Ecuación 5.48a
Ecuación 5.48b
Si ahora suponemos que el medio 1 es sin pérdidas, 1 =, los campos totales en el medio 1 se vuelven:
Ecuación 5.49a
Ecuación 5.49b
Ecuación 5.49c
Ecuación 5.50a
Ecuación 5.50b
Ecuación 5.50c
Para obtener las ecuaciones 5.49c y 5.50c se utilizaron las siguientes igualdades
Ecuaciones 5.51a y b
Las expresiones en el dominio del tiempo para 5.49c y 5.50c son:
Ecuación 5.51a
Ecuación 5.51b
Ecuación 5.52
Otra vez, los campos totales representan "ondas estacionarias". Las magnitudes de los fasores se obtienen de 5.51b y 5.52 y son:
Ecuación 5.53a
Ecuación 5.53b
Ecuación 5.54
Estas magnitudes se pueden graficar. Nótese que los mínimos son cero. En la figura 5.3 se muestra la gráfica de la magnitud de los campos totales:
Figura 632 Gráfica de la magnitud de los campos totales en el medio 1, el medio 2 es un conductor perfecto.
En la superficie del conductor perfecto (Z=0), el campo magnético tangencial es:
Ecuación 5.55
En la frontera existe una corriente lineal y está dada por:
A/m Ecuación 5.56
Ejemplo Sugerido: Una O.P.U que viaja en el espacio libre incide de manera normal sobre una superficie de un conductor perfecto. Si el campo eléctrico total es cero a una distancia de 10cms. de la superficie del conductor perfecto, determine la frecuencia más baja posible de la onda incidente.