Cap.7 Eisberg

Capítulo 5: A teoria de Schrödinger da

Mecânica Quântica

1. Introdução

2. Argumentos plausíveis para se chegar à equação de

Schrödinger

3. A interpretação de Born para funções de onda

4. Valores esperados

5. A equação de Schrödinger independente do tempo

6. As propriedades necessárias às autofunções

7. A quantização da energia na teoria de Schrödinger

8. Resumo

Capítulo 7(Fundamentos da Física Moderna):

A Versão de Schrödinger da Mecânica

Quântica

• Introdução

• A equação de Schrödinger

• A interpretação da função de onda

• A equação de Schrödinger independente do tempo

• A quantização da energia na teoria de Schrödinger

• As propriedades matemáticas das funções de onda e autofunções

• A teoria clássica de ondas transversais em uma corda esticada

• Valores esperados e operadores diferenciais

• O limite clássico da mecânica quântica

A teoria/versão de Schrödinger da Mecânica

Quântica – 1:Introdução

• O papel da teoria de Schrödinger; as limitações do

postulado de de Broglie; a necessidade de uma equação

de onda diferencial

• Ondas-piloto de de Broglie caracterizadas por = h/p e

= E/h, (comprimento de onda e freqüência constantes)

como se propagam?



• A teoria de Schrödinger da mecânica quântica é uma

extensão do postulado de de Broglie. Portanto a equação

de Schrödinger deve utilizar as grandezas físicas

relacionadas com as ondas-piloto de de Broglie.

• E as grandezas físicas relacionadas com as coordenadas

geométricas e temporal ?

• Elas são utilizadas pela ‘teoria’ de Heisenberg, através

das relações de incerteza.



• Schrödinger não utilizou o termo ondas-piloto de de

Broglie mas como deveria expressar a propagação destas

ondas, ou seja como elas se modificam conforme a

posição, ele introduziu o termo função de onda e

‘representada’ pela função (x, t).

• Heisenberg, utilizando as relações de incerteza

representou as grandezas físicas através de matrizes.

• Os dois enfoques são distinguidos pelos termos:

versão, representação, picture




Quântica – 2:Argumentos plausíveis para se

chegar à equação de Schrödinger

1. Ela deve ser consistente com as equações =h/p, h

2. “ E = p2/2m + V

3. Ela deve ser linear em (x, t)

4. A energia potencial em geral é V(x , t)




• para partícula livre o potencial V(x,t)=cte. Portanto F=0

e assim p e E também são constantes, ou seja podemos

aplicar os postulado(s) de de Broglie.

• estendendo (postulando) que mesmo para potencial

V(x,t) não constante as soluções da equação de

Schrödinger devem resultar em funções de onda (x,t)

da partícula que se move sob a ação daquele potencial.




),(),(),(),(

2

2

1

),(),(),(

),(

)()cos(),(

2

22

2

2

2

txt

itxtxVx

tx

m

i

m

i

t

txtxtxV

x

tx

tkxsentkxtx

),(2

2

2

2

),(2

22

2

2

txVm

k

h

w

k

htxVm

h


Quântica – 3:A interpretação de Born para

funções de onda

• Max Born: Se, no instante t, é feita uma medida da

localização da partícula associada à função de onda

(x,t),então a probabilidade P(x,t)dx de que a partícula

seja encontrada em uma coordenada entre x e x+dx é

igual a *(x,t) (x,t)dx



funções de onda

2

1

2

1

2

1

2

1

**

*

***

2

**

2

*22

2

22*

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

dxtxxm

i

dxt

idxxxxm

tiV

xm

tiV

xm



funções de onda

• definindo S(x,t) como fluxo de probabilidade

• a segunda equação representa a equação de

continuidade

2

1

2

1

2

1

21

1),(),(),(),(),(),(

),(),(

),(),(

),(),(

2),(

**

*

**

x

x

x

x

x

x

xxxx

dxtxtxdxtxPdxtxtxdxtxP

dxtxtxt

SS

x

txtx

x

txtx

m

itxS



funções de onda

• Exemplos 5-5 e 5-6:

comparação das densi-

dades de probabilidade

• O movimento das partí-

culas está de acordo com

as leis da probabilidade,

mas a probabilidade se

propaga segundo a lei

da causalidade (M.Born)


Quântica – 4:Valores esperados • valor esperado = valor médio ponderado

dxtxtxftxtxf

dxtxxtx

dxtxtx

dxtxxtx

dxtxxtxdxxxPx

x

),(),...,(),(),...,(

),(),(2

),(),(

),(),(

),(),()(

*____________

2*

_____

*

*

*


Quântica – operadores

2

2

2

22

,

,

,

,

,

,

11

cotcos

coscot

,,,,

)(

)(

)(

sensen

senL

iL

sengiL

gseniL

rzyx

xy

yxiLzL

zx

xziLyL

yz

zyiLxL

tiE

xip

xx

op

opz

opy

opx

opzop

opyop

opxop

op

op

op


Quântica – 4:Valores esperados • valor esperado = valor médio ponderado

2______

*____________

2*

_____

**__

*___

**

___

2

),(,,),(),,(

),(),(2

),(),(),(),()(

),(),(

),(),(),(),()(

qq

x

p

p

q

dxtxtx

ixftxtpxf

dxtxxtx

dxt

txtxidxtx

titxdxxEPE

x

txtxi

dxx

txtxidxtx

xitxdxxpP

op


Quântica – 5:A equação de Schrödinger

independente do tempo

• método de separação de variáveis:

• ‘método do exp(pt)’ para resolver equação diferencial em t

(transforma a equação diferencial em equação algébrica)

)...()()(,...,...),,(f

0...)()(

2

2

1

1

Zdt

dB

dt

tfdA

dt

tfdn

n

n

n

n

n


Quântica – 5:A equação de Schrödinger

independente do tempo

Etixtx

xxVEm

dx

xdxExxV

dx

xd

m

ECh

CCCtit

Cttdt

iC

t

tdC

dt

td

ti

Cdt

td

tixxV

dx

xd

mx

txt

itx

txxVtxxmtx

txt

itxxVtxxm

xVtxV

txtx

tt

exp)(),(

0)()(2)(

)()()()(

2

2exp)()(ln)(

)()(

)(

1

)(

)(

1)()(

)(

2)(

1

)()()()(

1)()()()()(

2)()(

1

)()()()()()()(2

)(),(

)()(),(

22

2

2

22

00

2

22

2

22

2

22

A teoria/versão de Schrödinger da

Mecânica Quântica – 6:As propriedades

necessárias às autofunções

• A autofunção x) e suas

derivadas d (x)/dx

devem ser:

• finitas

• unívocas

• contínuas

• descontinuidade da deriva-

da no exemplo 5-9


Mecânica Quântica – 7:A quantização da

energia na teoria de Schrödinger

• potencial interatômico de molécula diatômica para

situação de V(x) – E > 0




• considerações sobre concavidades

)()(2)(

22

2

xExVm

dx

xd




• resultados qualitativos para um ponto x0 na região 2,

ou seja: x’ < x0 < x’’




• autofunções n(x) possíveis para autovalores

discretos En




initesimalEE

initesimaldx

xd

dx

xd

EE

ExVExV

dx

d

dx

d

nn

xx

inf

inf)()(

lim

)()(

1

2

1

2

2

2

2

12

12

2

1

2

2

2

2

0


Quântica – 8:Resumo

• para um particular V(x) existem soluções da equação de

Schrödinger, n(x) (autofunções), somente para valores

discretos de energia En denominados autovalores, onde n é

o número quântico principal, e a cada autovalor corres-

ponde uma função de onda n(x,t)= n(x)exp[-iEnt2 /h]

• portanto a função de onda completa para um particular

potencial V(x) é a combinação linear de todas as funções

de onda n(x,t) multiplicadas por constantes arbitrárias,

geralmente complexas, an.

tEixatxatx n

n

nn

n

nn exp)(),(),(11



• densidade de probabilidade P(x,t)dx = (x,t) (x,t)dx

• densidade de probabilidade de uma partícula que se

encontra em estado estacionário, ou auto-estado

tEEixxaaxaadxtxP

tEixatx

tEixatx

tn

nln

nl n

l

n

nnnn

l

l

ll

n

n

nn

exp)()()(),(

exp)(),(

exp)(),(

*

1

*

1

**

1

***

1

)()(exp)(exp)(),(),( *** xxtE

ixtE

ixdxtxtx nnn

n

nnnn



• a densidade de probabilidade P(x,t)dx = (x,t) (x,t)dx

integrada em todo o espaço x não pode depender da coor-

denada temporal e resulta na probabilidade = 1, para todas

as autofunções n(x) normalizadas.

0)(*0)()(

0exp)()(

11)(

1exp)()()(

1),(

)(*

1

*

*

1

*

1

*

1

**

*

1

*

1

**

dxxnl

dxxxaa

dxtEE

ixxaa

aadxxaa

dxtEE

ixxaaxaa

dxtxP

xnl

nln

nl n

l

tnnln

nl n

l

n

nn

n

nnnn

tn

nln

nl n

l

n

nnnn



• portanto as autofunções n(x) são ortogonais e se as auto-

funções n(x) forem normalizadas, as 2 condições, de

ortogonalidade e de normalidade são escritas de maneira

compacta, conhecida como condição de ortonormalidade

nlse

nlsenlnl dxxx

1

0,

* )()(



• uma maneira de mostrar a ortogonalidade de duas autofun-

ções distintas n(x) e l(x)

• mesmo para os autovalores no contínuo ou em estados

degenerados, onde El = En , a condição de ortogonalidade é

válida.

0)()(0

0)()(2

)()()(2

)()()(2

)()()()(

2)()()()(

)(

2)(

*

*

2

***

2

***

2

**

2

*22

2

22*

dxxxEE

dxxxEEm

dx

d

dx

dxdxxxEE

m

dxdx

d

dx

dx

dx

ddxxxEE

m

xExxVdx

xd

mxxExxV

dx

xd

mx

nlnl

nlnl

l

n

n

lnlnl

l

n

n

lnlnl

lll

l

nnnn

n

l



• a função de onda (x,t) é:

tEixdxxxtx

adxxx

dxxxadxxx

xatx

tEixatx

nn

n

n

nn

n

nlnl

n

nn

n

n

nn

exp)(')0,'()'(),(

)0,()(

)()()0,()(

)()0,(

exp)(),(

1

*

*

1

**

1

1

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Cap.7 Eisberg