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Cálculo da Capacitância e Indutância para Linhas de Transmissão
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Prof.: Adriano Alber de Frana Mendes Carneiro - EESC - USP SEL 365 Transmisso e Distribuio de Energia Eltrica
35
I.2 Capacitncia, Reatncia Capacitiva das Linhas de Transmisso a) Introduo: Condutores das linhas de transmisso (entre si e entre condutores e terra) CAPACITORES Capacitncia entre condutores de uma dada linha: constante (s depende da distncia entre os cabos) Capacitncia = f ( rea, meio e distncia entre placas) Efeito capacitivo: influ muito pouco para linhas at uns 50 km e
tenso no muito elevada ( linhas de distribuio por ex.) desprezado.
Corrente capacitiva: existe mesmo com a linha em vazio afeta:
queda de tenso rendimento, fator de potncia da linha e at a estabilidade do sistema de que faz parte.
Condutores de uma linha de transmisso
Diferena de potencial
Placas de um capacitor
Mesmo comportamento
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b) campo eltrico em um condutor longo e reto: Densidade de fluxo na superfcie cilndrica: o fluxo que emana do condutor (numericamente igual carga em coulombs), por unidade de comprimento (1 metro), dividido pela rea da superfcie em um comprimento de 1m.
x2qD = coulombs/m
2
q carga do condutor em coulombs por metro x distncia em metros Intensidade de campo eltrico ( ou (-) gradiente de potencial) a densidade de fluxo dividida pela permitividade do meio
kD=
0k permitividade do vcuo (8,831x 10
-12 F/m)
0r k
kk =
xk2q= volts/m
x + + + +
+ + +
Linhas de fluxo de campo eltrico em um condutor com carga positiva uniformemente distribuda em sua superfcie equipotencial a distncia x.
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c) Diferena de potencial entre 2 pontos devido carga Diferena de potencial (volts) = trabalho
coulombjoules necessrios para
mover uma carga de um coulomb entre 2 pontos. Intensidade de campo eltrico (volts/m) = fora (N/coulomb) sobre uma carga de um coulomb no ponto considerado. Trabalho realizado para levar a carga de um ponto de potencial mais baixo outro de potencial mais alto = integral de linha, entre os dois pontos, da fora que age na carga, ou seja da intensidade do campo.
Linhas de integrao
Para se levar uma carga positiva de P2 a P1 dever ser realizado um trabalho, j que P1 tem potencial maior que P2. - Diferena de potencial entre 2 e 1 = trabalho realizado por coulomb de carga transportada.
+q D1
P1
Superfcie equipotencial 1 Superfcie
equipotencial 2
P2
Carga positiva
D2
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- Queda de tenso entre 1 e 2 ser o trabalho (ou a energia)
realizado pelo campo por unidade de carga que se desloca de 1 a 2, independentemente de trajetria seguida.
Da:
12
12 DDln
k2qdx
xk2qdxv 2
D
1D
2D
1D = = = volts (A) q carga instantnea no condutor em coulombs/m de comprimento v12 positiva ou negativa dependendo da carga q(+ ou -) e tambm
se o clculo de um ponto prximo a um distante (D1> D1) ou vice-versa.
d) Capacitncia de uma Linha a Dois Condutores
Capacitncia entre os dois condutores de uma linha a 2 fios vem a ser a carga nos condutores por unidade de diferena de potencial entre eles
vqc = Farads/m (B)
q [coulombs] v [volts] Substituindo (A) em (B):
12
12
DDln
k2
DDln
k2q
qc =
=
C depende do meio e das dimenses fsicas
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Queda de tenso entre (a) e (b) = vab vab pode ser calculada achando-se a queda de tenso devida carga
qa, do condutor (a), e, em seguida, a queda de tenso devida carga qb, do condutor (b). A soma das duas dar a queda vab.
Para calcular vab vamos supor, de incio, o condutor (b) sem carga, formando somente uma superfcie imersa no campo criado por qa: Para se evitar a distoro faz-se a integrao ao longo de 2 j que o potencial o mesmo.
( )
aa
aab rDln
k2qqv = volts
Para a carga qb tem-se, analogamente:
a b
D
ra rb Linha a dois condutores
Linha de integrao a a b
2
1 Linha de
integrao a a b
Seguindo a trajetria 2, tem-se: D1 = ra D2 = D Para o clculo da queda de tenso devido a q
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( )
Drln
k2qqv bbbab = volts com a1 rD = e b2 rD =
a queda de tenso total ser:
( ) ( )Drln
k2q
rDln
k2qqvqvv bb
a
ababaabab +=+=
como qqq ba == (linhas monofsicas)
=
= ba
2b
aab rr
Dlnk2q
Drln
rDln
k2qv
Logo a capacitncia ser:
==
ba
2ab
rrDln
k2vqc Farads/metro
Se:
=
===
rDln
k
rDln2
k2crrr ba F/m
com:
120 1085,8
=k F/m para o vcuo e ==0
r kkk permitividade relativa.
Para o ar tem-se: 121085,81 arr kk F/m
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=rDln
0278,0cab F/km (1)
Caso desejamos a capacitncia entre cada cabo e um ponto
neutro (por ex. transformador com tap central aterrado: o ponto neutro ser a terra e quer-se a capacitncia entre cada cabo e terra) bastar multiplicar por dois.
====rDln
0556,0c2ccc abbnann F/km (1`)
para o neutro
==rDln
k2cc bnan
Considerao feita at aqui: cargas uniformemente distribudas nas superfcies dos condutores no verdade quando outras cargas esto presentes.
O correto ser considerar os condutores como superfcies equipotenciais e, a partir da, fazer as dedues. Desta forma chega-se ao seguinte valor de capacitncia:
+=
1r4D
r2Dln
0556,0c
2
2n F/km (2)
Para o neutro Erro quando se usa frmula 1`em vez de 2 muito pequeno,
principalmente quando for grande a relao D/r (distncia entre condutores/ raio dos condutores) Exemplo:
cab a capacitncia entre os condutores de uma linha a dois condutores.
b
c a
a b
c a n c bn
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D/r Erro (%) (na equao 1`) 10 0,44 100 0,002 200 0,0005
Normalmente D/r > 50 (D/r = 50 linha compacta)
Clculo da capacitncia com superfcies equipotenciais: muito complicado para linhas com vrios condutores em paralelo ou linhas trifsicas. Por estas razes adota-se a equao 1`e o mesmo procedimento para as prximas dedues. Observao: na frmula 1`o raio usado o geomtrico, ou seja, o
verdadeiro e isto vlido tambm para cabos encordoados, com erro desprezvel. Assim usaremos sempre o raio geomtrico verdadeiro.
Para a reatncia capacitiva tem-se:
rDln10
0556,0f21
fc21x 6
nc ==
rDln10
f8622,2x 6c = x km (*)
para o neutro * obs.: este valor para 1 km de linha. Como a reatncia capacitiva
em paralelo ao longo da linha, para a linha toda deve-se dividir este valor pelo comprimento total da linha em km.
Para 60 Hz:
rDln100477,0x 6c = x km (*)
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para o neutro Obs.:
fc21xc =
[c] = F/km = kmv
ckm
v/c= [f] = Hz = s
-1
[ ] 11c cs
kmv
kmvcs
1x =
= mas A = c/s
[ ] kmkmAvxc ==
Aqui tambm pode-se fazer:
Dln100477,0r1ln100477,0x 66c +=
A corrente capacitiva na linha ser:
ababab
abcab
cap Vfc2jfc2/1vj
xvjI
ab
=== [A] Exerccio: Determinar a susceptncia capactiva de uma linha monofsica a dois cabos, de cobre, em 60 Hz. Os cabos so 1/0, com 7 fios, com 5,49m de distncia entre seus centros. E Diferena de Potencial Entre Dois Condutores de Um Grupo de
Condutores Carregados
Reatncia capacitiva para 1 metro de espaamento
Fator de espaamento
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Para vrios condutores paralelos pode-se calcular a tenso entre dois condutores quaisquer aplicando-se a equao
12
12 DDln
k2qv = , vrias vezes, uma para cada condutor.
Seja o grupo de condutores com 0I......III mcba =++++
DbcDab
DmcDam
Dac
b qb
cqc
aqa
m qm
Dbm
Supe-se que: No existncia de cargas nas proximidades; Que o solo esteja suficientemente afastado; Que as distncias entre condutores sejam muito maiores que qualquer dos raios.
Com isto admite-se que a distribuio de cargas nas superfcies
dos condutores seja uniforme. Assim:
++++= am
bmm
ac
bcc
ba
bb
a
abaab D
Dlnq.........DDlnq
Drlnq
rDlnq
k21V (3)
Escrevendo de outra forma:
++++= am
bmm
ac
bcc
ab
bbb
aa
baaab D
Dlnq.........DDlnq
DDlnq
DDlnq
k21V
onde cada termo a queda de tenso entre a e b devida a carga de cada um dos condutores do grupo. Analogamente:
Numeradores: distncia de b a todos os outros
Denominadores: distncia de a a todos os outros.
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++++= ma
mcm
ba
bcc
ba
bcb
a
acaac D
Dlnq.........DDlnq
DDlnq
rDlnq
k21V
.
.
.
++++= ma
rmm
ca
cmc
ba
bmb
a
amaam D
Dlnq.........DDlnq
DDlnq
rDlnq
k21V
Tm-se um sistema de equaes que pode ser resolvido, determinando-se as cargas, desde que se conheam as tenses. estas equaes dificilmente sero utilizadas para se determinar cargas, entretanto o raciocnio empregado ser til nas dedues posteriores. F Capacitncia de uma Linha Trifsica com Espaamento
Eqilateral.
b
a c
D
D
D
Condutores com raios iguais para os quais deseja-se calcular a capacitncia para o neutro.
Aplicando o procedimento do item anterior:
++=
++=
Drlnq
DDlnq
rDlnq
k21V
DDlnq
Drlnq
rDlnq
k21V
cbaac
cbaab
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3Van
VabVbc
Vca = -Vac
Van3060
a
b
c
RIm
| Vab| = | Vac|
Projetando Vna em Vab:
anacab
aban
aban
V3VV2
V23V
2V
30cosV
=====
Somando:
++=+ Drln)qq(
rDlnq2
k21VV cbaacab
mas
rDln
k2q3VVqqq aacabacb =+=+
Pela figura anterior: )30senj30(cosVV abab +=
+=
21j
23V3V anab
==
21j
23V3VV ancaac
ananacab V3)3(V3VV ==+ Substituindo:
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voltsrDln
k2qV aan =
mas
neutroopara,m/F
rDln
k2VqCan
an
==
Logo:
neutrooparakm/FC
rDln
0556,0n =
- Capacitncia para o neutro em uma linha trifsica com
espaamento eqilateral (capacitncia por fase). Obs.: esta equao idntica da capacitncia para o neutro de uma linha monofsica (note-se que a mesma semelhana foi verificada no clculo da indutncia). A corrente capacitiva dada por (por fase):
anancan
cap VfC2jXVjI
ana ==
anncap VfC2jI a =
G Capacitncia de uma Linha Trifsica com Espaamento
assimtrico.
b
cD31
D23D122
3a
1
Neste caso, se no houver transposio o clculo ficar complicado
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Havendo transposio, a capacitncia mdia de cada fase para o neutro ser igual s das outras fases. Nas linhas no transpostas as diferenas so pequenas para as configuraes usuais, o que permite que se faam clculos como se elas fossem transpostas. Concluso: consideram-se todas as linhas como transpostas,
obtendo-se capacitncia mdia iguais para todas as fases.
Aplicando-se a eq. (3) para cada posio da transposio, vem: I fase a na posio 1, b na 2 e c na 3:
voltsDDlnq
Drlnq
rDlnq
k21V
31
23c
12b
12aab IIII
++=
II fase a na posio 2, b na 3 e c na 1:
voltsDDlnq
Drlnq
rDlnq
k21V
12
31c
23b
23aab IIIIIIII
++=
III fase a na posio 3, b na 1 e c na 2:
voltsDDlnq
Drlnq
rDlnq
k21V
2312
c31
b31
aab IIIIIIIIIIII
++=
Ao longo da linha teremos: IIIIII ababab VVV == , isto , a tenso Vab se mantm constante IIIIII aaa qqq o que tambm vale para qb e qc.
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Isto complica bastante o clculo pois tem-se 10 incgnitas (qij, i = a,b,c; j = I,II,III e ainda Vab ) e, embora possa-se conseguir 10 equaes, o clculo no prtico.
Portanto, sem grande erro, admite-se que a carga por unidade
de comprimento em um condutor a mesma em qualquer posio do ciclo de transposio. Com isto as tenses IIIIII ababab eVV,V sero diferentemente, devendo-se calcular a mdia aritmtica.
IIIIII aaa qqq == , idem para qb e qc
3VVV
abIIIabIIabIabV
++=
++= 212212
212212c
312312
3b3
312212aab DDD
DDDlnqDDD
rlnqr
DDDlnqk61V
+= Deqrlnq3
rDeqlnq3
k61V baab
com 3 312312 DDDDeq =
analogamente:
+= Deqrlnq
rDeqlnq
k21V baac
mas, j vimos que anacab V3VV =+
++= Deqrlnq
Deqrlnq
rDeqlnq2
k21V3 cbaan
3Deq
3Deq
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como acbcba qqq0qqq =+=++
=
= rDeqlnq
rDeqlnq2
k21
Deqrlnq
rDeqlnq2
k21V3 aaaaan
volts
rDeqlnq
k23V3 aan =
volts
rDeqln
k2qV aan =
neutroopara,m/F
rDeqln
k2VqCana
n
== .
Para .neutroopara,km/F
rDeqln
0556,0C1k nr
==
Esta a capacitncia para o neutro, por fase, de uma linha trifsica assimtrica transposta. Esta frmula idntica s anteriores. Exerccio:
Determinar a capacitncia e a reatncia capacitiva da linha
abaixo, operando em 60Hz, com fio n2 de cobre duro. Achar a corrente capacitiva sabendo que a linha de 22.000 volts.
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1,37 m 1,37m
2,44m
Tabela mm2
5532,6r = m66,144,237,137,1Deq 3 ==
km/F008927,0
003275,066,1ln
0556,0Cn =
=
para o neutro
km/F10927,8C 3n = para o neutro
km10297,010927,8602
10Xc 636
== para o neutro ou das tabelas Reatncia capacitiva para 1 metro de espaamento 0,27313 x 106 Fator de espaamento para 1,66m 0,02417 x 106 Reatncia capacitiva 0,29730 x 106 x km
para o neutro. A corrente capacitiva ser:
km/A0427,03/220001010927,8602Icap 63 == H Efeito terra na Capacitncia de Uma Linha Trifsica. Terra: afeta o campo eltrico da linha, alterando sua capacitncia. Suposio: A terra um condutor perfeito, plano e de dimenses
infinitas (suposio sem grandes erros).
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Para anlise da influncia da terra: vamos considerar uma linha nica com retorno pela terra.
Ao se energizar, ou carregar, a linha viro cargas da terra para
a linha diferena de potencial entre linha e terra (linha e terra tero mesma carga com sinais contrrios).
Considerando-se a terra como um condutor perfeito: fluxo do
campo eltrico ser perpendicular superfcie da terra (equipotencial).
h
h
+ q
- q
Imagem
Condutor
Linhas de campo
Imaginemos agora um condutor fictcio, de mesmo tamanho e forma que o existente, situado abaixo da linha, a uma distncia igual ao dobro da distncia linha-terra.
Retirando-se a terra observa-se
que tudo se passa, entre o condutor e a imagem, como se passava entre o condutor e a terra.
Assim, usaremos a imagem do condutor (da linha) para o
clculo da capacitncia entre linha e terra. Como na figura, a imagem estar a uma distncia 2h (h=altura
da linha) e carregada com q (q = carga da linha), sendo isto vlido para vrios condutores, cada qual com sua imagem.
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Exemplo de aplicao:
Situao na 1 posio do ciclo de transposio. Aplicando-se a equao (3), incluindo a imagem, vem: - Para posio I (a em 1, b em 2 e
c em 3).
+
+
+
+
=
13
23
31
23c
122
12b
11212
aab
HHln
DDlnq
HHln
Drlnq
HHln
rDlnq[
k21V
Repetindo-se para as posies II e III, e tornando-se a repetir
para Vac, usando-se qa + qb + qc = 0 e Vab + Vac = 3Vna, chega-se a:
=
3 321
3 312312lnln
0556,0
HHHHHH
rDeq
Cn F/km para o neutro
Note-se que a mesma frmula com o denominador subtrado de ( )3 3213 121212 HHH/HHHln . Para H1, H2, H3 muito grandes tem-se: H12 H23 H3 H1 H2 H3 a parcela subtrada praticamente igual a zero. Por esta razo em geral despreza-se o efeito da terra.
De a para b
De b para b
De a para b