Capitolo 5

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti

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Capitolo 5

Integrali, aree, primitive



Alcuni esempiDerivate e calcolo di aree hanno insospettabili connessioni.Definizione 5.1 (Funzione primitiva) Sia f : I → R, I intervallo. Una

funzione F : I → R derivabile si dice primitiva di f in I seF(x) = f(x) ∀x ∈ I.

Problema: come calcolare una primitiva? Dobbiamo “invertire” la tabella delle derivate.

Calcolo di aree. Calcolo dell’area della regione delimitata da varie curve.



Idea per il calcolo dell’areaUn metodo ragionevole per procedere potrebbe consistere nell’approssimare l’area con l’area di regioni più “semplici”e poi effettuare una operazione di limite. Per esempio dividiamo l’intervallo [a, b] in N sottointervalli per mezzo della suddivisione

a = x0 < x1 < ... < xN = b.Indichiamo con xi la lunghezza dell’i-esimo sottointervallo [xi-1, xi].Sopra ogni sottointervallo [xi-1, xi] “costruiamo” un rettangolo con base il sottointervallo e altezza di lunghezza f(xi). L’area di questo rettangolo è f(xi) × xi. La somma di tutte le aree è

SN = f(xi)xi + ... + f(xN)xN.

Possiamo supporre che SN sia un’approssimazione dell’area della regione R sottesa dal grafico della funzione f. Al crescere di N, e contemporaneamente con la riduzione xi → 0, possiamo definire

area(R) = lim SN, per N → +∞, maxxi → 0.



Integrale secondo RiemannConsideriamo una funzione limitata e definita nell’intervallo chiuso e limitato [a, b],

f : [a, b] → R, ∃k ≥0 tale che |f(x)| ≤ k ∀x ∈ [a, b].Una partizione P dell’intervallo [a, b] un insieme ordinato e finito di punti P = {x0, ..., xN}, dove

x0 = a < x1 < ... < xN-1 < xN = b.Una partizione P produce una suddivisione dell’intervallo [a, b] in N sottointervalli

[a, x1], [x1, x2], ..., [xN-1, xN].

Indichiamo con xi la lunghezza dell’i-esimo intervallo della partizione,

xi = xi . xi-1.Dato che la funzione f limitata, gli insiemi

Si = {f(x), x∈ (xi-1, xi)}

sono non vuoti e limitati, quindi esistono sia l’estremo inferiore mi che l’estremo superiore Mi.Le somme di Riemann superiore ed inferiore di f corrispondenti alla partizione P sono definite dalle relazioni



Integrale secondo Riemann

Osserviamo che, posto m = inf im(f) e M = supim(f), risultam(b a) ≤ s(f,P) ≤ S(f,P) ≤ M(b a),

quindi esiste l’estremo inferiore e superiore dell’insieme{s(f,P), P partizione di [a, b]},

e dell’insieme{S(f,P), P partizione di [a, b]}.

e possono verificarsi due casi,• sups < inf S, oppure• sup s = inf S.Nel secondo caso la f risulta integrabile.



Definizione 5.2 (Funzione integrabile) Una funzione f : [a, b] → R limitata si dice integrabile (secondo Riemann) su [a, b] se supP(s) = infP(S). Il valore comune di questi due estremi si chiama integrale (di Riemann) di f in [a, b] e sar denotato con uno dei simboli

dove I = [a, b] il dominio di integrazione e f = f(x) la funzione integranda.Problemi e necessità.• Condizioni di integrabilità.• Calcolo degli integrali

Condizioni di integrabilitàConsideriamo f : [a, b] → R,• se f è limitata e monotona allora f è integrabile.• Se f è continua allora f è integrabile.Nota. La sola limitatezza non basta.



Proprietà dell’integralef localmente integrabile: integrabile in ogni intervallo chiuso e limitatoincluso nel dominio.Definizione 5.3 Sia f : I → R, I intervallo, f localmente integrabile, a, b ∈ I. L’integrale da a a b di f il numero

reale definito come segue

I due numeri a e b vengono detti primo e, rispettivamente, secondo estremo di integrazione.





Valor medioDefinizione 5.4 (Valor medio integrale) Sia f : [a, b] → R integrabile, si chiama valor medio di f

nell’intervallo [a, b] la quantità

Dalla proprietà iv) degli integrali si deduce che il valor medio integraledi f compreso tra il suo sup e il suo inf

Se f anche continua, assume tutti i valori tra l’estremo inferiore e l’estremo superiore della sua immagine.



Nota. Per il punto ii) del Teorema del valor medio la continuità è essenziale.



Relazioni tra integrazione e derivazioneSia f una funzione localmente integrabile in un

intervallo I, sia a ∈ I, possiamo considerare la funzione integrale

Osservazione. La funzione F è una funzione continua se f è integrabile.



Risultati fondamentali

Teorema 5.3 (Primo teorema fondamentale del calcolo integrale)Sia f una funzione localmente integrabile in un intervallo I e a ∈ I,sia F la funzione integrale

Sia inoltre x0 un punto interno a I, se f è continua in x0 allora

esiste F(x0) e si ha F(x0) = f(x0).



Risultati fondamentali

Teorema 5.4 (Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale)

Sia I un intervallo, f : I → R una funzione continua e derivabilecon funzione derivata f continua nell’intervallo I; sia a ∈ I, allora





Integrali indefinitiDefinizione 5.5 (Integrale indefinito) Sia f : I → R, I intervallo,f continua in I. L’insieme delle primitive di f si chiama integrale

indefinito di f e si denota con il simbolo



Calcolo di primitive

Nella Tabella che segue si riportano alcuni integrali indefiniti (il simbolo C sta ad indicare una costante reale generica).La primitiva si può trovare leggendo la tabella delle derivate “al contrario”, in tal senso si dice che “l’integrazione l’operazione inversa della derivazione”. Affermazione impropria ma suggestiva.



Integrazione per sostituzioneIdea: sostituire un integrale complicato con uno più “semplice”. Questo viene fatto sostituendo al posto di x

una funzione di x. Formula

Nota. Dal punto di vista del calcolo facilita scrivere la sostituzione nel seguente modo (che produce un risultato corretto anche se formalmente impreciso): si individua la sostituzione u = g(x), avvalendosi della forma du/dx = g(x) si scrive du = g(x)dx, quindi se F = f.

Esempio. consideriamo l’integrale indefinito

Se si pone u = cosx, formalmente du = sin xdx e potendo “operare con dx e du dopo il segno di integrale”,





Integrazione per partiIdea: utilizzare la regola della derivata del prodotto (fg) = fg+fg.

Formula,

Nota. l’applicazione della regola non “meccanica”e non sempre porta a una semplificazione del problema.

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