Capitolo I

GRUPPI DI LIE

Molto spesso si incontrano gruppi i cui elementi dipendono in maniera regolare da un certonumero di parametri (per esempio, gli elementi di una matrice di rotazione in tre dimensionisi possono esprimere in funzione degli angoli di Eulero che parametrizzano la rotazione). Lanozione di gruppo di Lie rende rigorosa questa constatazione euristica. Un gruppo di Lie esostanzialmente un gruppo che e allo stesso tempo una varieta differenziabile, in modo che ledue strutture siano compatibili.

1. Prime definizioni

Un gruppo di Lie G e una varieta differenziabile dotata di una struttura di gruppo in modotale che l’applicazione

(1) ψ : G×G→ G, ψ(g, h) = gh−1

sia differenziabile (in questo capitolo tutte le applicazioni differenziabili saranno di classeC∞). La differenziabilita dell’applicazione (1) fa sı che siano differenziabili anche

(i) l’applicazione che prende l’inverso, ι(g) = g−1, in quanto questa si puo scrivere ι(g) =ψ(e, g), essendo e l’elemento identita di G;

(ii) l’applicazione prodotto π(g, h) = gh, in quanto si puo scrivere π(g, h) = ψ(g, ι(h)).

Un omomorfismo φ : G→ H di gruppi di Lie e un’applicazione differenziabile che e anche unomomorfismo di gruppi, ovvero, φ(gh) = φ(g)φ(h) (ponendo h = eG, questa implica φ(eG) =eH). Un isomorfismo di gruppi di Lie e un diffeomorfismo che e anche un omomorfismo digruppi (l’applicazione inversa φ−1 : H → G e automaticamente un omomorfismo di gruppi).

Esempio 1.1. Uno spazio vettoriale V su R di dimensione finita, con la sua struttura diffe-renziabile canonica e la struttura gruppale data dalla somma, e un gruppo di Lie (abeliano).In particolare cio vale per Rn.

Esempio 1.2. Il toro n-dimensionale Tn = Rn/Zn ' S1×· · ·×S1 e un gruppo di Lie (abelianoe compatto).

Esempio 1.3. Sianogl(n,R) = {matrici reali n× n} ' Rn2

Gl(n,R) = {matrici reali n× n invertibili}

det : gl(n,R)→ R l’applicazione determinante.I.1

I.2

Gl(n,R) = gl(n,R)\det−1(0) e un aperto di gl(n,R), e quindi e una varieta differenziabile. Sipuo mettere su Gl(n,R) un sistema di coordinate “tautologico” {xij} a valori in Rn2

, che adogni matrice M associa i suoi n2 coefficienti, M 7→ {M i

j}. Il prodotto di matrici e polinomiale,mentre l’inverso di una matrice e una funzione razionale degli elementi di matrice; entrambele operazioni sono C∞. Pertanto Gl(n,R) e un gruppo di Lie di dimensione n2.

Nello stesso modo si definisce il gruppo Gl(n,C), formato dalle matrici n × n invertibilia coefficienti complessi. Gl(n,C) e un gruppo di Lie di dimensione 2n2, ed e un aperto ingl(n,C), lo spazio vettoriale delle matrici n× n a coefficienti complessi.

Ogni elemento g ∈ G definisce un’operazione di trasporto sinistro

Lg : G→ G, Lg(h) = gh

e una di trasporto destroRg : G→ G, Rg(h) = hg.

Si hanno le ovvie relazioni

Lg1 ◦ Lg2 = Lg1g2 , Rg1 ◦Rg2 = Rg2g1 , Le = Re = idG, Lg1 ◦Rg2 = Rg2 ◦ Lg1 .

Per ogni g ∈ G le applicazioni Lg ed Rg sono diffeomorfismi, e vale

Lg−1 = (Lg)−1, Rg−1 = (Rg)−1.

I differenziali (Lg)∗ ed (Rg)∗ agiscono sui campi vettoriali su G.

Definizione 1.4. Un campo vettoriale X su G e detto invariante a sinistra se (Lg)∗X = X

per ogni g ∈ G; invariante a destra se (Rg)∗X = X (scrivendo esplicitamente la dipendenzadal posto, si ha rispettivamente (Lg)∗X(h) = X(gh) e (Rg)∗X(h) = X(hg)).

Esercizio 1.5. Consideriamo ancora su Gl(n,R) il sistema di coordinate “tautologico” {xij}a valori in Rn2

, che ad ogni matrice M associa i suoi n2 coefficienti, M 7→ {M ij}. Dimostrare

che i campi vettoriali

Xij(M) = Mk

j

∂

∂xkisono invarianti a sinistra.

Sottogruppi. Sia G un gruppo di Lie. Un sottogruppo H di G (in senso algebrico) e unsottogruppo di Lie di G se l’inclusione H ↪→ G realizza H come sottovarieta di G.1,2

Esempio 1.6. I seguenti sono sottogruppi di Lie di Gl(n,R):3

(i) O(n,R) = matrici reali n×n che sono ortogonali, ovvero verificano R R = In, essendo Rla matrice trasposta di R, e In la matrice identita n×n. O(n,R) e il sottogruppo di Gl(n,R)

1Siano V , W varieta differenziabili, e sia ι : V → W un’applicazione differenziabile iniettiva. Diciamo che

la coppia (V, ι) e una sottovarieta di W se l’applicazione lineare (ι∗)x : TxV → Tι(x)W e iniettiva. Per esempi

e controesempi si veda W. Boothby, An introduction to Riemannian Geometry.2Nel seguito, qualora cio non dia adito a confusione, diremo spesso “sottogruppo” intendendo “sottogruppo

di Lie”.3La dimostrazione che i seguenti esempi siano effettivamente dei sottogruppi di Lie di Gl(n,R) verra data

piu avanti.

I.3

che preserva il prodotto scalare canonico di Rn: si ha Ru ·Rv = u · v per ogni u, v ∈ Rn se esolo se R ∈ O(n,R).

(ii) SO(n,R) = matrici in O(n,R) aventi determinante uguale a 1;

(iii) Sl(n,R) = matrici in Gl(n,R) aventi determinante uguale a 1;

(iv) le matrici reali n× n triangolari superiori (inferiori) invertibili.

Dato un gruppo di Lie G, ed un sottogruppo algebrico H di G, si pone in generale laquestione se H possa essere realizzato come sottogruppo di Lie di G. In altri termini, cichiediamo se sia possibile mettere su H una struttura differenziabile in modo che H sia ungruppo di Lie, e l’immersione H ↪→ G sia differenziabile. La risposta e sempre affermativaquando H e un sottoinsieme chiuso di G. Cio e espresso dal seguente risultato, che enunciamosenza dimostrazione (cf. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups).

Proposizione 1.7. Sia H un sottogruppo algebrico di un gruppo di Lie G. Se H e chiuso inG, esiste su H un’unica struttura differenziabile che rende H un sottogruppo di Lie di G.

2. Algebre di Lie

Un’algebra di Lie e un’algebra a su R, in generale non associativa, non necessariamente didimensione finita, tale che, denotando [α, β] il prodotto nell’algebra, questo verifica le seguenticondizioni:

(i) antisimmetria: [α, β] = −[β, α] per ogni α, β ∈ a;

(ii) identita di Jacobi:

[α, [β, γ]] + [γ, [α, β]] + [β, [γ, α]] = 0 per ogni α, β, γ ∈ a .

L’operazione bilineare [· , ·] e detta commutatore o parentesi di Lie.

Esempio 2.1. Ogni spazio vettoriale, dotato della parentesi di Lie banale [α, β] = 0, e un’al-gebra di Lie (detta abeliana).

Esempio 2.2. Lo spazio vettoriale X(V ) dei campi vettoriali su una varieta differenziabile V ,con la parentesi di Lie data dal commutatore dei campi vettoriali visti come derivazioni,

[X,Y ](f) = X(Y (f))− Y (X(f)) ,

e un’algebra di Lie infinito-dimensionale (f e una qualunque funzione differenziabile).

Esempio 2.3. Sia {e1, e2, e3} la base canonica di R3. Stabiliamo un isomorfismo di spazivettoriali Λ2R3 → R3 ponendo

e1 ∧ e2 7→ e3, e2 ∧ e3 7→ e1, e3 ∧ e1 7→ e2.

Via quest’isomorfismo il prodotto wedge di elementi di R3 induce un prodotto bilineareR3 ⊗ R3 → R3, usualmente detto prodotto vettore, che denoteremo con lo stesso simbolodel prodotto wedge. Il prodotto vettore e evidentemente antisimmetrico, ed inoltre vale

(2) (u ∧ v) ∧ w + (w ∧ u) ∧ v + (v ∧ w) ∧ u = 0 ,

I.4

come e facile dimostrare prendendo come u, v, w gli elementi della base canonica. Con questoprodotto R3 diventa un’algebra di Lie (in particolare la proprieta (2) e l’identita di Jacobi),che denoteremo r.

Esempio 2.4. Denotiamo (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) le coordinate canoniche di R2n. Sullo spaziovettoriale F(R2n) delle funzioni C∞ su R2n definiamo le parentesi di Poisson

{f, g} =∂f

∂xi∂g

∂yi− ∂g

∂xi∂f

∂yi.

La proprieta di antisimmetria {f, g} = −{g, h} e evidente, mentre la verifica dell’identita diJacobi richiede un calcolo un poco laborioso. F(R2n) con le parentesi di Poisson e un’algebradi Lie infinito-dimensionale.

Esempio 2.5. Lo spazio gl(n,R) delle matrici n × n reali, con la parentesi di Lie data dalcommutatore

[A,B] = AB −BA,e un algebra di Lie. gl(n,R) ammette svariati sottospazi vettoriali che sono chiusi rispettoalla parentesi di Lie (ovvero, detto b un tale sottospazio, [b, b] ⊂ b. Questi sottospazi sonoallora delle sottoalgebre). Ad esempio:

(i) o(n,R) = {matrici n× n antisimmetriche}(ii) sl(n,R) = {matrici n× n aventi traccia nulla}(iii) le matrici n× n reali triangolari superiori (inferiori).

Definizione 2.6. Siano a, b algebre di Lie. Un omomorfismo φ : a → b e un’applicazionelineare tale che [φ(α), φ(β)] = φ([α, β]).

Se φ e bigettivo, viene detto isomorfismo di algebre di Lie.

Esercizio 2.7. Mostrare che l’applicazione

r→ o(3,R), a e1 + b e2 + c e3 7→12

0 c −b−c 0 a

b −a 0

stabilisce un isomorfismo di algebre di Lie.

Esercizio 2.8. Con riferimento agli Esempi 2.2 e 2.4, mostrare che l’applicazione lineare

F(R2n)→ X(R2n), f 7→ ∂f

∂xi∂

∂yi− ∂f

∂yi

∂

∂xi

e un omomorfismo di algebre di Lie.

3. Algebra di Lie di un gruppo di Lie

Vogliamo vedere come ad ogni gruppo di Lie G si possa associare una algebra di Lie che inqualche modo rappresenta la struttura di G in maniera infinitesima. Facciamo una premessaintroducendo la nozione di campi vettoriali correlati. Data un’applicazione differenziabileφ : V →W , un campo vettoriale X su V e un campo vettoriale Y su W , diciamo che X e Ysono φ-correlati se φ∗X(p) = Yφ(p) per ogni p ∈ V . Sotto questa ipotesi si ha

I.5

Lemma 3.1. Se {ψt} e il flusso di X, e χt il flusso di Y , si ha φ ◦ ψt = χt ◦ φ.

Dimostrazione. Per ogni x ∈ V il campo vettoriale Y e tangente sia alla curva χt ◦ φ sia allacurva φ ◦ ψt, e per l’unicita del flusso locale dei campi vettoriali si ha la tesi.

Lemma 3.2. Se X1, Y1 sono φ-correlati, e X2, Y2 sono φ-correlati, allora [X1, X2] e [Y1, Y2]sono φ-correlati.

Dimostrazione. Faremo uso dell’identita

dω(X,Y ) = X(< Y, ω >)− Y (< X,ω >)− < [X,Y ], ω >

valida per ogni 1-forma differenziale ω ed ogni coppia di campi vettoriali X,Y . Data unafunzione f su W , si ha la catena di uguaglianze

φ∗([X1, X2])(f) =< [X1, X2], dφ∗(f) >

= X1(< X2, dφ∗(f) >)−X2(< X1, dφ

∗(f) >)

= X1(φ∗(< φ∗(X2), df >))−X2(φ∗(< φ∗(X1), df >))

= φ∗(X1)(< φ∗(X2), df >)− φ∗(X2)(< φ∗(X1), df >)

= [Y1, Y2](f) .

Dire che X e campo vettoriale invariante a sinistra su un gruppo di Lie equivale a dire cheX e Lg-correlato a se stesso per ogni g ∈ G. Dal Lemma 3.2 segue che il commutatore di duecampi vettoriali invarianti a sinistra e anch’esso invariante a sinistra. Lo spazio vettoriale deicampi vettoriali invarianti a sinistra pertanto e chiuso rispetto al commutatore, e con essocostituisce un’algebra di Lie g, detta l’algebra di Lie di G.

Esempio 3.3. Dalla definizione Tn = Rn/Zn segue che sull’aperto denso U del toro Tn,corrispondente alla cella fondamentale del reticolo Zn, sono definite coordinate {x1, . . . , xn}indotte dalle coordinate canoniche di Rn. In queste coordinate il prodotto gruppale e rappre-sentato dall’addizione delle coordinate. In campi vettoriali invarianti a sinistra sono i campivettoriali che in queste coordinate hanno componenti costanti (e sufficiente verificare questosu U perche quest’ultimo e denso). Tali campi commutano fra di loro, e pertanto l’algebra diLie di Tn e isomorfa a Rn con la parentesi di Lie banale.

Per uso futuro notiamo che se le componenti di un campo vettoriale invariante a sinistraX sono linearmente indipendenti su Z (ovvero se

∑imiX

i = 0 con mi ∈ Z implica Xi = 0)allora la curva integrale γX di X e densa in Tn. Se n = 2 e γX non e densa, allora e chiusa(per n = 2 il fatto che le componenti di X siano linearmente indipendenti su Z significa cheX1, X2 6= 0 e X1/X2 e irrazionale).

L’esistenza di campi vettoriali invarianti a sinistra su ogni gruppo di Lie G (cioe la nonbanalita della corrispondente algebra di Lie g) segue dal fatto che g si puo identificare, comespazio vettoriale, con lo spazio tangente TeG.

I.6

Proposizione 3.4. L’applicazione lineare

g→ TeG

X 7→ X(e)

e un isomorfismo.

Dimostrazione. L’applicazione sopra definita e lineare e surgettiva; infatti, se Y ∈ TeG, lacondizione X(g) = (Lg)∗Y definisce un campo vettoriale invariante a sinistra. Rimane dadimostrare che se X(e) = 0, allora X e il campo vettoriale nullo. Cio segue da X(g) =(Lg)∗X(e).

Come prima conseguenza abbiamo che dim g = dimG.4

Esempio 3.5. Da quanto detto segue che un campo vettoriale invariante a sinistra non nullonon si annulla in alcun punto. Dalla topologia differenziale sappiamo che un campo vettorialesulla sfera S2 si annulla almeno in due punti. Pertanto S2 non ammette alcuna struttura digruppo di Lie. Dal precedente teorema segue anche che su un gruppo di Lie G di dimensionen siano sempre definiti n campi vettoriali linearmente indipendenti in ogni punto, cosicche ilfibrato tangente TG e sempre banale. Cio implica per esempio che l’unica varieta differenzia-bile bidimensionale, orientabile, compatta e connessa che ammetta una struttura di gruppodi Lie e il toro T 2.

Applicazione esponenziale. L’algebra di Lie g di un gruppo di Lie G “approssima” il gruppoin un intorno dell’identita. Questa affermazione euristica si puo rendere precisa in terminidella cosiddetta applicazione esponenziale.

Lemma 3.6. Ogni campo vettoriale invariante a sinistra su G e completo.

(Ricordiamo che un campo vettoriale su una varieta differenziabile V e completo se le suecurve integrali sono definite per ogni valore del loro argomento. In tal caso la famiglia dellecurve integrali costituisce un gruppo ad un parametro di diffeomorfismi di V .)

Dimostrazione. Sia X un campo vettoriale invariante a sinistra. Se γ : (−ε, ε) → G e unacurva integrale di X per e, allora Lg ◦ γ e una curva integrale di X per g. E cosı sufficienteconsiderare il caso di curve per e. E inoltre sufficiente dimostrare che se γ e definita per duevalori s e t del parametro, e definita anche in s + t. Si ponga γ(t) = γ(s)γ(t) (dove γ(s) e

4Seguendo una convenzione ormai del tutto consolidata, abbiamo definito l’algebra di Lie di un gruppo di

Lie come l’algebra dei campi vettoriali invarianti a sinistra. Si potrebbe nello stesso modo considerare l’algebra

gr dei campi vettoriali invarianti a destra. Anche gr risulta isomorfa allo spazio tangente TeG, e pertanto si

ha un isomorfismo di spazi vettoriali φ : g ∼→ gr. Le due strutture di algebra sono pero diverse; detto [ , ]r il

commutatore in gr, si ha φ([α, β]) = −[φ(α), φ(β)]r (le due algebre di Lie sono anti-isomorfe).

I.7

γ(t) sono moltiplicate mediante il prodotto gruppale). Allora in coordinate locali si ha

d

dt

(xk ◦ γ(t)

)( ∂

∂xk

)γ(t)

=d

dt

(xk ◦ Lγ(s) ◦ (γ(t))

) ( ∂

∂xk

)γ(t)

= (Lγ(s))∗

[d

dt

(xk ◦ γ(t)

) ( ∂

∂xk

)γ(t)

]= (Lγ(s))∗X(γ(t))

= X(γ(s)γ(t)) = X(γ(t)) .

Pertanto γ soddisfa l’equazione delle curve integrali di X. Per il risultato di unicita, γ edefinita in s+ t, e vale γ(s+ t) = γ(t) = γ(s)γ(t).

Per ogni X ∈ g sia γX la curva integrale diX per e. L’applicazione esponenziale exp: g→ G

e definita dalla condizioneexpX = γX(1) .

Lemma 3.7. Per ogni campo vettoriale invariante a sinistra X vale γtX(s) = γX(ts).

Dimostrazione. In coordinate locali valed

dsxi ◦ γtX(s) = tXi(γtX(s))

d

dsxi ◦ γX(ts) = tXi(γX(ts))

per cui le curve γtX(s) e γ(s) = γX(ts) verificano la stessa equazione differenziale. Essendoinoltre γtX(0) = γ(0), per il teorema di unicita esse coincidono.

Cosı exp(tX) = γtX(1) = γX(t), e {exp tX}t∈R si puo identificare con il gruppo ad unparametro di diffeomorfismi generato da X. Piu precisamente,

Proposizione 3.8. Il gruppo ad un parametro di diffeomorfismi di G generato da X e datoda ψt(g) = g exp(tX) = Rexp(tX)(g).

Siano G, H gruppi di Lie e g, h le corrispondenti algebre di Lie, e sia φ : G → H unomomorfismo di gruppi di Lie. Ricordando che un campo vettoriale invariante a sinistra edeterminato dal sua valore nell’identita, ed essendo φ(eG) = eH , definiamo un’applicazionelineare φ∗ : g → h ponendo Y (eH) = φ∗(X(eG)). Da cio segue che X e Y sono φ-correlati.5

Pertanto vale[φ∗(X1), φ∗(X2)] = φ∗([X1, X2]),

e φ∗ : g→ h e un omomorfismo di algebre di Lie. In particolare, se G e H sono isomorfi, anchele loro algebre lo sono. Il risultato inverso non e vero: per esempio, Rn e Tn hanno la stessaalgebra di Lie (Rn con la parentesi di Lie banale), ma non sono evidentemente isomorfi.6

5Si ha infatti per definizione

φ∗X(g) = (Lφ(g))∗Y (eH) = Y (φ(g)) .

6In realta si dimostra che due gruppi di Lie connessi e semplicemente connessi le cui algebre di Lie sono

isomorfe sono essi stessi isomorfi (Warner, op. cit.).

I.8

Proposizione 3.9. Sia φ : G→ H un omomorfismo di gruppi di Lie. Il seguente diagrammae commutativo

Gφ−−−−→ H

exp

x xexp

gφ∗−−−−→ h

Dimostrazione. Sia X ∈ g, e siano {ψt}, {χt} i flussi di X e φ∗X. Dal Lemma 3.1 sappiamoche χt ◦ φ = φ ◦ ψt. Inoltre per la Proposizione 3.8 per ogni h ∈ H abbiamo

φ ◦ ψt(h) = φ(h exp tX) = φ(h)φ(exp tX)

χt ◦ φ(h) = φ(h) exp(tφ∗(X))

da cui la tesi.

Proposizione 3.10. Sia G un gruppo di Lie. Esiste un intorno aperto U di 0 in g tale cheexp stabilisce un diffeomorfismo di U con un intorno aperto di e ∈ G.

Dimostrazione. Essendo exp(0) = e, ed identificando7 lo spazio tangente T0g con g, in baseal teorema della funzione inversa8 e sufficiente mostrare che il differenziale (exp∗)0 : g→ TeG

e un isomorfismo. Dalla definizione di differenziale si ha

(exp∗)0(X) =[d

dtexp(tX)

]t=0

=[d

dtγX(t)

]t=0

= X(e) ;

pertanto, identificando g con TeG, l’applicazione (exp∗)0 e l’identita.

Corollario 3.11. Se G e un sottogruppo di un gruppo di Lie H, il differenziale dell’appli-cazione di inclusione ι : G → H induce un omomorfismo iniettivo di algebre di Lie ι∗ : g →h.

Dimostrazione. Sia U l’intorno aperto di 0 ∈ g di cui alla Proposizione 3.10. Per ogni X ∈ g

esiste un numero reale non nullo α tale che αX ∈ U . Se ι∗(X) = 0 allora ι∗(αX) = 0. LaProposizione 3.9 e il fatto che ι sia iniettivo implicano la tesi.

Esercizio 3.12. Siano X, Y campi vettoriali su una varieta differenziabile V , e siano {ψt},{χs} i corrispondenti flussi. Dimostrare che [X,Y ] = 0 se e solo se χs ◦ ψt = ψt ◦ χs.

Esempio 3.13. Sia G un gruppo di Lie abeliano, ovvero, gh = hg per ogni g, h ∈ G. Alloral’algebra di Lie g e abeliana, [X,Y ] = 0 per ogni X,Y ∈ g. Infatti, essendo g exp(tX) exp(sY )= g exp(sY ) exp(tX), detti {ψt} e {χs} i flussi diX ed Y rispettivamente, si ha ψt◦χs = χs◦ψt.Ma allora [X,Y ] = 0.

7Per ogni spazio vettoriale E vi e una identificazione canonica E ∼→ T0E data da u 7→ [tu].8cfr. Boothby, op. cit.

I.9

4. Il gruppo generale lineare

Abbiamo gia visto che Gl(n,R) e un gruppo di Lie. Identifichiamo adesso la sua algebra diLie. Ricordiamo che se A ∈ gl(n,R), allora

det(I + tA) = 1 + t trA+O(t2) .

Se B ∈ Gl(n,R), A ∈ gl(n,R) e t e un numero reale sufficientemente piccolo, allora B + tA ∈Gl(n,R); infatti

(3) det(B + t A) = detB det(I + tB−1A) = detB[1 + t tr(B−1A) +O(t2)

];

essendo detB 6= 0, se t e sufficientemente piccolo, allora det(B + tA) 6= 0. Pertanto lo spaziotangente TB Gl(n,R) si identifica con lo spazio vettoriale gl(n,R).

Fissiamo in particolare B = I. Se {xij} e il sistema di coordinate “tautologico” preceden-temente introdotto, l’identificazione gl(n,R) ∼→ TI Gl(n,R) e data da

A 7→ Aij

(∂

∂xij

)I

.

Se A ∈ gl(n,R), sia XA il campo vettoriale invariante a sinistra ad esso associato. EssendoLB(B′) = BB′ si ha (cf. Esercizio 1.5)

XA(B) = (LB)∗

[Aij

(∂

∂xij

)I

]= (BA)ij

(∂

∂xij

)B

.

Prendendo il commutatore di due campi vettoriali invarianti a sinistra in un punto B ∈

Gl(n,R) si ottiene (ricordando che(

∂∂xi j

)B

Bkh = δki δ

jh)

[XA, XA′ ]B =

[(BA)ij

∂(BA′)kh∂xij

− (BA′)ij∂(BA)kh∂xij

](∂

∂xkh

)B

=[Bk

mAmjA′jh −B

kmA

jhA′mj

]( ∂

∂xkh

)B

= Bkm[AmjA

′jh −A

′mjA

jh](

∂

∂xkh

)B

= X[A,A′](B) .

Da cio si deduce che anche come algebra di Lie l’algebra di Lie di Gl(n,R) e isomorfa agl(n,R). Nello stesso modo l’algebra di Lie di Gl(n,C) si puo identificare con gl(n,C).

L’applicazione esponenziale di Gl(n,R). Nelle solite coordinate l’equazione differenzialesoddisfatta dalle curve integrali γXA di un campo vettoriale invariante a sinistra XA (doveA ∈ gl(n,R)) si scrive

d

dtB(t) = B(t)A .

I.10

Questa ha soluzione B(t) = eAt, essendo l’esponenziale di matrici definito da9

(4) eA =∞∑k=0

Ak

k!.

(Si noti che correttamente B(0) = I.) Per unicita del flusso locale, l’applicazione A 7→ eA

non e altro che la rappresentazione in coordinate dell’applicazione exp: gl(n,R)→ Gl(n,R).

Una manipolazione formale della (4) permette di dimostrare il seguente risultato.

Proposizione 4.1. Se A,B ∈ gl(n,R) commutano, vale eA eB = eA+B.

Proposizione 4.2. Se A ∈ gl(n,R), vale det eA = etrA.

Dimostrazione. E sufficiente mostrare il risultato nel caso dell’applicazione esponenziale exp:gl(n,C)→ Gl(n,C), che nelle ovvie coordinate ammette anch’essa la rappresentazione (4). Inquesto caso possiamo usare il fatto che l’insieme ∆n ⊂ gl(n,C) delle matrici diagonalizzabilie denso in gl(n,C). Basta allora dimostrare la formula per A ∈ ∆n. D’altra parte se Q ∈Gl(n,C) si ha QeAQ−1 = eQAQ

−1, e possiamo assumere che A sia diagonale. In questo caso

la formula e evidente.10

La precedente Proposizione mostra che exp: gl(n,R)→ Gl(n,R) prende valori in Gl+(n,R),il sottogruppo di Gl(n,R) formato dalle matrici aventi determinante positivo (vedremo in-fatti piu avanti che GL+(n,R) e la componente connessa di Gl(n,R) che contiene l’identita.Essendo exp continua, ed exp(0) = I, e ovvio che exp prenda valori in GL+(n,R)).

Sia S(n) lo spazio vettoriale delle matrici n× n reali simmetriche, e S+(n) il sottoinsiemedelle matrici simmetriche definite positive. S+(n) e aperto in S(n), e pertanto ha una strut-tura di varieta differenziabile. La matrice identita In sta in S+(n), e si ha un’identificazioneTInS

+(n) ' S(n).

Proposizione 4.3. La restrizione di exp: gl(n,R) → Gl(n,R) a S(n) stabilisce un diffeo-morfismo exp: S(n)→ S+(n).

Dimostrazione. Nuovamente con un argomento di diagonalizzazione ci si puo ridurre a dimo-strare i seguenti fatti: (i) Se exp(A) = exp(B) e una matrice diagonale, allora A = B; (ii)se B e una matrice diagonale definita positiva, allora esiste una matrice diagonale A tale cheB = exp(A). Entrame le affermazioni si provano applicando la funzione log.

Una parentesi: summersioni e sottovarieta regolarmente immerse. Data una sottovarietaV di una varieta differenziabile W , l’insieme V ha a priori due distinte topologie: una comevarieta differenziabile, ed una come sottoinsieme di W (la cosiddetta topologia relativa, icui aperti sono le intersezioni di V con gli aperti di W ). In generale le due topologie sono

9Nell’algebra gl(n,R) possiamo mettere la norma ‖A‖ =Pi,j=1,...,n |A

ij |. Si vede allora che la serie nel

membro di destra della seguente formula e assolutamente convergente, e definisce un’applicazione C∞ da

gl(n,R) in gl(n,R).10Si puo dimostrare lo stesso risultato mediante la Proposizione 3.9, prendendo G = Gl(n,R), H = R∗,

φ = det (e quindi φ∗ = tr).

I.11

diverse. Si consideri per esempio la realizzazione di R+ (numeri reali strettamente positivi)come sottovarieta di R2 data dalla curva ottenuta raccordando le prescrizioni{

x(t) = t, y(t) = sin 1t se t ∈ (0, 1]

x(t) = 0, y(t) = 3− t se t ∈ [2,+∞)

con una qualunque prescrizione per t ∈ [1, 2] che produca una immersione C∞. Un intervallodella curva dato da t1 < 3 < t2 e aperto nell’usuale topologia di R+ mentre non e aperto nellatopologia relativa di R+ come sottoinsieme di R2, in quanto ogni suo intorno in R2 contieneanche un altro tratto di curva.

Definizione 4.4. Una sottovarieta regolarmente immersa e una sottovarieta tale che la suatopologia come varieta differenziabile e la topologia relativa coincidono.

Per esempio una sfera in Rn e una sottovarieta regolarmente immersa.

Un utile criterio per decidere se una sottovarieta e regolarmente immersa e dato dallanozione di summersione.

Definizione 4.5. Sia f : V → W un’applicazione differenziabile fra varieta differenziabili.Diciamo che f e una summersione se f e surgettiva e il differenziale f∗ : TxV → Tf(x)W esurgettivo per ogni x ∈ V .

In tale situazione, dato y ∈W , definiamo Sy = f−1(y). Vale il seguente risultato, che nonproviamo (per una dimostrazione si veda Warner, op. cit. o Boothby, op. cit.).

Proposizione 4.6. Sy e una sottovarieta regolarmente immersa di V . Inoltre, TxSy =ker(f∗)x per ogni x ∈ Sy.

(Si noti che f manda tutta la varieta Sy nel punto y, per cui ogni curva in Sy viene mandatain una curva costante in W , il che implica l’isomorfismo TxSy = ker(f∗)x).

Il gruppo speciale lineare. Ricordiamo che il gruppo speciale lineare di ordine n, denotatoSl(n,R), e il sottogruppo di Gl(n,R) formato da matrici avente determinante pari a uno.

Lemma 4.7. L’applicazione

F : Gl(n,R)→ R∗

A 7→ detA

e una summersione. Inoltre, (FB)∗(A) = (detB) tr(B−1A).

Dimostrazione. F e evidentemente C∞ e surgettiva. Calcoliamo il suo differenziale: usandol’equazione (3) si ha

(F∗)B(A) =[d

dtdet (B + t A)

]t=0

= detB[d

dtdet (I + tB−1A)

]t=0

= detB tr(B−1A) .

(F∗)B e surgettivo per ogni B, come segue dall’identita (F∗)B(

αn detB B

)= α valida per ogni

α ∈ R. Quindi F e una summersione.

I.12

Di conseguenza, Sl(n,R) = F−1(1) e una sottovarieta regolarmente immersa di Gl(n,R),ed e un gruppo di Lie di dimensione n2 − 1. Il suo spazio tangente nell’identita (e quindi lasua algebra di Lie sl(n,R)) si identifica con lo spazio delle matrici reali n× n a traccia nulla,

ker(F∗)I = {A ∈ gl(n,R) | trA = 0}.

Si noti che, coerentemente con la Proposizione 4.2, si ha exp tA ∈ Sl(n,R) per ogni t ∈ R see solo se trA = 0.

I gruppi ortogonali. Il gruppo ortogonale di ordine n, denotato O(n,R), e il sottogruppo diGl(n,R) le cui matrici R verificano la condizione RR = I, essendo R la matrice trasposta diR. Ricordiamo che S+(n) denota l’insieme delle matrici n× n simmetriche definite positive.

Lemma 4.8. L’applicazione

F : Gl(n,R)→ S+(n)

A 7→ AA

e una summersione.

Dimostrazione. Dimostriamo che F e surgettiva. Sia B ∈ S+(n). Essendo B simmetrica esisteuna matrice ortogonale Q tale che QBQ sia diagonale, QBQ = diag(λ1, . . . , λn). EssendoB definita positiva i λi sono positivi. Posto C = diag(

√λ1, . . . ,

√λn) e

√B = QCQ, si ha

F (√B) = B. Calcoliamo l’applicazione (FB)∗ : gl(n,R)→ S(n):

(FB)∗(A) =[d

dt(B + t A)(B + t A)

]t=0

= BA+AB .

(FB)∗ e surgettivo: se C ∈ S(n) allora (FB)∗(12CB

−1) = C.

Quindi O(n,R) = F−1(I) e una sottovarieta regolarmente immersa di Gl(n,R) di dimen-sione dim O(n,R) = dim Gl(n,R)−dimS(n) = n2− 1

2n(n+1) = 12n(n−1), ed e un gruppo di

Lie. Poiche (FI)∗(B) = 0 se e solo se B+ B = 0, l’algebra di Lie di O(n,R) e l’algebra o(n,R)delle matrici n× n reali antisimmetriche. Essendo det O(n,R) = {±1}, O(n,R) e sconnesso.

Proposizione 4.9. O(n,R) e compatto.

Dimostrazione. Poiche ogni matrice ortogonale e invertibile, O(n,R) e anche l’immagineinversa di I rispetto all’applicazione

gl(n,R)→ S+(n), A 7→ AA;

pertanto O(n,R) e chiuso in gl(n,R) ' Rn2. La condizione RR = I implica∑

i,j=1,...,n

(Rij)2 = n .

Cosı O(n,R) e un sottoinsieme chiuso e limitato di Rn2, ed e compatto nella sua topolo-

gia relativa come sottoinsieme di gl(n,R). Essendo Gl(n,R) aperto in gl(n,R), O(n,R) euna sottovarieta regolarmente immersa di gl(n,R), ed e quindi compatto nella sua topologiaoriginaria.

I.13

Definiamo il gruppo speciale ortogonale di ordine n come

SO(n,R) = {R ∈ O(n,R) | detR = 1}.

Sia det : O(n,R)→ {±1} la restrizione dell’applicazione determinante a O(n,R). Gli insiemiSO(n,R) = det−1(1) e O(n,R)\SO(n,R) = det−1(−1) sono entrambi chiusi, quindi SO(n,R) eaperto e chiuso in O(n,R), ed e allora formato dall’unione di componenti connesse di O(n,R);in particolare, essendo un aperto, e un gruppo di Lie; essendo chiuso, e compatto. Sia P

la matrice P = diag(−1, 1, . . . , 1). La moltiplicazione per P definisce un omeomorfismoSO(n,R)→ O(n,R) \ SO(n,R).

Proposizione 4.10. SO(n,R) e connesso.

Dimostrazione. Una possibile dimostrazione consiste nel considerare l’immersione ι : SO(n,R)→ SO(n+ 1,R) data da

R 7→(

1 00 R

).

Questa permette di definire il quoziente SO(n+ 1,R)/SO(n,R) come l’insieme delle classi diequivalenza della relazione in SO(n+ 1,R)

S1 ∼ S2 se S1 = S2 ι(R) per un R ∈ SO(n,R) .

Nel prossimo Lemma viene mostrato che il quoziente, con la topologia quoziente, e omeomorfoalla sfera Sn,

(5) SO(n+ 1,R)/SO(n,R) ' Sn .

Cio permette di dimostrare la tesi per induzione: SO(1,R) = {1} e connesso, e dalla (5),essendo Sn connesso, segue che se SO(n,R) e connesso, anche SO(n+ 1,R) lo e.

In generale, dato un gruppo di Lie G ed un suo sottogruppo H, possiamo considerare inG la relazione di equivalenza g1 ∼ g2 se g1 = g2h con h ∈ H; denotiamo G/H il quoziente.Ogni elemento di G/H rappresenta un sottoinsieme di G, la sua classe di equivalenza. Talesottoinsieme e detto un laterale (sinistro). Il laterale sinistro che contiene g ∈ G e usualmentedenotato gH.

Lemma 4.11. SO(n+ 1,R)/ SO(n,R) ' Sn.

Dimostrazione. Scriviamo un elemento di SO(n+ 1,R) come

M =(a x

y R

)dove a e un numero reale, x, y sono vettori colonna con n elementi, e R e una matrice n× n.La condizione M M = I si scrive11

(6) a2 + yy = 1, ax+ Ry = 0, RR+ xx = I .

11Si noti che il prodotto di un vettore riga per un vettore colonna e un numero reale, mentre il prodotto di

un vettore colonna per un vettore riga e una matrice quadrata.

I.14

Inoltre M ι(S) si scrive

M ι(S) =(a x

y R

) (1 00 S

)=(a xS

y RS

).

Due elementi M1, M2 ∈ SO(n+ 1,R) sono in relazione se

(7) a1 = a2, y1 = y2, x1S = x2, R1S = R2 .

Il quoziente SO(n+ 1,R)/SO(n,R) e parametrizzato dalle quantita a, y, soggette al vincoloespresso dalla prima delle relazioni (6): infatti, due elementi M1, M2 ∈ SO(n + 1,R) taliche a1 6= a2 o y1 6= y2 corrispondono a diversi elementi del quoziente, mentre se a1 = a2

e y1 = y2 allora M1 ∼ M2 con S = R−11 R2 (si noti che la terza delle (7) segue dalle (6)).

Insiemisticamente il quoziente e isomorfo alla sfera Sn.

Fissiamo in Sn la sua topologia usuale. Essendo SO(n+1,R) una sottovarieta regolarmenteimmersa di gl(n + 1,R), la sua topologia ammette una base formata dalle intersezioni diSO(n+ 1,R) con gli aperti del tipo aij < Mij < bij , essendo Mij gli elementi di matrice di unelemento M ∈ SO(n+ 1,R), e aij , bij numeri reali. Tali aperti vengono proiettati su aperti diSn, e di conseguenza la proiezione SO(n+ 1,R)→ Sn e aperta. Per noti risultati di topologiagenerale12 cio implica che la topologia di Sn coincida con la topologia quoziente.

Corollario 4.12. O(n,R) e formato da due componenti connesse.

L’algebra di Lie di SO(n,R) e una sottoalgebra di o(n,R), ma ha la stessa dimensione,quindi coincide con o(n,R). Abbiamo un altro esempio di due gruppi di Lie non isomorfiaventi algebre di Lie isomorfe. Piu generalmente, quando G e un gruppo di Lie non connesso,con algebra di Lie g, la componente connessa G0 di G che contiene l’identita e un gruppodi Lie, la cui algebra di Lie e isomorfa a g. Ovviamente l’applicazione esponenziale prendevalori in G0.

Esercizio 4.13. Sia J la matrice reale 2n× 2n avente la struttura a blocchi n× n

J =(

0 I

−I 0

).

Dimostrare cheSp(2n,R) = {B ∈ gl(2n,R) | BJB = J}

e un sottogruppo di Lie di Gl(2n,R) di dimensione 2n2 + n. Esso e detto gruppo simpletticodi ordine n. La sua algebra di Lie e

sp(2n,R) = {A ∈ gl(2n,R) | AJ + JA = 0} .

(Cenno: in questo caso si puo usare la mappa F : Gl(2n,R) → o(2n,R), B 7→ BJB. Inparticolare il differenziale (FB)∗(A) = AJB + BJA e surgettivo, essendo F∗(−1

2JB−1C) =

C.)

Ulteriori proprieta di connessione. Il gruppo Gl(n,R) ed il suo sottogruppo GL+(n,R)hanno le stesse proprieta di connessione di O(n,R) ed SO(n,R), ovvero, GL+(n,R) e connesso,mentre Gl(n,R) ha due componenti connesse. Queste proprieta si dimostrano mediante lacosiddetta decomposizione polare (o di Cauchy) delle matrici invertibili.

12Cfr. J. Kelley, General Topology, p. 95.

I.15

Proposizione 4.14. Ogni matrice B ∈ Gl(n,R) si scrive in maniera unica nella formaB = SR, dove R ∈ O(n,R), e S ∈ S+(n).

Dimostrazione. La matrice BB e simmetrica definita positiva; esiste allora Q ∈ O(n,R) taleche

QBBQ = diag(λ1, . . . , λn)

con tutti i λi positivi. Sia

Λ = diag(√λ1, . . . ,

√λn) .

La matrice S = QΛQ e simmetrica definita positiva. Posto R = S−1B si ha

RR = BS−2B = BQQB−1B−1QQB = I .

Cio mostra l’esistenza della decomposizione. Per dimostrare l’unicita, si supponga che siaanche B = S′R′. Cio implica S2 = S′2, ed essendo S, S′ simmetriche definite positive, si haS = S′, da cui anche R = R′.

Abbiamo pertanto l’isomorfismo Gl(n,R)/O(n,R) ' S+(n). SeB = SR conB ∈ GL+(n,R)allora detR = 1, per cui si ha un isomorfismo GL+(n,R)/ SO(n,R) ' S+(n). Quest’ul-timo mostra che GL+(n,R) e connesso. Nuovamente, la moltiplicazione per la matriceP = diag(−1, 1, . . . , 1) stabilisce un omeomorfismo fra GL+(n,R) e Gl(n,R) \ GL+(n,R),e quindi Gl(n,R) ha due componenti connesse.

Gruppi di matrici a coefficienti complessi. In aggiunta a Gl(n,C), il gruppo delle matricicomplesse n× n invertibili, possiamo considerare svariati altri gruppi di matrici complesse:

Sl(n,C), gruppo delle matrici complesse n×n di determinante uno, di dimensione 2(n2−1),con algebra sl(n,C) (matrici complesse n× n a traccia nulla);

O(n,C), gruppo delle matrici complesse n× n ortogonali; ha dimensione n(n− 1), e com-patto, e la sua algebra di Lie o(n,C) e formata dalle matrici n × n a coefficienti complessiantisimmetriche.

U(n) = {U ∈ gl(n,C) |UU † = I}, essendo † l’operazione di aggiunzione; ha dimensione n2,e compatto, e ha algebra di Lie u(n) (matrici n× n complesse A anti-hermitiane, ovvero taliche A+A† = 0);

SU(n) = {U ∈ U(n) | detU = 1}; ha dimensione n2 − 1, e compatto, e ha algebra di Liesu(n) (matrici n× n complesse anti-hermitiane a traccia nulla).

Esercizio 4.15. Mostrare che SO(2,R) ' U(1) ' S1.

Esempio 4.16. Vogliamo studiare in qualche dettaglio il gruppo SU(2). Poiche le matrici Uin SU(2) sono tutte e sole le matrici complesse 2× 2 tali che U−1 = U † e detU = 1, si ha larappresentazione

(8) SU(2) ≡ {(a b

−b a

)| a, b ∈ C, |a|2 + |b|2 = 1}.

Pertanto SU(2) e diffeomorfo alla sfera S3, ed e connesso, semplicemente connesso e compatto.Analogamente, essendo l’algebra di Lie su(2) formata dalla matrici anti-hermitiane a traccia

I.16

nulla, si ha la rappresentazione

(9) su(2) ≡ {(

ix1 x2 + ix3

−x2 + ix3 −ix1

)|x1, x2, x3 ∈ R}.

Quindi su(2) ha una base formata dalle tre matrici

σ1 =(

0 i

i 0

)σ2 =

(0 1−1 0

)σ3 =

(i 00 −i

).

Queste sono dette matrici di Pauli e svolgono un ruolo fondamentale nel formalismo dellameccanica quantistica.13

Il gruppo SU(2) agisce sullo spazio dei polinomi omogenei di grado due in due variabili acoefficienti complessi,

P2 = {c0u2 + c1uv + c2v2, c0, c1, c2 ∈ C} .

L’azione e data da(u

v

)→ A

(u

v

). Un semplice calcolo mostra che quest’azione lascia

invariante il discriminante dei polinomi, c21 − 4c0c2. Se introduciamo nuove variabili

x = −c0 + c2, y = −i(c0 + c2), z = c1,

c0 = −12(x− iy), c1 = z, c2 = 1

2(x+ iy),

il discriminante si scrive x2+y2+z2. Quindi quest’azione di SU(2) preserva la forma quadraticax2 + y2 + z2; scrivendo esplicitamente la matrice che rappresenta l’azione di SU(2) sulla ternax, y, z, si vede che tutti gli elementi di matrice sono reali, ovvero, abbiamo costruito un’ap-plicazione φ : SU(2) → O(3,R). L’applicazione φ e continua (essendo data da polinomiquadratici negli elementi di matrice di A), ed essendo SU(2) connesso, φ deve avere valorinella componente connessa con l’identita, ovvero nel gruppo SO(3,R).

L’applicazione φ : SU(2)→ SO(3,R) e per costruzione un omomorfismo di gruppi. Mostria-mo che questo e surgettivo. Consideriamo le matrici di SU(2), dipendenti da un parametro,

B(β) =

cos β2 − sin β2

sin β2 cos β2

, C(γ) =(e−iγ/2 0

0 eiγ/2

).

Le corrispondenti rotazioni di R3 sono

(10) φ(B(β)) =

x′ = x cosβ + z sinβ

y′ = y

z′ = −x sinβ + z cosβ

(11) φ(C(γ)) =

x′ = x cos γ − y sin γ

y′ = x sin γ + y cos γ

z′ = z

13In realta, secondo le convenzioni abituali, si dicono matrici di Pauli le matrici iσk.

I.17

Queste sono rotazioni rispetto all’asse y e all’asse z di angoli β e γ, rispettivamente. Poicheogni rotazione si puo ottenere come composizione di tre rotazioni di tale tipo (teorema diEulero),14 φ e surgettivo.

Caratterizziamo il nucleo di φ (ovvero il sottogruppo normale φ−1(I) di SU(2)). Gli ele-menti A ∈ SU(2) che vi appartengono lasciano invariati i prodotti u2, uv e v2. Usando larappresentazione (8) si ottiene A = ±I, ovvero, kerφ ' Z2. Quindi due elementi di SU(2)che vengono mandati nella stessa matrice di SO(3,R) differiscono per il segno.15

Determiniamo l’applicazione indotta φ∗ : su(2)→ o(3,R) (che sappiamo essere a priori unomomorfismo di algebre di Lie). Ponendo β = γ = t nelle (10) e (11) e calcolando la derivatain t = 0 si ottiene che φ∗(su(2)) contiene le matrici

(13)

0 0 10 0 0−1 0 0

,

0 −1 01 0 00 0 0

.

Anche il commutatore

(14)

0 0 00 0 10 −1 0

di queste due matrici sta in φ∗(su(2)). Poiche ogni matrice antisimmetrica 3 × 3 si scrivecome combinazione lineare delle matrici in (13) e (14), φ∗ e surgettivo, ed e pertanto unisomorfismo. Quindi su(2) ' o(3,R); i gruppi SU(2), SO(3,R) e O(3,R) non sono isomorfi,ma hanno algebre di Lie isomorfe.

5. Azione di un gruppo di Lie su una varieta

Sia G un gruppo di Lie e V una varieta differenziabile. Un’azione (sinistra) di G su V eun’applicazione differenziabile ρ : G× V → V tale che

(i) ρ(e, x) = x per ogni x ∈ V ;

(ii) ρ(g, ρ(h, x)) = ρ(gh, x) per ogni g, h ∈ G e x ∈ V .

Posto ρ(g, x) = ρg(x), le due precedenti condizioni si scrivono ρe = idV , ρg ◦ ρh = ρgh.Per ogni g ∈ G, ρg e un diffeomorfismo di M , avente inverso ρg−1 ; la corrispondenza g 7→

14Questo risultato si usa in Meccanica Razionale per descrivere ogni rotazione in termini dei tre angoli di

Eulero.15In termini formali, abbiamo verificato che la sequenza

(12) 1→ Z2 → SU(2)φ→ SO(3,R)→ 1

e esatta. Notiamo inoltre che A = −B se i punti corrispondenti di S3 sono antipodali; essendo SO(3,R) 'SU(2)/{I,−I}, il gruppo SO(3,R) e diffeomorfo allo spazio proiettivo P3(R). Essendo SU(2) semplicemente

connesso, la (12) mostra anche che il gruppo fondamentale π1(SO(3,R)) di SO(3,R) e Z2, cosicche SO(3,R)

non e semplicemente connesso. Si noti che essendo

H1DR(SO(3,R)) ' π1(SO(3,R))⊗Z R ' Z2 ⊗Z R = 0

il gruppo SO(3,R) fornisce un esempio di varieta differenziabile non semplicemente connessa il cui primo

gruppo di coomologia di de Rham e nullo.

I.18

ρg stabilisce un omomorfismo di gruppi G → Diff(V ), essendo quest’ultimo il gruppo deidiffeomorfismi di V .

Analogamente si definisce la nozione di azione destra, chiedendo che ρg ◦ ρh = ρhg.

Esempi.

(i) Le traslazioni a sinistra (destra) definiscono un’azione sinistra (destra) di G su se stesso.

(ii) Se X e un campo vettoriale completo su V , il suo flusso definisce un’azione di R su V ,che e sia destra che sinistra perche R e abeliano. In particolare, dato un gruppo di Lie G, efissato X ∈ g, la corrispondenza t 7→ exp(tX) e un’azione di R su G.

(iii) Gl(n,R) ed ogni suo sottogruppo agiscono nel modo ovvio su Rn. Se si rappresentanoi vettori di Rn come vettori colonna (riga), si ha un’azione sinistra (destra).

Definizione 5.1. Un’azione ρ di G su V si dice

(i) transitiva se per ogni x, y ∈ V esiste g ∈ G tale che x = ρg(y);

(ii) effettiva se ρg = idV implica g = e (ovvero, g 7→ ρg e iniettiva);

(iii) libera se per ogni g 6= e, ρg non ha punti fissi (ovvero ρg(x) 6= x per ogni x ∈ V , oequivalentemente, g 7→ ρg(x) e iniettiva per ogni x ∈ V ).

Si noti che ogni azione libera e effettiva.

Esempi.

(i) Le traslazioni sinistre (o destre) su un gruppo di Lie sono azioni transitive e libere.

(ii) L’azione di R su S1 data da (t, eiθ) 7→ ei(t+θ) e transitiva ma non effettiva.

(iii) L’azione naturale di Gl(n,R) su Rn e effettiva, ma non libera ne transitiva.

(iv) L’azione naturale di Gl(n,R) su Rn − {0} e effettiva e transitiva ma non libera (peresempio, una rotazione lascia fissi tutti i punti dell’asse di rotazione).

(v) L’azione naturale di O(n,R) su Rn − {0} e effettiva e libera ma non transitiva (datoche preserva la norma dei vettori).

Definizione 5.2. Sia ρ un’azione sinistra di G su uno spazio vettoriale E. Se per ogni g ∈ Gρg : E → E e un’applicazione lineare, si dice che ρ e una rappresentazione di G su E. Quindi,una rappresentazione di G su E e un omomorfismo G→ Aut(E), essendo Aut(E) il gruppodegli automorfismi di E (applicazioni lineari E → E invertibili).

Esempi.

(i) G = Gl(n,R) (o un suo sottogruppo), E = R, ρM = detM .

(ii) Ogni omomorfismo di gruppi di Lie G→ Gl(n,R) e una rappresentazione di G su Rn.(L’esempio precedente e un caso particolare, con Gl(1,R) ' R∗).

(iii) In particolare, l’omomorfismo φ dell’Esempio 4.16 definisce una rappresentazione diSU(2) su R3.

Se ρ e un’azione di G su V , e fissiamo un punto x ∈ V , l’insieme Ox = {ρg(x), g ∈ G} edetto orbita di G per x. Si puo dimostrare che ogni orbita Ox e una sottovarieta di V .

I.19

Esercizio 5.3. In generale, Ox non e una sottovarieta regolarmente immersa di V : si discutaper esempio il caso G = R, V = T 2, e l’azione e data da un “flusso irrazionale” su T 2

(cfr. Esempio 3.3).

Lo spazio delle orbite e l’insieme quoziente di V rispetto alla relazione di equivalenza

x ∼ y se esiste g ∈ G tale che x = ρg(y) .

Se l’azione ρ e stata fissata, lo spazio delle orbite viene denotato V/G, e denominato quozientedi V per l’azione di G. In generale V/G non e una varieta (si consideri per esempio l’azionenaturale di SO(2,R) su R2). In certi casi d’altra parte cio avviene, come vediamo nellaseguente Proposizione, che riportiamo senza dimostrazione.

Definizione 5.4. Un’azione ρ di G su V si dice propria se, definita l’applicazione

ρ : G× V → V × V, (g, x) 7→ (ρg(x), x),

questa e propria in senso topologico, ovvero, ρ−1(K) e compatto per ogni compatto K ⊂V × V .

Si verifica facilmente che ogni azione di un gruppo compatto e propria.

Proposizione 5.5. Se il gruppo G agisce su V in maniera propria e libera, il quoziente V/Gammette una struttura di varieta differenziabile, in modo che

1. V/G e dotato della topologia quoziente;

2. la proiezione V → V/G e differenziabile.

Otteniamo in questo modo un gran numero di esempi di quozienti V/G che sono varietadifferenziabili: e sufficiente prendere per V un gruppo di Lie H, e G come un suo sottogruppocompatto.

Il gruppo di isotropia Gx di un punto x ∈ V e definito come Gx = {g ∈ G |ρg(x) = x}.L’insieme Gx e un sottogruppo di Lie di G ed e chiuso in G: infatti Gx = ψ−1

x (x), essendoψx : G → V l’applicazione ψx(g) = ρg(x). Il gruppo Gx e una sottovarieta regolarmenteimmersa di G. Non proveremo quest’ultima affermazione (in realta si puo provare che unsottogruppo H di un gruppo di Lie G e chiuso in G se e solo se e regolarmente immerso;cf. Warner, op. cit.).

Esercizio 5.6. Stabilire un isomorfismo di insiemi fra Ox e il quoziente G/Gx (quest’ultimoquoziente e fatto rispetto all’azione naturale di Gx su G come suo sottogruppo).

Generatori di un’azione. Sia G un gruppo di Lie che agisce su una varieta V . FissatoX ∈ g, per ogni x ∈ V consideriamo la curva

γX(t) = ρexp tX(x) = ρ(exp tX, x) .

Al variare di x in V il vettore tangente alla corrispondente famiglia di curve,

X∗(x) =[d

dtρ(exp tX, x)

]t=0

,

I.20

dipende differenziabilmente da x, e definisce un campo vettoriale su V , usualmente de-nominato campo fondamentale di X. Il vettore X∗(x) e tangente all’orbita Ox di G perx.

Esempi.

(i) Consideriamo l’azione sinistra di un gruppo su se stesso. Vale allora

(Rg)∗(X∗(h)) = (Rg)∗

[d

dtLexp tX(h)

]t=0

=[d

dtLexp tX(hg)

]t=0

= X∗(hg) ,

ovvero, i campi fondamentali dell’azione sinistra sono i campi vettoriali invarianti a destra (eviceversa).

(ii) I campi fondamentali dell’azione di Gl(n,R) su Rn sono

A∗(x) = Aik xk ∂

∂xi.

(iii) Se X e un campo vettoriale completo su V , i campi fondamentali associati all’azionedel flusso di X su V sono tutti multipli di X.

(iv) Sia ρ l’azione di R su Rn data da ρt(x) = et x. Dato T ∈ R (visto come algebra di Lie)si ha

T ∗(x) = Txi∂

∂xi.

Fissata una base {Xi} di g, i corrispondenti campi vettoriali fondamentali X∗i su V sonodetti generatori dell’azione.

Esercizio 5.7. Calcolare i generatori delle azioni dei precedenti esempi.

Esercizio 5.8. Il gruppo U(n + 1) agisce (transitivamente) sullo spazio proiettivo complessoPn.16 Calcolare i campi fondamentali e i generatori di questa azione.

6. Rappresentazione aggiunta

Ad ogni gruppo di Lie G si puo associare una sua rappresentazione sulla sua algebra g, dettarappresentazione aggiunta. In certe situazioni il corrispondente omomorfismo G → Aut(g) einiettivo, e cio permette di rappresentare il gruppo G — che a priori e un gruppo astratto —mediante un gruppo di matrici (ovviamente, fissata una base di g, si ha Aut(g) ' Gl(n,R),essendo n = dimG). Mediante la rappresentazione aggiunta si possono inoltre provare varirisultati circa la relazione fra un gruppo di Lie e la sua algebra.

Per costruire questa rappresentazione useremo il seguente risultato. Sia x un punto fissodi un’azione ρ di un gruppo di Lie G su una varieta V . Per ogni g ∈ G il differenziale(ρg)∗ : TxV → TxV e un automorfismo di TxV (infatti ammette inverso (ρg−1)∗). Si ha cosıun’applicazione ψx : G→ Aut(TxV ), data da ψx(g)(X) = (ρg)∗(X) per ogni X ∈ TxV .

16Ricordiamo che lo spazio proiettivo complesso n-dimensionale Pn e lo spazio delle rette per l’origine di

Cn+1, ovvero, e il quoziente di Cn+1−{0} rispetto alla relazione di equivalenza secondo la quale z1 ∼ z2 se z1 =

λz2 per un numero complesso λ. Lo spazio Pn si puo anche descrivere come il quoziente U(n+1)/U(1)×U(n).

I.21

Proposizione 6.1. L’applicazione ψx e una rappresentazione.

Dimostrazione. ψx e evidentemente un omomorfismo di gruppi:

ψx(gh)(X) = (ρgh)∗(X) = (ρg)∗(ρh)∗(X) = ψx(g)ψx(h)(X) .

Rimane solo da mostrare che ψx e differenziabile. Cio equivale a mostrare che per ogniX ∈ TxV la quantita (ρg)∗(X) dipende differenziabilmente da g. Questo segue dalla relazione

(ρg)∗(X) =[d

dtρ(g, γ(t))

]t=0

essendo γ una curva per x ∈ V che e tangente a X.

Definita l’azione di G su se stesso

a : G×G→ G, a(g, h) = ghg−1,

l’identita e ∈ G e un punto fisso di questa azione. Identificando TeG con g si ha una rap-presentazione Ad: G→ Aut(g). Lo spazio Aut(g) e esso stesso un gruppo di Lie, isomorfo aGl(n,R) se n = dimG, e la sua algebra di Lie si puo identificare con End(g), lo spazio di tuttele applicazioni lineari g → g; quest’ultimo spazio e un’algebra di Lie con la parentesi datadal commutatore, [A,B] = AB −BA, ed e isomorfo come algebra di Lie a gl(n,R). Pertantodifferenziando la mappa Ad si ottiene un omomorfismo di algebre di Lie ad: g → End(g), esi ha un diagramma commutativo (cf. la Proposizione 3.9)

GAd−−−−→ Aut(g)

exp

x xexp

gad−−−−→ End(g)

(15)

Useremo una notazione abbreviata secondo la quale

Ad(g)(X) = AdgX, ad(X)(Y ) = adX Y .

Applicando la Proposizione 3.9 all’omomorfismo ag : G→ G, ag(h) = ghg−1 si ottiene ancheun diagramma

Gag−−−−→ G

exp

x xexp

gAdg−−−−→ g

(16)

Proposizione 6.2. Se G = Gl(n,R) si ha

AdB A = BAB−1, adAA′ = [A,A′] = AA′ −A′A.

Dimostrazione. Se A ∈ gl(n,R) allora A, come vettore tangente a Gl(n,R) in I, e rappresen-tato dalla curva I + tA. Si ha

AdB A =[d

dtB(I + tA)B−1

]t=0

= BAB−1 .

I.22

Quindi vale anche

adAA′ =[d

dt(I + tA)A′(I + tA)−1

]t=0

=[d

dt(I + tA)A′(I − tA)

]t=0

= AA′ −A′A

essendo (I + tA)−1 = I − tA+O(t2) per t abbastanza piccolo.

Il secondo di questi risultati vale per un qualunque gruppo di Lie G, nel senso che per ogniX,Y ∈ g vale adX Y = [X,Y ]. Dimostriamo questa formula. Si ha

adX Y (e) =[d

dtAdexp tX Y (e)

]t=0

=[d

dt(Rexp(−tX))∗(Lexp tX)∗(Y (e))

]t=0

=[d

dt(Rexp(−tX))∗(Y (exp tX))

]t=0

= (£XY )(e)

= [X,Y ](e) .

Essendo adX Y e [X,Y ] entrambi invarianti a sinistra, essi coincidono in ogni punto.17,18

Lemma 6.3. Sia G un gruppo di Lie connesso. Allora ogni intorno U di e genera G, nelsenso che

G =⋃n∈N

Un

dove Un e il sottoinsieme di G formato dai prodotti di n elementi di U .

(Cio significa che ogni g ∈ G si scrive nella forma g = u1 · · · · · uN , con gli ui in U .)

Dimostrazione. Sia V = U ∩ U−1 ⊂ U , dove U−1 e il sottoinsieme di G formato dagli inversidegli elementi di U . Allora V = V −1. Si ponga

H =⋃n∈N

V n ⊂⋃n∈N

Un.

H e aperto in G. Il laterale che contiene e ∈ G coincide con H. Ogni laterale e diffeomorfoad H ed e quindi aperto in G. Inoltre H e il complemento in G di tutti i laterali distinti daH (i laterali sono tutti disgiunti). Allora H e chiuso in G. Essendo G connesso cio significache H = G.

Ricordiamo che

(i) un sottogruppo H di un gruppo G e normale se ghg−1 ∈ H per ogni g ∈ G, h ∈ H.

(ii) un ideale di un’algebra e un sottospazio vettoriale che e chiuso rispetto alla moltipli-cazione per ogni elemento dell’algebra. Nel caso di un’algebra di Lie a, i e un ideale di a se[i, a] ⊂ i.

Proposizione 6.4. Sia H un sottogruppo connesso di un gruppo di Lie connesso G. AlloraH e normale se e solo se la sua algebra h e un ideale di g.

17Il simbolo £XY denota la derivata di Lie del campo vettoriale Y rispetto al campo vettoriale X.18L’uguaglianza adX Y =

ˆddt

Adexp tX Y˜t=0

mostra che, per ogni X ∈ g, il corrispondente campo vettoriale

fondamentale su g associato alla rappresentazione aggiunta di G su g si puo identificare con adX .

I.23

Dimostrazione. Assumiamo che h sia un ideale in g. Siano Y ∈ h, X ∈ g, g = expX. Allora19

g(expY )g−1 = exp Adg Y dal diagramma (16)= exp((exp adX)Y ) dal diagramma (15)= exp(Y + [X,Y ] + 1

2 [X, [X,Y ]] + . . . )

Essendo h un ideale in g, la serie nell’ultima riga della precedente equazione converge ad unelemento di h. Pertanto g(expY )g−1 ∈ H. Per il Lemma 6.3, H e G sono generati da elementidel tipo expY e expX rispettivamente, e H e normale in G.

Assumiamo ora che H sia normale in G, e siano s, t numeri reali. Siano inoltre Y ∈ h,X ∈ g, e g = exp tX. Si ha

g(exp sY )g−1 = exp Adg(sY ) = exp s [(exp adtX)(Y )] ∈ H .

Percio (exp adtX)(Y ) ∈ h per ogni t ∈ R. Inoltre

(exp adtX)(Y ) = (exp t adX)(Y ) = Y + t[X,Y ] + 12 t

2[X, [X,Y ]] + . . . .

Al variare di t questa e una curva in h, e, mediante l’identificazione canonica di TY h con h, ilsuo vettore tangente in Y e [X,Y ]; quindi h e un ideale.

Definizione 6.5. Il centro C(G) di un gruppo G e il sottogruppo di G dato da

C(G) = {g ∈ G | gh = hg per ogni h ∈ G} .

Il centro C(g) di un’algebra di Lie g e la sottoalgebra di Lie

C(g) = {X ∈ g | [X,Y ] = 0 per ogni Y ∈ g} .

Proposizione 6.6. Sia G un gruppo di Lie connesso. Il centro di G e il nucleo dellarappresentazione aggiunta.

Dimostrazione. Sia g ∈ C(G), e X ∈ g. Allora per ogni t ∈ R

(18) exp tX = g(exp tX)g−1 = exp(tAdgX) .

Se t e abbastanza piccolo, tX sta in un intorno di 0 ∈ g su cui exp e iniettivo, cosiccheX = AdgX, ovvero, g ∈ ker Ad.

Se g ∈ ker Ad, allora vale la (18) per ogni X ∈ g, e g commuta con ogni elemento di unintorno di e ∈ G. Poiche G e connesso, tale intorno genera G, e pertanto g commuta con ognielemento di G, ovvero, g ∈ C(G).

19Nella seguente equazione si usa la forma esplicita dell’esponenziale di un endomorfismo di uno spazio

vettoriale. Se E e uno spazio vettoriale, e φ ∈ End(E), allora expφ e definito dalla relazione

(17) (expφ)(u) =

∞Xk=0

1

k!φk(u) = u+ φ(u) + 1

2φ2(u) + . . .

per ogni u ∈ E. Scelta una base di E, la definizione (17) si riduce alla definizione dell’esponenziale di matrice;

la serie (17) converge, e definisce l’esponenziale End(E)→ Aut(E). Nel nostro caso, E = g, e φ = adX , e si ha

(exp adX)(Y ) =∞Xk=0

1

k!(adX)k(Y ) = Y + [X,Y ] + 1

2[X, [X,Y ]] + . . .

I.24

Corollario 6.7. Sia G un gruppo di Lie connesso. Allora il centro C(G) e un sottogruppo diLie chiuso di G, la cui algebra di Lie e il centro di g.

Dimostrazione. C(G) = Ad−1(idg) e chiuso in G, e per la Proposizione 1.7, e un sottogruppodi Lie di G. Identifichiamo la sua algebra, che denotiamo h. Siano X ∈ g, Y ∈ h, egt = exp tX, s, t ∈ R. Allora, operando come nella dimostrazione della Proposizione 6.4,

exp sY = gt(exp sY )g−1t = exp s(Y + t[X,Y ] + 1

2 t2[X, [X,Y ]] + . . . ) .

Se s e abbastanza piccolo exp e iniettivo, e

Y = Y + t[X,Y ] + 12 t

2[X, [X,Y ]] + . . .

da cui segue [X,Y ] = 0, ovvero, h ⊂ C(g).

Viceversa, se Y ∈ C(g) e X ∈ g, vale [X,Y ] = 0, ed allora, posto g = expX,

g(expY )g−1 = exp(Y + [X,Y ] + 12 [X, [X,Y ]] + . . . ) = expY.

Poiche ogni elemento di G si scrive come prodotto di elementi del tipo expX, expY sta inC(G), per cui C(g) ⊂ h. Pertanto, h = C(g).

Corollario 6.8. Un gruppo di Lie connesso e abeliano se e solo se la sua algebra di Lie eabeliana.

Dimostrazione. Gia sappiamo che l’algebra di Lie di un gruppo di Lie abeliano, connesso omeno, e abeliana. Dimostriamo l’implicazione opposta. Se g e abeliana, g = C(g). PoicheC(g) e l’algebra di Lie di C(G), i gruppi G e C(G) sono diffeomorfi in un intorno dell’identita.Essendo G connesso, esso e generato da un suo sottoinsieme i cui elementi commutano tuttifra di loro. Quindi G e abeliano.