I

12 Prelazione

mento di matematica della University of Colorado, che ha letto unastesura quasi definitiva del manoscrirto, e dai commenti particolareg-giati su una primitiva stesura del manoscritto del mio ex-compagnodi scuola professor Richard Montague del dipartimento di filàsófiadella UCLA. Ad essi vanno i miei ringraziamenti e la mia sratitu-dine. Ringrazio anche Mrs. Kathi George, per i l suo aiuto nefa revi-sione delle bozze, Ta mia segretaria Mrs. Eloise Pearson, per la pa-zienz,? dimostrata per la difficoltà del manoscritto, e mia moglieMarilyn per la comprensione che ha dimostrato mentre scrivèvoquesto l ibro.

Capitolo primo

La logica enunciativa

Robert Rogers

L.l Introduzione

Nei primi quattro capitoli di questo !br9 ci occuperemo di -una pre-

sentizione iorm^1. dì vari setiori della logica matematica. Nel pre-

sente capitolo prenderemo in esame il piú elementare di questi set-

tori, cioè la làgica enunciatiua o calcolo proposizionale' Esso.ha a

che fare con le"proprietà logiche delle varie forme di composizione

di enunciati, per mezzo delle quali gli enunciati possono essere com-

binati in modo da dare come iisultato enunciati composti. In parti

colare, ci occuperemo qui del problema di distinguere, tra gli. enun-

ciati in n.n.."i.. quelli-che sono veri unicamente in virtú delle pro-

prietà lJgich. d"i'connettivi enunciativi,. ossia la cosiddetta classe

delle nuíotogie. sr trarta degli enunciati che sono veri, si dice, << uni-

camente in v"irtú del significato degli stessi connettivi enunciativi >>'

Tali enunciati costiruis;ono la clasie piú fondamentale delle verità

logiche.Il-no.tro approccio alla logica enunciativa - e alle diverse branche

piú avanzaii della logica ónsiderate nei.capitoli II I IY - sarà in

parte sintattico e in iarte semantico. Nella sintassi ci si occupa sol-

ianto di varie caratteìistiche tipografiche, o strutturali, delle espres-

sioni considerate. Non sí presuppongono qui né significati né inter-

pretazioni; simboli ed espìessioni in generale sono considerati non

i.rt.rp..tuii. Nella semanlica, invece, ci si occupa non .solo delle ca-

ratteiistíche slutturali delle espressioni, ma anche delle loro inter-

pretazioni. Cosí, nella semantica simboli ed espressioni sono inter-

pretati, e alcune espressioni si dicono aere ed altre false, una volta

date certe interpretazioni di esse.Nel considerare^ ciasc.,no dei vari settori della logica, e quindi la

logica enunciativa in particolare, procederemo sviluppando un cefto

,itr*o lormale dl tog)ra (o un intiro gruppo di sistemi formali)' Ciò

sarà fatio in ciascun óaso ,eg.rendo un determinato ordine. In primo

luolo, p...rderemo in consid'erazione una certa parte della sintassi di

q".i tiJr.-u di logica, caratterizzando principalmente, in modo esatto,

i simboli e le lolnule di quel sistema. In particolare, nel caratteriz-

zare o distinguere come formule alcune espressioni del sistema, non

Boulder, Colorado, settembre 1970

1 tI A Logica matemariro r rrori"(lormalizzate

si fa riferimento a nessuna interpretazione delle espressioni stesse.Il secondo- passo _nella formulazióne di un sistema di logica consi-sterà nel fornire la semantica di esso, in primo luogo siecificandoesattamenre come le espressioni del sistemà devono èrr.È int.rpre-tate e in secondo luogo definendo un certo numero di importànticoncetti semantici e stabilendo alcuni risultati fondamentali-concer-nenti tali concetri. Quel che è piú importante, definiamo qui il con-cetto {ondamentale di formula

-logicarnente aarida nel sistàma dato.

Nel caso della_logica enunciativa le formule logicamente varide sonole tautologie. Da ultimo, torneremo all'esame sintattico e cercheremodi carutterizzare sintatticamente questa classe dí formule valide, cheabbiamo appunto definito semaiticamente. Tenteremo di faré ciòassumendo certe formule come assiomi, cioè come formule accettatesenza dimostrazione. Successivamente specificheremo alcune regoledi inlerenza e definiremo come teoreù quelle formule del sistEmache possono essere derivate dagli assiomi-per mezzo delle regole diinfercnza. Lo scopo è fare ciò in modo tale che i teoremi di tir datosistema particolare vengano a coincidere con le formule valide denostesso sistema. Nel caso_della_logica enunciativa ciò si rivela possi-bile; qui la classe delle formule ialide può essere caratterizzata consuccesso con mezzi sintattici. Questo rímane vero anche per quellabranca della logica che esamineremo nei capitoli II e IIi, clàa luLo.gica de! p,redicati del prinno ordine; -.nt.è non risulta piú possibile.per la logica del capitolo IV, cioè la logica dei predicàti ait ,.-condo ordine._In questo caso_l'approccio sirtattico-cede il passo aquello semantico; infatti, la classe delle formule logicamente validepuò essere catattetizzata solo semanticamente.Elementi di logica enunciativa furono studiati da alcuni dei primiStoici. antichi, e un certo numero di contributi minori alla logicaenunciativa viene dal periodo medioevale. Lo studio rieoroso" diessa' comunque, non inizia ptima della seconda metà del-dicianno-vesimo secolo. L'aurore piú importante nella storia complessiva ditale logica è Glottob Eregè 1ts+8-1925), che è stato chiamàto il Àaggiore logico dei tempi moderni. La p'ima formulazione deila rosicaenunciativa come sistema formale apparve, nel 1g79, ne| Begifs_scbrìlt^di_Frege. Altre figure importanti deila storia dí q,r..tu iàgí.us^9no -G. Boole (1815-1864), E. Schróder (1841-1902), il logió .f i losofo americano C. S. Peirce (1839-1914 ed E. posí.t

1.2 Connettiui enunciatiui

Si consideri I'enunciato "Oggi è lunedí e domani sarà martedí',.

È ovvio che tale enunciato iùptica I'enunciato "Oggi è t"".Ji,;ìa

\La logica en\nciatiua 15

senso che è impossibile che il primo di questi due enunciati sia vero

senza che sia vèro il secondo. Possiamo dire che questa implicazione

vale in virtú della natura stessa della congiunzione enunciativa.

La congiunzione di enunciati è uno degli argomenti studiati nella

logica ànunciativa. Ad essa è assegnata un'analisi precisa nel modo

r.!.r.nt., un enunciato composto della forma

A e B

è detto una congiunzione, con A e B come suoi co-ngiunti; I'a con-

giunzione di A e"B è considerata vera esattamente nel caso che l'enun-

lirto A e I'enunciato B siano entrambi veri. Tale caso è uno deiquattro casi complessivamente possibili: A e B enttambi veri; A

,i..o, B falso; A ialso, B vero; A e B entrambi falsi' Solo nel primo

di questi quattro casi la congiunzione

A e B

è vera. Tutto ciò può essere detto semplicemente facendo uso delle

*riaa.,t" torol, 2i uerità, che sono àiagrammi schematici di un

determinato tipo. La tavola di verità per il connettivo enunciativo"e" è la..g.rè.rr., dove le lettere

"V" ed "F" stanno per i due

valori di verità, vero e falso:

A e B

V V I uV F IF v l rF F I F

Come esempio si considerino gli enunciati "Cesare era fomano,"

,,Shakespearl era inglese" e "Beethoven era italiano". Di questi

"n.,n.irtì, i primi d,i. ,otto veri e il terzo è falso' Quindi la con-

giunzione "Cìsare era romano e Shakespeare era inglese" è un.enun-

Eiu,o uaro, mentre la congiunzione "Cesare era romano e Beethoven

era italiano" è un enunciato falso'Tale impiego del connetlivo

"e" presenta un ragionevole. accordo

.o.r il -àdJ in cui la pur{lu "

," è uiata nel discorso informale e ggo-

tidiano. Esso difierisce da quell'uso principalmente per il fatto che

nella logica degli enunciati due enunciati qu,alsiasi possono,essere cor-

relati midiante quel connettivo. In particolare, non si richtede.che I

congiunti A e R siano correlati l'un I'altro per quanto riguard.a ciò

su Lri essi vertono, cioè per il loro argomento' Ad esempio i due

A B

/

(16 Logica matematica e teori{ lorrualizzate

enuaciat i "Oggi è lunedí" e "2+2:4, ,

possono.r r . l ' . .o-b i r r " t icosí da dare I'enunciato composto "Oggi

è junedí e 2 # 2: +-; Nadiscorso ordinario tale enuniiato foré"non sarebbe grai usato, ialmomento che non vi è nessuna "connessione,,

tta gli'atgo-anti d.idue congiunti. Ma nella logica enunciativa non si

"ri.tiàd. nessuna"connessione"

di tale g.rre.à, né qui né nel caso di nessun,ltro con-nettivo enunciativo. Non richiedendo nessuna "connessione"

di talesorta, la logica degli enunciati diviene molto piú semplice di quantosarebbe altrimenti.un secondo connettivo - un connettivo singorare, anziché binariocome "e" - è quello per la negazione, cioJ ,,non".

La tavola diverità per tale connettivo è la sesuente:

Cosí la negazione di un enunciato risulta vera quando I'enunciatostesso è falso, e falsa quando I'enunciato è vero.Un enunciato composto della forma

A o B

è detto-una disgiunzione, con A e B come disgiunti. Il connettivooer la disgiunzione è qui inteso nel cosiddetto ienso inclusiao: unadisgiunzione risulta vera non solo nei casi in cui uno dei dissiunti èvero e l'altro falso, ma anche nel caso che entrambi i disgiunii sianoveri. -Una disgiunzione sarà dunque falsa solo quando iessuno deisuoi disgiunti è vero. Latavola di verità per "o"

è quindi la seguente:

A n o n A

" | - ;F I V

La logica enunciatiaa 17

Prendiamo ota in considerazione il connettivo per il condizionale,cioè "se... allota."Bisogna riconoscere che la definizione logica di questo connettivo èalquànto particolare e discordante dall'uso o dagli usi ordinari del-l 'eipressione

"se... allora." Come nel caso di

"e" od

"o," neppurequi si richiede che gli enunciati correlati mediante tale connettivoabbiano qualcosa in comune per quanto riguarda i loro argomenti.Due enunciati qualsiasi possono essere correlati mediante questo con-nettivo e il risultato sarà sempre un enunciato. In un enunciato dellaforma

se A allora B

A è chiamato l'antecedente e B il conseguente. Un enunciato diquesta forma risulta falso solo quando il suo antecedente è vero e ilsuo conseguente è falso. Cosí tisultano veri gli enunciati seguenti:"Se

tre è mínore di qua-ttro, allora cinque è minore di sei"; "Se

cinque è minore di quattro, allora cinque è minore di sei"; "Se cin-

que è minore di quattro, allora Beethoven era italiano." Invecelienunciato

"Se cinque è minore di sei, allora Beethoven eraitaliano"è falso.La tavola di verità per "se... allota" è quindi la seguente:

A B se A allora B

Si potrebbe obiettare che questa tavola di verità non riesce a dareI'idèa di ciò che intendiamo di solito con I'espressione

"implica logi-camente." Naturalmente I'obiezione è corretta, e noi non cercheremocerto di sostenere il contrario. L'analisi dell'implicazione fortnale (o

logica) è certamente uno dei compiti fondamentali della logica de-dultiva. Tuttavia tale analisi, che noi prenderemo in considerazionepiú avanti, può essere compiuta solo dopo che la logica sia stata svi-lttpput" in una certa misura, e certamente non è data dalla tavola diverità per "se...

allora"; questo per la ragione seguente, se non altro:quando diciamo che un enunciato ne implica un altro, menzioniantoquesti due enunciati e non li usiamo. Ciò che userenumo nel dire ciònon sarebbero quegli enunciali, ma espressioni per riferirci ad essi;ad esempio, nomi per tali enunciati (quali risultano dal porre -dellevirgolette prima e dopo di essi). I connettivi enunciativi, come

"se,..'

aflóra." stanno invece tra enunciati, non tra nomi di enunciati. Anche

V VV FF VF F

VFVV

A B A o B

Per. esempio, la disgiunzione "cesare era romano o shakespeare era

inglese" è un enunciato vero, come lo è la disgiunzione,,C'esare eraromano o Beethoven era italíano." se però prendiamo I'enunciato"Beethoven

era italiano" come disgiunto riu d..tro che sinistro, otte-niamo un enunciato falso, vale a dire "Beethoven

era itariano o Bee-thoven en italiano."

79t8 Logica matematica e teorie lormalizzate La logica enunciatiua

A B A s e e s o l o s e B

Osservazioni in tutto simili a quelle fatte a proposito di "se... allota"

si applicano a "se

e solo se." Dire che il bicondízionale tra due enun-ciati è vero non è affatto asserire che questi due enunciati sono logi-camente equivalenti. Qui non è in gioco il concetto di equivalenzalogica, concetto che sarà definito solo in uno stadio successivo.È importante osservare che questi connettivi enunciativi non sonotutti indipendenti I'uno dall'altro. Una volta scelti alcuni di essi, irimanenti porebbero essere introdotti sulla base dei connettivi"giàdati. Si considerino i connettivi

"non" e

"se... allora." Volendo, po-tremmo considerare tutti sli enunciati della forma

A o B

come semplici abbreviazioni per enunciati della forma

se non A allora B;

poiché, come mostrano le tavole di verità per gli enunciati A e B,un enunciato della prima forma è vero se e solo se anche il corri-spondente enunciato della seconda forma lo è. Similmente potremmoconsiderare tutti gli enunciati della forma

A e B

come sempli ci abbreviazioni per enunciati della forma

non (se A, allora B);

e tutti gli enunciati della forma

A s e e s o l o s e B

come abbreviazioni per enunciati della forma

se A allora B, e se B allora A.

Cosí potremmo in via di princlplo o evitare del tutto i connettivi"r," "e"

e "se e solo se"; oppure considerare gli enunciati che l i

so-ttanto per, questo motivo, nella logica enunciativa non potremmotimpiazzate I'espressione "se...

allorat con il termine,,imoiica.,,Anco. ra, anziché. úmpiazzare semplicemente I'espression. " i.... arot a"con il termine "implica,"

si potrèbbe propo*eài di.. che, se un con_dizionale

se A allora B

è vero, allora I'enunciato.A implica I'enunciato B. Ad esempio, dalmomento che l'enunciato "se

la neve è bianca. allora I'erba è^rr.td."i vero, allora I'enunciato "La

neve è bianca" implica I'enunciato"L'erba è verde." Ma fare ciò sarebbe usare i l t..rnirr.,, implica,' in

un'accezione molto piú debole di quella in cui esso è abituarmenteusato. In questo libro non useremo afratto il termine ,,imolica',

intale senso, ma solo in un'accezione notevolmente piú forte, cÈe risultamolto piú aderente a quella usuale dal termine 'iimplica','o ,,implicalogicamente. " Alcuni lògici comunque usano in quÀto senso deloleI'espres-sione "implica

materialmenîe,,' sostenendi che "La neve è

bi2n9a" implica materialmente "L'erba è verde," benché non impli-

chi logicamente, "L'erba è verde." Qui non seguiremo qrr.rto .rr,r,

dal momento che è fonte di confusione dire, pér esempià, che,,Laneve è. bianca" implica "L'erba

è verde" in'qualche sènso del ter-m^ine_ "implica."

Diremo invece, semplicementè, che il condizionale"Se la neve è bianca, allora l'erba è verde" è vero.

Si deve ammettere che I 'uso che i logici fanno dell 'espressione,,se...alloru" rappresenta in qualche misura" una deviazion. iirp.tto ail'usoo agli usi ordinari di essa. Di solito essa non viene usàta in modovero-funzionale, mentre.ciò i viene in logica, come glí esempi mo-strano chiaramenre. Il logico, rurtavia, nón mira alli maggiér ade-renza possibile all'uso ordinario, ma è disposto a scostaril da talegso - sempre in misura relativa, comunqué - se vi è costretto dal-l'esigenza di inrodu*e un concetto che si adatti ai suoi scopi megriodi qualsiasi concetto o uso già esisrente. fn questo curo .iò .hà ,iadatta meglio agli_scopi del lógico è l 'uso in base al quale (a) se l,an-tecedente del condizionale è vero, i l valore di verità àel condizionaleè identificato con quello del suo conseguente, e (b) se I'antecedenteè falso, il condizionale è considerato vàro.Abbiamo infine il connettivo per 1l bicondizionale, cioè ,,se

e solose." Il bicondizionale

A s e e s o l o s e B

è, considerato vero quando gli enunciatí A e B hanno lo stesso valoredi verità; falso altrimenti. La sua tavola di verità è dunque la se-guente:

VFFV

V VV FF VF F

2 l20

È noto che tutti i nostri connettivi possono essere inuodotti sullabase d i uno qualunque d i quest i due connert iv i (H. M. Shef fer , 1913).Il lettore potrebbe considerare come si può fare, a partire daile d.fi.nizioni di

Logica matematica e teolie lormalizzate

A B n é A n é B n o n e n t r a m b i A e B

FFFV

non A

n é A n é A

non entrambi A ed A.

dell'enunciato originale. Il discorso comune contiene non pochi tipi

di contesti enunclativi che non sono vero-funzionali. Per esempio,le espressioni

"crede che..." e "dice che...," -danno luogo entrambe

ad eiunciati i cui valori di verità non dipendono in modo vero-fun-zionale dai valori di verità degli enunciati che occorrono in essi dopola parola "che." Cosí, per eiempio, benché I'enunciato

"Aristotele

.r.deuu che la terra è rotonda" sia vero, tuttavia quando sostituiamoil suo sottoenuncíato vero

"la terra è rotonda" con I'enunciato vero"\a

teîra non è al centro dell'universo," il risultato è un enunciatofalso; cioè un enunciato il cui valore di verità difierisce da _quellodell'enunciato di partenza. I contesti di credenza non sono dunquecontesti vero-funzionali.I filosofi parlano talvolta del valore di verità di un enunciato come

della sua 'estensione.

Abbiamo appena visto che tutti i contesti nella

logica enunciativa sono vero-funzionali. Per tale ragione questi con-

teiti sono spesso detti contesti estensionall, e ci si riferisce al Prin-

cipio di RiÀpiazzamenro come Principio di estensionalità- per la lo-gica enunciatìva. Inoltre la stessa logica enunciativa è detta logicaZstensionale, nel senso che tutti i suoi contesti sono estensionali'D'altra parte, una logica che contenga contesti di_ credenza sarebbe,

ín quesio senso, una-logica non estensionale. T,a logica modale, che

rtrrdi" i concetti di necessità e possibilità, è un altro esempio di logica

non estensionale. Benché "Duè piú due è uguale a quattro" e

"La

neve è bianca," ad esempio, siano entrambí enunciati veri, tuttavia,quando sostituiamo il seèondo al primo nell'enunciato vero

"Neces-

ùriamente due piú due è uguale a quattro," otteniamo un enunciato

falso, esattamenie I'enuncia*to "Necèssariamente 1a neve è bianca."

Benciré le logiche non estensionali rivestano spesso una notevole im-pottanz.- filoiofica, per gli scopi della matematica ortodossa non è

necessario intraprenàere-lo stuàio di tali logiche;. tutti i sistemi di

logica che pr.ni.r.,,'o in considerazione in questo libro sono, in qual-

che senso opportuno, estensionali.Come ultimà-osservazione preliminare, rícordiamo che per la logica

enunciativa, oltre all'interpietazione standard a due valori di verità,

nella quale gli unici due- valori previsti per gli enunciati sono la

verità è la fà-lsità, i logici hanno fornito anche interpretazioni a piú

valori, che prevedono t.. o piú valori per gli enunciativi. Vi è inoltre

f interpretazione intuizionistìca della lògicà enunciativa,.che si difie-

rcnzia dalla logica enunciativa ortodossa per il _fatto di non accet-

tare selza restr"izioni la legge del terzo escluso, che assicura che ogni

\ enunciato è vero o falso. À,ia qui non ci occuperemo ulteriormente di

queste alternative alla logica enunciatif,a ortodossa'

La logica enunciatiaa

contengono semplicemente come abbreviazioni definizionali di altrienunciati. Il procedimento può essere rípetuto, analogamente, a par-tire da "non"

ed "e," oppure da "non"

ed "o"; ed i l lettore, prìma

di proseguire, dovrebbe mostrare che ciò è efiettivament. poriibil..Anzi, consideriamo le due seguenti tavole di verità:

F\/\/\ 7

\/FVF

\ /VFF

ciascuno dei connettivi che abbiamo preso in esarne è tn connettiuctaero-funzionale, che dà luogo a contesti uero-funzionali. yale a dire,ogni applicazione di questi connettivi a enunciati dati dà luoso ad uncontesto, o enunciato composto, il cui valore di verità dipenae unica-mente dai valori di verità degli enunciati dati. In oartióolare. il va-Iore di verità dell 'enunciaro .ò'nporto non dipende affarto né dal suosignifc.ato, né dal significato degli enunciati costituenti. È dunquepossibile sostituire qualunque enunciato che occorre in uno qualsiasidi questi contesri con un qualunque airo enunciato che ubbi, lostesso valore di verità, renza m.rtaie il valore di verità di quel con-testo. fn termini precisi: per qualsiasi formula A, B, C e b, se Drisulta da C sostituendo una o piú occorrenze di A in C con occor-lenze di B, allora, se A e B haàno Io stesso valore di verità, ancheC e D hanno lo stesso valore di verità. Quesro è iI principio d; Rim-piazzamento per la logica enunciativa. Per esempio, se in un enun-clato composto

A e B

sostituiamo B con un qualsiasi altro enunciato che abbia il suo stessovalore di verità, I'enuniiato risultante avrà lo sresso valore di verità

(

22 Logica matematrca e teorie lormalizTate

L.3 La logica enunciatioa p.Simboli e lormule

consideriamo ora un- sistema particolare di rogica enunciativa, chechiameremo P. specificher..o in p.i.o iuogo i simbori e le formureor r- e successlvamente defrniremo la nozione di tautologia {i p.I simboli di P sono i seguenti:

( 1) i connettivi enunciatr.ui pg:.negazione, condizionale, disgiunzio-ne, congiunzione e bicondizionàle

I V A =

useremo quesr-i simboli invece delle famiriari parole itariane "rìon,,,"se. . .

a l lora," "o," "9" e_, ,se a aolo aa, l ; fhe sono state usate comeconnettivi enunciativi nel paragrafo precedente;

(2) parentesi destra e sinistra

( )

( I ) una lista infinita di lettere enunciative

p q f s p r g r f r s l

I simboli in (1) e (2) sono le cosiddette costanti togiche di p.E..d yn? espressione di p è """ q"ut'iuriìiting" (iit""'iiiri^fiiitutdi simboli di P.Una lormula,.dlP è..qydsiasi espressione in p che sia (a) una lettera:î_yl:t-lui,

di,P, 9

(b) Ia negazione di una formula di È,'o (.) ti .on_drzronale tra due formure di p, o (d) la disgiunzione di'due ior,'ur.di-P, o (e) la congiunzione di d"e'forÀ"rc-?r p, . flfi',fllàriiril-nale tra due form"ule di p. Cioè:

(a ) ogni letrera enunciativa di p è una formula di p.e se A e B sono formule di p, allora:

(b) - A è una formula di p:(c) (A I B) è una formula d i p:(d) (A V B) è una formula d i p:(e ) (A A B) è una formula di p:( f ) (A : B) è una formula di p:(g) le condizioni (a)-(f) esauriscono tutte le formule\

di P.

In pa,rticolare.una lormula atomica di p è qualsiasi lettera enuncia_tiva di P, cioè qualsiasi formula prevista duilu .ondiri."; (J*^-^"

La logica enunciatiua 23

Per esempio, la seguente espressione è una formula di P:

- ( ( p : q ) V ( q A r ) ) '

Poiché, per (a), le lettere "p," "q" ed

"f " sono formule di P;.quindi,

per (c),^"(p l q)" è una for-trl" di P e, per (e), "(q A r)" è una

ior-"Íu di P; dunque, per (d), "((p I q) V (q A r))" è una formula

di P e, per (b), I'espresiione di cui sopra è anch'essa una formula.In seguito, nel fornire esempi di formule di P, tralasceremo abitual-ment; la maggior parte delle coppie di parentesi, quando ciò non dialuogo ad ambiguità. Simili omissioni, comunque, non sono. permesse

in úna notazione " uffrciale," ma solo in contesti informali. Inolúe,

semDre soltanto in notazioni informali, adotteremo normalmenteancÉe un'ulteriore convenzione, generalmente accettata per ridurre il

numero delle parentesi che compaiono in una formula. Tale conven-zione è la seguente:

(u) " - " v incola p iú s t ret tamente d i

"V" o "A";

(b) s ia "V" che-" [ " v incolano p iú s t ret tamente d i

, , ) r r ;

( . ) " :" v incola piú strettamente di "- ."

Cosí, ad esempio, utilizzando queste due convenzioni, le formule (in

notazione ufficiale)

( a ) ( ( p / t q ) r r ) ,( b ) ( ( P r q ) - r ,( c ) ( ( ( p r q ) V - 9 ) - ( - P A q ) ) '

possono essere scritte come

( u . ) p A q : r ,( b ' ) P l r q - r ,( c ' ) ( p r q ) V - q - - p A q .

Si noti comunque che, a difierenza di (a), la formula

( d ) ( p A ( q r r ) ) ,

è abbreviata correttamente solo da

( d ' ) p A ( q : r ) ,

e non da (a') .È molto impoftante tenere distinte le differenti funzioni svolte dalle

Logica matenatica e teorie lornalizzate La logica enunciotiua z)

lire in generale sotto quali condizioni una formula di P è vera. Sia A

,rn" ooàlrirri formula ai p. Si considerino tutte le possibili assegna-

zioni di valori di verità alle lettere enunciative che compaiono in A.

Allora il valore di verità di A stesso, per un'assegnazione data, è de-

terminato univocamente dalle tavole di verità per i connettivi enun-

ciativi che compaiono in A. Diamone una esemplificazione. sia A la

formula "p, p V q." Costruiamo una tavola di verità per questa

formula .,rllu bàt. délle tavole di verità elementari per " :r "

e "

Y i'come segue:

lettere enunciative di^p..(i lp, '1 "q,', ,,r,, ecc.) da una parte e dalle

variabili "A,',, "8," ,,C,,, ,,y'ir,, .aó. d"ll'rltra. Le letterè enunciative

occorrono nel sistema P; al contrario le lettere romane maiuscole inneretto "

Ai'-"B," "C" ecc. non occorrono in p, -a (n.l l ' .ruÀi.rrre

P) solo nel linguaggio nel quale noi pailiamo di p. Èsse sono cioème,tauariabill e svolgono .tru funzione molto difierente dà qu"tt"delle lettere enunciative. Nel linguaggio nel quale noi parliamo di p,queste variabili variano sulle esoressio* ai p.'La differÉnzatta qu"rr.metavariabili e le lettere di P- può essere facirm.rrte rileurt, iorrriderando un esempio. L 'espressiòne "(p:

q) , 'è una formula in p.L'espressione "(A:

B)" d'altra parte non ó.corre in p, ma solo nelmetalinguaggio

.di P, nel_quale noi esaminiamo p . Éf,. qui-a tullngua ltahana.integrata da alcuni simboli tecnici. Le metavariabilisono usate nel metaling-uaggio di_ p per parlare in modo generaledelle espressioni di n N.oi-]9 abbiamo upp.n, usare, ad e"sempio,nello _specificare le formute di p e le useremo tra breve nell 'esami-nare ].e tautologie di P. oltre a conrenere I. ."tuuuriÀrli- ri"t"ìt i-th:,,,tI metalinguaggio di P contiene i simboli ,, n ,,,

,, ) ,,'

,, V ,,,

/\ ed ":." Quesri simboli naturalmente appaiono già in p come

connettivi enunciativi. Nel metalinguaggio di Éj com"nì1ue, essi sonousati assieme alle metavariabili siniattiche e non con le-letiere enun-ciative. cosí questi simboli svolgono funzioni completament. àin.-renti in P e nel metalinguaggio di p. In p sono usati per costruireformule composte; nel metalingua_ggi9 di p per costruirè espressionimetalinguistiche che consentanó dl-fare rifeìimento ,ll" foi."ià, .alle espressioni in generale, di p.come ulteriore osiervazione sul metalinguaggio di p, si consideriI 'espressione metalinguistigu "(A

r B).. ful. "rpr.rrione è un esem_pro dr schema. Questo schema e vari altri sono usati nel definire laclasse delle formule di P. La nozione di schema può essere definitain.generale parallelamente arra nozione di formula. coti,-.irr."nudelle metavariabili sintatl.ich.e "A,,, ,,F:, ,,C,'

.... a uro ;;h.;;ponendo il simbolo " - "

davanti ad uno schema ,i .tii*. -"r"

schema; ponendo " )" tta due qualsiasi schemi e chiudendo il risul-tato tta parentesi si ottiene u.no schema; e similmente per i rimanentis imbol i "V," "

A" ed " - . " Nel lo r . . iu . r " d i segui tó J .gt i , . f r .À i ,

adotteremo le convenzioni per I'omissione di pareníesi .t. i""" ^fpiicate alle formule.

V V V V VV V V V FF V F V VF V F F F

V VV FF VF F

1.4 Tautologie

ora che abbiamo definito in modo esarto la classe deile formule di ppossiamo prendere in considerazionela semantica di p. MantenenJJIe tavole di verità del paragrafo precedenre, siamo in grado di stabi-

Nel costruire questa tavola di verità, dal momento che la formula"p I p V q" È un condízionale, determiniamo dapprima..il,.valoredèll'rnìecedénte e del conseguente nel caso che

"p" e "q" siano

entrambi veri. Poi, sulla base di questi valori, determiniamo il valore

del condizionale per questo t.opo. Dopo di che, ripetiamo il proce-

dimento per ciasCuno degli altri tre casi. Da questo esenfpio partico'

lare dovÀbbe risultare óhir.o .orn" si debbano costruire tavole di

verità per qualsiasi formula A. In generale, se A contiene n lettere

enrrnciative distinte, vi saranno 2" dífrercnti assegnazioni possibili di

valori di verità a quelle lettere. Cosí, la tavola di verità completaper A contetrà 2n úghe.'Senza

dubbio qui stiàmo assumendo, senza argomentaz,ioni, che ogni

formula di P può essere interpretata in un unico modo, dando cosí

luogo a un'unica tavola di verità. Cosí, ad esempio, se A è-un con-

dizónale B : C, allora non vi è anche un condizionale Br : Cr,

dove Br e Cr sono distinti da B e C rispettivamente; né A è una ne-gazione, disgiunzione ecc. Tale assunziòne è tuttavia suscettibile di

una dimostrazione, che qui omettiamo.Come la tavola di verità per "p I p V q" mosfta' questa form-ulaè vera per tutte le possibili assègnaiioni di valori di verità alle let-

tere chè vi compaiono. Ora ogni formula di P che è vera per tutte

le possibili assepfnazioni di valori di verità alle lettere enunciative che

vi compaiono É ,r.tu tautologia e si dice tautologicamente aalida'

La forÀula "p I p V q" è-dunque una tautologia e 1o schema

A:: A V B è uno-scbema tautologico nel senso che, per qualunque

formula A e B, la formula A : A V B è una tautologia. Di tutte le

formule di tal genere si può mostrare che sono tautologie ricorrendoalle loro tavole di verità.

26 Logica matematica e teorie Íormalizzate

\:.-:::::!:yt: *i P sono quele formute di p che sono vere indipen_

dentemente dalla verità o falsità delle lettere enunciative che vi com-gaio19. Esse sono, in questo senso, vere in,,tutti i .Àip"*Uìi."rntultrvamente una tautologia è ogni formula vera unicamente invirtú del .significato dei co.-nnettivi" enunciativi che ui .*puiono.La oeflnrzrone data sopra può essere consideîata un,analisi esatta,rispetto a P, di questo concerro intuitivo. ciò sarà .r..i .rir,ì.o- aimolti dei concetti che sono a.nniti.ì"ttr.enre in questo ribro: ingran parte dei casi, questi concetti rappresentano analisi esatte. ri_ip.ll. I qualche teoria.o sistema formàie, di .on..tti gil *iri.*l "llvello lntormale o intuitivo. Ad ogni modo, è in quesó senso che ílnostro interesse sarà qui rivolto u

"rrrr, ,ortu' di chi[rifrcazi;;;.

gazione dei concetti.2Ulteriori esempi di schemi tautologici sono i seguenti:

Legge del terzo escluso A V -nLegge di non-contraddizione -(A A -A)Legge della doppia negazione A - - -[

'

Uommutatività dellad i s g i u n z i o n e A V n - B V A

Commutatività della

. c o n g i u n z i o n e A A n = B A AAssociatività della

. d i s g i u n z i o n e A V ( B V C ; = ( A V B ) V CAssociatività della

Ai primi due schemi si fa talvolta riferimento come "paradossi

del-I'implicazione materiale." Efiettivamente, se dovessiÀo leggere ilsimbolo " l "

come "implica" (o "implica materialmente"), allora

tutti e tre questi schemi apparirebbero paradossali; nel senso che sa-rebbeto non contraddittori, ma altamente controintuitivi. Poiché intal caso il ptimo sembrerebbe dire che ogni enunciato vero è impli-cato da qualunque enunciato; il secondo, che un enunciato falso im-plica qualunque enunciato; ed 1l terzo, che, di due enunciati qual-siasi, almeno uno implica I'alÚo. Questa apparcfiza paradossale, co-munque, scompare in larya misura se leggiamo il simbolo " l " noncome "implica,"

ma solo come "se... allora." Allora il primo di questi

schemi esprime semplicemente il fatto che un condizionale è verose il suo conseguente è vero; il secondo, che un condizionale è vero seil suo antecedente è falso ed il tetzo, che, dati due enunciati qual-siasi, almeno uno dei condizionali fra di essi è vero.Vi sono naturalmente molti altri tipi di taurologie olte a quellesopra elencate, anzi ve ne sono infiniii altri. Tuttaiia una lista iagio-nevolmente completa dei tipi dí tautologie usati piú frequentementenel ragionamento ne contenebbe al piú alcune dozzine.E, chiaro che la costruzione di tavole di verità fornisce un test Der-fettamente generale per determinare se una formula di P è r.r.u iu.r-tologia. Per qualunque formula A, A è una tautologia'se riceve ilvalore Vero in ogni riga della sua tavola di verità; Aìon è una tau-tologia se ricevere il valore Falso in almeno una di queste righe.Parleremo delle tavole di verità come di un test meccanico o effet-tioo. Il concetto di test o procedimento efiettivo è un concetto in-tuitivo suscettibile di un'analisi esatta in contesti matematici; pren-deremo in considerazione tale analisi (in termini di funzioni ricoriive)nel capitolo VIII. Fino ad alTora, useremo solo il concetto intuitivodi procedimento meccaníco o efiettivo. Per chiarire questo concettosaranno forse sufficienti alcune esemplificazioni e rilievi informali.La matematica che ci è familiare foinisce numerosi procedimentiefiettivi: ad esempio il procedimento per determinare 1à somma e ilprodotto di due numeri, quello per estrarre radici quadrate e quelloper risolvere equazioni quadratiche. Tali procedimenti efiettivi sonospesso chiamati algoritrni. Essi sono efiettivi o algoritmici nel sensoche ci forniscono ishuzioni per accertare questo o quello in manierasistematica, passo per passo. Qualsiasi concetto che sia definito inmodo tale che vi sia un procedimento efiettivo per determinare sequel concetto si applica o meno in ciascun caso particolare è dettoun concetto effettioaraente definito. Cosí il concetio di formula di Po quello di tautologia di P sono concerti efiertivamente definiti. Doved'altra parte non vi è nessun procedimento generale per determinareI'applicabilità di un concetto, bisogna affidarsi all'invèntiva. D'ora in

La logica enunciatiaa 27

conglunzroneLeggi di De Morgan

Legge di contrapposizioneLeggi di distribuzione

Falsità del condizionareLegge di separazione

(Modus ponens)Modus tollensSillogismo ipoteticoSillogismo disgiuntivoLegge dell'assurdo

A A ( B A C ; - ( A A B ) A C- ( A A B ) - - A V - s- ( A V B ) = - A A - nA : B - - B : - A4 A ( P V q ) - ( A A B ) V ( A A C )A V ( B A c ) = ( A V B ) n i n V c Í- ( A : B ) - A A - BA A ( A : B ) : B

- B A ( A : B ) : - A( A : B ) A ( B : C ) r ( A : C )( A V B ) A - A : B( A : B A - B ) r - A

Particolarmente degni di nota sono altri tre schemi tautolosici:

A : ( B : A )- A : ( A : B )

( A : B ) V ( B : A )

28 Logica matematica e teorie lormalizzate

auantt utilizz:remo piú,.di una volta_questi concetri informali di pro_ceolmento eftetttvo e di concetto effettivamente definito.oltre al concetto di tautologia, altri conceiti semantici possono esseredefiniti senza difficoltà rispétto a p.una formula Aè tautologicamente inconsistente se e soro se A è falsaper ogni assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative chevi compaiono.. Un caso. speciale di formule tautologicam.ni. i".o"-sistenti sono le contraddizioni, cioè formule d.lh f?r-u-e n _A.Una formula A implica.taut-ologicamente ',na formula B s" e solo se,per ogni_assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative in Ae B, se A è vera per un'assegnazione data, allom "".fr" f !-r.rr'o.,la stessa assegnazione. In questo caso diciamo che B è uru ,oirr_C,lryzo ta-atologica di.A. Piú_generalmenre, sia f una qualsiasi classedi formule di P ed A una fòrmura di p.'Alrora rl,ipt"",.ri.r"gicamente A (ed A è una,consegvenza taurologíca ai îl ,. " ,"f.se, per ogni assegnazione di varori di verità allé lettere enunciariveche_ comparono sia in A che in ognuna delle formule di l, se tuttele {ormule di r sono vere per un"'assegnazione data, allora'anche Aè vera per

.qr-'ell'assegnazionì. Due fortule A e B ;";" ;;r;;l;'e,r,rnente equiualenti se e solo se, per ogni assegnazione di urlor'i diverità alle lettere enunciative in À e njA e B Jono o entrambe vereo ertrambe false per un'assegnazion. jutu.ll lettore non dovrebbe trovare difficortà nel comprendere come iseguenti risultati seguano senza difficoltà dafle definizioni i",. tàà*A e B sono formulà qualsiasi dí p):

- ' .-

( 1) I implica taurologicamente B se e soro se ir condizionale A : Bè una tautologia.

(2) A e B sono rautologicamente equivalenti se e soro se il bicon-diz ionale A - B è una tauto los ia.

(l) Se f è una classe di.tautologie"e A è una conseguenza tauto-Iogica di l, allora A è una ta"utolosia.

(4) se a implíca tautologicamente B à B implica tautologicamenteC,, allora-A implica tautologicamente C. io.i l,lmfh.;;i;;;-;;r-tologica è transitíva.

l?ì Pr. qualsiasi taurologie sono raurologicamente equivalenti.(6) una tautologia è,implicata tautorogica"m.n,. dà qi,.t.rà". r.r-

mula ( o classe di formule ); inolúe u.u forÀul. -;;ól;gì;^

mente inconsistente implica tautologicamente quarunqrr.'for-mula.

Mostriamo ora che

( 7 ) una formula è una tautologia se e solo se è impricata tautolo-gicamente dalla classe vuota di formule ( cioè la clasr" .h. ,o.

La logica enunciatizta 29

contiene nessuna formula ) . La (6 ) ci assicura solo una metàdi (7 ): se A è una tautologia, alTota è implicata tautologica-mente dalla classe vuota. Per dimostrate L'altra metà di (7),supponiamo ora che A sia implicata tautologicamente dallaclasse vuota. Allora ogni assegnazione di valori di verità allelettere enunciative che compaiono in A e nelle formule dellaclasse vuota, che verifica tutie le formule della classe vuota, ve-rifica A. Ma dal momento che non vi è nessuna formula nellaclasse vuota, ogni assegnazione verifica banalmente tutte quelleformule. Dunque A è vera per ogni assegnazione di valori diverità, e quindi è una tautologia. Cosí (7 ) è dimostrato.

L'implicazione tautologica è un caso speciale di implicazione logica,cioè una implicazione logica in virtú del significato dei connettivi. Nelcapitolo II definiremo un concetto generale di implicazione logica:I'implicazione tautologica sarà formalmente sussunta sotto f implica-zione logica. Analogamente per I'equivalenza tautologica e l'equiva-lenza Topica.Parlandò del simbolo per il condizionale abbiamo rilevato che I'usoche il logico fa di "só... allorc" discorda dall'uso o usi ordinari diquesto connettivo. Questa discordanza consiste parzialmente nel fattoche il condizionale dei losici è vero se o il suo antecedente è fals<ro il suo conseguente è veio. Ricordiamo che a tale caratteristica delcondizionale si è fatto spesso riferimento come "Daradossi

dell'im-plicazione materiale." Similmente si è spesso asseriio che il concettodi implicazione logica usato dai logici discorda dal concetto o daiconcetti ordinari di implicazione logica. Dal momento che I'implica-zione tautologica è un tipo di implicazione logica, dal risultato (6 )già enunciato segue che, sulla base del concetto di implicazione logicausato dai logici, una formula tautologicamente inconsistente implicaqualunque formula e una tautologia è implicata da qualunque for-mula. Questo è I'analogo ( e il risultato ) del fatto che un condizio-nale è vero se il suo antecedente è falso o il suo conseguente è vero.Cosí, ad esempio,

"La neve è bianca e la neve non è bianca" implica

logicamente "L'etba è verde" (come si dice spesso, da una conirad-

dizione segue qualunque cosa); e "LaTogica è difficile o la logica nonè difficile" è implicato logicamente da

"Dio è morto." A prima vista,

ad ogni modo, questi risultati sembrano opposti alle nostre intuizioniconcernenti I'implicazione logica. Se essi siano in effetti cosí oppostie siano "paradossi"

in questo senso è una questione che è stàta alungo dibattuta nella letteratura sull'argomento.3 La posizione (moltopopolare) che sembra piú plausibile all'autore è quella che riconoscealcune innegabili discordanze tra il concetto di implicazione logicausato dai logici e quello ordínario (o quelli ordinari), ma che ritiene

)0 Logica matematica e teorie lormalizzate

tali discordanze rclativamenre innocue ed eliminabili (comunque inmisura solo parziale) soltanto al prezzo di complicare considerevol-mente la teoria. Questo è semplicèmenre uno déi molti punti in cuiuna precisa formulazione conduce ad una deviazione dall'uso infor-male.

t.5 Schemi di assiomi di P.Regole di inlerenza e teorerai

Totniamo on aTla sintassi di P e definiamo in primo luogo la classedegli assiomi di P. Quello che vogliamo fare è individuarJ una classedi formule di P dalle quali siano derivabili tutre le tautolosie di p(e nessun'altra formula), mediante I'applicazione di certe régole diinferenza che specificheremo in seguito-.-Ottenuto ciò, disporrémo didue modi per mostrare che una daìa formula A è una tauiolosia: siamediante i l test delle tavole di verità che derivando A dasli àssiomidi P. I1 test delle tavole di verità, benché sia sufficiente ín finea diprincipio, in pratica diviene prolisso e ingombrante quando in A com-paiono numerose lettere enunciative; in questo caso è preferibile ilprocedimento di derivare A dagli assiomi di p.I1 procedimento che seguiremo è ben noto. consiste nel formularediversi schemi, con l'intesa che ciascuna delle infinite formule di pche abbia la forma di uno qualunque di tali schemi vale come assiomadi P. È facile vedere, conìultando le tavole di verità per " - " ed"t,"

che ognuno di questi assiomi è una tautologia. I nostri schemidi assiomi sono i seguenti,a dove A, B e C sono formule di p:

( a ) A : ( B : A )( b ) ( A : ( B : C ) ) : ( ( A : B ) : ( A I C ) )( c ) ( - B r - A ) r ( ( - B : A ) : B )

Tali schemi di assiomi naturalmente non occorrono in P. ma nel me-talinguaggio di P. Secondo il primo di questi schemi, le seguenti for-mule (in notazione informale) sono esempi di formule di"p:

p r ( q r p ) p r ( p r p )( p : q ) : ( q r ( p : q ) ) - p _ ) ( ( q : p ) r - p )

Lo schema (b) fornisce, per esempio, la formula

( p r ( ( p : q ) : r ) ) r ( ( p : ( p : q ) ) : ( p : r ) )

Lo schema (c) fornisce, per esempio, la formula

La logica enunciatioa 3l

Si noterà che i soli connettivi enunciativi che occorrono negli schemid'assiomi precedenti sono i connettivi per la negazione e per il con-dizionale. Per quanto riguarda i rimanenti connettivi, dobbiamoaggiungere ulteriori schemi di assiomi nei quali essi compaiono o cor-relarli in qualche modo con i connettivi per la negazione e per ilcondizionale. Adotteremo la seconda alternativa: diremo che una for-mula A è equiualente per definizione ad un'altra formula B se e solose vi sono formule, A,, Br, Az e Bz tali che A differisce da B al piúperché contiene un'occorrenza di Ar in qualche posto dove B con-tiene un'occorreîza di Br, e tali che vale una delle seguenti alterna-tive:

( a ) A r è(b) A, è( c ) A r è

A z V B z e B r èA z A B z e B r èA z - B z e B r è

-Az f Bz, o- ( A z : - B z ) , o

( 4 2 : B z ) [ ( B : : A z ) .

Cosí, per esempio, mediante (a) le due seguenti formule di P risul-tano equivalenti per definizione:

p V q - p r q ;

come pure le due formule

( p - q ) A ( ( q V r ) V p )( p - q ) A ( ( - q : r ) V p ) .

Nel primo di questi esempi, Ar è l'intera formula "p

V q" e Br è laformula

" -p I q," mentre nel secondo esempio Ar è la formula" ( q

V r ) " e B r è l a f o r m u l a " ( - q : r ) . "

Va osservato che la definizione precedente di "equivalente per defini

zione" si accorda con I'interpret^zione dei connettivi fornita dalletavole di verità. Due qualsiasi formule di P che siano equivalenti perdefinizione nel senso suddetto risultano equivalenti medíante il testdelle tavole di verità; vale a díre che le due formule assumono lostesso valore di verità, per ogni assegnazione di valori di verità allelettere enunciative che vi compaiono.Per derivare i teoremi dagli assiomi di P, sono ora necessarie alcuneregole di int'erenza che consentono di inferire formule da altre for-mule. In particolare, per derivare tutte le tautologie di P dagliassiomi di P, sono necessarie due sole regole di inferenza. In primoluogo, useremo una tegola di Scambio Definizionale. Tale regola èla seguente:

( a ) se A e B sono equivalenti per definizione, allora è possibile infe-rire A da B, e viceversa. Qui I'espressione

"equivalente per de-

,)I

( - ( - p : q ) : - q ) : ( ( - ( - p : q ) r q ) : ( - p r q ) )

t l

i

(b) da A ed A: B s i può infer i re B.

Definiamo ora teorema di p qualsiasi formul.a che sia derivabile Cagliassiomi di P mediante un nimero finito di ,ppli.urìoni J;ii.ì".t:C91.. di inferenza (a) e (b). pi,i "r"tt.-., te v,n teorema di p è qual_siasi formuta A di p che'sia t'"i;il;-f;;;rlodi-q;;I.È..à#"rufinita di formute di p,..

{9*_ gsri i".."i, jaf^ ;;;;;";; ",assioma di P o è ottenibile dallé formule precedenti t.nu ,ù,r..,r,mediante una applicazione deua *s"ú l;f ;;d"'G;i; Oi"ia.sequenza sarà detta dimostrazion di e.' '

Consideriamo ora un esempio di dimosrazione di un teorema di p,precísamente il teorema ,,(p I p)."

1. (p : (n :n)) Schema d'assiomi (a)2. (p - ((p : p) r p)) Schema a'u.riomi (")t . ( (p : ( (p : p ) r p ) ) r ( (p : (p r p ) ) r (p r p ) ) )

4. ((p:(P - p) i : (p: p)) : : i :T-* 's iomi (b)

5. (p : p) t, +, relola ibjciascuna delle cinque formure di questa sequenza o è un assioma diP o è ottenibile darte formule ;r#a;riìediante "r" aiir.^l.g.r.di inferenza di P. Tale sequenza è quindi chiaramente una dimostra_zione dell 'ult ima formul.ì.r_ "rru, . ioa;fp f p).,,

' - '---- --- '-*-l

Una regola di inferenza si dice- aahla- r.,'uppli.rt" a formule vere,permette di inferire solo formule ver.. conrurrrraÀ i.-i"".i.-di;.-rità per i connettivi enunciativi, il lettore ,r.dra .h.-L-;;;;ì"?i "(b) sono entrambe..regore di i"irrr"ii luiia.. vi sono naturarmenre:umelgs.e regole di inÍercnza valide; a rigore, ve ne sono infinite.La validità di alcune di

.queste regole di'infrrr,,idrp;il^;;;,mente dalle proprietà logiihe dei cónnettivi vero-funzionrli. Si;;-stderr, per esempio, Io schema tautologico

( A : B ) r ( _ B r _ A ) .

Corrispondente a questo schema, vi è la regola di inferenza valió.a

32 Logica matematrca e teorie formalizzate

frnizione" è intesa nel senso specificato nel paragrafo prece-dente.

#"ff:.1Í:.*:*", useremo la nota

La logica enunciatiua 33

L'a validità di questa regola_è data dar fatto che, date due quarsiasitormule

f . B, ogni qualvolta A: B e -B sono vere, anJhe _A: ye.*' !.9uesto stesso fatro dipende unicamenre daile proprietàIoglche dei connettívi uti l izzati, cioè ,.-,, e,,:., ' SimilÀenìe adlffi ;chema

tautologico di forma condizionare .ortitponJ. ""u-t.!or"ot Inferenza valtda.Benché vi siano numerose regole di infercnza la cui validità è basataunicamente su considerazioni vero-funzionari, si deve notare .À.-n.lnos*o sistema P usiamo solo la regola di scambio Definizionale equella del Modus Ponens.come nostre regore primitr* ii liliiiza.Nessun'altra.regola primitiva è richiesta nàlra d'erivazione dei t.or.mioagll asslomr.In pratica. comunque è molto conveniente poter introdurre ulterioriregole di inÍerenza vali{e, come la regola che ci permette di inferire- A da A : B e - B. Di tale regola"si può darÉ ""u aì.ortrlriàn.effettiva, nel senso che è possibilé mostàre in modo efiettivo comesostituire qualunque inferenza in p che ne fa uso con una nella qualesiano usate solo le regole di inÍercnza primitive di p. si conrià.riun'inferenza nella quale questa regola è^usata:

1 . 4 : B2 . - B3 . - A

Questa infercnza di -A da A > B e -B può essere sostituita daun'inferenza che utilizzi solo regole primitive. Sappiamo .h;;4""-lunq_ue formula A. ! , la form'u la (A: B) : ( -n I -Ai è der i_vabile dagli assiomi di P. cosí neila nostra inferenza, a.riuirro-inprimo luogo la formula (A ? q) r (-B r -A). f. i uglirntìur-oil passaggio A : B e concludiamo mediante Modus pJn."! .t.-B: : -A. Infine aggiungiamo il passaggio -B e concludiamomediante Modus Ponens-óhe -A.ogni regola di inferenza che sia stata dimostrata nel senso suddettopuo essere usata come regola di inlerenza deriaata in p. Le regole diinferenza derivate r..uo.ró da scorciatoie: ci permettono di dlrivareformule da altre formule in un numero di passi minore di quelliche sarebbero necessari se dovessimo usare'solo rd;i;-p;i-l;;..Ora, a o€ni- schema tautologico di, forma .ondir;onu"l. .";;iró;.una regola di inferenza valida. Inoltre è noto che vi a ,n o.i..ai-mento effettivo per derivare ogni tautologia di p dagli assiori i Jr n.r\e segue che ad ogni schema raurologico di forma condizionale cor-rtsponde una regola di inferenza che può essere dimostrata comerego.ra derrvata dt p.

regola di inferenza chiamata

t\

Da A: B e -8, infer ire -A.

)4 Logica matematica e teoùe lormalizzate

1.6 Proprietà rnetamatematicbe di P

I logici hanno studiato molto difiusamente la logica enunciativa.Tuttavia noi siamo qui principalmente interessati non alla logicaenunciativa in se stessa, ma in quanto passo verso una logica piúcomprensiva, cioè la logica dei predicati del primo ordine. Per questaragione, passeremo adesso a una considetazione ravvicinata della lo-gica enunciativa, inroducendo tre concetti sintattici molto impor-tanti, sulla base dei quali potremo chiarire alcune caratteristiche fon-damentali del sistema P. Sia f un qualsiasi insieme (non-vuoto) diformule di P. Diremo allora che f è coz sistente se e solo se non viè nessuna formula A di P tale che sia A che -A è derivabile da f.Diciamo che f è completo se e solo se ogni tautologia è derivabileda f. Inoltre f è un insieme di formule decidibite sè e solo se vi èun procedimento effettivo per determinare di ogni formula A di Pse essa è inclusa in I oppure no.È molto facile mostrare che I'insieme degli assiomí di P sopra citatoè consistente. In primo luogo, come abbiamo già sottolineato, cia-scuno di questi assiomi è una tautologia, come si può tilevare senzadifficoltà dalle tavole di verità oer i connettivi che compaiono neivari schemi dí assiomi di P. In iecondo luogo, le due regole primi-tive di infercnza in P, se applicate a tautologie, consentono di infe-rire solo tautologie. Anche questo può essere verificato senza diffi-coltà considerando le tavole di verità per i connettiví enunciativi checompaiono in queste regole. Cosí, per il Modus Ponens, supponiamoche sia A che A: B siano tautologie. Allora anche B deve essereuna tautologia. Poiché, se non lo fosse, ví sarebbe quaiche assegna-zione di valori di verità alle lettere enunciative che compaiono in Bche la renderebbe [a7sa; ma, dal momento che A è una tautologia,per quell'assegnazione di valori di verità I'antecedente di A: Bsarebbe vero ed il suo conseguente falso. Allora per le tavole di ve-rità per íl condizionale, la formula A : B sarebbe falsa, e cosí nonsarebbe una tautologia, contrariamente alla nostra assunzione. Conun ragionamento simile, si può mostrare che la regola di ScambioDefinizionale se applicata a tautologie ci permette di inferire solotautologie. Possiamo quindi concludere che tutti i teoremi di P sonotautologie..Ma nessuna tautologia può essere la negazione di un'altratautologia; poiché, se lo fosse, sarebbe falsa per ogni assegnazione divalori di verità alle sue lettere enunciative e ouindi non sarebbe unatautologia. Non vi è nessuna formula A di P iale che sia A che -Asiano teoremi di P. Cosí, il nostro insieme di assiomi pet P è con-sistente.Come abbiamo precedentemente sottolineato, è noto che il nostrosistema di assiomi è completo. (Qui ne omettiamo la dimostrazione.)s

La logica enunciatioa )5

Da ciò e dal fatto che tutti i teoremi di P sono tautologie, segue chela classe delle formule che sono teoremi di P è identica alla classedelle tautologie di P. Ne deriva anche che la classe dei teoremi di Pè decidibile: c'è un procedimento meccanico per determinare se unaqualsiasi formula è un teorema di P oppure no.ó Tutto ciò che dob-biamo fare per determinare se una data formula di P è un teoremadi P è costruirne \a tavola di verità. Se tale tavola mostra che essaè una tautologia, allon la formula in questione è un teorema di P;altrimenti non è un teorema di P. Piú in generale, poiché una fo.r-mula di P è un teorema di P se e solo se è una tautologia, ne segueche qualsiasi risultato generale valga per le tautologie vale anche peri teoremi. Cosí ad esempio otterremo tutte le asserzioni vere se, nellaIista dei risultati concernenti le tautologie che compare a pagina 28,rimpiazziamo la parola "tautologia" con l'espressione

"teorema dtP."In particolare, otteniamo l'importante risultato che se I è una classedi teoremi di P ed A è una conseguenza tautologica di l, allora A èun teorema di P.

Capitolo secondo

La logica dei predicati del primo ordine: I

La logica che stiamo per prendere ín esame è la cosiddettalogica deipredicati del primo ordine o calcolo lunzionale del primo ordine. Talelogica contiene la logica enunciativa come parte propria, nel sensoche tutti i ragionamenti che possono essere sviluppati nella logicaenunciativa possono essere sviluppati anche nella logica dei predicatidel primo ordine, ma non viceversa. Quest'ultima consente di pre-sentare la struttura logica delle formule e delle argomentazioni moltopiú dettagliatamente di quanto non avvenga nella logica enunciativa,nella quale, ad esempio, non si può mostrare in alcun modo la difie-rcnza di sfuttura logica tra gli enunciati "Sette è maggiore di sei"e

"Tutti gli uomini sono mortali." È chiaro comnnque che qualsiasisistema di logica che sia soddisfacente deve metterci in grado di esibite tale differenza. Come vedremo, la logica dei predicati del primoordine ci consente di farlo. Per quanto riguarda la struttura logicadelle argomentazioni, si consideri la seguente argomentazione:

Tutti gli uomini sono mortali,Tutti i greci sono uomíni,Quindi tutti i greci sono mortali.

Questa argomentazione è certamente di forma valida. Nei limiti dellalogica enunciativa, però, non possiamo esprimere la sua forma diver-samente da:

P ,9 'quindi r.

Chiaramente ci è necessario poter esprimere piú dettagliatamente iaforma di questa argomentazioàe se dobbiamo rendere conto della suavalidità. Se disponiamo della logica dei predicati, possiamo fare ciòin un modo che soddisfa pienamente 1o scopo di stabilire la validitàdi questa argomentazione. In effetti saremo in grado di esprimere inmaniera soddisfacente la forma logica di numerosi enunciati e argo-mentazíoni.

La logica dei predicati del primo ordine: I

La logica dei predicati del primo ordine fece la sua prima apparizione come sistema formale (di fatto, anche se non in modo del tuttoesplicito) nel Begrifsschrilt di Frege (1892). Oltre a Frege, altrefigure di rilievo del primo periodo di sviluppo di tale logica sonoG. Peano (L858-I932), C. S. Peirce, Bertrand Russell e A. N. Withe-head (con i Principia Mathematica), T. Skolem, D. Hilbert e\ù7. Ackermann (con i Grundzùge der theoretiscben Logik, 1928).1

2.1. La logica dei predicati del prinoordine FI . Simboli, quantificatori ",e formule

Proprio come vi è piú di un modo per costruire la logica enuncia-tiva, cosí vi è piú di un modo anche per costruire la logica dei pre-dicati del primo ordine. Forniremo ora per tale logica una formula.zione che chiameremo Ft. Tuttavia "Fr,"

anziché essere il nome diun unico sistema di logica dei predícati del pdmo ordine, starà ambi-guamente per piú di una di tali logiche. Questi difierenti sistemi lo-gici risultano notevolmente simili tra loro e di{Ieriscono solo per isimboli adottati. Per i nosri scopi possiamo trattarne contempora-neamente e faremo riferimento ad essi globalmente come sistema Fl.Ogni sistema Fr contiene tra i suoi sirnboli tutti quelli che indiche-remo sotto (1) e (2); inoltre un sistema particolare può contenereo meno alcuni dei simboli sotto (3) e tutti i sistemi Fr contengonoalmeno uno dei simboli sotto (4).

( 1) I connettivi di P insieme plle parentesi ed un nuovo simbolo" f ." Qui abbiamo dunquè i seguenti simboli:

) V A = lQuesti simboli sono le costanti logicbe di Ft. Tutte le altrecostanti di F1 sono costanti non logiche.Una lista infinita di uariabili indiuiduali. cioè

X y Z x r y r Z r x z y 2 Z 2

Ogni volta che dobbiamo parlare della a-esima variabile indivi-duale di Fr, assumiamo come ordine delle variabili individualila disposizione suddetta.

( 3 ) Una lista infinita di costanti individuali, che qui non è neces-sario specificare.

(4) Pet ogni intero positivo n, una lista infinita di costanti predica-tiae n-arie; cioè una lista infinita di costanti predicative unarie

37

P ' Q ' R ' P l a l R l

38 Logica matematica e teorie lormalizzate

una lista infinita di costanti predicative binarie

P2 Q' R' Pî Aî RÌ

La logica dei predicati del primo ordine: I

universali e esistenziali .,Un quantificatore aniuersale di Fr è un'espres-sione della forma (a), dove a è una qualsiasi variabile individuale diFr; un quantificatore esistenziale di F' è un'espressione della forma( 3 a), dove a è una qualsiasi variabile individuale di Ft. In Fr visono dunque infiniti,quantificatori universali ed esistenziali. Ad esem-pio, "(r)"

e "(y)" sono quantif icatori universali, mentre "(

lr)" e"(3 y)" sono quantif icatori esistenziali. I l quantif icatore universaleha il seguente significato: una formula (a)A è vera se e solo se ogalentità nel rango della variabile a soddisfa la formula A. La formula"(x1Pty"

ad esempio è vera se e solo se ogni entità nel rango dellavariabile "x"

soddisfa la formula "Ptx." Il quantificatore esisienziale

ha il seguente significato: una formula t I a)A è vera se e solo sequalche entità nel rango della variabile a soddisfa la formula A. Maqueste sono solo alcune osservazioni informali; in seguito forniremouna interpretazione piú precisa dei quantificatori.Definiamo ora esa1tamente la classe delle formule di Ft. Come nelcaso di P, procederemo ricorsivamente elencando tutti i casi possibili.Una lormula di Fl è qualsiasi espressione di Ft (cioè qualsiasi stringadi lwghezza finita di simboli di Ft) che è (a) una costanre predica..:tíva n-aria di Ft seguita da n occonenze di variabili individùafi e/ocostanti individuali di Fl; oppure (b) la negazione di una formula diFr; oppure (c) il condizionale o la disgiuniione o la congiunzione oil bicondizionale di due formule qualsiasi di Ft; oppure (d) íl risul-tato ottenuto ponendo un quantificatore davanti ad una formula diF'. Cosí:

(a) se f è una costante predicat iva n+ia d i Fred ar , a2 . . . ar sonovariabili individuali e/o costanti individuali, allora f. at a2 ... anè una formula di Ft:

39

e cosí via. (Useremo queste particolari costanti predicative soloper dare esempi di formule in questo capitolo J nel successivo.Negli alri capitoli inrrodurremo invecé delle nuove costanti

-predicat ive.)

In seguito specificheremo esattamente come debbono essere inter-pretati i simboli di Ft. Per il momenro basti dire semplicemente chesi deve tenere presente che (a) le variabili individuali variano suqualche dominio arbitrario (non vuoto) di entità; (b) le costanti ìhdi-viduali stanno per alcune entità particolari ddlo stesso dominio; (c) lecostanti predicative stanno per proprietà e relazioni particolari rale entità del dominio. In particolare le costanri predicaiive n-arie de-vono stare per relazioni n-aúe, cioè relazioni ad n termini.Numerose teorie matematiche poisono essere sviluppate entro la 1o-gica del primo ordine. (Spesso è necessario aggiungere simboli perI'identità e le operazioni; in seguito prenderemo in consideraziónetali aggiunte.) Una formulazione della losica dei predicati del orimoordine che, come la formulazione FI, nJn contenga variabil i predi-cative viene spesso chiamata logica dei predicati del primo ordine(PPlicata semplice. Inoltre ogni teoria matematica espressa in unalog_ica di tal genere (evenrualmente con l'aggiunta dì simboli perl'identità e le operazioni) è detta una teoria elementare o teoria ionformalizzazione standard. Le proprietà generali delle teorie elemen-tari sono state oggetto di svariati studi e ciò ha portato alla scopertadi numerosi e importanti risultati generali concèrnenti tutte questeteorie. Nei capitoli successivi prenderemo in considerazione alcuneteoriè matematiche elementari.Come prima, useremo le lettere romane maiuscole in neretto A, B,C ecc. come metavariabili che sono ora intese variare sulle esores-sioni di Fl. Inoltre includiamo nel metalinguaggio di Fr una se-conda l is ta in f in i ta d i var iabi l i , c ioè le ler tere romane minuscole inneret to:

a b c a r b r c r a z b z

che variano sulle costanri e variabili individuali di Ft. Vi includiamoanche le lettere in neretto "î," "Ír," "f2,"...

che variano sulle costantipredicative di F1.Il concetto di quantificatore è uno dei concetti centrali della sintassidella logica dei predicati. Vi sono in Fr due tipi di quantificatori:

( b )( c )

( d )

se A è una formula di Fl. allora -A è una formula di Ft:(A :B ) , (AVB) , (AAB)se A e B sono formule di Ft, allora

e (A - B) sono formule di Fl;se A è una formula di Ft ed a è una variabile individuale di Ft.allora (a)A e ( 3 a)A sono formule di Ft.

In particolare una lormula atonzica di Ft è qualsiasi formula di Ftdel tipo (a). Ogni formula della forma (a)A è detta generalizzazioneuniuersale e ogni formula della forma ( f a)A è detta generalizzazioneesis tenziale.A titolo di esemplificazione dei numerosi casi particolari entro questadefinizione, si consideri la seguente espressione:

Iì,\

(1 ) (x rX( ( r )Prx A ( f y ) (z )Q ' �yz ) : Q ' r r ) .

40 Logica matematica e teorie lorrtalizzate

Pet (a), "Prx," "Qttr" e

"Q2y7" sono formule. Quindi, per (d),

"(x)Ptx" e

"(z)Q2yz" sono formule; ancora per (d), "(Jy)(z)Q2yz"

è una formula. Allora per (c)

( ( x )P l r A ( l yXz )Q ' � yz )

è una formula; di nuovo per (c),

( ( (x)Plx A ( lyXz)Q212) = Qlxr)

è una formula. Infine, per (d), I'espressione (1) è anche essa unaformula.D'ora in avanti applicheremo di solito le convenzioni per I'omissionedelle parentesi nelle formule e negli schgmi che abbiamo introdottotrattando della logica enunciativa. Inoltre omerteremo di aggiungeregli indici in esponente alle costanti predicative, dal momento chel'indice richiesto in ciascun caso risulta evidente dal numero dellevariabili o costanti individuali che figurano come argomenti.Si consideri 'oraIa formula algebrica

"x<3." Questa formula è vera

per alcuni valori di "x"

e falsa per alri. Diremo che I'occorrenza di" x" in questa formula è un'occorrenza líberc. Si consideri invece la

formula "per qualche x, x 13." Qui vi è una quantificazione sullaoccorrenza di

" x" in

" x < 3," con il risultato che qaesta formula

ha un ben determinàto valore di verità, cioè i l valore'Vero. Diremoche I'occonenza di "

x" in " x < 3" in questa formula è una occor-

renza vincolata (come lo è I'occorrenza dí "

x" in "per qualche r").

Distinguiamo ora in modo esatto tra occorrenze libere e legate divariabili. Una particolare occorrenza di una variqbile a in una for-mula A è una occorrenza uincolata di a in A se e solo se essa occorrein qualche parte di A che è una formula delia forma (a)B o ( f a)B.Altrimenti è un'occorrenza libera di a in A. Nella formula"(x)P

xy AQx," per esempio, le prime due occorrenze di "x"

sonooccorrenze vincolate, mentre la tetza è una occorrenza libera, comelo è anche I'unica occorrenza di " y" in tale formula.Se una formula (a)8, o ( f a)8, occorre in una formula A (oppure èla stessa formula A), allora I'ambito in A di quella particolare occor-renza del quantificatore (a), o ( f a), è Ia stessa formula (a)B, o( I a)8. Cosí nella formula

"(x)P xt A Q x" I'ambito del quantifi-

catore "(r)"

è la formula "(x)P

xy." L'occorrenza finale di "x" in

questa formula giace fuori dall'ambito del quantificatore.Infine, un enunciato o formula cbiusa di Ft è qualsiasi formula di Flche non contenga nessuna occorrenza libera di variabili. Tutte lealtre formule di Ft si dicono lorrnule alerte.

La logica dei predicati del primo ordine: I

2.2 Interpretazioni. Verità e ualidità

Il concetto di formula di F1 è un concetto sintattico, dal momentoche è stato definito facendo riferimento solo àlla forma delle espres-sioni e del tutto indipendentemente dal loro significato. Avendo defi-nito il concetto di formula, siamo ora in grado di occuparci della

obiettivi di questo capitolo è definire esattamente i concetti di vali@ità logic4 e'di implicazione logica rispetto alla logica dei predièàli--r---.!."z ,. ì,, ,. "del o-lmo ordine- F lTlli concetti saranno definiti come concettlsemantlcl.Nella semàntica di Ft alle costanti ptedicative unarie (cioè ad unposto) saranno assegnate cldsi-dì-iidìilduiprdsi.'àà quel dominio(non vuoto) di individui sopra il quale uariano le variabili indivi-duali. Per ogni n maggiore di 1, alle costanti predícative n-rie sa'ranno assegnate relazioni n-rie trl- gliìîdilidui?i--quato doniinio.. . - ' + . -Assegneremo clunque îelazlonr blnarte alle costanll preolcatlve Dr-narie (cioè a due posti), rclazioni ternarie alle costanti predicativeternarie (cioè a te posti) e cosí via. Le relazioni binarie ci sonofamiliari tramite I'algebra'e I'esperienza q,rofiffiilG relazioni, adesempio, di essere maggiore di, minore di, alla sinistta di, padre di.La geomeui a piana ci fornisce esempi, di alcune relazioni ternarie equaternarie (cioè a quattro posti), rispéttivamente il giacere di unpunto .x tra i punti y e z e la relazione per cui il punto x dista dalpunto l, tanto quanto il punto z dista dai punto w. Se ora presuppo-niamo la nozione di n-upla ordinata, possiamo fornire una definizionemolto generale del concetto di relazione n-aria; qg4lglff-Sblse.d1-z@@@@@@@@�te è:ng \eLaz$:;@,.

(Nel capitolo VII.vSdleqocbfrela nozione di a-upla ordinata può a sua volta essere definita lntermini della nozione di insieme.) Cosí la telazione di esseré-minore-di tra numeri interi Duò essere definiffie

- * ' + ' - * - - a -óppiè-6r<fiqate-?rr i->-TaliTFtted y siano interi ed x sia mi--=---- | |nore di y. La relazione geometríca del giacere di un punto x tîa Iy .?ilil.ssere definití .o-. la classJ di tutte l. tiiple ordinate1 x, !, z ) tali che x, y e z sono punti di una linea e x giace tra ye z. Entrambe queste relazioni, cosí intese, risultano classi con unnumero infinito di a-uple ordinate.Per àmore di geièraliù, in seguito considereremo le classi di indi-vidui come relazioni unarie tra individui.

I

4 l

II

I\ '

ai significati di esse è un concetto semantico. Uno dei principali

I

Logica matematica e teorie lormalizzate

Procediamo ora alle definizioni, esaminando in primo luogo la defi-nizione del concetto semantico di interpretazione.2 Una interoreta-zione di Fr cons is re approssi mativafiîEEiéìfiTn-domi n io

-ditntità

sulle quali variano le variabili individuali di Ft, insieme aii5àiièlnà-zione di entità appropriate definite rispetto a quesro dominio perogni costante non logica di Fl. Piú esattamente una interpretazione Id i Fr consíste in : .

( a ) un dominio non vuoto D, sul quale variano le variabili indivi-dual i d i F ' ;

(b) un'assegnazione a ciascuna delle costanti individuali di Ft (seve ne sono) di un individuo nel dominio D;

( c ) un'assegnazione a ogni costante predicativa n-úa di Fr di unarelazione n-ria tta gli individui di D.

Si noti che qui non stiamo definendo semplicemente il concetto diinterpretazione di una formula di Fr, ma il concetto di interpreta-zione di Fl stesso - nella quale ogni formula di Fr riceve natural-mente una interpretaz ione.Ci è ora necessario il concetto di sequenza infinita atbitraria di individui in D. Le variabili di Ft sono disposte in una sequenza infinita.Ogni sequenraîif l?a di individui in D correla dunque un individuodi D con ciascuna delle variabili di Ft. In particolare, per ogni for-mula A e per ogni sequenza infinita di individui J - (br, bz, ...), cia-scuna delle variabili libere in A è correlata da S ad un individu<ri n D .Il simbolo

Ji(a)

indica I'individuo di D che 1 assesna ad a se a è una costante indi-viduale o I'individuo di D che S comela ad a se a è una variabileindividuale.Definiamo ora cosa si intende dicendo che una sequenza data S sod-disfa una formula A rispetto acl una interpretazione L Utilizzeremouna definizione ricorsiva, parallela alla definizione generale di for-mula, definizione che naturalmente procederà in accordo con le inter-pretazioni assegnate ai connettivi enunciativi e ai quantificatori.Sia A una qualsiasi formula di Fl, I una interpretazione di Ft e Suna sequenza infinita di individui del dominio D di I.

(a) Se A è una formula atomica f ar...an, alloru S soddisfa A (ri-spetto ad 1) se e solo se tra glí n individui St(ur) ... Si(a") vale larelazione che I assegna ad f; cioè se e solo se 7a n-upla ordinata

La logicé dei predicati del primo ordine: I 43

< Si(ar) ...St(u,) ) è un elemento della classe di a-uple ordi-nate che -I assegna ad f.

(b) Se A è -8, per qualche formula B, allora S soddisfa A se esolo se S non soddisfa B.

(c) Se A è B: C, per qualche B e C, a l lora. l soddisfa A se e solose .! non soddisfa B o S soddisfa C.

(d) Se A è B V C, per qualche B e C, allora S soddisfa A se e solose S soddisfa B o C (o entrambi).

(e) Se A è B A C, per qualche B e C, allora S soddisfa A se e solose S soddisfa sia B che C.

(f ) Se A è B - C, per qualche B e C, allora S soddisfaA se e solose o .l soddisfa -.ia B che C c -l non soddisfa né B né C.

Prima di aggiungere a questa definizione due clausole finali per laqrantlfrcazióÀe sulle formule, introduciamo la nozione di a-varianteii ,r.ru sequenza infinita di S. Una sequenza infinita di individui di D

è una a-uàriante di tna determinata t.q.t.ttro infinita di individui diD se e solo se a è una variabile individuale e (a) le due sequenzesono identiche oppure (b) difieriscono al piú per f individuo che cor-relano alla variabile a (mentre coincidono sotto ogni alto aspetto).Come caso speciale ogni sequenza è dunque una a-variante di sestessa. Aggiungiamo ora.le due ciausole frnali utllizzando appuntoquesto concetto dl a-varlante

(g) Se A è (a)8, per qualche vaiiabile individuale a e qualche for-" mula B, allora S toàditfu A se e solo se ogni a-variante di S sod-disfa B.

(h) Se A è (la)B, per qualche variabile individuale a e qualcheformula B, allora S soddisfa A se e solo se qualche a-variante diS soddisfa B.

Il lettore apptezzerà, forse alcune esemplificazioni di questa defini-zione. Si consideri la formula

"P x." Supponiamo che una interpreta-

zione I assegni come rango alle variabili di Ft il dominio dei numeriinteri positivi e assegni al predicato "P" la classe dei lumeri primi.Allora, dal mon.rento che " x" è la prima rtariabile di Fr, per la clau-sola (a) ogni sequenza S che abbia come primo termine un numero .orimo soAdisferà la formula

"P x." Si consideti oru \a formulat'( f r)Prr." Per la clausola (h), una sequenza atbittatia S soddisfaquesta formula se e solo se qualche " x" -vaîianle di S - cioè qualche

ùq...nru che difierisce da S-al piú per il suo primo termine - sod-disfa

"P x." Ora ogni sequenza che contenga come primo termine un

numero orimo e.i" p.i i l resto coincida con.l soddisferà "Pr."

Cosí, dai momento chà esistono sequenze di tale genere' la stessa S

trbb+-..., ,,,'/

44 Logica matenatica e teorie lornalizzate

soddisferà "( 3r)Px." Poiché inoltre S è una sequenza atbitraria,tutte 7e sequenze soddisferanno "( f x)p x,, (rispeito all'interpreta-zi.one data 1). In efietti è facile vedere che, in generale, se una'qual-slasl s_equenza soddisfa, rispetto ad una interpretazione f data, unaformula che non contenga nessuna variabile

-libera, allon ogni se-

quenza soddisfa quella formula rispetto ad I. Rispetto ad una inter-pretazione data'un enunciato è dunque soddisfatio o da tutte le se-quenze o da nessuna. Questo non u.ie, naturalmente, pef le formulein generale.Come ulteriore esempio, si consideri la formula "(x)p

x." Una se.quenza.l soddisfa "1x7P

x" se e solo se ogni "x"-vatiante

di S sod-disfa "Prr."

Se vi è dunque una qualslasj-ux"-variante di.î che non ,-s.o4.disfa "P

*i' allora neppure S"soddisfa "(x)p x.,, Ma qualunque"

x"-variante che conteng;iome primo termine un qualsiaii ,rrrrné.o9!e non.sia primo non soddisfeîl "p

*.,, euindi ,r.pp.rr. J sodclisfa" (x)P x" ; cioè nessuna sequenza soddisfa " (x)p x" (iiìpetto all'inter-pretazione 1).utilizzando i concetti che abbiamo ora a disposizione, siamo in gradodi definire numerosi altri concetti semantiii, molti dei quali iorrispondono in qualche modo ad importanti concerti intuitivi (anzi, inalcuni casi, eventualmente, a piú di uno di tali concetti). Natural-mente ciascuno dei concetti che definiremo sarà relativizzato alle for-mule di Ft.In primo luogo il concetto di verità. Anziché definire semolicementeun concetto di verità, definiremo un concetto di verità in una inter-pretazione data. Inoltre definiremo questo concetto e tutti gli altriconcetti semantici non per gli enunciati - cioè formule senla nes-suna variabile libera - ma per le formule in eenerale.La chiusura (uniuersale) di una formula A sia"il risultato otrenutoponendo davanti ad A un quantificatore universale per ognuna dellesue variabili individuali libere. (Queste variabili devìno esserÈ presein ordine crescente. se A non contiene nessuna variabile libera. alloraA vale come la chiusura di se stessa.) Definiamo la verità in unainterpretazione data in modo tale che una formula con variabili libererisulti vera se e solo se la sua chiusura universale 1o è. Ad esemoio"Px,"

sarà vero in una interpretazione data se e solo se "(x)prr; è

veta in quella interpretazione.Premesse_ queste osservazioni, la definizione è quasi ovvia. Una for-mula A di Fr è oera in una interpretazione 1 se e solo se A è soddi-sfatta da ogni sequenza infinita i di individui in ,I. Inolre diremoche una formula A è latsa in una interpretazione I se e solo se Anon è soddisfatta da nessuna sequenza dì individui in l.rl lettore non dovretbe rovare ilfficolta nel rilevare che i sesuentirisultati sono conseguenze immediate delle definizioni date.

La logica d.ei predicati del pùmo ordine: I 45

( 1 ) una formula A è vera in r se e solo se la sua chiusura univer-

sale è vera in ,I.(2) (a)A è vera in f se e solo se - ( la) -A è vera in 1; e s imi l -

mente per - (a)- t r e ( la)4.(3) Se A eà R I B sono entrambe vere in I, alloru B è vera in f'

i;) Ú"; formula A è falsa in una interpretazione r se e solo se -A

è vera in 1; A è vera in I se e solo se -A è falsa in 1'

( 5 ) Nessuna formula è sia vera che falsa nella stessa interpretazione.(6) Se A è un enunciato, allora o A o -A è vero in I; dunque A

è vero o falso in f.

Si noti tuttavia che, se è A una formula qualunque, non sempre si

dà il caso che o A o -A sia vera in 1. Siconsideri nuovamente la

formula apeîta"P x." In qualunque interpretazione che assuma come

dominio i numeri interi pósitivi É assegni a"P" la classe dei numeti

;;tt"t;q,r.rr^ formula uf,..t" .tott è né vera né falsa' Ciò-perché.noi

èo.rriú.ri"-o rr.a fo.muj, apert^ come vera se e solo se la sqg..-cliu-

sura universale è vera e come falsa se e solo se la chiusura univer-

sale della sua negazione è vera. Ma né la chiusura universale di"Px"

né la chiusura u-niversale di " -Pf " sono vere in una tale interpré-

tu"ionr, dal momento che non si dà il caso né che tutti i numeri

oositivi interi siano primi né che nessuno di essi sia primo-

Ìnr.od,r.ir-o ora il ion..tto fondamentale di modello . Un rnodello,

di una classe di formule f (o di una formula A) è semplicgmgnte *na;;;*;terpretaziónè nella quale tutte l9-foll l iulg-di :f 1g3lJ.nt-"Éril S. f e un--Àodélfo

-di t' t;Ai Al; aiiora diciamo che

ffi ,aL in r. Inoltre diremo che f (o A) è semanticamente con-

sistente se e solo se I (o A) ha un modèllo.t.,u io.-,rl a A è ^alida in Fl - o logicamente oalida o una aerità

logi,ca in ['r - 5s e solo se A è vera in ogni interpretazione. Abbiamo

qu'i,-,rru analisi precisa (ristretta alle fopmule di Ft) del famoso-con-

èt,o info.-ale ii Leibniz di "essere vero in tutti i mgdi possibili"'

i.rrrri,iur-.nte una formula valida è una formula che è vera in vírtú

di .onrid.rrzioni logiche soltanto o vera sotto tutte le condizioni

logicamente Possibili.M-or,r.r.-o àegli esempi di formule logicamente valide in Fr in se-

g"ia, q"t"ao ire.td..".no in esame gli assiomi ed i teoremi di Fr'

Únu-ioi*rrl" A è ltogicamente) incr,tisistente se e solo se A è falsa

in ogni interpretazio".. Ci; ovviamente accadrà se e solo se -A è

logic"amente valida. Una formula A è soddislacibile se e solo se, per

alir"no una interpretazione, A è soddisfat_ta da almeno una sequenza.

òhiu.u*.n,. qualsiasi formula A è valida se e solo se - A non è

soddisfacibile.Una formula A è una conseguenza (togica) di una classe di formule

1IIIIIt

46/

Logica matematica e teolie lorrlalizzate

I se e sofo se,-per ogni interpretazione f, ogni sequenza che /oddisfatutte le formule in f soddisfa anche A. Diòiamo ih. unn formula Bimplica (logicanente) A se e solo se A è una conseguenza logica dellaclasse che contiene B come suo unico elemento. óue formile si di-cono (logicamente) equiualenti se e solo se si implicano logicamenteln modo reclDroco.si può mostràre facilmente che i concetti semantici introdorti a pro-posito della logica enunciativa risultano casi speciali dei conÉettiappena delineati e sono facilmente trasferibili aia logica dei predi-cati. Le taurologie di Fr sono ad esempio un caso .p"iinl. de[L for-mule logicamenfe valide di Ft e I'impúcazione taurologica è un casospeciale delf implicazione logica. come vedremo in segJito, i concettísemantici della logica dei predicati difieriscono comunque sotto unimportante aspetto dai concetti semantici della loeica enunciariva.Questí ultimi sono concetti efferrivamente definiti (ler ogni formulaA e per ogni classe finita di formule f ), mentre i pii-l n.-on lo sono.Non vi sono cioè procedimenti efiettivi per determinare in ogni casose un concetto semantico per la logica dei predicati si applica o menoa.un caso particolare. Per esempio, il concetto di formula valida diFr non è efiettivamente definitò, mentre il concetto di iatitologiadi Ft è effettivamente definito. Le tavole di verità ci forniscono ìntest effettivo per determinare se una qualsiasi formula data A è omeno una tautologia; mentre non vi è nessun test effettivo corrisoon-dente per determinare se A è valida oppure nb. Naturalmenre in mor-tissimi casi è possibile determinare se A è valida o meno; ma è noroche non vi è nessun procedimento effettivo per determinare ciò inogni caso.come abbiamo fornito un elenco di alcuni risgltati derivati dai con-cetti semantici definiti per la logica enunciativa (pagina 2g), diamoora il seguentq elenco di risultati generali per le fòrÀule di Fr; pen-siamo che il lettore non roverà difficoltà nel rendersi conto di comeessi derivano dalle precedenti definizioni_dei concetti semanrici per Fr:

( 1) A implica logicamente B se e solo se il condizionale A : B èvalído.

(2) A e B sono logicamente equivalenti se e solo se il bicondizio-n a l e A - B è v a l i d o .

(3) Se f è una classe di formule valide e A è una consequenza lo-gica di l, allora A è valida.

(4) Se A implica B e B implicaC, alTora A implica C; cioè l, impli-cazione logica è transitiva.

(5) Due fotmule valide qualsiasi sono logicamente equivalenti.(6) Una formula valida è implicata da qualsiasi formula (o classe di

La logióp dei predicati del primo otdine: I 47j

formule); inoltre una formula inconsistente implica qualsiasi

forÀula.(7) A è valida se e solo se A è una conseguenzalogica della classe

vuota di formule:

Inoltre:

(8) A è valida se e solo se la sua chiusura è valida; A ha un mo-'

dello se e solo se la sua chiusura ha un modello'(9 ) Per ogni formula A e per ogni classe di formule f, se A è una'' '

.o.tr.!.renza dí 1., allora A vale in ognl modello di f ' In parti-

.ol"r.] per ogni formulu B, se B implica A, allora A vale in

ogni modello di B.

I concetti semantici che abbiamo definito per la logica dei predicati

Ft ,ono del tutto chiari se applicati a enuniiati ma !-er la loro appli-

carione a formule aperte, che contengono variabili libere, si tichiede

una maggior. utt.niion.. Abbiutno già nottto che in generale- non

ri àa it 1""ro .h. una formula aperta sia o vera o falsa in una inter'

;;.ì;;; d^* - dal momentò che una formula aperta -A è consi-

i;;;ià-";;" iolo ,. la sua chiusura è vera e falsa solo se la chiusura

di -A è vera.parecchie altre osservazioni di questo tipo meritano di essere espli-

iitate. Sia A un enunciato. Allora una formula B vale in ogni mo-

dello di A se e solo se A implica B. Tuttavia, se A è una jgm.rlla

aperta questo risultato non vale in generale' Cosí se A è "Px" e

d a "(rip x," allota B vale in ogni modello di A - cioè se A è vera

in una quaích. interpretazione -I, allora B è vera 4ella stessa f -

ma B non è implicatà da A. Poiché se f assegna come dominio i,nu-

meri interi positivi e assegna ^ "P" l^ classe dei numeri primi, allora

;;;i ù;;";a S che abbia come primo terrnine il numero 3 soddi

sf?rà "É

x," ma non "(x)Px'" gìindi, in accordo alla nostra defi-

nizione di implicazione, "Px" non ímplica

"ix;Px'

Nel caso deilà fotmule aperte vi è dunque talvolta una discrepanza

tra I'essere logicamente implicato da una. formula A e il valere in

ogni modello éi n. B chiaro comunque che aale in generale quanto

,Jg.r., ,. | è un qualsiasi insieme dì form.,'le e f' è I'insieme delle

,liirrurc di quelle iorln,-tl., allora una formula A vale in tutti i mo-

delli di f se e solo se A è una conseguenza logica di f'. similmente

I avrà un modello se e solo se I. ' è soddisfacibile. se tutte le tor-

mule in I sono già chiuse f' è naturalmente identico a f; in questo

caso A è una conseguenza di Ia se e solo se A vale in ogni modello

di I e f ha un *od.llo se e solo se f è soddisfacibile'

Introduciamo ora un simbolo che è largamente usato negli scritti di

I

4948 //Logica matematica e teorie lorializzate

logica, precisamenre il simbolo " ts " definiro come ,.gue, f.r ogniclasse di formule f e per ogni formula A, I

f c A

se e solo se A vale in ogni modello di f. Come abbiamo già accen-nato, nel caso che r sia una classe di formule chiuse ciò eóuivale alfatto che A sia una conseguenza di f.Useremo anche

B = A

per significare che A vale in ogni modello di B;

A t s f

dove A è una classe di formule, per significare che ogni formula in Ivale in ogni modello di A;

T A

per significare che A vale in ogni modello dell'insieme vuoto di for-mule.I seguenti risultati sono relativamente ovvi e facilmente formulabilicon I 'aiuto della nuova notazione

(1) Se A t f e I c A, a l lora A e A.(2) Se I = A e ogni formula in f è in A, allora A * A.( l ) Se f t s A e | = A : B , a l l o ra | = B .(4) Se f É A, allora | ts A', dove A' è la chiusura di A.(5) Se A è valida e I è una qualsiasi classe di formule, allora

f = 4 .(6) A è valida se e solo se ts A.

Concludiamo questa sezione riesponendo connotazione due risultati gíà menzionati:

I'aiuto della nuova

( 7 ) Per ogni formula A e per ogni classe di formule I, se A è unaconseguenza di l, allora f e A.

( 8 ) Per ogni formula A e per ogni classe di formule chiuse T, A èuna conseguenza di I se e solo se f = A.

Vedremo in seguito, una volta definita la nozione di essere deriva-bile da, che f = A se e solo se A è derivabile da l, per ogni classedi formule f e per ogni formula A.

La logica dei predicati del primo ordine: I

2.3 Scbemi di assiomi di Fl. Regole diinlerenza e teoremi. Consistenza di FI

Torniamo on alla sintassi di Ft e prendiamo in esame un insieme di

schemi di assiomi e regole di infeienza per Fl. Vogliamo formulare

assiomi e regole da cui siano derivabili come teoremi di Ft tutte le

formule va[àe di F1 e nessun'altra formula; e ciò risulta possibile.

usererlo il seguente insieme di schemi di assiomi, che include gli

schemi di assiòmi di P. Siano A, B e C formule di F''

( a ) A : ( B : A )( b ) ( A : ( B : C ) ) r ( ( A r B ) r ( A : C ) )( c ) ( - B r - A ) r ( ( - B : A ) : B )iaj i"Xn: B): (A': (a)B), dove a è una variabi le individuale

che non ha nessuna occorrenza libera in A.(e) (a)A: B, dove a è una variabile individuale e B difierisce da'

A al piú per il fatto di avere delle occorrenze libere di una va-

riabilè inàividuale (o occorrenze di una costante individuale) b

dove A ha delle occorrenze libere di a.

Come esempi di assiomi di Fr abbiamo le seguenti formule:p?r lo schema (a)

( x ) P r r ( P t l > ( x ) P x ) ;

per lo schema (d)

( x X P y : Q r y ) r ( P y I ( x ) Q x Y ) ;

per lo schema (e)

( r )P x :P y , e( l X Q x y : ( z ) Q y z ) ) ( Q x r : ( z ) Q x z ) .

Il lettore dovrebbe essere in grado di mostrafe che questi schemi di

assiomi sono tutti veri in ogni interpretàzione, cioè validi. Le restri-

zioni sugli schemi di assiomi (d) ed (e) sono comunque necessarie

i Der evit;re che certi assiomi risultino non veri in alcune interpreta-' )ioni. Cosí, se eliminassimo la restrizione sullo schema di assiomi (d),

otterremmo come assioma

( x X P x r P x ) : : ( P x : ( r ) P x ) .

Consideriamo tuttavia una qualunque interpretazione f che assegli

a "P" la classe di tutte le èntità del dominio' eccetto una qualche

entità a. Allora I'antecedente di questa formula sarebbe vero in I,