Upload
anonymous-g9cdn9n
View
57
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
25
Capitolul 2
Numărul de aur
Pornind de la „numărul de aur” capitolul de faţă prezintă din perspectiva
construcţiilor geometrice câteva din principalele elemente ale teoriei proporţiilor.
2.1. Noţiuni introductive
Fie [ ]AB un segment de lungime c şi fie C un punct pe [ ]AB astfel încât
aAC = şi bCB = (fig.1a). Punctul C determină pe AB şase rapoarte ba ,
ca ,
ab ,
cb ,
ac ,
bc . Egalând aceste rapoarte, două câte două, se obţin 15 proporţii simple ce pot fi
grupate în 5 categorii :
Fig. 1a
1.
=
=
=
bc
cb
ac
ab
ca
ba
⇔
=
==
22 cbabacabac
⇔ cb = , corespunde cazului în care AC = (Fig. 1b)
Fig. 1b
A= C B
A G C
a b
c
26
2.
=
=
=
ac
ca
cb
ab
bc
ba
⇔
=
==
22 cabcabbcab
⇔ ca = , corespunde cazului în care BC = (Fig. 1c)
Fig. 1c
3.
=
=
cb
ac
bc
ca
⇔
==
2
2
cabcab
, situaţie imposibilă
4.
=
=
=
ab
ba
bc
ac
cb
ca
⇔
=
==
22 babcacbcac
⇔ ba = ,
Fig. 1d
5. ac
ba= ;
ca
ab= ;
cb
ba= ;
bc
ab=
Fig. 1e
Studiem categoia 5. In acest sens determinăm valoarea primului raport. Astfel,
ac
ba= ⇔
aba
ba += ⇔ 1
2
+=
ba
ba
⇔ 012
=−−
ba
ba (1)
A B C
A C = B
A B C
corespunde cazului în care C este mijlocul segmentului
AB (Fig. 1d)
27
Notăm bax = . Atunci relaţia (1) devine o ecuaţie de gradul doi, 012 =−− xx şi
admite două soluţii iraţionale:
- o soluţie pozitivă 2
511
+=x ,
- o soluţie negativă 2
512
−=x .
Observaţie. Pentru determinarea valorilor celorlalte rapoarte se procedează în
mod analog.
Definiţie. Soluţia pozitivă 2
51+ a ecuaţiei de gradul doi 012 =−− xx se
numeşte număr de aur , se notează cu Φ şi are valoarea aproximativă ...618,1 .
Definiţie. Modulul soluţiei negative 2
51− a ecuaţiei de gradul doi
012 =−− xx se numeşte inversul numărului de aur, se notează cu Φ1 şi are valoarea
aproximativă 618,0 … .
Proprietate. Numărul de aur este singurul număr pozitiv din care dacă se scade
o unitate se obţine inversul său:
Φ=−Φ
11 .
Sau, altfel spus, numărul de aur este un număr pozitiv incomensurabil care diferă de
inversul său printr-o unitate.
Observaţie. Numărul de aur a fost notat cu litera grecească Φ ca omagiu adus
lui Phidias, arhitectul Pantenonului din Atena.
2.2. Secţiunea de aur
Definiţie. Spunem că trei puncte A , B ,C (Fig.2) formează secţiunea de aur
sau determină o proporţie divină sau, punctul B împarte segmentul [ ]AC în medie şi
extremă raţie dacă are loc relaţia:
ABAC
BCAB
= sau BCACAB ⋅=2 .
28
Fig. 2
Altfel spus, punctele A , B , C formează secţiunea de aur dacă lungimea
segmentului [ ]AB este medie geometrică (sau proporţională) între lungimea întregului
segment [ ]AC şi lungimea segmentului [ ]BC .
Exemple.
Parthenonul (Atena)
CN Tower (Toronto)
A C B
29
Clopotniţă (Târgul Secuiesc)
Clopotniţă (Târgul Secuiesc)
30
Construcţia geometrică a secţiunii de aur
Metoda I. Fie [ ]AB un segment dat. Construim în B perpendiculara pe
segmentul [ ]AB şi fie C un punct pe această perpendiculară astfel încât ABBC =
(Fig.3). Fie O mijlocul segmentului [ ]BC . Dreapta AO intersectează cercul de centru
O şi diametru [ ]BC în punctele 'M şi respectiv 'N . Cercurile de centru A şi raze
'AM şi respectiv 'AN intersectează dreapta AB în punctele M şi respectiv N .
Punctul M realizează secţiunea de aur a segmentului [ ]AB , iar punctul B pe cea a
segmentului [ ]AN .
Fig. 3
Demonstraţie. Pentru simplitate, presupunem că [ ]AB este un segment de
lungime unitate. Atunci OB este de lungime 21 . Aplicând teorema lui Pitagora în
triunghiul dreptunghic ABO obţinem 25
=AO . Având în vedere faptul că
'' OMAOAM −= şi OBOM =' (ca raze în cercul de centru O şi diametru [ ]BC ),
rezultă că Φ
=−
=−=1
215
21
25'AM . Cum 'AMAM = , ca raze în cercul de centru
A şi rază 'AM , rezultă Φ
=−
=1
215AM . (2)
O
A
M'
M B
C
N
N'
31
Având în vedere că '''' NMAMAN += şi [ ]'' NM este diametru în cercul de centru O
rezultă Φ=+
=+−
=2
1512
15'AN . Cum ANAN =' , ca raze în cercul de centru A
şi rază [ ]'AN , rezultă Φ=+
=2
15AN . (3)
Având în vedere faptul că AMABMB −= rezultă 2
532
151 −=
−−=MB . (4)
Deoarece ABANBN −= rezultăΦ
=−
=−+
=1
2151
215BN . (5)
Din relaţiile (2) şi (4) şi din faptul că lungimea segmentului AB este 1 rezultă
relaţia Φ==AMAB
MBAM . Deci conform definiţiei punctele A , M , B formează
secţiunea de aur.
Din relaţiile (3) şi (5) şi din faptul că lungimea segmentului AB este 1 rezultă
relaţia Φ==ABAN
BNAB . Deci, conform definiţiei punctele A , B , N formează
secţiunea de aur.
Metoda II. Considerăm triunghiul ABD dreptunghic în B cu catetele BD şi
AB în raport 1:2 (Fig.4). Cercul de centru D şi rază BD intersectează ipotenuza AD
în punctul E . Cercul de centru A şi rază AE intersectează cateta AB în punctul C .
In aceste condiţii punctul C împarte segmentul [ ]AB în secţiune de aur.
Fig. 4
A
B D
C E
32
Demonstraţie. Fie ABD un triunghi dreptunghic în B . Dacă pentru simplitate
în triunghiul dreptunghic ABD considerăm latura [ ]BD de lungime 1 şi AB de
lungime 2 atunci conform teoremei lui Pitagora ipotenuza AD este de lungime 5 .
Arcul de cerc de centru D şi rază BD intersectează latura AD în E .
Cum 1== DEBD şi DEDAEA −= rezultă 15 −=EA .
Arcul de cerc de centru A şi rază AE intersectează latura AB înC .
Cum ACAE = rezultă 15 −=AC . Având în vedere faptul că CABABC −= şi
AB este de lungime 2 rezultă 53−=BC . Se observă că în aceste conditţii are loc
relaţia Φ==ACAB
CBAC . Conform definiţiei punctele A ,C , B formează secţiunea de
aur.
Metoda III. Fie ABC un triunghi echilateral (Fig.5). Construim linia mijlocie
DF şi o prelungim până intersectează cercul circumscris triunghiului echilateral
ABC . Fie E punctul de intersecţie al segmentului DF cu cercul. Atunci punctele
EFD ,, formează secţiunea de aur.
Fig. 5
Demonstraţie. Evaluăm segmentele DF , FE şi DE . Din construcţie DF este
linie mijlocie în triunghiul ABC , deci 2lDF = , unde l este lungimea laturii
triunghiului echilateral.
A
D E
B C
F
O
H
33
Cum triunghiul DAF este echilateral rezultă 4lHF = iar
43lAH = .
Deoarece triunghiul ABC este echilateral rezultă OA este raza cercului circumscris
triunghiului ABC şi are lungimea 33
23
32 ll
=⋅ . Atunci lungimea segmentului OH
poate fi calculată astfel: 12
343
33 lllAHOAOH =−=−= . Aplicând teorema lui
Pitagora în triunghiul dreptunghic OHE obţinem relaţia 45lHE = . Prin urmare,
putem scrie HFHEFE −= , de unde rezultă Φ⋅=
−⋅=
122
152
llFE . Cum
FEDFDE += rezultă Φ⋅=2lDE . Atunci are loc relaţia Φ==
FEDF
DFDE , ceea ce
implică faptul că punctele EFD ,, formează secţiunea de aur.
Observaţie. Intr-un triunghi echilateral putem stabili următoarele rapoarte de
aur (Fig.6):
Φ==DFDE
FEDF , Φ==
AYAC
YCAY , Φ==
DZDC
ZCDZ , Φ==
AWAD
WDAW , Φ==
WXWY
XYWX .
Fig. 6
E D
A
C B
F
Z
W
Y
X
34
Metoda IV.1. (Hofstetter). Fie d o dreaptă dată şi fie X şi Y două puncte
arbitrare pe această dreaptă (Fig.7). Construim cercurile ( )XYXC , şi ( )XYYC , .
Cercul ( )XYXC , intersectează a doua oară dreapta d în punctul P . Cercul ( )XYYC ,
intersectează a doua oară dreapa d în punctul Q . Notăm cu G şi respectiv B
Fig. 7
punctele de intersecţie ale celor două cercuri. Fie A unul din punctele de intersecţie
ale cercurilor ( )XQXC , şi ( )YPYC , . Punctele BGA ,, formează secţiune de aur.
Demonstraţie. Din construcţie rezultă faptul că triunghiul XGY este
echilateral, prin urmare lYGXYGX === . Atunci, segmentul GH este înălţime în
triunghiul echilateral XGY iar lungimea lui este 23l . Cum HBGH ≡ rezultă
3lGB = . Pe de altă parte avem relaţia GHAHAG −= . Aplicând teorema lui
Pitagora triunghiului dreptunghic XHA obţinem relaţia:
( )215
22
2222 lllXHAXAH =
−=−= .
Inlocuind valorile corespunzătoare segmentelor AH şi respectiv GH în expresia
precedentă obţinem Φ
=−
⋅=3
2153 llAG . Deci Φ=
Φ
=33
ll
AGGB . Cum
AGGBAB += , rezultă Φ=
Φ+=
Φ+= 311333 llllAB . Atunci, are loc
X Y P Q
A
B
G
d H
35
relaţia: Φ=Φ
=3
3l
lGBAB . Prin urmare, punctele BGA ,, verifică egalitatea
Φ==AGGB
GBAB , deci formează secţiunea de aur.
Metoda IV.2. (Hofstetter) Fie d o dreaptă dată şi fie A şi B două puncte
arbitrare pe d (Fig.8). Construim cercurile ( )ABAC , şi ( )ABBC , .
Fig. 8
Fie E punctul în care cercul ( )ABAC , intersectează a doua oară dreapta d şi fie C
unul din punctele de intersecţie ale cercurilor ( )ABAC , şi ( )ABBC , . Construim cercul
( )EBEC , şi notăm cu F punctul de intersecţie al acestuia cu cercul ( )ABBC , . Dacă
punctele C şi F sunt situate de o parte şi de alta a segmentului AB atunci CF
intersectează segmentul AB în tr-un punct G . Punctele BGA ,, astfel construite
formează secţiune de aur.
Demonstraţie. Pentru simplificarea calculelor presupunem segmentul AB de
lungime unitate. Fie H punctul diametral opus lui B în cercul ( )EBEC , , fie I
punctul de intersecţie al segementului CD cu segmentul AB şi fie J proiecţia
ortogonală a lui F pe AB (Fig.9).
A B d
F
C
GE
36
Fig. 9
Deoarece triunghiul HFB este înscris într-un semicerc rezultă că este triunghi
dreptunghic. Cum 1=AB rezultă că triunghiul dreptunghic HFB are ipotenuza
4=HB şi cateta 1=FB . Aplicând în acest triunghi teorema catetei obţinem
următoarea relaţie: BHBJBF ⋅=2 de unde rezultă 41=BJ . Aplicând teorema lui
Pitagora în triunghiul dreptunghic FJB obţinem 415=FJ . Din asemănarea
triunghiurilor CIG şi FJG rezultă relaţia: JFIC
GJIG
= , de unde obţinem expresia:
JFICGJIG ⋅
= . Inlocuind în această expresie valorile corespunzătoare obţinem
GJGJIG5
2
1541
321
== , dar GIIJGJ −= şi atunci 2
2525
2 −=
+= IJIG .
Inlocuind în expresia IGAIAG += valorile corespunzătoare obţinem
Φ=
−=
12
15AG şi cum 2
111Φ
=Φ
−=−= AGABGB rezultă relaţia căutată:
Φ==AGAB
GBAG .
Observaţie. Notăm cu G′ intersecţia dreptelor DF şi AH . Atunci punctele
BAG ,,′ formează secţiunea de aur.
37
Metoda IV.3. (Hofstetter) Fie d o dreaptă dată şi fie A şi B două puncte
arbitrare pe d (Fig.10). Construim cercurile ( )ABAC , şi ( )ABBC , . Fie C şi D
punctele de intersecţie ale celor două cercuri şi fie M mijlocul segmentului AB .
Cercul ( )ABMC , intersectează ( )ABBC , în punctul F . Segmentele FG şi AB se
intersectează în G . Punctele DGF ,, formează secţiunea de aur.
Fig. 10
Demonstraţia o lăsăm ca exerciţiu.
Metoda IV.4. (Hofstetter) Fie AB un segment dat. Construim cercurile
( )ABAC , şi ( )ABBC , (Fig.11). Notăm cu C şi D punctele de intersecţie ale celor
două cercuri. Cercul ( )CACC , intersectează ( )ABAC , în E şi segmentul CD în F .
Cercul ( )EFEC , intersectează segmentul AB în G . Punctele BGA ,, formează
secţiunea de aur.
(Hofstetter)
Fig. 11
A B M G
C F
D
38
Demonstraţie. Pentru simplificarea calculelor presupunem segmentul AB de
lungime unitate. Cum triunghiurile echilaterale ACB şi ADB sunt congruente rezultă
că CD are lungimea 3 . Fie H piciorul perpendicularei duse din E pe prelungirea
lui AB . Cum 2=≡ EFEG , aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic
EHG obţinem relaţia: 45
432222 =−=−= EHEGHG . Prin urmare,
25
=HG şi
cum 21
=HA rezultă Φ
=−
=1
215AG . De aici rezultă Φ==
AGAB
GBAG , deci
punctele BGA ,, formează secţiunea de aur.
Metoda IV.5. (Hofstetter) Fie dat segemntul AB . Construim cercul ( )ABAC ,
şi notăm cu C punctul diametral opus lui B (Fig.12). Construim cercul ( )BCAC , şi
notăm cu E şi D punctele în care prelungirile segmentului CB intersectează acest
cerc. Cercul ( )BCEC , intersectectează cercul ( )ABAC , în F şi G şi cercul
( )BCAC , în H şi I . Atunci are loc relaţia: Φ=HCGH .
(Hofstetter)
Fig. 12
Demonstraţie. Fără a restrânge generalitatea presupunem că AB este un
segment de lungime unitate. Atunci 2==== EHAHAEBC , ceea ce implică faptul
că triunghiul EAH este echilateral (Fig.13).
39
(Hofstetter)
Fig.13
Construim cercul ( )AHHC , . Acesta intersectează ( )ABAC , în J . Cercul
( )JAJC , intersectează ( )ABAC , în K . Construim cercul ( )JHJC , . Conform metodei
IV.1. cercurile astfel construite determină punctele GKH ,, care formează secţiunea
de aur. Prin urmare, cum 3Φ=HG este suficient să demonstrăm că KGHC = .
Cum triunghiurile AGJ şi AKJ sunt echilaterale cu laturile de lungime unitate rezultă
3=GK . Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul ACH rezultă
322 =+= CHCAHA .
Observaţie. In condiţiile enunţate mai sus are loc relaţia: 2
15 +==
CHGH
FHCH .
Din puterea punctului H faţă de cercul ( )ABAC , rezultă relaţia: HGHKCH ⋅=2 .
Cercul ( )HAHC , intersectează cercul ( )JHJC , în 1J . Considerăm cercul ( )AJJC 11, .
Punctul F aparţine acestui cerc şi are loc egalitatea KHFH = . Astfel obţinem relaţia
cerută.
40
Metoda V. Construim trei cercuri concentrice cu razele în raportul 4:2:1 . Fie
AB tangenta la cercul cu raza cea mai mică şi fie C punctul de intersecţie al acesteia
cu cercul care raza ca mai mare. Atunci punctele CBA ,, formează secţiunea de aur
(Fig.14).
Fig. 14
Demonstraţie. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic OTB
obţinem relaţia: 222 TOOBTB −= , deci 3=TB . Aplicând teorema lui Pitagora în
triunghiul dreptunghic OTC obţinem relaţia: 222 OTOCTC −= , de unde rezultă
15=TC . Cum 322 == TBAB şi 315 +=+= ATTCAC rezultă relaţia
căutată Φ==BCAB
ABAC .
A B C
x O
T
41
Raportul de aur - discuţie după poziţia punctului care împarte un segment în raport
de aur
Fie AB un segment şi fie T un punct pe dreapta suport a segmentului AB .
Avem următoarele situaţii:
I. T se află în afara segmentului AB în stânga lui A (Fig.15). Valoarea
raportului TATB este întotdeauna mai mare ca unitatea şi descreşte pe măsură ce punctul
T se apropie de A . Valoarea raportului TATB este egală, pentru o anumită poziţie a
punctului T , cu cea a raportului ABTA .
Fig. 15
II. T se află în interiorul segmentului AB (Fig.16) - valoarea supraunitară a
raportului ATAB este egală pentru o anumită poziţie a punctului T cu cea a raportului
TBTA .
Fig. 16
Observaţie. Acestea sunt singurele poziţii ale lui T în care cele două rapoarte
sunt egale.
III. Atunci când T se află în dreapta lui B problema nu mai are sens (Fig.17).
Fig. 17
T A B
A T B
A B F
42
Proprietate. Dacă se scade segmentul cel mai mic din cel mai mare segmentele
care se obţin sunt în raport de aur. Astfel:
ABTATB =−
'ATABTA =−
BTATAB ''=−
…....
Considerăm dat segmentul TB . Fie A punctul interior care împarte segmentul TB în
raport de aur, TA fiind segmentul de lungime mai mare. Atunci are loc relaţia :
ABTAAB
ABTATATB
ABTA
TATB
−=
−−
== .
'ATABTA =− unde 'T este un punct interior segmentului AB care-l împarte în raport
de aur. Deci BT
ATATAB
ABTA
TATB
''
'=== …………..
2.3. Dreptunghiul de aur
Definiţie. Dreptunghiul pentru care valoarea raportului dintre lungimea şi
înălţimea sa este egală cu numărul de aur se numeşte dreptunghi de aur (Fig.18).
Fig. 18
43
Exemple
Notre Dame du Pont
44
Construcţia dreptunghiului de aur
Metoda I. Incepem construcţia de la împărţirea unui segment în medie şi
extremă raţie (adică în raport de aur). Paralelele prin N şi C la BC şi respectiv BN se
întâlnesc într-un punct D (Fig.19). Cum Φ=+
=−
=2
1515
2BNBC rezultă
dreptunghiul BNDC este un dreptunghi de aur.
Paralelele prin A şi C la BC şi respectiv AB se întâlnesc într-un punct E .
ABCE este un pătrat cu muchia de lungime unitate. Cercul de centru A şi rază AM
intersectează muchia AE a pătratului ABCE în punctul F . Paralela prin F la muchia
AB intersectează muchia BC în G . Având în vedere faptul că
Φ=+
=−
==2
1515
2AMAB
BGAB rezultă că patrulaterul FABG este un dreptunghi
de aur.
Mai mult, perpendiculara în M pe AB intersectează FG în P . Având în
vedere faptul că Φ=+
==2
15BMAM
BMBG rezultă că patrulaterul MPGB este un
dreptunghi de aur.
Fig. 19
C
O
M'
M B N
N'
A
G F
E
P
D
45
Metoda II. Fie [ ]AB un segment dat. Pe perpendiculara în B pe AB
considerăm punctul C astfel încât ABBC = (Fig.20). Fie M mijlocul segmentului
[ ]AB . Cercul de centru M şi rază MC intersectează dreapta suport a segmentului
[ ]AB în D . Perpendicularele în A şi D intersectează paralela prin C la [ ]AB în E şi
respectiv F .
Fie a lungimea segmentului [ ]AB şi fie b lungimea segmentului [ ]BD .
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul MBC , dreptunghic în B obţinem
222 BCBMMC += , de unde rezultă 4
54
22
22 aaaMC =+= deci aMC
25
= .
In aceste condiţii au loc următoarele relaţii:
Φ=+
=+
=+
=+
==2
1525
2a
aa
ABMCAM
ABMDAM
ABAD
AEAD , ceea ce implică
faptul că ADFE este dreptunghi de aur. Mai mult, dacă 2=AB atunci 5=MC .
Cum MDMC = rezultă 5=MD şi 51+=AD . Având în vedere faptul că
MBMDBD −= obţinem 15 −=BD . Atunci raportul Φ=+
=−
=2
1515
2BDBC
deci patrulaterul BDFC este un dreptunghi de aur.
Observaţie. Relaţia Φ==+
ba
aba implică faptul că punctele A , B , D
realizează secţiunea de aur.
Fig. 20
C
M B D A
F E
46
Metoda III. Considerăm triunghiul OAB dreptunghic în A astfel încât 1=AO
şi 2=AB (Fig.21). Cercul de centru O şi rază OB intersectează dreapta suport a
segmentului AO în punctele C şi respectiv 'C . Paralelele prin B şi C la AC şi
respectiv AB se intersectează în D .
Fig. 21
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic OAB obţinem relaţia 222 ABAOBO += . Cum 1=AO şi 2=AB rezultă 5=BO . Având în vedere
faptul că OCBO = , ca raze în cercul de centru O şi rază , OB rezultă 5=OC .
Cum OCAOAC += rezultă 51+=AC . Raportul Φ=+
=2
51ABAC . Prin urmare
dreptunghiul ACDB este un dreptunghi de aur.
Proprietate. Un dreptunghi de aur poate fi descompus într-un pătrat şi un
dreptunghi de aur (Fig. 22).
Fig. 22
O A C C'
B D
C
B D A
E F
47
Demonstraţie. Fie ADFE un dreptunghi de aur. Dreptunghiul ADFE se
descompune în pătratul ABCE şi dreptunghiul BCFD . Cum Φ==BDAB
BDBC rezultă
BCFD este dreptunghi de aur.
Proprietate. Un dreptunghi cu laturile 1 şi 2Φ se descompune într-un pătrat şi
un dreptunghi cu laturile 1 şi Φ .
Demonstraţia o lăsăm ca exerciţiu.
Proprietate. Un pătrat cu latrura 2Φ se descompune în două dreptunghiuri,
unul cu latruile 1 şi Φ şi al doilea cu laturile Φ şi 2Φ .
Demonstraţia o lăsăm ca exerciţiu.
Pentru studiul geometriei complexe din arhitectură s-au creat diverse sisteme şi
metode de punere în proporţie. Astfel simetria dinamică a lui Hambridge consideră
dreptunghiul ca unitate de bază în compoziţiile geometrice. Pornind de la
caracterizarea dreptunghiului prin raportul dintre lungime şi înălţime, Hambridge
grupează aceste figuri geometrice în două categorii:
• cu simetrie statică (au raportul un număr raţional: 13 , 23 , 14 , 34 , 35 ,
etc.)
• cu simetrie dinamică (au raportul un număr iraţional: 12 , 13 , 15 ,
25 , etc.).
Exemple : dreptunghiul de aur face parte din ultima categorie, pătratul şi
pătratul dublat fac parte din ambele categorii.
Mai mult, Hambridge realizează sudiviziuni armonice sau descompuneri
armonice ale dreptunghiurilor, metodă ce se bazează pe crearea repetată în interiorul
unei suprafeţe date a unor suprafeţe asemănătoare sau înrudite, prin trasarea unor
diagonale şi perpendiculare coborâte pe acestea din vârfurile diverselor dreptunghiuri
nou construite. Subdiviziunea armonică elementară obţinută prin coborârea unei
perpendiculare dintr-un vârf pe diagonala opusă determină mai multe dreptunghiuri de
aur. Hambridge a denumit dreptunghiul de aur dreptunghiul pătratelor turnante.
Diagrama pătratelor turnante are o directoare care reprezintă curba creşterilor
armonice: spirala logaritmică a pulsaţiei cuadrante .
Lund realizează la rândul său, pe o reţea de careuri duble, traseele radiante ce
au drept pol asimetric centrul unui pentagon sau al unei pentagrame. Lund analizează
48
importanţa celor cinci poliedre regulate şi a structurii lor precum şi schemele obţinute
prin proiectarea pe un plan a poliedrelor înscrise în aceeaşi sferă. El observă locul şi
rolul pentagonului în planul şi elevaţia construcţiilor gotice.
Moessel cu geometria cercului, sau mai precis geometria diverselor poligoane
care se înscriu în cerc şi care provin din subdiviziunile cercului, din raţiuni de ordin
practic studiază compoziţia operelor arhitecturale. Trasarea cercului pe sol, în scopul
de a determina orientarea, sugerează ideea că subdiviziunile cercului şi raportul lor cu
diametrul dat pot constitui elemente pentru dimensiunile laturilor edificiului.
In timp ce metoda lui Hambridge impune legea neamestecului părţilor,
Moessel remarcă în unele cazuri, două cercuri directoare concentice, cel mare divizat
în 8 sau 16 părţi (simetrie ortogonală cu modulul 2 ), iar celălalt divizat în 5 sau 10
părţi (simetrie pentagonală sau de aur cu modulul Φ sau 5 ).
Proporţiile ce decurg din cele trei sisteme de trasee sunt în general identice, nu
diferă decât maniera de abordare.
Exemple – Elevaţii şi faţade înscrise în dreptunghiul Φ1
Adrian Gheorghiu (Proporţii şi trasee geometrice în arhitectură)
49
Adrian Gheorghiu (Proporţii şi trasee geometrice în arhitectură)
Adrian Gheorghiu (Proporţii şi trasee geometrice în arhitectură)
Adrian Gheorghiu (Proporţii şi trasee geometrice în arhitectură)
50
2.4. Triunghiul de aur
Definiţie. Triunghiul isoscel pentru care raportul dintre lungimile a două laturi
este egal cu numărul de aur se numeşte triunghi de aur.
Triunghiul de aur este de două tipuri:
Primul tip - unghiul dintre laturile de lungimi egale este mai mic de o90
(Fig.23) . In acest caz raportul dintre lungimea uneia din laturile congruente şi
lungimea bazei este egal cu numărul de aur.
Fig. 23
Al doilea tip - unghiul dintre laturile de lungimi egale este mai mare de o90
(Fig.24). In acest caz raportul dintre lungimea bazei şi lungimea uneia din laturile
congruente este egal cu numărul de aur.
Fig. 24
51
Construcţia triunghiului de aur.
Problema se reduce la construirea a două segmente pentru care valoarea
raportului lungimilor este egală cu numărul de aur (Fig.25).
Fig. 25
Caz particular.
Propoziţie. Triunghiul isoscel a cărui înălţime este egală cu baza are
următoarea proprietate:
( )122
−Φ=hl ,
unde l este lungimea laturilor congruente şi h este înălţimea dusă din vârful format de
laturile congruente (Fig.26).
Fig. 26
A
B C O E
F
A
B C D
52
Demonstraţie. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ADC
obţinem: 222 DCADAC += adică hl25
= . Dar având în vedere că Φ=+
215
rezultă ( )122
−Φ=hl .
Proprietate. Fie ABC un triunghi isoscel ale cărui unghiuri de la bază B şi C
sunt congruente şi egale cu o36 (Fig.27). Atunci Φ=ACBC .
Demonstraţie. Fie triunghiul isoscel ABC şi fie B şi C unghiurile de la bază
de măsură o36 . Notăm cu I piciorul perpendicularei dusă din A pe muchia BC .
Deoarece ABIBB == ˆcos36cos o şi
41536cos +
=o rezultă 4
15 +=
ABIB .
Dar 2
154
1522 +=
+⋅==
ABBI
ABBC . Deci, conform definiţiei, ABC ∆ este triunghi de
aur.
Fig. 27
B C
A
I
53
2.5. Spirala de aur
Definiţie. Spirala de aur este o spirală logaritmică a cărei factor de creştere
este Φ .
Construcţie. Spirala de aur poate fi aproximată fie cu ajutorul proprietăţii de
descompunere a deptunghiului de aur într-un pătrat şi un alt dreptunghi de aur (Fig.28,
29) fie cu ajutorul unui triunghi de aur (Fig.30).
Fig. 29 Spirala de aur înscrisă în dreptunghiul de aur
Fig. 30 Spirala de aur circumscrisă triunghiului de aur
Fig. 28 Spirala de aur circumscrisă dreptunghiului de aur
54
Exemple
Scară interioară
California Polytechnic Engineering Plaza
2.6. Triughiuri asociate numărului de aur
Triunghiul egiptean
Definiţie. Triunghiul dreptunghic cu laturile în raport de aur se numeşte
triunghi egiptean.
Propoziţie. Intr-un triunghi dreptunghic valoarea raportului dintre ipotenuză şi
o catetă este egală cu numărul de aur dacă şi numai dacă laturile sale sunt în progresie
geometrică.
Demonstraţie. Fie BAC un triunghi dreptunghic ale cărui laturi sunt în
progresie geometrică: cb
ba= (Fig.31). Aplicând teorema lui Pitagora obţinem
222 cba += . Impărţind cu 2c obţinem relaţia 122
+
=
cb
ca . Cum acb =2
obţinem ecuaţia 12
+=
ca
ca . De unde rezultă Φ=
ca .
55
Reciproc. Fie BAC un triunghi dreptunghic ale cărui laturi verifică relaţia:
Φ=ca . Având în vedere că Φ verifică ecuaţia 012 =−− xx obţinem 1
2
+=
ca
ca ,
de unde rezultă: 22 caca += (1)
Dar ABC este triunghi dreptunghic şi conform teoremei lui Pitagora are loc relaţia: 222 cba += (2)
Din relaţiile (1) şi (2) rezultă acb =2 .
Fig. 31
Triunghiul dreptunghic isoscel
Triunghiul dreptunghic isoscel se caracterizează prin faptul că unghiurile
ascuţite au măsura de o45 , raporul dintre catete este 1:1 iar raportul dintre ipotenuză şi
oricare dintre catete este iraţional şi are valoarea 2:1 .
In semicercul de centru O înscriem un pătrat ABCD . Construim diagonalele
AC şi respectiv BD şi notăm cu H punctul de intersecţie al acestora. Prin A ducem
o paralelă la diagonala BD şi notăm cu 'A punctul de intersecţie cu cercul. Analog
prin B ducem o paralelă la diagonala AC şi notăm cu 'B punctul de intersecţie cu
cercul. Prelungirile segmentelor DA' , CB' şi AB se intersectează în punctele FE, şi
G . Triunghiurile FEG şi AHB sunt dreptunghice isoscele. Fie I una din intersecţiile
laturii FG cu cercul, atunci are loc relaţia : Φ=BGIB (Fig.32).
A B
C
56
Fig. 32
Demonstraţie. Pentru simplificarea calculelor presupunem lungimea laturii
pătratului ABCD egală cu unitatea. Fie r raza cercului de centru O şi diametru 'II .
Atunci putem scrie 21
−=−= rOArIA . Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul
dreptunghic OBC obţinem 2522 =+= BCOBr . Inlocuind rezultatul obţinut în
relaţia precedentă obţinem Φ
=1IA . Atunci
Φ+Φ
=+Φ
=+=111ABIAIB . Cum
21 Φ=+Φ rezultă Φ=IB . Cum din construcţie 1=== FAABBG rezultă relaţia
căutată: Φ=BGIB .
Triunghiul piramidei
Definiţie. Triunghiul dreptunghic cu catetele în raport Φ:1 este numit
triunghiul piramidei sau triunghiul lui Kepler (Fig.33).
Observaţie. Cea mai cunoscută şi studiată aplicaţie se află în cadrul
ansamblului de la Gizeh (Piramida lui Kheops).
Construcţie. Fie ABCD un dreptunghi de aur cu laturile de lungime Φ şi
respectiv 1. Cu vârful compasului în punctul A se trasează un arc de cerc de rază Φ .
E
A BI O
D C
B’A’
I’F G
H
57
Notăm cu E inersecţia arcului de cerc cu latura DC a dreptungiului de aur.
Triunghiul dreptunghic ADE are laturile în progresie geometrică şi este triunghiul
căutat.
Fig.33
Triunghiul lui Pitagora
Definiţie. Triunghiul dreptunghic ale cărui laturi se exprimă în numere întregi
se numeşte triunghi pitagorician.
Definiţie. Triunghiul pitagorician ale cărui laturi se exprimă prin cele mai mici
numere întregi consecutive 5:4:3 , astfel încât laturile sale sunt în progresie
aritmetică este numit triunghiul lui Pitagora sau triunghi aritmetic.
Observaţie. 1. Formula generală a triunghiurilor dreptunghice pitagoriciene
este:
( ) ( )22222222 4 yxyxyx +=+−
2. In antichitate triunghiul lui Pitagora era cunoscut sub numele de triunghi sacru.
Definiţie. Triunghiul dreptunghic care are laturile proporţionale cu numerele 3,
4 şi respectiv 5 se numeşte triunghi egiptean perfect.
Triunghiul dreptunghic 2:1
Construcţie. Fie ABCD un pătrat de latură unitate şi fie BD una din
diagonalele acestuia. Cu vârful compasului în B şi deschiderea de rază BD trasăm un
A B
C D E
1 Φ
Φ
Φ
58
arc de cerc care intersectează prelungirea laturii BC într-un punct E . Triunghiul
dreptunghic ABE are catetele în raportul 2:1 (Fig.34).
Observaţie. In arhitectura universală acest triunghi este întâlnit frecvent în
punerea în proporţie a monumentelor Indiei vechi.
Fig. 34
Exemplu – Elevaţia înscrisă în dreptunghiul 21
Adrian Gheorghiu (Proporţii şi trasee geometrice în arhitectură)
Casă Jud. Vâlcea
A B
CD
E
2
1
2
59
Triunghiul dreptunghic Φ:1
Construcţie. Fie dată o dreaptă d şi fie A un punct arbitrar pe această dreaptă
(Fig.35). Construim în A perpendiculara pe d . Fie C un punct pe această
perpendiculară astfel încât lungimea segmentului AC să fie egală cu unitatea. Cu
vârful compasului în A trasăm un arc de cerc de rază AC . Notăm cu D unul din
punctele în care arcul de cerc întâlneşte dreapta d . Ducem prin D o dreaptă oarecare.
Fie E un punct arbitrar pe această dreaptă. Pe segmentul DE luăm un punct 'A astfel
încât Φ=DA
EA'
' . Se uneşte 'A cu A iar prin E ducem o paralelă la 'AA care
intersectează dreapta d în punctul B . Triunghiul dreptunghic CAB are catetele în
raportul Φ:1 .
Fig. 35
Triunghiul dreptunghic 3:1 (Triunghiul lui Timeu)
Definiţie. Triunghiul dreptunghic obţinut prin divizarea triunghiului echilateral
cu ajutorul unei bisectoare se numeşte triunghiul lui Timeu.
Observaţii. 1. Lungimea arcului delimitat de unghiul de o30 într-un cerc a cărui
rază este egală cu unitatea este 56
2Φ≈
π . 2. Acest triunghi este întâlnit frecvent în
A
C
B D
A’
E
d
60
punerea în proporţie a monumentelor Greciei vechi. 3. In hexagonul convex de rază
unitate latura hexagonului regulat stelat este egală cu 3 .
Triunghiul dreptunghic 2:1
Observaţii. 1. Triunghiul cu catetele în raportul 2:1 este utilizat la construcţia
numărului de aur (Fig.4). 2. Acest triunghi este întâlnit frecvent în punerea în proporţie
a numeroase edificii.
Triunghiul dreptunghic 5:1
Construcţie. Fie BAD un triunghi dreptunghic cu catetele în raportul 2:1 (Fig.36). Conform teoremei lui Pitagora lungimea ipotenuzei acestui triunghi este
egală cu 5 .
Fig. 36
Cu vârful compasului în punctul B trasăm un arc de cerc de rază BD care
intersectează perpendiculara în B pe AB în C . Triunghiul dreptunghic ABC este
triunghiul căutat.
1
2
A B
C
5
D
61
Triunghiul dreptunghic 21:1 +
Construcţie. Fie ABCD un pătrat înscris în cercul ( )rOC , (Fig.37). Fie M
mijlocul laturii AB . Ridicăm în M perpendiculara pe AB şi o prelungim până
intersectează cercul într-un punct E . Triunghiul AME are catetele în raportul
21:1 + .
Demonstraţie. Considerăm pentru simplitatea calculelor ABCD un pătrat cu
latura de lungime două unităţi. Atunci segmentul AM are lungimea egală cu unitatea
iar diagonala pătratului are lungimea 22 . Atunci BCBCrEM +−
=2
2 , altfel spus
21+=EM . Prin urmare AME este triunghiul căutat.
Fig. 37
Observaţie. Acest triunghi este frecvent întâlnit în punerea în proporţie a
edificiilor gotice.
Triunghiul dreptunghic 22:1
Construcţie. Considerăm un dreptunghi ABCD ale cărui laturi sunt în raportul
2:1 (Fig.38). Descompunem dreptunghiul în două pătrate AEFD şi respectiv EFCB ,
cu laturile de lungime unitate. Construim diagonalele AF şi BF corespunzătoare
celor două pătrate.
A B
CD
M
E
62
Fig. 38
Cu vârful compasului în F construim două arce de cerc ce intersectează prelungirea
laturii DC a dreptunghiului ABCD în punctele M şi N . Construim în N
perpendiculara pe segmentul MN şi fie P un punct pe această perpendiculară astfel
încât BCNP ≡ . Triunghiul dreptunghic PNM are catetele în raportul 22:1 .
Demonstraţie. Pentru simplitatea calculelor considerăm dreptunghiul ABCD
cu lungimile laturilor 1=BC şi respectiv 2=AB . Din construcţie 2== AFMF .
Analog 2== FBFN . Prin urmare 22=MN . Din construcţie NP este
perpendicular pe NM şi cum BCNP ≡ rezultă PNM este triunghiul căutat.
Observaţie. Acest triunghi este frecvent întâlnit în punerea în proporţie a
edificiilor în Persia.
Triunghiul dreptunghic 34:1 +Φ
Definiţie. Triunghiul dreptunghic care are catetele în raportul 34:1 +Φ se
numeşte triunghi platonic sau triunghi druidic (Fig.39). Unghiurile ascuţite ale
acestui triunghi au măsurile o18 şi respectiv o72 .
A B
C D
F
N M
P
E
1
1
11
2
2
63
Fig. 39
Construcţie. Fie pentagonul regulat ABCDE . Fie M mijlocul laturii AB .
Unind D cu punctele M şi A obţinem triungiul dreptunghic AMD care are catetele în
raportul 34:1 +Φ .
Demonstraţie. Din construcţie avem 2
ABAM = . Cum ABCDE este un
pentagon regulat rezultă faptul că triunghiul isoscel AED este triunghi de aur şi prin
urmare are loc relaţia Φ==ABAD
EAAD . Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul
dreptunghic AMD obţinem 142
2 −Φ=ABDM . Cum 12 +Φ=Φ rezultă
342
+Φ=ABDM . Deci catetele triunghiului dreptunghic AMD sunt în raportul
34:1 +Φ .
Triunghiul dreptunghic 22:1 +
Construcţie. Considerăm un dreptunghi ABCD ale cărui laturi sunt în raportul
3:1 (Fig.40). Descompunem dreptunghiul în trei pătrate cu lungimile laturilor egale cu
unitatea.
A B
C
D
E
M
64
Fig. 40
Construim diagonala AF a pătratului AEFD . Cu vârful compasului în F trasăm un
arc de cerc de rază AF şi notăm cu M intersecţia acestui arc cu prelungirea laturii
DC a dreptunghiului ABCD . Construim în C perpendiculara pe MC şi fie P un
punct pe această perpendiculară astfel încât PCBC = . Triunghiul dreptunghic PCM
are catetele în raportul 22:1 + .
Demonstraţie. Pentru simplificarea calculelor considerăm dreptunghiul ABCD
cu lungimile laturilor 1=BC şi respectiv 3=AB . Din construcţie 2== AFMF .
Atunci 22 +=+= FCMFMC . Prin urmare triunghiul PCM este triunghiul căutat.
Observaţie. Triunghiul este frecvent folosit în punerea în proporţii a edificiilor
în Rusia medievală.
Triunghiul dreptunghic n:1
Triunghiul dreptunghic cu catetele în raportul n:1 , unde n este un număr
întreg, se poate deduce recursiv din triunghiul dreptunghic cu catetele în raportul
1:1 −n printr-o rabatere a unui vârf (Fig.41). Acest şir de triunghiuri se numeşte
şirul formelor dinamice. Teoretic şirul poate continua la infinit dar în practică
valoarea lui n este cel mult 5.
E A B
C D
F
N M
P
G
H
2
2
1
1
65
Fig. 41
Triunghi înscris într-un dreptunghi
Proprietate. Fie ABCD un dreptunghi dat şi fie APQ un triunghi înscris în
acest dreptunghi (Fig.42). Atunci triunghiurile ABQ ,QCP , PDA sunt echivalente dacă
şi numai dacă punctele B ,Q ,C şi C , P , D formează secţiunea de aur.
Demonstraţie. Faptul că triunghiurile ABQ , QCP , PDA au arii egale implică
relaţia ( ) ( )dcabdcba +==+ ⇒ adbc = .
Fig. 42
1
2
3
A B
C D P
Q
a b
c
d
66
Inlocuind dbca = obţinem ( )dc
dbcbd += sau simplificând prin b obţinem relaţia
dccd += 22 . Impărţind relaţia obţinută prin 2c obţinem 012
=−−
cd
cd de unde
rezultă Φ=cd şi Φ=
ab .
Reciproc. Fie ABCD un dreptunghi dat şi fie P şi Q două puncte pe laturile
DC şi respectiv BC astfel încât aDP = , bPC = , dCQ = şi cQB = şi au loc
următoarele relaţiile:
Φ=+
=b
baab (1) şi Φ=
+=
ddc
cd (2)
Relaţia (1) implică ( ) 2bbaa =+ , de unde înmulţind cu c ambii membri ai
egalităţii rezultă
( ) ⋅=Φ==+ bdbcacbbac
2
(3)
Relaţia (2) implică ( ) 2ddcc =+ , de unde înmulţind cu a ambii membri ai
egalităţii rezultă
( ) bdadc
addca =Φ==+ 2
(4)
Din relaţiile (3) şi (4) rezultă echivalenţa triunghiurilor ABQ , QCP , PDA .
Proprietate. Fie ABCD dreptunghi dat şi fie APQ un triunghi înscris în acest
dreptunghi astfel încât triunghiurile ABQ ,QCP , PDA sunt echivalente (Fig.42).
Atunci dreptunghiul ABCD este dreptunghi de aur dacă şi numai dacă triunghiul
APQ este dreptunghic isoscel ( PQAP = şi o90ˆ =P ).
Demonstraţie. Fie ABCD un dreptunghi de aur şi fie APQ un triunghi înscris
în acest dreptunghi astfel încât triunghiurile ABQ ,QCP , PDA sunt echivalente. Pentru
a demonstra faptul că triunghiul APQ este dreptunghic în P este suficient să arătăm
că PQAP = şi faptul că este verificată teorema lui Pitagora, adică relaţia 222 AQPQAP += .
67
Din faptul că triunghiurile ABQ , QCP , PDA sunt echivalente rezultă relaţia
Φ==+
==+
ab
bab
cd
dcd (1) sau altfel ( ) ( )bacbddca +==+ (2). Iar faptul că
dreptunghiul ABCD este dreptunghi de aur implică relaţia Φ=++
dcba de unde rezultă
( )dcba +Φ=+ (3).
Inlocuind relaţia (3) în (1) obţinem Φ=+
⋅Φb
dc , de unde rezultă bdc =+ (4).
Inlocuind relaţia (4) în (1) obţinem cd
db= sau echivalent 2dbc = (5). Dar din (2)
rezultă adbc = (6).
Relaţiile (5) şi (6) implică 2dad = şi cum 0≠d rezultă da = (7). Din relaţiile (4) şi
(7) precum şi din aplicarea teoremei lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice PDA şi
QCP obţinem PQAP = .
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice ADP şi QCP
obţinem relaţiile: ( )222 dcaAP ++= (8) şi respectiv 222 dbPQ += (9).
Adunând relaţiile (8) şi (9) obţinem:
( ) 222222 dbdcaPQAP ++++=+ = ( ) ( )abcddcba −++++ 222 2 (10)
dar având în vedere relaţiile (2) şi (7) rezultă ( ) abcdd =+ . In aceste condiţii relaţia
(10) devine =+ 22 PQAP ( ) 22 cba ++ (11). Dar cum triunghiul ABQ este
dreptunghic în B rezultă conform teoremei lui Pitagora ( ) 222 cbaAQ ++= (12). Din
relaţiile (11) şi (12) rezultă egalitatea căutată 222 AQPQAP =+ .
Reciproc. Având în vedere faptul că triunghiurile ABQ ,QCP , PDA sunt
echivalente şi ştiind că triunghiul APQ este dreptunghic isoscel ( PQAP = şi
o90ˆ =P ) trebuie să demnostrăm că dreptunghiul ABCD este de aur adică trebuie să
demonstrăm relaţia Φ=++
dcba .
Din faptul că triunghiurile ABQ , QCP , PDA sunt echivalente rezultă punctele
B ,Q ,C şi C , P , D realizează secţiunea de aur, adică au loc relaţiile:
Φ==+
cd
dcd (1) şi Φ==
+ab
bba (2).
68
Impărţind relaţia (2) prin ( )cd + obţinem egalitatea cd
bcdba
+⋅Φ=
++ (13).
Din faptul că triunghiul APQ este dreptunghic rezultă conform teoremei lui
Pitagora relaţia ( )cddab += (14). Din relaţiile (1) şi (2) obţinem ( ) dcd Φ=+ (15)
şi ab Φ= (16). Inlocuind relaţiile (15) şi (16) în (14) obţinem relaţia da = (17).
Inlocuind relaţia (17) în (14) obţinem egalitatea căutată cdb += , deci ABCD este
dreptunghi de aur.
2.7. Forme recurente
Definiţie. Se numesc forme recurente formele care rămân asemenea cu ele
însele în cazul creşterii (sau descreşterii) lor prin însumare (sau scădere) sau prin
multiplicare (sau divizare).
Exemple
Triunghiul echilateral. Poate crea un şir recurent dacă i se dublează mereu
latura. In acest caz se formează o progresie geometrică cu raţia egală cu 2, astfel pentru
un cerc iniţial cu raza egală cu unitatea laturile triunghiului echilateral iau succesiv
valorile: ,...34,32,3 .
Pătratul cu latura egală cu unitatea. In acest caz se formează o progresie
geometrică cu raţia egală cu 2 , astfel încât laturile pătratului iau succesiv valorile:
,...24,22,2,2,1
Dreptunghiul cu laturile 1 şi n , unde 2≥n , se poate împărţi în n
dreptunghiuri egale între ele şi asemenea cu el. Un caz particular este dreptunghiul de
aur.
Propoziţie. Un dreptunghi cu laturile 1 şi n se descompune:
- într-un pătrat de latură egală cu unitatea şi
- două dreptunghiuri alcătuite din câte un pătrat mai mic şi câte un dreptunghi
asemenea cu cel iniţial.
Demonstraţia o lăsăm ca exerciţiu.
69
2.7.1. Numărul de aur şi pentagonul regulat
Construcţie. Fie AB un segment de lungime unitate. Construim în B
perpendiculara pe AB şi luăm pe această perpendiculară un segment ABBD ≡
(Fig.43). Construim cercurile ( )ABBC , şi ( )MBMC , , unde M este mijlocul lui
segmentului AB . Cercul cu centrul în D , tangent la cercul ( )MBMC , , intersectează
cercul ( )ABBC , în punctele E şi F . Segmentul EF este latura pentagonului regulat
înscris în ( )ABBC , . Mai mult, dacă notăm cu G punctul de intersecţie al segmentelor
EF şi MD atunci punctele FGE ,, formează secţiunea de aur.
Fig. 43
Demonstraţia o lăsăm ca exerciţiu.
Proprietate. Intr-un pentagon regulat punctul de intersecţie dintre două
diagonale împarte diagonalele în raport de aur (Fig.44). Altfel spus, fiecare latură a
pentagonului stelat este împărţită în raport de aur de oricare dintre celelalte două.
Demonstraţie. Avănd în vedere că triunghiurile ''BED , CBD' , BEC sunt
isoscele şi au unghiurile din vârf B , C şi E de măsuri egale rezultă că cele trei
triunghiuri sunt asemenea. Atunci din proporţionalitatea laturilor obţinem:
CECB
CBBD
BDED
=='
'''
70
Fig. 44
Cum CEBD '' = , CDCB '= rezultă CDCE
CEED
''
'''= . Dar, deoarece ADCE '' = şi
AECD '' = relaţia precedentă devine AEAD
ADED
''
'''= .
Observaţie. Fie ABCDE un pentagon regulat înscris în cercul de centru O .
Construind diagonalele acestui pentagon obţinem un pentagon stelat (pentagramă). Se
observă că în interiorul pentagonului stelat s-a format un nou pentagon regulat. Dacă
ducem diagonalele acestui pentagon regulat obţinem un nou pentagon stelat. Acest şir
de pentagoane alternând cu pentagrame tinde către infinit. Rezultă de aici că laturile
pentagonului regulat şi a pentagonului stelat nu se pot măsura cu o unitate de lungime
comună, raportul dintre lungimile celor două laturi nu se poate exprima prin câtul a
două numere întregi, adică nu este un număr raţional.
Proprietate. Diferenţa dintre lungimea laturii pentagonului stelat şi lungimea
laturii pentagonului regulat înscris în acelaşi cerc este egală cu lungimea laturii
următorului pentagon stelat ce se formează ducând diagonalele în pentagonul regulat
interior (Fig.45).
C
B
D
A E
E'
D'
C'
B'
A'
71
Fig. 45
Demonstraţie. Fie ABCDE un pentagon regulat înscris în cercul de centru O .
Construind diagonalele acestui pentagon obţinem un pentagonul stelat. Fie
''''' EDCBA pentagon regulat format în interiorul acestui pentagon stelat.
Deoarece ( ) ( )'ˆ'ˆ DBCmBDCm = rezultă triunghiul 'BCD este isoscel. Analog se
arată că triunghiurile 'ABE , 'DEA şi CDB' sunt isoscele. Avem astfel CDBC '= şi
''' DACA = iar de aici obţinem '' ADCDACBCAC =−=− . Dar '''' DACAAD ==
căci triunghiul ''DCA este isoscel, deci ''DABCAC =−
Proprietate. Intr-un pentagon regulat raportul dintre o muchie şi o diagonală
este egal cu numărul de aur. Altfel spus, latura pentagonului stelat este împărţită în
raport de aur de latura pentagonului regulat înscris în acelaşi cerc (Fig.46).
Demonstraţie.
Metoda I. Fie ABCDE un pentagon regulat şi fie AD una din diagonale.
Deoarece în AED ∆ avem EDEA ≡ şi ( ) o108ˆ =Em rezultă ( )ADEm ˆ = ( )DAEm ˆ = o36 ,
deci conform definiţiei AED ∆ este triunghi de aur şi are loc relaţia ϕ=+=
215
AEAD .
C
B
D
A E
E'
D'
C'
B'
A'
72
Metoda II. Avănd în vedere că triunghiurile ''BED , CBD' , BEC sunt isoscele
şi au unghiurile din vârf B , C şi E egale rezultă că cele trei triunghiuri sunt asemenea.
Atunci din proporţionalitatea laturilor obţinem CB
BDCECB '
= .
Fig. 46
Deoarece CACE = şi ADBD '' = relaţia precedentă devine CB
ADCACB '
= . Dar cum
'CDCB = obţinem '
''CD
ADCACD
= .
Calculul lungimii laturilor pentagonului
• Lungimea unei laturi a pentagonului regulat este dată de formula:
rl2
5210 −= ,
unde r este raza cercului circumscris (Fig.47).
• Lungimea unei laturi a pentagonului stelat este dată de formula:
rl2
5210 += ,
unde r este raza cercului circumscris (Fig.47).
C
B D
A E
E'
D'
C'
B'
73
Fig. 47
Construcţia pentagonului
a) Presupunem muchia pentagonului dată
Fie CD muchia dată (Fig.48). Construim un punct F astfel încât C , D şi F să
realizeze secţiunea de aur. Cu vârful compasului în C şi respectiv D construim două
arce de cerc de raze CF . Notăm cu A punctul lor de intersecţie. Punctul A reprezintă
al treilea vârf al pentagonului. Construim cu ajutorul compasului punctele B şi E .
Arcul de cerc cu centrul în D şi de rază AD intersectează cercul circumscris
triunghiului ACD în B . Arcul de cerc cu centrul în C şi de rază AC intersectează
cercul circumscris triunghiului ACD în E . Punctele B şi E reprezintă celelalte două
vârfuri ale pentagonului.
Fig. 48
A B
C
D
D G
A
B
C
E
F
74
Demonstraţie. Având în vedere că Φ==CDCG
DGCD şi ADCACG == rezultă
Φ==CDAD
CDCA . Deci AC şi AD sunt diagonale în pentagonul de latură CD iar
triunghiul ACD este triunghi de aur. Cum triunghiul ACD este triunghi de aur rezultă
( ) o36ˆ =DACm . Din construcţia punctului B rezultă BDAD ≡ şi A , B sunt puncte
ce aparţin cercului circumscris triunghiului ACD , rezultă B este vârf al pentagonului
şi BD este diagonală. BD intersectează segmentul AC în F . Din puterea punctului
F faţă de cercul circumscris patrulaterului ABCD obţinem relaţia
FDBFFCAF ⋅=⋅ , de unde rezultă FCFB
FDAF
= deci asemănarea triunghiurilor BFA
şi CFD . Din asemănarea celor două triunghiuri rezultă ( ) ( ) o72ˆˆ == ABFmDCFm şi
cum DABD = rezultă faptul că triunghiul DAB este triunghi de aur. Congruenţa
triunghiurilor DAB şi CAD implică BACD = .
Având în vedere că ( ) o72ˆ =DABm şi ( ) o36ˆ =DACm rezultă
DACDABCAB ˆˆˆ −= şi deci ( ) o36ˆ =CABm (1)
Deoarece FCFD
BFAF
= rezultă faptul că triunghiurile BFC şi AFD sunt
asemenea şi deci ( ) ( ) o36ˆˆ == DACmDBCm (2)
Din relaţiile (1) şi (2) rezultă faptul că triunghiul BCD este isoscel, deci
BDBC = .
Analog se demonstrează egalităţile CDAE = şi CDDE =
Observaţie. Pentagonul regulat se descompune în trei triunghiuri de aur.
b) Presupunem dat cercul circumscris pentagonului regulat
Fie dat cercul de centru O (Fig.49). Construim două diametre perpendiculare
'AA şi 'BB . Fie 'O mijlocul segmentului OB şi construim cercul de centru 'O şi
diametru OB . Dreapta 'AO intersectează cercul astfel construit în punctele 'C şi 'D .
Cercul de centru A şi rază 'AC intersectează cercul dat în punctele 1P şi 2P . Cercul de
centru A şi rază 'AD intersectează cercul dat în punctele 3P şi 4P . Punctele
1P , 2P , 3P , 4P şi 'A sunt vârfurile pentagonului căutat.
75
Fig. 49
c) Fie dat cercul de centru O . Construim două diametre perpendiculare 'AA
şi 'BB (Fig.50). Fie M mijlocul segmentului AO . Din M ca centru şi cu raza
MB ducem arcul de cerc BC , punctul C fiind pe diametrul 'AA . Segmentul BC este
muchia pentagonului căutat. Luând în compas segmentul BC împărţim cercul în cinci
părţi egale.
Fig . 50
A A'
B
B'
O
O'
C'
D' P1
P2
P3
P4
A A'
B
B'
O M C
76
Demonstraţie. Determinăm lungimea segmentului BC . Aplicând teorema lui
Pitagora în triunghiul dreptunghic BOC obţinem 222 OCBOBC += (3), dar
2
OBMBMOMCOC −=−= (4)
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic MOB obţinem
222
222
45
4OBOBOBOBMOMB =+=+= (5). Inlocuind relaţia (5) în (4) obţinem
OBOBOBOC2
1522
5 −=−= . (6)
Inlocuind relaţia (6) în (3) obţinem ( ) 222
22
45210
415 BOBOBOBC −
=−
+= deci
25210 −
=BC .
Observaţie. Dacă unim punctele de diviziune din două în două se obţine
pentagonul regulat stelat sau pentagrama. Mai mult, segmentul OC este latura
decagonului înscris în acelaşi cerc. Având în vedere că în triunghiul dreptunghic BOC
are loc relaţia 222 OCOBBC += rezultă că latura pentagonului este ipotenuza unui
triunghi dreptunghic în care catetele sunt laturile hexagonului şi respectiv ale
decagonului înscrise în acelaşi cerc.
Proprietăţi ale pentagonului stelat
Fie ''''' EDCBA un pentagon regulat înscris în cercul de centru O şi rază R
(Fig.51). Construind diagonalele acestui pentagon obţinem un pentagon stelat. In
interiorul pentagonului stelat s-a format un nou pentagon regulat pe care-l notăm cu
PQRST . Dacă construim diagonalele acestui pentagon regulat obţinem un nou
pentagon stelat. Notăm cu r raza cercului circumscris pentagonului PQRST .
Considerăm lungimea muchiei PT egală cu 1. Atunci au loc următoarele rezultate:
77
Fig. 51
Ipoteză : 1===== QPRQSRTSPT
Valori în pentagonul regulat
1. ϕ=RB'
Deoarece RQB' este triunghi isoscel cu ( ) o36'ˆ =RBQm rezultă triunghiul RQB' este
triunghi de aur şi deci ϕ=QR
RB' . Dar cum 1=QR rezultă ϕ=RB' .
2. 2''' ϕ== CBSB
Având în vedere raportul de aur ϕ=RBSB
'' precum şi punctul 2. rezultă
2''' ϕ== CBSB .
3. 3'' ϕ=DB
Având în vedere raportul de aur ϕ=SBDB'
'' precum şi punctul 3. rezultă 3'' ϕ=DB .
4. ϕ1
=RX
Având în vedere raportul de aur ϕ=XRPX precum şi relaţia 1=PX rezultă
ϕ1
=RX .
B'
A'
C'
E' D'
Q
P
T
S
R
A X
Z
Y
C O
78
5. 2
1ϕ
=XZ
Având în vedere raportul de aur ϕ=XZQX rezultă
ϕϕRXQXXZ == . Cum
ϕ1
=RX
rezultă 2
1ϕ
=XZ
Rapoarte în pentagonul regulat
1. 2ϕ
=r
OA
Considerăm triunghiul de aur QSP . Având în vedere că ( ) o18ˆ =PSAm precum şi
relaţia rOSOP == rezultă ( ) o18ˆ =SPOm , dar ( ) o72ˆ =APSm ceea ce implică
( ) o54ˆ =APOm . In triunghiul dreptunghic OAP are loc relaţia ( )r
AOOPAOPOA ==ˆcos ,
dar cum ( )2
36ˆcos ϕ== oPOA rezultă
2ϕ
=r
AO .
2. 2' ϕ==r
OArR
Având în vedere că r
rASr
rSAr
OA −=
−=
2'' precum şi relaţia OSAOAS +=
rezultă ( ) ( ) ( )r
rr
rrAOr
rOSAOr
OA 122' +=
−+=
−+=
ϕ , dar 21 ϕϕ =+ rezultă
2' ϕ==r
OArR
3. ϕ2'=
OAOA
Deoarece punctul 1. implică relaţia 2ϕrOA = iar din punctul 2. rezultă 2' ϕrOA =
obţinem relaţia ϕ2'=
OAOA .
79
Secţiuni de aur în pentagonul regulat
1. SXQ , PXR , XTB'
2. QPB' , ''SDB
Propoziţie. Fie ''''' EDCBHA o piramidă cu vârful H şi cu baza un pentagon
regulat. Construim cercul de rază r înscris în pentagonul ''''' EDCBA Atunci au loc
relaţiile:
1. 2=OAOH
2. ϕ=r
OH
Exemplu – Traseu pentagonal
Adrian Gheorgiu (Proporţii şi trasee geometrice în arhitectură)
80
2.7.2 Numărul de aur şi decagonul regulat
Proprietate. Raportul dintre lungimea laturii decagonului regulat convex şi
lungimea razei cercului circumscris acestuia este egal cu inversul numărului de aur
(Fig.52).
Fig. 52
Demonstraţie.
Metoda I. Fie dat cercul de centru O . Impărţim cercul în 10 părţi egale. Notăm
cu AB o muchie a decagonului regulat şi cu AD muchia decagonului stelat. Fie K
intersecţia dintre raza BO şi muchia AD . Din asemănarea triunghiurilor BAK şi
AOB rezultă egalitatea BKAB
ABAO
= .
Cum BKOKOBAO +== şi ABAKOK == obţinem AB
BKABBKAB +
= . De
aici rezultă ϕ==ABAO
BKAB
Metoda II. Decagonul regulat este format din 10 triunghiuri isoscele identice,
cu vârful principal în O , adică în centrul cercului circumscris decagonului (Fig.53,
54). Vârfurile din O au măsura egală cu oo
3610
360= . De unde rezultă că unghiurile de
la baza triunghiurilor isoscele au măsura o72 . Considerăm triunghiul AOB . Notăm cu
A
B
O
D
E
C
K
81
I piciorul înălţimii din O pe baza AB . In triunghiul dreptunghic AIO avem
AOAIA == o72coscos . Având în vedere formula 1cos22cos 2 −= aa rezultă
4151
415 2136cos272cos
2
2 −=−
+=−= oo .
Deci, 4
15 −=
ACAI sau 15
154
+=−
=AIAO . Cum punctul I este şi mijlocul
muchiei AB rezultă AIAB 2= . Atunci obţinem relaţia 2
152
+==
AIAO
ABAO .
Fig. 53
Fig. 54
A B
O
I
82
Proprietate. Valoarea raportului dintre lungimea muchiei decagonului stelat şi
lungimea razei cercului circumscris este egală cu inversul numărului de aur (Fig.55).
Fig. 55
Demonstraţie. Din asemănarea triunghiurilor AKO şi AOD rezultă
AKAO
AOAD
= . Cum KDAKAD += şi AOODKD == rezultă Φ==+
AKAO
AOAOAK
deci punctele OKA , , realizează rapotul de aur.
Calculul lungimii laturilor decagonului
• Lungimea unei laturi a decagonul regulat este dată de formula:
rrl2
151 −=
Φ= ,
unde r este raza cercului circumscris (Fig.56a).
• Lungimea unei laturi a decagonului stelat este dată de formula:
rrl2
15 +=Φ= ,
unde r este raza cercului circumscris (Fig.56b).
A
B
O
D
K
83
Fig. 56
2.8. Secţiunea de aur – elemente spaţiale
Având în vedere faptul că orice dreptunghi se descompune în două triunghiuri
dreptunghice identice, proprietăţile şi construcţiile prezentate în secţiunile precedente
cu privire la triunghiurile dreptunghice sunt valabile şi pentru dreptunghiurile
corespunzătoare.
Prin intermediul dreptunghiurilor se poate trece de la reprezentarea în plan la
reprezentarea în spaţiu prin intermediul paralelipipedelor.
Paralelipipedul are un rol esenţial în punerea în proporţii a edificiilor.
Paralelipipedele sunt definite de trei dimensiuni iar cele esenţiale au laturile egale cu
cele ale principalelor dreptunghiuri, astfel:
1 1 1
3 3 4
3 4 4
3 4 5
1 1 2
1 2 2
1 1 3
1 3 3
1 2 3
1 1 2
1 2 2
1 1 Φ
1 Φ Φ
1 Φ 2Φ
1 2Φ 2Φ
etc.
A
B
O
D
C A
O
D
C
a) b)
84
In cazul volumelor mărginite de suprafeţe curbe (sferice, cilindrice, conice,
etc.) caracteristicile geometrice sunt date de paralelipipedele cu care se grupează
compoziţional.
2.8.1. Secţiunea de aur şi corpurile platonice
Propoziţie. (fără demonstraţie) Dreptele ce unesc centrele feţelor unui dodecaedru formează trei dreptunghiuri de aur perpendiculare două câte două (Fig.57).
Fig. 57
Propoziţie. (fără demonstraţie) Dreptele ce unesc vârfurile unui icosaedru formează trei dreptunghiuri de aur perpendiculare două câte două (Fig.58).
Fig. 58
85
Propoziţie. (fără demonstraţie) Raportul dintre lungimea muchiei unui dodecaedru şi lungimiea muchiei unui cub încris în acest dodecaedru formează secţiunea de aur (Fig.59).
Fig. 59
2.9. Şirul lui Fibonacci (legea creşterilor organice) şi numărul de aur
Proprietate. Valoarea raportului dintre oricare doi termeni consecutivi ai şirului
lui Fibonacci este egală cu numărul de aur.
Demonstraţie. Considerăm un segment AB de lungime a şi determinăm un
punct C astfel încât Φ=BCAC . Pornind de la segmentul AC determinăm un punct D
astfel încât Φ=ACAD . Cum Φ= aAC lungimea segmentului AD este egală cu 2Φa .
Deoarece 12 +Φ=Φ rezultă aaa +Φ=Φ2 , adică ABACAD += .
Continuând procedeul obţinem termenul general 21 −− Φ+Φ=Φ nnn aaa .
Astfel pornind de la un segment AB de lungime a putem construi un şir de segmente
care are proprietatea că raportul lungimilor a două segmente succesive este egal cu
numărul de aur: ,....,.....,,,, 32 naaaaa ΦΦΦΦ
Proprietate. Orice termen al şirului lui Fibonacci este egal cu suma celor doi
termeni precedenţi.
86
Demonstraţie. Fie au =0 şi bu =1 atunci şirul lui Fibonacci este dat de
relaţiile:
bauuu +=+= 012
bauuu +=+= 2123
bauuu 23234 +=+=
bauuu 35345 +=+=
Şirul lui Fibonacci admite doi termeni iniţiali de valoare
1:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…
Şirul de aur
Definiţie. Şirul de aur este unicul şir care care are următoarele proprietăţi:
11 −+ += nnn uuu şi .1 ctu
u
n
n =+
Mai precis şirul este de forma:
,.....85 ,53 ,32 ,21 ,1 , ,1 Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ
sau
,... , , , , , ,1 65432 ΦΦΦΦΦΦ
Definiţie. Lanţul de aur este un lanţ infinit format numai din valorile 0 şi 1.
Construcţie. Fie 00 =s şi 11 =s . Atunci termenul general al lanţului se obţine
prin concatenarea celor doi temeni care-l preced: 1−ns , 2−ns .
Proprietate. Intr-un lanţ de aur valoarea raportului dintre numărul termenilor
egali cu 1 şi numărul celor egali cu 0 este Φ .
0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
87
Dezvoltarea numărului de aur în fracţii continue
Considerăm formula prin care-l determinăm pe x : x
x 11+= . Inlocuind pe x
prin expresia lui obţinem
x
x 11
11+
+= . Continuând procedeul obţinem
....111
11
++
+=x , adică dezvoltarea numărului de aur în fracţii continue.
Observaţie. Numărul de aur poate fi aproximat prin fracţii care se obţin ca
raport a două şiruri Fibonacci consecutive.
Bibliografie Gheorgiu A. - Proporţii şi trasee geometrice în arhitectură, Editura Tehnică, 1991
Hofstetter K. - A Simple Construction of the Golden Section, Forum Geometricorum,
v 2 (2002), pp. 65-66
Hofstetter K. - A 5-step Division of a Segment in the Golden Section, Forum Geometricorum v 3 (2003), pp. 205-206
Hofstetter K. - Another 5-step Division of a Segment in the Golden Section Forum Geometricorum, v, 4 (2004), pp. 21-22
Hofstetter K. - Division of a Segment in the Golden Section with Ruler and Rusty Compass, Forum Geometricorum, v 5 (2005), pp. 135-136
Radian H. R. - Cartea proporţiilor, Editura Meridiane, Bucureşti, 1981
Sennott R. S. - Encyclopedia of 20th Century Architecture, v 1,2,3, Fitzroy Dearborn, NY, 2004
1 1 2 2 23 1+ 21
35 1+ ( )2111 + 58 1+ ( )( )211111 ++
813 . 1321 . 2134 .
3455 .