Capítulo 1 - s35ebd64a5859e575.jimcontent.com · antidiferenciación o integración. Arquímedes de Siracusa Arquímedes, considerado por muchos como el más grande de los matemáticos

1Integral

indefinida

Capítulo 1

En este capítulo se definirá el concepto matemático de integral de tal manera que elestudiante empiece a conocer lentamente el proceso u operación de «integración»,mostrándole además la relación que existe entre esta operación de integración y laoperación «inversa» de derivación, a la cual llamaremos «primitivación».

En general, este proceso es más complicado que el de la derivación y debemos sermás cautelosos y pacientes con los métodos que se expongan, los cuales nospermitirán, cuando sea posible, obtener la primitiva o antiderivada de un gran nú-mero de funciones.

Iniciamos el capítulo presentando las definiciones correspondientes a la funciónprimitiva, para posteriormente hacer el estudio de la regla de sustitución o cambiode variable, quizás el método de integración más importante, ya que en cualquierade los otros métodos, por lo general, en algún paso intermedio se hace uso de dicharegla.

Al finalizar el capítulo ilustramos con algunos ejemplos sencillos una primera apli-cación de la integral indefinida a las ecuaciones diferenciales y a la física.

Módulo 1Función primitiva o antiderivada

Módulo 2Integral indefinida

Módulo 3Regla de sustitución o cambio devariable

Módulo 4Algunas aplicaciones de la inte-gral indefinida

EjerciciosMódulos 1 al 4

La ley de caída de Galileo establece que todos los cuerpos caen en el mismo tiempo desde la mismaaltura, independientemente de su peso.

22

23Elementos básicos de cálculo integral y series

1Función primitiva o antiderivada

Contenidos del módulo

Objetivos del módulo

Preguntas básicas

Introducción

1.1 Función primitiva o antiderivada1.2 Teorema 1

1. Presentar el concepto más importante de la integral indefinida, la primitivación o antiderivada, y sus nexos con la derivación de funciones.

1. Se puede demostrar, usando métodos de integración, que la función

3

2( )

25

xf x

x=

+ tiene las siguientes primitivas:

2 3 2 2 1 21

1( ) ( 25) 25( 25) ,3

F x x x C= + − + +

2 2 1 2 2 3 22

2( ) ( 25) ( 25) .3

F x x x x C= + − + +

Demuestre que F1(x) = F2(x).

En el capítulo 3 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial hemos estudia-do el siguiente problema: dada una función F(x), hallar su función derivada f (x),esto es, ( ) ( ).F x f x′ = En este módulo consideraremos el problema inverso: dada lafunción f (x), se precisa hallar otra función F(x) cuya derivada coincida con f (x).Esta función F que tratamos de buscar se llama primitiva o antiderivada de f (x).

Gabrielle Émile le Tournelle de Breteuil

Émile le Tournelle, conocida como lamarquesa de Châtelet, estudió a Newton yLeibniz, tradujo al francés los Principia deNewton y contribuyó a divulgar los concep-tos del cálculo diferencial e integral.

Émile, nacida en 1706 y fallecida en 1749,no respondía al prototipo de belleza de suépoca pues ya de niña era muy alta (1,65m) y tenía las manos y los pies grandes. Talvez por esto su padre, pensando que noiba a casarse, se preocupó de que recibieseuna excelente educación. Sin embargo, alos diecinueve años se casó con el marquésde Châtelet y suspendió temporalmente susestudios, pero los reanudó a los veintisieteaños, después del nacimiento de su tercerhijo.

En los salones de su residencia, en vez defrivolizar con conversaciones intrascenden-tes, Émile y sus invitados deliberaban conardor sobre problemas matemáticos. Atanto llegó su pasión por esta actividadacadémica que mandó que le confeccio-naran unas ropas de hombre, y con suspiernas enfundadas en calzas y calzoneslogró entrar vitoreada por sus colegas enel café Gradot de París, en donde se reuníanmatemáticos y científicos y al cual se le habíaprohibido la entrada por ser mujer.

Émile le Torunelle escribió Las institucionesde la física, libro que contiene uno de loscapítulos más interesantes sobre cálculoinfinitesimal.

24

1.1 Función primitiva o antiderivada

Definición

Sea f una función definida en un intervalo I. Una función F (x) se llama primitiva oantiderivada de f (x) en I si F es diferenciable y ( ) ( )F x f x′ = para todo x en I.

Ejemplo 1

Sea 3 2( ) 4 8 4 5.f x x x x= + − +

Son primitivas de f (x) las siguientes funciones:

4 3 21

8( ) 2 5 63

F x x x x x= + − + − , 4 3 22

8( ) 2 5 4.3

F x x x x x= + − + +

En efecto,

3 21 2( ) ( ) 4 8 4 5 ( ).F x F x x x x f x′ ′= = + − + =

Ejemplo 2

Sea ( ) sec .f x x=

Son primitivas de f (x) las siguientes funciones:

1 2( ) ln (sec tan ) 3, ( ) ln (sec tan ) 2.F x x x F x x x= + + = + −

En efecto,

1 2( ) ( ) (ln (sec tan ) 3) (ln (sec tan ) 2).x xF x F x D x x D x x′ ′= = + + = + −

1 (sec tan )

sec tan xD x xx x

= ++

(RD26)

21 (sec tan sec )sec tan

x x xx x

= ⋅ ⋅ ++

(RD15 y RD13)

1 sec (tan sec )

sec tanx x x

x x= ⋅ +

+

sec ( ).x f x= =

Observación

En los ejemplos anteriores es fácil ver que si una función dada f (x) tiene funciónprimitiva F(x) ésta no es única. Así, en el ejemplo 1 las funciones F1(x) y F2(x)figuran como funciones primitivas de f (x), o en general, cualquier función de la

Capítulo 1: Integral indefinida

Vea el módulo 1 del programade televisión Elementos básicosde cálculo integral y series


forma 4 3 28( ) 2 5 ,3

F x x x x x C= + − + + donde C es una constante, es también pri-

mitiva de f (x).

Por otra parte, puede demostrarse que las funciones de la forma

4 3 28( ) 2 53

F x x x x x C= + − + + abarcan todas las funciones primitivas de

3 2( ) 4 8 4 5,f x x x x= + − + lo cual se deduce fácilmente del siguiente teorema.

1.2 Teorema 1

Si F1(x) y F2(x) son dos funciones primitivas de f (x) en un intervalo I, entonces ladiferencia entre ellas es una constante.

Demostración

Designemos por 1 2( ) ( ) ( ).x F x F xϕ = − (1)

Como F1(x) y F2(x) son dos funciones primitivas de f (x) en un intervalo I, se tiene,de acuerdo con la definición,

1 ( ) ( ),F x f x′ = (2)

2 ( ) ( ).F x f x′ = (3)

Ahora, de (1), (2) y (3), se tiene 1 2( ) ( ) ( ) 0.x F x F xϕ ′ ′′ = − =

En conclusión, ( ) 0,xϕ′ = y de acuerdo con el ejercicio 19 del módulo 28 del textoElementos básicos de cálculo diferencial, se deduce que existe una constante Ctal que ( ) ,x Cϕ = es decir, 1 2( ) ( ) ( ) .x F x F x Cϕ = − =

Observación

Del teorema anterior se deduce que si F(x) es una primitiva de f (x), entonces( ) ( )G x F x C= + también lo es, y G(x) así definida se denomina primitiva más

general de f.

Módulo 1: Función primitiva o antiderivada

26


2Integral indefinida



Preguntas básicas

Introducción

2.1 Integral indefinida2.2 Primeras fórmulas de integración

1. Presentar las propiedades de la integral indefinida o primeras fórmulas de integra- ción y su demostración simple con base en las fórmulas de derivación correspondientes, y mostrar cómo usarlas en la solución de ejercicios.2. Construir, usando las reglas básicas de derivación y diferenciales, una primera tabla de integrales.

Diga si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

1. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ Justifique su respuesta.

2. ( )( )

( ) ( )

f x dxf xdx

g x g x dx= ∫∫ ∫ . Justifique su respuesta.

En el módulo 1 definimos la primitiva o antiderivada de una función f, y también laprimitiva más general de f. Esta última es la que se conoce como la integral indefini-da de f. En este módulo mostraremos que en muchos casos puede ser calculadamediante la operación «inversa» de la derivación, la cual llamaremosantidiferenciación o integración.

Arquímedes de Siracusa

Arquímedes, considerado por muchoscomo el más grande de los matemáticos dela antigüedad, nació en el año 287 a.C. ymurió en el 212. Pasó casi toda su vida ensu ciudad natal de Siracusa, aunque se sabeque visitó Egipto al menos en una ocasión.La fama de Arquímedes se basa fun-damentalmente en sus numerosos descu-brimientos matemáticos. Halló, por ejemplo,un valor aproximado del número pi con unerror muy pequeño. Calculó volúmenes yáreas, algunos muy difíciles, entre ellos elvolumen de la esfera, y demostró el siguienteresultado fundamental del que se sentíaparticularmente orgulloso: «Los volúmenesde un cono, de una semiesfera y de uncilindro, todos de la misma altura y radio,se encuentran en la razón 1:2:3». Consi-derado este teorema con la perspectiva quenos da la historia, era verdaderamente unresultado excepcional para la época. Lapureza de su matemática en las obras De laesfera y del cilindro, De los conoides yesferoides, De las espirales, y la originalidadde sus nuevas ideas (método de exhaución,cuadratura del segmento de parábola), enlas que se puede ver el germen del cálculoinfinitesimal de Newton y Leibniz, se unen yse complementan armoniosamente con sustrabajos sobre estática e hidrodinámica,poniendo de manifiesto cómo las dosmatemáticas (la pura y la aplicada) secomplementan mutuamente, de manera que

Escuche el audio ¡Eureka! Arquí-medes y el cálculo integral en sumultimedia de Elementos básicosde cálculo integral y series.

28

2.1 Integral indefinida

Definición

Si F(x) es una función primitiva de f (x), la expresión F(x) + C se llama integral

indefinida de la función f (x) y se denota por el símbolo ( ) .f x dx∫ Esto es:

( ) ( ) .f x dx F x C= +∫

En este caso f (x) se llama integrando (o función bajo el signo de integral), C se llamaconstante de integración y dx indica que la variable de integración es la letra x.

Observaciones

1. El significado geométrico de la integral indefinida es una familia de curvas,una para cada valor de C.

2. Toda función continua f (x) en el intervalo [ , ]a b tiene una función primitivay por consiguiente una integral indefinida. Sin embargo, no siempre es po-sible encontrar la integral indefinida (primitiva más general) de una función

continua en [ , ]a b como sucede por ejemplo con la función 4( ) 1f x x= + .

Más adelante estudiaremos métodos que permiten determinar las funcionesprimitivas (y por consiguiente las integrales indefinidas) de ciertas clases defunciones.

3. De la definición anterior podemos deducir lo siguiente:

a. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando. Es decir,

( ) ( ),df x dx f x

dx=∫

o también,

( )( ) ( ) .d f x dx f x dx=∫

b. Como ( ) ( ),F x f x′ = entonces ( ) ( ) .dF x f x dx=

Por tanto, ( ) ( ) .dF x F x C= +∫

De acuerdo con la observación 3, podemos obtener fórmulas de integración a partirde las fórmulas de diferenciación. Usaremos las siguientes fórmulas que aparecenen el teorema 1 y cuya igualdad podemos comprobar mediante la derivación; esdecir, se puede verificar que la derivada del segundo miembro es igual a la derivadadel primer miembro.


cada una actúa como estímulo y ayuda parala otra y forman en conjunto una única ybien definida línea de pensamiento.

Arquímedes fue además un genio de lamecánica. Entre sus inventos más célebresse encuentra el «tornillo de Arquímedes»,utilizado en muchos países, entre ellosEspaña, para extraer agua de los pozos.Construyó también planetarios que, pese ala lejanía en el tiempo, eran tan popularescomo lo son en la actualidad.

Sin embargo, no fueron sólo los inventos«pacíficos» los que dieron a Arquímedessu gran fama en la antigüedad, sino tambiénsu contribución a la defensa de Siracusacontra los romanos. Este matemático habíadotado al ejército de dicha ciudad de armasmuy modernas, las cuales causaron eldesconcierto total entre los soldadosromanos. Los historiadores de la épocano describen los «espejos ustorios»(espejos cóncavos que, puestos de frenteal Sol, reflejan sus rayos y los reúnen en elpunto llamado foco, produciendo un calorcapaz de quemar, fundir y hasta volatilizarlos cuerpos allí colocados), pero sí lo hacenlos posteriores. Fueron mencionados porprimera vez por Galeno (el más destacadomédico de aquellos tiempos, después deHipócrates). Si realmente existieron, debiótratarse de alguna especie de espejoparabólico. Según cuenta la leyenda,durante el asedio de las tropas romanas aSiracusa, en el año 213 a.C., fueroncapaces de concentrar los rayos de sol enuna zona muy reducida, que de esta forma,dirigidos hacia la armada romana,provocaron el incendio de las naves.Arquímedes los situó de forma que losrayos llegaran paralelos al eje y que, unavez concentrados, apuntaran a las velas delos barcos enemigos. Muy pronto losromanos vieron atónitos cómo las velas desus barcos ardían como por arte de magia.


2.2 Primeras fórmulas de integración

Teorema 1

1F : .dx x C= +∫2F : ( ) ( ) ,af x dx a f x dx=∫ ∫ siendo a una constante.

[ ]3 1 2 1 2F : ( ) ( ) ( ) ( ) .f x f x dx f x dx f x dx+ = +∫ ∫ ∫

Generalización:

[ ]1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .n nf x f x f x dx f x dx f x dx+ + + = + +∫ ∫ ∫… …

1

4F : ,1

nn x

x dx Cn

+

= ++∫ si 1n ≠ − y n real.

El ejemplo siguiente ilustra la manera de usar las fórmulas anteriores en el procesode integración.

Ejemplo 1

Resuelva cada una de las siguientes integrales indefinidas:

a. 2( ) , , ,kx px t dx k p t+ +∫ constantes.

b. ( )33 4 .w w dw+∫

c.2

23

1 .x dxx

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Solución

a. 2 23

22

3 2

1 2 3 4

3 2

( ) (F )

(F )

( ) (F )3 2

,3 2

kx px t dx kx dx px dx t dx

k x dx p x dx t dx

x xk C p C t x C

x xk p tx C

+ + = + +

= + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + + +

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

donde 1 2 3C kC pC tC= + + .

Módulo 2: Integral indefinida


El ejército de Siracusa fue así capaz dedestruir la armada de los invasores.

Experimentalmente se ha demostrado quela leyenda es creíble, como probó en 1747el conde de Bufón (Georges Louis Leclerc,1707-1788, naturalista francés, autor deuno de los primeros tratados globales dehistoria de la biología y la geología nobasados en la Biblia). Sin embargo, Siracusacayó en manos romanas a causa de unatraición y Arquímedes fue asesinado. Elgeneral romano Marcelo, a modo dedesagravio, mandó erigir para Arquímedesuna tumba sobre la cual se veía una esferacircunscrita por un cilindro que simbolizaba,de acuerdo con sus deseos, su teoremafavorito sobre los volúmenes del cono, elcilindro y la esfera. Cuando Cicerón visitóSicilia pudo ver todavía el monumento quese ha perdido para la historia.

Aunque no de una manera explícita,Arquímedes contribuyó a la aplicación delas matemáticas. En efecto, en su obraEquilibrio trató el problema de la palanca,que, junto a la cuña, el plano inclinado, elrodillo y la polea, componía la colección delas sencillas máquinas utilizadas en laantigüedad para construcciones tanasombrosas como las pirámides de Egipto,los templos griegos y los acueductosromanos. Se sirvió libremente de la nociónde baricentro o centro de gravedad de uncuerpo como si la conociese y le fuesefamiliar. Casi dieciocho siglos más tardeGalileo Galilei y el matemático holandésSimón Stevin construyeron la teoría de laestática, esto es, una teoría del equilibriopara complicados sistemas mecánicos.

30

b. ( ) 1132

1132

1132

3 432

3

2 3

11

1 2 4

1 2

3

3 4 (3 4 )

3 4 (F y F )

3 4 (F )1 11 12 3

2 3 3 4

2 3 .

w w dw w w dw

w dw w dw

w wC C

w C w C

w w w w C

++

+ = +

= +

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ +

⎣ ⎦ ⎣ ⎦= + + +

= + +

∫ ∫∫ ∫

Como 1 23 4C C+ es una constante arbitraria, la hemos denotado por C.

Al aplicar la F3 para cada ( )if x dx∫ aparece una constante Ci. Entonces

podemos evaluar cada ( )if x dx∫ sin escribir la constante Ci, pero al final

escribimos C para indicar la suma de todas las constantes.

c. 5 23 3

5 23 3

8 13 3

22 4

3

4

5

1 ( 2 )

2

3 3 .5 4

x dx x x x dxx

x dx x dx x dx

xx x C

−

−

⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + +

= + + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫



3Regla de sustitución o cambio devariable



Preguntas básicas

Introducción

3.1 Teorema 1: Regla de sustitución o cambio de variable3.2 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla

1. Enunciar y demostrar la regla de sustitución y hacer notar que es uno de los métodos más importantes en el cálculo de integrales indefinidas.2. Ilustrar con ejemplos el uso de la regla de sustitución.

1. En el módulo 2 se calculó la integral 2

23

1x dx

x

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ desarrollando el binomio al

cuadrado y usando las fórmulas del teorema 1. ¿Cómo se podría evaluar la integral

( )405 3x dx+ ⋅∫ ?

Las primeras fórmulas de integración en el teorema del módulo anterior permitenevaluar o calcular la integral indefinida de un número muy limitado de funciones.

Supongamos ahora que deseamos determinar la integral indefinida 2 33 1 .x x dx+∫En este caso ninguna de las fórmulas de integración nos permite calcular en forma

directa la primitiva de 2 3( ) 3 1,f x x x= + aunque sabemos que dicha primitiva

existe. Daremos una regla llamada integración por sustitución o integración porcambio de variable, por medio de la cual podemos evaluar muchas integrales inde-finidas que no pueden calcularse en forma directa.

Jacques (Jacob) Bernoulli

Jacques Bernoulli nació el 27 de diciembrede 1654 en Basilea, Suiza, y falleció el 16 deagosto de 1705 en la misma ciudad. Jacobera hermano de Johann (o Jean) Bernoulliy tío de Daniel Bernoulli, otros dosmatemáticos de renombre que hicieronaportes importantes al primitivo desarrollodel cálculo. Obtuvo el grado de teología enBasilea en el año 1676 y recibió enseñanzasen matemáticas y astronomía contra losdeseos de sus padres.

En los años 1676 y 1682 Jacques Bernoulliviajó a lo largo de Francia, Inglaterra y lospaíses nórdicos, y luego se reunió enInglaterra con Robert Boyle (uno de losfundadores de la química moderna) yRobert Hooke (conocido por su estudio dela elasticidad). Después retornó a Suiza yenseñó mecánica y matemáticas en laUniversidad de Basilea.

En una disputa matemática con su hermanoJohann inventó el cálculo de las variaciones.También trabajó en la teoría de laprobabilidad. La «distribución de Bernoulli»,la «ecuación diferencial de Bernoulli» y los«números de Bernoulli» fueron deno-minados así en su honor. Muchas de suspublicaciones fueron sobre series finitas.

Jacques Bernoulli fue el primero en usar eltérmino integral en el año 1690. Utilizótempranamente las coordenadas polares ydescubrió el isócrono, o curva que seforma al caer verticalmente un cuerpo convelocidad uniforme. Estudió la espiralequiangular o logarítmica (que aparece enla naturaleza en lugares muy dispares, comotelas de araña, conchas, disposiciones desemillas, espirales de nebulosas...). Tanorgulloso estaba de haber descubierto quela espiral permanece igual a sí misma bajotantas transformaciones geométricas quepidió fuese grabada en su lápida junto a laexpresión «eadem mutata resurgo»(«aunque cambiado, resurgiré»). Y así sepuede ver en la tumba del matemático enBasilea, aunque con una salvedad: el

32

3.1 Teorema 1: Regla de sustitución o cambio de variable

Sea u = g(x) una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, y sea f unafunción definida en I y F una primitiva de f en I. Entonces:

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) .f g x g x dx f u du F u C F g x C′ = = + = +∫ ∫

Demostración

Puesto que u = g(x), y como el rango de g es I, se concluye entonces que u está enI. Como F es una primitiva de f en I, se tiene que ( ) ( )F x f x′ = para todo x en I.

En particular, ( ) ( )F u f u′ = ó ( ) ( ).dF u f u

du= (1)

De aquí se tiene que ( ) ( ) .f u du F u C= +∫ (2)

Ahora, ( ( )) ( ),F g x F u= y derivando en ambos miembros con respecto a x se tiene:

( ( )) ( )

( ) · (regla de la cadena)

( ) · (sustituyendo la ecuación (1))

( ( )) ( ).

d dF g x F u

dx dxd du

F udu dx

duf u

dxf g x g x

=

=

=

′=

De esta última igualdad se sigue que F(g(x)) es una primitiva de ( ( )) ( ),f g x g x′ y por

tanto ( ( )) ( ) ( ( )) ,f g x g x dx F g x C′ = +∫ (3)

y como u = g(x),

( ( )) ( ) ( ) .f g x g x dx F u C′ = +∫ (4)

De la igualdad entre (2) y (4) resultan las dos primeras igualdades del teorema. Laúltima igualdad se obtiene de comparar (3) y (4).

Observación

La regla de sustitución es uno de los métodos más importantes del cálculo deintegrales indefinidas. Inclusive, cuando se utiliza cualquier otro método por logeneral en los pasos intermedios recurrimos a la regla de sustitución.


cantero cometió un lapsus y en lugar de laespiral logarítmica dibujó en la tumba unaespiral de Arquímedes. En su epitafio selee:

«Amado por su familia: Jacob Bernoulli, elincomparable matemático, más dedieciocho años profesor de la Universidadde Basilea, miembro de las RealesAcademias de París y Berlín, famoso porsus escritos, por una enfermedad crónica,completamente lúcido hasta su muerte, enel año de gracia de 1705, el 16 de agosto,a la edad de 50 años y 6 meses, fallecióesperando la resurrección. Judith Stupan,su mujer durante veinte años, ha erigidoun monumento junto con sus dos hijos almarido y padre que tanto echan de menos».

Pero la historia de la espiral tiene más paradecir, porque un antiguo conocido,miembro de una familia de geniosirrepetible, se maravilló tanto con esta curvaque la llamó «espiral maravillosa». Y no espara menos, si tenemos en cuenta algunasde las cosas que consiguió con la curva.Veamos:

1. La expresó en polares mediante ellogaritmo

1 log ,r

k c=θ

donde c y k son constantes y θ es el ángulode giro (lo cual justifica su otro nombre de«espiral logarítmica»).

2. También verificó que mientras que elángulo de giro aumenta en progresiónaritmética, el radio correspondiente lo haceen progresión geométrica. Dicho de otramanera: la separación de las espirasaumenta al crecer el ángulo.

3. Verificó su autosemejanza (o sea que esinvariable), lo que la emparenta con losfractales.


3.2 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla

Los ejemplos siguientes ilustran el uso de la regla conjuntamente con las fórmulasde integración presentadas en el módulo anterior.

Ejemplo 1

Sea g(x) una función diferenciable. Demuestre que:

[ ] [ ] 1( )( ) ( ) , 1,

1

nn g x

g x g x dx C n nn

+

′ = + ≠ −+∫ real.

Solución

Sea u = g(x); entonces, ( )du g x dx′= .

Por tanto,

[ ]

[ ]

1

4

1

( ) ( ) ; 1

(por F )1

( ).

1

n n

n

n

g x g x dx u du n

uC

n

g xC

n

+

+

′ = ≠ −

= ++

= ++

∫ ∫

Ejemplo 2

Calcule las siguientes integrales indefinidas:

a. 2

3 1

x dx

x +∫ ; b. 21t t dt−∫ ; c.

1 .xdx

x

+∫

Solución

a. Sea 3 1u x= + ; entonces, 23 ,du x dx= de donde 2 1 .3

x dx du=

Luego 1 1

2 2

2

3

1 2 ,3 331

x dx duu du u C

ux

−= = = +

+∫ ∫ ∫

y como 3 1,u x= + se tiene finalmente

12

23

3

2 ( 1) .31

x dxx C

x= + +

+∫

b. Sea 1.u t= − (1)

Entonces, du dt= y 2 2 .t dt t du= (2)

De (1) se tiene que 1,t u= + y sustituyendo en el segundo miembro de (2)

obtenemos: 2 2( 1) .t dt u du= +

Módulo 3: Regla de sustitución o cambio de variable


«El cálculo es así una puerta abiertamilagrosamente; aún las teorías físicasmás complejas y profundas llevan unrastro de sus más simples ecuacionesdiferenciales y una huella de suarquitectura global».

David Berlinski

34

Luego

5 3 12 2 2

7 5 32 2 2

7 5 32 2 2

2 21 ( 1)

( 2 )

2 4 27 5 32 4 2( 1) ( 1) ( 1) .7 5 3

t t dt u u du

u u u du

u u u C

t t t C

− = +

= + +

= + + +

= − + − + − +

∫ ∫∫

Otra manera de calcular la integral anterior es haciendo la sustitución

2 1u t= − y 2 2 22 ( 1) .t dt u u du= + Verifique la solución.

c. Sea 1 ;u x= + entonces, ,2dx

dux

= de donde 2 .dx x du=

Luego

32

32

3

1 4·23

4 (1 )34 (1 ) .3

xdx u du u C

x

x C

x C

+= = +

= + +

= + +

∫ ∫



4Algunas aplicaciones de la integralindefinida



Preguntas básicas

Introducción

4.1 Algunas aplicaciones de la integral indefinida4.1.1 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden4.1.2 Aplicaciones a la física: movimiento rectilíneo

1. Usar el método directo para resolver algunas ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.2. Usar el supuesto de que los cuerpos en caída libre sólo están bajo la acción de la gravedad y de esta manera usar la integral indefinida para determinar la ecuación de movimiento del objeto en cualquier tiempo t.

1. Demuestre que si f cf′ = para algún número x, entonces ( ) c xf x k e ⋅= ⋅ para algún número k.2. La ley del enfriamiento de Newton afirma que un objeto se enfría en razón proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura ambiente.

Demuestre que la temperatura T (t) del objeto en el tiempo t, en términos de su temperatura 0T en el tiempo 0, y suponiendo que la temperatura ambiente A permanece cons-

tante, viene dada por la fórmula 0( ) ,c tT t A T e ⋅= + ⋅ en donde c es la constante de proporcionalidad.

En el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias a veces puede ser muydifícil resolver una ecuación diferencial de primer orden, ya que no existe un métodogeneral que pueda usarse en todos los casos. En este módulo ilustraremos conalgunos ejemplos sencillos el método directo de solución, dejando el tratamientocompleto para el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Igualmente, en las aplicaciones a la física supondremos que los objetos de estudioestán bajo la acción de la gravedad, y por medio de integraciones podemos conocerla ecuación de movimiento del objeto y así responder preguntas relativas al movi-miento.

Oliver Heaviside

El físico inglés Oliver Heaviside nació enLondres en 1850 y murió en Torquay en1925. Carente de formación universitaria,Heaviside comenzó en el mundo laboraltrabajando como operador de telégrafos,hasta que la sordera le obligó a abandonarsu empleo. Nunca alcanzó puesto aca-démico alguno pese a haber recibido nume-rosos honores y murió en la pobreza.

Heaviside solía trabajar sin colaboradores yen soledad logró desarrollar gran parte delos fundamentos matemáticos quesustentan la teoría de la telegrafía y de loscircuitos eléctricos, formulando los ahorafamiliares conceptos de impedancia,autoinductancia y conductancia, y empleólos números complejos en el análisis de lasredes de corrientes alternas varios añosantes de que otros lo hicieran. Tambiénmostró cómo procede la transmisión deseñales auditivas a lo largo de cables y sinsufrir distorsiones, proponiendo un métodoconsistente en utilizar una única líneatelefónica para canalizar diversas con-versaciones simultáneamente (sistemamultiplex).

Como consecuencia del éxito de GuglielmoMarconi (ingeniero electrotécnico italiano,premiado con el Nobel y conocido como elinventor del primer sistema práctico deseñales de radio) tras haber transmitidoseñales de radio a través del Atlántico,Heaviside sugirió en 1902 que en la zonasuperior de la atmósfera tenía que existiruna capa reflectora, pues, de lo contrario,la curvatura de la Tierra habría impedido larecepción de las señales de radio. Laexistencia de la capa de Heaviside (queresultó ser la ionosfera, y a la cual sedenominó capa Kennelly-Heaviside porquela predicción de su existencia fue realizadatambién en 1902, en forma independiente,por el ingeniero estadounidense EdwinKennelly) fue demostrada experimentalmen-te veinte años después, de la mano del físico

36

4.1 Algunas aplicaciones de la integral indefinida

4.1.1 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden

A la ecuación ( )dyf x

dx= o al diferencial ( )dy f x dx= se le llama ecuación dife-

rencial de primer orden.

Resolver una ecuación diferencial es encontrar todas las funciones ( )y G x= quesatisfagan la ecuación diferencial.

Si y = F(x) es una primitiva de f (x), también lo es F(x) + C.

Entonces podemos decir que todas las funciones que satisfacen la ecuación dife-

rencial ( ),dyf x

dx= cuando F es la primitiva de f, son de la forma:

y = F(x) + C. (1)

Esta ecuación se llama solución general de la ecuación diferencial.

En los problemas que incluyen ecuaciones diferenciales frecuentemente se deseaencontrar soluciones particulares y para ello se dan unas condiciones llamadascondiciones iniciales o condiciones de frontera.

Así por ejemplo, resolver la ecuación 2 1,dyx

dx= + tal que y = 3 cuando x = 1,

consiste en hallar la solución general y emplear luego la condición inicial paraencontrar el valor particular de C, obteniéndose así la solución particular que satis-face la condición dada.

Para la ecuación del ejemplo anterior se puede verificar que 2y x x C= + + es lasolución general. Como y = 3 cuando x = 1, resulta entonces que y = x2 + x + 1 es unasolución particular.

Gráficamente, la solución general 2y x x C= + + representa una familia de parábo-las, una por cada valor de C (figura 4.1).

La solución particular y = x2 + x + 1 es una parábola abierta hacia arriba y cuyo

vértice es el punto 1 3,2 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.


y premio Nobel Edgard Victor Appleton.

A pesar de que casi todos los primerostrabajos de Heaviside fueron ignorados, loque acentuó su amargura y retraimiento,sus valiosas contribuciones fueronreconocidas finalmente, cuando fue elegidomiembro de la Royal Society de Londresen 1891. El último volumen de su Teoríaelectromagnética, que no había llegado apublicarse, fue destrozado por unosladrones, y sólo sabemos en la actualidadque Heaviside trató de describir en elvolumen perdido una teoría unificada delos campos, en la que combinabaelectromagnetismo y gravitación.

Heaviside quedó fascinado al leer el Tratadosobre electricidad y magnetismo deMaxwell. Comenzó a desarrollar sus propiasideas sobre el tema y logró simplificar lasecuaciones que proponía este famoso físicousando un método de cálculo operacionalque él mismo desarrolló (de hecho, lo quehoy llamamos ecuaciones de Maxwell sonla versión simplificada propuesta porHeaviside). Sin embargo, los métodos deHeaviside causaron gran controversiaentre sus contemporáneos y su valideztardó algún tiempo en ser demostrada.


Figura 4.1

Ejemplo 1

Sea la ecuación diferencial 2 .dyx

dx= − (1)

a. Halle la solución general.

b. Halle la solución particular si y = 1 cuando x = 2.

Solución

a. De (1) tenemos que 2 ,dy xdx= − y si integramos en ambos lados de estaúltima ecuación obtenemos:

21 2

22 1

( 2 ) ,

,

( ).

dy x dx

y C x C

y x C C

= −

+ = − +

= − + −

∫ ∫

Sea 2 1k C C= − ; entonces, 2 ,y x k= − + (2), es la solución general de (1).

b. Si se sustituyen las condiciones iniciales en (2) se obtiene 1 4 ,k= − + dedonde k = 5.

Por tanto la solución particular a la ecuación diferencial es 2 5.y x= − +

La solución general es una familia de parábolas y una solución particular es laparábola que pasa por el punto (2, 1) (figura 4.2).

Módulo 4: Algunas aplicaciones de la integral indefinida


«Arquímedes, uno de los más impor-tantes de todos los matemáticos, fue elhombre práctico de sentido común, elNewton de su época, que poseía lahabilidad imaginativa y la perspicaciapara tratar la geometría y la mecánica, yque incluso inventó el cálculo integral».

Herbert W. Turnbull

38

Figura 4.2

Ejemplo 2

Encuentre la solución general a la ecuación diferencial2

2 2 3.d yx

dx= + (1)

Solución

A pesar de que esta ecuación no presenta la forma de una ecuación diferencial deprimer orden, puede ser transformada a una ecuación de dicha forma de la siguientemanera:

Sea dyu

dx= ; entonces

2

2 .du d y

dx dx=

Luego la ecuación (1) queda como sigue:

2 3,dux

dx= +

de donde (2 3) .du x dx= +

Por tanto,

(2 3) .du x dx= +∫ ∫

Y resolviendo las integrales obtenemos:

( ) 2 3 ,u x x x k= + +

Es decir,

2 3dyu x x k

dx= = + + o 2( 3 ) .dy x x k dx= + +



Entonces

2( 3 ) ,dy x x k dx= + +∫ ∫

y resolviendo las integrales obtenemos finalmente:3 23 ,

3 2x x

y kx C= + + +

que es la solución general a la ecuación diferencial (1).

Observaciones

La ecuación diferencial del ejemplo anterior se llama ecuación diferencial de se-gundo orden.

Para obtener la solución general fue necesario efectuar dos operaciones de integra-ción, de ahí que aparezcan dos constantes arbitrarias. Si se quiere obtener unasolución particular es necesario dar dos condiciones iniciales.

Ejemplo 3

En cualquier punto (x, y) de una curva se verifica que 2

22 1 ,d y

xdx

= − y la ecuación de

la recta tangente a la curva en el punto (1, 1) es 2 .y x= − Encuentre la ecuación dela curva.

Solución

Debemos buscar una solución a la ecuación diferencial 2

22 1d y

xdx

= − con las si-

guientes condiciones iniciales:

a. y = 1 cuando x = 1.

b. 1dy

dx= − cuando x = 1 (puesto que la pendiente de 2y x= − es –1).

Sea ;dyu

dx= entonces,

2

2

du d y

dx dx= .

Luego

21 ,dux

dx= −

de donde 2(1 ) .du x dx= −

En consecuencia,

2(1 ) ,du x dx= −∫ ∫


40

y por tanto,3

( ) .3x

u x x C= − + (1)

Si reemplazamos u por dy

dx obtenemos:

3

,3

dy xu x C

dx= = − +

de donde 3

.3x

dy x C dx⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

Entonces3

,3x

dy x C dx⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫y por tanto,

2 4

.2 12x x

y Cx k= − + + (2)

La ecuación (2) es la solución general. Para conocer los valores de C y k utilizamoslas condiciones iniciales.

Utilizando las condiciones iniciales b en (1) obtenemos:

11 1 ,3

C− = − + de donde 5.3

C = −

Utilizando el valor de C y las condiciones iniciales a en (2) obtenemos:

1 1 51 1 ,2 12 3

k⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

de donde 94

k = .

Entonces la ecuación de la curva que pasa por (1, 1) y cuya recta tangente tiene

pendiente –1 en dicho punto es 2 4 5 9

2 12 3 4x x

y x= − − + .

4.1.2 Aplicaciones a la física: movimiento rectilíneo

En el módulo 20 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial vimos quecuando la ecuación de movimiento de un móvil está dada por ( ),s f t= la velocidad

instantánea está dada por ( ),dsv f t

dt′= = y la aceleración instantánea por

2

2 ( ).d s dva f t

dtdt′′= = =



Teniendo en cuenta aquel desarrollo, veamos ahora que es posible encontrar laecuación de movimiento de un móvil dada la velocidad o la aceleración.

Ejemplo 1

Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidadinicial de 20 m/s (figura 4.3). ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en llegar al suelo y conqué velocidad llegará? ¿Durante cuánto tiempo estará subiendo la piedra y qué tanalto llegará? (utilice como aceleración de la gravedad 210 m/sg = ).

Solución

Sean s: la posición de la piedra al cabo de t segundos.v: la velocidad de la piedra en t segundos.

:a g= − la aceleración de la gravedad, que consideramos constante.

Figura 4.3

Condiciones iniciales: 20 m/sv = cuando t = 0; s = 0 cuando t = 0.

Para simplificar la escritura prescindiremos inicialmente de las unidades y al final lasretomaremos.

Como 10,dv

dt= − se tiene que 10 .dv dt= − Por tanto, 10 ,dv dt= −∫ ∫ luego

10v t C= − + .

Si v = 20 cuando t = 0, entonces 20 10(0) ,C= − + de donde C = 20.

Por tanto, se tiene que la velocidad en cualquier instante es 10 20.v t= − + (1)

Pero ,dsv

dt= y en consecuencia 10 20,ds

tdt

= − +


42

Capítulo 1: Integral indefinidade donde

( 10 20) ,

( 10 20) ,

ds t dt

ds t dt

= − +

= − +∫ ∫

y por tanto

215 20s t t C= − + + .

Como s = 0 cuando t = 0, se deduce que C1 = 0. Es decir, la ecuación de movimiento

en cualquier instante t es 25 20 .s t t= − + (2)

De acuerdo con las ecuaciones (1) y (2) podemos obtener los resultados pedidos.

Tiempo para llegar al suelo y velocidad con que llegará:

Hacemos s = 0 en la ecuación (2). Entonces, 20 5 20 ,t t= − + de donde t = 0 ót = 4 s.

Es decir, t = 0 es en el momento de iniciarse el movimiento y t = 4 s es eltiempo que demora la piedra en caer al suelo.

Si en (1) reemplazamos t = 4 s, obtenemos la velocidad con que la piedra llegaal suelo. Es decir,

10(4) 20 20,v = − + = − esto es, 20 m/s.v = −

Tiempo durante el cual está subiendo la piedra y máxima altura alcanzada:

Hacemos v = 0 en la ecuación (1). Entonces, 0 10 20,t= − + de donde t = 2 s,y si este valor de t lo reemplazamos en (2) obtenemos la altura máxima alcan-zada por la piedra, es decir,

25(2) 20(2) 20 m.s = − + =


Módulos 1 al 4

En los ejercicios 1 a 8 se dan las funciones f y F. Compruebe, usando derivación, que ( )F x es la primitiva más general

de ( )f x . ¿Qué fórmula de integración puede deducirse en cada caso?

1.2

3( ) = ;1

xf x

x+31( ) = ln (1 ) .

3F x x C+ +

2. ( ) ln ;f x x= ( ) ln .F x x x x C= − +

3. 3( ) ln ;f x x x=4 41 1( ) ln .

4 16F x x x x C= − +

4. ( ) arctan ;f x x= 2( ) arctan ln 1 .F x x x x C= ⋅ − + +

5. 2

1( ) ;4x

f xe

=+

21 1( ) ln ( 4) .4 8

xF x x e C= − + +

6. 2( ) ;xf x x e−= 2( ) ( 2 2) .xF x e x x C−= − + + +

7. 2( ) sen 2 ;f x x=1 1( ) sen 4 .2 8

F x x x C= − +

8. 3 ( ) ( 3) ;xf x x e−= +31( ) (3 10) .

9xF x x e C−= − + +

En los ejercicios 9 a 13 encuentre la primitiva más general para la función dada.

9. 2( ) 3 4 5.f x x x= + +

10. 2 3

1 3( ) .f tt t

= +

11. 3 2( ) 1 .g x x x x= + − +

12. 2 2

2( ) .( 1)

xh x

x=

+

13. 1 2( ) ( 1) .f x x= +


14. Calcule las siguientes integrales indefinidas:

a. 5 .x dx∫ b. 2( ) .x x dx+∫

c. 2

1 4 2 .dxx x x

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ d.

3

2

( 1) .xdx

x

+∫

e. 2 1 .x x dx+∫ f.2

3

.1

t dt

t +∫

g. 5 3 1 .w w dw+∫ h.1 3 4

3 2

( 2) .rdr

r

+∫

i. 3 23 8 .x x dx−∫ j. 2( 1) ( 2 8) .x x x dx+ + +∫

k.2

3 2

( 2) .6 12 4

xdx

x x x

+

+ + +∫ l.

sen .xdx

x∫

m. 2 2cos (cos ) sen .x x x dx⋅ ⋅∫ n. 2sen (11 10) .x x dx⋅ −∫o. sen (4 2) .x xe e dx⋅ +∫ p. 3 3cos .x xe e dx⋅∫

q. 4 tan 2 .

cosx dx

ex

⋅∫ r. 24 sen sen cos .x x x dx+ ⋅∫

s.2

2

sen 4 .4

x xdx

x

+

+∫ t. 2 3 8 3 9( 5) cos [( 5) ] .x x x dx+ ⋅ +∫

u. 2 2cos ( 4) sen ( 4) .x x x dx+ +∫ v. 1 .t t t dt+∫

w.2cos (ln 4 ) .x

dxx∫ x.

2 3

3 2

cos ( 2) .[sen ( 2)]t t

dtt

⋅ −−∫

15. Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

a. 33 2 5.dyx x

dx= + − b. 2(2 3) .dy

xdx

= +

c. .dyx y

dx= d. 23 .dy

xydx

=

En los ejercicios 16 a 19 halle la solución particular de las ecuaciones diferenciales dadas teniendo en cuenta las condicionesiniciales.

16. 2 1, si 3 cuando 0.dyx x y x

dx= + = − =

Ejercicios de los módulos 1 al 4

17.4 , si 2 cuando 4.dy dx

y xy x= = − =

18.2

22 4(1 ) , si 2 y 1 cuando 1.d y

x y y xdx

′= − = = − = −

19.2

22 1 , si 1 y 1 cuando 1.d y

x y y xdx

′= − = = − =

20. ¿Puede existir una curva que satisface las siguientes condiciones: cuando 0,x = entonces 0 y 1dyy

dx= = y

2

2 0d y

dx= para todo x?

21. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, 1) y cuya pendiente en el punto (x, y) es 23 2.x +

22. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por los puntos (0, 3) y (1, 5) y satisface la ecuación diferencial2

22 3 .d y

x xdx

= +

23. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo le tomarállegar al suelo y con qué velocidad caerá? ¿Durante cuánto tiempo estará subiendo y qué tan alto llegará? (utilice

como gravedad 210 m / s ).g =

24. Un hombre en un globo deja caer un zapato cuando se encuentra a 100 m de altura y está subiendo a razón de 10 m/s.¿Cuánto tiempo tardará el zapato en llegar al suelo y con qué rapidez llegará? ¿Cuál es la distancia recorrida por elzapato antes de caer?

25. Si los frenos de un carro pueden darle una aceleración negativa constante de 30 m/s, ¿cuál es la velocidad máximaa la que puede ir si es necesario parar el carro dentro de 90 m después de aplicados los frenos?

En los ejercicios 26 a 29 halle la ecuación de una partícula que se mueve en línea recta y en donde , , y a v s t son laaceleración, velocidad, espacio y tiempo, respectivamente.

26. 2 3 , 1 y 1 cuando 0.a t s v t= + = = =

27. 100, 1 y 1 cuando 0.a s v t= = = =

28. 2 1 y 2 cuando 1.a s v s= + = =

29. 23 , 1 y 2 cuando 1.a t t v s t= − = = =


Documents

Capítulo 1 - s35ebd64a5859e575.jimcontent.com · antidiferenciación o integración. Arquímedes de Siracusa Arquímedes, considerado por muchos como el más grande de los matemáticos