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Notas de Electromagnetismo
Alberto Sánchez Moreno
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA GENERAL Y
QUÍMICA
Capítulo 1
Electrostática
Capítulo 1 2
CONTENIDO
1.1 Introducción ............................................................................................................................. 3
1.2 La carga Eléctrica .................................................................................................................... 3
1.3 Propiedades de la carga ........................................................................................................... 5
1.3.1 La carga se conserva...................................................................................................... 5
1.3.2 La carga esta cuantizada ............................................................................................... 6
1.4 Fuerza Eléctrica ....................................................................................................................... 7
1.4.1 Matemáticamente .................................................................................................................. 9
1.5 Superposición ..........................................................................................................................11
1.6 Clasificación eléctrica de los materiales .................................................................................12
1.6.1 Inducción Electrostática ..............................................................................................13
1.6.2 Electroscopio.......................................................................................................................14
1.6.3 Cargando Conductores.................................................................................................14
1.7 Campo eléctrico.......................................................................................................................17
1.8 Líneas de Fuerza de Faraday ..................................................................................................19
1.9 Campo Eléctrico para Distribuciones de carga..................................................................... 20
1.9.1 Ejemplo ilustrativo.............................................................................................................. 23
1.10 Ley de Gauss....................................................................................................................... 25
1.11 Ley de Gauss en forma Diferencial...................................................................................... 28
1.11.1 Ejemplo ilustrativo ............................................................................................................ 29
1.12 Potencial Eléctrico............................................................................................................... 34
1.12.1 Ejemplo ilustrativo ............................................................................................................ 36
1.13 Ecuación de Poisson y Ecuación de Laplace..................................................................... 39
1.13.1 Ejemplo ilustrativo .............................................................................................................41
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
3
Capítulo 1 Electrostática 1.1 Introducción
El electromagnetismo es una de las teorías que mejor expresa la dependencia entre el conocimiento científico y las aplicaciones tecnológicas, es por este motivo que cobra especial relevancia el entender los conceptos básicos de esta teoría cuando se tiene un especial interés por la tecnología, como sería el caso de la ingeniería. En este capítulo nos proponemos presentar los primeros elementos de conocimiento de la teoría electromagnética como es el concepto de carga eléctrica, campo eléctrico, potencial eléctrico entre otros.
1.2 La carga Eléctrica El fenómeno de la carga eléctrica ya era conocido a través de experiencia desde tiempos antiguos. La principal referencia que tenemos es debida a los griegos hace ya casi 2600 años. Platón se refiere en su diálogo Timeo o de la naturaleza:
“Fenómenos sorprendentes de atracción producidos por el ámbar” Los griegos sabían que si frotaban el ámbar con piel, el ámbar adquiría la propiedad de atraer trocitos de pelo y otros materiales. Pasado el tiempo en el siglo XVI William Gilbert (1544-1603) descubrió que otras sustancia como el vidrio, el azufre, la cera y las gemas tenían también propiedades similares al ámbar, fue él quien introdujo el término eléctrico (en su texto latino, eléctrica) como derivación directa del griego electrón (ηλεκτρον ), ámbar. Estas observaciones condujeron a pensar que la electricidad era una especie de fluido que se podía producir o transferir por frotamiento lo cual se confirmaba mediante la transmisión de la “virtud eléctrica” de una varilla frotada hacia otros cuerpos por contacto directo o vía un hilo que les uniera y darles así la propiedad de atraer cuerpos ligeros. Con esto quedaba demostrado que fuera lo que fuera la electricidad, podía separársela del cuerpo donde se producía, sin embargo surgió un nuevo problema al descubrir que los cuerpos electrizados podían atraer o repeler otros cuerpos electrizados.
Entre quienes se dieron a la tarea de resolver este nuevo conflicto de la naturaleza de la electricidad se hallaba el químico Charles-Francois de Cisternay Du Fay. En 1733 supo de los experimento de electricidad y comenzó a trabajar. Descubrió que trocitos de metal que habían estado en contacto con una varilla de vidrio electrizada se repelían entre si, pero atraían trocitos de metal que habían estado en contacto con un trozo de resina electrizada. Du Fay concluyó que “ existen dos electricidades, muy diferentes entre sí; a una de éstas la llamo electricidad vítrea; a la otra electricidad resinosa”. Se produce electricidad vítrea( del latín vitreus, vidrioso) cuando se frotan, especialmente en seda, determinadas sustancias como: vidrio, cristal o gemas. Se produce electricidad resinosa cuando se frotan, especialmente con piel, resinas como: ámbar o copal. A su vez, la seda utilizada para frotar el vidrio recibe electricidad resinosa; la piel utilizada para frotar la resina, electricidad vítrea. Se suponía que la electricidad vítrea y resinosa atraían materia ordinaria, y que la electricidad vítrea atraía a la electricidad resinosa; se aceptaba, empero, que los cuerpos que portaban electricidad vítrea se repelían entre sí, y análogamente, los dotados de electricidad resinosa. Con la investigación de Du Fay se podía decir que tipos distintos de electricidad se atraían entre sí, mientras que las iguales se repelían.
Capítulo 1 4
Pese a que la teoría de los dos fluidos para la electricidad cumplía con todas las expectativas del siglo XVIII, ésta fue puesta en tela de juicio por el físico norteamericano Benjamín Franklin. Franklin comenzó a interesarse por la electricidad en 1743 después que presencio una demostración de experimentos eléctricos llevados a cabo en una conferencia. Franklin empezó sus propios experimentos y deducciones, él llego a la conclusión de que la electricidad consistía en una sola clase de fluido y no dos como pensaba Du Fay, este fluido, decía, esta formado por partículas extremadamente sutiles. Supuso que la materia ordinaria retenía la electricidad, como si fuera una especie de esponja. Por tanto al frotar una varilla de vidrio con un pedazo de seda, algo de la electricidad de la seda se transfiere al vidrio, dejando a la seda con un déficit de electricidad. Este déficit de electricidad es lo que se llamaba electricidad resinosa. Análogamente cuando se frotaba una barra de ámbar en piel, se transfería parte de la electricidad, pero esta vez de la barra a la piel dejando un déficit en la barra; el déficit de electricidad de la barra y el exceso en la piel coincidían, respectivamente, con la electricidad resinosa y vítrea de Du Fay . Al déficit de electricidad Franklin lo denominó electricidad negativa y al exceso electricidad positiva. Por carga eléctrica del cuerpo entendía la cantidad de electricidad (positiva o negativa) de cualquier cuerpo. Estos términos a permanecido hasta nuestros días y los seguiremos utilizando. Lo arriba expuesto, de manera muy general, nos permite resumir los siguientes aspectos de la carga eléctrica, que sirven como punto de partida para nuestro estudio electromagnético.
• La carga eléctrica es una propiedad intrínseca de la materia. • Se pueden definir dos tipos de carga, positiva y negativa. • La convención de esto es totalmente arbitraria y se debe al científico americano Benjamín
Franklin (1706-1790) • La definición es a partir de frotamiento
Los materiales que comúnmente se utilizan para la definición arbitraria de positivo y negativo son
seda, vidrio, piel y plástico con las siguientes consideraciones.
Seda frotada con vidrio ⇒ carga positiva en el vidrio
Piel frotada con plástico ⇒ carga negativa en el plástico
A partir de esta definición podemos encontrar empíricamente, por comparación, la clase de carga que tienen los cuerpos, esto se puede llevar acabo utilizando un dispositivo como el que se muestra en la figura 1.2.1, el cual consiste de una barra aislada ligera suspendida horizontalmente de su parte media por un hilo de seda. Si la barra se electrifica con uno de los tipos de carga, de acuerdo a la convención arriba mencionada, entonces al acercar a ésta cualquier cuerpo cargado se puede saber si es del mismo tipo de carga que tiene la barra al resultar una repulsión y de diferente tipo si hay una atracción. La versión más sofisticada de éste dispositivo se conoce como balanza de torsión y fue utilizada por Charles Augustin Coulomb para descubrir la ley de interacción eléctrica.
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
5
Lo que podemos concluir de la observación experimental de éste experimento es lo siguiente:
Objetos que poseen el mismo tipo de carga se repelen Objetos que poseen diferente tipo de carga se atraen
Éstos resultados, en términos de nuestra definición arbitraria de carga, se establecerían de la siguiente forma:
Carga carga Observación+ + Repulsión+ - Atracción- + Atracción- - Repulsión
1.3 Propiedades de la carga
La carga tiene propiedades intrínsecas1 las cuales son difíciles de analizar en un curso básico, sin embargo, se pueden mencionar en intentar dar una explicación cualitativa. De aquí en adelante se usara la letra q o Q para denotar la cantidad de carga de un objeto. 1.3.1 La carga se conserva: [Los cuerpos existen en estado neutro]
Franklin también introdujo la hipótesis fundamental de la conservación de la carga. La electricidad nunca se crea ni se destruye, solamente se transfiere. De ahí que, cuando se frota una varilla de vidrio con seda, la carga eléctrica positiva de la varilla sea exactamente igual numéricamente a la carga negativa de la seda; equiparando positiva y negativa, la carga total sigue siendo cero, esto se ilustra en la figura 1.3.1
1 Intrínseco Intimo, Esencial, Algo que se tiene de por sí.
N Negativo Positivo
Figura 1.2.1
Capítulo 1 6
ANTES DE FROTAR
Paño de seda Barra de vidrio 0seda laen Carga == SQ 0 vidrioelen Carga == VQ carga total del sistema = 0=+= VST QQQ DESPUÉS DE FROTAR Paño de seda Barra de vidrio QQS −= QQV += carga total del sistema = ( ) ( ) 0=++−=+= QQQQQ VST
1.3.2 La carga esta cuantizada Esto quiere decir que existe una carga fundamental denotada con la letra e y que tiene el valor
[ ] coulombscarga c ; c106021892.1 19 ==×= −ue
en términos de la cual es posible poner cualquier carga, esto es:
cero o negativo positivo Entero ; == nneq
EJEMPLOS
PARTÍCULA SÍMBOLO CARGA n MASA(KG) Protón P +e 1 27106726485.1 −×
Neutrón n 0 0 27106749543.1 −× Electrón −e - e -1 3110109534.9 −×
Figura 1.3.1
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
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1.4 Fuerza Eléctrica
A finales del siglo XVIII en el año de 1785 el ingeniero militar Francés Charles Augustin Coulomb (1736-1806) midió las características de las fuerzas entre cuerpos eléctricamente cargados. Encontrando una ley de interacción para estos cuerpos. Esta ley lleva su nombre y se conoce como la LEY DE COULOMB. Sus características esenciales son: Dados dos objetos con carga, como lo muestra la figura 1.4.1 pero sabemos que toda fuerza es un vector sin importar su naturaleza (Leyes de Newton), por lo tanto la forma correcta de escribir la ley de interacción eléctrica es
unitario verctor ˆ ; ˆ2
21 ===rrrr
rqqkF
rr [1.4.1]
y experimentalmente se encuentra que el valor de la constante de proporcionalidad es
2
212
02
29
0
10854187818.8 ; 1094
1Nmc
cNmk −×=×== ε
πε [1.4.2]
Una observación importante es que la Ley de Coulomb es una ley de la naturaleza exacta, esto quiere decir que experimentalmente se encuentra con excelente aproximación que el exponente de r es 2. Todas estas conclusiones fueron descubiertas por coulomb a partir del año de 1785 utilizando su famosa balanza de torsión la cual se muestra en la figura 1.4. Los trabajos de coulomb hasta esta fecha versaban sobre mecánica: fricción . elasticidad, torsión, etc. Como ingeniero militar responsable de los pertrechos navales tenía que medir la fuerza de los cables , de las barra de metal y, uno de los aspectos principales, determinar la fuerza a la que resistían en diferentes situaciones: fuerzas aplicadas, fuerzas de rozamiento, y la resistencia a la torsión. Así invento la balanza de torsión en la década de los setenta (siglo XVIII) para poder efectuar realmente todo lo que se suponía que podía hacer: medir cuánta fuerza se podía aplicar para retorcer una barra de hierro antes de romperse, pues hay que recordar que siete años atrás , en 1777, ya había aplicado su idea de torsión a la medición del campo magnético terrestre en el observatorio de París. De esta forma fue preparando y mejorando su balanza de torsión para utilizarla a partir de 1785, cuando se dedicó a los nuevos campos de la física que resultaron ser la culminación de su trayectoria científica a la edad de 50 años.
1q rr 2q Figura 1.4.1
a) La fuerza es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia que las separa
rrr
F r=∝ ; 1
2
b) La fuerza es proporcional al producto de las cargas
21qqF ∝ c) El inciso a) y b) implican que
221
rqq
kF =
Capítulo 1 8
En el año de 1784 Coulomb presenta a la Academia de Ciencias de Francia la descripción de su balanza que publicó en sus “Memoires” de 1785 en los siguientes términos Y en el año de 1791 reporta a la academia lo siguiente
En una memoria presentada a la academia en 1784 he determinado experimentalmente las leyes de la fuerza de torsión de un hilo de metal y he encontrado que esta fuerza es proporcional a la cuarta potencia del diámetro del hilo de suspensión, a la inversa de su longitud, multiplicándose todo por un coeficiente constante que depende de la naturaleza del metal y que es fácil determinar por la experiencia. He hecho ver en la misma memoria que por medio de esta fuerza de torsión era
posible medir con precisión fuerzas muy pequeñas, como por ejemplo: 10000
1 de grano
( dinas005.0 ). He dado en la misma memoria una aplicación de esta teoría buscando evaluar la fuerza constante atribuida a la adherencia en la fórmula que expresa el frotamiento de la superficie de un cuerpo sólido en movimiento dentro de un fluido.
“Presento hoy a la academia una balanza eléctrica construida sobre los mismos principios; mide
con la mayor exactitud el estado de la fuerza eléctrica de un cuerpo, por débil que sea el grado de la electricidad. La balanza consiste en un vaso cilíndrico de vidrio ABCD , según la figura 1 (Figura 1.4.2) , de 12 pulgadas de diámetro y 12 de altura tapado con un disco, también de vidrio, de 13 pulgadas de diámetro, el cual está perforado por dos orificios de 20 líneas de diámetro sobre uno de los cuales, f, en el centro del disco, está colocado un tubo de vidrio de 24 pulgadas de altura, sujeto por medio del cemento que se usa generalmente en los aparatos eléctricos. En el extremo superior h del tubo hay un micrómetro de torsión , como se detalla en la figura 2 (Figura 1.4.2), en cuya parte de arriba, no. 1, lleva la cabeza b, el índice io y la grapa q. Esta pieza se enchufa en el orificio G de la pieza no.2, la cual está formada por un
limbo ab dividido en 0360 y un tubo de cobre φ ajustado al tubo H no.3 conectado al extremo superior del tubo de vidrio fh de la figura 1. La grapa q tiene la misma forma que el extremo del compás donde va la tiza, según la figura 2 no.1, y este canuto, cerrado con el anillo G, se fija al extremo de un hilo de plata muy fino, en cuyo otro extremo (figura 3), sujeta en P, hay una grapa formada por un cilindro Po de cobre de diámetro no mayor que una línea, y cuya parte superior forma una grapa que se cierra por medio de la pieza deslizante φ . Este pequeño cilindro. Alargado en C, lleva un orificio en el que se puede colocar una aguja ag y tiene el peso suficiente para mantener tenso el alambre de plata sin romperlo. La aguja ag que se ve en la figura 1, suspendida horizontalmente cerca del punto medio del vaso que la contiene, está formada por un hilo de seda empapado en lacre y termina, desde q hasta a en 18 líneas de extensión, por una barra cilíndrica de goma laca. En el extremo a hay una esferita de médula de saúco de 2 ó 3 líneas de diámetro y en g va una pequeña pieza de papel impregnado de aguarrás que sirve de contrapeso a la esferita a y amortigua las oscilaciones. La tapadera circular AC tiene además del orifico f otro m en el cual va un pequeño cilindro mφ t, cuya parte inferiorφ t es de goma laca; en t hay otra esfera de medula de sauce y alrededor del cilindro, a la altura de la aguja, un limbo ( corona graduada que tienen algunos instrumentos para medir los ángulos) zQ dividido en 0360 y , para mayor sencillez, se utiliza una tira de papel que se pega alrededor del cilindro a la altura de la aguja
Coloqué la cubierta de tal manera que el orificio m corresponde prácticamente a la primera división del limbo z o Q trazado en el vaso cilíndrico; puse luego en índice oi del micrómetro, después hice girar éste en el tubo vertical fh hasta que, mirando por el alambre vertical del que estaba suspendida la guja ag y el centro de la esfera a, observé que la aguja ag correspondía a la primera división del limbo z o Q; de esta manera la balanza quedó en condiciones para emplearla en cualquier operación.”
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
9
1.4.1 Matemáticamente A continuación haremos una consideración matemática sobre el vector distancia en la ley de Coulomb con el fin de que las matemáticas usadas para esta ley coincidan con la observación experimental Siempre que hablamos de interacción (Fuerzas) tenemos que involucras forzosamente un par de objetos o más. Para la electricidad podemos trabajar el sistema más simple, que sería el de dos partículas cargadas etiquetadas con los subíndices uno y dos respectivamente. En este caso podemos hablar de la fuerza eléctrica que siente una de las partículas debido a la presencia de la otra, lo cual nos lleva a dos posibilidades: (i) La fuerza eléctrica que siente la partícula uno debida a la presencia de la partícula dos, lo cual se denota 12F
r y matemáticamente se expresa como
12212
21
012 ˆ
41 r
rqqF
πε=
r
(ii) La fuerza eléctrica que siente la partícula dos debida a la presencia de la partícula uno, lo cual se denota 21F
r y matemáticamente como
21221
21
021 ˆ
41 r
rqqF
πε=
r [1.4.1.1]
Como podemos observar la diferencia entre el inciso i) y el inciso ii) son los subíndices en el vector fuerza que dependen del vector posición, por tanteo es indispensable definir correctamente el vector posición. Para ello adoptaremos la siguiente convención:
Figura 1.4.2
Capítulo 1 10
(i) Vector 12rr es el vector que parte de la partícula dos y llega a la partícula uno (ii) Vector 21rr es el vector que parte de la partícula uno y llega a la partícula dos Esta convención nos dice que el segundo subíndice nos indicará el lugar de donde parte el vector y el primer subíndice el lugar a donde llega. Ahora comprobemos que esta convención matemática nos predice lo que sucede experimentalmente: EJEMPLO Calcular la fuerza eléctrica entre dos partículas las cuales poseen las siguientes cargas a) 22 11 ; QqQq +=+= b) 22 11 ; QqQq −=+= SOLUCIÓN: y a) 12rr • • 1q 2q x
( ) ( )
( )( ) ( )
−=−
++==
∴
−==∴=⇒−=
0 , 4
10,14
1ˆ4
1
0,1ˆ 0,
221
02
21
0122
12
21
012
12
121212
xQQ
xQQr
rqqF
rrrxrxr
πεπεπεv
rr
Lo cual nos dice que en un diagrama de fuerzas el vector 12F
r se tiene que dibujar como lo muestra la
figura 1.4.1.2 y esto nos indica que cargas del mismo signo se repelen 12F
r
• • Repulsión 11 Qq += 22 Qq +=
Figura 1.4.1.1
Figura 1.4.1.2
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
11
b) y 12rr • • 1q 2q x
( ) ( )
( )( ) ( )
=−
−+==
∴
−==∴=⇒−=
0 , 4
10,14
1ˆ4
1
0,1ˆ 0,
221
02
21
0122
12
21
012
12
121212
xQQ
xQQ
rr
qqF
rrrxrxr
πεπεπεv
rr
Lo cual nos dice que en un diagrama de fuerzas el vector 12F
r se tiene que dibujar como lo muestra la
figura 1.4.1.4 y esto nos indica que cargas de signo diferente se atraen. 12F
r
• • 11 Qq += 22 Qq −= Atracción 1.5 Superposición Si existen dos o más cargas la LEY DE COULOMB se cumple para cada pareja de cargas. Sean
nqqq ..., 21 cargas. La fuerza que sobre cualquiera de ellas (Pongamos por ejemplo 1q ) ejercen todas las demás se calcula de la siguiente manera:
nT FFFF 113121 ...rrrr
+++= •2q 12rr •4q 14rr 13rr •3q •1q nr1
r •nq
Figura 1.4.1.3
Figura 1.4.1.4
Figura 1.5.1
Capítulo 1 12
∴
+++=
+++=
∴
nn
T
nn
T
rrq
rrq
rrqq
F
rr
qqrr
qqr
rqqF
121
2132
13
2122
12
2
0
11
121
21
0132
13
31
0122
12
21
01
ˆ...ˆˆ4
ˆ4
1...ˆ4
1ˆ4
1
πε
πεπεπε
r
r
En general se tiene para la i-ésima partícula
ij
n
ji ij
jiTi r
r
qqF ˆ
4 20∑≠
=πε
r [1.5.1]
La ecuación [1.3.1] se conoce comúnmente como PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN 1.6 Clasificación eléctrica de los materiales
Con el conocimiento de los fenómenos eléctricos es posible elaborar una clasificación de los materiales de acuerdo a sus propiedades eléctricas. La clasificación es la siguiente:
(i) Aislantes, no conductores o dieléctricos
Materiales como : Lana, plástico, vidrio, cabello y el cuero
En estos materiales las cargas tienen movilidad limitada y sólo se moverán cuando su repulsión mutua sea lo suficientemente grande para contrarrestar la tendencia a ser mantenidos en su lugar por los átomos anfitriones.
Cuando un aislante recibe una carga , la retiene, confinándola en cualquier parte de la
región localizada en la cual se introdujo.
(ii) Conductores
Materiales como: cobre , oro, aluminio (metales )
Un conductor permite que la carga introducida en él fluya libremente y se redistribuya.
Los átomos de los metales sujetan débilmente a sus electrones más externos, por lo que una muestra voluminosa contiene un enorme número de electrones libres.; en forma aproximada uno por átomo.
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
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(iii) Semiconductores
Materiales como: germanio y silicio
Son buenos aislantes cuando se encuentran en estado cristalino puro , pero su conductividad aumenta prodigiosamente cuando un solo átomo en diez millones se remplaza por una impureza que agrega o quita un electrón a la estructura cristalina.
Se puede hacer que estos materiales se comporten a veces como aislantes y a veces
como conductores
Ejemplo: Los transistores se componen de varias capas delgadas de materiales semiconductores dispuestas como emparedado
(iv) Superconductores
Metales que adquieren una conductividad infinita a temperaturas cercanas al cero absoluto
A partir de 1987 se ha encontrado el fenómeno de la superconductividad a “altas”
temperaturas (arriba de 100 K) en diversos compuestos no metálico ( compuesto cerámico de bario, lantano, cobre y oxígeno)
1.6.1 Inducción Electrostática
Con el conocimiento de los materiales conductores de la electricidad y la ley de interacción de las cargas eléctricas es posible entender un fenómeno que consiste en la separación de cargas positivas y negativas en un conductor inducido por la presencia de un objeto cargado próximo, este fenómeno se conoce como inducción electrostática. Los excesos locales de cargas positivas y negativas que se acumulas en regiones diferentes del conductor se denominan cargas inducidas. El conocimiento de la inducción electrostática nos permite construir aparatos como el electroscopio para saber si los cuerpos están cargados positiva o negativamente o para cargar conductores.
Dibujo que muestra un tren levitando por campos magnéticos producidas por corrientes superconductoras.
Capítulo 1 14
1.6.2 Electroscopio En 1786 , el reverendo A. Bennet presentó un dispositivo que hasta la era moderna de la electrónica, fue el principal indicador electrostática . El electroscopio de hojas de oro consta básicamente de dos hojas metálicas extremadamente delgadas, que penden paralelas entre sí de un alambre conductor , todo ello contenido en una envoltura protectora de vidrio, esto se ilustra en la figura 1.6.2.1. Una carga introducida a través del botón metálico de la parte superior, se distribuye en el aparato; cierto valor de carga viaja hacia abajo por el alambre y se divide por igual en cada una de las hojas. Al repelerse entre sí, las hojas pivotean separándose en un ángulo proporcional a la carga neta. Y así permanecen separadas las hojas, hasta que las cargas sean deliberadamente removidas o hasta que se fugue hacia el aire.
Mediante un Electroscopio se puede detectar una carga y detectar su signo. Si una carga positiva se acerca a un electroscopio cargado positivamente, como lo muestra la figura 1.6.2.1 inciso (a), las hojas divergen todavía más. En la serie de figuras 1.6.2.1 inciso (b) una carga negativa se aproxima cada vez más a la esfera de un electroscopio cargado positivamente. Por consiguiente, cada vez se repelen más cargas negativas hacia las hojas que terminan por unirse. Finalmente, si una carga negativa muy grande se aproxima mucho, son tantas las cargas negativas que se acumulan sobre las hojas que éstas divergen de nuevo por que adquieren una carga neta de este signo. 1.6.3 Cargando Conductores Cuando un conductor neutro se aproxima a un cuerpo cargado positivamente, las partículas eléctricas negativas son atraídas hacia la parte más próxima al cuerpo cargado. Como la carga inducida negativa está más próxima al cuerpo positivo existe una fuerza neta de atracción. El fenómeno de la inducción electrostática nos permite cargar conductores. Supongamos que tenemos dos cilindros metálicos iguales sobre soportes aislantes que ponemos en contacto entre sí, formando un conductor de longitud doble como indica la figura 1.6.3.2. En estas condiciones acercamos una barra de vidrio cargada positivamente al extremo del conductor. La carga positiva de la barra de vidrio atrae cargas negativas del conductor y repele las positivas. En consecuencia, el extremo
Figura 1.6.2.1
Figura 1.6.3.1
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
15
próximo del conductor adquiere un exceso de partículas eléctricas negativas y el extremo alejado se carga positivamente. Si separamos ahora los dos cilindros metálicos, apartando los soporte, pero manteniendo el vidrio positivamente cargado en las proximidades, el cilindro próximo quedará cargado negativamente y el alejado positivamente.
Figura 1.6.3.2
Más sobre conductores e Inducción
Capítulo 1 16
Un peine cargado
negativamente recogiendo trocitos de papel de seda.
Permitiendo que los electrones fluyan hacia tierra, el alambre propicia que elelectroscopio que cargado permanentemente.
Distribución de carga situada en las superficies de un conductor y de un no conductor
La distribución de carga sobre la superficie de conductores idénticos. La carga se reparte de manera uniforme sobre las dos esferas.
Las cargas tienden a acumularse sobre las regiones terminadas en punta de un conductor.
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
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1.7 Campo eléctrico2 Trataremos de definir el concepto de campo eléctrico a través de su analogía con el campo gravitacional terrestre. Consideremos el movimiento de un objeto en caída libre cerca de la tierra. En este caso la causa del movimiento es la interacción entre nuestro objeto de estudio y la tierra. De acuerdo a la segunda ley de newton su movimiento está dado por la ecuación
gmFgrr
= [1.7.1.] donde m es la masa del objeto en estudio. Si despejamos de ésta relación gr obtenemos
mF
g g
vr= [1.7.2]
Esta ecuación la podemos considerar como la definición del campo vectorial gravitatorio cerca de la superficie de la tierra. Donde gF
v es la fuerza de interacción entre el objeto y la tierra y m la propiedad
intrínseca de la materia que permite la interacción gravitacional.
En mecánica
Matemáticamente la expresión [1.7.2] nos dice que en cada punto alrededor y muy cerca de la superficie terrestre podemos dibujar un vector en dirección del centro de la tierra que se puede interpretar como el vector campo gravitacional en ese punto, es decir, hemos construidos el campo vectorial gravitacional y la manera de interaccionar con este campo es a través de un objeto prueba, que en este caso es el objeto en caída (manzana). Podríamos decir también, de una forma más superficial, claro está, que la tierra de masa M generó un campo vectorial gravitacional y la forma de verificar que este campo existe es colocar una partícula prueba con la propiedad de masa y observar su interacción, en este caso el movimiento en caída libre. Hemos puesto como “ medio” de interacción entre el objeto
2 Para una discusión un poco más detallada sobre el concepto de campo eléctrico véase las notas Introducción a la Física Moderna para facultad de Ingeniería de Alberto Sánchez Moreno.
campo gravitatorio =
Fv
Tierra M
gr
Isaac Newton
Figura 1.7.1
m
Capítulo 1 18
de masa M y el objeto de masa m el campo vectorial gravitacional, esquemáticamente se puede poner como
y la ecuación [1.7.2] nos permitiría encontrar de manera cuantitativa este campo. En conclusión estamos diciendo que la tierra genera un campo vectorial gravitacional y que la causante de éste es su propiedad intrínseca de masa, pero el objeto prueba también posee esta propiedad sino, no habría interacción, entonces ¿Qué hay de éste campo?, bueno, la respuesta es, que efectivamente el campo gravitacional vectorial generado por el objeto prueba existe y que dada su propiedad vectorial esta en superposición del generado por el objeto de masa M, en este caso la tierra, sin embargo, como este campo es proporcional a la cantidad de masa, el campo generado por el objeto prueba es despreciable en comparación del campo generado por la tierra y por tanto con buena aproximación estamos encontrando bajo la relación [1.7.2] el campo gravitacional generado por la tierra.
En analogía con este procedimiento podemos dar una definición del campo eléctrico, veamos esto con mayor detalle. Consideremos que en lugar de la tierra tenemos una partícula puntual de carga
q+ . Ahora si colocamos una partícula de carga 0q+ cerca de la carga se provocará una interacción dada la naturaleza de carga de ambas partícula, en este caso una repulsión entre ambas partículas ( si en lugar de una partícula positiva se colocará una negativa entonces se tendría una atracción y esto representaría mejor la analogía, sin embargo por convección se usa la carga positiva) se puede considerar aquí también que la interacción se llevó a cabo por medio de un campo generado por la partícula de carga q+ y que dada su naturaleza llamamos campo eléctrico al cual denotaremos con la letra E , aquí también este campo es proporcional ala cantidad de carga que posee cada partícula , por lo tanto, si queremos garantizar que estamos calculando con buena aproximación el campo eléctrico generado por la partícula, tenemos que considerar la partícula que nos servirá de prueba para medir el campo, de manera análoga a utilizar el objeto de masa m para medir el campo gravitacional de la tierra, lo suficiente pequeña para que su campo no se superponga demasiado con el campo que queremos calcular. Siguiendo la analogía de la relación para el campo gravitacional, el campo generado por la carga lo podemos representar de la siguiente manera
000 q
FlímE e
q →=
donde la expresión
00 →qlím no es estrictamente un límite matemático, sino, una manera de expresar que se
considera una carga de prueba suficientemente pequeña y que una vez que se tiene claro esto se puede prescindir de él, y eF es la fuerza de carácter eléctrico entre las dos partículas con carga q+ y 0q , la partícula prueba que por convención la tomamos positiva. Ahora dado que cualquier fuerza sin importar su origen se puede representar por un vector y 0q es una cantidad escalar el resultado de la
operación 0q
Fe será una cantidad vectorial, con esto mostramos que el campo eléctrico también es
Objeto de masa M ⇔ campo gravitacional ⇔ Objeto de masa m ( La tierra ) ( gr cuando estamos ( Manzana)
cerca de la tierra)
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
19
representado por un campo vectorial, es decir un vector en cada punto alrededor de la partícula con carga, esto es,
000 q
FlímE e
q
rr
→= [1.7.3]
Esquemáticamente tenemos
En electricidad 1.8 Líneas de Fuerza de Faraday Michael Faraday definió unas líneas a partir de una convención arbitraria, que nos permiten tener una idea esquemática del campo eléctrico. Estas líneas se conocen como líneas de fuerza de Faraday.
Las convenciones que se toman para dibujar las líneas de fuerza son las siguiente i) El campo eléctrico para una partícula puntual de carga q+ se esquematiza con líneas radiales
saliendo de la carga. ii) El campo eléctrico para una partícula puntual de carga q− se esquematiza con líneas radiales
entrando de la carga.
PROPIEDADES DE LAS LÍNEAS DE FUERZA
partícula de carga q ⇔ campo eléctrico ⇔ partícula de carga 0q
Michael Faraday ( 1791 – 1867 )
campo eléctrico =0
00 qF
limE e
q
rv
→=
Campo Eléctrico
0q
q+
Repulsión
cargacarga ⇔⇔ campoFigura 1.7.2
Figura 1.8.1
Figura 1.8.2
Capítulo 1 20
iii) La tangente a una línea de fuerza en cualquier punto es la dirección del campo eléctrico en ese punto.
iv) Las líneas de fuerza se dibujan dé tal forma que el número de líneas por unidad de sección
transversal es proporcional al campo eléctrico. (cuando las líneas son próximas entre si el campo eléctrico es grande y cuando están separadas pequeño)
Estas líneas serían las posibles trayectorias que seguiría una partícula prueba de carga 0q
positiva colocada en el campo eléctrico. Por ejemplo para el caso del campo generado por una partícula puntual de carga q , cualquier partícula de prueba colocada en sus vecindades sufrirá una fuerza de repulsión en dirección radial y por lo tanto el dibujo del campo serán líneas radiales saliendo de la carga. 1.9 Campo Eléctrico para Distribuciones de carga
Ahora calcularemos el campo eléctrico para diferentes distribuciones de carga. Para llevar acabo este propósito consideremos siempre un sistema coordenado en dos dimensiones y una partícula puntual de carga 0q+ como partícula de prueba en el punto donde se quiera calcular el campo eléctrico.
Comenzaremos considerando la distribución de carga más elemental, esto es, una partícula
puntual de carga q+ como muestra la figura 1.9.1. Queremos calcular el campo eléctrico generado por esta distribución de carga en el punto P. De acuerdo a la ecuación [1.7.3] el campo eléctrico en el punto P esta dado por
0qF
E e
rr=
donde eFr
es la fuerza eléctrica entre q+ y 0q+ y está dad por la ley de Coulomb
RRqq
Feˆ
41
20
0πε=
r
donde R
r es el vector que va de la distribución al punto donde queremos calcular el campo. Por lo
tanto el campo eléctrico para ésta distribución en el punto P es
Figura 1.8.3
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
21
RRqEP
ˆ4
12
0πε=
r [1.9.1]
Ahora, si en lugar de una carga puntual consideramos n cargas puntuales, el campo eléctrico generado por esta distribución se puede calcular utilizando el principio de superposición. El campo en el punto P, debido a n cargas puntuales esta dado por
0q
FE TPP
rr
=
donde TPF
res la fuerza total en el punto P debida a las n cargas puntuales. Por lo tanto el campo
eléctrico en el punto P
+++= nn
P rrq
rrq
rrq
E 020
1022
02
2012
01
1
0
ˆ...ˆˆ4
1πε
r
y en general para cualquier punto donde se quiera calcular el campo
ˆ4
12
0ij
n
ji ij
ji r
rq
E ∑≠
=πε
r [1.9.2]
donde i representa el punto donde se quiere calcular el campo. Es tos dos tipos de distribución se puede considerar como distribuciones discretas de carga, sin embargo, también es posible considerar distribuciones continuas de carga, entre estas se encuentran una distribución lineal de carga, una distribución superficial de carga y una distribución volumétrica de carga. A continuación procedemos a calcular el campo eléctrico generado por estas distribuciones.
0q••
qRr
r ′r
rvP
z
x
y
Figura 1.9.1
Capítulo 1 22
Distribución lineal de carga
Considerando una línea irregular, en la cual hay una distribución lineal de carga. Calculemos el
campo eléctrico en el punto P debido a la distribución lineal de carga. Para ello tomemos un elemento diferencial de línea dl el cual contiene un elemento diferencial de carga, por tanto, en el punto P tenemos un elemento diferencial de campo eléctrico:
ˆ4
12
0
RRdqEd
πε=
v [1.9.3]
con dldq λ= [1.9.4]
sustituyendo [1.9.4] en [1.9.3] e integrando obtenemos el campo eléctrico debido a la distribución lineal de carga
( ) RR
dlrEl
ˆ4
12
0∫
′=
rr λπε
[1.9.5]
Análogamente se calcula el campo eléctrico para las distribuciones superficiales y volumétricas de carga.
Distribución superficial de carga
Para calcular el campo eléctrico generado por una distribución superficial de carga procedemos de forma similar a la distribución lineal pero en lugar de considerar un elemento diferencial de longitud consideramos un elemento diferencial de superficie e integramos sobre toda la superficie para obtener la siguiente expresión matemática para el campo eléctrico calculado en el punto P
( ) RR
dSrES
ˆ4
12
0∫
′=
rr σπε
[1.9.6]
Rr
r ′r
rvP
z
x
y
Figura 1.9.2
( )r ′rλ
Edr
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
23
Distribución volumétrica de carga
Para calcular el campo eléctrico generado por una distribución volumétrica de carga procedemos de manera análoga a los dos casos anteriores para obtener expresión matemática
( )∫
′=
VR
RdVrE ˆ
41
20
rr ρπε
[1.9.7]
1.9.1 Ejemplo ilustrativo
( Dipolo y momento dipolar)
Considérese una distribución de carga que consiste en dos partículas puntuales con la misma magnitud de carga pero de signo contrario3, colocadas como muestra la figura 1.9.1.1. (a) Calcúlese el campo eléctrico en puntos sobre el eje de simetría. (b) Calcule el campo eléctrico si ab >> SOLUCIÓN: a) •+ q a 1Prr P Eje de simetría a 2Prr 2E
r TE
r 1E
r
•− q De acuerdo al principio de superposición y de la ecuación [1.9.2] tenemos
Pjj Pj
jTP r
r
qE ˆ
41 2
12
0∑=
=πε
r
ˆˆ4
122
2
212
1
1
0
+= PP
PP
TP rrqr
rqE
πε
r [1.9.8]
Ahora, para este problema qq +=1 ; qq −=2 3 A esta distribución se le conoce como dipolo eléctrico
b
Figura 1.9.1.1
Capítulo 1 24
y ( ) 22
11 , abrabr PP +=⇒−=r
( ) 2222 , abrabr PP +=⇒+=r
sustituyendo estos valores en la ecuación [1.9.8]
( )( )
( ) ( )( )
( )
+
++−
++
−++
=22222222
0
,,4
1ab
abab
qab
abab
qETP πε
r
( )( ) ( )
( )( )
( )
+
−=⇒−
+=
+−−+
=
23
220
23
220
23
220
4
2,02,04
,,4
ab
aqEaab
qE
ababab
qE
TPTP
TP
πεπε
πε
rr
r
b ) Sí ab >>
−= 3
042,0
baqETP πε
r
La cantidad aq2 se denota con la letra p y se conoce como el momento dipolar eléctrico4. En términos de esta nueva cantidad
−= 3
04,0
bpETP πε
v
En general el momento dipolar magnético es un vector y esta definido de acuerdo a la
convención que se considere para el vector de separación de las cargas. Por lo general se considera el vector posición saliendo de carga negativa y llegando a la carga positiva.
lqprr =
4 El momento dipolar eléctrico es un vector, en este caso tenemos la magnitud del momento dipolar eléctrico,
q+ l
r
q−
Figura 1.9.1.2
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
25
1.10 Ley de Gauss
Así como las leyes de Newton son las leyes fundamentales de la mecánica clásica también en el electromagnetismo se tienen leyes fundamentales que rigen los fenómenos electromagnéticos. Una de estas leyes fundamentales es conocida como ley de Gauss. En esta sección entenderemos como se obtiene dicha ley.
Comenzaremos recordando algunos antecedentes indispensable para la deducción de la ley de Gauss. Consideremos el problema en dos dimensiones de un circulo, el cual queda definido por su radio r . El arco de circunferencia está dado de manera aproximada por la relación
θrl ≈
l
si l y θ son de orden infinitesimal entonces
θrddl = rdld =⇒ θ
Ahora podemos generalizar este resultado para tres dimensiones, en este caso en lugar de tener un elemento de arco tendremos un elemento diferencial de superficie , como lo muestra la figura 1.10.2 dS r Ωd
Entonces, en analogía a las dos dimensiones podemos pensar que ahora tenemos un elemento diferencial de ángulo en tres dimensiones el cual se puede expresar de la siguiente manera
r θ
Figura 1.10.1
Figura 1.10.2
Capítulo 1 26
2rdSd =Ω
el ángulo así definido recibe el nombre de ángulo sólido. Armados con este concepto procedemos a la deducción de la ley de Gauss.
Consideremos una partícula puntual de carga q+ , la cual se encierra con una superficie arbitraria S
Ahora consideremos la integral de superficie o flujo del campo vectorial Er
,de la componente normal del campo eléctrico sobre la superficie cerrada S ,como lo muestra la figura 1.10.3, que encierra al origen y, en consecuencia, a la carga q , esto es
RRqEdanadda
RnRq
adE
aE
aE
ˆ4
1 ; ˆ ; ˆˆ
4
.
20
20∫
∫
==⋅
=Φ
⋅=Φ
πεπε
rr
rr
r
r
cos4 2
0∫=Φ
Rdaq
E
θπε
r [1.10.1]
la cantidad θcosda es la proyección de da en un plano perpendicular a R
r. Esta área proyectada,
dividida entre 2R , es el ángulo sólido subtendido por θcosda . Este ángulo sólido es el mismo que el subtendido por ad ′ que es un elemento del área superficial de la esfera S ′ cuyo centro está en el origen y cuyo radio es r′ , un esquema que ilustra este procedimiento se muestra en la figura 1.10.4
Figura 1.10.3
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
27
Por lo tanto
cos22 R
darad θ
=′′
[1.10.2]
Ahora sustituyendo [1.10.2] en [1.10.1]
0
202
0002
002
0
0
0
4444
00ε
ππεπεπε
qRR
qdaR
qRdaq
SSE ====Φ ∫∫r
Con lo cual podemos concluir que el flujo del campo vectorial E
r a través de una superficie cerrada S
que encierra la fuente de carga eléctrica es igual a la carga encerrada entre la constante de permitividad eléctrica. Matemáticamente:
0ε
enc
a
qadE =⋅∫rr
[1.10.3]
La ecuación [1.10.3] se conoce como la ley de Gauss5, donde, el subíndice enc indica que es la carga encerrada por la superficie, a esta superficie se le da el nombre de superficie Gaussiana.
Si q está fuera de S , se ve de la figura 1.10.5 que S puede dividirse en dos áreas, 21 y SS ,
cada una de las cuales subtiende el mismo ángulo sólido respecto a la carga q . Sin embargo, para 2S , el sentido de la normal es hacia q , mientras que para 1S es alejándose de q . Por consiguiente las contribuciones de 21 y SS a la integral de superficie son iguales y opuestas, y la integral total se anula. Por lo tanto, si la superficie no rodea la carga puntual, es decir, si q está fuera de la superficie, la integral de superficie es cero.
5 Esta ecuación es la primera de las ecuaciones de Maxwell, que son las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo, análogas a las leyes de Newton en la mecánica
Figura 1.10.4
Capítulo 1 28
Si varias cargas puntuales Nqqq ,...,, 21 están encerradas por la superficie S , entonces el campo eléctrico total está dado por la ecuación [1.9.2] Cada carga subtiende un ángulo sólido completo, por lo que la ecuación [1.10.3] se transforma en
1 N
10∑∫=
=⋅i
ia
qadEε
rr [1.10.4]
Este resultado puede generalizarse de inmediato al caso de una distribución de carga continua caracterizada por una densidad de carga ρ . Si cada elemento de carga dVdq ρ= se considera una carga puntual, entonces la carga total encerrada por la superficie de integración será:
∫= Venc dVq ρ [1.10.5] y sustituyendo [1.10.5] en [1.10.3] obtenemos
∫∫ =⋅V
a
dVadE ρε
1
0
rr [1.10.6]
1.11 Ley de Gauss en forma Diferencial
Las ecuaciones de la física-matemática se expresan regularmente en forma diferencial, para el caso que estamos estudiando, tenemos una ecuación fundamental de la física matemática, que es la ley de Gauss, pero en forma integral, por tanto es importante tener la representación diferencial de esta ecuación. Para llevar acabo este propósito utilizaremos un teorema importante del análisis vectorial que se conoce con el nombre de teorema de la divergencia de Gauss. Consideremos la ley de Gauss en forma integral (ecuación [1.10.6])
1
0∫∫ =⋅Va
dVadE ρε
rr [1.11.1]
Ahora, el teorema de la divergencia, nos dice que:
( )dVCSdCVS∫∫ ⋅∇=⋅
rrrr
Figura 1.10.5
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
29
donde Cr
es cualquier campo vectorial y V es el volumen que encierra la superficie S . Si aplicamos éste teorema al campo vectorial eléctrico E
r obtenemos
( ) dVEadEVa∫∫ ⋅∇=⋅
rrrr [1.11.2]
sustituyendo [1.11.2] en [1.11.1] tenemos
( ) ∫∫ =⋅∇VV
dVdVE ρε 0
1rr
Entonces
00
=
−⋅∇∫ dVE
V ερrr
Por lo tanto
0ερ
=⋅∇ Err
[1.11.3]
La ecuación [1.11.3] es la ley de Gauss en forma diferencial 1.11.1 Ejemplo ilustrativo
Considere el campo eléctrico producido por n cargas puntuales. Muestre que el campo vectorial E
r es un campo vectorial conservativo.
Solución: El campo vectorial E
resta dado por la expresión
( )
; 4
1
41
13
0
13
0
ii
n
i i
ii
n
i i
ii
rrRR
RqE
rrrrqE
rrrr
r
rr
rrr
−==
−
−=
∑
∑
=
=
πε
πε [1.11.4]
Si E
r es una campo vectorial conservativo a E
r lo podemos expresar como el gradiente de una función
escalar. Si esto es posible, el rotacional de Er
será cero. Tomemos el rotacional de la ecuación [1.11.4]
3104
1
i
in
ii R
RqE
vr
∑=
×∇=×∇πε
Capítulo 1 30
114
133
0
×
∇+×∇=×∇ ∑ i
ii
ii R
RR
RqE
vrr
πε [1.11.5]
pero
31 y 0 53i
i
ii R
RR
Rr
rr−=
∇=×∇ [1.11.6]
sustituyendo [1.11.6] en [1.11.5]
014
3 34
15
05
0
rvrvr
r=
×−
=
×−=×∇ ∑∑ iii
iii
ii RR
RqR
RRqE
πεπε [1.11.7]
Por lo tanto el rotacional del campo eléctrico es cero, esto nos dice que podemos escribir al campo eléctrico como el gradiente de una función escalar
0 ϕ∇−=⇒=×∇rrrrr
EE La función escalar ϕ se le conoce como potencial eléctrico y el signo menos en la ecuación es por conveniencia. 1.11.2 Ejemplos donde se utiliza la ley de Gauss
(a) Utilizando la ley de Gauss, calcular el campo eléctrico generado por una distribución lineal de carga λ constante, que se encuentra en una línea infinita.
Solución: Las ley de Gauss nos dice que:
0εenc
S
qSdE =⋅∫rr
[1.11.2.1]
1Sdr
3Sdr
2Sdr
Er
Er
Er
r
l
Superficie gaussiana
Campo eléctrico
Figura 1.11.2.1
Figura 1.11.2.2
λ
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
31
donde S es una superficie cerrada6 que encierra la carga que genera el campo. Para este ejemplo es conveniente elegir a esta superficie como un cilindro de radio r y de altura l y colocarlo de manera vertical encerrando una parte de la línea, como muestra la figura 1.11.2.1. Ahora bien, la carga
encerrada por esta superficie se calcula mediante la expresión dl
dqenc=λ , ya que al ser la
distribución de carga constante no importa la proporción de carga por longitud que se tome , ésta siempre será la misma λ , por tanto:
∫=l
enc dlq λ
∫=l
enc dlq λ
lqenc λ= [1.11.2.2]
Para calcular el lado izquierdo de la ecuación [1.11.2.1] dividimos la superficie S en tres superficies como muestra la figura 1.11.2.2, esto es:
∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅=⋅321
321SSSS
SdESdESdESdErrrrrrrr
∫∫∫∫ ++=⋅321
03
02
01 90cos0cos90cos
SSSS
EdSEdSEdSSdErr
∫∫ =⋅2
2SS
EdSSdErr
∫∫ =⋅2
2SS
dSESdErr
rlESdES
π2=⋅∫rr
[1.11.2.3]
sustituyendo [1.11.2.2] y [1.11.2.3] en [1.11.2.1] tenemos.
0
2ελπ lrlE =
Ahora despejamos la magnitud del campo
02 επλr
E = [1.11.2.4]
Hemos encontrado que el campo eléctrico tiene una magnitud dada por la ecuación [1.11.2.4] y está en la dirección r . Este resultado se puede expresar en la forma equivalente:
rr
E ˆ2
41
0
λπε
=r
[1.11.2.5]
6 También se le conoce como superficie gaussiana
Capítulo 1 32
para aprovechar el conocimiento de la cantidad 04
1πε
.
(b) Utilizando la ley de Gauss, calcular el campo eléctrico generado por una distribución superficial de carga σ constante, que se encuentra en una superficial infinita.
Solución: Las ley de Gauss nos dice que:
0ε
enc
S
qSdE =⋅∫rr
[1.11.2.6] donde S es una superficie cerrada7 que encierra la carga que genera el campo. Para este ejemplo es conveniente elegir a esta superficie como un cilindro cuya base es de área d A y altura l y colocarlo de manera horizontal encerrando una parte de la superficie, como muestra la figura 1.11.2.3. Ahora
bien, la carga encerrada por esta superficie se calcula mediante la expresión dA
dqenc=σ , ya que al ser
la distribución de carga constante no importa la proporción de carga por área que se tome , ésta siempre será la misma σ , por tanto:
∫=A
enc dAq σ
7 También se le conoce como superficie gaussiana
1Sdr
3Sdr
2Sdr
Er
ErE
r
r
l
Superficie gaussiana
Campo eléctrico
Figura 1.11.2.3 Figura 1.11.2.4
σ
Plano infinito de “perfil”
A
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
33
∫=A
enc dAq σ
Aqenc σ= [1.11.2.7]
Para calcular el lado izquierdo de la ecuación [1.11.2.6] dividimos la superficie S en tres superficies como muestra la figura 1.11.2.4, esto es:
∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅=⋅321
321SSSS
SdESdESdESdErrrrrrrr
∫∫∫∫ ++=⋅321
03
02
01 0cos0cos90cos
SSSS
EdSEdSEdSSdErr
∫∫∫ +=⋅32
32SSS
EdSEdSSdErr
∫∫∫ +=⋅32
32SSS
dSEdSESdErr
EAEAEASdES
2=+=⋅∫rr
[1.11.2.8]
sustituyendo [1.11.2.7] y [1.11.2.8] en [1.11.2.6] tenemos.
0
2εσAEA =
Ahora despejamos la magnitud del campo
02εσ
=E [1.11.2.9]
Hemos encontrado que el campo eléctrico tiene una magnitud dada por la ecuación [1.11.2.4] y está en la dirección n perpendicular al plano de carga. Por tanto el resultado de este problema es:
nE ˆ2 0εσ
=r
[1.11.2.10]
Capítulo 1 34
1.12 Potencial Eléctrico
El potencial eléctrico, de la misma manera que el potencial mecánico, tiene que ver con el concepto de trabajo que hemos estudiado en otros cursos de física. Para el caso de potencial eléctrico tenemos que considerar el trabajo realizado por un agente externo para traer una carga prueba desde un punto de referencia hasta el punto en el cual queremos calcular el potencial, en contra de las fuerzas eléctricas. Para entender mejor esto, consideremos el análogo mecánico.
Consideremos que queremos calcular el potencial gravitatorio muy cerca de la tierra, para ello consideremos la figura 1.12.1. Definiremos el potencial en el punto P, como el trabajo por unidad de masa, realizado por la fuerza
gFr
para llevar una partícula de masa m desde el punto de referencia D hasta el punto P. Hagamos este cálculo
0cos 0 ∫∫∫ ==⋅=P
Dg
P
Dg
P
Dg dlFdlFldFT
rr
Ahora bien, cerca de la tierra mgFg = y es un valor constante en buena aproximación, por tanto,
mgldlmgmgdlTP
D
P
D
=== ∫∫
por tanto, el trabajo por unidad de masa es:
glmT
= [1.12.1]
Cantidad que podríamos definir como el potencial gravitacional.
.P
28.9smg ≈
m
ldr
. D .
TIERRA
gFr
Figura 1.12.1
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
35
Ahora procedemos de manera análoga para el campo eléctrico. Apoyados en la figura 1.12.2 calculamos el trabajo realizado8 por una agente externo para llevar la partícula de prueba 0q+ a través de la trayectoria l desde un punto de referencia situado muy lejos de la fuente de carga (simbolicemos esto con el signo ∞ ) hasta el punto A , es decir,
∫∞
∞ ⋅=A
A ldFTrr
y en este caso EqFrr
−= por tanto,
∫∞
∞ ⋅−=A
A ldEqTrr
Así que, podemos definir el potencial eléctrico en el punto A como:
∫∞
∞ ⋅−==A
AA ldE
qTV
rr [1.12.2]
Con esta definición podemos calcular diferencias de potencial entre puntos, por ejemplo, si queremos calcular la diferencia de potencial entre un punto A y un punto B procede de la siguiente manera:
Sea la diferencia de potencial entre el punto A y el punto B igual a ABV lo cual definimos como:
BAAB VVV −= [1.12.1]
8 El trabajo realizado siempre es en contra de las fuerzas eléctricas porque queremos que el trabajo lo realice el agente externo, ya que también podríamos tomar una partícula de prueba negativa y existiría trabajo, pero, el trabajo lo realizaría el mismo campo y no es la idea que tenemos de concepto de trabajo en física
q+
ld
A•
0q+•
Er
Figura 1.12.2
Capítulo 1 36
Aplicando la definición de potencial
∫∫∞∞
⋅+⋅−=BA
AB ldEldEVrrrr
∫∫ ∫∞∞
⋅+
⋅+⋅−=
BB A
BAB ldEldEldEV
rrrrrr
Por lo tanto
∫ ⋅−=A
BAB ldEV
rr [1.12.3]
Ahora, si tenemos un grupo de cargas puntuales el potencial debido a esta distribución se encuentra sumando los potenciales debidos a cada una de las cargas , esto es:
∑∑==
==n
i i
in
ii r
qVV101 4
1πε
[1.12.4]
en donde iq es el valor de la i -ésima carga y ir es la distancia de esta carga al punto donde se quiere calcular el potencial. Finalmente si la distribución de cargas es continua, y no un grupo de puntos, la suma se convierte en una integral y tenemos:
∫∫ ==r
dqdVV04
1πε
[1.12.5]
en donde dq es un elemento diferencial de la distribución de cargas, r es su distancia al punto en el cual se calcula el potencial y dV es el potencial que se establece en ese punto. 1.12.1 Ejemplo ilustrativo
Considerando la figura 1.9.3. Muestre que la diferencia de potencial entre los puntos A y B es la misma independientemente si se toma la trayectoria 1 o la trayectoria 2
d B C d A Trayectoria 1 Trayectoria 2
Er
Er
Trayectoria 1 ld
r
E
r
2ldr
1ldr
045
Er
Trayectoria 2 E
r
Figura 1.9.3
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
37
Solución: Por el camino 1
( )
180cos 0
EdVABEV
dlEV
EdlV
ldEV
BA
BA
B
ABA
B
ABA
B
ABA
=−=
=
−=
⋅−=
∫
∫
∫rr
Por el camino 2
( )
EdV
dEddEV
ACEV
dlEV
EdlEdlV
ldEldEV
ldEV
BA
BA
BA
C
ABA
B
C
C
ABA
B
C
C
ABA
B
ABA
=
=+=
−=
−==
−−=
⋅−⋅−=
⋅−=
∫
∫∫
∫∫
∫
222
2
21135cos ;
2
90cos135cos
22
01
02
01
21
rrrr
rr
Capítulo 1 38
1.12.3 Equipotenciales Consideremos nuevamente el campo gravitacional cerca de la Tierra. En éste cado el potencial gravitacional es:
ghg =Φ [1.12.3.1] donde h es la altura medida desde la superficie de la Tierra al punto donde se quiere calcular el potencial. Dado que g es una cantidad constante, todos los puntos que se encuentran a la misma altura h tendrán el mismo potencial, diremos, entonces, que todos los puntos están al mismo potencial gravitacional, son los puntos equipotenciales gravitacionales, con los cuales podemos formar líneas equipotenciales.
Nótese que las líneas equipotenciales son perpendiculares al campo gravitacional, figura 1.12.3.1. Di la misma forma, aprovechando las líneas de fuerza de Faraday, en electrostática podemos “visualizar” líneas equipotenciales eléctricas, que son las líneas formadas con puntos que se encuentran a un mismo potencial eléctrico. Consideremos un campo eléctrico uniforme E
r, generado por una
superficie infinita con distribución superficial de carga constante, cuyas líneas de fuerza eléctrica se muestran en la figura 1.12.3.2.
gr
1h 2h
Líneas equipotenciales
Figura 1.12.3.1
1A
2A
3A
Erσ+
x
y
Figura 1.12.3.2
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
39
El potencial eléctrico para ésta distribución de carga está dado por.
0εσ
=Φ [1.12.3.2]
donde x es la distancia del plano al punto donde se quiere calcular el potencial eléctrico. Entonces los puntos 1A y 2A , en la figura 1.12.3.2., se encuentran al mismo potencial. La diferencia de potencial entre 1A y 2A es cero. De hecho, todos los puntos de la línea que contengan a 1A , 2A y 3A tienen el mismo potencial y por tanto estas líneas serán líneas equipotenciales eléctricas. Si ésta idea se extiende a tres dimensiones, los puntos que tuvieran el mismo potencial formarían una superficie equipotencial; en un campo eléctrico uniforme las superficies equipotenciales son planos. De las misma forma podemos encontrar las superficies equipotenciales para otras distribuciones de carga, como por ejemplo: una carga puntual positiva o un dipolo eléctrico, figura 1.12.3.3. Dos observaciones son importantes: la primera es que si movemos una carga de prueba sobre una superficie equipotencial la fuerza eléctrica no realiza trabajo sobre la carga ya que sobre las superficies equipotenciales la diferencia de potencial es cero y la segunda es que las superficies equipotenciales siempre son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico. 1.13 Ecuación de Poisson y Ecuación de Laplace Consideremos el siguiente par de ecuaciones que hemos obtenido previamente
0ερ
=⋅∇ Err
[1.13.1]
VE ∇−=
rr [1.13.2]
Figura 1.12.3.3
Capítulo 1 40
Donde V es el potencial eléctrico. Sustituyendo la ecuación [1.13.2] en la ecuación [1.13.1]
( )
0
2
0
0
ερερερ
−=∇
=∇⋅∇−
=∇−⋅∇
V
V
V
rr
rr
[1.13.3]
La ecuación [1.13.3] se conoce con el nombre de ecuación de Poisson. El operador 2∇ implica la derivación con respecto a más de una variable; en consecuencia, la ecuación de Poisson es una ecuación diferencial parcial que puede resolverse una vez que se conoce la dependencia funcional de ( )zyx ,,ρ y Las condiciones adecuadas en la frontera. El operador 2∇ , así como el ∇ , ⋅∇ y ×∇ no tienen referencia a algún sistema de coordenadas particular . Para resolver un problema determinado, debemos expresar 2∇ en función de
zyx ,, o φθ ,,r , etc. La elección del sistema particular de coordenadas es arbitraria, pero se lograra una extraordinaria simplificación del problema si se elige un sistema compatible con la simetría del problema electrostático. La forma que toma V2∇ en diferentes sistemas coordenados se halla fácilmente tomando primero el gradiente de V y luego aplicando ⋅∇ , utilizando para esto expresiones específicas del capítulo 0 En ciertos problemas electrostáticos en que intervienen conductores , toda la carga se encuentra ya sea sobre la superficie de los conductores o en forma de cargas puntuales fijas. En estos casos, ρ es cero en la mayoría de los puntos del espacio . Y donde se anula la densidad de carga , la ecuación de Poisson se reduce a la forma más sencilla
02 =∇ V [1.13.4]
La ecuación [1.13.4] recibe el nombre de ecuación de Laplace. La ecuación de Laplace también nos dice , en particular, que el potencial en un campo eléctrico no puede presentar ni máximo ni mínimo , ya que para que V alcance un valor extremo , sería necesario que las primeras derivadas de V respecto a las coordenadas fuesen nulas y que las segundas derivadas tuvieran todas el mismo signo. Esto último es imposible , ya que en tal caso no se podría satisfacer la ecuación 1.10.4.
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
41
1.13.1 Ejemplo ilustrativo
Calcular la energía potencial eléctrica almacenada en un dipolo eléctrico que sufre una torca por
estar en presencia de un campo eléctrico , como muestra la figura 1.13.4.
E
r
q+ • F
r
a a • q− Solución:
Tenemos en general que EqF
rr= y Fr
rrr×=τ , donde τr es la torca. Por tanto
21 τττ rrr
+= FaFaFaFaFarvrvrvrvrvr
×=−×−+×=×+×= 2)()(2211τ
θττ sen2aF==r
con qEF = θτ sen2aqE=
definiendo aqp 2= el momento dipolar eléctrico, tenemos
EppErrr
×=⇒= τθτ sen
Una estructura recibe el nombre de dipolo eléctrico, si al colocarse en un campo eléctrico externo Er
experimenta una torca Eprrr
×=τ .
La energía potencial almacenada se calcula con la expresión
θθθθτ cos sen pEdpEdU −=== ∫ ∫
por tanto la energía potencial eléctrica en la posición θ es
EpUrr
⋅−=
Fr
−
θ
Figura 1.13.4
Capítulo 1 42
1.13.2 Ejemplos clásicos de cálculos de diferencias de potencial Ejercicio 1.
Calcular la diferencia de potencial entre dos puntos que se encuentra en una región de campo eléctrico generado por una partícula puntual de carga q Solución: El sistema se ilustra en la figura 1.13.2.1. La diferencia de potencial se calcula utilizando la relación [1.12.3]
∫ ⋅−=A
BAB ldEV
rr
de acuerdo con la figura la relación toma la forma:
∫−=A
BAB EdlV 0180cos
∫=A
BAB EdlV
donde E es la magnitud del campo eléctrico generado por la carga q y dl es el diferencial de trayectoria que en términos de la distancia r , distancia de la carga al punto donde se calcula el potencial , esta dado por: drdl −= . Entonces:
[ ]∫ −
=
A
B
r
rAB dr
rqV 2
041πε
∫−=A
B
r
rAB r
drqV 204πε
A
B
r
rAB r
qV
−−=
14 0πε
Por tanto la diferencia de potencial entre dos puntos que se encuentra en una región de campo eléctrico generado por una partícula puntual es
−=
BAAB rr
qV 114 0πε
[1.13.2.1]
Ejercicio 2.
Calcular la diferencia de potencial entre dos puntos que se encuentra en una región de campo eléctrico generado por un plano infinito con una distribución de carga por unidad de área σ constante (distribución homogénea de carga)
Figura 1.13.2.1
Electrostática ________________________________________________________________________________________________
43
Solución:
El sistema se ilustra en la figura 1.13.2.2. La diferencia de potencial se calcula utilizando la relación [1.12.3]
∫ ⋅−=A
BAB ldEV
rr
de acuerdo con la figura la relación toma la forma:
∫−=A
BAB EdlV 0180cos
∫=A
BAB EdlV
donde E es la magnitud del campo eléctrico generado por la distribución de carga σ y dl es el diferencial de trayectoria que en términos de la distancia x , distancia del plano al punto donde se calcula el potencial , esta dado por: dxdl −= . Entonces:
[ ]∫ −
=
A
B
x
xAB dxV
02εσ
∫−=A
B
x
xAB dxV
02εσ
[ ] A
B
xxAB xV
02εσ
−=
Por tanto la diferencia de potencial entre dos puntos que se encuentra en una región de campo eléctrico generado por una partícula puntual es
[ ]ABAB xxV −=02ε
σ [1.13.2.1]
Ejercicio 3.
Calcular la diferencia de potencial entre dos puntos que se encuentra en una región de campo eléctrico generado por una línea infinita con una distribución de carga por unidad de longitud λ constante (distribución homogénea de carga)
Figura 1.13.2.2
Capítulo 1 44
Solución:
El sistema se ilustra en la figura 1.13.2.3. La diferencia de potencial se calcula utilizando la relación [1.12.3]
∫ ⋅−=A
BAB ldEV
rr
de acuerdo con la figura la relación toma la forma:
∫−=A
BAB EdlV 0180cos
∫=A
BAB EdlV
donde E es la magnitud del campo eléctrico generado por la distribución de carga λ y dl es el diferencial de trayectoria que en términos de la distancia r , distancia de la línea al punto donde se calcula el potencial , esta dado por: drdl −= . Entonces:
[ ]∫ −
=
A
B
r
rAB dr
rV λ
πε2
41
0
∫−=A
B
r
rAB r
drV04
2πελ
[ ] A
B
r
rAB rV ln42
0πελ
−=
[ ]ABAB rrV lnln42
0
−=πελ
Por tanto la diferencia de potencial entre dos puntos que se encuentra en una región de campo eléctrico generado por una partícula puntual es
=
A
BAB r
rV ln
42
0πελ [1.13.2.1]
Figura 1.13.2.3
