CAPITULO 13Análisis de Circuitos

mediante Transformada de Laplace

Teoría de Circuitos I

La transformada (unilateral) de Laplace de la función f(t) definida en [0, ∞) esta dada por:

Transformada de Laplace

0

s te dt F s

f t f tL

La variable s se denomina variable frecuencia compleja. F(s), es una función en el dominio de la frecuencia compleja, o, más brevemente, en el dominio frecuencial.

Para que f(t) sea transformable, debe ser seccionalmente continua y de orden exponencial. Si f(t) contiene solo un número finito de discon-tinuidades finitas aisladas, es seccionalmente continua. La mayoría de las funciones asociadas con los circuitos reales son L-transformables.

A continuación calcularemos las transformadas de Laplace de las señales que aparecen con mayor frecuencia en los circuitos electricos.

Algunas Transf. de Laplace Importantes

0

0 0

s ts t s t e A

A A e dt A e dt As s

tL

a) Función escalón

b) Función Impulso

c) Función Exponencial

d) Función Coseno

0

0 0

s t s tA A e dt A e dt A

t t tL

0

0 0

s ts tt t s t e A

A e A e e dt A e dt As s

tL

2 2

0

cos2

j t j ts te e s

A t A e dt As

tL

Algunas Transf. de Laplace Importantes (cont)

e) Función Seno

2 2

02

j t j ts te e

A sen t A e dt Aj s

tL

Todos estos pares transformados y otros se encuentran en la Tabla de Transformadas de Laplace. La misma nos permite pasar rápidamente del dominio temporal al dominio frecuencial y viceversa.

Como no es objeto del curso el cálculo propio de las trasformadas de señales sino la utilización de la transformada de Laplace como una herramienta, utilizaremos la tabla cuando:

a) Debamos transformar las fuentes de tensión o corriente (señales independientes) al dominio transformado.

b) Debamos volver una señal al dominio temporal, una vez que la expresemos como una composición de señales conocidas (ubicadas en la columna derecha de la tabla).

Veremos ahora algunas propiedades de la Transformadas de Laplace:

Propiedades de la Transformada de Laplace

1) Linealidad

2) Transformada de la derivada de primer orden

3) Transformada de la integral simple

0d f

s F s fdt

tL

0

1 2

0 0

s t

s t s t

a b a b e dt

a e dt b e dt aF s bF s

1 2 1 2

1 2

f t + f t f t + f t

f t + f t

L

0

1t

f d F ss

L

Estas 3 propiedades serán las que nos posibiliten extender

las LK al dominio transformado y las relaciones

V-A en cada uno de los elementos circuitales conocidos ( R, L y C )

La Transf. de Laplace y la leyes de Kirchhoff

En el dominio temporal, las leyes de Kirchhoff de tensión y corriente son:

en cada uno de los nudos del circuito

en cada camino cerrado del circuito

j

k

i ta

b v t

Por la propiedad de linealidad anteriormente vista, en el dominio transformado resultan:

en cada uno de los nudos del circuito

en cada camino cerrado del circuito

j

k

I sa

b V s

La Transf. de Laplace y las relaciones VA a) Resistencia

.R Rv t R i t

R

Rv t

Ri tL

R

RV s

RI s

.R RV s R I s

b) Inductancia

L

Lv t

Li t

. L

L

d i tv t L

dt L

. 0L L LV s L s I s i

0d f

s F s fdt

tL

01 LL L

iI s V s

L s s

L s

LV s

LI s

0Lis

La Transf. de Laplace y las relaciones VA (cont) c) Capacidad

d) Inductancias acopladas

C

Cv t

Ci t

. C

C

d v ti t C

dt L

. 0C C CI s C sV s v

01 CC C

vV s I s

C s s

1 / C s

CV s

CI s 0Cvs

L1

L1v t

L1i t L2

L2v t

L2i t

M

L

1 21 1 . .L LL

d i t d i tv t L M

dt dt

0d f

s F s fdt

tL

Ejercicio !!!

2 12 2 . .L LL

d i t d i tv t L M

dt dt

La Transf. de Laplace para resolver circuitos Conociendo entonces como transformar las fuentes independientes, como se transforman la relaciones VA de cada elemento y las leyes de Kirchhoff, podemos operar con las diferentes magnitudes en el circuito transformado.

La ventaja de realizar esto es que los operadores “integral” y “derivada” desaparecen y vemos a todos los elementos pasivos como “resistencias”. Las resistencias siguen valiendo R, las inductancias tienen un valor Ls y los capacitores tienen un valor 1/Cs, pero no hablaremos de “parte real” o “parte imaginaria”.

Por lo tanto los circuitos transformados se resolverán de manera sencilla operando algebraicamente. Una vez despejada la magnitud de interés (una tensión Vi(s) o una corriente Ij(s) ), deberemos llevarla a alguna forma conocida de la tabla (o una combinación lineal) y volver al dominio temporal. A este proceso se lo denomina antitransformación, y para ello resultará muy útil el Método de las Raíces y la Descomposición en Fracciones Simples.

La Transf. de Laplace para resolver circuitos

Ejemplo 1: Para el siguiente circuito, se sabe que iS(t) = 10 (t) y que las condiciones inciales son nulas. Calcular IR(s) para valores genéricos de R, L y C.

La Transf. de Laplace para resolver circuitos

Otras herramientas que ya conocemos y que podemos seguir utili-zando en el dominio transformado son:

• Métodos de resolución de circuitos (Mallas, Bucles y Nudos)

1I s 2I s

Las ecuaciones de Mallas serán:

La Transf. de Laplace para resolver circuitos • Conexión serie y paralelo de impedancias

1Z s 2Z s Zeq s

1 2Z Z Z eq s s s

1Z s

2Z s

Zeq s

1 2

1 2

Z .ZZ

Z Z

eq

s ss

s s• Divisor de Tensión y Corriente

22 i

1 2

ZV V

Z Z

s

s ss s

12 i

1 2

ZI I

Z Z

s

s ss s

Función Transferencia

Como vimos anteriormente, la función transferencia nos permitirá relacionar la tensión y la corriente en un par de terminales (entrada) con la tensión y la corriente en otro par (salida). Más aún,

Salida( ) Respuesta( )

Entrada( ) Excitación( )

s sT s

s s

Vemos así que hay cuatro posibles combinaciones de variables:

o o o o

i i i i

V ( ) V ( ) I ( ) I ( )

V ( ) I ( ) I ( ) V ( )

s s s s

s s s s

En cualquier caso, terminara siendo el cociente de dos polinomios en s :

1m 1 2m m-1 1 0

1n n-1 1 0 n 1 2

N s aa a a a

D s b b b b b

m mm

n nn

s c s c s cs s s

s s s s p s p s p

donde los ci son las raíces del polinomio N(s) (ceros) y los pj son las raíces del polinomio D(s) (polos). Al grado del polinomio denominador, D(s) se lo llama orden de la función transferencia y generalmente, n m.

Función Transferencia

Ejemplo 2: Hallar la expresión de VC(s) para las diferentes entradas y considerando el capacitor inicialmente descargado.

1 1R

2 1R 1 FC

3

a

b

c t

e t t

e t t

e t e t

Antitransformada

Una vez que hayamos encontrado la expresión de cualquier vble del circuito, calculamos sus polos (raíces del denominador). Suponiendo que sean todos reales y distintos y n m tendremos:

Si revisamos la tabla de pares transformados veremos que cada uno de los sumandos es fácilmente antitransformable (aún si alguno de los pj

fuera cero). A esta forma de antitransformar se la conoce como desarrollo en fracciones simples. La mayor dificultad de este método es cómo determinar las constantes K1, K2, … , Kn.

1

m m-1 1 0

n 1 2

a a a aX

b

m m

n

s s ss

s p s p s p

1 2 n

1 2

K K K

ns p s p s p

a) Método por igualación de polinómios

1 2 n

1 2

K K KX

n

ss p s p s p

1 2 2 1 n 1 1

1 2

K K Kn n n

n

s p s p s p s p s p s p

s p s p s p

Sacando factor común

1

m n m-1 n 1 n 0 n

1 2

a / b a / b a / b a / b

m m

n

s s s

s p s p s p

De esta forma puedo igualar con el polin. original

(conocido)

Una vez calculados los polos queremos llegar a esta forma

Antitransf. por método de igualación de polinomios

Ejemplo 3: Luego de transformar un circuito, aplicar las leyes de Kirchhoff y trabajar se llega a que la tensión en un elemento es:

2

3 2

17 162 100V

11 10

s s

ss s s

1 10 s s s

A 1 10 B 10 C 1A B C

V1 10 1 10

s s s s s s

ss s s s s s

2D 11 10s s s s

3 2D 11 10s s s s

Calcular la evolución v(t).

Como primer paso analicemos las raíces del denominador:

Lo primero que se ve es que tiene un polo en s =0 por lo que reescribimos:

Entonces quisieramos escribir V(s) como:

Terminar !!!

2 2 2A 11A 10A B 10B C C

1 10

s s s s s s

s s s

Antitransf. por método de los residuos

El método anterior es útil cuando las raices son reales distintas y no más de tres o cuatro, ya que genera un sistema de ecuaciones de n x n para determinar las n constantes. A su vez podríamos tener raíces multiples ( s – pj )k y el método se vuelve más complicado.

b) Método de los residuos: Este método se basa en el Teorema integral de Cauchy-Riemann y nos permite calcular las constantes según el tipo de polo. Siendo,

1m m-1 1 0

2

n 1 2

a a a aX

b

m m

n

s s ss

s p s p s p

• Para los polos simples:

lim Xj

j js pK s p s

• Para los polos múltiples:

2

1

2

2

lim X

lim X

k

k

k ks p

k ks p

K s p s

dK s p s

ds

j

j

K

s p

1 2

2

k k

kk

K K

s ps p

jp tjK e

1 2kp t

k kK t K e

Antitransformada con polos complejos conjugadosPara el caso en el que tengamos polos complejos conjugados (siempre aparecen de a pares) podemos utilizar cualquiera de los 2 métodos anteriores y las constantes que acompañen a las exponnciales tempo-rales con exponente complejo tambíen serán complejas conjugadas. Luego, habrá que usar la fórmula de Euler y trabajar las expresiones para llegar a una forma real temporal.

*

C

N( )X ( ) ( )

( ) ( )j t j ts

s x t K e K es j s j

Esto resulta trabajoso y por lo general es fácil cometer errores por lo cuál cuando aparezcan polos complejos conjugados, haremos los siguiente:

1) Separar la parte de X(s) que tiene polos complejos conjugados de la parte que tiene polos reales, y que queden dos sumandos separados.

2) Trabajamos con la parte que tiene los polos complejos

1 0

C

b bX ( )

( ) ( )

ss

s j s j

1 02 2

b bs

s

Antitransformada con polos complejos conjugados

Si observamos las filas 10 y 11 de la tabla de pares transformados de Laplace y comparamos con nuestra expresión:

1 0c 2 2

b bX

ss

s

vemos que los denominadores son iguales ( b = - y a = ) y el nume-rador lo podemos acomodar fácilmente sumando y restando lo que necesitemos.

Ejemplo 4:

Antitransformar

2 2

V4 50

ss

s

4 4

2 2

2 2

10. sin

11. cos

bt

bt

ae at

s b a

s be at

s b a

2 22 2

4 4

4 50 4 50

s

s s

50

50 2 2

4 50

50 4 50s

4 cos 50te t 44 / 50 sin 50te t

Estrategia para resolver un circuito usando Laplace

1) Determinar las condiciones iniciales de los elemento almacenadores de energía. Si sabemos que se alcanzó el régimen estacionario reempla-zamos C por un circuito abierto y L por un corto para calcularlas.

2) Dibujar el circuito L-transformado reemplazando

y las fuentes transformadas de acuerdo a su ley temporal específica.

3) Resolver utilizando todas la herramientas conocidas para hallar la variable de interes X(s) (ya sea una tensión o una corriente).

4) Antitransformar X(s) para hallar la evolución temporal x(t)

R

RV s

RI s L s

LV s

LI s

0Lis

1 / C s

CV s

CI s 0Cvs

4) Estando el circuito de la figura en régimen permanente, en t = 0 se cierra el interruptor. Reducir el circuito a una sola malla y determinar la evolución temporal de vC(t).

15) En el circuito de la figura obtener la tensión v0(t), conociendo las condiciones iniciales: iA(0) = iB(0) = 0,5 A ; vC(0) = 2 V. Utilizar algún teorema para simplificar el cálculo

12) Hallar v(t) si la llave se abre en t = 0, luego de haber alcanzado el régimen permanente.

11) En el siguiente circuito, la llave ha estado en la posición A por un largo tiempo. En t=0 conmuta instantáneamente a la posición B. Obtener la evolución de i0(t) para t≥0 seg..

1) Estando el circuito en régimen permanente, en t = 0 la llave conmuta de la posición 1 a la 2. Hallar los valores de R, L, C y E que hacen que 3( ) 2. cos 4 5sen 4ti t e t t t

1

2

10

5

2,5 H

= 0,2 F

R

R

L

C

6

75

G

S

i t t

v t t

1R

2R

L C

Gi t Sv t

El circuito de la figura ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de que se cierren ambos interruptores en t = 0 seg.

Se desea obtener iR1(t) e iVS(t) para t > 0

6) Dibujar el circuito L-transformado que permita hallar i1(t) si la llave se cierra en t = 0.