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7/23/2019 Capítulo 2 Estática de Partículas
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1
Universidad Nacional de Ingeniería
ESTÁTICA DE PARTÍCULAS
"Los hombres geniales empiezan grandes obras,
los hombres trabajadores las terminan".
Leonardo da Vinci
Universidad Nacional de Ingeniería
Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro.
Una fuerza genera el cambio en el estado de esfuerzos, deformacióny desplazamiento de un cuerpo; pero además, una fuerza es capaz
de producir un efecto de rotación a un cuerpo, cuando ese cuerpopuede rotar alrededor de un cierto punto.
Fuerza, se caracteriza por: - Punto de aplicación
- Magnitud o Módulo
- Dirección
- Sentido
2.1 FUERZAS EN UN PLANO
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Universidad Nacional de Ingeniería
Nota:
Las fuerzas, los desplazamientos, las velocidades y las aceleraciones son ejemplos demagni tudes físicas que poseen módulo y dirección y que suman según la Ley del
Paralelogramo.
Estos valores pueden representarse matemáticamentepor “Vectores”, mientras que las
magnitudes físicas que no tienen dirección (volumen, masa, energía) se representan
mediante números ordinarios o “escalares”.
Dos fuerzas y que actúansobre una partícula “o” puedenreemplazarse por una solafuerza que tiene el mismo efectosobre la partícula.
BA
R
A
B
R
º
2.2 LEY DEL PARALELOGRAMO
Universidad Nacional de Ingeniería
Expresiones matemáticas que poseen módulos, dirección y sentido, y quesuman según la Ley del paralelogramo.
Las “Rotaciones” finitas de un cuerpo rígido(tienen módulo y dirección) no se sumanpor la ley del paralelogramo. Pero estasmagnitudes pueden representarse comoflechas (no son vectores).
Nota:
180º
Vectores iguales: Mismo módulo, dirección y sentido.
2.3 VECTORES
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“Regla del Polígono”, uniendopunta con cola y uniendo losextremos.
Según la Ley del paralelogramo (observar que por lo general no esigual a la suma de módulos).
A + B + C
0
A
B
C
P
Q0
P - Q P + Q
2.4 SUMA DE VECTORES
Universidad Nacional de Ingeniería
Sobre la partícula “o” actúan las fuerzas coplanarias (contenidas en un mismoplano) y como todas pasan por el punto “o” se dice que son concurrentes.
B
C
A
B
A
C
o =o
2.5 RESULTANTE DE VARIAS FUERZAS CONCURRENTES
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Como un conjunto de fuerzas pueden reemplazarse por una “FuerzaÚnica” que tiene el mismo efecto sobre la partícula; inversamente, unafuerza única F puede reemplazarse por dos o más fuerzas que, juntas,tienen el mismoefecto sobre la partícula.
Estas fuerzas se llaman “Componentes” de la fuerza primitiva F, y elproceso se llama “Descomposición de la Fuerza” F en suscomponentes.
FF
o
=
Línea deacción
Línea deacción
=
F1
F2
F1 + F2 = F
o o
F1
F2
NOTA: Se conoce la línea de acción de los componentes
Solución Gráfica oTrigonométrica
2.6 DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUS COMPONENTES
Universidad Nacional de IngenieríaPROBLEMA 1:
Dos elementos estructurales B y C están sujetos con remaches al soporte A,sabiendo que la tensión en el elemento B es 2500 kg y que la tensión en C es2000 kg Determinar el módulo, dirección y sentido de la fuerza resultante queactúa sobre el soporte.
a) Solución gráfica
b) Solución trigonométrica
A
B
C40º
15º
=15º
40º
B = 2 500 kg = 2,5 tn
C = 2 000 kg = 2 tn
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b) Trigonométrica:
Se forma un triángulo, dibujando B, C una a continuación de la otra,determinando los ángulos que son de interés.
a) Gráficamente:Se dibuja a escala un paralelogramo, con lados iguales a las fuerzas By C, luego se mide el módulo y dirección de la resultante:
R = 4 000 kg = 4 tn
= 9,2º
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R2 = B2 + C2 – 2BC cos 125º
R2 = (2.5)2 + (2)2 – 2 (2.5) (2) cos 125º = 15,9858
R = 3,998 tn = 4 tn
B = 2.5 tn
2 tn = CR
40º
15º125º15º40º
40º
~
c
α)(15sen
R
125ºsen
Se emplea la Ley de Cosenos (se conocen los lados y el ángulo comprendido)
Aplicando la Ley de Senos, se puede determinar el ángulo:
0,409576α︶ ︵15sen2
α︶ 15sen
4
125ºsen
9.2º9,178α
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PROBLEMA 2:
Determinar el módulo, dirección y sentido de la fuerza “P”, de manera que laresultante de P y la fuerza de 300 kg sea una fuerza vertical de 900 kg dirigidahacia abajo.
300 kg
P
10º
P R = 900 kg
300 kg
10º
Universidad Nacional de Ingeniería
Por la Ley de Cosenos:
P2 = (300)2 + (900)2 – 2(300)(900) cos 100º
P = 996,88 kg
Por la Ley de Senos:
900 kg = R
90º
10º
300 kg
P
300
αsen
996,88
100ºsen
17,24ºα
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PROBLEMA 3:Un móvil es arrastrado por medio de 2 cables, si la tensión del cable 1 es150 kg.
a) Determinar el módulo y dirección de la tensión del cable 2, para que laresultante sea una fuerza de 200 kg paralela al eje del móvil .
b) Si el ángulo = 30º, determinar la tensión T2 , para que la fuerzaresultante continúe siendo paralela al eje del móvil.
c) Encontrar el valor de “”, para que la tensión T2 sea la mínima, y el valorcorrespondiente de T2 , si se quiere que la resultante de las dos fuerzasT1 y T2 sea paralela al eje móvil.
15º
T2
T1 = 150 kg
Universidad Nacional de Ingenieríaa) = ??, T2 = ?? , si R = 200 kg paralela al eje del móvil.
15º
T2
T1 = 150 kg
R = 200 kg
Por la Ley de Cosenos:
T22 = (150)2 + (200)2 – 2(150)(200) cos 15º
T2 = 67,41 kg
Por la Ley de Senos:
67,412
15ºsen
150
αsen 35,16α
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b) Si = 30º T2 = ??, si R es paralela al eje del móvil.
R
135ºsen
150
30ºsen
T
15ºsen
2
c) = ?? si T2 = mínimo, R es paralela al eje del móvil.
Se requiere formular una función:
Y = f (x) o T2 = f ()
T2
T1 = 150 kg
R
T2
T1 = 150 kg
R
135º
30º 15º
15º
• Por Ley de Senos:
“ ” que haga T2 mínimo
“x” que haga Y = f (x ) mínimo
kg77,6430ºsen
15ºsen150 T2
kg212,1330ºsen
135ºsen150R
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Por la Ley de Senos:
Reemplazando:
12 T
sen
T
15ºsen
)α(f T:sen
1.15ºsenT
sen
15ºsenTT 2112
90º0cossen
cos0
d
Td2
2
CTE
Kg38,8290ºsen
15ºsen T T 12
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Universidad Nacional de IngenieríaGráficamente: Mínimo T
2, si se conoce T
1(ángulo y módulo)
T2 T2
T1
R
15º
NOTA: Si buscamos el mínimo “T2”, para las siguientes condiciones:
Dirección de T1 (ángulo de inclinación).
Dirección y módulo de “R”.
Se determina
con l a mínima
distancia
Líneas de acción de T1
T2
15º
R
90º
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PROBLEMA 4:
La roldana de una grúa está sometida a las 3 fuerzas mostradas. Ladirección de la fuerza F es variable. Determinar, si es posible, ladirección de la fuerza F, de tal manera que la resultante de las tresfuerzas sea vertical, sabiendo que el módulode F es:
a) 240 kg , b) 140 kg
60ºF1 = 120 kg
F2 = 80 kg F
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Universidad Nacional de Ingenieríaa) Resultante vertical, significa que sólo
tiene componente en el eje Y:
Analizamos sólo los componentes X de las tres fuerzas:
jRiRR yx
0FR xx
i
ii
i
αcos240F
4060ºcos80F
120F
x
2x
1x
α 4 8 , 1 9 º
F1 = 120 kg
F2 = 80 kg
F = 240 kg
R
X
Y
b) Rx = -120 – 40 + 140 cos = 0 cos = 1,1428 > 1
Condición imposible, por lo tanto, No existe “ ” para esa magnitud de fuerza.
60 º
110x6,666αcos0αcos24040120Rx
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R = 100 kg
X
Y
a
F
a
F1 = 70 kg
F2 = 50 kg
2º 3º
30º
FyRy
FxRx
JRyiRxR
θFsenFyθ,cosFFx
PROBLEMA 5:
La resultante de las tres fuerzas representadas debe ser una fuerza de 100kg dirigida hacia la derecha según la recta a – a. Determinar el módulo,direccióny sentido de la fuerza F.
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+ 50,0000(= R sen 30º)
+ 86,6025(= R cos 30º)
+ 3,6635+ 1,7450+ Fsen
+ 69,9041+ 49,9645- Fcos
7050F
F1
F2
F
COMPONENTE Y
kg(Fy = F sen θ)
COMPONENTE X
kg(Fx = F cos θ)
MÓDULO
kg
FUERZA
69,9041 + 49,9645 – F cos = 86,6025
F cos = 33,2661 ........... (a)
3,6635 + 1,7450 + F sen = 50,0000
F sen
= 44,5916 ........... (b)
α 53,28º
(Sentido: hacia la izquierda)
DIRECCIÓN
MÓDULO
1,340448αtag33,2661
44,5915
αcosF
αsenF
a
b
kg55,63F33,2661αcosF:Como
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F1 = 80 kg
F2 = 50 kg
20º
60º
F3 = 60 kg
F4 = 30 kg
θsenFFy
θFcosFx
Fx
FyθTag
22 FyFxF
PROBLEMA 6:
Determinar la resultante de las cuatro fuerzas representadas.
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Ry = - 17,100Rx = - 110,521
69,2820
-56,382- 30,000
- 40,000- 50,000
-20,5210
7050
6030
F1
F2
F3
F4
COMPONENTE Ykg
(Fy = F sen θ)
COMPONENTE Xkg
(Fx = F cos θ)
MÓDULOkg
FUERZAF1
F2
20º
60º
F3
F4
70º
30º
Y
X
Rx
RRy
Y
X
La resultante de las cuatro fuerzas:
J17,100︶ ︵i110,521︶ ︵R
JRyiRxR
kg111,83617,1000︶ ︵110,521︶ ︵R 22
8,795ºθ10x1,54721110,521
17,100θ Tag 1
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Y
º
JFyyF
J
i
iFxxF
X
Componentes rectangulares:
Si descomponemos una fuerzaen dos vectores perpendicularesentre si.
“ F ” se ha descompuesto en unafuerza Fx, según el eje X; y unacomponente Fy, según el eje Y.
F
Por definición:
i, j: vectores unitarios, vectores de módulo 1, dirigidossegún los ejes positivos X e Y.
2.7 COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA – VECTORES UNITARIOS
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La fuerza puede definirse por:
Las componentes escalares se pueden expresar:
cos = Fx / F Fx = F cos
sen = Fy / F Fy = F sen
Conociendo las componentes rectangulares Fx, Fy de una fuerza F, sedefine su dirección y sentido mediante el ángulo , y el módulo F de lafuerza aplicando el teorema de pitágoras:
JFyiFxyFxFF
Componentesvectoriales
Componentesescalares
22 FyFxFFx
FyθTag
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La suma de fuerzas aplicando la Ley del paralelogramo o empleandosoluciones trigonométricas, se vuelven no prácticas cuando deseamossumar tres o más fuerzas, será más conveniente descomponer las fuerzasen sus componentes rectangulares y adicionarestas:
Y
X
F2
F3
F1
321 FFFR
JFiFJRyiRx 1y1x
JFiF 2y2x
JFiF 3y3x
2.8 SUMA DE FUERZAS POR ADICIÓN DE COMPONENTES “X” e “ Y”
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Las componentes escalares Rx, Ry de la resultante R, se obtienensumando algebraicamente las componentes escalares, correspondientesa las fuerzas dadas.
Nota:
Evidentemente, esta conclusión se aplica también a la suma de otras magnitudesvectoriales (velocidad, aceleración, etc.).
y3y2y1yy
x3x2x1xx
FFFFR
FFFFR
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Recordemos, que una fuerza genera cambios en el estado de esfuerzos,deformación y desplazamiento de un cuerpo; pero además, puedeproducir un efecto de rotación, cuando el cuerpo es capaz de rotar alrededor de un cierto punto.
Momento de una fuerza, o torque, es una magnitud vectorial quecuantifica la rotación que una fuerza produce a un cuerpo, cuando esecuerpo puede rotar alrededor de un punto que se considera fijo.
¿En qué caso será m ásfác il af lo jar la tuerca de lallanta del carro?
2.9 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO
(MOMENTO ESTÁTICO)
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FM
X
M
Z
F
Y
r p
d
0
M = ( r x F )o
con respectoal origen
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A (Índice)
Magnitud: u = | r x F | = r F sen
= F d Dirección: Es perpendicular al plano que contiene F y r
Sentido: Esta dada por la regla de la mano derecha
Pto. de Aplicación: Es O (origen) vector ligado
B (Medio)(Pulgar) C C = A x B
Menor ángulocomprendido
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Nota:
Se puede demostrar que “P” es un punto arbitrario en la línea de dirección del vector F.
r x F = r 1 x F
Se puede demostrar que:
r 1 = r + n F
r 1 x F = ( r + n F) x F
Si “n” es un escalar (Longitud / Fuerza)
r 1 x F = r x F + n F x F
o
r 1 x F = r x Flqqd
o
r
P
r 1 P'
F
F
nF
M
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EXPRESIÓN CARTESIANA:
X
i
Kr Jr ir r
KFJFiFF
zyx
zyx
Fxr Mo
zyx
zyx
FFFr r r
KJi
Y
Z
K
J
. P (X,Y,Z)
oMzy
zy
FF
r r
zx
zx
FF
r r
yx
yx
FF
r r
i
J
K
Respecto al origende las coordenadas
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MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO O' CUALQUIERA:
X
Kr Jr ir r
KFJFiFF
zyx
zyx
Y
Z
r 1
a
o' ( X ',Y ', Z ‘ )
(0, 0, 0)
r
o
F 1
1111
r r a
)KZJYiX(r
)Z',Y',(X'o'
zyx
zyx'o
'o
zyx
FFF
'zr 'yr 'Xr M
KJi
FxaM
K)'Zr (J)'Yr (i)'Xr (a
Universidad Nacional de Ingeniería
X
i
Y
Z
K
Jo
r
F1
F2 F3 R
Fn
p
oii
n
o
n
n
n
F xr R xr
F xr F xr F xr R xr
F F F xr R xr
Z Y X PF F F R
)()(
...
)...(
),,(...
1
21
21
21
2.10 TEOREMA DE VARIGNON
El momento respecto a un punto dado (o) de la resultante de variasfuerzas concurrentes (R) es igual a la suma de los momentos de lasfuerzas (F1 , F2 , F3 … Fn) respecto al mismo punto (o).