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Microondas-2- 1Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
Capítulo 2:Guías de onda y líneas de transmisión
En el presente capítulo se va a analizar una solución general de las ecuaciones de Maxwell, en un medio sin fuentes,en el que se permitirá la existencia de variación de las magnitudes
con las tres coordenadas espaciales. Dada la complejidad del problema completo nos
centraremos en problemas que pueden ser descritos sistemas curvilíneos ortogonales con simetría de traslación.
Microondas-2- 2Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
INTRODUCCIÓN (I)
• Definición: medio sin fuentes donde pueden variar las magnitudes electromagnéticas con tres coordenadas espaciales. Limitaciones:– Complejidad del problema EM completo– Descripción del problema mediante sistema curvilíneo ortogonal (u1, u2, u3)– Simetría de traslación: u3=cte, planos paralelos entre sí.– Los factores de escala quedan:
• Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia en un medio homogéneo caracterizado por ε y µ en donde no existen fuentes:
zuuh
uhh ˆˆ;0;1 3
3
2
3
13 ==
∂∂
=∂∂
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=⋅∇
=⋅∇
⋅=×∇
⋅−=×∇
0
0
H
E
EjH
HjE
r
r
rr
rr
ωε
ωµTomando rotacionales en las dos primeras y considerando
las otras dos εµωγ
γ
γ
⋅⋅−=
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−∆
=−∆
22
2
2
0
0
o
o
o
HH
EErr
rr
(1)
Microondas-2- 3Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
INTRODUCCIÓN (II)
• Resolución de las ecuaciones (1) (tomamos la del campo eléctrico)– Separación del campo en componentes longitudinal y transversal:
– Sistema con simetría de traslación
• Aplicando la técnica de separación de variables:
• Las ecuaciones diferenciales han de ser igual a una constante
– constante en la dirección transversal– constante en la dirección longitudinal
022 =−−∆+∆ zoTozT EEEErrrr
γγ
( ) zzEEzEE
EE
EE zzTzz
zoz
ToT ˆˆ0
02
2
2
2
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∆=⋅∆=∆⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−∆
=−∆ rrr
rr
γ
γ
( ) ( )zZuuFE Ez ⋅= 21, 01 22
2=−
∂∂
+∆
oE
ET
zZ
ZFF
γ (2)
( ) ( ) 22222222
22 ;4 1;3 ococc
E
ET
zZ
ZFF γγγγγγγγ =+⇒−=⇒=
∂∂
=∆ 222 β−= kkc
(Pozar)
Microondas-2- 4Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
INTRODUCCIÓN (III)
• La solución de la ecuación (3) tiene sólo componentes transversales y (4) longitudinales
• La forma de esta solución puede ser
– Solución A: formada por ondas progresivas y regresivas: componente longitudinal
– Solución B: constituye una onda estacionaria.: componente transversal• El campo en la dirección longitudinal será:
donde se ha considerado sólo la onda progresiva
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )zDzCzZ
zBzAzZ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅−⋅=γγγγ
senhcoshexpexp
( ) ( )( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅−⋅⋅=
⋅−⋅⋅=
zuuFzH
zuuFzE
Hz
Ez
γ
γ
exp,ˆ
exp,ˆ
21
21r
r
Microondas-2- 5Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (I)
• MODOS TEM: transversales electromagnéticos, no hay campo eléctrico ni magnético longitudinal
– las ecuaciones de Maxwell quedan– calculando el rotacional en sentido longitudinal y utilizando la otra ecuación
– Introduciendo esta expresión en el correspondiente rotacional se puede extraer el valor del campo magnético transversal como:
– Los vectores están contenidos en planos perpendiculares a z.– El vector se obtiene a partir de la expresión (3)– No confundir la impedancia del modo TEM que coincide con la intrínseca del
medio y sólo depende de las características del medio con la impedancia característica que depende del material que rellena la línea y de la forma de la misma
0;0 == zz HEvv
( ) ( )zuuFE
EE
oETEM
ToTz
T⋅−⋅=
=⋅−∆
γ
γ
exp,
0
21
2
rv
vv
εµη ==
×= TEM
TEM
TT Z
ZEzH ;ˆr
r
HErr
,
Hr
(3)
tt
tt
EjHHjErr
rr
⋅⋅=×∇
⋅⋅−=×∇
εωµω
Microondas-2- 6Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (II)
• MODOS TM: transversales magnéticos, no existe componente longitudinal del campo magnético por lo que también se les llama modos E:
• La componente longitudinal es de la forma:
• Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por jwε la primera y tomando la segunda– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM. – La solución para modos TM:
– está contenido en planos perpendiculares a z
0=zHv
( ) ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=−∆
⋅−⋅⋅=
0:,
exp,ˆ2
21
21
EcETE
Ez
FFuuFcon
zuuFzE
γ
γ
r
zTToTz EjHHrrr
×∇=−∆ ωεγ 2
TT
zTc
T
zTc
zTo
T
EzjHEE
zEjEjHrr
r
rr
×=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
∇=
×∇−=×∇−
=
ˆˆ
2
222
γωε
γγ
γωε
γγωε
Hv
ωεγ
jHEzZT
TTM =
×= r
ˆ
Microondas-2- 7Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (III)
• MODOS TE: transversales eléctricos, no existe componente longitudinal del campo eléctrico por lo que también se les llama modos H:
• La componente longitudinal es de la forma:
• Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por jwε la primera y tomando la segunda– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM– La solución para modos TM:
– está contenido en planos perpendiculares a z– Se puede definir una impedancia del modo como
0=zEr
( ) ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=−∆
⋅−⋅⋅=
0:,
exp,ˆ2
21
21
HcHTH
Hz
FFuuFcon
zuuFzH
γ
γ
r
zTToTz HjEErrr
×∇−=−∆ ωµγ 2
TT
zTc
T
zTc
T
Ezj
HHH
HjErr
r
rr
×=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
∇=
×∇=
ˆ
2
2
ωµγ
γγγωµ
Er
γωµj
HEzZT
TTE =
×= r
ˆ
Microondas-2- 8Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (IV)
• Cuando no se satisface ninguna de las condiciones anteriores la solución se forma por superposición de los casos anteriores. La técnica de separación de variables deja de ser válida cuando la sección no es un cilindro recto.
• Las condiciones de contorno laterales definen la variación de los modos.• Las condiciones en planos z=cte determinan cuántos y cuáles son los modos. • La constante de propagación viene determinada
– Por las características del medio: modos TEM – Por las características del medio y las condiciones de contorno
• La constante de propagación es una función compleja de ω: – Constante de atenuación describe cómo varían las amplitudes de los campos– Constante de fase la forma cómo varía la fase del campo– Longitud de onda: distancia entre dos puntos de igual fase:– Velocidad de fase: velocidad con que se desplazan los planos de fase constante– Dos situaciones:
• Modo no se propaga. Modo se propaga
µεωγγ jo ==
22co γγγ −=
( ) ( ) ( )ωβωαωγ j+=
( ) ( )( )
πω
ωωβπωλ
2
2 fv==
( ) ( )ωβωα ≥ ( ) ( )ωβωα ≤
Microondas-2- 9Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (I)
• Determinan cuántos y cuáles modos son necesarios considerar para obtener la solución completa.
• Casos más comunes– Región limitada por un conductor perfecto sin discontinuidades.– Características de buen conductor– Parte de la superficie límite se encuentra en el infinito– Discontinuidades en el medio (línea microstrip)
• Condiciones de conductor perfecto:– La región de contorno es un conductor perfecto:
– Modos TE: la segunda condición la cumplen automáticamente• De la primera se deriva:
n
τ
] ( )] ]⎩⎨⎧
=
=×⇒=+×⇒=×
00ˆ
0ˆ0ˆz
CTCzTC E
EnEEnEn
rrrr
] ( )] ( ) ( )] ( )]
( ) 0ˆˆˆˆ
0ˆ0ˆˆˆˆˆˆˆ
2 =∂∂
=∂∂
⇒⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
⋅=⋅
=⋅⇒=⋅−⋅=××=×
nF
nHnHn
nHHn
HnHnzznHzHnEn
Hzzz
cT
CTCTTCTCT
ττγ
γr
rrrrr
(4)
Microondas-2- 10Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (II)
• Condiciones de conductor perfecto:– Modos TM:
• La condición Ez=0 supone C es una línea de Ezcte, su gradiente es normal• Tomando la segunda condición de (4): tiene dirección normal
– Modos TEM:• Las condiciones coinciden con el planteamiento de un
problema estático.• Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores
• El campo TEM coincide con la solución de un problema electrostático• En una región limitada por un recinto simplemente conexo no puede haber modos TEM• En una región multiplemente conexa:• El número de modos TEM independientes es el número de partes de la frontera menos 1. • La corriente que fluye viene dada por la ley de Ampere
• En cada punto de la línea se puede definir unívocamente un voltaje y una corriente
TEr
] 0;0ˆ =×∇=×TETCT FEn
rr
( )⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
⋅∇=⋅∇
Φ−∇=
ED
yxF TETrr
r
ε
, ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=Φ
=Φ∆
cteyxyx
C
T
,0,
( ) 0, =Φ∆ yxT
∫ ⋅=Φ−Φ=2
12112 ldEVrr
C1
C2
∫ ⋅=C
ldHIrr
Microondas-2- 11Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (I)
• Teorema de Green:– Sea un campo vectorial definido a partir de un potencial como: – Cálculo de la divergencia– Teorema de Green para dos dimensiones
• Condiciones de contorno de conductor perfecto
• Ambas integrales son positivas luego tiene que cumplirse– la constante de propagación es real si ω< ωc luego no se propaga y el modo está al corte– la constante de propagación es imaginaria si ω> ωc , el modo se propaga
• La propagación es de tipo paso alto con
( ) ( )yxFyxFA ,,* ∇⋅=r
( ) ( ) ( ) ( )yxFyxFyxFyxFA ,,,, ** ∆⋅+∇⋅∇=∇r
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ⋅∇⋅=∆⋅+∇⋅∇⇒⋅=∇CSCS
ldyxFyxFyxFyxFyxFyxFldAAtt
rrrr,,,,,, ***
∫∫ ⋅∂∂⋅=∆⋅+∇⋅∇
CS TTT ldnFFFFFF
t
r***
⇒⋅=∆⎪⎭
⎪⎬
⎫
=∂∂
=FF
nFTE
FTM
cT
C
H
E2
0:)(
0:)(γ ∫∫ ⋅⋅⋅−=∇⋅∇
tt ScS TT dsFFFF *2* γ
02 <cγ
µεπγ
2
2c
cf−
=
Microondas-2- 12Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (II)
• En función del valor de la frecuencia de corte se puede poner:
– El signo + corresponde a f>fC.– El signo - corresponde a f<fc
• Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión
• Existe un número infinito de soluciones (autofunciones) cada una correspondiéndose con un valor de (autovalores). El menor de dicho autovalor corresponde a un modo TE
2
2
2
22
2
1;1
;1ffZ
ff
Zff c
TMc
TEc
o −⋅±=
−
±=−⋅±= ηηγγ
Así ZTE , por debajo del corte, será inductivo y ZTM capacitivo.
2cγ
Microondas-2- 13Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (III)
• Conclusiones: – Si se traza una recta ω=cte se verán inmediatamente los modos que se propagan.– También se puede obtener la velocidad de fase, que depende de la frecuencia
(dispersión) y es siempre mayor que la velocidad de la luz en el medio.– Si la frecuencia es menor que la frecuencia correspondiente al menor no existe
ningún modo que se propague constituyendo dicha fc la frecuencia de corte absoluto.– El modo de menor fc se denomina modo dominante y el resto modos superiores.– En los sistemas capaces de soportar modos TEM no existe frecuencia de corte absoluta
• Medio con pérdidas (se supone que no hay pérdidas magnéticas):– La constante de propagación será: – La permitividad se modifica como:– Luego queda:
– Frecuencia de corte: valor de f que hace α=β
2cγ
( ) ( ) ( )ωβωαωγ j+=
''' εεε j−=
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−⋅−=−
⋅=⇒−−⋅−=−=+=
2222
2222222
'
''2'''
ccco jj
γµεωβα
µεωαβγεεµωγγβαγ
'2
2
µεπγ c
cf−
= εεη
εε
ηεεγγ '1;
'1;'1 2
2
2
22
2
⋅−⋅=
⋅−
=⋅−⋅=ffZ
ff
Zff c
TMc
TEc
o
Microondas-2- 14Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
• Las constantes de atenuación y fase quedan entonces:
• En el caso que las pérdidas sean pequeñas:– La constante de fase coincide con la obtenida despreciando las pérdidas– La constante de atenuación vale:
• Para modos TEM, considerando resulta:
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (IV)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅+−⋅−+−⋅−−⋅=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅+−⋅−+−⋅−⋅=
2222222
2222222
''''21
''''21
µεωγµεωγµεωβ
µεωγµεωγµεωα
cc
ccd
''' εε <<
δβµεω
εε
βµεωα tg
2'
'''
2' 22
⋅⋅
=⋅⋅
=d
''' εε <<
δµεω
εεµεω
α tg2
''''
2'
⋅⋅
=⋅⋅
=d
Microondas-2- 15Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (I)
Condiciones de contorno para conductor perfecto
byaxETM
byy
H
axx
H
nHTE
z
z
z
z
,0;,0en 0 :
,0en 0
,0en 00 :
===
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==∂∂
==∂∂
⇒=∂∂
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=−∂∂⋅+
∂∂⋅
⇒=222
22
2
2
2
0)()(),(
cyx
c
kk
XYyYX
xXY
yYxXyxFγ
γ
( )( )
( )
( )zyb
nsenxa
mQsenzETM
zyb
nxa
mPzHTE
bnk
amk
CA
ykDyCsenkyxYxkBxAsenkyxX
mnmnz
mnmnz
yxyy
xx
γππ
γππ
ππ
−⋅⋅⋅=
−⋅⋅⋅=
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
==⇒
⎭⎬⎫
+=+=
expˆ:
expcoscosˆ :
;
0
cos),(cos),(
,
,
r
r
Aplicando separación de variables y las condiciones de contorno para despejarlas constantes, resulta:
222
22
220
, ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+−=
⎪⎩
⎪⎨⎧
−
−=
bn
am
kk c
cnm
ππµεωγγ
γ
Microondas-2- 16Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (II)
Distribución de campo Distribución de corriente
Ubicación de modos
µεafc 2
110 =
Modo dominante TE10( )
( )
( )zxa
PH
H
zxa
senPaH
EE
zxa
PajE
z
y
x
zx
y
1010,
10,
1010,
10,10,
1010,
expcos
0
exp
0
expcos
γπ
γππγ
γππωµ
−⋅=
=
−⋅⋅=
==
−⋅−=
Banda X: a=22.86 mm, b=10.16mm
Microondas-2- 17Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (III)
Microondas-2- 18Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (IV)
Microondas-2- 19Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
GUÍA ESTRANGULADA
• Ancho de banda de la guía rectangularestá limitado a una octava.• Los “raíles” disminuyen la frecuencia de corte del fundamental.• La capacidad de transmitir potencia decrece• Posibilidad de adaptar impedancias
Microondas-2- 20Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
GUÍAS CIRCULARES (I)
Utilización de coordenadas cilíndricas.Condiciones de contorno para conductor perfecto
( ) ( ) ( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⋅+−∂∂⋅+
∂∂
=∂∂
−⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
∂∂
−=−∂∂⋅+
∂∂
=−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂⋅
∂∂
⋅=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=∂∂
=
=
0
1
1
011
,0:
0:
2222
22
22
2
2
222
2
22
22
2
2
RkRR
RR
kPP
PP
RR
RR
FFF
PRFETM
HTE
cc
c
arz
ar
z
φ
φ
ργρ
ρρ
ρ
φ
φργ
ρρ
ρρ
γφρρ
ρρρ
φρφρρ
Las soluciones de ambas ecuaciones son del tipo:
z
r ˆ
φ
)cos()()( φφφ φφ kBkAsenP +=
)()()( ργργρ cncn DYCJR +=Modos TE Modos TM
( ) )()cos()(),( ργφφφρ cnH JnBnAsenF += ( ) )()cos()(),( ρφφφρ cnE kJnBnAsenF +=
zr
φ
Microondas-2- 21Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
GUÍAS CIRCULARES (II)
( )
µεπγγγ
ργρ
apf
ap
ap
JH
nmnmc
nmnmnmc
cnar
z
2
00'
,2'20
'
,
'
=⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⇒=
=⇒=∂∂
=
9.9706.7063.0542
8.5365.3311.8411
10.1747.0163.8320
p’n3p’
n2p’n1n
Modos TE Modos TM
0)(0),( =⇒= akJaE cnz φ
220
220 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=−=
apk nm
cnm γγγµεπa
pf nmcmn 2
=
11.6208.4175.1352
10.1747.0163.8321
8.6545.5202.4050
pn3pn2pn1n
Distribución de modos
Microondas-2- 22Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
GUÍAS CIRCULARES (III)
Microondas-2- 23Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
GUÍAS CIRCULARES (IV)
Microondas-2- 24Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
GUÍA DIELÉCTRICA
• Guía de permitividad εr2 sobre dieléctricode permitividad εr1. Todo sobre plancha Metálica.• Los campos quedan confinados en el dieléctrico de mayor permitividad.• Soporta modos TE y TM.• Ventaja: poco peso, reducidas dimensiones• Problema: grandes pérdidas en empalmes yen dobleces.
Microondas-2- 25Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN
• Dos características importantes como sistemas de transmisión:– Capacidad de propagarse a cualquier frecuencia– Constancia de velocidad de fase en ausencia de dispersión
• Retomando la expresión– Vo no depende de los puntos elegidos– La magnitud V(z) define de forma unívoca el potencial entre los dos conductores
• Ambos conductores están recorridos por corrientes iguales en sentido contrario
• Se puede definir una impedancia característica– η depende del medio– k depende de la geometría de la línea– Resultado independiente de z
• El concepto de línea de transmisión se asocia a cualquier sistema transmitiendo un modo TEM.
• Permite introducir los sistemas funcionando como circuitos con las constantes R, L y C cuando las dimensiones sean pequeñas.
( ) ( )zVzVldEV o ⋅−==⋅=Φ−Φ= ∫ γexp2
12112rr
C1 C2
( )zIldHI oC
⋅−⋅=⋅= ∫ γexprr
kldH
ldE
IVZ
C
o ⋅=⋅
⋅
==∫
∫ηrr
rr2
1
Microondas-2- 26Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (II)
• Consideremos un cuadripolo simétrico
• Introduciendo las ecuaciones de propagación en las del cuadripolo
• Formando la red en T:
( )( )⎩
⎨⎧
−⋅=−⋅=
=−⇒⎭⎬⎫
+=+=
lIIlVV
bcaaIcVIbIaVV
o
o
γγ
expexp
112
122
221
221
I1 I2
V1 V2
( )( )
( )( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
+=
laZ
lc
lZb
bcal
bcal
o
o
o
oo
o
o
γ
γγ
γ
γ
cosh
senhsenh
exp
exp2
2
caz
czz
caz
bca
=
==
=
=−
22
21112
11
12
1211 zz − 1211 zz −
12z
Microondas-2- 27Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (III)
• Introduciendo los valores:
• En el caso en que l sea muy pequeña:
( )( )l
lZZo
oo γ
γsenh
1cosh −=
( )( )l
lZZo
oo γ
γsenh
1cosh −=
( )o
o
ZlY γsenh
=
εµωγ
εµη
⋅⋅−=
⋅=⋅=
2o
o kkZ
( )δεεεεεωωε
ωµtg1''''
'''2 jj
lk
jk
Y
lkjZ−⋅=−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+=
⋅⋅=
( )2lZZ o
oγ
=( )
o
o
ZlY γ
=
( )2lZZ o
oγ
=
Carácter inductivo
Capacidad más conductancia
Microondas-2- 28Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (IV)
• El circuito equivalente queda:
• Simplificaciones adicionales:– A: Líneas de muy alta impedancia: carácter inductivo– B: Líneas de muy baja impedancia: carácter capacitivo– C: Pérdidas en los conductores
LCjZG
CLZ
oo
o
⋅+⋅=
=
ωγ2Gl Cl
2lL
2lL
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⋅=
=
⋅=
o
o
o
ZC
ZG
ZL
ηε
ηωεη
µ
'
''
Expresiones sin pérdidas en los conductores y con bajas pérdidas
en el dieléctrico
Ll
A
Cl
B
Gl Cl2lL 2
lL2lR
2lR
C
βααωγ jLCjZ
RZG
CLZ
cdo
o
o
++=⋅+⋅
+⋅=
=
22
Microondas-2- 29Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
LÍNEA COAXIAL (I)
• Dos formas de resolución: a partir del problema electrostático o a partir de la ecuación de Helmholtz.• Problema electrostático:
• El cable coaxial es capaz de soportar modos superiores TE o TM
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==
==
⇒=⋅=⇒=⇒==
abKL
abK
G
abKZa
b
KK
abC
ln2
ln
''2''
ln22
ln'
ln
'20
πµµ
πεωωε
πηη
πεπε
Microondas-2- 30Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
LÍNEA COAXIAL (II)
• Es necesario conocer los valores de la función potencial Φ(ρ,φ)• Ecuaciones a considerar:
0),(1),(12
2
2 =∂Φ∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
Φ∂∂∂
φφρ
ρρφρρ
ρρ
)()(),( φρφρ PR=Φ
2
21φρ
ρρ
ρd
PdPd
dRR
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
022
2
=+ Pkd
Pdφφ
02 =−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
φρρ
ρρ k
ddR
R
abbV
ddR
lnln),(0 0 ρφρ
ρρ
ρ=Φ⇒=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ρρ
φρφρ ˆln
),(),( 0
abVe t =Φ−∇=
φπρ
φρφρ ˆ2
),(ˆ1),( 0IezZ
hTEM
=×=
• Soluciones:
)cos()()( φφφ φφ kBkAsenP +=
πη
2ln
0
00
abI
VZ ==
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
TECNOLOGÍAS PLANAS
• Características: – Coste económico. Chapa barata y proceso de fabricación sencillo mediante
fotograbado.– Reducido peso que los hace ligeros.– Dimensiones reducidas– Permiten la integración de circuitos MIC y MMIC– Están formados por materiales metálicos y dieléctricos.
• Opciones tecnológicas: – Línea stripline (triplaca)– Línea microstrip– Línea coplanar– Línea de ranura
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
LÍNEA STRIPLINE: INTRODUCCIÓN
• Se puede considerar derivada de la coaxial.• Proceso de construcción: superposición de
placas• Recinto doblemente conexo: modos TEM• También soporta modos TE y TM que
conviene eliminar– Tornillos entre los planos de masa– Separación entre planos menor de λ/4
• Análisis: – Expresiones semiempíricas– Ábacos y curvas– Aproximación electrostática.
• Formulación:
µεβϖ 1
==pv rrpv
εγεεµϖϖβ 000 === CvCLC
CLZ
p
10 ===
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
LÍNEA STRIPLINE: FORMULACIÓN
Impedancia característicabW
bZer 441.0
300 +=
επ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<−
>−=
35.0)35.0(
35.00
2
bWforbW
bWfor
bW
bWe
Anchura de la línea⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−−
<=
1206.085.0
120
0
0
Zforx
ZforxbW
r
r
ε
ε441.030
0
−=Z
xrεπ
Atenuación en los conductores ( )
( )( )( )
( )
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⋅
++=
−−+
⋅+−
+=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<−⋅⋅
=
−
tW
Wt
tWbB
ttb
tbtb
tbWA
mNpZB
bZR
ZAtb
ZR
rs
rors
c
ππ
π
ε
επ
ε
α
4ln21414.05.0
7.05.01
2ln121
/12016.0
12030107.2
00
0
3
para
para
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
LÍNEA STRIPLINE: ÁBACOS
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
LÍNEA MICROSTRIP: INTRODUCCIÓN
• Proceso de construcción: placa fotograbada• Recinto NO doblemente conexo: no soporta
modos TEM sino cuasi TEM que son una superposición híbrida de modos TE y TM que conviene eliminar.
• Aplicaciones:– Estructuras de transmisión: pocos
campos desbordados, altas permitividades, bajos espesores.
– Estructuras radiantes: gran campo desbordado bajas permitividades, espesores grandes.
• Análisis: – Expresiones semiempíricas– Ábacos y curvas
ep
cvεµεβ
ϖ===
1
eep
kv
εεεµϖϖβ 000 ===
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
LÍNEA MICROSTRIP (II)
Modelo con medio homogéneo de permitividad efectiva εe
re εε <<1
Wdrr
e 1211
21
21
+−
++
=εεε
Concepto de permitividad efectiva
( )[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥+++
≤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=1
444.1ln667.0393.1120
14
8ln60
0
dWfordWdW
dWford
WWd
Z
e
r
επ
ε
Impedancia característica
Anchura de línea
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+−−
+−−−
<−=
261.039.0)1ln(2
112ln12
22
82
dWforBBB
dWfore
e
dW
rr
r
A
A
εεε
πr
rr
rr
ZB
ZA
επ
εεεε
0
0
2377
11.023.011
21
60
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+−
++
=
Atenuación mNpkk
re
er
re
erd )1(
)1(2tan
)1()1(
2tan 0
−−
=−−
=εεεεδ
εεεεδα mNp
WZRs
c0
=α σϖµ2
0=sR
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
LÍNEA MICROSTRIP (III)
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
LÍNEA MICROSTRIP (IV)
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
LÍNEA DE RANURA
• Es la línea dual de la microstrip pero con campos magnéticos• Soporta modos cuasi TEM• La eficiencia es menor que la microstrip• Modificando la separación entre placas se consigue variar la impedancia
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
LÍNEA COPLANAR
• Es como una línea slotline pero con un conductor central• El voltaje de la señal es aplicado entre el conductor central y los planos de masa. • Soporta modos cuasi-TEM pares o impares • Constante dieléctrica efectiva: • Menos dispersión que la microstrip en bajas frecuencias• Formulación:
21+
= re
εε
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<<⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
≤<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= −
1173.011
2ln4
173.002ln
10
aWforWa
aWaW
aWforWa
Z
e
e
επη
επη
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
TABLA COMPARATIVA (I)
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
TABLA COMPARATIVA (II)
FácilRegularDifícilDifícilIntegración con otros Elementos
FácilFácilMediaMediaDificultad de Fabricación
PequeñoMedioGrandeGrandeTamaño
BajaBajaAltaMediaCapacidad de Potencia
AltasAltasBajasMediasPérdidas
AltoAltoBajoAltoAncho de Banda
BajaNoMediaNoDispersión
Cuasi-TEMHíbrido TM,TE
TEMTM,TE
TE10TM,TE
TEMTM,TE
Modos: HabitualSecundario
MicrostripStriplineGuía ondaCoaxialCaracterísticas
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Tema 2: Líneas de transmisión y guías
MATERIALES EN MICROONDAS
Microondas-2- 44Grupo de Radiofrecuencia, UC3M
Tema 2: Líneas de transmisión y guías
BIBLIOGRAFÍA
• Wadell, B.C.: "Transmisión Line Design Handbook", Artech House, 1991.• David M.Pozar: "Microwave Engeneering" Second Edition 1998, John Wiley&Sons.
(capítulo 3)• Robert E. Collin: "Foundations for microwave engineering" New York McGraw-Hill,
1992. (capítulo 3)• Bahl y Bhartia: "Microwave Solid State Circuit Design", Wiley Interscience, 1988.
(capítulo 2)• Harlan Howe: "Stripline Circuit Design"; Microwave Associates Burlington; Artech
House 1974.