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CAPITULO 3
Esforços Internos e Método das Secções
Resistência dos Materiais
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Esforço interno normal
Esforço interno cortante
Esforço interno flexão
Esforço interno torção
Método dos Nós
Método das Secções
Sumário: Classificação dos Esforços Internos e Método das Secções
Competências: No final do capítulo os alunos deverão ser capazes de identificar
os esforços internos numa secção do corpo em função do tipo de carregamento.
Aplicar os métodos dos nós e das secções a um corpo deformável de modo a
determinar os esforços internos devidos a um determinado carregamento.
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Resistência dos Materiais
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Resistência dos Materiais
As solicitações aplicáveis a um corpo podem ser classificadas em solicitações simples ou compostas. Nas primeiras incluem-se os esforços do tipo tracção, compressão, corte, torção e flexão que produzem esforços unidimensionais. A área das solicitações compostas é formada por
combinação de esforços simples e conduzem a estados de tensão duplos ou triplos.
Esforços Internos - Introdução
Tracção
Compressão
Flexão
Torção
Corte
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Resistência dos Materiais
Classificação dos Esforços Internos e Método das Secções
O projecto de qualquer elemento estrutural ou mecânico requer uma investigação
das cargas actuantes no seu interior de modo a garantir que o material do qual é
feito possa resistir à carga imposta. Esses esforços internos podem ser
determinados através da utilização do método das secções.
Esforço cortante
Esforço normal
Esforço flexãoEsforços cortantes
Esforços flexão
Esforço normal
Esforço torção
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Resistência dos Materiais
Método das Secções
O método das secções é utilizado para determinar as resultantes dos esforços internos.
Determinar as forças reactivas nos apoios.
Manter todas as forças, momentos e cargas distribuídas sobre o corpo.
- Passar uma linha imaginária pelo ponto do corpo onde os esforços internos devem ser determinados.
- Construir o diagrama de corpo livre de uma das partes seccionadas e indicar as incógnitas N, V, M e T.
Forças externas
N
MV
Momentos
T
- Aplicar as equações de equilíbrio.
Procedimento de análise:
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Resistência dos Materiais
Método das Secções - Exemplo de aplicação a uma viga
Método das Secções - Exemplo de aplicação a uma treliça
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Resistência dos Materiais
Exercício Resolvido 1 - Uma barra é fixa através de uma das da suas extremidades e carregada conforme mostrado na figura 1-(a). Determine os esforços internos normais nos pontos B e C.
Parte DC:Figura 1
Reacções nos apoios: O diagrama de corpo livre da barra é mostrado na figura 1-(b).
Diagrama de corpo livre: Os esforços internos em B e C são obtidos utilizando os diagramas de corpo livre da barra seccionada mostrados na figura 1-(c). São escolhidas as partes AB e DC por terem uma menor quantidade de forças aplicadas.
Equações de equilíbrio:
Parte AB:
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Resistência dos Materiais
Exercício Resolvido 2 - Um eixo circular está sujeito ao carregamento indicado na figura 2-(a). Determine os esforços de torção internos nos pontos B e C.
Figura 2
Reacções nos apoios: O diagrama de corpo livre do eixo é mostrado na figura 2-(b).
Diagrama de corpo livre: Os esforços internos em B e C são obtidos utilizando os diagramas de corpo livre do eixo seccionado mostrados na figura 1-(c). São escolhidos os segmentos AB e CD por terem uma menor quantidade de forças aplicadas.
Equações de equilíbrio:
Parte CD:
Parte AB:
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Resistência dos Materiais
Exercício Resolvido 3 - Uma viga suporta o carregamento mostrado na figura 3-(a). Determine os esforços internos actuantes nas secções transversais que passam pelos pontos B e C da viga.
Figura 3
Reacções nos apoios: O diagrama de corpo livre da viga é mostrado na figura 3-(b).
Diagrama de corpo livre: Os esforços internos em B e C são obtidos utilizando os diagramas de corpo livre da viga seccionada mostrados na figura 1-(c) e 1-(d). São escolhidos os segmentos AB e AC por terem uma menor quantidade de forças aplicadas.
Equações de equilíbrio:
Segmento AC:
Segmento AB:
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Resistência dos Materiais
Exercício Resolvido 4 - Determine os esforços internos que actuam no ponto E da estrutura carregada conforme indicado na figura 4-(a).
Reacções nos apoios: Análise do equilíbrio no pino C tal como indicado na figura 4-(b).
Diagrama de corpo livre: Os esforços internos em E são obtidos utilizando o diagramas de corpo livre do segmento CE mostrado na figura 4-(c).
Equações de equilíbrio:
Figura 4
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Resistência dos Materiais
Exercício Resolvido 5 - O painel sinalizador mostrado na figura 5-(a) tem uma massa de 650 kg e é suportado por uma coluna fixa. As normas de projecto indicam que o carregamento uniforme máximo esperado por acção do vento, que ocorre na área onde o painel está localizado, é de 900 Pa. Determine os esforços internos gerados em A por acção deste carregamento.
Diagrama de corpo livre: O modelo idealizado para o sistema é mostrado na figura 5-(b). Nesta figura são indicadas as dimensões necessárias para a resolução do problema. Pode-se considerar o diagrama de corpo livre da parte acima do ponto A, indicado na figura 5-(c), pois desta forma não se envolvem as reacções no apoio.
Figura 5
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Resistência dos Materiais
Equações de equilíbrio: Uma vez que o problema é tridimensional, será efectuada uma análise vectorial.
Esforços internos no ponto A:
Esforço normal:
Esforço cortante:
Esforço de torção:
Esforços de flexão:
P
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Resistência dos Materiais
Exercício 1 - Para o carregamento indicado e considerando que a coluna tem
uma massa de 200 kg/m, determine os esforços internos que actuam na secção
transversal que passa pelo ponto A.
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Resistência dos Materiais
Exercício 2 - Para o carregamento indicado e considerando que os apoios
A e B permitem ao eixo girar livremente, determine os esforços internos que
actuam nas secções transversais que passam pelos pontos C e D.
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Resistência dos Materiais
Exercício 3 - Para o carregamento indicado, determine os esforços internos
que actuam nas secções transversais que passam pelos pontos C e D.
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Resistência dos Materiais
Exercício 4 - Determine os esforços internos resultantes que actuam nas
secções transversais que passam pelos pontos D e E.
670 N
0,3 m
2,4 m 1,2 m0,9 m
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Resistência dos Materiais
Exercício 5 - Determine os esforços internos resultantes que actuam na secção
transversal que passa pelo ponto B.
Análise de Estruturas - Treliças
elemento sujeito a duas forças nónó
• Uma treliça é uma estrutura composta por elementos rectos unidos em nós, localizados nas extremidades de cada elemento.
• Os elementos são delgados e incapazes de suportar cargas transversais.
• Todas as cargas devem ser aplicadas nas junções.
• Uma treliça deve ser assumida como uma estrutura composta por nós e elementos sujeitos a duas forças.
A
B
C
• Uma treliça rígida não deve sofrer grandes deformações ou entrar em colapso sob acção de pequenas cargas.
• Uma treliça triangular composta por três elementos e três nós pode ser considerada uma treliça rígida.
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Resistência dos Materiais
A
B
C
D• Uma treliça obtida pela adição de dois novos elementos à treliça básica triangular, ligados entre si por um novo nó (D), continuará a ser rígida.
• Treliças obtidas repetindo este procedimento são camadas de treliças simples.
• O número total de elementos é m = 2n - 3, onde n é o número total de nós.
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Resistência dos Materiais
Treliças Simples
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Resistência dos Materiais
Tipos de Treliças em Aço
Fase 1 – diagrama do corpo livre;
Fase 2 – cálculo das reacções;
Fase 3 – utilização de um dos métodos;
Fase 4 – estado final dos elementos da treliça.
• Métodos analíticos (método dos nós e das secções)
AB
C
D
E
G
P1 P2 P3
n
n
• Condição necessária mas não suficiente para
uma treliça rígida, completamente restringida e
estaticamente determinada:
m + r = 2n
m – número de elementos;
r – número de reacções nos apoios
desconhecidas;
n – número de nós.
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Resistência dos Materiais
Análise de Treliças
X
Y
A B
E
C
DPP
P
L/2
L/2
L/2
• 1º Determinação das reacções
0
0
y
x
F
F
• 2º Equilíbrio num ponto (nó)
Estruturas 2D Estruturas 3D
0
0
0
z
y
x
F
F
F
RAy
RAx
RC
RAx=-P N RAy=P/2 N RC=3/2P N
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Resistência dos Materiais
Método dos Nós
Pergunta: Qual o primeiro nó onde se deve aplicar o equilíbrio num ponto?
Resposta: O nó que apresente o mesmo número de incógnitas e equações.
FAD
FAB
P
P/2
Equilíbrio no ponto A:
0)(.2/
0)(.
0
0
SinFP
FCosFP
Fy
Fx
AD
ABAD
] P 1,25F
] P 0,56F
AB
AD
N
N
Estado dos elementos: AD em compressão e AB em tracção.
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Resistência dos Materiais
Método dos Nós (Escolha do nó)
AB
C
D
E
G
P1 P2 P3
n
n
O método das secções é habitualmente preferido em relação ao método dos nós quando apenas se deseja determinar a força num dos elementos da treliça (ou num número reduzido de elementos).
Para determinar a força no elemento BD da treliça mostrada, secciona-se através dos membros BD, BE e CE, removem-se esses membros e estuda-se a porção ABC da treliça como um corpo livre.
AB
C E
P1 P2
FBD
FBE
FCENota: O método deve ser utilizado de modo a obter no máximo três forças desconhecidas, ou seja, cortar no máximo três elementos. Assim, pode ser utilizado igual número de equações de equilíbrio para resolver o problema.
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Resistência dos Materiais
Método das Secções
X
Y
A B
E
C
DPP
P
L/2
L/2
L/2
• 1º Determinação das reacções
RAy
RAx
RC
RAx=-P N RAy=P/2 N RC=3/2P N
• 2º Equilíbrio de uma das partes da treliça seccionada
RAy
RAx
FED
FBD
FBA
0
0
6
1
6
1
i
FD
i
iM
F
04/.2/2/.2/.
0)(.2/
0)(.
LPLPLF
SinFPP
PFCosFF
BA
BD
BABDED
P 1,25F
P -0,56F
0F
BA
BD
ED
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Resistência dos Materiais
Método das Secções
RAy
RAx
0
0,56P
1,25PA
D
B
E
• 3º Determinação do estado dos elementos
elemento estado
DE nenhum
DB compressão
AB tracção
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Resistência dos Materiais
Método das Secções
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Resistência dos Materiais
Exercício Resolvido (Método dos Nós)
- Determine as forças nos elementos FG, EG e GD da treliça simples.
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Exercício Resolvido (Método das Secções)
- Determine as forças nos elementos DE, DI e EI da treliça simples.
EI
Método dos nós – normalmente mais eficiente para a determinação da
capacidade de carga em todos os elementos da treliça.
Método das secções – normalmente mais eficiente para a determinação do
estado particular de um elemento da treliça.
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Resistência dos Materiais
Análise de Treliças - Conclusão
AB C
D
F
G
2 m
12.5 kN
2 m 2 m
12.5 kN 12.5 kN 12.5 kN
2.5 m
E
Exercício 1 - Utilizando o método dos nós, determine a força em cada elemento
da treliça mostrada.
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Resistência dos Materiais
D
E
F
G
1.5 kN
3 m
A
B
C
3 m 3 m 3 m 3 m 3 m
H
J
I K
L
3 kN
3 kN
3 kN
6.75 m
3 kN
3 kN
1.5 kN
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Resistência dos Materiais
Exercício 2 - Utilizando o método das secções, determine a força nos elementos
FH, FI e GI da treliça Pratt representada.
50 kN 35 kN
1 m 1 m 2 m
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Resistência dos Materiais
Exercício 3: A barra de aço AB (E1 = 210 GPa) com diâmetro d0 = 50 mm e as barras maciças em liga de
alumínio BC (E2 = 70 GPa) e latão CD (E3 = 105 GPa), ambas com diâmetro d = 20 mm, formam o sistema
composto por três segmentos representado na figura. determine:
a) o diagrama de esforços internos normais;
b) as tensões normais máximas em cada um dos segmentos;
N [kN]N1=15 kN N2=15 kN
N3= -35 kN
x
[MPa]1=7.64 MPa
2= 47.75MPa
3=-111.4 MPa
1=7.64 MPa
x
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Resistência dos Materiais
Exercício 4: Considere uma viga com geometria de secção transversal representada na figura . Para o carregamento indicado:a) Determine as reacções nos apoios A e B.b) Construa os diagramas de esforços cortantes e de momentos flectores.
8 kN/m
m = 500 kg
12 kN
1 m 2 m 1m
C D z
y
Capitulo 5 - Página 297
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Resistência dos Materiais
Exercício 5 – Um painel de propaganda é suportado por uma treliça, tal como
representado na figura, e encontra-se submetido a uma carga horizontal
provocada pelo vento de 4 kN. A análise isolada do painel mostra que 5/8 desta
carga é suportada no ponto central C e o restante dividido igualmente entre D e B.
Calcule as forças nas barras BE e BC. (Solução: BE=2,8 kN T; BC=1,5 kN T)
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Resistência dos Materiais
Apêndice - Trigonometria