Capitulo 3 (Teoria de Errores)

7/17/2019 Capitulo 3 (Teoria de Errores)

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TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEERRRRRROOORRREEESSS

Toda magnitud observada o medida contiene errores de cuantía

desconocida entonces la misión más importante de toda medición es

mantener ellas dentro de ciertos límites de precisión, dependiendo de la

finalidad del levantamiento.

Para ello es necesario que conozca bien las causas que ocasionaba

dichos errores cuando hablamos de mediciones, debemos saber

distinguir y usar adecuadamente entre exactitud y precisión.

EXACTITUD:Es el grado de aproximación a la verdad o grado de perfección a la quehay que procurar llegar.

PRECISION:Es el grado de perfección de los instrumentos y/o con que se realiza una

operación o se toma la lectura de una observación o también el número

de cifras con que se efectúa un cálculo.

ERROREs la diferencia entre el valor verdadero y el valor determinado mediantelas mediciones.No obstante, es preciso anotar que el valor verdadero no se conoce ni seconocerá jamás.

Una medición puede ser precisa sin ser exacta y viceversa.



EJEMPLO

Una distancia puede medirse muy cuidadosamente con una cinta y

aproximarla hasta el milímetro, y tener como resultados una medida con

un error de varios centímetros, esto por ser incorrecta la longitud de lacinta, luego la medida es precisa pero no exacta.

En conclusión se puede decir:

Ninguna medida es exacta

Todas las mediciones contienen errores.

El verdadero valor nunca se conoce.

FUENTES DE ERROR

A. INSTRUMENTALES:

Aquellos que provienen de la imperfección en la construcción o ajuste

de los instrumentos de media, por ejemplo la mala graduación de una

wincha, un teodolito mal calibrado

B. PERSONALES:

Provienen del elemento humano como son: limitaciones de vista,distracciones, equivocaciones etc. Ejemplo leer un N° por otro.

C. NATURALES:

Son aquellos que tiene como origen la variación de ciertos

fenómenos naturales, como el viento, la humedad, la temperatura, la

refracción, etc. Ejemplo la dilatación o contratación de la wincha de

acero por cambios de temperatura.

CLASES DE ERRORES

1. ERRORES MATERIALES O EQUIVOCACIONESSon errores que se comenten sin intención, debido a una confusión del

operador o a la falta de atención de este.

Son fáciles de detectar, poniendo atención a lo que se hace, teniendo

más orden, se descubren y elimina comprobando parte o todo el

trabajo.



2. ERRORES SISTEMATICOSSon aquellos errores que en iguales condiciones se repite siempre en

la misma magnitud y con el mismo signo es decir son acumulativosse puede calcular y eliminar por medio de la corrección Ejemplo una

wincha de acero de 30.00 m. que tiene un exceso en su longitud de

0.06 m. entonces introduce un error de + 0.06 cada vez que se usa.

3. E. ACCIDENTALESSon aquello errores que se cometen en forma casual y escapan del

control del operador y la capacidad del instrumento y obedece a la ley

de la probabilidad no se le puede aplicar ninguna corrección debido aque no hay método que nos permita calcularlos, también se los

denomina errores compensable, porque la magnitud y el signo son

variables por lo que tienden anularse parcialmente entre si en una

serie de medidas estos errores son los que hacen que nos puedan

encontrar el valor verdadero de una medidas.

DDDIIISSSCCCRRREEEPPPAAANNNCCCIIIAAA

Es la diferencia entre dos mediciones hechas de una misma magnitud.Siempre se debe comprobar una operaciones topográficas realizando

como mínimo una segunda medición.

Si la discrepancia entre las dos mediciones es pequeña indica que

no hay equivocaciones y los errores accidentales son pequeños,

por tanto se puede corregir.

Si la discrepancia es grande indica que se ha cometido unaequivocación o error que hay que detectarlo y eliminarlo,

comprobando parte o todo el trabajo.

Uno de los mejores métodos para localizar equivocaciones y errores es

de comparar varias medidas de la misma magnitud.



OBSERVACIONES DE IGUAL PRECISION

VALOR PROBABLE

Es valor probable de una cantidad es una expresión matemática quedesigna un valor calculado que de acuerdo a la teoría de las

probabilidades es el que mas se aproxima al verdadero valor.

VALOR PROBABLE PARA LA MISMA CANTIDADEl V.P. de una magnitud medida varias veces en las mismas condiciones

es la media aritmética de todas las mediciones hechas.

Nota: Es la media aritmética de todas las mediciones admitidas como

probables.

V.P. = X = N

X n

N = Número de observaciones

Ejemplo: Las mediciones de una longitud han dado como resultado:

854.21, 854.27, 854.22, 856.25, 854.26 m.

856.25 es una medida que se aleja mucho de la media

por lo tanto anulamos

V.P =4

26.85422.85427.85425.854

V.P. = 854.24 m.

VALOR PROBABLE PARA VARIAS CANTIDADES

HOMOGENEAS

Para una serie de magnitudes de igual clase, medidas en igualdad de

condiciones y cuya suma exacta se conoce entonces los valores

probables son los observados con una corrección igual al error total

dividido entre el número de observaciones.



Nota: Generalmente la corrección se hace proporcional al número de

Observaciones y no a la magnitud de cada medición

Entonces:

∆∆∆ iii =

N

1 (

G - iii )

iiiººº = iii ±±± ∆∆∆ iii

G = Condición geométrica

iii = Valores angulares

∆∆∆ iii = Corrección

N = número de medidas

Ejemplo: se han medido lo tres ángulos de un triangulo en las mismas

condiciones y los resultados son:

A = 58° 30’ 15”

B = 79° 46’ 50”

C = 41° 42’ 40”

G = 180°

iii = 179° 59’ 45”

∆∆∆ iii =

3

1 (180° - 179° 59’ 45”) = + 5”

Como es por DEFECTO la corrección será de + 5”

A = 58° 30’ 15 + 5” = 58° 30’ 20”

B = 79° 46’ 50” + 5” = 79° 46’ 55”

C = 41° 42’ 40” + 5” = 41° 42’ 45”

179° 59’ 45” + 15” = 180° 00’ 00”

Para mediciones análogas, hechas en igualdad de condiciones y cuya

suma sea igual a una sola medición hechas en las mismas condiciones y

circunstancias los valores probables se obtiene repartiendo el error total

en partes iguales entre todas las mediciones incluso la suma.



Si la corrección se suma a cada medición entonces se restara a la suma

total y viceversa.

Ejemplo:Se han medido tres ángulos y el ángulo total, alrededor un mismo

vértice “0”

< AOB = 12° 31’ 50” < BOC = 37” 29’ 20”

< COD = 27° 37’ 00” < AOD = 97° 37’ 00”

Si dichas mediciones han sido realizadas en igualdad de condiciones.

Calcular los valores probables de los mismos.

Solución:

∆∆∆ iii = < AOB + < BOC + < COD = 97° 38’ 10”

Condición Geométrica =

G = < AOD

G = 97° 37’ 00”

∆∆∆ iii =

4

1 ( 97° 37’ 00” – 97° 38’ 10” ) = -

4

"10'1 = -

4

"70

CCCooommmooo eeesss pppooor r r eeexxxccceeesssooo ∆∆∆ iii = - 17.5

< AOB = 12° 31’ 50” – 17.5” = 12° 31’ 32.5”

< BOC = 37° 29’ 20’ – 17.5” = 37° 29’ 02.5”

< COD = 47° 37’ 00’ – 17.5” = 47° 36’ 42.5”

< AOD = 97° 37’ 00” + 17.5” = 97° 37’ 17.5”

en los casos anteriores cuando se hablo de circunstancias iguales o en

iguales condiciones, indica que las mediciones se hayan hecho

empleando el mismo instrumento, por el mismo operador, en igualdad de

condiciones atmosféricas.



EEERRRRRROOORRR PPPRRROOOBBBAAABBBLLLEEE

Error probable es una cantidad positiva o negativa que establece los

límites dentro de los cuales puede caer o no el verdadero error accidental,

es decir una medida tendrá la misma oportunidad de quedar dentro de

estos límites que quedar fuera de ellos.

ERROR PROBABLE DE UNA SOLA CANTIDADIndica el grado de precisión que cabe esperar en una sola observación,

hecha en las mismas condiciones que las demás.

E = 0.67451

)( 2

n

n

i

ixx

0.6745 : Constante de proporcionalidad.

n

i 1

( x - xi )2 = V2 = Errores Residuales

N = # de observaciones

ERROR PROBABLE DE LA MEDIA ARIMETICADe un cierto número de observaciones de la misma cantidad:

Eo = 0.6745

)1(

)( 2

nn

n

i

ixx =

n

E

ERROR RELATIVOEs la forma unitaria de expresar el error, dando así mejor significado de la

precisión de las mediciones.

Se expresa en forma de un quebrado siendo el numerador la unidad

Er =

x

E =

E/X

1



El error probable de la media aritmética sirve para expresar la fluctuación

que puede tener el valor promedio entonces tenemos.

VVVAAALLLOOORRR MMMAAASSS PPPRRROOOBBBAAABBBLLLEEE::: VVV...MMM...PPP

V.M.P. = X ± EO

PROBLEMA

Para calcular la altura de un punto se hicieron 12 mediciones usando un

nivel de ingeniero dichas mediciones se hicieron en igualdad de

condiciones obteniéndose: 2.187, 2.179, 2.181, 2.184, 2.176, 2.186,

2.183, 2.178, 2.181, 2.188, 2.179.

Calcular

a) Error probable de una sola medición.

b) Error relativo

c) Valor Más Probable.

SOLUCION:

Xi x ( x - Xi ) ( x - Xi )2

2.187

2.182

2.179

2.181

2.184

2.176

2.186

1.183

2.1782.181

2.188

2.179

2.182

2.182

2.182

2.182

2.182

2.182

2.182

2.182

2.1822.182

2.182

2.182

- 0.005

0.000

0.003

0.001

- 0.002

+ 0.006

- 0.004

- 0.001

0.0040.001

- 0.006

0.003

0.025

0.000

0.009

0.001

0.004

0.036

0.016

0.001

0.0160.001

0.036

0.009

= 0.154



a) ERROR PROBABLE DE UNA SOLA OBSERVACIÓN

E = 0.67451

)( 2

n

n

i

ixx = 0.6745

11

154.0

E = 0.0798 m.

b) ERROR PROBABLE DE TODAS LAS OBSERVACIÓN

Eo = 0.6745)1(

)( 2

nn

n

i

ixx =

n

E =

12

0798.0

Eo = 0.023 m

c) ERROR RELATIVO

Er =E/X

1 =

0798.0/182.2

1 =

34.27

1

d) VALOR MAS PROBABLE

V.M.P = 2.182 0.023 m.

OBSERVACIÓN DE DIFERENTE PRECISIÓNEn anteriores consideraciones se ha supuesto que todas las mediciones

han sido tomadas en identificas condiciones y por lo tanto son de igual

precisión.

Pero en un trabajo topográfico es difícil encontrar estas igualdades de

condiciones, entonces será necesario tener en cuenta estas diferentes



precisiones para encontrar los resultados de las mediciones, estas

diferentes precisiones se llaman.

PPPEEESSSOOOSSS Así por ejemplo: se ha medido un ángulo en varias ocasiones y pordistintos operadores, todos han tenido el mismo esmero al observar

obteniendo el siguiente resultado.

47° 37’ 40” (1er Operador) ha realizado 1 observación

47° 37’ 22” (2do Operador ha realizado 4 observaciones

47° 37’ 22” (3er Operador ha realizado 9 observaciones

Es lógico admitir que el segundo valor tiene cuatro veces la precisión del

primero y el tercer valor tiene nueve veces la precisión del primero por loque podemos deducir que los pesos son proporcionales al número de

observaciones así:

El primero tendrá: Peso 1 o 2

El segundo tendrá: Peso 4 o 8

El tercero tendrá: Peso 9 o 18

Los pesos relativos

NOTA:

1. El peso se puede asignar de acuerdo al número de

observaciones.

2. El peso se puede asignar al criterio del observador.

3. El peso se puede asignar de acuerdo al error probable, en

este caso son inversamente proporcional a los cuadrados de

los respectivos errores probables.

OSEA:

2

1

2

2

2

1

E

E

P

P

donde:

P1, P2 = son los pesos que se asignan

E1, E2 = son los respectivos errores probables.

La formula general es :



P1 2

1E = P2

2

2E = P3

2

3E = …

VVVAAALLLOOORRR MMMAAASSS PPPRRROOOBBBAAABBBLLLEEE DDDEEE OOOBBBSSSEEERRRVVVAAACCCIIIOOONNNEEESSS CCCOOONNN PPPEEESSSOOOSSS

DE UNA SOLA CANTIDADEl V.P. de una cantidad medida varias veces con diferente precisiones:

a) MEDIA PONDERADA

X P =

P

Piix )(

b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA

Eop = 0.6745 x )1(

)( 2

nP

Pi

n

i

P ixx

c) ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA

Eo = 0.6745 x )1(

)( 2

n

Pi

n

i

P ixx


VMP = X P Eop

Del ejemplo anterior que se ha medido un ángulo en varias ocasiones

47° 37’ 40” ( 1 observación)

47° 37’ 22” ( 4 observaciones)

47° 37’ 30” ( 9 observaciones)

ANGULO PESO Xi x Pi ( x P - xi ) ( x P - xi )

2 ( x P - xi )2 Pi

47°37’40” 1 47°37’40” - 12” 144” 144”



47°37’22 4 88” +6” 36” 144”

47°37’30” 9 270” - 2” 4” 36”

a) MEDIA PONDERADA

X P =

P

Piix )( =

14

"398 = 28” X P = 47°37’28”

b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA

Eop =

0.6745 x )1(

)( 2

nP

Pi

n

i

P ixx

= =

06745X

)13(14

"324

Eop = 2.3”

c) ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA

Eo = 0.6745 x

)1(

)( 2

n

Pi

n

i

P ixx = 0.6745 X

13

"324

Eo = 8.58


VMP = X P Eop = 47° 37’ 28” 2.3”

Ejemplo:

Se siguen 4 itinerarios para determinar la cota de un punto. La cota con

sus correspondientes errores probables son:

ITINERARIO ALTURA OBSERVADA

A 221.05 0.006 m

B 221.37 0.012 m

C 220.62 0.018 m

D 221.67 0.024 m



a) Hallar el valor probable de la cota

b) El Error Probable de la Media Ponderada.

c) El Valor Mas Probables.

SOLUCIÓNa) Calculo de los Pesos

P1 2

1E = P2

2

2E = P3

2

3E = … (1)

E1 = 0.006 simplificando E1 = 1




Reemplazando en (1)

P1 2

1E = P2

2

2E = P3

2

3E = P4

2

4E

P1 x 1 = P2 x 4 = P3 x 9 = P4 x 16

P1 = 1 P2 = ¼ P3 = 1/9 P4 = 1/16

Xi Pi Xi Pi 221.05 1 221.05

221.37 ¼ 55.34

220.62 1/9 22.51

221.67 1/16 13.85

205/144 314.75

b) Media Ponderada

X P =

P

Piix )( =

144/205

75.314 = X P = 221.10 m

Xi ( x P - xi ) ( x P - xi )2 P ( x P - xi )

2 Pi

221.05

221.37

220.62

221.67

0.05

0.27

0.48

0.57

0.0025

0.0729

0.2304

0.2249

1

¼

1/9

1/16

0.0025

0.182

0.0256

0.0203



144

205

0.0666

b) Error Probable de la Media Ponderada

EOP = 0.6745

)3(144

205

00666.0 EOP = 0.026 m.

c) Error Probable de una Medida

Ep = 0.67453

00666.0 Ep = 0.00317 m.

d) Valor Más Probable

VMP = X P Eop = 221.10 0.026 m.

VARIAS CANTIDADES HOMOGENEASCuando se tiene varios valores observados con diferentes pesos y la

suma de estos valores es igual a un valor conocido o medido.

Entonces los V.M.P. son los observados mas una corrección, esta

corrección es una parte del error total .

“Estas correcciones que se aplican son inversamente proporcional a los

pesos”

C1 P1 = C2 P2 = C3 P3

Donde:

C = Corrección que debe aplicarse al valor observada de una

cantidad para obtener el VMP.

EJERCICIO

Se midieron los tres ángulos y el ángulo total de estos, todos desde el

mismo vértice “O” en igualdad de condiciones obteniéndose los

siguientes resultados:

< AOB = 46° 14’ 45” ( 6 observaciones)

< BOC = 74° 32’ 29” ( 1 observaciones)

< COD = 85° 54’ 38” ( 3 observaciones)



< AOD = 208° 41’ 28” ( 5 observaciones)

Hallar los valores probables.

Solución:

a) CALCULO DE LOS CORRECCIONES PARCIALES RELATIVAS.

C1 P1 = C2 P2 = C3 P3 = C4 P4

6 XC1 = 1 XC2 = 3 X C3 = 5 XC4

C2 = 1 C1 = 1/6 C3 = 1/3 C4 = 1/5

b) DISCREPANCIA

<AOB + < BPC + <COD = 206° 41’ 52”

<AOD = 206° 41’ 28”

DISCREPANCIA = + 24” (Exceso)

Esta discrepancia se reparte en forma proporcional a las correcciones

relativas halladas anteriormente.

c) CORRECCIONES PARCIALES ABSOLUTOS

Repartir 24” proporcional A: 1, 1/6, /3, 1/3, 1/5

C2 =

5

1

2

1

6

11

"24

x 1 = 14” C1 =10/7

"24

x

6

1 = 2”

C3 =10/7

"24

x 1/3 = 5” C4 =

10/7

"24

x

5

1 = 3”

d) VALORES PROBABLES

<AOB = 46° 14’ 45” - 2” = 46” 14’ 34”

<BOC = 74° 32’ 29” - 14” = 74” 32’ 15”

<COD = 85° 54’ 38” - 5” = 85” 54’ 33”



<AOD = 206° 41° 28” + 3” = 206° 41’31”

Ejercicios:

1. No pudiendo medirse la distancia horizontal entre los puntos M, N, se

determinara en forma indirecta, midiéndose su pendiente y la diferencia

de nivel entre estos en tres operaciones de campo, registrando los

siguientes datos:

Pendiente AH

1ra medición 02° 43’ 15.23 m.

2da Medición 02° 44’ 15.22 m.

3ra Medición 02° 42’ 15.24 m.

a) Hallar el V.M.P de la pendiente, de la diferencia de nivel y la

distancia horizontal

b) Además hallar sus respectivos Errores Relativos.

2. Se tiene un terreno de cuatro lados del cual hemos obtenido los

siguientes datos:

Medición del perímetro:5187.30 m. 518690 m. 5185.40 m. 5188.10 m.

5365.80 m. 5186.70 m.

De igual manera se han medido sus ángulos internos:

< A = 68° 34’ 15” (3 veces)

<B = 36° 44’ 12” (1 vez)

<C = 118° 25’ 30” (2 veces)

<D = 136° 16’ 25” (2 veces)Calcular los V.M.P. del perímetro y de los respectivos ángulos.



TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEERRRRRROOORRREEESSS EEENNN LLLAAASSS MMMEEEDDDIIICCCIIIOOONNNEEESSS TTTOOOPPPOOOGGGRRRAAAFFFIIICCCAAASSS

Una operación Topográfica como:

La suma de tramos para dar una longitud total.

Hallar el lado o ángulo de una figura geométrica.

El área de triangulo, cuadrado o cualquier cuadrilátero.

El volumen de una figura geométrica etc.

Esta dado por la siguiente función:

μ = f ( x, y, z )

Entonces el Error Probable de dicha operación esta dado por

e =

222

...

zyx eee dz

du

dy

du

dx

du

1). EP DE LA SUMA DE TRAMOS PARA DAR UNA LONGITUD

TOTAL

x + ex y + ey z + ez ……

La Función será:

S = x + y + z + .......

El Error Probable



es =

222

...

zyx eee

dz

ds

dy

ds

dx

ds

es = 222

zyx eee

V.M.P. = S es

Nota:

Cuando todos los tramos tienen la misma medida y por tanto el mismo

error probable, entonces el Error Probable de toda la suma de tramos, es

igual al error probable de una sola observación o medida multiplicada por

la raíz cuadrado del Número de medidas.

S = x + x + x + x .......

es = 222

xxx eee

es = 2.xen es = ex n

V.M.P. = S ex n

Ejemplo:

Se mide una alineación en tres tramos con los siguientes errores

probables:

0.014 m. 0.0022 m. 0.016 m.

Respectivamente cual es el Error Probable de la longitud total.

Solución:

ex = 0.014 m. ey = 0.022 m. ez = 0.016 m.

es = 222

zyx eee = 222016.0022.0014.0



es = 0.03059 m.

2). EP DEL AREA DE UNA FIGURA GEOMETRICA

Ejemplo del área de un rectángulo

l + el

a + ea

La Función será: A = l x a……

El Error Probable

eA =

22

..

al

eeda

dA

dl

dA

eA = 22

.. al elea

V.M.P. = A eA

Ejercicio:

Los lados de un terreno rectangular miden 750 m. y 375 m. y se

miden con una cinta de 25.0m. que tiene en su longitud un error de

0.015mts. Hallar el Valor Más Probable del área de dicho terreno.

SOLUCION:

Calculo del Ep de cada lado

Como para cada cintada se produce un error de 0.015m. entonces este

error es acumulativo tanto para el largo como para el ancho

Para 750 m.



Se habrán dado:25

750 = 30 medidas

eL = e. N = 0.015 30 eL = 0.082 m.

Para 375 m.

Se habrán dado:25

375 = 15 medidas

ea = 0.015 15 ea = 0.058 m.

l = 750 0.082 m a = 375 0.058 m

A = 750 x 375 = 281250 m2

eA = 22..

al elea = 22

058.0750082.0375 xx

eA = 53.27

V.M.P. = 281250 53.27 m2

3). EP DEL LADO O ANGULO DE UNA FIGURA

GEOMETRICA

EP DE LA DISTANCIA HORIZONTAL ENTRE DOS PUNTOS

L ± eL

e

D ± eD



La función será: D= L x cos

El error probable:

eD =

22

..

ee

d

dD

dL

dD

L

eD = 22... aL

eSenLeCos

V.M.P. = D eD

Nota: e radianes

Ejercicio:Se ha medido la distancia inclinada y la pendiente entre los puntos A y B

con el siguiente resultado. 321.328 0.035 y 2°43’ 23”4

respectivamente hallar el Valor Mas Probable de la distancia horizontalentre estos.

Solución:

321.328 0.035

2°43’ 23”4

D

D = L x Cos = 321.328 x Cos ( 2° 43’ ) = 320.967 m.

El error probable:



eD = 2200702.0328.321035.0`432 xxCos = ± 0.1125

V.M.P. = 320.967 0.1125 m

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