Upload
marielys-solis-moreno
View
245
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
1/58
CAPITULO 5FILTROS DIGITALES
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
2/58
5.1 INTRODUCCION El trmino FILTRO hace referencia a cualquier
sistema que discrimina lo que pasa a su travs de
acuerdo con alguno de los atributos de laentrada.
De acuerdo con esta definicin tan generalpodemos tener filtros de agua, filtros de
partculas de aire, filtros de aceite etc. Nosotros nos vamos a centrar en filtros digitales. Estos filtros discriminarn las seales de
acuerdo con sus caractersticas frecuenciales.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
3/58
5.1 INTRODUCCION Este tipo de filtros tiene como entrada una
secuencia discreta y como salida otra secuenciadiscreta, que habr experimentado ciertasvariaciones en amplitud y/o fase dependiendodel filtro empleado.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
4/58
5.2 CONCEPTOS DE FILTROS DIGITALES
Vamos a considerar sistemas lineales invariantetemporales (LIT) caracterizados por unaecuacin en diferencias con coeficientesconstantes de la forma:
Su funcin detransferencia es:
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
5/58
5.2 CONCEPTOS DE FILTROS DIGITALES
Los coeficientes {ak} y {bk} determinan larespuesta en frecuencia del filtro.
Una seal x(n) que pase a travs del sistematendr una salida Y(w) = H(w)X (w) , siendoH(w) la respuesta en frecuencia del filtroconsiderado.
Los filtros digitales que vamos a considerarsern sistemas LIT que van a producir unaalteracin selectiva de las componentesfrecuenciales de la seal de entrada.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
6/58
Ejemplo Tenemos la siguiente seal de entrada:
La respuesta en frecuencia esta dada por:
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
7/58
Frecuencias digitales, ejemplo
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
8/58
Sobre un filtro selectivo Un filtro selectivo en frecuencia ideal tiene las
siguientes caractersticas:
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
9/58
5.2.1 FILTRO PASA BAJA IDEAL La respuesta en mdulo y fase es la mostrada en
las siguientes grficas.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
10/58
5.2.1 FILTRO PASA BAJA IDEAL Podemos obtener la respuesta impulsional a
partir la transformada de Fourier inversa de surespuesta en frecuencia:
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
11/58
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
12/58
5.2.1 FILTRO PASA BAJA IDEAL
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
13/58
FILTROS IDEALES Y REALES El filtro ideal es no causal y tiene un nmero
infinito de trminos. Por tanto no es realizable fsicamente. La secuencia {h(n)}no es absolutamente
sumable por lo que este sistema no ser estable.
Los filtros reales tienen una respuesta enfrecuencia diferente, tal como se muestra en la siguiente figura. Estos filtros satisfacen las
condiciones:
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
14/58
FILTROS IDEALES Y REALES H(w) no puede ser cero excepto en un nmero
finito de frecuencias. H(w) no puede ser constante en un intervalo
finito de frecuencias. H(w) no puede ser discontinua en ninguna
frecuencia H(w) y (w ) no son independientes
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
15/58
FILTROS IDEALES Y REALES Lo que indica, por una parte, que las respuestas
en frecuencia de los filtros ideales no se puedeconseguir,
y por otra que se deben utilizar tcnicas deoptimizacin para determinar los parmetros
que mejor ajustan la respuesta en frecuenciadeseada.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
16/58
FILTROS REALES
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
17/58
CARACTERISTICAS DE UN FILTRO REAL
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
18/58
5.3 Diseo de filtros por ubicacinde ceros y polos Uno de los mtodos ms bsicos para el diseo de
filtro digitales sencillos es mediante la ubicacin deceros polos.
Cuando calculamos la respuesta en frecuencia de unsistemas analizamos el comportamiento del mismoante seales de entrada sinusoidales;
es decir, evaluamos H(z) sobre la circunferenciaunidad.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
19/58
Procedimiento de diseoPara el diseo de filtros por ubicacin de ceros ypolos colocaremos:
los ceros sobre la circunferencia unidad a lasfrecuencias que se desean eliminar y Los polos en las frecuencias que se desean
amplificar, cerca de la circunferencia unidad, pero
en su interior, para asegurar la estabilidad delsistema. Para que los coeficientes del sistema sean reales, los
ceros y polos aparecern como pares complejosconjugados.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
20/58
Procedimiento de diseo Posteriormente podemos multiplicar por un
factor de ganancia para que la respuesta en
mdulo en la banda pasante sea la unidad. Para el diseo de filtros pasa-baja los ceros se
colocarn a altas frecuencias y los polos a bajas.
El procedimiento contrario ser utilizado paraun filtro pasa-alta.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
21/58
Filtros pasa bajo y alto
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
22/58
Filtros pasa banda Los filtro pasa banda se disean colocando pares
de polos complejos conjugados cerca de la
circunferencia unidad en la banda pasante. Podemos colocar ceros a frecuencias bajas y/o
altas si el sistema desea atenuar dichas
frecuencias.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
23/58
Ejemplo Disear un filtro pasa banda centrado en w=/2. Hemos de situar un par de polos complejos
conjugados cerca de la circunferencia unidad a lafrecuencia central de la banda.
Podemos asumir por ejemplo que z=j
Los colocaremos a una distancia r (Opcin I). Si no tenemos especificaciones adicionalespodemos colocar tambin ceros en w = 0 y w = (Opcin II).
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
24/58
EjemploLa funcin de transferencia en cada caso ser:1. Opcin:
si imponemos que utilizando la
interpretacin geomtrica es fcil determinar queG =1 r2.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
25/58
Respuesta en frecuencia y fase de
opcin 1.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
26/58
EjemploLa funcin de transferencia en cada caso ser:2. Opcin:
si imponemos que utilizando la
interpretacin geomtrica es fcil determinar queG =(1 r2)/2.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
27/58
Respuesta en frecuencia y fase de
opcin 2
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
28/58
Tipos de filtros por ubicacin de cerosy polosVeamos algunos tipos de filtros diseados porubicacin de ceros polos:
Resonadores digitales, filtros ranura (notch), filtros peine (comb).
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
29/58
Filtros Ranura y Peine (Notchfilters,Comb filters) Los filtros ranura son filtros elimina-banda
muy estrechos.
Idealmente tienen nulos perfectos adeterminadas frecuencias.
Sirven para eliminar frecuencias puntuales.
Para ello se colocan ceros complejos conjugadossobre la circunferencia unidad en las frecuencias que se desean eliminar.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
30/58
Filtros Ranura La funcin de transferencia es:
En la siguiente figura mostramos el diagrama depolos y ceros y la respuesta en frecuencia parauna frecuencia digital f=1/8, (G=1).
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
31/58
Filtros Ranura
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
32/58
Filtros Ranura El filtro elimina la frecuencia deseada pero
tambin modifica las frecuencias prximas.
Una forma de mejorar el comportamiento deeste tipo de filtros es introducir una resonancia ala misma frecuencia, colocando un par de polos
complejos conjugados la funcin detransferencia en este caso es:
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
33/58
Respuesta en frecuencia La respuesta en frecuencia, se muestra en la
grfica siguiente.
Se ha elegido G de forma que la ganancia a bajasfrecuencias sea la unidad.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
34/58
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
35/58
Filtros peine (Comb filter) En la figura siguiente vemos un tipo de notch filter
con nulos equiespaciados.
La forma de su respuesta en frecuencia se asemeja aun peine, por lo que estos filtros se denomina Combfilters.
Presentan nulos peridicamente distribuidos en
todo el espectro. En sentido general un Comb filers es un filtro cuya
respuesta en frecuencia es una funcin peridica dew con perodo 2/L con L un entero positivo.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
36/58
Filtros peine (Comb filter), r=0.9
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
37/58
Filtros Peine Los filtros peine se obtienen concatenando ceros
y polos colocados a la misma frecuencia, muy
prximos entre s
Un caso particular de esta estructura es la delejemplo anterior cuando los ceros y polos seencuentran equiespaciados.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
38/58
Filtros Peine Podemos definir una expresin ms general
permitiendo que los ceros no estn sobre la
circunferencia unidad. En este caso tendremos un parmetro adicional, R. Dependiendo de que r>R o r
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
39/58
Filtros peine (Comb filter), r=0.98>R=0.95
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
40/58
Filtros pasa todo. Son filtros con una respuesta en mdulo igual a
la unidad para todas las frecuencias.
nicamente modifican la fase de la seal deentrada.
El ms sencillo es el retardo
El filtro pasa-todo no trivial bsico tiene porfuncin de transferencia
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
41/58
Filtros pasa todo. Si obtenemos la respuesta en frecuencia en
mdulo es fcil obtener que H(w) =1
independientemente del valor de a. Este tipo de filtro permite modificar la fase de
una seal sin afectar a su amplitud.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
42/58
Filtros pasa todo.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
43/58
5.4 Revisin de los tipos de filtrosanalgicos ms comunes. Uno de los mtodos de diseo de filtros digitales
IIR se basa en la utilizacin de filtros analgicos,
por esta razn vamos a describir lascaractersticas de los tipos de filtros mshabituales
Se distinguen por la cada de la respuesta enfrecuencia en la primera dcada, desde lafrecuencia de corte y en el retardo de grupo.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
44/58
Filtros comunes
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
45/58
Filtros Butterworth En honor al ingeniero britnico Stephen
Butterworth.
Filtro bsico, con respuesta mas plana en la bandade paso y cada aguda en la frecuencia de corte arazn de 20n [dB/dec], donde n es el orden.
El orden del filtro tiene que ver con el numero de
polos de la funcin de transferencia. Mientras mayor sea el orden del filtro mas
aproximada ser su respuesta a la respuesta idealdel filtro.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
46/58
Filtros Butterworth
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
47/58
Filtro Chebyshev En honor a Pafnuty Chebyshev. Presenta una cada de la respuesta en frecuencia mas
pronunciada en frecuencias bajas debido a que permitemas rizado que otros filtros en algunas de sus bandas. En frecuencias cercanas a la de corte la respuesta del
filtro Butterworth no es aceptable, especialmente si elfiltro es de orden bajo.
Este tipo de filtro posee mejor respuesta para este tipode frecuencias pero presentan un rizado (RIPPLES) en labanda pasante.
El numero de rizados presentes en la banda de paso esigual al orden del filtro.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
48/58
Filtro Chebyshev
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
49/58
Filtros Chebyshev
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
50/58
Filtros de Bessel En honor al astrnomo matematico Friedrich
Bessel.
Son filtros que nicamente tienen polos. Diseados para tener una fase lineal en las bandas
pasantes, por lo que no distorsionan las seales. Por el contrario tienen una mayor zona de transicin
entre las bandas pasantes y no pasantes. Cuando estos filtros se transforman a digital pierden
su propiedad de fase lineal.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
51/58
Orden de un filtro El numero de polos y ceros indica el orden del
filtros y su valor determina las caractersticas del
filtro, como su respuesta en frecuencia yestabilidad.
El orden de un filtro describe el grado deaceptacin o rechazo de frecuencias por arriba opor debajo de la respectiva frecuencia de corte.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
52/58
Comparacin de filtros
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
53/58
Comparacin de filtros
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
54/58
Polos y ceros En la siguiente grfica mostramos los diagramas
de polos y ceros para un filtro de orden 10,rizado
en banda pasante de 1 dB y atenuacin de 30 dB. Para los diversos tipos de filtros se muestran
comparaciones en polos y ceros en la siguientegrafica.
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
55/58
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
56/58
Funciones de MATLAB para el diseodel Filtros Analgicos
Obtencin del orden: [N, Wn] = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's')
[N, Wn] = cheb1ord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's') [N, Wn] = cheb2ord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's') [N, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's')
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
57/58
Diseo del filtro analgico conocidos losparmetros: Filtro pasa Baja wc=1 [Z,P,K] = BUTTAP(N); o
[Num,Den] =BUTTER(N,Wn,'s') [Z,P,K] = CHEB1AP(N,Rp);[Num,Den] =CHEBY1(N,Rp,Wn,'s')
[Z,P,K] = CHEB2AP(N,Rs);
[Num,Den] =CHEBY2(N,Rs,Wn,'s') [Z,P,K] = ELLIPAP(N,Rp,Rs);[Num,Den] =ELLIP(N,Rp,Rs,Wn,'s')
[Z,P,K] = BESSELAP(N) [B,A] = BESSELF(N,Wn)
7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales
58/58
Respuesta en frecuencia: [H,W] = FREQS(Num,Den) Diagrama de polos y ceros: pzmap(Num,Den) Func. Transf. a partir de Z y P [NUM,DEN] =
ZP2TF(Z,P,K)
Transformaciones em frecuencia [NUMT,DENT] = LP2LP(NUM,DEN,Wo) [NUMT,DENT] = LP2HP(NUM,DEN,Wo)
[NUMT,DENT] = LP2BP(NUM,DEN,Wo,Bw) [NUMT,DENT] = LP2BS(NUM,DEN,Wo,Bw)