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Esfuerzos y deformaciones
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Universidad Nacional de Ingeniería
CURSO DE ESTÁTICACURSO DE ESTÁTICAAPUNTES DE CLASEAPUNTES DE CLASE
ING. SERGIO HERRERA RAMÍREZING. SERGIO HERRERA RAMÍREZ
ESFUERZO Y DEFORMACIÓN EN CABLESESFUERZO Y DEFORMACIÓN EN CABLES
Universidad Nacional de IngenieríaCABLESCABLES
Uso:
� Puentes colgantes
� Líneas de Transmisión de energía eléctrica
� Teleféricos
� Alambres tensores para torres elevadas
� Etc (otras aplicaciones de ingeniería)
Clasificación:
→ De acuerdo con la forma de las cargas:
(1) Cables que soportan cargas concentradas
(2) Cables que soportan cargas concentradasCable parabólico
Catenaria
Universidad Nacional de Ingeniería
1.- Cables con Cargas Concentradas:
Objetivos:
� Determinar la forma del cable (y1, y2, …….. yn)
� La Tensión (T) en cada porción del cable.
L
A
Cn
BC2
C1Y1
Y2 Yn
d
P1
P2 Pnx1
x2
xn
Universidad Nacional de Ingeniería
Nota:
Cable no es sólido rígido ⇒ las ecuaciones de equilibrio representan condiciones necesarias pero no suficientes.
Hipótesis:
� Cable sujeto en dos puntos fijos A y B.
� “n” cargas verticales concentradas: P1, P2, …….. Pn.
� Se desprecia la resistencia a la flexión del cable (Material Flexible).
� Se desprecia el peso del cable.
� Entre dos cargas sucesivas, se considera como un elemento sometido a dos fuerzas y fuerza interna (fuerza de tracción dirigida según el cable).
� Las cargas tienen una dirección vertical conocida (distancia horizontal del apoyo “A” a las cargas) y las distancias verticales y horizontales entre los apoyos.
Universidad Nacional de Ingeniería⇒ Diagrama de Cuerpo Libre del Cable Completo:
0)d(B)L(B)x(P)x(P)x(P
0M0PPPBA:0F
0BA:0F
xynn2211
A
n21YYY
XXX
=−−++
+=∑
=−−−+=∑∑ =+=
⇒ Se requiere una ecuación adicional: para ello debemos conocer las coordenadas de un punto del cable (por ejemplo, punto “D” (x, y)).
⇒ Aplicamos Σ MD = 0 +
AX (y) + AY (x) – P1 (x – x1) = 0
Obtendremos una relación adicional entre los componentes escalares AX e AY.
∴ Determinamos: AX, AYBX, BY
⇒ Diagrama Cuerpo Libre de la Porción AD del Cable:
A
CnBC2
C1
d
P1P2
Pn
By Bx
Ay
Ax
L
x1
x2
xn
C1
A
AyAx
P1T
x
x1
Universidad Nacional de Ingeniería
⇒ Conocido Ax y Ay : Se encuentra la distancia vertical del apoyo A a cualquier punto del cable.
- Por ejemplo, si se desea hallar: Y2 (distancia vertical del punto C2)
- Para el cable AC2, por equilibrio: T2n (tensión en la parte del cable a la derecha de C2)
∑ Mc2= 0 +
Ax (y2) + Ay (x2) – P1 (x2 – x1) = 0
⇒
x
2y1212 A
)(xA)x(xPY
−−=
θ : Ángulo de inclinación
C1
A
AyAx
P1
x2
x1
P2 T2n
Y2
θ
Universidad Nacional de Ingeniería
∑ Fx = 0 : Ax + T2n cos θ = 0
∑ Fy = 0 : Ay + P1 - P2 - T2n sen θ = 0
⇒θ
=cosAT x
2n
Nota:
⇒ T2n cos θ = - Ax: La componente horizontal de la fuerza de tensiónes la misma en cualquier punto del cable.
⇒ T es máximo cuando “cos θ” es mínimo, entonces la porción de cable cuando “θ” es mayor (adyacente a alguno de los soportes).
Universidad Nacional de IngenieríaEJEMPLOEJEMPLO: :
� Determinar las alturas de los puntos B ∧ D.
� La pendiente y tensión máxima en el cable.
Cálculo de las Reacciones:
� Equilibrio para el Cable Completo:
∑ME = 0 +
Ax (20) - Ay (60) + 10 (40) + 20 (30) + 5 (15) = 0
⇒ 20 Ax - 60 Ay + 1075 = 0 ......... (I)
10T20T
5T
AyAx
EyExA
E
BC
D20 m
5 m
20 m 10 m 15 m 15 m
60 m
Universidad Nacional de Ingeniería
� Equilibrio AC ( Debido que se conoce la distancia entre el punto A y punto C)
∑ MC = 0 +
- Ax (5) - Ay (30) + 10 (10) = 0
⇒ - 5 Ax - 30 Ay + 100 = 0 ......... (II)
Resolviendo (i) y (II):
Ay = 8.194 Ton ⇒ Ay = 8.144 Ton ↑
Ax = - 29.164 Ton ⇒ Ax = 29.164 Ton ←
∑ MB = 0 +
29.06 (4B) - 8.19 (20) = 0 ⇒ 4B = 5.62 m
(por debajo del punto A)
� Altura del Punto B (Equilibrio AB)
Ay Ax
10T20T
AB
C
D
TCD
8.19 T
29.16 T
10T
AB
C
TBC
YB
Universidad Nacional de Ingeniería
∑ MD = 0 +
- 29.19 (4D) - 8.19 (45) + 10 (25) +20 (15) = 0
⇒ 4D = 6.22 m (por encima del punto A)
� Altura del Punto D (Equilibrio AD)
� Tensión Máxima en el Cable (Tmáx cuando θ es máximo)
.Ton60.39cos
T16.29TT
.T16.29cosT
:TT
º57.42m15m13.78Tag
máxED
ED
máxED
=θ
==⇒
=θ
=
=θ⇒=θ⇒
10T20T
5T29.16 T
TDE
E
BC
DYD
A
8.19 T
Ey
Ex = 29.16 T
10T20T
5T29.16 T
TEDE
BC
DYD = 6.22 m
A
8.19 T θ20 m
Universidad Nacional de Ingeniería2.- Cables con Cargas Repartidas
Objetivo:
� Determinar la tensión en cualquier punto del cables.
� Determinar la forma del cable para 2 tipos de cargas repartidas.
Hipótesis:
� Cable sujeto en dos puntos fijos A y B.
� Soporta una carga repartida.
� Cable adquiera una forma curva.
� La fuerza interna en un punto cualquiera (Ejem: pto. D) es una fuerza de tracción (T) dirigida a lo largo de la tangente a la curva.
Diagrama de Cuerpo Libre de la Porción CD del Cable:
c: Punto má s bajo de la curva.
d: Punto donde se desea determinar la tensión.
A
B
D
C
D
C
T
To
θ
θ
To
T
W
W
Universidad Nacional de IngenieríaTo: Fuerza de tracción en “C” (fuerza horizontal)
T: Tracción en “D” (tangente al cable en ese punto)
w: Resultante de la carga distribuida de la porción CD.
- Por equilibrio, tenemos el triángulo de fuerzas mostrado:
T cos θ = To (componente horizontal de T es la misma en cualquier punto)
T sen θ = W (componente certical de T es igual al módulo W)
Towtag
WToT 22
=θ
+= (la tensión T es mínima en el punto interior “C” y máxima en uno de los dos puntos del apoyo)
Módulo yDirecciónde “T”
Universidad Nacional de Ingeniería
2.a.- Cables con Cargas Repartidas : Cable Parabólico
→ Cable que soporta una carga uniformemente distribuida (horizontal)
Consideraciones:
� Peso de cable pequeño comparado con la plataforma (superestructura) que soporta.
� w : Carga horizontal por unidad de longitud (ton/m) (medida horizontalmente).
� Origen de coordenadas en el punto más bajo del cable (punto C).
Caso:
cables de suspensión de puentes colgantes.
Plataforma
Universidad Nacional de Ingeniería
⇒W = carga total de la porción del cable CD.
⇒ Módulo y dirección de “T” (fuerza de tracción en D)
222o xwTT += T
wxtago
=
ω (Ton/m)
A BY
X
D (X,Y)
C
DY
X
y
θ
W = ωx
To
T
x/2 x/2
C
Universidad Nacional de Ingeniería
Si : ∑ Md = 0 + : wx (x/2) - To (y) = 0 ⇒
⇒
xTo2wy 2=
Ecuación de una Parábola
[origen en punto C y eje vertical (Eje Y)]
“La curva formada por cables cargados uniformemente a lo largo de la horiontal, es una parábola”.
Universidad Nacional de Ingeniería→→→→ Cable que soporta sólo su peso propio
Consideraciones:
1.- Los cables que cuelgan bajo su peso no están cargados uniformente a lo largo de la horizontal y no forman una parábola.
2.- Al suponer que tienen una forma parábolica se introduce un error, que es pequeño, si el cable estásuficientemente tirante.
3.- Bajo estas consideraciones, se presentan dos casos:
CASO I: Cuando los apoyos Ay B del cable están a la misma altura
L: Luz o tramo del cable (distancia entre apoyos).
h: Flecha de cable (distancia vertical de los apoyos al punto inferior del cable).
w: Peso por unidad de longitud de cable.
C
B
Y
X
h
L
A
Universidad Nacional de Ingeniería
L
� Considerando datos h , entonces: x = L/2 en las formulas de cable parabólico
w x = h
∴
Tensión mínima
� Para cualquier punto del cable; la tensión, su pendiente, así como la forma del cable esta dado por:
Ecuación del cable (ecuación parabólica)
h8wLoT
2=
2222
xwh8
wLT +
=
22 xLh4y =
xLh8tag 2=
Universidad Nacional de IngenieríaCASO II: Cuando los apoyos están a diferente altura
1. No reconoce la posición del punto inferior del cable.
2. Deben determinarse las coordenadas de los apoyos del cable: A (XA, YA)
B (XB, YB)
� Para ello considerar que:
XB - XA = L: Distancia horizontal entre apoyos
YB - YA = d: Distancia vertical entre apoyos
Además, debe satisfacer la ecuación genérica de la parábola:
towx
dd
To2wxy
x
y
2
=⇒
=
B
Y
X
A
C XA XB
YA
YB
d
L
Y
YB
dA
C
B
YA
XA < 0 XB X
L
Universidad Nacional de IngenieríaLongitud del Cable: SB (Desde el punto más bajo C al apoyo B)
� Usando el teorema del binomio, para para desarrollar el radical en una serie infinita:
� Como: ⟨cumple con la ecuación genérica de la parábola)
dxtxw1dx
dxdy1S 2
o
22xo
2xoB
BB ∫ +∫
+=
+−+=∫
+−+= ..........
T40xw
T6xw1Xdx..........
T2xw
T2xw1S 4
o
4B
4
2o
2B
2
B4o
44
2o
22xoB
B
2B
oB X
T2wY =
+
−
+= ........
XY
52
XY
321XS
4
B
B2
B
BBB
Universidad Nacional de Ingeniería
� La serie converge para valores:
21
XYB
B <
Nota:
En la mayoria de los casos esta relación es mucho menor, y sólo se necesitan calclar los dos primeros términos de la serie.
Universidad Nacional de IngenieríaEJEMPLO:EJEMPLO:
Para el sistema de cable mostrado, si este pesa 80 kg. y la flecha es de 1.00 m, determinar:
a) La carga P.
b) La pendiente del cable en el apoyo B.
c) Longitud total del cable AB.
Nota:
Despreciar el peso de la porción del cable B a P, como la relación de la flecha a la luz es pequeña, entonces se puede suponer que el cable es parábolo (h/l = 1/8).
L = 80 m
P
A
C
Bh = 1 m
Universidad Nacional de Ingeniería
a) Carga P = ??
kgr.801Pkgr801(40)(800)wTT
kgr.800T0(1)T(20)(40):0M
2222oB
ooB
=⇒=+=+=∴
=⇒=−=∑+
� Como la tensión en cada lado de la polea es la misma ⇒ P = TB , por lo tanto hay que determinar TB (tensión del cable en el apoyo B).
� El diagrama del sólido rígido de la porción CB, si se supone que la carga esta uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal, tenemos:
C
BY
X
1.0 m
θ
W = 40 kgr.
To
TB
20 m 20 m
YB
XB
θ
To
TB
W
Universidad Nacional de Ingenieríab) Pendiente del Cable el B : θθθθ =??
2.86º0.0580040
Twtago
=⇒===
c) Longitud del Cable : ?? LAB = 2 SB
m.80.033(40.017)2S2L
m.40.017........401
32140........
XY
321XS
BBA
22
B
BBB
===∴
=
−
+=
−
+=
Universidad Nacional de IngenieríaEJEMPLO:EJEMPLO:
Para el sistema de cable mostrado, determinar los valores máximos y mínimos de la tensión en el cable.
� Como la carga esta distribuida uniformemente a lo largo de la horizontal ⇒ el cable es parábolico; por tanto, la ecuación del cables será:
<−=⇒=−
==
=
Negativo0)(X80XXm80XX
m15Y,m5Y
XT2wy
ABAAB
BA
2
o
A
B10 m
5 m
80 m
1 Ton / m
Y
15 m = YB
A
C
B
YA = 5 m
XA XB X
Universidad Nacional de Ingeniería
� Reemplazando en la ecuación del cable:
(II)............XT2w15X
T2wY:BPunto
(I)............80)(XT2w5X
T2wY:APunto
2B
o
2B
oB
2B
o
2A
oA
=⇒=
−=⇒=
� Dividiendo (I) / (II) para obtener XB = ??:
m29.28Xm50.72X:tantoloporm,80demayorserpuedeNoX
X50.72
X189.28
09600X240-XX80)-(X
155
A
BB
B
B
B2B2
B
B
=⇒=
=
=
=+⇒=
Universidad Nacional de Ingeniería
� Tensión Mínima, To , se produce en “C” ⇒ sustituyendo coordenadas ya calculadas del apoyo “B” en la ecuación del cable:
Ton.85.75T(50.72)T2115X
T2wy o
2
o
2
o=∴=⇒=
� Tensión Máxima, se produce donde la pendiente es máxima; en este caso apoyo “B”, por tanto:
Ton.99.63T
Ton.99.63(50.72)(1)(85.75)XwTT
máx
2222B
22omáx
=
=+=+=
Universidad Nacional de Ingeniería2.b.- Cables con Cargas Repartidas : Cable Catenaria
→ Cable que soporta una carga uniformemente repartida a lo largo del mismo
Consideraciones:
1.- Sólo cuando el cable esta lo bastante tenso, (carga puede suponerse uniformemente repartida a lo largo de la horizontal), se puede utilizar las ecuaciones de la parábola. De no ser así, debe emplearse las ecuaciones de catenaria.
A (XA, YA)
(XB, YB) B
D (X, Y)
Y
Xo
Cc
s
To C
D
s
dyds
θ
T
dx
W = ωsθ
To
T
Universidad Nacional de Ingeniería2.- Si los apoyos A y B del cable están a la misma altura:
L = Luz del cable (Distancia horizontal entre apoyos)
h = YA - c : Flecha de cable (Distancia vertical desde los apoyos al punto más bajo del cable c)
3.- Si los apoyos Ay B del cable no tienen la misma altura:
L = XB -XA : Distancia horizontal entre los apoyos
d = YB -YA : Distancia vertical entre los apoyos
En estos casos, no se conoce la posición del punto C y la resolución es similar al método de cables parabolicos.
Ecuaciones:
� En rigor cuando un cable cuelga debido a su propio peso, la carga estáuniformemente repartida a lo largo del mismo; si:
w : Carga por unidad de longitud (medida a lo largo del cable)
s : Longitud del cable desde el punto C hasta el punto D genérico.
W : Peso del cable desde el punto C hasta el punto D genérico (= ws).
Universidad Nacional de Ingeniería
222o swTT +=
wTC o=
22o scwTcwT +=∴=⇒
Nota 1:
No se puede tomar directamente esa ecuación debido a que se desconoce la distancia horizontal del punto D (x,y) a la línea de acción de la resultante W de la carga (peso).
� Como: dx = ds cos θ : protección horizontal de la longitud ds
2
e22
co
o
cs1
dsscw
dswdsTTcosdsdx
TTcos
+
=+
===⇒
=∧
� Del diagrama de sólido libre de la porción del cable CD:
Para simplificar las ecuaciones, designamos una constante:
Universidad Nacional de Ingeniería
� Integrando desde C (o,c) hasta D (x,y):
cxhsencs
cshsenarcc
cshsenarcc
cs1
dsxdxs
o2
2so
xo
=∴
∫ =
=∫
+
==
Ecuación que relaciona la longitud s del cable con la distancia horizontal x.
dxcxhsendx
csdx
wcwsd
Twtagdd
Twtagtagdxd:Como-
xo
xy
oy
=====⇒
=∧=
Universidad Nacional de Ingeniería
cxhcoscy
dx1cxhcosc
cxhcoscdx
cxhsencydy
x
o
xo
yc
=∴
∫
−=
=∫=−=
� Integrando desde C (o,c) hasta D (x,y):
Ecuación de una catenaria con su eje vertical
c: parámetro de la catenaria
( “c” punto más bajo de C)
� Elevado al cuadrado las dos últimas ecuaciones, y restándolas miembro a miembro se tiene:
y2 - s2 = c2
Universidad Nacional de Ingeniería
� Reemplazando: s2 = y2 - c2 en la ecuación:
tenemos:
T = wyLa tensión en cualquier punto D del cable es proporcional a la distancia vertical desde D a la línea horizontal que representa el eje x.
Nota 2:
Se puede verificar, que para el punto c (o,c), punto más bajo del cable, se tiene:
asumido.habíase
queConstante
wTc:decires,wcT o
o ==
Universidad Nacional de IngenieríaNota 3:
En funciones hiperbólicas se tiene: z = arc sen h u
(z: argumento del seno hiperbólico de u) es la función inversa de u = sen h z (seno hiperbólico de z).
1zhsenzhcos
10cos,00sen
zhsenzhcosdzd
zhcoczhsendzd:recordareConvenient
)e(e21zhcosu
)e(e21zhsenu:definenSe
22
zz
zz
=−
==
=
=−
−==
−==−
−
−
Universidad Nacional de IngenieríaEJEMPLO:EJEMPLO:
Para el cable uniforme mostrado, si w = 5 kgr/m de peso determinar los valores máximos y mínimos de la tensión en el cable; así mismo, la longitud del eje.
� Se traza las coordenadas X e Y, a una distancia “c” por debajo del punto más bajo del cable se establece el origen de coordenadas.
⇒ La ecuación del cable será:cxhcoscY=
100 m
A B
20 m
(XA, YA) A B (XB, YB)
Y
X
c
C
oXB = 50 m
YB = 20 + c
Universidad Nacional de Ingeniería� Sustituyendo las coordenadas del apoyo B, tenemos:
c50hcos1
c20ó
c50hcoscc20 =+=+
� Donde c = 66.7 m (por aproximaciones sucesivas)
⇒ YB = 20 + c = 20 + 66.7 = 86.7 m.
∴ Valores máximos y mínimos de la tensión serán: T = wy
Tmín = To = w c = (5 kgr/m) (66.7 m) = 333.50 kgr.
Tmáx = TB = w YB = (5 kgr/m) (86.7 m) = 433.50 kgr.
∴La longitud de la mitad del cable esta dada por: Scb , de la ecuación:
Y2 – S2 = C2
∴ La longitud total del cable será: SAB = 2 SCB = 2 (55.39 m)
∴ SAB = 110.8 m
m55.39S(66.7)(86.7)SCSY CB222
CB22
CB2B =⇒−=⇒=−⇒