CAPITULO_5.-_FLEXION_SIMPLE

RESISTENCIA DE MATERIALES

FLEXIN SIMPLE

DEPARTAMENTO: INGENIERA MECNICA.

AREA: MECNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS Y TEORA DE ESTRUCTURAS.

PROFESOR P.A.GMEZ

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIERA INDUSTRIAL DE BJAR



PROFESOR P.A. GMEZ


1.-El esfuerzo de flexin.

COMPRESIN

TRACCIN

El esfuerzo se caracteriza por que para equilibrar un lado de

la seccin es necesario un par de fuerzas, contenido en un

plano normal a la seccin y que denominamos MOMENTO

FLECTOR.

El ejemplo ms comn de elementos flectados son la VIGAS,

de modo que genricamente denominamos vigas a barras o

elementos sometidos a este esfuerzo.

EJE NEUTRO

M Como se puede ver, el par genera esfuerzos de compresin en

una zona y de traccin en otra, existiendo adems una fibra

(eje geomtrico) que acta como punto de inflexin,

denominada EJE NEUTRO.

El momento flector produce entonces tensiones normales sx

Resistencia de Materiales. Flexin



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2.-Hiptesis simplificativas del modelo matemtico

1.- Inicialmente consideramos slo el clculo elstico (Secciones de tipo 3 segn CTE).

2.- Se analizan vigas de eje recto inicialmente, las vigas curvas (arcos) se tratan en otro

captulo.

3.- Las vigas son en principio de seccin uniforme, las vigas de seccin variable se analizan

al final del tema.

4.- Las vigas estudiadas incialmente son de material homogneo E = Cte, el hormign

armado, por ejemplo no lo es.

5.- El mdulo de elasticidad a traccin y compresin tiene el mismo valor, lo cumple el acero.

6.- Las cargas aplicadas, tanto activas como reactivas, estn en un

mismo plano denominado PLANO DE CARGA que corta a la seccin por uno de sus ejes principales de inercia. Se denomina

entonces FLEXIN PLANA NORMAL. En caso contrario aparecen

esfuerzos combinados.

P1

Pn

RA




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3.- Esfuerzos en la flexin.

Si seccionamos una viga simplemente apoyada por sus extremos y sometida a la accin de

una serie de cargas, veremos que para mantener el equilibrio de l parte aislada, necesitamos

dos esfuerzos:

Un esfuerzo cortante Ved que equivaldr a la suma de las fuerzas verticales a un lado de la

seccin:

Un momento flector Med que equivaldr a la suma de momentos de todas las fuerzas, en el

tramo aislado, con respecto a la propia seccin.

n n

n n

x x




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4.-Tensiones normales originadas por el momento flector

Compresin

Traccin

X

Y

Z

z

Analicemos una seccin cualquiera de una viga:

Sea s la tensin normal en un

elemento dA situado a distancia z del

C.DG.

Por proporcionalidad:

Si es el esfuerzo en el elemento,

debern cumplirse en el equilibrio:

1.- La resultante de los esfuerzos debe ser nula.

Nos da la posicin del Eje Neutro

2.- El momento respecto a X debe ser nulo al contener al plano de cargas.

Nos indica que Y y Z son Ejes Principales de Inercia.




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4.-Tensiones normales originadas por el momento flector

3- El momento de las fuerzas exteriores se debe equilibrar con el momento de los esfuerzos

internos.

La tensin mxima se produce para Zmx. Luego

El valor Mdulo resistente a la flexin.

Este valor es constante para vigas de seccin invariable, para perfiles normalizados suele

estar tabulado y puede encontrarse en cualquier prontuario de clculo.

As mismo, este valor, normalmente expresado en mm3.103 es la base de clculo para la

verificacin de secciones prcticas como se ver ms adelante.




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4.-Tensiones tangenciales originadas por el esfuerzo cortante

m p t

n q

Analicemos dos secciones infinitamente prximas

mn y pq y los esfuerzos que actan en cada una de

ellas.

Igualmente tomamos las secciones AB y CD,

siendo el incremento del momento

La fuerza que tiende a desplazar el sistema vale:

en el equilibrio:

como:

Si recordamos:

Tendremos:

A

B C

D




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5.-Distribucin de tensiones normales y tangenciales

t

z

Y Med s

Ved t

Esquema tensional para un punto

cualquiera sobre una seccin de viga

Estado Plano de tensiones




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6.-Combinacin de tensiones normales y tangenciales

La combinacin de ambas tensiones podemos hacerla de dos maneras, analtica o grficamente.

M

M

A O

B

Analticamente:

De forma grfica mediante el crculo de Mohr.

OA smx OB smn CD tmx C

D




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7.-Verificacin de secciones. Secciones prcticas.

Con carcter general la resistencia a flexin de una seccin viene dada por:

Donde Wel es el denominado mdulo resistente elstico ya que slo se considera el periodo

elstico del material, sin permitir deformaciones permanentes ni plastificacin en E.L.U.

Para dimensionar el perfil necesario:

Veamos el comportamiento de algunas secciones:

h

b

Y

Z d

Se demuestra que las secciones ms econmicas son aquellas con mayor

momento de inercia respecto al eje de flexin, lo cual se obtiene separando el

material de dicho eje, como ocurre en los perfiles doble T

Seccin circular maciza

Seccin rectangular maciza




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7.-Verificacin de secciones. Secciones prcticas.

Clases de secciones segn C.T.E. y comportamiento del material, elastico y/o plstico




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8.-Interaccin de esfuerzos flector y cortante.

Cuando en una misma seccin de una viga se dan simultneamente un valor de momento

flector y un esfuerzo cortante, la verificacin de la seccin debe responder a la combinacin

de ambos, deducindose de ello una reduccin de la resistencia a flexin de la pieza.

Pueden darse dos circunstancias segn el C.T.E. :

Cuando el valor del cortante Ved no supere el 50% de la resistencia plstica a cortante de la seccin Vpl.rd no es necesario reducir el valor del momento resistente, actundose como si tal

combinacin no existiera, es decir tal como se expuso en la pgina anterior.

Si, por el contrario, el valor del cortante Ved supera el 50% de la resistencia plstica a cortadura de la seccin, el clculo se realiza adoptando un Lmite Elstico Reducido para el

material:

donde

El valor de Vpl,rd viene especificado en tablas para los perfiles ms usuales, en caso de

tratarse de vigas armadas o no tabuladas, su valor viene dado por:




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9.-Flexin oblicua.

Hasta ahora se ha considerado la viga sometida a la accin de un conjunto de fuerzas

contenidas en un solo plano (Plano de Cargas) en la direccin de uno de sus ejes

principales de inercia (Flexin Plana Normal).

Es relativamente frecuente en algunas vigas, como las correas de las cubiertas, que el

plano de cargas sea oblicuo en relacin con los ejes de inercia de la seccin, es lo que

denominamos (Flexin Oblicua)

Y

Z P Si descomponemos el momento en una seccin cualquiera M en las dos direcciones principales de inercia GY y GZ:

La tensin resultante ser:

Segn el C.T.E. deber verificarse que:

Siendo el valor de:




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10.- Estudio de vigas isostticas.

Segn sus condiciones de apoyo podemos clasificar las vigas en dos categoras:

ISOSTTICAS: Aquellas en las que las reacciones de apoyo pueden ser determinadas por

la aplicacin de las ecuaciones de la esttica.

Si se cumple la condicin de que no existan esfuerzos combinados, tanto cargas como

reacciones debern tener la misma direccin (vertical generalmente), por lo que las tres

ecuaciones en el plano se reducen a dos:

Existen tres tipos generales.

Vigas bi-apoyadas, con o sin voladizos

Mnsulas, vigas empotradas en uno de sus extremos.

Vigas articuladas Gerber.




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11.-Relacin entre fuerza cortante y momento flector

Adoptamos el siguiente CRITERIO DE SIGNOS:

+ + - -

M M

V V V

V V V

M+dM M+dM

m m m

n n n p p p

q q q

P W

La fuerza cortante es la primera derivada del momento

flector respecto de la abscisa x

m

n

m

n

p

q

p

q

M+dM

M





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12.-Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores

2 m 6 m

10kN/m 5 kN

A B C

-5 -25

+35

-25 kN

0 0

-30 mkN

FUERZAS CORTANTES: Diagrama en el que el eje de abscisas representa a escala distancias a

lo largo del eje x de la viga y el eje de ordenadas representa los valores de la fuerza cortante en

cada seccin con su signo correspondiente.

MOMENTOS FLECTORES: Diagrama en el que en el eje de abscisas representa a escala

distancias sobre la viga y en el eje de ordenadas el valor del momento flector en cada seccin. En

este caso, a fin de hacer coincidir el signo del momento con la curvatura de la viga deformada,

representamos hacia arriba los valores negativos y hacia abajo los positivos.

Veamos un ejemplo:

La funcin Mx presenta un mximo

cuando la primera derivada se

iguala a cero.

De esta manera el momento flector

es mximo en aquella seccin/es

de viga en que la fuerza cortante se

anula o cambia de signo




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.-Ejercicio ilustrativo.

Determinar las tensiones mximas desarrolladas en la viga mostrada

P=50kN W= 20kN/m

2,5m 3,5m

A C

B

+89,2kN

+39,2kN

-10,8kN

-80,8kN

+160,4kN.m

h=0,4m

b= 0,12m base

canto

RA RB

Se trata de una viga isosttica, en primer lugar

calculamos las reacciones en los apoyos A y B.

Seccionando en el tramo AC planteamos las ecuaciones

de V y Mf.

Anlogamente en el tramo CB

Resistencia de Materiales-Flexin



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.-Ejercicio ilustrativo continuacin.

Para determinar las tensiones mximas desarrolladas aplicamos las ecuaciones ya conocidas:

o bien

Para la seccin rectangular mostrada:

Para obtener los valores sustituimos el valor del momento mximo en C

El valor dado se produce en las fibras ms alejadas del eje de flexin.

La mxima tensin tangencial se produce el eje neutro y sobre el apoyo A, donde el esfuerzo cortante es

mximo.



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13.-Comprobacin de abolladura del alma por cortante.

Se considerarn los efectos de abolladura del alma ocasionados por las tensiones

tangenciales derivadas del esfuerzo cortante.

Hiptesis:

-Los paneles son rectangulares

-Seccin de los mismos uniforme. Sin agujeros, o estos son pequeos.

-Puede haber rigidizadores longitudinales o transversales.

-Deber verificarse cuando la esbeltez sea:




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14.-Vigas de dos o ms materiales.

Hasta ahora hemos trabajado con la hiptesis de un material homogneo con igual

resistencia a traccin y compresin. Si el elemento sometido a flexin est constituido con

dos o ms materiales con distintos mdulos de elasticidad, el clculo debe cambiar.

Imaginemos, por ejemplo una viga de dos materiales diferentes unidos

como muestra la figura. Aqu no puede suponerse que el eje neutro pasa

por el centroide de la seccin compuesta, por lo que habr que

determinarlo.

Como los mdulos de elasticidad E1 y E2 son diferentes, las tensiones

normales tambin los sern:

El esfuerzo en cada elemento ser:

Y

1

2

Si la relacin entre los mdulos de elasticidad fuera: ; igualando:

La resistencia a la flexin sera igual que la de una viga del primer material si multiplicamos el ancho de

la porcin inferior por n obteniendo la seccin transformada del elemento que ahora podemos calcular

como una viga normal




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15.-Vigas de hormign armado.

Un ejemplo importante de las vigas de dos materiales son las de hormign armado, reforzadas

con barras de acero en su parte inferior para resistir los esfuerzos de traccin.

Para obtener la seccin transformada se sustituye el rea de las barras de acero por un rea

equivalente nA donde n es la razn entre los mdulos de elasticidad del acero y el hormign.

d

z 1/2z

d - z

C

La posicin del eje neutro se obtiene calculando la distancia z de la cara superior al centroide C.

En l debe cumplirse que:

Resolviendo la ecuacin cuadrtica para z se obtiene la posicin del eje neutro.

La determinacin de los esfuerzos en la viga se hace de la misma manera que ya hemos visto para

las vigas de un solo material.




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.- Ejercicio ilustrativo

La viga mostrada est formada por una seccin rectangular de acero y dos

laterales de latn como se muestra, trabajando solidariamente. Siendo Eacero =

210 Gpa y Elatn = 109GPa. Determinense las tensiones en el acero y el latn si

se somete a un momento flector de 4mkN.

A

C

E

R

O

L

A

T

O

N

10 10 20

80mm

L

A

T

O

N

Para comenzar buscamos la

Seccin Transformada:

Transformamos toda la viga al material de menor mdulo multiplicando su ancho por 1,927 y manteniendo la altura

10 10 38,53

Calculamos ahora las tensiones como una viga normal:

Las tensiones en el latn valdrn:

Para obtener el valor de las tensiones en el acero multiplicamos por el mismo factor de conversin n.

80mm




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4Q22

d=400mm

b=200mm

50mm

Determinar las tensiones mximas desarrolladas en la viga de hormign armado que

muestra la figura si EA= 210GPa y EH = 25GPa. Si Mf = 60mkN. Hormign H-25 y acero B-

400S

Buscamos la seccin transformada del acero:

x

Determinamos la nueva posicin del eje de inercia.

Resolviendo la ecuacin de segundo grado:

El momento de inercia de la seccin transformada ser:




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16.-Vigas de seccin variable.

Hasta ahora se han considerado solamente vigas de seccin constante en toda su longitud,

pero atendiendo a que el momento flector es variable a lo largo de la misma, podramos

ahorrar material adaptando la seccin de la viga al valor del momento flector, como se

muestra en los ejemplos.


P

L

M= -P.L

P

L

M= +P.L/4

Si adaptamos el valor del mdulo resistente a la

variacin del momento flector, la tensin permanecer

constante, denominndose vigas de igual resistencia a la

flexin.


17.-Deformacin por flexin en las vigas.



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Entendemos por deformacin por flexin, al desplazamiento vertical de un punto cualquiera de la

lnea neutra de un perfil de viga desde su posicin inicial y que genricamente denominamos

FLECHA.

Esta deformacin depende bsicamente de: Tipo, valor y posicin de las cargas aplicadas, rigidez

del material (E) y de las dimensiones del perfil (Wy, Iy e Ix)

En general, salvo casos muy especiales, la deformacin producida por el esfuerzo cortante Ved

puede despreciarse, considerndose nicamente la deformacin por curvatura del eje debida al

momento flector.

Como estados lmite de servicio, para la deformacin de vigas pueden adoptarse los siguientes:

-En pisos con tabiques frgiles, sin juntas L/500

-En pisos con tabiques ordinarios L/400

-En pisos en otros casos L/300

-Para vigas de madera L/300

-Para vigas de celosa L/700

-En vigas de puentes L/900 a L/1200

-En vigas de hormign armado L/600

-En ejes de transmisin sometidos a flector L/1000 a L/2000



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18.-Ecuacin diferencial de la curva elstica

El eje neutro, inicialmente recto, se curva permaneciendo constante la distancia MN = dx

transformndose en la denominada Curva Elstica, veamos como determinar su ecuacin:

O

M N

A

B

C C

Q Q

los tringulos OMN y NQQ son semejantes por dos lados comunes, luego:

con valores o de otro modo

ya conocemos por la ley de Hooke

sustituyendo: o bien

siendo: despreciamos por infinitesimo

Sustituyendo y despejando obtenemos

Ecuacin diferencial de la curva elstica.




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19.-Mtodo de la doble integracin.

Consiste en integrar dos veces la ecuacin diferencial de la curva elstica hasta obtener el valor de Z

(flecha) en funcin de la abscisa x.

Una primera integracin o nos dar: o bien

donde el trmino representa la pendiente de la tangente a la curva elstica en cada punto.

La segunda integracin:

despejando

Donde z es la flecha en cada punto de abscisa x

Al trmino 1/E.I se le denomina Rigidez a la flexin y al ser constante en las vigas que estudiamos, puede salir fuera de las integrales propuestas.

El clculo de las dos constantes de integracin se realiza mediante las condiciones de contorno.

Conociendo el valor de la pendiente en un punto concreto para c1 y el valor de la deformacin en una

abscisa concreta para c2.

Es un mtodo generalista ya que permite, sustituyendo los valores de x, determinar la deformacin en

cualquier punto de la viga.




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x

W=10kN.m

B A

Se pretende determinar la deformacin en el extremo B de

la mnsula mostrada, en funcin del valor E.I. y de L

La ecuacin diferencial de la elstica para la viga ser:

Integrando una vez: calculamos la constante por las condiciones de contorno

Conocemos que la pendiente de la tangente a la C.E. es plana en el empotramiento, luego su tangente vale cero .

para sustituyendo el valor y despejando

Integrando de nuevo

Calculamos c2 por su condicin de contorno. z=0 para x=L

Despejando: valor de la flecha para cualquier abscisa x

Sustituyendo para x=0 tenemos dB




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20.-Mtodo del rea-momento. Teoremas de Mohr.

El otro mtodo ms utilizado para la determinacin de la deformacin en vigas es la combinacin

del mtodo de superposicin de los efectos, ya estudiado, con los dos teoremas de Mohr,

denominndose METODO DE AREA-MOMENTO O MOMENTO DE LAS REAS.

PRIMER TEOREMA DE MOHR: La diferencia de pendientes de las tangentes trazadas a la curva

elstica por dos puntos cualesquiera de una viga, viene dada, en valor absoluto, por el rea del

diagrama de momentos flectores comprendida entre ambos puntos, dividida por la rigidez a la

flexin (E.I)

SEGUNDO TEOREMA DE MOHR: La desviacin tangencial (distancia vertical entre un punto

cualquiera de la curva elstica y la tangente trazada a la curva por otro punto) viene dada, en valor

absoluto, por el momento del rea del diagrama de momentos flectores de la viga, comprendido

entre ambos puntos y dividido por la rgidez a la flexin (E.I).

A diferencia del mtodo generalista anterior, no permite determinar la deformacin o flecha

directamente, salvo cuando la tangente a la curva elstica es horizontal. Tampoco permite

determinar la deformacin en todos los puntos de la abscisa x de la viga, sino slo en aquellos

tomados como referencia.

En general, si estos son bien elegidos (valores mximos) permiten hacer de una forma rpida y

sencilla la comprobacin en estado lmite de servicio lo cual suele ser suficiente en el anlisis de

vigas comunes de construccin.




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.-Ejercicio ilustrativo

x

W=10kN.m

B A



Comenzamos dibujando el diagrama de momentos flectores

de la viga.

Si aplicamos ahora el segundo teorema de Mohr, midiendo la

desviacin tangencial entre A y B, al ser A un empotramiento y

por tanto la tangente horizontal, esta coincide con la

deformacin o flecha en el punto B

Como se puede comprobar, el valor obtenido es el mismo que el calculado por el procedimiento anterior.




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21.- Principio de superposicin.

W

B A

P

2L/3 L/3



Podemos descomponer la viga en funcin de sus dos

condiciones de carga, obteniendo dos diagramas de

momentos flectores que sumados darn el diagrama de la

viga completa.

Aplicando el segundo teorema de Mohr:

NOTA: Recordamos de nuevo que las distancias se miden siempre desde el centro de gravedad del rea delimitada por el

diagrama de momentos flectores respecto al punto donde se toma la desviacin tangencial, en este caso el B.

Igualmente se recuerda que las unidades vienen marcadas por el

factor E.I,. Usualmente tomamos N y mm, por lo que L, P y W

deben ponerse en las mismas unidades obteniendo la

deformacin en mm.




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22.-Anlisis de vigas hiperestticas.

Hasta este momento se han analizado nicamente aquellas vigas en las que pueden

calcularse las reacciones mediante las ecuaciones de la esttica.

En la prctica mltiples casos tanto de vigas de edificacin como de otros elementos

flectados son casos de vigas hiperestticas, es decir aquellos en los que no bastan las

ecuaciones de la esttica para determinar las reacciones en los apoyos necesarias para

obtener los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores de las mismas.

Podemos encontrar tres tipos fundamentales:


Vigas continuas.

Vigas sobre varios apoyos simples, con o sin

voladizos. Su grado de hiperestaticidad es igual al

nmero de apoyos menos dos.

Vigas empotradas y apoyadas.

Un extremo empotrado y con uno o varios apoyos,

existiendo o no tramos en voladizo. Su grado de

hiperestaticidad es igual al nmero de apoyos simples

Ambos extremos empotrados, con o sin apoyos intermedios. Su

grado de hiperestaticidad es el nmero de apoyos simples ms

dos.

Vigas biempotradas.



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17.- Deformacin por flexin en las vigas


PREGUNTAS



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