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1

Capítulo 2

Derivada de una función www.mathspace.jimdo.com

2.1. Preliminares

2.1.1. La pendiente de una recta secante a una curva

Sea una función 𝑓 que pasa por los puntos 𝑃 y 𝑄 de coordenadas

𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) y 𝑄(𝑥0 + ℎ, 𝑓(𝑥0 + ℎ))

Figura 1. Recta secante que pasa por los puntos P y Q

La pendiente de la Recta Secante 𝑚𝑠𝑒𝑐 que pasa por los puntos P y Q está dada por la expresión:

𝑚𝑠𝑒𝑐 =𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)

𝑥0+ℎ−𝑥0 =

𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)

ℎ

En Cálculo la expresión anterior también es conocida como la Razón de Cambio Promedio.

Cuando Q se acerca a P (ℎ → 0), las Rectas Secantes se aproximan a la Recta Tangente en el punto P.

Figura 2. Recta tangente que pasa por el punto P

La pendiente de la recta tangente 𝑚𝑡 que pasa por el punto 𝑃 está dada por la expresión:

𝑚𝑡 = limℎ→𝑜

𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)

ℎ

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2

Siempre que el límite exista y 𝑓 esté definida en un intervalo abierto que contiene a 𝑥0.

En Cálculo la expresión anterior también es conocida como la Razón de Cambio Instantánea.

Ejemplo 1. Sea 𝑓(𝑥) una curva que tiene como ecuación 𝑓(𝑥) = 𝑇𝑎𝑛(𝑥) y pasa por los puntos P (𝜋

4, 𝑓 (

𝜋

4)) y

Q(𝑥, 𝑇𝑎𝑛(𝑥)). Escribir una ecuación que depende de “x” que represente la pendiente de la secante que une a los puntos P y

Q.

Solución:

Ejemplo 2. Problema de aproximación de la razón de cambio instantánea

La tabla muestra el número de tiendas de una cadena estadounidense de café del 2000 al 2006. El número de tiendas

registradas es el número al comienzo de cada año, en Enero 1.

t(año) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

S(tiendas) 1996 2759 3501 4272 5239 6177 7353

Determinar una aproximación razonable para la razón de cambio instantánea de tiendas de café por año a principios del

2003 tomando el promedio de las pendientes de dos secantes cercanas.

Solución:

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3

2.2. Derivada de una función.

La expresión 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ se denomina también Cociente Diferencial de 𝑓(𝑥).

Definición: La derivada de una función 𝒇(𝒙) respecto de 𝒙 es la función 𝒇′(𝒙) (se lee: 𝒇 prima de 𝒙) y está

dada por:

𝑓′(𝑥) = limℎ→𝑜

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

El proceso de calcular la derivada se denomina derivación.

Se dice que 𝑓(𝑥) es derivable en 𝑥0 si existe 𝑓′(𝑥0), es decir si el límite del Cociente Diferencial existe cuando 𝑥 = 𝑥0.

Ejemplo 3. Interpretando la pendiente de una curva

Dada la gráfica de la función determine un intervalo donde 𝑓(𝑥) > 0 y 𝑓′(𝑥0) < 0

Ejemplo 4. Gráficas de funciones y sus derivadas.

Dada la gráfica de la función, que pasa por los puntos, A,B,C,D,E,F determine en qué puntos de la gráfica:

a. limℎ→𝑜

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ= 0

b. 𝑓(𝑥)𝑓′(𝑥0) < 0

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4

Ejemplo 5. Identificando la derivada de una función.

Ejemplo 6. Averiguando cual función es la derivada.

Ejemplo 7. Trazando intuitivamente la derivada de una función.

Ejemplo 8. Visualizando derivadas.

Ejercicios: Use la definición de derivada en los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1. Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, hallar 𝒇′(𝒙).

Ejercicio 2. Calcule la derivada de 𝒇(𝒙) = √𝑥 y luego utilícela para:

a) Hallar la ecuación de la tangente a la curva 𝒇(𝒙) = √𝑥 en 𝑥 = 4.

b) Hallar la razón de cambio instantánea cuando 𝑥 = 1.

2.3. Funciones no derivables en un punto

Ejemplo 9. Determine si 𝒇(𝒙) = |𝑥| es diferenciable en (0,0).

𝑓′(𝑥) = limℎ→𝑜

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

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5

Ejemplo 10. En donde una función no es derivable.

2.4. Notación de la derivada Sea la función 𝒚 = 𝒇(𝒙)

Notación Derivada Derivada de 𝒇(𝒙) cuando

𝒙 = 𝒂

Notación de Lagrange: 𝑦′ 𝑓′(𝑥) 𝑓′(𝑎)

Notación de Leibniz: 𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)|

𝑥=𝑎

Notación de Cauchy: 𝐷𝑦 𝐷𝑥𝑓(𝑥) 𝐷𝑦|𝑥=𝑎

Notación de Newton: �̇� 𝑓̇(𝑥) 𝑓̇(𝑎)

2.3. Teorema. Diferenciabilidad y continuidad. Si 𝑓 es diferenciable en 𝑥0, entonces 𝑓 es continua en 𝑥0 .

Nota: Si 𝑓 es continua en 𝑥0, entonces no necesariamente 𝑓 es diferenciable en 𝑥0.

Ejemplo 11. 𝑓(𝑥) = |𝑥|. ¿Por qué f es continua más no diferenciable en un punto dado? ¿Cuál punto?

Ejemplo 12. 𝑔(𝑥) = 𝑥2/3. ¿Por qué g es continua más no diferenciable en un punto dado? ¿Cuál punto?

2.5. Álgebra de Derivadas.

ÁLGEBRA DE DERIVADAS 𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) =

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) ±

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥); 𝑘: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥) (

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)) + (

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)) 𝑔(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥(

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)) =

𝑔(𝑥)(𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥))−𝑓(𝑥)(

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥))

[𝑔(𝑥)]2 ; 𝑔(𝑥) ≠ 0

𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) [

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)(

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)) + 𝐿𝑛(𝑓(𝑥)) (

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥))]

𝑓′(0) = limℎ→𝑜

𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)

ℎ

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6

TABLA DE DERIVADAS

Nº FUNCIÓN DERIVADA DERIVADA COMPUESTA

1 𝑦 = 𝑘; 𝑘: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑘

𝑑𝑥= 0

2 𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥= 1

3 𝑦 = 𝑥𝑛 𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥))𝑛 = 𝑛𝑓(𝑥)𝑛−1

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

4 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥)=

1

𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑒)

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑓(𝑥))=

1

𝑓(𝑥)𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑒)

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

5 𝑦 = 𝐿𝑛(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥 𝐿𝑛(𝑥) =

1

𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥 𝐿𝑛(𝑓(𝑥)) =

1

𝑓(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

6 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑥 = 𝑎𝑥𝐿𝑛(𝑎)

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑓(𝑥)𝐿𝑛(𝑎)

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

7 𝑦 = 𝑒𝑥 𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑓(𝑥) = 𝑒𝑓(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

8 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) = cos (𝑥)

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑥)) = cos (𝑓(𝑥))

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

9 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑓(𝑥)) = −𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑥))

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

10 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥) =

1

𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑓(𝑥)) =

1

𝑐𝑜𝑠2(𝑓(𝑥))

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

11 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑜𝑡(𝑥) = −𝑐𝑠𝑐2(𝑥)

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑜𝑡(𝑓(𝑥)) = −𝑐𝑠𝑐2(𝑓(𝑥))

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

12 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑠𝑒𝑐(𝑥) = sec(𝑥) tan (𝑥)

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑠𝑒𝑐(𝑓(𝑥)) = sec(𝑓(𝑥)) tan (𝑓(𝑥))

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

13 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑠𝑐(𝑥) = −𝑐𝑠𝑐(𝑥)𝑐𝑜𝑡(𝑥)

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑠𝑐(𝑓(𝑥)) = −𝑐𝑠𝑐(𝑓(𝑥))𝑐𝑜𝑡(𝑓(𝑥))

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

14 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) =

1

√1 − 𝑥2

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑥)) =

1

√1 − (𝑓(𝑥))2

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

15 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥) =

−1

√1 − 𝑥2

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑓(𝑥)) =

−1

√1 − (𝑓(𝑥))2

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

16 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) =

1

1+𝑥2

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑓(𝑥)) =

1

1 + (𝑓(𝑥))2

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

17 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑓(𝑥)) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑓(𝑥))

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

18 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑓(𝑥)) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑓(𝑥))

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

19 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑥) =

1

𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑥)

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑓(𝑥)) =

1

𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑓(𝑥))

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

20 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) =

1

√𝑥2 + 1

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑓(𝑥)) =

1

√(𝑓(𝑥))2 + 1

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

21 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) =

1

√𝑥2 − 1

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑓(𝑥)) =

1

√(𝑓(𝑥))2 − 1

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

22 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑥) =

1

1 − 𝑥2

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑓(𝑥)) =

1

1 − (𝑓(𝑥))2

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

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7

EJERCICIOS EN CLASE. Derivar cada una de las siguientes funciones:

1. 𝑦 = 6𝑥2 − 2𝑥 + 1

2. 𝑦 = √3𝑥𝜋 − 𝑒𝑥𝑒 + 𝑒𝑥 + 𝑥√2

3. 𝑧 = √𝑥 − 2√𝑥53+

1

2√𝑥2 + 14

−4

√𝑥+

10

𝑥− 𝑥

4. 𝑦 = √𝑥 + √𝑥 + √𝑥

5. 𝑦 = √(1 − 𝑥)2 + √𝑥 − 1

6. 𝑦 = √𝑥 + √1

𝑥

7. 𝑡 = log3 𝑥 − log4(𝑥 − 5) + log3(𝑥10 − 3𝑥)

8. 𝑤 = 𝐿𝑛(𝑥) + 𝐿𝑛(𝑥2 − 𝑥) − ln (𝑥 −1

𝑥)

9. 𝑦 = 𝐿𝑛(𝑥𝑒𝑥) − 𝐿𝑛 (𝑥

𝑒𝑥) + 𝐿𝑛(𝑥)5

10. 𝑧 = 𝐿𝑛9(𝑥) − 𝐿𝑛(𝑥9) + 𝐿𝑛(𝑥 + 𝑒𝑥)

11. 𝑦 = 𝐿𝑛√1+𝑥2

𝑥2−1

12. 𝑧 = √𝑥2 + 3𝑥 + 2 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 − 3𝑥)

13. 𝑧 = (𝑢3 + 1)5(𝑢3 − 2)8

14. 𝑦 = √𝑥𝑒𝑥 + 𝑒𝑥+3𝑥

15. 𝑦 = 𝑒𝑥+1𝐿𝑛(𝑥2 + 1)

16. 𝑡 = 𝑒𝑥3+1𝑠𝑒𝑛(𝐿𝑛(𝑥))

17. 𝑡 = (𝑥 + 10)𝐴𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 3)

18. 𝑦 = (𝑥2 − 7)𝐿𝑛(𝐿𝑛(𝑥2 − 7))

19. 𝑧 = (3𝑡)𝑐𝑜𝑠4(3𝑡2) − 𝑡𝑠𝑒𝑛9(6𝑡)

20. 𝑦 = 100𝑤(𝑤2 − 3)(𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑤 − 10))

21. 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(5𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(5𝑥) − 𝑐𝑜𝑠((5𝑥)2)

22. 𝑦 = cos(𝑥)𝐴𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛(𝑥) − 𝑠𝑒𝑐(𝑥 + 2) +

[csc (10𝑥)]4

23. 𝑤 = 9𝑥2+2

𝑥3+1

24. 𝑦 = [𝑥3+3𝑥2+𝑥

𝑥2−1]

10

25. 𝑧 =1

√3𝑥2+𝑥

26. 𝑦 = √𝑥+1

𝑥2−1

27. 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛(𝑡)

cos (2𝑡))

3

28. 𝑧 =1

4𝐿𝑛 (

𝑥2

𝑥2−4) −

1

𝑥2−4

29. 𝑤 =𝑡𝑠𝑒𝑛3(𝜋𝑡)

1+𝑡

30. 𝑧 =(3𝑡2−6)

4

(2−2𝑡2)5

31. 𝑦 = (𝑥2−4

𝑥−4)

1/2

32. 𝑦 =√𝑤+1+3

(𝑤2+1)5

33. 𝑦 = 𝑥𝑥

34. 𝑦 = 𝑟𝑥; r: constante

35. 𝑦 = (√x)cos (𝑥−3)

36. 𝑧 = (𝐿𝑛(𝑥 + 1))𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)

37. 𝑤 = (𝑥2 + 10𝑥)𝑐𝑠𝑐(𝑥)

38. 𝑦 = (sec (𝑥 − 2))𝑇𝑎𝑛(𝑥2)

39. 𝑦 = (√cot (𝑥 + 2))𝑥5

40. 𝑦 = (𝑥𝑒𝑥) √𝑥+13

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8

2.6. Derivada compuesta - Regla de la cadena. Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función derivable de 𝑢, y si además 𝑢 = 𝑔(𝑥) es una función derivable de 𝑥, entonces 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) es

una función derivable con

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∙

𝑑𝑢

𝑑𝑥

O lo que es lo mismo:

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑔(𝑥))] =

𝑑

𝑑𝑢𝑓(𝑔(𝑥)) ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

Nota: Todos los ejercicios anteriores, se trabajaron usando la Regla de la Cadena. Observe la última columna de la Tabla

de Derivadas.

2.7. Derivación implícita. Es una técnica que se usa para derivar funciones que no están dada en la forma usual 𝑦 = 𝑓(𝑥) (forma explícita) o donde

resulta muy difícil despejar 𝒚 en función de 𝒙.

Procedimiento:

1. Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a 𝑥 (variable independiente).

2. Agrupar todos los términos que contengan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 en un lado de la ecuación y agrupar los demás términos en el otro

lado.

3. Despejar 𝑑𝑦

𝑑𝑥.

Ejemplo 13. Derivar implícitamente la función dada: 𝑦 + 𝑦3 − 𝑥 = 7.

𝑦 + 𝑦3 − 𝑥 = 7 𝑑

𝑑𝑥(𝑦 + 𝑦3 − 𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥(7)

𝑑

𝑑𝑥(𝑦) +

𝑑

𝑑𝑥(𝑦3) −

𝑑

𝑑𝑥(𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥(7)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 3𝑦2

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 1 =

0

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 3𝑦2

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 1

𝑑𝑦

𝑑𝑥(1 + 3𝑦2) = 1

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

1

1 + 3𝑦2

Ejemplo 14. Derivar implícitamente la función dada: 𝑥3 + 4𝑥𝑦2 − 27 = 𝑦4.

Ejemplo 15. Encontrar la pendiente de la curva 𝑥3 = (𝑦 − 𝑥2)2 en (1,2).

Ejemplo 16. Sea 𝑞 − 𝑝 = 𝐿𝑛(𝑞) + 𝐿𝑛(𝑝). Encuentre 𝑑𝑞

𝑑𝑝.

Derivada interna

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9

Ejemplo 17. Encontrar la pendiente de la curva 𝑥2 + 𝑦2 = 4 en (√2, √2). Hacer una representación gráfica de la

curva y la recta que pasa por la curva y el punto dados.

2.8. Derivada de funciones inversas. Sea 𝑓 una función inyectiva, si 𝑓 es derivable en 𝑓−1(𝑎) y esa derivada es distinta de cero, entonces 𝑓 es derivable en 𝑎 y

se cumple que:

𝑑

𝑑𝑥𝑓−1(𝑎) =

1

𝑑𝑑𝑥

𝑓[𝑓−1(𝑎)]

Ejemplo 18. Derivada de logaritmo natural.

𝑦 = 𝐿𝑛(𝑥) Sea la función logaritmo natural. 𝑒𝑦 = 𝑥 Despejando 𝑥.

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑦 =

𝑑

𝑑𝑥𝑥 Derivando con respecto a 𝑥.

𝑒𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 1

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

1

𝑒𝑦 Despejando

𝑑𝑦

𝑑𝑥.

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

1

𝑥

Reemplazando 𝑒𝑦 = 𝑥.

Por tanto, 𝑑

𝑑𝑥𝐿𝑛(𝑥) =

1

𝑥.

Ejemplo 19. Derivada de seno inverso.

Ejemplo 20. Derivada de coseno inverso.

Ejemplo 21. Derivada de tangente inversa.

2.9. Derivación logarítmica. Es una técnica usada con frecuencia para simplificar la derivación de 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuando 𝑓(𝑥) tiene productos, cocientes o

potencias.

Procedimiento:

1. Tomar logaritmo natural en ambos lados de la ecuación.

2. Simplificar usando las propiedades de los logaritmos.

3. Derivar ambos lados de la ecuación.

4. Despejar 𝑦′.

5. Expresar la respuesta solo en términos de 𝑥. (la variable independiente).

Verificar: 𝑑

𝑑𝑥𝑓−1(𝑥) =

1

𝑑𝑑𝑥

𝑓[𝑓−1(𝑥)]

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10

Ejemplo 22. Usar derivación logarítmica para derivar la función dada: 𝑦 =(2𝑥−5)3

𝑥2 √𝑥2+14

Ejemplo 23. Usar derivación logarítmica para derivar la función dada: 𝑦 =

Ejemplo 24. Usar derivación logarítmica para derivar la función dada: 𝑦 =

2.10. Derivadas de orden superior. La derivada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es a su vez, una función 𝑓′(𝑥). Si se deriva 𝑓′(𝑥), la función resultante se llama

segunda derivada de f con respecto a x y se denota como 𝑓′′(𝑥) (se lee: f doble prima de x o f segunda de x). De manera

similar se define la tercera derivada de f(x), etc.

Notación:

Primera derivada 𝑦′ 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)]

Segunda derivada 𝑦′′ 𝑓′′(𝑥) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 𝑑2

𝑑𝑥2[𝑓(𝑥)]

Tercera derivada 𝑦′′′ 𝑓′′′(𝑥) 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 𝑑3

𝑑𝑥3[𝑓(𝑥)]

Cuarta derivada 𝑦(4) 𝑓(4)(𝑥) 𝑑4𝑦

𝑑𝑥4 𝑑4

𝑑𝑥4[𝑓(𝑥)]

Ejemplo 25. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥5 − 𝜋𝑥3 + 2𝑥 − 97. Encontrar todas las derivadas de orden superior de f(x).

Ejemplo 26. Determinar la razón de cambio de 𝑓′(𝑥), si 𝑓(𝑥) = 𝑥𝐿𝑛(𝑥) + 𝑒𝑥.

2.11. Valores extremos locales. Sea 𝑓(𝑥) definida en un intervalo I que contiene a c.

1. 𝑓(𝑐) es el mínimo de 𝑓 en 𝐼 si 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) (∀𝑥 ∈ 𝐼). (Valor mínimo local).

2. 𝑓(𝑐) es el máximo de 𝑓 en 𝐼 si 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) (∀𝑥 ∈ 𝐼). (Valor máximo local).

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11

Ejemplo 27. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥).

2.12. Valores extremos globales. (Consultar)

2.13. Teorema. Si f toma un valor extremo en c y es derivable en c, entonces 𝑓′(𝑐) = 0.