Capítulo 2: FILTROS ADAPTATIVOS

Capítulo 2: FILTROS ADAPTATIVOS

FILTROS ADAPTATIVOS FILTROS DE WIENER

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2.1. FILTROS DE WIENER

Los filtros de Wiener son los mejores filtros lineales de mínimos cuadrados que pueden ser usan

para predicción, estimación, interpolación, filtrado de señal y ruido, etc. Para diseñarlos se

necesita tener un conocimiento previo apropiado de las propiedades estadísticas de la señal de

entrada. El problema reside en que este conocimiento generalmente no se puede obtener. En su

lugar se usan filtros adaptativos, que hacen uso de los datos de entrada para aprender los datos

estadísticos requeridos. En cualquier caso, la teoría de Wiener es importante para el presente

estudio porque los filtros adaptativos que serán empleados convergen asintóticamente (en

media) en las soluciones de Wiener.

Obsérvese el esquema de la Figura 6:

Entrada fk h*k = ?

Filtro digital

Salida gk

+

-Error ek

Respuesta deseada dk

Figura 6: Filtro de Wiener digital

El filtro digital tiene una señal de entrada y produce una señal de salida. El filtro será un filtro de

Wiener si su respuesta impulsiva se elige para minimizar el error cuadrático medio. El error se

define como la diferencia entre la salida del filtro y la respuesta deseada:

kkk gde

Cuando se trabaja con filtros de Wiener, generalmente la respuesta deseada existe sólo de

forma conceptual. Las propiedades estadísticas de la respuesta deseada y sus relaciones


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estadísticas con la señal de entrada al filtro se asume que son conocidas por el diseñador. La

situación es bastante diferente cuando se trata con filtros adaptativos. En éstos, la respuesta

deseada existe como una señal que puede ser obtenida como entrada en tiempo real al

algoritmo adaptativo, para conseguir aprender y adaptarse. Los filtros de Wiener no aprenden.

Su diseño es fijo, basado en un primer conocimiento estadístico.

La respuesta impulsiva del filtro de Wiener se obtiene encontrando una expresión para el error

cuadrático medio y minimizándola con respecto a la respuesta impulsiva. Elevando al cuadrado

en ambas partes, se obtiene:

kkkkk gdgde 2222

Sabiendo que:

0lllkk hfg

se puede sustituir:

l m lklklklklkk dfhffhhde 222

Si tomamos valor medio en ambos lados, encontramos una expresión para el error cuadrático

medio (MSE, ):

l m lklklklklkk dfEhffEhhdEeE 222

l m lfdlffldd lhlhh )(2)()0(

siendo la autocorrelación y la correlación cruzada de dos señales y . Si derivamos

respecto a , que es la respuesta impulsiva del filtro, e igualamos a cero para minimizar el error:

lfdffl jljh )()(*


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Esta es la ecuación de Wiener-Hopf, que en forma de convolución queda:

)()(** kkh fdffl

Tomando transformada en ambas partes:

)()(

)()()()( **

zz

zHózzzHff

fdfdff

Con la solución de Wiener se puede encontrar la función de transferencia del filtro a partir

de la transformada de la función de autocorrelación de la señal de entrada, de la correlación

cruzada de la señal de entrada, y de la respuesta deseada. Si se sustituye esta ecuación en la

expresión del error se obtiene el valor del mínimo MSE:

)()0( *2 lheE fdl

lddmínk

FILTROS ADAPTATIVOS FILTROS LMS ADAPTATIVOS

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2.2. FILTROS LMS ADAPTATIVOS

La teoría de filtrado adaptativo es fundamental para el control inverso adaptativo. Los filtros

adaptativos se usan para modelado de plantas, modelado inverso de plantas, y para hacer

cancelaciones de ruido de la planta. Se va a tratar de presentar el filtro adaptativo como un

bloque, que tiene una señal de entrada, una de salida, y una señal de entrada especial llamada

‘el error’, que se usa en el proceso de aprendizaje. El propósito de este apartado es ofrecer una

introducción a la teoría de filtrado digital adaptativo.

El filtro adaptativo que aquí se va a considerar tiene la siguiente forma:

Filtro adaptativo

Sistema dinámico desconocidoque va a ser modelado

-1Z -1Z -1Z

-

+

coeficientes ajustables

Salida del filtroadaptativo yk

Error ek

Respuestadeseada dk

Señal de entrada f(t) Señal de salida d(t)

Figura 7: Modelando un sistema desconocido mediante un filtro discreto adaptativo

La Figura 7 ilustra el filtro adaptativo como sería usado en el modelado de una planta

desconocida. Este filtro es causal y tiene una respuesta impulsiva finita (FIR).


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Además de las señales ya comentadas, hay que utilizar una más: la señal deseada, para poder

generar la señal de error. La salida de la planta desconocida nos da el valor de la señal deseada.

El filtro adaptativo de la Figura 7 es un filtro digital. El sistema desconocido que va a ser

modelado es un filtro analógico. Las entradas al filtro adaptativo son, por tanto, versiones

muestreadas de las señales de entrada y salida del sistema desconocido. Los coeficientes del

filtro adaptativo se ajustan automáticamente mediante un algoritmo que minimiza el error

cuadrático medio. Cuando los coeficientes convergen y el error se hace pequeño, la respuesta

impulsiva del filtro adaptativo es muy parecida a la del sistema desconocido.

El análisis del filtro adaptativo puede ser desarrollado considerando primero el combinador lineal

adaptativo de la Figura 8, un subsistema de la Figura 7.

-

+

señaldeseada dk

Error ek = dk - yk

Señal desalida yk

Coeficientes W

Señal deentrada xk

x1k

x1k

x1k

x1k

w1

w4

w3

w2

Figura 8: Combinador adaptativo lineal

Se tienen las siguientes señales:

La señal de entrada, que es un conjunto de n señales. La k-ésima señal de entrada es:

Tnklkkkk xxxxX ,...,,...,, 21

El conjunto de coeficientes o pesos se designan con el vector:


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nlT wwwwW ,...,,...,, 21

La señal de salida k-ésima será:

n

lk

Tlklk XWxwy

1

Si se denota la señal deseada como , el error en el instante k-ésimo es:

kT

kkkk XWdyde

El error cuadrático medio es el valor esperado de :

RVWWPdEWXXEWWXdEdEeEMSE TTk

Tkk

TTkkkk 22 222

siendo la correlación cruzada entre la señal de entrada y la señal deseada , y la

autocorrelación de la señal de entrada . Se puede observar que el MSE es una función

cuadrática de los coeficientes, con lo que tendrá la forma de una parábola. El proceso adaptativo

estará continuamente ajustando los coeficientes, buscando la parte más baja de la parábola.

Para obtener los coeficientes óptimos, habrá que derivar el MSE e igualarlo a cero.

El algoritmo LMS utiliza el método del para la actualización de los coeficientes

del vector de pesos. Este algoritmo realiza los cambios de forma proporcional al gradiente, tal

como se puede ver en la siguiente ecuación:

kkk WW 1

siendo la estimación del gradiente:

kk N

y Nk el ruido del gradiente.

El gradiente se define como la derivada del cuadrado del error respecto a cada uno de los

coeficientes. Si se hace esa derivada, se obtiene como conclusión que el gradiente tiene el valor:


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kkk Xe2

Sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene la ecuación que rige al algoritmo LMS:

kkkk XeWW 21

FILTROS ADAPTATIVOS APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS

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2.3. APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS

Existen muchas aplicaciones prácticas para el modelo de filtros FIR adaptativos descritos en este

capítulo. Uno de los más interesantes es la cancelación de ruido adaptativa. La idea es sustraer el

ruido de una señal ruidosa. Cuando se hace empleando técnicas de filtrado adaptativo se puede

obtener una mejora sustancial de la tasa de señal a ruido.

La separación de una señal de un ruido aditivo, incluso cuando sus respectivos espectros de

potencia se solapan, es un problema común en proceso de señal. La Figura 9 (a) muestra un

esquema típico para solucionar este problema usando filtros de Wiener o Kalman. El propósito

del filtro óptimo es pasar la señal sin distorsión. En general esto no se puede hacer

perfectamente; incluso con el mejor de los filtros se distorsiona la señal, y parte del ruido pasa a

la señal de salida.

La Figura 9 (b) muestra otro desarrollo para este problema, usando cancelación de ruido

adaptativa. La señal primaria contiene la señal de interés, , y un ruido aditivo. Se asume que se

puede obtener un ruido de entrada de referencia, , que está correlado con el ruido original .

En la Figura 9 (b), el filtro adaptativo recibe la referencia de ruido, la filtra y sustrae el resultado

de la señal primaria. Desde el punto de vista del filtrado adaptativo, la señal primaria actúa como

señal deseada y la salida del sistema como error. La salida del sistema se obtiene sustrayendo el

ruido de referencia filtrado de la señal primaria.


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-+

salida delsistema

Filtroóptimo salidas + no

entrada

(a)

Filtroadaptativo

Fuentede ruido

Fuentede señal

error e

entrada dereferencia

entradaprimaria

s + n0

n1

cancelador de ruido adaptativo

(b)

Figura 9: Separación de señal y ruido: (a) clásica; (b) con filtro adaptativo

Para hacer la cancelación de ruido adaptativa se podría esperar que el filtro necesitara algún

conocimiento sobre la señal o sobre los ruidos , , antes de que pudiera adaptarse para

producir la señal . Pero no hace falta. Tan sólo hay que saber que está correlada con , y

que está incorrelada con ambas.

Asumiendo ésto, y que las señales son estadísticamente estacionarias y de media 0, se tiene:

ynse 0

Elevando al cuadrado se obtiene:

ynsynse 02

022 2

Tomando el valor esperado y haciendo uso de que la señal está incorrelada con y con , se

obtiene que el valor mínimo del error es:


21

mínmín ynEsEeE 20

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Cuando el filtro es ajustado de forma que es minimizado, es también

minimizado. En ese momento, es la mejor estimación del ruido primario . Además, cuando

es minimizada, es también minimizada, ya que

ynse 0

Ajustar o adaptar el filtro para minimizar la potencia total de salida es hacer que sea la mejor

estimación de la señal .

La cancelación de ruido adaptativa es una técnica muy potente en proceso de señal. La primera

aplicación que tuvo fue la cancelación de la interferencia de 60 Hz (o 50 Hz) en

electrocardiogramas. Las causas de la interferencia son las inducciones magnéticas y las

corrientes desplazadas de la potencia de línea y los lazos de tierra. El filtrado convencional se ha

usado para combatir dicha interferencia, pero la mejor solución parece ser la cancelación de

ruido adaptativa.

La Figura 10 muestra la aplicación de esta cancelación a los electrocardiogramas. La señal

primaria se toma de un preamplificador de electro (ECG); la entrada de referencia de los 60 Hz

se toma de una salida de la pared. El filtro adaptativo contiene dos coeficientes variables, uno

aplicado a la entrada de referencia directamente y el otro a una versión de ésta desfasada 90º.

La salida del filtro se sustrae de la entrada primaria. Un resultado típico del experimento se

muestra en la Figura 11. La Figura 11 (a) muestra la señal primaria, un electro con una cantidad

excesiva de interferencia de 60 Hz, y la Figura 11 (b) muestra la señal de referencia de la salida

de la pared. La Figura 11 (c) es la salida del cancelador de ruido. Se llama la atención del lector

sobre la ausencia de interferencia y la claridad de los detalles una vez que el proceso adaptativo

converge.


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Figura 10: Cancelación de la interferencia de 60 Hz en electrocardiogramas

Figura 11: Resultados de la cancelación de ruido en el experimento: (a) entrada primaria, (b) entrada de

referencia, (c) salida de la cancelación de ruido

Otra aplicación útil de la cancelación de ruido adaptativa es la eliminación de interferencia del

corazón de una madre cuando se quiere hacer un electrocardiograma a un feto. La Figura 12

muestra la localización de los corazones del feto y de la madre, y el lugar de los cables de


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entrada. El cable abdominal nos da la señal de entrada (conteniendo el electro del feto con la

interferencia de la madre), y el cable del pecho nos da el electro de la madre puro.

Figura 12: Cancelación del latido de la madre en el electrocardiograma del feto

La configuración del cancelador de ruido adaptativo está basada en el esquema mostrado en la

Figura 8, en el cual la señal deseada será la tomada por el electrodo del abdomen, y la señal de

entrada la tomada por el electrodo del pecho. Esta configuración constituye un cancelador de

ruido de referencia múltiple, que trabaja como un cancelador de un sólo canal. La Figura 13

muestra los resultados. El electro maternal del cable del pecho es filtrado adaptativamente y

sustraído de la señal abdominal, dejando el electro del feto totalmente puro. Esto es un

problema interesante ya que los electros del feto y de la madre tienen espectros superpuestos.

Los dos corazones son eléctricamente aislados y trabajados independientemente. La frecuencia

del segundo armónico del electro materno está cerca del armónico fundamental del ECG del

feto, por lo que las técnicas de filtrado ordinarias tendrían mucha dificultad con este problema.

Figura 13: Resultados del electrocardiograma del feto: (a) entrada de referencia (cable del pecho), (b)

entrada primaria (cable del abdomen), (c) salida del cancelador de ruido.

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Capítulo 2: FILTROS ADAPTATIVOS