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SlideSlide 2Copyright © 2007 Pearson Education, Inc Publishing as Pearson Addison-Wesley.
Capítulo 4Probabilidade
4-1 Visão Geral
4-2 Fundamentos
4-3 Regra da Adição
4-4 Regra da Multiplicação: Pontos Básicos
4-5 Regra da Multiplicação: Complements e Probabilidade Condicional
4-6 Probabilidades Através de Simulações
4-7 Contagens
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Seção 4-1Visão Geral
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Visão Geral
Regra do Evento Raro para Inferência Estatísticas:
Se, sob uma dada hipótese, a probabilidade de umparticular evento observado é extremamentepequena, nós concluímos que a hipóteseprovavelmente não é correta.Estatísticos a chamam de regra do evento raro para inferência estatísticas .
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Seção 4-2 Fundamentos
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Ponto Chave
Esta seção introduz os conceitosbásicos de Probabilidade de umevento. Três diferentes métodos paraencontrar probabilidades serãoapresentados.O objetivo principal desta seção éaprender como interpretar valoresprobabilísticos.
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Definições
� Evento
qualquer conjunto de resultados ou saídas de umprocedimento.
� Evento Simples
uma saída ou evento que não pode serdecomposto em um componente mais simples.
� Espaço Amostral
para um dado procedimento, consiste de todosos possíveis eventos simples ; ou seja, o espaçoamostral consiste de todos os possíveis resultados quenão podem ser decompostos.
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Notação para Probabilidades
P – denota uma probabilidade.
A, B , e C - denota eventos específicos.
P (A) - denota a probabilidade de ocorrer o evento A.
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Regras Básicas para o Cálculo de Probabilidades
Regra 1: Aproximação pela Freqüência RelativaConduza (ou observe) um procedimento um número fixo de repetições, e conte o número de vezes que o evento A ocorre. Baseado nestes resultados, P(A) é estimado como se segue:
P(A) = número de vezes que A ocorre
número total de repetições
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Regras Básicas para o Cálculo de Probabilidades – cont.
Regra 2: Abordagem Clássica da Probabilidade (Requer Eventos Equiprováveis)
Assume que um dado procedimento tem neventos simples distintos e que cada um desteseventos tem a mesma chance de ocorrência . Seo evento A pode ocorrer em s destas n maneiras,então
P(A) =número de eventos simples
pertencentes a Anúmero total de eventos
simples
sn =
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Regras Básicas para o Cálculo de Probabilidades – cont.
Regra 3: Probabilidades Subjetivas
P(A), a probabilidade de ocorrência doevento A, é estimada utilizeo-se oconhecimento de circunstâncias relevantes.
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Lei dos Grandes Números
Se um experimento é repetido váriasvezes, a freqüência relativa (da Regra 1)de um evento tende para a probabilidadede ocorrência deste evento.
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Limites Probabilísticos
� A probabilidade de um evento que é certo é 1.
� A probabilidade de um evento impossível é 0.
� Para qualquer evento A, a probabilidade deA é um número entre 0 e 1, inclusive.Ou seja, 0 ≤≤≤≤ P(A) ≤≤≤≤ 1.
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Possíveis Valores de
Probabilidade
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Definição
O complemento do evento A, denotadoA, consiste de todos os resultados doespaço amostral que não pertencem à A.
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Arredondamento de Probabilidades
Queo expressar probabilidades, ou informe afração ou número decimal exatos ou arredonde oresultado decimal para três dígitos significativos.(Sugestão : quando a probabilidade não é umafração simples como 2/3 ou 5/9, expresse-a comodecimal, para que a quantidade seja melhorcompreendida.)
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DefiniçõesA razão de chances do evento A ocorrer é a razãoP(A)/P(A), usualmente expressa na forma a:b (ou “ apara b”), onde a e b são inteiros sem fatores emcomum.
The actual odds in favor of evento A occurring are the reciprocal of the actual odds against the evento. If the odds against A are a:b , then the odds in favor of A are b:a .
The payoff odds against evento A represent the ratio of the net profit (if you win) to the amount bet.
payoff odds against eventoA = (net profit) : (amount bet)
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Recapitulando
Nesta seção nós apresentamos:
� Regra do evento raro para inferência estatística.
� Regras para calcular probabilidades.
� Lei dos Grandes Números.
� Eventos complementares.
� Arredondando probabilidades.
� Razão de chance.
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Seção 4-3 Regra da Adição
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Ponto Chave
O objetivo principal desta seção éapresentar a Regra da Adição como umaferramenta para encontrar probabilidadesque podem ser expressas por P(A ou B), queé a probabilidade de ocorrer tanto o eventoA quanto o evento B (ou ambos ocorrerem)em função de eventos simples de umexperimento aleatório.
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Eventos Compostos
qualquer evento combinando 2 ou mais eventos simples.
Definição
Notação
P(A ou B) = P (em uma única realização doexperimento, ocorrer o evento A ou o evento Bou ambos)
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Quando calculamos a probabilidade deque ocorre o evento A ou o evento B,temos que calcular o número total demaneiras que A pode ocorrer e onúmero total de maneiras que B podeocorrer, mas calcular estes totais de talmaneira que um resultado não sejacontabilizado mais de uma vez.
Regra Geral para Eventos Compostos
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Eventos Compostos
Regra da Adição Intuitiva
Para calcular P(A ou B), some o número de maneirasque o evento A pode ocorrer com o número de maneirasque o evento B pode ocorrer, de tal maneira que cadaresultado possível seja contabilizado apenas uma vez .P(A ou B) é igual a esta soma dividida pelo número totalde elementos do espaço amostral.
Regra da Adição FormalP(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
onde P(A e B) denota a probabilidade de A e B ocorreremao mesmo tempo em uma realização do experimento.
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DefiniçãoEventos A e B are disjuntos (ou mutuamenteexclusive ) se eles não podem ocorrer aomesmo tempo. (Ou seja, eventos disjuntosnão têm interseção.)
Diagrama de Venn para eventos que não são disjuntos
Diagrama de Venn para eventos disjuntos
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Eventos Complementares
P(A) e P(A)são disjuntos
É impossível para qualquer evento que ele e seu complementar ocorram ao
mesmo tempo.
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Regra dos Eventos Complementares
P(A) + P(A) = 1
= 1 – P(A)
P(A) = 1 – P(A)
P(A)
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Diagrama de Venn para o Complementar do Evento A
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Recapitulando
Nesta seção nós estudamos:
� Eventos compostos.
� Regra da adição formal.
� Regra da adição intuitiva.
� Eventos disjuntos.
� Eventos complementares.
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Seção 4-4 Regra da Multiplicação:
Pontos Básicos
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Ponto Chave
Se temos dois eventos, e o resultado doprimeiro evento A afeta de algumamaneira a probabilidade do segundoevento B, é importante ajustar aprobabilidade de B para refletir aocorrência do evento A.
A regra para calcular P(A e B) é chamadade Regra da Multiplicação.
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Notação
P(A e B) =P(evento A ocorre em uma primeira
realização e o evento B ocorre nasegunda realização do experimento)
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Diagramas de ÁrvoreO diagrama de árvore é uma figura representando oespaço amostral de um experimento, apresentadocomo segmentos de linha partindo de um pontocomum. Estes diagramas são úteis quando onúmero de possibilidades é pequeno.
Esta figura resume os resultados possíveis para uma resposta Verdadeiro/Falso seguido de uma questão de múltipla escolha.
Note que há 10 combinações possíveis.
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Ponto ChaveProbabilidade Condicional
É a probabilidade calculada para osegundo evento B levando emconsideração o fato de que oprimeiro evento A ocorreu.
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Notação para Probabilidade Condicional
P(B|A) representa a probabilidade deocorrer o evento B assumindo que oevento A já tenha ocorrido. (lemos B|Acomo “ B dado A.”)
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Definições
Eventos Independentes
Dois eventos A e B são independentes se aocorrência de um não afeta a probabilidade deocorrer o outro. (Vários eventos sãoconjuntamente independentes se a ocorrênciade qualquer um dos eventos não afeta aocorrência dos outros.) Se A e B não sãoindependentes, eles são ditos dependentes .
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Regra da Multiplicação Formal
� P(A e B) = P(A) • P(B|A )
� Note que se A e B são eventosindependentes, P(B|A) é igual a P(B).
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Regra da Multiplicação Intuitiva
Quando calculamos a probabilidade do eventoA ocorrer em uma realização e do evento Bocorrer na realização seguinte, multiplique aprobabilidade do evento A pela probabilidadedo evento B, mas tenha certeza de que aprobabilidade do evento B leva emconsideração a ocorrência prévia do evento A.
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Aplicando a Regra da Multiplicação
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Amostras Pequenas de Grandes Populações
Se o tamanho da amostra é menor que5% do tamanho da população,considere a seleção como sendoindependente (mesmo que seleçãoseja feita sem reposição, scnicamentedependentes).
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Sumário dos Fundamentos
� Na Regra da Adição, a palavra “ou” em P(A ou B)sugere adição. Some P(A) e P(B), tendo o cuidado degarantir que cada resultado é somado apenas uma vez.
� Na Regra da Multiplicação, a palavra “e” em P(A e B)sugere produto. Multiplique P(A) e P(B), mas tenhacerteza de que a probabilidade do evento B leva emconsideração a ocorrência prévia do evento A.
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Recapitulando
Nesta seção nós vimos:
� Notação para P(A e B).
� Notação para probabilidade condicional.
� Eventos independentes.
� Regra da multiplicação formal e intuitiva.
� Diagrama de árvore.
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Seção 4-5 Regra da Multiplicação:
Complementos e Probabilidade Condicional
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Ponto Chave
Nesta seção nós veremos aprobabilidade de termos pelo menos umaocorrência de um evento específico; e oconceito de Probabilidade Condicionalque é a probabilidade de um evento dadaa informação adicional de que algumoutro evento já ocorreu.
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Complementos: a Probabilidade de “Pelo Menos Um”
� O complementar de termos pelo menosum item de um determinado tipo étermos nenhum item deste tipo.
� “Pelo menos um” é equivalente a “umou mais.”
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Princípio Chave
Para calcular a probabilidade daocorrência de pelo menos um de algumitem, calculamos a probabilidade denenhum , então subtraímos o resultadode 1. Ou seja,
P(pelo menos um) = 1 – P(nenhum).
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DefiniçãoA Probabilidade Condicional de um evento é aprobabilidade obtida com a informaçãoadicional de que algum outro evento ocorreu.P(B|A ) denota a probabilidade condicional doevento B ocorrer, dado que o evento A jáocorreu, e pode ser obtida dividindo aprobabilidade dos eventos A e B ocorreremconjuntamente pela probabilidade deocorrência do evento A:
P(B A ) = P(A e B)
P(A)
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Abordagem Intuitiva para a Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional de B dado A podeser calculada assumindo que o evento Aocorreu, e trabalhando sobre esta hipótese,calcular a probabilidade de que o evento Bocorrerá.
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Recapitulando
Nesta seção estudamos:
� Conceito de “pelo menos um.”
� Probabilidade condicional.
� Abordagem intuitiva para probabilidade condicional.
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Seção 4-6Probabilidades Através de
Simulações
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Ponto Chave
Nesta seção introduziremos umaabordagem diferente para calcularprobabilidades que podem sermuito trabalhosas de seremobtidas através dos métodosformais discutidos nas seçõesanteriores.
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Definição
Uma simulação de um experimentoé um processo que comporta-se demaneira similar ao experimento,então resultados semelhantespodem ser produzidos.
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Exemplo de Simulação
Seleção de Gênero: Quando testamos técnicasde seleção de gênero, médicos pesquisadoresprecisam conhecer probabilidades dediferentes resultados, tal como a probabilidadede termos pelo menos 60 meninas em 100crianças. Assumindo que o nascimento demeninos e meninas são equiprováveis,descreva uma simulação que resulta no gênerode 100 recém-nascidos.
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Exemplo de SimulaçãoSolução 1:� Lançar uma moeda honesta 100 vezes onde cara (K) = m enina (F) e e
coroa (C) = menino (M)
K K C K C C K K K K
�Gerar 0’s e 1’s com um computador ou calculadora on de 0 = M1 = F
0 0 1 0 1 1 1 0 0 0
M M F M F F F M M M
F F M F M M M F F F
Solução 2:
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Números Aleatórios
Em muitos experimentos, números aleatórios sãousados em simulação de eventos que ocorremnaturalmente. Temos abaixo algumas maneiras deobtermos números aleatórios.
� Uma tabela de dígitos aleatórios
� Minitab
� Excel
� Calculadora TI-83 Plus
� STATDISK
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Números aleatórios - contMinitabSTATDISK
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Números aleatórios - contExcel Calculadora TI-83 Plus
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Recapitulando
Nesta seção estudamos:
� A definição de simulação.
� Formas de gerar números aleatórios.
� Como criar uma simulação.
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Seção 4-7Contagens
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Ponto Chave
Em muitos problemas probabilísticos, ogrande obstáculo é contar o total deresultados de um experimento, e esta seçãoapresenta vários métodos para calcular estascontagens.
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Regra Fundamental da Contagem
Se temos uma seqüência de dois eventosno qual o primeiro evento ocorre de mmaneiras e o segundo evento ocorre de nmaneiras, os dois eventos conjuntamenteocorrem de m n maneiras.
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Notação
O símbolo fatorial ! Denota o produto dos números positivos em ordem decrescente.
Por exemplo,
4! 4 3 2 1 24.= • • • == • • • == • • • == • • • =
Por definição, 0! = 1.
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Uma coleção de n itens diferentespodem ser arrumados de n! maneirasdiferentes. (Esta regra do fatorial refleteo fato de que o primeiro item pode serselecionado de n maneiras diferentes, osegundo de n – 1 maneiras, e assim pordiante.)
Regra do Fatorial
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Regra das Permutações(quando os itens são todos diferentes)
(n - r)!n rP = n!
Se os requisitos anteriores são satisfeitos, o número depermutações (ou seqüência) de r itens selecionados de n itensdisponíveis (sem reposição) é
Requisitos:
1. Há n diferentes itens disponíveis. (Esta regra não se aplicase algum dos itens é idêntico a outros.)
2. Selecionamos r de n itens (sem reposição).
3. Consideramos rearranjos dos mesmos itens como sendoseqüência diferentes. (A permutação de ABC é diferente deCBA e é contada em separado.)
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Regra da Permutação(quando alguns itens são idênticos a
outros )
n1! . n2! .. . . . . . . nk!n!
Se os requisitos anteriores são satisfeitos, e se h á n1,n2, . . . , nkitens distintos, o número de permutações (ou seqüências) de todos os itens selecionados sem reposição é
Requisitos:
1. Há n itens disponíveis, e alguns são idênticos a outros.
2. Nós selecionamos n itens (sem reposição).
3. Nós consideramos rearranjos de itens distintos comosendo seqüência diferentes.
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(n - r )! r!n!
nCr =
Regra da Combinação
Se os requerimentos anteriores são satisfeitos, o número decombinações de r itens selecionados de n diferentes itens é
Requisitos:
1. Há n diferentes itens disponíveis.
2. Nós selecionamos r dos n itens (sem reposição).
3. Nós consideramos rearranjos dos mesmos itens como sendo iguais. (A combinação de ABC é igual a CBA.)
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Quando ordenações diferentes dos mesmositens são contabilizadas separadamente,nós temos um problema de permutação,mas quando ordenamentos diferentes nãosão contabilizadas separadamente, temosum problema de combinação.
Permutações versus Combinações
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Recapitulando
Nesta seção nós apresentamos:
� A regra fundamental das contagens.
� A regra da permutação (quando os itens são diferentes).
� A regra da permutação (quando alguns itens são idênticos a outros).
� A regra da combinação.
� A regra fatorial.