Capítulo 5 - WordPress Institucionalwp.ufpel.edu.br/alinepaliga/files/2014/08/Flambagem.pdf · Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias

Resistncia dos Materiais IIUniversidade Federal de Pelotas

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Captulo 5Flambagem


Centro de EngenhariasResistncia dos Materiais II



5.1 Experincias para entender a flambagem

1) Pegue uma rgua escolar de plstico e pressione-aentre dois pontos bem prximos, um a cincocentmetros do outro. Voc est simulando umaestrutura em compresso simples. Agora,pressione dois pontos distantes 15cm um do outro.Algo comea a aparecer nessa nova posio, visivelmente mais fcil criar condies para abarra comear a encurvar. A barra est comeandoa sofrer o fenmeno da flambagem. Faa agoracom pontos distantes a 30cm. Force a rgua at aruptura. A rgua se quebra, pois o plstico ummaterial frgil.





2) Pise em cima de uma lata vazia de refrigerante. Voc notar que a lata,sem se quebrar, amassa. No quebrou porque, ao contrrio do plsticoque frgil, o alumnio dctil e se deforma bastante antes de perdersua unidade.

Peas comprimidas de grande altura podem flambar, fato que reduzido sensivelmente se a altura for pequena.

Quanto maior for a espessura da pea comprimida, menor a tendnciaa flambar.

Quanto mais flexvel for o material(menor E), mais fcil a ocorrncia daflambagem.

Deve-se a Leonhard Euler (1744) a primeira formulao de umaquantificao do limite que se pode colocar uma pea comprimida,para que ela no flambe.

Concluses





5.2 Carga crtica frmula de Euler para coluna ideal com apoios de pinos

Elementos estruturais compridos e esbeltos, sujeitos auma fora de compresso axial so denominadoscolunas.Uma coluna ideal uma coluna perfeitamente retaantes da carga. A carga aplicada no centroide daseo transversal.A deflexo lateral que ocorre denominadaflambagem.A carga axial mxima que uma coluna pode suportarquando est na iminncia de sofrer flambagem denominada carga crtica, Pcr.





Essa equao diferencial linear homognea de segunda

ordem com coeficientes constantes de soluo geral :

Condies de contorno: y=0 em x=0, C2=0 e y=0 em x=L:

2

2

d yEI M Pydx

1 2 cos

P Py C sen x C x

EI EI

2

20

d y Py

dx EI

10

PC sen L

EI





O menor valor de P obtido com n=1, de modo que a carga crtica :

1

1

0

0 0

0

PC sen L

EI

C y

Psen L

EI

PL n

EI

2 2

2 1,2,3....

n EIP n

L

2

2cr

EIP

L





Pcr carga crtica ou carga axial

cr tenso crtica

E mdulo de elasticidade para o material

I menor momento de inrcia para a rea da seo

transversal

L comprimento da coluna sem apoio

i menor raio de girao da coluna

=L/i ndice de esbeltez medida da flexibilidade

da coluna

2

2

2

2

/

cr

cr

EIP

L

E

L i

Ii

A

2 2

2

2

2

( )

/

cr

cr

E AiP

L

P E

A L i





Grfico Tenso crtica x

2

2

cr

P E

A





A coluna sofrer flambagem em torno do eixo

principal da seo transversal que tenha o menor

momento de inrcia (o eixo menos resistente).

Na coluna da figura ao lado, sofrer flambagem em

torno do eixo a-a e no do eixo b-b.





1)Um tubo de ao A-36 com 7,2m de

comprimento e a seo transversal

mostrada ao lado deve ser usado como

uma coluna presa por pinos na

extremidade. Determine a carga axial

admissvel mxima que a coluna pode

sofrer flambagem. Resposta:

Exerccio de fixao

200

250e

E GPa

MPa

Pcrit=228,2kN





2)Uma coluna de ao A-36 tem 4m de

comprimento e est presa por pinos

em ambas as extremidades. Se a rea

da seo transversal tiver as dimenses

mostradas na figura, determine a carga

crtica. Resposta:

Exerccio de fixao

200

250e

E GPa

MPa

Pcrit=22,7kN





O elemento estrutural A-36 W200 X 46

de ao mostrado na figura ao lado deve

ser usado como uma coluna acoplada

por pinos. Determine a maior carga

axial que ele pode suportar antes de

comear a sofrer flambagem ou antes

que o ao escoe.

Exemplo 1-

2 6 4 6 45890 mm , 45,5 10 mm , 15,3 10 mm

250 , 200

x y

e

A I I

MPa E GPa





Ocorrer flambagem em torno do eixo yy (menor):

Quando totalmente carregada, a tenso de compresso mdia na coluna :

Visto que a tenso ultrapassa a tenso de escoamento,

Resposta:

2 3 2 6 42 32 2

(200 10 / ) 15,3 10 mm1887,6 10 1887,6

(4000 )crN mmEI

P N kNL mm

3

2 2

1887,6 10320,5 320,5

5890 mm mmcr

cr

P N NMPa

A

3

2 2250 1472,5 10 1472,5

mm 5890

N PP N kN

mm

1472,5P kN





A frmula de Euler foi deduzida para uma coluna com extremidades

acopladas por pinos ou livres para girar. Todavia, muitas vezes as colunas

podem ser apoiadas de outro modo.

Le denominado comprimento efetivo da coluna.

Um coeficiente dimensional K, fator de comprimento efetivo, usado para

calcular Le.

KLLe

5.3- Colunas com vrios tipos de apoios





Portanto, temos,

2 2

2 2

/cr cr

e e

EI EP

L L i

=Le/i ndice de esbeltez efetivo





3)Determinar a carga crtica se a coluna for engastada na base e presa

por pinos no topo.

Resposta:

Exerccio de fixao

Pcrit=46,4kN





4) O elemento estrutural W200x100 feito de

ao A36 e usado como uma coluna de 7,5m

de comprimento. Podemos considerar que a

base dessa coluna est engastada e que o topo

est preso por um pino. Determine a maior

fora axial P que pode ser aplicada sem

provocar flambagem. Considere:

Exerccio de fixao-

E = 200GPaIx = 113(10

6)mm4

Iy = 36,6(106)mm4

e=250MPaA=12700mm2 Resposta: Pcrit=2621,2kN





5.4 A frmula da secante





Essa equao tem soluo geral :

Condies de contorno: y=0 em x=0, C2=e e y=0 em x=L:

2

2( )

d yEI M P e ydx

1 2 cos

P Py C sen x C x e

EI EI

2

2

d y P Py e

dx EI EI

1

[1 cos ]P

e LEI

CP

sen LEI





Usando identidades trigonomtricas:

Deflexo mxima: (x=L/2)

1 2

P LC e tg

EI

cos 12

P L P Py e tg sen x x

EI EI EI

sec 12mx

P Ly e

EI





mx

P Mc

A I

21 sec

2e

mx

LP ec P

A i i EA

sec 12

sec 12

mx

mx

M Py

P Ly e

EI

P LM Pe

EI

sec 12

mx

P P L cPe

A EI I

mx tenso elstica mxima na coluna

P carga vertical aplicada a coluna

e excentricidade da carga P

c distncia do eixo neutro at a fibra

externa da coluna onde ocorre a tenso de

compresso mxima

A rea da seo transversal da coluna

Le comprimento no apoiado da coluna no

plano de flexo.

E mdulo de elasticidade para o material

i raio de girao





Grficos Ao A-36





5) A coluna W8x48 de ao estrutural A-36 est

engastada na base e presa por pino no topo. Se

for submetida carga excntrica de 75kip,

determine se ela falha por escoamento. A

coluna est escorada de modo a no sofrer

flambagem em torno de y-y. Considere:

Exerccio de fixao-

E = 29(103)ksie = 36ksiResposta: no falha





6) Um elemento estrutural W10x15 de ao A-36 usado como uma

coluna engastada. Determine a carga excntrica mxima P que pode

ser aplicada de modo que a coluna no sofra flambagem ou

escoamento. Considere:

Exerccio de fixao-

E = 29(103)ksie = 36ksid=9,99in

P=36,8kN

A = 4,41in2

Ix = 68,9in4

Iy = 2,89in4

ix=3,95inResposta:





7) A coluna de alumnio tem a seo transversal mostrada abaixo. Se

estiver engastada na base e livre no topo, determine a fora mxima

que pode ser aplicada em A sem provocar flambagem ou escoamento.

Considere:

Exerccio de fixao-

E = 70 GPae = 95MPaResposta: P=23,6kN

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