Características del razonamiento configural en … las teorías de Fischbein y Duval que proponen respectivamente el modelo del concepto figural y el modelo cognitivo del razonamiento

CARACTERÍSTICAS DEL RAZONAMIENTO CONFIGURAL EN ESTUDIANTES PARA MAESTRO EN LA RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS DE PROBAR DE GEOMETRÍA

Francisco Clemente Císcar

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DEPARTAMENTO DE INNOVACIÓN Y FORMACIÓN DIDÁCTICA

CARACTERÍSTICAS DEL RAZONAMIENTO CONFIGURAL EN

ESTUDIANTES PARA MAESTRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE

PROBAR DE GEOMETRÍA

TESIS DOCTORAL

FRANCISCO CLEMENTE CÍSCAR

Alicante, diciembre de 2015

CARACTERÍSTICAS DEL RAZONAMIENTO CONFIGURAL EN

ESTUDIANTES PARA MAESTRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE

PROBAR DE GEOMETRÍA

Memoria que presenta D. Francisco Clemente Císcar para optar al grado de doctor

Fdo.: D. Francisco Clemente Císcar

Trabajo realizado bajo la dirección del Dr. Salvador Llinares Ciscar

Fdo.: Dr. Salvador Llinares Ciscar

Alicante, diciembre de 2015

AGRADECIMIENTOS

Quiero mostrar mi gratitud al Dr. Salvador Llinares Ciscar, director de esta tesis,

por su rigor científico, por su apoyo permanente y, especialmente, por su exquisita

cortesía.

Gracias también al Dr. Germán Torregrosa Gironés y a la Dra. Julia Valls

González, por sus comentarios durante la elaboración de este trabajo que han

contribuido a la mejora de esta investigación. Asimismo, a todos los miembros del área

de Didáctica de las Matemáticas del Departamento de Innovación y Formación

Didáctica de la Universidad de Alicante, por sus aportaciones y amabilidad.

A Rebeca, Jaume i Guillem

Índice Francisco Clemente Císcar

i

ÍNDICE

INTRODUCIÓN ............................................................................................................... 1

CAPÍTULO 1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ...................................................... 5

1.1. La visualización y el aprendizaje de las matemáticas y la geometría ........................ 6

1.2. Las figuras prototípicas ............................................................................................ 13

1.3. Lectura y construcción de pruebas ........................................................................... 18

1.4. Los mediadores semióticos y la prueba .................................................................... 23

1.4.1. El lenguaje natural .......................................................................................... 24

1.4.2. Las interacciones de los estudiantes con las configuraciones ........................ 27

1.4.3. Las expresiones gestuales y verbales como signos ........................................ 30

1.4.4. El espacio para el trabajo geométrico (SGW) ............................................... 31

1.4.5. La enseñanza de la prueba: los ejemplos heurísticos ..................................... 34

1.5. Relación entre el conocimiento y los procesos de probar ........................................ 37

1.6. Los profesores y la prueba ........................................................................................ 44

1.6.1. El conocimiento sobre la prueba .................................................................... 46


ii

1.6.2. La práctica de la prueba .................................................................................. 48

1.7. Las creencias acerca de la prueba ............................................................................. 51

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO .............................................................................. 57

2.1. El concepto figural de Fischbein ............................................................................. 59

2.2. El modelo cognitivo de Duval .................................................................................. 62

2.2.1. Procesos cognitivos ........................................................................................ 62

2.2.2. Aprehensiones ................................................................................................ 64

2.3. Los procesos de visualización y razonamiento ........................................................ 67

2.4. El razonamiento configural ...................................................................................... 69

2.4.1. Truncamiento y bucle ..................................................................................... 71

2.5. Preguntas de investigación ....................................................................................... 74

CAPÍTULO 3. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN .................................................... 75

3.1. Estudio 1 .................................................................................................................. 76

3.1.1. Participantes y contexto ................................................................................. 76

3.1.2. Instrumentos de recogida de datos ................................................................. 77

3.1.3. Análisis ........................................................................................................... 80

3.1.3.1. Fase I: identificación de elementos relevantes en la resolución ........ 80

3.1.3.2. Fase II: identificación de la organización establecida entre los

hechos geométricos en la resolución de la prueba .............................. 85

3.2. Estudio 2 .................................................................................................................. 93

3.2.1. Participantes y contexto ................................................................................. 94

3.2.2. Instrumentos de recogida de datos ................................................................. 94

3.2.3. Análisis ........................................................................................................... 98

3.2.3.1. Realización de las Fases I y II: identificación de elementos

relevantes y su organización en la resolución de la prueba ............... 98


iii

3.2.3.2. Fase III: asociación de un vector a la respuesta del alumno con

el fin de identificar diferentes trayectorias de resolución ................ 100

CAPÍTULO 4. RESULTADOS ................................................................................... 113

4.1. Resultados del Estudio 1 ........................................................................................ 114

4.1.1. Reconocimiento de una subconfiguración relevante .................................... 115

4.1.2. Dos momentos significativos en la resolución de problemas de probar ...... 118

4.1.3. Características del proceso de comunicación del razonamiento configural

y la prueba ..................................................................................................... 121

4.2. Resultados del Estudio 2 ........................................................................................ 125

4.2.1. Influencia de las figuras prototípicas en el inicio del razonamiento

configural ...................................................................................................... 126

4.2.2. Conocimientos geométricos activados en función de la subconfiguración

identificada .................................................................................................... 134

4.2.3. Trayectoria de resolución vinculada a la subconfiguración identificada ..... 132

4.2.4. Del razonamiento configural a la construcción de una prueba ..................... 136

CAPÍTULO 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES ...................................................... 145

5.1. Características de la configuración inicial del problema y el conocimiento

geométrico previo ................................................................................................... 145

5.2. La forma del discurso escrito y el razonamiento configural ................................. 149

5.3. El truncamiento del razonamiento configural como cambio de estatus lógico

de un hecho geométrico ......................................................................................... 153

5.4. Implicaciones para futuras investigaciones ............................................................ 158

REFERENCIAS ............................................................................................................ 161

INTRODUCCIÓN

Introducción Francisco Clemente Císcar

1

INTRODUCCIÓN

El conocimiento de geometría que debe tener un maestro es un tema que

preocupa a los educadores matemáticos desde hace algún tiempo al ser una variable que

determina la manera en la que pueden apoyar el desarrollo del pensamiento geométrico

de los estudiantes.

Nuestra investigación se centra en el análisis de las relaciones entre los procesos

de visualización y el conocimiento de geometría en la resolución de problemas de

probar, que han puesto de manifiesto las dificultades que tienen algunos resolutores en

aplicar el conocimiento de geometría previamente aprendido.

Un aspecto del conocimiento de geometría del maestro está relacionado con el

desarrollo de la visualización y los procesos de exploración vinculados a esta, que

pueden favorecer que los estudiantes establezcan relaciones entre las definiciones y las

propiedades geométricas. En este ámbito, la idea de razonamiento configural ayuda a

comprender cómo los estudiantes para maestro resuelven los problemas de probar

centrando la atención en la relación entre los procesos de visualización y el


2

conocimiento de geometría, como una característica de su aprendizaje de los contenidos

geométricos.

Esta investigación tiene como objetivo el estudio de las características del

razonamiento configural en estudiantes para maestro cuando resuelven problemas de

probar de geometría.

La tesis doctoral que presentamos consta de cinco capítulos.

En el primer capítulo mostramos el contexto donde situamos la investigación,

realizando una revisión de las aportaciones previas en las que nos hemos basado y que

dan sentido a este estudio. Efectuamos un recorrido sobre las contribuciones referentes

al aprendizaje de las matemáticas y de la geometría, identificando sus relaciones con los

procesos de visualización y de prueba, así como entre el conocimiento geométrico y los

procesos de probar.

En el segundo capítulo presentamos el marco teórico utilizado en el desarrollo

de esta investigación. Analizamos las teorías de Fischbein y Duval que proponen

respectivamente el modelo del concepto figural y el modelo cognitivo del razonamiento

geométrico. A partir de estos modelos se usa el razonamiento configural introducido por

Torregrosa y Quesada, que nos han permitido plantear las preguntas de nuestra

investigación.

En el tercer capítulo se describe el diseño de la investigación realizado a partir

de dos estudios. En el primero hemos analizado las características del razonamiento

configural cuando se resuelven problemas geométricos de prueba y el rol de la

visualización en su desarrollo. A partir de los resultados obtenidos se genera la

necesidad elaborar un segundo estudio centrado en identificar trayectorias de resolución

que permiten caracterizar el truncamiento del razonamiento configural. En este apartado


3

indicamos los participantes y el contexto, los instrumentos de recogida de datos y el

proceso de análisis.

En el cuarto capítulo se presentan los resultados obtenidos y su interpretación

desde el marco teórico de los dos estudios. En el primer estudio se ha identificado la

importancia del reconocimiento de una subconfiguración relevante, la existencia de dos

momentos significativos en la resolución de problemas de probar, y los estilos

cognitivos y de comunicación en el razonamiento configural. En el segundo,

describimos la influencia de las figuras prototípicas en el inicio del razonamiento

configural, el papel del reconocimiento de una subconfiguración en la generación de

determinadas trayectorias de resolución, y la clasificación de las trayectorias de

resolución seguidas por los estudiantes como características del truncamiento del

razonamiento configural.

En el quinto y último capítulo, se exponen las conclusiones y la discusión sobre

los resultados obtenidos. Se subrayan las características de la configuración inicial del

problema y el conocimiento geométrico previo, el modo en que los estudiantes

relacionan lógicamente la información generada en las aprehensiones discursivas, y el

truncamiento del razonamiento configural interpretado como el cambio de estatus lógico

de un hecho geométrico. Finalizamos considerando las limitaciones de este trabajo así

como las implicaciones para futuras investigaciones.

CAPÍTULO 1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar

5

CAPÍTULO 1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

El conocimiento matemático que debe poseer un maestro ha sido una

preocupación de los educadores matemáticos durante las dos últimas décadas (Ball,

Thames y Phelps, 2008; Cooney y Wiegel, 2003; Davis y Simmt, 2006; Ma, 1999). Sin

embargo, existen menos investigaciones sobre el conocimiento geométrico de los

maestros de primaria (Chinnappan y Lawson, 2005; Gutiérrez y Jaime, 1999) y sus

concepciones sobre la enseñanza de la geometría (Barrantes y Blanco, 2006; Lin, Yang,

Lo, Tsamir, Tirosh y Stylianides, 2012; Nason, Chalmers y Yeh, 2012).

El presente trabajo trata de la relación entre la visualización y el aprendizaje de

la geometría. El estudio se centra en proporcionar información sobre el conocimiento

geométrico de los estudiantes para maestros de primaria en el contexto de los procesos

de probar.

Este primer capítulo está organizado en seis secciones. En la primera,

describimos el proceso de visualización y su relación con el aprendizaje de las

matemáticas y la geometría. En la segunda, referimos el papel que desempeñan las

figuras prototípicas en el aprendizaje de la geometría. En la tercera, mostramos la


6

relación entre la visualización y la prueba. En la cuarta, exponemos el rol de los

mediadores semióticos en el desarrollo de la prueba. En la quinta, reseñamos la relación

entre el conocimiento y los procesos de probar. Finalizaremos el capítulo, haciendo

referencia a los resultados de las investigaciones sobre el conocimiento de los

profesores y la prueba.

1.1. La visualización y el aprendizaje de las matemáticas y la geometría

Desde finales de la década de 1990 la investigación de la visualización ha

adquirido una gran relevancia siendo reconocida como un campo importante para la

educación matemática. Presmeg (2006) describe diferentes investigaciones realizadas

sobre la visualización que incorporan aspectos del desarrollo curricular, y en particular,

que abordan el aprendizaje de áreas específicas de matemáticas: el cálculo, la

trigonometría, la estadística, el álgebra y la geometría. También describe estudios que

exploran la influencia de la tecnología, especialmente en entornos informáticos

dinámicos, así como las diferencias de género en la utilización de la visualización

matemática y el uso de las imágenes por parte de los matemáticos en su trabajo. A partir

de la década de 2000 se ha observado una ampliación del enfoque en la visualización

para incluir aspectos y teorías semióticas. A pesar de la favorable evolución registrada

en los últimos años, Presmeg (2006) reconoce la necesidad de continuar con este tipo de

investigaciones para establecer teorías generales que podrían unificar todo el campo de

la visualización en la educación matemática.

La terminología empleada para definir la visualización se ha precisado en los

últimos años (Bishop, 1983; Fischbein, 1993; Duval, 1995; Zazkis, Dubinsky y

Dautermann, 1996; Alsina, Fortuna y Pérez, 1997; Plasencia, 2000; Arcavi, 2003). En

este estudio el significado que atribuimos a la visualización se refiere a lo indicado por


7

Hershkowitz, Parzysz, y Van Dermolen, (1996): «Entendemos por visualización la

transferencia de objetos, conceptos, fenómenos, procesos y sus representaciones a algún

tipo de representación visual y viceversa. Esto incluye también la transferencia de un

tipo de representación visual a otra» (p. 163).

Utilizar la idea de transferencia referida en el párrafo anterior implica diferenciar

entre dos conceptos primordiales de la teoría cognitiva: figura (objeto geométrico

abstracto caracterizado por propiedades matemáticas); y dibujo (representación

particular de una figura). Estos dos conceptos están íntimamente relacionados en

matemáticas por lo que en muchas ocasiones nos movemos inconscientemente entre

ellos (Quesada, 2014).

El siguiente ejemplo está considerado un clásico de la representación visual de la

información, a partir del cual se han creado la gran mayoría de los planos de transporte

público de muchas ciudades; se trata del mapa del metro de Londres diseñado en 1931

por Henry Charles Beck (1902-1974), un ingeniero eléctrico inglés. La estrategia

utilizada por Beck fue dar más importancia a la función que a la precisión geográfica.

En un viaje subterráneo el usuario no está interesado en la topografía exacta de la ruta,

en realidad le importa cómo llegar de un sitio a otro, qué línea de tren tomar y por qué

estaciones debe pasar para llegar a su destino. Para conseguir su objetivo, Beck realizó

su diseño como si estuviera dibujando un circuito eléctrico; utilizando segmentos de

distintos colores, verticales, horizontales o con ángulos de ±45 grados; distribuyó las

estaciones sin preocuparse por las distancias reales entre ellas, obteniendo una

representación visual coherente y comprensible de un sistema complejo.


8

Figura 1.1. Mapa del metro de Londres diseñado en 1931 por Henry Charles Beck.

Para Arcavi (2003), la visualización puede tener un rol complementario de gran

alcance en el aprendizaje de las matemáticas en lo referente a tres aspectos: el apoyo y

la ilustración de los resultados esencialmente simbólicos (y probablemente proporcionar

una prueba en sí misma); una posible manera de resolver el conflicto entre soluciones

simbólicas e intuiciones; y un modo de ayudarnos a volver a recuperar fundamentos

conceptuales que pueden ser fácilmente anulados por soluciones formales.

Veamos un ejemplo del papel que puede desempeñar la visualización en el

aprendizaje de las matemáticas. A continuación, se muestra la representación visual de

la suma infinita de la serie geométrica siguiente:

34 =

34 +

316 +

364 + ⋯ = 1


9

Figura 1.2. Representación visual de la suma de una serie.

En el dibujo anterior, partimos de un triángulo equilátero de área una unidad,

posteriormente, a partir del punto medio de cada uno de sus lados lo dividimos en

cuatro triángulos semejantes al primero, pero de área un cuarto de unidad; repitiendo

este procedimiento construimos un objeto fractal (Mandelbrot, 1975) autosimilar de

profundidad infinita que mediante un razonamiento visual nos posibilita reconocer la

convergencia de la serie. Esta forma de argumentación ayuda a resolver problemas

analíticos utilizando el auxilio de un dibujo que permite la transferencia de conceptos

matemáticos complejos a algún tipo de representación visual y viceversa. En el ejemplo

mostrado, la adición de cada nuevo sumando de la serie se corresponde con el

incremento de la superficie que recubre al triángulo inicial con nuevas

subconfiguraciones (triángulos semejantes pero cuya área es un cuarto del área del

triángulo del paso anterior) que, tras infinitos pasos, consigue ocuparlo completamente.

Esta representación visual puede crear la imagen mental de infinitos triángulos

semejantes cada vez más pequeños que colapsan hacia el interior de un triángulo

equilátero, ocupando completamente su superficie finita.


10

La importancia de la visualización en el aprendizaje de la geometría es conocida

desde hace mucho tiempo. La prueba del teorema de Pitágoras realizada por el

matemático hindú Bhaskara en el siglo XII es un ejemplo de cómo los matemáticos

antiguos encontraron evidencias de relaciones matemáticas haciendo dibujos. Las

pruebas visuales también están siendo utilizadas por algunos matemáticos modernos

(Rufus, 1978; Nelsen, 1993), en especial desde la década de 1970 en que comenzaron a

publicarse artículos bajo la denominación: “Pruebas Sin Palabras” (Proofs Without

Words). Por ejemplo, la prueba visual del teorema de Viviani (Kawasaki, 2005), cuyo

enunciado dice: «La suma de las distancias desde un punto interior a un triángulo

equilátero a cada uno de sus lados es igual a la altura del triángulo».

Figura 1.3. Prueba visual del teorema de Viviani (adaptado de Kawasaki (2005)).

Arcavi (2003) defiende la validez del razonamiento visual, ya que entiende la

visualización como un proceso que no tiene por finalidad excluir la verbalización (o

símbolos), sino más bien complementarla; sin embargo, reconoce la dificultad cognitiva

que surge de la necesidad de alcanzar una traducción flexible y competente entre las

representaciones visuales y analíticas de la misma situación matemática.

Dreyfus (1991) indica que la reticencia básica de los estudiantes a utilizar la

visualización en matemáticas es fruto del bajo estatus otorgado a los aspectos visuales

de las matemáticas en el aula. Piensa que el razonamiento visual no está destinado solo

a apoyar el descubrimiento de nuevos resultados y maneras de probar, sino que debe

desarrollarse como una forma aceptada de razonamiento, incluyendo la demostración de

teoremas matemáticos (Dreyfus, 1994). Esta idea no es compartida por Brown (1999),


11

para quien la naturaleza del razonamiento visual le excluye de ser considerado «prueba»

ya que carece de estructura formal y semántica lógica, por lo que no puede garantizar

ningún tipo de verdad. Considera que los dibujos son un mecanismo heurístico,

psicológicamente sugerente y pedagógicamente importante, pero que no pueden probar

nada, ya que un dibujo solo puede representar un caso especial; así que, incluso si esa

imagen parece ser convincente, no tiene manera sistemática de eliminar dudas sobre el

caso general.

En la práctica educativa, está muy arraigada la idea de que algunas personas son

mejores en el procesamiento de palabras mientras que otras lo son en el procesamiento

de imágenes (Mayer y Massa, 2003); lo que se denomina hipótesis verbalizador-

visualizador. Esta hipótesis se considera particularmente relevante para el diseño de la

formación multimedia porque implica la presentación de palabras e imágenes para los

estudiantes; sin embargo, también puede servir para entender la construcción del estilo

cognitivo de los alumnos. El estudio realizado por Mayer y Massa (2003) contribuye a

la conceptualización de la dimensión visualizador-verbalizador, descomponiéndola en

tres facetas: la capacidad cognitiva (las cosas que la gente es capaz de hacer: baja o alta

capacidad espacial); el estilo cognitivo (las formas en que las personas procesan y

representan la información: pensar con palabras o imágenes); y el aprendizaje de

preferencia (predilección por la instrucción con texto o gráficos). Según sus resultados,

la dimensión visualizador-verbalizador reúne un conjunto de habilidades, estilos y

subfactores de preferencia.

En estudios realizados en varios países respecto a la utilización por los

estudiantes de un determinado modo de pensamiento matemático (Presmeg, 2006), se

ha comprobado que la preferencia por la visualización matemática sigue una

distribución gaussiana estándar en las poblaciones analizadas. Para la mayoría de la


12

gente, la tarea en sí, las instrucciones para hacer la tarea de una manera determinada, los

factores socioculturales y las situaciones de enseñanza influyen en el uso del

pensamiento visual en matemáticas. Sin embargo, hay algunas personas que siempre

sienten la necesidad de emplear el modo visual de conocimiento matemático mientras

que otras no sienten esta necesidad en absoluto.

Gal y Linchevski (2010) sugieren que mediante la aplicación en las aulas de las

teorías de la percepción visual, los maestros están mejor equipados para prever,

identificar, entender, analizar y hacer frente a situaciones de la enseñanza de la

geometría, ya que les puede ayudar a comprender los procesos de pensamiento de los

estudiantes, logrando ser una herramienta poderosa para explicar una amplia gama de

dificultades asociadas al procesamiento visual de las matemáticas. También indican que

los profesores provistos del conocimiento sobre la percepción visual están en mejor

disposición de ser conscientes de estas dificultades, siendo capaces de hacer frente a

ellas proporcionando a sus alumnos diferentes estrategias para encontrar las

descomposiciones más adecuadas de las figuras (por ejemplo, usando capas de

transparencias); o bien, para identificar subconfiguraciones (por ejemplo, utilizando

primero transformaciones físicas antes de realizar transformaciones mentales); y de

interpretar determinados datos en las figuras, lo que les puede permitir resolver los

problemas de geometría planteados en el aula.

Un aspecto del conocimiento de geometría del maestro está relacionado con el

desarrollo de la visualización (Battista, 2007, 2008; Brown y Weatley, 1997; Presmeg,

2006) y los procesos de exploración e indagación vinculados a esta, que pueden

favorecer el que los estudiantes establezcan relaciones entre las definiciones y

propiedades geométricas (Clemente y Llinares, 2013; Hanna y Sidoli, 2007). Por lo que,

la relación entre lo visual y el sistema lógico-deductivo es un primer paso para que los


13

estudiantes puedan establecer relaciones entre las definiciones y propiedades

geométricas (Hanna, 1998; Hershkowitz, 1990).

1.2. Las figuras prototípicas

Los modelos de Van Hiele (1986) de niveles de comprensión geométrica y de

Vinner (1991) son reconocidos como algunos de los más completos en relación con el

aprendizaje de la geometría para orientar a los profesores e investigadores en su

actividad de comprensión de los procesos mentales de los estudiantes. De acuerdo con

el modelo de Vinner, cuando escuchamos o leemos el nombre de un concepto conocido

nuestra memoria se estimula y evoca un conjunto de elementos (representaciones

visuales, imágenes, propiedades o experiencias), que no suelen coincidir con la

definición formal del concepto. Este conjunto de elementos que se pueden evocar

constituye la imagen del concepto, que para un estudiante puede incluir varias figuras

que recuerda como ejemplos del concepto y de sus propiedades. Además, los

estudiantes también pueden memorizar una definición verbal, que es la definición del

concepto.

Las propiedades incluidas en la imagen del concepto no siempre son propiedades

matemáticas, ya que también pueden ser consideradas características físicas

irrelevantes, especialmente, por los estudiantes que se encuentran en el primer nivel de

Van Hiele (Gutiérrez, Jaime y Fortuny, 1991). Por ejemplo, según se muestra en la

figura 1.4., para muchos niños de la escuela primaria, la imagen del concepto de un

triángulo consiste en un conjunto de triángulos específicos en posición estándar y varias

propiedades de estas figuras, como un triángulo que tiene un ángulo recto o los lados

laterales inclinados de igual longitud (Hershkowitz, 1989).


14

Figura 1.4. Ejemplos de la imagen del concepto “triángulo” para niños de la escuela

primaria.

Cuando el estudiante está resolviendo una tarea, la imagen del concepto puede

no coincidir con la definición del concepto matemático correspondiente y no estar

necesariamente ligados. Por ejemplo, muchos estudiantes incluyen en la definición de

rectángulo la condición de que no todos los lados son de la misma longitud, aunque

previamente hayan identificado los cuadrados como rectángulos cuando se les presentan

estas figuras. Sin embargo, hay otros estudiantes que definen un rectángulo como un

paralelogramo con ángulos rectos, pero no admiten cuadrados como rectángulos porque

todos los lados son de la misma longitud (Wilson, 1990).

Las experiencias de los estudiantes y de los ejemplos de un concepto tienen un

rol significativo en la formación de la imagen del concepto. Frecuentemente, los

estudiantes poseen unos pocos ejemplos de un concepto geométrico con una

característica visual específica común, es entonces cuando estos ejemplos se convierten

en prototipos (Hershkowitz, 1989), y constituyen las únicas referencias disponibles para

el estudiante cuando debe decidir sobre casos nuevos.

Según Vinner podemos distinguir tres tipos de comportamiento de acuerdo a la

calidad de la imagen del concepto (Hershkowitz, 1990):

• Los estudiantes con la imagen del concepto poco desarrollada a partir de

algunos ejemplos prototípicos y propiedades visuales; por lo que basan sus

juicios sobre el aspecto visual de estos prototipos, comparándolos con las figuras


15

que se les muestra en la tarea y rechazando aquellas que no coinciden con los

prototipos de su concepto imagen.

• Los estudiantes con la imagen del concepto un poco más desarrollada que se

apoyan en algunos ejemplos prototípicos y en algunas propiedades matemáticas

de esos ejemplos. Intentan aplicar estas propiedades a las figuras con las que

tienen que trabajar, rechazando aquellas que no se ajustan a estas propiedades.

• Los estudiantes con la imagen del concepto completamente desarrollada, por

tanto, poseen imágenes que incluyen una amplia variedad de ejemplos y todas

las propiedades importantes de estos ejemplos, siendo capaces de hacer juicios

correctos basados en el uso y análisis de las propiedades críticas de los

conceptos.

El modelo de Vinner se ha aplicado en varios estudios. Por ejemplo, Gutiérrez y

Jaime (1999) dan cuenta de la influencia de la representación prototípica de la altura de

un triángulo en la capacidad que poseían los estudiantes de reconocerla. En particular se

mostró la dificultad que tenían los alumnos en reconocer las alturas de triángulos

obtusángulos y como consecuencia la dificultad en reconocer alturas externas al

triángulo. Por ejemplo, en el triángulo de la figura 1.5., la altura desde el vértice A (hA)

que es exterior resulta difícil de reconocer a los estudiantes ya que la imagen prototípica

que poseen de la altura de un triángulo es un segmento que pasa por el interior del

triángulo.

Figura 1.5. Triángulo obtusángulo en el que la altura respecto al vértice A (hA) es

exterior al triángulo.


16

Mesquita (1998) ha identificado diversas características relevantes que contienen

algunas figuras con el estatus de prototípicas. Las figuras prototípicas son

representaciones que corresponden a una organización regular del contorno, orientación

y forma. Se perciben preferentemente contornos cerrados; direcciones horizontales y

verticales; formas regulares, simples y simétricas; así como componentes de la figura

(lados y ángulos) que tienen dimensiones similares. Todas estas características

consiguen reforzar la percepción de unas determinadas configuraciones respecto a otras

y pueden tener un efecto heurístico, ya que incrementan la visibilidad de una figura

particular y sus posibilidades de reorganización, que puede desempeñar un papel

esencial en la búsqueda de una solución en un problema de geometría.

Sin embargo, algunas veces este apoyo visual hace evidente a los resolutores

relaciones no verdaderas, lo que puede llegar a abortar el desarrollo de un razonamiento

adecuado. La idea de la tipicidad de una representación (Hershkowitz, 1990) intenta

poner de relieve la influencia que tiene el uso de figuras prototípicas para mostrar más

claramente algún atributo geométrico. El estudio del reconocimiento de figuras

geométricas ha mostrado las diferencias cognitivas entre las posibles representaciones.

Por ejemplo, según se muestra en la figura 1.6., las dificultades que tienen algunos

estudiantes en la identificación de triángulos rectángulos cuando sus lados

perpendiculares dejaban de ser paralelos a los márgenes del papel en que están

representados (Hershkowitz, 1989). La imagen prototípica que los estudiantes han

generado a lo largo de su experiencia escolar influye en su capacidad de reconocer

figuras o construir determinados objetos geométricos (Vinner y Hershkowitz, 1980).


17

Figura 1.6. Triángulo rectángulo representado en posición prototípica (a) y no

prototípica (b).

Para Gal y Linchevski (2010) el proceso de reconocimiento visual de figuras

prototípicas puede ser explicado como el resultado del análisis de diversas

características, en el que el objeto se segmenta en un conjunto de subobjetos (por

ejemplo, la identificación de cuatro triángulos formados por las diagonales de un

cuadrilátero). Cuando se reconocen las piezas que forman el objeto y su configuración,

el objeto se reconoce como un patrón compuesto de estas piezas.

En el caso particular de los problemas de probar en geometría que proporcionan

una configuración, la importancia de la identificación de una configuración durante su

resolución radica en que ayuda a activar algunos conocimientos de geometría frente a

otros. En este sentido, en la medida en la que el resolutor identifique una configuración

prototípica que esté vinculada a ítems de conocimientos relacionados entre sí estará en

mejor condición de resolver el problema de geometría (Gal y Linchevski, 2010).

Para Hollebrands, Laborde y StráBer (2008) las configuraciones en geometría,

tanto en entornos de lápiz y papel como en software de geometría dinámica (DGS:

Dynamical Geometry Software), permiten un camino adicional en el aprendizaje ya que

pueden presentar multitud de relaciones geométricas. En este sentido, la fortaleza del

resolutor experto radica en sus habilidades para pasar de la configuración al discurso y

reconocer formas y configuraciones vinculadas al razonamiento deductivo basado en


18

conocimientos teóricos, sin embargo, esta práctica no es espontánea para los estudiantes

inexpertos.

1.3. Lectura y construcción de pruebas

Según indica Schoenfeld (1994), cuando las actividades realizadas en el aula

consisten principalmente en copiar y repetir las pruebas, los estudiantes perciben

incorrectamente que la forma de una respuesta matemática es más importante que su

significado. Las tareas relativas a hacer pruebas necesitan establecer conjeturas y

probar, y normalmente los profesores las diseñan para que los estudiantes manipulen las

figuras geométricas involucradas en la visualización y observen las relaciones de las

propiedades de las figuras. Pero cuando los estudiantes se centran en la visualización

pueden percibir la idea errónea de que "conjeturar es verificar" o “ver para creer”,

porque premisas y conclusiones suelen estar implícitas y la construcción siempre es más

intuitiva que la validación durante este tipo de actividades. Prior y Torregrosa (2013)

han identificado una serie de conductas diferentes en relación con la verificación de una

proposición matemática; entre otras, un comportamiento caracterizado por

razonamientos configurales que desembocan en conjeturas sin demostración de tipo

empírico, utilizando únicamente procedimientos de verificación perceptivos.

Lectura y escritura de pruebas

La investigación sobre la validación de la prueba está estrechamente relacionada

con la investigación sobre comprensión lectora de la prueba. Selden y Selden (1995)

utilizaron el término validación para describir el proceso en el que un individuo

determina si una prueba es correcta y si consigue demostrar ese teorema en particular.

La comprensión lectora de la prueba de geometría requiere verificar el conocimiento de


19

los elementos esenciales de cómo funciona una prueba, que esta es correcta y saber lo

que una prueba puede demostrar. Sin embargo, el proceso de lectura de pruebas y la

comprensión resultante son difíciles de observar porque no toda ella es consciente, ya

que alguna comprensión se produce a nivel subconsciente.

Yang y Lin (2008) investigaron un constructo de la comprensión lectora de la

prueba de geometría (RCGP: Reading Comprehension of Geometry Proof), estudiando

cinco facetas (conocimientos básicos, estatus lógico, resumen, generalización y

aplicación) y la estructura de cada una. A raíz de sus resultados, propusieron un modelo

en el que caracterizaron varios niveles de la comprensión lectora de la prueba (Figura

1.7.)

Figura 1.7. Clasificación en niveles de las cinco facetas de la comprensión lectora de la

prueba de geometría (RCGP), según el modelo de Yang y Lin (2008); (adaptado de Yang y Lin (2008)).

De acuerdo con este modelo, los estudiantes que comprenden la mayor parte de

las definiciones y propiedades (conocimientos básicos) en el contexto de la lectura de

una proposición y su prueba, están por encima del nivel de la superficie y próximos al

segundo nivel; los que identifican las premisas, conclusiones o propiedades aplicadas

(estado lógico) y controlan el núcleo de esta prueba o la idea crítica de la prueba


20

(resumen) están más allá del nivel de reconocimiento de elementos y próximos al tercer

nivel; los que identifican lo que es validado por la prueba (generalización) y saben cómo

aplicar la proposición o la prueba (aplicación) está más allá del nivel de encadenamiento

de elementos y próximos al nivel de encapsulación. Sin embargo, estos autores

advierten que todavía es una cuestión abierta conocer si la trayectoria de aprendizaje de

los estudiantes es consistente con esta estructura.

Para comprender una prueba, es esencial reconocer el papel de un ejemplo,

discriminar premisas y conclusiones, la abstracción implícita de hipótesis o

propiedades, y generalizar o aplicar algunas propiedades o ideas. Cuando se construye

una prueba, es importante contar con diversas ideas que vienen a la mente en el

"momento adecuado", reorganizar estas ideas, y escribir formalmente la prueba. No es

fácil comparar las complejidades de la comprensión frente a la construcción. Sin

embargo, la mayoría de los estudiantes leen las pruebas matemáticas sin llegar a

construir demostraciones y la comprensión lectora de la prueba de geometría (RCGP)

generalmente ha sido ignorada tanto en los planes de estudios como en la investigación

en general. Por ello, Yang y Lin (2008) propusieron una metodología para medir la

RCGP, aunque también consideraron la necesidad de ampliar estas investigaciones para

esclarecer las características de cómo funciona el pensamiento de los estudiantes al

comprender una demostración matemática y cómo los factores cognitivos afectan a su

comprensión de la prueba de geometría. En un estudio posterior, Yang y Lin (2012)

compararon los efectos sobre la comprensión lectora de la prueba de geometría (RCGP)

de las tareas orientadas a la lectura (presentación del problema) y tareas orientadas a la

escritura (instrucción habitual para la escritura de una prueba). Los resultados mostraron

que el grupo en el que se realizaron tareas orientadas a la lectura obtuvo resultados

significativamente mejores en casi todas las facetas de la comprensión lectora de la


21

prueba de geometría (RCGP), que el grupo en el que se realizaron tareas orientadas a la

escritura.

Argumentación y prueba

Prusak, Hershkowitz y Schwarz (2012) indican que, a través del diseño de tareas

argumentativas, los alumnos (en su estudio: maestros en prácticas) pueden transitar

desde el razonamiento visual a la necesidad lógica de la prueba en geometría. En su

análisis, muestran el diseño de ciertas tareas que llevan a la argumentación productiva

entre compañeros sin ser guiados por el profesor. Indican que las prácticas

argumentativas son muy beneficiosas para el aprendizaje, pero son muy difíciles de

sostener. Estos autores afirman que la ayuda de los profesores puede ser beneficiosa

para facilitar la argumentación; sin embargo, resulta un gran desafío para ellos y para

los estudiantes. A pesar de las dificultades que encuentran los profesores en apoyar el

diálogo argumentativo de los alumnos, el diseño de las tareas iniciales considerando

esta variable parece una dirección prometedora para la generación de la argumentación

productiva. Por último, Prusak et al. (2012) indican que los avances teóricos y

empíricos ya realizados subrayan el rol desempeñado por la argumentación en el

aprendizaje de geometría. Es por ello que, el ámbito de la geometría está especialmente

indicado para estudiar el papel del diseño de tareas para activar la argumentación

productiva.

En esta dirección, Andriessen y Schwarz (2009) introdujeron la idea del diseño

argumentativo, definiéndolo como: "El diseño de las situaciones de colaboración en

contextos educativos en los que los participantes asumen la argumentación productiva,

o la exploración de un espacio de diálogo" (p. 145).


22

En su estudio, Prusak et al. (2012) enumeran tres principios necesarios en el

diseño argumentativo y sugieren que la combinación de estos permite la generación de

un diálogo argumentativo productivo. El primer principio de diseño consiste en la

creación de una situación de conflicto cognitivo, el cual se produce cuando la

información recibida no parece coherente con la previamente asumida por los

estudiantes (Johnsson y Johnsson, 2009). El segundo principio reside en la creación de

una situación de colaboración, que es aquella en la que “dos o más personas aprenden o

intentar aprender algo juntas" (Dillenbourg, 1999). Las situaciones de colaboración se

pueden crear a través de acuerdos sociales entre los estudiantes convocados en grupos

pequeños con instrucciones al respecto (por ejemplo, se les anima a dar opiniones

contradictorias), que genera la necesidad de hacer frente a puntos de vista conflictivos y

que conducen a la colaboración que es beneficiosa para el aprendizaje. Sin embargo, las

situaciones de colaboración, no conducen necesariamente a la argumentación productiva

(Barron, 2003), por ello es necesario un tercer principio que se fundamenta en

proporcionar herramientas a los estudiantes para la generación y la comprobación de

hipótesis (Prusack et al., 2012).

En las últimas décadas, los educadores matemáticos han desarrollado

herramientas que permiten la participación en estrategias basadas en la investigación y

apoyan la argumentación en la geometría. El software de Geometría Dinámica (DG)

representa una clase de herramientas para este fin, ya que permite acciones diversas

sobre las figuras (por ejemplo, arrastrando puntos, segmentos y ángulos y cambiar sus

medidas y posiciones). La provisión de estas nuevas herramientas para el aprendizaje de

la geometría ha contribuido a la redefinición de las relaciones entre la visualización, la

argumentación informal y la elaboración de las pruebas. Sin embargo, algunos

investigadores en educación matemática han señalado las incompatibilidades existentes


23

entre la prueba y la argumentación. Duval (1998) afirma que hay una brecha entre el

proceso discursivo natural y el proceso discursivo teórico, y que uno de los principales

problemas de la enseñanza de la geometría consiste en la incapacidad de la mayoría de

los alumnos en conseguir traspasar este vacío; por tanto, es necesario que los

estudiantes descubran cómo se organiza el razonamiento deductivo. Otros educadores

matemáticos piensan de manera diferente, Rasmussen, Zandieh, King y Teppo (2005)

opinan que con el uso del software de geometría dinámica (y otras herramientas) en los

centros educativos, los educadores de matemáticas podrían poner en práctica

actividades que involucraron formas informales de hacer matemáticas, y establecer un

puente entre estas y las formales.

1.4. Los mediadores semióticos y la prueba

La manera en la que los estudiantes pueden identificar elementos en una

configuración geométrica y asociarlos a hechos geométricos conocidos, o la manera en

la que su conocimiento previo de geometría les ayuda a identificar elementos relevantes

en una configuración para resolver un problema, pueden estar mediadas por sus

preferencias cognitivas (Kruteski, 1976) entendidas estas como el modo en que los

estudiantes suelen procesar la información (Pitta-Pantazi y Christou, 2009; Mayer y

Massa, 2003). Estas preferencias se manifiestan en el discurso que los estudiantes

generan cuando tienen que comunicar la resolución de un problema, y pueden

considerarse recursos semióticos usados por los estudiantes cuando se implican en la

resolución del problema y en comunicar dicha resolución (Robotti, 2012; Chen y

Herbst, 2013).

Duval (2007) afirma que las actividades matemáticas deben organizarse en tres

etapas: la exploración, la investigación específica de la organización deductiva de las


24

proposiciones en un registro no discursivo y una descripción verbal. Siguiendo esta

afirmación, Hesselbart (2007) opina que la prueba matemática es una actividad que

requiere un discurso estructurado y, por tanto, para tener éxito en ella se necesita una

forma estructurada de “crear” la prueba. Por ello, una buena manera de iniciar a los

alumnos en una forma más estructurada de la prueba matemática debería realizarse

mediante tres fases: la libre exploración, la gráfica proposicional y la descripción

verbal; esto satisface además la coordinación de registros útiles para la comprensión.

Durante la fase de libre exploración los estudiantes deben familiarizarse con el

problema y ser conscientes de cuáles son las hipótesis, las proposiciones y la conclusión

a la que queremos llegar. En la fase gráfica proposicional se deben considerar todas las

proposiciones y organizarlas en función de su estatus (premisa, conclusión…).

Finalmente, se realiza la descripción verbal que ayuda al estudiante a tener en cuenta el

valor epistémico de las proposiciones y, sobre todo, la transformación del valor

epistémico a través del razonamiento deductivo.

1.4.1. El lenguaje natural

Desde el punto de vista educativo, el pensamiento puede considerarse como un

caso especial de la actividad de la comunicación y, recíprocamente, el lenguaje no solo

expresa el pensamiento, sino que también lo genera (Sfard, 2001). Por ello, el lenguaje

natural puede ser visto como una herramienta para apoyar los procesos cognitivos de los

estudiantes, ya que les puede ayudar en el proceso de resolución de problemas de

geometría de probar, desde la simple observación del dibujo hasta la organización del

razonamiento deductivo. La resolución de una prueba en geometría plana es un proceso

muy complejo en el que están implicados el lenguaje natural, las figuras geométricas y

el conocimiento de los estudiantes.


25

En un estudio realizado por Robotti (2012), investiga el papel de la verbalización

producido por pares de estudiantes para resolver un problema de geometría plana. Su

análisis se centra en la interacción entre los aspectos figurativos y conceptuales

implicados en la resolución de este tipo de problemas. Admite que, en geometría, están

siempre involucrados tres registros: el figural, el del lenguaje natural y el del lenguaje

simbólico. Centrando su investigación en la relación entre el registro figural y el

registro del lenguaje natural, que le ha llevado a reconocer los múltiples cambios

producidos en el discurso generado por los estudiantes entre el dominio del espacio

gráfico (dibujo) y el dominio teórico (objeto teórico).

Para analizar la dialéctica entre lo figural (dominio del espacio gráfico) y lo

conceptual (dominio teórico) en el proceso de resolución de problemas de probar en

geometría, Duval (1995) hace referencia a las diferentes maneras de transformar una

figura, es decir, las diferentes formas de operar con entidades gráficas. Duval define tres

tipos de aprehensiones: perceptiva, discursiva y operativa. La aprehensión perceptiva

permite a los estudiantes reconocer de inmediato una forma; la aprehensión operativa

consiste en la modificación de una figura para considerar otras subconfiguraciones, esto

se puede hacer añadiendo o quitando nuevos elementos geométricos, manipulando las

diferentes partes de una configuración geométrica como un puzle para fijar la atención

sobre subconfiguraciones particulares o, simplemente, fijando la atención sobre una

parte específica de la configuración; y la aprehensión discursiva es el reconocimiento de

propiedades o relaciones en las configuraciones, o la asociación de configuraciones o

subconfiguraciones con afirmaciones matemáticas.

Estos diferentes tipos de aprehensiones se pueden poner en relación con los dos

medios diferentes de progresión discursiva que Duval define como "acumulación" y

"sustitución". La acumulación la define como una yuxtaposición de proposiciones


26

independientes unidas entre sí solo por su contenido. La sustitución la caracteriza como

la progresión lógica en el discurso que permite la transición entre las proposiciones

realizadas mediante inferencias, que no depende exclusivamente de su contenido, sino

también de su estatus en la frase (premisas, conclusión, etc.). Los modos de progresión

de discurso también se identifican por el valor de las proposiciones; el valor semántico

epistémico está vinculado al modo de acumulación y el valor lógico con el que se unen

está vinculado al modo de sustitución (Robotti, 2012). Esto permite caracterizar

diferentes modalidades para expresar la estructura de razonamiento.

Para Laborde (1999), el desarrollo de un proceso de demostración en geometría

plana describe la relación entre el dominio del espacio gráfico y el dominio teórico;

haciendo hincapié en que la transición entre estos es esencial para la solución de este

tipo de problemas. La interacción entre las referencias teóricas en el dominio

geométrico (dominio teórico) y las entidades gráficas en las que es posible operar

(dominio del espacio gráfico) es una parte esencial del significado de la geometría.

Según Robotti (2012), el lenguaje natural proporciona a los estudiantes

diferentes tipos de ayuda para la resolución de problemas. Por ejemplo, un uso

particular del lenguaje natural guía el proceso de resolución de los estudiantes, les

permite controlar el proceso, y hace que sea posible asociar "etiquetas" (la combinación

entre las palabras y las configuraciones) a conceptos que pertenecen al sistema de

conocimiento del estudiante y que son útiles para resolver el problema en cuestión.

Robotti (2008) ha definido este tipo de ayuda como diferentes funciones del lenguaje

natural (función de guía, función de asociación, etc.); haciendo hincapié en las

condiciones en que estas funciones desempeñan un papel importante en el proceso de

resolución. Finalmente, destaca la idea de que el lenguaje natural puede considerarse

también como una herramienta para el investigador que arroja luz sobre la evolución de


27

los procesos cognitivos de los estudiantes. El análisis de los procesos de verbalización

de los estudiantes puede ayudar a revelar la evolución en los procesos cognitivos

implicados cuando estos buscan resolver problemas de geometría plana, expresados a

través de la evolución en su discurso.

1.4.2. Las interacciones de los estudiantes con las configuraciones

Diversas investigaciones (Duval, 1995; Fischbein, 1993; Laborde, 1999) han

analizado la brecha existente entre las propiedades físicas de una configuración y las

propiedades geométricas de una figura (objeto matemático al que se refiere el signo);

por lo que la capacidad de percibir una figura a través de una configuración se ha

identificado como un obstáculo para la comprensión de una figura conceptualmente.

Duval (1995) ha argumentado que las configuraciones demandan diferentes

tipos de aprehensiones; los estudiantes pueden aprehender la figura perceptualmente (la

reconocen por su forma), operativamente (la modifican), o discursivamente (establecen

sus propiedades matemáticas).

Fischbein (1993) refiere propiedades figurales y conceptuales cuando los

estudiantes están trabajando en problemas geométricos con configuraciones, a los que

pueden acceder mediante la imagen visualizada de los objetos geométricos así como al

concepto de esos objetos, indicando que la relación entre estas dos propiedades puede

ser complicada.

En relación con este aspecto, Laborde (1999) propone dos tipos de propiedades

de una figura: espacio-gráficas y teóricas; que pueden ser reveladas cuando los

estudiantes están trabajando en problemas geométricos con configuraciones. Las

propiedades teóricas son necesarias para la definición de la figura mientras que las


28

propiedades espacio-gráficas son las que están supeditadas a los casos específicos de la

configuración (por ejemplo, la orientación, los valores angulares, longitudes de los

lados, etc.). Según Laborde, en la identificación e interpretación de las figuras, los

principiantes en geometría tienden a basarse en las propiedades espacio-gráficas

representadas en las configuraciones (por ejemplo, los estudiantes pueden determinar

que un ángulo es de 90° por la medición real con un transportador de su representación

en la configuración); por ello, para promover la comprensión de las figuras a nivel

teórico, los estudiantes necesitan participar en la exploración y la justificación.

En el ámbito de la geometría y para analizar las interacciones de los estudiantes

con las configuraciones, Herbst y Arbor (2004) proponen cuatro modos de interacción

entre un actor (sujeto), una configuración (representación física) y un objeto geométrico

teórico (figura), denominados: empírico, representacional, descriptivo y generativo.

Estos modos de interacciones crean un conjunto de relaciones entre estos tres elementos

(actor, diagrama y objeto).

En las interacciones empíricas el actor se basa en las características físicas de

una configuración para hacer una declaración sobre una figura. En este modo, los

componentes de una configuración se identifican con los componentes de una figura

(por ejemplo, una mancha circular es un punto y un trazo es un segmento), como si no

hubiera mediación semiótica o como si el dibujo fuera la figura.

Por el contrario, en las interacciones representacionales el actor utiliza las

propiedades teóricas de una figura para hacer una afirmación sobre una configuración

(por ejemplo, para decir lo que la configuración quiere mostrar; lo que a menudo

incluye la ayuda de marcas de control, flechas, etc.). Dentro de este modo de

interacción, los componentes de una configuración son vistos como símbolos de objetos

geométricos (componentes de una figura).


29

En las interacciones descriptivas, las configuraciones incluyen dos niveles: por

un lado, representan los datos del problema y contienen otros elementos que pueden

representar propiedades justificadas a través de la prueba. Por otra parte, encarnan con

bastante precisión las propiedades que podrían ser consideradas fuera de las

configuraciones, lo que sugiere al usuario lo que se podría afirmar acerca de la figura.

El modo descriptivo es un modo híbrido de interacción, ya que los estudiantes utilizan

la percepción visual para realizar hipótesis de lo que podría ser verdad (interactuando

así con la configuración en el modo empírico); a la vez que utilizan las marcas para

detectar qué elementos de un diagrama significan elementos de la figura (interactuando

en el modo representacional).

Las interacciones generativas, son necesarias para que los estudiantes hagan

conjeturas razonadas y construyan conocimiento matemático. En este modo se incluye

la creación de nuevos objetos en la configuración atribuyéndoles un estatus de objetos

geométricos, así como la prescripción de hipotéticas propiedades de las figuras basadas

en esos nuevos objetos. Una diferencia importante entre los modos de interacción

generativo y descriptivo es que las interacciones generativas ponen al actor en contacto

próximo con la figura, alterándola, a diferencia del modo descriptivo en el que el

contacto está limitado a la percepción. Las acciones generativas permiten generar

argumentos matemáticos, por ejemplo en el dibujo mostrado a continuación, se observa

que si se desliza el vértice A del triángulo ABC sobre una línea paralela al lado

opuesto hasta la nueva posición A’, la altura h y la base CB serán constantes, por lo que

el área será la misma.


30

Figura 1.8. Ejemplo de acción generativa.

1.4.3. Las expresiones gestuales y verbales como signos

McNeill (1998) indica que las expresiones gestuales y verbales necesitan ser

observadas para examinar con eficacia el razonamiento de los estudiantes a través de las

interacciones con las configuraciones, porque los gestos y las palabras crean una

representación multimodal de los objetos matemáticos.

Arzarello (2006) propone la noción de conjunto semiótico para identificar los

diferentes tipos de signos que utilizan los estudiantes mientras realizan algún

razonamiento geométrico en público durante la clase de geometría, ya que los

estudiantes piensan gracias a estos signos y el aprendizaje y el pensamiento se producen

cuando interactúan con estos. Para Arzarello, el conjunto semiótico puede implicar a los

diagramas, los gestos y el lenguaje escrito u oral, en aquellas actividades en las que el

razonamiento de los estudiantes interactúa con las configuraciones.

Los gestos pueden ser interpretados como parte de la comunicación de los

estudiantes, especialmente cuando sus conceptos matemáticos aún no están bien

desarrollados (Goldin-Meadow & Singer, 2003); además, mediante el uso de las

expresiones verbales y gestuales, los estudiantes pueden mostrar su percepción de la

configuración de forma más explícita (Presmeg, 2001).


31

Kendon (2004) sugiere que la interpretación de las expresiones gestuales y

verbales debe ser contextualizada, por ello, para averiguar el rol de los gestos en el

razonamiento geométrico, es importante examinar cómo se emplean los gestos en las

interacciones con las configuraciones. Cuando los estudiantes necesitan hacer conjeturas

acerca de una figura, los gestos son recursos semióticos visibles con los que pueden

describir lo que están considerando en los diagramas. Los gestos pueden ser utilizados

como herramientas para determinar lo que podría o debería ser cierto sobre una figura

representada de una manera particular por un diagrama.

Con la finalidad de entender cómo las expresiones gestuales y verbales ayudan a

comprender el razonamiento geométrico, Chen y Herbst (2013) realizaron un estudio en

el que analizaban cómo interactúan los estudiantes con una configuración. Para ello,

analizaron el razonamiento geométrico de los estudiantes realizado en público durante

la clase de geometría, teniendo en cuenta los sistemas semióticos utilizados en la

actividad matemática. Los resultados indican que los estudiantes hacen uso de

expresiones gestuales y verbales para compensar las limitaciones en la información

dada en una configuración cuando se enfrentan a la tarea de hacer y probar conjeturas.

De tal manera, las configuraciones, los gestos y los sistemas lingüísticos son recursos

semióticos que los estudiantes pueden utilizar para generar el razonamiento geométrico.

1.4.4. El espacio para el trabajo geométrico (SGW)

Cuando los estudiantes tratan de resolver problemas geométricos pueden usar

figuras e instrumentos de diversas maneras, incluyendo algunas propiedades como una

fuente de conocimiento o de validación. Por ello, es necesario observar las prácticas

geométricas dentro del aula para comprender los usos comunes de las figuras y

herramientas matemáticas, como una manera de llegar a entender los procesos de


32

resolución de problemas en los que hay que probar un hecho geométrico en una

configuración.

Con el fin de describir la complejidad de estas prácticas Kuzniak y Rauscher

(2011) introdujeron la noción de espacio para el trabajo geométrico. El SGW (Space for

Geometric Work) establece la referencia del entorno complejo en el que actúa el

resolutor del problema geométrico, que puede ser un experto en matemáticas o un

estudiante. Para estructurar el SGW se han introducido dos planos interconectados: el

plano epistemológico y el plano cognitivo.

La geometría se presenta desde un punto de vista epistemológico como una

forma de organizar el conocimiento en virtud de las normas codificadas. A cambio, este

conocimiento contribuye a la construcción del significado de los objetos en un

determinado sentido. En el plano epistemológico, se relacionan tres elementos:

• Un espacio real y local (objetos concretos y tangibles)

• Un conjunto de artefactos (por ejemplo, instrumentos de dibujo y software)

• Un conocimiento teórico de referencia basado en definiciones y propiedades

El plano cognitivo se introdujo para describir la actividad cognitiva de un solo

individuo, adaptando la idea de Duval (2005) acerca de los tres procesos cognitivos

implicados en la actividad geométrica:

• Un proceso de visualización conectado a la representación del espacio y

soporte material

• Un proceso de construcción determinado por instrumentos (regla, compás, etc.)

y configuraciones geométricas

• Un proceso discursivo que transmite la argumentación y prueba


33

Ambos planos, cognitivo y epistemológico, deben articularse con el fin de

garantizar un trabajo geométrico coherente y completo (Gómez-Chacón y Kuzniak,

2013); este proceso supone la presencia de algunas transformaciones que es posible

definir a través de tres génesis, denominadas: Figural, Instrumental y Discursiva;

estrictamente relacionadas según se muestra en el diagrama siguiente:

Figura 1.9. Diagrama del trabajo geométrico apoyado en tres génesis (adaptado de

Gómez-Chacón y Kuzniak (2013)).

La génesis figural es el proceso semiótico asociado con el pensamiento visual y

la transición desde una perspectiva sintáctica a una perspectiva semántica de los objetos

geométricos. Duval (2005) menciona dos niveles de las operaciones correspondientes a

este proceso: uno icónico (se asocia con el reconocimiento perceptivo de las formas) y

otro nivel relacionado con una interpretación más abstracta de los signos (la figura

como un objeto simbólico).

La génesis instrumental transforma los artefactos en instrumentos dentro del

proceso de construcción. Gómez-Chacón y Kuzniak (2013) reconocen que las

computadoras han modificado el rol de los instrumentos en matemáticas, facilitando su

uso y ofreciendo la posibilidad de pruebas dinámicas. Artigue (2002) destacó la

necesidad de una génesis instrumental con dos direcciones principales: la transición

“hacia arriba” que denomina instrumentación, describe la manipulación y el dominio de


34

las herramientas de dibujo por los usuarios; y la transición “hacia abajo” que denomina

instrumentalización, está relacionada con los procedimientos de construcción

geométrica.

En la génesis discursiva de la prueba, las propiedades utilizadas en el

razonamiento matemático se ajustan a un proceso de validación bidireccional: uno

deductivo (con un discurso apoyado en las propiedades y conocimiento de referencia) y

otro, las propiedades y definiciones deben ser consideradas después de los tratamientos

instrumentales o visuales.

Gómez-Chacón y Kuzniak (2013) indican que estos tres tipos de génesis no

operan por separado, ya que necesitan interactuar con el fin de dar al trabajo geométrico

un significado. Para estos autores, el uso de los diagramas SGW permite describir la

evolución del razonamiento cuando los estudiantes tratan de resolver problemas

geométricos, especialmente cuando se trabaja en entornos de geometría dinámica (DGS:

Dynamical Geometry Software). En este sentido, Guven (2008) afirma que los entornos

de geometría dinámica pueden generar una eficaz interacción entre las exploraciones

empíricas y las pruebas formales, ya que tienen el potencial de promover vínculos entre

el razonamiento empírico y deductivo.

1.4.5. La enseñanza de la prueba: los ejemplos heurísticos

En el aprendizaje de la geometría es importante que los estudiantes comprendan

la construcción de la prueba matemática. Sin embargo, diversos estudios (Healy y

Hoyles, 1998; Reiss, Klieme y Heinze, 2001) han resaltado la dificultad que tienen los

estudiantes en la comprensión y construcción de pruebas.


35

Se han propuesto procedimientos con un conjunto de estrategias que pueden ser

útiles para el aprendizaje de los alumnos de la prueba (Pólya, 1973; Boero, 1999); pero

la prueba matemática es una actividad compleja, combinación de procesos heurísticos

para generar una conjetura, búsqueda de evidencias y argumentación lógica.

Los ejemplos resueltos tradicionales permiten al alumno estudiar una solución

algorítmica de un problema particular. Estos ejemplos se emplean típicamente en el

aprendizaje de áreas de conocimiento bien estructurado como las matemáticas o la física

y son de gran importancia en la adquisición inicial de habilidades. Sin embargo, según

Schoenfeld (1988), el empleo de ejemplos resueltos tradicionales para la búsqueda de

pruebas es problemático, ya que consisten en una especie de sencillo proceso de

solución algorítmica que no refleja la realidad de la prueba, ya que en la práctica esta no

se construye como una simple secuencia sistemática y lógica de pasos como se expresa

en el lenguaje matemático formal, sino que es necesario dar pasos hacia atrás, conjeturar

y explorar repetidamente. Por lo tanto, trabajar con ejemplos reforzaría en el estudiante

la creencia de que probar es una actividad deductiva directa.

También hay un tipo especial de ejemplos resueltos, los ejemplos heurísticos,

que pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar un mejor conocimiento conceptual

sobre la prueba matemática (Hilbert, Renkl, Kessler y Reiss, 2008).

Los “ejemplos heurísticos” en la resolución de un problema de probar consiste

en que los alumnos deben identificar los argumentos que apoyan la solución dada y

explorar el contexto del problema con el fin de entender plenamente la hipótesis. Al

final del proceso de exploración heurística se presenta una prueba correcta y detallada

de la hipótesis. En consecuencia, un ejemplo heurístico incluirá las siguientes fases:

producción de una hipótesis, formulación de una afirmación, exploración de la hipótesis

y la selección y combinación de argumentos coherentes en una cadena deductiva.


36

Reiss y Renkl (2002) indican que, aunque lo ejemplos heurísticos son un método

adecuado de aprendizaje de las matemáticas y son relativamente fáciles de implementar

en el aula, sin embargo, son convenientes principalmente para áreas de contenido

algorítmico. Estos autores proponen utilizar ejemplos heurísticos que no proporcionan

directamente una solución de un problema algorítmico, sino que ofrecen pasos que

conducen hacia la búsqueda de una prueba. Los resultados de un estudio experimental

realizado por Reiss, Heinze, Renkl y Groß (2008), sugieren que la resolución de

ejemplos heurísticos son una herramienta más eficaz para el aprendizaje de la

argumentación y la prueba que la instrucción habitual del aula.

Por otra parte, Kim y Ju (2012) describen un estudio realizado en Corea con

alumnos de secundaria que participaron en una clase experimental diseñada para

enseñar geometría denominada: GIC (Geometry Inquiry Classroom), centrado

especialmente en la enseñanza de la prueba basada en la propia investigación de los

estudiantes. En el discurso generado por los participantes en el GIC identificaron tres

etapas por las que se transformó la práctica de la prueba matemática: "comprensión

emergente de la prueba", "aprendizaje de la prueba como una actividad orientada hacia

los objetivos" y "experimentación de la prueba como práctica de las matemáticas”. En el

estudio se encontró que a medida que el aprendizaje se desarrollaba a través de estas

etapas, el papel del profesor de matemáticas pasaba de ser un instructor a un mediador

de la comunicación, mostrando que el GIC conseguía crear un ambiente de aprendizaje

donde los estudiantes desarrollaban su competencia en la construcción de la

demostración matemática.


37

1.5. Relación entre el conocimiento y los procesos de probar

Algunos investigadores están interesados en examinar cómo los diversos

elementos de información matemática están conectados en estructuras útiles y

significativas. Hay un creciente consenso acerca de la idea de que una base de

conocimientos matemáticos bien organizados e integrados facilita el acceso a la

información adecuada, además de determinar la manera en que se desarrolla la

información en la búsqueda de la solución a un problema (Prawat, 1989; Lawson y

Chinnappan, 1994). De acuerdo con este punto de vista, la calidad de la organización

del conocimiento que reside en la memoria a largo plazo podría permitir o impedir la

activación de ese conocimiento durante la resolución de problemas matemáticos. Para

Chinnapan (1998), la manera en que los estudiantes realizan en su memoria el

procesamiento y recuperación de la información en el dominio de la geometría podría

tener una fuerte influencia respecto a si esta información se activa.

La investigación ha usado diversos marcos teóricos para abordar la cuestión de

la naturaleza y el rol del conocimiento de los estudiantes en la resolución de problemas

matemáticos (Mayer, 1975; Halford, 1993); en particular, las nociones de esquemas y

modelos mentales.

Chinnapan (1998), define el término “esquema” como un conjunto de

conocimientos que contienen información sobre los conceptos básicos, las relaciones

entre estos conceptos y los conocimientos acerca de cómo y cuándo usar estos

conceptos. Como estructuras de conocimiento organizados, los esquemas guían la

aceptación y recuperación de información, así como su uso posterior. Desde esta

perspectiva, cuando los estudiantes adquieren conceptos matemáticos, principios y


38

procedimientos, estos se organizan en esquemas que proporcionan la base de

conocimientos para su posterior actividad matemática.

Para Chinnapan (1998), una manera útil de visualizar los esquemas geométricos

sería la búsqueda de conceptos clave que anclan a otros conceptos. En el campo de la

geometría euclidiana los diagramas jugarían un papel central en torno al cual otros

conocimientos son construidos; por lo tanto, un esquema geométrico podría

identificarse con una forma particular. Por ejemplo, se podría hablar del “esquema

triángulo rectángulo” (ETR). La característica central de este esquema es un triángulo

rectángulo alrededor del cual otras relaciones, conceptos y conocimientos

procedimentales y condicionales se construyen. En este caso, el teorema de Pitágoras

puede ser considerado como parte del ETR ya que describe la relación entre las

longitudes de los tres lados del triángulo rectángulo.

Para entender los esquemas geométricos, Chinnapan (1998) menciona dos

características importantes: organización y difusión. La organización se refiere al

establecimiento de conexiones entre las ideas, mientras que difusión describe la medida

de esas conexiones. En este sentido, un esquema geométrico se dice que es sofisticado

cuando tiene un alto grado de organización y difusión.

El término “modelo mental” se ha utilizado en psicología para describir las

representaciones cognitivas que los individuos construyen en diversas situaciones de

aprendizaje (English, 1997; Halford, 1993). Una manera de examinar cómo los

estudiantes integran los diversos esquemas geométricos durante la búsqueda de una

solución es examinar su modelo mental del problema en cuestión, ya que permite

entender la aplicación del conocimiento matemático de los estudiantes durante la

representación del problema (Glaser, 1984). Halford (1993) describe los modelos

mentales como representaciones que están activas mientras un estudiante intenta


39

resolver un problema particular. De acuerdo con este enfoque, los modelos mentales

limitan una serie de acciones cognitivas (incluyendo las inferencias y decisiones que los

esquemas activan) e implementan un determinado conocimiento durante la búsqueda de

la solución a un problema. Estas representaciones cognitivas se consideran en el espacio

de trabajo del pensamiento y comprensión del problema, y deben tener un alto grado de

correspondencia con el entorno del problema que representan. La importancia de los

modelos mentales en el aprendizaje de las matemáticas y en la resolución de problemas

radica en su estructura relacional. Los modelos mentales que los profesores tratan de

ayudar a construir en sus estudiantes, son aquellos en los que las relaciones esenciales

entre los esquemas y componentes matemáticos aprendidos previamente están

claramente representados en un problema dado (English y Halford, 1995).

Comprender por qué en muchas ocasiones los estudiantes no aplican los

conocimientos y habilidades previamente aprendidos es un gran desafío para los

educadores de matemáticas. Para analizar la capacidad de los alumnos a acceder y hacer

un uso flexible del conocimiento geométrico previamente aprendido, Chinnapan (1998)

realizó un estudio relativo a la resolución de problemas de geometría por parte de

estudiantes de secundaria, en que examinaba los posibles vínculos entre los modelos

mentales construidos por los estudiantes, la calidad de la organización de los

conocimientos geométricos previos de los alumnos, y el uso de ese conocimiento en la

resolución de problemas. Para ello, aplicó los constructos: esquemas y modelos

mentales para examinar el acceso al conocimiento y el uso que realizaron de ellos los

estudiantes cuando trataron de resolver un problema de geometría plana euclidiana. Los

tres objetivos de su estudio fueron: identificar los esquemas geométricos que los

estudiantes utilizan en una tarea de resolución de problemas, determinar la frecuencia

con la que estos se activan, y generar una descripción sobre la naturaleza de los modelos


40

mentales que los estudiantes utilizan y/o construyen durante la resolución del problema.

En sus conclusiones destacó que la calidad del conocimiento geométrico que desarrollan

los estudiantes podría tener un importante efecto en sus modelos mentales y en el

posterior uso de ese conocimiento; ya que comparando las respuestas de los estudiantes

de bajo y alto rendimiento, observó que estos últimos activaban esquemas geométricos

más sofisticados, accedían a ellos con mayor frecuencia y, probablemente, generaban

modelos mentales que indicaban un alto grado de comprensión estructural del problema

planteado.

En los últimos años se han propuesto reformas en la educación matemática que

defienden la necesidad de que los docentes proporcionen entornos de aprendizaje que

estimulen la comprensión de conceptos matemáticos de los estudiantes de manera

significativa. Desde esta perspectiva, el papel del profesor de matemáticas consistiría en

ayudar a los alumnos a desarrollar las estructuras de conocimiento que les permitan

explorar de manera productiva una gama adecuada de problemas matemáticos. Knapp

(1997) considera que la adopción por parte de los maestros de este cambio en la

conceptualización de la enseñanza, es uno de los elementos centrales del movimiento de

reforma en las matemáticas.

Algunos investigadores interesados en mejorar el rendimiento matemático de los

estudiantes han argumentado que la calidad del propio conocimiento de los profesores

tiene una fuerte influencia en cómo se accede a ese conocimiento (Lawson y

Chinnappan, 1994; Schoenfeld, 1992). Por ello, resulta crucial especificar el rol que el

conocimiento de los docentes juega para influir en el conocimiento y la comprensión

construido por los estudiantes.

En general se acepta que, en igualdad de circunstancias, un profesor con unos

conocimientos de mejor calidad será más capaz de ayudar a los estudiantes que otro con


41

conocimientos de menor calidad (Grossman, 1995; Munby, Russell y Martin, 2001).

Los investigadores han hecho hincapié en la importancia de reconocer la naturaleza

interconectada de la base de conocimientos del profesor. Robinson, Even y Tirosh

(1992) sugirieron que, a fin de comprender la profundidad de los conocimientos de los

profesores era necesario examinar la red de esquemas y procedimientos interconectados

que forman la base de esos conocimientos. Schoenfeld (1988) observó que el desarrollo

del pensamiento matemático requiere no solo el dominio de diversos hechos y

procedimientos, sino también la comprensión de las conexiones entre ellos, y sugirió

que las descripciones detalladas de estas estructuras apoyan este tipo de pensamiento.

Mayer (1975) detalló la acumulación de la nueva información en la memoria a

largo plazo como la adición de nuevos nodos a la memoria y la conexión de estos con

los componentes de la red existente; describió la conectividad interna como el grado en

el que los nuevos nodos de información están conectados uno con el otro para formar

una sola estructura o esquema bien definido. Este sentido de conexión representa tanto a

la presencia de nodos relacionados con un esquema, como a la calidad de las relaciones

que se establecen entre los nodos. Mayer se refirió a la conectividad externa como el

grado en que las estructuras de conocimiento de reciente creación están conectadas con

las estructuras ya existentes en la base de conocimientos del alumno. Por ejemplo, un

maestro podría relacionar un esquema de proporción con los esquemas de relación o

fracción.

Una dimensión importante relacionada con la calidad es la identificación de qué

conexiones están presentes en una estructura de conocimiento. En igualdad de

condiciones, cuanto más completas son las conexiones en una estructura de

conocimiento, más elaborada es esta y más útil será en la resolución de problemas

(Anderson, 2000). Sin embargo, también es evidente que la naturaleza de las conexiones


42

dentro de una estructura de conocimiento es también importante y no solo el número de

conexiones.

Chinnapan y Lawson (2005) propusieron un modelo para describir y analizar la

calidad del conocimiento de contenido matemático de un profesor. El propósito de su

estudio fue doble, en primer lugar, desarrollaron un marco para identificar las

dimensiones de la calidad del conocimiento y la enseñanza en un área del dominio de la

geometría, en su caso investigaron el concepto de "cuadrado"; en segundo lugar,

utilizaron este marco para describir el conocimiento proporcionado por dos profesores

de enseñanza secundaria que completaron una serie de tareas, que fueron diseñadas para

tener acceso a su conocimiento de este concepto. Según se muestra en la Figura 1.10,

para la representación de la estructura del conocimiento utilizaron mapas conceptuales

en red, que son gráficos que constan de nodos y líneas (Lawson, 1994). Los nodos se

utilizan para indicar los conceptos, mientras que las líneas corresponden a una relación

entre pares de conceptos.

Figura 1.10. Plantilla del mapa conceptual para la representación de la conectividad

(adaptado de Chinnapan y Lawson (2005)).


43

En sus conclusiones, Chinnapan y Lawson (2005) indicaron que la falta de

integración entre las diferentes ramas del conocimiento del esquema de los profesores

podría tener un impacto en su enseñanza, ya que en los intercambios en el aula los

profesores y sus estudiantes no pueden obtener las distinciones y similitudes

importantes entre los esquemas de conocimiento clave.

Chinnappan, Ekanayake y Brown (2012) analizaron tres componentes de

conocimiento que los estudiantes aportan a la comprensión y construcción de pruebas

de geometría: “contenido de conocimientos de geometría”, “habilidades para resolver

problemas generales” y “habilidades de razonamiento geométrico”. Sus resultados

indican que estos tres componentes de conocimiento desempeñaron funciones

importantes en el desarrollo de las pruebas; y sugieren que, si bien es importante para

los estudiantes la adquisición del conocimiento del contenido geométrico, también se

necesita la activación y la utilización de este conocimiento durante la construcción de la

prueba, que debe ser guiado por las habilidades generales de resolución de problemas y

razonamiento.

Finalmente, las investigaciones han demostrado que los estudiantes de todos los

niveles tienen gran dificultad con la tarea de construcción de la prueba (Martin y Harel,

1989; Thompson, 1996; Harel y Sowder, 1998). Las dificultades de los alumnos pueden

ser clasificadas en dos categorías (Weber, 2001): la primera dificultad es que estos no

tienen una concepción precisa de lo que constituye una prueba matemática (Martin y

Harel, 1989; Harel y Sowder, 1998); por ejemplo, muchos estudiantes creen que

verificar un teorema general en uno o en varios casos específicos es una prueba

suficiente. La segunda dificultad reside en que los estudiantes pueden carecer de la

comprensión de un teorema o un concepto y sistemáticamente lo aplican mal (Moore,

1994). En un estudio realizado por Weber (2001) con dos grupos, uno de estudiantes de


44

doctorado y otro de estudiantes universitarios pregraduados, analizó la capacidad de

construir pruebas en dominios de matemáticas avanzadas. En sus conclusiones indicó

que los resolutores eficaces de problemas a menudo poseen un conocimiento estratégico

que les permite utilizar directrices heurísticas para elegir qué acción aplicar entre varias

alternativas; es decir, poseen el conocimiento de cómo elegir los hechos y teoremas que

se deben emplear. Para ilustrar la necesidad del conocimiento estratégico, Weber

explica el caso de un jugador de ajedrez al que se le pide encontrar una secuencia de tres

movimientos para dar jaque mate al rival. Debido a que pueden existir millones de

combinaciones, los jugadores de ajedrez expertos emplean regularmente el

conocimiento estratégico para restringir la búsqueda de una solución a este problema;

por ejemplo, considerando únicamente los movimientos en que las piezas más

poderosas pueden hacer jaque o no moviendo los peones que están lejos del rey rival.

Por tanto, para Weber, el conocimiento estratégico deficiente es una causa importante

de la dificultad de los estudiantes para construir una prueba.

1.6. Los profesores y la prueba

La noción de "prueba" se ha utilizado de diferentes formas en la educación

matemática sin estar siempre conceptualizada explícitamente (Balacheff, 2002). Para

Stylianides, Stylianides y Shilling-Traina (2013), en el concepto de prueba se deben

incluir no solo consideraciones matemáticas sobre su significado, sino también factores

cognitivos de su desarrollo que la hacen apropiada incluso para los estudiantes de

primaria.

Lin et al. (2012) analizaron tres componentes que consideran esenciales para los

docentes en el aprendizaje y enseñanza de la prueba matemática: el conocimiento de la


45

prueba, la práctica de la prueba y las creencias acerca de la prueba; concluyendo que

estos componentes están relacionados entre sí.

Como la enseñanza de las matemáticas implica conceptos matemáticos,

estrategias y métodos de razonamiento, los profesores deben tener los conocimientos

matemáticos necesarios para llevar a cabo esta enseñanza (Ball et al. 2008);

análogamente, la enseñanza de la prueba requiere la comprensión del contenido

matemático y exige a los docentes conocimientos específicos para explicar por qué una

prueba o algún método de prueba es válido, así como para validar las pruebas realizadas

por los estudiantes. En la práctica de la prueba, los docentes eligen y diseñan tareas para

la aplicación de los conocimientos matemáticos de los estudiantes y la evaluación de sus

diversos modos de argumentación. Las creencias de los profesores sobre el aprendizaje

de las matemáticas pueden tener un impacto importante en la forma en que las enseñan

en el aula (Philipp, 2007), ya que los profesores de matemáticas toman muchas

decisiones de acuerdo a sus creencias acerca de la prueba y su didáctica (Knuth, 2002).

En varias investigaciones se ha analizado las relaciones existentes entre los

conocimientos requeridos para la enseñanza de la prueba y las creencias de los

profesores acerca de la naturaleza y la didáctica de la prueba (Knuth, 2002; Stylianides

y Ball, 2008); sin embargo, ha sido menos investigada la manera en que los maestros

convierten sus conocimientos y creencias en la instrucción práctica en el aula. No

obstante, en los documentos curriculares de todo el mundo existe un creciente

reconocimiento de que la prueba debe ser tratada como una herramienta para el

aprendizaje de las matemáticas en todos los niveles (Lin et al., 2012). La prueba está en

el centro de la construcción del sentido matemático de los estudiantes, sin embargo,

tiende a tener un lugar marginal en las aulas de la escuela primaria. Esta situación puede

atribuirse en parte al hecho de que muchos futuros maestros de primaria tienen un débil


46

conocimiento matemático sobre el razonamiento y la prueba, además de creencias

contraproducentes sobre su enseñanza (Stylianides et al., 2013). Frecuentemente, se

introduce la enseñanza de la prueba en la escuela secundaria en el contexto de la

geometría euclidiana mediante la construcción de un sistema formal de axiomas,

definiciones y teoremas (Martin, Mccrone, Bower y Dindyal, 2005). La enseñanza de

las matemáticas se ha centrado en los tipos formales de prueba, tales como los métodos

de inducción y las pruebas algorítmicas. No obstante, los modos de representación y

argumentación son diferentes entre las clases de matemáticas de primaria y secundaria;

por ello, los docentes podrían encontrar desafíos pedagógicos específicos respecto a sus

niveles de enseñanza.

1.6.1. El conocimiento sobre la prueba

En relación con el conocimiento de la prueba de los maestros de enseñanza

primaria, Wittmann (2009) argumentó que los alumnos, y por lo tanto sus maestros,

deben contar con la oportunidad de desarrollar "pruebas operativas" con las

características siguientes:

• Surgen de la exploración de un problema matemático

• Se basan en las operaciones con objetos matemáticos "cuasi reales"

• Son transmisibles en un lenguaje orientado a los problemas con poco

simbolismo

Por ejemplo, para obtener la generalización de la suma S de números impares,

los estudiantes de primaria podrían utilizar la representación mostrada en el dibujo

siguiente en lugar de los símbolos formales de la ecuación [1].


47

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 7

푆 = 1 + 3 + 5 + ⋯+ (2푘 − 1) = 푘 [1]

Figura 1.11. Representación visual de la suma de números impares.

Este hecho incide en el argumento que está detrás de la demostración. En

relación a este aspecto Lo, Grant y Flowers (2008) afirman que muchos maestros de

primaria aceptan la validez de un argumento matemático basándose en la autoridad

externa (como libros de texto, profesores universitarios o compañeros más capaces).

Otros investigadores (Goulding, Rowland y Barber, 2002; Stylianides y Stylianides

2009) indican que los maestros también creen que es posible afirmar la validez de una

generalización matemática a través de algunos ejemplos. Martin y Harel (1989)

destacan que, con frecuencia, es el aspecto formal de una prueba en lugar de la

corrección del argumento, el que influye en los maestros para aceptar su validez.

En el estudio de Stylianides, Stylianides y Philippou (2007), con estudiantes para

maestro en la Universidad de Chipre, identificaron dos tipos principales de dificultades

con la prueba: en primer lugar, que carecían de la comprensión de los fundamentos

lógicos matemáticos de diferentes modos de argumentación; y en segundo lugar, la

dificultad en utilizar correctamente diferentes modos de representación matemática.

Respecto al conocimiento de la prueba de los profesores de enseñanza

secundaria, Tsamir, Tirosh, Dreyfus, Tabach y Barkai (2009), en un estudio de 50

profesores que evaluaban las pruebas verbales, encontraron que la mitad de los


48

profesores rechazaron pruebas verbales correctas alegando que estas justificaciones

carecían de generalidad y eran meros ejemplos. Asimismo, Knuth (2002) informó que,

cuando es necesario determinar la validez de un argumento matemático, los profesores

parecen centrarse únicamente en la corrección de las operaciones algebraicas; es decir,

cuando se les presentó una justificación algebraica, los profesores se centraron

exclusivamente en el examen de cada paso sin evaluar la validez del argumento en su

conjunto.

Hilbert et al. (2008) destacan tres factores acerca del conocimiento sobre la

prueba: (a) el aprendizaje con ejemplos heurísticos conduce a una mejora en las

habilidades de los alumnos que demuestran su conocimiento conceptual sobre la prueba;

(b) las indicaciones para identificar las fases de prueba ayudan a la adquisición

simultánea de las habilidades para demostrar y del conocimiento conceptual sobre el

proceso de demostración; y (c) los huecos para ser rellenados en los ejemplos

heurísticos disminuyen la eficacia de estos. Estos autores también indican que,

contrariamente a lo que se suele suponer, los métodos expositivos didácticos guiados

pueden emplearse con éxito para enseñar habilidades heurísticas.

1.6.2. La práctica de la prueba

Estudios realizados sobre la práctica de la prueba en maestros de primaria,

consideran que las actividades de prueba en el aula deben ser interactivas, de modo que

la comunidad de aula influye en lo que puede ser aceptado como una explicación

aceptable estableciendo de este modo una norma sociomatemática (Yackel y Cobb,

1996). Como miembro de la comunidad de aula, el profesor juega un papel central en el

establecimiento de un ambiente basado en la investigación (Ball y Bass, 2003),

gestionando las actividades de prueba en su aula.


49

Para examinar las interacciones entre el estudiante y el profesor, Cobb (1999)

propuso un análisis desde una perspectiva social en el que se incluyen tres elementos:

las normas sociales, las normas sociomatemáticas y las prácticas matemáticas de aula.

Las normas sociales se definen como aspectos normativos de las aulas que pueden

aplicarse a cualquier área de conocimiento, por ejemplo, que todas las soluciones deben

estar justificadas. Las normas sociomatemáticas se refieren específicamente a las

matemáticas, entre otras, lo que se considera un argumento o prueba aceptable. Las

prácticas matemáticas de aula se describen como experiencias compartidas que se

relacionan con ideas matemáticas concretas, tales como métodos aceptados para probar

la congruencia de triángulos. Cobb indica que estos elementos se deben desarrollar

simultáneamente para la correcta comprensión de la prueba por parte de los estudiantes.

Herbst (2002) sugirió que las decisiones pedagógicas del maestro dependen de

su sentido de la responsabilidad de comunicar conocimientos a los estudiantes, así como

de sus expectativas respecto al rol de sus alumnos en el proceso de aprendizaje. Este

punto de vista se basa en el concepto de contrato didáctico descrito por Brousseau

(1984), que detalla la estructura de interacciones en el aula y las expectativas de los

participantes sobre cómo se comunica el conocimiento. Brousseau señaló que a menudo

los profesores y los estudiantes se comportan como si existiese entre ellos un contrato,

ya que los objetivos institucionales vinculan los roles del profesor y de los estudiantes,

configurando su trabajo de tal manera que se cumplan estos objetivos.

Para Herbst (2002), el contrato didáctico implica responsabilidades tanto para el

profesor como para los alumnos. Por ejemplo, en una clase de matemáticas basada en la

prueba, la responsabilidad del maestro consiste en ayudar a los estudiantes a generar

argumentos matemáticamente válidos que cumplan con los estándares de rigor

establecidos, además, el maestro debe marcar expectativas que sean razonables y


50

alcanzables por la mayoría de sus estudiantes. Por otro lado, la responsabilidad de los

estudiantes reside en hacer todo lo posible para desarrollar una comprensión del proceso

de construcción de la prueba, cumpliendo los requisitos de validez que les permitan

producir argumentos matemáticos que satisfagan las expectativas del maestro. Los

estudiantes deben confiar en la experiencia del profesor y, como consecuencia,

participar en las actividades de aprendizaje que se establecen para ellos dentro de los

límites de las normas sociales y sociomatemáticas establecidas en el aula.

Herbst (2002) analizó la enseñanza de la geometría en secundaria para

determinar las acciones de los profesores que ayudan a los estudiantes a demostrar

proposiciones geométricas; encontró que estas acciones se centraban en la forma de

probar, sin hacer hincapié en las ideas de la prueba, lo que puede llevar a los estudiantes

a centrarse en la forma, pero no en la lógica. Herbst (2009) planteó la hipótesis de que

existe un contrato didáctico entre el profesor y los estudiantes sobre el conocimiento de

las pruebas que los estudiantes deben aprender. Según Douek (2009), la incorporación

de la prueba en la práctica del aula requiere un cambio profundo en los hábitos

matemáticos ya establecidos, por lo que el maestro necesita renegociar el contrato

didáctico con sus alumnos y llegar a normas sociomatemáticas más adecuadas.

Stylianides (2008) utiliza la expresión razonamiento-y-prueba (reasoning-and-

proving) para describir una familia de actividades que apoyan la investigación de por

qué "las cosas funcionan" en diferentes dominios de las matemáticas (álgebra,

geometría, etc.). De acuerdo con esta conceptualización, la participación en el

“razonamiento-y-prueba” con frecuencia implica dos actividades principales: hacer

generalizaciones, (por ejemplo, en forma de conjeturas) sobre las posibles relaciones

matemáticas; y argumentar acerca de la verdad o falsedad de las generalizaciones,

algunas de las cuales pueden calificarse como pruebas. Además, una prueba en el


51

contexto de una comunidad de aula en un momento determinado es un argumento

matemático con tres características (Stylianides et al., 2013):

• Utiliza un conjunto de enunciados aceptados por la comunidad de aula que son

verdaderos y disponibles sin más justificación

• Emplea formas de razonamiento (modos de argumentación) que son válidas y

conocidas, o dentro del alcance conceptual de la comunidad de aula

• Se comunica con formas de expresión (modos de representación de la

argumentación) que sean apropiadas y conocidas por, o dentro del alcance

conceptual de la comunidad de aula

Leikin y Grossman (2013) estudiaron las diferencias entre los profesores que

utilizan en sus clases un ambiente de geometría dinámica (DGE: Dynamic Geometry

Environment) y los que no lo hacen, respecto a la realización de transformaciones en los

problemas de geometría de probar. Para ello, elaboraron un marco para el análisis de

diferentes problemas de geometría y transformaciones generadas por los profesores e

introdujeron distinciones entre transformaciones estáticas y dinámicas. De los

resultados obtenidos sugieren que los profesores que utilizan un ambiente de geometría

dinámica (DGE) en sus clases, desarrollan una mejor comprensión de las tareas de

investigación geométrica y no tienen dificultad en la realización de transformaciones en

los problemas de geometría de probar.

1.7. Las creencias acerca de la prueba

Las creencias acerca de la prueba de los profesores también se relacionan con la

práctica del aula. Por lo tanto, un profesor que valora las pruebas y considera que es

importante que los estudiantes experimenten con la prueba, desarrollará en el aula


52

actividades de este tipo. Raymond (1997) encontró que muchos maestros de primaria

todavía tienen un punto de vista tradicional sobre la naturaleza de las matemáticas; por

ejemplo, realizando afirmaciones como: "La matemática es una colección de hechos,

reglas y habilidades"; o "La matemática es fija, predecible, absoluta, cierta y aplicable"

(p. 556). Este punto de vista de las matemáticas con frecuencia se acompaña de

determinadas prácticas de enseñanza centradas en el maestro, que efectúa exposiciones

controladas sin dar participación al estudiante.

Al investigar la evaluación de argumentos basados en el razonamiento visual,

Biza, Nardi y Zachariades (2009) encontraron que algunos profesores de secundaria

pueden aceptar un argumento visual que refuta una proposición, pero no uno que se

utiliza para probarla. Estos profesores opinaban que para probar la validez de una

proposición era necesario que los estudiantes proporcionaran un argumento algebraico,

no aceptando ningún argumento gráfico. Estos resultados ilustran el debate existente

dentro de la comunidad de docentes sobre si una representación visual puede ser

aceptada como prueba (Hanna, 2000).

En este debate Sun (2009) diferencia el papel de las pruebas en dos ámbitos:

para los matemáticos y para los estudiantes en la escuela. Según afirma, los

matemáticos desarrollan la prueba con el fin de establecer la verdad de una proposición;

por el contrario, los estudiantes reciben las pruebas ya hechas presentadas por sus

maestros conforme a sus libros de texto y programa de estudios y luego memorizan

rutinariamente teoremas y demostraciones.

Harel y Sowder (1998) proponen un modelo para interpretar las concepciones de

la prueba, analizando las expresiones verbales y acciones en el aula de los estudiantes.

Describen una clasificación en tres tipos de esquemas de prueba de los estudiantes: por

convicción externa, en que apelan a una autoridad externa para determinar la validez


53

matemática de un argumento; empíricos, donde se recurre a ejemplos específicos o

patrones percibidos para la validación; y analíticos, que utilizan deducciones lógicas

para validar conjeturas.

Muchos estudiantes consideran que las verificaciones experimentales son

suficientes para demostrar la validez de una proposición, el uso de software de

geometría dinámica, donde se pueden generar numerosos ejemplos, puede incrementar

esta creencia. Kunimune, Fujita y Jones (2009) encontraron que la tendencia hacia la

prueba experimental es difícil de cambiar, especialmente en estudiantes de nivel

inferior; Fischbein (1982) también encontró una predisposición similar hacia la prueba

empírica en el contexto de la teoría de números. Por ello, los profesores se enfrentan al

problema de despertar en los estudiantes la necesidad de buscar argumentos generales

para realizar la prueba deductiva.

Prusak et al. (2012) indican que, en el contexto particular de los problemas de

probar en geometría, para los estudiantes no es fácil el paso de la argumentación basada

en consideraciones intuitivas y visuales a consideraciones lógico-deductivas, por tanto,

es importante para el profesor caracterizar las condiciones que favorezcan esta

transición.

Prior y Torregrosa (2013) han identificado cuatro conductas diferentes en

relación con la verificación de una proposición matemática, que denominan:

comportamiento empírico, deductivo, empírico-analítico y conceptual-deductivo; estos

dos últimos comportamientos se encuentran en estadios de transición entre el empírico y

el deductivo. En el comportamiento empírico se utiliza únicamente procedimientos de

verificación perceptivos; en el deductivo se recurre a las leyes hipotético-deductivas del

sistema axiomático (propiedades, definiciones, etc.); en el empírico-analítico se

comienzan a tener en cuenta las leyes hipotético-deductivas y, en concreto, el papel del


54

estatus de las proposiciones; y en el conceptual-deductivo se abandonan las respuestas

de tipo empírico y se tratan de solucionar los problemas siguiendo las leyes hipotético-

deductivas.

Por otra parte y en relación a los profesores, Martin et al. (2005) indican que las

acciones del profesor pueden ser resultado de decisiones pedagógicas cuidadosamente

consideradas, o bien, de las reacciones espontáneas a los acontecimientos del aula. Las

decisiones de los maestros incluyen las expectativas respecto al posible desempeño de

sus alumnos, la elección de tareas matemáticas y estrategias de enseñanza, tales como

plantear cuestiones al grupo, la instrucción directa y el aprendizaje cooperativo. Estos

autores realizaron un estudio para investigar la interacción entre las acciones del

profesor y las acciones de los estudiantes analizando la naturaleza del discurso generado

en el aula y su papel en el desarrollo del aprendizaje de los estudiantes acerca de la

prueba matemática. La prueba matemática es en sí misma una forma de actividad

discursiva (Sfard, 2000), por ello, el objetivo del profesor es enseñar a sus estudiantes a

participar en el discurso de la demostración matemática de acuerdo con un conjunto de

reglas. En el estudio de Martin et al. (2005), el discurso se interpretaba ampliamente

para expresar tanto las reglas de la comunicación entre los miembros de la comunidad,

así como el contenido de los intercambios verbales y no verbales entre los participantes,

considerando el nivel social y matemático. En el plano social y siguiendo el modelo de

Cobb (1999), incluyeron las normas sociales en el aula referidas a cuestiones tales

como: ¿El conocimiento está valorado? ¿Quién tiene estatus en el grupo? ¿Cómo se

ofrecen opiniones? ¿Cómo se introducen nuevas ideas o prácticas? En el nivel

matemático, consideraron las normas sociomatemáticas y las prácticas matemáticas en

el aula, con preguntas del tipo: ¿Qué constituye un argumento matemático convincente?

¿Qué términos especiales, signos o símbolos son aceptables para su uso en pruebas


55

matemáticas escritas o habladas y cuándo se pueden usar estos términos? En sus

conclusiones observaron que cuando un profesor involucra a los estudiantes en el

razonamiento verbal, esto proporciona un entorno favorable para la prueba, ya que los

alumnos tienen la oportunidad de realizar contribuciones y justificaciones dentro de una

comunidad matemática para determinar si cumplen con los estándares de razonamiento

necesarios en ese contexto, de tal manera, que si el profesor interactúa con sus

estudiantes puede controlar e influir en el desarrollo de la capacidad de estos para

construir cadenas de razonamiento. Dentro de este entorno, la participación activa entre

los estudiantes y maestros puede contribuir a la negociación de las prácticas

matemáticas en el aula, así como al desarrollo de la capacidad individual para construir

demostraciones formales.

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar

57

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

En el presente capítulo describiremos los referentes teóricos que nos permitan

comprender la forma en que los estudiantes aplican el conocimiento de geometría

previamente aprendido en la resolución de problemas de probar.

La investigación sobre la resolución de problemas de geometría ha seguido dos

líneas de investigación diferenciadas (Torregrosa, Quesada y Penalva, 2010). La

primera, basada en la prueba y en sus distintos desarrollos (Balacheff, 1988; Harel y

Sowder, 1998; Ibañes, 2001). La segunda, centrada en caracterizar los procesos

cognitivos que desarrollan los estudiantes cuando resuelven este tipo de problemas

(Bishop, 1983; Fischbein, 1987; Del Grande, 1990; Hershkowitz et al., 1996; Zazkis et

al., 1996; Duval, 1998; Koleza y Kabani, 2006), considerando la enseñanza y el

aprendizaje desde el punto de vista cognitivo.

De acuerdo con esta segunda perspectiva se han planteado diversos modelos

teóricos con el propósito de estudiar estos procesos cognitivos. Krutetskii (1976)

identificó distintas habilidades en la resolución de problemas y clasificó a los individuos

en tres tipos (analítico, geométrico y armónico). Bishop (1989) distinguió dos acciones


58

cognitivas (procesamiento visual e interpretación de información figural), que han

permitido estudiar el rol de las imágenes mentales, las representaciones externas, los

procesos y habilidades en la resolución de problemas de geometría (Gutiérrez, 1996).

Zazkis et al. (1996) propusieron el modelo analizador/visualizador edificado sobre la

coordinación de estos procesos cognitivos, destacando la relevancia de entender cómo

se combinan los enfoques visuales y analíticos en la resolución de problemas

matemáticos. Presmeg (1986) formuló un modelo que ha puesto de manifiesto la

importancia de la relación entre lo visual y lo analítico en el estudio de los procesos de

resolución de problemas de geometría y Fishbein (1993) desarrolló la teoría del

concepto figural. Por otro lado, Duval (1993) indica que el alumno debe coordinar los

distintos procesos cognitivos y los distintos registros de representación para ordenar y

construir pruebas en la resolución de problemas, proponiendo la teoría del modelo

cognitivo del aprendizaje geométrico (Duval, 1998). Torregrosa, Quesada y Penalva

(2007, 2010), adoptando la orientación de la investigación de Duval, desarrollaron un

modelo que han denominado razonamiento configural, que caracteriza las interacciones

entre los procesos de visualización y razonamiento que intervienen en la resolución de

problemas de geometría (Quesada, 2014).

En nuestra investigación se adopta el significado de concepto figural de

Fischbein (1993) y el modelo cognitivo de Duval (1995, 1998, 1999) en relación con el

aprendizaje de la geometría. En particular, el papel que desempeñan los procesos de

visualización en el reconocimiento de propiedades y relaciones en las figuras

geométricas y en los procesos de justificación. Usamos el término figura siguiendo a

Mesquita (1998) para indicar la representación externa e icónica de un concepto o

situación geométrica considerado un sistema semiótico específico o registro (Duval,

1995). En geometría, el registro figurativo se vincula al sistema visual de percepción


59

(Presmeg, 2006) y Mesquita (1998) indica que: «La representación externa de un

problema geométrico, per se, no permite resolver el problema, pero puede contribuir a

la definición de una estructura del problema para facilitar su tratamiento» (p. 184). En

este sentido, Duval (1995) y Fischbein (1993) subrayan el papel heurístico de las figuras

en el aprendizaje y en el desarrollo de los procesos de visualizar, justificar y construir en

los contextos geométricos.

2.1. El concepto figural de Fischbein

Según Fischbein (1993), la geometría trata con entidades mentales (figuras

geométricas) que poseen simultáneamente propiedades conceptuales y figurales.

Introduce la noción de concepto figural para poner de relieve el hecho de que estamos

frente a un determinado tipo de entidades mentales que no son reductibles ni a imágenes

ni a conceptos; por ello, la imagen y el concepto deberían fusionarse en un único objeto

mental.

Según este modelo, imágenes y conceptos interactúan en la actividad cognitiva,

por tanto, muchos de los errores que los estudiantes cometen en su razonamiento

geométrico pueden ser explicados por este tipo de división entre el aspecto conceptual

y el figural. La estructura figural puede dominar la dinámica del razonamiento en lugar

de ser controlado por las correspondientes limitaciones formales. Como consecuencia,

muchos estudiantes no entienden la verdadera naturaleza de una prueba geométrica y

tienden a experimentar la necesidad de completarla con verificaciones empíricas. Por

tanto, una de las tareas de la educación matemática en el dominio de la geometría

debería ser crear situaciones didácticas que sistemáticamente soliciten una cooperación

estrecha entre los dos aspectos, hasta su fusión en los objetos mentales unitarios.


60

Para ilustrar esta idea Fischbein (1993, p.142) propone el siguiente ejemplo

(Figura 2.1.): «En una circunferencia con centro en O trazamos dos diámetros

perpendiculares AB y CD. Hemos elegido arbitrariamente un punto M y se traza MP y

MN perpendiculares a los dos diámetros. ¿Cuál es la longitud de PN?».

Figura 2.1. El concepto figural (adaptado de Fischbein (1993)).

A primera vista, parece que el problema no se puede resolver porque las

longitudes de los segmentos MP y MNdependen de la posición del punto M. Pero, si

observamos que MPON es un rectángulo y que el segmento MO es una de sus

diagonales, podremos deducir que PN = MO, siendo MO el radio de la circunferencia.

La igualdad de las diagonales y de los radios no se cuestiona, ya que estas relaciones no

dependen del propio dibujo por estar impuestas por definiciones y teoremas

Por tanto, la conclusión no se ha obtenido al considerar por separado la imagen y

las restricciones formales, sino por un proceso único en el que es considerada una figura

dejando al descubierto las relaciones lógicas. En este caso, el proceso de idealización de

la figura se realiza automáticamente con el fin de convertirse en una componente

integral y activa de un razonamiento lógico estricto.

El hecho de obtener la conclusión PN = MO = radio = constante, se produce en

el momento en que hemos comprendido que el rectángulo PONM es considerado no


61

como una imagen ordinaria, sino como una estructura ya lógicamente controlada, en la

que la fusión entre concepto y figura tiende a ser completa; es decir, los conceptos

figurales reflejan propiedades espaciales tales como forma, posición y magnitud; y al

mismo tiempo, poseen cualidades conceptuales, como idealidad, abstracción y

generalidad.

Fischbein (1993) mantiene que en los problemas de probar es posible usar

simultáneamente los aspectos figurales y conceptuales, ya que las propiedades de las

figuras geométricas (representaciones) proceden de las definiciones y relaciones

geométricas usadas en su construcción. Fischbein indica que una figura geométrica, por

ejemplo un trapecio isósceles dibujado en un folio, es una figura controlada por la

definición de trapecio isósceles y las propiedades geométricas derivadas de poseer dos

lados paralelos y dos lados no paralelos congruentes. Esta doble naturaleza de la figura

geométrica define el concepto figural (entidad mental). La idea del concepto figural

resalta el hecho según el cual imponer relaciones en los dibujos no depende del propio

dibujo sino de las definiciones y teoremas previamente conocidos. Además, Fischbein

indica que inferir información adicional sobre la configuración no procede de

considerar de manera separada la figura y las relaciones lógicas entre los hechos

geométricos en un proceso deductivo, sino de un único proceso en el que la figura se

“ve de otra manera” permitiendo revelar relaciones lógicas. Fischbein caracteriza este

proceso indicando que la figura no es una imagen ordinaria sino una estructura

controlada lógicamente. En este sentido, la fusión entre el concepto y la figura para

desarrollar el razonamiento geométrico es un objetivo de la enseñanza y puede ser

considerado una característica clave del conocimiento de geometría para el maestro.


62

2.2. El modelo cognitivo de Duval

El modelo cognitivo de Duval refina y matiza el modelo propuesto por

Fischbein. A continuación, describimos algunos aspectos relevantes del mismo.

2.2.1. Procesos cognitivos

Para Duval (1998), la geometría involucra tres clases de procesos cognitivos que

cumplen con funciones epistemológicas específicas:

• Los procesos de visualización intervienen en la representación espacial para la

ilustración de proposiciones, en la representación de resultados, en la

exploración heurística de una situación compleja, en el logro de una visión

sinóptica de la misma y en la obtención de una verificación subjetiva de la

misma.

• Los procesos de razonamiento, en relación con procesos discursivos, facilitan

la extensión del conocimiento, la demostración y la explicación.

• Los procesos de construcción mediante herramientas, sirven para construir

configuraciones como modelos en los que la acción sobre los representantes y

los resultados obtenidos están relacionados con los objetos matemáticos

representados.

De acuerdo con estos tres tipos de procesos Duval indica que:

a) Las tres clases de procesos deben ser desarrollados separadamente. Se puede

realizar un proceso de razonamiento mediante un discurso teórico sin haber

realizado ningún proceso de visualización, basado únicamente en afirmaciones

matemáticas como definiciones, proposiciones o axiomas.


63

b) Es necesario realizar un trabajo de diferenciación entre diferentes procesos de

visualización y entre diferentes procesos de razonamiento, pues existen varias

formas de ver una figura; de la misma manera que hay varias formas de razonar.

Sin embargo, estos procesos cognitivos están intrínsecamente conectados y su

sinergia es necesaria para la adquisición de competencia en la resolución de

problemas geométricos.

c) La coordinación de estas tres clases de procesos puede ocurrir realmente solo

después de este trabajo de diferenciación.

En particular, es necesario tener en cuenta el registro gráfico en el que se sitúan

las distintas configuraciones de puntos en geometría, ya que este registro no siempre

ayuda al desarrollo de la prueba. Llamamos configuración de puntos, o simplemente

configuración, a cualquier representación plana de los objetos geométricos, que

consideraremos conjuntos de puntos. Las dificultades que pueden surgir hacen

referencia a cómo el individuo percibe las configuraciones, y cómo estas poseen

factores que pueden despertar o inhibir en el alumno la manera en que son percibidas y

la capacidad de aprehender determinadas propiedades geométricas de la configuración.

Mesquita (1989), Padilla (1990) y Duval (1998) describen en sus investigaciones

factores que influyen facilitando/dificultando la identificación de la configuración

relevante en los procesos de probar. Algunos de estos factores son: convexidad de la

subconfiguración relevante, complementariedad de las subconfiguraciones

constituyentes, existencia de subconfiguraciones visualmente predominantes y la

congruencia semántica que se da cuando las subconfiguraciones que muestra la figura

son las mismas a las que el enunciado refiere. Otra causa tiene origen epistemológico;

mientras que en otros campos del conocimiento como la física o la química, la verdad

de una proposición se obtiene a partir de datos procedentes de la percepción, gracias a


64

mediciones con algún aparato técnico, en matemáticas la verdad de una proposición se

obtiene siempre que esta se puede situar deductivamente en una serie de otras

proposiciones, donde las proposiciones anteriores tienen valor de verdad (Duval, 2007).

2.2.2. Aprehensiones

Podemos considerar en los procesos de visualización diferentes tipos de

aprehensión, cuya definición, según el diccionario de la Real Academia Española

(2012), es: “La que capta las formas de las cosas sin hacer juicio de ellas o sin afirmar

ni negar”, cuya coordinación permite la construcción de la prueba (Torregrosa y

Quesada, 2007). Duval caracteriza las aprehensiones de la siguiente manera:

• La aprehensión perceptiva se caracteriza por ser la identificación simple de

una configuración. Es la primera en aparecer en el desarrollo cognitivo del

aprendiz y es la acción más intuitiva y evidente de todas las que se van a

describir.

• La aprehensión discursiva es la acción por la que se produce una asociación de

la configuración identificada con afirmaciones matemáticas (definiciones,

teoremas, axiomas...). Esta asociación puede realizarse de dos maneras según la

dirección de transferencia realizada, ya sea desde el discurso hacia la

configuración o viceversa, mediante un cambio de anclaje de visual a discursivo

y de discursivo a visual (Figura 2.3.).

• La aprehensión operativa viene determinada por realizar alguna modificación

(física o mental) sobre la configuración inicial, pudiendo extraer, introducir o

manipular las distintas subconfiguraciones. Dependiendo de la modificación

producida, podemos distinguir dos tipos: la aprehensión operativa de cambio


65

figural en donde a la configuración inicial se le añaden elementos geométricos

(nuevas subconfiguraciones), y la aprehensión operativa de reconfiguración en la

que las subconfiguraciones iniciales son manipuladas como las piezas de un

puzle (Figuras 2.4. y 2.5.).

Figura 2.3. Aprehensión discursiva con cambio del anclaje visual al anclaje discursivo

(a); y del anclaje discursivo al anclaje visual (b), (Torregrosa y Quesada, 2007)

Figura 2.4. Aprehensión operativa con cambio figural (Torregrosa y Quesada, 2007).

Figura 2.5. Aprehensión operativa con reconfiguración. Prueba del Teorema de

Pitágoras, , realizada por Bhaskara en el siglo XII (Nelsen, 1993). 푐 = 푎 + 푏


66

En cuanto a estos tres tipos de aprehensión, la perceptiva está conectada con la

discursiva y la operativa. La Figura 2.6. muestra que la aprehensión perceptiva es la

base para el desenvolvimiento de las otras. A medida que se desarrollan la aprehensión

operativa y la discursiva, queda más atenuada la acción en la que subyace la

aprehensión perceptiva como mero nexo entre ellas (Torregrosa y Quesada, 2007).

Figura 2.6. La conexión entre los tres tipos de aprehensiones (Torregrosa y Quesada,

2007).

Estas aprehensiones descritas por Duval están relacionadas con los modos de

interacción empírico y representacional propuestos por Herbst y Arbor (2004) entre un

actor (sujeto), una configuración (representación física) y un objeto geométrico teórico

(figura). En las interacciones empíricas el actor identifica los componentes de una

configuración con los componentes de una figura (análogamente a una aprehensión

discursiva); mientras que en las interacciones representacionales el actor utiliza las

propiedades teóricas de una figura para hacer una afirmación sobre una configuración lo

que a menudo incluye la ayuda de marcas (a modo de una aprehensión operativa).

Identificar las diferentes aprehensiones puede facilitar el análisis de las

respuestas dadas por el estudiante a los problemas de geometría; además, también puede

mostrar los cambios de anclaje en la aprehensión discursiva (de visual a discursivo y de


67

discursivo a visual), así como los tipos de modificación en la aprehensión operativa

(figural y reconfiguración).

El cambio de anclaje es de gran importancia para coordinar los distintos modos

de representación al resolver problemas geométricos (Quesada, 2014). En relación a los

modos de representación hay que destacar que, debido a las características del contenido

geométrico, muchas tareas vienen dadas en el modo figurativo y demandan traslaciones

al modo numérico/simbólico y viceversa (Escudero, 2003). Por ello, si la formación de

conceptos implica una coordinación de sistemas de representación (Duval, 1993),

entonces es importante en el aprendizaje de las matemáticas no solo la automatización

de ciertas técnicas operatorias (cálculo) sino también el aprendizaje de dicha

coordinación (Penalva y Torregrosa, 2001). Por tanto, resulta relevante la coordinación

entre las distintas aprehensiones y los cambios de representación (conversiones), para el

desarrollo de los procesos de razonamiento relacionados con el discurso en la resolución

de problemas de geometría (Torregrosa, Quesada y Penalva, 2010).

2.3. Los procesos de visualización y razonamiento

Identificar y caracterizar las aprehensiones y su coordinación que los estudiantes

generan cuando están resolviendo problemas de probar en geometría puede facilitar el

análisis de las respuestas dadas y poner de manifiesto las acciones que desarrollan.

Además, aunque la visualización es de gran importancia para la resolución de

problemas en geometría, los procesos de visualización están íntimamente relacionados

con los procesos de razonamiento (Torregrosa, Quesada y Penalva, 2010); lo que ha

motivado que muchas de las investigaciones de corte psicológico estén interesadas en

observar los procesos de razonamiento (Gutiérrez, 1998; Presmeg, 2006).


68

Según Duval (1998), el razonamiento es cualquier procedimiento que nos

permite desprender nueva información de informaciones dadas. Para Fischbein (1993),

tanto en situaciones de la vida diaria como en la científica, el razonamiento incluye una

interacción permanente entre las dinámicas conceptuales e imaginativas. Asimismo, en

el curso de esa interacción, los significados cambian de una categoría a otra, las

imágenes obtienen significados más generalizados y los conceptos enriquecen

ampliamente sus connotaciones y su poder combinatorio; todo esto, también se verifica

para el razonamiento en geometría. Jones (1998), siguiendo las ideas de Fischbein,

argumenta que el razonamiento geométrico puede ser caracterizado como la interacción

entre el aspecto figural y el aspecto conceptual de las representaciones. Mariotti (1995)

indica que el razonamiento geométrico puede ser interpretado en términos de un proceso

dialéctico entre los aspectos figurales y conceptuales; es decir, el razonamiento

geométrico involucra una relación entre las imágenes y los conceptos. Las descripciones

del razonamiento geométrico mencionadas introducen características del proceso de

visualización, tales como la modificación de las representaciones y la asociación de

aspectos conceptuales, que permiten definir el razonamiento en un sentido amplio

como: cualquier acción, ensayo y error o estrategia para resolver una dificultad, que

permita obtener nueva información a partir de informaciones previas, sean estas

proporcionadas por el problema o derivadas del conocimiento previo (Quesada, 2014).

Los procesos de razonamiento son considerados como una variedad de acciones

que realizan los estudiantes para comunicarse y explicar a otros, tanto como a ellos

mismos, lo que ven, descubren, piensan y concluyen (Hershkowitz, 1998).

Duval (1998) diferencia dos tipos de razonamiento en relación con los procesos

discursivos desarrollados: el proceso discursivo natural y el proceso discursivo teórico;


69

posteriormente, Torregrosa et al. (2007, 2010) añadieron el proceso configural. A partir

de estos, podemos definir:

• Razonamiento discursivo natural: Este proceso se realiza espontáneamente en

el acto de la comunicación ordinaria. Se realiza espontáneamente en lenguaje

natural a través de descripciones, explicaciones o argumentaciones. Para poder

identificar el proceso es necesario distinguir las operaciones discursivas básicas,

los conectores, así como símbolos verbales, entre otros, que puedan aparecer en

la resolución de problemas de geometría

• Razonamiento discursivo teórico: Este proceso utiliza solo teoremas, axiomas

o definiciones para llegar a la conclusión, a través de la deducción. Puede ser

realizado en un registro estrictamente simbólico o en el registro natural, pero

siempre mediante una estructura deductiva.

• El razonamiento como un proceso configural: Es la coordinación de la

aprehensión discursiva y operativa, gracias al desarrollo de la acción coordinada

aprehensión discursiva/aprehensión operativa que efectúa el estudiante cuando

resuelve un problema de geometría, lo cual genera una interacción entre la

configuración inicial y sus posibles modificaciones con las afirmaciones

matemáticas adecuadas (Torregrosa y Quesada, 2007).

2.4. El razonamiento configural

La interacción entre la aprehensión operativa y la discursiva puede ayudarnos a

comprender cómo las relaciones entre las propiedades geométricas gobiernan la

manipulación de las figuras en la resolución de problemas de probar en geometría.


70

El foco de atención sobre la coordinación de las aprehensiones operativa y

discursiva en situaciones de resolución de problemas (Torregrosa y Quesada, 2007;

Prior y Torregrosa, 2013) que ha permitido identificar algunas características de cómo

funciona la relación entre las figuras, los hechos geométricos y la generación de

relaciones lógicas entre ellos. Torregrosa y Quesada han denominado a este proceso

“razonamiento configural” para subrayar la relación interactiva entre la identificación de

elementos en una configuración geométrica y su vinculación con algún hecho

geométrico, que el estudiante puede usar para resolver un problema planteado.

Figura 2.7. Razonamiento configural: coordinación entre la aprehensión operativa y

discursiva.

El razonamiento configural es un tipo de razonamiento caracterizado por la

coordinación entre la aprehensión discursiva y la aprehensión operativa. Esta

coordinación debe ser comprendida como el conjunto de acciones que realiza el

resolutor para razonar en geometría y debe distinguirse de las acciones que realiza en

los procesos de comunicación. Es decir, el razonamiento configural es el desarrollo de

las aprehensiones (aprehensión discursiva/aprehensión operativa) realizadas y

coordinadas por el estudiante cuando está resolviendo un problema de geometría. La

resolución de un problema de geometría de probar exige relacionar la configuración

inicial y las posibles modificaciones de esta con las afirmaciones matemáticas

oportunas, lo que permite identificar el razonamiento configural involucrado, que puede

ayudarnos a comprender mejor los procesos que permiten el desarrollo de la prueba.


71

2.4.1. Truncamiento y bucle

El razonamiento configural (Torregrosa, Quesada y Penalva, 2010) puede

desembocar en un truncamiento (la coordinación proporciona la “idea” para resolver

deductivamente el problema) y permite generar un proceso deductivo; o bien en un

bucle (situación de bloqueo que no permite el avance hacia la solución).

El término “truncamiento” se usa para dar cuenta del momento en el que los

resolutores dejan el razonamiento visual al generarse la necesidad lógica de la

argumentación (Prusak et al., 2012). Durante este proceso, el estudiante manipula

conceptos figurales, es decir, imágenes intrínsecamente controladas por los conceptos,

pero también es posible que los hechos y propiedades geométricas conocidos por el

estudiante guíen de alguna manera el proceso de identificación de subconfiguraciones

relevantes. Únicamente cuando las figuras son intrínsecamente controladas por las

condiciones conceptuales se logra la resolución de un problema al generarse un

“truncamiento” en el razonamiento configural que permite generar una cadena lógica de

proposiciones y hechos geométricos. En este proceso, la identificación en la

configuración inicial de elementos que puedan asociarse a algún hecho o propiedad

geométrica (interacción entre las aprehensiones operativas y discursivas) puede ser

condición necesaria para desencadenar el razonamiento configural pero no ser una

condición suficiente para generar el truncamiento (Clemente y Llinares, 2015).

Asumir la posibilidad de reconocer que un hecho geométrico puede desempeñar

papeles diferentes en el proceso de resolución de los problemas (Herbst et al., 2009;

Herbst y Arbor, 2004), puede ser relevante para el truncamiento del razonamiento

configural. Herbst se refiere a este último aspecto como la relación dinámica entre lo

que es conocido y cómo es conocido al generar conjeturas razonadas. Este hecho


72

permite subrayar los diferentes momentos en la resolución de problemas de probar

diferenciando los modos en los que las interacciones de los estudiantes con las

configuraciones pueden apoyar el trabajo de conjeturar, hacer la prueba y construir

conjeturas razonadas —usar razonamiento deductivo para averiguar lo que podría o

debería ser verdad— (Herbst y Arbor, 2004).

En la resolución de estos problemas, algunos estudiantes tienen dificultades en

“truncar” el proceso de razonamiento configural para inferir información adicional

sobre la configuración (razonamiento deductivo). Esta evidencia pone de manifiesto la

necesidad de comprender mejor la relación entre el razonamiento configural y la

generación de procesos deductivos durante la resolución de problemas de probar en

geometría.

Esta situación plantea la necesidad de estudiar cómo los resolutores consideran

los hechos y proposiciones geométricas identificadas en una configuración, o dadas

como datos de un problema, como premisas en secuencias deductivas. Llegar a

comprender mejor cómo se relacionan los ítems de conocimiento geométrico en este

proceso puede ayudarnos a entender lo que favorece el truncamiento del razonamiento

configural.

En el desarrollo de la coordinación de las aprehensiones operativas y

discursivas, y por tanto, en el inicio del razonamiento configural que se desencadena

mediante la identificación de una subconfiguración relevante, desempeña un papel

importante la figura prototípica que el estudiante es capaz de identificar. Esto quiere

decir que de entre las varias figuras que el estudiante puede observar en la configuración

inicial, la que logra llamar su atención estará vinculada con alguna de las figuras

prototípicas que guarda en su memoria. En las situaciones en las que hay que generar

una prueba y en la que hay que establecer algún vínculo entre la argumentación visual y


73

la argumentación lógico-deductiva se plantea la necesidad de estudiar el papel que

desempeña la identificación de una subconfiguración particular a partir de la cual se

inician las coordinaciones entre las aprehensiones discursivas y operativas que

constituyen el razonamiento configural.

En los problemas de probar en geometría, no es fácil para los estudiantes la

transición de la argumentación basada en consideraciones intuitivas y visuales a otras

lógico-deductivas (Prusak et al., 2012), por ello, es significativo determinar las

condiciones que favorezcan esta transición. En los problemas de probar en los que se

proporciona una configuración inicial, la importancia de la identificación de una

subconfiguración relevante para la resolución del problema reside en que refuerza la

activación de los conocimientos de geometría adecuados para la prueba. Es decir, el

acceso y uso del conocimiento durante la resolución de problemas viene determinado

por la naturaleza de las relaciones que el resolutor haya podido establecer previamente

entre los ítems de conocimiento. Consecuentemente, determinar cómo la identificación

de una configuración permite movilizar determinados ítems de conocimiento puede

aportar información sobre la naturaleza de la relación entre la visualización y el

conocimiento usado de manera productiva durante la resolución del problema

(Chinnappan, 1998) al iniciar el razonamiento configural. De esta manera, indagar en

las relaciones entre el papel desempeñado por la identificación de figuras prototípicas en

las configuraciones dadas, y el conocimiento de geometría que permite activar

conjeturas razonadas que están en el desarrollo del razonamiento configural, puede

proporcionarnos una información que nos ayude a comprender mejor cómo se dan estos

procesos.


74

2.5. Preguntas de investigación

A partir del marco teórico expuesto, el objetivo marcado en esta investigación se

dirige al análisis de las relaciones entre los procesos de visualización y el conocimiento

de geometría en la resolución de problemas de probar. Especificando, las dos preguntas

a las que pretendemos dar respuesta son:

a) ¿Cuáles son las características del razonamiento configural desencadenado en

la resolución de problemas geométricos de prueba?

a1) ¿Qué relación existe entre la forma del discurso escrito creado por los

estudiantes para maestro al resolver problemas de geometría de probar y

las características del razonamiento configural generado?

b) ¿Cuál es el papel de la visualización (puesto de manifiesto al identificar una

subconfiguración relevante) al iniciar el razonamiento configural

determinando una trayectoria de resolución?

b1) ¿Qué relaciones existen entre la identificación de figuras prototípicas y el

conocimiento de geometría activado que permite iniciar el razonamiento

configural durante la resolución de problemas de probar?

CAPÍTULO 3. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN

3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar

75

CAPÍTULO 3. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN

En este capítulo se presenta el diseño de la investigación realizada que se ha

llevado a cabo mediante dos estudios. El estudio 1 se efectuó con la finalidad de dar

respuesta a la primera pregunta de investigación a) y a1), centrada en caracterizar los

procesos cognitivos que evidencian los estudiantes en su discurso escrito. Esta primera

aproximación nos permitió identificar algunas características de estos procesos que

serían posteriormente analizados con mayor profundidad. Análogamente, hemos

realizado el estudio 2 para responder a la segunda pregunta de investigación b) y b1),

completando lo anterior y para tratar de explicar la relación entre la identificación de

una subconfiguración relevante y la movilización del conocimiento de geometría que

define diferentes trayectorias de resolución. Para ambos estudios, en primer lugar,

haremos referencia a los participantes y su contexto. En segundo lugar, indicaremos

cómo diseñamos los instrumentos de recogida de la información. Finalmente,

mostraremos el proceso de análisis de los datos realizado en diferentes fases.


76

3.1. Estudio 1

En el estudio 1, pretendemos dar respuesta a la primera pregunta de

investigación: a) ¿Cuáles son las características del razonamiento configural

desencadenado en la resolución de problemas geométricos de prueba?; así como a una

cuestión derivada de esta: a1) ¿Qué relación existe entre la forma del discurso escrito

creado por los estudiantes para maestro al resolver problemas de geometría de probar y

las características del razonamiento configural generado?

3.1.1. Participantes y contexto

En el estudio 1 participaron 97 estudiantes para maestro que habían seguido un

curso de geometría entre los años 2011-2012, organizado considerando los procesos de

visualización, construcción y prueba (Duval, 1999). El objetivo del curso era que los

estudiantes para maestro desarrollaran la habilidad de reconocer diferentes propiedades

geométricas mediante aprehensiones discursivas y operativas de conceptos geométricos

del currículo de educación primaria (Duval, 2007), y desarrollaran el razonamiento

configural (Torregrosa y Quesada, 2007; Torregrosa, Quesada y Penalva 2010).

Algunos de los contenidos en esta asignatura eran las características, propiedades y

clasificación de las figuras geométricas (polígonos, cuadriláteros, triángulos). Una parte

de este curso consistía en resolver actividades de visualización, tareas de construcción

geométrica y resolución de problemas geométricos de probar.


77

3.1.2. Instrumentos de recogida de datos

Al finalizar el curso, los estudiantes para maestro resolvieron un cuestionario

que incluía dos problemas de probar (Problemas 2 y 3) como parte de la evaluación de

la asignatura (Figura 3.1.).

Problema 2 Problema 3

BD es la mediana del triángulo ACB, AE⏊BF y CF⏊BF. Probar que AE≡CF.

Demostrar que en un triángulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son congruentes.

Figura 3.1. Problemas del cuestionario del estudio 1.

El objetivo de estos dos problemas era determinar cómo los estudiantes

reconocían y relacionaban diferentes propiedades geométricas para deducir nuevos

hechos y propiedades de las figuras. La resolución implicaba reconocer e identificar en

las configuraciones geométricas propiedades y definiciones mediante aprehensiones

operativas y discursivas, crear diferentes organizaciones posibles de estas proposiciones

(resultados geométricos), para inferir nueva información sobre la configuración inicial

mediante procesos de deducción lógica (Duval, 2007), y construir una prueba. Se pidió

a un grupo de formadores de maestros identificar los conocimientos geométricos que

podían usarse en la resolución de cada problema considerando el contenido curricular.

La Tabla 3.1. recoge estos conocimientos geométricos identificados.


78

Tabla 3.1. Conocimiento geométrico susceptible de ser utilizado en ambos problemas del estudio 1 (CAi= código usado para indicar el ítem de conocimiento geométrico

susceptible de ser usado en algún momento de la resolución de los problemas) P2 P3

Asociación directa de elementos geométricos a la configuración:

(CA1) Definición de triángulo

(CA2) Definición de perpendicularidad

(CA3) Definición de mediana de un triángulo

(CA4) Ángulos opuestos por el vértice son iguales

(CA5) Si una secante corta a dos rectas paralelas, forma con ellas ángulos alternos-internos iguales (alternos-externos iguales)

(CA6) Si una recta secante a dos rectas forma con ellas ángulos alternos-internos / alternos-externos iguales, entonces las dos rectas son paralelas

Elementos geométricos susceptibles de ser usados para inferir información adicional:

(CA7) Si dos rectas forman ángulos rectos con otra tercera son paralelas

(CA8) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º (conocidos dos ángulos de un triángulo, conocemos el tercero)

(CA9) Criterios de congruencia de triángulos: A-L-A, L-A-L, L-L-L


(CA1) Definición de triángulo

(CA10) Definición de bisectriz de un ángulo

(CA11) Definición de triángulo isósceles: un triángulo es isósceles si tiene dos lados iguales (si un triángulo tiene dos ángulos iguales también son iguales los lados opuestos - por tanto es un isósceles)


(CA8) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º [conocidos dos ángulos de un triángulo, conocemos el tercero]

(CA9) Criterios de congruencia de triángulos: A-L-A, L-A-L, L-L-L

En cada una de las figuras iniciales en los dos problemas se pueden identificar

varias configuraciones que logran favorecer la generación de ideas claves para una

solución. Mesquita (1998) indica que el poder de una figura depende directamente de

las condiciones de reorganizar las estructuras geométricas específicas. Los problemas se

diseñaron considerando la existencia de al menos una configuración relevante (Figura


79

3.2.), y fueron elegidos pensando en que las figuras representan un doble papel en el

proceso de resolución. Por una parte, un papel descriptivo, ya que su función es

proporcionar un contexto para la aprehensión de las propiedades mencionadas en el

enunciado del problema (tales como "BD es una mediana del triángulo ABC"), pero no

tiene por qué sugerir un tratamiento específico (Duval, 1999). Es decir, la figura y el

enunciado ayudan a representar la situación geométrica que se plantea en cada caso en

general. Por otra parte, un papel heurístico, ya que da la posibilidad de identificar

alguna configuración relevante, que puede depender de la conducta individual de cada

estudiante.


Figura 3.2. Subconfiguraciones relevantes inicialmente consideradas en el diseño de

los problemas del cuestionario del estudio 1.

Las subconfiguraciones en las representaciones de los dos problemas tienen

características heurísticas diferentes. La única subconfiguración en el problema 2 y la

subconfiguración c en el problema 3 podían ser consideradas parte de la configuración

inicial. Mientras que las subconfiguraciones a y b en el problema 3 son

subconfiguraciones que se solapan en la configuración inicial, y debe realizarse una

acción cognitiva más compleja (aprehensión operativa) para visualizarlas por separado.

Otro aspecto relevante a considerar es la figura inicial del problema 2, donde se muestra

el triángulo rectángulo CDF con una etiqueta para indicar el ángulo recto en el punto

F, lo que facilitaría su identificación. Por el contrario, la subconfiguración c en el

a

b

c


80

problema 3 carece de etiqueta para indicar el punto de intersección F de los segmentos

EC y BD lo que podría dificultar su identificación (Chen y Herbst, 2013). Además, en la

configuración inicial del problema 3 hay una “pista” perceptiva al resaltarse uno de los

triángulos que se forman con una de las bisectrices del triángulo isósceles. De esta

manera, el problema 3 permitía estudiar la influencia de dicha pista perceptual en la

identificación de una subconfiguración y en la generación del proceso de razonamiento

configural.

3.1.3. Análisis

Los datos usados en esta investigación son las respuestas dadas por los

estudiantes a estos dos problemas. Inicialmente identificamos en el discurso textual

generado en cada resolución los elementos significativos, que indicaban cómo el

estudiante estaba construyendo su argumentación como consecuencia de algunas

aprehensiones operativas y discursivas y su coordinación. El análisis (Clement, 2000) se

realizó en tres fases que describimos a continuación.

Para identificar en la investigación la respuesta de un alumno a un problema en

cada estudio, hemos utilizado la siguiente codificación: AiPjEk. Donde Ai representa el

alumno que resuelve el problema (A1 hasta A97 en el estudio 1 y A1 hasta A182 en el

estudio 2); Pj muestra el problema (P2 o P3 en el estudio 1 y P1 o P2 en el estudio 2);

Ek indica el estudio (E1 en el estudio 1 y E2 en el estudio 2). Por ejemplo, la respuesta

del alumno 37 al problema 2 del estudio 1, se denota como: A37P2E1.

3.1.3.1. Fase I: identificación de elementos relevantes en la resolución

En la primera fase, el discurso textual generado por los estudiantes fue

descompuesto en unidades de análisis para identificar las aprehensiones operativas y


81

discursivas puestas de manifiesto (Torregrosa et al., 2010). Consideramos como una

unidad de análisis las partes del discurso (dibujo, asignación de etiquetas o marcas a

partes de la figura y/o del texto escrito), que podían reflejar la identificación por parte

de los estudiantes para maestro de un hecho geométrico; es decir, si el resolutor

relacionaba propiedades o definiciones a la configuración geométrica dada mediante la

asociación directa e individual de hechos geométricos, primando en este caso el sentido

configural. Este proceso es lo que Herbst (2004) ha denominado interacción

representacional entre el estudiante y la configuración en el proceso de resolver

problemas de geometría.

A partir de la respuesta de cada estudiante (Figura 3.3.), en la fase I,

identificamos:

• Evidencias de que los estudiantes han generado alguna aprehensión operativa

identificando alguna subconfiguración. Por ejemplo, en el problema 2, cuando el

estudiante indica de alguna manera que está considerando los triángulos AED

y DCF (Figura 3.4.). Análogamente, en el problema 3 las posibles

subconfiguraciones que pueden ser reconocidas son: BDC y BEC (a);

BAD y EAC (b); o bien, BEF, FDC y BFC (c).

• Si los estudiantes reconocían los objetos geométricos dados como datos del

problema en la configuración. Por ejemplo, en el problema 2, si indicaban que

los ángulos ∡AED y ∡DFC eran rectos por ser AE⏊BF y CF⏊BF, es decir, si

identificaban los ángulos ∡AED y ∡DFC como congruentes (Figura 3.5.); que

los segmentos AD y DC son congruentes por ser BD mediana de ABC (Figura

3.6.); que los ángulos ∡ADE y ∡FDC son congruentes por ser opuestos por el

vértice en D (Figura 3.7.)


82

Las figuras siguientes muestran un ejemplo de cómo, a partir del el texto escrito

(Figura 3.3.), identificamos los elementos geométricos y relaciones usadas en la

respuesta de un estudiante al problema 2. En primer lugar, se comprueba que ha

generado una aprehensión operativa identificando alguna subconfiguración relevante

(Figura 3.4.); a continuación, se buscan evidencias en el discurso generado por el

estudiante de una asociación directa de elementos geométricos a la configuración

(Figuras 3.5., 3.6. y 3.7.).

Figura 3.3. Respuesta del alumno 41 al problema 2 (A41P2E1).


83

Figura 3.4. En la fase I del análisis se comprueba que el estudiante ha generado una aprehensión operativa identificando alguna subconfiguración relevante (triángulos

AED y DCF).

Figura 3.5. Evidencia en el discurso generado por el estudiante de una asociación

directa de elementos geométricos a la configuración; en este caso, utilizando el conocimiento geométrico «definición de perpendicularidad» (CA2).


84

Figura 3.6. El análisis continúa en la fase I con la identificación de nuevas evidencias en el discurso escrito; en este caso, utilizando el conocimiento geométrico «definición

de mediana de un triángulo» (CA3).

Figura 3.7. Utilización del conocimiento geométrico «ángulos opuestos por el vértice

son iguales» (CA4) para inferir que los ángulos ∡ADE y ∡FDC son congruentes.


85

Finalmente, mediante un esquema gráfico se resume la identificación de la

subconfiguración relevante y el reconocimiento de los objetos geométricos dados como

datos del problema en la configuración inicial, según se muestra a continuación en la

Figura 3.8.

Figura 3.8. En la fase I del análisis, el discurso textual generado por el estudiante es

descompuesto en unidades de análisis (ADi = Aprehensión Discursiva; AOi = Aprehensión Operativa).

3.1.3.2. Fase II: identificación de la organización establecida entre los hechos

geométricos en la resolución de la prueba

En la segunda fase del análisis identificamos en el discurso escrito de los

estudiantes la utilización de conocimiento externo a los datos del problema para inferir

nueva información, así como el uso de varios hechos geométricos que se relacionan


86

mediante cadenas deductivas “si… entonces…”, primando en este caso las relaciones

lógicas.

En la segunda fase, el texto de los estudiantes fue agrupado en dos momentos del

proceso de resolución:

• Visualización: cuando los estudiantes asocian afirmaciones matemáticas

(datos del problema o información nueva) a la configuración mediante

aprehensiones discursivas y operativas entre varios hechos geométricos.

• Organización de las proposiciones: cuando los estudiantes encadenan

lógicamente proposiciones para inferir/probar hechos.

De esta manera, consideramos cómo los estudiantes para maestro asocian a la

configuración afirmaciones matemáticas, procedentes de los datos del problema u

obtenidas como nueva información, y las integran en su discurso para explicitar lo que

van a considerar como premisas de una cadena deductiva. La identificación de la

subconfiguración y las organizaciones de las proposiciones derivadas buscaba reconocer

la manera en la que los estudiantes relacionaban los contenidos geométricos para

generar procesos deductivos (Prusack et al., 2012). Para ello, considerábamos cómo el

estudiante organizaba las proposiciones (afirmaciones matemáticas, entendidas como

definiciones, teoremas, corolarios, propiedades geométricas, etc.), que le permitían usar

las afirmaciones matemáticas que había identificado como hipótesis de algún teorema o

proposición conocido. Es en este paso en el que los estudiantes que realizan un

truncamiento del razonamiento configural tienen en cuenta los hechos geométricos que

están considerando como premisas de teoremas, en este caso los criterios de

congruencia de triángulos, para deducir información nueva sobre la configuración (lo

que había que probar).


87

De esta manera pudimos identificar:

• Si los estudiantes usaban un conocimiento externo a los datos del problema

para generar información adicional. Por ejemplo, en el problema 2,

si utilizaban el hecho de que los ángulos interiores de un triángulo suman

180º, y por tanto, conocidos dos ángulos en un triángulo podemos conocer

el tercero (Figura 3.9.)

Figura 3.9. En la fase II del análisis identificamos si el estudiante utiliza un

conocimiento externo a los datos del problema para generar información adicional; en este caso, usando el conocimiento geométrico «suma de los ángulos internos de un

triángulo es igual a 180º» (CA8).

• Si los estudiantes volvían a usar un hecho geométrico externo a los datos del

problema para generar información adicional sobre la configuración, utilizando

información obtenida previamente como premisas en una cadena deductiva. Por

ejemplo, si usaban el criterio de congruencia de triángulos A-L-A al reconocer la


88

información reunida en la configuración como premisas de este criterio de

congruencia (Figura 3.10.)

Figura 3.10. El estudiante utiliza información obtenida previamente como premisas en una cadena deductiva, usando el conocimiento geométrico «criterio de congruencia de

triángulos A-L-A» (CA9).

La Figura 3.11. recoge de manera gráfica lo obtenido en la fase II, agrupando las

unidades de análisis del discurso textual generado por el estudiante en un segundo

momento del proceso de razonamiento configural:


89

Figura 3.11. El discurso textual generado por el estudiante es descompuesto en

unidades de análisis y se agrupa en un segundo momento del proceso de razonamiento configural.

Mientras que en la fase I del análisis, desde el texto escrito identificamos los

elementos geométricos y relaciones usadas en la respuesta a cada problema para mostrar

la coordinación de las aprehensiones discursivas y operativas que inferíamos realizaba

el estudiante, en la fase II, agrupamos los diferentes pasos del proceso de resolución en

dos momentos para identificar el razonamiento configural y la generación de relaciones

lógicas entre los hechos geométricos, al llegar a considerar algunos ítems de

información como premisas de alguna proposición o teorema geométrico. De esta

manera, podíamos identificar cuándo el resolutor establecía una relación lógica entre los

hechos geométricos vinculados a la configuración y deducía el hecho geométrico que

había que probar. De este modo pudimos identificar los momentos en los que los ítems

de conocimiento pueden desempeñar papeles diferentes, desde lo configural a

desempeñar un estatus lógico en un proceso deductivo, y la manera en la que los

estudiantes usaban las configuraciones en cada una de las trayectorias de resolución

seguidas.


90

La Figura 3.12. muestra el producto de la fase II del análisis que nos permite

determinar características del razonamiento configural, que se apoya en la coordinación

de los procesos de visualización (aprehensión operativa y aprehensión discursiva). Esta

forma de proceder permite, por ejemplo, en el análisis de la respuesta A41P2E1,

reconocer que el razonamiento configural se inicia con la identificación de una

subconfiguración relevante mediante una aprehensión operativa (AO0), en la que

desempeña un papel importante la figura prototípica de triángulo rectángulo. A

continuación, comienzan una serie de coordinaciones sucesivas entre aprehensiones

operativas y discursivas (AO1-AD1, AO2-AD2, AO3-AD3) definidas por la obtención de

información a partir de los datos del problema, gracias a la asociación directa de

elementos geométricos a la configuración inicial, que gráficamente se representa

mediante aprehensiones discursivas de las que únicamente salen flechas.

Posteriormente, se identifican dos momentos del proceso de razonamiento configural;

en el segundo de estos momentos aparecen coordinaciones entre aprehensiones

operativas y discursivas (AO4-AD4, AO5-AD5) en las que se recurre a elementos

geométricos susceptibles de ser usados para inferir información adicional, relacionando

los hechos geométricos mediante cadenas lógicas de inferencias “si… entonces…”,

produciéndose el «truncamiento» en este tipo de coordinaciones y, posteriormente, el

alumno consigue obtener las conclusiones que le permiten resolver deductivamente el

problema.


91

Figura 3.12. Ejemplo de esquema gráfico del razonamiento configural obtenido tras

realizar las fases I y II del análisis a la respuesta del alumno 41 al problema 2 (A41P2E1).


92

Además, hicimos un análisis adicional de la forma del discurso comparando las

distintas respuestas relativas a la identificación de la subconfiguración y la organización

de las proposiciones derivadas, permitiendo explicar de qué manera inicialmente los

contenidos geométricos elementales son relacionados y vinculados a configuraciones

mediante procesos de visualización, para posteriormente, generar procesos deductivos.

En esta etapa también consideramos la forma del discurso que los estudiantes

generaban reflejando un mayor o menor apoyo en la representación gráfica de las

configuraciones (Figura 3.13.), o basándose en un discurso con lenguaje textual-

simbólico (Figuras 3.14. y 3.15), que podía depender del estilo cognitivo del estudiante

(Mayer y Massa, 2003). Esta manera de proceder nos permitía tener un registro de cómo

el estudiante se implicaba en comunicar el proceso de resolución. De este modo

consideramos las interacciones de los estudiantes con los sistemas semióticos (el

discurso escrito y las representaciones de las configuraciones) como instrumentales en

la resolución de los problemas de probar. Estas relaciones son las que intentamos

explorar con nuestros datos.

Figura 3.13. Fragmento de la respuesta del alumno 14 al problema 3 (A14P3E1) que

refleja una representación gráfica de la subconfiguración relevante.


93

Figura 3.14. Fragmento de la respuesta del alumno 19 al problema 2 (A19P2E1), en la que utiliza una representación con formato mixto gráfico-texto de la subconfiguración

relevante.

Figura 3.15. Fragmento de la respuesta del alumno 33 al problema 2 (A33P2E1), que

identifica la subconfiguración relevante exclusivamente mediante lenguaje textual-simbólico.

3.2. Estudio 2

Los resultados obtenidos permitieron subrayar el papel clave que la

identificación de subconfiguraciones relevantes desempeñaba en definir trayectorias de

resolución caracterizadas por el uso de unos ítems de conocimiento geométrico


94

determinado. Esto generó una cuestión de investigación adicional que llevó a la

realización del estudio 2.

En el estudio 2, generado a partir de los resultados del estudio 1, intentamos

responder a la segunda pregunta de investigación: b) ¿Cuál es el papel de la

visualización (puesto de manifiesto al identificar una subconfiguración relevante) al

iniciar el razonamiento configural determinando una trayectoria de resolución?; así

como a una cuestión derivada: b1) ¿Qué relaciones existen entre la identificación de

figuras prototípicas y el conocimiento de geometría activado que permite iniciar el

razonamiento configural durante la resolución de problemas de probar?

3.2.1. Participantes y contexto

En el estudio 2 participaron 182 estudiantes para maestro que habían cursado

una asignatura sobre Sentido Geométrico entre los años 2012-2013, organizada

considerando los procesos cognitivos de visualización, construcción y prueba (Duval,

1999), con las mismas características de los alumnos del estudio 1.

3.2.2. Instrumentos de recogida de datos

Como parte de la evaluación del curso se pidió a los estudiantes que resolvieran

dos problemas de probar (Figura 3.16.) en los que se presentaba una configuración

geométrica e información de algunos hechos geométricos vinculados a la configuración.

Los problemas pedían probar la congruencia de dos segmentos en la configuración

dada. Para su resolución, los estudiantes debían desarrollar aprehensiones operativas y

discursivas para identificar alguna subconfiguración que les permitiera reconocer

hechos geométricos que podían relacionar para generar la prueba.


95


Dado el triángulo ABC de la figura, con AB≡AC y ∡RCB≡∡TBC. Probar que RC≡BT

En la figura, AM es bisectriz de ∡CAB, ACB es un triángulo rectángulo en C y MN⏊AB en N. Probar que CM≡MN

Figura 3.16. Problemas de probar en el estudio 2.

De la misma manera que en el estudio 1, se pidió a un grupo de formadores de

maestros que presentaran diferentes alternativas para la resolución de los problemas en

el contexto en el que se encuentran los resolutores, con el objetivo de identificar los

hechos geométricos que definían los problemas y que podrían usarse para resolverlos.

En la Tabla 3.2., indicamos primero los elementos geométricos que podían proceder de

realizar asociaciones directas de elementos geométricos a la configuración a partir de

los datos del problema; y, en segundo lugar, los elementos geométricos susceptibles de

ser usados para inferir información adicional.


96

Tabla 3.2. Conocimiento geométrico susceptible de ser utilizado en ambos problemas del estudio 2 (CAi= código usado para indicar el ítem de conocimiento geométrico

susceptible de ser usado en algún momento de la resolución de los problemas). Problema 1 Problema 2


(CA1) Definición de triángulo (CA4) Ángulos opuestos por el vértice

son congruentes


(CA2) Caracterización de triángulo isósceles (dos lados congruentes, y por tanto, dos ángulos congruentes). En un triángulo, los ángulos opuestos a dos lados congruentes son congruentes y los lados opuestos a dos ángulos congruentes son congruentes

(CA3) Propiedad aditiva de los ángulos congruentes (si a dos ángulos congruentes se les resta la misma parte lo que queda son ángulos congruentes)

(CA9) Criterio de congruencia de triángulos A-L-A


(CA1) Definición de triángulo (CA5) Definición de bisectriz de un

ángulo (es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes congruentes)

(CA6) Definición de rectas perpendiculares

(CA7) Definición de triángulo rectángulo


(CA8) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º (conocidos dos ángulos en un triángulo, conocemos el tercero)

(CA9) Criterio de congruencia de triángulos A-L-A

En las configuraciones iniciales de los dos problemas se pueden identificar

subconfiguraciones que logran ayudar a la generación de diferentes trayectorias de

resolución (Mesquita, 1998). En la Figura 3.17. mostramos las posibles

subconfiguraciones relevantes que podían ser identificadas en los problemas del estudio

2 mediante alguna aprehensión operativa, y que podían permitir reconocer triángulos

con ángulos congruentes y lados congruentes como premisas de alguno de los criterios

de congruencia de triángulos.


97


Figura 3.17. Posibles subconfiguraciones consideradas en la resolución de los problemas del estudio 2.

Las subconfiguraciones relevantes de los dos problemas (tres en el problema 1 y

una en el problema 2) tienen características heurísticas diferentes. Las

subconfiguraciones “a” y “b” en el problema 1 se solapan en la configuración inicial

por lo que requieren una aprehensión operativa para visualizarlas por separado; mientras

que la subconfiguración “c” en el problema 1 y la subconfiguración del problema 2

podían ser consideradas parte de la configuración inicial. Además, la subconfiguración

“c” en el problema 1 carece de etiqueta para indicar el punto de intersección F de los

segmentos RC y BT lo que podría dificultar su identificación (Chen y Herbst, 2013).

Otro aspecto relevante a considerar es la figura inicial del problema 1, donde se muestra

el triángulo ABC isósceles (AB≡AC) representado en una posición no prototípica, que

puede dificultar su reconocimiento para algunos estudiantes. Asimismo, en la única

subconfiguración del problema 2, el triángulo rectángulo ACM se muestra en su

representación prototípica (sus lados perpendiculares son paralelos a los bordes del

papel en que está dibujado), lo que facilitaría su identificación (Hershkowitz, 1989).

Estas características eran similares a las de los problemas usados en el estudio 1

excepto que en este caso, como ya se ha indicado, el triángulo isósceles del problema 1

está en una posición no prototípica, mientras que en el estudio 1 se presentaba el


98

triángulo isósceles en su posición prototípica. Esta modificación en una de las

características de la configuración presentada, estaba pensada para intentar obtener

información adicional sobre el papel que puede desempeñar la identificación de una

subconfiguración relevante al inicio del razonamiento configural, generando una

determinada trayectoria de resolución.

3.2.3. Análisis

Los datos usados en esta investigación son las respuestas dadas por los

estudiantes a estos dos problemas. Inicialmente identificamos en el discurso textual

generado en cada resolución los elementos significativos (unidades de análisis), que

indicaban cómo el estudiante estaba construyendo su argumentación como

consecuencia de algunas aprehensiones operativas y discursivas y su coordinación. El

análisis se realizó en tres fases siguiendo el estudio 1, que describimos a continuación.

3.2.3.1. Realización de las Fases I y II: identificación de elementos relevantes y su

organización en la resolución de la prueba

Análogamente a lo descrito en el estudio 1, a partir de la respuesta de cada

estudiante, en la fase I, identificamos:

• Evidencias de que los estudiantes han generado alguna aprehensión operativa

identificando alguna subconfiguración. Por ejemplo, en el problema 1 y según la

subconfiguración reconocida, cuando el estudiante indica de alguna manera que

está considerando los triángulos RCB y TBC (subconfiguración “a");

ATB y ARC (“b”); o bien, CFB, RFB y TFC (“c”). Análogamente,

en el problema 2 cuando tienen en cuenta los triángulos ACM y AMN.


99

• Si los estudiantes reconocían los objetos geométricos dados como datos del

problema en la configuración. Por ejemplo, si en el problema 1 y para la

subconfiguración “c”, reconocían que los ángulos ∡RFB y ∡TFC son

congruentes por ser opuestos por el vértice F. De la misma manera en el

problema 2, si indicaban que la bisectriz del ángulo ∡CAB determinaba dos

ángulos iguales en ∡A, es decir, si identificaba los ángulos ∡CAM y ∡MAN

como congruentes; que el ángulo ∡C era recto por ser ACB un triángulo

rectángulo en C, y que el ángulo ∡N era recto por ser MN perpendicular a AB;

que el segmento AM es común a los triángulos ACM y AMN.

En la fase II, identificamos:

• Si los estudiantes usaban un conocimiento externo a los datos del problema

para generar información adicional. Por ejemplo, en el problema 1,

si utilizaban el hecho de que si el triángulo ACB tiene los lados AB y

AC congruentes implica que es isósceles, y por tanto, los ángulos ∡TCB y

∡RBC también serán congruentes;

si el triángulo CFB tiene los ángulos ∡FBC y ∡FCB congruentes (dato

del problema, ya que estos ángulos son los mismos que ∡RCB y ∡TBC),

implica que es isósceles, y por tanto, los lados BF y CF también serán

congruentes;

si a dos ángulos congruentes (∡TCB y ∡RBC) se les resta la misma parte

(∡RCB y ∡TBC), lo que queda son ángulos congruentes (∡BAT y ∡CAR).

Análogamente, en el problema 2,


100

si utilizaban el hecho de que los ángulos interiores de un triángulo suman

180º, y por tanto, conocidos dos ángulos en un triángulo podemos conocer

el tercero.

• Si los estudiantes volvían a usar un hecho geométrico externo a los datos del

problema para generar información adicional sobre la configuración, utilizando

información obtenida previamente como premisas en una cadena deductiva. Por

ejemplo, si usaban el criterio de congruencia de triángulos A-L-A al reconocer la

información reunida en la configuración como premisas de este criterio de

congruencia.

3.2.3.2. Fase III: asociación de un vector a la respuesta del alumno con el fin de

identificar diferentes trayectorias de resolución

En la fase III, a la respuesta del alumno a cada problema se le asoció un 3-vector

(Lin y Yang, 2007) V [(1),(2),(3)] según el criterio descrito en las Tablas 3.3. y 3.4., con

el fin de identificar diferentes trayectorias de resolución vinculadas a los problemas

analizados, y definidas por la manera en la que se usaban los diferentes ítems de

conocimiento de geometría necesarios para su resolución. A partir de aquí, describimos:

• Las trayectorias de resolución seguidas vinculadas a cada configuración, lo

que nos permitió identificar los momentos en los que los ítems de conocimiento

pueden desempeñar papeles diferentes, desde lo configural a desempeñar un

estatus lógico en un proceso deductivo.

• La manera en la que los estudiantes usaban las configuraciones en cada una de

las trayectorias de resolución seguidas.


101

Tabla 3.3. Descripción, puntuación e identificación del conocimiento activado en el proceso de resolución del problema 1.

Ítem Descripción Puntuación Conocimiento activado

(1) Identificación de una subconfiguración relevante (a, b, c)

0: no identifica 1: sí identifica

-Triángulo (CA1)

(2) Identificación de ítems de conocimiento susceptibles de ser usados como hipótesis para aplicar un teorema (premisas en una cadena deductiva). Dos tipos de ítems:

- Obtenidos directamente a partir de los datos del problema y vinculados a una sub-configuración determinada:

“a” “b” “c” H1: BC≡BC H1: AB≡AC H1: ∡RFB≡∡TFC H2: ∡RCB≡∡TBC H2: ∡BAT≡∡CAR H2: ∡FCB≡∡FBC

-Obtenidos a partir de conocimiento geométrico previo:

“a” “b” “c” H3: ∡TCB≡∡RBC H3: ∡ACR≡∡ABT H3: BF≡CF H4: ∡RBF≡∡TCF

0: no identifica

1: identifica H1 y H2

2: identifica H1, H2 y H3 (“a” y “b”), identifica H1, H2, H3 y H4 (“c”)

-Ángulos opuestos por el vértice son iguales (CA4) -Triángulo isósceles: tiene dos ángulos congruentes y por tanto dos lados congruentes (CA2) -Ángulo (si a dos ángulos congruentes se les resta la misma parte, lo que queda son ángulos congruentes) (CA3)

(3) Obtención de conclusiones:

“a” “b” “c” C1: RCB≡TBC C1: ATB≡ARC C1: RFB≡TFC

(menciona la utilización del criterio A-L-A) para derivar…

C2: RC≡BT (menciona la utilización del criterio de congruencia de triángulos)

0: no obtiene conclusiones

1: obtiene C1 y C2

-Congruencia de triángulos (criterio A-L-A) (CA9)


102

Tabla 3.4. Descripción, puntuación e identificación del conocimiento activado en el proceso de resolución del problema 2.

Ítem Descripción Puntuación Conocimiento activado

(1) Identificación de una subconfiguración relevante

0: no identifica

1: sí identifica

-Triángulo (CA1)

(2) Identificación de ítems de conocimiento susceptibles de ser usados como hipótesis para aplicar un teorema (premisas en una cadena deductiva). Dos tipos de ítems:

- Obtenidos directamente a partir de los datos del problema:

H1: AM≡AM H2: ∡ACM≡∡ANM H3: ∡CAM≡∡MAN

-Obtenido a partir de conocimiento de geometría previo:

H4: ∡CMA≡∡AMN

0: no identifica

1: identifica H1, H2 y H3

2: identifica H1, H2, H3 y H4

-Bisectriz (semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales) (CA5)

-Definición de rectas perpendiculares (CA6)

-Definición de triángulo rectángulo (CA7)

-Ángulo (la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º) (CA8)

(3) Obtención de conclusiones:

C1: ACM≡AMN (menciona la utilización del criterio A-L-A) para derivar…

C2: CM≡MN (menciona la utilización del criterio de congruencia de triángulos)

0: no obtiene conclusiones

1: obtiene C1 y C2

-Congruencia de triángulos (criterio A-L-A) (CA9)

Para ilustrar el proceso seguido en la fase III, en la Figura 3.18. y en la Tabla

3.5. mostramos cómo hemos realizado la asociación del vector a la respuesta del alumno

16 al problema 2. En este caso aplicaríamos la Tabla 3.4. y comprobaríamos en primer

lugar si el estudiante ha identificado alguna subconfiguración relevante; asignando una

puntuación de 1 a la primera componente del vector en caso afirmativo. A continuación,

debemos buscar evidencias en el discurso escrito de que el estudiante ha reconocido los

ítems de conocimiento susceptibles de ser usados como hipótesis para aplicar un


103

teorema (premisas en una cadena deductiva), tanto los obtenidos directamente a partir

de los datos del problema, como aquellos derivados a partir de conocimiento de

geometría previo. Asignando una puntuación de 2 a la segunda componente del vector

en caso de cumplirse estos requisitos. Finalmente, verificaríamos las conclusiones, en

este caso si usa correctamente el criterio de congruencia de triángulos A-L-A; asignando

una puntuación de 1 a la tercera componente del vector si consigue resolver

deductivamente el problema.

Figura 3.28. Ejemplo de la asociación de un vector en la fase III del análisis a la

respuesta del alumno 16 al problema 2 (A16P2E2).

La Tabla 3.5. resume la asignación del vector a este caso particular.


104

Tabla 3.5. Resumen de la información del vector (el estudiante para maestro ha generado un truncamiento del razonamiento configural y ha resuelto deductivamente el

problema). Código Ítem Descripción

(problema 2) Puntuación Conocimiento

activado Vector

A16P2E2

(1) Identifica: ACM y AMN

1 CA1

V[1,2,1] (genera

truncamiento y resuelve el problema)

(2)

Obtiene: H1: AM≡AM H2: ∡ACM≡∡ANM H3: ∡CAM≡∡MAN H4: ∡CMA≡∡AMN

2 CA5 CA6 CA7 CA8

(3) Obtiene: C1: ACM≡AMN C2: CM≡MN

1 CA9

De la misma manera considerando el problema 1 (en el que existen tres posibles

subconfiguraciones relevantes), mostramos el análisis de los distintos casos observados:

Caso 1: no identifica ninguna subconfiguración relevante (Figura 3.19.) y, por

tanto, no inicia el razonamiento configural.

Caso 2: reconoce alguna de las tres posibles subconfiguraciones relevantes (“a”,

“b” y “c”), lo que le permite iniciar el razonamiento configural aunque

desemboca en un bucle (Figura 3.20.).

Caso 3: reconoce alguna subconfiguración relevante, genera un truncamiento

pero no consigue la resolución del problema (Figura 3.21.).

Caso 4: reconoce alguna subconfiguración relevante, genera un truncamiento y

resuelve deductivamente el problema (Figura 3.22.).

Caso 1: no inicia el razonamiento configural. En el ejemplo expuesto

seguidamente (Figura 3.19.), observamos que el estudiante identifica los triángulos

ATB y TBC; sin embargo, esta subconfiguración no es relevante, lo que le impide

iniciar el razonamiento configural que le permita concebir una trayectoria de resolución


105

satisfactoria. En la Tabla 3.6. mostramos cómo hemos realizado la asociación del vector

a la respuesta del alumno.

Figura 3.19. Respuesta del alumno 39 al problema 1 (A39P1E2), en la que no identifica

ninguna subconfiguración relevante.


106

Tabla 3.6. Resumen de la información del vector en el caso 1. Código Ítem Descripción


activado Vector

A39P1E2

(1)

No identifica ninguna subconfiguración relevante

0 --- V[0,0,0]

(no inicia el razonamiento

configural) (2) H1: --- H2: --- H3: ---

0 ---

(3) C1: --- C2: --- 0 ---

Caso 2: bucle. La Figura 3.20. presenta la respuesta de un estudiante que

mediante una aprehensión operativa reconoce los triángulos ARC y BTA, es decir,

identifica la subconfiguración relevante “b”. Posteriormente, activa el conocimiento

geométrico «definición de triángulo» (CA1), obteniendo directamente a partir de los

datos del problema: AC≡AB y ∡A común (denotado como ∡BAT≡∡CAR en la Tabla

3.3.), pero admite una propiedad sin demostración:∡ABT≡∡RCA. A partir de aquí, se

produce una situación de bloqueo que no le permite avanzar en la resolución del

problema, generando un bucle. En la Tabla 3.7. exponemos cómo hemos realizado la

asociación del vector a la respuesta del alumno.

Figura 3.20. Respuesta del alumno 15 al problema 1 (A15P1E2), que identifica la

subconfiguración “b” y su razonamiento configural desemboca en un bucle.


107



activado Vector

A15P1E2

(1) Identifica (“b”): ARC y BTA 1 CA1

V[1,1,0] (genera bucle)

(2)

Obtiene: H1:AB≡AC H2: ∡BAT≡∡CAR H3: (sin justificar)

1 CA1

(3) C1: --- C2: --- 0 ---

Caso 3: truncamiento sin resolución. La Figura 3.21. muestra una respuesta en

la que primero, mediante una aprehensión operativa, el estudiante representa

gráficamente los triángulos BRC y BCT que se corresponden con la

subconfiguración relevante “a”. A continuación, activa el conocimiento geométrico

«definición de triángulo» (CA1), obteniendo directamente a partir de los datos del

problema: BC≡BC y ∡RCB≡∡TBC. Seguidamente, infiere nueva información a partir de

conocimiento geométrico previo activando la «caracterización de triángulo isósceles

(dos lados congruentes, y por tanto, dos ángulos congruentes)» (CA2), para obtener

∡ABC≡∡ACB (denotado como ∡TCB≡∡RBC en la Tabla 3.3.); información que usa

posteriormente al activar la «propiedad aditiva de los ángulos congruentes (si a dos

ángulos congruentes se les resta la misma parte lo que queda son ángulos congruentes)»

(CA3), para obtener ∡ABT≡∡ACR. Seguidamente, menciona el criterio de congruencia

de triángulos A-L-A, pero lo aplica incorrectamente (dos triángulos son congruentes si

tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos), ya que utiliza como

una de las premisas ∡ABT≡∡ACR en lugar de ∡TCB≡∡RBC. Asimismo, el hecho de

que un estudiante mencione un conocimiento geométrico no es condición suficiente

para evidenciar que este conocimiento se haya activado, ya que debe aplicarlo

correctamente. Por tanto, en este ejemplo (Figura 3.24.), en el análisis realizado hemos


108

considerado que el alumno no ha activado el conocimiento geométrico «congruencia de

triángulos (criterio A-L-A)» (CA9).

Con anterioridad hemos descrito que el truncamiento se origina cuando se

producen coordinaciones entre aprehensiones operativas y discursivas en las que se

recurre a elementos geométricos susceptibles de ser usados para inferir información

adicional, gracias a la activación de conocimiento geométrico previo (ajeno a los datos

del problema), relacionando los hechos geométricos mediante cadenas lógicas de

inferencias “si… entonces…”. En esta situación inferimos que la obtención de

∡ABC≡∡ACB y ∡ABT≡∡ACR se produce mediante la generación de un truncamiento,

pero al aplicar mal el criterio A-L-A el estudiante no consigue resolver el problema. En

la Tabla 3.8. presentamos cómo hemos realizado la asociación del vector a la respuesta

del alumno.

Figura 3.21. Respuesta del alumno 4 al problema 1 (A4P1E2), que identifica la subconfiguración “a” y su razonamiento configural genera un truncamiento sin

resolución del problema.


109



activado Vector

A4P1E2

(1) Identifica (“a”): RCB y TBC 1 CA1

V[1,2,0] (genera

truncamiento sin

resolución)

(2) H1: BC≡BC H2: ∡RCB≡∡TBC H3: ∡TCB≡∡RBC

2 CA2 CA3 (CA3 es innecesario)

(3) C1: (aplica mal A-L-A) C2: --- 0 ---

Caso 4: truncamiento con resolución. Por último, la Figura 3.22. refleja una

respuesta en la que el estudiante identifica los triángulos BDC, RDB y TDC que

conforman la subconfiguración relevante “c”. Activa los conocimientos geométricos

«definición de triángulo» (CA1) y «ángulos opuestos por el vértice son iguales» (CA4),

obteniendo directamente a partir de los datos del problema: ∡RDB≡∡TDC y

∡ABD≡∡ACD (denotado como ∡FBC≡∡FCB en la Tabla 3.3.). También activa los

conocimientos geométricos: «caracterización de triángulo isósceles (dos lados

congruentes, y por tanto, dos ángulos congruentes)» (CA2); y «propiedad aditiva de los

ángulos congruentes (si a dos ángulos congruentes se les resta la misma parte lo que

queda son ángulos congruentes)» (CA3); obteniendo: BD≡CD y ∡ABD≡∡ACD

(denotado como ∡RBF≡∡TCF en la Tabla 3.3.), a partir de conocimiento geométrico

previo y generando un primer truncamiento. Posteriormente, activa el conocimiento

geométrico «congruencia de triángulos (criterio A-L-A)» (CA9), y obtiene como

conclusiones: RDB≡TDC y RC≡BT, generando un nuevo truncamiento y

resolviendo deductivamente el problema. En la Tabla 3.9. mostramos cómo hemos

realizado la asociación del vector a la respuesta del alumno.


110

Figura 3.22. Respuesta del alumno 9 al problema 1 (A9P1E2), que identifica la subconfiguración “c” y su razonamiento configural genera un truncamiento con

resolución del problema.



activado Vector

A9P1E2

(1) Identifica (“c”): BDC, RDB y TDC

1 CA1 V[1,2,0] (genera

truncamiento con

resolución)

(2)

H1: ∡RFB≡∡TFC H2: ∡FCB≡∡FBC H3: BF≡CF H4: ∡RBF≡∡TCF

2 CA2 CA3 CA4

(3) C1: RFB≡TFC C2: RC≡BT

1 CA9


111

A modo de resumen, la Figura 3.23. refleja el proceso completo seguido

mediante las tres fases de análisis descritas. En las fases I y II, el discurso textual

generado por el estudiante es descompuesto en unidades de análisis y se agrupa en dos

momentos del proceso de razonamiento configural; posteriormente, en la fase III, se

asocia un vector a la respuesta del alumno con el fin de identificar diferentes

trayectorias de resolución.


112

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

4. Resultados Francisco Clemente Císcar

113

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

En este capítulo describimos los resultados obtenidos tras el análisis efectuado

de las respuestas de los estudiantes a los problemas geométricos en los dos estudios

realizados. Los resultados del estudio 1, que está dirigido a responder a la primera

pregunta de investigación: a) ¿Cuáles son las características del razonamiento configural

desencadenado en la resolución de problemas geométricos de prueba? y a1) ¿Qué

relación existe entre la forma del discurso escrito creado por los estudiantes para

maestro al resolver problemas de geometría de probar y las características del

razonamiento configural generado?; los hemos organizado en tres secciones. En la

primera detallamos la clasificación de las respuestas en función del reconocimiento de

una subconfiguración relevante. En la segunda, describimos los dos momentos

significativos hallados en la resolución de problemas de probar. Por último, en la

tercera, describimos las características de los discursos escritos de los alumnos. Estos

resultados muestran la importancia del conocimiento de geometría y algunos aspectos

que dificultan frecuentemente el desarrollo del razonamiento configural que dieron paso

al estudio 2.


114

Los resultados del estudio 2, dirigido a responder a la segunda pregunta de

investigación: b) ¿Cuál es el papel de la visualización (puesto de manifiesto al

identificar una subconfiguración relevante) al iniciar el razonamiento configural

determinando una trayectoria de resolución? y b1) ¿Qué relaciones existen entre la

identificación de figuras prototípicas y el conocimiento de geometría activado que

permite iniciar el razonamiento configural durante la resolución de problemas de

probar?; los hemos estructurado en cuatro secciones. En la primera, explicamos la

relación entre el conocimiento de geometría y la identificación de las figuras

prototípicas en el inicio del razonamiento configural. En la segunda, describimos los

conocimientos geométricos activados en función de la subconfiguración identificada. En

la tercera, describimos la trayectoria de resolución vinculada a la subconfiguración

identificada. Finalmente, en la cuarta sección, a partir de la asociación de un vector a la

respuesta del alumno a cada problema (fase III del análisis), identificamos tres grupos

en las respuestas de los estudiantes; el primero formado por aquellos que no

identificaron una subconfiguración relevante y no iniciaron el razonamiento configural;

el segundo grupo lo constituyen los alumnos que sí identificaron una subconfiguración

relevante e iniciaron el razonamiento configural pero generaron un bucle; y el tercer

grupo lo integran los resolutores que identificaron una subconfiguración relevante e

iniciaron el razonamiento configural generando un truncamiento.

4.1. Resultados del Estudio 1

El objetivo del estudio 1 fue dar respuesta a: a) ¿Cuáles son las características

del razonamiento configural desencadenado en la resolución de problemas geométricos

de prueba? y a1) ¿Qué relación existe entre la forma del discurso escrito creado por los


115

estudiantes para maestro al resolver problemas de geometría de probar y las

características del razonamiento configural generado?

4.1.1. Reconocimiento de una subconfiguración relevante

Para estudiar la relación entre la identificación de un subconfiguración relevante

y el desarrollo del razonamiento configuracional, en la Tabla 4.1. se muestran los

resultados relativos a los estudiantes que fueron capaces de generar un truncamiento y

resolver el problema de probar teniendo en cuenta si habían identificado alguna

subconfiguración relevante en cada uno de los problemas (Figura 4.1.).

Tabla 4.1. Desarrollo del razonamiento configural con respecto a la identificación o no de una subconfiguración relevante.

Sí identifica una subconfiguración

No identifica una subconfiguración Total

Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle

P2 59 27 0 11

86 (88.7%)

11 (11.3%)

97 (100%)

P3 41 38 0 18

79 (81.4%)

18 (18.6%)

97 (100%)

Total 165 (85%)

29 (15%)

194 (100%)

Los dos problemas tuvieron diferentes porcentajes de éxito (truncamiento). El

problema 2 tuvo una tasa de éxito del 60,8% (59 de un total de 97 estudiantes), mientras

que en el problema 3 fue del 42,3% (41 de 97). De las 194 respuestas, en 165 (85%) se

identificó alguna subconfiguración relevante; mientras que en 29 respuestas (15%) no se

identificó ninguna configuración. El porcentaje de identificación de alguna

subconfiguración relevante fue similar para ambos problemas: 88,7% para el problema


116

2 y 81,4% para el problema 3. En estos resultados se observa que cuando los estudiantes

no identificaron ninguna subconfiguración no pudieron resolver el problema, por lo que

la identificación de una subconfiguración parece ser una condición necesaria para el

inicio del razonamiento configural, que evidencia el papel desempeñado por la

identificación de una configuración en el desencadenamiento de un proceso de prueba

geométrica en este tipo de problemas.

Sin embargo, la identificación de una subconfiguración no garantiza generar un

proceso deductivo correcto. En el problema 2, de los 86 estudiantes que identificaron

una subconfiguración solo 59 (68,6%) fueron capaces de resolver el problema; mientras

que en el problema 3, de los 79 estudiantes que identificaron una subconfiguración, 41

(51,8%) resolvieron el problema.


Figura 4.1. Subconfiguraciones relevantes inicialmente consideradas en el diseño de

los problemas del cuestionario del estudio 1.

Tomadas globalmente, el 39,4% (65 de 165) de las respuestas en las que se

identificó una subconfiguración relevante los alumnos fueron incapaces de crear un

proceso deductivo con éxito (generando bucle). Sin embargo, este porcentaje fue

diferente para los dos problemas: 31,4% para el problema 2 (27 de 86); y 48,1% para el

problema 3 (38 de 79).

El hecho de que el problema 3 tuviera tres subconfiguraciones relevantes y un

pista perceptual (un triángulo resaltado en la figura inicial que podría facilitar que los

a

b

c


117

estudiantes identificaran una de los subconfiguraciones), plantea la cuestión de su

posible relación con la tasa de éxito generando un proceso deductivo correcto mediante

un truncamiento. Setenta y nueve estudiantes reconocieron alguna de las

subconfiguraciones del problema 3 (Tabla 4.2.), pero estas tres subconfiguraciones

fueron identificadas con frecuencias diferentes. La subconfiguración “a”, que incluía

una pista perceptual en forma de un triángulo resaltado, fue identificada con una mayor

frecuencia que las otras dos, con un porcentaje del 87,3% (69 de 79); mientras que las

subconfiguraciones “b” y “c” fueron identificadas con idéntico porcentaje del 6,3% (5

de 79 para cada subconfiguración). Sin embargo, la facilidad de reconocimiento de esta

subconfiguración no implicaba una mayor probabilidad de generar procesos deductivos.

En este caso, de los 69 estudiantes que identificaron la subconfiguración “a”, solamente

32 (46,4%) generaron procesos deductivos; al mismo tiempo, los 5 estudiantes que

identificaron la subconfiguración “b” generaron con éxito procesos deductivos (100%);

y de los 5 alumnos que identificaron la subconfiguración “c”, 4 (80%) lograron generar

procesos deductivos.

Estos datos parecen sugerir dos ideas. En primer lugar, que la identificación de

una subconfiguración relevante en el problema es una condición necesaria pero no

suficiente para su resolución. En segundo lugar, la pista perceptual (triángulo resaltado)

facilita la identificación de una subconfiguración relevante entre varias, pero al parecer

no garantiza el éxito en la solución del problema, ya que menos de la mitad de los

estudiantes para maestro que identificaron la subconfiguración “a” consiguieron

resolver el problema 3. En este caso, y teniendo en cuenta el conocimiento geométrico

susceptible de ser utilizado en ambos problemas (Tabla 3.1.), la diferencia en el nivel de

éxito indicaría que facilitar la identificación de una de las posibles subconfiguraciones

relevantes por medio de una pista perceptual no ayuda a desencadenar un proceso de


118

razonamiento configural correcto mediante un truncamiento. Este hecho nos lleva a

estudiar el papel de los conocimientos previos en el desarrollo del razonamiento

configural y el proceso de cadenas deductivas entre los hechos geométricos.

Tabla 4.2. Desarrollo del razonamiento configural con respecto a la identificación de un determinado tipo de subconfiguración relevante.

Problema 2 (n=86)

Problema 3 (n=79)

Configuración inicial

Subconfiguración relevante

Única

a b c

Identifica la subconfiguración

86 69 5 5

Truncamiento 59 32 5 4

Bucle 27 37 0 1

4.1.2. Dos momentos significativos en la resolución de problemas de probar

La Tabla 4.3. muestra los datos relativos a los estudiantes que identificaron una

subconfiguración relevante y asociaron hechos y propiedades geométricas previamente

conocidas a la configuración mediante aprehensiones discursivas. De las 165 respuestas

en las que se había identificado una subconfiguración relevante para la resolución del

problema, en 110 (66,6%) los estudiantes para maestro asociaron hechos y propiedades

geométricas a la figura, mientras que en 55 (33,4%) no fueron capaces de asociar algún

hecho geométrico a la configuración, es decir, que no generaron aprehensiones

discursivas. Además, en un 60,6% (100 de 165) de las respuestas se generaron

relaciones deductivas entre los hechos geométricos que derivaron en una prueba


119

deductiva, es decir, el razonamiento configural desembocó en un truncamiento; mientras

que en un 39,4% (65 de 165) de las respuestas los estudiantes no pudieron generar estas

relaciones deductivas, por lo que el razonamiento configural desembocó en un bucle.

Asimismo, el hecho de que en un 15,4% (10 de 65) de las respuestas en las que los

hechos geométricos se identificaron por medio de aprehensiones discursivas, pero que

generaron un proceso de razonamiento configural que desmbocó en un bucle, sugiere

que el tener conocimiento previo de las propiedades geométricas y asociar estas

propiedades con una configuración geométrica no garantiza la capacidad de generar un

proceso deductivo. Este hecho parece apuntar a la existencia de una diferencia cognitiva

entre la asociación de propiedades geométricas con una configuración y relacionar los

hechos y las propiedades geométricas deductivamente para inferir nueva información.

Tabla 4.3. Relación en cada problema entre la identificación de una subconfiguración relevante, el razonamiento configural y las aprehensiones discursivas (asociaron

hechos y propiedades geométricas previamente conocidas a la configuración mediante aprehensiones discursivas)

Sí desarrolla aprehensiones discursivas

(Sí asocia hechos y propiedades geométricas a la configuración)

No desarrolla aprehensiones discursivas

(No asocia hechos y propiedades geométricas a la configuración)

Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle P2 59 5 0 22 P3 41 5 0 33 P2+P3 100 10 0 55 Total 110

(66.6%) 55

(33.4%)

Tomados en conjunto, los datos de las Tablas 4.1., 4.2. y 4.3. sugieren que el

desarrollo del razonamiento configural se inicia con la identificación de una

subconfiguración relevante y a partir de aquí se originan dos momentos significativos

en la resolución de problemas de probar. El primer momento se produce cuando los

estudiantes asocian directamente afirmaciones matemáticas (datos del problema) a la

configuración mediante aprehensiones discursivas y operativas. El segundo momento se


120

produce cuando los resolutores encadenan de manera deductiva proposiciones para

inferir o probar hechos geométricos.

La Tabla 4.2. muestra que en el problema 2, de los 86 estudiantes que

identificaron la única subconfiguración relevante, 27 (31,3%) fueron incapaces de

generar un proceso deductivo (bucle). Del mismo modo, en la Tabla 4.3., se observa que

de estos 27 estudiantes cuyo razonamiento configural desembocó en un bucle, 5 de ellos

asociaron hechos y propiedades geométricas previamente conocidas a la configuración

mediante aprehensiones discursivas, pero no fueron capaces de establecer relaciones

entre estos hechos con el fin de iniciar un proceso deductivo. En el problema 3, de los

79 estudiantes que identificaron una subconfiguración relevante, 38 (48,1%) fueron

incapaces de generar un proceso deductivo (el razonamiento configural desembocó en

un bucle). De estos 38 estudiantes, 5 asociaron hechos geométricos a la

subconfiguración que podrían dar lugar a un proceso deductivo, pero no pudieron

relacionarlos de una manera que les permitiera generar un proceso deductivo a través

del truncamiento del razonamiento configural. Los otros 33 estudiantes no identificaron

hechos que podrían considerarse hipótesis de algún teorema o proposición conocido.

Además, el hecho de que el porcentaje en la identificación de una

subconfiguración relevante es muy similar para ambos problemas (Tabla 4.1: 88,7%

para P2, y 81,4% para P3), junto con que el porcentaje de aquellas respuestas en las que

se asociaron hechos y propiedades geométricas previamente conocidas a la

configuración y que desembocaron en un bucle también es similar (Tabla 4.3: para P2, 5

de 27, o 18,5%; y para P3, 5 de 38, o 13,1%), indica que la asociación de hechos

geométricos a la subconfiguración parece generar las diferencias entre el razonamiento

configural que desemboca en un truncamiento o en un bucle. Para estudiar esta

diferencia, hemos examinado conjuntamente los datos relativos a la generación del


121

razonamiento configural que desemboca en un truncamiento o en un bucle y el

conocimiento geométrico previo, que se manifiesta por la identificación o la falta de

identificación de hechos geométricos obtenidos mediante aprehensiones discursivas que

se encadenan lógicamente para inferir información nueva. Los datos de la Tabla 4.3.

sugieren que el desarrollo de aprehensiones discursivas es una condición necesaria para

que el razonamiento configural desemboque en un truncamiento y permita resolver

deductivamente el problema, pero no es una condición suficiente, ya que hay

estudiantes para maestro que desarrollaron estas aprehensiones discursivas pero su

razonamiento configural desembocó en un bucle.

En este momento, otra variable de interés para explicar estas características

generales del proceso de resolución desencadenado, era considerar si la manera en que

los resolutores comunicaban su proceso de resolución estaba determinado o no por estas

características identificadas.

4.1.3. Características del proceso de comunicación del razonamiento configural y

la prueba

En esta sección describimos las relaciones entre las formas que adopta el

discurso utilizado por los estudiantes para describir sus procesos de resolución y las

características del razonamiento configural desencadenado. Asimismo, valoramos el uso

de los estudiantes de los sistemas semióticos, es decir, el discurso escrito y las

representaciones de las configuraciones, entendiendo estos sistemas como

instrumentales en la resolución de los problemas de probar. Esta forma de actuar nos

posibilita tener un registro de la manera en que el alumno se involucra en comunicar el

proceso cognitivo desarrollado.


122

En la resolución escrita del problema los estudiantes crean un discurso que

puede apoyarse en la realización de marcas sobre la configuración inicial, mediante la

identificación y representación gráfica de una subconfiguración y/o generando un texto

con lenguaje textual-simbólico que refleja su razonamiento. El análisis del discurso

generado por los estudiantes que reconocían una subconfiguración relevante nos ha

permitido identificar tres formas del discurso. El contenido de este discurso hace

referencia a la configuración relevante sobre la que se apoya el razonamiento

configural, o a la identificación explícita de los hechos geométricos que pueden ser

susceptibles de relacionarse para generar cadenas de inferencias lógicas. Las tres formas

del discurso para dar cuenta de la resolución del problema las hemos denominado:

Gráfico, Texto, y un formato mixto Gráfico-Texto (Figuras 3.13., 3.14. y 3.15.). Por

ejemplo, en el caso de un formato mixto Gráfico-Texto, el alumno copia el dibujo y

marca en el mismo algunos elementos, sin embargo, la representación gráfica resulta

insuficiente para mostrar el reconocimiento de la subconfiguración relevante, por lo que

la evidencia de esta identificación se realiza con la ayuda del lenguaje textual-

simbólico.

La Tabla 4.4. muestra los resultados de este análisis en cada uno de los

problemas, considerando cuándo se generaba un truncamiento o un bucle.

Tabla 4.4. Formas de discurso generado.

Formas del discurso Total

Gráfico Gráfico-Texto Solo Texto Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle

P2 25 10 14 8 19 10 35 22 29 86

P3 30 27 4 4 7 7 57 8 14 79

Total 92 (55,8%) 30 (18,2%) 43 (26%) 165 (100%)


123

El análisis muestra que la forma gráfica del discurso es predominante con un

porcentaje del 55,8% (92 de 165) frente a las otras dos, cuyos porcentajes son del 26%

(43 de 165) en la forma solo texto; y del 18,2% (30 de 165) en la forma combinada

gráfico-texto. Una conclusión que resulta de estos datos es que aproximadamente en una

cuarta parte de las respuestas (26%), se realizaba un discurso categorizado como textual,

aunque en los dos problemas se mostraba en el enunciado un dibujo (figura inicial) con

la representación gráfica de la configuración.

Podemos resaltar dos aspectos en relación a las respuestas que generaron una

forma de discurso básicamente apoyada en texto. En primer lugar, la frecuencia de este

discurso textual fue distinta en los dos problemas. Mientras en el problema 2 el

porcentaje del discurso textual fue de 33,7% (29 de 86 respuestas), en el problema 3 fue

solo del 17,7% (14 de 79 respuestas). Sin embargo, esta relación se invierte cuando se

considera la presencia de la forma gráfica del discurso, ya que para el problema 2 se

obtiene un porcentaje del 40,7% (35 repuestas de 86), mientras que en el problema 3 fue

del 72,2% (57 respuestas de 79).

En segundo lugar, el efecto de producir un truncamiento o un bucle teniendo en

cuenta la forma de iniciar el discurso fue similar en términos globales (Tabla 4.5.). De

las 92 respuestas que desarrollaron un discurso básicamente gráfico, 55 de ellas (59,8%)

determinaron un truncamiento, mientras que de las 43 respuestas que desarrollaron un

discurso básicamente textual, 26 de ellas (60,5%) determinaron un truncamiento.

Finalmente, de las 30 respuestas con una forma de discurso mixta (gráfico-texto), 18 de

ellas (60%) determinaron un truncamiento.


124

Tabla 4.5. Forma del discurso y razonamiento configural. Formas del discurso Total

Gráfico Gráfico-Texto Solo Texto

Truncamiento 55 (59,8%)

18 (60%)

26 (60,5%)

99

Bucle 37 (40,2%)

12 (40%)

17 (39,5%)

66

Total (P2+P3) 92 (100%)

30 (100%)

43 (100%)

165

Esta semejanza se mantiene cuando se observa el comportamiento en los dos

problemas. En el problema 2, los porcentajes de respuestas que determinaron un

truncamiento en los diferentes formas de discurso fue: gráfico 71,4% (25 de 35

respuestas); gráfico-texto 63,6% (14 de 22 respuestas), y solo texto 65,5% (19 de 29

respuestas). Mientras que en el problema 3 fueron: gráfico 52,6% (30 de 57 respuestas);

gráfico-texto 50% (4 de 8 respuestas) y solo texto 50% (7 de 14 respuestas). Estos datos

sugieren que la forma que adopta el discurso en cada una de las respuestas, no indica

ninguna tendencia en la manera en la que los estudiantes pueden desarrollar relaciones

entre las propiedades y definiciones geométricas, que generan las cadenas lógicas de la

prueba y por tanto el truncamiento.

Los datos parecen apoyar la idea de la existencia de preferencias en los

resolutores que podían depender del estilo cognitivo del estudiante (Mayer y Massa,

2003), independientemente del problema, puestas de manifiesto al generar un

determinado tipo de discurso para dar cuenta del razonamiento seguido. Pero la

preferencia cognitiva del estudiante, exhibida en la forma que adopta el discurso que

genera, no parece estar relacionada con el nivel de éxito en la resolución de los

problemas.


125

4.2. Resultados del Estudio 2

Los resultados del estudio 1 generan preguntas en relación al papel que

desempeñan las figuras prototípicas y los conocimientos activados en función de las

subconfiguraciones identificadas, lo que dio paso al estudio 2 cuyo objetivo fue dar

respuesta a: b) ¿Cuál es el papel de la visualización (puesto de manifiesto al identificar

una subconfiguración relevante) al iniciar el razonamiento configural determinando una

trayectoria de resolución? y b1) ¿Qué relaciones existen entre la identificación de

figuras prototípicas y el conocimiento de geometría activado que permite iniciar el

razonamiento configural durante la resolución de problemas de probar?

La Tabla 4.6. muestra los resultados relativos a los estudiantes que fueron

capaces de generar un truncamiento en el problema de probar teniendo en cuenta si

habían identificado alguna subconfiguración relevante. Los dos problemas tuvieron

diferentes porcentajes de truncamiento. El problema 1 tuvo una tasa de truncamiento del

45,5% (82 de un total de 182 estudiantes), mientras que en el problema 2 fue del 58,8%

(107 de 182). De las 364 respuestas, en 329 (90,4%) se identificó alguna

subconfiguración relevante; mientras que en 35 respuestas (9,6%) no se identificó

ninguna configuración. El porcentaje de identificación de alguna subconfiguración

relevante fue similar para ambos problemas: 90,1% para el problema 1 y 90,7% para el

problema 2. En estos resultados se observa al igual que en el estudio 1, que cuando los

estudiantes no identificaron ninguna subconfiguración no pudieron resolver el

problema, por lo que la identificación de una subconfiguración parece confirmarse

como una condición necesaria para el inicio del razonamiento configural.

Los resultados obtenidos en el estudio 2 muestran que la identificación de una

subconfiguración no garantiza generar un proceso deductivo, ya que en el problema 1,


126

de los 164 estudiantes que identificaron una subconfiguración solo 82 (50%) fueron

capaces de generar un truncamiento; mientras que en el problema 2, de los 165

estudiantes que identificaron una subconfiguración, 107 (64,8%) generaron

truncamiento.

Tabla 4.6. Desarrollo del razonamiento configural en el estudio 2 con respecto a la identificación o no de una subconfiguración relevante.

Sí identifica una subconfiguración

No identifica una subconfiguración Total

Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle

P1 82 82 0 18

164 (90.1%)

18 (9.9%)

182 (100%)

P2 107 58 0 17

165 (90.7%)

17 (9.3%)

182 (100%)

Total 329 (90.4%)

35 (9.6%)

364 (100%)

4.2.1. Influencia de las figuras prototípicas en el inicio del razonamiento configural

En el caso particular de los problemas de probar, la importancia de la

identificación de una subconfiguración durante la resolución de los problemas que en su

enunciado proporcionan una figura, radica en que ayuda a activar algunos

conocimientos de geometría frente a otros. Es decir, el acceso y uso del conocimiento de

geometría durante la resolución de problemas está influenciado por la naturaleza de las

relaciones que el resolutor haya establecido entre los ítems de conocimiento. Por tanto,

determinar cómo la identificación de una configuración permite movilizar determinados

ítems de conocimiento puede aportar información sobre la naturaleza de la relación

entre la visualización y el conocimiento usado de manera productiva durante la

resolución del problema (Chinnappan, 1998; Gal y Linchevski, 2010).


127

En el desarrollo de la coordinación entre las aprehensiones operativas y

discursivas y por tanto en el razonamiento configural que se desencadena mediante la

identificación de una subconfiguración relevante, desempeña un papel significativo la

figura prototípica que el estudiante es capaz de reconocer. Nuestro análisis ha permitido

describir distintos comportamientos en los estudiantes que determinan rasgos de la

influencia de las figuras prototípicas sobre el razonamiento configural (Tabla 4.7.).

Tabla 4.7. Comportamientos derivados de la influencia de las figuras prototípicas identificadas.

Problema Caso Figura prototípica

Descripción Subconfi-guración

Nº de respuestas

P1

1 Triángulo isósceles Rotación de la figura inicial b 9

2

Ángulos opuestos

por el vértice

Identifica el punto de intersección de los segmentos

TB y CR y sus ángulos correspondientes

a 2(1)

c 7

3 Triángulo rectángulo

Admite explícitamente una propiedad errónea (AC ⊥ BT y RC ⊥ AB) y marca los ángulos

rectos. Prioriza el aspecto intuitivo frente al formal por las características de la figura inicial

a 10

b 3

P2 4 Triángulo rectángulo

Rotación de una de las configuraciones (AMN)

representándola con los lados perpendiculares paralelos al

borde del papel

Única 18

(1) Estos dos estudiantes posteriormente también identifican la subconfiguración “a” continuando con esta trayectoria de resolución.

Sin embargo, la importancia de estos comportamientos no nos los da la

frecuencia con la que aparecen, sino la información que proporcionan para determinar la

manera en que la visualización y el conocimiento intervienen en la generación del

razonamiento configural. En relación al problema 1, hemos observado tres


128

comportamientos característicos vinculados a la influencia de las figuras prototípicas:

«triángulo isósceles», «ángulos opuestos por el vértice» y «triángulo rectángulo» (casos

1, 2 y 3 en la Tabla 4.6.). Con respecto al problema 2, hemos advertido un

comportamiento característico vinculado a la influencia de la figura prototípica:

«triángulo rectángulo» (caso 4 en la Tabla 4.6.). Las características de estos distintos

casos se describen a continuación.

• Caso 1: Influencia de la figura prototípica «triángulos isósceles» en el

problema 1. Figura prototípica de triángulo isósceles: rotación de la figura

inicial. De los 39 alumnos que en el problema 1 escogieron la subconfiguración

“b”, 9 realizaron una rotación de la figura inicial mediante una aprehensión

operativa para obtener la representación prototípica de triángulo isósceles

(Figura 4.2.). Esta manera de proceder no se ha observado en los estudiantes que

han escogido las subconfiguraciones “a” y “c”. La Figura 4.2. muestra las

representaciones realizadas por un estudiante que refleja la rotación de la figura

inicial, obteniendo a continuación la subconfiguración relevante “b”.

Figura 4.2. Fragmento de la respuesta del estudiante 1 al problema 1 (A1P1E2)

reflejando la influencia de la figura prototípica «triángulo isósceles».

• Caso 2: Influencia de la figura prototípica «ángulos opuestos por el vértice»

en el problema 1. Figura prototípica de ángulos opuestos por el vértice:

identificación de los segmentos TB y CR que intersecan en un punto P, «ángulos

opuestos por el vértice son congruentes». Siete de los 9 alumnos que en el


129

problema 1 escogieron la subconfiguración “c”, identificaron el punto de

intersección de los segmentos TB y CR y sus ángulos correspondientes (ángulos

opuestos por el vértice, Figura 4.3.). La Figura 4.3. expone la representación

realizada por un estudiante en la que se muestra la identificación de ángulos

opuestos por el vértice, obteniendo a continuación la subconfiguración relevante

“c” (en esta respuesta se observa que el estudiante realiza además una rotación

de la subconfiguración obtenida; falta representar BPC).

Figura 4.3. Fragmento de la respuesta del estudiante 32 al problema 1 (A32P1E2) reflejando la influencia de la figura prototípica «ángulos opuestos por el vértice».

• Caso 3: Influencia de la figura prototípica «triángulo rectángulo» en el

problema 1. Figura prototípica de triángulo rectángulo: el resolutor percibe

(erróneamente) en la figura inicial triángulos rectángulos, cree ver que AC ⊥ BT

y RC ⊥ AB; es decir, el estudiante admite una propiedad exclusivamente por las

características de la figura inicial, priorizando el aspecto perceptual frente al

formal (Figura 4.4.). La figura 4.4. muestra las representaciones realizadas por

dos estudiantes y se observa cómo identifican erróneamente los triángulos

rectángulos, posiblemente por la influencia de la imagen prototípica «triángulo

rectángulo». Respectivamente: triángulo rectángulo-izquierda (TAB; ángulo

recto hacia la izquierda, obteniendo la subconfiguración “b”); y triángulo

rectángulo-derecha (TBC; ángulo recto hacia la derecha, obteniendo la

subconfiguración “a”, expresada mediante lenguaje textual-simbólico).


130

Figura 4.4. Fragmento de las respuestas de los alumnos 46 y 34 al problema 1 (A46P1E2 y A34P1E2) que reflejan la influencia de la figura prototípica «triángulo

rectángulo».

• Caso 4: Influencia de la figura prototípica «triángulo rectángulo» en el

problema 2. Figura prototípica de triángulo rectángulo: identifica

(correctamente) en la figura inicial los triángulos rectángulos ACM y AMN

definidos por los datos del problema (ACB es un triángulo rectángulo en C y

MN ⊥ AB en N); y de manera análoga al caso 1 descrito anteriormente realiza

una rotación de una de las configuraciones (AMN) representándola en la

posición prototípica (Figura 4.5.). La Figura 4.5. muestra cómo un estudiante

realiza la rotación del triángulo rectángulo AMN para representarlo en la

posición prototípica (lados perpendiculares paralelos al borde del papel en que

está dibujado), obteniendo la única subconfiguración relevante identificada.

Figura 4.5. Fragmento de la respuesta del estudiante 47 al problema 2 (A47P2E2) que

refleja la influencia de la figura prototípica «triángulo rectángulo».

En el problema 1, de los 39 alumnos que escogieron la subconfiguración “b”, 9

de ellos realizaron una rotación de la figura inicial para obtener la representación

prototípica de triángulo isósceles mediante una aprehensión operativa (Tabla 4.6.). Esta

rotación no la hemos observado en ninguno de los alumnos que han escogido otra

trayectoria de resolución vinculada a las otras subconfiguraciones. Por otra parte, 7 de


131

los 9 estudiantes que en el problema 1 escogieron la subconfiguración “c”, identificaron

el punto de intersección de los segmentos BT y CR y sus ángulos correspondientes

(representación prototípica de ángulos opuestos por el vértice). Además, 13 estudiantes

admiten erróneamente en el problema 1 una propiedad (AC ⊥ BT y RC ⊥ AB) para

obtener la representación prototípica de triángulo rectángulo, iniciando a continuación

la trayectoria de resolución vinculada a la subconfiguración “a” (10 estudiantes) y “b”

(3 estudiantes). Finalmente, en el problema 2, 18 alumnos realizan una rotación de una

de las configuraciones (triángulo rectángulo AMN) representándola con los lados

perpendiculares paralelos al borde del papel para obtener la representación prototípica

de triángulo rectángulo. Las representaciones prototípicas (lo primero que “ve” el

alumno) en la figura inicial de los problemas 1 y 2, y que le llevan a identificar una

determinada subconfiguración (y no otra), son mostradas en la Figura 4.6:

Caso Descripción Subconfiguración

P1

1

b

2

c

3

a

b

P2 4

única

Figura 4.6. Representaciones prototípicas (lo primero que “ve” el alumno) identificadas en la figura inicial de los problemas 1 y 2 del estudio 2.


132

4.2.2. Conocimientos geométricos activados en función de la subconfiguración

identificada

A partir de la información mostrada en la Tabla 3.2., en la que se expone el

conocimiento geométrico susceptible de ser utilizado en los dos problemas del estudio

2, hemos identificado el conocimiento geométrico usado en algún momento de la

resolución de ambos problemas. El hecho geométrico: «definición de triángulo» (CA1)

era necesario en los dos problemas para poder identificar una subconfiguración

relevante; asimismo, el «criterio de congruencia de triángulos A-L-A» (CA9) también

se precisaba en ambos problemas para su resolución. Sin embargo, la utilización del

resto de conocimientos geométricos que aparecen en la Tabla 3.2. estaba supeditada a la

trayectoria de resolución desarrollada por el estudiante en función de la

subconfiguración relevante identificada. De esta manera, en el problema 1 que tenía tres

posibles subconfiguraciones, además de los ítems CA1 y CA9 mencionados

anteriormente, requería la utilización de los hechos geométricos: «caracterización de

triángulo isósceles» (CA2) en las subconfiguraciones “a”, “b” y “c”; «propiedad aditiva

de los ángulos congruentes» (CA3) en las subconfiguraciones “b” y “c”; y «ángulos

opuestos por el vértice son congruentes» (CA4) solo en subconfiguración “c”.

Análogamente, en el problema 2 que tenía una única subconfiguración relevante,

además de los ítems CA1 y CA9, necesitaba el uso de los hechos geométricos:

«definición de bisectriz de un ángulo» (CA5); «definición de rectas perpendiculares»

(CA6); «definición de triángulo rectángulo» (CA7); y «la suma de los ángulos interiores

de un triángulo es 180º» (CA8).

El análisis ha permitido establecer los ítems de conocimiento usados por los

estudiantes en cada problema en relación con la subconfiguración identificada (Tabla

4.8.). El porcentaje de identificación de una subconfiguración relevante fue similar en


133

los dos problemas: 90,1% en el problema 1 (164 de 182) y 90,7% en el problema 2 (165

de 182). Sin embargo, el hecho de que el problema 1 pudiera tener tres trayectorias de

resolución vinculadas a las tres subconfiguraciones relevantes (a, b y c) ha implicado la

activación de determinados conocimiento geométricos y plantea la cuestión de la

relación con el nivel de éxito (generar un proceso deductivo correcto) vinculado a cada

una de trayectorias. La Tabla 4.8. muestra la frecuencia con la que los estudiantes

usaban los diferentes hechos geométricos en cada subconfiguración.

Tabla 4.8. Conocimiento geométrico usado durante la resolución de los problemas (CAi: ítem de conocimiento activado).

Conocimiento Activado Frecuencia Problema 1 Problema 2


a b c

CA1 Definición de triángulo (identificación de una subconfiguración)

116 39 9 165 164

CA2 Caracterización de triángulo isósceles (dos lados congruentes, y por tanto, dos ángulos congruentes)

59 30 8

0 97

CA3

Propiedad aditiva de los ángulos congruentes (si a dos ángulos congruentes se les resta la misma parte lo que queda son ángulos congruentes)

11 26 4

0 41

CA4 Ángulos opuestos por el vértice son congruentes

2 0 7 0 9

CA5 Definición de bisectriz de un ángulo (es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes congruentes)

0 0 0

161 0

CA6 Definición de rectas perpendiculares 10 3 0 13(2) 154

CA7 Definición de triángulo rectángulo 10 3 0

13(2) 147

CA8 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º (conocidos dos ángulos en un triángulo, conocemos el tercero)

0 0 0

111 0

CA9 Criterio de congruencia de triángulos A-L-A 63 34 5 105 102

(2) Estos estudiantes admiten explícitamente una propiedad errónea (AC ⊥ BT y RC ⊥ AB) y representan los correspondientes ángulos rectos, priorizando el aspecto intuitivo frente al formal


134

por las características de la figura inicial; además, los conocimientos geométricos CA6 y CA7 no eran necesarios en las trayectorias de resolución vinculadas a las subconfiguraciones “a” y “b” en el problema 1. No obstante, aunque en el análisis realizado hemos estimado que estos alumnos no han activado correctamente estos conocimientos geométricos, hemos optado por reflejarlo en la tabla anterior por considerarlo un dato significativo.

La identificación y la relación de algunos de estos hechos geométricos puede

ayudar a producir el truncamiento del razonamiento configural, mientras que el uso de

otros hechos geométricos y la relación entre ellos podía introducir a los estudiantes en

un bucle. Por ejemplo, en el problema 1 la subconfiguración “a” fue identificada con

más frecuencia (n=116). Vinculada a esta configuración, los estudiantes usaron los

hechos geométricos: «caracterización del triángulo isósceles» (CA2, n=59), «propiedad

aditiva de los ángulos congruentes» (CA3, n=11) y «ángulos opuestos por el vértice son

congruentes» (CA4, n=2). Sin embargo, en la trayectoria de resolución asociada a la

subconfiguración “a” no se requieren los hechos geométricos CA3 y CA4. Es decir,

hubo estudiantes que activaron conocimientos innecesariamente.

4.2.3. Trayectoria de resolución vinculada a la subconfiguración identificada

Una trayectoria de resolución es la secuencia de hechos geométricos

(conocimiento) y sus relaciones seguida por un estudiante al intentar resolver el

problema vinculado a una determinada configuración. Los resultados obtenidos (Tabla

4.9.) reflejan que los dos problemas tuvieron niveles de éxito diferentes. En el problema

1, de los 182 participantes, 164 estudiantes siguieron trayectorias de resolución

vinculadas a alguna de las tres subconfiguraciones relevantes y 75 consiguieron generar

procesos deductivos correctos (45,7%, 75 de 164). Los 18 participantes restantes no

iniciaron la resolución del problema. En las tres trayectorias de resolución identificadas

(a, b y c) que generaron procesos deductivos correctos activaron respectivamente tres

(CA1, CA2 y CA9), cuatro (CA1, CA2, CA3 y CA9) y cinco (CA1, CA2, CA3, CA4 y


135

CA9) ítems de conocimiento geométrico; los porcentajes de éxito fueron 39,7%

(trayectoria vinculada a la subconfiguración “a”), 66,7% (trayectoria vinculada a la

subconfiguración “b”) y 33,3% (trayectoria vinculada a la subconfiguración “c”). En el

problema 2, de los 182 participantes, 165 estudiantes siguieron la trayectoria de

resolución definida por la única subconfiguración relevante y 94 de estos generaron

procesos deductivos correctos (57%, 94 de 165) activando seis ítems de conocimiento

geométrico (CA1, CA5, CA6, CA7, CA8 y CA9). Los otros 17 participantes no

iniciaron la resolución del problema.

Un aspecto que nos ayuda a caracterizar el proceso de resolución seguido por los

estudiantes es la relación entre la identificación de una determinada subconfiguración y

la trayectoria de resolución seguida. Las características de los problemas usados

permitían subrayar este aspecto ya que se diferenciaban en el número de

subconfiguraciones que permitían generar trayectorias de resolución. En el problema 1,

tres subconfiguraciones relevantes y en el problema 2 solo una. La trayectoria de

resolución vinculada a la subconfiguración “a” requiere activar (al menos) tres

conocimientos de geometría (CA1, CA2 y CA9), la vinculada a la subconfiguración “b”

requiere activar cuatro (los tres anteriores más la «propiedad aditiva de los ángulos

congruentes», CA3) y la vinculada a la subconfiguración “c” requiere activar cinco (los

cuatro anteriores más «ángulos opuestos por el vértice son congruentes», CA4). Las

diversas trayectorias adoptadas por los estudiantes (Tabla 4.9.), y en particular en

relación con el problema 1, indican que los estudiantes generaban diferentes trayectorias

de resolución en función de la subconfiguración que habían sido capaces de identificar.


136

Tabla 4.9. Relación entre la subconfiguración identificada y la trayectoria de resolución seguida (CAi= ítems de conocimiento geométrico activo en la trayectoria de

resolución seguida según han sido dados en la Tabla 3.2.)

Problema Subconfi-guración

Conocimientos de geometría requeridos Estudiantes Total % éxito

P1 a CA1+CA2+CA9 116

164 39,7 %

45,7% b CA1+CA2+CA3+CA9 39 66,7% c CA1+CA2+CA3+CA4+CA9 9 33,3 %

P2 Única CA1+CA5+CA6+CA7+ +CA8+CA9 165 165 57%

El número de estudiantes que iniciaron cada una de estas trayectorias de

resolución en el problema 1 han sido 164 (116 para “a”, 39 para “b” y 9 para “c”). En el

problema 2, 165 estudiantes identificaron la única subconfiguración relevante siguiendo

una trayectoria de resolución que implicaba la activación de seis ítems de conocimiento

geométrico.

4.2.4. Del razonamiento configural a la construcción de una prueba

El objetivo en esta sección es considerar el momento en el que se produce un

truncamiento del razonamiento configural en función de la trayectoria de resolución

seguida por el estudiante para maestro. La tabla 4.10. muestra los vectores que nos

permiten identificar las trayectorias de resolución. En esta se recoge la frecuencia de

cada vector (no se muestran los vectores: V [0,1,0], V [0,2,0]…, a los que no se les ha

asignado ninguna respuestas de los estudiantes).

En la fase III del análisis agrupamos las trayectorias de resolución de los

estudiantes en tres grupos, considerando la manera en la que se daban los dos momentos

en la resolución y su relación identificados en las fases de análisis anteriores:


137

• El primer grupo (V [0,0,0]) corresponde a los estudiantes (n=18 en el problema

1 y n=17 en el problema 2) que no identificaron una subconfiguración relevante

y no iniciaron el razonamiento configural.

• El segundo grupo lo forman los estudiantes que han activado al menos un

hecho geométrico: «definición de triángulo», CA1; permitiéndoles identificar

alguna subconfiguración, pero que han generado un bucle no siendo capaces de

resolver el problema. En este grupo hemos identificado dos subgrupos:

los estudiantes que no han activado nuevos conocimientos más allá de la

identificación de los triángulos iniciales (V [1,0,0]);

los que han generado aprehensiones discursivas mediante asociaciones

directas de elementos geométricos a la configuración a partir de los datos

del problema (V [1,1,0]).

• El tercer grupo son los estudiantes que han cambiado el estatus epistémico de

algunos hechos geométricos al considerarlos premisas en proposiciones del tipo

"si... entonces...". Es decir, estudiantes que realizan el truncamiento del

razonamiento configural generando un razonamiento deductivo. En este caso

hemos identificado dos subgrupos:

los que han activado ítems de conocimiento adicionales que les ha

permitido generar información nueva a partir de los datos y del

conocimiento previo (V [1,2,0]), pero no son capaces de considerar algunos

ítems de conocimiento identificados como premisas de proposiciones del

tipo “si… entonces…” (que en estos problemas era el criterio de

congruencia de triángulos A-L-A);


138

los que han activado todos los ítems de conocimiento necesarios para

resolver deductivamente el problema con éxito (V [1,2,1]).

Tabla 4.10. Clasificación de las trayectorias de resolución adoptadas por los estudiantes.

Grupo Vector P1 P2 Sin identificación de sub-configuración relevante V [0,0,0] 18 17

Bucle


a b c

V [1,0,0] 16 3 1 11 20

V [1,1,0] 50 7 5 47 62

Truncamiento V [1,2,0] 4 3 0

13 7

V [1,2,1] 46 26 3 94 75

TOTAL 182 182

En el problema 1, de los 164 estudiantes que identificaron alguna

subconfiguración relevante, 82 consiguieron generar procesos deductivos mediante el

truncamiento del razonamiento configural, y de estos, 75 resolvieron con éxito el

problema (45,7%, 75 de 164). De los 75 estudiantes que generaron un proceso

deductivo correcto, 46 siguieron la trayectoria vinculada a la subconfiguración “a”, 26

siguieron la trayectoria vinculada a la subconfiguración “b”; y solo 3 se apoyaron en la

subconfiguración “c”.

De los 116 estudiantes que iniciaron la trayectoria vinculada a la

subconfiguración “a” solo 50 consiguieron generar un truncamiento, y de estos, 46

resolvieron con éxito el problema (39,7%, 46 de 116). En esta trayectoria

(CA1+CA2+CA9), los estudiantes activan el conocimiento geométrico «definición de

triángulo» (CA1), permitiéndoles identificar los triángulos RCB y TBC de la


139

subconfiguración “a”; también utilizan la «caracterización de triángulo isósceles»

(CA2) a partir del dato del problema de que los lados AB y AC eran congruentes,

derivando por tanto que el triángulo ABC es isósceles, y como consecuencia, que los

ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes (H3: ∡TCB≡∡RBC), esta

información también es utilizada en las trayectorias de resolución vinculadas a las

subconfiguraciones “b” y “c”. La relación de este hecho con el dato dado en el

enunciado del problema, la hipótesis H2 (∡RCB≡∡TBC), así como H1 (BC≡BC), les

permitía inferir que RC≡BT, gracias a la utilización del «criterio de congruencia de

triángulos A-L-A» (CA9); lo que posibilita asumir el cambio de estatus epistémico de

estos conocimientos desde lo configural (hechos vinculados a la configuración) a un

nuevo estatus lógico al considerarlos como premisas de uno de los criterios de

congruencia de triángulos.

En la subconfiguración “b”, de los 39 estudiantes que la iniciaron 29

consiguieron realizar el truncamiento, y de estos, 26 resolvieron con éxito el problema

(66,7%, 26 de 39). En esta trayectoria (CA1+CA2+CA3+CA9), los estudiantes activan

el conocimiento geométrico «definición de triángulo» (CA1), permitiéndoles identificar

los triángulos ATB y ARC de la subconfiguración “b”; también utilizan la

«caracterización de triángulo isósceles» (CA2) a partir del dato del problema de que los

lados AB y AC eran congruentes, derivando por tanto que el triángulo ABC es

isósceles, y como consecuencia, que los ángulos opuestos a los lados congruentes son

congruentes. Con este nuevo dato y la hipótesis H2 (∡BAT≡∡CAR), usan la

«propiedad aditiva de ángulos congruentes» (CA3) para derivar la nueva información

H3 (∡ACR≡∡ABT), esta información también es utilizada en la trayectoria de

resolución vinculada a la subconfiguración “c”. Posteriormente, consideran estos dos

hechos geométricos, así como H1 (AB≡AC), como premisas del «criterio de


140

congruencia de triángulos» (CA9), lo que les permite truncar el razonamiento configural

para generar un razonamiento deductivo que les posibilita resolver el problema. El

truncamiento se produce cuando el resolutor cambia el estatus epistémico de estos ítems

de conocimiento desde lo configural a un estatus lógico al considerarlos premisas de

implicaciones lógicas.

Por último, la trayectoria definida por la subconfiguración “c” fue generada por

9 estudiantes de los que 3 consiguieron realizar el truncamiento y resolver con éxito el

problema (33,3%, 3 de 9). En esta trayectoria de resolución

(CA1+CA2+CA3+CA4+CA9), los estudiantes activan el conocimiento geométrico

«definición de triángulo» (CA1), permitiéndoles identificar los triángulos RFB,

TFC y BFC de la subconfiguración “c”, lo que les posibilita usar la

«caracterización del triángulo isósceles» teniendo dos lados/ángulos congruentes

(CA2); el uso de la «propiedad aditiva de los ángulos congruentes» (CA3) y la

«congruencia de ángulos opuestos por el vértice» (CA4) para obtener H1:

∡RFB≡∡TFC. Esta última información requiere ser utilizada únicamente en la

trayectoria de resolución vinculada a la subconfiguración “c”. Estos hechos geométricos

considerados como premisas del «criterio de congruencia de triángulos A-L-A» (CA9)

les permite truncar el razonamiento configural y generar un proceso de razonamiento

deductivo que posibilita resolver el problema. En la trayectoria definida por la

subconfiguración “c” los estudiantes deben utilizar en dos ocasiones la caracterización

del triángulo isósceles aplicando las equivalencias mostradas en la Figura 4.6.,

relacionando los diferentes hechos geométricos mediante cadenas lógicas de inferencias

“si… entonces…” (si tiene dos ángulos iguales… entonces es triángulo isósceles…

entonces tiene dos lados iguales…). En la primera, para el triángulo CFB que tiene

los ángulos ∡FCB y ∡FBC congruentes (H2: ∡FCB≡∡FBC), dato del problema, ya que


141

estos ángulos son los mismos que ∡RCB y ∡TBC, lo que implica que es isósceles, y por

tanto, los lados BF y CF también serán congruentes (H3: BF≡CF es obtenida por 8 de los

9 estudiantes que iniciaron esta trayectoria). La segunda caracterización del triángulo

isósceles se aplica al triángulo ACB que tiene los lados AB y AC congruentes, de lo

que se deduce que es isósceles, y por tanto, los ángulos ∡TCB y ∡RBC también serán

congruentes, que junto con el uso de la «propiedad aditiva de los ángulos congruentes»

(CA3) les permite deducir H4: ∡RBF≡∡TCF (esta información es obtenida por 3 de los

9 estudiantes que iniciaron esta trayectoria, que son los únicos que resolvieron el

problema).

Figura 4.6. Equivalencias del triángulo isósceles en las que los estudiantes relacionan

los diferentes hechos geométricos mediante cadenas lógicas de inferencias “si… entonces…”.

Otro aspecto a destacar del problema 1 está relacionado con los conocimientos

de geometría que los estudiantes deben activar para cada una de las trayectorias de

resolución, asociadas a su vez a la subconfiguración relevante identificada. En este

sentido, los datos expuestos en la Tabla 4.9. indican que la trayectoria de resolución

vinculada a la subconfiguración “a” requiere activar (al menos) tres ítems de

conocimientos de geometría, la vinculada a la subconfiguración “b” requiere activar

cuatro (los tres anteriores más CA3) y la vinculada a la subconfiguración “c” requiere

activar cinco (los cuatro anteriores más CA4). Mientras, el número de estudiantes que

iniciaron alguna de estas trayectorias de resolución ha sido respectivamente: 116 para la


142

subconfiguración “a”, 39 para la subconfiguración “b” y 9 para la subconfiguración “c”.

Este dato sugiere la existencia de una relación inversa entre el número de conocimientos

de geometría que se requiere activar y el desarrollo de una determinada trayectoria de

resolución en un problema determinado.

En el problema 2, 165 estudiantes identificaron la única subconfiguración

relevante siguiendo una trayectoria de resolución que implicaba la activación de seis

ítems de conocimiento geométrico (CA1+CA5+CA6+CA7+CA8+CA9); 107 realizaron

un truncamiento del razonamiento configural, y de estos, 94 resolvieron con éxito el

problema (57%, 94 de 165). En esta trayectoria de resolución, los estudiantes activaron

el conocimiento geométrico «definición de triángulo» (CA1), permitiéndoles identificar

los triángulos ACM y AMN de la única subconfiguración relevante. También

realizaron aprehensiones discursivas con H3: ∡CAM≡∡MAN derivada del dato del

problema (AM es bisectriz del ángulo ∡CAB). A partir de este momento, usan el ítem

de conocimiento CA8 («la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º», y

como consecuencia: conocidos dos ángulos en un triángulo conocemos el tercero), para

derivar la información H4: ∡AMC≡∡AMN. A partir de aquí, los tres ítems de

conocimiento H1:AM≡AM; H3: ∡CAM≡∡MAN; y H4: ∡AMC≡∡AMN son usados

como premisas del criterio de congruencia de triángulos A-L-A, lo que permite truncar

el razonamiento configural para generar el proceso deductivo que les posibilita resolver

el problema.

Las diferentes trayectorias adoptadas por los estudiantes (Tablas 4.8. y 4.9.),

indican que los estudiantes identifican ítems de conocimiento a partir de los datos

mediante aprehensiones discursivas y operativas, pero también generan nuevos datos

usando ítems de conocimiento previamente conocidos y relacionándolos con la

información de la configuración. En el problema 1, los conocimientos de geometría


143

CA2 («caracterización de triángulo isósceles»: tiene dos lados congruentes y por tanto

dos ángulos congruentes), CA3 («propiedad aditiva de los ángulos congruentes»: si a

dos ángulos congruentes se les resta la misma parte, lo que queda son ángulos

congruentes) y CA9 («criterio de congruencia de triángulos A-L-A»); y en el problema

2, el CA8 («la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º»: conocida la

medida de dos ángulos en un triángulo, conocemos la medida del tercero) y CA9. Estos

datos muestran diferencias en el tipo de relaciones entre los ítems de conocimiento de

geometría que se establecen entre las trayectorias definidas por los vectores V[1,1,0],

V[1,2,0] y V[1,2,1]), entre lo ya conocido y lo puesto en evidencia por las

aprehensiones discursivas y operativas (derivadas del proceso de visualización). Estas

diferencias serán discutidas en el capítulo siguiente.

CAPÍTULO 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar

145

CAPÍTULO 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

Este capítulo se ha organizado en cuatro secciones que aportan información en

relación a las dos preguntas de investigación planteadas y las dos cuestiones derivadas.

En la primera, acerca de las características del razonamiento configural desencadenado

en la resolución de problemas de geometría de probar, describiremos las características

de la relación entre la configuración inicial del problema y su correspondencia con el

conocimiento geométrico previo. En la segunda, reflexionaremos sobre la relación

existente entre la forma del discurso escrito creado por los estudiantes y las

características del razonamiento configural generado. En la tercera, discutiremos los

resultados derivados de la segunda pregunta de investigación, relativa al papel de la

configuración identificada y las características de las trayectorias de resolución seguidas

definidas por el conocimiento de geometría activado; posteriormente, nos centraremos

en el truncamiento del razonamiento configural como cambio de estatus lógico de un

hecho geométrico. Finalmente, en la cuarta sección, indicamos posibles limitaciones de

esta investigación y cuestiones para futuras investigaciones.


146

Para responder a las preguntas de investigación era necesario identificar

características de cómo los estudiantes para maestro usan su conocimiento de geometría

cuando intentan resolver problemas que implican la construcción de pruebas. Por ello,

hemos considerado como hipótesis que los resolutores deben conocer la geometría en el

ámbito curricular de la educación primaria de forma que les permita ir más allá de

simplemente reconocer propiedades y hechos geométricos en las figuras planas (Nason,

Chalmers y Yeh, 2012; Stylianides y Ball, 2008). En ese sentido, la manera en que los

estudiantes usan el conocimiento durante la resolución de problemas de probar en

geometría determina la transición desde el razonamiento configural a la construcción de

una prueba como una característica de la calidad del conocimiento de geometría

(Arzarello et al., 2008). Nuestros resultados indican que la transición desde el

razonamiento configural hasta la construcción de una prueba está vinculada a las

aprehensiones discursivas inicialmente generadas y al conocimiento estratégico

(entendido como un “conocimiento sobre la situación”) que desencadena el

truncamiento del razonamiento configural. Esta investigación aporta dos ideas en la

caracterización de esta transición: la primera, en relación a factores que determinan

cómo los resolutores llegan a relacionar hechos geométricos durante el razonamiento

configural como apoyo a la construcción de una prueba (el papel del conocimiento de

geometría); y la segunda, reconocer la existencia de un conocimiento estratégico que

permite elegir los teoremas que debe aplicar cambiando de esta manera el estatus

epistemológico de algunos hechos geométricos (de un significado configural a un

significado lógico-deductivo), considerándolos premisas de un teorema.


147

5.1. Características de la configuración inicial del problema y el conocimiento

geométrico previo

En esta investigación estudiamos las características de las relaciones entre el

conocimiento de geometría y la identificación de configuraciones, que inician el

razonamiento configural de problemas de probar en geometría. Los resultados muestran

que la identificación de una subconfiguración relevante junto con el conocimiento

geométrico del resolutor permite una coordinación que define una determinada

trayectoria de resolución. Estos resultados evidencian la relación existente entre la

visualización y el conocimiento geométrico previo en el razonamiento configural. La

identificación de alguna subconfiguración relevante resulta ser un factor determinante

en el desarrollo de una determinada trayectoria de resolución en los problemas de

geometría de probar en los que se proporciona una configuración inicial.

Los resultados indican que el reconocimiento de una subconfiguración relevante

para la resolución del problema se inicia con la identificación de una figura prototípica

en la configuración inicial, que activa determinados conocimientos de geometría

poniendo de manifiesto el cambio del anclaje visual al anclaje discursivo descrito por

Duval (1998). Además, el reconocimiento de una configuración concreta en la figura

inicial puede responder a la activación de uno o varios conocimientos de geometría que

permite visualizar una subconfiguración entre varias posibles, lo que pondría de

manifiesto a su vez el cambio del anclaje discursivo al anclaje visual.

Los datos relativos al número de estudiantes que en el problema 1 del estudio 2

iniciaron una trayectoria de resolución y los conocimientos de geometría requeridos en

cada una de ellas (Tabla 4.9.), parecen indicar la existencia de una relación entre la

frecuencia en la identificación de una determinada subconfiguración relevante de entre


148

varias posibles y los conocimientos de geometría requeridos para seguir la trayectoria

vinculada a ella. En este caso, para un determinado problema, cuando el número de

ítems de conocimientos de geometría necesarios es menor, entonces la frecuencia de

identificación de la subconfiguración vinculada a esa trayectoria de resolución es

mayor.

Respecto a los factores que determinan el uso del conocimiento en la transición

desde el razonamiento configural a la construcción de una prueba, en los problemas

analizados la identificación de una subconfiguración ha sido asociada inicialmente a la

activación de un conocimiento de geometría específico que permite visualizar una

subconfiguración entre las varias posibles. Este hecho señala la posible relación entre el

conocimiento de geometría y la posibilidad de identificar determinadas

subconfiguraciones.

Según indican Chinnappan et al. (2012), si bien es importante para los

estudiantes la adquisición del conocimiento del contenido geométrico, también se

necesita la activación y la utilización de este conocimiento durante la construcción de la

prueba, que debe ser guiado por las habilidades generales de resolución de problemas y

razonamiento. Lo anterior permite proponer una hipótesis de trabajo futuro, ya que si

los maestros conocen las relaciones entre ítems de conocimiento geométrico, podrían

gestionar convenientemente las dificultades que afrontan los estudiantes al desarrollar el

razonamiento configural. Con este conocimiento especializado de geometría los

maestros pueden proveer a sus alumnos de las destrezas necesarias para identificar

subconfiguraciones en la figura inicial, que permitan activar los conocimientos de

geometría oportunos para la resolución del problema. Es decir, formar a los maestros en

estos aspectos que apoyan el desarrollo del razonamiento configural, dada la hipótesis

de que un conocimiento de geometría apoyado en las relaciones entre otros ítems de


149

conocimiento puede ayudar a “usar” las subconfiguraciones relevantes y facilitar los

procesos de resolución que se pueden generar, (y por tanto poder cambiar la trayectoria

de resolución cambiando la configuración inicial identificada)

5.2. La forma del discurso escrito y el razonamiento configural

Los resultados del estudio 1 (Tabla 4.4.) muestran tres formas de discurso que

los estudiantes usan en la resolución de problemas de geometría de probar (Kruteski,

1976; Mayer y Massa, 2003; Presmeg, 2006). Existe un grupo de estudiantes con una

importante preferencia visual evidenciada cuando representan gráficamente las sub-

configuraciones identificadas como relevantes para iniciar el razonamiento configural y

sobre las que apoyan su discurso. Hay otro grupo de estudiantes que comienzan y

sustentan su razonamiento configural únicamente mediante lenguaje textual-simbólico.

Finalmente, existe un grupo que realiza una aproximación mixta, combinando la

representación gráfica con el lenguaje textual-simbólico.

Lo que nuestros datos indican es que la forma en la que los estudiantes

comunicaban la resolución del problema no parece estar relacionada con la generación

de un truncamiento en el razonamiento configural (Tabla 4.5.). Estos resultados

sugieren que las preferencias cognitivas de los estudiantes, sobre cómo comunicar la

resolución del problema, no son una condición que determine si han establecido

relaciones entre los hechos geométricos para generar cadenas lógicas que les permitan

probar la propiedad solicitada. En este sentido, los datos parecen sustentar los

planteamientos más generales que reconocen que las diversas habilidades cognitivas de

los estudiantes que les permiten desarrollar diferentes formas de discurso no tienen por

qué determinar una mayor o menor competencia matemática (Presmeg, 2006).


150

Una variable que puede ayudar a explicar los distintos comportamientos de los

estudiantes, puestos de manifiesto por sus preferencias al generar un discurso para dar

cuenta de la resolución, tiene que ver con los datos proporcionados en el enunciado del

problema y las relaciones que se tienen que establecer para llegar a la tesis que hay que

probar. Los estudiantes que desarrollan una forma de discurso gráfico identifican

primero los hechos geométricos dados como datos, para posteriormente intentar

establecer relaciones a partir del reconocimiento de la utilidad de algún resultado

geométrico previamente conocido. Por otra parte, los estudiantes que generan un

discurso apoyado principalmente en el texto parece que reconocen primero lo global y

lo que había que probar (la tesis), y luego intentan identificar algún resultado pre-

viamente conocido que suponen podría serles útil. Esta interpretación de nuestros

resultados puede entenderse como complementaria a las aportaciones de Yang y Lin

(Lin y Yang, 2007; Yang y Lin, 2008) en la caracterización de un modelo de

comprensión lectora del proceso de probar.

Estas dos formas, que parecen reflejar diferentes aproximaciones al aprendizaje,

pueden estar relacionadas con la manera en la que los estudiantes en nuestra

investigación desarrollan una forma textual o gráfica del discurso. Por lo que, en cierta

medida, la generación de una prueba (en nuestra investigación) o la comprensión lectora

de una prueba (en la investigación de Yang y Lin, 2008), parecen estar indicando estos

dos perfiles en dos ámbitos complementarios (hacer pruebas y comprensión lectora de

pruebas).

Las características de la forma de discurso identificadas nos han permitido

analizar su influencia en el establecimiento de relaciones lógicas entre los hechos

geométricos. Por ello, hemos intentado determinar qué es lo que activa la cadena de

relaciones lógicas entre los hechos y propiedades geométricas, que constituyen el


151

truncamiento en el razonamiento configural, y que puede desencadenar el

establecimiento de relaciones lógicas entre los hechos y propiedades geométricas

identificadas para generar una prueba; es decir, lo que Duval denomina iniciar el

proceso deductivo. Nuestros datos indican que establecer relaciones lógicas entre los

hechos geométricos para generar inferencias, va más allá de simplemente reconocer

mediante aprehensiones discursivas alguna propiedad o definición geométrica en la

configuración geométrica, que hemos caracterizado como primer momento del proceso

de resolución (Llinares y Clemente, 2014). Este hecho nos lleva a suponer que es

posible que los estudiantes que inician un discurso básicamente textual puedan tener

mentalmente representada la configuración y no necesiten una representación física.

Mientras que, por otra parte, los estudiantes que inician su discurso de una manera

primordialmente gráfica pueden estar mostrando su necesidad de este apoyo gráfico

para razonar. Sin embargo, el hecho de que las tres maneras mediante las que se inicia el

discurso tengan el mismo nivel de éxito, parece indicar que la preferencia en la forma

del discurso (gráfico, texto o mixto) no influye en la generación de las relaciones

lógicas entre los hechos geométricos.

Otra explicación alternativa es que los estudiantes que inician su discurso de una

manera textual están estableciendo de manera formal relaciones entre los hechos y las

definiciones geométricas, y luego, con posterioridad, estén buscando un apoyo visual.

Esta explicación plantea la cuestión del papel de lo visual en el desarrollo de la prueba,

es decir, en generar cadenas lógicas entre los hechos geométricos para derivar un nuevo

conocimiento (Arzarello, Olivero, Paola y Robutti, 2008; Herbst, 2004; Prusack,

Hershkowitz y Schwarz, 2012). Esto explicaría la manera en que se genera el

truncamiento del razonamiento configural en estos estudiantes, ya que para

desencadenar el truncamiento los estudiantes pueden tener que desvincularse de lo


152

visual y centrarse únicamente en las relaciones lógicas que pueden establecer entre los

hechos geométricos. En este caso, la relación entre lo intuitivo y lo formal (Pazysz,

1988; Vinner y Kopelman, 1998) y la manera en la que los estudiantes pueden priorizar

un aspecto frente al otro estaría en el origen de la generación del truncamiento del

razonamiento configural. Como consecuencia de esta posible explicación, Vinner y

Kopelman indican que, al menos en algunos casos, se debería enseñar lo formal primero

con la esperanza de que la intuición seguirá después.

No obstante, lo que parece desempeñar un papel relevante es el conocimiento de

geometría previo de los estudiantes, y la manera en la que los datos del problema o lo

identificado inicialmente en la configuración son considerados como hipótesis de

proposiciones y teoremas del tipo «si se cumple… entonces…». Por ejemplo, el

conocimiento de los criterios de congruencia de triángulos usados en los problemas

propuestos en nuestra investigación y que formaría parte del conocimiento geométrico

(lo formal) activado durante la resolución de los problemas.

Esta explicación se puede vincular a la idea de «concepto figural» de Fischbein

(1993) en el sentido de que en algunos momentos el conocimiento formal de geometría

(definiciones, hechos y propiedades) puede guiar el pensamiento visual (procesos de

visualización). De esta manera, la perspectiva y confianza en lo visual aparecería

después de la confianza en lo formal, por lo que Vinner y Kopelman (1998) sugieren

que, cuando el estudiante es consciente de lo que conoce (conocimiento formal de

geometría) y tiene habilidad para comprobar sus intuiciones visuales de manera

analítica, es cuando puede empezar a valorar lo visual. Esto es lo que Fischbein señala

cuando dice que imponer relaciones en los dibujos no depende del propio dibujo, sino

de lo que se conoce previamente. En relación con este hecho, Hilbert et al. (2008)

indican que los estudiantes con un mejor conocimiento conceptual están en mejores


153

condiciones de resolver problemas de probar en geometría si la enseñanza se acompaña

con el uso de ejemplos heurísticos. Es decir, cuando se ejemplifica la manera en la que

determinados resultados geométricos pueden ser usados para generar una relación lógica

entre hechos reconocidos para generar una inferencia (Reiss y Renkl, 2002; Reiss et al.,

2008).

Si la enseñanza de la geometría debe apoyar no solo que los alumnos descubran,

visualicen, describan y representen conceptos y propiedades de las figuras geométricas

en el mundo físico, sino también que puedan desarrollar destrezas de razonamiento

lógico, es necesario que el maestro apoye el desarrollo de estas destrezas. Nuestros

datos muestran que, aunque los estudiantes para maestro puedan tener diferentes

preferencias para dar comunicar la resolución de los problemas, lo que es necesario es

que aprendan a reconocer los hechos geométricos en determinadas configuraciones, así

como las proposiciones que permitan apoyar el desarrollo de destrezas de razonamiento

lógico. Es por lo anterior por lo que la relación entre las aprehensiones discursivas y

operativas, junto con el énfasis en identificar argumentos que puedan apoyar el

desarrollo del razonamiento lógico, deberían ser considerados como aspectos

constituyentes del conocimiento de geometría del maestro (Stylianides y Ball, 2008).

5.3. El truncamiento del razonamiento configural como cambio de estatus lógico de

un hecho geométrico

Nuestros resultados indican la evidencia de dos momentos relevantes en los

procesos de resolución de algunos problemas de probar en geometría. En primer lugar,

cuando el resolutor asocia algunas propiedades o definiciones a la configuración

geométrica dada mediante aprensiones discursivas. En segundo lugar, cuando los

diferentes hechos geométricos se relacionan mediante cadenas lógicas de inferencias


154

“si… entonces…”. En la resolución de estos problemas, algunos estudiantes tienen

dificultades en “truncar” el proceso de razonamiento configural para inferir información

adicional sobre la configuración (razonamiento deductivo). Un factor que parece incidir

en la generación de los procesos deductivos a partir del truncamiento del razonamiento

configural, es la posibilidad de considerar un hecho geométrico no solo para identificar

una propiedad de una configuración (aprehensión discursiva), sino también como parte

de una secuencia de relaciones deductivas. Es decir, la posibilidad de reconocer que un

hecho geométrico puede desempeñar papeles diferentes en el proceso de resolución

(Herbst et al., 2009).

En nuestra investigación, y considerando las características de los problemas

usados, el truncamiento del razonamiento configural que permite generar una prueba se

producía cuando los estudiantes eran capaces de relacionar los hechos geométricos

asociados a la configuración a hechos y teoremas geométricos ya conocidos. Por

ejemplo, asociando determinados hechos al criterio de congruencia de triángulos. Para

ello, el hecho geométrico identificado en la configuración debía cambiar de tener un

sentido configural a ser usado como premisa de un teorema para inferir información

adicional. Reiss et al. (2008) sugieren que las relaciones entre los hechos geométricos

determinan la calidad de lo que es conocido. En este sentido, nuestros resultados indican

que solo se genera una prueba cuando los estudiantes relacionaban los ítems de

conocimiento geométrico considerándolos premisas en una proposición, que originan

una cadena lógico-deductiva (en este caso el criterio de congruencia de triángulos).

Desde estos resultados, una característica de la calidad del conocimiento geométrico es

cuando un hecho geométrico puede desempeñar diferentes roles lógicos durante la

resolución de un problema, primero con un sentido configural, y luego, como premisa

en una cadena deductiva. Esta característica es la que añade sentido a la idea propuesta


155

por Chinnappan (1998) de que «los esquemas geométricos activados por los estudiantes

de mayor éxito eran más sofisticados y variados que los activados por sus homólogos

de bajo rendimiento». Desde estos resultados, una característica de la calidad del

conocimiento geométrico que determina que las estructuras de conocimiento sean

cualitativamente superiores, es cuando un hecho geométrico puede desempeñar

diferentes roles lógicos durante la resolución de un problema (Prior y Torregrosa,

2013).

La identificación de dos momentos relevantes en los procesos de resolución de

algunos problemas de probar en geometría, junto con la necesidad de que un hecho

geométrico debe cambiar su estatus lógico para ser usado como premisa de un teorema

o proposición que permite inferir información adicional, está relacionado con los modos

de interacción descriptivo y generativo propuestos por Herbst y Arbor (2004) entre un

actor (sujeto), una configuración (representación física) y un objeto geométrico teórico

(figura). En las interacciones descriptivas, las configuraciones incluyen dos niveles. En

el primero representan los datos del problema y contienen otros elementos que pueden

representar propiedades justificadas a través de la prueba. En el segundo, representan

con bastante fidelidad las propiedades que podrían ser consideradas desde fuera de las

configuraciones. En las interacciones generativas se incluye la creación de nuevos

objetos en la configuración atribuyéndoles un estatus de objetos geométricos, así como

la prescripción de hipotéticas propiedades de las figuras basadas en esos nuevos objetos,

esto permite que los estudiantes hagan conjeturas razonadas y construyan conocimiento

matemático.

Nosotros podemos entender que cuando los estudiantes pueden dotar de

diferentes roles a los hechos geométricos en los intentos de resolución de los problemas,

tiene como consecuencia el que sean capaces de construir una representación mental del


156

problema mostrando las conexiones entre los datos y la tesis (el objetivo del problema).

Esta explicación incide en que el éxito al establecer las conexiones a través da alguna

proposición conocida entre los hechos geométricos dados no depende solo de conocer

los hechos y las proposiciones, sino también de haber dotado a los hechos geométricos

de un estatus lógico que les permita considerarlos como premisas de una secuencia

lógico-deductiva. Esto es así ya que, durante la resolución del problema, el estudiante

debe establecer conexiones entre los ítems de conocimiento geométricos conocidos de

manera aislada. Es decir, llegar a considerar la posibilidad de que un determinado hecho

geométrico pueda ser premisa en una proposición estableciéndose una relación

(conexión) entre hechos geométricos, como son los criterios de congruencia de

triángulos, parece facilitar el truncamiento del razonamiento configural.

Duval (1998) sugiere que la información dada debe ser procesada tanto a nivel

representacional como simbólico, indicando que en la conducta matemática en un

proceso de resolución «el razonamiento comienza solo desde la aprehensión discursiva

y es independiente de la visualización. El cambio puramente configural no da los pasos

y la organización de razonamiento deductivo para la prueba, pero muestra algunos

puntos clave, o una idea que permite seleccionar el teorema principal para ser

utilizado» (p. 48). Esta explicación incide en el hecho de que el éxito en la transición

desde el razonamiento configural a la construcción de la prueba se apoya en la

capacidad de establecer conexiones entre los hechos geométricos a través da alguna

proposición conocida y no solo depende de conocer los hechos y las proposiciones. En

este sentido, lo que parece facilitar el truncamiento del razonamiento configural es

llegar a considerar un determinado hecho geométrico como premisa en un teorema

(como son los criterios de congruencia de triángulos). Este aspecto subraya la existencia

de un conocimiento estratégico para construir pruebas.


157

No obstante, la identificación de una subconfiguración relevante no es suficiente

para construir una prueba, como muestra la diferencia entre las trayectorias V[1,0,0],

V[1,1,0] y las trayectorias V[1,2,0] y V[1,2,1] referidas en la Tabla 4.10. En este

sentido, Chinnappan (1998) indicó que una diferencia entre los mejores y peores

estudiantes en la resolución de un problema de probar estaba en su capacidad de

relacionar la información identificada en la configuración (o dado por el problema), e

inferir nueva información para ser usada en el proceso de resolución. Es decir, la

capacidad que tenían los estudiantes en considerar un determinado hecho geométrico en

relación a otros es un criterio de calidad del conocimiento de geometría (Chinnapan y

Lawson, 2005).

En los resultados mostrados en la Tabla 4.10., la diferencia entre los vectores

V[1,2,0] y V[1,2,1] evidencia que hay estudiantes que son capaces de reconocer y usar

los hechos geométricos, pero fallan al construir una prueba. El análisis de los procesos

de construcción de pruebas en diversos dominios de las matemáticas y en diferentes

niveles educativos ha mostrado la necesidad de que los estudiantes tengan

“conocimiento estratégico” de la prueba en el dominio matemático para tener éxito en

la construcción de pruebas (Weber, 2001; Chinnappan, Ekanayake y Brown, 2012). El

conocimiento estratégico hay que entenderlo como un “conocimiento sobre la situación”

que permita a los estudiantes ver la situación de probar en la que se encuentran como un

caso particular de una situación más general. En el dominio de la geometría elemental

donde nosotros hemos situado nuestro estudio, este conocimiento estratégico es el

reconocimiento por parte de los estudiantes de la utilidad de los criterios de congruencia

de triángulos para el tipo de problema que estaban resolviendo (Stylianides y Ball,

2008; Chinnappan, et al., 2012). Una manifestación de este conocimiento estratégico es

el cambio de estatus epistémico de un hecho geométrico, de estar vinculado a una


158

configuración a ser visto como premisa de un teorema que se ha mostrado como

necesario para generar los procesos deductivos. Este conocimiento implica acciones

mentales que cambian el foco del resolutor al recordar un determinado teorema o hecho

geométrico como una proposición relevante para la construcción de la prueba (al

relacionar datos-hipótesis con la tesis). En nuestra investigación, cuando los estudiantes

eran capaces de reconocer uno de los criterios de congruencia de triángulos como un

resultado pertinente para la situación de probar, entonces podían usar los hechos

geométricos vinculados a la configuración que tenían solo un significado configural,

como premisas de un teorema del tipo “si… entonces…” adoptando otro significado

epistémico. Según nuestros resultados, no reconocer la pertinencia del teorema “criterio

de congruencia de triángulos” impide a los estudiantes truncar el razonamiento

configural para construir una prueba. Este hecho incide en la necesidad de que la

instrucción esté dirigida a que los estudiantes aprendan a establecer relaciones entre los

ítems de conocimiento geométrico, centrándose en desarrollar esta forma de

conocimiento estratégico en dominios específicos, e intentando que los estudiantes

lleguen a ser conscientes del uso de determinados teoremas en determinadas situaciones

como una manera de establecer relaciones entre los hechos geométricos en el contexto

de construir pruebas.

5.4. Implicaciones para futuras investigaciones

El estudio que hemos realizado presenta limitaciones y cuestiones que pueden

servir para futuras investigaciones:

• Solo se han considerado problemas en dos dimensiones que requerían procesos

deductivos (de lo general a lo particular), por lo que sería interesante ampliar el


159

estudio a problemas de probar de geometría en tres dimensiones y que

incluyeran procesos inductivos (de lo particular a lo general).

• Nos preguntamos si es posible aplicar los resultados obtenidos en esta

investigación a otros contextos más allá de los problemas de probar, es decir, en

otros procesos cognitivos involucrados en geometría como son los problemas de

construcción.

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