Caracterización de La Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución - José Espina

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD DEL ZULIA

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE ELÉCTRICA

DEPARTAMENTO DE POTENCIA

TRABAJO DE ASCENSO PARA OPTAR A LA CATEGORÍA DE PROFESOR AGREGADO CCAARRAACCTTEERRIIZZAACCIIÓÓNN DDEE LLAA CCAARRGGAA EENN SSIISSTTEEMMAASS

EELLÉÉCCTTRRIICCOOSS DDEE DDIISSTTRRIIBBUUCCIIÓÓNN

Prof. José Espina Alvarado Maracaibo, 14 de Marzo de 2003

Este Jurado, propuesto por el Consejo de la Escuela de Ingeniería Eléctrica y, aprobado por

el Consejo de la Facultad de Ingeniería, aprueba el Trabajo de Ascenso

“CARACTERIZACIÓN DE LA CARGA EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE

DISTRIBUCIÓN”, que el Profesor José Espina Alvarado, portador de la cédula de

Identidad No. 9772753, presenta al Consejo de la Facultad de Ingeniería en cumplimiento

de los requisitos señalados en el Artículo 17 del Reglamento del Personal Docente y de

Investigación de la Universidad del Zulia, para optar a la Categoría de Profesor Agregado.

Maracaibo; 14 de Marzo de 2003.

Jurado Examinador:

Prof. Prof. Prof.

A mi amada y preciosa familia

iv

AAGGRRAADDEECCIIMMIIEENNTTOO

Dios es el dueño de la vida y de todo conocimiento, le doy gracias por permitirme

completar este sueño; pero más porque durante este tiempo me dio la ocasión de conocerle

en una dimensión real: El cristianismo. Gracias Padre por todas tus dádivas, por los talentos

que me regalaste, por la oportunidad de seguir viviendo, para alabarte y glorificarte en el

nombre de tu hijo Jesucristo, y por el Espíritu Santo que hoy, mañana y siempre me

acompañará en cualquier tarea o situación que le invocare con ese propósito. Amén.

v

RREESSUUMMEENN

ESPINA ALVARADO, José Rafael. “Caracterización de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución”. Trabajo de Ascenso para optar a la clasificación de Profesor Agregado. Universidad del Zulia, Facultad de Ingeniería. Maracaibo, 2003. 169 pp.

Este es el resultado de una investigación que comenzó siendo de carácter descriptivo para actualizar y reforzar el curso de Sistemas de Distribución del noveno semestre de la carrera de Ingeniería Eléctrica de la Universidad del Zulia, y terminó siendo aplicada después de conjugar herramientas de análisis con experiencias prácticas. Aunque el ingeniero de planeación del sistema está en libertad de escoger muchos elementos que intervienen en el diseño, no tiene esa ventaja cuando se trata de la Carga. Para caracterizar tan importante variable, debe disponerse de una serie de conceptos y procedimientos. Todo el contenido de esta obra persigue tal propósito, y para ello ha sido estructurada en dos partes: una sobre las generalidades y la otra avanzada, donde son desmentidos muchos enunciados aceptados tradicionalmente como leyes. La primera parte, sobre los Fundamentos de Caracterización de la Carga, consta de tres Capítulos que profundizan en los temas de Diversidad, Régimen de Carga y sus aplicaciones, en particular el problema de Balanceo donde se emplean técnicas avanzadas de análisis: Componentes Simétricas y Multiplicadores de Lagrange. En la última parte, Caracterización de Cargas no-lineales también de tres Capítulos, destaca la aplicación de la teoría de circuitos en el estudio de los principales problemas debidos a las Armónicas, extendiendo a ambientes no-sinusoidales los conceptos de valor eficaz, potencia promedio y factor de potencia.

vi

ÍÍNNDDIICCEE GGEENNEERRAALL

CONTENIDOS:

AGRADECIMIENTO .......................................................................................................... iv

RESUMEN............................................................................................................................. v

ÍNDICE GENERAL ............................................................................................................. vi

ADVERTENCIAS DE FORMA ........................................................................................ xiii

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 1

CAPÍTULO 1. DIVERSIDAD DE LA CARGA EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE

DISTRIBUCIÓN.... ............................................................................................................... 5

1.1. Definiciones y Consideraciones Básicas................................................................ 5

1.2. El concepto de Demanda........................................................................................ 8

1.3. Declaración de la Demanda Máxima ................................................................... 12

1.4. Factores de Caracterización de la Diversidad. ..................................................... 14

1.5. Factores de Demanda y de Utilización................................................................. 23

CAPÍTULO 2. RÉGIMEN DE CARGA Y PÉRDIDAS.................................................. 29

2.1. Curvas de Duración de Carga y de Pérdidas........................................................ 29

2.2. Factores de Carga y de Pérdidas. ......................................................................... 32

vii

CAPÍTULO 3. APLICACIONES PRÁCTICAS DE CARACTERIZACIÓN

ELEMENTAL: TARIFACIÓN Y BALANCEO................................................................. 46

3.1. Tarifas Eléctricas.................................................................................................. 46

3.2. El problema del Balanceo. ................................................................................... 50

CAPÍTULO 4. CARACTERIZACIÓN DE LAS CARGAS GENERADORAS DE

ARMÓNICAS...................................................................................................................... 67

4.1. Definiciones y Consideraciones Básicas.............................................................. 68

4.2. Análisis de la Forma de Onda Distorsionada....................................................... 71

4.3. Factores de Caracterización de la Distorsión. ...................................................... 79

4.4. Fuentes de Armónicas. ......................................................................................... 83

4.5. Cargas Industriales Generadoras de Armónicas. ................................................. 86

CAPÍTULO 5. PRINCIPALES PROBLEMAS DEBIDOS A LAS ARMÓNICAS........ 93

5.1. Efecto sobre los Conductores............................................................................... 95

5.2. Efecto sobre los Transformadores...................................................................... 102

5.3. Efecto sobre la Eficiencia del Sistema. .............................................................. 106

5.4. Fenómenos de Resonancia. ................................................................................ 122

CAPÍTULO 6. REGULACIÓN PARA EL CONTROL DE ARMÓNICAS. ................ 129

6.1. Normativa Europea. ........................................................................................... 130

6.2. Normativa Americana. ....................................................................................... 137

6.3. Comparación entre la Norma Europea y la Norma Americana. ........................ 151

EPÍLOGO........................................................................................................................... 153

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................... 155

viii

FIGURAS:

Figura 1-1. Diagrama unifilar de un Sistema Eléctrico de Distribución de operación radial. 6

Figura 1-2. Representación gráfica de una “Curva de Carga Diaria” hipotética, con

acercamiento al entorno del valor de demanda máxima. ............................................... 9

Figura 1-3. Representación gráfica de la CCD del Ejemplo 1-1.......................................... 12

Figura 1-4. PCD’s para grupos de dos, cinco, veinte y cien residencias en un área

suburbana de gran extensión. ....................................................................................... 15

Figura 1-5. Perfil de sistema resultante de la coincidencia interclase.................................. 17

Figura 1-6. Factor de Coincidencia como función del Número de Clientes Residenciales. 20

Figura 1-7. Representación gráfica de las Curvas de Carga Diaria (PCD’s) del Ejemplo 1-3,

donde se observa la coincidencia interclase................................................................. 21

Figura 1-8. PCD's de las dos Cargas y del alimentador usando la calculadora HP 48G. .... 23

Figura 1-9. Configuración centralizada del transformador de Distribución para 15 clientes.

...................................................................................................................................... 26

Figura 2-1. Representación de la Curva de Duración de Carga correspondiente al PCD

mostrado en la Figura 1-2. ........................................................................................... 30

Figura 2-2. Representación gráfica de la CDC del alimentador comercial del Ejemplo 1-1.

...................................................................................................................................... 32

Figura 2-3. Algunas formas generales de PCD's para clientes con Demanda Máxima al

mediodía....................................................................................................................... 36

Figura 2-4. Perfiles de Carga y de Pérdidas Escalonados.................................................... 40

Figura 2-5. Límites para los Factores de Pérdidas. .............................................................. 41

Figura 2-6. Validación de la relación FPr vs FC del Ejemplo 2-6. ..................................... 43

ix

Figura 2-7. Valores frontera del dominio restringido de la relación FPr vs FC del Ejemplo

2-6. ............................................................................................................................... 43

Figura 2-8. Curvas de Duración de Carga para los valores extremos de FC del Ejemplo 2-9.

...................................................................................................................................... 44

Figura 2-9. Validación de las relaciones obtenidas en el Ejemplo 2-7. ............................... 44

Figura 4-1. Forma de una onda distorsionada...................................................................... 69

Figura 4-2. Esquema de una red eléctrica con perturbadores. ............................................. 71

Figura 4-3. Onda distorsionada del Ejemplo 4-2. ................................................................ 76

Figura 4-4. Espectro que muestra la trascendencia de las múltiplas de la tercera armónica.

...................................................................................................................................... 77

Figura 4-5. El valor eficaz real es superior al medido por un instrumento que no sea de

tecnología RMS............................................................................................................ 79

Figura 4-6. Características de varias Cargas perturbadoras. ................................................ 85

Figura 4-7. Onda de corriente alterna aguas arriba de un puente de Graetz ideal que entrega

coriente directa a una Carga predominantemente inductiva.. ...................................... 87

Figura 4-8. Onda de corriente alterna aguas arriba de un puente seguido por un

condensador. ................................................................................................................ 87

Figura 4-9. Circuito para la atenuación de I5 e I7................................................................. 89

Figura 4-10. Diagrama de bloques general de planeación para la aplicación de puentes

rectificadores de 6 pulsos. ............................................................................................ 90

Figura 4-11. (a) Espectro de Frecuencia de horno arco de CA; (b) horno de arco de CA; (c)

horno de arco de CD. ................................................................................................... 91

Figura 5-1. Degradación de la tensión de la red debido a una Carga no-lineal. .................. 93

x

Figura 5-2. Desclasificación del cable contra la proporción de Carga armónica transportada

por él. ........................................................................................................................... 96

Figura 5-3. Identificación de la secuencia según la frecuencia de la componente en circuitos

trifásicos balanceados................................................................................................... 97

Figura 5-4. (a) Ondas de corriente de línea y de neutro determinadas por Cargas no-lineales

monofásicas . (b) Espectro de la coriente de fase. (c) Espectro de la corriente por el

neutro. .......................................................................................................................... 99

Figura 5-5. Desclasificación típica de un transformador que atiende Cargas no-lineales. 103

Figura 5-6. Forma de onda y espectro de la intensidad (CF = 3.33 y %THD = 76) de un Tx

de 25 kVA, 7200/12470Y-120/240 V, ensayado en vacío desde el lado de baja tensión.

.................................................................................................................................... 109

Figura 5-7. Transformador sin dispersión de flujo ni pérdidas en los devanados.............. 109

Figura 5-8. Relación entre el factor de potencia máximo y la Distorsión Armónica Total de

una instalación............................................................................................................ 112

Figura 5-9. Coordenadas de potencia aparente: (a) THD = 0, y (b) THD > 0. .................. 114

Figura 5-10. Regulador de luz para una lámpara halógena................................................ 115

Figura 5-11. Espectro de frecuencias de una lámpara incandescente controlada por

tiristores...................................................................................................................... 117

Figura 5-12. Pérdidas en por unidad del caso resistivo en función del factor de potencia y

la Distorsión Armónica Total..................................................................................... 119

Figura 5-13. Circuito monofásico tiristor-lámpara. ........................................................... 120

Figura 5-14. Flujo normal de las armónicas de corriente................................................... 123

Figura 5-15. Circuito de Cargas concentradas equivalente al de la Figura 5-14. .............. 124

xi

Figura 5-16. Curvas mostrando la impedancia debida a las Cargas y a la resistencia de los

conductores. ............................................................................................................... 124

Figura 5-17. Banco de condensadores involucrado en una resonancia serie. .................... 126

Figura 5-18. Características de impedancia del circuito serie............................................ 127

Figura 6-1. Selección del PCC desde donde otros clientes o consumidores pueden ser

servidos. ..................................................................................................................... 138

Figura 6-2. Procedimiento general para la evaluación de límites de Armónicas............... 140

Figura 6-3. Máximas fluctuaciones de tensión permisibles. .............................................. 147

Figura 6-4. Tensión Mellada. ............................................................................................ 148

Figura 6-5. Campos magnéticos ocasionando tensiones inducidas en circuitos telefónicos

cercanos...................................................................................................................... 149

Figura 6-6. Peso del TIF vs. Frecuencia. ......................................................................... 150

TABLAS:

Tabla 1-1. Elementos y componentes del Sistema Eléctrico de Distribución de acuerdo a la

función que desempeñan. ............................................................................................... 6

Tabla 1-2. Datos de la CCD del Ejemplo 1-1. ..................................................................... 11

Tabla 1-3. Datos de las CCD del Ejemplo 1-3..................................................................... 20

Tabla 2-1. Determinación de la CDC................................................................................... 31

Tabla 2-2. Determinación de la CDC en p.u........................................................................ 33

Tabla 2-3. Determinación de la CDP. .................................................................................. 35

Tabla 4-1. Resumen del efecto de la simetría en la estructura de la serie de Fourier. ......... 73

Tabla 4-2. Espectro de frecuencias en forma tabular correspondiente al Ejemplo 4-2........ 77

xii

Tabla 5-1. Secuencia de las armónicas de intensidad hasta el orden 51. ............................. 98

Tabla 5-2. Espectro de la tensión aplicada a la instalación control-lámpara incandescente.

.................................................................................................................................... 121

Tabla 6-1. Principales Normas relativas a las armónicas................................................... 134

Tabla 6-2. Clasificación de equipo según la norma IEC 61000-3-2. ................................. 135

Tabla 6-3. Límites de armónicas para aparatos.................................................................. 135

Tabla 6-4. Límites establecidos por la norma IEC 61000-3-4 para equipo trifásico. ........ 136

Tabla 6-5. Corriente admisible para la instalación completa según la norma 61000-3-4.. 137

Tabla 6-6. IEEE 519 Límites en la Distorsión de la Corriente en el ámbito de Distribución y

Subtransmisión........................................................................................................... 143

Tabla 6-7. Límites de distorsión de tensión de Distribución y Subtransmisión según IEEE

519-1992. ................................................................................................................... 146

Tabla 6-8. Sistema de baja tensión: clasificación y límites de Distorsión. ........................ 148

Tabla 6-9. Niveles de probabilidad de interferencia telefónica. ........................................ 151

Tabla 6-10. Prontuario de las áreas de influencia de las normas IEEE 519 e IEC 61000-3-

2/4............................................................................................................................... 151

xiii

AADDVVEERRTTEENNCCIIAASS DDEE FFOORRMMAA

Notación Formato

Cantidad Compleja Subrayado

Fasores Superrayado

Matriz-Vector Negrita

Parámetro-Variable Cursiva Notas: 1. Se ha procurado respetar genero y número en la construcción de las oraciones. Para ello se ha consultado permanentemente la página http://www.rae.es/ 2. Se han admitido algunos anglicismos según la novedad del tema tratado en idioma español. 3. Las referencias bibliográficas son reseñadas entre corchetes, [#]. 4. En todo el texto se emplea el punto (.) como separador decimal.

IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN

Como señala Espinosa [3], no obstante el ingeniero de planeación de un sistema

eléctrico está en libertad de escoger muchos elementos que intervienen en su proyecto, no

tiene esa ventaja cuando se trata de la Carga, la cual es definitivamente la más importante y

decisiva variable tanto en el diseño como en la operación de una red de Distribución de

electricidad.

Para caracterizar tan importante variable, debe disponerse de una serie de conceptos y

procedimientos cuyo conocimiento y aplicación hasta ahora ha dependido más de la

experiencia del ingeniero que de una referencia bibliográfica específica, donde se expongan

con profundidad para su consulta. Esta obra persigue tal propósito, y para ello ha sido

estructurada en dos partes: un tratamiento básico y otro avanzado donde, como se verá,

serán desmentidos muchos enunciados aceptados como leyes por algunos ingenieros

inadvertidos sobre el ámbito de operación del Sistemas de Potencia.

Así, se ha dividido el contenido en dos partes de tres capítulos cada una con gran

cantidad de planteamientos y ejemplos resueltos, usando técnicas de análisis matemático y

de teoría de circuitos no utilizadas, hasta ahora, para este contexto. La primera parte

considera los Fundamentos para una caracterización de la Carga, y la segunda es un

complemento que trata de desmitificar el problema para el caso de Cargas no-lineales.

Introducción. 2

En el primer Capítulo, se introducen los conceptos básicos para describir

técnicamente, o estimar, el comportamiento y características de la demanda eléctrica, en

forma individual o colectiva según el contexto y amplitud de planteamientos típicos de la

Distribución de electricidad. Ya en este primer acercamiento, a diferencia de la planeación

de Transmisión y Generación, destaca la importancia de la ubicación de la Carga además de

su magnitud.

El segundo Capítulo está dedicado a estudiar la relación entre la Carga del sistema y

las Pérdidas de potencia asociadas: los conceptos y modelos desarrollados están orientados

al aprovechamiento de la capacidad de los equipos en función de la Carga que alimentan,

así como a establecer la relación entre tal beneficio y el tiempo.

En el tercer Capítulo se estudian dos aplicaciones relevantes de los conceptos

formulados hasta entonces. Primero, para tarifar adecuadamente un servicio eléctrico, y

segundo, para caracterizar y resolver problemas de balanceo de carga (empleando por vez

primera en un libro de texto sobre este tema, técnicas avanzadas de análisis: Componentes

Simétricas y Multiplicadores de Lagrange).

Continúa la obra con el estudio de las Perturbaciones sobre el sistema a causa del tipo

de Carga que alimenta; específicamente, las características de la Carga como fuente de

contaminación armónica. Aunque no es objetivo de este trabajo elaborar un tratado sobre

Calidad de Potencia en Sistemas Eléctricos de Distribución, si busca revelar

responsabilidades dentro de ese contexto. Para ello se plantean tres temas: Caracterización

de las Cargas Perturbadoras o Generadoras de Armónicas, los Principales Problemas

debidos a ellas, y la Regulación aplicable para su control.

Introducción. 3

Al primero de estos tópicos, está dedicado el Capítulo 4. Allí se introducen los

conceptos básicos y los Factores necesarios para cuantificar el nivel de perturbación debido

al trabajo de Cargas no-lineales. Sobre este particular, considerando lo novedoso del

tratamiento de este tema en idioma español, se han respetado las siglas del inglés que sirven

de referencia en el área de Calidad de Potencia.

Sigue la exposición, con el estudio de los principales problemas debidos a tales

Cargas en el penúltimo (quinto) Capítulo de la obra. No de balde, es el más ilustrado y

exigente desde el punto de vista de análisis de circuitos. Aquí, por ejemplo, los conceptos

de Potencia promedio y factor de potencia son reformulados, y se llega a nuevas

conclusiones acerca de la relación geométrica entre ellos.

El último capítulo, sexto de este trabajo, es básicamente informativo. El objetivo del

mismo es presentar las regulaciones internacionales que en esta materia sirven de base para

establecer los límites y recomendaciones para el control de las armónicas debidas al

funcionamiento de Cargas no-lineales.

De cualquier modo, aunque para el problema de la Caracterización de la Carga es

imposible eludir el “arte” del ingeniero de planeación, el reto de usar “ciencia” en forma

decidida y sin miedo, seguro arrancará al uso final de la electricidad (la Carga) la mayoría

de sus secretos, y esto sin duda llevará a un mejor diseño y operación de todo el Sistema

Eléctrico de Distribución.

PARTE I. FUNDAMENTOS DE

CARACTERIZACIÓN DE LA CARGA EN

SISTEMAS ELÉCTRICOS DE

DISTRIBUCIÓN.

CCAAPPÍÍTTUULLOO 11.. DDIIVVEERRSSIIDDAADD DDEE LLAA CCAARRGGAA EENN SSIISSTTEEMMAASS EELLÉÉCCTTRRIICCOOSS DDEE

DDIISSTTRRIIBBUUCCIIÓÓNN..

Para diseñar o planear un Sistema Eléctrico de Distribución, el ingeniero debe

considerar la Carga, individual o colectivamente. La acción y efecto de determinar sus

atributos peculiares, de modo que claramente se distinga de otras define la Caracterización

de la Carga.

Aunque la Carga puede ser descrita por lecturas de instrumentos de medición que

registran varias cantidades eléctricas, el uso directo de tales registros es insuficiente para

una adecuada caracterización. Por esta razón se han desarrollado definiciones de

características particulares; pero la magnitud precisa de algunas características, en el caso

de Cargas individuales puede resultar un parámetro desconocido del sistema en estudio. Al

nivel de Distribución, la Carga de un cliente individual o grupo de clientes cambia en forma

constante y aleatoria. Como se verá más adelante, en Ingeniería de Distribución es común

usar aproximaciones basadas en información generalizada.

1.1. DEFINICIONES Y CONSIDERACIONES BÁSICAS.

• Sistema Eléctrico de Distribución: Un Sistema de Distribución de potencia, como su

nombre lo indica, es el medio para distribuir la energía eléctrica desde los bloques de

suministro hasta los puntos de utilización. Pueden variar desde una simple línea que

Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 6

conecte un generador con un solo consumidor, hasta una red automática que alimente

la zona más importante de la ciudad [3].

Tabla 1-1. Elementos y componentes del Sistema Eléctrico de Distribución de acuerdo a la función que desempeñan.

Sistema de Subtransmisión

Subestación de Distribución

Alimentador Primario

transformador de Distribución

Secundaria y Acometidas

Circuitos que se inician en subestaciones de gran potencia para alimentar

subestaciones de Distribución.

Reciben potencia de los circuitos de

Subtransmisión y transforman al nivel de tensión del alimentador

primario.

Circuitos que se inician en las subestaciones de

Distribución y proporcionan la ruta de flujo de potencia a los

transformadores de Distribución.

Transfieren la potencia reduciendo la tensión primaria al nivel de utilización de los

clientes.

Distribuyen potencia en el ámbito secundario

desde el transformador hasta su uso final.

Subestación deDistribución

Fuente de Gran Potencia

Subtransmisión

AlimentadoresPrimarios

Transformadoresde distribución

Secundaria

Acometidas

Lateral 1φ

Principal 3φ

Figura 1-1. Diagrama unifilar de un Sistema Eléctrico de Distribución de operación radial.


Se acepta que un Sistema Eléctrico de Distribución, propiamente, es el conjunto

de instalaciones desde 120 V hasta tensiones de 34.5 kV encargadas de entregar la

energía eléctrica a los usuarios [3].

La Subtransmisión reúne características de Transmisión y Distribución, pues

como la primera, mueve cantidades relativamente grandes de potencia eléctrica de un

punto a otro, y como la segunda, proporciona cobertura de zona.

Los niveles de tensión de Subtransmisión van de 12 hasta 245 kV, pero en la

actualidad son más comunes los niveles de 69, 15 y 138 kV. El uso de tensiones más

elevadas está aumentando con rapidez, a medida que crece la aplicación de tensiones

de Distribución primaria más altas (por ejemplo, 25 y 34.5 kV [20]).

La Historia de los sistemas de servicio eléctrico ha mostrado que la tensión que

en principio fue de Transmisión paso ha ser de Subtransmisión, de la misma manera

que la tensión de Subtransmisión evolucionó para convertirse en el nivel actual de

Distribución primaria.

• Carga: La Carga, según la definición clásica en el contexto de Distribución, es la

parte del sistema que convierte la energía eléctrica a otra forma de energía, como por

ejemplo un motor eléctrico, el cual convierte la energía eléctrica en energía mecánica.

No obstante, debe quedar claro que este concepto involucra a todos los artefactos que

requieren de energía eléctrica para trabajar.

• Alimentadores Radiales: Un alimentador de Distribución radial se caracteriza por

tener una sola ruta para el flujo de potencia entre la fuente (subestación de

Distribución) y cada cliente. El principal inconveniente del sistema radial es su

exposición a largas interrupciones debidas a fallas de las componentes y la necesidad


de interrupciones planeadas repetidas para mantenimiento rutinario o para realizar

nuevas construcciones.

• Alimentadores en lazo o anillo: Más confiable que el arreglo radial, este tipo de

alimentador cuenta con un mínimo de dos trayectorias para el flujo de potencia entre

la fuente y cada cliente. Su empleo es necesario en la construcción de redes en baja

tensión.

1.2. EL CONCEPTO DE DEMANDA.

En Sistemas Eléctricos de Distribución la demanda es la intensidad de corriente, o

potencia eléctrica, relativa a un intervalo de tiempo específico, que exige la Carga del

sistema para funcionar. Ese lapso se denomina intervalo de demanda, y su indicación es

obligatoria a efecto de interpretar un determinado valor de demanda.

Así, la demanda es una cantidad cuya medida depende del caso de estudio: amperios

para la selección o reemplazo de conductores, fusibles, o de interruptores, ajuste de

protecciones y balanceo de Carga; kilovatios para la planeación del sistema, estudios de

energía consumida, energía no vendida, y energía pérdida; kilovoltamperios para la

selección de la capacidad de transformadores y alivio de Carga. Para estudios de

compensación reactiva puede convenir el registro de la demanda en kilovares.

Los intervalos de demanda, son típicamente de 15, 30 o 60 minutos. Los lapsos de 15

o 30 minutos se aplican comúnmente en facturación, selección de la capacidad de equipos,

estudios de balanceo y transferencia de Carga. El intervalo de 60 minutos, permite construir

“Perfiles de Carga Diarios” para el análisis de consumo de energía, determinar el

rendimiento de dispositivos, y también para elaborar un completo plan de expansión del


Sistema Eléctrico de Distribución. No obstante, la selección de fusibles y el ajuste de

protecciones puede exigir la medición de demandas instantáneas.

La relevancia de la relación entre la magnitud de la demanda y el intervalo de

medición correspondiente, puede entenderse mejor examinando la siguiente figura.

Figura 1-2. Representación gráfica de una “Curva de Carga Diaria” hipotética, con acercamiento al entorno del valor de demanda máxima.

Aquí, la curva que representa el comportamiento de esta demanda hipotética durante

todo el día tiene una forma continua, y está asociada a un grupo de “Cargas”. En este

sentido el valor de demanda máxima ocurre poco después de la hora 18, pero antes de las

18:15. Si se hubiera dispuesto un instrumento con intervalos de medición de 15 minutos, se

registraría como máximo el 97% del valor real, a las 18:15. Por otra parte, en el caso que el

instrumento midiera cada 30 minutos, el máximo registrado sería el 90% del valor real, a

las 18:30. Finalmente, si el intervalo de medición hubiera sido de 1 hora, el valor registrado

sería el 87% del máximo real, a las 18 horas.


La sucesión de valores de demanda como función del tiempo se denomina Curva de

Carga, y su representación gráfica, Perfil de Carga; cuando tal sucesión corresponde a un

día entero se tendrán, respectivamente, una Curva de Carga Diaria (CCD) y un Perfil de

Carga Diario (PCD) como el de la Figura 1-2. Cabe destacar que el “Perfil” de la Curva de

Carga depende del procedimiento de medición.

La frecuencia y el método de muestreo pueden tener un impacto significativo. Con

este fin existen dos formas básicas de muestreo en la medición: discreto si el registro es de

Carga instantánea, o por integración si se registra la energía usada durante cada intervalo.

En el caso discutido previamente, el método de muestreo que usa el instrumento

hipotético es de tipo discreto puesto que el censo se realiza al final del intervalo propuesto

en cada caso. Esto comúnmente conduce a un muestreo errático de datos que tergiversa

dramáticamente el comportamiento de la Carga. Por contraste, la mayoría de los equipos

miden la energía usada durante cada intervalo, esto es, haciendo un muestreo por

integración.

Una Curva de Carga resultante de un muestreo discreto difícilmente es representativa

de un comportamiento individual o, él de un pequeño grupo. Sin embargo, según Willis

[14], el problema sobre el método de muestreo no es tan serio cuando la Carga que está

siendo medida es la de un alimentador o subestación.

Note que el área bajo un perfil continuo, corresponde a la energía total consumida por

la Carga ese día. En adelante y con el propósito de no hacer engorrosa la exposición, la

información de demanda dada en forma tabular o discreta corresponderá a una asignación

resultado de un muestreo por integración, donde el par tiempo - demanda en la tabla, por

ejemplo ( )dt, , indica que la demanda promedio es d durante el intervalo que finaliza en t.


En consecuencia, el área bajo la curva escalonada correspondiente será efectivamente, la

energía consumida durante el día en consideración.

La mayoría de las Compañías de Electricidad distinguen el comportamiento de la

demanda sobre una base de clases, caracterizando cada clase con un PCD “típico”, el cual

representa el patrón de uso esperado o promedio de la Carga para un cliente de esa clase el

día de la demanda máxima del sistema, esto es, el día pico. Tales perfiles describen los

aspectos más importantes desde el punto de vista del planificador de Distribución: la

magnitud de la demanda máxima o pico de carga por cliente, la duración del pico, y la

energía total consumida.

Para propósitos de planeación, es una práctica común suponer que el comportamiento

de un perfil típico es cíclico.

Ejemplo 1-1. La siguiente tabla registra la CCD de un alimentador de Distribución de

clase comercial, el día pico del sistema asociado.

Tabla 1-2. Datos de la CCD del Ejemplo 1-1.

t [h] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

D [MW] 5.6 5.6 5.6 5.6 5.1 5.1 5.1 5.6 6.5 7.6 8.0 8.6 8.6 8.6 8.6 8.2 8.2 8.2 6.7 6.2 6.0 5.6 5.6 5.1 (a) Dibuje su PCD. (b) Determine la energía entregada (E) por el alimentador.

Solución.-

(a) Antes se ha establecido que los valores de demanda registrados en forma tabular

corresponden a un muestreo por integración. Luego, la representación es como se muestra

en la Figura 1-3.

(b) ∑∑==

==+−=24

1

24

1

)()()(tt

tDtDttE 1 159.7 MWh


Figura 1-3. Representación gráfica de la CCD del Ejemplo 1-1.

Con al menos dos Cargas diferenciadas, se define la Demanda Diversificada (Ddv) en

un intervalo dado a la suma de las demandas individuales en ese intervalo, dividida por el

número de Cargas del conjunto.1

1.3. DECLARACIÓN DE LA DEMANDA MÁXIMA

La Demanda Máxima (Dm), es la mayor de las demandas de una instalación o

sistema ocurridas durante un período de estudio especificado. La declaración de demanda

máxima debe indicar también el intervalo de demanda usado. Para el alimentador del

1 Tradicionalmente la bibliografía refiere esto como una “demanda promedio”, lo cual resulta ambiguo considerando que el término está reservado para otra característica (vea la sección 2.2). En cambio, como se verá más adelante, esta definición obedece a la acepción práctica del término “diversificada”.


Ejemplo 1-1, la demanda máxima anual de 1 hora fue de 8.6 MW, y se sostuvo así durante

4 horas (una sexta parte del día pico).

El valor de más interés para planeación es el pico de carga anual, la máxima demanda

vista durante el año. Este pico es importante porque señala la máxima potencia que debe ser

entregada, y por tanto define las necesidades de capacidad para los equipos.

Por otra parte la declaración de demanda máxima es relativa al caso de estudio.

Cuando se refiere a un sistema que agrupa cierto número de Cargas, se define como

demanda máxima no coincidente, Dmnc, a la suma de los valores de demanda máxima de

cada una de las Cargas que forman el conjunto sin tomar en consideración su simultaneidad

en el tiempo; por contraste, la demanda máxima resultado de una contribución simultánea

de todas las Cargas se denomina demanda máxima coincidente, Dmc. En general estos

valores de demanda de grupo son diferentes, a menos claro, que las demandas máximas

individuales sean simultáneas en el tiempo. Algebraicamente, si se define la curva de

demanda como el vector

∑=

=n

i

i

1

DD . ( 1-1 )

Donde: ∑=

=m

j

jii d1

ˆ jeD ; j designa el orden de medición y debe corresponder a un mismo

intervalo de demanda para todas las cargas del grupo; m es el número total de mediciones;

jid es el valor de la j-ésima medición realizada a la Carga i de las n que forman el grupo;

je es el vector unitario cuya única componente no nula es la de la posición j.


De este modo:

∑∑= =

=n

i

m

j

jid1 1

ˆ jeD ,

entonces:

∑=

=n

i

mimnc DD1

, ( 1-2 )

donde )max( iD=miD , y

)max(D=mcD . ( 1-3 )

En consecuencia, la demanda máxima diversificada2 está dada por:

nDD mc

mdv = . ( 1-4 )

La diferencia entre Dmnc y Dmc se denomina Diversidad de Carga, DC, y mide el error

absoluto cometido en un diseño para el cual Dmnc es la premisa.

mcmnc DDDC −= ( 1-5 )

1.4. FACTORES DE CARACTERIZACIÓN DE LA DIVERSIDAD.

Considere cien casas servidas desde el mismo segmento de un alimentador de

Distribución. Suponga que cada residencia tiene un PCD “picado”, errático, cada uno

ligeramente diferente debido a los distintos artefactos, horarios y preferencias de uso.

Cuando se superponen dos o más de estos perfiles, la resultante es otro con menos

2 En general, según se definió con anterioridad, la demanda diversificada para la medición j sería

ndDn

i

jijdv ∑=

=1


hendiduras; cuantos más perfiles se superpongan, se obtendrá una apariencia cada vez más

suave como puede observarse en la Figura 1-4.

Figura 1-4. PCD’s para grupos de dos, cinco, veinte y cien residencias en un área suburbana de gran extensión.

La escala vertical es la misma en todos los casos; note que mide la demanda diversificada. El pico de carga se reduce en la medida que el número de clientes aumenta (Fuente: [14]).

El pico de carga por cliente, o demanda máxima diversificada, cae a medida que

agregan nuevos clientes al grupo. Cada residencia tiene un breve, pero pronunciado pico

que rara vez es coincidente con otro dentro del mismo grupo, especialmente si es numeroso.

En fin, el pico del grupo ocurre cuando de la combinación de las Curvas de Carga

individuales se obtiene un máximo que es sustancialmente menor que la suma de los picos

individuales como puede verse en la Figura 1-4.

Esta tendencia de la demanda máxima diversificada de caer a medida que aumenta el

número de clientes está determinada por la coincidencia entre las residencias; a menor

coincidencia corresponde mayor diversidad.


1.4.1. FACTORES DE COINCIDENCIA Y DE DIVERSIDAD.

Lo antes expuesto, puede ser cuantificado más claramente y constituye la motivación

para la definición de Factor de Coincidencia (FCn):

mnc

mdv

mnc

mc

DnD

DDFCn

)41( −

== . ( 1-6 )

Obviamente FCn ≤ 1. El Factor de Coincidencia de un grupo de Cargas, puede

interpretarse como la proporción única en la cual cada demanda máxima individual es

coincidente al tiempo del pico del grupo.

El comportamiento discutido arriba es denominado coincidencia intraclase. Los

clientes comerciales e industriales tienen comportamientos colectivos similares a los

discutidos para Cargas residenciales, pero naturalmente, con PCD’s representativos de esas

clases. Cualitativamente el fenómeno es el mismo, pero en general, desde el punto de vista

cuantitativo es completamente diferente.

También puede hablarse de coincidencia interclase. Una subestación o alimentador

que sirve a un gran número de clientes de diferentes clases no tiene un pico igual a la suma

de las demandas máximas individuales, dado que cada clase de clientes tiene su pico en

tiempos diferentes (vea la Figura 1-5).

Otra manera de cuantificar los comportamientos discutidos arriba la proporciona el

Factor de Diversidad (FDv) de un sistema. Se calcula por la relación entre las demandas

máxima no coincidente y máxima coincidente. Algebraicamente,

mdv

mnc

mc

mnc

nDD

DD

FCnFDv ===

− 1)61(

( 1-7 )


En contraste con el Factor de Coincidencia, FDv ≥ 1. El Factor de Diversidad mide la

dispersión entre las demandas máximas individuales de un grupo de Cargas, y se usa para

determinar la demanda máxima coincidente en el caso que las primeras son conocidas. Si

las Cargas que forman el grupo bajo consideración observan comportamientos disímiles,

FDv debe ser mucho mayor que 1.

412

20

44

3628

5260

68

76

8492

100

2 4 86 24222018161210 14

Sistema

ComponenteComercial

ComponenteIndustrial

ComponenteResidencial

Hora

Porcentaje del pico del sistema

Figura 1-5. Perfil de sistema resultante de la coincidencia interclase (Fuente: [20]).

La ventaja de la definición dada por ( 1-7 ) es que da una interpretación adimensional

de la Diversidad de Carga. Reconsidere la ecuación ( 1-5 ):

mcmcmcmcmnc DFDvDDFDvDDDC )1() 71 (

−=−⋅=−=−

mcDFDvDC )1( −=⇒ ( 1-8 )

A partir de este hecho el error relativo en la estimación para el diseño, cuando se

emplea Dmnc en lugar de Dmc, viene dado por:


)1(100% −= FDvε ( 1-9 )

Ciertamente, este error estará presente siempre que el sistema construido, o parte de

él, haya resultado de la aplicación de factores de seguridad y de reserva durante la etapa de

diseño.

1.4.2. FACTOR DE RESPONSABILIDAD.

A diferencia del carácter global del Factor de Coincidencia, el Factor de

Contribución o Responsabilidad (FR) es de carácter individual. Este factor interpreta la

fracción del máximo de cada Carga con la cual se contribuye al pico del grupo, esto es:

mi

pii D

dFR = , ( 1-10 )

donde, FRi es el Factor de Responsabilidad de la Carga i, y dpi es el valor de su demanda al

tiempo p del pico del grupo.

En la Figura 1-5 se observa que la componente con mayor responsabilidad en el pico

del sistema es la comercial seguida por la residencial; la componente industrial, contribuye

medianamente en ese momento. En cambio, los picos individuales coinciden en 80%

aproximadamente.

Pueden relacionarse ambos factores, el de Coincidencia y el de Responsabilidad,

reconsiderando la ecuación ( 1-3 ).

∑∑==

⋅==n

i

mii

n

i

pimc DFRdD11 ∑

∑

=

=

⋅

=⇒ n

i

mi

n

i

mii

D

DFR

FCn

1

1 .


Así, en el caso de Cargas compuestas con la misma demanda máxima individual, el Factor

de Coincidencia será la media aritmética de los Factores de Responsabilidad de las

componentes; por otra parte, cuando cada Carga del grupo tiene el mismo Factor de

Responsabilidad, éste equivale al Factor de Coincidencia.

Aunque lo anterior parezca una mera reflexión teórica, cierto tipo de Cargas pueden

aproximar alguna de esas condiciones. Para el primer caso, por ejemplo, asumiendo que

calentadores de agua no controlados, de igual capacidad, instalados, o recomendados por la

constructora de una vivienda multifamiliar de clase alta, representarán las Cargas

dominantes de los clientes, los diferentes hábitos de consumo llevarán a demandas

máximas individuales iguales, pero no coincidentes. En el segundo caso, puede pensarse en

los acondicionadores de aire de un grupo de clientes; aunque las demandas máximas de

cada cliente dependen de la capacidad de las unidades en cada vivienda, si tienen el mismo

perfil de uso los Factores de Responsabilidad y de Coincidencia serán iguales.

Ejemplo 1-2. La figura adjunta ha sido tomada de Espinosa [3], y fue presentada

originalmente en la referencia [12]. En ella se establece una banda de valores para el Factor

de Coincidencia de clientes residenciales.

¿Será de tipo residencial un grupo de 15 clientes con simultaneidad en sus picos de

66.7 %?¿Cuál es el error relativo de diseño?

Solución.-

De la observación de la Figura 1-6, para 15 consumidores:

45.035.0 ≤≤ FCn ,

según lo cual, tal grupo no puede corresponder a clientes de tipo residencial. Por otra parte,


50)1(100%5.132 =−=⇒=⇒≅ FDveFDvFCn

Figura 1-6. Factor de Coincidencia como función del Número de

Clientes Residenciales.

Ejemplo 1-3. Una subestación de Distribución está constituida por dos transformadores de

potencia cuyas CCD se especifican a continuación.

Tabla 1-3. Datos de las CCD del Ejemplo 1-3. t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

D1 27.0 26.5 26.0 25.0 24.0 24.0 18.5 18.0 18.0 19.0 18.5 19.0 20.0 23.0 24.0 24.5 22.0 22.0 20.0 22.0 26.0 29.0 29.5 28.5

D2 23.0 22.0 22.0 22.0 21.0 20.0 19.0 22.0 26.5 27.0 28.5 30.0 29.5 31.0 32.5 32.0 30.0 28.0 26.0 26.0 25.0 25.0 26.0 25.0

Donde, el tiempo está en horas y las demandas en MW.

Dibuje los PCD’s de la subestación y los de ambos transformadores. Además, determine:

(a) FDv, FCn, FR1 y FR2; (b) DC y %ε.

Solución.-

[ ]553555054051048046050052556556054549049047046544040537044045047048548050 ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., .=+= 21 DDD


Figura 1-7. Representación gráfica de las Curvas de Carga Diaria (PCD’s) del Ejemplo 1-3, donde se observa la coincidencia interclase. Según, se observa la clase dominante en la subestación es del tipo comercial puesto que la demanda máxima ocurre en horas de

la tarde, a pesar que el transformador 1 tiene una importante característica de utilización residencial.

(a) == )max( DmcD 56.5 MW.

)max( 11 D=mD = 29.5 MW y )max( 22 D=mD = 32.5 MW.

21 mmmnc DDD +=⇒ = 62 MW.

De este modo,

5.5662

==mc

mnc

DDFDv = 1.097 911.01

==⇒FDv

FCn .

El 91.1% de la demanda máxima de cada transformador coincide para el pico de la

subestación.


Por otra parte, dado que éste pico se sostiene durante dos horas, se consideran las demandas

de mayor responsabilidad3.

5.295.24

1

)1,16(1 ==

mDd

FR = 0.83 y 5.325.32

2

)2,15(2 ==

mDd

FR = 1.

Esto indica que el transformador 1 contribuye al pico de la subestación con el 83% de su

demanda máxima, mientras que el transformador 2 lo hace con el 100%.

(b) Finalmente,

=−= mcmnc DDDC 5.5 MW =

=

=⇒

625.5100100%

mcDDC

ε 8.87%.

El error relativo de la estimación es un excedente menor que 10%.

Ejemplo 1-4. Un alimentador radial sirve únicamente a dos Cargas. Los PCD’s de cada

una se modelan por las expresiones:

)24(2)20(4)14(2)7(6)(2)(y,)24(8)18(7)6(9)(10)(

2

1

−−−−−−−+=−−−+−−=

tutututututDtututututD

.

donde, las demandas son dadas en cientos de kVA, t está en horas, y u(t) es la función

escalón unitario.

a) Dibuje los PCD's de las dos Cargas y del alimentador.

b) Determine el Factor de Coincidencia de las Cargas. Interprete.

c) Determine los Factores de Responsabilidad de las Cargas que sirve el alimentador.

Interprete y comente.

3 Esta decisión se sustenta en la interpretación del concepto.


Solución.-

a) )(1 tD y )(2 tD pueden escribirse

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ])24()20(2)20()14(6)14()7(8)7()(2)(

y,)24()18(8)18()6()6()(10)(

2

1

−−−+−−−+−−−+−−=−−−+−−−+−−=

tututututututututDtututututututD

En consecuencia,

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ])24()20(10)20()18(14)18()14(7

)14()7(9)7()6(3)6()(12)(−−−+−−−+−−−++−−−+−−−+−−=

tututututututututututututD

Así, gráficamente:

+

=

Figura 1-8. PCD's de las dos Cargas y del alimentador usando la calculadora HP 48G.

b) 1800100080021 =+=+= mmmnc DDD .

778.01814

===⇒mnc

mc

DDFCn .

La simultaneidad de los picos individuales es de 77.8% para el pico del alimentador.

c) 75.0,8.0 86

2108

1 ====⇒= FRFRDd

FRmi

pii .

Las Cargas contribuyen al pico del alimentador con el 80% y 75% de sus picos

individuales.

1.5. FACTORES DE DEMANDA Y DE UTILIZACIÓN.

La suma de las intensidades o potencias de placa de todos los artefactos de consumo

dependientes del Sistema Eléctrico de Distribución, o de una parte de él, se define como


carga conectada (CC). Esta, representa la máxima demanda posible de una instalación

[12].

El Factor de Demanda (FD) de un sistema, o parte de él, determina la proporción de

carga conectada que es a lo sumo alimentada cuando ocurre la demanda máxima

correspondiente. Algebraicamente,

CCDFD m= ( 1-11 )

Donde Dm es la demanda máxima individual, o coincidente, según se esté considerando en

la evaluación parte de, o todo un sistema.

Note que FD ≤ 1. Según Manning [2], el Factor de Demanda indica el grado en que la

carga conectada es operada simultáneamente.

Aunque el Factor de Demanda puede aplicarse a un sistema completo, usualmente es

aplicable a la acometida de un cliente que puede ser industrial, comercial o residencial. De

hecho, para un grupo de clientes con cargas conectadas y Factores de Demanda conocidos,

el Factor de coincidencia puede escribirse como:

∑=

⋅= n

iii

mc

FDCC

DFCn

1

( 1-12 )

En una acepción más amplia, Kersting [9] señala que la proporción de carga

alimentada en un momento dado se mide por un Factor de Asignación (FA); en particular,

el Factor de Demanda corresponde al Factor de Asignación de la Demanda Máxima. Note

que la declaración del FA está ligada a una condición del sistema bien determinada.

Por otra parte, la intensidad o potencia nominal del medio de suministro al cual se ha

conectado Carga, se denomina capacidad nominal (CN) de tal medio.


La Capacidad de carga de la mayoría de las partes del equipamiento eléctrico tiene

base en el límite de operación segura por elevación de temperatura, y dado que la

temperatura no cambia instantáneamente con la carga sino también con el tiempo, partes

como alambres, cables, transformadores, etc., tienen un retardo considerable en la elevación

de temperatura y una apreciable capacidad de almacenamiento de calor [12]. Así, la

capacidad de los equipos de suministro está determinada por una carga continua, la

elevación de temperatura se traduce en calor y en consecuencia, las sobrecargas de muy

corta duración no tendrán una influencia significativa en el deterioro de sus partes.

No obstante, cuando la capacidad del sistema o parte de él ha sido determinada por su

límite térmico, la restricción de caída de tensión puede ser violada por una Carga inferior a

tal capacidad.

El Factor de Utilización (FU) de un sistema, o parte de él, determina la proporción

de capacidad nominal que es a lo sumo utilizada cuando ocurre la demanda máxima

correspondiente. Algebraicamente,

CNDFU m= ( 1-13 )

Note que en general FU ≤ 1. El Factor de Utilización puede indicar el grado en el

cual un sistema está siendo Cargado durante el pico de carga con relación a su capacidad;

un FU > 1 indica que el sistema está sobrecargado.

Ejemplo 1-5. Suponga que desde un transformador de Distribución (Tx) y dos tramos de

línea secundaria, se alimentan 15 clientes residenciales cuya demanda máxima individual es

de 4 kVA, cinco por poste.


a) ¿Dónde debe ubicarse el Tx para beneficiar tanto a la compañía de suministro como

a los clientes?

b) ¿Cuál es la demanda máxima de cada tramo de línea secundaria y la del Tx?.

c) Sí se instala un Tx de 37.5 kVA, ¿de cuánto sería su porcentaje de capacidad

ociosa?

d) Si al cabo de 10 años el Factor de Utilización del Tx es de 100%, ¿cuál sería la tasa

interanual de crecimiento de la demanda?

Solución.-

a) Una configuración centralizada beneficia a la Distribuidora porque reduce pérdidas

técnicas para un calibre único de línea secundaria, lo cual implica un ahorro administrativo

adicional; además, beneficia a los clientes pues la máxima caída de tensión es menor que en

el caso del Tx ubicado en alguno de los extremos.

Tx

kVAdmi 4=

Figura 1-9. Configuración centralizada del transformador de Distribución para 15 clientes.

b) Dado que de cada tramo de línea secundaria (LS) se alimentan sólo 5 clientes, haciendo

uso de las curvas de la Figura 1-6 se tiene:

( )kVA6.126.863.043.0

5

≤≤⇒≤≤•

LS

dm

DmFCni

.

Análogamente, como el Tx alimenta a los 15 clientes,

( )kVA272145.035.0

15

≤≤⇒≤≤•

Tx

dm

DmFCni

.


c) ( ) ( )56.072.072.056.0kVA2721

15.371

−≤−≤−⇒≤≤⇒≤≤−••

FUFUDmTx

( )44.028.0

1≤≤⇒

+

puCO

Donde puCO denota la capacidad ociosa del Tx en por unidad de su capacidad nominal. En

consecuencia, entre 28% y 44% el tamaño del Tx está siendo desaprovechado.

d) Sea g la tasa de crecimiento interanual de la demanda. Luego:

( )( ) 0334.015.37127

0597.015.3712110

275.37

min10

min

1021

5.37max

10max

=−=⇒=+

=−=⇒=+

gg

gg

Ejemplo 1-6. Un transformador monofásico (Tx) de 10 kVA tiene tres acometidas directas

con carga total conectada de 10800 W; la demanda máxima de 1 hora del dispositivo es de

9 kVA. Si una de las acometidas atiende una demanda constante, cuya carga conectada

representa la mitad del total conectado a las otras dos, con Factores de Responsabilidad de

0.60 y 0.80, y Factor de Coincidencia entre acometidas de 0.75, determine:

a) La proporción de la capacidad del Tx que es a lo sumo utilizada para el suministro,

y la proporción de carga conectada que es a lo sumo simultáneamente alimentada.

b) La demanda máxima de cada acometida.

Solución.-

a) 9.0109 === CN

DmFU y 75.08.10)9.0)(9( === CC

DmFD

b) 8.0,6.0,1,2 321321 ===+= FRFRFRCCCCCC y 75.0=FCn .

Como 321 CCCCCCCC ++= y iii dmFRd ⋅= , entonces:

kVACCCC 4123 19.08.10

1 =⇒== , 1


y 4554398.06.0 132321 =++⇒=++ dmdmdmdmdmdm 2

Por otra parte, FCnDmcdmdmdmDmnc =++= 321

1212 13275.09

321 =++⇒==++ dmdmdmdmdmdm 3

Se resuelve el sistema de las dos ecuaciones lineales 2 y 3, con 3 incógnitas

−=+=

⇒

−→

→

13

12

293

93

210101

912

210111

4512

543111

dmdmdmdm

4

5

Se sabe que CCFDDm ⋅= y, en general, 10 ≤< FD .

<≤⇒

≤<⇒≤<⇒

kVA91

kVA73kVA40

3

21

dm

dmdm

5

41

En conclusión, para las condiciones establecidas, la acometida 1 puede tener un pico de a lo

sumo 4 kVA, y en consecuencia: la acometida 2 podrá tener una demanda máxima menor o

igual que 7 kVA pero mayor que 3 kVA, en tanto que la acometida 3 tendrá un pico

mínimo de 1 kVA pero menor que 9 kVA. En particular, si la acometida 1 sirve una sola

Carga, FD1 = 1, y así:

kVA174

3

2

1

=

dmdmdm

CCAAPPÍÍTTUULLOO 22.. RRÉÉGGIIMMEENN DDEE CCAARRGGAA YY PPÉÉRRDDIIDDAASS..

Según la Real Academia Española, la palabra régimen alude al modo regular o

habitual de darse algo. En el desarrollo del Capítulo anterior, se estableció que el

comportamiento de la demanda en una instalación podía ser caracterizado a partir de un

Perfil de Carga Diario (PCD) y de varios Factores de caracterización formulados para tal

fin: Coincidencia, Diversidad, Responsabilidad, Demanda y Utilización.

No obstante, esos Factores nada dicen acerca del aprovechamiento de la capacidad de

los equipos en relación con la Carga que alimentan, ni sobre la relación entre tal beneficio y

el tiempo. Esto importa porque gran parte de las pérdidas de potencia de una compañía

están ligadas al diseño y operación del Sistema Eléctrico de Distribución.

Por tanto, el conocimiento de la magnitud y duración de la demanda, es esencial y no

se debe omitir en las comparaciones globales de instalaciones alternativas.

2.1. CURVAS DE DURACIÓN DE CARGA Y DE PÉRDIDAS.

Una Curva de Duración señala la persistencia de un suceso. Analíticamente, consiste

en determinar la frecuencia acumulada de la variable del modelo, en unidades de tiempo.

Para su determinación, se ordenan de máximo a mínimo los valores registrados y se

establecen tantas clases no acotadas superiormente como valores hayan; se determina la

cantidad total de tiempo que corresponde a magnitudes de la variable iguales o superiores al

Régimen de Carga y Pérdidas. 30

límite inferior de la clase. En la práctica, la frecuencia acumulada puede obtenerse sumando

la frecuencia de cada clase con la siguiente. De este modo, una curva de duración informa

la cantidad total de tiempo que la variable en cuestión tiene un valor mayor o igual que

alguno de los registrados.

Figura 2-1. Representación de la Curva de Duración de Carga correspondiente al PCD mostrado en la Figura 1-2. Se observa que la demanda está por debajo de la

mitad de su máximo más del 90% del tiempo.

En la Ingeniería de Distribución, puede aplicarse este concepto a diferentes casos de

estudio. Con propósitos de caracterización, la Curva de Duración de Carga (CDC) puede

resultar de gran utilidad, especialmente si las clases y el tiempo están en valores por unidad

de los máximos correspondientes. Por ejemplo, esta curva puede ser usada para determinar

la necesidad de reemplazo de un transformador a causa de una condición de sobrecarga.

Ejemplo 2-1. Suponga que el PCD de la Figura 1-2 corresponde a un grupo de clientes

cuya demanda máxima coincidente es de 105 kVA. Si la Carga total conectada es de 125


kVA y la capacidad nominal es de 100, determine el Factor de Demanda y el Factor de

Utilización.

Solución.-

Por ( 1-11 ) y ( 1-13 ),

==150105FD 0.70 y ==

100105FU 1.05

Estos resultados indican que a lo sumo se alimenta el 70% de la carga conectada, con el

transformador 5% sobrecargando. No obstante, según la Figura 2-1 tal sobrecarga sólo dura

un instante, después del cual cae al 95% de ese valor, esto es, 99.75 kVA.

Ejemplo 2-2. Determine la CDC para el caso descrito en Ejemplo 1-1, y represéntela

gráficamente.

Solución.-

Sean f es la frecuencia y fa la frecuencia acumulada, en horas. Siguiendo el procedimiento

expuesto recientemente se tiene:

Tabla 2-1. Determinación de la CDC. D [MW] 8.6 8.2 8.0 7.6 6.7 6.5 6.2 6.0 5.6 5.1

f [h] 4 3 1 1 1 1 1 1 7 4 fa [h] 4 7 8 9 10 11 12 13 20 24

Note por ejemplo, que la demanda del alimentador en cuestión es como mínimo 6 MW

durante trece horas (más de medio día). Obviamente, el área bajo esta curva sigue siendo la

energía total entregada por el alimentador.


Figura 2-2. Representación gráfica de la CDC del alimentador comercial del Ejemplo 1-1.

2.2. FACTORES DE CARGA Y DE PÉRDIDAS.

El Factor de Carga (FC), es la relación de la demanda promedio de un sistema, o

parte de él, a la demanda máxima correspondiente. Algebraicamente:

m

prom

DD

FC = , ( 2-1 )

En consecuencia, FC ≤ 1. Supuesto que la demanda para el cálculo de este factor haya sido

medida en unidades de potencia, debe recordarse que:

TDE prom ⋅=

donde E es la energía entregada a la Carga bajo consideración, durante el tiempo T. Por

tanto,


( )TFCDE m ⋅⋅= , ( 2-2 )

En consecuencia, el Factor de Carga representa la proporción del tiempo total de medición

para la cual puede estimarse un pico de carga sostenido. El producto entre paréntesis se

conoce como Horas Equivalentes de Carga (HEC).

Por otra parte, desde el punto de vista continuo,

∫∫∫ =⇒

=⇒=

1

000

d)(d)(d)(1ττδFC

Tt

DtDFCttD

TDprom

T

m

T

, ( 2-3 )

Aquí mD

D=δ y Tt=τ ; luego [ ]1,0, ⊂δτ .

Ejemplo 2-3. Exprese la CDC anterior en por unidad, y determine el Factor de Carga

asociado.

Solución.-

Siguiendo el procedimiento expuesto recientemente:

Tabla 2-2. Determinación de la CDC en p.u.

δ 1.000 0.953 0.930 0.884 0.779 0.756 0.721 0.698 0.651 0.593 τ 0.167 0.292 0.333 0.375 0.417 0.458 0.500 0.542 0.833 1.000

Según la ecuación ( 2-3 ):

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

774.0833.0000.1593.0

542.0833.0651.0500.0542.0698.0458.0500.0721.0417.0458.0756.0375.0417.0779.0333.0375.0884.0

292.0333.0930.0167.0292.0953.0167.0000.1

=−+

−+−+−+−+−+−+

−+−+=FC

Ejemplo 2-4. Verifique la solución del Ejemplo 2-3 usando la ecuación ( 2-2 ) y el

resultado del Ejemplo 1-1.


Solución.-

( )( ) 774.0246.87.159

==⋅

=TD

EFCm

.

El Factor de Pérdidas (FPr), es análogo del Factor de Carga pero en el contexto de

pérdidas de potencia: la relación de las pérdidas promedio Pprom de un sistema, o parte de

él, a la pérdida máxima Pm correspondiente, se conoce como Factor de Pérdidas.

Algebraicamente:

m

prom

PP

FPr = , ( 2-4 )

y en consecuencia,

( )TFPrPEp m ⋅⋅= , ( 2-5 )

donde Ep representa la energía pérdida durante el período de medición T. Así, el Factor de

Pérdidas representa la proporción del tiempo de medición durante la cual se sostiene el pico

de pérdidas. El producto entre paréntesis se conoce como Horas Equivalentes de Pérdidas

(HEP).

Con propósitos de planeación, se considera que las pérdidas más significativas en

Sistemas Eléctricos de Distribución son las debidas al efecto Joule, las cuales resultan

directamente proporcionales al cuadrado de la magnitud de la demanda. De este modo:

( )∫==

1

0

22

2

d)( ττδm

prom

DD

FPr , ( 2-6 )


Ejemplo 2-5. Tomando como datos los establecidos en la solución del Ejemplo 2-3,

determine el Factor de Pérdidas.

Solución.-

Se tabula la Curva de Duración de Pérdidas (CDP)

Tabla 2-3. Determinación de la CDP.

δ 1.000 0.909 0.865 0.781 0.607 0.571 0.520 0.487 0.424 0.352 τ 0.167 0.292 0.333 0.375 0.417 0.458 0.500 0.542 0.833 1.000

Según la ecuación ( 2-6 ):

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

622.0833.0000.1352.0

542.0833.0424.0500.0542.0487.0458.0500.0520.0417.0458.0571.0375.0417.0607.0333.0375.0781.0

292.0333.0865.0167.0292.0909.0167.0000.1

=−+

−+−+−+−+−+−+

−+−+=FPr

Ejemplo 2-6. La experiencia ha demostrado que cuando el período de tiempo es

relativamente grande, esto es, de un año o más, el Perfil de Duración de Carga (PDC)

tendrá, en general, la forma de la “curva de Gauss” [22]. Analíticamente,

( )( )

−−⋅

−= 2min

2min

4exp

δδδπ

τFC

,

donde, δ y τ son la demanda y el tiempo en por unidad, y minδ es la demanda mínima

registrada. Determine el Factores de Pérdidas.

Solución.-

( )( )

( )( )

⇒−−⋅

−=⇒

−−⋅

−= 2min

2min

2min

2min

4ln

4exp

δδδπ

τδδδπ

τFCFC

( )1min

2min ln −−+= τδδδ

πFC


Luego, el PDC queda modelado por:

( ) ( ) ( )12min

41minmin

42min

2 lnln −− −+−+= τδτδδδδ ππFCFC .

De este modo, usando ( 2-6 ) se obtiene el Factor de Pérdidas:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1

dlndln

dlnln

2min

42minmin

42min

1

0

12min

41

0

1minmin

42min

1

0

12min

41minmin

42min

δδδδ

ττδττδδδ

ττδτδδδ

ππ

π

ππ

ππ

−+−+=

−+−+=

−+−+=

∫∫∫

−−

−−

FCFC

FCFC

FCFCFPr

⇒ ( )2min

4minmin

2min 2 δδδδ π −+−+= FCFCFPr .

Ejemplo 2-7. Los siguientes PCD’s permiten caracterizar Cargas cuyo pico ocurre a

mediodía.

(a)

(b)

(c)

Figura 2-3. Algunas formas generales de PCD's para clientes con Demanda Máxima al mediodía.

Determine los Factores de Carga y de Pérdidas, así como la relación entre ellos para cada

caso.

Solución.-

Sean M y m, respectivamente, los valores máximo y mínimo en todos los Perfiles.


(a) ( )( ) ( ) ( )

+=

⋅+

=⋅

=⇒+=+−

=−

Mm

MmM

TDmEFCmMmmME 1

21

24121224

224 )22(

Haciendo Mm=δ ,

( )δ+=⇒ 121FC 1

Este resultado indica que para un Perfil de este tipo el mínimo Factor de Carga es 0.5, y con

propósitos de planeación esto significa que el pico de demanda se sostiene, a lo menos, la

mitad del día.

Por otra parte,

≤<

−

−−

≤

−

+=⇒

≤<−−

−

≤−

+=

2412 si,12

2

12 si,12)(

2412 si,)24(12

12 si,12)(

2

2

2

ttmMmM

ttmMmtD

ttmMm

ttmMmtD

( ) ( )2233

12

0

312

0

2

331

123112

12d

12242

mmMMkmMmM

k

tmMmmM

kttmMmkPprom

+⋅+

=−

−

=

−

+

−

=

−

+=⇒ ∫

Por la ecuación ( 2-4 ):

( )231 1 δδ ++==

m

prom

PP

FPr .

De 1 se tiene:

( )144212 231 +−+=⇒−= FCFCFCFPrFCδ

⇒ ( )124 231 +−= FCFCFPr


(b)2212

cos2

)( MmDMmtMmtD prom+

=⇒+

+

−

=π .

( )121 +=⇒ δFC

Observe que ésta es la misma conclusión señalada por 1, justificada por el tipo de simetría

de ambos Perfiles, (a) y (b).

Como las pérdidas son proporcionales al cuadrado de la demanda,

22

2

22

212cos

222

12cos

2

212cos

2)(

+

+

+

−

+

−

=

++

−

=⇒

MmtMmMmtMm

MmtMmtD

ππ

π

+

+

−

=⇒22

2221 MmMmkPprom

Así usando la ecuación ( 2-4 ):

22

21

21

21

+

+

−

=δδFPr

La relación entre los dos factores, se obtiene usando de nuevo 1:

( ) ( )123112 22122

21 +−=+−=⇒−= FCFCFCFCFPrFCδ

⇒ ( )123 221 +−= FCFCFPr

(c) ( ) pary0,12)( nctcMtD n >−−= .

nn mMcmcMttD

1212)240( −

=⇒=−==∨=

( ) ttmMMDn

prom d12

12242 12

0∫

−

−−=⇒

( ) ( ) ( )mMnn

mMn

MtmMn

Mn

+⋅+

=−+

−=

−

−+

−=+

11

11

1212

11212

121

12

0

1


( )δ++

=⇒ nn

FC1

1 2

En consecuencia, el Factor de Carga mínimo para este tipo de Perfil es 32 .

Por otra parte,

( )

( ) ( )

( ) ( )

+

+⋅

+−

++

++

+−=

−

++−

+−=

−

−+

+

−

−+

−=

−

−−=

++

∫

22

22

12

0

122

12

0

12

212

0

121

121

112

121

121

121

12

1212

1212

1212

12412

12

d12

12242

mn

mMnn

Mnn

k

mMn

mMMn

Mk

tmMn

tmMMn

Mk

ttmMMkP

nn

n

prom

Por la ecuación ( 2-4 ):

2

121

121

112

121

121 δδ

++

+−

++

++

+−==

nnnnnPP

FPrm

prom .

De 2 se deduce:

( ) nFCn −+= 1δ

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) 222

2

121

121

12112

121221

1121

112

1112

11

1212

11

21

FCn

nFCnnn

nn

nn

nn

nn

nFCnn

nFCnnnnn

FPr

++

+

++

−+

+−+

+

++

++

++

−=

−++

+−+

+−

++

++

+−=⇒

( ) ( ) ( ) 2222

2222

121

122

12121

12112

12FC

nnFC

nn

nnFC

nnFC

nn

nn

++

+

+

−+

=+

++

++

−++

=

⇒ ( )[ ]2222 1212

1 FCnFCnnn

FPr ++−

+=


Considere los Perfiles de Carga y de Pérdidas

adjuntos. De nuevo M y m representan, respectivamente,

las demandas máxima y mínima registradas, en tanto que k

es la constante de proporcionalidad de las pérdidas por

efecto Joule en el sistema; naturalmente, la magnitud de

estas últimas se ha exagerado con el propósito de

apreciarlas para el siguiente análisis.

t T

k⋅M2

k⋅m2

m

M

Figura 2-4. Perfiles de Carga y de

Pérdidas Escalonados.

Determinación del Factor de Carga:

( )[ ] ( ) mTtmMtTmtM

TDprom +

−=−+⋅=

1

⇒Mm

Tt

MmFC +

−= 1

Determinación del Factor de Pérdidas:

( )[ ] ( )2

2222

+

−=−+⋅= m

TtmMktTmtM

TkPprom

⇒22

1

+

−=

Mm

Tt

MmFPr

Haciendo Mm=δ y T

t=τ , resulta:

( )( )

+−=+−=

2211

δτδδτδ

FPrFC

Si δ y τ son variables intermedias para determinar la relación entre los dos Factores,

es obvio que una fórmula explícita entre ambos no puede obtenerse. No obstante, observe

que:


( )( )

≥∇≥∇

.0,0,

δτδτ

FPrFC

Esto significa que ambas funciones polinómicas son monótonamente crecientes en su

recorrido. Como el Dominio de ambas es

( ) 1010, 2 ≤≤∧≤≤ℜ∈ δτδτ ,

por el Teorema de Weirstrass, tanto FC como FPr alcanzan valores extremos absolutos allí.

En las fronteras del dominio, se tiene:

0=τ (Demanda máxima instantánea) 2FCFPr =⇒ (curva frontera)

0=δ (Demanda mínima nula) FCFPr =⇒ (curva frontera)

11 =∨= δτ (Demanda Constante) 1==⇒ FCFPr (máximo absoluto)

En conclusión, se establece la siguiente restricción general.

FCFPrFC ≤≤2

Figura 2-5. Límites para los Factores de Pérdidas.

Se han estudiado varios Perfiles típicos de Carga con el fin de determinar la relación

entre los dos Factores para alimentadores y transformadores de Distribución. Puede


demostrarse que la familia de parábolas cuadráticas de parámetro 10 <≤ b que cumplen

con la restricción general, se describe analíticamente por:

( ) 21 FCbFCbFPre −+⋅= . ( 2-7 )

Generalmente se ha empleado, en forma empírica, b = 0.15 para transformadores [20]

y b = 0.30 para alimentadores [21]; esto se debe a que estos últimos tienen un Perfil de

Carga Diario con menos cambios bruscos que los primeros, y por tanto, desde el punto de

vista teórico, tienen mayor tiempo equivalente de pérdidas para el mismo Factor de Carga.

No obstante, cuando se conoce el Perfil de Carga o puede estimarse en forma razonable, el

Factor de Pérdidas debe calcularse sin el uso de fórmulas empíricas.

Ejemplo 2-8. Usando el Factor de Carga calculado en el Ejemplo 2-3 y la fórmula

empírica para alimentadores, determine el Factor de Pérdidas y compare con el resultado

exacto (obtenido en el Ejemplo 2-5).

Solución.-

652.07.03.0774.0 2)72(

=+=⇒=−

FCFCFPrFC e

⇒ 6520.FPre =

823.4622.0

6520622.0100100% −=

−

=

−

=⇒.

FPrFPrFPrerror e

Ejemplo 2-9. Si 3.0min=δ compruebe la validez del modelo propuesto en el Ejemplo 2-6

usando la restricción general, y trace el PDC para los Factores de Carga extremos.


Solución.-

Resolviendo con calculadora gráfica, por ejemplo, con la HP 48G:

Figura 2-6. Validación de la relación FPr vs FC del Ejemplo 2-6.

Note que el Dominio para el cual queda restringida la relación propuesta no es 10 ≤≤ FC .

De nuevo, empleando funciones matemáticas de la Calculadora HP 48G se obtiene que el

Dominio restringido es 893.0180.0 ≤≤ FC (vea la Figura 2-7). La justificación de los

valores frontera es inmediata cuando se representan las CDC's asociadas.

Figura 2-7. Valores frontera del dominio restringido de la relación FPr vs FC del Ejemplo 2-6.

La Figura 2-8 indica que, como era de esperarse, para el Factor de Carga mínimo el pico es

de muy corta duración; en contraste, para el Factor de Carga máximo el pico es de larga

duración.


a) FC = 0.180

b) FC = 0.893

Figura 2-8. Curvas de Duración de Carga para los valores extremos de FC del Ejemplo 2-9.

Ejemplo 2-10. Usando la restricción general, valide las relaciones obtenidas en el Ejemplo

2-7.

Solución.-

Las representaciones de la Figura 2-9 muestran los dominios para los cuales son válidas las

relaciones obtenidas.

(a)

(b)

(c)

Figura 2-9. Validación de las relaciones obtenidas en el Ejemplo 2-7.

Todos los gráficos están incluidos en ( ) 1010, 2 ≤≤∧≤≤ℜ∈ FPrFCFPrFC , y han

sido representados a la misma escala. Es interesante recordar que en los dos primeros casos

el Factor de Carga mínimo es de 0.5, y para el último caso es de 0.666. En consecuencia,

las relaciones y conclusiones obtenidas en el Ejemplo 2-7 son pertinentes para Perfiles de

Carga reales que se aproximen a las formas generales allí estudiadas.


Debe destacarse que los dos Factores estudiados en está sección (de Carga y de

Pérdidas), son de mucha utilidad en la Planeación de Distribución, porque de ellos es

posible obtener un pulso rectangular único equivalente, en relación con la energía

determinada por el Perfil original. No obstante, es importante diferenciar la base de cálculo

de tales Factores: el período de medición T.

En general, los Factores calculados para un día no son útiles para un estudio de

energía mensual, y menos para el caso anual. A medida que T es mayor, la tendencia de

ambos Factores es hacia la baja, excepto, por supuesto, que el Perfil sea invariablemente

periódico.

En sentido estricto, ambos Factores deberían ser calculados basados en una Curva de

Duración de Carga (CDC) en por unidad de las bases de Dm y T. Lo más recomendable

para el caso de planeación de capacidad, energía entregada y energía perdida sería obtener

una CDC anual (T = 8760 h).

CCAAPPÍÍTTUULLOO 33.. AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS PPRRÁÁCCTTIICCAASS DDEE CCAARRAACCTTEERRIIZZAACCIIÓÓNN EELLEEMMEENNTTAALL::

TTAARRIIFFAACCIIÓÓNN YY BBAALLAANNCCEEOO..

Las compañías de servicio público son monopolísticas, es decir, tienen el derecho

exclusivo de vender su producto en un área dada; no obstante, sus tarifas son materia de

regulación gubernamental y están sujetas a la revisión de una comisión nombrada para tal

fin. Así, la compañía tarifará para clientes bien determinados y en función de la calidad del

servicio que preste.

Por otra parte, un buen diseño del Sistema Eléctrico de Distribución procura la

eficiencia de su operación. Desde el inicio la Carga asignada a cada fase debería ser

equitativa; no obstante, cuando crece la demanda muchos sistemas tienen que crecer para

dar respuestas “provisionales” que a la larga, terminan siendo permanentes.

En este Capítulo se estudian situaciones que son pertinentes para ilustrar otras

aplicaciones de los Factores de Demanda y de Carga, e introducir un Factor para

caracterizar el desbalance de una carga trifásica conectada en estrella.

3.1. TARIFAS ELÉCTRICAS.

Las tarifas se establecen para evitar una discriminación irracional e injusta; por tanto,

los clientes de los servicios de una compañía deben estar debidamente clasificados en

categorías y subcategorías, para que todos los de una clase dada reciban el mismo trato.

Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 47

Las tarifas aplicables al suministro de energía eléctrica son de arreglo binómico, con

un término de potencia (función de la potencia que el usuario contrata con la compañía

suministradora y/o de la demanda que exige) y otro término de energía (proporcional al

consumo de potencia). La suma de estos dos términos se llama facturación básica.

A la facturación básica se le añaden complementos de recargo o descuento en función

de la energía reactiva consumida, de la discriminación horaria, etc. Además se le añaden a

la facturación los impuestos, y los alquileres de los equipos de medición si son propiedad

de la Compañía Distribuidora.

En el siguiente ejemplo se ilustra lo antes expuesto así como la aplicación de los

conceptos de carga conectada, Factores de Demanda y de Carga para el logro de una

facturación adecuada.

Ejemplo 3-1. Un cliente comercial sin capacidad de transformación instalada propia, con

factor de potencia y consumo promedios mensuales de 0.8¯ y de 17520 kWh,

respectivamente, tiene una carga conectada de 150 kVA. Ignorando el IVA, y empleando

0045.1=FAP , 0340.2=CACE y 3(%) =CIM ,

a) Determine la Demanda Asignada Contratada.

b) Considerando que inicialmente el uso de la energía eléctrica por parte del cliente era

cuantificado por un medidor de activa convencional, determine la tarifa aplicable y el

Cargo Mensual (CM) por el servicio prestado.

c) Después de instalado un medidor de demanda se encuentra que, durante el siguiente

trimestre la demanda medida ha estado en el orden de 70 kVA. Determine: el Factor

de Carga mensual del cliente, la tarifa aplicable y el cambio en el cargo mensual.


La compañía de servicio debe cumplir con la siguiente Regulación:

SERVICIO GENERAL 1 (SGI) Características Técnicas Corriente alterna de 60 Hz, en baja tensión en las tensiones y fases disponibles en la zona. Aplicación Para cualquier uso permanente del servicio de energía eléctrica con demanda máxima no mayor que 60 kVA mensuales, que no quede comprendido en las tarifas residenciales. Tarifa Mensual El cargo mensual será la suma de un Cargo por Demanda de Facturación y un Cargo por Energía para el resto del período, según los valores indicados a continuación, durante la vigencia de esta Regulación. Para valores del Cargo por Demanda inferiores a 1 kVA se considerará este como el valor mínimo a facturar.

Tarifa Unidad Detalles de Aplicación 5742.60 Bs/kVA Cargo por Demanda 34.60 Bs/kWh Cargo por Energía

SERVICIO GENERAL 2 (SG2) Características Técnicas Corriente alterna de 60 Hz, en baja tensión en las tensiones y fases disponibles en la zona. Aplicación Para cualquier uso permanente del servicio de energía eléctrica cuya demanda medida durante dos (2) meses consecutivos, sea mayor que 60 kVA, y que no quede comprendido en las tarifas residenciales. Tarifa Mensual

Tarifa Unidad Detalles de Aplicación 4740.00 Bs/kVA Cargo por Demanda 29.40 Bs/kWh Cargo por Energía

DEMANDA ASIGNADA CONTRATADA (DAC) Para los efectos de esta Regulación, se entenderá por Demanda Asignada Contratada (DAC) el valor expresado en kilovoltamperios (kVA) de la capacidad que la empresa eléctrica pone a disposición del usuario, determinada con base en la Carga total conectada o a conectar de éste, considerando adicionalmente la coincidencia temporal en el consumo de electricidad por los elementos constituyentes de esa Carga y las características técnicas del equipamiento de la empresa eléctrica. Para la determinación de la Demanda Asignada Contratada se aplicarán los siguientes criterios: 1. Si la Carga total conectada no es mayor de 5kVA, se considerará como Demanda Asignada Contratada la Carga total conectada. 2. Si la Carga total conectada es mayor de 5 kVA, la Demanda Asignada Contratada será el cuarenta por ciento (40%) de la Carga total conectada, pero nunca menor de 5 kVA. DEMANDA DE FACTURACIÓN (DF) La demanda de facturación se determinará mediante la aplicación de los siguiente criterios: 1. Si la empresa ha instalado un medidor de demanda, la demanda de facturación será el mayor valor 3. entre los siguientes: a) El mayor valor medido en el lapso de facturación, y b) La Demanda Asignada Contratada. 2. Si la empresa no ha instalado un medidor de demanda, la demanda de facturación será el mayor valor entre los siguientes: a) La Demanda Asignada Contratada y b) El valor de demanda que resulte de dividir el equivalente mensual del consumo de energía medido entre trescientas (300) horas. 3. Cualquier fracción igual o mayor de medio kVA se tomará como un kVA completo. FACTOR DE AJUSTE DE PRECIOS (FAP) Las tarifas establecidas por esta Regulación, con excepción de las correspondientes al Servicio Residencial Social, serán ajustadas con la finalidad de mantener en términos reales los niveles tarifarios. Los mecanismos


de ajuste están dirigidos a reflejar las variaciones ocurridas durante el lapso de vigencia de esta Regulación, en las variables macroeconómicas consideradas para el cálculo de los niveles tarifarios. Los Cargos fijos, por demanda, por energía consumida y por subestación, establecidos por esta Regulación, serán ajustados directamente. CARGO POR AJUSTE DE COMBUSTIBLE Y ENERGÍA (CACE) Las Compañías mencionadas en esta Regulación añadirán a la factura del servicio eléctrico, con excepción de las de usuarios sujetos a la aplicación de la Tarifa 01: Servicio Residencial Social, un cargo para trasladar las variaciones de precios de los combustibles y de la energía comprada. El monto resultante de multiplicar este cargo por el consumo de energía del mes en kWh, se presentará en la factura como Cargo por Ajuste de Combustible y Energía (CACE). COSTO DE IMPUESTO MUNICIPAL (CIM) Las tarifas establecidas en esta Regulación han sido calculadas sin tomar en cuenta las tasas, contribuciones y otros impuestos municipales o estadales. En las facturas del servicio eléctrico se indicará el monto que corresponde a cada usuario por estos conceptos, en proporción al monto de la facturación por ese servicio, en relación con el monto total que la empresa pague a cada Municipio o Estado.

Regulación basada en la Gaceta Oficial Nº 37415 de la República Bolivariana de Venezuela del 03/04/2002.

Solución.-

a) Del inciso 2 de Demanda Asignada Contratada, utilizando un Factor de Demanda del

40% (vea la sección 1.5), se determina:

( ) kVA601504.04.0 =⋅=⋅= CCDAC .

b) El resultado anterior apunta a la Tarifa de Servicio General 1. Dado el tipo de medidor,

del inciso 2 sobre la Demanda de Facturación que en efecto es aplicación implícita del

concepto de Factor de Carga (vea la sección 2.2), tal demanda será el mayor valor entre

DAC y 4.5830017520 = , esto es, DAC.

kVA60== DACDF

34.346070.5742 BsDFFAPCD =⋅⋅=⇒

y ( )( ) 86.608919.175207557.346.34 BsEFAPCE ==⋅⋅=

⇒ ( )( ) ( ) 66.1020344.68.3563520.95499003.11 100 BsECACECECDCM CIM =+⋅=⋅+++= .

c) En esta nueva situación, como la demanda real ha estado en el orden de 70 kVA,

entonces:


( )( )( ) 429.04088017520

8.07073017520

730 ===== ⋅⋅ fpDE

DD

mm

promFC ⇒ 429.0=FC

Dado que este valor de demanda se sostiene durante más de dos meses seguidos, aplica la

Tarifa Servicio General 2. Además según el inciso 1 sobre Demanda de Facturación,

kVA70=DF .

10.333293.4740' BsDFFAPCD =⋅⋅=⇒ y

( )( ) 90.517405.175205323.296.34' BsEFAPCE ==⋅⋅=

( )( ) ( ) 72.912924.68.3563585069903.1''1' 100 BsECACECECDCM CIM =+⋅=⋅+++=⇒

⇒ 94.107419.'' BsCMCMCM =−=∆ .

Este resultado indica lo conveniente de la medición de demanda real, dado que el cambio

representa un ahorro del 10.5% en la Factura mensual, considerando FAP, CACE y CIM,

invariables.

3.2. EL PROBLEMA DEL BALANCEO.

Dada su flexibilidad para el suministro, en el caso de circuitos de Distribución

primarios en 4 hilos, por contraste con los secundarios del mismo tipo, tienden a ser

desbalanceados en el reparto de la Carga. En el ámbito primario, para alimentar un

transformador sólo se requiere una de las fases del circuito y en consecuencia, como es

práctica usual que el neutro sea común y multiaterrizado, el hilo de fase puede extenderse

tanto como se quiera en ausencia de una adecuada planeación.

Cuando la Carga está desbalanceada es conveniente recurrir al método de

componentes simétricas para lograr una buena caracterización.


3.2.1. DESBALANCE DE TENSIÓN.

Manning [2] presenta dos métodos para caracterizar el desbalance de tensiones en un

sistema. El primero define tal desbalance como la máxima desviación de tensión de fase

respecto de la media de tensiones. Analíticamente,

∑

∑−=

=

=

cbakk

cbakkj

jU U

UUDsb

,,

,,3

max100% . ( 3-1 )

Donde UDsb% representa el porcentaje de desbalance de tensión de fase, y jU es la

tensión de la fase j.

Por otro lado, tomando en consideración el efecto de tensiones asimétricas sobre los

motores polifásicos, el otro método caracteriza el desbalance por la disimetría, esto es, la

proporción de tensión de secuencia positiva que representa la tensión de secuencia

negativa. Analíticamente,

D

IU U

UFDsb = , ( 3-2 )

Donde UFDsb se denomina Factor de Desbalance de Tensión, DU es la tensión de línea

de secuencia directa, y IU es la tensión de línea de secuencia inversa. Debe recordarse que

en equilibrio 0=IU , y en cualquier caso la tensión de línea homopolar es nula (¿por qué?).

Según Manning [2], el desbalance en líneas monofásicas de tres hilos está dado por:

12

21200%

UUU

DsbU

−= , ( 3-3 )


Donde jU es la diferencia de potencial entre el hilo de fase j de la línea y el neutro, y 12U

es la tensión de la línea de tres hilos, esto es, la diferencia de potencial entre los hilos 1 y 2.

Vale destacar que en el nivel de Distribución, la tensión es una variable usada para

calificar la calidad del servicio. Así, desde el punto de vista de la compañía de servicio, los

circuitos se compensan para que los desbalances determinados por las ecuaciones ( 3-1 )

y ( 3-2 ) sean mínimos en la condición de estado estable; no obstante, desde el punto de

vista del cliente, el desbalance calculado con la ecuación ( 3-3 ) puede resultar

relativamente alto, asociado a nuevos circuitos con tensión a neutro anexados por el usuario

sin contrapeso en el tablero de Distribución.

3.2.2. DESBALANCE DE CARGA.

Es claro que un desbalance de Carga puede dar lugar a eso mismo en las tensiones,

especialmente en el ámbito de baja. Sin embargo, la situación no deja de ser crítica en

primario; en particular cuando se trata de un sistema trifásico de 4 hilos con protección

contra fallas a tierra. Tal protección puede desconectar el circuito cuando la intensidad de

corriente para la cual ha sido ajustada circula por el neutro, debida al desbalance de Carga.

En el caso de sistemas trifásicos, la expresión ( 3-2 ) puede reformularse para la

caracterización de este tipo de desbalance, esto es, en el contexto de Carga.

D

HH I

IFDsb = , y D

II I

IFDsb = . ( 3-4 )

El subíndice indica la secuencia según el criterio de desbalance. Observe que para este

caso, en general, 0≠HI o 0≠II .


Ejemplo 3-2. Suponga que las ondas de corriente de línea de un circuito de Distribución

trifásico tetrafilar son de secuencia positiva, todas de diferente magnitud pero desfasadas

entre sí 120º. Determine los Factores de Desbalance de Carga para las siguientes

situaciones:

a) En general.

b) Dos intensidades despreciables frente a la tercera.

c) Una intensidad despreciable frente a dos de igual magnitud.

Solución.-

a) Sean AI , BI e CI las intensidades de corriente de línea en cuestión. Tomando como

referencia AI , se determinan las componentes simétricas del sistema de intensidades.

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

+−−+−+−+

+−+=

−−=

º120º1201º120º1201º120º1201º120º1201

º120º120

31

º1201º12011º1201º12011

111

31

CBA

CBA

CBA

C

B

A

I

D

H

IIIIII

III

III

III

( ) ( )

( ) ( )

−+−−++

−−−−=

⇒

CBCBA

CBA

CBCBA

I

D

H

IIjIIIIII

IIjIII

III

35.05.05.0

35.05.05.0

31

Note que DI es la media de las intensidades de línea, e NIH III 31* == . En consecuencia,

CBA

N

D

HHI III

IIIFDsbFDsbFDsb

++====

( )( )CBA

BCCABACBA

IIIIIIIIIIII

FDsb++

++−++=⇒

222

( )( )BCCABACBA

BCCABACBA

CBA

N

IIIIIIIIIIIIIIIIII

IIIIFDsb

+++++++−++

=++

=⇒2222

222

. ( 3-5 )


Deliberadamente se ha obviado el subíndice del Factor, y en lo que sigue, a menos que se

indique otra cosa, FDsb denotará el Factor de Desbalance de Carga. Por otra parte, la

inspección de la ecuación ( 3-5 ) señala que 1≤FDsb .

b) Sean 0≅A

B

II , 0≅

A

C

II e II A = .

⇒==⇒ III AN 1=FDsb .

Lo cual indica un desbalance máximo (como era de suponerse).

c) Sean 0≅A

C

II e III BA == .

⇒=⇒ II N 5.0=FDsb

Como antes, la intensidad de corriente por el neutro es igual a la de fase, lo cual en general,

resulta técnicamente inadecuado.

Si una de las intensidades no despreciables fuera diferente de la otra, el valor obtenido sería

un valor límite (supremo) del Factor de Desbalance.

La práctica para el balanceo de Carga intracircuito que se aplicará a continuación,

parte de los siguientes supuestos:

El desbalance de Carga está asociado únicamente a las intensidades de la corriente

por fase. A menos que se indique lo contrario, se consideran fasores de intensidad de

secuencia positiva con distinta magnitud, pero desfasados entre sí 120º.

Los transformadores en toda la extensión de una fase dada tienen el mismo Factor de

Asignación (vea la sección 1.5).


A menos que se conozcan los factores de potencia por fase, estos se asumen

idénticos.

Naturalmente estas consideraciones están lejos de ser válidas siempre, amén que el

procedimiento se aplica para un solo valor de Carga y es poco probable realizar

transferencias en forma exacta; no obstante, es una práctica probada con buenos resultados

(no ideales), y una muy buena aplicación de la teoría de caracterización.

Ejemplo 3-3. Un circuito de Distribución de cuatro hilos en 23.9Y/13.8 kV está quedando

fuera de servicio en las horas de demanda máxima a causa de un desbalance de Carga entre

sus fases. Los amperímetros de las fases A y B de tal circuito en la Subestación señalan que

en el momento de la operación del relé de tierra IA = 200 A e IB = 240 A; lamentablemente

el amperímetro de la fase C está desajustado. Sin embargo, las últimas estadísticas

muestran que la intensidad de la corriente promedio por el neutro es de 135 A y que el

Factor de Carga por fase de este circuito es de 70%.

a) ¿Cuál es el valor de demanda pico?

b) Si la suma de capacidades de transformadores conectados es de 4245, 5520 y 7935

kVA para las fases A, B y C respectivamente, y se sabe que el excedente de Carga en

la fase C es debido a 2426.5 kVA conectados para atender un área determinada en

forma monofásica, demuestre que es conveniente transferir esa capacidad a otro

circuito aledaño con disponibilidad a fin de que ambos queden Cargados con a lo

sumo 10 MVA.

c) Determine el Factor de Desbalance para la condición resultante del paso anterior y

balanceé las Cargas por fase del circuito en cuestión.


d) En su opinión, basta que se realicen los cambios recomendados en c) para que la

protección no opere por desbalance, esto es, que el circuito quede balanceado durante

el día entero.

Solución.-

a) La intensidad por el cuarto conductor es:

º120º120º0 CBACBANNN IIIIIIII +−+=++== φ .

Donde,

( )86.192

7.0135

===FC

II promN

N .

Luego,

86.192º120º120240º0200 =+−+ CI

( ) ( ) ( )222 86.1925.012035.080 =+−+−⇒ CC II

A72.409A28.30012.124064402 =∨=⇒=+−⇒ CCCC IIII .

Según el enunciado de la parte b) de este Ejemplo, el circuito está sobrecargado. Por tanto,

A72.409=CI

Así, la demanda máxima en MVA's,

( ) MVA73.1172.4092402001000

8.13=++=mD ,

lo cual indica una sobrecarga del 17.3%.

b) El Factor de Asignación de la fase C es:

( )( ) 713.07935

72.4098.13==CFA


En consecuencia, el excedente de carga conectada en la fase C, ECCC, representa una

demanda EDC dada por:

( )( ) kVA095.17305.2426713.0 ==⋅= CCC ECCFAED

MVA731.1=⇒ CED

En efecto, al retirar 2426.5 kVA de la fase C del circuito, se estará llevando el pico del

mismo a poco menos de 10 MVA. Así, la nueva carga conectada en C es de 5508.5 kVA

c) Las demandas por fase, después de la transferencia intercircuito, son:

( )( ) kVA27602008.13 ==AS

( )( ) kVA33122408.13 ==BS

( )( ) kVA041.3924095.173072.4098.13 =−=CS .

Se determina la demanda media para la condición de equilibrio.

kVA014.33323

kVA041.9996 =′

=⇒=++=′ mmediaCBAm

DSSSSD .

El Factor de Desbalance dado por la ecuación ( 3-5 ) puede escribirse también en término

de las potencias.

( ) 10089.0674.99920835

818.10171442

222

==′

++−++=⇒

m

BCCABACBA

DSSSSSSSSSFDsb

En términos porcentuales, queda un desbalance del 10%, o bien, esa es la nueva proporción

del total de intensidades que fluye por el neutro (73.082 A).

El exceso o defecto de Carga por fase:

−=−=∆=−=∆=−=∆

kVA028.592kVA014.20kVA014.572

CmediaC

BmediaB

AmediaA

SSSSSSSSS


Estos resultados indican que la fase C es la más Cargada, y para alcanzar la condición de

equilibrio deben transferirse desde la fase C, 572.014 kVA hacia la fase A y, 20.014 kVA

hacia la fase B. Luego, convirtiendo estos valores de demanda en carga conectada,

kVA070.28713.0014.20

kVA263.802713.0014.572

==∆

=∆

==∆

=∆

C

BB

C

AA

FASCC

FASCC

d) En general, los resultados reales se medirán después de ejecutar los cambios propuestos.

Si el comportamiento de la demanda por fase era coincidente en el tiempo, es muy probable

que con base en los cambios propuestos en el apartado anterior el circuito quede

suficientemente balanceado. En caso contrario, pueden surgir nuevas situaciones de

desbalance para las cuales, si son causa de la salida del circuito, debe procederse a

balancear de nuevo.

Ejemplo 3-4. Un circuito de Distribución de cuatro hilos en 23.9Y/13.8 kV con un 38% de

sobrecarga, está quedando fuera de servicio en las horas de demanda máxima a causa de un

desbalance de Carga entre sus fases. La intensidad de la corriente en la fase A del circuito

es 1.25 veces el valor de la fase B. Sabiendo que la Carga máxima permisible para este

circuito es 10 MVA, que la intensidad de la corriente por el neutro no puede legar a 180 A,

y que su carga conectada es CCA = 8100 kVA, CCB = 6875.5 kVA y CCC = 6820 kVA:

a) Calcule las Cargas por fase para el desbalance mínimo que puede presentarse, y

sugiera los trabajos de balanceo para tal condición.


b) ¿En cuanto debe descargarse de capacidad instalada el circuito para cumplir con la

restricción de capacidad?. Sugiera las acciones a realizar para aprovechar el trabajo

de balanceo en el proceso de transferencia de Carga entre circuitos.

Solución.-

a) MVA8.13=mD e BA II 25.1= .

Se busca la mínima la intensidad de la corriente por el neutro para las condiciones

señaladas.

º120º120º0 CBACBANNN IIIIIIII +−+=++== φ

( ) ( )24325.05.0

º120º120º0

CBCBA

CBAN

IIIII

IIII

−+−−=

+−+=⇒

Recordando que una norma es mínima cuando la suma de cuadrados también lo es, se tiene

( )( )( ) 0,,

0,,a sujeto,,min

==

CBA

CBA

CBA

IIIhIIIg

IIIf

donde, ( ) ( ) ( )24325.05.0,, CBCBACBA IIIIIIIIf −+−−= , y

( ) 1000,, −++= CBACBA IIIIIIg y ( ) BACBA IIIIIh 25.1,, −= .

De este modo, por el Teorema de Lagrange para el punto extremo se verifica:

hgf ∇+∇=∇ µλ

En consecuencia, resulta el sistema

( )( ) ( )

( ) ( )

=−=++

=−−−−−−=−+−−−

+=−−

5

4

3

2

1

025.11000

5.05.025.15.05.0

5.05.02

23

23

BA

CBA

CBCBA

CBCBA

CBA

IIIII

IIIIIIIIII

III

λµλ

µλ


Sustituyendo 3 en 1,

( ) ( ) ( ) µ+−−−−−=−− CBCBACBA IIIIIIII 235.05.05.05.02

( ) 6µ=−⇒ CA II3

Sustituyendo 3 en 2,

( ) ( ) ( ) ( ) µ25.15.05.05.05.0 23

23 −−−−−−=−+−−− CBCBACBCBA IIIIIIIIII

( ) ( ) 7µµ =−−⇒−=−⇒ CBCB IIII 4.225.13

Por transitividad de la igualdad 6 y 7,

804.54.23 =−+ CBA III

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones 4, 5 y 8,

A066.336082.295852.368

=

C

B

A

III

Luego, las demandas por fase son

kVA705.4637131.4072164.5090

8.13

=

⋅=

C

B

A

C

B

A

III

SSS

y en consecuencia los Factores de Asignación son:

=

=

=

−−

680.0592.0628.0

705.4637131.4072164.5090

68200005.68750008100

000000 11

C

B

A

B

B

A

C

B

A

SSS

CCCC

CC

FAFAFA

Note que la fase C alimentaría más que las otras dos, su carga conectada en la condición de

desbalance mínimo (68%).

Para la mínima condición de desbalance, por la ecuación ( 3-5 ), se tiene:


( )06402.0

1000311.4098222

==++

++−++=

CBA

BCCABACBA

IIIIIIIIIIII

FDsb .

Un Factor de Desbalance del 6.4%, esto es, una intensidad por el neutro en el orden de

64 A.

La demanda media (condición de equilibrio),

kVA46003

13800==mediaS .

Entonces se calcula el exceso o defecto de Carga por fase:

−=−=∆=−=∆

−=−=∆

kVA705.37kVA869.527

kVA164.490

CmediaC

BmediaB

AmediaA

SSSSSSSSS

Note que las fases A y C deben transferir Carga a B. Luego, convirtiendo los valores de

demanda indicados en carga conectada,

kVA448.55680.0

705.37

kVA516.780628.0

164.490

−=−

=∆

=∆

−=−

=∆

=∆

C

CC

A

AA

FASCC

FASCC

b) Se requiere transferir desde este circuito 3800 kVA, o bien 1266.667 kVA por fase de los

resultados de la condición de equilibrio. Naturalmente el Factor de Asignación de la fase B

debe ser calculado después de los cambios.

601.0448.55516.7806820

4600=

++=

∆+∆+=

CAB

mediaB CCCCCC

SFA

Entonces, se convierten los 1266.667 kVA a extraer de cada fase en carga conectada a

transferir a otro circuito.


kVA746.1862680.0

667.1266667.1266

kVA599.2107601.0

667.1266667.1266

kVA986.2016628.0

667.1266667.1266

−=−=−=′∆

−=−=−=′∆

−=−=−=′∆

CC

BB

AA

FACC

FACC

FACC

Para realizar simultáneamente el trabajo de balanceo y el de transferencia de Carga

intercircuito, las variaciones de carga conectada deben ser:

( )kVA194.1918

kVA635.1271kVA502.2797

−=′∆+∆=′′∆−=∆+∆−′∆=′′∆

−=′∆+∆=′′∆

CCC

CABB

AAA

CCCCCCCCCCCCCC

CCCCCC

Así la carga conectada total a ser transferida es:

kVA331.5987=′′∆+′′∆+′′∆=∆ CBAT CCCCCCCC .

Ejemplo 3-5. Considere un transformador de potencia que alimenta tres circuitos de

Distribución. Las Cargas totales conectadas, y las demandas máximas de 30 min por

alimentador están registradas en la siguiente tabla, junto con los respectivos Factores de

Potencia.

Alimentador kVA Conectados Demanda en kW Factor de Potencia 1 2500 1800 0.95 2 3000 2000 0.85 3 3600 2200 0.90

Asuma un Factor de Diversidad de 1.15 entre alimentadores.

a) Determine la demanda máxima del transformador en kW, kvar y kVA.

b) Determine la Diversidad de Carga en kW.


c) Los tamaños comerciales de transformadores de potencia son: 2500/3125,

3750/4687, 5000/6250 y 7500/9375 kVA (autoventilación/ventilación forzada). ¿Cuál

es el tamaño del transformador en cuestión si se admite una sobrecarga del 25%.

d) ¿Cuánta carga conectada debe transferirse entre alimentadores para que todos

tengan la misma demanda en kVA?

Solución.-

a) kVA631.5911800º195.18737.189495.0arccos95.01800

1 jS +=== ,

kVA489.12392000º788.31941.235295.0arccos85.02000

2 jS +=== ,

y kVA509.10652200º842.25444.244490.0arccos90.02200

3 jS +=== .

Luego, la demanda máxima no coincidente es:

kVA629.28966000509.10652200489.12392000631.5911800321

jjjjSSSSmnc

+=+++++=

++=

kVAº77.25617.6662=⇒ mncS

Finalmente,

kVA808.2518391.5217º77.2558.579315.1º77.25617.6662 jS FDv

Smc

mnc +====

b) kW609.782391.52176000)Re( =−=−= mcmnc SSDC .

c) kVA86.463458.579325.1 25.158.5793 ==⇒= CNCN .

Por tanto, el transformador de la subestación es de 3750/4687 kVA.

d) Se asume equilibrio “intracircuito”. La demanda máxima media en kVA por circuito de

Distribución Smedia, y la demanda efectiva a transferir al circuito i, ∆Si, están relacionados

de la siguiente manera:


−=−≈∆−=−≈∆

=−≈∆⇒=== ++

kVA737.213kVA234.122

kVA970.335kVA707.2230

33

22

11

3122.6692

3321

SSSSSSSSS

S

media

media

mediaSSS

media

El símbolo ‘≈’ es obligatorio dado que los circuitos no están al mismo factor de potencia.

No obstante, puede observarse que los circuitos 2 y 3 están sobrecargados en comparación

con la demanda máxima media calculada, y por tanto, deben transferir Carga al circuito 1.

Para un análisis riguroso, sea

∆∆

=

3

2

SS

yx

. Luego, la condición de equilibrio

“intercircuito” viene dada por:

3211333222 θθθθθθθ yxSySxS ++=−=− 1

941.23520 << x 2

444.24440 << y 3

De la ecuación 1,

ySxSySxS −=−⇒−=− 32333222 θθθθ

EINADMISIBLy385.4797503.91

32

32

→∨

=+−=−

⇒⇒

−=−−=−

⇒ 32yxyx

SyxSySxS

y

222

3211333

)4359.05268.0631.591()9.085.01800()444.2444( yxyxy

yxSyS

+++++=−⇒

++=− θθθθθ

0229.2385279672.8644342.3683989.1989.1784.3755342.3683240.3590027

888.4888469.5975306

2

22

2

=−+++⇒

+++++=

+−⇒

yxxyxxyyxyx

yy

En resumen, se obtuvo el sistema de ecuaciones no lineal:


=−+++−=−

5

4

0229.2385279672.8644342.3683989.1503.91

2 yxxyxyx

282.215)(129.4309779.123

0807.1594265013.12510989.2503.91 2

=⇒

−=∨==−+

⇒⇒+=⇒

yEINADMISIBLxx

xxxy54

Finalmente,

kVA881.157784.0 784.0779.123

23000941.2352

2 22

2 ===∆⇒=== FAx

CCS CCFA ,

y kVA057.317679.0 679.0282.215

33600444.2444

3 33

3 ===∆⇒=== FAy

CCS CCFA .

PARTE II. CARACTERIZACIÓN DE

CARGAS NO-LINEALES EN SISTEMAS

ELÉCTRICOS DE DISTRIBUCIÓN.

CCAAPPÍÍTTUULLOO 44.. CCAARRAACCTTEERRIIZZAACCIIÓÓNN DDEE LLAASS CCAARRGGAASS GGEENNEERRAADDOORRAASS DDEE AARRMMÓÓNNIICCAASS..

La energía eléctrica es generalmente distribuida en tres formas de onda de tensión que

constituyen un sistema trifásico sinusoidal. En particular, será necesario conservar ésta

traza desde la producción hasta el uso final de la electricidad, para que la transferencia de

potencia sea efectiva.

La mayor parte del siglo XX, las Cargas eléctricas dominantes en los negocios y la

industria fueron los motores, los dispositivos de calefacción y el alumbrado. Estas

aplicaciones tienen poco efecto sobre la forma de onda sinusoidal de 60 Hz, o 50 Hz, según

este normalizado, entregada por las Distribuidoras. No obstante, unas pocas industrias,

como las siderúrgicas y las de tratamiento de aluminio que han empleado hornos de arco,

distorsionan la forma de onda debido a que el flujo de coriente en su proceso productivo no

es lineal o proporcional a la tensión sinusoidal del suministro.

En las últimas dos décadas el uso creciente de los equipos informáticos y de la

Electrónica de Potencia ha dado lugar en las redes eléctricas, a Cargas que presentan un

comportamiento no-lineal en su condición normal de operación. En ocasiones, este

comportamiento puede compararse con un funcionamiento en estado estable no sinusoidal

del sistema completo, debido a la distorsión en las formas de onda de tensión y de corriente.

Tal distorsión está compuesta por una onda sinusoidal de frecuencia igual a la normalizada

Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 68

para el suministro general, y por otras sinusoides componentes denominadas armónicas,

cuyas frecuencias son múltiplas enteras de la normalizada o fundamental.

Las armónicas son consideradas un tipo de perturbación que afecta a la calidad de la

forma de onda de tensión suministrada por las Compañías de Electricidad. Como la

mayoría de los equipos conectados a la red han sido diseñados para funcionar con tensiones

sinusoidales, la existencia de armónicas puede dar lugar a malfuncionamientos. Por esta

razón, se han preparado normas internacionales que por un lado limitan las emisiones

armónicas de las Cargas “perturbadoras”, y por el otro fijan niveles de referencia para que

las compañías puedan vigilar el nivel de distorsión en sus redes (vea el Capítulo 6).

De este modo, la realidad actual ha hecho que evolucionen las medidas necesarias, y

el conocimiento de otros criterios que caractericen la señal distorsionada, con el fin de que

el técnico pueda evaluar debidamente la contaminación presente y proponer soluciones para

limitar las perturbaciones armónicas.

4.1. DEFINICIONES Y CONSIDERACIONES BÁSICAS.

• Frecuencia Fundamental: Es la frecuencia normalizada para el suministro general.

En los sistemas de diseño americano la frecuencia de oscilación es de 60 Hz, mientras

que en sistemas de diseño europeo vale 50 Hz.

• Componente Fundamental: Es la onda de tensión o de corriente sinusoidal

componente de la onda distorsionada cuya frecuencia es igual a la fundamental. En

adelante, será simplemente referida como fundamental.

• Componente Armónica: Se define como la onda de tensión o de corriente sinusoidal

con frecuencia múltipla entera de la frecuencia fundamental. Se trata de un fenómeno


de distorsión de la forma de onda de tensión y de corriente en estado estable. En

adelante, está componente será simplemente referida como armónica.

Figura 4-1. Forma de una onda distorsionada (Fuente: [1]).

• Orden de Armónica: También referido como número de la armónica, es la razón de

la frecuencia armónica a la frecuencia fundamental. Por definición el orden de la

fundamental es 1, y la armónica de orden n es simplemente referida como nª

armónica.

Las fuentes comúnmente generan armónicas impares. No obstante, al energizar un

transformador de potencia, en las Cargas polarizadas (rectificadores de media onda),

y en los hornos de arco se generan armónicas pares e impares.

• Interarmónica: Son componentes sinusoidales cuyas frecuencias no son múltiplas

enteras de la frecuencia fundamental (quedarían entre las armónicas). Las

interarmónicas son debidas a variaciones periódicas o aleatorias de la potencia

requerida por varios dispositivos tales como hornos de arco, máquinas de soldadura e


inversores de frecuencia (cicloconvertidores). Las frecuencias de control remoto

empleadas por las Distribuidoras también son interarmónicas [6].

Las interarmónicas inferiores al orden 1 se conocen como subarmónicas, y son

componentes sinusoidales cuya frecuencia está por debajo de la frecuencia nominal

del sistema. No obstante, el término “componente de frecuencia subsíncrona” es más

aceptado, porque describe mejor tal evento.1

• Elementos lineales y no-lineales: En el dominio de la frecuencia, el comportamiento

de los elementos lineales se describe mediante relaciones algebraicas lineales. Esto

significa que a una nª armónica de tensión el elemento lineal responde con una

armónica de corriente de la misma frecuencia. Este comportamiento se representa

mediante una impedancia que varía linealmente con la frecuencia. En cambio, los

elementos no-lineales se describen mediante ecuaciones no-lineales que ligan las

tensiones e intensidades armónicas consideradas, y por tanto no es satisfactoria una

representación por impedancias [7].

En las redes eléctricas predominan los elementos lineales: generadores,

transformadores, líneas de transporte, filtros y Cargas convencionales (motores,

alumbrado, etc.). No obstante los circuitos magnéticos en generadores,

transformadores y motores son elementos no-lineales, el diseño de ellos se ha

mejorado con el tiempo para hacer despreciable su influencia [7].

Desde la óptica del análisis de perturbaciones armónicas, los sistemas eléctricos

pueden esquematizarse según la Figura 4-2, o sea, pocas Cargas no-lineales o

1 En la exposición que sigue, no se tratará esta materia. Para un estudio sobre el particular puede descargarse la página grouper.ieee.org/groups/harmonic/ iharm/docs/ihfinal.pdf.


perturbadoras, que inyectan ondas de corriente distorsionadas en una red lineal.

Estas Cargas perturbadoras se conectan a la red eléctrica en distintos niveles de

tensión. En baja tensión destacan las lámparas fluorescentes y los rectificadores no

controlados con filtrado capacitivo empleados en las fuentes de diversos equipos

electrónicos y en la alimentación a los motores eléctricos. En media tensión

sobresalen los rectificadores trifásicos no controlados con filtrado inductivo utilizados

en las subestaciones de tracción para alimentar a la catenaria [7].

Fuentesindependientes

Convertidoreselectrónicos

Hornosde arco

Otrosperturbadores Red lineal

Figura 4-2. Esquema de una red eléctrica con perturbadores (Fuente: [7]).

4.2. ANÁLISIS DE LA FORMA DE ONDA DISTORSIONADA.

Una función periódica, de período T, que cumpla con las condiciones de Dirichlet,

esto es, de valor absoluto integrable y un número de máximos, mínimos, y puntos de

discontinuidad finitos en ese período, tiene un desarrollo en series de Fourier convergente

dado por:


( ) ( )[ ]∑∞

=

++=1

0 sencos2

)(n

nn tnbtnaatf ωω , Tπ

ω2

= . ( 4-1 )

En el contexto actual, )(tf es la regla de correspondencia que modela la señal de tensión o

de corriente distorsionada; ω es la frecuencia angular fundamental; n es el orden de la

armónica;

( )∫ −

=ωπ

ωπ

ωπω ttntfan dcos)( y

( )∫ −

=ωπ

ωπ

ωπω ttntfbn dsen)(

( 4-2 )

Estas últimas se conocen como amplitudes de las subcomponentes en cuadratura de

orden n; por esta razón la ecuación ( 4-1 ) se conoce como forma rectangular de la serie de

Fourier. Note que sí 0=n , entonces 00 =b y

*d)(2 2

20 ∫−

=T

T

ttfT

a ,

esto es, el doble del valor promedio de )(tf en un período, o también, el doble de la

componente directa de la señal, la cual es generalmente nula en las aplicaciones de

Potencia. La siguiente tabla resume el efecto de las simetrías más comunes sobre el cálculo

de cada término de la serie.

La ecuación ( 4-1 ) puede escribirse en forma polar2 agrupando los términos seno y

coseno de igual frecuencia; así:

2 La serie de Fourier también tiene una forma exponencial, esencial para la teoría de telecomunicaciones. Van Valkenburg [13] hace una presentación elemental sobre esta forma de la serie, y Hsu [10] realiza varios ejemplos de aplicación.


( )∑∞

=

−+=1

0 cos2

)(n

nn tncatf θω . ( 4-3 )

Donde

22nnn bac += y

( )n

nab

n arctan=θ . ( 4-4 )

Como se observa, nc da la amplitud de la nª armónica, y nθ su ángulo de fase.

Tabla 4-1. Resumen del efecto de la simetría en la estructura de la serie de Fourier (Fuente: [13]).

4.2.1. ESPECTRO DE FRECUENCIAS.

El espectro de frecuencias es la distribución de las amplitudes como una función del

orden de armónicas existentes en el sistema que se estudia, comúnmente representado

mediante un histograma. En tal representación, las amplitudes se colocan usualmente en por

unidad de la amplitud de la fundamental.

Aunque de la revisión de las ecuaciones ( 4-1 ) y ( 4-3 ) parecería que el espectro es

inabordable, dado el número infinito de sumandos, en las redes reales, sin embargo, sólo es

necesario considerar un número limitado de armónicas maxn (vea el Ejemplo 4-1). La

magnitud de las armónicas decrece cuanto mayor es su orden, de modo que la normativa


considera como armónicas de baja frecuencia aquellas de orden inferior a 50. De hecho

Félice [5] afirma que en la práctica, para la mayoría de los casos, sólo interesa hasta la 13ª

armónica.

4.2.2. VALOR EFICAZ DE UNA ONDA DISTORSIONADA.

En general, el valor eficaz de una función periódica (de tensión o de coriente), es el

valor de corriente directa que entregaría a un resistor la misma potencia promedio que la

función periódica. Algebraicamente,

∫ −

=2

2

2 d)(1 T

T

ttfT

F . ( 4-5 )

Donde, F es el valor eficaz de la función )(tf de período T. Observe que, desde el punto de

vista de Cálculo, F es la raíz cuadrada del valor promedio del cuadrado de la función

periódica )(tf .

Según el concepto, el valor eficaz es mejor indicador para estudiar el efecto de

calentamiento en materiales y equipos eléctricos que el valor máximo. Mientras que este

último puede ser puntual, el primero es un valor promedio que esta asociado a la potencia

activa consumida.

Puesto que la fundamental y toda armónica son señales sinusoidales, cada cual tendrá

valor eficaz del 70.71% de la amplitud correspondiente (¿por qué?). Por tal motivo, la

ecuación ( 4-3 ) puede reformularse de la siguiente manera:

( )∑=

−+=max

1

cos2)(n

n

nnCD tnFFtf θω , ( 4-6 )


donde, CDF es la componente de corriente directa de la función )(tf , nF denota al valor

eficaz de la su nª componente, y maxn es el orden máximo práctico. En consecuencia,

( ) ( )2

11

22maxmax

cos2cos22)(

−+−+= ∑∑

==

n

n

nn

n

n

nnCDCD tnFtnFFFtf θωθω

Debido a la linealidad de la integral, el valor promedio de una suma es la suma de los

valores promedios. En este sentido, el valor promedio de 2CDF es el mismo, y el del término

del centro, es nulo (¿por qué?). Para el último término, que representa los productos

cruzados de todas las componentes de )(tf (excepto, por supuesto, la de corriente directa),

una expresión genérica es la del producto de las kª y mª armónicas, esto es:

( )[ ] ( )[ ]=−− mmkk tmFtkF θωθω cos2cos2

( )[ ] ( )[ ] mkmkmk tmktmkFF θθωθθω −+−++++ coscos ,

cuyo valor promedio es no nulo sólo cuando mk = , y en consecuencia

∑=

+=max

1

22

n

n

nCD FFF . ( 4-7 )

La ecuación ( 4-7 ) es otra manera enunciar el Teorema de Parseval: El valor eficaz

de una tensión o intensidad periódica expresada mediante su serie de Fourier, es la raíz

cuadrada de la suma de los cuadrados de todas sus componentes.

Ejemplo 4-1. Asumiendo que )(tf cumple con las condiciones de Dirichlet y observando

las relaciones entre todas las ecuaciones anteriores, para ∞→maxn demuestre que

nn ba ≈≈ 0 .


Demostración.-

Por hipótesis (Dirichlet) el valor eficaz de )(tf debe ser un valor finito; por tanto, la

sumatoria de la cantidad bajo radical de la ecuación ( 4-7 ) es convergente. Entonces es

necesario que

( )[ ] ( ) 0lim02limlim 22222 =+⇒=+=∞→∞→∞→ nnnnnnnn

babaF ,

y en consecuencia 0limlim ==∞→∞→ nnnn

ba .

Ejemplo 4-2. La Figura 4-3 muestra el perfil de la intensidad de corriente requerida para el

trabajo de una Carga perturbadora, alimentada por una tensión sinusoidal.

Figura 4-3. Onda distorsionada del Ejemplo 4-2.

a) Dibuje el espectro de frecuencia de la intensidad de corriente.

b) Determine el valor eficaz de la intensidad como función de su amplitud b.

Solución.-

Por simple inspección, la curva de la Figura 4-3 presenta simetrías de tipo impar y de media

onda. En consecuencia, según la Tabla 4-1, sólo tiene términos seno y armónicas de orden

impar. De este modo la amplitud de cada componente está dada por:

( )∫==− 2

0

)43(dsen)(4 T

nn ttntfT

bc ω


Observando que la intensidad es positiva entre 6T y 3T , haciendo tx ω= resulta:

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]3332

3

32

3

32

3

coscos2coscos2

cos2dsen2

ππππ

π

π

π

π

πππ

ππ

−−=−=

−== ∫n

nb

nb

nxn

bxnxbb

nnn

n

( ) ( )( )[ ] 3

impar

33 cos4coscoscos2 πππ

ππ

πn

nnn

n nbn

nbb =−=⇒ .

34 cos ππ

nn

bnc =⇒

De este modo, la amplitud de la armónica es inversamente proporcional a su orden.

a) Con el fin de dibujar el espectro se evalúa bcn para los ordenes impares hasta 13. La

Tabla 4-2 presenta los resultados de la evaluación, e incluye ( ) ( )1c

cpunpun

ncI =′=′ .

Tabla 4-2. Espectro de frecuencias en forma tabular correspondiente al Ejemplo 4-2.

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

1 3 5 7 9 11 13 15

Figura 4-4. Espectro que muestra la trascendencia de las múltiplas de la tercera armónica.


Note que las múltiplas de la tercera armónica son más relevantes que las armónicas

precedentes inmediatas. La Figura 4-4 hace gráfica la comparación relativa entre

armónicas, y permite determinar a simple vista, el peso de cada una.

b) Sabiendo que el valor eficaz de la fundamental de corriente es, por la Tabla 4-2,

bbI 4502.02

637.01 == ,

esto es, el 45% de la amplitud de la onda, el valor eficaz de esta última es, según la ( 4-7 ):

( ) bbIIIIIn

pun

n

n 5669.05862.14502.08

1

2

121

8

1

212 ==

′=⇒= ∑∑

=

−

=

− .

Dicho de otro modo, el valor eficaz de la onda distorsionada es el 56.7% de su amplitud, lo

cual resulta menor que el de la onda sinusoidal con la misma amplitud (70.71%); esto es

indicativo de la distorsión. Otra observación interesante es:

( ) 794.05669.04502.0

11 === puI

I I .

El valor eficaz de la componente sinusoidal de corriente representa casi el 80% del valor

eficaz de la onda distorsionada.

No todos los aparatos son capaces de medir el valor eficaz real de una señal

cualquiera sea su forma. La medida del valor eficaz real está relacionada con la banda de

paso, así como con la tecnología del instrumento.

Un instrumento que no utilice la tecnología RMS (siglas de Root Mean Square),

puede proporcionar medidas erróneas. Sin esta tecnología los amperímetros sólo

proporcionan la intensidad eficaz de la fundamental de corriente, lo cual no es

representativo de la imagen térmica total producida por el valor eficaz de la onda


distorsionada (vea la Figura 4-5). Recuerde que la intensidad eficaz real es representativa

del efecto Joule debido al conjunto de la fundamental y las armónicas3.

Figura 4-5. El valor eficaz real es superior al medido

por un instrumento que no sea de tecnología RMS. Las desviaciones pueden ser del 50% (Fuente: [5]).

4.3. FACTORES DE CARACTERIZACIÓN DE LA DISTORSIÓN.

Un factor determinante en la identificación de una señal distorsionada es el Factor de

Cresta (CF, Crest Factor)4. Este factor mide cuanto se multiplica el valor eficaz real de la

onda para llegar a su valor de cresta; algebraicamente,

FfCFF

max= . ( 4-8 )

3 No obstante, los instrumentos tradicionales que emplean termopares están basados en el principio de la medida del calor liberado por el efecto Joule, y miden también el valor eficaz real de la intensidad o tensión, independientemente de la forma de onda de la señal. 4 En este capítulo, se mantienen las siglas usadas para los factores de caracterización en el idioma inglés, dado que los instrumentos comerciales para la medición de armónicas y toda la literatura sobre el tema, incluso la de habla hispana, así los denotan.


Donde maxf es el valor máximo de la onda determinada por )(tf , y F es el valor eficaz de

tal onda.

En la sección 4.2.2 se recordó que valor eficaz de una onda sinusoidal es el 70.71%

de la amplitud correspondiente, esto es, 2=FCF . Sin embargo, en el Ejemplo 4-2 se

observó que para la onda distorsionada tal porcentaje disminuyó, y en consecuencia, para

ese caso 2>ICF .

Ejemplo 4-3. Demuestre que si la función )(tf , periódica con período ωπ2 , es tal que

( )tbtf ωsen)( ≤ y tiene simetría de media onda, entonces 10,2 ≤<⋅≥ ββFCF .

Demostración.-

Sea ωπ2=T . Según el enunciado

( )tbtf ωsen)( ≤ ( )tbtf ω222 sen)( ≤⇒

y dada su simetría de media onda,

)()( 22

2 tftf T =± .

En consecuencia,

( )2

dsen2d)(2 2

0

222

0

2 bttbT

ttfT

TT

=≤ ∫∫ ωbF

bF 212

≥⇒≤⇒

Además

100 maxmax ≤<⇒≤<

bfbf


Así

β⋅≥⇒≥ 22maxmaxFCF

bf

Ff

donde bfmax=β .

No obstante, un Factor de Cresta diferente de 2 sólo indica que la onda está

distorsionada, sin discriminar el peso que tienen las componentes armónicas en la

perturbación de la onda.

La Distorsión Armónica Total (THD, Total Harmonic Distortion), mide la relación

del valor eficaz del total de armónicas al fundamental. Algebraicamente,

∑=

=max

2

2

1

1n

n

nF FF

THD . ( 4-9 )

Donde 1F y nF son respectivamente, los valores eficaces de la fundamental y la nª

armónica de la onda distorsionada determinada por )(tf . Usualmente este factor se

presenta en por ciento; no obstante, para futuras manipulaciones, es mejor perseverarlo en

por unidad.

El THDF mide la proporción que de la fundamental, representa el total de armónicas.

Este factor puede superar la unidad cuando el contenido de armónicas supera a la

fundamental, lo cual, es indicativo de una gran distorsión. De la ecuación ( 4-9 ) se deduce

que:

( )∑=

′=

max

2

2n

n

punF FTHD . ( 4-10 )


Donde ( ) punF ′ es la nª armónica en por unidad de la fundamental, conocida como

Distorsión Armónica Individual (excluyendo, por supuesto, el caso 1=n ).

Una variante del THDF, conocida como Factor de Distorsión (DF, Distortion

Factor)5, consiste en remplazar la fundamental F1 por el valor eficaz de la onda

distorsionada, esto es, F. Algebraicamente,

( ) ( ) ( )Fpu

n

n

pun

n

n

nF THDFFFF

DF 1

2

2

2

2maxmax

1=== ∑∑

==

. ( 4-11 )

Donde ( )punF es el valor eficaz de la nª componente en por unidad del valor eficaz real de

la onda determinada por )(tf .

El DFF cuantifica el efecto térmico del contenido de armónicas de la forma de onda.

A diferencia del THDF, se tiene que 1≤FDF .

Ejemplo 4-4. Determine la Distorsión Armónica Individual y Total, así como el Factor de

Distorsión de la onda de la Figura 4-3.

Solución.-

En el Ejemplo 4-2 se obtuvo:

34 cos ππ

nn

bnc = .

Así la Distorsión Armónica Individual está dada por:

5 Esto según la norma IEC-61000-1-1 [23]. En este sentido la norma IEEE-519 [25] denota de diferentes formas el cociente que sin ambigüedades, define la International Electrotechnical Commission como THD.


( ) ( )

==′⇒>=′casootroen,

3demúltiploessi,2

cos1impares,

1

23

1n

nn

puncc

pun

nn

InI n

π

.

En consecuencia,

( ) 0.76560.58627

1

2

12 ==

′= ∑

=

+

n

punI ITHD ,

y ( ) ( ) ( )( ) 6079.00.76560.7941 === IpuI THDIDF .

Esto indica que el contenido armónico de la onda distorsionada representa poco más de 43

de la fundamental, y 53 de la intensidad eficaz real.

Ambos factores, THDF y DFF, discriminan el peso que tienen las armónicas en la

perturbación de una onda; no obstante, entre ellos el THDF es el índice de Calidad de

Potencia más común en la normalización del problema de contaminación armónica y un

último factor de caracterización se presenta en la sección 5.2, pero con aplicación

específica a transformadores.

Dado que en las redes de Potencia la distorsión armónica en la tensión es mucho

menor que en la intensidad, a menos que se coloque el subíndice U, las siglas CF, THD y

DF se referirán justamente a corriente.

4.4. FUENTES DE ARMÓNICAS.

Hay numerosas fuentes de armónicas. En general, las fuentes armónicas pueden ser

clasificadas en tradicionales y modernas.


4.4.1. FUENTES TRADICIONALES.

En principio, la inyección de armónicas se asociaba con el diseño y la operación de

las máquinas eléctricas. De hecho, entonces la principal fuente de armónicas era la

intensidad de la corriente de magnetización en los transformadores de potencia.

Sin embargo, los transformadores y maquinas eléctricas contemporáneas cuando

trabajan en estado estable, no dan lugar a una distorsión significativa en la red.

• Transformadores: La distorsión que se observa en la forma de onda de la intensidad

de la corriente de excitación, se debe a las múltiplas de la tercera armónica (3ª, 9ª,

15ª, etc.). Tales armónicas son necesarias para que el flujo de enlace sea sinusoidal.

• Máquinas rotatorias: Con entrehierro constante, no saturada magnéticamente, y con

devanado trifásico, la fundamental de la fuerza magnetomotriz es una onda viajera

moviéndose en dirección positiva; las múltiplas de la tercera armónica son nulas; la 5º

armónica viaja en dirección negativa; mientras que, la 7ª armónica viaja también en

dirección positiva.

Así, todas las armónicas de la fuerza magnetomotriz dependen de la velocidad del

rotor, y en consecuencia, inducen fuerzas electromotrices en el estator cuyas

frecuencias son el cociente de la velocidad entre la longitud de onda.

También es problemática la distribución no sinusoidal del flujo en el entrehierro de

las máquinas sincrónicas, y la distorsión en el flujo debida a cambios bruscos en la

Carga.

• Iluminación Fluorescente: Las lámparas fluorescentes operan con armónicas

impares de intensidad; siendo la tercera la más importante. El mayor problema es el

gran Factor de Coincidencia entre este tipo de Cargas.


Figura 4-6. Características de varias Cargas perturbadoras (Fuente: [6]).

4.4.2. FUENTES MODERNAS.

Las principales fuentes modernas de armónicas son los inversores y rectificadores con

control de ángulo de fase. Asimismo, las medidas de conservación de la energía, tales como

las destinadas a mejorar la eficiencia y balance de Carga en motores, las cuales emplean


semiconductores para su operación y frecuentemente perturban la forma de onda de la

tensión.

También pueden mencionarse:

• Compensadores estáticos: Un gran número de motores sincrónicos ha sido

reemplazado por este tipo de compensador para suministrar reactivos

automáticamente.

• Fuentes alternativas: La interconexión de los convertidores de potencia eólica, solar,

etc., con los Sistemas Eléctricos de Distribución.

• Televisores: Comúnmente se alimentan mediante un rectificador debidamente

acondicionado. La rectificación actual es de doble onda, y se ha agregado un tiristor

para suprimir los picos de tensión; esto da lugar a grandes picos de intensidad y más

armónicas que en los receptores del pasado.

• Cargadores de baterías: De la misma manera que los televisores, equipos de sonido y

otros artefactos que trabajan con coriente directa, los cargadores responden a

tensiones sinusoidales con intensidades distorsionadas donde las múltiplas de la

tercera armónica son las de mayor impacto.

4.5. CARGAS INDUSTRIALES GENERADORAS DE ARMÓNICAS.

Las Cargas no-lineales son conocidas también como generadoras de armónicas

(HGL, Harmonics Generators Loads), porque, debido a su funcionamiento, establecen un

dominio de frecuencias armónicas en la red eléctrica de la cual son dependientes. En las

aplicaciones industriales, los principales tipos de HGL son: los convertidores estáticos y los

hornos de arco.


4.5.1. CONVERTIDORES ESTÁTICOS EN REDES TRIFÁSICAS.

Los puentes rectificadores y más generalmente, los convertidores estáticos

(constituidos por diodos y tiristores), generan armónicas.

Figura 4-7. Onda de corriente alterna aguas arriba de un puente de Graetz ideal que

entrega coriente directa a una Carga predominantemente inductiva. (a) A la entrada del puente; y (b) Antes de un transformador conectado en ∆-Υ dispuesto para alimentar el

rectificador (Fuente: [1]).

Por ejemplo, para entregar una corriente directa perfecta, un puente de Graetz

requiere una onda de corriente alterna de pulsos rectangulares cuando la Carga es

predominantemente inductiva (vea la Figura 4-7), o puntas cuando el puente está seguido

por un condensador (vea la Figura 4-8).

Figura 4-8. Onda de corriente alterna aguas arriba de un puente seguido por un condensador (Fuente: [1]).


Ejemplo 4-5. Determine la Distorsión Armónica Individual de la onda de la Figura 4-7(a).

Solución.-

Note que tal onda tiene simetría impar si se retrasa un doceavo de período, y en cualquier

caso, tiene simetría de media onda. Por tanto, procediendo como en el Ejemplo 4-2, se

tiene:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )6666

65

6

cos4cos4coscos2dsen2 ππππ

π

π πππ

ππω n

nnn

n nbc

nbn

nbtnxbbtx =⇒=−−==⇒= ∫

.

Como en el Ejemplo 4-4, se determina la Distorsión Armónica Individual:

( ) ( ) ( ) ( )23

cos1impares, 6

1 nIncI

n

puncc

punpunn

π

=′⇒>=′=′ .

Este resultado puede simplificarse más:

( )

=′casootroen,

3demúltiploessi,01n

pun

nI .

De este modo, el orden de armónicas de corriente en un puente de Graetz ideal es la

variación en una unidad, de un múltiplo positivo de 6 (que es el número de pulsos

necesarios para la rectificación). En general, puede demostrarse que para un puente

rectificador ideal de ρ pulsos, el dominio del orden de armónicas del circuito es

+∈±= Zkkn 1ρ .

En la práctica, el espectro de intensidad de corriente es ligeramente diferente: existen

armónicas pares e impares adicionales de poca amplitud, conocidas como no

características. Además, las amplitudes de las armónicas características son afectadas por:


la asimetría; la inexactitud en los tiempos de disparo de los tiristores; los tiempos de

conmutación; filtrado imperfecto; etc.

Para los puentes de tiristores, también puede darse un desplazamiento de las

armónicas en función del ángulo de fase del tiristor. Por otra parte, los puentes híbridos

(diodos-tiristores) generan armónicas pares, lo cual restringe su aplicación a gran escala (la

2ª armónica es difícil de eliminar y crea serias perturbaciones en la red de suministro).

Vale destacar que la tendencia actual es la de reemplazar los rectificadores descritos

por otros que emplean la técnica de Modulación del Ancho de Pulso (PWM, Pulse Width

Modulation). Estos dispositivos operan en altas frecuencias de corte (alrededor de 20 kHz)

y son diseñados para generar niveles de armónicas despreciables.

Una estrategia de planeación para la aplicación de rectificadores de diodos, consiste

en combinar las armónicas de corriente de varios convertidores en el punto de acoplamiento

común (PCC, point of common coupling). La 5ª y 7ª armónicas de corriente se atenúan

usando dos puentes de diodos de 6 pulsos Cargados por igual, escogiendo cuidadosamente

el acoplamiento de los dos transformadores de suministro (vea las Figuras 4-9 y 10).

Figura 4-9. Circuito para la atenuación de I5 e I7 (Fuente: [1]).


Figura 4-10. Diagrama de bloques general de planeación para la aplicación de puentes

rectificadores de 6 pulsos (Fuente: [15]).

4.5.2. HORNOS DE ARCO.

El arco de los hornos de coriente alterna (CA) es no-lineal, asimétrico e inestable.

Esto da lugar a un espectro que incluye armónicas pares e impares, y dado el ruido de fondo

en todas las frecuencias, un espectro continuo (vea la Figura 4-11).

No obstante, el espectro depende del tipo de horno de CA, de su potencia nominal y

de su aplicación (es decir, fundición, refinación). Luego, la medición es necesaria para

determinar un espectro exacto.

Por otra parte, en los hornos de corriente directa (CD) el arco es alimentado por un

rectificador y los mismos son más estables que los de coriente alterna; no obstante, la onda

de corriente es más distorsionada que en este último caso.


(a)

(b)

(c)

Figura 4-11. (a) Espectro de Frecuencia de horno arco de CA; (b) horno de arco de CA; (c) horno de arco de CD (Fuente: [1]).

4.5.3. MODELO DE CÁLCULO.

Para los cálculos de perturbaciones, los convertidores estáticos y los hornos de arco

son considerados como fuentes de armónicas de corriente. De esta manera las armónicas

debidas a las Cargas perturbadoras, son independientes de las otras Cargas y de la

impedancia de la red. En general, con propósitos de cálculo, las Cargas perturbadoras

pueden considerarse como fuentes de corriente.

Sin embargo, tal supuesto es inadecuado para los hornos de arco. En esos casos se

completa el modelo seleccionando cuidadosamente una impedancia a ser conectada en

paralelo con la fuente de corriente.


También es posible considerar las armónicas de tensión existentes aguas arriba en la

red, empleando un circuito equivalente de Norton por cada orden del dominio de

frecuencias de la red.

CCAAPPÍÍTTUULLOO 55.. PPRRIINNCCIIPPAALLEESS PPRROOBBLLEEMMAASS DDEEBBIIDDOOSS AA LLAASS AARRMMÓÓNNIICCAASS..

Las armónicas superpuestas a las fundamentales de tensión y de corriente tienen

efectos combinados sobre el equipo y dispositivos conectados a la red de suministro.

En general, las armónicas de corriente asociadas a las distintas impedancias de la red

dan lugar, por la Ley de Ohm, a caídas o elevaciones que afectan a la tensión proporcionada

por esa red. La Figura 5-1 muestra como la tensión resultante, común al resto de los

dispositivos de la red, no será sinusoidal. Esta contaminación de armónicas es perjudicial

para todos los dispositivos conectados a un mismo sistema de suministro.

Figura 5-1. Degradación de la tensión de la red debido a una Carga

no-lineal (Fuente: [6]).

Como se verá más adelante, en el ámbito de Distribución de electricidad, la

Distorsión Armónica Individual de tensión no debe superar 3%, y la Total 5% de acuerdo

Principales problemas debidos a las Armónicas. 94

con la norma americana [25], o según Félice [5], en 6% y 8% respectivamente, en el ámbito

de las instalaciones eléctricas de baja tensión.

Es claro que las armónicas de corriente son el origen de las armónicas de tensión,

porque circulan por las impedancias de los conductores y los artefactos eléctricos que

encuentran.

La contaminación armónica en una instalación eléctrica es menor cuando el equipo

perturbador es de baja potencia en comparación con la disponible en la red considerada. La

corriente distorsionada debida a la Carga presenta en este caso una pequeña amplitud y

encuentra una baja impedancia (la de fuente y línea). Para cuantificar la contaminación en

la instalación eléctrica se mide la distorsión de tensión en los terminales del secundario del

transformador de Distribución.

Por otra parte, la medida de las armónicas de corriente es lo que permitirá determinar

cuál o cuáles son las fuentes perturbadoras existentes en la red eléctrica. Es el cúmulo de

Cargas perturbadoras que dan lugar a armónicas de corriente importantes en la red eléctrica

lo que produce un nivel de contaminación inquietante, más sí las impedancias de la fuente y

de los conductores de la línea son elevadas.

Los efectos de deterioro de las armónicas de tensión e intensidad dependen del tipo

de Carga considerada, y se manifestarán de dos formas:

• Los efectos instantáneos se deben a la distorsión de la onda y a los fenómenos de

resonancia y se vinculan a las actividades no deseadas de disyuntores y relés, a la

destrucción de componentes (por ejemplo, condensadores) o incluso a la perturbación

de los dispositivos de regulación, que también dan lugar a la disminución del factor

de potencia de la instalación.


• Los efectos a largo plazo generan calentamientos en los condensadores y en los

conductores y dan lugar al envejecimiento prematuro de las componentes de la red, o

incluso los calentamientos debidos a las pérdidas suplementarias en máquinas y

transformadores. Los problemas que aparecen son fundamentalmente de naturaleza

térmica y afectan, por tanto, el tiempo de vida de los equipos.

A continuación se detallan los efectos sobre la red debidos a las Cargas

perturbadoras, esto es, sobre los conductores eléctricos, los transformadores y la eficiencia

del sistema, así como los fenómenos de resonancia.

5.1. EFECTO SOBRE LOS CONDUCTORES.

Los cables involucrados en los fenómenos de resonancia (que se estudian más

adelante), pueden estar sujetos a esfuerzos de tensión y corona que pueden llevar a una falla

del dieléctrico (aislamiento). Los cables que transportan armónicas características son

propensos al calentamiento parásito.

La Figura 5-2 muestra curvas típicas de la “desclasificación” en la capacidad del

cable para diferentes calibres en la alimentación de un rectificador práctico de 6 pulsos.

En ese caso, el flujo de intensidad no sinusoidal en el conductor causará

sobrecalentamiento adicional y un valor eficaz de la forma de onda por encima del

esperado. Esto se debe a los efectos piel y proximidad, los cuales varían con la frecuencia,

el calibre y el espaciamiento. Así, la resistencia efectiva en coriente alterna (RCA) es mayor

que la resistencia en corriente directa (RCD), especialmente para los calibres superiores.

Cuando una forma de onda de corriente es rica en armónicas de alta frecuencia y fluye por

un cable, la RCA se eleva en la misma proporción, incrementando la pérdida CARI 2 .


Figura 5-2. Desclasificación del cable contra la proporción de Carga armónica

transportada por él (Fuente: [25]).

5.1.1. RELACIÓN ENTRE ARMÓNICAS Y COMPONENTES SIMÉTRICAS.

En circuitos trifásicos balanceados donde las ondas de corriente son iguales y

desfasadas 120º, las armónicas pueden considerarse componentes de secuencia. En efecto,

la Figura 5-3 muestra sinusoidales por fase, que pueden considerarse como componentes de

una onda distorsionada y diferenciadas porque a mayor frecuencia angular, menor

amplitud, y con fines didácticos, más angosto el trazado; así, por fase se tienen la

fundamental, la segunda y tercera armónicas de la onda de corriente.


Fase a

Fase b

Fase c

Figura 5-3. Identificación de la secuencia según la frecuencia de la

componente en circuitos trifásicos balanceados.

Observe que la fundamental es de secuencia a-b-c, y en consecuencia la segunda

armónica es de secuencia inversa (esto es, c-b-a según indican las líneas auxiliares sólidas

superpuestas a las curvas); pero la tercera armónica tiene secuencia homopolar. Es claro,

desde el punto de vista geométrico, que si se construyen progresiones aritméticas de razón


3 para cada uno de estos ordenes, existe correspondencia entre las sucesiones resultante y

las componentes de secuencia (vea la Tabla 5-1). Así, TODAS las múltiplas de la tercera

armónica son de secuencia homopolar, y aunque la Carga esté equilibrada por fase, en el

neutro de una red eléctrica de 4 hilos, circula el triple de tales armónicas de corriente de

línea.

Tabla 5-1. Secuencia de las armónicas de intensidad hasta el orden 51.

SECUENCIA ARMÓNICAS

Directa 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

Inversa 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50

Homopolar 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51

Vale destacar que, cuando las corrientes no están balanceadas, como es el caso en un

horno de arco, cada armónica tiene su propio conjunto de componentes de secuencia.

5.1.2. SOBRECARGA DEL NEUTRO.

En la sección anterior se adelantó que cuando se trata de Cargas no-lineales,

equitativamente distribuidas entre las tres fases de una red eléctrica de 4 hilos, por el neutro

circula una intensidad no sinusoidal que triplica las múltiplas de la tercera armónica de la

corriente en cada fase.

Un ejemplo de medidas realizadas en una instalación eléctrica permite apreciar la

influencia de las armónicas de corriente sobre el conductor neutro. Estas medidas se han

realizado en una instalación compuesta por un conjunto de equipos informáticos repartidos

uniformemente entre las tres fases de la red eléctrica de Distribución.


La Figura 5-4(a) muestra el flujo de corrientes en las tres fases debidas a Cargas

monofásicas no-lineales idénticas, conectadas entre fase y neutro, y también la corriente

resultante en el conductor neutro. Note que las ondas de corriente por fase no se solapan.

(a)

(b)

(c)

Figura 5-4. (a) Ondas de corriente de línea y de neutro determinadas por Cargas no-lineales monofásicas . (b) Espectro de la coriente de fase. (c) Espectro de la corriente por el neutro. (Fuente: [14]).


Los espectros para estas corrientes son presentados en las Figura 5-4(b) y (c). Note

que la corriente por el neutro sólo contiene múltiplas de la tercera armónica, cuyas

magnitudes son tres veces las correspondientes por fase.

En un período T, la corriente de fase consiste de dos combas alternantes no

consecutivas con duración de 6T , seguidas cada una de un intervalo de “apagado” con el

doble de duración.

El valor eficaz de la coriente de línea es según la ecuación ( 4-5 ):

∫=T

LL ttiT

I0

2 d)(1 . 1

El valor eficaz de la corriente por el neutro se calcula sobre un intervalo igual a 3T ,

dado que durante ese lapso, la corriente del neutro consiste de las mismas combas

alternantes que la corriente de línea, pero consecutivas; sin los intervalos de apagado. En

consecuencia:

L

T

L

T

neutro

T

neutroneutro IttiT

ttiT

ttiT

I 3d)(13d)(13d)(3

1

0

23

0

23

0

21==== ∫∫∫

3=⇒L

neutro

II . 2

El resultado 2 indica que el valor eficaz de la intensidad por el neutro es ¡173% el valor

eficaz de la corriente de línea!1

1 Schonek [14] hace una ilustración para el caso de ondas por fase que se solapan en el tiempo. Allí también se verifica una sobrecarga del neutro, aunque en menor cuantía que el caso sin solapamiento.


Ejemplo 5-1. Suponga que Cargas como las del Ejemplo 4-2, están equitativamente

distribuidas en las fases de una red eléctrica de cuatro hilos. Cuantifique el efecto de estas

Cargas sobre el conductor neutro de la red.

Solución.-

Según lo recientemente expuesto y la Tabla 4-2 del Ejemplo 4-2,

( ) ( ) ( ) bbcIIn

n

n

nneutro 965.0085.0141.0424.02

32

33 2223

1

236

3

1

236 =++=

⋅=⋅= ∑∑

=

−

=

− .

Dicho de otro modo, el valor eficaz de la corriente por el neutro es casi igual a la amplitud

de la corriente en la línea, y con una frecuencia de oscilación que prácticamente triplica a la

nominal del sistema de suministro ( T3 , dado que 1593 53 III == ).

Las normas nacionales de diseño y construcción vigentes autorizan a subdimensionar

el conductor neutro respecto del empleado en la fase, para ahorrar en material, y sobre la

base que para sistemas equilibrados monofásicos de 3 hilos y trifásicos de 4 hilos, en

ambientes sinusoidales la suma vectorial de las corrientes de fase se anula en el punto

neutro; esto es falso en ambientes no sinusoidales.

En consecuencia, para instalaciones con un gran número de Cargas no-lineales es

conveniente reforzar el conductor neutro; según Schonek [14], la solución comúnmente

adoptada consiste en usar un calibre que duplique al empleado en la fase. Además, los

equipos de protección y control (cortacircuitos, interruptores, etc.) deberían ser calibrados

de acuerdo a la corriente en el neutro.


5.2. EFECTO SOBRE LOS TRANSFORMADORES.

Las armónicas influyen fundamentalmente sobre los transformadores de Distribución

reductores conectados en ∆-Υ, para los cuales el mayor porcentaje de Cargas sean equipos

electrónicos monofásicos conectados entre línea y neutro.

Las armónicas de corriente por el neutro se reflejan en el triángulo, por donde

circulan elevando la densidad de flujo en el núcleo. También, las corrientes de Foucault,

proporcionales a la frecuencia, aumentan considerablemente.

Desde hace poco más de una década, se pensó en cuantificar el calentamiento

producido en los transformadores cuando se presentan armónicas. En esta situación el

transformador no debe funcionar a su potencia nominal y debe o cambiarse por otro de

mayor potencia o disminuirse la Carga. El transformador se “desclasifica” asociándole una

potencia equivalente.

La potencia equivalente de un transformador es la correspondiente a la sinusoidal que

provoque las mismas pérdidas que las producidas con la corriente no sinusoidal aplicada.

Esta potencia equivalente es igual a la potencia basada en el valor eficaz de la corriente no

sinusoidal multiplicada por cierto factor. Este factor “K” se define como aquel valor

numérico que representa los posibles efectos de calentamiento de una Carga no-lineal sobre

el transformador.

( )[ ]∑=

⋅=max

1

2

n

n

punInK , ( 5-1 )

donde, ( )punI está en por unidad de la corriente eficaz de la Carga.


La potencia asignada del

transformador que se use debe ser

igual o mayor que la potencia

equivalente.

En el caso que un transformador

en servicio se desee cargar

posteriormente con corrientes

armónicas, un factor reductor de 1/K

debe ser aplicado a la potencia

asignada.

Figura 5-5. Desclasificación típica de un transformador que

atiende Cargas no-lineales. (Fuente: [18]).

La Figura 5-5 muestra el ajuste para el régimen de Carga de un transformador en

función del factor K de la Carga.

Este factor K varía en las instalaciones dependiendo si se ha tomado de día con un

nivel de Carga próximo al 100% o por la noche donde tan sólo suelen existir Cargas de

iluminación. Aún es más complejo prever el contenido de armónicos en el caso de

instalaciones nuevas. En general, la desclasificación es más frecuente en el caso de

instalaciones existentes. El diseño del transformador deberá realizarse para el peor caso

registrado.

Ejemplo 5-2. Determine el factor K para la Carga del Ejemplo 4-2.

Solución.-



( )

=′casootroen,

3demúltiploessi,1

2

n

npun

nI , con n impar.

En el Ejemplo 4-2 se determinó ( ) 794.01 =puI . Entonces,

( )[ ] ( )

( ) ( )

( ) ( )( )∑∑∑

∑∑

=

−

=

−

=

−

=

−

=

′−=

−

=

−=

−=⋅=

8

1

2

122

1

8

1

2

1

122

1

8

1

2

1

1

12

8

1

212

15

1

2

12

1212

12

n

punpu

n

n

n

n

n

n

n

pun

InI

IIn

II

II

IIn

IInInK

( ) [ ] ( )( ) 7.101763.021121121794.0 2222 ==+++++++=⇒ K

En consecuencia, si un transformador convencional alimenta exclusivamente este tipo de

Carga, según la Figura 5-5, su capacidad debe estar desclasificada al 76%.

Ejemplo 5-3. Determine el factor K para el puente de Graetz ideal de la Figura 4-7(a).

Solución.-


64 cos ππ

nn

bnc = , ( )

=′casootroen,

3demúltiploessi,01n

pun

nI y +∈±= Zkkn quetal16 .

Donde b es la amplitud de la onda de corriente. Por tanto, para 25max =n ,

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

96.008431.11

1 22512

2312

1912

1712

1312

1112

712

5132

321

1 ==++++++++

==b

bIII pu

π

π .

Procediendo como en el Ejemplo 5-2,


( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( )

′++

′−=⋅= ∑∑∑

=

+

=

−

=

4

0

2

16

4

1

2

162

1

25

1

2 1616m

pum

m

pumpu

m

pum ImImIImK .

Luego,

( ) ( ) ( )( ) 3.899222.0996.0 2 ===K .

Según esto, un transformador convencional que forme parte de un arreglo ∆-Υ que alimente

exclusivamente este tipo de Carga, por la Figura 5-5, tendrá su capacidad desclasificada al

80%.

La norma ANSI/IEEE C57.110-1996 proporciona una guía para la desclasificación en

función del factor K de la Carga y de las pérdidas de dispersión proporcionadas por el

fabricante del transformador. No obstante, sobredimensionar el transformador tiene varios

inconvenientes:

La placa de características, habitualmente no se cambia. Sí la próxima persona que lo

visite no sabe que ha sido desclasificado, puede considerar que está trabajando muy

por debajo de los valores nominales e incrementar de nuevo la carga conectada hasta

el valor sugerido por placa.

Los transformadores suponen la mayor parte de la impedancia de un circuito de

Distribución y su reactancia puede suponer una oposición considerable a la

circulación de los armónicos de mayor frecuencia. Sobredimensionarlo supone

reducir su impedancia y, por tanto, los armónicos circulan más fácilmente. Además,

se eleva la intensidad de cortocircuito hasta valores que no permiten que la protección

primaria saque la unidad fuera de la línea en caso de falla.


Por el contrario, un neutro subdimensionado, como ya se ha comentado, puede

producir elevadas caídas de tensión y considerables diferencias de potencial respecto

de tierra, no aconsejables para Cargas críticas.

Es deseable mantener la impedancia del transformador lo menor posible, pero

suficientemente grande para que no ocurra lo anterior. Es decir, encontrar una

situación de compromiso.

Los transformadores desclasificados requieren mayor sección de conductores, mayor

calibre en las protecciones y costos adicionales.

Entre otros, los Underwriter’s Laboratories [26] han reconocido los posibles riesgos

en la seguridad asociados al uso de transformadores normalizados sobredimensionados.

5.3. EFECTO SOBRE LA EFICIENCIA DEL SISTEMA.

Las armónicas no contribuyen de ninguna manera a llevar la energía activa necesaria

a los equipos y aparatos eléctricos conectados a la red. Esto significa, que las armónicas

representan en realidad pérdidas debidas al efecto Joule, piel y proximidad, participando así

en la degradación del factor de potencia. Cabe recordar que, este factor mide cuánto de la

potencia aparente entregada a una Carga produce trabajo eléctrico. Algebraicamente,

UIP

SPfp == . ( 5-2 )

Aquí P y S son las potencias promedio (activa) y aparente, respectivamente, consumida por

y entregada a la Carga; U e I son los valores eficaces de tensión aplicada y de la intensidad

de corriente determinada por la Carga.

Ya se ha visto que, en general, el valor eficaz de una señal es la raíz cuadrada de la

suma de los cuadrados de los valores eficaces de todas sus componentes. A continuación, se


realizarán las consideraciones necesarias para establecer en forma precisa el efecto de las

armónicas en el deterioro del factor de potencia.

5.3.1. POTENCIA ACTIVA.

Para una tensión aplicada y flujo de corriente periódicas cualesquiera, esto es,

( )∑=

−+=max

1

cos2)(m

m

mmCD tmUUtu ψω

e ( )∑=

−+=max

1

cos2)(n

n

nnCD tnIIti θω ,

la potencia instantánea absorbida por la Carga viene dad por:

( ) ( ) ( )

−+

−+=⋅= ∑∑

==

maxmax

11

cos2cos2)()(n

n

nnCD

m

m

mmCD tnIItmUUtiutp θωψω

( ) ( )∑∑==

−+−+=maxmax

11

cos2cos2n

n

nnCD

m

m

mmCDCDCD tnIUtmUIIU θωψω

( ) ( )

−

−+ ∑∑

==

maxmax

11

cos2cos2n

n

nn

m

m

mm tnItmU θωψω .

El valor promedio del producto CDCD IU es él mismo, y el de los dos términos

centrales es nulo. El último término representa los productos cruzados de todas las

componentes de )(tp excepto, por supuesto, las de corriente directa.

El producto genérico del último término es el de las mª y nª armónicas, esto es:

( )[ ] ( )[ ]=−− nnmm tnItmU θωψω cos2cos2

( )[ ] ( )[ ] nmnmnm tnmtnmIU θψωθψω −+−++++ coscos


cuyo valor promedio es no nulo sólo cuando nm = , y en consecuencia, la potencia activa

es:

∑=

+=max

1

cosn

n

nnnCDCD IUIUP φ ( 5-3 )

donde nnn θψφ −= . Dicho de otro modo, la potencia activa absorbida por una Carga

general es la suma de las potencias medias asociadas a su dominio de frecuencias.

Ya se ha dicho que en la mayoría de las aplicaciones de Potencia las componentes

directas son nulas (vea la página 72); entonces

∑=

=max

1

cosn

n

nnn IUP φ ( 5-4 )

Note también que, la relación entre los valores eficaces de tensión y corriente, y la

potencia promedio. En un ambiente sinusoidal, esto es, donde la excitación y respuesta son

sinusoidales, la expresión de potencia promedio está dada por la muy conocida expresión

111 cosφIUP = .

Ejemplo 5-4. Un transformador (Tx) monofásico ensayado en vacío se comporta como

una Carga no-lineal.

Para el caso que muestra la Figura 5-6, despreciando las pérdidas y las fugas de flujo en los

devanados, haga un análisis completo acerca de la potencia promedio absorbida por el Tx

operando en vacío.


0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Figura 5-6. Forma de onda y espectro de la intensidad (CF = 3.33 y %THD = 76) de un Tx de 25 kVA, 7200/12470Y-120/240 V, ensayado en vacío desde el lado de baja tensión (Fuente: [15]).

Solución.-

La onda distorsionada del Tx considerado es debida a la no-linealidad del núcleo ante una

excitación sinusoidal; no obstante, las armónicas de intensidad son necesarias para que el

flujo mutuo ( φ ) entre los devanados, primario (lado de alta tensión) y secundario (lado de

baja tensión), de Np y Ns espiras respectivamente, obedezca una sinusoidal, y en

consecuencia las tensiones inducidas en primario y secundario (ep y es), sean también de

esa naturaleza.

Asuma ( )tt ωsen2)( Φ=φ . Según la Ley de

Faraday

( )tEttNte sss ωcos2

d)(d)( =

φ= ,

donde 2Φ= ss NE ω , es el valor eficaz de la

tensión inducida en el devanado primario.

Figura 5-7. Transformador sin dispersión de flujo ni

pérdidas en los devanados.

Naturalmente, al despreciar las pérdidas en los devanados se admite que Es es igual a la

tensión de excitación del Tx (240 V durante la prueba en vacío).


Por inspección, dado que la Figura 5-6 muestra una forma de onda periódica distorsionada,

que cumple con las condiciones de Dirichlet, su desarrollo de Fourier es convergente:

( )[ ]∑=

−− −−=10

1

1212 12cos2)(n

nn tnIti θω .

Así, empleando la ecuación ( 5-4 ),

11 cosθIEP s= ,

porque sólo la fundamental de corriente tiene la misma frecuencia que la tensión de

excitación. Es más, la potencia absorbida por el Tx operando en vacío es la debida a la

subcomponente de la fundamental que está en fase con esa tensión.

Según la misma Figura CF = 3.33 y %THD = 76; indicadores de una gran distorsión. Por la

ecuación ( 4-8 ),

5.133.35maxmax ===⇒=

CFiI

IiCF A 5.1=⇒ I A

Por otra parte, conforme a ( 4-9 )

( )( )[ ] 21

) 7-3 (

2

221 1

max

THDIIIITHDn

n

n +=⇒=∑=

( )

( )

194.1796.05.176.01

5.11

1

221 ==+

=+

=⇒43421

puITHDII A

Como 36.063.053

1III == aproximadamente, se tiene:

( ) ( ) ( )pupupu III 536.01

363.01

1 ==

( ) ( ) ( ) 502.0796.063.063.0 13 ===⇒ pupu II y ( ) ( ) ( ) 287.0796.036.036.0 15 === pupu II .


Dicho de otro modo, respecto del valor eficaz de la onda distorsionada, la fundamental, 3ª y

5ª armónicas representan, respectivamente, 80, 50 y 29 %. Ahora bien, según la ecuación

( 4-11 ).

( ) ( ) 605.076.01

76.01 221 =

+=

+=⇒=

THDTHDDFTHDIDF pu .

Esto indica, desde el punto de vista global, que el 60.5% del valor eficaz de la onda

distorsionada es debido al contenido de armónicas.

La potencia absorbida por el Tx durante el ensayo en vacío es:

( )( ) 11 cos56.286cos194.1240 θθ ==P .

Gönen [8] proporciona valores característicos de los transformadores de Distribución

típicos. En particular para un Tx de 25 kVA, 7200/12470Y–120/240 V, se tiene 118=P

W.

º68.65412.056.286

118cos118cos56.286 111 =⇒==⇒=⇒ θθθ .

Este resultado apunta que sólo el 41.2% de la fundamental origina pérdida de potencia

promedio en la operación en vacío de transformadores con las mismas características (claro

está, despreciando las pérdidas y las fugas de flujo en los devanados). En la literatura esta

pérdida es referida como PFe.

De los procedimientos desarrollados en el ejemplo anterior, dos resultados muestran la

relevancia del factor THD; a saber:

21 1 THDII += ( 5-5 )


21 THDTHDDF+

= ( 5-6 )

5.3.2. FACTOR DE POTENCIA.

Como ya se ha dicho, no sólo por diseño sino también en la operación, la forma de

onda de tensión debe tener una Distorsión Armónica Total no superior a 10%. Por tanto la

tensión aplicada debe ser prácticamente sinusoidal, esto es,

1UU = ;

En consecuencia,

( )

distdesp fpfpTHDTHDIU

IUUIPfp =

+=

+⋅==−

21

211

11155

1cos

1cos φφ

distdesp fpfpfp =⇒ . ( 5-7 )

Donde,

1cosφ=despfp y ( ) 2121 −

+= THDfpdist ; ( 5-8 )

estos factores se denominan, respectivamente, de desplazamiento y de distorsión. Caben las

siguientes observaciones:

Para todo 1φ , 1cos 1 ≤= φdespfp .

Luego, distfpfp ≤ . Esto significa que

el máximo factor de potencia de una

instalación con Cargas perturbadoras

es el de distorsión.

Figura 5-8. Relación entre el factor de potencia máximo y la Distorsión Armónica Total de una instalación.


Para un THD elevado, fpdist es bajo; en consecuencia, el factor de potencia real de la

instalación es todavía menor.

Los medidores de energía basados en el principio de inducción electromagnética no

son de tecnología RMS, y se calibran para integrar mediciones de potencia promedio

de ondas sinusoidales puras; en consecuencia, fpdist es ignorado por el instrumento de

medida.

Para tener una idea clara de la gravedad de las observaciones anteriores, a

continuación se estudia el efecto sobre la medición desde el punto de vista geométrico.

Sean S1 y P las potencias aparente y activa de la fundamental. En el caso de una

instalación compuesta de Cargas lineales, es claro que

SPfpfpfpSSTHD despdist ==⇒=∧=⇒= 10 1 .

Como P ≤ S, este cociente de hecho es bien interpretado por un coseno; así, S es la

hipotenusa y P es el cateto adyacente al ángulo cuyo coseno es fp, tal como muestra la

Figura 5-9(a). El otro cateto denotado por Q, cumple con:

22 PSQ −= .

Geométricamente, Q es la componente en cuadratura con P del vector bidimensional S , y

se refiere como potencia reactiva2.

Por otra parte, si en la instalación hay Cargas no-lineales aplica ( 5-7 ), esto es,

( )

( )( )[ ] SP

QPP

STHDS

PTHDS

Pfpfpfp distdesp =++

=+

=+

==−

22221

21

21

85

1 D.

2 La interpretación física de Q ha sido causa de gran polémica en el ámbito científico de la metrología eléctrica. Tal asunto es discutido con profundidad en otra obra, próxima a ser publicada por el autor de este Trabajo de Ascenso.


Donde ( )( )1STHD=D , denota la potencia de distorsión y S es la potencia aparente debidas

a la perturbación armónica.

(b)

Q

PD

S

1S

(a)

1φ

P

Q

1SS =

Figura 5-9. Coordenadas de potencia aparente: (a) THD = 0, y (b) THD > 0.

Como muestra la Figura 5-9(b), la fórmula anterior corresponde al coseno director del

vector tridimensional S respecto del eje que incluye su coordenada P. Debe observarse que

en presencia de distorsión, la potencia aparente real es mayor que la registrada por los

instrumentos que no sean de tecnología RMS (S > S1).

fpPS = ( 5-9 )

En general, los investigadores contemporáneos sobre este tema reúnen

conceptualmente las cantidades Q y D como potencia no-activa N , tal que:

22 DN += Q .2

Ejemplo 5-5. El control de lámparas halógenas se realiza a partir de reguladores graduales

que utilizan tiristores, con el fin de asegurar la modulación de potencia suministrada a la

lámpara. Este montaje también se utiliza para modular la energía eléctrica de hornos o

incluso para implementar el control de los motores de arranque (motor de arranque


progresivo). Existen dos tipos de control para el regulador gradual: control de trenes de

señales y control por ángulo de fase. En este último, los tiristores se controlan de forma tal

que la tensión aplicada a la Carga es una tensión truncada a partir de la señal sinusoidal de

la red (vea la Figura 5-10).

a) Dibuje el espectro de frecuencia de i.

b) Determine THD, DF y CF. Interprete.

c) ¿Cuánto es el factor de potencia máximo de la instalación?

Figura 5-10. Regulador de luz para una lámpara halógena (Fuente: [5]).

Solución.-

a) Sea A la amplitud de la onda distorsionada. Tal señal sólo tiene simetría respecto de la

mitad del período; en consecuencia, n es impar.

( ) ( ) ( )[ ]∫∫ ==2

4

2

0

dcossen4dcos)(4 T

T

T

n ttntTAttntf

Ta ωωω

( ) ( )[ ]∫ −++== π

π

ω

π 2

d1sen1sen xxnxnAtx

( ) ( )[ ]

≠−++−

=−=

−+ 1,1cos1cos

1,2cos

211

11

221

nxnxn

nxA

nnππ

π

π

π


( ) ( ) ( ) ( )

≠−−++−++−=−

=−+−+ 1,1cos1cos1cos1cos

1,1

211

211

11

11 nnnnn

nA

nnnnπππππ

≠−−−=−

=−+−+ 1,sensencoscos

1,1

211

211

11

11 nnn

nAn

nn

nnnπππππ

( ) ( ) ( ) ( )

≠−−−−+−=−

= −−

−+−+ 1,11

1,115.0

1115.0

11

11

11 n

nAn

nn

nnnπ

( ) ( )( ) ( )

≠−+−−=−

=⇒ −+−+− 1,1

1,115.0

11

11

11

11 n

nAa nnnnn

n π

( ) ( ) ( )[ ]∫∫ ==2

4

2

0

dsensen4dsen)(4 T

T

T

n ttntTAttntf

Tb ωωω

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]

≠++−

=−=+−−=

+−

=

∫ 1,1sen1sen

1,2send1cos1cos

211

11

221

2 nxnxn

nxxAxxnxnA

nn

tx

ππ

π

ππ

π

ω

ππ

≠=

=

≠=

=⇒1,01,

1,01, 22

nn

nnAb

A

n

π

π.

En consecuencia,

( ) ( )( ) ( )

≠−+−−=

= −+−+− 1,1

1,593.0

215.0

11

11

11

111 n

nAI nnnnn

nπ

.

Para 25max =n se tiene el espectro que se muestra en la Figura 5-11.

b) ( ) ( ) 632.0

12

1

2

12

25

2

2

=

′=

′= ∑∑

=

+

= n

pun

n

pun IITHD

Usando la ecuación ( 5-6 ),

534.0183.1632.0

632.01632.0

1 22==

+=

+=

THDTHDDF


AIn2 0.593 0.318 0.106 0.106 0.064 0.064 0.045 0.045 0.035 0.035 0.029 0.029 0.024

( ) punI ′

1.000 0.536 0.179 0.179 0.108 0.108 0.076 0.076 0.059 0.059 0.049 0.049 0.040

Figura 5-11. Espectro de frecuencias de una lámpara incandescente controlada por tiristores.

Por otra parte,

( )ATHDIII A

2702.02

1

55

21 1593.0 =+=⇒=−

.

Exactamente, por simple inspección de la Figura 5-10, 2AI = .

2max ==⇒I

iCF .

Los tres resultados anteriores son indicadores de la gran distorsión en la forma de onda de i:

el contenido de armónicas representa el 63% de la fundamental y 53% del valor eficaz de la

intensidad total; su Factor de Cresta supera en 41% al de una onda sinusoidal.

c) De las ecuaciones ( 5-7 ), ( 5-8 ) y la observación , hecha al inicio de esta sección,

845.0183.11

11

2==

+=≤

THDfpfp dist


A pesar que la lámpara incandescente es prácticamente resistiva, el conjunto

control-lámpara tiene factor de potencia relativamente bajo.

Ejemplo 5-6. Considere una fuente práctica de tensión que alimenta una Carga general de

potencia nominal activa P. Compare las pérdidas por operación en el siguiente dominio:

( ) 1015.0, 2 ≤≤∧≤≤ℜ∈ THDfpTHDfp despdesp

Solución.-

Sea UL la tensión aplicada a la Carga. La intensidad de la corriente en el circuito serie

fuente ideal-resistencia interna-Carga, está dada por:

LL UfpP

USI

⋅==

En consecuencia,

= 22

2 1fpU

PRPrL

i

Garantizando la regulación de la tensión en la Carga, esto es, manteniendo firme la tensión

UL, y despreciando el incremento en la resistencia debido al efecto piel (del cual se habló

en la sección 5.1), las pérdidas de potencia variarán en proporción inversa con el cuadrado

del factor de potencia. De este modo, si la Carga es resistiva

2

2

1L

i

UPRPrfp =⇒= .

Luego, tomando este resultado como base y las ecuaciones ( 5-7 ) y ( 5-8 ), la expresión de

pérdidas en por unidad de esta base es, en cualquier caso,


( ) 2

21

desppu fp

THDPr += .

Figura 5-12. Pérdidas en por unidad del caso resistivo en función del factor de potencia y la

Distorsión Armónica Total.

La Figura 5-12 representa gráficamente está función en el dominio restringido indicado en

el planteamiento del problema. De la inspección de tal figura es fácil ver que las pérdidas

decrecen rápidamente con el factor de potencia de desplazamiento, y crecen lentamente con

la Distorsión Armónica Total. Además, el efecto combinado de ambas variables es nefasto

para la eficiencia del sistema: si se alimenta una Carga perturbadora, no importa que tan


bueno sea su factor de potencia de desplazamiento, las pérdidas siempre serán mayores que

las de una Carga lineal (THD = 0) al mismo factor de potencia.

Ejemplo 5-7. Considere el sistema de la Figura 5-13, donde una fuente práctica con

resistencia interna de 1 Ω y tensión sinusoidal en vacío de 120 V RMS, alimenta una

lámpara incandescente controlada por tiristores. Si el ángulo de disparo es de 90º determine

la potencia absorbida por la instalación control-lámpara.

Figura 5-13. Circuito monofásico tiristor-lámpara.

Solución.-

Sean ( )ttes ωsen2120)( = y A la amplitud de la onda de corriente distorsionada.

Con base en los resultados del Ejemplo anterior, el desarrollo de Fourier truncado a la 25ª

armónica es:

( ) ( ) ( ) ( )[ ][( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )]Atω

tωtωtωtωtωtωtωtω

tωtωtωt-θωti

25cos0.02423cos21cos0.02919cos17cos035.0

15cos13cos045.011cos9cos064.07cos5cos106.03cos318.0cos593.0)( 1

+++++

++++++=


donde ( ) 482.122arctan1

11 == a

bθ º.

La tensión aplicada u a la instalación control-lámpara está dada por:

)()()( titetu s −= .

Para la fundamental

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )

( )AAtAA

tAtA

ttAttu

318.05.021202

1

arctancos351.0212028800

sen5.02120cos318.0

482.122sensen482.122coscos593.0sen2120)(

−−+−=

−+=

+−=

ω

ωω

ωωω

Inmediatamente, se obtiene el espectro de u:

Tabla 5-2. Espectro de la tensión aplicada a la instalación control-lámpara incandescente.

n 1 3 5, 7 9, 11 13, 15 17, 19 21, 23 25

nU2 [V] 2351.0212028800 AA +− 0.318A 0.106A 0.064A 0.045A 0.035A 0.029A 0.024A

nψ [º] AA

318.05.02120arctan − 180 180 180 180 180 180 180

Aplicando la ecuación ( 5-4 )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) º180cos

2024.0029.0035.0045.0064.0106.0

2318.0

º482.122arctancos2

593.0351.0212028800

22

222222

318.05.02120

2

A

AAAP AA

+++++++

−+−

= −

( ) 2318.0

5.021202 07.0º482.122arctancos351.02120288002965.0 AAAA AA −−+−= −

El signo negativo de las potencias armónicas (3ª a 25ª) indica que el flujo de las mismas es

de la instalación a la fuente. Esta potencia, “generada por la Carga”, es parásita y representa

pérdidas.


5.4. FENÓMENOS DE RESONANCIA.

Los fenómenos de resonancia son causados por la presencia de elementos inductivos

y capacitivos en la red eléctrica. En un circuito que integre fundamentalmente estos

elementos, sabiendo que la reactancia de un inductor aumenta con la frecuencia y que la de

un condensador disminuye, existe una determinada frecuencia ωr para la cual estas dos

reactancias son iguales. Algebraicamente, si L denota la inductancia del inductor y C la

capacidad del condensador de un circuito dado,

( ) ( )C

LXXr

rrCrL ωω

1=⇒= .

LCLC rr

112 =⇒=⇒ ωω ( 5-10 )

donde el subíndice r subraya la condición de resonancia, ω es la frecuencia angular, XL y XC

son las reactancias inductiva y capacitiva, respectivamente; en consecuencia, el orden de

armónica resonante r está dado por:

L

C

XXr = ( 5-11 )

El fenómeno de resonancia, expresado mediante la relación ( 5-10 ), implica que las

impedancias capacitivas e inductivas comportan efectos que, combinados, dan lugar a

valores extremos. Este fenómeno ocurre cuando uno o más elementos inductivos están

conectados en paralelo con un condensador, pero también en el caso de una conexión serie

entre el condensador y la inductancia desde la fuente (vea las secciones 0 y 5.4.3).

La resonancia en paralelo se traduce en alta impedancia para el flujo de la armónica

de corriente, mientras que a la resonancia serie corresponde una baja impedancia para el


flujo de armónica referente. Cuando las condiciones de resonancia no son un problema, el

sistema está en capacidad de absorber cantidades significativas de armónicas de corriente

[25]. Sólo cuando tales armónicas tienen un camino de alta impedancia, ocurren distorsión

de tensión y amplificación de la intensidad de corriente importantes.

5.4.1. FLUJO NORMAL DE ARMÓNICAS DE CORRIENTE.

Las armónicas de corriente tienden a fluir desde las Cargas no-lineales (HGL) hacia la

más baja impedancia, comúnmente la fuente de suministro tal como lo muestra la Figura

5-14. La impedancia de la fuente de suministro es usualmente mucho menor que las rutas

en paralelo determinadas por las demás Cargas; no obstante, la armónica de corriente se

dividirá en función de las relaciones de impedancia.

Figura 5-14. Flujo normal de las armónicas de corriente.

Las armónicas de orden superior fluirán a los condensadores porque su impedancia es

reducida a altas frecuencias. Los condensadores sufrirán un calentamiento excesivo con el

riesgo de llevarle a su destrucción o a que el fusible de protección, colocado en serie, se

funda.


Figura 5-15. Circuito de Cargas concentradas equivalente al de

la Figura 5-14.

Considere la Figura 5-15. Si la fuente es sinusoidal, a la

frecuencia de resonancia la tensión de suministro es nula, y en

consecuencia:

( )

==⇒

−

2

2115

Nominal

C

SC

Nominal

SC

C

UX

XU

XXr

C

SC

QSr =⇒ ( 5-12 )

donde XSC es la reactancia de cortocircuito del sistema hasta el punto de acoplamiento

común (Xt en la Figura 5-14), y Q es la potencia reactiva nominal debida a la capacidad C

del condensador. No deben confundirse los conceptos de tensión de servicio, tensión de

utilización y tensión nominal del sistema3, esta última empleada para obtener ( 5-12 ).

Figura 5-16. Curvas mostrando la impedancia debida a las Cargas y a la resistencia de los conductores. La impedancia máxima, aproximadamente R, es debida a la contribución de las potencias activas de diferentes

Cargas.

5.4.2. RESONANCIA EN PARALELO.

Según ( 5-10 ), en un sentido estricto la reactancia neta tiende a ser infinita en el

entorno de la condición de resonancia. Sin embargo, la situación práctica es un poco

3 Consulte la norma ANSI C84.1-1995: Electric Power Systems and Equipment-Voltage Ratings (60 Hertz).


diferente debido a la resistencia de los conductores, la cual se combina con los demás

parámetros de los que depende la impedancia armónica del sistema.

Las curvas de la Figura 5-16 muestran que:

• Al orden de resonancia r, el efecto inductivo es compensado exactamente por el

efecto capacitivo;

• La reactancia del sistema es inductiva en las bajas frecuencias, incluyendo la

frecuencia fundamental. A medida que aumenta la frecuencia, la reactancia lo hace

también rápidamente; no obstante, después de la frecuencia de resonancia cambia

súbitamente a capacitiva y así permanece hasta hacerse despreciable.

Como ya se ha dicho, la resonancia en paralelo se traduce en alta impedancia al flujo

de las armónicas de corriente en el entorno de la frecuencia referente, por lo que existe el

riesgo de armónicas de sobre-tensión, especialmente cuando la red opera a Carga liviana.

Es más, esas armónicas de corriente llevan a ser intensas las corrientes oscilantes de

intercambio en el circuito LC paralelo (también llamado circuito “tanque” dada su

característica de almacenamiento de energía). Esta elevada corriente de oscilación puede

causar distorsión de tensión e interferencia telefónica donde el circuito de Distribución y el

de Comunicación estén físicamente próximos.

Si el orden de resonancia corresponde a la frecuencia del equipo de control por

corriente-portadora de la Distribuidora, la buena operación de este equipo no está

garantizada.


5.4.3. RESONANCIA SERIE.

Este tipo de resonancia es el resultado de la combinación serie de las impedancias de

bancos de condensadores y de las líneas o transformadores. La resonancia serie representa

un camino de baja impedancia para las armónicas de corriente y tiende a drenarlas, o

“entramparlas”, en el entorno de esa frecuencia. La resonancia serie puede causar altos

niveles de distorsión de tensión entre los elementos inductivo y capacitivo del circuito serie.

Un ejemplo posible de resonancia serie es un transformador intermedio que tiene un

condensador conectado en el lado secundario (vea la Figura 5-17). Este es un circuito serie

visto desde el lado primario del transformador.

Figura 5-17. Banco de condensadores involucrado en una resonancia serie.

En un sentido estricto, la impedancia de resonancia de la combinación serie bobina-

condensador está caracterizada por:

• Un valor mínimo resistivo Ri (resistencia interna de la bobina) para el orden de

resonancia r;

• Reactancia capacitiva antes de la frecuencia de resonancia;

• Reactancia inductiva después de la frecuencia de resonancia.


Figura 5-18. Características de impedancia del circuito serie.

Ejemplo 5-8. Una instalación eléctrica industrial es alimentada mediante un transformador

de 750 kVA, 13800/23900GndY-480 V, propiedad de la Distribuidora. La medición para

facturar este servicio se hace en baja tensión, en un punto cuyo nivel de cortocircuito es

3.5 kA.

Si el consumo promedio mensual en la instalación es 352800 kWh con factor de potencia

de desplazamiento de 0.72¯, determine la capacidad del banco de condensadores

normalizado para llevar tal factor a 0.85¯, o 0.90¯ según convenga para evitar la

resonancia. (suponga que la tercera armónica es la más importante en la instalación)

Solución.-

Considere un promedio de 30 días de 24 horas por mes, esto es, 720 horas por mes.

490720352800 ==⇒ promP kW.

( ) ( )[ ] ( ) 56.168620.0964.049085.0arccostan72.0arccostan =−=−≈′ promC PQ kvar,

y ( ) ( )[ ] ( ) 20.235484.0964.049090.0arccostan72.0arccostan =−=−≈′′ promC PQ kvar.


Según la Tabla 1 de la IEEE Std 18-1992 (IEEE Standard for Shunt Power Capacitors), a

480 V los tamaños normalizados serían 180 y 240 kvar. Suponiendo que la distancia entre

el punto de medición y la instalación es despreciable, se tiene que los ordenes de probables

resonancias en paralelo son:

( )( ) 021.4180

5.34803===′

C

SC

QSr y ( )( ) 482.3

2405.34803

===′′C

SC

QSr

En consecuencia, se prefiere llevar el factor de potencia a 0.85¯, esto es, instalar un banco

de condensadores de 180 kvar. Note que un banco de mayor tamaño llevará a la instalación

eléctrica más cerca de la condición de resonancia a la 3ª armónica.

Cabe destacar, que si la 5ª armónica fuera más importante que el resto, como en el caso de

la rectificación de seis pulsos, la elección sería instalar 240 kvar. En definitiva, la elección

de la potencia reactiva del banco deberá realizarse de modo que la frecuencia de resonancia

se aleje de las frecuencias armónicas presentes en la red.

CCAAPPÍÍTTUULLOO 66.. RREEGGUULLAACCIIÓÓNN PPAARRAA EELL CCOONNTTRROOLL DDEE AARRMMÓÓNNIICCAASS..

Los problemas del Sistema de Potencia asociados con las armónicas comenzaron a

ser de interés general en la década de los 70, cuando dos eventos independientes tuvieron

lugar. El primero fue el embargo petrolero, que condujo a incrementos en la electricidad y

al ahorro de la energía. Las Distribuidoras y los consumidores industriales comenzaron a

instalar condensadores para el mejoramiento del factor de potencia. Los condensadores

reducen la demanda de MVA que se exige al sistema eléctrico, abasteciendo la porción de

reactivos necesarios de forma local (donde se requieran). Como resultado, se reducen las

pérdidas eléctricas tanto en la planta industrial como en la red eléctrica de Distribución.

Para mejorar el factor de potencia fue necesario incrementar significativamente el número

de condensadores conectados al Sistema de Potencia. Como una consecuencia, hubo un

aumento igualmente importante en el número de circuitos sintonizados (resonantes) en

redes de Distribución y plantas.

El segundo acontecimiento fue la llegada de la era tecnológica de los tiristores en baja

tensión. En los años 60, los tiristores fueron desarrollados para motores en CD y luego

durante la década de los 70, utilizados para controlar la velocidad de motores CA. Esto

resultó en una proliferación de pequeños convertidores operados independientemente sin

técnicas de mitigación de armónicas.

Regulación para el Control de Armónicas. 130

Aún con niveles de armónicas de corriente relativamente bajos, un circuito resonante

puede ocasionar severos problemas de distorsión en la tensión e interferencia telefónica. Un

circuito resonante paralelo puede amplificar los niveles de armónicas de corriente a un

punto tal que produzca falla en los equipos. Los circuitos resonantes serie pueden

concentrar el flujo de armónicas de corrientes en alimentadores o líneas específicas al punto

de producir interferencia telefónica de gran magnitud.

El aumento en el uso de convertidores estáticos, tanto en equipos de control industrial

como en aplicaciones domésticas, combinado con el progresivo uso de los condensadores

para el mejoramiento del factor de potencia, ha dado lugar a problemas mayores. La

amplitud de estos problemas, ha llevado a la necesidad de desarrollar técnicas y

lineamientos para la instalación de equipos y control de armónicas.

En general, una norma es un conjunto de reglas, de descripciones o incluso de

metodologías que un fabricante utiliza como referencia, para definir, probar y/o emplear su

producto terminado; en la actualidad, especialmente después de la Convención de la

comunidad europea de naciones del 25 de Julio de 1985, la electricidad es considerada un

producto. Este capítulo discute las normas fundamentales pertinentes al control de

armónicas de tensión y de corriente eléctrica, así como su importancia en el diseño de

Sistemas Eléctricos de Distribución.

6.1. NORMATIVA EUROPEA.

A menudo se distinguen las perturbaciones armónicas, como perturbaciones a bajas

frecuencias. La normativa europea clasifica las perturbaciones armónicas en un contexto

global: el de la compatibilidad electromagnética (CEM).


La perturbación electromagnética es una señal eléctrica no deseada que se añade a la

señal útil en una instalación dada. Las armónicas forman parte de estas señales no deseadas

y sus límites son establecidos en las normas relacionadas con la CEM.

No obstante, existe una frontera entre las perturbaciones armónicas producidas en las

redes eléctricas y las perturbaciones electromagnéticas que afectan a los equipos

electrónicos en general. Estas perturbaciones implican unas reglas precisas de instalación y

de implementación:

• Las perturbaciones de baja frecuencia se manifiestan en la instalación eléctrica como

perturbaciones conducidas (transmitidas por los cables).

• Las perturbaciones electromagnéticas “de alta frecuencia” se manifiestan en la

instalación eléctrica como radiaciones (transmitidas por el aire).

Según Félice [5] la frontera entre estos dos dominios afines se sitúa alrededor de la

frecuencia de 10 kHz.

La limitación de la contaminación armónica se concreta mediante el trabajo común

entre las dos partes, la Compañía Distribuidora y el usuario, como ya se ha mencionado.

Por parte de la Distribuidora, es necesario que se suministre una calidad de energía eléctrica

tal que presente la mínima distorsión posible. Por parte del usuario, es imperativo asegurar

que las Cargas contaminantes identificadas no contribuyan a degradar la tensión de la red,

en perjuicio del funcionamiento de otros dispositivos.

Debe precisarse el significado de los siguientes términos empleados en los

enunciados de las normas:

• Emisión: el nivel de emisión propio de un aparato debe ser lo suficientemente débil

para evitar perturbación alguna en otros aparatos de su entorno próximo.


• Compatibilidad: nivel de distorsión máximo especificado que puede ser esperado en

un ambiente dado.

• Inmunidad: se dice que un aparato posee un grado de inmunidad tal que no debe ser

perturbado por su entorno electromagnético.

• Susceptibilidad: nivel a partir del cual un aparato o sistema comienza a funcionar

mal.

6.1.1. LAS NORMAS Y ORGANISMOS DE NORMALIZACIÓN.

Pueden clasificarse las normas relativas a la compatibilidad electromagnética (CEM)

en tres categorías:

I Las publicaciones o normas fundamentales definen, de forma general, las

prescripciones relativas a la CEM (fenómenos, pruebas, etc). Se aplican a todos los

productos y sirven de herramienta a los comités de elaboración de normas específicas.

Las normas fundamentales no están consensuadas en el ámbito europeo.

II Las normas genéricas o europeas definen las exigencias esenciales en lo referente

al nivel de emisión, nivel que se debe tener por tipo de prueba. Utilizan las normas

fundamentales, así como los límites establecidos por las normas de emisión y/o

inmunidad.

III Las normas de productos o de familias de productos especifican las disposiciones

de construcción, las características que deben presentar, los métodos de realización de

pruebas y los criterios de funcionamiento para dichos productos y familias de

productos.


Los diferentes organismos que elaboran las normas que deben aplicar los instaladores

y los fabricantes son los siguientes:

• Comisión Electrotécnica Internacional (IEC) con sede en Ginebra.

• Comité Europeo de Normalización Electrotécnica (CENELEC) con sede en Bruselas.

Estas normas se identifican mediante la designación EN.

Cuando el CENELEC desea elaborar una norma por iniciativa propia, somete el

proyecto de la norma a la IEC, quien asume la elaboración de la norma en el ámbito

internacional. Generalmente, las normas EN-IEC son sancionadas por la CENELEC

mediante pequeñas enmiendas. Los votos de la IEC y CENELEC son independientes.

La lista no exhaustiva de los temas abordados por las normas relativas a las

perturbaciones armónicas es considerablemente extensa. Por este motivo en la Tabla 6-1

solamente se enumeran las normas principales.

Las normas CEM establecidas por la IEC llevaban en otro tiempo la referencia

IEC 1000-X-X y las de CENELEC, la referencia EN 61000-X-X. Actualmente, para evitar

confusiones, las normas IEC y EN emplean la misma referencia: la norma IEC 61000-X-X

equivale a la norma EN 61000-X-X.

6.1.2. APLICACIÓN DE LA NORMA.

En la actividad cotidiana, los técnicos e instaladores de equipos eléctricos en las redes

de baja tensión, se atienden especialmente las normas IEC 61000-3-2 y IEC 61000-3-4. En

efecto, estas dos normas establecen los niveles de emisión armónica en corriente para los

aparatos electrodomésticos e industriales.


Tabla 6-1. Principales Normas relativas a las armónicas (Fuente: [5]).

Competencia Referencias y temas abordados

Generalidades IEC 61000-1-1: definición de los términos fundamentales.

Entorno ( ) IEC 61000-2-1: entorno electromagnético relativo a las perturbaciones conducidas de baja frecuencia y a la Transmisión de señales en las redes públicas de suministro.

IEC 61000-2-2: niveles de compatibilidad relativos a las perturbaciones conducidas de baja frecuencia y a la Transmisión de señales en las redes públicas de suministro.

IEC 61000-2-4: niveles de compatibilidad en las redes industriales para las perturbaciones conducidas de baja frecuencia.

IEC 61000-2-5: clasificación de los entornos electromagnéticos.

EN 50160: características de la tensión suministrada por las redes públicas de Distribución.

Límites de emisión IEC 61000-3-2: límites para las emisiones de corrientes armónicas en las redes públicas de baja tensión, para los aparatos de menos de 16 A por fase.

IEC 61000-3-4: límites para las emisiones de corrientes armónicas en las redes públicas de baja tensión, para los aparatos de más de 16 A por fase.

IEC 61000-3-6: evaluación de los límites de emisión para las Cargas perturbadoras conectadas a las redes de media y alta tensión.

Inmunidad y técnica de prueba

IEC 61000-4-1: visión de conjunto de las pruebas de inmunidad ( ).

IEC 61000-3-4: guía general para la medida de armónicas y equipos de medida, aplicada a las redes de alimentación y a los aparatos conectados a dichas redes ( )

IEC 61000-4-13: pruebas de inmunidad a las armónicas.

IEC 61000-4-15: fenómenos de oscilación.

EN 50082-1: norma genérica de inmunidad residencial, comercial, industrial ligera.

Normas genéricas IEC 61000-6-1: normas genéricas sobre inmunidad para los entornos residenciales, comerciales y de industria ligera.

IEC 61000-6-2: normas genéricas sobre inmunidad para los entornos industriales.

IEC 61000-6-3: normas genéricas sobre la emisión. 1ª parte: residencial, comercial y de industria ligera.

IEC 61000-6-4: normas genéricas sobre la emisión. 2ª parte: entorno industrial.

EN 50081-1: norma genérica sobre emisión en el entorno industrial.

EN 50082-2: inmunidad en el entorno industrial.

( ) Se ocupa de la compatibilidad y de la definición del producto de electricidad. Aquí sólo se incluyen los temas relativos a las armónicas. ( ) Publicación fundamental de la IEC. ( ) Guía de medida asociada a la norma EN 50160. Nota: Cuando no exista una norma de CEM para un determinado producto, es la norma genérica la que se aplica. Las normas de producto son duplicadas de forma coherente con las normas genéricas. Un comité especial vela porque no se produzca ninguna incoherencia.


La norma IEC 61000-3-2 extiende el campo de aplicación de una norma anterior, la

IEC 555-2, también a equipo para uso profesional, aplica a equipos a conectarse a sistemas

de tensión de 50 o 60 Hz en 220/380Y V, 230/400Y V o 240/415Y V. Si las tensiones de

suministro difieren de las señaladas se hace un ajuste lineal sobre los límites señalados.

Tabla 6-2. Clasificación de equipo según la norma IEC 61000-3-2 ( ).

Clase Descripción

A Equipo trifásico balanceado (magnitudes de corriente de línea que difieren por no más de 20%) y todos los demás equipos, excepto aquellos en las siguientes clases.

B Herramientas portátiles.

C Equipo de alumbrado incluyendo dispositivos atenuadores con potencia activa de entrada superior a 25 W.

D Equipos con corriente de entrada con una forma de onda de equipos informáticos y una potencia activa fundamental de entrada entre 75 y 600 W ( ).

( ) Los límites para equipo de uso profesional en alta potencia, esto es, de más de 1 kW, probablemente sean incluidos a corto plazo como Clase E. ( ) Independientemente de la forma de onda de la corriente de entrada, equipos Clase B, C, y equipos impulsados provisionalmente por motores no se considerarán equipos de Clase D.

Tabla 6-3. Límites de armónicas para aparatos.

Corriente máxima permitida por clase A B C D

Clase n [A] [A] P > 25 W

[% de I1] 75 ≤ P ≤ 600 W

[mA/W] [A]

Armónicas impares 3 2.30 3.450 30 fp 3.400 2.30 5 1.14 1.710 10 1.900 1.14 7 0.77 1.155 7 1.000 0.77 9 0.40 0.600 5 0.500 0.40 11 0.33 0.495 3 0.350 0.22 13 0.21 0.315 3 0.296 0.21

15 - 39 2.25/n 3.375/n 3 3.85/n 2.25/n Armónicas pares 2 1.08 1.620 2 4 0.43 0.645 6 0.30 0.450

8 - 40 1.84 2.760/n


Los límites indicados son aplicables a las armónicas de estado estable. Para

armónicas de estado transitorio, aplica lo siguiente:

• Las armónicas de corriente son despreciables para la conexión manual o automática

del equipo si duran no más de unos segundos.

• Para las armónicas transitorias pares hasta el 10º orden, o las impares hasta la 19ª los

límites indicados son aplicables sólo si la duración de tales transitorios no supera los

15 s. Cualquier observación periódica de 2.5 min de duración no debe exceder 1.5

veces el límite pertinente establecido en la tabla anterior.

La norma IEC 61000-3-4 no solamente trata con equipo individual, sino que establece

los límites para una instalación de un sistema completo, abarcando sistemas de una o más

fases. Esta norma también considera la relación RSCC de cortocircuito a corriente de entrada

(≥ 16 A).

Tabla 6-4. Límites establecidos por la norma IEC 61000-3-4 para equipo trifásico (Fuente: [16]).

Límite superior de los factores de Distorsión (%) RSCC

Mínima THD PWHD

66 17 22 12 10 9 6 120 18 29 15 12 12 8 175 25 33 20 14 12 8 250 35 39 30 18 13 8 350 48 46 40 25 15 10 450 58 51 50 35 20 15

> 600 70 57 60 40 25 18

En la Tabla 6-4 sólo están listados los límites hasta la 13ª armónica. La norma define

PWHD como la distorsión armónica parcialmente evaluada; para órdenes superiores a los

referidos por la tabla se determina así:


( )∑=

′=

40

14

2

npunInPWHD .

Tabla 6-5. Corriente admisible para la instalación completa según la norma 61000-3-4 (Fuente: [16]).

n %

n %

3 19 21 ≤ 0.6 5 9.5 23 0.9 7 6.5 25 0.8 9 3.8 27 ≤ 0.6 11 3.1 29 0.7 13 2.0 31 0.7 15 0.7 ≥ 33 ≤ 0.6 17 1.2 19 1.1 Par ≤ n

4 o ≤ 0.6

La Tabla 6-5 muestra que la misma norma, aunque no lista los valores de THD y

PWHD, establece un límite de 20% para la instalación completa. Si las tres fases no están

balanceadas, cada fase debe tratarse individualmente.

6.2. NORMATIVA AMERICANA.

Las normas estadounidenses con respecto a las armónicas han sido agrupadas por

IEEE en la norma 519: “IEEE Recomendaciones Prácticas y Requerimientos para el

Control de Armónicas en Sistemas Eléctricos de Potencia” [25]. Existe un efecto

combinado de todas las Cargas no lineales sobre el Sistema Eléctrico de Distribución, el

cual tiene una capacidad limitada para absorber armónicas de corriente. Adicionalmente,

las Distribuidoras tienen la responsabilidad de proveer alta calidad en lo que respecta al

nivel de la tensión y su forma de onda. IEEE 519 hace referencia no sólo al nivel absoluto

de armónicas producidas por una fuente individual sino también a su magnitud con respecto

a la red de Distribución.


Se debe tomar en cuenta que la IEEE 519 está limitada por tratarse de una colección

de recomendaciones prácticas que sirven de guía tanto a consumidores como a

Distribuidoras de energía eléctrica. Donde existan problemas, a causa de la inyección

excesiva de armónica de corriente o distorsión de la tensión, es obligatorio para la

Distribuidora y el consumidor resolver estos problemas.

El propósito de la IEEE 519 es el de recomendar límites en la distorsión armónica

según dos criterios distintos; específicamente:

Existe una limitación sobre la cantidad de armónicas de corriente que un consumidor

puede inyectar en la red eléctrica de Distribución.

Se establece una limitación en el nivel de armónicas de tensión que una Distribuidora

puede suministrar al consumidor.

Figura 6-1. Selección del PCC desde donde otros clientes o consumidores pueden ser servidos (Fuente: [17]).

6.2.1. PUNTO DE ACOPLAMIENTO COMÚN (PCC).

El punto de acoplamiento común PCC (vea la sección 4.5.1), es el lugar donde son

conectados varios consumidores para servirlos mediante el Sistema de Potencia público.

Según la norma, en el PCC cualquier otro consumidor puede ser atendido por el sistema; no

obstante, la norma puede ser aplicada a consumidores físicamente separados dentro de la

instalación, con la salvedad de emplear los límites de corrientes pertinentes a tales casos.


El PCC puede estar ubicado en el primario o en el secundario de un transformador de

Distribución reductor, dependiendo de la cantidad de clientes alimentados por él. Sin

embargo, cuando la empresa es propietaria del transformador puede escoger el PCC en el

lado de baja con el propósito de limitar las armónicas de corriente que de otro modo tendría

que soportar.

6.2.2. PROCEDIMIENTO GENERAL PARA LA APLICACIÓN DE LA NORMA.

El procedimiento general para la aplicación de límites de armónicas incluye la

caracterización de las fuentes de contaminación, la evaluación del impacto en el sistema, y

la implementación de métodos para el control de armónicas, si es necesario. Esto debe

significar un esfuerzo conjunto entre las partes involucradas en el problema (Distribuidora-

usuario-fabricante).

6.2.2.1. Procedimiento General de Evaluación.

Es poco probable realizar una evaluación detallada de cada consumidor en lo que al

tema de armónicas se refiere. En general, tales evaluaciones se restringen a instalaciones

existentes o por construir, que incluyen equipos de características no-lineales. Luego,

resulta útil establecer ciertas reglas para una etapa inicial de evaluación en la cual no se

requieran mediciones o cálculos en detalle. Un procedimiento de dos etapas para la

evaluación de contaminación armónica es ilustrado en la Figura 6-2.


Figura 6-2. Procedimiento general para la evaluación de límites de Armónicas (Fuente: [17]).


Para el caso de una instalación industrial, el procedimiento puede resumirse así:

Paso 1/6: Escoger el PCC.

La mayoría de las instalaciones industriales son alimentadas por uno o más

transformadores reductores exclusivos. Luego, el PCC debería estar en el lado de alta de los

transformadores si se considera la posibilidad de otros usuarios finales adicionales del

servicio eléctrico. No obstante, las mediciones de la Carga no lineal pueden realizarse del

lado de baja tensión y posteriormente referirse al lado de alta teniendo presente el efecto de

la conexión de transformadores sobre las armónicas de secuencia homopolar [17]. Por

ejemplo, un transformador ∆-Υ confinará dichas componentes al circuito del lado de alta.

Paso 2/6: Caracterizar las HGL.

A pesar que ya se han presentado las características de las HGL más comunes (vea las

secciones 4.4 y 4.5), los efectos combinados de múltiples Cargas pueden ser difíciles de

determinar sin mediciones.

Paso 3/6: Determinar la necesidad de corrección del factor de potencia.

Lo relativo al control de armónicas debe ser considerado como parte de la aplicación

del equipo para la corrección del factor de potencia, independientemente de sí la instalación

incluye o no HGL significativas. De requerirse la conexión de condensadores, tanto la

posible absorción de armónicas de tensión desde el sistema de suministro como las

resonancias que amplificarían las armónicas de corriente desde la instalación industrial,

deberían ser consideradas.

Paso 4/6: Calcular las armónicas de corriente esperadas en el PCC.

Los límites establecidos para las armónicas de corriente en el PCC pueden evaluarse

usando suposiciones acerca de las características de las HGL y la respuesta del sistema.


Paso 5/6: Diseñar el equipo de control de armónicas, si es necesario.

El equipo de control de armónicas usualmente estará coordinado con las necesidades

de corrección de factor de potencia de la instalación industrial. En los casos que justifiquen

filtros de armónicas pequeños, los de tipo activos pueden resultar los más económicos para

evitar la probabilidad de sobrecarga debida a la distorsión de tensión en el sistema de

suministro.

Paso 6/6: Verificar el diseño con mediciones.

El período de tiempo seleccionado debería caracterizar adecuadamente el tiempo de

variación y las características estáticas de los niveles de armónicas.

6.2.2.2. Lineamientos para Clientes Individuales.

El límite principal de los clientes individuales es la cantidad de armónicas de

corriente que ellos pueden inyectar en la red eléctrica. Los límites de corriente se basan en

el tamaño del consumidor con respecto al Sistema Eléctrico de Distribución. Los clientes

más grandes se restringen más que los pequeños. El tamaño relativo de la Carga con

respecto a la fuente se define como la relación de cortocircuito SCR (Short Circuit Ratio),

en el PCC. El tamaño del consumidor es definido por la corriente total de frecuencia

fundamental en la Carga, IL, que incluye todas las características: lineal y no lineal. El

tamaño del sistema de suministro es definido por el nivel de la corriente de cortocircuito

ISC, en el PCC. Estas dos corrientes definen la SCR:

L

SC

IISCR =

Una relación alta significa que la Carga es relativamente pequeña y que los límites

aplicables no serán tan estrictos como los que corresponden cuando la relación es más baja.


Esto se observa en la Tabla 6-6, donde se recomiendan los niveles máximos de distorsión

armónica en función del valor de SCR y el orden de la armónica. La tabla también

identifica niveles totales de distorsión armónica. Todos los valores de distorsión de

corriente se dan con base en la máxima corriente de Carga (demanda). La distorsión total

está en términos de la Distorsión Total de la Demanda (TDD, Total Demand Distortion) en

vez del Factor THD.

Tabla 6-6. IEEE 519 Límites en la Distorsión de la Corriente en el ámbito de Distribución y Subtransmisión.

Rango ISC/IL n<11 11≤n<17 17≤n<23 23≤n<35 35≤n %TDD

<20* 4.0 2.0 1.5 0.6 0.3 5.0

20<50 7.0 3.5 2.5 1.0 0.5 8.0

50<100 10.0 4.5 4.0 1.5 0.7 12.0

100<1000 12.0 5.5 5.0 2.0 1.0 15.0

.12

≤ U

≤ 6

9 [k

V]

>1000 15.0 7.0 6.0 2.5 1.4 20.0

<20* 2.0 1.0 0.75 0.3 0.15 2.5

20<50 3.5 1.75 1.25 0.5 0.25 4.0

50<100 5.0 2.25 2.0 0.75 0.35 6.0

100<1000 6.0 2.75 2.5 1.0 0.5 7.5

69 ≤

U ≤

161

[kV

]

>1000 7.5 3.5 3.0 1.25 0.7 10.0 Las armónicas pares se limitan al 25% de los límites de las armónicas impares mostrados anteriormente. * Todo equipo de generación se limita a estos valores independientemente del valor de Isc/IL que presente. Si HGL es un rectificador de p pulsos, los límites pertinentes deben multiplicarse por 6p . Para condiciones con duración superior a una hora. Para períodos más cortos el límite aumenta un 50%

Debe destacarse que IL se calcula como el promedio de las demandas máximas de los

12 meses previos o puede estimarse. La información necesaria para este cálculo

comúnmente no está disponible (particularmente en el caso de nuevos consumidores). En

estos casos, algunas estimaciones de la demanda máxima deben ser usadas sobre la base de

Perfiles de Carga pronosticados.


La Tabla 6-6 muestra límites de corriente para armónicas individuales y para la

distorsión total. Por ejemplo, un consumidor en baja tensión con un SCR entre 50 y 100

tiene un límite recomendado de 12.0% para TDD, mientras que para armónicas impares

individuales de ordenes menores a 11, el límite es del 10%. Note que las armónicas

individuales de las corrientes no se suman directamente; de otro modo, cuando las

armónicas características quedan en su límite máximo individual se excede el TDD.

Vale destacar que la Tabla 6-6 muestra únicamente los límites para armónicas

impares. No obstante, la norma IEEE 519 restringe las armónicas pares al 25% de los

límites establecidos para los rangos impares. La armónica par es el resultado de una onda

de corriente asimétrica (con forma diferente entre las partes positiva y negativa), que puede

contener componentes CD causantes de la saturación de los núcleos en máquinas eléctricas.

Para equipos de generación, la norma IEEE 519 no discrimina en el tamaño. Los

límites son más estrictos dado que la inyección de armónicas debe ser la menor posible.

6.2.2.3. Los Límites de Duración.

Los límites de distorsión especificados por IEEE 519 son para condiciones “estables”

que duran períodos mayores de hora. Para períodos más cortos, durante arranques o

condiciones inusitadas, los límites pueden ser excedidos hasta un 50%. Algún equipo, por

ejemplo, una fuente de alimentación estática puede ser sensible a la distorsión armónica de

corta duración; pero la mayoría de las perturbaciones tales como interferencias telefónicas,

en transformadores y el calentamiento de motores, son exclusivas de las armónicas de larga

duración o repetitivas.


6.2.2.4. Consideraciones para la Medición de Armónicas.

Es claro que los límites de armónicas deben evaluarse en el PCC; no obstante, las

mediciones en otros puntos a lo largo de la instalación pueden contribuir a una evaluación

más completa en materia de contaminación armónica. De hecho, la medición de circuitos

ramales individuales puede ayudar a ilustrar la auto-cancelación debida a la inyección de

armónicas desde múltiples Cargas no-lineales dentro de la instalación.

Para muchos clientes, el PCC estará del lado de alta de algún transformador reductor

pero sería más conveniente realizar las mediciones de corriente en el lado de baja del

mismo aprovechando los CT’s existentes; sin embargo, tales medidas pueden resultar poco

prácticas para caracterizar la distorsión de tensión en el ámbito primario.

El concepto más importante para recordar cuando se están haciendo mediciones es

que los límites de corrientes armónicas son expresados en porcentaje de un valor de

corriente establecido (IL). Esto significa que los límites de corriente dependen de una

medición en amperios tanto para cada armónica como para la TDD: las mediciones no

deben obtenerse en tanto por ciento de la fundamental, dado que ésta cambia con las

variaciones de la Carga y los resultados finales para la comparación pueden ser confusos.

6.2.2.5. Los Lineamientos para las Distribuidoras de Electricidad.

El segundo conjunto de criterios establecido por IEEE 519 se refiere a los límites de

distorsión de la tensión. Estos rigen la cantidad de distorsión aceptable en la tensión que

entrega la Distribuidora en el PCC de un consumidor. Los límites de armónicas de tensión

recomendados se basan en niveles lo suficientemente pequeños como para garantizar que el

equipo de los suscriptores opere satisfactoriamente. La tensión de barra en el PCC, hasta


69 kV, para condiciones con más de una hora de duración tendrá valores límites

( ) 3% =′punU y 5% =THD ; períodos más cortos aumentan su límite en un 50%.

Tabla 6-7. Límites de distorsión de tensión de Distribución y Subtransmisión según IEEE 519-1992.

Voltaje de barra en el punto de acoplamiento común

Distorsión Individual de tensión (%)

Distorsión Armónica Total de la tensión (%)

Hasta 69 kV 3.0 5.0

De 69 kV a 137.9 kV 1.5 2.5

Como es común, los límites se imponen sobre componentes individuales y sobre la

distorsión total para la combinación de todas las tensiones armónicas (THD). Observe que

los límites decrecen cuando la tensión aumenta.

Nuevamente los límites corresponden a armónicas impares. La generación de

armónicas pares se restringe más debido a que la componente de CD puede ocasionar

saturación en motores y transformadores. Las corrientes de secuencia inversa pueden

ocasionar calentamiento en generadores. Las armónicas pares individuales se limitan a un

25% de los límites de armónicas impares, al igual que sucede con las corrientes.

Es muy común que los alimentadores de las Compañías de Electricidad alimenten a

más de un consumidor. Los límites de distorsión de tensión mostrados en la tabla no

deberían excederse mientras todos los consumidores conectados no superen los límites de

inyección de corriente. Cualquier consumidor que degrade la tensión en el PCC deberá

corregir tal situación. Sin embargo, el problema de la distorsión de tensión es común entre

consumidores y Distribuidora. Los consumidores muy grandes deben convenir con esta

última la resolución de problemas específicos en forma conjunta.


6.2.2.6. Las Directivas al Fabricante.

La norma IEEE 519 no contiene ninguna directiva para la tensión en un cliente a la

salida o en barra de tensión. La misma aplica únicamente a la conexión entre un cliente y la

Distribuidora. La distorsión armónica puede aumentar aguas abajo del PCC. Por lo tanto, el

fabricante no tiene lineamientos reales con respecto a la distorsión armónica máxima en la

tensión a la cual un equipo puede someterse.

6.2.3. PARPADEO DE TENSIÓN (FLICKER)

Los lineamientos para el parpadeo de tensión ocasionado por consumidores

individuales se dan también en IEEE 519. La Figura 6-3 ofrece una guía para determinar el

grado de susceptibilidad del problema.

Figura 6-3. Máximas fluctuaciones de tensión permisibles (Fuente: [25]).


6.2.4. LA TENSIÓN MELLADA.

Muchos convertidores estáticos hacen ranuras grandes o mellan la tensión (Figura

6-4). Los lineamientos se dan según el cliente y la profundidad de la muesca, THD de

tensión y el área de la muesca (Tabla 6-8). Esto es aplicable en el PCC para sistemas de

baja tensión.

Figura 6-4. Tensión Mellada.

Tabla 6-8. Sistema de baja tensión: clasificación y límites de Distorsión (Fuente: [25]).

Aplicación Especial Sistema General Sistema Dedicado

%Profundidad de la mella 10 20 50

%THDU 3 5 10

Área de la mella 16400 22800 36500

Aplicación especial: hospital o aeropuerto. Sistema dedicado: exclusivo para carga convertidora.

Nota: El valor eficaz de la onda completa sería de 480 V; para otro nivel de tensión U, el área de la mella debería de multiplicarse por ( )480

U .


6.2.5. EL CALENTAMIENTO DEL TRANSFORMADOR.

Los límites de distorsión dados arriba son permitidos con tal que el transformador

utilizado por el usuario no se someta a armónicas que sobrepasen el 5% de la corriente

nominal del transformador como lo establece ANSI/IEEE C57.12.00 - 1980.

6.2.6. INTERFERENCIA TELEFÓNICA.

El ruido de teléfono originado por tensiones y corrientes armónicas de los Sistemas

de Potencia se denomina generalmente Factor de Influencia Telefónica (TIF, Telephone

Influence Factor). El sistema reconoce que el ruido inducido por las armónicas de corriente

o tensiones tiene un efecto subjetivo sobre el usuario del teléfono. Esto se debe a que el

oído humano es más susceptible a unas frecuencias que a otras.

Figura 6-5. Campos magnéticos ocasionando tensiones inducidas en circuitos telefónicos cercanos (Fuente: [19]).

La Figura 6-6 muestra los factores TIF’s según IEEE 519. El TIF en la curva es una

medida de la sensibilidad del sistema telefónico y el oído humano al ruido a diversas

frecuencias discretas.


El factor TIF de 60 Hz está cercano a cero, indicando que los circuitos telefónicos y

el oído son insensibles a esa frecuencia; aún para las armónicas más comunes, tales como la

5ª o 7ª, el factor TIF es todavía despreciable. El TIF tiene su peso máximo sobre los 2600

Hz, con valores de 10600 a esta frecuencia.

Figura 6-6. Peso del TIF vs. Frecuencia (Fuente: [19]).

La influencia telefónica es frecuentemente expresada como el producto:

( )∑=

⋅=⋅max

1

2

n

n

nn WITI ,

donde nI es el valor eficaz de la nª armónica presente en el Sistema Eléctrico de

Distribución; n es el orden de la armónica y nW es el peso del TIF para ese orden.

La norma IEEE 519 especifica tres de niveles de probabilidad de interferencia como

muestra la Tabla 6-9. Estas aplican siempre que un circuito de teléfono tenga exposición

considerable a los conductores de potencia.


Tabla 6-9. Niveles de probabilidad de interferencia telefónica (Fuente [25]).

Categoría Descripción I⋅T

I Rara vez causa interferencia ≤ 10000

II Puede causar interferencia 10000 - 25000

III Causará interferencia > 25000

6.3. COMPARACIÓN ENTRE LA NORMA EUROPEA Y LA

NORMA AMERICANA.

El área de influencia de las normas para armónicas IEC e IEEE es resumida en la

Tabla 6-10. La IEC 61000-3-2 establece los límites para equipos de pequeños

consumidores (< 16 A), y su énfasis es sobre “público”, “baja tensión” y “residencia”. La

IEC 61000-3-4 aborda el caso de equipos grandes (> 16 A), con límites tanto para el equipo

como para la acometida. Por su parte la norma IEEE 519 cubre la responsabilidad en

clientes comerciales e industriales grandes, tanto para armónicas de tensión como para las

de corriente.

Tabla 6-10. Prontuario de las áreas de influencia de las normas IEEE 519 e IEC 61000-3-2/4 (Fuente: [16]).

Pequeños consumidores

Grandes consumidores Normas para la restricción de

armónicas Cargas / Cableado Acometida Cargas /

Cableado Acometida

Sistema de

Potencia público

I IEEE 519 U I IEC 61000-3-2 U I IEC 61000-3-4 U


En contraste con la norma IEC, la IEEE no protege las instalaciones de los pequeños

consumidores. Así, tácitamente, la IEEE deja la responsabilidad de los efectos de las

armónicas en pequeños sistemas de suministros en baja tensión a los fabricantes de equipos.

En el caso de los grandes clientes y sistemas públicos, la responsabilidad de no producir

contaminación armónica es compartida: los clientes deben limitar los niveles de distorsión

de corriente, y las Distribuidoras de electricidad limitar la distorsión de tensión.

EEPPÍÍLLOOGGOO

Para hacer un texto de Sistemas de Distribución se debe estar en la disposición de

transitar y no dejarse seducir por el escabroso terreno de lo empírico. Algunos sectores

mitificando “la experiencia práctica” han menospreciado el valor de una formación teórica

firme, bajo el supuesto de que la “práctica” avanza sin más lógica que el éxito comercial.

Tradicionalmente la materia de Caracterización de la Carga no ha sido excepción de

lo anterior. No obstante, como ya se dijo, tal problema exige del ingeniero de planeación de

Distribución arte y ciencia: la subordinación a usar “cajas negras” en el análisis o a la

existencia de una elite de “ingenieros para pensar” es inadmisible. Cualquiera sea el

proyecto planeado, es inconcebible sin antes lograr una adecuada y particular

Caracterización de la Carga.

Si bien el estudio de Cargas para Sistemas de Potencia en ambientes sinusoidales

consiste en la determinación de la tensión, intensidad, potencia y factor de potencia o

potencia reactiva en varios puntos de la red, utilizando modelos matemáticos tradicionales,

para ambientes no-sinusoidales tales modelos necesitan ser extendidos.

Por ejemplo, ahora puede afirmarse que en un sistema de alimentación sinusoidal Y

de cuatro hilos, equilibrado y con Carga uniformemente distribuida entre fase y neutro, la

intensidad de la corriente por este último es nula si y sólo si la Carga es lineal (vea la

sección 5.1.2). En consecuencia, cuando procede un trabajo de balanceo del tipo descrito en

Epílogo. 154

la sección 3.2.2, hay que agregar la premisa: cargas no-lineales despreciables.

Naturalmente, esto se traduce en un error difícil de cuantificar, más cuando se recuerda que

el procedimiento establecido interpreta a los transformadores como las cargas conectadas a

cada fase del circuito de distribución (cargas concentradas).

En ese mismo orden de ideas, lo expuesto en los Capítulos 1 y 2, la nota al pie de la

página 113 y lo señalado en las secciones 5.3.2, 6.2.2.3 y 6.2.2.4 da lugar a las siguientes

preguntas relativas a la medición de potencia: medir ¿qué?, ¿cómo?, ¿cuándo?, ¿dónde? y

¿cuánto tiempo? Además, ¿qué consideraciones extras deben hacerse para lograr una

adecuada compensación reactiva en ambientes no-sinusoidales?, o también, ¿qué

procedimiento seguir para un diseño adecuado de filtros para la supresión o atenuación de

armónicas en una instalación que además atiende un buen número de cargas inductivas?

Los dos párrafos anteriores son la mejor demostración de como un trabajo de

investigación para Ascenso puede sedimentar los conocimientos que serán utilizados más

adelante para nuevos desarrollos y líneas de investigación que enriquezcan la producción

intelectual del Departamento al cual se está adscrito. De este modo, aunque cubierto el

problema Caracterización de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución, la utilidad de

esta obra se proyecta más allá de sus límites estrictos.

BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFÍÍAA

LIBROS Y FOLLETOS:

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[24] IEC 61000-2-2: “Compatibility levels for low frequency conducted disturbances and

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[25] IEEE-519: “IEEE Recommended Practices and Requirements for Harmonic Control

in Electric Power Systems”, The Institute of Electrical and Electronics Engineers, 1992.

[26] UL 1561: “Dry-Type General Purpose and Power Transformers”. Underwriter’s

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Caracterización de La Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución - José Espina