CARACTERÍSTICA CONJUGADO x ROTAÇÃO DA MÁQUINA ASSÍNCRONA

José Roberto Cardoso

Circuito equivalente da Máquina Assíncrona Como apresentado anteriormente, o circuito equivalente modificado da máquina assíncrona é dado por:

A potência dissipada na resistência 2' (1 ) /r s s corresponde a

potência mecânica desenvolvida, isto é:

' 2

2 2

(1 )'des

sP m r I

s

Esta é a potência que é convertida de elétrica em mecânica. Associada a esta potência temos o “Conjugado Desenvolvido”, que se relaciona com a “Potência Mecânica Desenvolvida” através da expressão:

des des rP C

Na qual 2r n é a velocidade angular do rotor em rad/s.

Lembrando que:

2 n A partir da definição de escorregamento:

s

s

n ns

n

Podemos escrever:

(1 ) sn s n

De modo que o “Conjugado Desenvolvido” resultará igual a:

' 2

2 2

(1 )'

2 (1 )

desdes

r s

sm r I

P sCs n

Ou ainda: '

222

1'des

s

rC m I

s (1)

Na qual;

2 ( / )s sn rad s

A expressão (1) pode ser reescrita como segue:

12des

s

PC

Onde P12 é a “Potência Transferida ao Rotor”. Para facilitar o desenvolvimento, vamos representar o estator através do Thevenin Equivalente, com mostra o circuito a seguir:

Thevenin equivalente do estator

A tensão de Thevenin (Vth) é a tensão nos terminais A e B do circuito equivalente em aberto, que resulta:

12 2

1 1( )

mth

m

XV V

r X x

(2)

A impedância de Thevenin (Zth), por sua vez é a impedância “vista” por A-B com a fonte em curto-circuito, que resulta:

1 1

1 1

( )

( )

mth th th

m

jX r jxZ R jX

r j X x

Com:

[ ]th e thR R Z : Resistência de Thevenin

[ ]th m thX I Z : Reatância de Thevenin

Assim sendo, podemos escrever:

'

2'

2 ' 222( ) ( )

th

th th

VI

rR X x

s

De modo que, a partir de (1), se obtém o “Conjugado Desenvolvido”:

2'

2

'2 ' 22

2

1

( ) ( )

thdes

sth th

VrC m

rsR X x

s

(3)

O aspecto geral do gráfico desta função é do tipo:

Característica Conjugado x Rotação

Podemos dividir este gráfico em três regiões: Região I – 0<n<ns: Neste caso o escorregamento está na faixa de 0 (n=ns) e 1 (n=0) e corresponde a operação como motor, pois o conjugado desenvolvido está no mesmo sentido da rotação do rotor. Região II – n>ns: Nesta condição, na qual s<0, o conjugado desenvolvido é negativo, portanto em sentido contrário à rotação do rotor. Esta é a típica condição de operação como Gerador, na

qual a máquina síncrona acionada por um agente externo (motor diesel, turbina eólica, etc.) converte a potência mecânica introduzida no eixo em potência elétrica disponibilizada para a rede elétrica. Região III – n<0: Nesta condição, para a qual s>1, a máquina síncrona está desenvolvendo conjugado positivo em sentido contrário à rotação. Trata-se da operação como Freio, na qual são introduzidas potência elétrica e potência mecânica, as quais são dissipadas em calor. Este tipo de operação é observado quando um motor está funcionando em determinado sentido e, através de uma troca de fases, o campo girante é invertido e começa a frear o sistema girante. A condição de operação como motor é a mais frequente na máquina assíncrona, razão pela qual vamos dedicar mais tempo em sua análise.

Conjugado x Rotação – Operação como motor

A figura anterior destaca a Região I da característica “Conjugado x Rotação” da máquina assíncrona. Este trecho apresenta três pontos característicos, são eles: Ponto A: É o ponto da característica “Conjugado x Rotação” correspondente a rotação nula (n=0), ou seja, é o conjugado disponibilizado pelo motor por ocasião da partida, também denominado “Conjugado de Partida”. De (3) obtemos o valor de Conjugado de Partida impondo s=1, resultando:

' 2

2

' 2 ' 2

2 2

1

( ) ( )

thp

s th th

m r VC

R r X x

(4)

Ponto B: Trata-se do ponto correspondente ao Conjugado Máximo, isto é, corresponde ao máximo conjugado que o motor pode desenvolver. Para determina-lo, basta impormos:

0desdC

ds

Como o conjugado desenvolvido é diretamente proporcional a potência transferida para o rotor (P12), a qual é a potência

dissipada na resistência fictícia '

/2r s , podemos aplicar o

princípio do casamento de impedâncias. Neste princípio, a máxima potência dissipada na carga ocorre quando sua impedância é igual a impedância interna do gerador, de modo que podemos afirmar que quando o conjugado é igual ao Conjugado Máximo deve ocorrer:

'2 ' 22

2( )th th

c

rR X x

s

Na qual (sc) corresponde ao escorregamento para o qual ocorre o Conjugado Máximo. Assim sendo, podemos escrever:

'

2

2 ' 2

2( )c

th th

rs

R X x

(5)

Substituindo este valor em (3), obtém-se:

2 2

2

max2 2 2 2

1

( )

th

th

s th th

m R XC V

R R X X

(6)

Na qual: '

2thX X x

Note que maxC independe de

'

2r , isto é, não depende da

resistência rotórica!!! É interessante observar que apesar do conjugado máximo não ser afetado pela resistência do rotor, a forma da característica conjugado x rotação é afetada de sobremaneira. Para o entendimento desta influência, vamos supor que um reostato trifásico é conectado nos terminais do motor de indução de anéis, como mostra a figura.

Reostato em série com o enrolamento do rotor

Com o reostato em curto-circuito (R=0), a característica conjugado x rotação é a característica normal apresentada pelo motor.

Efeito da resistência rotórica na característica conjugado x rotação

Inserindo uma resistência de valor (R1) em série com o rotor, de (6) observa-se que o escorregamento para o qual ocorre o conjugado máximo aumenta, ou seja, o máximo da função desloca-se para a

esquerda, como mostrado na figura. Aumentando-se o valor do resistor mais ainda, este deslocamento se acentua. Podemos imaginar uma condição em que o resistor inserido leve o Conjugado Máximo ocorrer na partida, isto é, em sc=1, que resultará:

' ' 2 ' 2

2 2( )r th thr R R X x

Na qual R’r corresponde a resistência do reostato “refletida” ao estator, isto é:

2

1'

2

ef

r r

ef

NR R

N

Retomando o exercício anterior, cujos dados do motor são: 6,5-hp, 220-V, 60-Hz, trifásico, ligação estrela, 6-polos, rotação a plena carga de 1170-rpm, com os seguintes parâmetros do circuito equivalente: r1=0,294-x1=0,503-Xm=13,25-r’2=0,144-x’2=0,209As perdas rotacionais a 410-W. Vamos determinar:

a. O conjugado de partida deste motor:

Solução Para calcular o Conjugado de Partida precisamos do Thevenin equivalente do estator, de modo que:

2 2

13,25 127122( )

(0,294) (13,25 0,503)thV V

13,25 (0,294 0,503)

0,294 (13,25 0,503)th

j jZ

j

Que resulta;

0,27 0,49( )th th thZ R jX j

Lembrando que:

' 2

2

' 2 ' 2

2 2

1

( ) ( )

thp

s th th

m r VC

R r X x

Podemos escrever: 2

2 2

1 3 0,294 (122)

2 20 (0,27 0,294) (0,49 0,209)pC

Ou ainda:

129( . )pC N m

Vamos comparar este resultado com o Conjugado Nominal do motor;

6,5 746 41043( . )

2 1170 / 60

nom rotdesnom

r

P PC N m

De modo que:

1293

43

p

desnom

C

C

Esta relação se enquadra em um motor de indução de Categoria D, como veremos em breve.

b. O Conjugado Máximo e o escorregamento para o qual em que ele ocorre.

Escorregamento para o Conjugado Máximo '

2

2 ' 2

2( )c

th th

rs

R X x

2 2

0,2940,39

(0,27) (0,49 0,209)cs

Lembrando que:

2 2

2

max2 2 2 2

1

( )

th

th

s th th

m R XC V

R R X X

Resulta:

2 2

2

max2 2 2 2

3 (0,27) (0,7)1(122)

40 (0,27 (0,27) (0,7) ) (0,7)C

Ou ainda:

max 174( . )C N m

Note que:

max 1744

43desnom

C

C

c. Calcule o valor da resistência de um resistor trifásico a ser colocado em série com o rotor de modo a ser o Conjugado de Partida igual ao Conjugado máximo, Sabendo-se que a relação de transformação é igual a 1,25. Solução: Para tal devemos ter:

' ' 2 ' 2

2 2( )r th thr R R X x

Ou seja:

' 2 20,294 (0,27) (0,7)rR

Que resulta:

' 0,46( )rR

Lembrando que: 2

1'

2

ef

r r

ef

NR R

N

Obtém-se;

2

0,46 1,25 0,3( )r rR R

CARACTERÍSTICA CORRENTE x ROTAÇÃO DA MÁQUINA ASSÍNCRONA

No desenvolvimento para o cálculo do Conjugado Desenvolvido, calculamos, através da aplicação do Teorema de Thevenin, a corrente rotórica refletida ao estator, a qual resultou:

'

2'

2 ' 222( ) ( )

th

th th

VI

rR X x

s

Voltando ao circuito original do motor de indução da figura:

Identificamos que:

'

2 12 2

1 1( ) ( )

m

m

XI I

r X x

De modo que:

2 2

1 1 '

1 2

( ) ( )m

m

r X xI I

X

Substituindo I’2 pelo seu valor resulta:

2 2

1 1

1'

2 ' 222

( ) ( )

( ) ( )

m

th

m th th

r X xI V

rX R X x

s

O aspecto geral da característica corrente x rotação está mostrado na figura que se segue. Nela identificamos os seguintes pontos: Inom: Corrente Nominal. Corrente requerida pelo motor quando operando nas condições nominais de potência e tensão nominais. I0: corrente em vazio. Esta é a corrente do motor sem carga no eixo, para a qual a rotação é muito próxima da rotação síncrona. A corrente em vazio é da orde de (30 a 40)% da corrente nominal. Ip: Corrente de Partida: Corrente requerida pelo motor quando conectado à rede para acionar uma carga. Esta corrente independe da carga. A corrente de partida é da ordem de (5 a 6) vezes a corrente nominal.

Característica Corrente x Rotação

Nos motores de indução de rotor bobinado, a possibilidade de inserção de resistências no rotor possibilita controlar a corrente de partida. A figura a seguir mostra o caso de um resistor de partida constituído por dois elementos resistivos. Tais elementos são dimensionados ao se estabelecer valores máximos e mínimos da corrente, de modo que a medida que os elementos são retirados , a corrente da armadura varia do valor mínimo para o valor máximo, como está ilustrado

Por fim, a figura a seguir pretende mostrar como ocorre o processo de aceleração de uma carga. A curva característica conjugado x rotação do motor de indução é evidente. A curva inferior é a característica conjugado resistente x rotação da carga a ser acionada, Na partida o motor oferece o conjugado de partida Cp e a carga exige um conjugado inferior para sair da inércia. A diferença entre eles é o conjugado de aceleração. Enquanto este conjugado for positivo a rotação aumentará, até se estabilizar no ponto em que o conjugado motor é igual ao conjugado resistente. Neste ponto o conjugado de aceleração é nulo.

Processo de aceleração