Caractérisation garantie d’un dispositif de mesure de

Caractérisation garantie d’un dispositifde mesure de grandeurs thermiques

I. Braems* — N. Ramdani** — M. Kieffer * — E. Walter*

* L2S, CNRS-Supélec-Université Paris-Sud, 3 rue Joliot-Curie, 91192 Gif-sur-Yvette

{braems, kieffer, walter}@lss.supelec.fr

** CERTES, Université Paris 12-Val-de-Marne, 61 avenue du Général de Gaulle,94010 Créteil

[email protected]

RÉSUMÉ.Pour étalonner un dispositif de mesure thermique développérécemment, il est proposéde réaliser l’identification des paramètres thermo-physiques d’un échantillon de matériau àpartir des données expérimentales recueillies sur ce dispositif. La prise en compte des erreursde mesure et de modèle aboutit à une description de l’erreur de sortie par une grandeur incer-taine bornée. L’estimée recherchée est alors l’ensemble des valeurs du vecteur des paramètrescompatibles avec les données expérimentales. D’abord noussupposons le dispositif de mesuremodélisé à l’aide de grandeurs parfaitement connues. L’identification est alors un problèmed’inversion ensembliste. Nous montrons ensuite que la prise en compte des incertitudes liéesau dispositif de mesure est un problème de projection d’ensembles. Dans ces deux cas, nousdisposons d’algorithmes garantis pour caractériser ces ensembles. Les résultats sont détailléset comparés à ceux d’une estimation statistique plus classique. Des améliorations du dispositiffondées sur ces résultats sont également proposées.

ABSTRACT.To calibrate a thermal device recently developed, it is proposed to identify the thermo-physical parameters of a material sample from the data collected on this device. Taking intoaccount the measurement and model errors leads to modeling the output error as an uncer-tain but bounded quantity. The set of all the parameter vectors deemed consistent with theexperimental data must then be characterized. First we assume that the set-up is modeled withquantities that are perfectly known. Identifying the sample parameters is then a set-inversionproblem. Then we show that taking into account the uncertainties associated with the devicemodel is a set-projection problem. In both cases, guaranteed algorithms are available to char-acterize these sets. The results are detailed and compared to those provided by a more classicalstatistical approach. These techniques suggest possible improvements of the device.

MOTS-CLÉS :Caractérisation, estimation de paramètres, identification, incertitudes, thermique

KEYWORDS:Characterization, identification, parameter estimation,thermal sciences, uncer-tainty

e soumission àJournal Européen des systèmes automatisés, le 11 septembre 2003.

2e soumission àJournal Européen des systèmes automatisés.

1. Introduction : mesure indirecte

Deux situations peuvent motiver le recours à l’estimation de paramètres. Soit oncherche uniquement à décrire le comportement d’un système physique à l’aide d’unmodèle dont les paramètres ne sont que des degrés de libertés. Soit, comme c’est lecas ici, ces paramètres sont dotés d’un sens physique, mais restent inaccessibles à lamesure directe, et l’objectif visé est de leur attribuer unevaleur numérique. Commepour toute mesure, le résultat d’une mesure indirecte est entaché d’incertitude. Maisen plus des incertitudes de mesure liées aux données recueillies sur le système, l’ex-périmentateur doit prendre en compte l’erreur de modèle, très difficile à caractériser,et les erreurs numériques liées au traitement de ces données. A partir d’hypothèsesde travail sur la nature de ces incertitudes, l’expérimentateur va établir un critère dechoix des valeurs de paramètres. Il est souvent pratique de se doter d’un critère denature probabiliste (maximum de vraisemblance. . .). Les paramètres ainsi que l’erreurde sortie sont alors modélisés par des grandeurs aléatoires, auxquelles on attribue descaractéristiques probabilistes. A l’aide de ces hypothèses, l’estimée au sens du critères’exprime comme la valeur des arguments d’une fonction coûtà l’optimum. Le succèsde cette démarche est cependant limité par plusieurs facteurs.

D’une part, il peut s’avérer difficile de justifier la modélisation probabiliste del’erreur de sortie : il faudrait pour cela pouvoir répéter à de nombreuses reprises l’ex-périence dans les mêmes conditions expérimentales, ce qui semble rédhibitoire pourdes expériences longues ou coûteuses. Certaines expériences ne sont d’ailleurs pasreproductibles (voir par exemple [BRA 01]).

D’autre part, les algorithmes d’optimisation sont généralement de nature ponc-tuelle, et donc incomplets.Si certains visent à fournir un optimiseur global (algo-rithmes génétiques par exemple), d’autres se contentent defournir -au mieux- un opti-miseur de la fonction coût, qui peut n’être que local, et peuvent ignorer d’autres opti-miseurs globaux. Quel crédit accorder alors à cette estiméeet à la région de confianceassociée ?

Enfin, l’estimateur doit tenir compte des erreurs et incertitudes numériques duesau calculateur : beaucoup d’algorithmes d’optimisation itératifs restent piégés dansdes points qui ne sont même pas des optimiseurs locaux.

L’objectif de cet article est de mettre en évidence l’importance de ces problèmesdans le cas d’une application réelle. Le CERTES a développé un dispositif de mesureindirecte de la conductivité et de la diffusivité d’un matériau, et souhaite caractériserses performances en déterminant l’incertitude associée à l’estimation des propriétésd’un échantillon test. Nous montrons comment des techniques ensemblistes garantiespermettent de caractériser ce dispositif de façon fiable en évitant les écueils cités pré-cédemment. La partie 2 présente le dispositif de mesure et les résultats obtenus dansun cadre probabiliste. L’identification ensembliste en contexte à erreurs bornées estintroduite dans la partie 3 et les estimateurs ensemblistesgarantissontprésentés dansla partie 4.La partie 5 présente les résultats obtenus, d’abord lorsqueles paramètres

Caractérisation garantie en thermique 3

liés au dispositif de mesure sont parfaitement connus, et ensuite lorsque l’on prend encompte leur incertitude.

2. Contexte

Le développement de méthodes de mesure simultanée de paramètres physiquesd’un matériau est un problème très actuel des sciences thermiques [GER 00]. LeCERTES a développé un dispositif expérimental fondé sur uneméthode dite “pério-dique” qui permet la mesure simultanée de la conductivité

�et de la diffusivité� d’un

échantillon [TAN 98].

2.1. Dispositif de mesure

Le matériau à l’étude, ici du PVC, est intercalé entre deux autres matériaux à l’aided’une colle de très grande conductivité (voir la figure 1). Laface avant du dispositif,en contact thermique avec la source de chaleur périodique, est constituée de laiton.La face arrière, en cuivre, est en contact thermique avec l’air à température ambiante.Des écrans thermiques disposés sur les côtés permettent de réduire les pertes latérales.La source de chaleur délivre un signal multiharmonique de transformée de Fourier�� , où les fréquences d’excitation

� valent� ��, � ��, � ��, � �� et�� mHz.

Trente essais ont été réalisés, ce qui constitue un compromis entre la durée totale demesure (chaque essai durant 85mn) et la représentativité dela mesure. Pendant chacunde ces essais, les températures des faces avant�avant�� et arrière�arrière�� sont rele-vées à l’aide de thermocouples. Après amplification et échantillonnage à 100Hz, lessignaux recueillis sont filtrés par une porte de Hanning à 5Hzet sous-échantillonnésà 0.4Hz. Une transformée de Fourier fournit alors la réponseen fréquence de chaqueéchantillon�� arrière��avant�� (1)

Chaque valeur�� est donc une réalisation de la grandeur incertaine��. Soit � �� . La plage de variation de chaque grandeur�� calculée à partirde l’enveloppe des 30 échantillons relevés est un intervalle noté�� !!�" �� #.Nous noterons� le produit cartésien des intervalles��, $ � � �.2.2. Modèle

Le comportement thermique de chaque matériau est décrit parles équations clas-siques de diffusion thermique.En régime périodique, ces équations ont une solutionanalytique explicite dans le domaine de Laplace de variable% qui revient à modéliserchaque matériau par un quadripôle thermique&'�%� ayant pour entrée��'�%�()' �%��


et pour sortie��'*��%�()'*��%��, où �'�%� et )'�%� sont la température et le fluxthermique sur la face arrière du+ième quadripôle [LAG 99] [WAN 02] :, �'*� �%�)'*� �%� - � &'�%� , �' �%�)' �%� - (+ � � � (2)

avec &'�%� � . /012 345'%6 789:8; 1<=2 345'%69:8;78 1<=2 345'%6 /012 345'%6 > (3)?' et 5' sont respectivement la résistance thermique et le temps de Fourier du+ième

quadripôle, qui sont directement liés à la conductivité�' et à la diffusivité�' du

matériau par l’épaisseur@' de la couche?' A @'�' ( 5' A @�'�' Nous supposerons que l’inertie de la colle qui constitue lescouches 2 et 4 (voir lafigure 1) est négligeable. En notant

? � ?� � ?� , on obtient, �'*� �%�)'*� �%� - � , � ?� � - , �' �%�)' �%� - ( + � �(B On peut alors écrire,en notant�C�%� et)C�%� les transformées de Laplace de la tem-pérature de l’air ambiant et du flux thermique sur la face arrière du dispositif,, �avant�%�)

avant�%� - � �D'�� &'�%� , �C�%�)C�%� - (4)

Comme le thermocouple en sortie est distant de la face arrière, on introduit égalementun quadripôle faisant intervenir la position relativeE du thermocouple dans la couchede cuivre :, �arrière�%�)

arrière�%� - � . /012 3E45�%6 7F9:F; 1<=2 3E45�%69:F;7F 1<=2 3E45�%6 /012 3E45�%6 > , �C �%�)C �%� - (5)

Enfin, les phénomènes de convection avec l’air ambiant à la température�C �%� sontmodélisés par la relation)C �%� � G�C �%� en introduisant le coefficient d’échange gé-néraliséG, et nous ferons l’hypothèse communément admise que sa valeur est constante.De (4) et (5) nous pouvons déduire l’expression de la fonction de transfertH� de lachaîne de quadripôles à la fréquence

�H� � �arrière��avant��


5: cuivre

1: laiton

3: échantillon (PVC)2: colle

Ta

bloc Peltier

4: colle

Tavant

écrans radiatifs

thermocouples

xe5

Figure 1. Le dispositif de mesure et sa modélisation par une chaîne de quadripôles

2.3. Choix d’un critère

Alors que l’objectif de l’étude est d’identifier le vecteur de paramètresII � 3 ?� 45� 6 ( (6)

la fonction de transfertH� �J�du dispositif de mesure fait également intervenir d’autresgrandeurs, que nous appelleronsparamètres de nuisanceK � 3 ?� 45� ? ?� 45� E G 6 (7)

Comme leurs valeurs ont été obtenues à partir de tables ou de mesures expéri-mentales, ces grandeurs sont elles aussi entachées d’incertitudes. Le domaine de re-cherchea priori L de K est déterminé à partir des plages de valeurs trouvées dansla littérature. Le tableau 4 précise pour chaque composantede M� l’intervalle de re-

chercheL� � �L� (L� #, le centreN�L� � � OPQOP� de cet intervalle, et l’incertitude

relativeRS�L� � � OP*OPOPQOP . Afin d’explorer un espace de recherche suffisant, l’espace

de recherchea priori deI est élargi à partir de la plage des valeurs de la littérature àT � �� B(� �B�# U�� ( ��#. L’erreur de sortieV A �W�I(K� regroupe les erreurs$ M� L� N�L� � RS �L� �� ?��*�XY� [1.8,4]� Z� [\]� 45��XY� �� ( �# � �Z [^]� ?��*�SI) �� B( � �# � �� _`]B ?��*�SI) �� (B �# � � B]� 45��XY� �� Z(� ZB# � Z� �]� E �� (� �# � � _a]� G(W.m

*�.b*�) ��( ��# � � [[]Tableau 1. Incertitude associée à l’ensemble des grandeurs incertaines : hormis lecas du cuivre, relativement bien connu, l’incertitude associée aux paramètres de nui-sance atteint 40%

de mesure et l’erreur de modèle. Durant la première étude de ce dispositif [TAN 98],


l’erreur de sortieV a été modélisée par une grandeur aléatoire normale et centrée. Sices hypothèses probabilistes peuvent s’appliquer au cas des erreurs de mesure, il estbeaucoup moins facile de justifier le caractère aléatoire del’erreur de modèle. Celle-ciest en fait négligée. De plus, nous supposerons pour le moment que les paramètres denuisance prennent pour valeur le centreMc� � N�L� � de l’intervalle a prioriL� qui leura été attribué :Kc � d � ��*� �9�� ? "!"�"�ef �"9�� G g (Si les intervallesL� , $ � �(�(B( �(�, caractérisent une imprécision, en revanche, lesautres paramètres de nuisanceM� ( $ � �( � peuvent varier au cours de l’expérience,ou caractériser une incertitude structurelle. Leur attribuer une valeur constante estdonc une hypothèse forte. Dans l’étude citée précédemment [TAN 98], M� et Mh ontété arbitrairement fixés àMc� � ijkj � � et Mch � Lh, bien que l’épaisseur@� dela couche de colle soit strictement positive. Le vecteur de paramètres de nuisancerésultant estKc� � 3 � ��*� �l4�� l��Z ��l4��B � �� 6. Levecteur de paramètres obtenu par minimisation de la distance quadratiquem �I� ��"�� n�� W�I(Kc��n� sur les 30 mesures par un algorithme de minimisation localedu type Levenberg-Marquardt et sa région de confiance à

Z�] sontoI � �� B B��poI q �� ZZ(� ��Z# U �� ( �� # (8)

Les parties réelle et imaginaire deH� �oI(Kc�� pour$ variant de�

à�

sont représentéespar des (o) sur la figure 2a. La ligne continue représente le gabarit imposé par lesmesures�. Remarquons que

W�I(Kc�� lq �. Nous verrons plus loin que nous pouvonsprouver l’absence de solution.

Enfin, il est généralement conseillé d’effectuer une étude d’identifiabilité struc-turelle avant d’entamer une identification paramétrique. L’étude de l’identifiabilitéstructurelle d’un dispositif à deux couches a été réalisée dans [RAM 01]. En raisonde la complexité du modèle étudié, aucun résultat n’est disponible pour un nombrede couches supérieur. L’utilisation d’une approche ponctuelle est alors hautement ris-quée, puisque le vecteur peut être non globalement identifiable.En effet, il peut existerplusieurs valeurs différentes du vecteur de paramètres étendu r � �I(K� qui per-mettent de simuler des comportements entrée-sortie du modèle

W�I(K� identiques.L’emploi d’une approche ensembliste nous permettra de contourner cet écueil.

3. Estimation garantie en contexte à erreurs bornées

Ici l’erreur de sortieV est décrite par une grandeur incertaine de support bornéstelle que V q s � � � Nous dirons alors que le couple�I(K� est acceptables’il est compatible avec lesdonnées recueillies�, c’est-à-dire s’il satisfait la relationW�I(K� q � (9)


Im( )Hi

a0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

-0.15

-0.05

0.05

a0.04 0.08 0.12 0.16 0.2-0.03

-0.01

0.01

Re( )Hi

p1

S

p2

q

P

P

q*

Q

S

a) b)

Figure 2. a) Sortie du modèleH��oI(Kc�� (o) et gabarit imposé par les données inter-valles� (-) en fonction det � 4u ;b) Coupev dewpar le planK � Kc et projetéx

dewsurT

Un estimateur à erreurs bornées caractérise l’ensemblewde toutesles valeurs accep-tables du vecteur des paramètreswA y�I(K� q T UL zW�I(K� q �{ (10)

Il permet en particulier d’estimer le vecteur de paramètresmême lorsque la solutionn’est pas unique, par exemple parce que le vecteur de paramètres n’est pas identi-fiable (structurellement ou numériquement). L’étude d’identifiabilité peut donc ainsiêtre contournée.Alors qu’une détermination complète dew peut être fastidieuse sila dimension ou le volume dew sont élevés, la caractérisation d’un sous-ensemblecorrespondant au type d’informations disponibles est généralement suffisante. Nousdistinguons en particulier les deux cas suivants.

3.1. Inversion ensembliste

Nous supposerons ici que le vecteur des paramètres de nuisance prend une valeurconnueKc. Posons | } T ~ � �I �~ |�I� � W�I(Kc� L’ensemblev de toutes les valeurs du vecteur de paramètresI telles que le vecteurr � �I(Kc� soit acceptable est (voir la figure 2b)v A yI q T z |�I� q �{ (11)

Commev � |*� ��T, il s’agit d’un problème d’inversionensembliste, où

|*� �J�est définie comme |*� �� A �I z �� q �( I � |*� ��


3.2. Projection d’ensembles

Supposons maintenant que le vecteur de paramètres de nuisance prenne une va-leur inconnue mais constante. Les variables et leurs domaines restent inchangés ; l’en-semble recherché est ici le projeté dewsur

Tnoté

x(voir la figure 2b)x A yI q T z �K q L(W�I(K� q �{ (12)

L’inclusion v � x illustre le fait que la prise en compte des incertitudes liées audispositif de mesure dégrade la qualité de l’estimation deI.

4. Caractérisation garantie d’ensembles

4.1. Partitionnement

Un algorithme ensembliste garanti fournit des approximations intérieurev et ex-térieurev d’un ensemblev défini par (11) telle que l’inclusionv � v � v (13)

soit assurée. Ces deux approximations peuvent être construites de différentes façons.Dans cet article, nous décrivons ces approximations à l’aide d’unions depavés(ouvecteurs intervalles)�I# � ��!!!�� (��# non-recouvrants. Pour cela, l’espace derecherche

T � �� est partitionné de façon exhaustive en un nombre fini de pavés.Chaque pavé est ensuite soumis à un test, établi à l’aide de l’analyse par intervalles,qui permet de tester directement l’acceptabilité detous les pointsI inclus dans unpavé�I#. La construction de ce test est détaillée dans le paragraphesuivant.

Supposons pour l’instant que ce test soit disponible. L’approximation intérieurevest constituée de tous les pavés jugés acceptables, tandis que tous les pavés prouvésinacceptables sont rejetés. Lorsque le test échoue à déterminer l’acceptabilité d’unpavé, ce dernier est bissecté et soumis à nouveau au test. Afind’assurer la terminaison,l’utilisateur doit fixer un critère d’arrêt� correspondant à la taille maximale des pavéstraités��I#� � ��!!!� �� L’approximation extérieure regroupe alors lespavés jugés acceptables et l’ensembleRv des pavés indéterminés dont la taille estinférieure à�, appelécouche d’incertitude:v � v �Rv (14)

Notons que l’inclusion (13) est indépendante de la valeur de�. Il reste à établir le testauquel les pavés seront soumis en fonction du type de problème.

4.2. Fonctions d’inclusion et contracteurs

Pour toute fonction

| �I�, l’analyse par intervalles permet de calculer une approxi-mation extérieure

|�� I#� de l’image

| ��I#� d’un pavé�I# par

|, définie comme| ��I#� A y� z �I q �I# ( � � | �I�{


La fonction

|�� J� satisfaisant

| ��I#� � |�� I#�, est appeléefonction d’inclusionas-sociée avec

|. Le test d’acceptabilité peut être directement construit àpartir de

|�� J�,�I# étant jugé acceptable si

|�� I#� � �. Cependant, si la fonction d’inclusion

|�� J�n’est pas optimale, c’est-à-dire si

|�� I#� n’égale pas le pavé enveloppe�| ��I#�#,de nombreux pavés devront être bissectés, et les temps de calcul de l’algorithme departitionnement résultant seront conséquents. Pour éviter cet écueil, il est possibled’améliorer le test d’acceptabilité à l’aide decontracteurs[JAU 01], qui permettentde réduire la taille d’un pavé testé sans aucune bissection.Pour tout ensemblev, uncontracteur�� transforme un pavé�I"# en un pavé�I�# � ��I"#� tel que�I"# � �I�# (15)�I"# � v � �I�# � v (16)

(voir la Figure 3). Nous renvoyons le lecteur à [JAU 01] pour les méthodes d’élabora-tion de contracteurs.

Nous allons utiliser les contracteurs de deux façons différentes pour construireles tests d’acceptabilité. D’une part de façon directe, à l’aide de��, de manière àéliminer des pavés satisfaisant�I#�v � �sans bissection et réduire la taille des pavésindéterminés pour lesquels�I#�v �� . D’autre part, de manière indirecte, à l’aide ducontracteur complémentaire�� qui permet de contracter l’ensemble complémentaire�v, en remarquant que tous les pavés éliminés par ce contracteur sont éléments dev(voir la Figure 3). Le contracteur complémentaire sera en particulier mis à profit dansl’algorithme de projection.

CS([ ])p1

[ ]p1

CeS([ ])p3

[ ]p3

CS([ ])p2

[ ]p2

CeS([ ])p4

[ ]p4

Figure 3. Contracteurs�� pour v et�� pour l’ensemble complémentaire�v ; �� and �� sont pessimistes sur�I�# et �I�#, et optimaux sur�I�# et �I�#

Entrée :�I"#,�K"# ; Sortie : �I#1 � }� y�K"#{ p �I# }� �I"#p2 tant que� �� (3 prendre le premier pavé�K# dans�p4 répéter,5 �I# }� ��I#( N ��K#�� ;6 �I�# }� ��I#( �K#� p7 tant que�I# est contracté ;8 si ��I# � ��, retourner ;9 si� ��K#� � ��I"#�,10 bissecter�K# en �K�# et �K�# ;11 stocker�K�# et �K�# à la fin de� ;12 fin tant que.

Figure 4. AlgorithmeINSIDE

4.3. Sivia et Project

Pour caractériser l’ensemblevdéfini par (11), nous utilisons uniquement le contrac-teur �� et une fonction d’inclusion�|# �#�J�. Ainsi, si ��I#� � �, le pavé�I# est


rejeté. Sinon, si�|#��I#� � �, alors¡I q �I#(|��I#� q �, et ��I#� est prouvéacceptable. Sinon,��I#� est bissecté et soumis au test. L’algorithme ensembliste ré-cursif SIVIA (Set Inverter Via Interval Analysis) [JAU 01] ainsi décrit permet alorsd’encadrer l’ensemblev entre les deux sous-pavagesv etv satisfaisant (13).

Pour caractériser l’ensemblex

défini par (12), un pavé�I# est jugé acceptable s’ilexisteun pointK q L tel que

W ��I# (K� � �. La recherche de points admissiblesrequiert une approche spécifique. S’il existe des algorithmes utilisant uniquement unpartitionnement deL [JAU 99], leurs temps de calcul, exponentiels en la dimension deL, sont ici prohibitifs. L’algorithme INSIDE[JAU 02][BRA 02], présenté à la Figure 4,s’appuie donc sur deux contracteurs pour déterminer l’existence d’un pointK q �K#tel que

W ��I# (K� � � pour un pavé�I# donné. Cet algorithme, que nous allonsmaintenant détailler, constituera donc le test utilisé dans l’algorithme de projection.

Sélectionnons un pavé�I# quelconque. INSIDE effectue un partitionnement del’ensembleL en une liste de pavés�K# et recherche parmi ces pavés un pointK ac-ceptable (pas 3). Au pas 5, si�I# �� I#, alors le pavé�I# éliminé par contraction :�I# � �I# � �I# vérifie ��I#(K¢��w � �. On a donc��I#(K¢� � w, K" est un pointsatisfaisant et£I¤ � x. Sinon, d’autres points�K# doivent être testés. Une contractiondu pavé�K# est alors effectuée (pas 6), et le test est relancé tant que lacontraction de�I# reste significative. Si le pavé résultant�I# est vide, alors le pavé�I# est acceptable.Sinon, il reste indéterminé, puisque certains points de�I# peuvent appartenir soit àx

soit à�x

. Le pavé�K# est alors bissecté à moins qu’il soit de taille inférieure à lavaleur fixée par l’utilisateur.INSIDE renvoie donc un pavé�I# obtenu en éliminant lespavés acceptables�I# de �I#. �I# satisfait donc�I#��x � �I# � �x, et INSIDE est uncontracteur pour

�x.

L’algorithme PROJECTrésultant calcule des approximations intérieurex

et exté-rieure

x � x � Rx dex

. Comme le temps de calcul maximal requis par un algo-rithme ensembliste par partitionnement est une fonction exponentielle du nombre deparamètres à estimer [JAU 93], et que l’ensemblewpeut être volumineux si le couple�I(K� n’est pas identifiable, la charge mémoire et le temps de calcul requis par l’al-gorithme de projection où seul

Test partitionné sont plus faibles que ceux nécessaires

à une caractérisation totale de l’ensemblew.

5. Résultats

5.1. Paramètres de nuisance connus

Supposons dans un premier temps queK � Kc�. SIVIA va calculer une approxima-tion extérieure de l’ensemblev� de toutes les valeurs deI qui sont compatibles avec� : v� � yI q T zW�I(Kc�� q �{ En� � s pour� � � �� SIVIA prouve quev� � � et doncv� est vide: il n’existe

donc aucune valeur deI dansT

compatible avec� et l’hypothèseK � Kc�. Avec une


technique ensembliste garantie, il est ainsi possible de prouver qu’un problème de sa-tisfaction de contraintes ne possède pas de solution. Un telrésultat est impossible àobtenir avec un estimateur stochastique classique, qui, quoi qu’il arrive, fournit tou-jours une solution. Une façon de remédier à l’incompatibilité des hypothèses est dechanger la valeur du vecteurKc de paramètres de nuisance.

Supposons maintenant queG � �� de sorte queKc� � d � ��*� �9�� "!"�"�ef �"9�� g (et calculons l’ensemble v� � yI q T zW�I(Kc�� q �{ SIVIA fournit deux ensemblesv� et v� non vides (Figure 5a). La projection dev�sur les axes�� et�� fournit un majorant de l’incertitude associée à ces paramètres :�� q �� Z�(� ��# et �� q ��B �B��( �� B�Z# (et les intervalles obtenus pour la diffusivité�� et la conductivité

�� du PVC satisfontN ��#� � � �� U��*¥ SIpRS ��#� � � �]( (17)N ��#� � � ��SIpRS ��#� � � �] (18)

Bien que négliger la présence de la colle soit une hypothèse forte, elle n’est pas in-compatible avec les données recueillies dans le contexte à erreurs bornées puisquev�n’est pas vide.

5.2. Paramètres de nuisance inconnus

Tenons maintenant compte de l’incertitude associée aux paramètres de nuisance.L’ensemble solution

xest donc maintenant le projeté dewsur

T(Figure 5b) :x � yI q T z �K q L(W�I(K� q �{

PROJECTfournit des approximations intérieure et extérieure dex

non vides et�� q �� (� ��#p�� q �� ( �� #( (19)

de sorte que N ��#� � � ��B� U��*¥ SIpRS ��#� � �� ] (20)N ��#� � � ��ZSIpRS ��#� � �� ] (21)

Comparons�� et �� avec �� et �� : l’incertitude sur�� et �� est fortementaccrue. L’épaisseur notable deRx est due à l’utilisation de contracteurs et fonctionsd’inclusion non optimales. Dans le futur, d’autres contracteurs pourront être considé-rés. Dans la partie suivante, nous nous inspirerons de ces résultats pour proposer despistes d’amélioration du dispositif.


0.025 0.035

13

17

p1

p2

17

13

0.025 0.035

Figure 5. a) Paramètres de nuisance supposés connus : approximationsintérieurev�et extérieurev� obtenues parSIVIA en

�� s pour� � � ��; estiméeoI et région

de confiance àZ�] elliptique en contexte statistique, le rectangle correspond à la

plage trouvée dans la littérature. b) Paramètres de nuisance supposés incertains :approximations intérieure

xet extérieure

xobtenues parPROJECT, en

�G�B¦$§pour� � � �� ; tous les résultats ont été obtenus sur un Pentium IV à

� �¨H©5.3. Influence de l’incertitude des paramètres de nuisance

Nous nous intéressons ici à la détermination des paramètresde nuisance qu’il estnécessaire d’estimer plus précisément. Pour cela, nous étudions l’influence de l’in-certitude associée à chaque paramètre de nuisance pris un par un. Soit le vecteurK�défini parM�ª � Mc�ª ¡« � �( ( �( « �� $ et M�� q L� , et soit l’ensemble

x�défini parx� � �I q T z �M�� q L� (W�I(K�� q ��. Posons%� A Vol �x��

Vol �v�� (22)

Puisquev� � x�, %� q ��(¬�. Si %� est proche de�, alors prendre en compte l’incer-

titude associée au paramètreM� dégrade peu la qualité de l’estimation, etM� sera dit peuinfluent. Une valeur élevée de%� désignera au contraire un paramètre influent, dont ilest souhaitable de réduire l’incertitude. Comme nous ne pouvons calculer que des en-cadrements de

x�etv�, %� est une grandeur incertaine dont nous pouvons également

calculer un encadrement :�%�# � �Vol �x��(Vol �x��#�Vol �v��(Vol �v��# � ��(¬� REMARQUE. — Les encadrements étant garantis, la variation de volume de l’en-semble estimé dû à un changement d’hypothèse ou à une perturbation dans le proto-cole expérimental est un indicateur simple à mettre en œuvre. Dans [BRA 00], nousavions ainsi proposé une méthode d’analyse de la pertinencede données expérimen-tales fondée sur une telle approche. En particulier, le critère proposé a permis de définirles données expérimentales les plus influentes sur la qualité du résultat, sans qu’elles


soient pour autant aberrantes.

Le tableau 2 rassemble les intervalles�%�#, $ � �( �, obtenus à l’aide de PRO-JECT pour� � � ��. Pour les valeurs de$ différentes de4 et 5, �%�# � ��( � �#, l’en-semble solution est donc peu sensible à la prise en compte de l’incertitude associéeaux caractéristiques de la colle, du laiton, et au coefficient d’échange généralisé. Parcontre, prendre en compte l’incertitude associée aux paramètres du cuivre multiplieau moins par deux le volume de l’ensemble résultant, bien quenous ayons soulignéque le cuivre était le matériau le plus précisément connu (voir le tableau 4). Ceci peutêtre expliqué par la position de la couche de cuivre sur la face arrière, qui gouverneles échanges de chaleur. Il est alors naturel de vouloir connaître ces paramètres le plusprécisément possible. A partir de cette remarque, il est laissé au libre choix des ex-périmentateurs d’effectuer une identification des paramètres du cuivre seul, avant sonincorporation dans le dispositif, ou de sélectionner un autre matériau, aux propriétésencore mieux connues.

i 1 2 3 4 5 6 7M� ?� 45� ? ?� 45� E G�%�# ��( � �# ��( � �# ��( � �# �� ( � B# �� ( � �# ��( � �# ��( � �#Tableau 2. Influence de l’incertitude de chaque paramètre de nuisance sur l’identifi-cation des caractéristiques de l’échantillon de PVC

6. Conclusion

La calibration garantie d’un dispositif de mesure thermique a pu être réaliséegrâce à des techniques nouvelles d’inversion et de projection ensemblistes, fondéessur l’analyse par intervalles, et appliquées à des modèles non-linéaires. En supposantque le dispositif de mesure est modélisé par des grandeurs parfaitement connues, l’al-gorithme d’inversion ensembliste SIVIA a permis de prouver l’absence de solutionlorsque le modèle n’est pas compatible avec les données. Dans le cas contraire, SIVIA

permet de prouver l’existence d’une solution et de fournir des encadrements intérieuret extérieur de l’ensemble solution. La projection de cet ensemble fournit un majorantde l’incertitude associée aux deux paramètres physiques.

En supposant ensuite que le modèle inclut sept paramètres denuisance affectésd’une incertitude bornée, l’algorithme de projection ensembliste PROJECTa permisde propager ces incertitudes sur le résultat d’estimation en fournissant un nouvel en-semble de paramètres thermo-physiques, mais de taille plusgrande, illustrant ainsi ladégradation induite sur la qualité de l’estimation. De plus, l’aspect garantie de cettenouvelle méthode permet l’obtention de résultats avec des vecteurs de paramètres detaille importante même si ces paramètres ne sont pas tous identifiables.


Enfin, l’algorithme de projection a permis une analyse de l’influence des incer-titudes de chaque paramètre de nuisance, sur les résultats d’estimation, fournissantainsi des indications sur les modifications à apporter au dispositif de mesure pour enaméliorer la qualité.

Ce travail sera poursuivi en dégageant les performances de l’algorithme de pro-jection dans un premier temps.L’élaboration de fonctions d’inclusion optimales et decontracteurs plus efficaces est également envisagée.

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Caractérisation garantie d’un dispositif de mesure de