Carte Probleme

VERGIL CHIÞAC

STATICA NAVEI

Colecþia �Inginerie Mecanicã�

Conf. univ. dr. ing. VERGIL CHIÞAC

STATICA NAVEI

Editura Academiei Navale �Mircea cel Bãtrân� Constanþa, 2008

Referenþi ºtiinþifici: Prof. univ. dr. ing. Leonard Domniºoru Conf. univ. dr. ing. Mihail Pricop

© Editura Academiei Navale �Mircea cel Bãtrân�, 2008, pentru prezenta ediþie

Corector: Ozana Chakarian Tehnoredactare: Mirela Dobre Copertã: Gabriela Secu Editura Academiei Navale �Mircea cel Bãtrân� Str. Fulgerului nr. 1, 900218, Constanþa Tel. 0241/626200/1219, fax 0241/643096 Email: [email protected] ISBN 978-973-1870-28-1

Descrierea CIP a Bibliotecii Naþionale a României CHIÞAC, VERGIL Statica navei / conf. univ. dr. ing. Chiþac Vergil - Constanþa : Editura Academiei Navale �Mircea cel Bãtrân�, 2008 Bibliogr. ISBN 978-973-1870-28-1 629.5

mailto:[email protected]

CUPRINS

PREFAÞÃ ��.. 9

CAPITOLUL I. NOÞIUNI INTRODUCTIVE ............................ 11 1. Câteva argumente în favoarea importanþei studierii teoriei navei ��..

11

2. Statica navei ca parte importantã a teoriei navei. Calitãþile nautice ale navei ..................................................................

13

3. Principalele caracteristici geometrice ale corpului navei. Sistemul de coordonate .......................................................................

14

4. Coeficienþi de fineþe. Rapoarte între dimensiuni ........................... 19

CAPITOLUL II. FLOTABILITATEA NAVEI ........................... 22 5. Parametrii unei plutiri ..................................................................... 22 6. Forþe care acþioneazã asupra navei. Condiþii de echilibru ............. 24 7. Greutatea navei. Coordonatele centrului de greutate ..................... 29 8. Calculul elementelor hidrostatice ale carenei ºi curbele de variaþie ale acestora cu pescajul. Diagrama de carene drepte ............

34

8.1 Volumul carenei, deplasamentul, coordonatele centrului de carenã ..........................................................

34

8.2 Aria plutirii, abscisa centrului plutirii, momentele de inerþie longitudinalã ºi transversalã ale plutirii ...............

39

8.3 Ariile secþiunilor transversale. Curba ariilor secþiunilor transversale ......................................................................

43

8.4 Diagrama de carene drepte ............................................. 45 8.5 Formule empirice pentru calculul unor mãrimi hidrostatice pe carene drepte ...........................................

46

9. Calculul practic de carene drepte. Metode numerice ..................... 48 10. Calculul de carene înclinate .......................................................... 55 10.1 Diagrama Bonjean ......................................................... 56 10.2 Diagrama de asietã ......................................................... 59 10.3 Calculul volumului carenei ºi al coordonatelor centrului de carenã pentru o plutire oarecare. Curbele integrale ale secþiunilor transversale ................

60 11. Influenþa ambarcãrii ºi debarcãrii de mase la bord asupra flotabilitãþii navei. Deplasamentul unitar ...........................................

64

11.1 Ambarcarea de mase mici .............................................. 64 11.2 Ambarcarea de mase mari ............................................. 67 11.3 Deplasamentul unitar ..................................................... 68

_______________________________________________________________________________

6

12. Influenþa modificãrii salinitãþii apei asupra pescajului mediu al navei ....................................................................................................

69

13. Rezerva de flotabilitate. Marca de bord liber ............................... 71 PROBLEME REZOLVATE .......................................................... 74

CAPITOLUL III. STABILITATEA INIÞIALÃ A NAVEI ....... 82 14. Consideraþii generale despre stabilitatea navei ............................ 82 15. Înclinãri izocarene. Teorema Euler .............................................. 85 16. Deplasarea centrului de carenã ..................................................... 87 17. Metacentre ºi raze metacentrice ................................................... 91 18. Moment de redresare. Formula metacentricã a stabilitãþii. Înãlþimi metacentrice ..........................................................................

94

19. Momentul stabilitãþii de formã ºi momentul stabilitãþii de greutate ................................................................................................

99

20. Momentul unitar al înclinãrii transversale ºi momentul unitar de asietã ....................................................................................................

101

21. Forþe perturbatoare ........................................................................ 102 22. Variaþia poziþiei metacentrului transversal cu pescajul. Raza metacentricã diferenþialã ...........................................................

105

23. Influenþa salinitãþii apei asupra stabilitãþii ºi asietei navei ........... 110 24. Influenþa deplasãrilor de mase la bord asupra poziþiei ºi stabilitãþii navei ...................................................................................

113

25. Proba de stabilitate ........................................................................ 118 26. Influenþa încãrcãturilor suspendate asupra stabilitãþii navei ........ 121 27. Influenþa ambarcãrii ºi debarcãrii de mase la bord asupra poziþiei ºi stabilitãþii navei ..................................................................

124

27.1 Ambarcarea de mase mici .............................................. 124 27.2 Ambarcarea de mase mari ............................................. 128 28. Influenþa încãrcãturilor lichide cu suprafeþe libere asupra stabilitãþii navei ...................................................................................

131

PROBLEME REZOLVATE .......................................................... 135

CAPITOLUL IV. STABILITATEA NAVEI LA UNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE ..................................................................

166

29. Consideraþii generale despre stabilitatea navei la unghiuri mari de înclinare ..........................................................................................

166

30. Coordonatele centrului de carenã ºi ale metacentrului transversal ...........................................................................................

167

31. Momentul de stabilitate ºi braþul stabilitãþii pentru unghiuri mari de înclinare. Stabilitatea de formã ºi stabilitatea de greutate ....

168

32. Înãlþimea metacentricã generalizatã ............................................. 171 33. Stabilitatea dinamicã a navei. Braþul stabilitãþii dinamice ........... 172 34. Diagramele de stabilitate staticã ºi dinamicã. Proprietãþi ............ 177

_______________________________________________________________________________

7

35. Comportarea navei sub acþiunea forþelor externe ........................ 181 36. Probleme practice care apar în timpul exploatãrii navei ºi care se rezolvã cu ajutorul diagramelor de stabilitate ................................

183

37. Modificarea diagramei de stabilitate staticã la deplasarea ºi ambarcarea de greutãþi la bordul navei ..............................................

193

38. Construirea ºi utilizarea diagramei de pantocarene ..................... 196 39. Efectul modificãrii dimensiunilor principale ale navei asupra stabilitãþii .............................................................................................

200

40. Calculul practic al stabilitãþii la unghiuri mari de înclinare utilizând metoda izocarenelor .............................................................

208

41. Normarea stabilitãþii. Conceptul global de siguranþã al navei ..... 219 PROBLEME REZOLVATE .......................................................... 223

CAPITOLUL V. PROBLEME LEGATE DE APLICAREA PRACTICÃ A STUDIULUI FLOTABILITÃÞII ªI STABILITÃÞII NAVEI ..................................................................

229 42. Eºuarea navei ................................................................................ 229 43. Ridicarea pupei ............................................................................. 232 44. Momentul de stabilitate al navelor cu borduri verticale ºi al navelor tip ponton paralelipipedic ......................................................

234

45. Stabilitatea navei pe doc ............................................................... 239 46. Stabilitatea navelor pe valuri de urmãrire .................................... 241 PROBLEME REZOLVATE .......................................................... 244

CAPITOLUL VI. NESCUFUNDAREA NAVEI ......................... 255 47. Generalitãþi. Tipuri de compartimente inundate. Extinderea ºi localizarea avariei ...............................................................................

255

48. Efectele fundamentale ale avariei ................................................. 257 49. Calculele stabilitãþii la avarie ....................................................... 258 49.1 Metoda ambarcãrii de mase la bord ............................... 259 49.2 Metoda deplasamentului constant ................................. 262 50. Calculul lungimilor inundabile ..................................................... 265 51. Calculul diagramei de stabilitate staticã pentru o navã avariatã .. 270 PROBLEME REZOLVATE .......................................................... 273

BIBLIOGRAFIE .............................................................................. 279

_______________________________________________________________________________

8

PREFAÞÃ

În lucrarea de faþã, autorul îºi propune sã trateze problemele fundamentale ale staticii navei, adresându-se ofiþerilor de marinã, în drumul lor spre devenire de la ofiþer cu responsabilitatea cartului (nivelul operaþional), pânã la comandant de navã sau ºef mecanic (nivel managerial). Lucrarea se adreseazã deopotrivã studenþilor instituþiilor de învãþãmânt superior de marinã, reprezentând o parte însemnatã din "Teoria ºi Construcþia Navei"; disciplinã de specialitate din planul de învãþãmânt.

Deºi nava ar trebui sã fie o construcþie plutitoare la bordul cãreia echipajul sã-ºi desfãºoare activitatea în siguranþã deplinã, ºtiinþa nu a ajuns la aceastã performanþã, datoritã faptului cã nava opereazã la interfaþa dintre douã medii fluide, ale cãror evoluþii sunt departe de a fi cunoscute în totalitate. Cu toate acestea, studiile societãþilor de asigurare ºi ale marilor companii de navigaþie au arãtat cã nu cauzele ºtiinþifice sunt preponderent la originea accidentelor maritime, ci eroarea umanã în proporþie de peste 80%. Cum întreaga activitate navalã este centratã pe problema siguranþei: siguranþa vieþii pe mare, siguranþa mediului, siguranþa mãrfii ºi siguranþa navei, înseamnã cã este necesar sã se cunoascã cât mai exact comportarea navei la acþiunea cauzelor externe pe de o parte, precum ºi instruirea personalului navigant conformã cu cerinþele prevãzute în regulamentele naþionale ºi internaþionale din domeniu, pe de altã parte. Lucrarea este structuratã pe 6 capitole dupã cum urmeazã:

Capitolul I. Noþiuni introductive cuprinde descrierea geometricã a formelor navei (principalele caracteristici geometrice, coeficienþi de fineþe ºi rapoartele între dimensiuni), precum ºi sistemul de coordonate în raport cu care se realizeazã calculele de statica navei.

Capitolul II. Flotabilitatea navei cuprinde calculul elementelor hidrostatice ale carenei pe plutiri drepte ºi înclinate, precum ºi calculul influenþei ambarcãrii/debarcãrii de mase la bord dar ºi a modificãrii salinitãþii apei asupra navei pe carenã dreaptã.

Capitolul III. Stabilitatea iniþialã a navei cuprinde o analizã a fenomenelor ºi modificãrilor care se produc la înclinarea navei cu unghiuri mici; atât în plan longitudinal, cât ºi în plan transversal în cazul diferitelor situaþii practice care apar în timpul exploatãrii navei cum sunt: deplasãri, ambarcãri ºi debarcãri de mase la bord, suprafeþe libere de lichid în tancuri, încãrcãturi suspendate.

_______________________________________________________________________________

10

Capitolul IV. Stabilitatea navei la unghiuri mari de înclinare cuprinde o analizã a fenomenelor care se produc la înclinarea navei cu unghiuri mari în plan transversal, precum ºi modul de trasare a diagramelor de stabilitate staticã ºi dinamicã ale navei. Sunt prezentate tipurile de probleme practice care apar în timpul exploatãrii ºi care se rezolvã cu ajutorul diagramelor de stabilitate, precum ºi recomandãrile Organizaþiei Maritime Internaþionale (I.M.O.) privitoare la stabilitatea navelor cargo ºi pasagere.

Capitolul V. Probleme legate de aplicarea practicã a studiului flotabilitãþii, stabilitãþii navei cuprinde analiza câtorva probleme care apar în timpul exploatãrii navei cum sunt: eºuarea, ridicarea pupei, stabilitatea navei pe doc, stabilitatea navei pe valuri de urmãrire.

Capitolul VI. Nescufundarea navei cuprinde analiza flotabilitãþii ºi stabilitãþii navei avariate, precum ºi metodele cu care se face aceastã analizã.

Originalitatea lucrãrii constã într-o abordare practicã a fenomenelor legate de statica navei. Pentru a facilita înþelegerea ºi aprofundarea aspectelor prezentate în aceastã lucrare, la sfârºitul capitolelor II, III, IV, V ºi VI sunt prezentate seturi de probleme rezolvate. Autorul

1. CÂTEVA ARGUMENTE ÎN FAVOAREA IMPORTANÞEI STUDIERII TEORIEI NAVEI

În contextul globalizãrii economiei mondiale, în momentul actual, mai mult

de 90% din comerþul mondial se face pe mare cu ajutorul navelor de transport. Fãrã industria de shipping importul, respectiv exportul de mãrfuri nu ar fi posibil ºi jumãtate din populaþia omenirii ar suferi de foame iar cealaltã jumãtate ar suferi de frig. Comerþul pe mare va continua sã se dezvolte în continuare în beneficiul consumatorilor din întreaga lume fiind cel mai eficient ºi cel mai puþin poluant, în acelaºi timp. Statisticile de la începutul anului 2008 aratã cã flota mondialã conþine circa 50.525 de nave de transport aparþinând a peste 150 de naþiuni cu un tonaj însumat de 728.225.000 TR, la bordul cãrora îºi desfãºoarã activitatea aproximativ 1 milion de navigatori. Tansportul maritim a crescut de la 10.000 miliarde tone x mile marine în 1970 la aproximativ 35.000 miliarde tone x mile marine în 2007. La nivel mondial activitatea în shipping este reglementatã de Organizaþia Maritimã Internaþionalã (IMO � International Maritime Organisation) care numãrã peste 150 de þãri membre ºi care în ultimele decenii ºi-a centrat întreaga activitate pe problema siguranþei transportului naval.

Nava este o construcþie plutitoare, inginereascã, destinatã transportului de mãrfuri ºi pasageri (navele de transport) sau pentru efectuarea unor operaþiuni în porturi ºi pe cãile navigabile (navele tehnice). Construcþia navelor reprezintã, fãrã îndoialã, un domeniu tradiþional în cadrul industriei transporturilor datoritã elementului principal extrem de simplu pe care se bazeazã: "principiul lui Arhimede". Nava trebuie sã fie o construcþie plutitoare care sã opereze în siguranþã deplinã, în condiþii de mediu cunoscute. Istoria dezastrelor navale dovedeºte cã aceastã cerinþã este încã o problemã nerezolvatã pe plan mondial ºi a cãrei dificultate apare din faptul cã nava opereazã la interfaþa dintre douã medii fluide a cãror evoluþie este oarecum predictibilã. Cauzele accidentelor navale sunt de naturã tehnicã, ºtiinþificã, economicã la care se adaugã, nu în ultimul rând, eroarea umanã. Studiile societãþilor de asigurare ºi ale marilor companii de navigaþie efectuate pentru fiecare caz în parte au ajuns la concluzia cã mai mult de 80 % s-au datorat erorilor umane. Rezoluþia I.M.O. A.596 (15) din 1987 subliniazã cã "majoritatea accidentelor maritime se datoreazã erorilor umane".

Ca o mãsurã absolut necesarã în noiembrie 1993, Adunarea I.M.O. a adoptat Codul I.S.M. (International Safety Management), un standard internaþional pentru managementul în deplinã siguranþã al navei, corespunzãtor fiecãrei situaþii de operare ºi

CAPITOLUL I. NOÞIUNI INTRODUCTIVE

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

12

pentru prevenirea poluãrii mediului marin, care a intrat în vigoare la 24 mai 1994. Orice navã la bordul cãreia s-a implementat codul I.S.M. printr-un set de proceduri specifice primeºte Certificatul de Management, care se verificã în timpul inspecþiilor Port State Control. Aceste proceduri acoperã problematica întreagã a activitãþilor de la bord constituind " Manualul procedurilor operaþionale de la bordul navei ".

Pe de altã parte, pentru a limita numãrul accidentelor navale care se datoreazã erorilor umane, în 1995, a fost adoptat codul S.T.C.W. (Standards of Training, Certification and Watchkeeping for Seafarers) care reprezintã un sumum minim de competenþe pe care trebuie sã le posede orice membru al echipajului, corespunzãtor funcþiei pe care o ocupã.

Pentru a justifica importanþa problematicii abordate în aceastã carte, prezentãm câteva competenþe din S.T.C.W. corespunzãtoare funcþiei de comandant la o navã cu tonaj brut de ºi peste 500 t, care reclamã cunoºtinþe din domeniul teoriei ºi construcþiei navei.

Competenþa: ! Planificarea ºi asigurarea siguranþei încãrcãrii, stivuirii, transportului ºi descãrcãrii mãrfii

Cunoaºtere, înþelegere, capacitate operaþionalã: " cunoaºterea efectului pe care mãrfurile ºi operaþiunile cu mãrfurile îl au asupra asietei ºi stabilitãþii navei; " folosirea diagramelor de stabilitate ºi asietã, a aparaturii de calcul a solicitãrilor, inclusiv a aparaturii automate ce opereazã pe baza unei bãnci de date.

Competenþa: ! Controlul asietei, stabilitãþii ºi a solicitãrilor care acþioneazã asupra corpului navei

Cunoaºtere, înþelegere, capacitate operaþionalã: " înþelegerea principiilor fundamentale ale construcþiei navei, ale teoriilor ºi factorilor care afecteazã asieta ºi stabilitatea, precum ºi mãsurile necesare pentru pãstrarea asietei ºi stabilitãþii; " cunoaºterea efectului pe care eventuala avarie ºi ulterioara inundare a unui compartiment îl are asupra asietei ºi stabilitãþii precum ºi contramãsurile care trebuie luate.

Ca o concluzie, întreaga activitate de transport naval este centratã pe problema siguranþei. Administraþiile semnatare ale convenþiilor internaþionale, marile societãþi de clasificare, companiile de asigurare ºi chiar companiile de management naval sunt din ce în ce mai preocupate de: siguranþa vieþii pe mare, siguranþa mediului, siguranþa mãrfii ºi siguranþa navei. Pentru îndeplinirea acestor deziderate este necesar sã se cunoascã cât mai exact comportarea navei din punct de vedere cinematic, dinamic ºi structural pe de o parte, precum ºi

NOÞIUNI INTRODUCTIVE _________________________________________________________________________________________________

13

instruirea personalului navigant conformã cu cerinþele prevãzute în regulamentele naþionale ºi internaþionale din domeniu, pe de altã parte.

2. STATICA NAVEI CA PARTE IMPORTANTÃ A TEORIEI NAVEI. CALITÃÞILE NAUTICE ALE NAVEI

În cadrul teoriei navei, preocuparea esenþialã constã în studiul calitãþilor nautice

precum ºi modul în care: caracteristicile geometrice ale navei (dimensiuni principale, rapoarte între dimensiuni, formele suprafeþei imerse), distribuþia de greutãþi de la bordul navei, acþiunea factorilor externi (forþe ºi momente hidrodinamice datorate acþiunii valurilor mãrii) etc. influenþeazã aceste calitãþi.

S-au identificat urmãtoarele calitãþi nautice ale navei: flotabilitatea, stabilitatea, nescufundabilitatea, caracteristici bune de oscilaþie, manevrabilitatea, rezistenþa la înaintare micã.

Flotabilitatea este calitatea navei de a pluti cu întreaga încãrcãturã la bord, la pescajul dorit ºi în poziþia doritã. Nava trebuie sã posede ºi o rezervã minimã de flotabilitate care depinde de tipul de navã, de tipul de încãrcãturã ºi de zona de navigaþie.

Stabilitatea reprezintã calitatea navei de a reveni la poziþia iniþialã de echilibru, dupã dispariþia cauzei externe care a scos-o din aceastã poziþie.

Nescufundabilitatea reprezintã capacitatea navei de a-ºi pãstra flotabilitatea ºi stabilitatea în limite rezonabile atunci când un compartiment sau un grup de compartimente sunt inundate. În timpul navigaþiei pe mare montatã, nava va executa miºcãri pe toate gradele de libertate, din care unele sunt miºcãri oscilatorii. Aceste miºcãri trebuie sã aibã amplitudini cât mai mici ºi perioade cât mai mari (Caracteristici bune de oscilaþie).

Prin manevrabilitate se înþelege pãstrarea sau modificarea controlatã a direcþiei de deplasare, incluzând în aceasta ºi modificarea vitezei. Aceasta presupune ca nava:

- sã poatã sã-ºi pãstreze o traiectorie de miºcare doritã, adicã sã posede stabilitate de drum;

- sã poatã sã-ºi modifice oricând aceastã traiectorie la ordinul comandantului, adicã sã execute guvernarea. Nava trebuie, de asemenea, sã posede o rezistenþã la înaintare micã, care se obþine încã din faza de proiectare, prin alegerea unei arhitecturi a suprafeþei imerse corespunzãtoare vitezei la care nava urmeazã sã fie exploatatã.

În varianta modernã, teoria navei este o ramurã a hidromecanicii aplicate, motiv pentru care mai poartã denumirea ºi de hidromecanica navei, bazându-se pe legile mecanicii teoretice ºi hidromecanicii.

Teoria navei permite sã se determine forþele hidrostatice ºi hidrodinamice care acþioneazã asupra corpului navei, considerând nava ca un solid, rigid, nedeformabil.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

14

Determinarea acestor forþe reprezintã baza pentru calculul static ºi dinamic al structurilor care alcãtuiesc corpul navei.

Statica navei este acea parte din teoria navei care se concentreazã pe calitãþile nautice de bazã: flotabilitatea, stabilitatea ºi nescufundabilitatea, aceasta din urmã însemnând flotabilitatea ºi stabilitatea navei avariate. În accepþiunea modernã, statica ºi dinamica nu pot fi separate în special pentru faptul cã metodele dinamicii sunt utilizate pentru rezolvarea unor probleme practice de stabilitate (stabilitatea navei la acþiunea dinamicã a vântului, stabilitatea pe valuri longitudinale, stabilitatea remorcherelor sub efectul de smuciturã la cârlig etc.). Prin urmare, separarea teoriei navei în statica ºi dinamica navei este absolut formalã, fiind adevãrat însã cã majoritatea problemelor de flotabilitate, stabilitate ºi nescufundabilitate se rezolvã cu ajutorul metodelor staticii.

În aceastã carte s-a avut în vedere realizarea urmãtoarelor obiective: - stabilirea caracteristicilor cu ajutorul cãrora sã poatã fi evaluatã calitativ ºi

cantitativ flotabilitatea ºi stabilitatea navei neavariate ºi avariate; - modelarea matematicã a problemelor practice legate de flotabilitatea ºi

stabilitatea navei, care sã ofere legãtura dintre aceste calitãþi nautice, dimensiunile principale ºi formele navei.

3. PRINCIPALELE CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE CORPULUI

NAVEI. SISTEMUL DE COORDONATE

O navã se poate împãrþi în mai multe complexe constructive: corpul, suprastructurile ºi rufurile, instalaþia energeticã, propulsorul, instalaþiile de punte ºi cu tubulaturi, instalaþiile electrice ºi radio etc., fiecare dintre aceste complexe ridicând probleme specifice de proiectare, construcþie ºi exploatare.

Partea principalã a oricãrei nave o constã corpul alcãtuit dintr-un înveliº subþire ºi etanº, întãrit la interior cu cadre transversale ºi longitudinale care formeazã structura corpului ºi îi conferã rigiditatea necesarã. Reprezentarea graficã a corpului navei se concretizeazã în planul de forme. El se foloseºte pentru efectuarea calculelor hidrostatice necesare în procesul de proiectare ºi în timpul exploatãrii navei, la reparaþiile la corp, la andocare, etc.

Ca plane principale în statica navei se definesc urmãtoarele trei plane reciproc perpendiculare (Fig.1):


15

Fig. 1 a) Planul diametral # $. .P D este un plan vertical longitudinal care împarte nava în

douã jumãtãþi simetrice tribord # $Tb ºi babord # $Bb . Intersecþia corpului navei cu

planul diametral este un contur închis, numit conturul navei în planul diametral. Intersecþia planului diametral cu chila reprezintã linia chilei. Dacã în poziþia de plutire linia chilei este paralelã cu suprafaþa de plutire se spune cã nava este pe chilã dreaptã. În caz contrar, linia chilei este înclinatã faþã de suprafaþa apei, cu un pescaj mai mare la pupa. Se spune cã nava este apupatã sau cu asieta la pupa. Aceastã soluþie se adoptã la unele nave deoarece din punct de vedere hidrodinamic, complexul "elice - cârmã" funcþioneazã în condiþii mai bune la pescaje mai mari.

Planul plutirii de calcul este planul orizontal care coincide cu suprafaþa apei liniºtite, corespunzãtor pescajului pentru care a fost proiectatã nava. Acest plan împarte nava în douã pãrþi distincte: partea imersã numitã ºi carenã ºi partea emersã. Corespunzãtor, avem suprafaþa imersã în contact cu apa ºi suprafaþa emersã în contact cu aerul atmosferic. Planul plutirii de calcul intersecteazã suprafaþa corpului navei dupã o curbã planã închisã, denumitã linie de apã, care închide la interior plutirea de calcul sau plutirea de proiectare # $CWL .

Conform regulilor Registrului Naval Român (R.N.R.) se definesc urmãtoarele douã perpendiculare (Fig. 2):

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

16

Fig. 2

Perpendiculara prova # $pvP este dreapta verticalã care trece prin punctul de

intersecþie dintre linia interioarã a etravei ºi CWL . Perpendiculara pupa # $ppP este dreapta verticalã conþinutã în planul diametral,

dusã prin axul cârmei sau la 96 % din lungimea plutirii de calcul # $CWLL .

Pentru calculul elementelor geometrice ale carenei trebuie consideratã o lungime care sã reprezinte o valoare medie a lungimii carenei pentru diferite plutiri. În general, pentru aceste calcule se foloseºte lungimea recomandatã de societãþile de clasificare pentru navele comerciale, respectiv lungimea plutirii de calcul pentru navele militare. R.N.R. recomandã lungimea între perpendiculare.

b) Planul secþiunii de la mijlocul navei este un al doilea plan important în descrierea formelor geometrice ale navei. Este un plan lateral, perpendicular pe planul diametral, situat la jumãtatea lungimii de calcul, în general reprezentat prin simbolul . Acest simbol a fost iniþial utilizat pentru a desemna planul secþiunii transversale de arie maximã sau planul "cuplului maestru". Planul cuplului maestru împarte nava în douã jumãtãþi: jumãtatea prova ºi jumãtatea pupa.

La navele moderne de transport existã o zonã la mijlocul navei unde secþiunea transversalã se pãstreazã constantã, care se numeºte "zonã cilindricã".

c) Planul de bazã este planul paralel cu planul plutirii de calcul, dus prin punctul de intersecþie al planului secþiunii de la mijlocul navei cu linia de bazã. Urma planului de bazã pe planul diametral se numeºte linie de bazã # $. .L B .

Sistemul de coordonate faþã de care ne vom raporta în calculele de statica navei are axele situate la intersecþia a douã câte douã din cele trei plane principale (vezi Fig. 1). Originea acestui sistem K se numeºte punct de chilã. Axa x este la intersecþia lui

. .P B cu . .P D ºi pozitivã spre prova; axa y este la intersecþia lui . .P B cu ºi pozitivã spre tribord; axa z este la intersecþia lui cu . .P D ºi este pozitivã în sus. Acesta este un sistem mobil în spaþiu, legat de navã. Asupra sistemelor de coordonate vom mai reveni în capitolul urmãtor.


17

Dimensiuni principale

Dimensiunile navei sunt de douã tipuri: dimensiuni teoretice (de calcul sau de construcþie) ºi dimensiuni de gabarit de care trebuie sã se þinã cont în exploatarea ºi manevra navei. Acestea sunt: lungimea L , lãþimea B , înãlþimea de construcþie D , pescajul d .

Fig. 3

În figura 3 sunt ilustrate urmãtoarele dimensiuni principale: - lungimea la linia de plutire de calcul # $CWLL este distanþa mãsuratã în . .P D între

punctele de intersecþie ale liniei de plutire de calcul cu etrava ºi etamboul; - lungimea de construcþie sau de calcul (L) este lungimea definitã conform

prescripþiilor registrelor de clasificare ºi serveºte la dimensionarea elementelor constructive ale navei;

- lungimea maximã (Lmax) este distanþa orizontalã mãsuratã între punctele extreme ale corpului navei, excluzând eventualele pãrþi nestructurale. Dacã nava este prevãzutã cu pãrþi structurale, atunci aceeaºi distanþã se numeºte lungime de gabarit;

- lungimea între perpendiculare (Lpp) este distanþa mãsuratã între perpendicularele prova ºi pupa;

- lãþimea de calcul (B) este distanþa mãsuratã între tangentele paralele la axa de simetrie a plutirii de calcul. Pentru navele care au zonã cilindricã, lãþimea este mãsuratã în secþiunea de la mijlocul navei pe plutirea de calcul;

- lãþimea maximã (Bmax) este distanþa mãsuratã între punctele extreme ale corpului în secþiunea de la mijlocul navei, excluzând eventualele pãrþi nestructurale. Dacã nava este prevãzutã cu pãrþi structurale, atunci aceeaºi distanþã se numeºte lãþime de gabarit;

- înãlþimea de construcþie # $D este distanþa verticalã dintre . .P B ºi punctul de

intersecþie al punþii cu bordajul, mãsuratã în planul secþiunii de la mijlocul navei;

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

18

- înãlþimea bordului liber # $F este distanþa verticalã mãsuratã în secþiunea de la

mijlocul navei de la linia de plutire pânã la intersecþia punþii de bord liber cu bordajul;

- pescajul de calcul # $d este distanþa verticalã mãsuratã în secþiunea de la mijlocul

navei între . .L B ºi plutirea de calcul; - pescajele prova ºi pupa # $,pv ppd d sunt distanþele verticale, mãsurate la cele douã

perpendiculare de la linia chilei pânã la plutirea de calcul. Dacã cele douã pescaje au valori diferite, se spune cã nava are asietã. Nava este aprovatã sau apupatã dacã pescajul prova # $pvd este mai mare decât pescajul pupa # $ppd ºi invers. Asieta este

diferenþa dintre pescajul prova ºi pescajul pupa. În aceastã situaþie, pescajul mediu

md va fi media aritmeticã a celor douã pescaje:

2

pv pp

m

d dd

%& (3.1)

Planul de forme

Geometria navei se concretizeazã prin planul de forme care se obþine

secþionând nava cu plane paralele cu planele principale ºi suprapunând curbele rezultate. El este util în efectuarea calculelor necesare la proiectarea navei, cât ºi în timpul exploatãrii acesteia; spre exemplu, la andocare sau la reparaþii care se executã la corp, când este nevoie de detalierea formelor navei în anumite zone.

Secþiunile care se fac în corpul navei paralele cu . .P B se numesc plutiri, iar numãrul acestora este de la 4 la 10, în funcþie de mãrimea navei ºi complexitatea formelor geometrice. Proiecþia liniilor de plutiri pe . .P B reprezintã "orizontalul" planului de forme.

Secþiunile paralele cu se numesc "cuple". Numãrul lor poate fi de 10, 20 sau 40, dispuse echidistant între ppP ºi pvP . Cuplele se numeroteazã cu cifre arabe (de

exemplu, cupla 0 se suprapune pe . .P D cu ppP ºi cupla 20 cu pvP ). La extremitãþi, unde

formele navei sunt mai fine, cuplele pot fi mai dese. Proiectând cuplele pe se obþine "lateralul" planului de forme.

Secþiunile paralele cu . .P D se numesc "verticale". Numãrul lor este între 2 ºi 5. Intersecþia corpului navei cu . .P D dã forma etravei, etamboului, chilei ºi a liniei punþii. Proiecþiile acestor secþiuni pe . .P D reprezintã "verticalul" planului de forme.

Suprafaþa punþii poate fi comparatã cu o "ºa", fiind o suprafaþã cu dublã curburã atât în sens transversal, cât ºi longitudinal. Curbura liniei punþii se mai numeºte ºi selaturã.


19

4. COEFICIENÞI DE FINEÞE. RAPOARTE ÎNTRE DIMENSIUNI

Coeficienþii de fineþe sau coeficienþii de plenitudine sunt rapoarte adimensionale dintre arii ºi volume proprii ale navei ºi caracterizeazã geometria acesteia.

Coeficienþii de fineþe ai ariilor sunt: a) Coeficientul secþiunii maestre # $MC reprezintã raportul dintre aria secþiunii

maestre ºi aria dreptunghiului circumscris:

M

AC

B d'& ( (4.1)

Valoarea acestui coeficient este cuprinsã între 0,62 la navele cu forme foarte fine ºi 0,995 la supertancuri.

b) Coeficientul ariei de plutire # $WLC reprezintã raportul dintre aria plutirii ºi aria dreptunghiului circumscris, adicã: WL

WL

AC

L B& ( (4.2)

Dacã se calculeazã acest coeficient pentru plutiri diferite de plutirea de plinã încãrcare, atunci L este ppL sau chiar lungimea plutirii curente. La plutirea de plinã încãrcare, valoarea lui WLC este cuprinsã între 0,65 ºi 0,95 depinzând de tipul navei, vitezã ºi alþi factori.

Coeficienþii de fineþe ai volumelor sunt: a) Coeficientul de bloc # $BC reprezintã raportul dintre volumul carenei V ºi

volumul paralelipipedului dreptunghic având dimensiunile ,L B ºi d , adicã: B

VC

L B d& ( ( (4.3)

De la o autoritate maritimã la alta L poate fi Lpp sau LWL. De regulã, pentru plutirile inferioare L se considerã lungimea plutirii respective. Lãþimea ºi pescajul se iau în calcul la plutirea consideratã mãsurate în secþiunea de la mijlocul navei. Valoarea acestui coeficient este cuprinsã între 0,36 la navele de sport ºi agrement ºi 0,85 la supertancuri.

b) Coeficientul prismatic longitudinal # $LPC sau, mai simplu, coeficientul

longitudinal reprezintã raportul dintre volumul carenei V ºi volumul prismei ce are ca bazã aria secþiunii maestre A' ºi lungimea egalã cu lungimea navei L , adicã: B

LPM M

CV VC

A L L B d C C'& & &( ( ( ( (4.4)

Acest coeficient ne dã o imagine asupra distribuþiei volumului pe lungimea navei, valoarea sa fiind cuprinsã între 0,5 ºi 0,9. Valorile mici sunt pentru navele cu forme fine iar cele mari pentru navele cu forme pline ºi zone cilindrice prelungite.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

20

c) Coeficientul prismatic vertical # $VPC reprezintã raportul dintre volumul

carenei V ºi volumul cilindrului ce are ca bazã aria plutirii ºi ca înãlþime pescajul navei, adicã: B

VPWL WL WL

CV VC

A d L B d C C& & &( ( ( ( (4.5)

Acest coeficient ne oferã o imagine asupra distribuþiei volumului pe înãlþimea navei.

d) Coeficientul volumetric sau raportul volumului pe lungime # $VC este definit

de relaþia:

3V

VC

L& (4.6)

În unele publicaþii acest coeficient este utilizat în forma # $3100L

) , unde ) este

deplasamentul navei în tone lungi, iar L este lungimea navei în picioare englezeºti; el pierzându-ºi astfel caracterul adimensional. Valoarea acestui coeficient este cu atât mai mare, cu cât nava are lungimea mai micã la acelaºi pescaj ºi variazã între 1,0 pentru nave lungi, cum sunt distrugãtoarele ºi 15,0 pentru nave scurte, cum sunt traulere.

Rapoartele între dimensiuni sunt mãrimi adimensionale care oferã o imagine asupra calitãþilor nautice ºi manevriere ale navei. Cele mai utilizate sunt:

- raportul lungime pe lãþime L

B a cãrui valoare se situeazã în limitele de la 3,5

la 10, oferã indicii legate de rezistenþa la înaintare ºi manevrabilitatea navei.

Astfel, navele cu L

B mare au rezistenþa la înaintare micã, stabilitate

transversalã mai micã, stabilitate de drum bunã, sunt mai puþin manevriere

ºi invers pentru navele cu L

B mic.

- raportul lãþime pe pescaj B

d a cãrui valoare se situeazã între 1,8 ºi 5, oferã

indicii legate de stabilitate ºi caracteristicile de oscilaþie ale navei. Astfel,

navele cu B

d mare au stabilitate mare, dar în timpul navigaþiei pe valuri vor

executa oscilaþii de ruliu dure (amplitudini ºi frecvenþe mari de oscilaþie).

- raportul lungime pe pescaj L

d a cãrui valoare se situeazã între 10 ºi 30.

Pentru exemplificare, în tabelul 1 sunt prezentate dimensiunile principale, coeficienþii de fineþe ºi rapoartele între dimensiuni pentru diferite tipuri de nave.


21

Tabelul 1

Tipul navei

Lpp [m]

B [m]

d [m]

) [t]

CB CM CLP CWL CVP CV B

L d

B

Navã 246.89 32.23 10.67 50370 0.579 0.965 0.6 0.748 0.774 3.26 7.94 2.91 Navã Roll 195.07 31.09 9.75 34430 0.568 0.972 0.584 0.671 0.846 5.18 6.27 3.19 Petrolier 192.02 27.43 10.40 43400 0.772 0.986 0.784 0.854 0.904 5.98 7,0 2.64 Petrolier 323.09 54.25 20.39 308700 0.842 0.996 0.845 0.916 0.919 8.9 5.96 2.66 Fregatã 124.36 13.74 4.37 3390 0.449 0.741 0.605 0.727 0.618 1.7 9.05 3.14

Spãrgãtor 107.29 23.77 8.53 10900 0.488 0.853 0.572 0.740 0.660 8.97 4.51 2.79 Trauler 23.75 6.71 2.53 222 0.538 0.833 0.646 0.872 0.617 16.2 3.54 2.65 L.N.G. 273.41 43.74 10.97 97200 0.722 0.995 0.726 0.797 0.906 4.64 6.25 3.99 Bulk 260.60 32.23 13.96 100500 0.836 0.996 0.839 0.898 0.931 5.54 8.09 2.31

5. PARAMETRII UNEI PLUTIRI

Poziþia navei în raport cu suprafaþa liberã a apei este definitã de poziþia relativã a douã sisteme de coordonate, unul fix în raport cu nava, dar mobil în spaþiu despre care am vorbit în § 3 (Fig.1) ºi unul fix în spaþiu legat de suprafaþa liniºtitã a apei. Este foarte dificil de gãsit un singur sistem de coordonate, unanim acceptat pentru rezolvarea tuturor problemelor legate de teoria navei. În mod particular, pentru fiecare problemã se adoptã sistemul de coordonate cel mai convenabil din punct de vedere al exprimãrii comportãrii navei.

Sunt trei parametri care definesc poziþia navei în raport cu suprafaþa apei ºi care se mai numesc ºi parametrii plutirii (Fig. 4).

Fig. 4 1) pescajul corespunzãtor punctului A de intersecþie al plutirii cu axa oz , md ; 2) unghiul ! de înclinare longitudinalã (unghiul dintre axa ox ºi intersecþia . .P D cu planul plutirii); 3) unghiul " de înclinare transversalã (unghiul dintre axa oy ºi intersecþia cu planul plutirii).

CAPITOLUL II. FLOTABILITATEA NAVEI

FLOTABILITATEA NAVEI ______________________________________________________________________________

23

În cazul cel mai general, poziþia navei în raport cu suprafaþa liberã a apei este înclinatã atât longitudinal # $0! % , cât ºi transversal # $0" % . Nava poate avea numai

înclinare longitudinalã ( 0! % ºi 0" & ) sau numai înclinare transversalã ( 0! & ºi 0" % ). Poziþia normalã însã este consideratã "pe carenã dreaptã " atunci când 0" & ! & .

Cunoscând dimensiunile navei: L - lungimea de calcul; B - lãþimea navei ºi citind pescajele: pvd � pescajul la prova; ppd � pescajul la pupa; Tbd � pescajul la tribord;

Bbd � pescajul la babord; la scãrile de pescaj: prova, pupa ºi în ambele borduri, atunci parametrii plutirii se vor calcula cu relaþiile:

;2

pv pp

m

d dd

'& pescajul mediu (5.1)

tg ;pv ppd d

L

(! & înclinarea longitudinalã (5.2)

tg Tb Bbd d

B

(" & ; înclinarea transversalã (5.3)

Vom observa cã înclinarea longitudinalã este consideratã pozitivã atunci când pv ppd d) ºi nava este aprovatã, iar înclinarea transversalã este pozitivã atunci când Tb Bbd d) ºi tribordul intrã, iar babordul iese din apã.

În cazul general, când 0! % ºi 0" % suprafaþa apei va fi înclinatã cu unghiul * faþã de . .P B Între aceste unghiuri existã relaþia: 2 2 2tg tg tg* & !' " (5.4)

Fig. 5 a) navã pe carenã dreaptã; b) navã înclinatã transversal; c) navã înclinatã longitudinal

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

24

Cu referire la Fig. 5, c), nava înclinatã longitudinal cu unghiul !, se va demonstra în Capitolul III - "Stabilitatea iniþialã a navei" cã planul plutirii iniþiale ºi planul plutirii înclinate se intersecteazã dupã o axã ce trece prin centrul de greutate al plutirii iniþiale F , a cãrui abscisã o notãm cu Fx .

Noile pescaje prova ºi pupa se vor calcula cu relaþiile:

tg tg2 2pv F m

L Ld d x d

+ ,& ' ( ! & ' !- ./ 0 (5.4)

tg tg2 2pp F m

L Ld d x d

+ ,& ( ' ! & ( !- ./ 0 (5.5)

unde:

tg2 F pv

Lx d

+ ,( ! & 1- ./ 0 2 variaþia pescajului prova (5.6)

tg2 F pp

Lx d

+ ,' ! & 1- ./ 0 2 variaþia pescajului pupa (5.7)

Legãtura dintre pescajul de calcul # $d ºi pescajul mediu # $md este:

tgm Fd d x& ( ! (5.8) Pentru o secþiune transversalã de abscisã x , pescajul corespunzãtor se va

calcula cu relaþia: # $ # $ tg tgF md x d x x d x& ' ( ! & ' ! . (5.9)

6. FORÞE CARE ACÞIONEAZÃ ASUPRA NAVEI.

CONDIÞII DE ECHILIBRU

Un corp poate pluti la suprafaþa apei, caz în care o porþiune din corp este în contact cu apa, iar cealaltã în contact cu aerul (navele de suprafaþã) sau poate pluti în condiþii de imersare completã (submarinele). Pe suprafaþa imersã a unui corp care nu se miºcã în raport cu apa vor acþiona forþele de presiune hidrostaticã. Dacã vom considera plutitorul gol la interior, deci în contact cu aerul atmosferic, atunci presiunea care va trebui luatã în consideraþie pentru a calcula acþiunea hidrostaticã asupra plutitorului este presiunea relativã: # $'p g d z& 3 ( (6.1)

Pe suprafaþa elementarã dS de pe corp, va acþiona forþa de presiune elementarã (Fig.6). # $'dF p n dS g z d n dS& ( & 3 (! ! ! (6.2)

unde n! este versorul normalei la suprafaþa elementarã dS . Cele trei componente vor fi:

# $# $# $

'cos ,

'cos ,

'cos ,

x

y

z

dF p n x dS

dF p n y dS

dF p n z dS

& (45 & (65 & (7

(6.3)


25

Fig. 6

Momentul acestei forþe în raport cu originea este: dM r dF& 8! !! cu componentele:

x z y

y x z

z y x

dM y dF z dF

dM z dF x dF

dM x dF y dF

4 & (5 & (65 & (7

(6.4)

Acþiunea hidrostaticã asupra acestui corp se reduce în final la un torsor format din rezultanta F

! ºi momentul rezultant M!

. Componentele acestor vectori se pot scrie:

# $# $# $

'cos ,

'cos ,

'cos ,

x

S

y

S

z

S

F p n x dS

F p n y dS

F p n z dS

4 & (555 & (655 & (57

999

(6.5)

# $ # $# $ # $# $ # $

' cos , cos ,

' cos , cos ,

' cos , cos ,

x

S

y

S

z

S

M p z n y y n z dS

M p x n z z n x dS

M p y n x x n y dS

4 & (: ;5 < =55 & (: ;6 < =55 & (: ;< =57

999

(6.6)

Raþionând strict matematic, putem calcula forþa hidrostaticã ce acþioneazã asupra plutitorului folosind formula integralã a lui Gauss. Vom putea scrie: ' '

WLS S A

F p n dS p n dS'

& ( & (9 9! ! ! (6.7)

Termenul adãugat 'WLA

p n dS(9 ! este nul ºi nu modificã valoarea integralei, însã a

fost necesar pentru a transforma integrala într-o integralã pe o suprafaþã închisã

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

26

( WLS A' reprezintã suprafaþa carenei plus aria plutirii, care închide la interior volumul carenei V ). Mai departe, aplicãm formula lui Gauss ºi obþinem: '

V

F p dV gV k& ( > & 39 !! (6.8)

Relaþia (6.8) exprimã faptul cã forþa hidrostaticã se reduce la o rezultantã verticalã, componentele orizontale fiind nule, adicã: # $'cos , ' 0

yoz

yoz

S S

p n x dS p dS& &9 9 (6.9)

# $'cos , ' 0xoz

xoz

S S

p n y dS p dS& &9 9 (6.10)

unde yozS ºi xozS sunt proiecþiile suprafeþei carenei pe planele yoz respectiv xoz. În concluzie, componentele elementare xdF ºi ydF se anuleazã douã câte douã ºi asemãnãtor momentele acestor componente faþã de axe, adicã: # $ # $' cos , 0 ; ' cos , 0

S S

p z n y dS p x n y dS& &9 9 (6.11)

# $ # $' cos , 0 ; ' cos , 0S S

p z n x dS p y n x dS& &9 9 (6.12)

Înlocuind (6.11) ºi (6.12) în (6.6), gãsim: # $ # $ # $' cos , cos ,x

S S

M p y n z dS g z d y n z dS& ( & 3 (9 9 (6.13)

# $ # $ # $' cos , cos ,y

S S

M p x n z dS g d z x n z dS& & 3 (9 9 (6.14)

0zM & (6.15) sau mai departe: # $ # $cos , cos ,x

S S

M g zy n z dS gd y n z dS& 3 (39 9 (6.16)

# $ # $cos , cos ,y

S S

M gd x n z dS g zx n z dS& 3 (39 9 (6.17)

Vom observa cã: # $cos , 0

S

y n z dS &9 ºi # $cos , 0S

x n z dS &9

ºi relaþiile anterioare se pot scrie: # $cos ,x

S

M g zy n z dS& 3 9 (6.18)

# $cos ,y

S

M g zx n z dS& (3 9 (6.19)

În continuare, vom calcula integralele din expresiile (6.18) ºi (6.19). Cu referire la Fig. 7, notãm 1z ºi 2z cotele punctelor care se gãsesc pe suprafaþa S pe aceeaºi verticalã în zonele superioarã, respectiv inferioarã ale acestei suprafeþe. De asemenea,

xoyS reprezintã proiecþia întregii suprafeþe submerse pe planul xoy . Obþinem:

# $ # $1 2cos ,xoy

xoy

S S

zy n z dS y z z dS& (9 9


27

Fig. 7

Din Fig. 7 se observã cã # $1 2 xoyz z dS( este volumul unei prisme elementare ce

are ca bazã suprafaþa xoydS , iar ca înãlþime # $1 2z z( adicã dV . Produsul ydV este

momentul static elementar al acestui volum faþã de planul xoz . Raþionând identic ºi pentru integrala din formula (6.19), vom putea scrie în final: # $1 2

xoy

x xoy B

S

M g y z z dS gy V& 3 ( & 39 (6.20)

# $1 2

xoy

y xoy B

S

M g x z z dS gx V& (3 ( & (39 (6.21)

Dacã adãugãm ºi relaþia (6.8), obþinem acþiunea completã hidrostaticã asupra plutitorului.

În concluzie, asupra unui corp scufundat în lichid acþioneazã de jos în sus o forþã egalã în mãrime cu greutatea lichidului dezlocuit de acesta, suportul acestei forþe trecând prin centrul de greutate al volumului dezlocuit. Aceasta este legea lui Arhimede; forþa se numeºte forþã arhimedicã sau forþã de împingere, iar centrul de greutate al volumului dezlocuit se noteazã cu B ºi se numeºte centru de carenã. Coordonatele acestui punct se noteazã cu , ,B B Bx y z .

Deoarece corpul navei este simetric în raport cu planul diametral, planul xoz ºi, în consecinþã, momentul static al volumului carenei faþã de acest plan este nul, deci: 0By & ºi 0xM &

În afarã de forþele hidrostatice, asupra navei acþioneazã ºi forþele de greutate care se reduc la o rezultantã unicã, denumitã greutatea navei notatã cu W . Punctul de aplicaþie al forþei de greutate se numeºte centru de greutate, se noteazã cu G ºi are coordonatele , ,G G Gx y z (Fig. 8).

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

28

Fig. 8

Din punct de vedere mecanic, un solid este în echilibru atunci când forþa

rezultantã care acþioneazã asupra lui ºi momentul rezultant în raport cu un punct arbitrar sunt nule.

În concluzie, pentru ca o navã sã fie în echilibru sunt necesare ºi suficiente a fi îndeplinite urmãtoarele douã condiþii: 2 Forþa arhimedicã sã fie egalã cu forþa de greutate; 2 Cele douã forþe sã acþioneze pe acelaºi suport, adicã:

;B G B G

W g

x x y y

& 3 >46 & &7 (6.22)

În formulele (6.22) s-a notat cu > volumul carenei diferit de notaþia anterioarã V . Explicaþia este urmãtoarea: prin V s-a notat volumul carenei calculat din planul de forme, unde sunt prezentate formele navei la interiorul tablelor ce formeazã corpul. În realitate, datoritã grosimii tablelor, volumul dezlocuit de navã este mai mare, între > ºi V existând relaþia: V V kV> & ' 1 & (6.23)

Coeficientul k are valori supraunitare cuprinse între 1,005 ºi 1,01 în funcþie de mãrimea navei, de existenþa ºi mãrimea apendicilor ºi de tipul navei. Dacã notãm cu ? masa navei, atunci prima relaþie din (6.22) devine: ? & 3> (6.24) motiv pentru care, masa navei se poate substitui prin deplasament. Relaþia (6.24) se numeºte ecuaþia flotabilitãþii. Deplasamentul ? se mãsoarã în tone, iar volumul carenei > în m3 . Densitatea apei dulci este 3=1 t/m3, iar a apei sãrate variazã între 1,009 ºi 1,028 t/m3 în funcþie de zonã ºi anotimp. În tabelul 2 sunt prezentate valorile densitãþii apei de mare în funcþie de anotimp, în câteva zone de pe glob.

Tabelul 2 Densitatea 3 [t/m3]

Marea varã iarnã

Marea Neagrã 1,009-1,011 1,011-1,014 Marea Mediteranã 1,027 1,031

Marea Balticã 1,010 1,012

Marea Japoniei 1,021 1,028


29

Relaþia (6.8) a forþei hidrostatice care acþioneazã asupra navei aflate în repaus ºi implicit ecuaþia flotabilitãþii (6.24) este valabilã atâta timp cât toatã suprafaþa imersã este în contact cu apa, deci nava pluteºte liber. Dacã nava este eºuatã sau scufundatã, atunci forþa hidrostaticã este mai micã datoritã faptului cã pe zona aºezatã pe fundul mãrii, sau pe o stâncã, nu mai acþioneazã presiunea hidrostaticã.

Fig. 9

În situaþia din figura 9, nava este aºezatã cu suprafaþa de contact A pe fundul ºenalului navigabil. Pe aceastã suprafaþã nu se manifestã presiunea hidrostaticã. Dacã din volumul etanº al corpului navei se scade volumul cilindric, corespunzãtor suprafeþei A se obþine volumul 'V ºi corespunzãtor, forþa de flotabilitate remanentã 'gV3 . Pentru a putea desprinde nava de pe fundul apei este necesarã o forþã verticalã, datã de relaþia: # $0'F W gV p gh A& (3 ' ' 3 (6.25)

unde # $0p gh A' 3 este forþa de presiune a apei care apasã pe suprafaþa de mãrime A .

7. GREUTATEA NAVEI. COORDONATELE CENTRULUI DE GREUTATE

În calculele de teoria navei, în general, ºi de stabilitate, în particular, una din

principalele probleme este determinarea poziþiei centrului de greutate. Greutatea navei este reprezentatã de suma greutãþilor corespunzãtoare grupelor

de mase care compun deplasamentul navei:

1

n

ii

W q&

&@ (7.1)

unde iq este greutatea corespunzãtoare grupei de mase " i ".

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

30

Centrul de greutate este punctul în care se considerã cã acþioneazã forþa de greutate. Aºa cum ºtim de la "Mecanicã", coordonatele centrului de greutate se calculeazã cu formulele:

1

1

1

n

i ii

G

n

i ii

G

n

i ii

q x

xW

q yy

W

q zKG

W

&

&

&

455 &5555 &65555 &557

@

@

@ (7.2)

În aceste formule, , ,i i ix y z sunt coordonatele centrului de greutate al grupei de mase " i ", iar , ,i i i i i iq x q y q z sunt momentele statice în raport cu planele , ,yoz xoz xoy .

În condiþii normale de încãrcare, centrul de greutate este situat în planul diametral datoritã simetriei navei faþã de acest plan, deci

1

0n

i ii

q y&

&@ ºi 0Gy & .

Pentru calculele preliminare, cota centrului de greutate KG se exprimã, de obicei, ca o fracþiune din înãlþimea de construcþie D KG aD& unde a este un factor adimensional, care depinde de tipul navei ºi de condiþiile de încãrcare, a cãrui valoare variazã între 0,5 ºi 1,0.

Abscisa centrului de greutate Gx se poate exprima ca o fracþiune din lungimea navei ºi poate fi pozitivã, negativã sau zero, însã rareori valoarea sa în modul depãºeºte 1,5 % din lungimea navei.

Deplasamentul navei se exprimã în tone metrice (1 tonã metricã = 1000 Kg) sau tone engleze (1 tonã englezã = 1016 Kg).

La navele comerciale se disting douã deplasamente importante: a) Deplasamentul gol # $0? sau deplasamentul uºor, adicã deplasamentul pe care îl are nava la ieºirea din ºantierul de construcþie, având în compunere urmãtoarele grupe de mase:

- corpul navei; - amenajãri, instalaþii ºi echipamente, adicã acele componente care dau navei

posibilitatea de a-ºi îndeplini misiunea principalã (transportul de mãrfuri), care asigurã echipajului o viaþã cât mai comodã la bord ºi care permit navei sã execute diferite manevre în port sau în timpul navigaþiei, precum ºi acele sisteme necesare siguranþei navigaþiei sau pentru salvare;

- instalaþia de propulsie ºi mecanismele aferente.


31

b) Deplasamentul de plinã încãrcare sau deplasamentul gol la care se adaugã urmãtoarele grupe de mase:

- încãrcãtura utilã sau deplasamentul util; - rezervele de combustibil, ulei ºi apã tehnicã pentru maºini ºi instalaþii; - echipajul; - proviziile pentru echipaj. Diferenþa dintre deplasamentul de plinã încãrcare ºi deplasamentul gol se

numeºte capacitate brutã de încãrcare sau deadweight. Pentru navele de transport mãrfuri (cargouri, portcontainere, petroliere etc.), deadweightul se determinã relativ simplu, procedura fiind mai complicatã pentru navele de transport pasageri sau pentru navele mixte.

Un model de tabel pentru calculul deplasamentului ºi a coordonatelor centrului de greutate este prezentat mai jos (vezi tabelul 3). Realizarea acestui calcul presupune parcurgerea mai multor etape:

1. Întocmirea tabelului cu toate greutãþile de la bord În acest tabel se vor include toate greutãþile care, însumate, ne dau greutatea

totalã a navei. Ele se vor completa în coloana 2 simbolic ºi cantitativ în coloana 3. Simbolurile sunt reprezentate de litere pentru fiecare categorie de greutãþi: A - deplasamentul gol # $0? , B � încãrcãtura utilã (marfa încãrcatã în magazii), C � apa

tehnicã (3=1000 Kg/m3), D � apã balast (3=1025 Kg/m3), E � combustibil greu (3=960 Kg/m3), F � motorinã (3=860 Kg/m3), G � lubrifiant (3=910 Kg/m3), H � provizii.

2. Calculul coordonatelor centrelor de greutate ,i ix KG Pentru calculul coordonatelor centrelor de greutate ale categoriilor de greutãþi

din tabelul 3 se utilizeazã tabelul cu coordonatele centrelor de volum pentru fiecare compartiment (tancuri ºi magazii de marfã). În situaþia în care compartimentul este umplut în totalitate cu marfã omogenã, centrul de greutate al mãrfii va coincide cu centrul volumului compartimentului respectiv. În cazul tancurilor parþial umplute sau umplute cu mãrfuri diferite, poziþia centrului de greutate al masei din compartiment se poate aproxima þinând cont de gradul de umplere al compartimentului sau de tipul de mãrfuri din compartiment.

3. Calculul momentelor statice faþã de linia de bazã # $. .L B ºi planul cuplului

maestru . Se calculeazã aceste momente fãcând produsul dintre greutãþi ºi braþele lor

mãsurate faþã de # $. . iL B KG ºi faþã de # $ix .

În final, se pot determina coordonatele centrului de greutate utilizând relaþiile urmãtoare:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

32

;LBG

M MKG x A& &? ?

@ @ (7.3)

În publicaþiile de specialitate de limbã englezã, pentru a desemna poziþia centrului de greutate al navei G , în locul coordonatelor KG ºi Gx se pot întâlni notaþiile VCG (vertical centre of gravity), respectiv LCG (longitudinal centre of gravity). Valorile acestor mãrimi pot fi mãsurate fie de la mijlocul lungimii navei, fie de la ppP .

În multe cazuri din timpul exploatãrii navei, poziþia centrului de greutate se modificã datoritã ambarcãrii, debarcãrii sau deplasãrii de greutãþi la bord.

1) Ambarcarea (Debarcarea) de greutãþi la bord În continuare, se va considera numai efectul ambarcãrii maselor; debarcarea

fiind consideratã ca o ambarcare de mase negative. Se considerã o masã P ambarcatã într-un punct # $1 1 1, ,A x y z ; datele iniþiale despre navã fiind: deplasamentul ? ºi poziþia

centrului de greutate # $, ,G GG x y KG . Consecinþele acestei operaþiuni asupra navei sunt

multiple, incluzând modificarea deplasamentului ºi a poziþiei centrului de greutate. Astfel, noul deplasament se va calcula cu relaþia:

1 P? & ? ' (7.4) iar noile coordonate ale centrului de greutate, cu relaþiile:

# $

1 1G G G

Px x x x

P& ' (? ' (7.5)

# $

1 1G G G

Py y y y

P& ' (? ' (7.6)

# $1 1

PKG KG z KG

P& ' (? ' (7.7)

În unele publicaþii din literatura de specialitate, cota centrului de greutate a masei ambarcate 1z se mai noteazã cu Kg .

Tabelul 3 Braþul Momentul

Nr. crt.

Denumirea ºi amplasarea greutãþilor

Greutatea [t]

# $i iz KG

[m]

ix

[m] LBM

[t m]

MA

[t m]

1 2 3 4 5 6 7 1 A. Deplasamentul gol

?

Magazia 1

Magazia 2 Magazia 3

2 B.

Magazia 4

3 C. (3=1000 Kg/m3)

4 D. (3=1025 Kg/m3)


33

Braþul Momentul Nr. crt.

Denumirea ºi amplasarea greutãþilor

Greutatea [t]

# $i iz KG

[m]

ix

[m] LBM

[t m]

MA

[t m]

5 E. (3=960 Kg/m3)

6 F. (3=860 Kg/m3)

7 G. (3=910 Kg/m3)

8 H. Provizii

9 Deplasament ? ;LBG

M MKG x A& &? ?

@ @

Generalizare: Dacã la bordul navei se ambarcã " n " mase iP , cu centrele de

greutate în punctele # $, ,i i i iA x y z , 1i n& " , atunci noul deplasament al navei se va

calcula cu formula: 1 i

i

P? & ? '@ (7.8)

iar noile coordonate ale centrului de greutate cu formulele:

# $

1

1

1G G i i G

i

x x P x x& ' (? @ (7.9)

# $1

1

1G G i i G

i

y y P y y& ' (? @ (7.10)

# $11

1i i

i

KG KG P z KG& ' (? @ (7.11)

2) Deplasarea de greutãþi la bord. Dacã la bordul navei, masa P se deplaseazã din punctul # $, ,A x y z în punctul

# $1 1 1, ,D x y z , deplasamentul navei nu se modificã, însã se deplaseazã centrul sãu de

greutate. Ca o consecinþã a teoremei momentelor statice din "Mecanica teoreticã" se cunoaºte cã:

"Dacã în cadrul unui sistem format din mai multe corpuri, unul din corpuri se deplaseazã într-o direcþie oarecare, atunci centrul de greutate al sistemului se va deplasa în aceeaºi direcþie ºi în acelaºi sens. Raportul dintre distanþa de deplasare a centrului de greutate al corpului ºi distanþa de deplasare a centrului de greutate al sistemului este egal cu raportul dintre masa corpului ºi masa întregului sistem".

Coordonatele centrului de greutate în poziþia deplasatã se calculeazã cu formulele:

# $1 1G G

Px x x x& ' (? (7.12)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

34

# $1 1G G

Py y y y& ' (? (7.13)

# $1 1

PKG KG z z& ' (? (7.14)

8. CALCULUL ELEMENTELOR HIDROSTATICE ALE CARENEI ªI

CURBELE DE VARIAÞIE ALE ACESTORA CU PESCAJUL. DIAGRAMA DE CARENE DREPTE

Se va presupune cã nava este pe carenã dreaptã, adicã P.B. este paralel cu

planul plutirii. În continuare, vom determina variaþia cu pescajul a elementelor hidrostatice ale carenei. Acestea sunt:

- volumul carenei V , deplasamentul ? ºi coordonatele centrului de carenã , ,B Bx y KB ;

- aria plutirii WLA , abscisa centrului plutirii Fx , momentele de inerþie longitudinal xI ºi transversal fI ale plutirii;

- ariile secþiunilor transversale xA ;

- razele metacentrice: transversalã BM ºi longitudinalã LBM .

8.1 Volumul carenei, deplasamentul, coordonatele centrului de carenã

Dacã se considerã o carenã a cãrei ecuaþie, pentru jumãtatea tribord, este # $,y y x z& atunci, aºa cum se observã din figura 10, un volum prismatic elementar al

acestei carene va fi: dV y dx dz& . În consecinþã, volumul întregii carene se va calcula cu formula:

2

02

2

Ld

L

V y dx dz

(

& 9 9 (8.1)

Fig. 10


35

Cu referire la Fig. 11 vom spune cã secþiunile prin carenã paralele cu planul xoy se numesc plutiri ºi ariile lor se noteazã cu WLA , iar secþiunile paralele cu planul yoz se numesc secþiuni transversale sau "cuple" ºi ariile lor se noteazã cu xA .

Fig. 11

Volumul carenei se poate calcula folosind fie ariile plutirilor (integrare pe verticalã), fie ariile secþiunilor transversale (integrare pe lungime), cu formulele:

0

d

WLV A dz& 9 (8.2)

2

2

L

xL

V A dx

(

& 9 (8.3)

În calculele din teoria navei se folosesc toate cele trei relaþii pentru calculul volumului carenei. Aºa cum s-a arãtat în §6, volumul real al carenei este

# $1,005 1,01kV k> & & B . Mai departe, deplasamentul navei este ? & 3> .

Fig. 12

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

36

Pentru un pescaj oarecare z volumul teoretic al carenei se scrie:

0

z

WLV A dz& 9 (8.4)

Considerând diverse valori ale limitei superioare de integrare, se poate calcula volumul carenei la diverse plutiri. Se poate deci, construi o variaþie # $V V z& care se

numeºte ºi curba volumului carenei. La fel se construiesc: curba volumului real al carenei # $z> ºi curba deplasamentului # $z? . Cele trei curbe se traseazã în aceeaºi diagramã; stabilind scãri de reprezentare diferite pentru volume ºi pentru deplasament. O astfel de diagramã aratã ca în figura 12.

Derivând relaþia (8.4) obþinem:

WL

dVA

dz& (8.5)

deci, caracterul curbei volumului carenei depinde de caracterul curbei ariilor plutirilor. Din relaþia (8.5) rezultã cã tangenta trigonometricã a unghiului * , format de

tangenta într-un punct la curba # $V z cu axa ordonatelor, este egalã cu aria plutirii

corespunzãtoare acelui punct. Analizând relaþia (8.5) putem obþine informaþii ºi despre forma curbei # $V z în

vecinãtatea originii. În Fig. 13 sunt prezentate douã tipuri de nave: a) navã cu fund plat ; b) navã cu

fund stelat ºi curbele # $V z corespunzãtoare. În cazul navei cu fund plat, deoarece

00WLA % , rezultã 0* % , iar pentru nava cu

fund stelat, deoarece 0

0WLA & , rezultã 0* & , deci curba # $V z este tangentã în origine la axa ordonatelor.

Fig. 13

Curbele din Fig. 12 au o largã utilitate practicã atât în timpul proiectãrii, cât ºi în timpul exploatãrii navei. Spre exemplu, se mãsoarã pescajul la scãrile de pescaj ºi se aºeazã valoarea acestuia la scarã pe axa oz , fiind egal cu segmentul AO . Ducând o orizontalã prin punctul A ºi intersectând cele trei curbe, putem citi la scãrile volumelor ºi deplasamentului valorile lui , ,V > ? corespunzãtoare pescajului navei.


37

Dacã faþã de situaþia datã, se ambarcã o masã P , atunci se poate determina variaþia pescajului mediu d1 dupã urmãtorul algoritm. Se aºeazã în continuarea lui ? un segment la scarã egal cu P . Din extremitatea acestui segment se ridicã o verticalã pânã ce intersecteazã curba # $z? . Din punctul de intersecþie se duce o orizontalã ºi se

va citi d1 (vezi Fig. 12). Ne propunem în continuare sã stabilim semnificaþia geometricã a relaþiei (8.5).

Dacã în punctul E (vezi Fig.12), care corespunde pescajului navei, se construieºte tangenta la curba # $V z , aceasta face unghiul * cu axa oz ºi o intersecteazã în punctul E . Prin urmare:

tgWL

dV EAA

dz AB& & * & (8.6)

cum EA V& rezultã:

WL WL

EA VAB

A A& & ºi mai departe VP

WL

AB VC

A dAO& & (8.7)

Pentru a determina coordonatele centrului de carenã # $, ,B Bx y KB , se vor

considera momentele statice ale volumului carenei V în raport cu planele ; ;yz xz xy ale sistemului de coordonate.

2

02

Ld

yz x F WLL

M x A dx x A dz

(

& &9 9 (8.8)

0

d

xz F WLM y A dz& 9 (8.9)

0

d

xy WLM z A dz& 9 (8.10)

Fig. 14

Ultima egalitate din relaþia (8.8) se justificã dacã se observã din Fig. 14 cã momentul static în raport cu yz al volumului prismatic elementar WLdV A dz& este

yz F F WLdM x dV x A dz& & .

Coordonatele centrului de carenã se determinã cu formulele:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

38

; ;yz xyxzB B

M MMx y KB

V V V& & & (8.11)

Având în vedere simetria carenei faþã de PD , ceea ce înseamnã cã 0Fy & , rezultã:

0

1 d

B F WLx x A dzV

& 9 (8.12)

0By & (8.13)

0

1 d

WLKB z A dzV

& 9 (8.14)

Vom face acum observaþia cã în unele publicaþii de specialitate de limbã englezã, pentru a desemna poziþia pe lungimea navei a centrului plutirii F ºi a centrului de carenã B , în locul notaþiilor Fx ºi Bx se folosesc notaþiile LCF (position of the longitudinal centre of flotation) ºi LCB (position of the longitudinal centre of buoyancy), aceste mãrimi putând fi mãsurate fie de la mijlocul lungimii navei, fie de la

ppP .

Se mai observã din Fig. 12 cã aria triunghiului curbiliniu OED se scrie:

OED xy

V

A M z dV V KB& & &9 deci: OED OEDA AKB

V OD& & (8.15)

Aria triunghiului curbiliniu AOE se calculeazã: # $AOE AODE OEDA A A OD AO V KB V d KB& ( & C ( C & ( (8.16)

Relaþia (8.16) este echivalentã cu: # $ # $

V

V d KB d z dV( & (9 (8.17)

Membrul drept al relaþiei (8.17) reprezintã momentul static al volumului carenei în raport cu planul plutirii.

Sã construim în continuare curba de variaþie a cotei centrului de carenã cu pescajul # $KB z . Derivând în raport cu z expresia lui KB , rezultã:

2

1 1xy

xyxy xy

dM dVV M dM Md KB dVdz dz

dz V dz V dz VV

(& & ( &

1 xydM dVKB

V dz dz

+ ,& (- ./ 0 (8.18)

Þinând cont cã xyWL

dMA z

dz& ºi WL

dVA

dz& , rezultã:

# $WLAd KBz KB

dz V& ( (8.19)


39

Se observã de aici cã, în permanenþã, 0d KB

dz) deoarece z KB) ºi deci, funcþia

# $KB z nu va avea valori extreme ºi alura unei funcþii crescãtoare. Relaþia (8.19) se

poate scrie ºi în urmãtoarea formã echivalentã: # $1d KB

z KBdV V

& ( (8.20)

în care z este pescajul navei. Aºa cum se vede din Fig. 15, forma secþiunilor transversale ale unei nave este

cuprinsã între dreptunghiul de încadrare ºi un triunghi, ceea ce înseamnã cã: 1 2

2 3

dd KBD D (8.21)

Fig. 15 Fig. 16 Relaþia (8.21) este utilã pentru cã reprezintã un mijloc foarte util de verificare a

calculelor, la determinarea lui KB . În figura 16 este prezentatã variaþia # $KB z .

8.2 Aria plutirii, abscisa centrului plutirii, momentele de inerþie longitudinalã ºi

transversalã ale plutirii

Dacã se considerã o plutire oarecare (Fig. 17) atunci, faþã de sistemul de axe adoptat, aria plutirii se poare calcula cu formula:

9(

&2

2

2

L

L

WL dxyA (8.22)

unde y este semilãþimea plutirii la abscisa x .

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

40

Din considerente de simetrie a conturului plutirii faþã de axa x , centrul plutirii F se va gãsi pe aceastã axã, deci 0&Fy . Abscisa centrului plutirii se calculeazã cu formula:

WL

yF A

Mx & (8.23)

în care yM este momentul static al suprafeþei plutirii în raport cu axa y . Cum

dxyxdAxdM WLy 2&& , formula (8.23) se mai poate scrie:

9

9

(

(&2

2

2

2L

L

L

L

F

dxy

dxxy

x (8.24)

Suprafaþa haºuratã din Fig. 17 este o suprafaþã elementarã de forma unui dreptunghi, cu dimensiunile y2 ºi dx ; dxydAWL 2& . Momentul de inerþie al acestei suprafeþe elementare în raport cu axa x va fi:

# $dxy

ydxdI x

33

3

2

12

2 && (8.25)

Momentul de inerþie al întregii plutiri în raport cu axa x se poate scrie:

9(

&2

2

3

3

2

L

L

x dxyI (8.26)

Fig. 17


41

Raþionând asemãnãtor, momentul de inerþie al suprafeþei plutirii în raport cu axa y se scrie:

9(

&2

2

22

L

L

y dxxyI (8.27)

Fig. 18 Fig. 19

Momentul de inerþie al suprafeþei plutirii în raport cu axa f (axã paralelã cu oy ce trece prin centrul plutirii F ) se calculeazã aplicând teorema lui Steiner: 2

FWLyf xAII (& (8.28)

Utilizând relaþia (8.24) se poate calcula abscisa centrului plutirii pentru plutiri succesive, situate între ..BP ºi planul corespunzãtor unui pescaj oarecare, prin urmare se poate construi prin puncte curba # $zxF . Datoritã unor proprietãþi pe care le vom prezenta în continuare, curbele # $zxB ºi # $zxF se vor reprezenta la aceeaºi scarã în planul de forme.

Astfel, cele douã curbe pleacã din acelaºi punct pentru cã dacã se trece la limitã în relaþia (8.12) a lui Bx gãsim:

0

0limlimlim

0

0

000&&&

99

222 z

WL

z

WLF

z

yz

zB

z

dzA

dzAx

V

Mx

Prin aplicarea regulii lui L'Hospital se înlãturã aceastã nedeterminare ºi obþinem cã pentru FB xxz &2 ,0 .

În afarã de punctul de pornire A (Fig. 19), cele douã curbe mai pot avea un punct comun sau nu. Vom demonstra cã dacã cele douã curbe mai au un punct de

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

42

intersecþie, atunci acesta este un punct de extrem pentru Bx (punctul B din Fig.19) adicã soluþie a ecuaþiei:

0&dz

dxB . (8.29)

Sã evaluãm membrul stâng al relaþiei (8.29):

2

1 1yz

yzyz yz yzB

dM dVV MM dM Mdx d dVdz dz

dz dz V V dz V dz VV

(+ ,& & & ( &- ./ 0

..0,

--/+ (&

dz

dVx

dz

dM

V Byz1 . (8.30)

Dar 9&z

FWLyz dzxAM

0

, de unde rezultã cã FWLyz xA

dz

dM & ºi, pe de altã parte,

WLAdz

dV & . Înlocuind în (8.30) obþinem: # $BF

WLB xxV

A

dz

dx (& (8.31)

relaþie echivalentã cu: # $BF

B xxVdV

dx (& 1 . (8.32)

În felul acesta, condiþia de extrem (8.29) a funcþiei # $zxB se reduce la: BF xx & (8.33) ceea ce trebuia demonstrat.

Revenind la centrul de carenã B vom observa cã pentru orice valoare z a pescajului, poziþia sa este în ..DP , deplasându-se dupã o curbã situatã în acest plan. Pentru a duce ecuaþia acestei curbe plecãm de la: yzB

xy

Mx

MKB& sau mai departe yz

Bxy

Mx KB

M& (8.34)

Þinând cont de relaþiile (8.20) ºi (8.32) rezultã: # $tgB F Bdx x x

d KB z KB

(& & E( *( (8.35)

Cu alte cuvinte, dreapta ce uneºte centrul plutirii F , corespunzãtor unui anumit pescaj, cu poziþia centrului de carenã B este tangentã la curba centrelor de carenã în punctul respectiv (Fig. 18).

În figura 20 este prezentatã curba ariilor plutirilor în douã variante: navã cu fund stelat (Fig. 20, a) ºi navã cu fund plat (Fig. 20, b).

Aceastã curbã ne oferã informaþii complete, legate de volumul carenei la un anumit pescaj ºi distribuþia acestuia pe înãlþime. Amintim proprietãþile de bazã ale acestei curbe:


43

1) Aria mãrginitã de curbã ºi axa oz reprezintã la scara desenului volumul carenei corespunzãtor pescajului considerat: VdzAQ

d

WL && 90

(8.36)

Fig. 20 a) navã cu fund stelat b) navã cu fund plat

2) Coeficientul de fineþe al acestei arii este egal cu coeficientul de fineþe

prismatic vertical al carenei, VPC :

VPCWLCWL

CdA

V

dA

Q && (8.37)

3) Ordonata centrului de greutate al ariei mãrginitã de curbã ºi axa oz este egalã la scarã cu cota centrului de carenã KB :

0

0

d

WLxy

q d

WL

A z dzM

z KBV

A dz

& & &99

(8.38)

8.3 Ariile secþiunilor transversale. Curba ariilor secþiunilor transversale

Considerând o secþiune transversalã prin navã la o distanþã x de planul secþiunii

de la mijlocul navei (Fig. 21) atunci aria imersã a acestei secþiuni se poate calcula cu formula:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

44

Fig. 21

9&d

x dzyA

0

2 (8.39)

Dacã se calculeazã aceste arii pentru mai multe secþiuni transversale (cuple) sã zicem 21, distribuite de la pupa (cupla 0 conþine ppP ) la prova (cupla 20 conþine )pvP ,

atunci se va putea reprezenta grafic prin puncte curba # $xfAx & . Se obþine astfel curba ariilor secþiunilor transversale, care aratã ca în Fig. 22.

Fig. 22

Aceastã curbã ne defineºte pe deplin volumul carenei ºi distribuþia acestuia pe lungimea navei. Evidenþiem urmãtoarele proprietãþi ale acestei curbe:

1). Aria mãrginitã de curbã ºi axa ox reprezintã la scara desenului volumul carenei:

VdxAQ

L

L

x && 9(

2

2

(8.40)

2). Coeficientul de fineþe al acestei arii este egal cu coeficientul de fineþe prismatic longitudinal al carenei, LPC :


45

LPCLA

V

LA

Q &&AA

(8.41)

3). Abscisa centrului de greutate al suprafeþei Q este egalã la scarã cu abscisa centrului de carenã Bx :

Byz

L

L

x

L

L

x

q xV

M

dxA

dxAx

x &&&

9

9

(

(

2

2

2

2 (8.42)

8.4 Diagrama de carene drepte

Dacã asamblãm într-o singurã diagramã curbele de variaþie cu pescajul navei,

ale tuturor elementelor hidrostatice ale carenei despre care am vorbit mai sus, se obþine diagrama de carene drepte. Aceastã diagramã este întocmitã pentru nava pe carenã dreaptã, fãrã înclinãri transversale ºi longitudinale # $0&!&" , caz în care singurul parametru care defineºte plutirea este pescajul de calcul d . Din diagramã se obþin în funcþie de d urmãtoarele mãrimi: volumul carenei # $V , deplasamentul navei # $? ,

abscisa # $Bx ºi cota # $KB a centrului de carenã, abscisa centrului plutirii # $Fx , aria

plutirii # $WLA , momentele de inerþie axiale ale plutirii: longitudinal # $xI ºi transversal # $fI , precum ºi coeficienþii de fineþe VPLPBWL CCCC ,,, . Diagrama de carene drepte mai

conþine, de asemenea, curbele de variaþie cu pescajul ale razelor metacentrice: transversalã # $BM ºi longitudinalã # $LBM , despre care vom vorbi în detaliu în Capitolul III.

Modul de lucru cu diagrama de carene drepte rezultã uºor dacã se studiazã Fig.23 care reprezintã o variantã de "Diagramã de carene drepte". Astfel, pentru un pescaj de calcul fixat *d se duce o paralelã la axa absciselor, intersectându-se cu fiecare din curbele enumerate mai sus. Din punctele de intersecþie se coboarã perpendicular pe abscisã citindu-se valorile acestor mãrimi la scara lor de reprezentare.

Razele metacentrice: transversalã # $BM ºi longitudinalã # $LBM se calculeazã cu formulele:

xIBM

V& (8.43)

f

L

IBM

V& (8.44)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

46

Fig. 23

8.5 Formulele empirice pentru calculul unor mãrimi hidrostatice pe carene drepte

Pentru estimarea rapidã a unor elemente hidrostatice pe carene drepte se

folosesc, deseori, formule empirice sau semiempirice bazate pe prelucrarea statisticã a datelor existente sau pe înlocuirea curbelor reale din diagrama de carene drepte cu curbe apropiate ca formã, descrise de ecuaþii analitice.

Redãm mai jos câteva formule de calcul a unor mãrimi hidrostatice: a) Cota centrului de carenã # $KB

O astfel de formulã va fi de tipul: # $1 ,B WLKB a C C d& (8.44)

unde 1a este un coeficient care depinde de coeficientul de fineþe bloc # $BC , respectiv al ariei plutirii # $WLC .

1

1 1WL B

WL B VP

C CKB d d

C C C& &' ' 2 formula Pozdiunin; (8.45)

0,1680,372

VP

KB dC

+ ,& '- ./ 0 2 formula Vlasov; (8.46)

# $0,833 0,333 0,833 0,333BVP

WL

CKB d C d

C

+ ,& ( & (- ./ 0 2 formula Norman; (8.47)

b) Abscisa centrului de carenã # $Bx

# $0,314 pv pp

BLP

V Vx

C AA

(& 2 formula Vlasov (8.48)


47

# $

A

(&A

VVx pppv

B 45,0 2 formula Norman (8.49)

echivalentã cu: # $pp

LPpvLP

B CCL

x (& 225,0 (8.50)

În formulele de mai sus, pvV ºi ppV sunt volumele de carenã corespunzãtoare

jumãtãþilor prova ºi pupa, mãsurate de la jumãtatea lungimii navei ºi ppLP

pvLP CC ,

coeficienþii de fineþe prismatic, longitudinal, aferenþi. Prin urmare: pv

LPpv CL

AV2A& (8.51)

ppLPpp C

LAV

2A& (8.52)

c) Abscisa centrului plutirii # $Fx

# $B

AA

Cx

ppWL

pvWL

WLF

(& 314,0 2 formula Vlasov (8.53)

# $B

AAx

ppWL

pvWL

F(& 45,0 2 formula Norman (8.54)

echivalentã cu: # $pp

WLpv

WLF CCL

x (& 225,0 (8.55)

În formulele de mai sus, pvWLA ºi pp

WLA sunt ariile plutirii corespunzãtoare

jumãtãþilor prova ºi pupa, iar ppWL

pvWL CC , coeficienþii de fineþe ai acestor arii. Aºadar:

BL

CA pvWL

pvWL 2

& (8.56)

BL

CA ppWL

ppWL 2

& (8.57)

d) Razele metacentrice: transversalã # $BM ºi longitudinalã # $LBM

Pentru cele douã mãrimi se propun formule de tipul: # $ 2

2 ,WL B

BBM a C C

d& (8.58)

# $ 2

3 ,L WL B

LBM a C C

d& (8.59)

Se demonstreazã foarte uºor cã pentru cazul unui ponton paralelipipedic, coeficienþii 2a ºi 3a sunt egali cu:

12

132 && aa (8.60)

2 2

1

WL

B

C BBM

k C d& 2 formula Van-der-Fleet (8.61)

unde 1k este un coeficient cuprins între 11,2 ºi 11,9 care þine cont de forma plutirii.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

48

# $3 20,72 0, 292

48WL

B

C BBM

C d

'& 2 formula Norman (8.62)

# $ 20,0902 0,0200WL

B

C BBM

C d

(& 2 formula Vlasov (8.63)

2 2

14WL

LB

C LBM

C d& 2 formula Van-der-Fleet (8.64)

# $3 20,08 0,077 WL

LB

C LBM

C d

'& 2 formula Norman (8.65)

20,107 0,0378

8WL

LB

C LBM

C d

(& 2 formula Vlasov

(8.66)

9. CALCULUL PRACTIC DE CARENE DREPTE. METODE NUMERICE

Atât în timpul proiectãrii navei, cât ºi în decursul exploatãrii ei, apare necesitatea determinãrii unor caracteristici cum sunt: arii, volume, momente de inerþie, momente statice etc. prezentate mai jos:

1. Aria plutirii (vezi formula 8.22):

9(

&2

2

2

L

L

WL dxyA

2. Ariile secþiunilor transversale (vezi formula 8.39): 9&

d

x dzyA

0

2

3. Volumul carenei (vezi formulele 8.2 ºi 8.3):

99(

&&2

20

L

L

x

d

WL dxAdzAV

4. Momentele statice ale volumului carenei în raport cu planele sistemului de coordonate (vezi formulele 8.8 ºi 8.10):

99 &&(

d

WLF

L

L

xyz dzAxdxAxM0

2

2

9&d

WLxy dzAzM

0


49

5. Momentul static al ariei plutirii (vezi formula 8.24):

9(

&2

2

L

L

y dxxyM

6. Momentele de inerþie ale suprafeþei plutirii (vezi formulele 8.26 ºi 8.27):

9(

&2

2

3

3

2

L

L

x dxyI

9(

&2

2

22

L

L

y dxxyI

Determinarea acestor mãrimi implicã rezolvarea unor integrale de forma:

# $9(

&2

2

11

L

L

dxxfI sau # $9&d

dzzfI

0

22 .

Dacã funcþiile # $xf1 , respectiv # $zf2 ar fi cunoscute, atunci integralele 1I ºi 2I ar putea fi calculate analitic. Cum formele navei nu sunt date analitic, ele fiind definite

discret, se apeleazã la integrarea numericã a integralelor 1I ºi 2I .

Principiul de integrare numericã se bazeazã pe faptul cã # $9&b

a

dxxfI reprezintã aria cuprinsã între graficul funcþiei # $xf , axa ox ºi dreptele ax & ºi bx & .

Valoarea aproximativã a integralei se obþine dacã se divide intervalul F Gba , în porþiuni mai mici ºi apoi se însumeazã aria fiecãrei fâºii obþinute.

Formula generalã de calcul a integralei I printr-o metodã numericã este: # $ @

&&'''&

n

iiinn ykcykykykcI

11100 " (9.1)

unde # $ii xfy & cu F Gbaxi ,H . Dacã presupunem curba de formã matematicã polinom de gradul n :

# $ qpxbxaxxfy nn ''''&& ( "1 , atunci metodele de integrare numericã se pot clasifica dupã cum urmeazã:

1) metode în care intervalul F Gba , se divide în pãrþi egale având capetele ax &0

ºi bxn & , iar problema este sã gãsim coeficienþii nkkkc ",,, 10 astfel încât relaþia (9.1) sã exprime aria cãutatã (metoda trapezelor ºi metoda Simpson);

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

50

2) metode în care 110 &&&& nkkk " ºi problema constã în localizarea intervalelor din condiþia de precizie maximã (metoda Cebâºev);

Fig. 24

3) metode în care problema constã atât în determinarea coeficienþilor nkkk ",, 10 , cât ºi în localizarea intervalelor din condiþia de precizie maximã (metoda

Gauss).

Metoda trapezelor Aceastã metodã presupune cã poate înlocui curba dintre douã ordonate

consecutive cu o dreaptã de ecuaþie baxy '& (Fig. 25) ºi se poate aproxima aria patrulaterului curbiliniu ABCD cu aria trapezului ABCD având valoarea: # $ii yy

h '(12

Fig. 25

Prin generalizare ,obþinem:


51

# $ # $nn

b

a

yyyyyh

xfI '''''I& (9 1210 2222

" (9.2)

unde n

abh

(& .

Evident, cu cât n este mai mare, aproximarea integralei I este mai bunã. Un astfel de calcul se poate efectua ºi tabelar ca mai jos.

Metoda Simpson În cadrul acestei metode se pãstreazã principiul de la metoda trapezelor, însã

aproximarea funcþiei de integrat pe porþiuni nu se face prin segmente de dreaptã, ci prin arce de parabolã de gradul doi; cbxaxy ''& 2 (Fig. 26).

Fig. 26

Cunoscând trei puncte consecutive prin care trece parabola se pot determina coeficienþii cba ,, ca soluþii ale sistemului

Tabelul 4

Nr. ordonatã Ordonatã @ integralã @& integrala

2

hAria

0 0y 0 0

1 1y 10 yy ' 1I

2 2y 210 2 yyy '' 2I

#

# # #

1n- 1(ny 1(nI

n ny IIn &

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

52

57

564

''&''&''&

'''

(((

cbxaxy

cbxaxy

cbxaxy

iii

iii

iii

12

11

21

211

(9.3)

Calculând aceºti coeficienþi ºi efectuând apoi integrarea obþinem pentru aria ABCD valoarea:

# $11 43 '( '' iii yyyh

Prin generalizare, obþinem: # $ # $nnn

b

a

yyyyyyyyh

xfI ''''''''I& ((9 1243210 4224243

" (9.4)

sau:

@&*I

n

iii y

hI

03

(9.5)

unde: niii &&&* ;01 pentru ;

1,,3,14 (&&* nii "pentru ; 2,,4,22 (&&* nii "pentru .

O primã observaþie care rezultã este cã numãrul de intervale în care se divizeazã domeniul F Gba , trebuie sã fie par.

Calculul se poate realiza tabelar dupã cum urmeazã:

Tabelul 5 Nr.

ordonatã Ordonata Coeficient Simpson IIIII C

I II III IV

0 0y 1 0y

1 1y 4 14y

2 2y 2 22y

# #

1(n 1(ny 4 14 (ny

n ny 1 ny

@

JI3

hI


53

Fig. 27

Metoda Cebâºev Metoda Cebâºev este foarte cunoscutã în domeniul naval, fiind o variantã a

metodei Gauss ºi care se bazeazã pe principiul intervalelor inegale dispuse în interiorul unui interval centrat faþã de origine F Gll ,( .

Conform cu figura 27, aria ABCD este egalã cu valoarea numericã a integralei # $9

(

l

l

dxxf .

Dacã presupunem cã # $xf are forma matematicã a unui polinom de gradul n :

# $ nn xaxaxaaxf ''''& "2

210 (9.7) atunci:

# $ # $2

0 1 2

3 2 10 2 2

2 22

3 2 1

l ln

n

l l

kk

f x dx a a x a x a x dx

a l a l a lk

( (

'

& ' ' ' ' &

& ' ' ' '

9 9 "

"

(9.8)

unde 2

nk & sau 1

2

n ( dupã cum n este par sau impar.

Pe de altã parte, acceptãm pentru integrala de mai sus forma: # $ # $ # $ # $F G # $@9

&(&'''&

n

iin

l

l

xfm

lxfxfxf

m

ldxxf

121

22" (9.9)

unde F Gllxxx n ,,,, 21 (H" ºi sunt necunoscutele problemei. Dar:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

54

# $# $# $ n

nnnnn

nn

nn

xaxaxaaxf

xaxaxaaxf

xaxaxaaxf

''''&

''''&''''&

"

""""""""""""""

"

"

2210

22222102

12121101

(9.10)

Dacã introducem (9.10) în (9.9) obþinem:

# $ # $ # $# $ K

K=;

LL<:

''''''''''''''&9

(nn

nnn

nnol

lxxxa

xxxaxxxana

m

ldxxf

""

""

21

222

2122112 (9.11)

Comparând relaþiile (9.8) ºi (9.11) se obþine sistemul:

# $# $# $

57564

'&'''

&'''

&'''

&

'lnxxx

m

l

lxxxm

l

xxxm

l

lnm

l

nnn

nn

n

n

01

22

3

22

02

22

1

21

3222

21

21

"

""""""""""""

"

"

(9.12)

Din prima condiþie rezultã: nm & (9.13)

iar nxxx ,,, 21 " sunt soluþiile sistemului:

57564

'&'''

&'''&'''

'lnxxx

lxxx

xxx

nnn

nn

n

n

01

2

3

20

1

21

2222

21

21

"

""""""""""""

"

"

(9.14)

Sã particularizãm pentru cazul 2&n # $ 2

210 xaxaaxf ''&

ºi:

57564

&'&'

222

21

21

3

20

lxx

xx (9.15)

Soluþia acestui sistem este: l

lxx 5773,0

321 &&(&

În consecinþã:

dacã n este par

dacã n este impar

dacã n este par

dacã n este impar


55

# $KK=;

LL<:

..0,

--/+'..0

,--/+(&9

( 332

2 lf

lf

ldxxf

l

l

(9.16)

Similar, se pot dezvolta formule pentru orice numãr de termeni, coeficienþii fiind prezentaþi în tabelul de mai jos.

Aplicarea metodei Cebâºev presupune parcurgerea urmãtorului algoritm: - se adoptã numãrul n în funcþie de complexitatea curbei; - se calculeazã abscisele ix cu relaþia:

lkx ii & (9.17)

- se extrag # $ixf ;

- se calculeazã valoarea integralei cu relaþia: # $ # $@9

&(&

n

ii

l

l

xfn

ldxxf

1

2 (9.18)

În cazul integrãrii numerice se poate apela cu succes la mijloacele automate de calcul putându-se folosi programe specializate existente în acest scop.

10. CALCULUL DE CARENE ÎNCLINATE Formulele de calcul pentru elementele hidrostatice ale carenei deduse anterior sunt valabile, aºa cum am arãtat în ipoteza de - navã pe carenã dreaptã - # $0&!&" . În procesul de exploatare a navei însã, în marea majoritate a cazurilor, nava are o poziþie oarecare în raport cu suprafaþa apei, înclinatã atât transversal, cât ºi longitudinal. În cele ce urmeazã vom stabili relaþii de calcul care sã permitã determinarea volumului carenei V ºi a coordonatelor centrului de carenã BBB zyx ,, pentru o poziþie oarecare a navei.

n ik

2 M 0,5773

3 0 ; M 0,7071

4 M 0,1876 M 0,7947

5 0 ; M 0,3745 M 0,8325

6 M 0,2666 M 0,4225 M 0,8662

7 0 ; M 0,3239 M 0,5297 M 0,8839

8 M 0,1026 M 0,4062 M 0,5938 M 0,8974

9 0 ; M 0,1679 M 0,5288 M 0,6010 M 0,9116

10 M 0,0838 M0,3127 M 0,5000 M 0,6873 M 0,9162

Tabelul 6

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

56

10.1 Diagrama Bonjean Sã considerãm o secþiune transversalã oarecare prin navã ca în Fig. 28, a. Aºa cum am arãtat anterior, aria imersã a acestei secþiuni se calculeazã cu formula (8.39).

9&d

x dzyA

0

2

Fig. 28 Aria imersã a acestei secþiuni transversale de la ..BL pânã la o plutire oarecare având pescajul z se calculeazã cu formula: # $ 9&

z

x dzyzA

0

2 (10.1)

Variaþia acestei arii în funcþie de pescaj este prezentatã în Fig. 28, b respectiv corespunzãtor unui pescaj oarecare z , se aºeazã pe orizontalã un segment '' FE egal cu valoarea lui # $zAx la o scarã de reprezentare convenabil aleasã. În felul acesta se poate calcula pentru orice plutire WL aria secþiunii transversale imerse. Deoarece în multe probleme din teoria navei intereseazã întreaga arie a secþiunii transversale (de exemplu: calculul volumului etanº al corpului navei), este necesar sã se calculeze ºi sã se introducã în grafic ºi aria mãrginitã de curbura transversalã a punþii, adicã porþiunea 'CC . În cele mai multe cazuri, selatura punþii în sens transversal este parabolicã cu sãgeata

5030

BBf B& .

Aria corespunzãtoare acestei selaturi care va trebui adãugatã este fBAx 3

2&? .


57

Vom mai observa cã C este punct de inflexiune pentru curba # $zAx , iar tangenta în punctul 'C este paralelã cu axa oz . La navele construite din lemn, dimensiunile de calcul ale secþiunii transversale se considerã la exteriorul bordajului, în timp ce la navele metalice, aceleaºi dimensiuni se mãsoarã la interiorul bordajului. Reprezentarea graficã asamblatã a variaþiei ariilor secþiunilor transversale, pentru toate cuplele navei, poartã denumirea de diagrama Bonjean, de la numele inginerului francez care a propus aceastã reprezentare.

Fig. 29 Într-o primã variantã, pentru trasarea diagramei Bonjean se traseazã conturul corpului navei în ..DP , precum ºi proiecþia pe acest plan a liniei punþii în bord, alegându-se scãri diferite de reprezentare pentru lungimea navei ºi înãlþimea ei, realizându-se astfel o "contracþie" a navei pe lungime (Fig. 29). Pe acest contur se mai traseazã cuplele pentru care s-au efectuat calculele ariilor precum ºi liniile suprastructurilor cum sunt duneta ºi teuga. Se completeazã desenul cu trasarea curbelor # $xiA z , precum ºi cu scãrile de reprezentare. Diagrama Bonjean poate fi reprezentatã ºi într-o altã formã (Fig. 30), înlocuind reprezentarea # $zAx corespunzãtoare fiecãrei cuple cu o scalã pe care sunt reprezentate numeric ariile imerse.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

58

Fig. 30 În prima variantã, pentru o plutire oarecare WL a gãsi aria imersã a cuplei 3 înseamnã a înmulþi segmentul AB cu scara ariilor. În a doua variantã, este mult mai uºor sã citim pe scala ariilor la intersecþia dintre WL ºi cupla 3. Existã ºi o a treia modalitate de reprezentare a diagramei Bonjean (Fig. 31) trasând curbele # $zAx raportate la aceeaºi axã verticalã, cele din jumãtatea prova fiind în dreapta axei, iar cele din jumãtatea pupa în stânga axei, conform convenþiei. O astfel de reprezentare prezintã avantajul cã ocupã mai puþin spaþiu, dar prezintã dezavantajul necunoaºterii pescajului corespunzãtor cuplei pentru o plutire oarecare. Acesta se va calcula cu formula: tgx md d x& ' ! (10.2) unde md este pescajul mediu al navei sau pescajul la cuplul maestru. Diagrama Bonjean se foloseºte pentru rezolvarea unor probleme importante de teoria navei. Astfel, cu ajutorul diagramei Bonjean este uºor de calculat volumul carenei ºi coordonatele centrului de carenã pentru o plutire oarecare, înclinatã în plan longitudinal.

Fig. 31


59

Cunoscute fiind formulele:

9(

&2

2

L

L

x dxAV ºi 9(

&2

2

1

L

L

xB dxAxV

x

ºi din diagrama Bonjean valorile ariilor imerse ale cuplelor xA , aplicând apoi o procedurã de integrare numericã, problema este rezolvatã. Din considerente de simetrie, când nava nu este înclinatã transversal # $0" & , centrul de carenã se gãseºte în ..DP , deci 0&By , iar cota centrului de carenã faþã de linia plutirii se calculeazã cu relaþia:

9 9(

&2

20

1

L

L

z

xWL dxdzAV

z (10.3)

Cunoscând Bx ºi WLz se poate poziþiona exact centrul de carenã B cunoscând ºi poziþia plutirii înclinatã longitudinal WL dupã urmãtorul algoritm (Fig.32).

Fig. 32

- se mãsoarã Bx de la cuplul maestru ; - se determinã punctul A la intersecþia verticalei dusã la Bx cu plutirea

înclinatã WL ; - se mãsoarã de la punctul A în jos pe verticalã, valoarea WLz ºi se

gãseºte poziþia lui B . 10.2 Diagrama de asietã Dacã în diagrama Bonjean se construiesc o serie de plutiri, calculându-se pentru fiecare volumul de carenã corespunzãtor # $V ºi abscisa centrului de carenã

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

60

# $Bx se poate construi diagrama de asietã, foarte utilã din punct de vedere practic. Un model de diagramã de asietã este prezentatã în Fig. 33.

Fig. 33 În "diagrama de asietã" sunt prezentate curbele const.&iV ºi const.&Bix

Intrându-se cu pescajele *pvd ºi *

ppd mãsurate la scãrile de pescaj, se determinã poziþia punctului A de pe diagramã ºi prin interpolare vom obþine volumul carenei

*V ºi abscisa centrului de carenã *Bx , corespunzãtoare acestei situaþii de plutire.

Aºadar, "diagrama de asietã" permite determinarea mãrimilor V ºi Bx , oricare ar fi pescajele pvd ºi ppd cunoscute.

10.3 Calculul volumului carenei ºi a coordonatelor centrului de carenã pentru o plutire oarecare. Curbele integrale ale secþiunilor

transversale Aºa cum am arãtat în §5, o plutire oarecare a unei nave este definitã de urmãtorii trei parametri: pescajul mediu md , înclinarea longitudinalã ! ºi înclinarea transversalã " . Pentru o secþiune transversalã oarecare din navã, pescajul în ..DP se poate calcula cu formula: tgx md d x& ' ! (10.4)


61

Fig. 34 unde x este distanþa de la secþiunea transversalã la planul secþiunii de la mijlocul navei. Reamintim cã 0)x atunci când secþiunea se gãseºte în prova ºi 0)! când nava este aprovatã. De asemenea urma plutirii pe aceastã secþiune va face unghiul " cu ..BP Sã considerãm, pentru început, o secþiune transversalã oarecare ca în Fig. 34. Secþiunea fiind simetricã faþã de axa oz vom nota cu # $zAt - aria jumãtãþii de secþiune, cu # $zM y - momentul static al aceleiaºi suprafeþe în raport cu axa oy ,

respectiv cu # $zM z - momentul static în raport cu axa oz . Formulele de calcul pentru aceste mãrimi sunt: # $ 9&

z

t dzyzA

0

(10.5)

# $ # $zbdzzyzMz

y && 90

(10.6)

# $ # $zcdzyzMz

z && 90

2

2

1 (10.7)

Reprezentarea graficã a variaþiilor # $zAt ; # $zM y ºi # $zM z poartã numele de "curbele integrale ale secþiunii transversale". Valorile acestor mãrimi pentru o plutire dreaptã de pescaj d sunt prezentate în Fig. 34, b. Sã considerãm, în continuare, o secþiune transversalã situatã la abscisa ix ºi corespunzãtoare "curbele integrale" (Fig. 35) ºi o plutire WL înclinatã în sens

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

62

transversal. Ne propunem sã gãsim o modalitate de calcul a aceloraºi mãrimi pentru porþiunea imersã corespunzãtoare acestei secþiuni transversale.

Fig. 35 Plutirea înclinatã intersecteazã ..DP în A ºi conturul secþiunii transversale în punctele W ºi L , echivalente unor plutiri drepte ºi pentru care se citesc din curbele integrale valorile: 0 0 0 1 1 1, , , ,respectivt tA b c A b c . Aria imersã WOFL a secþiunii transversale se poate scrie:

WEAWOEDALDOFLWOFL ariaariaariaariaaria ''(& Momentul static al suprafeþei WOFL în raport cu axele oy ºi oz se exprimã ca sumã algebricã a momentelor suprafeþelor ce o compun (pentru momentul în raport cu axa oz se va observa cã suprafeþele din dreapta axei au momentul pozitiv ºi cele din stânga negativ). Componentele ariei ºi ale momentelor statice în raport cu axele oy ºi oz se calculeazã cu formulele:

1

21

0

20

1tg

2

1tg

2

aria

aria

aria

aria

t

t

DOFL A

DAL y

WOE A

WEA y

&& "&& "

Pentru momentele statice în raport cu axa oz :


63

1

31

0

30

1tg

6

1tg

6

mom. static aria

mom. static aria

mom. static aria

mom. static aria

DOFL c

DAL y

WOE c

WEA y

&& "&& ( "

Pentru momentele statice în raport cu axa oy :

1

21 1

0

20 0

1 2tg tg

2 3

1 2tg tg

2 3

mom. static aria

mom. static aria

mom. static aria

mom. static aria

xi

xi

DOFL b

DAL y d y

WOE c

WEA y d y

&+ ,& " ' "- ./ 0

&+ ,& " ( "- ./ 0

Cunoscând componentele, se pot calcula: aria cuplei imerse xiA ºi momentele statice ale acesteia în raport cu axele oz ºi oy , respectiv ziM ºi yiM :

2 21 1 0 0

1 1tg tg

2 2xi t tA A y A y& ( " ' ' " (10.8)

3 31 1 0 0

1 1tg tg

6 6ziM c y c y& ( "( ( " (10.9)

2 21 1 1 0 0 0

1 2 1 2tg tg tg tg

2 3 2 3yi xi xiM b y d y b y d y+ , + ,& ( " ' " ' ' " ( "- . - ./ 0 / 0 (10.10)

Dacã în (10.10) introducem (10.4), se mai poate scrie:

# $ # $ # $2 2 2 2 3 3 21 0 1 0 1 0 1 0

1tg tg tg tg

2 2 3m

yi

d xM b b y y y y y y& ' ( ( "( ( ! " ( ' " (10.11)

Odatã determinate aceste mãrimi, pentru orice secþiune transversalã se pot calcula, volumul carenei ºi coordonatele centrului de carenã pentru aceastã plutire oarecare, cu ajutorul relaþiilor:

9(

&2

2

L

L

xi dxAV (10.12)

9(

&2

2

1

L

L

xiB dxAxV

x (10.13)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

64

01

2

2

%& 9(

L

L

ziB dxMV

y (10.14)

2

2

1L

yiL

KB M dxV

(

& 9 (10.15)

11. INFLUENÞA AMBARCÃRII ªI DEBARCÃRII DE MASE LA BORD

ASUPRA FLOTABILITÃÞII NAVEI. DEPLASAMENTUL UNITAR Ambarcarea sau debarcarea de mase la bord modificã flotabilitatea navei, poziþia în raport cu suprafaþa liberã a apei ºi stabilitatea acesteia. Deoarece în acest paragraf analizãm influenþa ambarcãrii ºi debarcãrii de mase la bord asupra flotabilitãþii, vom considera cã masa se ambarcã într-un punct, astfel încât, în urma acestei operaþiuni, nava sã rãmânã pe carenã dreaptã (riguros vorbind, acest lucru nu este posibil). Convenim cã masele ambarcate sunt pozitive, iar cele debarcate negative. Nava are deplasamentul iniþial ? ºi volumul de carenã corespunzãtor V ºi se ambarcã masa P în punctul având coordonatele .,, PPP zyx Noul deplasament va fi: P'?&?1 (11.1) Volumul carenei se va modifica corespunzãtor pentru a compensa modificarea deplasamentului: VVV 1'&1 (11.2) Concomitent cu modificarea deplasamentului ºi a volumului carenei se vor modifica: pescajul, coordonatele centrului de greutate ºi coordonatele centrului de carenã. Studiul ambarcãrii ºi debarcãrii de mase la bord se face în douã variante distincte: ambarcarea de mase mici # $?D 1,0P ºi ambarcarea de mase mari # $?) 1,0P . 11.1 Ambarcarea de mase mici # $?D 1,0P Presupunem cã în zona plutirii bordurile navei sunt verticale deci, aria plutirii rãmâne constantã. Din condiþia: 11 V3&? (11.3) care implicã: dAVP WL 13&13& (11.4) rezultã cã variaþia pescajului mediu se va calcula cu formula:


65

WLA

Pd 3&1 (11.5)

sau, altfel spus, variaþia pescajului mediu se determinã din condiþia ca volumul suplimentar V1 al carenei sã fie egal cu un cilindru care are ca bazã suprafaþa plutirii

WLA ºi ca înãlþime d1 .

Considerând cã centrul de greutate iniþial al navei are coordonatele ;0;Gx KG , se

vor produce variaþii ale acestor coordonate cu cantitãþile # $, ,G Gx y KG1 1 1 (Fig.36).

Pentru a calcula aceste mãrimi, vom scrie teorema momentelor în raport cu cele trei plane ale sistemului de coordonate: # $# $ PGGG xPxPxx '?&'?1' (11.6) # $ PG yPPy &'?1 (11.7)

# $ # $ PKG KG P KG P z: ;' 1 ? ' & ? '< = (11.8)

Rezultã: # $GPG xx

P

Px ('?&1 (11.9)

PG yP

Py '?&1 (11.10)

# $ # $P

PKG z KG

P1 & (? ' (11.11)

a)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

66

b)

Fig. 36 Noua poziþie a centrului de greutate al navei va fi 1G de coordonate: GGG xxx 1'&

1 (11.12)

GGG yyy 1'&1

(11.13)

# $1KG KG KG& ' 1 (11.14)

Pentru calculul variaþiilor coordonatelor centrului de carenã, apelãm la acelaºi raþionament, considerând VVV zyx ,, coordonatele centrului de greutate al volumului suplimentar V1 . Scriind teorema momentelor pentru volumul de carenã în raport cu cele trei plane ale sistemului de coordonate: # $# $ VBBB xVxVVVxx 1'&1'1' (11.15) # $ VB yVVVy 1&1'1 (11.16)

# $ # $ VKB KB V V V KB V z: ;' 1 ' 1 & ' 1< = (11.17)

ºi þinând cont cã 2

;0;d

dzyxx VVFV1'&&& obþinem:

# $BFB xxVV

Vx (1'

1&1 (11.18)

0&1 By (11.19)

# $2

V dKB d KB

V V

1 1+ ,1 & ' (- .' 1 / 0 (11.20)

Având în vedere cã:

P

P

VV

V

'?&1'1 (11.21)

relaþiile anterioare se rescriu: # $BFB xx

P

Px ('?&1 (11.22)


67

0&1 By (11.23)

# $2

P dKB d KB

P

1+ ,1 & ' (- .? ' / 0 (11.24)

Pentru ca în urma ambarcãrii/debarcãrii de greutãþi nava sã nu capete înclinãri transversale ºi/sau longitudinale, este necesar ca cele douã centre - de carenã ºi de greutate - în poziþii deplasate, sã se gãseascã pe aceeaºi verticalã; deci, cantitãþile cu care s-au deplasat în plan orizontal sã fie egale, adicã: BG xx 1&1 ºi BG yy 1&1 . Rezultã: BFGP xxxx (&( (11.25) 0&Py (11.26) Cum nava era iniþial pe carenã dreaptã, deci BG xx & gãsim:

0&&

P

FP

y

xx (11.27)

Fig. 37 În concluzie, pentru ca prin ambarcarea/debarcarea de mase la bord nava sã nu capete înclinãri suplimentare, este necesar ca operaþiunea sã se efectueze pe verticala centrului plutirii iniþiale. 11.2 Ambarcarea de mase mari # $?) 1,0P În timpul exploatãrii navei, apar deseori situaþii în care masele ambarcate sau debarcate depãºesc limita de ?1,0 , situaþie în care bordurile navei nu mai sunt verticale în zona de variaþie a pescajului. Spre exemplu, în decursul operaþiilor de încãrcare/descãrcare masa ambarcatã/debarcatã poate depãºi de mai multe ori deplasamentul navei goale. Dacã dintr-o anumitã situaþie de încãrcare se ambarcã masa P , care poate fi ºi o sumã de mase parþiale, adicã iPP @& ºi dacã iii zyx ,, sunt

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

68

coordonatele centrului de greutate ale masei parþiale iP , atunci noile coordonate ale centrului de greutate se vor calcula cu formulele:

i

iiGG P

xPxx @'?

@'?&1

(11.28)

i

iiG P

yPy @'?

@&1

(11.29)

1i i

i

KG P zKG

P

? ' @& ? ' @ (11.30)

Pentru determinarea pescajului final ºi a noilor coordonate ale centrului de carenã, se utilizeazã diagrama de carene drepte (Fig. 37), mai precis se folosesc curbele: # $ # $zxz B;? ºi # $KB z .

Fig. 38 Aºezând la scara deplasamentului valoarea deplasamentului iniþial ? , ridicând o verticalã ºi intersectând cu # $z? , putem citi pe axa z valoarea d a pescajului corespunzãtor acestei situaþii de încãrcare. Aºezând în continuarea lui ? valoarea lui P ºi repetând algoritmul, se obþine variaþia pescajului d1 , precum ºi variaþiile Bx1 ºi # $KB1 ºi implicit noile valori ale pescajului 1d , abscisei centrului de carenã

1Bx , cotei

centrului de carenã 1KB . 11.3 Deplasamentul unitar Deplasamentul unitar este masa ce trebuie ambarcatã pe o navã fãrã a-i modifica poziþia în raport cu suprafaþa liberã a apei, pentru ca pescajul sã se modifice cu 1 cm.

Dacã în relaþia (11.5) se face mcmd100

11 &&1 , se obþine formula de calcul a

deplasamentului unitar:

TPCA

q WL &3&100

(11.31)


69

În publicaþiile de limbã englezã aceastã mãrime se mai noteazã cu # $CentimetreperTonnesTPC .

Din relaþia (11.31) rezultã cã valoarea deplasamentului unitar depinde de mãrimea pescajului; adicã # $zqq & ºi aceastã variaþie are aceeaºi formã cu # $zAWL ; graficul fiind prezentat în Fig. 38. Curbele # $zq se utilizeazã în special la navele de transport mãrfuri, care au pescaje ce variazã foarte mult în timpul operaþiunilor de încãrcare/descãrcare. În concluzie, dacã nava are pescajul d ºi ambarcã masa P , variaþia pescajului în centimetri este:

# $ F GcmTPC

P

dq

Pd &&1 (11.32)

12. INFLUENÞA MODIFICÃRII SALINITÃÞII APEI ASUPRA PESCAJULUI

MEDIU AL NAVEI În timpul exploatãrii, se por ivi des situaþii în care nava trece de pe mare pe apele interioare dulci ºi invers. O astfel de situaþie este acompaniatã de modificãri care se produc asupra flotabilitãþii navei. Ne vom referi în continuare la modificarea pescajului mediu al navei ºi la variaþia coordonatelor centrului de carenã. a) Variaþia pescajului mediu Din ecuaþia fundamentalã a flotabilitãþii navei, rezultã: 3

?&V (12.1)

Prin modificarea salinitãþii apei la trecerea navei din apã sãratã în apã dulce ºi invers, singura mãrime care nu-ºi schimbã valoarea este deplasamentul navei: 11 VV 3&3&? (12.2) unde 3 ºi V sunt densitatea ºi volumul de carenã corespunzãtoare mediului iniþial, iar

13 ºi 1V corespund mediului final. Dacã se exprimã volumul de carenã final în forma: VVV 1'&1 , introducând în (12.2), obþinem:

VV1

1

33(3&1 (12.3)

Dacã în zona plutirii, nava are borduri verticale, atunci variaþia volumului V1 se poate scrie: dAV WL 1&1 (12.4) ºi relaþia (12.3) devine:

WLWL A

V

A

Vd ..0

,--/+ (33&3

3(3&1 111

1 (12.5)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

70

Bazându-ne pe urmãtoarele relaþii care au fost demonstrate anterior:

BLCA

dBLCV

WLWL

B

&&

(12.6)

înlocuind în (12.5), gãsim în final: d

C

Cd

WL

B ..0,

--/+ (33&1 11

(12.7)

Notãm 3(3&13 1 ºi vom rescrie relaþia (12.7) în formã adimensionalã:

1313(&1

WL

B

C

C

d

d (12.8)

Se observã cã d1 ºi 13 au semne inverse atunci când nava trece din apã dulce în apã sãratã # $0)13 , pescajul se micºoreazã # $0d1 D . În cazul trecerii de pe mare pe apã interioarã dulce # $0D13 ºi # $0d1 ) deci, pescajul navei creºte.

Fig. 39 Sã calculãm spre exemplu, variaþia relativã a pescajului unei nave, la trecerea din apã sãratã cu 3/025,1 mt&3 în apã dulce cu 3

1 /0,1 mt&3 . Adoptând pentru raportul WL

B

C

C

valoarea medie 0,85, obþinem: %2021,0

0,1

025,085,0 I&&1

d

d (12.9)

Deci, pescajul creºte cu aproximativ douã procente. În literatura de specialitate în limba englezã, valoarea d1 , corespunzãtoare acestei situaþii, se mai noteazã cu FWA (Fresh Water Allowance). b) Variaþia coordonatelor centrului de carenã Variaþia salinitãþii apei conduce la variaþia pescajului navei ºi, implicit, la variaþia coordonatelor centrului de carenã. Situaþia creatã se poate observa ºi în Fig.39.


71

Considerând volumul suplimentar de formã cilindricã dAV WL 1&1 ºi centrul sãu de greutate situat la distanþa

2

dd

1' faþã de ..BP ºi la distanþa Fx faþã de planul secþiunii

de la mijlocul navei, scriind teorema momentelor în raport cu plane care trec prin centrul de carenã iniþial, rezultã: # $ # $BFB xxVxVV (1&11' (12.10)

# $ # $2

dV V KB V d KB

1+ ,' 1 1 & 1 ' (- ./ 0 (12.11)

Coordonata By a centrului de carenã iniþial va rãmâne neschimbatã datoritã simetriei corpului navei faþã de ..DP Dacã în relaþiile (12.10) ºi (12.11) înlocuim expresia (12.3) a lui V1 , se obþin urmãtoarele formule de calcul pentru variaþiile coordonatelor centrului de carenã: # $ # $BFB xxx (3

3(3(&11

1 (12.12)

# $ # $1

1 2

dKB d KB

3 (3 1+ ,1 & ( ' (- .3 / 0 (12.13)

Analizând relaþiile (12.12) ºi (12.13) se pot constata urmãtoarele: - Semnul lui Bx1 depinde de formele navei, respectiv de poziþia relativã a celor douã centre F ºi B . - Semnul lui # $KB1 depinde de variaþia densitãþii 13 . Astfel la trecerea din apã sãratã în apã dulce, # $ 01 D3(3 ºi # $ 0KB1 ) , deci centrul de carenã urcã pe verticalã ºi invers. În concluzie, modificarea salinitãþii apei determinã atât modificarea pescajului mediu al navei cât ºi a coordonatelor centrului de carenã. În condiþiile în care centrul de greutate rãmâne fix, neavând loc deplasãri de mase la bord, cele douã centre B ºi G nu se vor mai gãsi pe aceeaºi verticalã. Cuplul creat de forþa de greutate ºi forþa de împingere arhimedicã va înclina nava în sens longitudinal, modificându-i asieta. Detalii asupra calculului asietei navei la modificarea salinitãþii apei sunt date în § 23.

13. REZERVA DE FLOTABILITATE. MARCA DE BORD LIBER Prin definiþie, rezerva de flotabilitate este volumul etanº al navei situat deasupra liniei plutirii. Rezerva de flotabilitate poate fi interpretatã ca fiind volumul de apã ce poate fi ambarcat la bord pentru ca nava sã ajungã în situaþia de "plutire submarinã". Evident cã mãsura rezervei de flotabilitate este bordul liber al navei F (Fig. 40). Prin definiþie, bordul liber atribuit este distanþa mãsuratã pe verticalã la mijlocul navei, între marginea superioarã a liniei punþii ºi marginea superioarã a liniei de încãrcare corespunzãtoare.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

72

Rezerva de flotabilitate este deosebit de importantã, în special, în cazurile când nava suferã avarii la corp ºi un compartiment sau un grup de compartimente sunt inundate. În aceste situaþii, nava îºi modificã parametrii de flotabilitate mãrindu-ºi pescajul mediu ºi înclinându-se longitudinal ºi/sau transversal.

Fig. 40 Asigurarea rezervei de flotabilitate depinde de rigiditatea corpului (rezistenþa generalã ºi localã) ºi etanºeitatea lui. Bordul liber, la o navã comercialã, variazã în limite largi, în funcþie de cantitatea de marfã. Stabilirea bordului liber minim pentru navele de transport maritim, se face conform "Convenþiei internaþionale asupra liniilor de încãrcare" - Londra 1966. Astfel, navele sunt împãrþite în douã categorii: 1. Navele de tipul "A" - sunt nave special construite pentru a transporta mãrfuri lichide în vrac. La aceste nave deschiderile în tancurile de marfã sunt de mici dimensiuni, acoperite cu capace rezistente ºi garnituri etanºe. O astfel de navã trebuie sã aibã un grad foarte mare de etanºeitate a punþilor principale; de asemenea, transportând mãrfuri lichide în vrac, etanºeitatea este sporitã ºi asemãnãtor ºi rezistenþa la inundare. 2. Nave de tipul "B" - sunt nave care nu satisfac condiþiile pentru tipul "A" Înãlþimea bordului se determinã în practicã cu ajutorul "mãrcii de bord liber". Aceasta este amplasatã în fiecare bord la mijlocul navei ºi constã din: - linia punþii; - discul de bord liber (denumit ºi discul Plimsoll) situat sub linia punþii, tãiat de o bandã orizontalã, a cãrei margine superioarã trece prin centrul discului ºi este situatã faþã de linia de punþii la o distanþã egalã cu bordul liber minim de varã (Fig.41). Având stabilit bordul liber de varã, relaþiile dintre acesta ºi celelalte linii de încãrcare pentru diferite zone geografice ºi anotimpuri sunt prezentate în continuare. 1. Linia de încãrcare de varã (Summer load line) este indicatã prin marginea superioarã a benzii ce trece prin centrul discului, fiind marcatã cu # $SV . Distanþa mãsuratã în milimetri de la aceastã linie ºi linia punþii reprezintã bordul liber minim de varã (Summer freeboard).


73

Fig. 41 2. Linia de încãrcare la tropice (Tropical load line) este situatã deasupra liniei de încãrcare de varã la o distanþã egalã cu 1/48 din pescajul de varã al navei, fiind marcatã cu # $TT . 3. Linia de încãrcare de iarnã (Winter load line) este situatã sub linia de încãrcare de varã la o distanþã egalã cu 1/48 din pescajul de varã al navei, fiind marcatã cu # $WI . 4. Linia de încãrcare de iarnã în Atlanticul de Nord (Winter Nord Atlantic load line) este marcatã cu # $WNAIAN . Pentru navele cu lungimea mai micã de m100 , aceastã linie se obþine majorând cu mm50 bordul liber minim de iarnã. Pentru celelalte nave, aceastã linie coincide cu linia de încãrcare de iarnã. 5. Linia de încãrcare de varã în apã dulce (Summer fresh water load line) este indicatã de marginea superioarã a unei benzi marcatã cu # $FD . Distanþa de la marginea superioarã a acestei benzi pânã la linia de varã este egalã cu variaþia pescajului mediu al navei la trecerea din apã sãratã cu 3/025,1 mt&3 în apã dulce cu 3

1 /0,1 mt&3 # $FWA . 6. Linia de încãrcare la tropice în apã dulce (Tropical fresh water load line) este indicatã de marginea superioarã a unei benzi marcatã cu # $TFTD . Distanþa de la marginea superioarã a acestei benzi pânã la linia de încãrcare de varã în apã dulce # $D reprezintã modificarea pescajului care este admisã în apã dulce faþã de bordul liber la tropice. La navele care transportã cherestea pe punte se prevãd linii de încãrcare suplimentare, plasate în stânga discului de bord liber cu liniile de încãrcare, având aceeaºi specificaþie.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

74

PROBLEME REZOLVATE Problema 1 O navã tip ponton paralelipipedic are: 100 , 10 , 4L m B m d m& & & în apã cu densitatea de 31,010 /t m . Sã se gãseascã: (a) deplasamentul; (b) noul pescaj dacã se încarcã 750 t de marfã; (c) noul pescaj dacã densitatea mediului în care navigheazã este de 31.025 /t m ;

(d) noul pescaj dacã ajunge în port, unde densitatea apei este 31,005 /t m ; (e) câtã marfã trebuie descãrcatã în port pentru ca pescajul final sã fie de 3,5 m . Rezolvare: (a) Deplasamentul pontonului se calculeazã cu formula: 1,010 100 10 4 4040L B d t? & 3 & C C C & (b) Încãrcându-se masa 750P t& de marfã, noul pescaj se calculeazã cu relaþia: 1

4040 7504,743

1,010 100 10

Pd m

L B

? ' '& & &3 C C

(c) Când salinitatea apei îºi schimbã valoarea de la 31,010 /t m3 & la 3

2 1,025 /t m3 & pescajul ajunge la valoarea:

2 12

1,0104,743 4,673

1,025d d m

3& & &3

(d) În port, unde densitatea apei este 33 1,005 /t m3 & , pescajul va fi:

33

4040 7504,766

1,005 100 10

Pd m

L B

? ' '& & &3 C C

(e) Plecând de la pescajul final, rezultat în urma descãrcãrii de marfã, rezultã deplasamentul final 4 3 4 1,005 100 10 3,5 3517,5L B d t? & 3 C C C & C C C & Cantitatea de marfã descãrcatã este: # $ # $4 4 4040 750 3517,5 1272,5P P t& ? ' ( ? & ' ( &

Problema 2 O navã cu deplasamentul de 16450 t ºi 9,3KG m& efectueazã operaþiuni de încãrcare ºi descãrcare de marfã dupã cum urmeazã:


75

Masa F Gt [ ]Kg m

Încãrcare 1427 8,6 2964 4,6 1930 12,0

Descãrcare 2000 11,8 483 6,4

Gãsiþi valoarea finalã a lui KG . Rezolvare: Calculele se vor executa tabelar, considerând toate categoriile de greutãþi ºi momentele statice ale acestora faþã de PB .

Masa F Gt F G;KG Kg m Momentul faþã de F GPB t mC

16450 9,3 152985 1427 8,6 12272,2

2964 4,6 13634,4

1930 12,0 23160,0

-2000 11,8 -23600

-483 6,4 -3091,2

1? & 20288 LBM &@ 175360,4

11

175360, 48,643

20288

LBMKG m& & &?

@

Problema 3 O navã cu deplasamentul de 12500 t ºi 9,6KG m& încarcã marfã la bord dupã cum urmeazã:

Masa F Gt F GKg m

1000 5,5 850 13,6

Sã se calculeze cota centrului de greutate # $Kg al unei mase de 1600 t care va mai

trebui încãrcatã la bord, astfel încât cota centrului de greutate al navei, rezultatã în urma acestor operaþiuni sã fie 1 9,5KG m& .

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

76

Rezolvare: Notãm cu x , Kg cãutat. Vom rezolva problema tabelar.

Masa F Gt F G;KG Kg m Momentul faþã de F GPB t mC

12500 9,6 120000 1000 5,5 5500

850 13,6 11560

1600 x 1600 x

1? & 15950 LBM &@ 137060+1600 x

11

137060 16009,5

15950

LBM xKG

'& N &?@

9,041x m& Problema 4 O navã are deplasamentul de 16000 t , 9KG m& ºi este încãrcatã dupã cum urmeazã:

Masa F Gt F GKg m

1000 8 2000 6 1500 10

Cum va fi distribuitã o cantitate de marfã de 2000 t ce trebuie ambarcatã în douã magazii având 5Kg m& ºi 11Kg m& astfel încât, în final, nava sã aibã 1 8,75KG m& ? Rezolvare: Notãm cu x cantitatea de marfã din magazia cu 5Kg m& ºi y cantitatea de marfã din magazia cu 11Kg m& . Evident, 2000x y t' & . Problema se poate rezolva tabelar:

Masa F Gt F G;KG Kg m Momentul faþã de F GLB t mC

16000 9 144000 1000 8 8000

2000 6 12000


77

Masa F Gt F G;KG Kg m Momentul faþã de F GLB t mC

1500 10 15000 x 5 5 x y 11 11 y

1? & 22500 LBM@ 179000+5 x +11 y

11

179000 5 118,75

22500

LBM x yKG

' '& N &?@ sau

5 11 17875 687,5

2000 1312,5

x y x t

x y y t

' & &4 O6 ' & &7

Problema 5 O navã cu deplasamentul de 14500 t are cota centrului de greutate 6,86KG m& .

Sã se calculeze noua valoare a cotei centrului de greutate 1KG care rezultã în urma ambarcãrii a 3500 t de containere pe o punte cu 23Kg m& . Rezolvare: Problema se poate rezolva tabelar:

Masa F Gt F G;KG Kg m F GLBM t mC

14500 6,86 99470 3500 23 80500

1? & 18000 LBM &@ 179970

11

17997010

18000

LBMKG m& & I?

@

Problema 6 O navã încarcã 3500 t de produse de buncher cu 1,37Kg m& . Înainte de încãrcare nava avea deplasamentul de 12500 t ºi 5,33KG m& . Care va fi valoarea noii cote a

centrului de greutate 1KG ?

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

78

Rezolvare: Problema se poate rezolva tabelar:


3500 1,37 4795 12500 5,33 66625

1? & 16000 LBM &@ 71420

11

714204, 46

16000

LBMKG m& & I?

@

Problema 7 Magazia de marfã Nr. 2 la o navã este încãrcatã ca in figurã. Sã se gãseascã valoarea cotei centrului de greutate al magaziei.

Rezolvare: Problema se rezolvã tabelar:

Masa F Gt F GKg m F GLBM t mC

400 1,95 780 300 3,95 1185

350 4,825 1688,75

100 6,075 607,5

50 6,075 303,75

P &@ 1200 LBM &@ 4565

45653,8

1200

LBMKG m

P& & &@@


79

Problema 8 O navã cu deplasamentul de 14600 t are 9,6KG m& . Se încarcã marfã dupã cum urmeazã:

Masa F Gt F GKg m

2500 4,5 1600 12,5

Ce cantitate de marfã va putea fi ambarcatã la 16Kg m& astfel încât valoarea finalã a cotei centrului de greutate al navei sã nu depãºeascã valoarea 1 10KG m& ? Rezolvare: Notãm cu x cantitatea de marfã care reprezintã necunoscuta problemei.


14600 9,6 140160 2500 4,5 11250

1600 12,5 20000

x 16,0 16 x

1? & 18700+

LBM &@ 171410+16 x

x se va determina din ecuaþia: 1

1

171410 1610 10 2598,3

18700

LBM xKG x t

x

'& & N & O &? '@

Problema 9 O navã are 16000 t? & ºi 8,5KG m& . Ea încarcã marfa dupã cum urmeazã:

Masa F Gt F GKg m

1360 4,7 2957 10,5 1638 5,9 500 14,8

Sã se calculeze valoarea noii cote a centrului de greutate 1KG .

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

80

Rezolvare: Problema se va rezolva tabelar:


16000 8,5 136000 1360 4,7 6392

2957 10,5 31048,5

1638 5,9 9664,2

500 14,8 7400

1? & 22455 LBM &@ 190504,7

11

190504,78,48

22455

LBMKG m& & &?

@

Problema 10 O navã are 6200 t? & ºi 8KG m& . Sã se distribuie o cantitate de 9108 t de marfã în douã spaþii de depozitare, având 1 0,59Kg m& ºi 2 11,45Kg m& astfel încât cota finalã a centrului de greutate sã fie 1 7,57KG m& . Rezolvare: Notãm cu x capacitatea de marfã din magazia 1. În magazia 2 vom avea # $9108 x( tone de marfã.


6200 8,0 49600 x 0,59 0,59 x

9108 x( 11,45 104286,6 11, 45 x(

1? & 15308 LBM &@ 153886,6-10,86 x

11

153886,6 10,867,57

15308

LBM xKG

(& & &?@

1 23499,5 ; 5608,5x P t P t& & &


81

Problema 11 O navã are deplasamentul de 15000 t ºi 6,86KG m& . O cantitate de marfã de 500 t

este deplasatã pe verticalã de pe puntea dublului fund unde 2,43Kg m& pe puntea

principalã unde 1 12, 2Kg m& . Care va fi valoarea 1KG ? Rezolvare: Problema se rezolvã þinând cont de efectul deplasãrilor de greutãþi la bordul navei asupra poziþiei centrului de greutate.

# $ # $11

500 12, 2 2,436,86 7,19

15000

P Kg KgKG KG m

( (& ' & ' I? .

14. CONSIDERAÞII GENERALE DESPRE STABILITATEA NAVEI În general, un corp se gãseºte în echilibru atunci când rezultanta forþelor care acþioneazã asupra lui ºi momentul rezultant sunt nule. Un corp care pluteºte în apã liniºtitã se aflã în echilibru sub acþiunea a douã forþe rezultante verticale, egale ºi de sens contrar ºi acþionând pe acelaºi suport: forþa de greutate, acþionând vertical de jos în sus în centrul de greutate ºi forþa de împingere orientatã vertical în sus cu punct de acþiune centrul de carenã. Corpurile plutitoare pot exista în trei situaþii de echilibru: (a) Echilibru stabil, atunci când corpul scos din poziþia de echilibru de o cauzã externã, revine la poziþia iniþialã de îndatã ce cauza externã înceteazã sã acþioneze. (b) Echilibru instabil, atunci când corpul scos din poziþia de echilibru de o cauzã externã, nu mai revine la poziþia iniþialã dupã dispariþia cauzei externe, depãrtându-se tot mai mult de aceastã poziþie. (c) Echilibru indiferent sau neutru, atunci când corpul scos din poziþia de echilibru de o cauzã externã rãmâne în poziþie deplasatã chiar ºi dupã dispariþia cauzei externe. În cazul unei nave, situaþia de echilibru indiferent trebuie tratatã tot ca o situaþie de instabilitate, pentru cã nu putem accepta, de exemplu, ca o navã înclinatã transversal la tribord cu 10° de o cauzã externã sã rãmânã în aceastã poziþie, când aceasta nu mai acþioneazã. Aºadar, în "Teoria navei", o navã poate fi în douã situaþii: stabilã sau instabilã. Ca o consecinþã a acþiunii forþelor externe, nava va putea cãpãta deplasãri pe toate cele ºase grade de libertate: trei translaþii în lungul axelor de coordonate , ,ox oy oz ºi trei rotaþii în jurul acestor axe. Sã analizãm în continuare din punct de vedere al stabilitãþii deplasarea navei pe fiecare din cele ºase grade de libertate. Dacã scoatem nava din poziþia de echilibru, deplasând-o pe direcþia axei oz , vom observa cã, odatã cu încetarea cauzei exterioare, nava revine la poziþia iniþialã deci, este într-o situaþie de echilibru stabil pe aceastã direcþie. Astfel, dacã nava se deplaseazã vertical în sus, scade pescajul iar forþa de împingere arhimedicã va deveni mai micã decât forþa de greutate care îºi pãstreazã constantã valoarea. Sub acþiunea forþei rezultante nava revine la poziþia de echilibru iniþial, odatã cu încetarea acþiunii cauzei externe, dupã ce executã câteva oscilaþii verticale amortizate. Nava este în echilibru stabil pe direcþia axei oz, indiferent de magnitudinea deplasãrilor pe aceastã direcþie.

CAPITOLUL III. STABILITATEA INIÞIALÃ A NAVEI

STABILITATEA INIÞIALÃ A NAVEI ______________________________________________________________________________

83

Dacã nava capãtã deplasãri pe direcþiile axelor ox ºi oy , mediul marin opune rezistenþã la aceste deplasãri prin apariþia forþelor de rezistenþã la înaintare care se opun miºcãrii. Dupã dispariþia forþelor exterioare, nava rãmâne în poziþie deplasatã ºi nu revine la poziþia iniþialã. Aceastã comportare are loc indiferent de magnitudinea deplasãrilor în plan orizontal, iar situaþia este de echilibru indiferent, deci nava este instabilã pe aceste direcþii. Rotaþia navei în jurul axei oz (pivotarea) implicã deplasãri în plan orizontal ºi apariþia unui moment rezistent la rotaþie din partea mediului marin. Dupã dispariþia cauzei externe, nava va rãmâne deplasatã neputând reveni la poziþia iniþialã, indiferent de mãrimea deplasãrii. Suntem din nou într-un caz de instabilitate. În cazul rotaþiei navei în jurul axelor orizontale, longitudinalã ! "ox ºi transversalã ! "oy , aceasta se poate gãsi în oricare din situaþiile stabilã sau instabilã, totul depinzând de o serie întreagã de factori cum ar fi: dimensiunile navei, forma suprafeþei imerse, distribuþia de greutãþi la bord ºi tipul acestora, precum ºi mãrimea unghiului de înclinare. Spre exemplu, dacã o navã pluteºte într-o poziþie datã ºi asupra ei acþioneazã o cauzã externã care o scoate din aceastã poziþie, înclinând-o transversal, forþa de împingere ºi forþa de greutate vor forma un cuplu, momentul acestuia putând avea semne diferite. Astfel, dacã acest moment tinde sã readucã nava în poziþia iniþialã are semn pozitiv ºi se numeºte moment de redresare sau moment de stabilitate, nava fiind stabilã (Fig. 42,a). Atunci când momentul tinde sã încline nava în acelaºi sens cu cel produs de cauza externã, are semn negativ ºi se numeºte moment de instabilitate, nava fiind instabilã (Fig. 42,b).

Fig. 42 Mecanismul fizic al apariþiei momentului de redresare este urmãtorul. În decursul înclinãrii navei, centrul de carenã se va deplasa în sensul înclinãrii în timp ce centrul de greutate rãmâne în poziþie fixã, neavând loc deplasãri de mase la bord. Deplasarea

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

84

relativã a celor douã centre aduce nava în situaþia în care, la sfârºitul înclinãrii, forþa de împingere ºi forþa de greutate rãmân egale în modulul, însã nu vor mai acþiona pe acelaºi suport, determinând apariþia momentului de stabilitate. Aºa cum vom demonstra în acest capitol, pentru navele de suprafaþã la aceeaºi mãrime a unghiului de înclinare, momentul de stabilitate longitudinalã este mult mai mare decât momentul de stabilitate transversalã. Din acest considerent, în teoria navei se studiazã îndeosebi stabilitatea transversalã în douã situaþii: stabilitatea la unghiuri mici de înclinare sau stabilitatea iniþialã, atunci când unghiul de înclinare transversalã

7 10maxim# $ % % ºi stabilitatea la unghiuri mari de înclinare. La unghiuri mici, momentul de stabilitate are o variaþie liniarã cu unghiul de înclinare, pe când la unghiuri mari de înclinare aceastã ipotezã nu mai este valabilã. Spre deosebire de navele de suprafaþã, la submarinele complet imersate nu se poate face o distincþie ca ordin de mãrime între stabilitatea transversalã ºi cea longitudinalã. Un submarin imersat se poate rãsturna la fel de uºor atât transversal, cât ºi longitudinal. Aceastã diferenþã de comportament între navele de suprafaþã ºi submarinele imersate se explicã prin aceea cã centrul de carenã la submarine este fix, în timp ce la nave se deplaseazã odatã cu înclinarea corpului. Un submarin se poate gãsi din punct de vedere al stabilitãþii în una din situaþiile din Fig. 43. Se poate observa cã numai în cazul din Fig. 43.a submarinul este stabil întrucât momentul creat de forþa de împingere ºi forþa de greutate tinde sã-l aducã în poziþia iniþialã. În concluzie, un corp imersat este în poziþie de echilibru stabil, dacã centrul de greutate se gãseºte sub centrul de carenã. Astfel, în cazul navelor de suprafaþã cât ºi în cazul submarinelor, aºa cum se observã din figurile 42 ºi 43, stabilitatea se mãreºte dacã centrul de greutate se deplaseazã pe verticalã în jos. Dacã nava este iniþial stabilã, se mãreºte braþul momentului ºi implicit valoarea momentului de stabilitate. Dacã nava este iniþial instabilã, prin deplasarea centrului de greutate vertical în jos cu o distanþã suficientã, se schimbã sensul momentului, transformându-l din moment de instabilitate în moment de stabilitate. Cauzele externe care determinã înclinarea navei pot acþiona static, atunci când valoarea momentului exterior are o creºtere lentã în timp ºi dinamic, atunci când momentul exterior acþioneazã cu intensitatea maximã din prima clipã. În teoria navei, efectele acestor acþiuni se studiazã separat, împãrþind stabilitatea navei în: stabilitate staticã ºi stabilitate dinamicã.


85

Fig. 43 Stabilitatea staticã este caracterizatã de valoarea momentului de stabilitate, în timp ce mãsura stabilitãþii dinamice este lucrul mecanic al momentului de stabilitate care se consumã în timpul înclinãrii.

15. ÎNCLINÃRI IZOCARENE. TEOREMA EULER În general, acþiunea unei cauze externe asupra navei se reduce la un torsor format dintr-o forþã ºi un moment. Dacã forþa externã are componentã pe direcþie verticalã, nava îºi modificã pescajul pânã când forþa de împingere egaleazã rezultanta forþelor verticale care acþioneazã asupra ei. Dacã forþa externã acþioneazã pe direcþie transversalã, nava capãtã o miºcare de derivã întâmpinând din partea apei o forþã de rezistenþã. Apare în acest fel ºi un moment care înclinã nava transversal. Atunci când forþa externã acþioneazã pe direcþie longitudinalã, apare un moment care înclinã nava longitudinal. În ambele cazuri, nava îºi modificã poziþia în raport cu suprafaþa liberã a apei pãstrând constant volumul carenei. Douã plutiri se numesc izocarene dacã ele corespund la volume de carene egale. Considerând douã plutiri izocarene 1 1W L ºi 2 2W L , înclinate transversal, una faþã de alta, cu unghiul elementar d# , vom observa cã forma volumului carenei se modificã deoarece volumul 1dV intrã în apã, iar volumul 2dV iese din apã. Aceste douã volume în formã de panã se numesc onglete; 1dV este ongletul imers, iar 2dV este ongletul emers (Fig. 44). Cele douã plutiri fiind izocarene rezultã egalitatea: 1 2dV dV& (15.1) Pentru calculul celor douã volume, observãm cã ele sunt delimitate de dreapta de intersecþie a plutirilor, a cãrei urmã pe planul transversal este punctul F ºi care împarte aria plutirii în douã (Fig. 45):

1WLA este partea din aria plutirii care corespunde

ongletului imers, iar 2WLA corespunde ongletului emers. În interiorul fiecãrui onglet

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

86

considerãm câte o prismã elementarã având ca bazã WLdA , iar ca înãlþime 1y d# , respectiv 2y d# .

Fig. 44 Fig. 45 Aºadar:

1 1

1 1 1 1

WL WL

WL WL s

A A

dV y d dA d y dA d M& # & # & #' ' (15.2)

2 2

2 2 2 2

WL WL

WL WL s

A A

dV y d dA d y dA d M& # & # & #' ' (15.3)

1sM ºi 2sM sunt momentele statice ale ariilor 1WLA ºi

2WLA în raport cu dreapta de intersecþie a plutirilor 1 1W L ºi 2 2W L . Introducem (15.2) ºi (15.3) în (15.1) ºi obþinem: 1 2s sM M& sau: 1 2 0s s sM M M( & & (15.4)

În relaþia (15.4), sM reprezintã momentul static al ariei plutirii 1WL în raport cu dreapta de intersecþie a plutirilor 1 1W L ºi 2 2W L . Din relaþia (15.4) rezultã cã acest moment static este nul, ceea ce înseamnã cã dreapta de intersecþie (axa de înclinare) trece prin centrul de greutate al plutirii 1 1W L . Aceasta este esenþa teoremei Euler al cãrei enunþ este urmãtorul:

Douã plutiri izocarene înclinate cu un unghi infinit mic, una faþã de alta, se intersecteazã dupã o dreaptã ce trece prin centrul de greutate al celor douã plutiri.

La navele cu borduri verticale teorema Euler este valabilã pentru orice înclinare în limitele în care plutirile nu intersecteazã puntea sau gurna. Putem formula o reciprocã a teoremei Euler, deosebit de importantã: Dacã douã plutiri sunt înclinate cu un unghi infinit mic în jurul unei axe ce trece prin centrul plutirii, atunci cele douã plutiri sunt izocarene.


87

16. DEPLASAREA CENTRULUI DE CARENÃ Teorema lui Euler a fost demonstratã pentru o înclinare pur transversalã. Acest lucru nu micºoreazã cu nimic generalitatea enunþului ei. În general, o navã se poate roti în jurul oricãrei axe centrale a plutirii cu un unghi infinit mic. Plutirea iniþialã ºi cea înclinatã vor fi izocarene, însã centrele de carenã vor fi puncte distincte, deoarece formele celor douã carene sunt diferite. Ne intereseazã sã studiem modul în care se deplaseazã centrul de carenã în timpul acestor înclinãri. Apariþia ongletelor, imers ºi emers, egale ºi de volum dV , poate fi consideratã ca o modificare a formei carenei. Se poate considera cã forma carenei corespunzãtoare plutirii 2 2W L se obþine din carena corespunzãtoare plutirii 1 1W L , prin deplasarea volumului dV din bordul emers în bordul imers. Centrul de greutate al acestui volum se va deplasa pe distanþa 1 2g g . Din mecanica teoreticã este cunoscutã urmãtoarea teoremã, ca o consecinþã directã a teoremei momentelor: "Dacã în interiorul unui sistem format din mai multe corpuri, un corp se deplaseazã dupã o direcþie oarecare; centrul de greutate al sistemului se deplaseazã dupã o direcþie paralelã ºi în acelaºi sens. Raportul dintre deplasarea centrului de greutate al sistemului ºi deplasarea centrului de greutate al corpului este egal cu raportul dintre masa corpului ºi masa sistemului de corpuri." Conform teoremei amintite putem scrie (vezi Fig. 46): 1 2 1 2//B B g g (16.1)

1 2 1 2

dVB B g g

V& (16.2)

Fig. 46 Dacã nava se înclinã în jurul unei axe centrale oarecare din planul plutirii, deplasãrile 1 2g g ºi 1 2B B sunt spaþiale ºi pot fi descompuse în trei deplasãri ortogonale, corespunzãtoare sistemului la care ne raportãm. Sã considerãm un caz general de înclinare a navei în jurul unei axe centrale F) din planul plutirii 1 1W L (Fig. 47).

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

88

Fig. 47 Sistemul de axe triortogonal, faþã de care ne raportãm, are planul F)* care coincide cu planul plutirii, iar axa F+ perpendicularã pe acest plan.

Ca urmare a înclinãrii cu unghiul d, , deplasarea 21 BB a centrului de carenã poate fi descompusã în trei deplasãri infinitezimale , ,d d d) * + în lungul axelor. Considerãm un volum prismatic elementar ce are ca bazã suprafaþa elementarã WLdA , iar ca înãlþime

d* , (Fig.48). Distanþele de la centrul de greutate al acestui volum la planele ,F F+* +)

ºi , ,sunt respectivF-* ) * * respectiv 2

sunt respectivd,-* ) * * .

Fig. 48 Prin deplasarea spaþialã a centrului de carenã au loc variaþii ale momentelor statice ale volumului carenei în raport cu aceste plane, care se calculeazã cu formulele:

WL

WL

A

dM V d d dA+* & ) & , )*' (16.3)

2

WL

WL

A

dM V d d dA+) & * & , *' (16.4)

! "2

2

2WL

WL

A

ddM V d dA)*

,& + & *' (16.5)


89

Cele douã integrale care apar în relaþiile anterioare reprezintã momentele de inerþie ale ariei plutirii iniþiale, respectiv:

WL

WL

A

dA I)*)* &' (16.6)

- momentul de inerþie centrifugal al suprafeþei plutirii: 2

WL

WL

A

dA I)* &' (16.7)

- momentul de inerþie al suprafeþei plutirii în raport cu axa centralã F) . Deplasãrile infinitezimale ale centrului de carenã se vor scrie:

I

d dV)*) & , (16.8)

I

d dV)* & , (16.9)

! "21

2

Id d

V)+ & , (16.10)

Scriind relaþia (16.10), tragem urmãtoarele concluzii: 1) La înclinãri izocarene pe direcþie verticalã, centrul de carenã se va deplasa întotdeauna în sus deoarece 0d+ . . 2) Deplasarea pe direcþie verticalã a centrului de carenã d+ este un infinit mic de ordinul doi, comparativ cu deplasãrile în plan orizontal d) ºi d* . Prin urmare, arcul elementar 21 BB se poate calcula cu relaþia:

22222

21 ddddddsBB *)-*) /0//&& (16.11)

Sã examinãm în continuare, separat, înclinãrile transversale ºi longitudinale, presupunând cã plutirea iniþialã este dreaptã, adicã 1 1 0 0W L W L1 . Situaþia este prezentatã în figura 49. A) În cazul înclinãrilor transversale, axa de înclinare F ox) 1 . Momentele de inerþie ale plutirii vor fi: ;x fxI I I I) )*& &

Deplasãrile elementare ale centrului de carenã se pot calcula cu relaþiile:

0fxB

Id dx d

V) & & # & (16.12)

xB

Id dy d

V* & & # (16.13)

! "21

2x

B

Id dz d

V+ & & # (16.14)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

90

Fig. 49 În formulele de mai sus, momentul de inerþie centrifugal fxI s-a considerat egal cu

zero, deoarece ox este axa de simetrie a suprafeþei plutirii, iar d d, & # . B) În cazul înclinãrilor longitudinale, axa de înclinare F Ff) 1 ºi F ox* 1 , iar unghiul de înclinare d d, & 2 . Momentele de inerþie ale plutirii vor fi corespunzãtoare: ;f fxI I I I) )*& &

Deplasãrile elementare ale centrului de carenã se calculeazã cu relaþiile:

0fxB

Id dy d

V) & & 2 & (16.15)

fB

Id dx d

V* & & 2 (16.16)

! "21

2f

B

Id dz d

V+ & & 2 (16.17)

Formulele (16.8), (16.9) ºi (16.10) reprezintã modelul matematic al deplasãrii centrului de carenã la înclinãri infinit de mici, izocarene în jurul unei axe centrale din planul plutirii. Ne putem imagina însã o infinitate de înclinãri, infinit mici, în jurul unei axe centrale de la 0° la 360°, precum ºi o infinitate de axe centrale situate în planul plutirii în jurul cãrora se roteºte nava. Locul geometric al centrelor de carenã, corespunzãtoare acestor infinitãþi de plutiri izocarene, poartã numele de suprafaþa centrelor de carenã sau suprafaþa B . Dacã ne fixãm asupra unei axe centrale de rotaþie, centrul de carenã se va deplasa pe o curbã de pe aceastã suprafaþã care se numeºte curba centrelor de carenã sau curba B . Studiind relaþia (16.11), vom observa cã la înclinãri infinit mici izocarene, centrul de carenã se deplaseazã dupã direcþiile ) ºi * , deci într-un plan paralel cu planul plutirii, tangent la suprafaþa B . Rezultã de aici o proprietate importantã a suprafeþei centrelor de carenã, consideratã de mulþi autori ca teorema a II-a a lui Euler: "Planul tangent la suprafaþa centrelor de carenã este paralel cu planul plutirii corespunzãtoare punctului de tangenþã."


91

17. METACENTRE ªI RAZE METACENTRICE Sã revenim la înclinãrile izocarene cu un unghi infinit mic, studiind separat înclinãrile transversale ºi longitudinale. În timpul înclinãrilor transversale, deplasãrile elementare ale centrului de carenã se calculeazã cu formulele (16.12), (16.13) ºi (16.14) observând cã

0 ; 0 ; 0B B Bdx dy dz& 3 3 . Rezultã cã centrul de carenã se va deplasa dupã o curbã de pe suprafaþa B situatã într-un plan paralel cu planul de înclinare yKz . Se considerã o navã înclinatã transversal cu unghiul # ºi care, faþã de aceastã poziþie, suferã o înclinare transversalã suplimentarã cu unghiul d# (Fig.50). Centrul de carenã se va deplasa parcurgând arcul elementar 21 BB , situat pe suprafaþa B într-un plan transversal. În punctele B ºi 1B acþioneazã forþele de împingere ce corespund plutirilor WL ºi

1 1W L , perpendicular pe aceste plane. Întrucât planele plutirilor sunt perpendiculare pe planul transversal în care se situeazã B ºi 1B , rezultã cã suporturile forþelor de împingere arhimedicã sunt coplanare ºi se intersecteazã într-un punct M # .

Conform teoremei a II-a a lui Euler, demonstratã în paragraful anterior, planele tangente în punctele B ºi 1B la suprafaþa B , sunt paralele cu WL , respectiv 1 1W L , deci suporturile forþelor de împingere sunt perpendiculare pe aceste plane. Rezultã cã poziþia limitã a punctului M # , atunci când 0d#4 este centrul de curburã al curbei centrelor de carenã în punctul B . El poartã denumirea de metacentru transversal, iar raza de curburã se numeºte razã metacentricã transversalã corespunzãtoare unghiului # de înclinare ºi se noteazã cu r# .

Din (16.11), (16.12) ºi (16.13) se deduce expresia arcului elementar BB1 sub forma:

## ## dBMd

V

IBB x

1 &0 (17.1)

unde xI # este momentul de inerþie al plutirii WL în raport cu o axã paralelã cu axa x ce

trece prin centrul F al acestei plutiri. Din (17.1) obþinem formula de calcul pentru raza metacentricã transversalã: xI

BMV#

# & (17.2)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

92

Fig. 50 În situaþia în care plutirea iniþialã este dreaptã (Fig. 51), raza metacentricã transversalã se calculeazã cu relaþia:

xIBM

V& (17.3)

O discuþie asemãnãtoare se face pentru punerea în evidenþã a metacentrului longitudinal LM ºi a razei metacentrice longitudinale. Întrucât stabilitatea longitudinalã a navei se studiazã în limita unghiurilor mici de înclinare, vom reduce discuþia la cazul plutirii iniþiale drepte ! "02 & . Situaþia este prezentatã în Fig. 52.

Fig. 51 Când nava se înclinã longitudinal cu unghiul d2 centrul de carenã contureazã arcul elementar 1BB . Utilizând formulele (16.11), (16.15) ºi (16.16) gãsim:

22 dBMdV

IBB

L

f

1&0 (17.4)

iar pentru raza metacentricã longitudinalã:


93

f

L

IBM

V& (17.5)

Fig. 52 În practicã, se observã cã pentru o navã de suprafaþã, raza metacentricã longitudinalã LBM este mult mai mare decât raza metacentricã transversalã BM . În timp ce LBM are ordinul de mãrime al lungimii navei, putând ajunge pânã la 1,5 L sau

chiar 2 L ; BM variazã între 1 1

6 3B

5 67 89 :! . La aceeaºi concluzie putem ajunge studiind

raportul dintre LBM ºi BM pentru un ponton paralelipipedic, cu dimensiunile L B d; ; . Razele metacentrice vor fi:

3 2 3 2/12 /12

;12 12

f xL

I IB L L L B BBM BM

V L B d d V L B d d& & & & & & (17.6)

Raportul lor va fi :

2

LBM L

BBM

5 6& 7 89 : (17.7)

Cum L

Bvariazã în limitele 4...12 ; LBM

BM este situat în limitele 16....144 .

Din relaþiile (17.6) rezultã:

2 2

1 2;12 12L

L BBM d K BM d K& & & & (17.8)

care implicã o variaþie hiperbolicã a înãlþimilor metacentrice cu pescajul pontonului. În cazul navelor obiºnuite, se remarcã o variaþie apropiatã de cea hiperbolicã a înãlþimilor metacentrice transversalã ºi longitudinalã cu pescajul.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

94

18. MOMENT DE REDRESARE. FORMULA METACENTRICÃ A STABILITÃÞII. ÎNÃLÞIMI METACENTRICE

Aºa cum am arãtat în §14, mecanismul fizic al apariþiei momentului de redresare în cazul înclinãrilor izocarene constã în interacþiunea dintre forþa de împingere arhimedicã ºi forþa de greutate, datoritã deplasãrii centrului de carenã în sensul înclinãrii. Considerând înclinãri izocarene ale navei în limita unghiurilor mici, o navã se poate gãsi, din punct de vedere al stabilitãþii transversale, în una din situaþiile prezentate în Fig. 53. Cazul a (Fig. 53). Centrul de greutate se gãseºte sub centrul de carenã. Când nava se înclinã transversal, centrul de carenã se deplaseazã în poziþia 1B . Momentul cuplului format de forþa de greutate g < ºi forþa de împingere g V= tinde sã aducã nava în poziþia iniþialã, fiind un moment de stabilitate. Nava se aflã în acest caz într-o situaþie de stabilitate transversalã excesivã, întâlnitã la navele unde se iau mãsuri speciale privind stabilitatea cum sunt navele de sport ºi agrement. O navã cu stabilitate excesivã executã oscilaþii dure pe o mare dezvoltatã, adicã oscilaþii cu perioadã micã ºi frecvenþã mare. În timpul acestor miºcãri apar forþe de inerþie mari care, pe de-o parte, încarcã structural nava, iar pe de altã parte, acþioneazã asupra mecanismelor, instalaþiilor ºi aparatelor de conducere ale navei, putând duce la funcþionarea defectuoasã a acestora. Cazul b (Fig. 53). În poziþia iniþialã, centrul de greutate este situat deasupra centrului de carenã. În poziþie înclinatã transversal, centrul de carenã se gãseºte în 1B . Momentul cuplului format de forþa de greutate g < ºi forþa arhimedicã g V= tinde sã aducã nava în poziþia iniþialã, fiind un moment de stabilitate. Aceastã poziþie relativã a celor trei centre, metacentrul transversal M , centrul de greutate G , centrul de carenã B , dispuse în aceastã ordine pe verticalã de sus în jos, indicã o situaþie de stabilitate pozitivã ºi este întâlnitã la marea majoritate a navelor în timpul exploatãrii. Cazul c (Fig. 53). În poziþia iniþialã, centrul de greutate este situat deasupra centrului de carenã. Când nava este înclinatã transversal, centrul de carenã se deplaseazã din B în 1B astfel încât metacentrul transversal M este poziþionat sub centrul de greutate. Momentul cuplului format de forþa de greutate g < ºi forþa arhimedicã g V= este orientat în sensul înclinãrii deci, este un moment de instabilitate, nava gãsindu-se într-o situaþie de stabilitate negativã. Cazul d (Fig. 53). În poziþia iniþialã, centrul de greutate se aflã deasupra centrului de carenã. Pentru o înclinare transversalã centrul de carenã se deplaseazã din B în 1B , poziþie pentru care metacentrul transversal M coincide cu centrul de greutate G . În acest caz, momentul este nul ºi nava rãmâne în poziþie înclinatã, situaþia fiind, de asemenea, de instabilitate.


95

Fig. 53 Din punctul de vedere al mecanismului fizic de apariþie a momentului de stabilitate existã o analogie perfectã între stabilitatea transversalã ºi stabilitatea longitudinalã a navei. În Fig. 54 este prezentat cazul cel mai frecvent în care se poate gãsi o navã din punct de vedere al stabilitãþii longitudinale.

Fig. 54 Vom face observaþia cã o navã de suprafaþã obiºnuitã nu va fi niciodatã instabilã longitudinal deoarece BMBM L > ºi totdeauna metacentrul longitudinal va fi situat deasupra centrului de greutate.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

96

Ne propunem în continuare sã gãsim formule pentru calculul momentelor de stabilitate transversalã ºi longitudinalã. Considerãm o navã înclinatã transversal cu unghiul infinit mic d# (Fig. 55). Iniþial, centrele M ,G ºi B se gãsesc în . .P D În timpul înclinãrii, B se deplaseazã în poziþia 1B care corespunde plutirii 1 1W L . În 1B acþioneazã vertical în sus forþa de împingere arhimedicã. Suportul acestei forþe intersecteazã . .P D în metacentrul transversal M . Faþã de poziþia corespunzãtoare plutirii iniþiale WL , când forþa arhimedicã g V= ºi forþa de greutate g < acþionau pe acelaºi suport, în cazul plutirii înclinate, cele douã forþe formeazã un cuplu. Momentul corespunzãtor acestui cuplu este un moment de stabilitate elementar care se calculeazã cu formula : sdM g GZ& < (18.1)

unde GZ este braþul acestui moment elementar. Din Fig. 55 se observã cã putem scrie: GZ GM d& # (18.2) ºi mai departe dupã înlocuire: sdM g GM d& < # (18.3)

Fig. 55 Distanþa GM reprezintã înãlþimea metacentricã transversalã ºi este o mãsurã a stabilitãþii iniþiale a navei. Înãlþimea metacentricã se considerã pozitivã când metacentrul transversal este situat deasupra centrului de greutate ºi negativã când metacentrul transversal este situat sub centrul de greutate. Înãlþimea metacentricã se poate scrie ºi ca diferenþa dintre cota metacentrului transversal ºi cota centrului de greutate. GM KM KG& ( (18.4) sau:


97

GM BM KB KG& / ( (18.5) Relaþia (18.3) se numeºte formula metacentricã a stabilitãþii transversale sub formã diferenþialã. Chiar dacã aceastã formulã a fost dedusã pentru o înclinare transversalã infinitezimalã ea poate fi aplicatã ºi pentru unghiuri finite considerate în categoria unghiurilor mici de înclinare, sub forma: sM g GM& < # (18.6) În relaþia (18.6) unghiul # se mãsoarã în radiani iar limitele de valabilitate practicã sunt pentru "10$# max "15 . Discutând în continuare despre stabilitatea longitudinalã la unghiuri mici de înclinare ºi raþionând asemãnãtor se obþine formula metacentricã a stabilitãþii longitudinale sub formã diferenþialã: sL LdM g GM d& < 2 (18.7) sau pentru unghiuri finite de înclinare longitudinalã: sL LM g GM& < 2 (18.8) cu unghiul de înclinare longitudinalã 2 exprimat în radiani. Distanþa LGM este înãlþimea metacentricã longitudinalã ºi este o mãsurã a stabilitãþii longitudinale a navei. Ea se poate exprima ºi ca diferenþa dintre cota metacentrului longitudinal ºi cota centrului de greutate: L LGM KM KG& ( (18.9) sau: L LGM BM KB KG& / ( (18.10) Analizând prin intermediul formulei metacentrice a stabilitãþii transversale cazurile prezentate în Fig. 53, se constatã cã în cazurile a) ºi b) 0sM . deoarece 0GM . , în cazul c) 0sM $ ( 0GM $ ) ºi în cazul d) 0sM & ( 0GM & ). Din punct de vedere al stabilitãþii transversale a navei este de dorit o valoare cât mai mare a înãlþimii metacentrice GM . Pe de altã parte, o navã cu GM mare executã pe mare realã oscilaþii de ruliu foarte "dure", adicã oscilaþii cu perioadã micã ºi frecvenþã mare. Astfel de miºcãri implicã forþe de inerþie mari care acþioneazã asupra mecanismelor ºi instalaþiilor de la bord, precum ºi asupra aparatelor de conducere a navei. Nu în ultimã instanþã, se înrãutãþesc condiþiile de viaþã ale echipajului. Din aceste motive, în timpul proiectãrii navei se are în vedere ca sã se asigure o valoare a înãlþimii metacentrice, transversale în conformitate cu tipul navei ºi cu normele de registru. Aºa cu am precizat, înãlþimile metacentrice, transversalã ºi longitudinalã, corespund înclinãrilor navei în jurul axelor centrale, situate în planul plutirii, Fx ºi Ff . Vom remarca faptul cã momentul de inerþie al plutirii în raport cu oricare axã centralã are valoarea situatã între xI ºi fI ; motiv pentru care înãlþimea metacentricã corespunzãtoare rotaþiei în jurul acestei axe este mai mare decât înãlþimea metacentricã transversalã GM ºi mai micã decât înãlþimea metacentricã longitudinalã LGM . De

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

98

asemenea, am arãtat cã datoritã faptului cã GMGM L .. , pentru navele de suprafaþã, problema stabilitãþii navei nu se pune decât în plan transversal. În ceea ce priveºte stabilitatea longitudinalã a unei nave de suprafaþã neavariate, principalele probleme care se pun sunt legate de determinarea asietei ºi a pescajului sub acþiunea diferitelor cauze externe ce pot apãrea în timpul exploatãrii. O înclinare longitudinalã micã a navei va determina o deplasare a centrului de carenã în direcþia înclinãrii suficient de mare astfel încât momentul format de forþa de împingere ºi forþa de greutate sã fie suficient de mare, comparativ cu momentul produs de aceleaºi forþe, la o înclinare egalã, în plan transversal. Dacã totuºi, în timpul exploatãrii apar cauze care determinã o deplasare a centrului de greutate pe verticalã în sus, micºorând stabilitatea navei, atunci aceasta se va putea rãsturna în plan transversal cu mult înainte de apariþia pericolului de rãsturnare longitudinalã, pentru cã LM este situat mai sus pe verticalã decât M . Este puþin probabil ca o navã de suprafaþã neavariatã sã întâlneascã o asemenea forþã pe direcþie verticalã, care sã-i deplaseze G deasupra lui LM , nava devenind instabilã ºi în plan longitudinal. Navele de suprafaþã se pot rãsturna longitudinal doar ca urmare a inundãrii unui compartiment sau a unui grup de compartimente situate la extremitãþile pupa sau prova ale navei, datoritã unei avarii. Pãtrunderea unei cantitãþi mari de apã în interiorul navei, la una din extremitãþile prova sau pupa, va exclude din flotabilitatea navei zona corespunzãtore compartimentului inundat, deplasând centrul de carenã în sens opus, în timp ce centrul de greutate rãmâne în aceeaºi poziþie, iar momentul determinat de forþa de împingere ºi forþa de greutate ajunge aºa de mare, încât poate rãsturna nava longitudinal. Spre deosebire de o navã de suprafaþã, un submarin imersat se poate rãsturna la fel de uºor pe direcþie longitudinalã ca pe direcþie transversalã. Aceastã deosebire de comportament se datoreazã faptului cã, la submarinele complet imersate, centrul de carenã rãmâne în permanenþã un punct fix. În concluzie, pentru ca o navã sã aibã stabilitate pozitivã pe carenã dreaptã este necesar ca metacentrul transversal sã fie deasupra centrului de greutate ! "KM KG. . Se

spune cã în aceastã situaþie înãlþimea metacentricã transversalã este pozitivã ! "0GM . .

În acest caz, dacã o cauzã externã scoate nava din poziþia de echilibru, dupã ce cauza externã înceteazã sã acþioneze, nava va reveni la poziþia iniþialã datoritã cuplului format de forþa de împingere arhimedicã ºi forþa de greutate. Când KM KG& , înãlþimea metacentricã este nulã ! "0GM & , braþul cuplului ºi implicit cuplul vor fi nule. Dupã ce cauza externã care a înclinat nava înceteazã sã acþioneze, aceasta rãmâne în poziþie înclinatã. În sens "mecanic" suntem într-o poziþie de echilibru indiferent, dar în realitate este o situaþie de stabilitate negativã sau instabilitate.


99

Când KM KG$ , metacentrul transversal este situat sub centrul de greutate, înãlþimea metacentricã este negativã ! "0GM $ ºi implicit momentul cuplului format de

cele douã forþe. Acest moment va avea sensul momentului exterior ajutând la înclinarea navei. Suntem, de asemenea, într-o situaþie de stabilitate negativã sau instabilitate.

19. MOMENTUL STABILITÃÞII DE FORMÃ ªI MOMENTUL STABILITÃÞII DE GREUTATE

Dacã asupra unui corp acþioneazã un cuplu de forþe ºi cunoaºtem mãrimea forþelor, direcþia ºi punctele de aplicaþie, este posibil sã descompunem acest cuplu în douã componente; aplicând în orice punct de pe corp douã forþe egale, paralele ºi de sens contrar cu cele care formeazã cuplul. Urmãm aceastã procedurã pentru o navã înclinatã în sens transversal cu unghiul # ºi aplicãm în centrul de carenã iniþial B douã forþe paralele, egale ºi de sens contrar cu forþa de greutate a navei g < ºi împingerea arhimedicã g V= . Obþinem douã cupluri

de sens contrar având braþele BE , respectiv BF . Cu referire la Fig. 56, considerând unghiul # în categoria unghiurilor mici, aceste braþe se calculeazã cu formulele (19.1), (19.2): ## BMsinBMBE 0& (19.1)

## BGsinBGBF 0& (19.2)

Fig. 56 Momentul de stabilitate va fi egal cu diferenþa momentelor celor douã cupluri: ! "sM g V BM g BG g BM BG& = #( < # & < ( # (19.3)

Primul dintre ele se noteazã cu fM ºi se numeºte momentul stabilitãþii de formã: f xM gV BM g I& = # & = # (19.4)

iar al doilea se noteazã cu gM ºi se numeºte momentul stabilitãþii de greutate:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

100

gM g BG& < # (19.5)

În corespondenþã, BE se noteazã cu fl ,ºi se numeºte braþul stabilitãþii de formã, respectiv BF se noteazã cu gl ºi se numeºte braþul stabilitãþii de greutate.

La acelaºi rezultat se poate ajunge plecând de la distribuþia realã de presiuni pe suprafaþa S a corpului navei. Dacã nava se înclinã transversal cu unghiul d# , fiecare punct de pe suprafaþa S îºi va modifica pescajul cu cantitatea y d# ºi corespunzãtor presiunea cu: d p g y d& = # (19.6) Ca sã calculãm momentul în raport cu axa ox aducem nava pe carenã dreaptã, o încãrcãm cu aceastã variaþie de presiuni ºi considerãm axa z verticalã ºi pozitivã în jos (Fig.57).

Fig. 57 Acest moment are forma matematicã: ! " ! "cos , cos ,x

S

dM dp y n z z n y dS& (? @A B' (19.7)

Momentul xdM este calculat faþã de axa ox . Momentul de stabilitate sdM se calculeazã în raport cu o axã paralelã cu axa ox ce trece prin centrul de greutate al navei ºi are expresia:

! " ! " ! "

! " ! " ! "cos , cos ,

cos , cos ,

s G

S

G

S S

dM dp y n z z z n y dS

dp y n z dS dp z z n y dS

& ( ( &? @A B& ( (

'' ' (19.8)

unde Gz este adâncimea centrului de greutate al navei. Primul termen din relaþia (19.8) reprezintã momentul datorat forþelor verticale de presiune suplimentarã, iar al doilea reprezintã momentul componentelor orizontale.


101

Pe de altã parte, ! "cos , WLd S n z d A& ºi ! "cos ,d S n y d A& în care WLd A este proiecþia suprafeþei elementare de pe corpul navei pe planul plutirii ºi d A este proiecþia aceleaºi suprafeþe pe planul diametral ! ". .P D . Þinând cont de aceste observaþii ºi înlocuind (19.6) în (19.8), rezultã: 2 2 ( )

WL

s WL G

A A

dM g d y dA g d z z y dA& = # (= # (' ' (19.9)

Se observã uºor cã 2

WL

WL x

A

y dA I&' ºi apelând la cunoºtinþele elementare de mecanica

fluidelor, ! " ! "2 G B G

A

z z y dA V z z( & (' . În acest context, (19.9) devine: ! "s x B GdM g I d g V z z d& = # (= ( # (19.10)

unde: x fg I d dM= # & 4 momentul elementar al stabilitãþii de formã; ! "B Gg V z z d g BG d= ( # & < # 4 momentul elementar al stabilitãþii de greutate. În concluzie, momentul stabilitãþii de formã este momentul rezultant al acþiunii forþelor verticale de presiune suplimentarã în raport cu o axã paralelã cu axa x ce trece prin G , iar momentul stabilitãþii de greutate este momentul în raport cu aceeaºi axã al forþelor orizontale de presiune suplimentarã.

20. MOMENTUL UNITAR AL ÎNCLINÃRII TRANSVERSALE ªI MOMENTUL UNITAR DE ASIETÃ

Folosind formula metacentricã a stabilitãþii se poate calcula valoarea momentului exterior care, acþionând static asupra navei, îi produce o înclinare transversalã cu

11

57,3rad% & . Acest moment se noteazã cu 0M ºi poartã numele de moment unitar al

înclinãrii transversale. Când asupra unei nave acþioneazã static un moment exterior producându-i o înclinare transversalã în zona unghiurilor considerate mici, valoarea lui # se determinã din ecuaþia: eM g GM& < # (20.1)

Dacã în relaþia (20.1) se face 11

57,3rad# & % & , rezultã valoarea lui 0M :

0 57,3

g GMM

<& (20.2)

Cunoscând valoarea lui 0M calculatã cu formula (20.2), la acþiunea staticã a unui moment exterior eM , nava se va înclina transversal cu unghiul # mãsurat în grade: C D

0

eM

M# % & (20.3)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

102

Folosind formula metacentricã a stabilitãþii longitudinale vom calcula valoarea momentului exterior de înclinare care, acþionând static asupra navei, îi produce o variaþie de asietã de un centimetru. Acest moment se noteazã cu MCT (The Moment to Change Trim 1 cm) ºi se numeºte moment unitar de asietã. Diferenþa de asietã a unei nave este: pv ppd d d< & ( (20.4)

Acestei diferenþe de asietã îi corespunde un unghi de înclinare longitudinalã: d

tgL

<2 & 2 &

Când un moment exterior longitudinal eM acþioneazã static asupra navei, condiþia de stabilitate este:

e L L

dM g GM g GM

L

<& < 2 & < (20.5)

Dacã în formula (20.5) facem 11

100d cm m< & & , rezultã:

100

Lg GMMCT

L

<& (20.6)

Aceastã mãrime are o largã utilitate practicã în timpul exploatãrii navei permiþând calculul diferenþei de asietã d< mãsuratã în centimetri, atunci când asupra navei acþioneazã momentul exterior de înclinare longitudinalã cunoscut, eM :

C DeMd cm

MCT< & (20.7)

Dacã 0d< . , adicã nava se aproveazã, înclinarea longitudinalã se considerã pozitivã.

21. FORÞE PERTURBATOARE Mãrimea forþelor perturbatoare ºi a momentelor de înclinare care acþioneazã în timpul exploatãrii asupra navei determinã mãrimea momentului care va trebui generat de forþa de greutate ºi forþa de împingere, pentru a preveni rãsturnarea navei sau apariþia înclinãrilor exagerate. Forþele perturbatoare care afecteazã stabilitatea transversalã au cauze externe ºi interne. Ca exemple de cauze externe amintim: a) acþiunea vântului simultan sau nu cu existenþa miºcãrii de ruliu; b) ambarcarea de greutãþi cu ajutorul mijloacelor de la bord; c) giraþia navei cu vitezã mare; d) eºuarea. Dintre cauzele interne care afecteazã stabilitatea navei precizãm: a) deplasarea de greutãþi la bord; b) ambarcarea de apã pe punte în timpul navigaþiei datoritã miºcãrilor pe care nava le executã pe mare agitatã.


103

Aceste situaþii vor fi tratate în lucrarea de faþã; unele chiar în cadrul acestui capitol [b), a)] , altele în capitolele ulterioare [a), d)] . Când asupra navei acþioneazã un vânt de la travers, presiunea acestuia va acþiona pe proiecþia suprafeþei emerse a corpului în . .P D , denumitã ºi suprafaþã velicã. Considerând presiunea constantã pe aceastã suprafaþã, forþa rezultantã va acþiona în centrul de greutate al suprafeþei velice imprimând navei o miºcare de derivã. Ca o consecinþã, mediul marin va rãspunde cu o forþã egalã ºi de sens contrar care acþioneazã pe suprafaþa imersã a navei, moment în care miºcarea de derivã se stabilizeazã (Fig. 58).

Fig. 58 Fig. 59 Cuplul forþelor exterioare va înclina nava transversal, iar echilibrul se va realiza atunci când sunt îndeplinite urmãtoarele douã condiþii: a) nava are o miºcare de derivã cu vitezã constantã, ceea ce înseamnã cã forþa de presiune a vântului este egalã cu forþa de rezistenþã a apei; b) nava are o înclinare transversalã pânã la unghi pentru care momentul cuplului forþelor exterioare este egal cu momentul cuplului format de forþa de greutate ºi forþa de împingere, forþã care îºi deplaseazã punctul de aplicaþie în 1B . Când o greutate este ambarcatã de pe cheu cu ajutorul unei macarale de la bord, este ca ºi când asupra navei acþioneazã vertical în jos, cu punctul de aplicaþie în vârful macaralei (punctul A din Fig. 59), o forþã egalã cu greutatea ambarcatã. Se demonstreazã uºor folosind cunoºtinþele din Mecanica Teoreticã faptul cã aceastã situaþie este similarã cu deplasarea centrului de greutate din poziþia G în poziþia 1G , situatã pe dreapta GA . Consecinþele acestei ambarcãri sunt urmãtoarele: a) nava îºi va mãri pescajul pânã când surplusul de flotabilitate va egala greutatea ambarcatã; b) nava se va înclina transversal pânã când centrul de carenã se va deplasa în poziþia 1B pe aceeaºi verticalã cu noul centru de greutate 1G . Dacã nava intrã în miºcare de giraþie, apare o forþã centrifugã care acþioneazã în centrul de greutate al navei ºi este dispusã în plan orizontal. Aceastã forþã este cu atât

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

104

mai mare, cu cât viteza navei este mai mare ºi raza de giraþie este mai micã. Situaþia este similarã cu acþiunea lateralã a vântului asupra navei ºi este prezentatã în Fig. 60. Când o navã eºueazã (se aºeazã pe o stâncã sau pe fundul ºenalului navigabil), o parte din energia de deplasare va fi absorbitã în timpul procesului de ridicare pe verticalã a navei, ceea ce înseamnã apariþia unei forþe de reacþiune R în zona de contact. Aceastã reacþiune poate creºte mai târziu dacã în zona respectivã apare fenomenul de maree. În aceste condiþii, forþa de împingere va fi mai micã decât greutatea navei. Nava se va înclina ºi transversal pânã când momentul forþei de împingere faþã de punctul de contact este egal cu momentul forþei de greutate faþã de acelaºi punct, adicã: ! "g R b g a< ( & < (21.1)

Fig. 60 Fig. 61 Când reacþiunea R este mare, forþa de împingere se micºoreazã corespunzãtor ºi relaþia (21.1) nu mai poate fi satisfãcutã, nava rãsturnându-se. Cazul eºuãrii este prezentat în Fig. 61. Dacã la bordul unei nave are loc o deplasare de greutãþi solide, lichide sau o deplasare pasagerilor la bord, în aceeaºi direcþie se va deplasa ºi centrul de greutate al navei pânã într-un punct 1G (Fig.62). Corespunzãtor, nava se va înclina transversal pânã când centrul de carenã ajunge într-o poziþie 1B situatã pe aceeaºi verticalã cu 1G . Pot apãrea în timpul exploatãrii navei ºi alte cazuri în care forþele perturbatoare determinã înclinãri ale navei. De exemplu, forþele care se transmit prin cablul de remorcã acþioneazã ºi asupra navei remorcate ºi asupra remorcherului sau o navã ancoratã se poate înclina datoritã forþelor din lanþul de ancorã ºi al acþiunii simultane a vântului. În toate cazurile, înclinarea se va face pânã la unghiul la care momentul de stabilitate egaleazã momentul de înclinare.


105

Fig. 62 Este posibil, de asemenea, ca forþele perturbatoare ºi implicit momentele de înclinare sã fie aºa de mari, încât echilibrul sã nu se poatã realiza ºi nava sã se rãstoarne. Este, de asemenea, posibil ca echilibrul sã se realizeze la unghiuri mari de înclinare pentru care apa pãtrunde în interiorul navei prin deschiderile din puntea principalã. Apa pãtrunsã se va acumula în bordul înclinat la partea inferioarã a navei ºi poate cauza rãsturnarea ei.

22. VARIAÞIA POZIÞIEI METACENTRULUI TRANSVERSAL CU PESCAJUL. RAZA METACENTRICÃ DIFERENÞIALÃ

O variaþie tipicã a cotei metacentrului transversal KM KB BM& / (22.1) cu pescajul, este prezentatã în Fig. 63. Se observã cã iniþial KM descreºte rapid odatã cu creºterea pescajului pânã la o valoare minimã urmatã de o creºtere lentã. Dacã valoarea minimã a lui KM corespunde unei situaþii de serviciu a navei, atunci la modificarea deplasamentului, prin ambarcarea sau debarcarea de greutãþi la bord, cota metacentrului transversal va creºte. O astfel de comportare este favorabilã stabilitãþii navei, cu condiþia ca modificarea deplasamentului sã nu ducã la mãrirea cotei centrului de greutate KG . Este evident cã natura curbei ! "KM z depinde de natura derivatei

! "d KM

dz.

Þinând cont de (22.1) putem scrie:

! " ! " ! "d KM d KB d BM

dz dz dz& / (22.2)

Pentru un volum al carenei V ºi o poziþie iniþialã a centrului de carenã KB , la o creºtere infinitezimalã a pescajului dz , volumul carenei va creºte cu WLdV A dz& ºi din ecuaþia de

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

106

momente scrisã faþã de un plan paralel cu planul de bazã . .P B , ce trece prin centrul de carenã iniþial, rezultã:

! " ! "WLd KB A

z KBdz V

& ( (22.3)

Fig. 63 Cunoscând formula de calcul a razei metacentrice transversale (8.43), rezultã:

! " 1 xd BM dI

BMdV V dV

5 6& (7 89 : (22.4)

sau mai departe:

! "

WL xd BM A dI

BMdz V dV

5 6& (7 89 : (22.5)

Înlocuind (22.5) ºi (22.3) în (22.2), rezultã:

! "WL x WL x

d KM A dI A dIz BM KB z KM

dz V dV V dV

5 6 5 6& / ( ( & / (7 8 7 89 : 9 : (22.6)

În continuare, vom încerca sã dãm o interpretare termenului xdI

dVcare apare în relaþia

(22.6). Se considerã douã plutiri drepte, infinit apropiate WL ºi 1 1W L , precum ºi plutirile izocarene înclinate transversal cu unghiul d# , ' 'W L ºi 1 1' 'W L (Fig. 64). Prin înclinare, stratul de lãþime dz ºi volum dV îºi modificã centrul de greutate trecând din F în 1F , având în plan transversal o deplasare pe direcþia axei y egalã cu d* ºi una pe direcþia axei z egalã cu d+ . Deplasãri asemãnãtoare capãtã ºi centrele de carenã B ºi 1B corespunzãtoare plutirilor WL ºi 1 1W L datoritã înclinãrilor cu unghiul d# . Notãm cu V volumul carenei corespunzãtoare plutirii WL .


107

Fig. 64 Dacã vom aplica teorema momentelor pentru volumul ! "V dV/ în raport cu planele xz ºi xy , dupã efectuarea câtorva calcule elementare obþinem: 21

;2

x xdI dId d d d

dV dV* & # + & # (22.7)

Când 0dz 4 centrul de greutate al volumului stratului de lãþime dz se suprapune cu centrul de greutate al plutirii WL , mãrimile d* ºi d+ reprezentând variaþiile coordonatelor transversale ale acestuia. Dacã nava se înclinã izocarenic în jurul tuturor axelor centrale, centrul plutirii se va deplasa pe o suprafaþã denumitã suprafaþa centrelor de plutire. La o înclinare izocarenicã în jurul axei Fx , centrul plutirii se va deplasa pe o curbã de pe aceastã suprafaþã reprezentând curba centrelor de plutire. La o înclinare izocarenicã, transversalã cu unghiul elementar d# (Fig. 65), centrul plutirii se va deplasa din F în 1F , parcurgând arcul elementar ds . Perpendiculara în 1F pe 1 1W L intersecteazã planul diametral în punctul m . La limitã ! "0d#4 m este centrul

de curburã al curbei centrelor de plutire iar distanþa Fm se noteazã cu T= ºi reprezintã raza de curburã a acestei curbe. Lungimea arcului elementar ds se poate scrie:

2 2ds d d& + / * ºi, pe de altã parte: Tds d& = # (22.8) Rezultã: 21

14

xT

dId d d

dV= # & # / # (22.9)

În relaþia (22.9), 2d# reprezintã un infinit mic de ordinul doi care poate fi neglijat.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

108

Ca atare, (22.9) devine

xT

dId d

dV= # & # (22.10)

În final: x

T

dI

dV= & (22.11)

Fig. 65 Prin analogie cu denumirile de metacentru ºi razã metacentricã folosite anterior, m se numeºte metacentru diferenþial, iar T= razã metacentricã diferenþialã. Introducem (22.11) în (22.6) ºi obþinem pentru z d& :

! " ! "WL

T

d KM Ad KM

dz V& / = ( (22.12)

În aceastã relaþie Td Km/= & este cota metacentrului diferenþial. Putem avea urmãtoarele trei situaþii:

! "! "! "

0

0

0

daca

daca

daca

d KMKm KM

dz

d KMKm KM

dz

d KMKm KM

dz

EF. . FFF& & GFFF$ $ FH

(22.13)

ceea ce înseamnã cã semnul derivatei ! "d KM

dz depinde de poziþia relativã a

metacentrului diferenþial m ºi a metacentrului transversal M .


109

Aºa cum se observã din Fig. 66, raza metacentricã diferenþialã poate fi negativã, caz în care m se gãseºte sub F . Sã studiem în continuare factorii de care depinde semnul razei metacentrice diferenþiale T= . Înlocuim WLdV A dz& în formula (22.11):

2

2

2

1 2L

xT

LWL WL

dI dyy dx

A dz A dz(

= & & '

cunoscutã fiind relaþia:

2

3

2

2

3

L

xL

I y dx

(

& ' .

Cum se observã din Fig. 66 tgdy

dz& I . În consecinþã:

2

2

2

2tg

L

TLWL

y dxA

(

= & I' (22.14)

Dacã nava are bordurile evazate tg 0I . ºi 0T= . . Dacã nava are bordurile verticale în zona plutirii, atunci tg 0I & ºi 0T= & ceea ce înseamnã cã metacentrul diferenþial m se gãseºte în planul plutirii. Era de aºteptat un astfel de rezultat, deoarece la navele cu borduri verticale pentru o înclinare infinit de micã d# , F rãmâne un punct fix.

Fig. 66

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

110

În cazul unui ponton paralelipipedic cu dimensiunile L B d; ; ; 0T= & , V L B d& , 3

12x

L BI & ºi ecuaþia ! "

0d KM

dz& devine:

2

2 21 10 0

2 12 6sau

d Bd d B

d( ( & ( & .

Rezolvând aceastã ecuaþie în raport cu necunoscuta B

d, gãsim soluþia 6 2,45

B

d& &

ceea ce înseamnã cã ! "d KM

dz depinde de valoarea raportului B

d. Astfel, când:

! "

2,45 0d KMB

d dz. J $ ºi cota metacentrului transversal scade;

! "

2,45 0d KMB

d dz$ J . ºi cota metacentrului transversal creºte.

Pentru navele cu borduri evazate, þinând cont de valoarea subunitarã a coeficienþilor de fineþe BC ºi WC , valoarea lui B

d corespunzãtoare condiþiei ! "

0d KM

dz&

este mai mare decât la pontoanele paralelipipedice.

23. INFLUENÞA SALINITÃÞII APEI ASUPRA STABILITÃÞII ªI ASIETEI NAVEI

Aºa cum am vãzut în §12, pescajul mediu al navei variazã la trecerea din apã dulce în apã sãratã ºi invers. În paragraful precedent am demonstrat cã variaþia cotei metacentrului transversal cu pescajul se calculeazã cu relaþia: ! " ! "WL

T

Ad KM d KM dz

V& / = ( (23.1)

La modificarea salinitãþii apei deplasamentul rãmâne constant, volumul carenei modificându-se:

V<& = (23.2)

Dacã diferenþiem relaþia (23.2):

2dV d

<& ( == (23.3)


111

ºi þinând cont cã pentru nave cu borduri verticale WLdV A dz& obþinem:

2WL

ddz

A

< =& ( = (23.4)

Dacã înlocuim (23.4) în (23.1) gãsim: ! " ! " ! "T

dd KM d KM d GM

=& ( / = ( &= (23.5)

Aºa cum observãm din (23.5), dacã nava trece din apã dulce în apã sãratã ! "0d= . ºi dacã metacentrul diferenþial m este situat deasupra metacentrului transversal M

! "0Td KM/= ( . , înãlþimea metacentricã transversalã se micºoreazã ºi implicit stabilitatea. Dacã metacentrul diferenþial m este poziþionat sub metacentrul transversal M ! "0Td KM/= ( $ , atunci înãlþimea metacentricã transversalã se mãreºte ºi stabilitatea deopotrivã. Când nava trece din apã sãratã în apã dulce se produc fenomenele inverse. În cazul navelor cu borduri verticale 0T= & , relaþia (23.5) devine: ! " ! "d

d GM d KM=& ( (= (23.6)

Luând în discuþie modificarea stabilitãþii longitudinale atunci când se schimbã salinitatea apei se deduc formule similare cu (23.5) ºi (23.6): ! " ! "L L

dd GM d KB BM

=& ( ( (= (23.7)

Având în vedere valorile mari ale razei metacentrice longitudinale, în paranteza de mai sus se poate neglija diferenþa d KB( ºi se obþine: ! "L L

dd GM BM

=& = (23.8)

Când nava trece din apã dulce în apã sãratã ! " ! "0 , 0Ld d GM= . . ºi înãlþimea metacentricã longitudinalã creºte. În situaþia inversã ! " ! "0 , 0Ld d GM= $ $ , ca urmare

înãlþimea metacentricã longitudinalã va scãdea. În ambele cazuri, variaþia înãlþimii metacentrice longitudinale nu va fi mai mare de ! "2 2,5K % din valoarea iniþialã. Modificarea pescajului determinã ºi modificarea poziþiei centrului de carenã al navei. Ne intereseazã în mod special variaþia abscisei centrului de carenã Bdx . Dacã scriem ecuaþia de momente statice faþã de un plan paralel cu planul secþiunii de la mijlocul navei care trece prin centrul de carenã iniþial, obþinem: ! "B F Bdx V x x< & =L ( (23.9)

Înlocuind în relaþia (23.9) variaþia volumului carenei VL egalã cu: WLV A dL & = L ºi variaþia pescajului la modificarea salinitãþii apei dL cu:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

112

2

WL

dd

A

< =L & ( =

obþinem:

! "B F B

ddx x x

=(< & < (= (23.10)

Membrul drept al relaþiei (23.10) poate fi considerat ca un moment exterior ce înclinã nava în plan longitudinal, modificându-i asieta. Acest moment este egalat de momentul de stabilitate longitudinalã ºi obþinem: ! "F B L

dx x GM d

=< ( & < 2= (23.11)

Rezultã unghiul de înclinare longitudinalã: F B

L

x xdd

GM

(=2 & = (23.12)

care determinã o variaþie de asietã: ! "F B

L

d Ld x x

GM

=< & (= (23.13)

Cum pentru majoritatea navelor F Bx x$ , când nava trece din apã dulce în apã sãratã ! "0d= . nava se va apupa ! "0d< $ . În situaþia inversã, ! "0d= $ ºi nava se va aprova ! "0d< . .

Pentru determinarea variaþiilor de pescaj, la extremitãþile navei se utilizeazã relaþiile: B

pv pp

xd d

MCT

< L & L / L (23.14)

2 Fpp

pp pv

Lxd

Ld d

/L &L / L (23.15)

unde ppdL ºi pvdL sunt exprimate în centimetri. Relaþia (23.15) mai poate fi scrisã în forma: pp

pp pv

d LCF

Ld d

L &L / L (23.16)

Pescajele finale se vor calcula cu formulele:

'pv pv pvd d d d& / L M L (23.17)

'pp pp ppd d d d& / L L# (23.18)


113

24. INFLUENÞA DEPLASÃRILOR DE MASE LA BORD ASUPRA POZIÞIEI ªI STABILITÃÞII NAVEI

Sã considerãm o navã, la bordul cãreia o masã P consideratã în categoria maselor mici ! "0,1P $ < se deplaseazã din punctul ! ", ,A x y z în punctul ! "1 1 1, ,B x y z .

Aceastã deplasare nu va modifica deplasamentul navei, ci numai poziþia centrului de greutate ºi se poate descompune în trei deplasãri în lungul axelor de coordonate, aºa cum se observã în Fig.67. - deplasare verticalã din ! ", ,A x y z în ! "1 1, ,A x y z pe distanþa ! "1z z( ;

- deplasare lateralã ! "1 1, ,A x y z în ! "1 1 1, ,B x y z pe distanþa ! "1y y( ;

- deplasare longitudinalã din ! "1 1 1, ,B x y z în ! "1 1 1, ,B x y z pe distanþa ! "1x x( .

Fig. 67 Modificarea stabilitãþii navei se identificã cu modificarea valorilor înãlþimilor metacentrice transversale ºi longitudinale: ! " ! " ! "GM KM KGL & L ( L (24.1)

! " ! " ! "L LGM KM KGL & L ( L (24.2)

În condiþiile în care volumul carenei rãmâne constant, poziþiile metacentrelor, transversal M ºi longitudinal LM , nu se schimbã, prin urmare: ! " ! " ! "LGM GM KGL & L & (L (24.3)

Poziþia pe înãlþime a centrului de greutate se modificã, datoritã deplasãrii pe direcþie verticalã a masei P (Fig. 68), cu cantitatea:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

114

Fig. 68

! " ! "1

PKG z zL & (< (24.4)

Înlocuind (24.4) în (24.3), se obþine: ! " ! " ! "1L

PGM GM z zL & L & ( (< (24.5)

Vom observa cã dacã masa P se deplaseazã pe verticalã în jos ! "1 0z z( $ , centrul de

greutate se va deplasa în acelaºi sens ºi, în consecinþã, stabilitatea se va îmbunãtãþi ! "0GML . . Când masa P se deplaseazã pe verticalã în sus, stabilitatea se micºoreazã ! "0GML $ .

Valorile înãlþimilor metacentrice modificate se vor calcula cu formulele:

! "! "

1 1

1 1L L

PG M GM z z

PG M GM z z

& ( (<& ( (<

(24.6)

Dacã nava are o înclinare iniþialã 0# , datoratã acþiunii unui moment exterior, dupã deplasarea masei P pe verticalã, înclinarea se va modifica. Valoarea unghiului final de înclinare transversalã se determinã din condiþia: 0 1 1g GM g G M< # & < # (24.7) ºi rezultã: 1 0

1

GM

G M# & # (24.8)

ceea ce înseamnã cã înclinarea navei se va modifica proporþional cu raportul înãlþimilor metacentrice.


115

Fig. 69 Deplasarea lateralã a masei P (Fig.69) din ! "1 1, ,A x y z în ! "1 1 1, ,B x y z determinã un moment transversal de înclinare: ! "1 coseM g P y y& ( # (24.9)

Pentru unghiuri mici de înclinare se poate considera cos 1# N ºi obþinem: ! "1eM g P y y& ( (24.10)

Momentul de stabilitate este: 1sM g G M& < # (24.11)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

116

Fig. 70 Din egalitatea e sM M& rezultã valoarea unghiului de înclinare transversalã:

! "1

1

P y y

G M

(# & < (24.12)

La acelaºi rezultat se ajunge dacã se apeleazã la urmãtorul raþionament. Deplasarea lateralã a masei P pe distanþa ! "1y y( produce o deplasare pe aceeaºi direcþie a centrului de greutate al navei cu valoarea:

! "1

G

P y yy

(L & < (24.13)

aºa cum se observã din Fig. 70. Nava se va înclina transversal pânã la acel unghi # pentru care 1B se aflã pe aceeaºi verticalã cu 1G ºi M , perpendicularã pe 1 1W L . Deplasarea pe direcþie longitudinalã a masei P pe distanþa ! "1x x( modificã asieta navei (Fig. 71). Dacã raþionãm analog cu cazul înclinãrii transversale, unghiul de înclinare longitudinalã se calculeazã cu relaþia:

! "1

1 L

P x x

G M

(2 & < (24.14)

Noua plutire 1 1W L nu va mai fi dreaptã ºi va modifica pescajele la prova, la pupa, precum ºi la mijlocul navei, dupã cum urmeazã:


117

1 tg

tg2 2

tg2 2

F F

pv F F

pp F F

d d x d x

L Ld d x d x

L Ld d x d x

EF& ( 2 N ( 2 FF5 6 5 6& / ( 2 N / ( 2G7 8 7 89 : 9 : FF5 6 5 6& ( / 2 N ( / 2F7 8 7 89 : 9 : H

(24.15)

În grupul de relaþii (24.15), unghiul 2 se mãsoarã în radiani, iar termenii:

tg

2 2

tg2 2

F F pv

F F pp

L Lx x d

L Lx x d

E5 6 5 6( 2 N ( 2 & L7 8 7 8 F9 : 9 : FG5 6 5 6 F/ 2 N / 2 & L7 8 7 8 F9 : 9 : H

(24.16)

reprezintã variaþiile pescajelor la prova ºi la pupa. Unghiul 2 se considerã pozitiv când nava este aprovatã ºi negativ, când este apupatã. Dacã " "n mase se deplaseazã simultan la bordul navei, pentru a obþine efectul acestor deplasãri asupra poziþiei ºi stabilitãþii navei, în algoritmul prezentat mai sus se înlocuiesc:

! " ! "! " ! "! " ! "

1 11

1 11

1 11

n

i i ii

n

i i ii

n

i i ii

P x x P x x

P y y P y y

P z z P z z

&

&

&

E( & ( FFF( & ( GFF( & ( FH

OOO

(24.17)

Fig. 71 Putem, în finalul acestui paragraf, sã prezentãm un algoritm de calcul al efectelor pe care le produce deplasarea de mase P la bord dintr-un punct ! ", ,A x y z într-un punct

! "1 1 1 1, ,B x y z . Se va proceda în urmãtoarea succesiune: a) se corecteazã înãlþimile metacentrice, transversalã ºi longitudinalã, cu aceeaºi valoare ! "1

Pz z(< :

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

118

! " ! "1 1 1 1; L L

P PG M GM z z G M GM z z& ( ( & ( (< <

Întrucât ! "1 L

Pz z GM(< $ se poate lucra cu înãlþimea metacentricã longitudinalã

necorectatã, LGM . b) se calculeazã înclinarea transversalã cu formula:

! "1

1

P y y

G M

(# & <

Dacã nava avea o înclinare transversalã iniþialã 0# , atunci înclinarea finalã se va calcula cu formula:

! "1

1 0

1 1

P y yGM

G M G M

(# & # / <

c) se calculeazã unghiul de înclinare longitudinalã cu relaþia:

! " ! "1 1

1 L L

P x x P x x

G M GM

( (2 & N< <

d) se calculeazã pescajele finale la extremitãþile prova ºi pupa cu relaþiile:

! "1

2pv F

L

P x xLd d x

GM

(5 6& / (7 8 <9 :

! "1

2pp F

L

P x xLd d x

GM

(5 6& ( /7 8 <9 :

Dacã nava nu era pe asietã dreaptã cu pv ppd d3 atunci noile pescaje la

extremitãþile prova ºi pupa se calculeazã cu relaþiile:

! "11 2pv pv F

L

P x xLd d x

GM

(5 6& / (7 8 <9 :

! "1

1 2pp pp F

L

P x xLd d x

GM

(5 6& ( /7 8 <9 :

e) se calculeazã asieta finalã (variaþia pescajelor finale prova ºi pupa) 22LL< LLtgddddd ppvppp1pv1 &&(&(& .

O valoare pozitivã a lui d< corespunde situaþiei de navã aprovatã, iar o valoare negativã situaþiei de navã apupatã.

25. PROBA DE STABILITATE Încã din faza de proiectare a navei, coordonatele centrului de greutate se determinã prin calcul, luând în considerare toate categoriile de greutãþi care compun deplasamentul navei precum ºi repartizarea acestora pe navã. Datoritã complexitãþii navei, a numãrului foarte mare de elemente componente, de forme ºi dimensiuni diferite, acest calcul în faza de proiectare are un caracter aproximativ. De aceea, dupã


119

terminarea construcþiei unei nave de tip nou sau dupã efectuarea de modificãri importante în ºantier ºi înainte de a se face probele de recepþie, se verificã deplasamentul ºi cota centrului de greutate de la planul de bazã. Verificarea se realizeazã prin efectuarea probei de stabilitate. Aceasta se bazeazã pe urmãtorul raþionament: deplasarea unei mase p dintr-un bord în altul, în planul secþiunii transversale cu distanþa l , va produce înclinarea navei cu unghiul # , considerat în categoria unghiurilor mici (Fig. 72). Deplasarea masei p se face astfel încât momentul de înclinare acþioneazã static ºi pentru determinarea unghiului de înclinare # se egaleazã momentul de înclinare cu momentul de stabilitate. Momentul de înclinare este dat de relaþia: coseM g pl& # (25.1)

iar momentul de stabilitate se calculeazã cu formula metacentricã a stabilitãþii: sinsM g GM& < # (25.2)

Egalând (25.1) cu (25.2), rezultã: cos sing p l g GM# & < # (25.3)

ºi mai departe:

tg

p lGM & < # (25.4)

Dacã se cunosc , , ,p l < cota metacentrului transversal faþã de planul de bazã ! ". .P B ºi se determinã experimental unghiul de înclinare # , se aflã înãlþimea centrului de greutate al navei KG de la . .P B

Fig. 72

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

120

Proba de stabilitate se efectueazã cu deosebitã atenþie, mai ales cã rezultatele sunt folosite ca elemente de plecare pentru determinarea stabilitãþii navei, în perioada ulterioarã de exploatare. Lucrãrile corespunzãtoare probei de stabilitate cuprind trei etape distincte: pregãtirea pentru probã, efectuarea probei ºi prelucrarea rezultatelor obþinute. Operaþiunile pregãtitoare pentru probã se fac în urmãtoarea succesiune: a) se debarcã toate sculele, materialele, instalaþiile ºi dispozitivele folosite la efectuarea lucrãrilor ºi se întocmeºte tabelul cu toate masele care lipsesc de la bord faþã de situaþia de navã goalã; b) se întocmeºte tabelul cu toate masele în plus faþã de situaþia de probã; c) se pompeazã în exterior toate masele lichide, iar tancurile rezervoare de lichide ºi compartimentele corespunzãtoare sunt golite ºi curãþate; d) lichidele din instalaþii se pãstreazã la nivelul de serviciu, iar valvulele trebuie închise; e) se instaleazã pendule pentru mãsurarea unghiurilor de înclinare. În mod obiºnuit se instaleazã trei pendule, unul la prova, al doilea în zona de mijloc, iar al treilea în sectorul pupa, în planul diametral al navei. Pentru mãsurarea devierii pendulelor se instaleazã rigle gradate; f) se pregãteºte lestul pentru proba de înclinare, determinându-se masa necesarã pentru efectuarea probei. Se ambarcã aceastã masã la bord, stabilindu-se în acelaºi timp o dispunere cât mai raþionalã a acestuia la bord, astfel încât sã nu se producã înclinarea longitudinalã a navei, de obicei aceastã masã se împarte în patru grupe, câte douã în fiecare bord. Masa lestului nu trebuie sã producã o înclinare transversalã mai mare de 3% ; g) proba de stabilitate se va efectua într-un loc liniºtit, în lipsa valurilor, a vântului ºi a curentului. Toate scãrile ºi schelele vor fi debarcate, iar nava va fi legatã cu câte o parâmã la prova ºi la pupa, astfel încât sã nu fie influenþate înclinãrile transversale ale navei. Echipajul va fi scos la mal, cu excepþia oamenilor care iau parte la efectuarea probei. Efectuarea probei ºi prelucrarea rezultatelor se face respectând urmãtoarea succesiune: a) înainte de începerea probei se va face mãsurãtoarea pescajului la scãrile de pescaj din prova, cuplul maestru ºi pupa simultan în ambele borduri; b) pe baza pescajelor definitive, utilizând diagrama de carene drepte se scot: deplasamentul < , coordonatele centrului de carenã Bx 2 ºi KB ; razele metacentrice BM

ºi LBM ; c) se deplaseazã lestul p în direcþie transversalã cu distanþa l , mãsurându-se unghiul # . Operaþia se repetã de mai multe ori mãsurându-se unghiurile de înclinare ºi determinând înãlþimea metacentricã GM cu relaþia (25.4). Pe de altã parte, GM se poate calcula cu relaþia:


121

GM BM KB KG& / ( (25.5) de unde rezultã: KG BM KB GM& / ( (25.6) Aceastã valoare a cotei centrului de greutate va trebui corectatã prin luarea în consideraþie a maselor în plus sau în minus, iar cu ajutorul lui Bx 2 ºi al lui LBM se determinã abscisa centrului de greutate al navei cu formula: ! " tgG Bx x KG KB2& ( ( 2 (25.7)

unde 2 este unghiul de înclinare longitudinalã: tg

pv ppd d

L

(2 & (25.8)

26. INFLUENÞA ÎNCÃRCÃTURILOR SUSPENDATE ASUPRA

STABILITÃÞII NAVEI Printre tipurile de greutãþi ce compun deplasamentul navei, la un moment dat, pot exista ºi greutãþi suspendate, care se vor deplasa liber prin înclinarea navei. Ca exemple putem da: o greutate suspendatã în cârligul macaralei sau o marfã suspendatã în interiorul unei magazii, etc. Pentru a determina efectul unor astfel de sarcini asupra stabilitãþii navei, vom considera o navã, iar în interiorul unei magazii o masa P , suspendatã în punctul A prin intermediul unui fir de lungime l .

Fig. 73 Când nava este înclinatã transversal cu unghiul # , masa P îºi deplaseazã centrul de greutate din punctul B în 1B parcurgând arcul de cerc 1BB (Fig. 73), astfel încât direcþia forþei de greutate sã fie în permanentã verticalã, perpendicularã pe suprafaþa

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

122

apei. Unghiul de înclinare transversalã # este ºi unghiul de rotaþie al firului de lungime l la capãtul cãruia atârnã masa P . În timpul înclinãrii transversale cu unghiul # , deplasarea masei P determinã un moment exterior suplimentar de înclinare: #< gPlM & (26.1) În aceste condiþii momentul de stabilitate îºi micºoreazã valoarea ºi devine: s

PlM g GM g Pl g GM

5 6& < #( # & < ( #7 8<9 : (26.2)

Paranteza din membrul drept al relaþiei (26.2) este valoarea înãlþimii metacentrice transversale, corectate datoritã influenþei greutãþii suspendate g P .Aceastã corecþie este:

! " P lGML & ( < (26.3)

iar valoarea înãlþimii metacentrice transversale, corectate:

! "'P l

G M GM GM GM& / L & ( < (26.4)

La acelaºi rezultat ajungem dacã aplicãm urmãtorul raþionament. Deplasarea masei P din B în 1B prin parcurgerea arcului 1BB , determinã o deplasare de aceeaºi naturã a centrului de greutate al navei din G în 1G . Arcul de cerc 1GG se calculeazã cu formula:

#<<PlP

BBGG11

&& (26.5)

Fig. 74 Braþul stabilitãþii transversale se va reduce de la valoarea GZ la valoarea 1 1G Z (Fig. 74). Dacã din punctul 1G ducem o paralelã la direcþia împingerii care intersecteazã urma . .P D în 'G , observãm cã 1 1 ' 'G Z G Z& . Din punct de vedere al stabilitãþii


123

transversale, influenþa încãrcãturii P suspendatã de firul cu lungime l este echivalentã cu deplasarea centrului de greutate pe verticalã în sus cu distanþa 'GG . Dar: #'' GGGG & (26.6) Comparând (26.5) cu (26.6), rezultã: '

PlGG & < (26.7)

Aceasta va duce la corecþia înãlþimii metacentrice iniþiale cu valoarea:

! " P lGML & ( < (26.8)

Comparând relaþia (26.4) cu relaþia (24.6) obþinutã în cazul deplasãrii maselor la bord pe direcþie verticalã, constatãm cã sunt identice. Aceasta înseamnã cã în cazul manipulãrii mãrfurilor cu ajutorul instalaþiilor de la bord, modificarea stabilitãþii este similarã cu deplasarea masei respective pânã în ciocul macaralei, indiferent de lungimea cablului de suspendare. Dacã la bordul navei sunt mai multe mase suspendate, efectul lor se va însuma, corecþia înãlþimii metacentrice putându-se calcula cu formula:

! " 1

n

i ii

P lGM &L & ( <

O (26.8)

Din Fig. 74 rezultã cã braþul stabilitãþii statice corespunzãtor unghiului de înclinare # se va reduce în cazul maselor suspendate cu valoarea:

' sin sins

P ll GGL & # & #< (26.9)

sau:

1 sin

n

i ii

s

P ll &L & ( #<

O (26.10)

în cazul în care la bord existã n mase suspendate simultan. Studiind relaþiile (26.9) ºi (26.10) rezultã cã prin înclinarea navei cu unghiul # , fiecare masã suspendatã produce un moment exterior de înclinare suplimentar care se calculeazã cu relaþia: sine i iM g P lL & # (26.11) ceea ce este echivalent cu deplasarea masei iP pe direcþie transversalã cu distanþa: sini id l& # (26.12)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

124

27. INFLUENÞA AMBARCÃRII ªI DEBARCÃRII DE MASE LA BORD ASUPRA POZIÞIEI ªI STABILITÃÞII NAVEI

Manevrele de ambarcare sau debarcare de greutãþi sunt absolut obiºnuite în timpul exploatãrii navei, fapt ce determinã modificarea deplasamentului. Aceastã schimbare a deplasamentului ºi a distribuþiei de greutãþi la bord va conduce la modificarea poziþiei navei în raport cu suprafaþa liberã a apei ºi a stabilitãþii acesteia. Se vor analiza consecinþele ambarcãrii ºi debarcãrii de mase în douã variante: ambarcarea de mase mai mici ! "0,1P $ < ºi ambarcarea de mase mari ! "0,1P . < . De asemenea, se va analiza

numai efectul ambarcãrii de mase, debarcarea fiind consideratã o ambarcare de mase negative. 27.1 Ambarcarea de mase mici ! "0,1P $ < Se considerã o masã P care se ambarcã la bordul navei în punctul ! "1 1 1, ,A x y z .

Aceastã manevrã se poate descompune fictiv în douã etape (Fig. 75): a) o ambarcare a masei P astfel încât nava sã nu se încline transversal ºi/sau longitudinal. Aºa cum am vãzut în §11, pentru ca acest lucru sã se întâmple, în condiþiile în care nava are borduri verticale, este necesar ca masa P sã se ambarce pe verticala centrului de greutate al volumului de carenã suplimentar VL , care va trece prin centrul plutirii iniþiale F . În consecinþã, masa P se ambarcã în punctul

! "0 1, 0,FA x z . Ca o consecinþã a acestei ambarcãri se va modifica deplasamentul navei 1 P< & < / , centrul de greutate se va deplasa pe verticalã cu distanþa ! "KGL , pescajul va

ajunge la valoarea 1d d d& / L , centrul de carenã îºi va modifica poziþia datoritã adãugãrii volumului suplimentar al carenei VL , iar stabilitatea se va modifica datoritã modificãrii înãlþimilor metacentrice transversalã ºi longitudinalã cu cantitãþile ! "GML ºi ! "LGML .

Fig. 75


125

b) o deplasare a masei P din punctul ! "0 1, 0,FA x z în punctul ! "1 1 1, ,A x y z . Aceastã deplasare este responsabilã de apariþia înclinãrii transversale de unghi # ºi a înclinãrii longitudinale de unghi 2 . Sã analizãm separat cele douã etape urmând ca în final sã însumãm efectele. 1. Ambarcarea masei pe verticala centrului plutirii, în punctul ! "0 1, 0,FA x z va

produce o serie de modificãri ale unor caracteristici dupã cum urmeazã: 4 Variaþia pescajului mediu Prin ambarcarea masei P se modificã deplasamentul navei, cãpãtând valoarea: ! "1 P V V< & < / & = / L (27.1)

Rezultã cã volumul suplimentar al carenei se poate calcula cu formula: P

VL & = (27.2)

Cum am presupus cã nava are borduri verticale în zona plutirii, putem scrie: WLV A dL & L (27.3) ºi mai departe variaþia pescajului mediu:

WL

Pd

AL & = (27.4)

4 Variaþia razei metacentrice transversale Se obþine fãcând diferenþa dintre razele metacentrice care corespund plutirilor

1 1W L ºi WL (Fig. 75),

! " 1 1BM B M BML & ( (27.5)

unde:

11 1

x x xI I IB M

V V V V

/ L& &/ L / L ; xIBM

V& (27.6)

Aici 1xI ºi xI sunt momentele de inerþie axiale ale suprafeþelor plutirilor 1 1W L ºi WL . Pe de altã parte, prin dezvoltarea în serie Taylor a funcþiei ! "xI V gãsim: 1

xx x

II I V

V

P& / LP (27.7)

În consecinþã:

! "x

xx x x

II V I I IVVBM

V V V V V V V

P/ L PL 5 6PL & ( & (7 8/ L / L P9 : (27.8)

Însã, aºa cum am arãtat în §22 - formula (22.11) - xT

I

V

P & =P (raza metacentricã

diferenþialã) ºi din §8 - formula (8.43) - ºtim cã xIBM

V& ; prin urmare:

! " ! " ! "T T

V PBM BM BM

V V P

LL & = ( & = (/ L < / (27.9)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

126

4 Variaþia înãlþimii centrului de greutate Scriind ecuaþia de momente statice în raport cu un plan paralel cu . .P B care trece prin centrul de greutate iniþial, obþinem: ! " ! "1

PKG z KG

PL & (< / (27.10)

4 Variaþia înãlþimii centrului de carenã Din ecuaþia de momente statice faþã de un plan orizontal care trece prin centrul de carenã iniþial, rezultã: ! "

2 2

V d P dKB d KB d KB

V V P

L L L5 6 5 6L & / ( & / (7 8 7 8/ L < /9 : 9 : (27.11)

4 Variaþia înãlþimii metacentrice transversale Cunoscând expresia înãlþimii metacentrice transversale: GM BM KB KG& / ( rezultã: ! " ! " ! " ! "GM BM KB KGL & L / L ( L (27.12)

Introducem (27.9), (27.10) ºi (27.11) în (27.12) ºi obþinem: ! " 12 T

P dGM d z GM

P

L5 6L & / / = ( (7 8< / 9 : (27.13)

Asemãnãtor, variaþia înãlþimii metacentrice longitudinale se calculeazã cu formula: ! " 12L L L

P dGM d z GM

P

L5 6L & / /= ( (7 8< / 9 : (27.14)

în care L= este raza metacentricã diferenþialã longitudinalã. În mod particular, pentru navele cu borduri verticale în vecinãtatea plutirii, 0T L= & = & ºi relaþiile anterioare se rescriu în forma: ! " 12

P dGM d z GM

P

L5 6L & / ( (7 8< / 9 : (27.15)

! " 12L L

P dGM d z GM

P

L5 6L & / ( (7 8< / 9 : (27.16)

Înãlþimile metacentrice corectate se vor calcula cu formulele: ! "1 1 12

P dG M GM GM GM d z GM

P

L5 6& / L & / / ( (7 8< / 9 : (27.17)

! "1 1 12L L L L L

P dG M GM GM GM d z GM

P

L5 6& / L & / / ( (7 8< / 9 : (27.18)

Dacã în relaþia (27.17) se înmulþeºte în ambii membri cu factorul ! "P< / dupã efectuarea unor calcule elementare rezultã: ! " ! "1 1 12

dP G M GM GM P d z

L5 6< / ( < & L < & / (7 89 : (27.19)


127

în care ! "GML < este variaþia coeficientului de stabilitate al navei la ambarcarea masei P . Plecând de la formula (27.19), putem face o discuþie asupra semnului variaþiei coeficientului de stabilitate, în funcþie de cota 1z a punctului de ambarcare a masei P . I. La ambarcarea de mase ! "0P . putem avea urmãtoarele situaþii: 1) ! "1 ; 0

2

dz d GM

L$ / L < . stabilitatea iniþialã a navei se mãreºte; 2) ! "1 ; 0

2

dz d GM

L& / L < & stabilitatea iniþialã a navei rãmâne neschimbatã; 3) ! "1 ; 0

2

dz d GM

L. / L < $ stabilitatea iniþialã a navei se micºoreazã. II. La debarcarea de mase ! "0P $ lucrurile se petrec invers:

1) ! "1 ; 02

dz d GM

L$ / L < $ stabilitatea iniþialã a navei se micºoreazã; 2) ! "1 ; 0

2

dz d GM

L& / L < & stabilitatea iniþialã a navei rãmâne neschimbatã; 3) ! "1 ; 0

2

dz d GM

L. / L < . stabilitatea iniþialã a navei se mãreºte. Valorile mari ale înãlþimii metacentrice longitudinale LGM ne permit ca sã putem neglija suma 12

dd z

L/ ( din (27.16) ºi sã putem scrie: ! "L L

PGM GM

PL & ( < / (27.20)

Înlocuim în (27.18) ºi obþinem: 1 1L LG M GM

P

<& < / (27.21)

ceea ce înseamnã cã: ! " 1 1L LP G M GM< / & < (27.22)

ºi o variaþie nulã a coeficientului de stabilitate longitudinalã. ! " 0LGML < & (27.23)

2. Deplasarea masei P din punctul ! "0 1, 0,FA x z în punctul ! "1 1 1, ,A x y z determinã modificarea poziþiei navei în raport cu suprafaþa liberã a apei, înclinând-o atât transversal cât ºi longitudinal. Pe baza celor arãtate în §24 privitor la deplasarea de mase la bord, unghiurile de înclinare se pot calcula cu relaþiile: ! "

11

1

MGP

Pytg /&0 <## (27.24)

! "

L

F1

GM

xxPtg <22 (&0 (27.25)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

128

Dacã nava avea o înclinare transversalã iniþialã 0# , dupã ambarcarea masei P noua înclinare se va calcula cu relaþia: 1 0

1 1

GM

G M# & # / # (27.26)

relaþii în care 0# ºi # au semne. Se va considera cã dacã nava se înclinã la Tb , înclinarea este pozitivã ºi dacã se înclinã la Bb , înclinarea este negativã. Datoritã înclinãrii longitudinale (Fig. 76), pescajele la extremitãþi se vor modifica cu valorile:

! "1tg

2 2F

pv F F

L

P x xL Ld d x d x

GM

(5 6 5 6L & L / ( 2 & L / (7 8 7 8 <9 : 9 : (27.27)

! "1tg

2 2F

pp F F

L

P x xL Ld d x d x

GM

(5 6 5 6L & L ( / 2 & L ( /7 8 7 8 <9 : 9 : (27.28)

noile pescaje prova ºi pupa fiind: pv pvd d d& / L (27.29)

pp ppd d d& / L (27.30)

Fig. 76 Atunci când nava nu este iniþial pe carenã dreaptã, ci are pescajele pvd ºi ppd

! "pv ppd d3 , pescajele finale rezultate în urma ambarcãrii masei P sunt:

1 tg2pv pv F

Ld d d x

5 6& / L / ( 27 89 : (27.31)

1 tg2pp pp F

Ld d d x

5 6& / L ( / 27 89 : (27.32)

27.2 Ambarcarea de mase mari ! "0,1P . În cazul ambarcãrii de mase mari la bordul navei, ipoteza modificãrii pescajului în zona unde bordurile sunt verticale nu mai este valabilã ºi atunci algoritmul de calcul prezentat anterior nu mai poate fi folosit decât, eventual, ca estimã a modificãrilor ce


129

apar la stabilitatea ºi poziþia navei în raport cu suprafaþa liberã a apei. Pentru a rezolva aceste probleme, cu acurateþe putem utiliza "Diagrama de carene drepte" (Fig. 77). Pentru a determina variaþia pescajului mediu, se aºeazã la scara deplasamentului, în continuarea lui < , valoarea masei ambarcate P ºi apoi se ridicã o verticalã care se va intersecta cu curba deplasamentului ! "z< . Corespunzãtor acestui punct, dacã ducem o orizontalã vom citi pe ordonatã valoarea pescajului mediu 1d , care corespunde deplasamentului 1 P< & < / . Figurând la scara lungimilor valoarea cotei centrului de greutate KG la pescajul d , vom putea citi valoarea înãlþimii metacentrice transversale iniþiale: GM KM KG& (

Fig. 77 De asemenea, cunoscând valoarea razei metacentrice longitudinale LBM din diagramã vom putea calcula înãlþimea metacentricã longitudinalã, iniþialã cu formula: L LGM KB BM KG& / ( . Cunoscând valoarea masei P precum ºi cota 1z a masei ambarcate, se poate calcula noua cotã a centrului de greutate al navei cu formula: ! "1 1

PKG KG z KG

P& / (< /

Ulterior, putem calcula înãlþimile metacentrice transversalã ºi longitudinalã, corespunzãtoare noului pescaj mediu 1d :

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1L L

G M KM KG

G M KB B M KG

& (& / (

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

130

Variaþiile acestor înãlþimi metacentrice sunt:

! "! "

1 1

1 1L L L

GM G M GM

GM G M GM

L & (L & (

Toate aceste modificãri asupra flotabilitãþii ºi stabilitãþii navei au fost deduse considerând cã nava rãmâne pe carenã dreaptã. Aceasta înseamnã cã masa P va trebui ambarcatã pe verticala centrului de greutate al volumului de carenã suplimentar VL . Coordonatele acestuia în plan orizontal sunt: 1 1 1

1 1

0 ,WL F W L F

V VWL W L

A x A xy x

A A

/& & /

În continuare, vom deplasa masa P în plan orizontal cu distanþele ! "1 Vx x( dupã axa x ºi 1y dupã axa oy pentru a ajunge în punctul de ambarcare ! "1 1 1, ,A x y z . Aceastã deplasare va cauza înclinarea navei în ambele plane: transversal ºi longitudinal. Unghiurile de înclinare se calculeazã cu relaþiile: ! "

1

1 1

tgP y

P G M# & < /

! "

! "1

1 1

tg V

L

P x x

P G M

(2 & < /

Aceleaºi mãrimi se pot calcula cu formulele: 1 1

1 1

tg B Gy y

KG KB

(# & (

1 1

1 1

tg B Gx x

KG KB

(2 & (

din condiþia ca în poziþia înclinatã a navei, centrul de carenã 1B ºi centrul de greutate 1G sã se gãseascã pe aceeaºi dreaptã verticalã, perpendicularã pe suprafaþa apei. În formulele de mai sus, 1KB ºi 1Bx se scot din "diagrama de carene drepte", iar

1KG ºi 1Gy se calculeazã cu formulele:

! "1 1

11G

PKG KG z KG

PP y

yP

Q & / (FF < /RF &FS < /

Pescajul la cuplul maestru se calculeazã cu formula: 1 1 tgFd d xT & ( 2


131

28. INFLUENÞA ÎNCÃRCÃTURILOR LICHIDE CU SUPRAFEÞE LIBERE ASUPRA STABILITÃÞII NAVEI

Dacã la bordul navei existã tancuri parþial umplute, miºcarea lichidelor în aceste tancuri, în timpul înclinãrii navei, va reduce stabilitatea acesteia, deoarece centrul de greutate al lichidului se va deplasa, creând un moment de înclinare suplimentar. În Fig. 78 am considerat o navã ºi un tanc parþial umplut. Plutirea dreaptã este WL , iar a lichidului din tanc ab . Când nava se înclinã, cu unghiul # considerat mic, plutirile 1 1W L ºi 1 1a b rãmân paralele. Lichidul din tanc se comportã ca o carenã care îºi deplaseazã centrul din g în 1g , determinând un moment suplimentar de înclinare: 1111e ggggggM I=I=< N& (28.1) unde 1v= este masa lichidului din tanc. Metacentrul lichidului din tanc este punctul A ,

iar xiAgv

& este raza metacentricã a acestei carene, în care xi reprezintã momentul de inerþie al suprafeþei libere, în raport cu o axã paralelã cu axa de înclinare ºi care trece prin centrul acestei suprafeþe. Putem scrie: #I

x

1

igg & (28.2)

ºi prin înlocuire în (28.1): 1e xM g i< & = # (28.3) În aceastã situaþie, momentul de stabilitate este egal cu cel al navei înclinatã transversal cu unghiul # din care scãdem valoarea eM< ce reprezintã efectul negativ al suprafeþei libere de lichid.

11

xs x

iM g GM g i g GM

V

=5 6& < #(= # & < ( #7 8=9 : (28.4)

Din relaþia (28.4) se observã cã putem interpreta efectul suprafeþei libere de lichid din tanc, ca o micºorare a înãlþimii metacentrice transversale cu valoarea: ! " 1 xiGM

V

=L & = (28.5)

La acelaºi rezultat se ajunge dacã parcurgem urmãtorul raþionament. Deplasarea centrului de greutate a lichidului din g în 1g antreneazã o deplasare similarã a centrului de greutate al navei din G în 1G (Fig. 78) ºi o corecþie negativã a înãlþimii metacentrice cu valoarea 'GG . Dar:

V

ggGG 1

11 =I=& (28.6)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

132

Fig. 78 Înlocuind în (28.6) valoarea lui 1gg datã de (28.2), rezultã: #=

=V

iGG x1

1 & (28.7)

Dar:

V

iGGGG x11'

==

# && (28.8)

În concluzie, pentru o situaþie oarecare de încãrcare a navei, existenþa unui tanc ce conþine un lichid cu suprafaþã liberã ºi densitate 1= este echivalentã la unghiuri mici de înclinare cu ridicarea centrului de greutate al navei cu valoarea 1 xi

V

== , ceea ce înseamnã

o înãlþime metacentricã corectatã care se calculeazã cu relaþia: 1' xiG M GM

V

=& ( = (28.9)

Dacã la bord existã simultan mai multe tancuri ce conþin lichide cu suprafaþã liberã atunci, datoritã efectului cumulat al acestora, înãlþimea metacentricã transversalã se calculeazã cu formula:

1'i

n

i xi

iG M GM

V&=

& ( =O

(28.10)

Corespunzãtor pentru înãlþimea metacentricã longitudinalã obþinem: 1' y

L L

iG M GM

V

=& ( = (28.11)

ºi:

1'i

n

i yi

L L

iG M GM

V&=

& ( =O

. (28.12)


133

În practicã, evaluarea suprafeþelor libere de lichid din tancuri se face presupunând situaþia cea mai defavorabilã ce poate apãrea. Efectul maxim apare atunci când tancul este jumãtate plin. Se va presupune cã tancul cel mai mare din fiecare sistem sau perechea cea mai mare de tancuri, dacã ele lucreazã în pereche, sunt pline pe jumãtate. Acest studiu se va efectua ºi în situaþia de plinã încãrcare întrucât este de aºteptat ca suprafeþele libere sã aparã în scurt timp de la plecarea din port. Efectul divizãrii tancurilor Analizând relaþia (28.5), este uºor de observat importanþa divizãrii suprafeþei libere de lichid asupra corectãrii înãlþimii metacentrice. Aceastã divizare se face cu ajutorul pereþilor, împãrþind tancul în douã sau mai multe tancuri mai mici. Pentru a evalua acest efect, considerãm un tanc a cãrui suprafaþã liberã este un dreptunghi cu dimensiunile l b; (Fig. 79). Dacã lichidul din tanc are densitatea 1= atunci micºorarea înãlþimii metacentrice datoritã suprafeþei libere este: ! " 3

1 1 1

12xi l b

GMV V

= =L & &= =

Fig. 79 Dacã se împarte tancul prin " "m pereþi longitudinali, echidistanþi, atunci suprafaþa liberã se divide în " 1"m / dreptunghiuri cu dimensiunile

1

bl

m; / . În aceastã nouã

situaþie, corecþia înãlþimii metacentrice este:

! " ! " ! "! "

3

1 121

111

12 1

x

bm l

i GMmGM

V V m

5 6/ 7 8 L= = /9 :L & & &= = /O

Rezultã cã fracþionarea suprafeþei libere prin " "m pereþi reduce micºorarea înãlþimii metacentrice de ! "2

1m / ori. În particular, dacã se amplaseazã un singur perete etanº, despãrþitor la jumãtatea lãþimii tancului, efectul negativ al suprafeþei libere de lichid se micºoreazã de patru ori.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

134

Un fenomen asemãnãtor apare la transportul mãrfurilor granulate în vrac (cereale, cãrbuni, minereuri, etc.), atunci când magaziile de mãrfuri sunt parþial încãrcate. Datoritã oscilaþiilor navei pe mare realã, marfa se poate deplasa în unul din borduri producând înclinãri exagerate ale navei sau chiar rãsturnarea acesteia. Pentru a evita astfel de fenomene nedorite, la transportul mãrfurilor în vrac se iau mãsuri speciale de micºorare sau divizare a suprafeþei libere. Divizarea suprafeþelor libere, prin pereþi despãrþitori, reprezintã un compromis deoarece implicã creºterea greutãþii structurii. În cazul navelor care transportã mãrfuri lichide în vrac, uneori acest compromis este inacceptabil întrucât implicã o creºtere corespunzãtoare a tubulaturilor, a valvulelor, a conductelor de aerisire ºi de preaplin, complicând totodatã operarea sistemului.


135

PROBLEME REZOLVATE Problema 1 O navã tip ponton paralelipipedic are dimensiunile 200 20 ; 10; L m B m D m& & & ºi pentru orice situaþie de încãrcare are centrul de greutate situat în planul plutirii. Gãsiþi valoarea pescajului pentru care nava este în poziþie de echilibru indiferent. Rezolvare: KM KB BM& /

2

dKB & (datoritã formei carenei � paralelipiped dreptunghic) (1)

3

212

12x

LBI B

BM rV L B d d

& & & & (2)

Rezultã : 2

2 12

d BKM

d& / .

Condiþia de echilibru indiferent KM KG& sau 2 400 33,33

2 12 2 12 2

d B d dd d d

d d d& / U & / U & / sau mai departe 2 22 66,67d d& / de unde

rezultã 8,165 d m& . Problema 2 O navã are iniþial deplasamentul 0 10900 t< & ºi 0 7 KG m& . Se încarcã nava cu 5742 tone de marfã care se distribuie pe douã punþi situate la distanþele 1 8,17 Kg m& ºi

2 7,43 Kg m& de planul de bazã ( )PB . Gãsiþi cantitãþile de marfã distribuite pe cele douã punþi astfel încât înãlþimea metacentricã finalã a navei sã fie 1,24 GM m& . Se cunoaºte

8,43 KM m& la deplasamentul 16642 t< & . Rezolvare: Noua cotã a centrului de greutate se determinã din ecuaþia de momente statice faþã de PB considerând masa 1P ambarcatã la cota 1Kg ºi masa 2P la cota 2Kg adicã: ! "0 0 0 1 1 2 2P KG KG P Kg P Kg< / & < / /

1 28,17 7, 43 16642 10900 7P P KG/ & ( V (1)

Din condiþia ca 1, 24GM m& gãsim: 8, 43 1,24 7,19GM KM KG KG KM GM m& ( J & ( & ( &

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

136

Relaþia (1) devine: 1 28,17 7,43 43356P P/ & Se adaugã ecuaþia : 1 2 5742P P/ & formându-se un sistem care se rezolvã. Soluþiile sistemului sunt: 1 2936,5 ; 4805,5P t P t& & Problema 3 O navã tip ponton paralelipipedic are dimensiunile 250 25; L m B m& & 14D m& ºi pentru orice situaþie de înclinare are centrul de greutate situat în planul plutirii. Gãsiþi valoarea maximã a pescajului pentru care nava este la limitã stabilã transversal. Rezolvare: Condiþia de stabilitate transversalã la limitã este ca 0GM & (înãlþimea metacentricã transversalã sã fie nulã). GM KB BM KG& / (

Dar 2

dKB & (datoritã formei suprafeþei imerse: paralelipiped dreptunghic)

3

212

12x

LBI B

BM rV L B d d

& & & &

KG d&

2 22 2

2

0 0 0 62 12 12 2

2510, 2

6

d B B dGM d d B

d d

d m

& U / ( & U ( & & J

& &

Problema 4 O navã cu deplasamentul de 22600 , 8, 2t KG m& descarcã 3000 t de balast având cota centrului de greutate egalã cu 2 m ! "2Kg m& . Nava încarcã 11400 t de marfã cu

7,8Kg m rãmânând disponibilã pentru încãrcare o cantitate de 1200 t de marfã. Determinaþi cota centrului de greutate a cantitãþii disponibile Kg astfel încât înãlþimea metacentricã finalã GM sã nu fie mai micã de 0,5 m . KM la deplasamentul de 32200 t este egal cu 9 m .


137

Rezolvare: Notãm cu x cota restului de 1200 t de marfã ce trebuie ambarcatã pentru ca înãlþimea metacentricã GM sã nu scadã sub valoarea de 0,5 m . Problema se poate rezolva tabelar:

Masa C Dt C D;KG Kg m Momentul faþã de C DPB t mV

22600 8,2 185320 11400 7,8 88920

-3000 2 -6000

1200 x 1200 x

32200 268240+1200 x

0,5 0,5 9 0,5 8,5KM KG KG KM m( & J & ( & ( &

268240 12008,5 4,55

32200

xx m

/ & J &

Problema 5 O navã are pescajele 8,72pvd m& ºi 9ppd m& în apã cu densitatea 31,025 /t m= & .

Ea intrã pe doc unde apa are densitatea 31 1,004 /t m= & . Gãsiþi noile pescaje prova ºi

pupa þinând cont de schimbarea asietei datoritã modificãrii densitãþii apei. Se mai cunosc: 162 / ; 29,8 / ; 82MCT t m cm TPC t cm LCF m& V & &

90 ; 170 ; 27000LCB m L m t& & < & . Rezolvare: Pescajul de calcul iniþial se calculeazã cu formula:

! " ! "8,72 9tg 9 82 8,865

170

pv pp

pp pp

d dd d LCF d LCF m

L

( (& / 2 & / & / &

Deoarece 1= W = , nava îºi va mãri pescajul mediu cu 2% din valoarea pescajului iniþial, adicã: 2

2% 8,865 0,177100

d d mL & & &

Noul pescaj de calcul va fi: ' 8,865 0,177 9,042d d d m m m& / L & / & Variaþia volumului carenei se calculeazã cu formula:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

138

31 1

1 1

1,025 1,004 27000551

1,004 1,025V V m

= (= = (= < (L & & & V &= = =

Variaþia volumului carenei implicã deplasarea centrului de carenã pe direcþie longitudinalã cu valoarea:

! " ! " ! " ! "1

1

1,004 1,02582 90 0,167

1,004Bx LCF LCB m= (= (L & ( ( & ( ( & (=

Rezultã o deplasare spre pupa a centrului de carenã ºi o modificare a asietei, în sensul aprovãrii, comparativ cu plutirea iniþialã. Variaþia de asietã datoratã modificãrii salinitãþii apei se calculeazã cu formula: 27000 0,167

27,83162

Bxcm

MCT

< L V& &

ºi va determina o modificare a pescajelor la extremitãþi cu valorile: 170 82

27,83 27,83 14,4170pv

L LCFd cm

L

( (L & & &

8227,83 27,83 13,43

170pp

LCFd cm

LL & & &

Pupa Prova

Pescajul iniþial C Dm 8,72 9,00 Variaþia de pescajului mediu C Dm

0,177 0,177 Modificarea asietei C Dm 0,134 -0,144 Pescajul final C Dm 9,031 9,033

Problema 6 O navã pluteºte cu înclinarea 3# & % . Sã se determine valoarea masei ce trebuie deplasatã la bord pentru a o îndrepta, dacã înãlþimea metacentricã este 0,6GM m& , deplasamentul navei este 300 t< & , iar distanþa pe care se poate deplasa greutatea este

2yl m& .

Rezolvare: p se determinã din egalitatea dintre momentul de înclinare datorat deplasãrii la bord a masei p pe direcþia ! "y e yl M g p l& ºi momentul de stabilitate ! "tgsM g GM& < # adicã: tgyg p l g GM& < #

300 0,6tg 0,052 4,68

2y

GMp t

l

< V& # & &


139

Problema 7 În timpul debarcãrii, pasagerii în numãr de 50 persoane, s-au adunat într-un bord. Deplasarea s-a fãcut în timp îndelungat motiv pentru care se considerã o acþiune staticã asupra navei. Braþul de deplasare al pasagerilor se considerã 2yl m& , iar masa unui

pasager cu bagaje 90 kg . Sã se afle unghiul de înclinare pe care îl capãtã nava dacã momentul unitar de bandã este 0 8 /M t m grad& V . Rezolvare: Momentul de înclinare determinat de deplasarea pasagerilor va fi: 50 90 2 9eM t m& V V & V Unghiul de înclinare transversalã a navei va fi:

0

91,12

8eM

M# & & & %

Problema 8 O navã are urmãtoarele dimensiuni principale: 56L m& , 6B m& , 1pvd m& ,

1,3ppd m& , 0,5BC & . Înãlþimea metacentricã longitudinalã este 50LGM m& . Pentru a

trece peste un banc de nisip, nava trebuie adusã pe chilã dreaptã, motiv pentru care se pot deplasa unele mase de la pupa la prova, pe o distanþã 28xl m& . Sã se afle masa ce va trebui deplasatã. Se considerã cã nava navigã în apã dulce ! "31000 /kg m= & .

Rezolvare: Pentru a aduce nava pe asietã dreaptã se determinã unghiul de înclinare longitudinalã: 31,3 1 0,3

tg 5,3 1056 56

pv ppd d

L(( (2 & & & & V

Masa ce trebuie deplasatã de la pupa la prova se determinã cu formula: tg tg 1 0,5 56 6 1,15 0,3

50 1,8528 56

L B L

x x

GM C L B d GMp t

l l

< 2 = 2 V V V V& & & &

unde pescajul mediu al navei este:

1,0 1,31,15

2 2pv ppd d

d m/ /& & &

Problema 9 O navã are urmãtoarele caracteristici: 2000 t< & , 110L m& , 3,80pvd m& ,

4,0ppd m& , 150 , 0,8 , 0,5L FGM m GM m x m& & & ( . S-au pompat 30P t& combustibil

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

140

dintr-un tanc situat la prova ! "20 , 5 , 5x m y m z m& & & într-un alt tanc situat la pupa

! "1 1 130 , 0 , 0,5x m y m z m& ( & & . Sã se afle poziþia navei în raport cu suprafaþa liberã a apei respectiv: ' ', , , .pv ppd d# 2

Rezolvare: Este o problemã tipicã de deplasãri de mase la bord. La bordul navei se deplaseazã masa 30P t& de combustibil pe distanþele:

50

5

4,5

spre pupa

spre babord

in jos

x

y

z

l m

l m

l m

&QF &RF &S

Se determinã valoarea noii înãlþimi metacentrice transversale:

! " ! "11

30 0,5 50,8 0,87

2000

P z zGM GM m

( (& ( & ( &<

Ca urmare a deplasãrii laterale, nava se va înclina la babord cu unghiul:

1

30 5tg 0,0862

2000 0,87yP l

GM

V# 0 # & & &V<

4,9 la Bb# & % În plan longitudinal nava se înclinã longitudinal cu unghiul:

! " ! "1

1 330 30 20tg 4,97 10

2000 150,7L

P x x

GM(( ( (2 0 2 & & & ( V<

0,292 & ( %

! "

1

1 150,7L L

P z zGM GM m

(& ( &<

Noile pescaje prova ºi pupa se vor calcula cu relaþiile:

' 3

' 3

110tg 3,8 0,5 4,97 10 3,524

2 2

110tg 4 0,5 4,97 10 4, 27

2 2

pv pv F

pp pp F

Ld d x m

Ld d x m

(

(

5 6 5 6& / ( 2 & ( / V &7 8 7 89 : 9 :5 6 5 6& ( / 2 & / ( V &7 8 7 89 : 9 :

Problema 10 O navã are urmãtoarele caracteristici: 30000 t< & , 8,3pvd m& , 9,6ppd m& ,

300 /MCT t m cm& V , 109LCF m& , 210L m& . Calculaþi noile pescaje prova ºi pupa dacã masa 1000P t& de balast se deplaseazã pe direcþie longitudinalã dintr-un tanc având centrul de greutate situat la 175 m în altul situat la 205 m faþã de perpendiculara pupa.

spre pupa

spre babord

în jos


141

Rezolvare: Ca urmare a deplasãrii longitudinale dinspre pupa spre prova a balastului, nava îºi modificã asieta, variaþia de pescaj prova-pupa faþã de situaþia iniþialã fiind:

! "1000 205 175100 1

300xP l

d cm mMCT

(< & & & &

Acestei variaþii de pescaj îi corespunde o mãrire a pescajului prova ºi o scãdere a pescajului pupa cu valorile x ºi y , care sunt soluþiile sistemului:

x y d

x L LCF

y LCF

/ & <QF (R &FS adicã numeric

1

210 109

109

x y

x

y

/ &QF (R &FS

Soluþiile acestui sistem sunt: 0, 48 0,52x m y m& & Noile pescaje la extremitãþi vor fi: 1

1

8,3 0,48 8,78

9,6 0,52 9,08

pv pv

pp pp

d d x m m m

d d y m m m

& / & / && ( & ( &

Problema 11 Înainte de a intra în port, o navã are pescajele 11,2pvd m& ºi 12ppd m& . Dacã nava trebuie sã intre în port pe chilã dreaptã, gãsiþi cantitatea de balast P care trebuie transferatã dintr-un tanc din dublu fund având 80LCG m& , în altul având 195LCG m& faþã de perpendiculara pupa. Se mai cunosc 210 /MCT t m cm& V , 95 , 200LCF m L m& & . Rezolvare: Vom observa mai întâi cã nava este apupatã deci, este corectã deplasarea balastului înspre prova. Aceastã deplasare longitudinalã se face cu valoarea: 195 80 115xl m m m& ( & Variaþia de pescaj datoratã deplasãrii masei P pe distanþa xl va trebui sã fie egalã cu diferenþa de pescaje iniþialã, adicã: x

pv pp

P ld d d

MCT& ( & <

Rezultã:

2210 11,2 12 10146

115

pv pp

x

MCT d dP t

l

( ( V& & &

Deplasarea balastului produce variaþii ale pescajelor la extremitãþi care se calculeazã cu relaþiile:

! " ! "95

0,8 0,38200

200 950,8 0,42

200

pp

pv

LCFd d m

LL LCF

d d mL

L & < & &( (L & < & &

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

142

Pupa Prova

Pescaje iniþiale 12 m 11,2 m Variaþiile de pescaj -0,38 m 0,42 m Pescaje finale 11,62 m 11,62 m

Problema 12 În timpul încãrcãrii unei nave cu cherestea pe punte, o stivã având masa de 8 t se deplaseazã pe lungimea de 16 m dintr-un bord în celãlalt, nava înclinându-se cu 1% .

Cota metacentrului transversal este 10,5KM m& . Calculaþi cota centrului de greutate KG dacã nava are deplasamentul 13000 t< & . Rezolvare: Mãrimea cãutatã se determinã din condiþia ca momentul transversal de înclinare datorat deplasãrii laterale a stivei cu masa 8P t& pe distanþa 16yl m& sã fie egal cu momentul de stabilitate al navei înclinate cu 1

180rad

X# & % & , adicã: ! "yP l KM KGV & < ( V#

Rezultã: 9,936KG m& Problema 13 Un ponton paralelipipedic cu dimensiunile: 100 , 10 , 6L m B m D m& & & pluteºte în apã dulce la pescajul 2d m& . O masã de 1 t se deplaseazã lateral pe o distanþã de 8 m , deviind pendulul instalat pe ponton cu 0,05 m . Pendulul are lungimea de 5 m . Care este valoarea cotei centrului de greutate al pontonului? Rezolvare: Devierea pendulului având lungimea 5l m& , lateral cu distanþa 0,05a m& se traduce prin înclinarea transversalã a pontonului cu unghiul:

01,05

05,0

l

atg &&&0 ## .

Aceasta se datoreazã deplasãrii masei 1P t& lateral cu distanþa 8yl m& , ceea ce

determinã un moment exterior de înclinare: e yM P l&

Condiþia de echilibru static este:


143

e sM M& sau: yP l GM& < #

de unde rezultã: 1 8 5

0, 41 100 10 2 0,05

y yP l P l lGM m

L B d a

V V& & & &< # = V V V V

Dar:

GM KM KG& (

Cum pontonul este paralelipipedic:

2 22 10

5,162 12 2 12 2

d BKM KB BM m

d& / & / & / &V

În final, cota centrului de greutate al pontonului are valoarea:

5,16 0, 4 4,76KG KM GM m& ( & ( &

Problema 14 O navã tip ponton paralelipipedic are: 100 , 10 , 4L m B m d m& & & în apã cu densitatea de 31,010 /t m . Sã se gãseascã: (a) deplasamentul; (b) noul pescaj dacã se încarcã 750 t de marfã; (c) noul pescaj dacã densitatea mediului în care navigheazã este de 31.025 /t m ; (d) noul pescaj dacã ajunge în port unde densitatea apei este 31,005 /t m ; (e) câtã marfã trebuie descãrcatã în port pentru ca pescajul final sã fie de 3,5 m . Rezolvare: (a) Deplasamentul pontonului se calculeazã cu formula: 1,010 100 10 4 4040L B d t< & = & V V V &

(b) Încãrcându-se masa 750P t& de marfã, noul pescaj se calculeazã cu relaþia: 1

4040 7504,743

1,010 100 10

Pd m

L B

< / /& & &= V V

(c) Când salinitatea apei îºi schimbã valoarea de la 31,010 /t m= & la 3

2 1,025 /t m= & pescajul ajunge la valoarea:

2 12

1,0104,743 4,673

1,025d d m

=& & &=

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

144

(d) În port, unde densitatea apei este 33 1,005 /t m= & pescajul va fi:

33

4040 7504,766

1,005 100 10

Pd m

L B

< / /& & &= V V

(e) Plecând de la pescajul final, rezultat în urma descãrcãrii de marfã, reiese deplasamentul final:

4 3 4 1,005 100 10 3,5 3517,5L B d t< & = V V V & V V V &

Cantitatea de marfã descãrcatã este: ! " ! "4 4 4040 750 3517,5 1272,5P P t& < / ( < & / ( &

Problema 15 O navã are urmãtoarele caracteristici: 2000 ; 110 ; 3,8pvt L m d m< & & & ;

4,0 ; 150 ; 0,8 ; 0,5pp L Fd m GM m GM m x m& & & & ( . Se transferã 30 t de combustibil

dintr-un tanc situat la pupa ! "30 ; 0 ; 0,5x m y m z m& ( & & într-un tanc situat la prova

! "1 1 120 ; 5 ; 5x m y m z m& & & . Sã se studieze influenþa acestei deplasãri de mase la bord asupra poziþiei ºi stabilitãþii navei. Rezolvare: - se calculeazã înãlþimile metacentrice, transversale ºi longitudinale rezultate:

! " ! "1 1

300,8 5 0,5 0,73

2000

PG M GM z z m& ( ( & ( ( &<

! " ! "1 1

30150 5 0,5 149,93

2000L L

PG M GM z z m& ( ( & ( ( &<

- în urma transferului, nava se înclinã transversal cu unghiul:

! " ! "1

1

30 5 0tg 0,1 5,86

2000 0,73

P y yrad Tb

G M

( (# 0 # & & & & %V<

ºi longitudinal cu unghiul:

! " ! "1 3

1

30 20 30tg 5 10 0, 29

2000 149,93L

P x xrad

G M(( /2 0 2 & & & V & %V<

Transferul fãcându-se dinspre pupa spre prova nava se va aprova. Va trebui sã þinem cont ºi de asieta iniþialã: ' 33,8 4

tg 1,81 10 0,1110

((2 & & ( V & ( %

Nava se va stabiliza înclinatã longitudinal la unghiul: '

1 0,29 0,1 0,192 & 2 / 2 & % ( % & % Se calculeazã pescajele finale:


145

31

110tg 3,8 0,5 5 10 4,08

2 2pv pv F

Ld d x m(5 6 5 6& / ( 2 & / / V &7 8 7 89 : 9 :

31

110tg 4 0,5 5 10 3,73

2 2pp pp F

Ld d x m(5 6 5 6& ( / 2 & ( ( V &7 8 7 89 : 9 :

Problema 16 Dupã desfãºurarea unei "probe de înclinare", s-au notat urmãtoarele date: Deplasamentul în timpul înclinãrii 9550 t< & Masa lestului 10P t& Distanþa pe care se deplaseazã lestul 18yl m&

Lungimea firului cu plumb 9,5l m& Devierea firului la capãt 100a mm&

Kg a lestului 12,5 m

KM din curbele de carene drepte 8,35 m Sã se calculeze înãlþimea metacentricã transversalã a navei. Un tanc conþinând 150 t de apã dulce este complet umplut ºi situat în dublu fund cu 1Kg m& . Sã se calculeze cota centrului de greutate al navei în condiþia de "navã goalã". Rezolvare: Unghiul cu care se înclinã transversal nava:

0,1tg

9,5

a

l# 0 # & &

Egalând momentul de înclinare cu momentul de stabilitate, gãsim:

10 18 9,51,791

9550 0,1yP l

GM mV V& & &< # V

8,35 1,791 6,559KG KM GM m& ( & ( & Calculul cotei centrului de greutate pentru "nava goalã" se face tabelar, dupã cum urmeazã:

Masa C Dt

,KG Kg

C Dm Moment faþã de LB

C Dt mV

9550 6,559 62638,45 -10 12,5 -125

-150 1 -150

9390 62363,45

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

146

62363, 456,641

9390KG m& &

Problema 17 O navã are deplasamentul de 20000 t ºi 6,5KM m& . O masã de 25 t se deplaseazã pe puntea principalã dintr-un bord în celãlalt, pe o distanþã de 20 m , producând o deplasare cu 0,1 m a plumbului situat la capãtul unui fir cu lungimea de 10 m . Cunoscând cã faþã de aceastã situaþie la bordul navei se va mai monta un motor

auxiliar de 150 t ºi 3Kg m& , sã se determine cota centrului de greutate al navei. Rezolvare: Prin deplasarea masei 25P t& lateral cu distanþa 20l m& , nava se înclinã transversal cu unghiul:

20,1tg sin 10

10(# & # & &

Înãlþimea metacentricã se calculeazã egalând momentul exterior de înclinare cu momentul de stabilitate: sinP l GM& < # Rezultã:

2

25 202,5

sin 20000 10

P lGM m(

V& & &< # V

respectiv: 6,5 2,5 4KG KM GM m& ( & ( & Þinând cont cã mai trebuie adãugatã masa motorului auxiliar 1 150P t& , având cota centrului de greutate 3Kg m& , se calculeazã cota centului de greutate al navei cu relaþia : 1

11

20000 4 150 33,99

20000 150

KG P KgKG m

P

< / V / V& & &< / /

Problema 18 O navã de mici dimensiuni are deplasamentul de 400 t ºi înãlþimea metacentricã transversalã de 0,5 m . În vederea efectuãrii unor lucrãri, se ridicã temporar de pe postament, cu ajutorul unui palan, motorul principal având masa de 10 t , lungimea firului de suspensie fiind de 2 m . Sã se calculeze înãlþimea metacentricã a navei în urma acestei manevre.


147

Rezolvare: Înãlþimea metacentricã, transversalã, corectatã se calculeazã cu formula: 1

10 20,5 0, 45

400

P lG M GM m

V& ( & ( &<

Problema 19 O navã tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: 100 10 ; 5; L m B m D m& & & .

Deplasamentul navei este 2000 t< & , iar cota centrului de greutate 4,5KG m& . Nava se gãseºte în apã dulce. Calculaþi valoarea înãlþimii metacentrice a navei iniþial ºi valoarea aceleaºi mãrimi dupã ce o masã de 500 t este ambarcatã la cota 4Kg m& . Calculaþi valorile momentelor de stabilitate pentru nava înclinatã transversal cu 10% în ambele situaþii. Rezolvare: Pentru cazul iniþial ! " ! " ! " ! "

1 1 1 1GM KB BM KG& / ( unde :

! " 1

1

20001

2 2 2 100 10 1

dKB m

L B

<& & & &= V V V

! "3

3 3

1

1 100 1012 4,1712 12 2000

LBL B

BM m= V V& & & &< < V

=

Aºadar, ! "1

1 4,17 4,5 0,67GM m m m m& / ( &

Momentul de stabilitate pentru nava înclinatã transversal cu 10% în aceastã situaþie este: ! " ! "1 1

sin 2000 0,67 sin10 232,7s sM l GM t m# #& < & < # 0 V V % 0 V

Pentru cazul final

! " ! " ! " ! "2 2 2 2

GM KB BM KG& / (

unde:

! " ! "2

2

2000 5001, 25

2 2 2 100 10 1

PdKB m

L B

< / /& & & &= V V V

! " ! " ! "3 3

2

1 100 103,33

12 12 2000 500

L BBM m

P

= V V& & &< / V /

! "2

2000 4,5 500 44, 4

2500

KG P kgKG m

P

< V / V V / V& & &< /

Aºadar, noua înãlþime metacentricã va fi :

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

148

! "2

1, 25 3,33 4,4 0,18GM m m m m& / ( &

iar momentul de stabilitate corespunzãtor acestei situaþii de încãrcare, când nava este înclinatã transversal cu 10% va fi: ! " ! " ! " ! "2 2

sin 2500 0,18 sin10 78,14s sM P l P GM t m# #& < / & < / # & V V % & V

Problema 20 O navã are urmãtoarele caracteristici: 10900 ; 6,2 ; 7, 2t KG m KM m< & & & . O greutate de 200 t se gãseºte la bordul navei având cota centrului de greutate

2,6Kg m& . Sã se calculeze cantitatea de balast care trebuie ambarcatã având cota centrului de greutate ' 1Kg m& , dupã ce greutatea de 200 t a fost debarcatã pentru ca

nava sã-ºi pãstreze intactã valoarea înãlþimii metacentrice, în condiþia în care KM rãmâne constantã. Rezolvare: Din condiþia ca înãlþimea metacentricã transversalã sã-ºi pãstreze valoarea ºi în ipoteza cã metacentrul transversal rãmâne un punct fix, va rezulta condiþia ca în urma celor douã operaþiuni, debarcarea P ºi ambarcarea 'P , G sã rãmânã în acelaºi loc. Fie 0 10700P t< & < ( & ºi 0KG cota centrului de greutate al masei 0< . Înainte de operaþiunea de ambarcare-debarcare, ecuaþia de momente statice faþã de PB se poate scrie sub forma: ! "0 0 0KG P Kg P KG< / & < /

Dupã debarcarea masei P ºi ambarcarea masei 'P , putem scrie: ! "0 0 0' ' 'KG P Kg P KG< / & < /

sau combinând cele douã relaþii rezultã: ! " ! "0 0' ' 'P KG P Kg P KG P Kg< / ( & < / (

mai departe: ! " ! "0 0' 'P KG Kg P KG P Kg KG( & < / ( ( <

Înlocuind numeric, obþinem: '(6,2 1) 10900 6, 2 200 2,6 10700 6,2 720P ( & V ( V ( V &

720' 138, 46

5, 2P t& &

Problema 21 O navã cu deplasamentul de 11000 t , 8,7KG m& , 9,5KM m& are o înclinare iniþialã de 2% tribord. Se efectueazã urmãtoarele operaþiuni:


149

Încãrcare Masa C Dt C DKg m Distanþa faþã de C DPD m

400 10,0 4,5 m Tb 600 4,0 6,0 m Bb

Descãrcare 100 1,0 2,0 m Tb Gãsiþi înclinarea finalã. Rezolvare: Problema se poate rezolva tabelar dupã cum urmeazã:

P C Dt

KG C Dm

Py

C Dm Moment faþã de

PB C DP KG t mV V

Moment faþã de PD C DPP y t mV V

400 10 4,5 4000 1800 600 4 -6 2400 -3600 -100 1 2 -100 -200 900 6300 -2000

Efectele acestor operaþiuni asupra navei se pot calcula ca fiind urmãtoarele:

Y Modificarea deplasamentului. Noul deplasament al navei va fi: 1 11000 900 11900P t t t< & < / & / &O

Y Modificarea cotei centrului de greutate. Noua cotã a centrului de greutate se calculeazã cu relaþia: 1

1

11000 8,7 63008,57

11900

KG P KGKG m

< / V V /& & &<O

Y Modificarea valorii înãlþimii metacentrice transversale. Considerând .KM const& , valoarea înãlþimii metacentrice finale va fi: 1 1 9,5 8,57 0,93G M KM KG m m m& ( & ( & Înãlþimea metacentricã iniþialã avea valoarea: 9,5 8,7 0,8GM KM KG m m m& ( & ( &

Y Modificarea unghiului iniþial de înclinare transversalã datoritã modificãrii valorii înãlþimii metacentrice transversale.

'1 0

1

0,82 1,72

0,93

GM

G M# & # & % V & %

Y Înclinarea transversalã finalã. Datoritã operaþiunilor efectuate, nava se va înclina în sens transversal cu unghiul:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

150

''1

1 1

20000,18 10,35

11900 0,93PP y

radG M

V (# & & & ( & ( %V<O

Semnul minus indicã faptul cã înclinarea se face în bordul babord. Înclinarea finalã va fi: ' ''

1 1 1 1,72 10,35 8,63# & # / # & % ( % & ( % adicã o înclinare de 8,63% în bordul babord. Problema 22 O navã cu deplasamentul de 10500 t pluteºte pe carenã dreaptã având 7,8KG m&

ºi 8,5KM m& . Nava ambarcã o masã de 300 t cu 10Kg m& ºi 4 m tribord faþã de PD . Sã se calculeze înclinarea finalã. Rezolvare: Este o problemã tipicã de ambarcare de greutãþi care se rezolvã dupã urmãtorul algoritm:

Y Noua cotã a centrului de greutate se determinã din ecuaþia de momente statice faþã de PB :

! " 1KG P Kg P KG< / & < / de unde rezultã: 1

10500 7,8 300 107,86

10500 300

KG P KgKG m

P

< / V / V& & &< / /

Y Valoarea înãlþimii metacentrice transversale rezultate: 1 1 8,5 7,86 0,64G M KM KG m m m& ( & ( &

Y Nava se va înclina la tribord cu unghiul # rezultat din egalitatea dintre momentul de înclinare ºi momentul de redresare:

! " 1 tg PP G M P y< / V # & V adicã ! " 1

300 4tg 0,173 9,85

10800 0,64PP y

TbP G M

V V# & & & J # & %V< /

Problema 23 O navã are pescajele 7pvd m& ºi 8ppd m& . Sã se distribuie o cantitate de marfã ambarcatã de 600 t în douã compartimente; primul având ! "1 75LCG m& ºi al doilea având ! "2

130LCG m& , mãsurate faþã de perpendiculara pupa, astfel încât pescajul la

pupa sã rãmânã constant. Sã se gãseascã pescajul final la prova. Se mai cunosc: 23 / ; 180 / ; 92 ; 180TPC t cm MCT t m cm LCF m L m& & V & & .


151

Rezolvare: Metoda I Se calculeazã variaþia pescajului mediu datoratã ambarcãrii masei 600P t& de marfã: 600

2623

Pd cm

TPCL & & &

Masa P se distribuie în cele douã compartimente în cantitãþile 1P ºi 2P . Aceastã distribuire va trebui sã modifice asieta navei astfel încât pescajul la pupa sã rãmânã la valoarea dinainte de ambarcare. Aceasta înseamnã cã nava se va aprova ºi în valori absolute ppd dL & L . Variaþiile pescajelor la extremitãþi sunt în relaþia: pp pvd d

LCF L LCF

L L& (

Rezultã:

! " ! " ! "26 180 9225

92pp

pv

d L LCF d L LCFd cm

LCF LCF

L ( L ( (L & & & &

adicã o variaþie de asietã necesarã egalã cu: 51pv ppd d cmL / L &

Cum aceastã variaþie de asietã se datoreazã maselor 1P ºi 2P , gãsim:

! " ! "2 1 12 51P LCG LCF P LCG LCF

cmMCT

? @( / (? @A BA B &

adicã:

! " ! "2 1130 92 75 9251

180

P P( / ( &

Adãugând ecuaþia: 1 2 600P P t/ & ºi rezolvând sistemul, rezultã: 1 2248 ; 352P t P t& & Pescajul final la prova se calculeazã cu relaþia: ' 7 0, 26 0, 25 7,51pv pv pvd d d d m& / L / L & / / &

Metoda II Vom înlocui sistemul de mase 1 2,P P cu o singurã masã 1 2P P P& / care acþioneazã într-un punct g situat la distanþa x faþã de F, astfel încât suma algebricã a momentelor faþã de centrul de plutire determinat de cele douã mase sã fie egalã cu momentul rezultantei, adicã:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

152

! " ! "2 1 12P LCG LCF P LCG LCF P x? @( / ( &? @A BA B

Acþiunea rezultantei situate la distanþa x faþã de F va produce o variaþie a asietei conform relaþiei: pv pp

P xd d

MCT& L / L (1)

în care variaþiile de pescaje la extremitãþi sunt considerate în valori absolute. Pescajul mediu se va mãri cu valoarea: P

dTPC

L & (2)

Pentru ca pescajul final la pupa sã fie egal cu cel iniþial, g trebuie sã fie situat în prova lui F astfel încât nava sã se aproveze ca urmare a distribuirii lui P ºi ppd dL & L .

Pe de altã parte, între variaþiile pescajelor pvdL ºi ppdL existã relaþia: pp pvd d

LCF L LCF

L L& (

de unde rezultã:

! "pv

d L LCFd

LCF

L (L & (3)

Înlocuind (3) ºi (2) în (1), gãsim: 180 180

15,3123 92

MCT Lx m

TPC LCF

V V& & &V V

Cantitãþile de marfã 1P ºi 2P sunt soluþii ale sistemului: ! " ! "1 2

1 2

17 38

600

P x P x

P P

/ & (QR / &S

adicã: 1 2248 ; 352P t P t& & Pescajul final la prova:

' 600 15,317 7,51

100 180 100pv pv

P xd d m

MCT

V V& / & / &V

Problema 24 O navã are pescajele 11,48pvd m& ºi 12, 26ppd m& . Ea este complet încãrcatã în situaþia ' 11,9pvd m& ºi ' 12,10ppd m& . Magaziile de marfã disponibile sunt: Magazia Nr. 5, ! "5

30LCG m& , faþã de perpendiculara pupa.

Magazia Nr. 2, ! "2100LCG m& , faþã de perpendiculara pupa.

Se mai cunosc: 120 / , 32 / ; 64 ; 140MCT t m cm TPC t cm LCF m L m& V & & & . Determinaþi cantitãþile de marfã ce trebuiesc ambarcate în cele douã magazii, pentru a ajunge în situaþia de navã complet încãrcatã.


153

Rezolvare: În situaþia de încãrcare datã, pescajul de calcul se calculeazã cu relaþia:

! " ! "11,48 12,26tg 12, 26 64 11,903

140

pv pp

pp pp

d dd d LCF d LCF m

L

( (& / 2 & / & / &

Când nava este complet încãrcatã, aceeaºi valoare se calculeazã cu formula:

! " ! "' '

' ' ' ' 11,9 12,10tg 12,10 64 12,009

140

pv pp

pp pp

d dd d LCF d LCF m

L

( (& / 2 & / & / &

Pentru a ajunge la situaþia de plinã încãrcare, rezultã un necesar de marfã: ! " ! "'100 100 12,009 11,903 32 339, 2P d d TPC t& ( & ( &

Distribuirea cantitãþilor de marfã în cele douã magazii va trebui sã producã o variaþie a asietei egalã cu: ' ' 11,9 11, 48 12,10 12, 26 0,58 58pv pv pp ppd d d d m cm( / ( & ( / ( & &

Vom observa, de asemenea, din valorile pescajelor iniþiale ºi finale cã nava se va aprova. Notãm cu w cantitatea de marfã distribuitã în magazia Nr. 2 ºi rezultã:

! " ! " ! "2 5339, 2

58w LCG LCF w LCG LCF

MCT

? @? @( / ( (A B A B &

sau:

! " ! "! "100 64 339, 2 30 64

58120

w w( / ( ( &

Soluþia acestei ecuaþii este 264,2w t& , distribuite în magazia Nr. 2. În magazia Nr. 5 vor fi distribuite 75 t de marfã. Problema 25 O navã are urmãtoarele date iniþiale: 8,37pvd m& ; 8, 29ppd m& ,

16,8 / ; 98 / ; 3 ; 100FTPC t cm MCT t m cm x m L m& & V & ( & . Din navã se descarcã 150 t de marfã, dintr-o magazie situatã la 45 m spre prova de secþiunea de la mijlocul navei. Calculaþi pescajele finale. Rezolvare: Aºa cum cunoaºtem, debarcarea de mase se trateazã ca o ambarcare de mase negative. Vom calcula însã variaþia pescajului mediu ºi a pescajelor la extremitãþi în valori absolute, þinând cont de semnele lor, la calculul pescajelor finale. Variaþia pescajului mediu are valoarea: 150

8,92 0,08916,8

Pd cm m

TPCL & & & 0

Masa P se descarcã din prova centrului de plutire, prin urmare, nava se va apupa. Variaþia de asietã se calculeazã cu relaþia:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

154

! " ! "150 45 3

73, 4798

P FP x xd cm

MCT

( /< & & &

Variaþiile pescajelor la extremitãþi datorate modificãrii asietei sunt soluþiile sistemului:

2;

Fpp

pv pp

Lx

dd d d

d L

5 6/7 8L 9 :& L & < ( L<

Adicã:

! "73,47 50 334,53

100ppd cm(L & &

73,47 34,53 38,94pvd cm cm cmL & ( &

Pescajele finale sunt: ' 8,37 0,089 0,389 7,89pv pv pvd d d d m& ( L ( L & ( ( 0

' 8, 29 0,089 0,345 8,55pp pp ppd d d d m& ( L / L & ( / 0

Problema 26 O navã cu deplasamentul 8450 t< & este înclinatã cu unghiul 6 Bb# & % . Se mai

cunosc: 7,8 , 8,5KG m KM m& & . Se ambarcã 250 t balast cu 1,5Pz m& , situat la distanþa de 3,1 m tribord faþã de PD . Sã se calculeze înclinarea finalã a navei considerând .KM const& Rezolvare: Se calculeazã variaþia cotei centrului de greutate al navei datoratã ambarcãrii masei 250P t& de balast. Centrul acestei mase are coordonatele 3,1Py m& ºi

1,5Pz m& .

! " ! " ! "2501,5 7,8 0,18

8450 250P

PKG z KG m

PL & ( & ( & (< / /

Valoarea cotei centrului de greutate rezultatã în urma ambarcãrii este: ! "1 7,8 0,18 7,62KG KG KG m& / L & ( &

Înãlþimile metacentrice iniþialã ºi finalã se calculeazã cu relaþiile: 8,5 7,8 0,7GM KM KG m m m& ( & ( &

1 1 8,5 7,62 0,88G M KM KG m m m& ( & ( & Modificarea stabilitãþii navei determinã ºi modificarea înclinãrii iniþiale pânã la valoarea '# , calculatã cu formula: ! " ! "

'

1

8450 0,76 4,64

8450 250 0,88

GMBb

P G M

< V# & # & % & %/ V< /


155

Ambarcarea masei P în tribord va produce o înclinare transversalã a navei în acelaºi bord cu unghiul: ! " ! "

''

1

180 250 3,1 1805,8

8450 250 0,88PP y

TbP G M

V V# & V & & %X / V V X< /

Înclinarea finalã a navei va fi: '' '

1 5,8 4,64 1,16Tb Bb Tb# & # ( # & % ( % & % Problema 27 O navã cu deplasamentul 12000 t< & , 8, 4KG m& , este înclinatã cu unghiul 5# & %

la babord. La bordul navei se ambarcã o cantitate de 600 t de marfã cu 10Kg m& , în douã compartimente ale cãror centre sunt poziþionate faþã de PD dupã cum urmeazã: - compartimentul din tribord la 6 m - compartimentul din babord la 5 m Sã se distribuie marfa în cele douã compartimente astfel încât nava sã revinã pe carenã dreaptã. Se considerã 9,0 .KM m const& & Rezolvare: Masa 600P t& de marfã ambarcatã la 10Kg m& produce o variaþie a cotei centrului de greutate cu valoarea:

! " ! " ! "60010 8, 4 0,076

12000 600

PKG Kg KG m

PL & ( & ( &< / /

Cota finalã a centrului de greutate va fi: ! "1 8,4 0,076 8,476KG KG KG m m m& / L & / &

Valorile înãlþimilor transversale pentru cele douã situaþii sunt: 9,0 8, 4 0,6GM KM KG m m m& ( & ( &

1 1 9,0 8, 476 0,524G M KM KG m m m& ( & ( & Schimbarea valorii înãlþimii metacentrice transversale va determina ºi schimbarea valorii înclinãrii iniþiale la valoarea: ! " ! "1

1

12000 0,65 5, 45

12000 600 0,524

GM

P G M

< V# & # & % & %/< /

Cantitatea de marfã 1P care trebuie ambarcatã la tribord este soluþia ecuaþiei:

! "! " C D1 1

1

1

6 600 5P Prad

P G M

( ( & #< /

Rezultã: 1 330P t& ºi 2 270P t&

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

156

Problema 28 Un cargo are: 13000 , 10,5 , 9,936t KM m KG m< & & & ºi încarcã cherestea pe puntea principalã, situatã la înãlþimea de 12 m faþã de PB . Sã se determine cantitatea de cherestea care poate fi încãrcatã pe punte astfel încât înãlþimea metacentricã sã nu scadã sub valoarea de 0,5 m . Rezolvare: Pentru ca la limitã înãlþimea metacentricã transversalã sã aibã valoarea minimã de 0,5 m , rezultã dupã încãrcare o cotã a centrului de greutate al navei: 1 10KG m& Notãm cu P cantitatea de cherestea ce poate fi încãrcatã pe puntea principalã ºi în continuare problema se poate rezolva tabelar:

Masa C Dt C D,KG Kg m Moment faþã de C DLB t mV

13000 9,936 129168

P 12,0 12 P

13000+ P 129168+12 P P este soluþia ecuaþiei: 1

129168 12

13000

PKG

P

/ &/

adicã: 416P t& Problema 29 O navã are deplasamentul de 62000 t ºi 8,0KG m& . Distribuiþi 9108 t de marfã ambarcatã în douã magazii având 1 0,59Kg m& ºi 2 11, 45Kg m& astfel încât cota finalã a centrului de greutate sã fie 1 7,57KG m& . Rezolvare: Notând 1P ºi 2P cantitãþile de marfã distribuite în cele douã magazii, problema se poate rezolva tabelar, ca mai jos:

Masa C Dt C D,KG Kg m Moment faþã de C DLB t mV

6200 8,0 49600

1P 0,59 0,59 1P

9108- 1P 11,45 11,45 ! "19108 P(

15308 153886,6-10,86 1P


157

Valoarea lui 1P rezultã din relaþia: 1

1

153886,6 10,86

15308

PKG

(&

adicã: 1 23500 , 5608P t P t& & Problema 30 O navã cu deplasamentul de 11000 t , 8,7KG m& ºi 9,5KM m& are o înclinare transversalã iniþialã 2 Tb# & % . Nava efectueazã operaþiunile de:

Încãrcare Masa C Dt C DKg m Distanþa faþã de C DPD m

400 10,0 4,5 m Tb 600 4,0 6,0 m Bb

Descãrcare 100 1,0 2,0 m Tb Sã se gãseascã înclinarea finalã a navei. Rezolvare: Problema se poate rezolva tabelar ca mai jos. Masa C Dt

;KG Kg


C Dt mV Distanþa faþã de PD

C Dm Moment Tb

C Dt mV Moment Bb

C Dt mV

11000 8,7 95700 -- -- -- 400 10,00 4000 4,5 m Tb 1800 -- 600 4,00 2400 6,0 m Bb -- 3600 -100 1,00 -100 2,0 m Tb -200 --

11900 102000 1600 3600 Cota finalã a centrului de greutate este: 1

1020008,57

11900KG m& &

Înãlþimea metacentricã iniþialã a fost: 9,5 8,7 0,8GM KM KG m m m& ( & ( & Dupã ambarcarea ºi debarcarea de mase la bord ea îºi va modifica valoarea, ajungând la: 11 9,5 8,57 0,93G M KM KG m m m& ( & ( & Înclinarea transversalã, iniþialã se va modifica la valoarea:

! "'

1

11000 0,82 1,59

11900 0,93Tb

GMTb

P G M

<# & # & % & %< /

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

158

Înclinarea finalã va fi: ! "

'

1

2000 1808,76Tb

Bb

BbP G M

5 6# & ( # & %7 87 8X< /9 :

Problema 31 O navã cu deplasamentul de 11500 t , 7,5KG m& ºi 8,4KM m& este înclinatã 4% la tribord. La bordul navei mai trebuiesc încãrcate 750 t de marfã. Spaþiile disponibile au 1 10,5 , 6Kg m m& tribord faþã de PD , 2 8,0 , 4Kg m m& babord faþã de PD . Sã se distribuie încãrcãtura astfel încât în final nava sã fie pe carenã dreaptã ºi sã se gãseascã cota finalã a centrului de greutate al navei. Rezolvare: Problema se poate rezolva tabelar ca mai jos. Notãm cu 1P cantitatea de marfã care se ambarcã în compartimentul 1 .

Masa C Dt

;KG Kg


C Dt mV Distanþa faþã de

PD C Dm Moment Tb

C Dt mV Moment Bb

C Dt mV

11500 7,5 86250 -- -- -- 1P 10,5 10,5 1P 6 m Tb 6 1P --

750- 1P 8 6000-8 1P 4 m Bb -- ! "13000 4 P(

12250 92250+2,5 1P 6 1P ! "13000 4 P(

Cota finalã a centrului de greutate se calculeazã cu formula:

11

92250 2,5

12250

PKG

/&

Iniþial, înãlþimea metacentricã transversalã era egalã cu: 8, 4 7,5 0,9GM KM KG m m m& ( & ( & Dupã încãrcarea celor 750 t , înãlþimea metacentricã, transversalã devine:

C D1 111

92250 2,5 10650 2,58, 4

12250 12250

P PG M KM KG m

/ (& ( & ( &

Înclinarea finalã se va calcula cu relaþia:

! "! "! "

111

1 1 1

3000 4611500 0,9 180 1804

10650 2,5 10650 2,5 10650 2,51225012250 12250

12250 12250 12250

PPP P P

(# & % / (( ( (X X

Egalând 1# , cu 0 rezultã: 1 2 1227,7 , 522,3 , 7,577P t P t KG m& & &


159

Problema 32 În timpul reparaþiei capitale la o navã s-a scos motorul auxiliar din tribord având masa 28P t& , cu centrul de greutate, având coordonatele 1 12,5x m& ( ; 1 2, 2y m& ;

1 2,8z m& . Sã se determine variaþia stabilitãþii navei ºi poziþia ei în raport cu suprafaþã liberã a apei, dacã se cunosc urmãtoarele date iniþiale:

85,0 ; 9,5 ; 2 ; 2, 4 ; 0,665; 0,775; 1, 4pv pp B WLL m B m d m d m C C GM m& & & & & & & 3110 ; 1,8 ; 1,0 /L FGM m x m t m& & ( = & .

Rezolvare: Se calculeazã deplasamentul navei:

! "2 2, 41 0,665 85 9,5 1181,4

2 2pv pp

B

d dC L B t

/ /5 6< & = & V V V V &7 89 :

Cum 0,1P $ < se va aplica algoritmul de la calculul prezentat în § 27.1 "Ambarcarea de mase mici", considerând masa P negativã. - se calculeazã variaþia pescajului mediu:

280,045

1 0,775 85 9,5WL WL

P Pd m

A C L B

(L & & & & (= = V V V

- se calculeazã variaþiile înãlþimilor metacentrice: ! " 1

28 0,0452, 2 2,8 1, 4 0,049

2 1181,4 28 2

P dGM d z GM m

P

L (5 6 5 6L & / ( ( & ( ( ( &7 8 7 8< / (9 : 9 :

! " 28110 2,67

1181,4 28L L

PGM GM m

P

(L & & &< / (

- se aflã noile înãlþimi metacentrice: ! "1 1 1, 4 0,049 1,45G M GM GM m& / L & / 0

! "11 110 2,67 112,67L L LG M GM GM m& / L & / &

- se determinã înclinãrile navei în plan transversal ºi longitudinal: ! " ! "

1

1 1

28 2, 2tg 0,0368 2,1

1181,4 28 1, 45

P yrad Bb

P G M

( V# 0 # & & & ( & %( V< /

! " ! "1 28 12,5 1,8

tg 0,0023 0,131181, 4 110

F

L

P x xrad

GM

( ( ( /2 & & & & %V<

Este evident cã în urma operaþiunii, nava se va aprova faþã de poziþia iniþialã. Trebuie sã þinem cont cã nava era apupatã cu unghiul: ' 32 2,4

tg 4,7 10 0,2785

pv ppd drad

L(( (2 & & & ( V & ( %

Unghiul final de înclinare longitudinalã este: '

1 0,13 0, 27 0,142 & 2 / 2 & % ( % & ( % - se calculeazã pescajele finale:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

160

1

85tg 2 0,045 1,8 0,0023 2,06

2 2pv pv F

Ld d d x m

5 6 5 6& / L / ( 2 & ( / / &7 8 7 89 : 9 :

1

85tg 2,4 0,045 1,8 0,0023 2,26

2 2pp pp F

Ld d d x m

5 6 5 6& / L ( / 2 & ( ( ( &7 8 7 89 : 9 :

Problema 33 O navã are 11000 t< & ºi 8KG m& . Un tanc de apã paralelipipedic, situat în dublu fund cu 12 ; 6l m b m& & ºi centrul de greutate la 4 m babord faþã de PD , este parþial umplut cu 72 t de apã dulce. Sã se calculeze înclinarea transversalã a navei, cunoscând cã la deplasamentul de 11072 t nava are cota metacentrului transversal 9KM m& . Rezolvare: Înãlþimea apei din tanc se calculeazã cu relaþia:

' 721

12 6 1

Ph m

l b& & &= V V

Cum tancul de apã dulce este paralelipipedic ºi este situat în dublu fund, cota centrului de greutate unde se ambarcã masa P este:

'

0,52P

hz m& &

Variaþia cotei centrului de greutate al navei rezultatã în urma ambarcãrii este: ! " ! " ! "72

0,5 8 0,04811000 72P

PKG z KG m

PL & ( & ( & (< / /

Cota finalã a centrului de greutate al navei se calculeazã cu relaþia: ! "1 8 0,048 7,952KG KG KG m m m& / L & ( &

Înãlþimea metacentricã transversalã, corespunzãtoare noului deplasament rezultã din: 1 1 9 7,952 1,048G M KM KG m m m& ( & ( & Corecþia înãlþimii metacentrice transversale, datoratã influenþei suprafeþei libere de lichid din tanc este:

! " ! " ! "3 3

1

1 12 60,02

12 12 11000 72xi l b

G M mP P

= = ( V VL & ( & ( & 0 (< / < / /

Valoarea finalã a înãlþimii metacentrice transversale va fi: ! "1 1 1,048 0,02 1,028G M G M m m m/ L & ( &

Masa P ambarcatã la 1 4y m& babord faþã de PD creeazã un moment de înclinare transversalã care determinã o înclinare în acelaºi bord cu unghiul # :


161

! " ! "1

1 1

72 4sin 0,0253 1, 45

11072 1,028

P ytg rad Bb

P G M G M

V# 0 # 0 # & & & 0 %V? @< / / LA B

Problema 34 O navã are urmãtoarele caracteristici: 10000 , 8,9 , 9,4t KG m KM m< & & & . Nava ambarcã balast cu densitatea 31,01 /t m= & într-un tanc paralelipipedic cu

30 , 20 , 2l m b m h m& & & . Tancul este divizat longitudinal de un perete situat la jumãtatea lãþimii. Cota centrului de greutate al balastului este 0,5Pz m& . Calculaþi înãlþimea metacentricã a navei dupã ambarcarea balastului, considerând .KM const& Rezolvare: Din datele problemei rezultã cã înãlþimea coloanei de lichid din tanc este: ' 2 1Ph z m& & Cum 'h h$ , lichidul are suprafaþã liberã ºi va trebui sã þinem cont de efectul negativ al acesteia atunci când calculãm valoarea finalã a cotei centrului de greutate. Masa de balast ambarcatã se calculeazã cu relaþia: ' 1,01 30 20 1 606P l b h t& = & V V V & Datoritã ambarcãrii masei P , cota centrului de greutate al navei va suferi modificarea:

! " ! " ! "6060,5 8,9 0,48

10000 606P

PKG z KG m

PL & ( & ( & (< / /

Centrul de greutate al navei va avea cota finalã: ! "1 8,9 0,48 8,42KG KG KG m m m& / L & ( &

Influenþa negativã a suprafeþei libere de lichid se va resimþi prin corecþia aplicatã înãlþimii metacentrice transversale

! " ! " ! " ! " ! " ! "3 3

1 2 2 2

1,01 30 200, 476

12 2 10000 6061 12 1xi l b

G M mm P m P

= = V VL & ( & ( & ( & (V V // < / / < /

unde m este numãrul de pereþi longitudinali dispuºi echidistant, care fragmenteazã suprafaþa liberã a lichidului din tanc. Înãlþimea metacentricã transversalã va avea valoarea finalã: ! "1 1 9, 4 8,42 0, 476 0,504KM KG G M m m m m( ( L & ( ( &

Problema 35 Pentru o navã se cunosc: 10000 , 9,0 , 9,85t KG m KM m< & & & . Nava are patru "deep tank-uri" distribuite de la tribord la babord fiecare având 14 , 8l m b m& & , parþial

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

162

umplute cu ulei de palmier cu densitatea 31 1,2 /t m= & . Calculaþi valoarea înãlþimii

metacentrice, þinând cont de influenþa suprafeþelor libere de lichid. Rezolvare: Înãlþimea metacentricã transversalã necorectatã este: 9,85 9,0 0,85GM KM KG m m m& ( & ( & Corecþia datoratã influenþei suprafeþelor libere de lichid se calculeazã cu relaþia:

! " 1 xiGM n=L & ( <

unde 4n & este numãrul tancurilor în care existã suprafaþã liberã, iar 3

12x

l bi & este

momentul de inerþie al unei suprafeþe libere în raport cu o axã paralelã cu axa longitudinalã de înclinare, ce trece prin centrul acestei suprafeþe dreptunghiulare. Prin urmare:

! " 31,2 14 84 0, 287

12 10000GM m

V VL & ( & (V

Valoarea finalã a înãlþimii metacentrice este: ! "1 0,85 0,287 0,563G M GM GM m m m& / L & ( &

Problema 36 O navã are deplasamentul de 14000 t , 11,0 , 12,0KG m KM m& & ºi este înclinatã cu 3% la tribord. Un tanc paralelipipedic cu dimensiunile 10 , 5 , 1l m b m h m& & & ºi centrul de greutate la 7 m în tribord faþã de PD este plin cu apã dulce. Care va fi înclinarea navei dacã jumãtate din apa din tanc va trece într-un tanc simetric faþã de PD situat la babord. Rezolvare: Masa de apã din tanc este: 2 1,0 10 5 1 50P l b h t& = & V V V & Jumãtate din aceastã masã se deplaseazã:

- vertical cu distanþa: 0,5zl m& ( - lateral cu distanþa: 14yl m& .

Deplasarea verticalã a masei P va determina o modificare a înãlþimii metacentrice cu valoarea:

! " ! " 425 0,58,9 10

14000zP l

GM KG m(VL & (L & & ( & ( V<

La acestea va trebui adãugatã o corecþie negativã, datoratã suprafeþelor libere de lichid egalã cu:


163

! " 3 3' 2 2 2 1,0 10 5

0,014912 12 14000

xi l bGM m

= = V V VL & ( & ( & ( & (< < V

Valoarea finalã a înãlþimii metacentrice transversale este: ! " ! "' 4

1 12,0 11,0 8,9 10 0,0149 0,986G M KM KG GM GM m(& ( ( L / L & ( / V ( &

Înclinarea finalã a navei se va calcula cu relaþia:

1

1 1

180 1 25 14 1803 1,59

0,986 14000 0,986yP lGM

TbG M G M

V# & # ( & % ( V & %X V X<

Problema 37 O navã are deplasamentul de 16700 t , 9, 4 , 10KG m KM m& & . Ea încarcã un lichid cu densitatea 3

1 0,9 /t m= & într-un tanc având dimensiunile 10 , 18l m b m& & .

Cota centrului de greutate a lichidului din tanc este 1,0Kg m& . Gãsiþi valoarea finalã a înãlþimii metacentrice transversale considerând .KM const& Tancul are un perete longitudinal despãrþitor situat la jumãtatea lui b . Rezolvare: Masa de lichid ambarcatã este: 1 2 0,9 10 18 2 1,0 324P l b Kg t& = & V V V V & Pentru a determina cota centrului de greutate se poate lucra tabelar:

Masa C Dt

,KG Kg


C Dt mV

16700 9,4 156980 324 1 324

17024 157304

1

1573049,24

17024KG m& &

În urma ambarcãrii masei P , înãlþimea metacentricã transversalã a crescut la valoarea: 11 10,0 9, 24 0,76G M KM KG m& ( & ( & Aceastã valoare va trebui corectatã de influenþa negativã a suprafeþelor libere de lichid:

! " ! " ! "3 3

1 11 2 2

0,9 10 180,065

12 4 167001 12 1xi l b

G M mn n

= = V VL & ( & ( & ( & (V V/ < / <

Valoarea finalã a înãlþimii metacentrice este:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

164

! "1 1 0,76 0,065 0,695G M G M m/ L & ( & .

Problema 38 O navã cu deplasamentul de 20000 t are 11KG m& . Ea încarcã 500 t de apã dulce cu 1Kg m& într-un tanc dublu fund care se întinde dintr-un bord în altul ºi are 30l m& . Semilãþimile suprafeþei libere a apei din tanc sunt date în tabelul de mai jos:

Secþiunea 0 1 2 3 4 5 6

C D1

2y m 3,3 7,0 8,3 9,4 10,4 11,1 11,6

Sã se stabileascã înãlþimea metacentricã a navei ºtiind cã cele 7 secþiuni sunt echidistante. Cota metacentrului transversal al navei la deplasamentul de 20500 t este 12 m . Rezolvare: Cota centrului de greutate al navei se determinã tabelar:

Masa C Dt

,KG Kg


C Dt mV

20000 11 220000 500 1 500

20500 220500

1

22050010,75

20500KG m& &

Înãlþimea metacentricã transversalã va trebui corectatã cu valoarea:

! " ! "1xiG MP

=L & ( < /

Întrucât suprafaþa liberã are o formã neregulatã, calculul momentului de inerþie xi se executã tabelar:

Sect. iy 3iy intO

0 3,3 35,94 0 1 7,0 343 378,94 2 8,3 571,79 1293,73 3 9,4 830,58 2696,1


165

Sect. iy 3iy intO

4 10,4 1124,86 4651,54 5 11,1 1367,63 7144,03 6 11,6 1560,89 10072,55

2 2 306int 10072,55 16787,58

3 2 3 12x

l

i

5 67 89 :& & &O

Prin urmare:

! "1

1,0 16787,580,818

20500G M m

VL & ( & (

Valoarea finalã a înãlþimii metacentrice transversale este: ! "1 1 12 10,75 0,818 0, 432KM KG G M m& / L & ( ( &

Problema 39 O navã are deplasamentul 2000 t< & . La bord existã douã tancuri în cele douã borduri, simetrice faþã de PD , cu dimensiunile 6 ; 4l m b m& & . Distanþa dintre centrele lor de greutate este 8y m& . Tancurile conþin apã dulce ºi au suprafaþã liberã de lichid. Sã se calculeze variaþia înãlþimii metacentrice a navei, þinând cont de influenþa suprafeþelor libere de lichid. Calculul se va face în douã ipostaze: a) tancurile comunicã între ele; b) tancurile nu comunicã între ele. Rezolvare: a) Dacã tancurile comunicã între ele, momentul de inerþie al suprafeþei plutirii se calculeazã ca ºi când ar fi un singur tanc, în raport cu o axã care trece prin centrul de greutate comun. În cazul de faþã: ! " ! " ! " ! "3 3

2 3 2 3 463 3 8 4 4 832

12 12 6 6x

l y b l y b li y b b m

/ (& ( & / & V V / &

iar înãlþimea metacentricã se micºoreazã cu valoarea:

! " 1 8320, 416

2000xiGM m

= VL & & &<

b) Dacã tancurile nu comunicã între ele:

3 3

42 6 42 64

12 12x

l bi m

V V& & &

ºi înãlþimea metacentricã transversalã se micºoreazã cu valoarea:

! " 1 640,032

2000xiGM m

= VL & & &< .

29. CONSIDERAÞII GENERALE DESPRE STABILITATEA NAVEI LA UNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE

În studiul stabilitãþii iniþiale am considerat nava înclinatã cu unghiuri mici. Principala ipotezã simplificatoare pe care am folosit-o a fost aceea cã metacentrul transversal rãmâne fix în raport cu nava, în timpul acestor înclinãri. Aceasta înseamnã cã, pentru diferite înclinãri izocarene, momentele de inerþie ale suprafeþelor plutirilor în raport cu axa de înclinare rãmân constante. S-au putut astfel deduce relaþii de calcul privind valoarea momentului de stabilitate precum ºi rãspunsul navei la acþiunea cauzelor externe, valabile în limitele 7 ....10! " # # . Pentru nave cu bord liber mic, relaþiile obþinute în capitolul anterior îºi pierd valabilitatea chiar ºi pentru unghiuri mai mici. Când nava se înclinã izocarenic la unghiuri mari, momentele de inerþie ale suprafeþelor plutirilor se modificã, razele metacentrice, de asemenea, ºi, implicit, poziþia metacentrului transversal, care se va deplasa în spaþiu. Relaþiile pe care le vom descoperi în acest capitol vor fi utilizate pentru rezolvarea problemelor asociate cu înclinarea transversalã, în absenþa înclinãrilor longitudinale $ %0 ; 0! & ' ( . Adevãrul este cã, în timpul exploatãrii navei, la acþiunea unor cauze

externe nava se înclinã simultan în ambele plane, însã înclinãrile longitudinale sunt foarte mici în comparaþie cu cele transversale ºi pot fi neglijate. Dintre cauzele externe care produc înclinãri transversale mari în timpul exploatãrii navei amintim: acþiunea vântului dintr-un bord, static sau dinamic, tracþiunea cablului de remorcã, forþele care apar în timpul giraþiei etc. Aºa cum se observã în Fig. 80, la o înclinare transversalã cu unghiul ! , centrul de carenã se deplaseazã din B în B! . Perpendicular pe suprafaþa liberã va acþiona forþa de

împingere cu punctul de aplicaþie în B! . Pe suportul acestei forþe, deasupra lui B! , va fi

situat metacentrul transversal M! . Distanþa B M! ! reprezintã raza metacentricã transversalã, corespunzãtoare plutirii înclinate cu unghiul ! ºi se calculeazã cu relaþia:

xIB M r

V!

! ! !( ( (29.1)

CAPITOLUL IV. STABILITATEA NAVEI LA UNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE

STABILITATEA NAVEI LA UNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE ______________________________________________________________________________

167

Fig. 80 În relaþia (29.1) xI ! este metacentrul de inerþie al suprafeþei plutirii în raport cu o axã paralelã cu axa x ce trece prin centrul acestei suprafeþe. Distanþa de la centrul de greutate al navei G la suportul forþei arhimedice determinã mãrimea momentului de stabilitate. Acest braþ se noteazã cu GZ ºi poartã denumirea de braþul stabilitãþii statice. Valoarea sa depinde de poziþia punctului B! .

30. COORDONATELE CENTRULUI DE CARENÃ ªI ALE

METACENTRULUI TRANSVERSAL Vom considera o navã înclinatã transversal cu unghiul ! . În timpul înclinãrii, centrul de carenã se deplaseazã din poziþia iniþialã $ %0,B KB în poziþia $ %,B BB y z! ! ! , iar

metacentrul în poziþia $ %,m mM y z! ! ! , Fig. 81.

Fig. 81

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

168

Faþã de aceastã poziþie nava se înclinã izocarenic cu unghiul foarte mic d! ,

centrul de carenã ajungând în 'B! . Cum unghiul de înclinare este considerat foarte mic, se poate considera cã metacentrul transversal rãmâne în aceeaºi poziþie ºi raza metacentricã transversalã îºi pãstreazã valoarea: 'B M B M r! ! ! ! !( (

Deplasarea centrului de carenã se face dupã arcul elementar 'BB !! ºi !!!! drBB ' ( (30.1)

Componentele acestei deplasãri pe cele douã axe sunt: cos ; sindy r d dz r d! !( ! ! ( ! ! (30.2)

Coordonatele lui B! se calculeazã cu relaþiile:

0 0

cos ; sinB By r d z KB r d! !

! ! ! !( ! ! ) ( ! !* * (30.3)

corespunzãtor, pentru coordonatele metacentrului transversal gãsim: sin ; cosm B m By y r z z r! ! ! ! ! !( ) ! ( + ! (30.4)

Dacã se pleacã de pe carenã dreaptã ºi se roteºte nava transversal izocarenic, metacentrul va ocupa o succesiune de poziþii ale cãror coordonate se determinã cu formulele (30.4), descriind o curbã. Aceastã curbã este locul geometric al centrelor de curburã ale curbei B ºi se numeºte evolutã metacentricã. 31. MOMENTUL DE STABILITATE ªI BRAÞUL STABILITÃÞII PENTRU

UNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE. STABILITATEA DE FORMÃ ªI STABILITATEA DE GREUTATE

Când o nava se înclinã transversal cu un unghi ! considerat în categoria unghiurilor mari, pãstrându-ºi volumul constant, centrul de greutate rãmâne în poziþie fixã faþã de navã (dacã nu au loc deplasãri de mase la bord). Odatã cu modificarea formei carenei, centrul de carenã se deplaseazã spre bordul care intrã în apã, ocupând poziþia B! . Urmare a modificãrii suprafeþei plutirii, raza metacentricã r! îºi schimbã valoarea, iar metacentrul transversal ocupã poziþia M! de pe evoluta metacentricã. Direcþia B M! ! va fi perpendicularã pe suprafaþa liberã a apei (Fig. 82).

Momentul cuplului creat de cele douã forþe egale în modul, forþa de greutate care acþioneazã în G ºi forþa de împingere arhimedicã ce acþioneazã în B! se vor calcula cu

expresia: s sM g GZ g l! !( , ( , (31.1)

ºi se numeºte moment de stabilitate sau moment de redresare. Valoarea sa depinde de valoarea lui GZ care poartã denumirea de braþul stabilitãþii statice sau braþul momentului de redresare.


169

Fig. 82 M este poziþia metacentrului transversal pe carenã dreaptã, iar N este intersecþia dintre suportul forþei arhimedice ºi PD . Din Fig. 82 se observã cã: $ %sin sinGZ GN GM MN( ! ( + ! (31.2)

Ca atare, relaþia (31.1) devine: $ % sin sin sinsM g GM MN g GM g MN! ( , + ! ( , ! + , ! (31.3)

Primul termen din relaþia (31.3) este momentul de stabilitate corespunzãtor unghiului de înclinare ! dupã formula metacentricã a stabilitãþii, adicã presupunând metacentrul transversal un punct fix $ %M M!- ºi raza metacentricã constantã. Al doilea termen

reprezintã o corecþie datoratã modificãrii razei metacentrice: sinsM g MN!. ( , ! (31.4)

ºi, corespunzãtor, o corecþie a braþului de stabilitate: sinsl MN!. ( !

care poate fi negativã sau pozitivã, dupã cum M este situat deasupra lui N sau sub N . Mãrimea sM !. se numeºte moment de stabilitate reziduã, iar sl !. poartã numele de

braþul stabilitãþii rezidue. Cu referire la Fig. 82, dacã în centrul de carenã iniþial B figurãm douã forþe egale ºi de sens contrar, perpendiculare pe suprafaþa plutirii, atunci momentul de stabilitate este diferenþa dintre momentele a douã cupluri, unul format de forþele g V/ , având braþul BF ºi altul format de forþele g , , având braþul BE . Se poate scrie:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

170

s f gM M M! ! !( ) (31.5)

unde: fM g V BF! ( / (31.6)

se numeºte momentul stabilitãþii de formã ºi: gM g BE! ( , (31.7)

poartã denumirea de momentul stabilitãþii de greutate.

Fig. 83 Dacã formele navei ar putea fi exprimate analitic, poziþiile punctelor ,B N! ºi implicit braþul de stabilitate sl ! vor putea fi exprimate analitic. Cum formele navei sunt

date "discret" prin puncte, nu putem gãsi o exprimare analiticã a braþului stabilitãþii statice, el fiind reprezentat grafic sau tabelar. Pentru a calcula braþul stabilitãþii statice este necesarã determinarea coordonatelor centrului de carenã [formulele (30.3)]. Din Fig. 83 gãsim: GZ EF BP PF BE( ( + ) (31.8) Din triunghiul BPR rezultã: cos cosBBP BR y !( ! ( ! (31.9)

Din triunghiul B RQ! rezultã: $ %sin sinBQB PF RB z KB! ! !( ( ! ( ) ! (31.10)

Din triunghiul GEB rezultã: sinBE BG( ! (31.11)


171

Înlocuind ultimele relaþii în (31.8), obþinem: $ %cos sin sins B BGZ l y z KB BG! ! !( ( ! + ) ! ) ! (31.12)

Revenind la (31.6) ºi (31.7), vom observa cã: $ %cos sinf B BBF BP PF l y z KB! ! !( + ( ( ! + ) ! (31.13)

singBE l BG!( ( ! (31.14)

Distanþa fBF l !( se numeºte braþul stabilitãþii de formã, iar gBE l !( poartã denumirea

de braþul stabilitãþii de greutate. Þinând cont de (31.13) ºi (31.14), momentele stabilitãþii de formã ºi de greutate se pot scrie:

$ %cos sinf B BM g V y z KB! ! !0 1( / ! + ) !2 3 (31.15)

singM g BG! ( , ! (31.16)

Observând cã: KG KM GM( ) ºi BG KG KB( ) (31.17) dupã înlocuire în expresia braþului stabilitãþii statice (31.12), obþinem: $ %sin cos sins B Bl GM y KM z! ! !( !+ !) ) ! (31.18)

într-o altã formã.

32. ÎNÃLÞIMEA METACENTRICÃ GENERALIZATÃ Vom deriva expresia (31.12) a braþului stabilitãþii statice sl ! :

$ %cos sin sin cos coss B BB B

dl dy dzy z KB BG

d d d! ! !

! !( !) ! + ! + ) ! ) !! ! ! (32.1)

Prin derivarea relaþiilor (30.3) ale coordonatelor centrului de carenã By ! ºi Bz ! rezultã: cosBdy

rd

!!( !! ; sinBdz

rd

!!( !! (32.2)

Substituind relaþiile (32.2) în (32.1), obþinem:

$ %sin cos cossB B

dlr y z KB BG

d!

! ! !( ) ! + ) ! ) !! (32.3)

La limitã, când nava este pe carenã dreaptã 0; sin 0; cos 1, r BM!! ( ! ( ! ( ( ºi putem

scrie:

0

sdlBM BG GM

d!

!(

4 5 ( ) (6 7!8 9 (32.4)

ceea ce înseamnã cã derivata braþului stabilitãþii statice în poziþia iniþialã, dreaptã este egalã cu înãlþimea metacentricã transversalã iniþialã.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

172

Dacã analizãm dimensional formula (32.3), constatãm cã derivata braþului stabilitãþii statice este o lungime. Vom încerca, în continuare, sã dãm o interpretare graficã relaþiile (32.3).

Fig. 84 Din Fig. 84 observãm cã: r B M! ! !(

sinBy PR! ! (

$ % cosBz KB QR! ) ! (

cosBG GE! ( Aºadar:

sdlB M PR QR GE M Z h

d!

! ! ! !( ) + ) ( (! . (32.5)

33. STABILITATEA DINAMICÃ A NAVEI. BRAÞUL STABILITÃÞII

DINAMICE Pe perioada exploatãrii unei nave, forþele perturbatoare care produc înclinare pot acþiona în douã moduri: static sau dinamic. Când valoarea momentului exterior creºte lent în intensitate de la zero pânã la valoarea maximã, nava înclinându-se cu o vitezã unghiularã insesizabilã, avem de-a face cu o acþiune staticã asupra navei. Astfel de situaþii apar atunci când nava intrã în giraþie cu unghi mic de bandã la cârmã, când se transferã lichide dintr-un bord în altul, când vântul bãtând dinspre litoral ºi creºte lent


173

intensitatea sau când pasagerii unui pachebot se adunã într-un bord în timp îndelungat. În aceste cazuri, nava se înclinã lent într-un bord stabilindu-se la unghiul pentru care momentul exterior este egal cu momentul de stabilitate. Reþinem condiþia de echilibru static: e sM M( (33.1) Atunci când momentul exterior acþioneazã cu intensitatea maximã din primul moment, nava va cãpãta o vitezã unghiularã de rotaþie în timpul înclinãrii deci, o energie cineticã ºi nu se va opri la unghiul pentru care momentul de stabilitate egaleazã momentul exterior, datoritã inerþiei. Astfel de acþiuni asupra navei sunt de naturã dinamicã ºi ca exemple amintim: nava intrã în giraþie cu unghi mare de bandã la cârmã, vântul bate în rafale, ridicarea bruscã a unei sarcini în cârligul unei macarale sau scãparea ei, smucitura unui cablu de remorcã. Cu referire la Fig. 85, am reprezentat variaþiile cu unghiul de înclinare ! ale momentului de stabilitate sM ! ºi momentului exterior de înclinare eM . Pânã în punctul

A corespunzãtor unghiului 1! unde se produce egalitatea celor douã momente, nava se roteºte accelerat deoarece e sM M !: .

Ajungând în punctul A , nava are o vitezã unghiularã 1!!

ºi nu se va putea opri datoritã inerþiei, miºcându-se în continuare decelerat deoarece e sM M !" . Unghiul de

oprire este 2! , dar nava este în dezechilibru deoarece s eM M! : ºi va începe sã se

roteascã în sens invers, accelerat pânã în A ºi decelerat dupã A . Procesul se repetã periodic ºi dupã câteva oscilaþii în jurul punctului A amortizate de apã ºi aer, nava se va stabiliza în punctul A pentru care e sM M !( .

Fig. 85 Unghiul 2! se mai noteazã cu d! ºi se numeºte unghi de înclinare dinamicã, adicã unghiul maxim la care se înclinã nava la acþiunea dinamicã a unui moment exterior.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

174

Aºa cum am stabilit ºi vom vedea în continuare, stabilitatea dinamicã a navei implicã miºcarea acesteia deci, iese din domeniul staticii însã, conform tradiþiei, se studiazã la statica navei. Problema dinamicã constã în a ne asigura cã miºcãrile produse de acþiunea forþelor exterioare nu depãºesc anumite limite peste care unele greutãþi ºi-ar pãrãsi poziþiile iniþiale de fixare ºi ar provoca rãsturnarea navei. Rotaþia transversalã a navei la acþiunea dinamicã a unui moment exterior, este descrisã de ecuaþia diferenþialã:

2

2x e sd

J M Mdt

!! ( ) (33.2)

unde xJ este momentul de inerþie masic al navei în raport cu axa de rotaþie. Mai departe putem scrie:

2

2

d d d d d d d

dt dt dt dt d ddt

! ! ! ! ! !4 5( ( ( ( !6 7 ! !8 9

! ! !!

(33.3)

Ca atare, ecuaþia (33.2) devine:

x e sd

J M Md !!! ( )!

!!

(33.4)

Prin integrare între limitele 0! ( ºi o poziþie intermediarã ! , rezultã:

2

0 02x e sJ M d M d

! !

!! ( ! ) !* *!

(33.5)

Termenul din membrul stâng reprezintã energia cineticã a navei egalã cu diferenþa dintre lucrul mecanic al momentului exterior ºi lucrul mecanic al momentului de

stabilitate. Nava se va opri la unghiul d! pentru care 0! (!

ºi deci:

0 0

d d

e sM d M d

! !

!! ( !* * (33.6)

sau: e sL L !( (33.7)

Numim stabilitate dinamicã a navei, lucrul mecanic necesar pentru a o înclina dupã o direcþie oarecare, de la poziþia iniþialã presupusã de echilibru stabil la o poziþie izocarenã, definitã de înclinare ! , fãrã vitezã iniþialã ºi în mediu calm ºi nerezistent. Deci, stabilitatea dinamicã va fi:

0

s sL M d!

! !( !* (33.8)

ºi reprezintã aria de sub curba de stabilitate pânã la unghiul ! (Fig. 86), pe care o numim rezervã de stabilitate dinamicã pentru unghiul ! . Stabilitatea dinamicã,


175

corespunzãtoare unghiului de apus a! denumit ºi unghi de rãsturnare, este rezerva totalã de stabilitate dinamicã.

Fig. 86 Înlocuind în (33.8) expresia (31.1) a momentului de stabilitate, obþinem:

0

s sL g l d!

! !( , !* (33.9)

Notãm:

0

d sl l d!

! !( !* (33.10)

ºi îl numim braþul stabilitãþii dinamice, ceea ce înseamnã cã: s dL g l! !( , (33.11)

Pentru determinarea expresiei analitice a braþului stabilitãþii dinamice se integreazã sl ! dat de relaþia (31.12). Aºadar:

$ %0

cos sin sind B Bl y z KB BG d!

! ! !0 1( !+ ) ! ) ! !2 3*

sau:

$ %0 0 0

cos sin sind B Bl y d z KB d BG d! ! !

! ! !( ! ! + ) ! ! ) ! !* * *

sau mai departe:

$ % $ %0 0

sin sin cos cos cos 1d B B B Bl y dy z KB dz BG! !

! ! ! ! !( !) ! ) ) ! + ! + !)* *

Aºa cum ºtim: cosBdy r! !( ! ; sinBdz r! !( !

ºi înlocuind în expresia anterioarã, rezultã:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

176

$ % $ %sin cos cos 1d B Bl y z KB BG! ! !( !) ) ! + !) (33.12)

Analizând dimensional expresia braþului stabilitãþii dinamice vom observa cã se mãsoarã în metri. În continuare, vom da o interpretare geometricã acestei relaþii (Fig. 87), pentru un unghi de înclinare transversalã ! . Din aceastã figurã observãm cã: sinBy PR! ! ( ; $ % cosBz KB QR! ) ! (

cosBG GE! ( ; ZF BG(

Fig. 87 Introducând aceste segmente în relaþia (33.12). rezultã: dl B S! !(

ceea ce înseamnã cã braþul stabilitãþii dinamice este egal cu deplasarea relativã pe direcþie verticalã a centrului de carenã faþã de centrul de greutate. În finalul acestui paragraf, tragem concluzia cã stabilitatea dinamicã reprezintã lucrul mecanic pe care nava îl opune lucrului forþelor exterioare, cu alte cuvinte, nava se opune acestor forþe prin momentul de stabilitate. În consecinþã, a studia comportarea navei sub acþiunea forþelor care tind sã o scoatã din poziþia iniþialã, presupusã, de echilibru stabil, înseamnã a considera un moment de înclinare ºi reacþiunea opusã de navã prin momentul de stabilitate.


177

34. DIAGRAMELE DE STABILITATE STATICÃ ªI DINAMICÃ. PROPRIETÃÞI

Diagramele de stabilitate sunt curbele care reprezintã momentele sau braþele cuplului de stabilitate ale navei în funcþie de unghiul de înclinare. Ele pot fi reprezentate în coordonate polare ºi în coordonate carteziene. Frecvent, în teoria navei se folosesc curbele în coordonate carteziene, care se obþin aºezând în abscise unghiurile de înclinare ºi în ordonate braþul stabilitãþii statice sl !

sau momentul de stabilitate staticã sM ! respectiv, braþul stabilitãþii dinamice dl ! sau

lucrul mecanic al momentului stabilitãþii statice sL ! . În primul caz, se obþine diagrama

stabilitãþii statice, iar în al doilea caz, diagrama stabilitãþii dinamice. Diagrama stabilitãþii statice mai poartã numele ºi de "diagrama Reed" dupã numele inginerului englez care a utilizat-o pentru rezolvarea unor probleme practice de stabilitatea navei. Întrucât braþele de stabilitate staticã ºi dinamicã au aceeaºi unitate de mãsurã (respectiv se mãsoarã în metri), curbele sl ! ºi dl ! pot fi reprezentate suprapus în acelaºi sistem de

coordonate, punând în evidenþã ºi legãturile matematice ce existã între integrala unei funcþii ºi funcþia respectivã, þinând cont cã braþul stabilitãþii dinamice dl ! este integrala

curbei braþului stabilitãþii statice sl ! (Fig. 88).

Fig. 88 Astfel, unghiul max! corespunzãtor punctului de maxim A de pe curba sl ! este ºi unghiul pentru care curba dl ! are punct de inflexiune (punctul 'A ), iar unghiul de apus

a! de pe diagrama stabilitãþii statice este unghi de maxim pentru diagrama stabilitãþii dinamice (punctul 'B ). Deoarece în origine 0sl ! ( , atunci

0' 0dl ! !( ( ceea ce înseamnã

cã dl ! pleacã din origine tangentã la axa ! .

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

178

Aºa cum am arãtat în §32, derivata braþului stabilitãþii statice pentru un unghi ! este egalã cu înãlþimea metacentricã generalizatã, adicã: tgsdl

hd

!!( ; (! (34.1)

iar în origine: 0

0

tgsdlGM

d!

!(( ; (! (34.2)

Din punct de vedere trigonometric, înseamnã cã funcþia tangentã a unghiului ; format de tangenta în punctul C la curba sl ! este egalã cu înãlþimea metacentricã, generalizatã h! ºi, asemãnãtor, funcþia tangentã a unghiului 0; este egalã cu înãlþimea metacentricã transversalã iniþialã GM . Altfel spus:

tgDE

CE; ( ºi 0tg

AB

OB; (

Adoptând segmentele CE ºi OB egale cu 1 radian (Fig. 89) va rezulta:

h DE! ( ºi GM AB(

În consecinþã, cu ajutorul diagramei stabilitãþii statice se poate determina înãlþimea metacentricã, iniþialã printr-o construcþie foarte simplã. Se mãsoarã pe axa ! segmentul

1 57,3OB rad( ( # . Se ridicã în punctul B o verticalã care se intersecteazã în punctul A

cu tangenta la curba sl ! în origine. La scara lui sl ! segmentul AB va fi egal cu GM .

Dupã un algoritm asemãnãtor se determinã segmentul DE h!( . Aceastã proprietate

este foarte importantã, pe de-o parte, pentru verificarea calculelor ºi, pe de altã, parte pentru verificarea trasãrii diagramei de stabilitate staticã.

Fig. 89


179

O variantã a curbei de stabilitate staticã care poate exista în timpul exploatãrii navei este prezentatã în Fig. 90. Aceasta este o situaþie de stabilitate iniþialã, negativã deci, de echilibru instabil. Orice moment exterior va deplasa nava în punctul A rãmânând "canarisitã" cu unghiul 0! .

Fig. 90 În altã ordine de idei, la marea majoritate a diagramelor de stabilitate staticã a navelor de suprafaþã existã o zonã liniarã în limitele 0 7 ...10< ! < # # , ceea ce înseamnã cã tangenta în origine se confundã cu curba sl ! pe aceastã zonã. Corespunzãtor, braþul

stabilitãþii statice se va calcula cu formula: sinsl GM! ( ! (34.3)

Revenind la formula braþului stabilitãþii statice: $ %cos sin sins B Bl y z KB BG! ! !( ! + ) ! ) !

vom observa cã atunci când nava se înclinã la babord avem: $ % $ %B By y)! ( ) ! ; $ % $ %B Bz z)! ( !

ºi þinând cont de paritatea funcþiei cos! ºi imparitatea funcþiei sin! , rezultã o continuare imparã a funcþiei sl ! în zona negativã a axei ! , adicã: $ % $ %s sl l)! ( ) ! (34.4)

În consecinþã, graficul sl ! are o continuare simetricã faþã de origine când 0! " cu punct

de inflexiune în O (Fig. 91).

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

180

Fig. 91 Asemãnãtor, se demonstreazã cã braþul stabilitãþii dinamice este o funcþie parã, adicã: $ % $ %d dl l)! ( ! (34.5)

ceea ce înseamnã cã graficul dl ! are o continuare simetricã faþã de axa ordonatelor

atunci când 0! " (Fig. 92).

Fig. 92 Derivata braþului stabilitãþii dinamice în raport cu unghiul de înclinare este egalã cu braþul stabilitãþii statice:

ds

dll

d!

! ( ! (34.6)

de aceea, pe diagrama stabilitãþii dinamice construitã la scarã, se poate realiza o construcþie graficã pentru determinarea braþului stabilitãþii statice (Fig. 93). O navã înclinatã cu unghiul ! se gãseºte în punctul A de pe diagrama stabilitãþii dinamice. Pentru a gãsi braþul stabilitãþii statice la acest unghi se mãsoarã din punctul

$ %, 57,3 1A rad# paralel cu axa ! (segmentul AB ), se ridicã în B o perpendicularã care se intersecteazã cu tangenta în punctul A la curba dl ! în punctul C . La scara

ordonatei sl BC! ( . Acest algoritm are la bazã urmãtoarele relaþii matematice:


181

tg1

ddl BC BCBC

d AB

! ( = ( ( (! (34.7)

Fig. 93 Comparând relaþiile (34.6) ºi (34.7), rezultã: sl BC! ( (34.8)

În finalul acestui paragraf, facem precizarea cã pentru o navã de suprafaþã neavariatã, Registrul Naval Român prevede ca max 30! > # ºi 60a! > # .

35. COMPORTAREA NAVEI SUB ACÞIUNEA FORÞELOR EXTERNE Sã presupunem cã am reprezentat la aceeaºi scarã ºi pe aceeaºi diagramã curba momentului de stabilitate sM ! ºi curba momentului exterior de înclinare eM care este o

funcþie de unghiul de înclinare ! (Fig. 94). Din motive lesne de înþeles, am trasat cele douã curbe de aceeaºi parte a axei ! , deºi eM are sens contrar lui sM ! . Aºa vom

proceda ºi în §36 când vom soluþiona cu ajutorul diagramelor de stabilitate problemele practice care apar în timpul exploatãrii navei. Însumând algebric cele douã momente se obþine momentul de stabilitate reziduã: r s eM M M!( + (35.1)

a cãrui variaþie este prezentatã în Fig. 94 b. În punctele A ºi B de intersecþie ale celor douã curbe, momentul de stabilitate reziduã este nul ºi poziþiile respective sunt de echilibru. Mai precis, poziþia înclinatã cu unghiul s! este o poziþie de echilibru stabil pentru cã, pe de-o parte, panta în punctul 'A la curba de stabilitate reziduã este pozitivã, iar, pe de altã parte, odatã adusã nava în punctul A , fãrã vitezã, ea rãmâne ºi revine în aceastã poziþie, chiar dacã nava capãtã înclinãri elementare într-un sens sau altul. Aplicând acelaºi tip de raþionament, se demonstreazã cã în punctul B nava este în echilibru nestabil, panta în punctul 'B la curba de stabilitate reziduã fiind negativã.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

182

Plecând însã din poziþia iniþialã, în care viteza unghiularã de rotaþie este nulã, nava se va înclina cãpãtând viteza unghiularã astfel încât, la un moment dat, energia cineticã va fi egalã cu diferenþa dintre lucrul mecanic al momentului exterior ºi lucrul mecanic al momentului de stabilitate. Acest rezultat este cunoscut în Mecanicã sub numele de teorema de variaþie a energiei cinetice. Pentru înclinarea ! , energia cineticã de rotaþie a navei este egalã cu aria ODEF . În consecinþã, nava va ajunge în punctul A corespunzãtor poziþiei de echilibru stabil, va avea energie cineticã egalã cu aria ODA , o va depãºi ºi se va opri când energia se va anula, respectiv lucrul mecanic al momentului de stabilitate egaleazã lucrul mecanic al momentului exterior. Aceasta se poate întâmpla pentru un unghi d B! " ! pentru care:

0 0

d d

e sM d M d

! !

!! ( !* * (35.1)

ceea ce înseamnã cã ODA AGH(aria aria (Fig. 94 a) sau aria închisã de curba de stabilitate reziduã (Fig. 94 b) trebuie sã fie nulã adicã ''''' HGA ariaAOD aria ( .

Fig. 94 Unghiul d! la care se realizeazã aceastã egalitate se numeºte unghi de echilibru dinamic.


183

Poziþia înclinatã cu d! nu este o poziþie de echilibru static întrucât nava se aflã sub acþiunea unui moment de stabilitate reziduã 0rM : ºi se va redresa neputându-se opri în punctul A , datoritã acumulãrii de energie cineticã. Teoretic, miºcarea oscilatorie în jurul punctului A ar continua nelimitat în timp, însã energia cineticã este consumatã de rezistenþa mediului, care se opune miºcãrii, oricare ar fi sensul ei ºi miºcarea se va amortiza treptat, nava oprindu-se, în cele din urmã, în aceastã poziþie.

Dacã însã unghiul de înclinare dinamic nu respectã condiþia d B! < ! , atunci nava se va rãsturna iremediabil sub acþiunea momentului exterior de înclinare.

36. PROBLEME PRACTICE CARE APAR ÎN TIMPUL EXPLOATÃRII NAVEI ªI CARE SE REZOLVÃ CU AJUTORUL DIAGRAMEI DE

STABILITATE În timpul exploatãrii navei apar diverse probleme care pot fi rezolvate cu ajutorul diagramelor de stabilitate staticã ºi dinamicã. Se considerã o navã a cãrei diagramã a stabilitãþii statice este cunoscutã. Nava este supusã unui moment exterior de înclinare

eM a cãrui valoare nu depinde de unghiul de înclinare (Fig.95).

Fig. 95 Se aºeazã pe ordonatã la scara momentului de stabilitate valoarea momentului exterior ºi se construieºte o orizontalã care reprezintã variaþia $ %eM ! . Punctul A de

intersecþie al celor douã momente este punctul de echilibru static, cu alte cuvinte, dacã acþiunea externã este staticã, nava se stabilizeazã în punctul A , iar unghiul corespunzãtor acestei poziþii este unghiul static de înclinare s! . Când diagrama stabilitãþii statice este prezentatã sub forma variaþiei braþului stabilitãþii statice sl ! (Fig. 96), aceeaºi problemã se rezolvã aºezând pe ordonatã

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

184

lungimea eM

g , ºi ducând o orizontalã pânã ce intersecteazã curba sl ! în punctul A .

Corespunzãtor acestui punct, citim pe abscisã unghiul static de înclinare s! . Aºa cum am arãtat în §35, pentru ca o navã sã se încline cu unghiul s! ºi sã rãmânã în acea poziþie, trebuie ca momentul exterior sã aibã o creºtere foarte lentã în intensitate.

Fig. 96 În contrast, o acþiune dinamicã se caracterizeazã prin faptul cã momentul exterior este aplicat cu intensitate maximã din primul moment sau dupã o lege de variaþie care-i asigurã atingerea valorii maxime într-un timp foarte scurt. În aceastã situaþie, nava se înclinã cu vitezã unghiularã, cãpãtând energie cineticã. Viteza unghiularã la un moment dat se calculeazã cu relaþia:

2

0 0

2e s

x

M d M dJ

! !

!0 1? @! ( ! ) !? @2 3* *!

(36.1)

Relaþia (36.1) aratã cã rotaþia navei continuã atâta timp cât 0! :!

ºi se va opri când 0! (

!

, respectându-se condiþia:

0 0

d d

e sM d M d

! !

!! ( !* * (36.2)

Unghiul pentru care lucrul mecanic al momentului exterior 0

d

eM d

!!* este egal cu lucrul

mecanic al momentului de stabilitate 0

d

sM d

!

! !* este unghiul dinamic de înclinare d! .

Dacã eM este constant, putem scrie:

0

d

e d sM M d

!

!! ( !* (36.3)


185

Situaþia este ilustratã în Fig. 97. Membrul drept al relaþiei (36.3) e dM ! este egal

cu aria OBDE , iar membrul drept 0

d

sM d

!

! !* este egal cu aria OACDE . Observând cã aria OADE este comunã, rezultã cã nava se va opri atunci când: OBA ACD(aria aria . Din figurã observãm cã întotdeauna d s! : ! . Dacã nava se înclinã dinamic în limita unghiurilor mici de înclinare, am arãtat cã putem accepta o variaþie liniarã a momentului de stabilitate de forma: sM g GM k! ( , ! ( ! (36.4)

unde k este coeficientul de stabilitate. În consecinþã, relaþia (36.3) devine:

2

02

d

de d

kM k d

! !! ( ! ! (* (36.5)

de unde: 2 e

dM

k! ( (36.6)

Fig. 97 Când un moment exterior de aceeaºi mãrime acþioneazã static, unghiul static de înclinare se determinã din condiþia: s eM M! ( sau s ek M! ( (36.7)

de unde:

es

M

k! ( (36.8)

comparând relaþiile (36.8) ºi (36.6), se observã cã atunci când momentul de stabilitate are o variaþie liniarã, iar momentul de înclinare este constant, atunci: 2d s! ( ! (36.9)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

186

Cu ajutorul diagramei stabilitãþii statice se poate determina valoarea maximã a momentului exterior, dinamic pe care nava poate sã-l suporte fãrã sã se rãstoarne (Fig. 98). Valoarea limitã a acestui moment exterior lM se obþine din condiþia ca: OBA ADC(aria aria . În acest caz, nava se va opri în punctul C , în poziþia de echilibru instabil, înclinatã cu

d! . Orice moment exterior suplimentar va rãsturna nava.

Fig. 98 Putem face în continuare urmãtoarea discuþie: e lM M" - nava se va stabiliza la înclinarea s! dupã efectuarea câtorva oscilaþii amortizate; e lM M: - nava se rãstoarnã sub acþiunea momentului exterior dinamic de înclinare. Considerãm cã nava este înclinatã cu unghiul 0! sub acþiunea momentului exterior 0eM , aflându-se în punctul A de pe diagrama stabilitãþii statice. O astfel de situaþie poate apãrea în timpul exploatãrii navei atunci când se fac transferuri de greutãþi la bord sau când nava este supusã acþiunii vântului. Suplimentar, acþioneazã momentul exterior 1eM (Fig. 99) static sau dinamic. Diagrama stabilitãþii statice pentru nava înclinatã cu unghiul 0! îºi are originea în punctul A . Dacã 1eM acþioneazã static, atunci nava ajunge în punctul B de pe diagrama stabilitãþii statice corespunzãtor unghiului static de înclinare s! . Când 1eM acþioneazã dinamic, unghiul de înclinare dinamicã se determinã din condiþia: ACB BDE(aria aria


187

Fig. 99 În aceeaºi situaþie, momentul limitã de înclinare dinamicã 1lM se determinã din condiþia (Fig. 100): ACB BDE(aria aria ºi este mai mic decât momentul limitã dinamic pe care poate sã-l suporte nava dacã ar fi pe carenã dreaptã, întrucât rezerva de stabilitate dinamicã este mai micã.

Fig. 100 Dacã nava este înclinatã la babord deci 0eM acþioneazã în bordul opus, problema calculãrii unghiurilor de înclinare staticã ºi dinamicã, la acþiunea momentului exterior

1eM în sens opus lui 0eM , se rezolvã mãsurând 1eM având ca referinþã 0eM (Fig. 101). Dacã 1eM acþioneazã static, nava se înclinã ajungând în punctul C înclinatã cu unghiul

s! . Unghiul d! se determinã din condiþia: ABC CDEF(aria aria .

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

188

Fig. 101 Problemele legate de determinarea unghiului de înclinare dinamicã se rezolvã destul de greu utilizând diagrama stabilitãþii statice, datoritã planimetrãrii dificile a suprafeþelor despre care am vorbit. Mult mai uºor ºi mai precis, în acelaºi timp, se rezolvã aceste probleme utilizând diagrama stabilitãþii dinamice. Presupunând momentul exterior de înclinare constant .eM const( , lucrul mecanic al momentului exterior de înclinare se scrie:

0

e e eL M d M!

( ! ( !* (36.10)

Fig. 102 adicã o dreaptã care trece prin origine cu panta egalã cu eM . Pentru a reprezenta aceastã dreaptã se mãsoarã din origine pe axa ! 1 57,3rad ( # , (Fig. 102) ºi pe perpendiculara dusã în punctul A segmentul eAB M( . Unind originea sistemului de axe O cu B , se obþine dreapta ce reprezintã variaþia $ %eL ! .


189

Se considerã o navã a cãrei diagramã a stabilitãþii dinamice este cunoscutã (Fig. 103) ºi este supusã acþiunii dinamice a unui moment exterior constant eM . Condiþia de echilibru dinamic, aºa cum am arãtat, este: s eL L! ( (36.11)

Fig. 103 Suprapunând graficele celor douã mãrimi construite la aceeaºi scarã, unghiul de înclinare dinamicã va fi unghiul corespunzãtor punctului A de intersecþie a celor douã grafice (Fig. 103). Dacã un moment eM de aceeaºi valoare acþioneazã static, unghiul static de înclinare s! se determinã din condiþia: s eM M! (

Pe de altã parte:

ss

dLM

d!

! ( ! ; ee

dLM tg

d( ( ;!

Condiþia de echilibru static se rescrie:

sdLtg

d! ( ;! (36.12)

ceea ce înseamnã cã pe curba sL ! trebuie determinate punctele în care tangentele la curba sL ! sunt paralele cu dreapta eL . Acestea sunt punctele B ºi C ºi corespunzãtor

unghiurile 1s! ºi 2s! , prima poziþie fiind de echilibru stabil, iar a doua de echilibru instabil. Tot utilizând diagrama stabilitãþii dinamice, se poate determina valoarea maximã a momentului exterior dinamic (momentul limitã) pe care poate sã-l suporte nava fãrã sã se rãstoarne. Aceastã construcþie este prezentã în Fig. 104.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

190

Din originea sistemului de coordonate se construieºte tangenta la curba sL ! .

Punctul de tangenþã este A , unde se realizeazã echilibrul dinamic ce corespunde unghiului dinamic de înclinare d! .

Fig. 104

Segmentul corespunzãtor unghiului de 1 radian mãsurat de la tangentã la axa ! reprezintã la scarã momentul limitã cãutat. Orice dreaptã situatã deasupra acestei tangente va reprezenta lucrul mecanic al unui moment exterior ºi nu va intersecta curba lucrului mecanic al momentului de stabilitate sL ! . Aceasta înseamnã cã nu se realizeazã condiþia de stabilitate dinamicã ºi nava se va rãsturna.

Fig. 105 Când nava este înclinatã iniþial cu unghiul s! poziþia de pe diagrama stabilitãþii dinamice este punctul A . Dacã în sensul înclinãrii acþioneazã dinamic un moment


191

exterior 1eM , modul de determinare al unghiului dinamic de înclinare d! este reprezentat în Fig. 105. Tot aici gãsim ºi modul de determinare a momentului limitã pe care îl suportã nava în aceastã situaþie. Facem totuºi precizarea cã 0eM corespunde tangentei în punctul A la curba sL ! , iar lM corespunde tangentei duse din punctul A

la curba sL ! .

Dacã nava are o înclinare iniþialã într-un bord, atunci determinarea momentului limitã pe care poate sã-l suporte nava fãrã a fi rãsturnatã în bordul celãlalt, este arãtatã în Fig. 106.

Fig. 106 În timpul exploatãrii navei apare deseori situaþia când valurile mãrii agitate ºi vântul în rafale acþioneazã simultan asupra navei. Acþiunea valurilor se manifestã prin miºcãrile oscilatorii pe care le executã nava. Un astfel de studiu este extrem de complex datoritã neliniaritãþii ecuaþiilor care sunt conþinute în modelul matematic, precum ºi datoritã calculului dificil al coeficienþilor hidrodinamici care apar. De aceea, se utilizeazã o metodã mult mai simplã, dar ºi mult mai relativã, prevãzutã de Registrul Naval Român ºi denumitã �Criteriul de vânt ". Se presupune cã momentul de înclinare dat de vânt se aplicã dinamic ºi rãmâne constant pe timpul înclinãrii. Se numeºte suprafaþã velicã aria proiecþiilor pe planul diametral al suprafeþelor situate deasupra liniei de plutire a navei în poziþie dreaptã. Braþul velic este înãlþimea la care se aflã centrul velic (centrul de greutate al suprafeþei velice) deasupra liniei de plutire (Fig. 107). Forþa datã de vânt este egalã cu produsul dintre presiunea vântului $ %vp ºi aria suprafeþei velice

vA . Valorile presiunii de calcul a vântului se iau conform prescripþiilor R.N.R., în funcþie de zona de navigaþie ºi de braþul velic. Momentul dinamic dat de vânt este egal cu produsul dintre forþa vântului ºi valoarea braþului velic:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

192

v v v vM p A Z( (36.13) Dacã vântul ar acþiona static ºi momentul provocat de acesta ar fi de aceeaºi naturã ºi se va calcula cu relaþia:

2vs v v vd

M p A Z4 5( +6 78 9 (36.14)

deoarece pe suprafaþa imersã a bordului opus acþiunii vântului va apãrea o forþã hidrodinamicã egalã ºi de sens contrar lui vF , care se opune derivei. Punctul de acþiune al acestei forþe este situat la jumãtatea pescajului. Prevederile R.N.R. indicã faptul cã presiunea de calcul a vântului este maximã pentru navele cu zonã de navigaþie nelimitatã, deci acestea trebuie sã aibã cea mai mare rezervã de stabilitate dinamicã. Cele mai uºoare condiþii hidro-meteorologice se aleg pentru navele costiere care se pot retrage în timp scurt la adãpost, într-un port.

Fig. 107 Situaþia cea mai defavorabilã este când nava executã o miºcare de ruliu natural, a atins amplitudinea r! , calculatã conform prescripþiilor R.N.R. ºi se gãseºte în bordul din vânt. R.N.R., la capitolul "Stabilitate", prevede cã stabilitatea navelor se considerã eficientã dupã criteriul de vânt k , dacã momentul de înclinare produs de acþiunea vântului vM , aplicat dinamic, este egal sau mai mic decât momentul limitã (momentul de rãsturnare), adicã dacã sunt îndeplinite condiþiile: v lM M< (36.15) sau:

1,00l

v

Mk

M( > (36.16)

Pentru a verifica aceastã condiþie se procedeazã ca în Fig. 108. Se prelungeºte diagrama stabilitãþii dinamice în zona negativã a unghiurilor de înclinare ºi se mãsoarã r! , stabilindu-se punctul A de pe diagramã care corespunde navei înclinate la babord cu unghiul r! . Din punctul A se mãsoarã paralel cu axa ! segmentul 1AC radian( , iar


193

pe verticala dusã în punctul C se aºeazã la scarã segmentul CD egal cu momentul dat de vânt. Segmentul AD reprezintã variaþia lucrului mecanic al momentului dat de vânt care se intersecteazã cu lucrul mecanic al momentului de stabilitate în punctul B . Abscisa acestui punct determinã unghiul de înclinare dinamicã d! .

Fig. 108 Pentru a determina momentul limitã (momentul de rãsturnare) pe care poate sã-l suporte nava, se construieºte din punctul A tangenta AF la curba sL ! ºi se mãsoarã segmentul CE egal cu momentul limitã (Fig. 108). Odatã obþinute valorile acestor momente, se verificã dacã sunt îndeplinite normele (36.15) sau (36.16) ale Registrului Naval Român.

37. MODIFICAREA DIAGRAMEI DE STABILITATE STATICÃ LA DEPLASAREA ªI AMBARCAREA DE GREUTÃÞI LA BORDUL NAVEI

Deplasarea de greutãþi implicã modificarea poziþiei centrului de greutate al navei. Se considerã la bord o masã 0,1P " , care se deplaseazã din punctul $ %, ,A x y z în $ %1 1, ,B x y z , adicã o deplasare în plan transversal. Ca o consecinþã, centrul de greutate al

navei se va deplasa pe direcþiile axelor y ºi z cu valorile:

$ %1GP

y y y. ( ), ; $ % $ %1P

KG z z. ( ), (37.1)

Braþul stabilitãþii statice corespunzãtor unghiului de înclinare transversalã ! se reduce

de la valoarea sl GZ! ( la valoarea 1 1 1sl G Z! ( , aºa cum se observã în Fig.109. Reducerea valorii acestui braþ de stabilitate se calculeazã cu relaþia: $ % $ %1 1sl G Z GZ GP PQ!. ( ) ( ) + (37.2)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

194

Fig. 109 Din Fig. 109 observãm cã: $ % sinGP KG( . ! ; cosGPQ y( . ! (37.3)

ceea ce înseamnã cã relaþia (37.2) se poate rescrie: $ % $ % $ % $ %1 1sin cos sin coss G

Pl KG y z z y y! 0 1. ( ) . ! + . ! ( ) ) !+ ) !0 12 32 3 , (37.4)

Plecând de la relaþia (37.4) se poate particulariza pentru deplasãri singulare ale masei P , pe direcþiile axelor y ºi z . Astfel, dacã deplasarea se face numai pe direcþie verticalã 0Gy. ( , rezultã: $ %1 sins

Pl z z!. ( ) ) !, (37.5)

ºi pentru poziþia iniþialã $ %0 0sl !! ( . ( . Când deplasarea are loc numai pe direcþie orizontalã, $ % 0KG. ( ºi: $ %1 coss

Pl y y!. ( ) ) !, (37.6)

Pentru poziþia iniþialã $ %0! ( , rezultã: $ %1s

Pl y y!. ( ) ), (37.7)

Sã presupunem în continuare cã la bordul navei se ambarcã o masã $ %, 0,F pP x z ,

deci în planul diametral, respectându-se condiþia 0,1P " , . Dacã acceptãm cã în zona plutirii bordurile navei sunt verticale, atunci la variaþia pescajului, forma ºi aria plutirii nu se modificã ºi putem scrie:


195

$ % $ %1

BM BMP

,( , + (37.8)

ºi, de asemenea, noile coordonate ale centrului de carenã corespunzãtor unghiului ! de înclinare se vor calcula cu relaþiile:

1B By yP! !

,( , + (37.9)

$ %1 1B Bz KB z KB

P! !,) ( ), + (37.10)

Substituind aceste relaþii în expresia braþului stabilitãþii de formã, obþinem:

1f fl lP! !

,( , + (37.11)

ceea ce înseamnã o variaþie a braþului stabilitãþii de formã:

1f f f fP

l l l lP! ! ! !. ( ) ( ) , + (37.12)

Þinând cont cã: BG KG KB( ) (37.13) rezultã: $ % $ % $ %

2 pP d

BG KG KB d BG zP

.4 5. ( . ) . ( ) + + )6 7, + 8 9 (37.14)

unde d. reprezintã variaþia pescajului mediu datoritã ambarcãrii masei P ºi se calculeazã cu relaþia:

WL

Pd

A. ( / .

Ca atare, braþul stabilitãþii de greutate se va modifica cu valoarea: sin

2g pP d

l d BG zP!

.4 5. ( ) + + ) !6 7, + 8 9 (37.15)

Atunci când masa P nu este ambarcatã în . .P D , ci într-un punct situat la distanþa py de acesta, va trebui sã mai introducem o corecþie yl. datoratã deplasãrii centrului

de greutate înspre bordul în care s-a efectuat ambarcarea.

cosy pP

l yP

. ( ) !, + (37.16)

În concluzie, variaþia braþului stabilitãþii statice datoritã ambarcãrii masei P este suma a trei termeni: s f g yl l l l! ! !. ( . ) . + . (37.17)

sau în urma substituirilor: sin cos

2s p s pP d

l d z l yP! !0 . 14 5. ( + ) ! ) ) !6 7? @, + 8 92 3

(37.18)

Debarcarea de mase va fi tratatã ca o ambarcare a unei mase negative.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

196

38. CONSTRUCÞIA ªI UTILIZAREA DIAGRAMEI DE PANTOCARENE Din §31 se cunoaºte expresia braþului stabilitãþii statice pentru unghiurile de înclinare: $ %cos sin sins B B f gl y z KB BG l l! ! ! ! !( !+ ) !) ! ( ) (38.1)

În relaþia (38.1) fl ! reprezintã braþul stabilitãþii de formã ºi gl ! este braþul stabilitãþii de greutate. Scriind: BG KG KB( ) (38.2) ºi introducând în (38.1) obþinem: ' 'cos sin sins B B f gl y z KG l l! ! ! ! !( ! + !) ! ( ) (38.3)

unde 'fl ! ºi 'gl ! sunt tot braþele stabilitãþii de formã, respectiv de greutate, dar scrise în altã manierã. Cele douã braþe ale stabilitãþii de formã se pot vedea în Fig.110.

Fig. 110 În timpul exploatãrii, nava se gãseºte în diferite situaþii de încãrcare situate între deplasamentul navei goale ºi deplasamentul de plinã încãrcare. Braþul stabilitãþii de formã depinde atât de deplasamentul navei, cât ºi de formele acesteia. Întrucât este extrem de laborios sã se determine prin calcul braþul stabilitãþii de formã 'fl ! , pentru

toate situaþiile de încãrcare, în faza de proiectare se vor construi diagramele de forma $ %' ,fl f V! ( ! denumite ºi diagramele de pantocarene.

Procedura de realizare a lor este urmãtoarea. Se stabilesc limitele de variaþie ale volumului carenei care sunt, pe de o parte, volumul corespunzãtor deplasamentului gol

0V ºi volumului corespunzãtor deplasamentului de plinã încãrcare pV , ca limitã superioarã, pe de altã parte. Se divide acest interval, alegându-se câteva valori ale volumului carenei 1 2 1, , ... pV V V ) egal distanþate între ele, adicã: 1 . 1, 2, ...i iV V const i p)) ( ( .


197

Corespunzãtoare fiecãrui volum, 0 1, , ... pV V V , din diagramele de carene drepte se scot

pescajele 0 1, , ... , pd d d . Pentru fiecare din aceste pescaje se calculeazã braþele stabilitãþii de formã 'fl ! pentru ! în limitele de la 0 90# #la , din 10# în 10# . Unind punctele ce

reprezintã braþele stabilitãþii de formã pentru diferitele volume de carenã, dar acelaºi unghi de înclinare, se obþin diagramele de pantocarene (Fig. 111).

Fig. 111 Modul de lucru cu diagrama de pantocarene este urmãtorul. Într-o anumitã situaþie de exploatare a navei se doreºte trasarea diagramei de stabilitate staticã. Pentru aceasta se mãsoarã pvd ºi ppd la scãrile de pescaj ºi, intrând cu aceste valori în "diagrama de asietã", rezultã V care se mãsoarã pe abscisa diagramei de pantocarene. Ridicând o perpendicularã în punctul corespunzãtor lui V ºi intersectând cu curbele

'fl ! pentru .const! ( , se obþin braþele stabilitãþii de formã '10 '20 '90, ...f f fl l l# # # .

Cunoscând distribuþia de mase la bord, pentru situaþia respectivã de încãrcare se calculeazã braþele stabilitãþii statice cu relaþia: ' sins fl l KG! !( ) ! (38.4)

Cunoscând braþele sl ! , se traseazã diagrama de stabilitate staticã ºi diagrama de stabilitate dinamicã dl ! , putându-se rezolva probleme practice care apar (vezi §36). În unele cazuri, diagramele de pantocarene sunt prezentate în forma $ %,fl V! ,

adicã se prezintã braþele stabilitãþii de formã, calculate în raport cu centrul de carenã corespunzãtor volumului V . În astfel de situaþii, procedura de calcul a lui sl ! este puþin mai greoaie, în sensul cã necesitã determinarea suplimentarã a cotei centrului de carenã KB din diagrama de carene drepte.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

198

Sã derivãm în continuare, în raport cu volumul, expresia braþului stabilitãþii de formã: $ %cos sinf B Bl y z KB! ! !( !+ ) ! (38.5)

$ %

cos sinBf B

d z KBdl dy

dV dV dV

!! ! )( ! + ! (38.6)

Pentru calculul derivatelor care apar în formula (38.6) se utilizeazã relaþiile:

0

1cosB xy I d

V

!! !( ! !*

0

1sinB xz KB I d

V

!! !) ( ! !*

unde, cu xI ! am notat momentul de inerþie al suprafeþei plutirii înclinatã cu unghiul ! ,

în raport cu axa de înclinare. Derivând în raport cu volumul carenei, obþinem:

0 02

cos cosxx

B

dIV d I d

dVdy

dV V

! !!

!!

! ! ) ! !(* *

sau:

0

1cos

BT B

dyd y

dV V

!!

!0 1? @( / ! ! )? @2 3* (38.7)

Aºa cum ºtim din §22, prin T/ am notat raza metacentricã diferenþialã, transversalã care se calculeazã cu formula (22.11). Asemãnãtor:

$ % 0 0

2

sin sinxx

B

dIV d I d

dVd z KB

d V

! !!

!!

! ! ) ! !)(!* *

sau:

$ % $ %

0

1sin

B

T B

d z KBd z KB

d V

!!

!0 1) ? @( / ! ! ) )! ? @2 3* (38.8)

În §22 am arãtat cã raza metacentricã diferenþialã reprezintã raza de curburã a curbei centrelor de plutire, aºa cum raza metacentricã transversalã B M! ! era raza de curburã a curbei centrelor de carenã. Prin analogie, putem scrie:

0

cosF Ty d!

! ( / ! !* (38.9)

0

sinF Tz d d!

! ) ( ! ! !* (38.10)

Introducem (38.9) în (38.7) ºi (38.10) în (38.8) ºi rezultã:


199

$ %1BF B

dyy y

dV V!

! !( ) (38.11)

ºi:

$ % $ % $ %1B

F B

d z KBz z d KB

dV V

!! !

) 0 1( ) ) )2 3 (38.12)

Mai departe, introducem (38.11) ºi (38.12) în (38.6) ºi obþinem:

$ % $ % $ %A B1cos sin

fF B F B

dly y z d z KB

dV V!

! ! ! !0 1( ) !+ ) ) ) !2 3 (38.13)

Þinând cont de forma generalã a braþului stabilitãþii de formã (38.5), putem scrie prin analogie: $ %cos sinF F Fy z d! !C ( ! + ) ! (38.14)

ºi reprezintã distanþa mãsuratã pe direcþia plutirii înclinate cu unghiul ! , dintre centrul acestei plutiri ºi centrul plutirii iniþiale (Fig. 112). Þinând cont de (38.14) ºi (38.5), relaþia (38.13) devine: $ %1f

F f

dll

dV V!

! !( C ) (38.15)

Fig. 112

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

200

Fig. 113 Aceastã relaþie capãtã o semnificaþie geometricã utilizând diagrama de pantocarene (Fig. 113). Pentru un volum de carenã dat V ºi un unghi ! vom obþine punctul A . În punctul A construim tangenta la curba fl ! ºi mãsurãm pe abscisã un segment AC egal

la scarã cu V .

1tg

BCBC

VAC= ( (

Prin urmare: F fBC l! !( C ) .

39. EFECTUL MODIFICÃRII DIMENSIUNILOR PRINCIPALE ALE NAVEI

ASUPRA STABILITÃÞII Considerãm cã nava suferã modificãri în limite mici ale dimensiunilor principale

, ,L B D , fãrã ca formele navei sã fie afectate, ceea ce înseamnã cã nava îºi pãstreazã valorile iniþiale ale coeficienþilor de fineþe ºi ale rapoartelor d

D ºi KG

D. Presupunem, de

asemenea, cã atunci când una din dimensiuni se modificã celelalte rãmân constante. A studia efectul dimensiunilor principale asupra stabilitãþii navei înseamnã a studia efectul asupra a douã elemente: înãlþimea metacentricã transversalã, iniþialã ºi braþul stabilitãþii la unghiuri mari de înclinare. Aspectul matematic Vom porni de la expresia (18.5) a înãlþimii metacentrice transversale iniþiale: GM BM KB KG( + )


201

pe care o diferenþiem ºi gãsim: $ % $ % $ % $ %GM GM GM

GM L B dL B d

D D D. ( . + . + .D D D (39.1)

Prelucrând informaþiile legate de centrul de greutate al navei, centrul de carenã ºi raza metacentricã transversalã, prezentate în capitolele II ºi III, putem scrie relaþiile:

2

1B

BMd

( ; ; 2KB d( ; ; 3KG d( ; (39.2)

de unde se observã independenþa acestor mãrimi în raport cu lungimea navei L . Rezultã:

$ %0

GM

L

D(D (39.3)

Asemãnãtor:

$ % $ % $ % $ %GM BM KB KG

B B B B

D D D D( + )D D D D (39.4)

Din relaþiile (39.2), derivând parþial în raport cu lãþimea navei, obþinem:

$ % $ % $ %12 ; 0 ; 0

BM KB KGB

B d B B

D D D( ; ( (D D D (39.5)

ºi, prin înlocuire în (39.4), rezultã:

$ %1

22

GM B BM

B d B

D( ; (D (39.6)

Asemãnãtor:

$ % $ % $ % $ %GM BM KB KG

d d d d

D D D D( + )D D D D (39.7)

Folosim, de asemenea, relaþiile (39.2) ºi le derivãm parþial în raport cu pescajul d :

$ % 2

1 2

BM B BM

d dd

D( ); ( )D ;

$ %2

KB KB

d d

D( ; (D ;

$ %3

KG KG

d d

D( ; (D (39.8)

Substituind relaþiile (39.8) în (39.7), gãsim:

$ %GM BM KB KG

d d d d

D( ) + )D (39.9)

În final, pentru diferenþiala înãlþimii metacentrice transversale obþinem relaþia: $ % 2

GM B dGM d BM

d B d

. .4 5. ( . + )6 78 9 (39.10)

sau într-o altã formã: $ % $ %2 2

d BGM GM BM BM

d B

. .. ( ) + (39.11)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

202

Particularizãri a) Modificarea lãþimii navei $ %0; 0B d. & . (

Fig. 114 Creºterea lãþimii navei conduce la suplimentarea flotabilitãþii cu volumele 1w ºi 2w situate în borduri (Fig. 114), care va fi compensatã de creºterea greutãþii navei, astfel încât pescajul sã rãmânã constant $ %0d. ( .

În acest caz, relaþia (39.11) se poate scrie:

$ % 2 0B

GM BMB

.. ( : (39.12)

adicã, creºterea lãþimii navei determinã creºterea înãlþimii metacentrice transversale. Atunci când lãþimea navei scade, lucrurile se petrec evident invers. b) Modificarea înãlþimii de construcþie a navei $ %0; 0D B. & . ( .

În acest caz, relaþia (39.11) se scrie:

$ % $ %2d

GM GM BMd

.. ( ) (39.13)

Creºterii înãlþimii de construcþie D i se asociazã o creºtere a pescajului $ %0d d. :

ºi în consecinþã: $ % 0GM. " (39.14)

adicã, creºterea înãlþimii de construcþie determinã scãderea înãlþimii metacentrice transversale. Ne propunem, în continuare, sã studiem influenþa modificãrii dimensiunilor principale ale navei asupra braþului stabilitãþii statice ºi, implicit, asupra caracteristicilor diagramei de stabilitate staticã. Expresia diferenþialei braþului de stabilitate staticã este: s s s

s

l l ll L B D

L B D! ! !

!D D D. ( . + . + .D D D (39.15)

Vom observa, pentru început, cã expresia (31.12) a lui sl ! se poate scrie în forma:


203

$ %cos sins B Bl y z KG! ! !( !+ ) ! (39.16)

Sã calculãm în continuare derivatele parþiale , ,s s sl l l

L B D! ! !D D D

D D D .

Þinând cont cã , ,B By z KG! ! ºi ! care apar în relaþia (39.16) nu depind de L ,

putem scrie:

0sl

L!D (D (39.17)

În continuare, sã derivãm parþial în raport cu B expresia (39.16) a lui sl ! :

$ % $ %cos sin sin cos

Bs BB B

z KGl yy z KG

B B B B B

!! !! !

D )D D D! D!( !) ! + ! + ) !D D D D D!

(39.18)

Este lesne de observat cã Bz ! ºi KG nu depind de lãþimea navei B , deci:

$ %

0Bz KG

B

!D )(D (39.19)

De asemenea, raportul dintre variaþiile By !D ºi BD este egal cu raportul dintre cele douã mãrimi, adicã: B By y

B B! !D (D (39.20)

Cu referire la Fig. 115, observãm cã: tg

h

b! (

Fig. 115 Prin diferenþiere, obþinem:

2 2tg

cos

d db dbh

bb

! ( ) ( ) !!

Pe de altã parte:

db dB

b B(

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

204

ceea ce înseamnã cã:

2tg

cos

d dB

B

! ( ) !!

sau:

sin cos

B B

D! ! !( )D (39.21)

Înlocuind (39.21), (39.20) ºi (39.19) în expresia derivatei braþului stabilitãþii statice în raport cu lãþimea (39.18) gãsim:

$ %2

2sin coscos sin cos

Bs BB

z KGl yy

B B B B

!! !!

)D ! !( ! + ) ! !D (39.22)

sau într-o altã formã: $ % $ %2 2cos 1 sin sin cos

Bs Bz KGl y

B B B

!! ! )D ( ! + ! ) ! !D (39.23)

Sã calculãm derivata parþialã a lui sl ! în raport cu D :

$ %

$ %cos sin sin

cos

z KGl y Bs ByBD D D D

z KGB D

D )D D !D!! !( ! ) ! + ! +!D D D DD!+ ) !! D

(39.24)

Cum ordonata centrului de carenã By ! nu depinde de înãlþimea de construcþie D ,

putem scrie:

0By

D!D (D (39.25)

Odatã cu modificarea lui D se modificã ºi Bz ! ºi KG astfel încât:

$ %BBz KGz KG

D D

!! D )) ( D (39.26)

Pentru a calcula derivata parþialã D

D!D revenim la formula:

tgh

b! (

ºi prin diferenþiere pãstrând .b const( gãsim (Fig. 116):

2tg

cos

d dh dh

b h

! ( ( !! (39.27)

Cum toate dimensiunile pe direcþie verticalã variazã proporþional: dh dD

h D(

ceea ce înseamnã cã relaþia (39.27) devine:

2tg

cos

d dD

D

! ( !!


205

sau mai departe:

sin cos

D D

D! ! !(D (39.28)

Înlocuind toate derivatele parþiale în relaþia (39.24), avem:

$ % $ %2 2sin cos cos sin

sinBs

B B

z KGly z KG

D D D D

!!! !

)D ! ! ! !( ) + ! + )D (39.29)

sau într-o altã formã:

$ % $ %22sin cos

sin 1 cosBs

B

z KGly

D D D

!!!

)D ! !( ) + ! + !D (39.30)

Revenim acum la expresia (39.15) a diferenþialei braþului de stabilitate staticã ºi, dupã înlocuirea derivatelor parþiale (39.17), (39.23) ºi (39.30), se obþine:

$ % $ %

$ % $ %2

2

cos 1 sin sin cos

sin sin cos 1 cos

s B B

B B

Bl y z KG

BD

y z KGD

! ! !

! !

. 0 1. ( ! + ! ) ) ! ! )2 3. 0 1) ! ! ! ) ) + !2 3

(39.31)

Cãutãm în continuare sã dãm o formã cât mai convenabilã expresiei (39.31). Pentru aceasta rescriem braþele stabilitãþii statice ºi dinamice în forma: $ %cos sins B Bl y z KG! ! !( ! + ) ! (39.32)

$ %sin cosd B Bl y z KG BG! ! !( !+ ) ! ) (39.33)

Ecuaþiile (39.32) ºi (39.33) alcãtuiesc un sistem care, rezolvat în raport cu necunoscutele By ! ºi $ %Bz KG! ) , conduce la soluþiile: $ %cos sinB s dy l l BG! ! !( !+ + ! (39.34)

$ %sin cosB s dz KG l l BG! ! !) ( ! ) + ! (39.35)

Substituind (39.34) ºi (39.35) în (39.31), rezultã:

$ %$ %

cos 2 sin cos

sin 2 cos sin

s s d

s d

Bl l l BG

BD

l l BGD

! ! !

! !

.0 1. ( !+ + ! ! +2 3.0 1+ ! ) + ! !2 3

(39.36)

În condiþiile modificãrii simultane a lãþimii ºi înãlþimii de construcþie $ %0 ; 0B. & . &

braþul stabilitãþii statice se modificã corespunzãtor: $ %1s s sl l l! !! ( + . (39.37)

ºi va corespunde unghiului de înclinare transversalã: 1! ( !+ .! . (39.38) Diferenþiala totalã a unghiului ! este:

L B DL B D

D! D! D!.! ( . + . + .D D D (39.39)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

206

Fig. 116

Þinând cont de relaþiile (39.21) ºi (39.28) precum ºi de faptul cã 0L

D! (D , rezultã:

sin cosD B

D B

. .4 5.! ( ! ! )6 78 9 (39.40)

Aspectul fizic În Fig.117 sunt prezentate secþiunile maestre a trei nave care diferã între ele prin valoarea lãþimii B . În condiþiile pãstrãrii aceluiaºi pescaj ºi a mãrimii lãþimii, va exista un supliment de flotabilitate reprezentat prin volumele 1w ºi 2w .

Fig. 117 Dacã 1B este poziþia centrului de carenã pentru nava înclinatã în sens transversal, prin mãrirea lãþimii ºi pãstrarea unghiului de înclinare acesta va ajunge în 2B , deplasarea orizontalã fiind egalã cu c . Valoarea deplasãrii orizontale a centrului de carenã se calculeazã cu formula:


207

2 1

1 2

w b w ac

V w w

)( + + (39.41)

Ca urmare, braþul stabilitãþii statice se va mãri cu cantitatea c ca urmare a creºterii lãþimii navei. Concomitent, dacã suntem riguroºi, se modificã ºi poziþia centrului de greutate al navei datoritã unor greutãþi adiþionale ºi acest lucru va afecta, de asemenea, stabilitatea transversalã. S-a dovedit practic cã acest efect este neglijabil.

Fig. 118 În consecinþã, la creºterea lãþimii navei creºte înãlþimea metacentricã ºi implicit, braþele stabilitãþii la unghiuri mici de înclinare. Panta în origine a curbei sl ! se va mãri; de asemenea, unghiul la care puntea intrã în apã se micºoreazã ºi, ca urmare, maximul de pe curba sl ! se deplaseazã spre unghiuri mai mici, având ºi o valoare mai mare. În Fig.118 sunt prezentate cele trei variante ale curbei de stabilitate staticã.

Fig. 119 În Fig. 119 sunt prezentate secþiunile maestre a trei nave care diferã între ele prin valoarea înãlþimii de construcþie D . Mãrimea înãlþimii de construcþie D ºi implicit a

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

208

bordului liber F conduc la creºterea deplasamentului navei ºi la mãrirea cotei centrului de greutate. Centrul de carenã se deplaseazã pe direcþia orizontalã cu valoarea: 2 1

1 2

w b w ac

V w w

)( + + (39.42)

Fig. 120 Când D creºte, înãlþimea metacentricã se micºoreazã, pe de o parte, datoritã creºterii volumului carenei, deci KM scade ºi, pe de altã parte, datoritã faptului cã KG creºte. Unghiul de intrare al punþii în apã se mãreºte, ceea ce înseamnã cã maximul curbei sl ! se deplaseazã spre unghiuri mai mari. În ceea ce priveºte braþul stabilitãþii statice sl ! efectul este de descreºtere pânã la unghiul de intrare în apã a punþii iniþiale,

urmat de o creºtere peste acest unghi, datoritã faptului cã efectul pozitiv al deplasãrii centrului de carenã este mai mare decât efectul negativ al ridicãrii centrului de greutate. În Fig.120 sunt prezentate cele trei variante ale curbei de stabilitate staticã.

40. CALCULUL PRACTIC AL STABILITÃÞII LA UNGHIURI MARI DE ÎNCLINARE UTILIZÂND METODA IZOCARENELOR

Pentru a calcula braþul stabilitãþii statice la unghiuri mari de înclinare cu formula (31.12), este necesarã determinarea razei metacentrice transversale r! , la diferite

înclinãri de la 0 90# #la . Literatura în domeniu prezintã un numãr relativ mare de metode de calcul a stabilitãþii la unghiuri mari de înclinare. În continuare, vom prezenta una din aceste metode, "metoda izocarenelor" în douã variante. Aceastã metodã presupune folosirea în primã fazã a unei plutiri ajutãtoare, urmatã de determinarea distanþei dintre plutirea ajutãtoare ºi plutirea izocarenã, trasarea plutirii izocarene ºi efectuarea calculelor.


209

Varianta I Potrivit acestei variante, în plan transversal toate plutirile ajutãtoare trec prin punctul de intersecþie al plutirii iniþiale WL cu urma planului diametral. În Fig.121 sunt prezentate plutirile auxiliare 1 1 2 2' ' , ' 'W L W L . Trebuie remarcat cã oricare douã plutiri consecutive sunt înclinate una faþã de cealaltã cu unghiul ,! care se adoptã în funcþie de tipul de navã ºi de precizia doritã între 3# ºi 15# .

Fig. 121 Dupã trasarea plutirii ajutãtoare, se calculeazã volumele ongleþilor, imers $ %1v ºi emers $ %2v . În general, aceste volume nu sunt egale, plutirea realã izocarenã putând fi situatã deasupra sau sub plutirea ajutãtoare, paralelã cu aceasta la distanþa E care se calculeazã cu relaþia: 1 2

WL

v v

A

)E ( (40.1)

Atunci când plutirea este înclinatã cu unghiul elementar d! , ceilalþi parametri ai plutirii, d ºi ' , rãmânând constanþi, volumul carenei îºi schimbã valoarea cu cantitatea: WL F xdV A y d M d( ! ( ! (40.2) Rezultã cã atunci când plutirea este înclinatã transversal cu unghiul ! variaþia volumului carenei va fi:

1 2

0

xv v M d!

) ( !* (40.3)

În relaþiile de mai sus, xM este momentul static al plutirii înclinate în raport cu axa de rotaþie, iar Fy este distanþa de la centrul plutirii la aceastã axã. Momentul static xM se mai poate exprima cu relaþia:

$ %22 2

2

1

2

L

x

L

M a b dx

)

( )* (40.4)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

210

iar aria plutirii cu formula:

$ %2

2

L

WL

L

A a b dx

)

( +* (40.5)

În consecinþã, putem scrie:

$ %

$ %

22 2

02

2

2

1

2

L

L

L

L

a b dx d

a b dx

!

)

)

) !

E (

+

* *

* (40.6)

Pentru a evalua integralele care apar în relaþia (40.6) se va folosi o metodã numericã de integrare. Deoarece lucrul cu transversalul planului de forme este laborios datoritã numãrului mare de cuple, se va adopta metoda de integrare Cebâºev. Folosirea acestei metode duce la o precizie bunã a rezultatelor folosind un numãr mai redus de secþiuni de integrare; recomandabil între 7 ºi 10 (vezi §9). Aplicând formula (9.18) pentru calculul integralelor care apar la numãrãtorul ºi numitorul relaþiei (40.6) rezultã:

$ %$ %

2 2

01

2

a b d

a b

!) !

E ( +

F*F (40.7)

Se poate dezvolta un calcul tabelar pentru aflarea lui E , considerând ºapte (7) secþiuni Cebâºev de integrare. Pentru fiecare plutire ajutãtoare se va întocmi un tabel de forma urmãtoare:


211

Cu valorile $ %a b+F ºi $ %2 2a b)F calculate pentru fiecare plutire ajutãtoare se intrã în tab. 8 ºi se calculeazã E . Cu referire la tabelul 8, precizãm cã am acceptat

10,! ( # .

Dacã 0E : , volumul ongletului imers este mai mare decât volumul ongletului emers $ %1 2v v: ºi plutirea izocarenã va fi situatã sub plutirea ajutãtoare, iar dacã 0E "

volumul ongletului imers este mai mic decât volumul ongletului $ %1 2v v" ºi plutirea izocarenã va fi situatã deasupra plutirii ajutãtoare. În continuare, vom calcula razele metacentrice transversale pentru fiecare plutire izocarenã.

Cupla Cebâºev a b 2a 2b

3 3a 3b 23a 2

3b

2

1

0 0a 0b 20a 2

0b

1'

2'

3' 3'a 3'b 23'a 2

3'b

F $ %a b+F $ %2 2a b)F

Plutirea ' 'i iW L Tabelul. 7

! $ %2 2a b)F

intF $ %2 2

0

1 (3)

2 2 2a b d

! ,!) ! (F* $ %a b+F

(4)

(5)E (

1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Tabelul. 8

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

212

Pentru aceasta, este necesarã mãsurarea ordonatelor a ºi b pe plutirile reale. Punctele faþã de care se mãsoarã aceste ordonate iE , sunt picioarele perpendiculare duse din punctul A pe plutirea realã i iW L (Fig.122).

Fig. 122 Mãsurând aceste ordonate, putem calcula momentele de inerþie ale plutirilor xiI în raport cu axele longitudinale care trec prin iE , cu formula:

$ %23 3

2

1

3

L

x

L

I a b dx( +* (40.8)

Momentul de inerþie al plutirilor în raport cu axele longitudinale care trec prin centrele de greutate ale plutirilor iF se calculeazã utilizând formula: 2

xF x WL FI I A y( ) (40.9) Corespunzãtor, razele metacentrice transversale se calculeazã cu relaþia:

xFIr

V( (4.10)

iar aria plutirii, utilizând relaþia:

$ %2

2

L

WL

L

A a b dx

)

( +* (40.11)

Aplicând metoda Cebâºev de integrare numericã, integralele de mai sus se calculeazã cu formulele: $ %3 3

3xL

I a b,( +F (40.12)

$ %WLA L a b( , +F (40.13)


213

$ %$ %

2 21

2F

a by

a b

)( +FF (40.14)

Aceste calcule pot fi efectuate tabelar pentru fiecare plutire înclinatã, fiind necesar un tabel de tipul urmãtor.

Varianta a-II-a În cazul celei de-a doua variante a metodei izocarenelor, fiecare plutire ajutãtoare se traseazã prin centrul plutirii reale precedente. Se pleacã de la plutirea iniþialã WL ºi prin centrul sãu F se traseazã plutirea ajutãtoare ' '

1 1W L înclinatã cu unghiul ,! (Fig.123).

Fig. 123

Cupla Cebâºev a b 2a 2b 3a 3b

3 3a 3b 23a 2

3b 33a 3

3b

2

1

0 0a 0b 20a 2

0b 30a 3

0b

1'

2'

3' 3'a 3'b 23'a 2

3'b 33'a 3

3'b

F $ %a b+F $ %2 2a b)F $ %3 3a b+F

Tabelul .9

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

214

Pe aceastã plutire se mãsoarã ordonatele a ºi b , iar mai apoi se calculeazã momentul static faþã de axa longitudinalã de înclinare Fx , distanþa 1E pânã la plutirea realã 1 1W L ºi poziþia centrului plutirii 1F . Ulterior, se construieºte plutirea ajutãtoare

' '2 2W L înclinatã cu unghiul ,! faþã de 1 1W L ºi algoritmul se repetã de câteva ori pentru a

obþine valorile r! .

În contrast cu varianta I, aceastã a doua variantã este mult simplificatã pentru cã necesitã un numãr mai redus de calcule. Calculul mãrimilor 1i+E se face dupã fiecare rotire a plutirii utilizând relaþia:

1

11

i

ii

i xWL

M dA

+!

+!

E ( !* (40.15)

unde: 1i i+! )! ( ,! Aplicând metoda trapezelor pentru calculul integralei din formula (40.15), rezultã: $ %1

12

i

i i

i

x x xM d M M+

+

!

!

,!! ( +* (40.16)

În aceste condiþii, pentru 1E putem scrie:

$ %0 1

1

1 2 x xWL

M MA

,!E ( + (40.17)

Cum plutirea iniþialã este simetricã faþã de axa de înclinare ºi centrul plutirii F este situat pe aceastã axã,

00xM ( . Prin înlocuire în (40.17), obþinem:

1

1

1 2x

WL

M

A

,!E ( (40.18)

Aici 1x

M este momentul static al plutirii ajutãtoare ' '1 1W L în raport cu axa de înclinare în

timp ce ordonata lui 1F se calculeazã cu formula:

1

1

1

xF

WL

My

A( (40.19)

Se poate rescrie relaþia (40.18) în forma: 1

1 2FyE ( ,! (40.20)

ceea ce ne sugereazã o metodã graficã de construcþie a plutirii reale 1 1W L , ca în Fig.124, folosindu-se faptul cã pentru unghiuri mici $ %tg ,! G ,! . Prin 1F se construieºte plutirea ajutãtoare ' '

2 2W L ºi algoritmul se repetã.


215

Fig. 124 Aceastã metodã grafo-analiticã poartã numele de "metoda Krâlov-Dargnier" ºi este cea mai des utilizatã pentru calculul razelor metacentrice r! . Din acest considerat,

vom prezenta în continuare detaliat, etapele care trebuie parcurse pentru aplicarea ei. Precizãm cã, pentru uºurinþã, se aplicã metoda Cebâºev cu un numãr de secþiuni între 7 ºi 12. a) Construcþia transversalului de lucru b) Construcþia plutirilor izocarene înclinate ºi calculul razelor metacentrice r!

c) Calculul mãrimilor caracteristice ale stabilitãþii d) Trasarea diagramelor de stabilitate staticã ºi dinamicã. a) Construcþia transversalului de lucru Pentru poziþionarea cuplelor Cebâºev în orizontalul planului de forme, se utilizeazã coeficienþii care se gãsesc în capitolul "Calculul practic de carene drepte. Metode numerice". Spre exemplu, dacã se lucreazã cu 7 secþiuni de integrare, cupla 0 Cebâºev este situatã la jumãtatea lungimii plutirii. Faþã de aceastã cuplã, consideratã ca origine, se mãsoarã abscisele celorlalte 6 cuple Cebâºev. Valorile acestor abscise se determinã cu formulele:

2WL

i iL

x k( (40.21)

unde A B±0,3239, ±0,5297, ±0,8839ik H .

Forma cuplelor Cebâºev se extrage din orizontalul planului de forme, iar înãlþimea cuplei ºi forma liniei punþii din longitudinalul planului de forme; Se vor folosi tipuri diferite de linii pentru cuplele din prova în comparaþie cu cele din pupa; Atunci când cuplele sunt situate în dreptul unor suprastructuri etanºe la mare (teugã, dunetã, rufuri), se vor figura ºi acestea.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

216

b) Construcþia plutirilor izocarene înclinate ºi calculul razelor metacentrice r!

Fig. 125 Algoritmul de lucru pentru trasarea plutirilor reale pornind de la plutirile ajutãtoare a fost prezentat anterior plecând de la plutirea dreaptã $ %0WL ! ( # . În continuare, vom sistematiza aceste etape considerând cazul general. Cu referire la Fig. 125 considerãm trasatã plutirea realã 1 1i iW L) ) poziþia centrului acestei plutiri 1iF ) . Se vor parcurge urmãtorii paºi (Fig. 125): - Se construieºte prin 1iF ) plutirea ajutãtoare ' '

i iW L înclinatã cu unghiul ,! faþã de plutirea realã 1 1i iW L) ) . Unghiul ,! se adoptã în funcþie de tipul de navã ºi de precizia de calcul doritã între 3# ºi 15# . - Se extrag ordonatele cuplelor Cebâºev mãsurate pe plutirea ajutãtoare de la

1iF ) ; înspre Tb (notate cu a ) ºi înspre Bb (notate cu b ). - Se întocmeºte urmãtorul tabel:

Cupla Cebâºev

a b 2a

2b 3a

3b

3

2

1

0

1'

2'

3'

F $ %a b+F

$ %2 2a b)F

$ %3 3a b+F

Tabelul 10


217

- Pe baza acestui tabel se fac urmãtoarele calcule:

$ %$ %

2 2

2i

a b

a b

),!E ( +FF ; I Jradiani,! (40.22)

$ %$ %

2 21

2iF

a by

a b

)( +FF (40.23)

$ %i

cWL

LA a b

n

,( +F (40.24)

unde ;WLc

LL n

n, ( ( numãrul de cuple Cebâºev, care în acest exemplu este egal cu 7;

$ %3 3 2

3i i i

cx F WL

LI a b y A

,( + )F (40.25)

ixi

Ir

V( (40.26)

Datoritã valorilor E relativ mici, calculul se efectueazã cu ordonatele a ºi b extrase pe plutirea ajutãtoare, considerând cã diferenþele faþã de plutirea realã sunt suficient de mici. c) Calculul mãrimilor caracteristice ale stabilitãþii Parcurgând etapa precedentã, s-au determinat razele metacentrice r! pentru

diferite unghiuri de înclinare transversalã. Cunoscând aceste raze se vor putea calcula: - coordonatele centrului de carenã, cu formulele descoperite în §30:

0

cosBy r d!

! !( ! !*

0

sinBz KB r d!

! !) ( ! !*

- coordonatele metacentrului transversal (§30): sinm By y r! ! !( ) ! cosm Bz z r! ! !( + !

- braþul stabilitãþii de formã ºi momentul stabilitãþii de formã (§31): $ %cos sinf B Bl y z KB! ! !( !+ ) !

f fM g V l! !( /

- braþul stabilitãþii statice ºi momentul de stabilitate (§31): sins fl l BG! !( ) !

s sM g l! !( ,

- braþul stabilitãþii dinamice ºi lucrul mecanic al momentului de stabilitate (§33):

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

218

0

d s

s d

l l d

L g l

!

! !

! !

( !

( ,*

Întrucât funcþia r! este datã prin puncte, pentru calculul integralelor se va folosi o metodã numericã de integrare, spre exemplu metoda trapezelor. Calculele pot fi sistematizate în urmãtorul tabel.

d) Trasarea diagramelor de stabilitate staticã ºi dinamicã

my ! mz KB! ) fl ! sl ! intF dl ! sM ! sL ! !

11 12 13 14 15 16 17 18 19

$ % $ %9 5) $ % $ %10 7+ $ % $ % $ % $ %109 4 3K + K $ % $ %13 3BG) K $ %14F $ %152,! $ %14g, K $ %16g, K -

0 0# 10# 20# 30# 40# 50# 60# 70# 80# 90#

Continuare Tabelul. 11

Tabelul. 11 ! r! sin! cos! sinr! ! intF cosr! ! intF By ! Bz KB! )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

- - - - $ % $ %2 3K $ %5F $ % $ %2 4K $ %7F $ %82,!

$ %62,!

0# 0 0

10#

20#

30#

40#

50#

60#

70#

80#

90#


219

Odatã efectuate calculele din tabelul 11, se vor trasa diagramele de stabilitate staticã ºi dinamicã (Fig. 126 ºi Fig. 127).

Fig. 126 Fig. 127 Pe diagrama stabilitãþii statice (Fig. 126) se vor pune în evidenþã unghiul de maxim max! , unghiul de apus a! precum ºi valoarea maximã a braþului stabilitãþii statice maxsl . Valorile acestor mãrimi se vor compara cu valorile minime impuse de societatea de clasificare. 41. NORMAREA STABILITÃÞII. CONCEPTUL GLOBAL DE SIGURANÞÃ

A NAVEI Aºa cum am arãtat în §18, pentru evaluarea stabilitãþii iniþiale a unei nave este necesarã cunoaºterea înãlþimii metacentrice transversale GM . Dacã admitem cã braþul stabilitãþii transversale are forma unei sinusoide, adicã sinsl GM! ( ! , atunci ºi stabilitatea la unghiuri mari de înclinare poate fi evaluatã pornind de la valoarea lui GM . Pentru navele cu bord liber mare, aceasta este o mãsurã de siguranþã, întrucât se subevalueazã stabilitatea. Pentru navele cu bord liber mic, procedând ca mai sus, stabilitatea va fi supraevaluatã, ceea ce practic este inacceptabil. Ca urmare, diagrama stabilitãþii statice peste care suprapunem variaþia momentului exterior de înclinare, ne poate oferi date importante pentru a aprecia comportarea navei din punct de vedere al stabilitãþii la acþiunea forþelor ºi momentelor externe perturbatoare (Fig. 128).

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

220

Fig. 128 Elementele caracteristice ale acestor curbe sunt urmãtoarele: (a) Unghiul la care nava se înclinã sub acþiunea staticã a momentului exterior de înclinare (punctul A din Fig. 128) (b) Unghiul limitã la care se realizeazã condiþia de echilibru static (punctul B din Fig.128) (c) Valoare maximã a momentului exterior de înclinare comparativ cu valoarea maximã a momentului de stabilitate. Unghiul static de înclinare transversalã corespunzãtor punctului A , din figura de mai jos, este important din douã puncte de vedere: primul, pentru cã afecteazã viaþa personalului de la bord ºi condiþiile de operare ale navei ºi, al doilea, este legat de faptul cã acest unghi trebuie comparat cu cel la care se inundã puntea ºi care ar avea ca efect ambarcarea de apã pe punte deci, compromiterea stabilitãþii. Stabilirea criteriilor de stabilitate pentru navele comerciale a fost ºi reprezintã în continuare un proces laborios, datoritã varietãþii formelor geometrice ale navelor, condiþiilor de încãrcare ºi, nu în ultimul rând, datoritã tendinþei abandonãrii progresive a formelor convenþionale ºi a deschiderii spre tipologii ºi sisteme noi de transport. Criteriile de stabilitate au în vedere atât stabilitatea staticã a unei nave, cât ºi cea dinamicã. Recomandãrile Organizaþiei Maritime Internaþionale (I.M.O.) privitoare la stabilitatea navelor cargo ºi pasagere cu lungimea mai micã de 100m pot fi rezumate dupã cum urmeazã: (a) aria cuprinsã sub braþul stabilitãþii statice pânã la 30! ( # nu trebuie sã fie mai micã decât 0,055m radianiK ; (b) aria cuprinsã sub braþul stabilitãþii statice pânã la 40! ( # nu trebuie sã fie mai micã decât 0,09m radianiK ; (c) aria cuprinsã sub braþul stabilitãþii statice de la 30! ( # pânã la 40! ( # nu trebuie sã fie mai micã decât 0,03m radianiK ;


221

(d) braþul stabilitãþii statice trebuie sã aibã o valoare minimã de 0,2 m la 30! ( # ; (e) valoarea maximã a braþului de stabilitate staticã trebuie sã aparã la un unghi mai mare decât $ %max30 30# ! : # ;

(f) valoarea înãlþimii metacentrice transversale GM trebuie sã aibã o valoare minimã de 0,15 m (0,35 m pentru navele de pescuit). Suplimentar, pentru navele de pasageri trebuie respectate condiþiile: (a) unghiul de înclinare la adunarea pasagerilor într-un singur bord în timp mai îndelungat, nu trebuie sã fie mai mare de 10# ; (b) unghiul de înclinare la acþiunea staticã a momentului exterior dat de relaþia:

2

0,022e

v dM KG

L4 5( , )6 78 9 (41.1)

nu trebuie sã fie mai mare de 10# ; unde v este viteza navei. Formula (41.1) este formula momentului exterior produs de giraþia navei. Registrul Naval Român (R.N.R.) în partea A-IV- Stabilitate prevede: (a) braþul maxim al diagramei de stabilitate staticã al navelor cu 80mL < trebuie sã fie de cel puþin 0,25 m, iar la navele cu 105mL > de cel puþin 0,2 m, la unghiul de înclinare max 30! > # . Pentru lungimi intermediare, mãrimea braþului maxim al diagramei de stabilitate se determinã prin interpolare liniarã. Limita stabilitãþii statice pozitive (apunerea diagramei) trebuie sã fie la cel puþin 60# . Dacã diagrama are douã maxime, ca urmare a influenþei suprastructurilor sau a rufurilor, trebuie ca primul maxim, pornind de la poziþia dreaptã a navei sã aibã loc la o înclinare de cel puþin 25# ; (b) înãlþimea metacentricã iniþialã, corectatã, în toate variantele de încãrcare, cu excepþia navelor cu lungime mai micã de 20 m, navelor pentru cherestea, navelor de pescuit, navelor cu încãrcare-descãrcare pe orizontalã ºi portcontainere pentru variantele de încãrcare cu containere, nu trebuie sã fie mai micã de 0,15 m. Ca o condiþie suplimentarã de stabilitate, pentru navele de pasageri se prevede: (a) stabilitatea iniþialã a navelor trebuie sã fie astfel încât în cazul aglomerãrii efectiv posibile a pasagerilor, într-un singur bord ºi cât mai aproape de parapet, unghiul de înclinare staticã sã nu fie mai mare decât unghiul la care puntea etanºã, expusã intrã în apã sau la care gurma iese din apã ºi anume unghiul care va fi mai mic; în orice caz, unghiul de înclinare staticã nu trebuie sã depãºeascã 10# ; (b) momentul de înclinare produs de giraþie se va determina cu formula:

I J2

0, 242

KN mge

v dM KG

L

, 4 5( ) K6 78 9 (41.2)

în care: , - deplasamentul navei (t); gv - viteza la intrarea navei în giraþie, egalã cu 80% din viteza maximã (m/s); KG - cota centrului de greutate al navei faþã de linia de bazã (m); d - pescajul corespunzãtor deplasamentului , , (m).

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

222

Navigaþia în condiþii extreme de mediu poate afecta atât structura de rezistenþã a navei (deformãri locale ale corpului, suprasolicitarea postamentelor sub acþiunea forþelor de inerþie, excesive sau chiar ruperea corpului), cât ºi ansamblul calitãþilor nautice ale navei (micºorarea performanþelor de propulsie, stabilitate transversalã, seakeeping etc.) putând culmina cu rãsturnarea ºi/sau scufundarea navei. Evident cã în acest context, existã o interdependenþã între integritatea structuralã ºi siguranþa hidrodinamicã care stã la baza "conceptului global de siguranþã a navei" ºi, implicit, a "performanþei de siguranþã". Pentru a realiza acest deziderat este absolut necesarã modificarea "filozofiei" de proiectare a navelor. Tendinþa actualã constã în abandonarea progresivã a normelor de registru presupuse în mod formal ca fiind "sigure" ºi utilizarea procedeelor probabilistice pentru determinarea performanþelor de siguranþã structurale ºi hidrodinamice. Rezultatele unei astfel de analize vor permite evaluarea nivelului de risc corespunzãtor situaþiilor de încãrcare ºi condiþiilor de mediu avute în vedere. În concluzie, analiza riscurilor reprezintã elementul central al conceptului global de siguranþã a navei, analizã efectuatã asupra integritãþii structurale ºi calitãþilor hidrodinamice ale corpului navei ºi care conduce la stabilirea factorilor de risc, evaluarea lor ºi a consecinþelor acestora. Luarea în considerare a stabilitãþii transversale în studiul siguranþei navei nu este întâmplãtoare, întrucât s-a constatat cã adoptarea unei rezerve insuficiente de stabilitate în faza de proiectare, corelatã cu o combinaþie nefavorabilã a factorilor de mediu, reprezintã factorul de risc cel mai periculos pentru pierderea navelor ºi a oamenilor de la bord.


223

PROBLEME REZOLVATE Problema 1 La o navã cu deplasamentul de 32000 t se cunosc braþele stabilitãþii statice dupã cum urmeazã:

I J! # 0 10 20 30 40

I Jsl m! 0,00 0,09 0,19 0,29 0,32 Nava are pescajul 11d m( , suprafaþa velicã 23800VA m( , iar cota centrului velic deasupra liniei plutirii este 6VZ m( . Sã se calculeze înclinarea transversalã a navei la acþiunea de la travers a vântului în douã situaþii: a) - acþiunea staticã; b) - acþiunea dinamicã. Presiunea maximã a vântului se considerã 2750 /vp N m( . Rezolvare: a) Acþiunea staticã Momentul de înclinare dat de vânt se calculeazã cu relaþia: 11

750 3800 6 327752 2vs v V Vd

M p A Z KN m4 5 4 5( + ( K + ( K6 7 6 78 9 8 9

Nava se va înclina transversal pânã când va fi realizatã condiþia de echilibru static: s vsM M! (

Problema se va rezolva tabelar, calculând valoarea momentului de înclinare rezultat care acþioneazã static, adicã r vs sM M M !( ) .

! sl ! s sM g l! !( , vsM r vs sM M M !( )

(1) (2) (3)= g , (2) (4) (5)=(4)-(3) 0 0 0 32775 32775

10 0,09 28252,8 32775 4522,2 20 0,19 59644,8 32775 -26869,8 30 0,29 91036,8 32775 -58261,8 40 0,32 100454,4 32775 -67679,4

Nava se va înclina static pânã când 0rM ( , adicã la unghiul: 11, 44s! ( # .

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

224

b) Acþiunea dinamicã Momentul de înclinare dat de vânt la acþiunea dinamicã este: 750 3800 6 17100v v V VM p A Z KN m( ( K K ( K Nava se va înclina pânã la unghiul d! pentru care se realizeazã egalitatea:

0

d

s v dM d M

!

! ! ( !*

unde: 0

d

s sL M d

!

! !( !* este lucrul mecanic al momentului de stabilitate, iar v dM ! este

lucrul mecanic al momentului de înclinare datorat acþiunii vântului. Calculul se realizeazã tabelar:

! sM ! intF int2dL !,!( F vM ! v sM L !!)

(1) (2) (3)= intF (2)

(4)=0,087 (3)

(5) (6)=(5)-(4) 0 0 0 0 0 0

10 28252,8 28252,8 2457,99 2984,51 526,52 20 59644,8 116150,4 10105,08 5969,02 -4136,06 30 91036,8 266832 23214,38 8953,53 -1426,08 40 100454,4 458323,2 39874,12 11938,04 -

Nava se va înclina dinamic pânã când 0v sM L !! ) ( , adicã la unghiul: 11, 2d! ( #

Problema 2 O navã cu deplasamentul de 15000 t are cota centrului de greutate 7KG m( . Marfa este redistribuitã la bord astfel încât cota centrului de greutate creºte cu 0, 25 m . Valorile braþului de stabilitate sl ! în momentul iniþial sunt:

I J! # 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

I Jsl m! 0,00 0,27 0,60 1,00 1,14 1,05 0,77 0,35 -0,1 -0,58 Sã se calculeze pentru condiþiile iniþiale ºi finale: a) înãlþimile metacentrice; b) stabilitatea dinamicã la unghiul de înclinare transversalã 40! ( # .


225

Rezolvare:

Este cunoscut cã 00

tgsdlGM

d!

!(( ( ;! . Pe de altã parte, se poate face aproximaþia

cã tangenta în origine la curba sl ! se confundã cu aceastã curbã pentru 10! < # . Prin

urmare, putem scrie:

10 100

18 18 0, 27tg 1,55

10

180

s sl lGM m

K K( ; ( ( ( (LK L L

Datoritã redistribuirii mãrfii, centrul de greutate se deplaseazã vertical, în sus cu $ % 0, 25KG m. ( ºi ca urmare, înãlþimea metacentricã se va micºora cu aceeaºi valoare:

$ %1 1,55 0, 25 1,30G M GM KG m( ) . ( ) (

Calculul stabilitãþii dinamice pentru situaþia iniþialã se face tabelar:

! sl ! intF int2dl !,!( F s dL g l! !( ,

(1) (2) (3)= intF (2)

(4)=0,087 (3)

(5)= g , (4)

0 0 0 0 0 10 0,27 0,27 0,023 3384,45 20 0,60 1,14 0,099 14567,85 30 1,00 2,74 0,238 35021,7 40 1,14 4,88 0,424 62391,6

În situaþia iniþialã, la o înclinare transversalã 40! ( # , stabilitatea dinamicã este:

62391,6sL KN m! ( K

Pentru calculul stabilitãþii dinamice, finale trebuie mai întâi calculatã diagrama stabilitãþii statice în aceastã situaþie, þinând cont de deplasarea centrului de greutate al navei. Calculul se va executa, de asemenea, tabelar:

! sl ! sin! $ %sinKG. ! $ %1 sins sl l KG! !( ) . ! intF 1 int2dl !,!( F 1 1s dL g l! !( ,

(1) (2) (3) (4)=0,25 (3)

(5)=(2)-(4) (6)= intF (5)

(7)=0,087 (6) (8)= g , (7)

0 0 0 0 0 0 0 0 10 0,27 0,173 0,043 0,227 0,227 0,019 2795,85 20 0,60 0,342 0,085 0,515 0,969 0,084 12360,6 30 1,00 0,5 0,125 0,875 2,359 0,205 30165,75 40 1,14 0,642 0,160 0,98 4,214 0,366 53856,9 În situaþia finalã, la o înclinare transversalã 40! ( # , stabilitatea dinamicã este:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

226

1 53856,9sL KN m! ( K

Problema 3 O navã cu deplasamentul de 12000 t are 7,64KG m( . Valorile braþelor stabilitãþii statice sunt:

I J! # 0 10 20 30 40 50 60 70

I Jsl m! 0,00 0,19 0,50 0,94 1,16 1,03 0,60 0,06 Marfa se redistribuie la bordul navei astfel încât are loc o deplasare lateralã a centrului de greutate cu distanþa 0,13Gy m Tb. ( . Sã se calculeze înclinarea transversalã a navei ºi stabilitatea dinamicã la unghiul de înclinare 30! ( # . Rezolvare: - Se corecteazã braþele stabilitãþii statice datoritã deplasãrii laterale a centrului de greutate. - Se determinã 0! ºi sL ! , calculele efectuându-se tabelar.

! sl ! cos! cosGy. ! 1 coss s Gl l y! !( ) . ! intF 1 int2dl !,!( F

1 1s dL g l! !( ,

(1) (2) (3) (4)=0,13 (3)

(5)=(2)-(4) (6)= intF(5)

(7)=0,087 (6)

(8)= g , (7)

0 0 1 0,13 -0,13 0 0 0 10 0,19 0,984 0,128 0,062 -0,068 -0,006 -706,32 20 0,50 0,939 0,122 0,378 0,372 0,0323 3802,35 30 0,94 0,866 0,112 0,828 1,578 0,1372 16151,18

Stabilitatea dinamicã la 30# este egalã cu 16151,8sL KN m! ( K

Pentru determinarea unghiului de înclinare transversalã a navei se va proceda la interpolarea liniarã între 0! ( # ºi 10! ( # , obþinându-se: 0 6,77 Tb! ( #


227

Problema 4 La o navã se cunosc: 30000 ; 8t KG m, ( ( ºi sl ! sub formã tabelarã:

I J! # 0 10 20 30 40 50 60

I Jsl m! 0,00 0,7 1,51 2,10 2,08 1,90 1,60 Sã se calculeze stabilitatea dinamicã corespunzãtoare unui unghi de înclinare transversalã 40! ( # în douã situaþii: a) pentru situaþia iniþialã: b) atunci când faþã de situaþia iniþialã centrului de greutate al navei are cota

1 8,5KG m( , datoritã unor deplasãri de mase la bord. Rezolvare: a) Pentru primul caz, se calculeazã tabelul: 8KG m(

! sl ! intF int2dl !,!( F s dL g l! !( ,

(1) (2) (3)= intF (2)

(4)=0,087 (3)

(5)= g , (4)

0 0 0 0 0 10 0,7 0,7 0,06 17658 20 1,51 2,91 0,253 74457,9 30 2,10 6,52 0,567 166868,1 40 2,08 10,7 0,931 273993,3

273993,3sL KN m! ( K b) În al doilea caz, va trebui mai întâi corectatã diagrama stabilitãþii statice, datoritã deplasãrii centrului de greutate pe verticalã, în sus cu distanþa $ % 0,5KG m. ( .

1 8,5KG m( ; $ % 0,5KG m. (

! sl ! sin! $ %sinKG. ! $ %1 sins sl l KG! !( ) . ! intF 1 int2dl !,!( F

1 1s dL g l! !( ,

(1) (2) (3) (4)=0,5 (3)

(5)=(2)-(4) (6)= intF(5)

(7)=0,087 (6)

(8)= g , (7)

0 0 0 0 0 0 0 0 10 0,7 0,173 0,087 0,613 0,613 0,053 15597,9 20 1,5 0,342 0,171 1,339 2,565 0,223 65628,9 30 2,1 0,5 0,25 1,85 5,754 0,5 147150 40 2,0 0,642 0,321 1,759 9,363 0,814 239560,2

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

228

1 239560, 2sL KN m! ( K

Problema 5 Pentru o navã se cunosc: 24000 ; 8,50t KG m, ( ( . Ca o consecinþã a unor deplasãri de mase la bord, centrul de greutate al navei se deplaseazã lateral tribord cu

0,5Gy m. ( . Înainte de a avea loc deplasãrile de mase la bord, braþul stabilitãþii statice era:

I J! # 0 10 20 30 40 50 60

I Jsl m! 0,00 1,71 2,46 2,55 1,92 1,05 0,46 Sã se calculeze braþele stabilitãþii statice ºi stabilitatea dinamicã la unghiul de înclinare transversalã 30! ( # , la final, precum ºi unghiul de înclinare 0! . Rezolvare: Pentru calculul braþelor sl ! , dupã ce centrul de greutate al navei s-a deplasat

lateral tribord cu distanþa 0,5Gy m. ( , se întocmeºte tabelul:

! sl ! cos! cosGy. ! 1 coss s Gl l y! !( ) . ! intF int2dl !,!( F s dL g l! !( ,

0 0 1 0,5 -0,5 0 0 0 10 1,71 0,984 0,492 1,218 0,718 0,062 14597,28 20 2,46 0,939 0,469 1,991 3,927 0,341 80285,04 30 2,55 0,866 0,433 2,117 8,035 0,699 164572,56

0164572,56 ; 2,91sL KN m Tb! ( K ! ( #

42. EªUAREA NAVEI Se considerã o navã care eºueazã (aºezarea cu un punct al fundului pe sol), Fig. 129 ºi Fig. 130. Înainte de eºuare, nava avea pescajele pvd ºi ppd , nefiind înclinatã transversal. Se mai cunosc urmãtoarele date iniþiale: deplasamentul ! , înãlþimile metacentrice transversalã ºi longitudinalã GM ºi LGM , abscisa centrului plutirii Fx ºi aria plutirii WLA . Dupã eºuare, pescajele la extremitãþi sunt 1 1,pv ppd d ºi nava este

înclinatã transversal cu unghiul 1" , considerat în categoria unghiurilor mici. Presupunem cã în zona plutirii nava are borduri verticale. Ne punem problema determinãrii forþei de reacþiune a solului R ºi a coordonatelor punctului de aplicaþie.

Fig. 129 Variaþia pescajului mediu datorat acþiunii forþei R se va calcula cu relaþia:

# $ # $1 1 1

1

2m m m pv pp pv ppd d d d d d d% &' ( ) ( * ) *+ , (42.1)

Este evident cã variaþia pescajului va fi negativã, deficitul de flotabilitate fiind compensat de reacþiunea solului, adicã: WL mR g A d( - ' (42.2)

Formula (42.2) conduce la calculul lui R cu o eroare acceptabilã. Un calcul mai exact presupune determinarea volumelor de camerã V ºi 1V corespunzãtoare plutirilor WL ºi

1 1W L , utilizând diagrama Bonjean.

CAPITOLUL V. PROBLEME LEGATE DE APLICAREA PRACTICÃ A STUDIULUI FLOTABILITÃÞII ªI

STABILITÃÞII NAVEI

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

230

Studiul consecinþelor eºuãrii poate fi efectuat în continuare considerând cã de la bord s-

a debarcat masa R

g, al cãrei centru de greutate este în punctul # $, , 0A x y .

Noile înãlþimi metacentrice transversalã ºi longitudinalã se vor calcula cu relaþiile:

Fig. 130

1 1 2m

m

dRG M GM d GM

g R

'. /( ) * )0 1! ) 2 3 (42.3)

1 1 2m

L L m L

dRG M GM d GM

g R

'. /( ) * )0 1! ) 2 3 (42.4)

Unghiul de înclinare transversalã va fi dat de relaþia:

# $1

1 1

R y

g R G M" ( ! ) (42.5)

Înainte de eºuare, nava era înclinatã longitudinal cu unghiul:

pv ppd d

L

)4 ( (42.6)

iar dupã eºuare este înclinatã cu unghiul:

1 11

pv ppd d

L

)4 ( (42.7)

Rezultã o înclinare suplimentarã care se calculeazã cu relaþia:

# $

# $# $

1

1 1

F F

L L

R x x R x x

g R G M g GM

) )4 ) 4 ( 5! ) ! (42.8)

Ecuaþiile (42.5) ºi (42.8) alcãtuiesc un sistem în care necunoscutele sunt x ºi y . Dupã rezolvare se gãsesc soluþiile:

# $1LF

g GMx x

R

! 4 ) 4( * (42.9)

# $ 1 1 1g R G My

R

! ) "( (42.10)

PROBLEME LEGATE DE APLICAREA PRACTICÃ A STUDIULUI FLOTABILITÃÞII ªI STABILITÃÞII NAVEI

______________________________________________________________________________

231

Determinarea valorilor forþei de reacþiune R ºi a coordonatelor x ºi y ale punctului de aºezare pe sol prezintã interes din perspectiva gãsirii unei soluþii de dezeºuare cu ajutorul mijloacelor de la bord. Pentru a rezolva aceastã problemã, se pleacã de la faptul evident cã mãsurile care vor fi luate, vor trebui sã ducã la micºorarea pescajului în punctul A , cu o valoare mai mare decât micºorarea pescajului în acelaºi punct datoritã eºuãrii. Imaginãm pentru acest lucru o soluþie combinatã de ambarcare/debarcare de mase ºi deplasarea de mase la bord. Notãm variaþia pescajului datoritã acestor operaþiuni cu '

Ad' . Variaþia pescajului datoratã eºuãrii se noteazã cu

Ad' ºi se calculeazã cu relaþia: # $ # $1 1A m Fd d x x y' ( ' * ) 4 ) 4 ) " (42.11)

În consecinþã, condiþia de dezeºuare se scrie: '

A Ad d' 6 ' (42.12)

Înlocuind în (42.11), expresiile lui ,md x' ºi y date de (42.1), (42.9) ºi (42.10) se obþine:

# $ # $ # $

# $2

1 1 1

21 1 1

1

2L

A pv pp pv pp

g GMd d d d d

Rg R

G MR

!% &' ( * ) * * 4 ) 4 )+ ,! )) "

(42.13)

Mai departe, folosim urmãtoarele notaþii: 1 i

i

P P(7 - masele care se vor ambarca/debarca la bord;

2 jj

P P(7 - masele care se vor deplasa la bord;

# $, ,i i ix y z - punctele în care se ambarcã/debarcã masele iP ;

# $ # $ # $1 1 1, ,j j j j j jx x y y z z) ) ) - cantitãþile cu care se deplaseazã masele jP pe direcþiile

longitudinalã, transversalã ºi verticalã; # $1i i j j j

i j

M P y P y y" ( * )7 7 - momentul transversal de înclinare datoritã ambarcãrii/debarcãrii ºi deplasãrii de mase.

# $ # $1i i F j j ji j

M P x x P x x4 ( ) * )7 7

Cu aceste notaþii putem scrie:

# $ # $' 1

'1 1 1

A FWL L

M y MPd x x

A GMP G M

" 4' ( * * )- !! * (42.14)

Înlocuind în (42.14) expresiile lui x ºi y date de (42.9) ºi (42.10), obþinem:

# $# $ # $1 1 1' 1

1'

1 1 1

A

WL

M g R G M g MPd

A R RP G M

" 4! ) "' ( * * 4 ) 4- ! * (42.15)

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

232

unde '

1 1G M este înãlþimea metacentricã transversalã, corectatã datoritã ambarcãrii/debarcãrii de mase, respectiv deplasãrii de mase la bord, care se calculeazã cu formula:

# $1

'1 1

1 1 1 1 1 11 12

j j j i ij i

WL

P z z P zP P

G M G M d G MP A P

) . /0 1( ) * * ) )0 1! ! * -0 12 3

7 7 (42.16)

Sigur cã pentru o anumitã situaþie de exploatare a navei, valorile # $ # $ # $1 1 1, , , , , , ,i j i i i j j jP P x y z x x y y z z) ) ) sunt limitate. Odatã adoptate aceste valori, se

calculeazã 'Ad' ºi Ad' ºi se verificã dacã este îndeplinitã condiþia de dezeºuare (42.12).

Mãrimile # $ # $1 1, , ,i i j jx y x x y y) ) se adoptã de sens contrar lui x ºi y .

43. RIDICAREA PUPEI

Pentru executarea lucrãrilor de reparaþii la complexul cârmã-propulsor sau la arborele port-elice, este necesarã ridicarea pupei navei. Aceastã operaþiune se poate realiza în urmãtoarele variante: deplasarea uneia sau a mai multor mase dinspre pupa spre prova, ambarcarea de balast în zona prova sau ridicarea pupei cu ajutorul macaralei (la navele mici). a) Deplasarea de mase la bord Aºa cum s-a studiat în §24, dacã la bordul navei se deplaseazã o masã P , consideratã în categoria maselor mici # $0,1P 8 ! , din punctul # $, ,A x y z în punctul # $1 1 1, ,B x y z , dinspre pupa spre prova # $1x x8 , atunci nava se va înclina longitudinal cu

unghiul 4 , iar variaþia pescajului la pupa în valoare absolutã se va calcula cu relaþia:

# $1

12pp F

L

P x xLd x

G M

). /' ( *0 1 !2 3 (43.1)

În relaþia (43.1), 1 LG M este înãlþimea metacentricã longitudinalã modificatã, datã de relaþia:

# $1 1L L

PG M GM z z( ) )! (43.2)

unde LGM este înãlþimea metacentricã longitudinalã iniþialã. Cunoscând înãlþimea cu care trebuie ridicatã pupa ºi egalând valoarea ei cu ppd'

se determinã produsul # $1P x x) necesar a se realiza prin deplasarea masei P . În funcþie

de disponibilitãþile de la bord, se pot alege masele iP ºi distanþele # $1i ix x) astfel încât sã fie îndeplinitã condiþia: # $ # $1 1i i i

i

P x x P x x) ( )7 (43.3)


______________________________________________________________________________

233

b) Ambarcarea de balast la prova Dacã în zona prova se ambarcã cantitatea de balast P având abscisa centrului de greutate x , atunci variaþia pescajului la pupa în valoare absolutã se va calcula cu relaþia:

# $2

Fpp F

WL L

P x xP Ld x

A GM

). /' ( ) *0 1- !2 3 (43.4)

Impunând înãlþimea cu care trebuie ridicatã pupa ppd' se va determina cantitatea

de balast ce trebuie ambarcatã cu relaþia:

# $1

2

pp

FF

WL L

dP

x xLx

A GM

'( ). /) *0 1- !2 3

(43.5)

c) Ridicarea pupei navei cu ajutorul macaralei Cunoscând poziþia de unde se leagã cârligul macaralei (abscisa x ) precum ºi datele iniþiale referitoare la navã: deplasamentul ! , înãlþimea metacentricã longitudinalã

LGM , aria plutirii WLA , lungimea navei L ºi abscisa centrului plutirii Fx , se poate determina valoarea forþei de ridicare R (Fig. 131).

Fig. 131 Se va impune înãlþimea cu care se ridicã pupa ppd' ºi se foloseºte modelul

matematic descoperit la ambarcarea/debarcarea de mase la bord, considerând cã din

punctul A se debarcã masa R

g. Forþa R necesarã se calculeazã cu relaþia:

# $1

2

pp

FF

WL L

g dR

x xLx

A GM

'( ). /) *0 1- !2 3

(43.6)

În relaþia de mai sus x se introduce cu semnul algebric (minus), iar ppd' cu

valoarea sa în modul, rezultând o valoare pozitivã pentru R .

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

234

44. MOMENTUL DE STABILITATE AL NAVELOR CU BORDURI VERTICALE ªI AL NAVELOR TIP PONTON PARALELIPIPEDIC

În cazul navelor cu borduri verticale, momentul de stabilitate poate fi exprimat printr-o relaþie matematicã exactã pentru unghiuri de înclinare care nu depãºesc unghiul pentru care puntea intrã în apã sau plutirea intersecteazã gurma. Se poate observa cã în acest caz particular, plutirile izocarene înclinate transversal se intersecteazã dupã o dreaptã care trece prin centrul plutirii iniþiale F (Fig. 132).

Fig. 132 Dacã se noteazã cu y semilãþimea unei cuple corespunzãtoare plutirii iniþiale, atunci când nava este înclinatã transversal cu unghiul " , semilãþimea corespunzãtoare aceleiaºi secþiuni se poate scrie:

cos

yy" ( " (44.1)

Momentul de inerþie al plutirii înclinate, în raport cu axa de înclinare devine:

2

3

2

2

3

L

xL

I y dx" ")

( 9 (44.2)

ºi prin înlocuirea lui y" datã de (44.1) în (44.2) obþinem:

32

3 3

2

2

3 cos cos

L

xx

L

IyI dx"

)

( (" "9 (44.3)

Corespunzãtor pentru raza metacentricã transversalã gãsim expresia:

3cos

xI BMr

V"

" ( ( " (44.4)

Vom calcula în continuare coordonatele centrului de carenã cu relaþiile:


______________________________________________________________________________

235

2

0 0

cos tgcosB

BMy r d d BM

" "

" "( " " ( " ( ""9 9 (44.5)

2

30 0

sin tgsin

2cosBz KB r d BM d BM" "

" "" ") ( " " ( " ("9 9 (44.6)

Dacã din expresiile (44.5) ºi (44.6) se eliminã tg" se obþine:

2

2B

B

yz KB

BM

"" ( * (44.7)

ceea ce sugereazã o variaþie parabolicã a cotei centrului de carenã cu ordonata acestuia. Înlocuind relaþiile (44.5) ºi (44.6) în expresia (31.12) a braþului stabilitãþii statice gãsim:

2sin tg sin2s

BMGZ l GM"( ( "* " " (44.8)

Recunoaºtem în al doilea termen o corecþie a braþului stabilitãþii statice faþã de situaþia de stabilitate iniþialã. Mai departe, se pot calcula coordonatele metacentrului transversal:

33

sin tg sin tgcosm B

BMy y r BM BM" " "( ) " ( ") " ( ) "" (44.9)

2 2

3 2

tg tg 1cos cos

2 2cos cosm B

BM BMz z r KB KB BM" " "

. /" "( * " ( * * " ( * *0 1" "2 3 (44.10)

Eliminând tg" din relaþiile (44.9) ºi (44.10), gãsim o legãturã matematicã directã între coordonatele metacentrului transversal în forma:

2

331

2m

m B

yz z BM

BM

"" "

% &. /: ;( * * 0 1: ;2 3: ;+ , (44.11)

Revenind la formula (44.8), vom observa cã putem exprima momentul de stabilitate cu relaþia matematicã: 2tg sin

2s s

BMM g l g GM" "

. /( ! ( ! * " "0 10 12 3 (44.12)

Aºa cum am precizat, relaþiile obþinute mai sus sunt valabile atâta timp cât plutirea înclinatã nu intersecteazã puntea sau fundul navei. Dacã vom considera un ponton

paralelipipedic, vom avea douã situaþii distincte. Astfel, dacã 2

Dd 8 , fundul va ieºi din

apã înainte ca puntea sã intre în apã, iar dacã 2

Dd < , puntea va intra în apã înainte ca

fundul sã iasã din apã. Acest ultim caz este ilustrat în Fig. 133. Pentru a construi complet diagrama de stabilitate este necesarã determinarea deplasãrii centrului de carenã respectiv a coordonatelor By " ºi Bz KB" ) cu formulele cunoscute (44.5) ºi

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

236

(44.6). Notãm cu 1" unghiul la care puntea intrã în apã ºi cu unghiul 2" unghiul la care fundul pontonului iese din apã.

Fig. 133 Când 10 = " = " :

3cos

BMr" ( "

Pentru a calcula razele metacentrice transversale la unghiuri de înclinare cuprinse între 2" ºi 90> # $2 90" 8 " = > , vom considera pontonul înclinat cu 90> ºi 90d pescajul

corespunzãtor acestei situaþii. Din condiþia ca plutirile WL ºi 90 90W L sã fie izocarene rezultã: 90

B dd

D( (44.13)

ºi:

2

909012

Dr

d( (44.14)

În consecinþã, când 2 90" 8 " = > :

# $90

3cos 90

rr" ( ) " (44.15)

Situaþia intermediarã 1 2" 8 " = " este prezentatã în Fig. 134. Suprafaþa liberã este un dreptunghi cu dimensiunile L ºi B" . Lãþimea B" se determinã din condiþia: # $ # $aria EFG B D d( )

adicã: # $21

sin cos2

B B D d" " " ( )


______________________________________________________________________________

237

sau:

# $

2sin 2

B D dB"

)( " (44.16)

Momentul de inerþie al suprafeþei libere este:

# $ # $3

2

12 3 sin 2 sin 2x

L B L B D d B D dI ""

) )( ( " " (44.17)

iar raza metacentricã transversalã se calculeazã cu formula:

# $ # $2

3 sin 2 sin 2xI D d B D d

rV d"

") )( ( " " (44.18)

Odatã cunoscute formulele de calcul ale razei metacentrice transversale pentru cele trei situaþii distincte, se vor putea calcula coordonatele centrului de carenã pentru orice unghi de înclinare ºi, de asemenea, braþul stabilitãþii sau momentul de stabilitate. Formula braþului stabilitãþii transversale (44.8), valabilã în cazul navelor cu borduri verticale pânã la 1" ( " , ne permite determinarea poziþiilor de echilibru ale

navei, poziþii care corespund situaþiei 0sGZ l "( ( . Avem urmãtoarele situaþii posibile:

a) 0sl " ( ºi 0GM < (înãlþimea metacentricã transversalã pozitivã) Rezultã: 2tg sin 0

2

BMGM. /* " " (0 10 12 3

(44.19)

Fig. 134 Aceastã ecuaþie are trei soluþii: 2

sin 0 ; tgGM

BM

)" ( " ( ?

ultimele douã fiind evident imaginare. Înseamnã cã singura poziþie de echilibru posibilã pentru o navã cu borduri verticale ºi înãlþimea metacentricã transversalã, pozitivã corespunde situaþiei 0" ( adicã, navã pe carenã dreaptã.

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

238

b) 0sl " ( ºi 0GM ( (înãlþimea metacentricã transversalã nulã) Rezultã: 2tg sin 0

2

BM " " ( (44.20)

cu soluþia unicã 0" ( . Este de remarcat cã, chiar dacã înãlþimea metacentricã este nulã deci, în poziþia iniþialã existã o situaþie de echilibru indiferent, momentul de stabilitate este întotdeauna pozitiv ºi va readuce nava în poziþia iniþialã, dintr-o poziþie înclinatã cu un unghi oarecare. Valoarea momentului de stabilitate este:

2tg sin2s

BMM g" ( ! " " (44.21)

Sã studiem cazul practic al deplasãrii transversale la bord a unei mase P pe distanþa l .

Centrul de greutate al navei se va deplasa pe distanþa 1

P lGG ( ! . Din Fig. 135, se

observã cã: 1 cos cos

P lGZ GG( " ( "! (44.22)

Fig. 135 Egalând GZ dat de relaþia (44.22) cu expresia lui sl " când 0GM ( rezultã: 2cos sin tg

2

P l BM" ( " "!

adicã: 3 2

tgP l

BM" ( ! @

ºi:


______________________________________________________________________________

239

32

tgP l

BM" ( ! @ (44.23)

c) 0sl " ( ºi 0GM 8 (înãlþimea metacentricã transversalã negativã) Soluþiile pentru care se realizeazã echilibrul sunt aceleaºi ca la punctul a), cu deosebirea cã de data aceasta toate trei sunt reale; adicã: sin 0 ; 0" ( " (

2tg

GM

BM

)" ( ?

În cazul 0" ( avem o situaþie de instabilitate, întrucât pentru 0" < momentul de stabilitate este negativ ºi cea mai micã perturbaþie va înclina nava într-un bord sau în celãlalt (în funcþie de sensul perturbaþiei), cu unghiul corespunzãtor celorlalte douã soluþii.

45. STABILITATEA NAVEI PE DOC În cele mai multe cazuri, la andocarea unei nave, atunci când nivelul apei scade, chila acesteia atinge primul cavalet de la pupa. Ca urmare, apare o reacþiune în cavalet care va modifica stabilitatea navei (Fig. 136). În cele ce urmeazã, vom determina valoarea maximã a reacþiunii din cavalet ºi modul în care variazã stabilitatea navei.

Fig. 136 Valoarea reacþiunii R creºte gradual, atingând maximul atunci când nava este pe punctul de a se aºeza cu toatã chila pe cavaleþi. Presupunem cã înainte de andocare nava avea pescajele cunoscute pvd ºi ppd .

Rezultã o înclinare longitudinalã cu unghiul:

pv ppd d

L

)4 ( .

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

240

Linia cavaleþilor este, de asemenea, înclinatã cu unghiul A . Din momentul în care fundul navei atinge cavaletul din pupa pânã în momentul în care se aºeazã în totalitate pe cavaleþi ea se va roti cu unghiul 4 ) A , datoritã reacþiunii R . Vom considera acþiunea lui R similarã cu debarcarea greutãþii P R( , din punctul de coordonate

; 0 ; 02P P P

Lx y z( ) ( ( . Din condiþia ca momentul lui R sã încline nava longitudinal cu unghiul # $4 ) A se gãseºte valoarea maximã a lui R , adicã: # $

2

L

F

g GMR

Lx

!( 4) A*

(45.1)

Este mai practic ca în locul relaþiei (45.1) sã se foloseascã relaþia:

# $2

L

F

GMR

Lx

!( 4 )A*

(45.2)

în care R are dimensiunea unei mase. Corespunzãtor, pescajul se va micºora cu valoarea:

B CWL

R Rd cm

A TPC' ( (- (45.3)

În situaþia în care linia cavaleþilor are unghiul de înclinare nul # $0A ( , folosind

momentul unitar de asietã, reacþiunea în cavalet se poate calcula cu formula: 100

pv ppMCT d dR

LCF

)( (45.4)

unde LCF reprezintã distanþa de la centrul plutirii la punctul de aplicaþie al lui R (care se gãseºte, de obicei, în apropierea perpendicularei pupa). Efectul asupra stabilitãþii transversale se va materializa prin modificarea înãlþimii metacentrice transversale. Astfel:

# $2

R dGM d GM

R

) '. /' ( ) )0 1! ) 2 3 (45.5)

Variaþia coeficientului stabilitãþii transversale se va calcula cu relaþia:

# $2

dGM R d

'. /' ! ( ) )0 12 3 (45.6)

Variaþia relativã a înãlþimii metacentrice longitudinale este foarte micã, motiv pentru care nu prezintã interes. Existã ºi un alt mod mult mai practic, dar în acelaºi timp ºi aproximativ, de a evalua variaþia înãlþimii metacentrice transversale la andocare. Considerând cã masa R se debarcã de pe fundul navei, centrul de greutate al navei se va deplasa pe verticalã în sus cu distanþa:

# $ R KGKG

R' ( ! ) (45.7)


______________________________________________________________________________

241

ºi cu aceeaºi valoare se va micºora înãlþimea metacentricã transversalã, presupunând KM acelaºi.

46. STABILITATEA NAVELOR PE VALURI DE URMÃRIRE Diagrama stabilitãþii statice, denumitã ºi "diagrama Reed", este utilizatã de aproape o sutã de ani pentru analiza stabilitãþii transversale a navei, deºi momentul de redresare este calculat în ipoteza apei calme. Froude ºi Reed recunoºteau cã problematica stabilitãþii navei pe val se rezolvã diferit faþã de situaþia ipoteticã precizatã, întrucât, în regim dinamic, distribuþia de presiuni este diferitã faþã de regimul static. Încã din anul 1938, Kempf remarca faptul cã stabilitatea navei pe valuri de urmãrire se reduce în situaþia în care nava se gãseºte cu secþiunea maestrã pe creastã de val. Când nava se deplaseazã pe val de urmãrire cu o vitezã egalã cu viteza valului ºi când lungimea valului # $D este egalã cu lungimea navei # $L apare situaþia cea mai

periculoasã. Aceasta deoarece, pe de o parte, reducerea de stabilitate este maximã ºi, pe de altã parte, reducerea de stabilitate se menþine pe o duratã mai mare de timp ºi, ca urmare, nava este expusã apariþiei unor momente exterioare de înclinare la care ar rezista mai puþin, comparativ cu situaþia de apã calmã. În aceste condiþii, ar putea apãrea rãsturnarea navei adicã "pierderea totalã de stabilitate". Toate aceste situaþii periculoase au fost aduse în prim plan de studiile sistematice care se desfãºoarã pe plan mondial în domeniul stabilitãþii transversale a navelor în condiþii reale de navigaþie. În general, stabilitatea transversalã se mãsoarã cantitativ prin momentul de redresare care se opune acþiunii unui moment exterior de înclinare. Dacã nava opereazã în mare realã, momentul de redresare nu va fi egal cu acela corespunzãtor aceluiaºi unghi de înclinare din apã calmã din douã motive: primul se referã la modificarea suprafeþei udate a corpului navei datoritã miºcãrii generale ºi al doilea la distribuþia câmpului de presiune hidrodinamicã pe suprafaþa udatã, care este o consecinþã directã a interacþiunii reciproce dintre nava în miºcare ºi valurile incidente. Problematica determinãrii momentului de redresare pe valuri se rezumã la gãsirea distribuþiei de presiuni pe corp ºi are o importanþã deosebitã pentru prognoza siguranþei navei. Aceastã problemã se rezolvã acceptabil, dar destul de laborios, în limita miºcãrii potenþiale a lichidului, neglijând efectele vâscoase. Pentru o navã care se deplaseazã cu viteza U în valuri, stabilitatea transversalã se caracterizeazã prin momentul de redresare, definit ca momentul forþelor hidrodinamice dependente de timp care acþioneazã asupra navei, faþã de axa centralã longitudinalã. Se poate scrie: s u w D RM M M M M" ( * * * (46.1)

în care: uM - este determinat de modificarea câmpului de presiuni când nava înclinatã transversal cu unghiul " , avanseazã cu viteza U în apã calmã;

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

242

WM - este partea principalã a momentului de redresare pe valuri determinatã de distribuþia de presiuni din valul incident neperturbat; DM - este componenta de difracþie, determinatã de modificarea câmpului de presiune, datoritã prezenþei corpului bandat al navei în valuri, având anulate toate gradele de libertate; RM - aceastã componentã este o consecinþã a miºcãrilor navei bandate, aflatã iniþial în repaus ºi este legatã de proprietãþile inerþiale ºi de amortizare ale fluidului. Din cele arãtate pânã acum, este evident cã determinarea valorii momentului de stabilitate # $sM " la navigaþia în valuri este o problemã ce se va rezolva la "Dinamica

Navei". Reducerea stabilitãþii statice Studiile diverºilor autori care s-au ocupat de aceastã problemã au demonstrat cã la navigaþia în valuri armonice de urmãrire, are loc o modificare a stabilitãþii transversale, atunci când viteza navei este apropiatã de aceea a valurilor. Braþul momentului de stabilitate va avea o variaþie periodicã între douã poziþii extreme, cu o frecvenþã egalã cu frecvenþa de întâlnire a valului de cãtre navã. Aceste douã poziþii extreme corespund situaþiilor de: navã pe creastã de val (stabilitate minimã) ºi navã pe gol de val (stabilitate maximã) ºi se calculeazã pe baza geometriei corpului navei ºi ale caracteristicilor valurilor. Pentru fiecare înãlþime a valului, amplitudinea variaþiei momentului de stabilitate are valoarea maximã atunci când lungimea valului este aproximativ egalã cu lungimea navei. Atunci când U c( , perioada de întâlnire a valului este teoretic infinitã ºi nava se aºeazã static faþã de val într-o primã aproximaþie. În acest caz, diagrama stabilitãþii statice se poate obþine aºa cum am vãzut în capitolul IV (§40) înlocuind suprafaþa apei calme cu un profil de val armonic având lungimea egalã cu lungimea navei. În Fig. 137 b) sunt prezentate diagramele de stabilitate staticã în apã calmã, pe creastã ºi pe gol de val. Se observã cã în decursul unei perioade de întâlnire a navei cu valurile existã un interval de timp în care stabilitatea navei se micºoreazã putând deveni criticã. Cu cât frecvenþa de întâlnire este mai micã, cu atât acest interval de timp este mai mare, putând apãrea condiþiile specifice care genereazã aºa numita "pierdere totalã de stabilitate" dacã nu se iau mãsuri de înlãturare a pericolului (modificarea vitezei sau schimbarea direcþiei de înaintare a navei).


______________________________________________________________________________

243

Fig. 137

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

244

PROBLEME REZOLVATE Problema 1 O navã tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: 80 ; 9 ;L m B m( (

8,5D m( ºi pluteºte la pescajul 5d m( în apã sãratã. Cota centrului de greutate al

navei este 3,7KG m( . Sã se studieze echilibrul transversal al navei dupã ambarcarea unei mase de 500 t situatã la 8 m faþã de PB . Rezolvare: Deplasamentul iniþial al pontonului este: 1,025 80 9 5 3690L B d t! ( - ( @ @ @ ( Înãlþimea metacentricã iniþialã se calculeazã cu formula:

2

2 12

d BGM KM KG KB BM KG KG

d( ) ( * ) ( * )

Prin înlocuire se obþine:

25 9

3,7 0,152 12 5

GM m( * ) (@

Prin ambarcarea masei 500P t( situatã la distanþa 1 8z m( faþã de PB , se modificã cota centrului de greutate al navei:

# $ # $1 1

5003,7 8 3,7 4, 213

3690 500

PKG KG z KG m

P( * ) ( * ) (! * *

ºi pescajul pontonului:

1

5005 5,678

1,025 80 9

Pd d m

L B( * ( * (- @ @

Noua înãlþime metacentricã transversalã va fi:

2 2

11 1 1

1

5,678 94, 213 0,185

2 12 2 12 5,678

d BG M KG m

d( * ) ( * ) ( )@

În concluzie, deoarece înãlþimea metacentricã a devenit negativã, ne aflãm într-o situaþie de instabilitate ceea ce înseamnã cã la o cât de micã perturbaþie exterioarã, pontonul se va înclina într-un bord sau în celãlalt (în funcþie de sensul perturbaþiei) cu unghiul:

1 1

1 1

2 2 0,185tg 0,557 29,15

1,189

G Mrad

B M

) @" ( ? ( ? ( ? ( ? >

unde braþul de stabilitate este nul.


______________________________________________________________________________

245

Problema 2 O navã cu borduri verticale are deplasamentul de 25000 t ; 10,6KG m( ;

12,0 ; 6,1KM m KB m( ( . Unghiul la care se inundã puntea este de 27> . Sã se estimeze stabilitatea dinamicã a navei la 20> înclinare transversalã. Rezolvare: Dat fiind faptul cã unghiul pentru care trebuie estimatã stabilitatea transversalã este mai mic decât unghiul la care se inundã puntea navei, rezultã cã în zona 0 20> = " = > se poate calcula braþul stabilitãþii transversale cu formula:

2sin tg2s

BMl GM"

. /( " * "0 10 12 3

Din datele problemei rezultã: 12,0 10,6 1,4GM KM KG m( ) ( ) (

12,0 6,1 5,9BM KM KB m( ) ( ) ( Înlocuind în expresia lui sl " obþinem:

# $2 2sin 1,4 2,95 tg 1, 4 sin 2,95 sin tgsl " ( " * " ( " * " "

Expresia braþului stabilitãþii dinamice la 20> este:

20

0

s sl l d>

" "( "9

Calculul se va efectua tabelar utilizând metoda de integrare a trapezelor cu pasul de integrare 5 0,087 rad!" ( > ( .

" sin" 2tg " 2sin tg"@ " 1,4 sin@ " 22,95 sin tg@ " " sl " int7 int2dl "!"( 7

(1) (2) (3) (4)=(2)(3 (5)=1,4(2 (6)=2,95(4) (7)=(5)+(6 (8)= int7 (7 (9)=0,0435 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0,0870,007 0,0007 0,122 0,002 0,124 0,124 0,005

10 0,1730,031 0,0053 0,242 0,015 0,257 0,505 0,022 15 0,2580,071 0,0183 0,361 0,053 0,414 1,176 0,051 20 0,3420,132 0,0451 0,479 0,133 0,612 2,202 0,096 Acest calcul tabelar prezintã avantajul cã se poate estima valoarea braþului stabilitãþii dinamice la fiecare unghi de înclinare. Pentru 20" ( > , stabilitatea dinamicã este egalã cu lucrul mecanic al momentului de stabilitate necesar pentru a înclina nava pânã la acest unghi, adicã: 9,81 25000 0,096 23544s dL g l KN m" "( ! ( @ @ ( @

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

246

Problema 3 La o navã ponton paralelipipedic se cunosc urmãtoarele dimensiuni:

120 ; 18 ; 12 ; 8 ; 7, 278L m B m D m d m KG m( ( ( ( ( . Ea pluteºte în apã dulce. O masã de 432 t se încarcã pe puntea principalã. Sã se calculeze stabilitatea dinamicã a navei pentru unghiul la care apa inundã puntea principalã. Rezolvare: Se calculeazã deplasamentul iniþial al navei: 1 120 18 8 17280L B d t! ( - ( @ @ @ ( Dupã ambarcarea masei 432P t( , cota centrului de greutate al navei devine:

# $ # $1 1

4327, 278 12 7, 278 7,393

17280 432

PKG KG z KG m

P( * ) ( * ) (! * *

iar pescajul:

1

4328 8, 2

1 120 18

Pd d m

L B( * ( * (- @ @

Nava fiind ponton paralelipipedic rezultã: 1

18, 2

4,12 2

dKB m( ( (

2 2

1 11

183, 293

12 12 8,2

BB M m

d( ( (@

Unghiul la care se inundã puntea se calculeazã cu relaþia:

# $ # $12 2 12 8, 2

tg 0, 42 ; 22,8918

D d

B

) )" ( ( ( " ( >

Pânã la acest unghi, braþul stabilitãþii statice se poate calcula cu formula:

21 11 1sin tg

2s

B Ml G M"

. /( " * "0 10 12 3

Înãlþimea metacentricã finalã este: 1 1 1 1 1 1 1 1 4,1 3, 293 7,393 0G M KM KG KB B M KG( ) ( * ) ( * ) ( ºi, în consecinþã, braþul stabilitãþii statice se poate scrie: 21,646 sin tgsl " ( " "

Braþul stabilitãþii dinamice corespunzãtor unghiului de înclinare la care se inundã puntea este:

22,89

0

d sl l d>

" "( "9

Calculul se va efectua tabelar, utilizând metoda de integrare a trapezelor cu pasul de integrare 5 0,087 rad!" ( > ( , în limitele 0 25> = " = > . Valoarea lui dl " la 22,89" ( >

se va determina prin interpolare liniarã.


______________________________________________________________________________

247

" sin" 2tg " 2sin tg"@ " 21,646 sin tgsl " ( @ " " int7 int2dl "!"( 7

(1) (2) (3) (4)=(2)(3) (5)=1,646 (4) (6)= int7 (5) (7)= 2

!" (6)

0 0 0 0 0 0 0

5 0,087 0,007 0,0007 0,001 0,001 54, 3 10

)@

10 0,173 0,031 0,0053 0,009 0,0092 44 10)@

15 0,258 0,071 0,0183 0,03 0,0482 0,002

20 0,342 0,132 0,0451 0,074 0,1522 0,0066

25 0,423 0,217 0,0918 0,151 0,3773 0,0164 Prin interpolare liniarã la 22,89" ( > rezultã 0,0122dl rad m" ( @ .

Stabilitatea dinamicã va fi: # $ # $9,81 17280 432 0,0122 2120s dL g P l KN m" "( ! * ( * ( @

Problema 4 La o navã cu bordurile verticale se cunosc urmãtoarele elemente:

22500 ; 7,3 ; 7, 4 ; 3,6t KG m KM m BM m! ( ( ( ( . O masã de 150 t este ridicatã cu 15 m ºi apoi deplasatã lateral spre tribord cu 3 m . Sã se calculeze înclinarea navei. Rezolvare: Deplasarea pe verticalã a masei 150P t( pe distanþa 15zl m( va ridica centrul de greutate al navei micºorând înãlþimea metacentricã pânã la valoarea:

1

150 150,1 0

22500zP l

G M GM m@( ) ( ) (!

Datoritã deplasãrii laterale a masei pe distanþa 3l m( nava se va înclina la tribord cu unghiul:

332 2 150 3

tg 0, 22322500 3,6

P l

BM

@ @" ( ( (@!

12,58" ( > Problema 5 O navã tip ponton paralelipipedic are dimensiunile: 100 ; 10L m B m( ( ;

6D m( ºi pluteºte în apã sãratã la pescajul 4d m( . Se mai cunoaºte 3,5KG m( . Sã se calculeze momentul de stabilitate când nava este înclinatã transversal cu unghiul

20" ( > .

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

248

Rezolvare: Deplasamentul navei este: 1,025 100 10 4 4100L B d t! ( - ( @ @ @ ( Unghiul la care se inundã puntea este:

# $ # $2 2 6 4

tg 0,4 ; 21,810

D d

B

) )" ( ( ( " ( >

Cum 20 21,8> 8 > pentru calculul momentului de stabilitate se foloseºte relaþia:

2tg sin2s

BMM g GM"

. /( ! * " "0 10 12 3

unde:

2

2 12

d BGM KB BM KG KG

d( * ) ( * )

Înlocuind, rezultã:

24 103,5 0,583

2 12 4GM m( * ) (@

Pe de altã parte:

2

2,08312

BBM m

d( (

ºi, prin urmare, momentul de stabilitate corespunzãtor unei înclinãri transversale de 20> este:

22,0839,81 4100 0,583 tg 20 sin 20 9918

2sM KN m". /( @ * > > ( @0 12 3

Problema 6 O navã andocheazã având urmãtoarele date iniþiale:

6,10 ; 6,70 ; 7, 20 ; 6,8 ; 155 /pv ppd m d m KM m KG m MCT t m cm( ( ( ( ( @

22 / ; 80TPC t cm LCF m( ( (de la perpendiculara pupa); 180 ; 11000L m t( ! ( . Sã se determine: a) înãlþimea metacentricã transversalã a navei în momentul critic din timpul andocãrii; b) momentul de stabilitate dacã nava este înclinatã transversal cu 1> . Rezolvare: Momentul critic este acela când chila navei ia contact cu întreaga linie a cavaleþilor.

6,10 6,70 155

100 100 116,2580

pv ppd d MCTR t

LCF

) )( ( (

Reacþiunea atinge aceastã valoare atunci când pescajul scade cu valoarea:


______________________________________________________________________________

249

116,255,3 0,053

22

Rd cm m

TPC' ( ( ( ( .

Înãlþimea metacentricã transversalã se va modifica cu valoarea:

# $ 116, 25 0,0536,4 0,4 0,064

2 11000 116, 25 2

R dGM d GM m

R

) ' ). / . /' ( ) ) ( ) ) ( )0 1 0 1! ) )2 3 2 3

unde d este pescajul mediu iniþial. Corespunzãtor situaþiei critice, înãlþimea metacentricã va fi:

# $ # $'

0, 4 0,064 0,336GM GM GM m( * ' ( ) (

Momentul de stabilitate corespunzãtor situaþiei de navã înclinatã transversal cu 1> se calculeazã cu formula:

# $# $ # $ # $ # $' 'sin1 9,81 11000 116, 25 0,336

180 180sM g R GM g R GM"E E( ! ) > ( ! ) ( )

626,13sM KN m" ( @

Problema 7 La o navã, înaintea andocãrii, se cunosc urmãtoarele elemente: 110L m( ;

14,7 ; 5,8 ; 6, 2 ; 0,625 ; 0,780 ; 0,5pv pp B WLB m d m d m C C GM m( ( ( ( ( (

210 ; 0L FGM m x( ( . Unghiul de înclinare al cavaleþilor A este nul. Sã se calculeze reacþiunea maximã a cavaleþilor ºi stabilitatea în momentul când chila navei intrã în contact cu întreaga linie a cavaleþilor. Densitatea apei din doc se considerã 31,0 /t m- ( . Rezolvare: Se considerã reacþiunea maximã a cavaleþilor:

2

L

F

g GMR

Lx

!( 4. /*0 12 3

unde:

35,8 6, 2tg 3,6 10

110

pv ppd d

L)) )4 5 4 ( ( ( @

1 0,625 110 14,7 6 60642

pv pp

B

d dC L B t

*! ( - ( @ @ @ @ (

Prin înlocuire în expresia lui R , rezultã: 36064 210

3,6 10 83, 4110

02

R tf)@( @ (. /*0 12 3

Variaþia pescajului mediu va fi:

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

250

83, 40,066

1 0,780 110 14,7WL WL

R Rd m

g A g C L B' ( ( ( (- - @ @ @

iar noua înãlþime metacentricã transversalã: # $ # $'

2

R dGM GM GM GM d GM

g R

'. /( * ' ( ) ) )0 1! ) 2 3

Înlocuind în relaþia de mai sus, obþinem:

# $ # $' 83,40,5 6 0,033 0,5 0, 423

6064 83,4GM m( ) ) ) ()

Problema 8 Înainte de andocare, la o navã, se cunoºteau: 5,62 ; 6,82pv ppd m d m( ( ;

7,90 ; 7, 4 ; 104 / ; 62 ; 118 ; 8400KM m KG m MCT t m cm LCF m L m t( ( ( @ ( ( ! ( . În momentul critic al andocãrii (înainte de aºezarea cu toatã linia chilei pe cavaleþi), înãlþimea metacentricã transversalã nu trebuie sã scadã sub valoarea de 0, 45 m . Cât balast trebuie transferat dintr-un tanc din dublu fund, având 0,5Kg m( ºi 30x m( faþã de perpendiculara pupa într-un alt tanc din dublu fund având 0,5Kg m( ºi 1 90x m( de la perpendiculara pupa? Rezolvare: Þinând cont cã valoarea iniþialã a înãlþimii metacentrice transversale este

0,5GM KM KG m( ) ( ºi din datele problemei aceastã valoare nu poate scãdea sub 0, 45 m , rezultã o ridicare a centrului de greutate în urma andocãrii cu valoarea minimã de 0,05 m . Prin urmare:

# $ 0,05R KG

KG mR

' ( (! )

ºi prin înlocuire:

7,40,05

8400

R

R

@ ()

de unde rezultã valoarea maximã a reacþiunii din cavalet: 56, 4R t( Pentru a aºeza nava pe cavaleþi, momentul de înclinare determinat de R va trebui suplimentat cu momentul determinat de transferul masei P , pe distanþa

1 60xl x x m( ) ( . Se poate scrie:

100x pv ppR LCF P l MCT d d@ * @ ( )

Înlocuind, obþinem: 56, 4 62 60 104 5,62 6,82 100P@ * @ ( )

În final, obþinem valoarea: t150P ( .


______________________________________________________________________________

251

Problema 9 Înainte de a andoca, la o navã se cunosc urmãtoarele elemente: 7,92pvd m(

9,30 ; 11,43 ; 10,9 ; 400,5 / ; 28,1 /ppd m KM m KG m MCT t m cm TPC t cm( ( ( ( @ ( ;

88,5 ; 174 ; 28200LCF m L m t( ( ! ( . Adâncimea apei din doc este iniþial de 10 m . Sã se gãseascã valoarea înãlþimii metacentrice a navei atunci când nivelul apei din doc scade cu 1, 2 m precum ºi pescajele navei la extremitãþi. Rezolvare: Când adâncimea apei din doc ajunge la valoarea de 9,3 m egalã cu pescajul pupa, nava se aºeazã cu pupa pe cavaletul din pupa, în care începe sã se dezvolte o reacþiune de contact R . Din acel moment, pescajul la pupa va mai scãdea cu 50 cm . Aceastã variaþie de pescaj la pupa este suma a douã componente: variaþia pescajului mediu datoritã reacþiunii R ºi variaþia pescajului la pupa datoritã modificãrii asietei. Vom

putea scrie: 50R R LCF LCF

TPC MCT L( *

ºi dupã înlocuire:

288,550

28,1 400,5 174

R R @( * @ ; 50 0,0355 0,1123 0,1478R R R( * (

338,2R t( Pescajul mediu se va micºora cu valoarea:

338, 212 0,12

28,1

Rd cm m

TPC' ( ( ( (

Acþiunea lui R va determina ºi o variaþie a asietei egalã cu:

338, 2 88,574,73 0,75

400,5

R LCFcm m

MCT

@( ( 5

din care, o aprovare pvd' ºi o ieºire a pupei din apã ppd' , mãrimi care se calculeazã cu

formulele:

174 88,50,75 0,75 0,37

174pv

L LCFd m

L

) )' ( ( (

88,50,75 0,75 0,38

174pp

LCFd m

L' ( ( (

Calculul pescajelor finale se poate executa tabelar:

PROVA PUPA Pescajul iniþial B Cm 7,92 9,30 Variaþia pescajului mediu B Cm

-0,12 -0,12 Schimbarea asietei B Cm 0,37 -0,38 Pescajele finale B Cm 8,17 8,8

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

252

Valoarea finalã a înãlþimii metacentrice este:

# $1

338, 2 10,90,53 0,397

28200 338, 2

R KGG M GM KG GM m

R

@( ) ' ( ) ( ) (! ) )

Problema 10

O navã are un compartiment la prova avariat ºi intrã la andocare cu pescajele: 10,20pvd m( ºi 9,0ppd m( . În timpul andocãrii, fundul navei atinge iniþial cavaletul

situat la 10 m faþã de perpendiculara prova. Se mai cunosc urmãtoarele date iniþiale:

11, 25 ; 10,6 ; 440 /KM m KG m MCT t m cm( ( ( @ ;

39,5 /TPC t cm( ; 84 ; 176 ; 35500LCF m L m t( ( ! ( . Sã se determine înãlþimea metacentricã transversalã înainte de aºezarea navei cu întreaga chilã pe cavaleþi ºi pescajul final când nava se aºeazã pe cavaleþi.

Rezolvare:

În momentul atingerii cu fundul navei a cavaletului situat la 10l m( de perpendiculara prova, în punctul de contact începe sã se dezvolte o reacþiune R . Acþiunea lui R va determina un moment care va roti nava în plan longitudinal în jurul unei axe care trece prin F . Braþul acestui moment va fi:

# $ # $176 84 10 82al L LCF l m( ) * ( ) * (

Valoarea maximã a reacþiunii R (echivalentul masic) se determinã cu relaþia:

440 10,2 9,0

100 100 643,982

pv pp

a

MCT d dR t

l

) )( @ ( (

Înãlþimea metacentricã transversalã înainte de aºezarea navei cu întreaga chilã pe cavaleþi este:

# $1

643,9 10,60,65 0,45

35500 643,9

R KGG M GM GM GM m

R

@( ) ' ( ) ( ) (! ) )

Pescajul mediu se va micºora cu valoarea:

643,916,3 0,163

39,5

Rd cm m

TPC' ( ( ( (

Pescajul la pupa se va mãri cu valoarea:

8410, 2 9,0 0,572

176pp pv pp

LCFd d d m

L' ( ) ( ) (

ºi pescajul la prova se va micºora cu valoarea:


______________________________________________________________________________

253

1, 2 0,572 0,628pvd m' ( ) (

Calculul pescajelor finale se poate efectua tabelar.

PROVA PUPA

Pescajul iniþial B Cm 10,2 9,0 Variaþia pescajului mediu B C

-0,163 -0,163

Schimbarea asietei B Cm -0,628 0,572

Pescajele finale B Cm 9,409 9,409 Problema 11 La andocarea unei nave se cunosc urmãtoarele date iniþiale:

7,80 ; 8,90pv ppd m d m( ( . Sã se calculeze:

(a) înãlþimea metacentricã în momentul critic al andocãrii; (b) momentul de stabilitate dacã nava este înclinatã transversal cu 1> în momentul critic al andocãrii; (c) pescajele finale la extremitãþile navei; (d) reacþiunea din cavaleþi atunci când nivelul apei scade cu 20 cm , dupã aºezarea cu toatã chila pe cavaleþi. Se mai cunosc urmãtoarele date:

142 / ; 27 /MCT t m cm TPC t cm( @ ( ;

92 ; 176 ; 7,5 ; 8, 4 ; 12500LCF m L m KG m KM m t( ( ( ( ! ( . Rezolvare: Valoarea reacþiunii din cavaleþi înainte de aºezarea navei cu toatã chila pe cavaleþi se calculeazã cu formula:

142 7,80 8,90

100 100 17092

pv ppMCT d dR t

LCF

) )( ( (

Ca urmare, înãlþimea metacentricã transversalã se va modifica ajungând la valoarea:

1

170 7,50,9 0,797

12500 170

R KGG M GM m

R

@( ) ( ) (! ) )

Corespunzãtor acestei situaþii ºi unei înclinãri transversale cu 1> , nava îºi va crea un moment de stabilitate sM " dat de relaþia:

# $ # $# $

1 1 180

9,81 12500 170 0,797 171,51180

sM g R G M g R G M

tf m

"E( ! ) " ( ! ) (

E( @ ) @ @ ( @

STATICA NAVEI ______________________________________________________________________________

254

Pescajul mediu se va modifica cu valoarea:

1706, 29 0,063

27

Rd cm m

TPC' ( ( ( (

Se calculeazã variaþiile de pescaj la prova ºi la pupa datoritã modificãrii asietei, observând cã nava se aproveazã. 92

7,80 8,90 0,575176pp pv pp

LCFd d d m

L' ( ) ( ) (

1,1 0,575 0,525pvd m' ( ) (

Pescajele finale rezultã din urmãtorul calcul tabelar:

PROVA PUPA Pescajul iniþial B Cm 7,80 8,90 Variaþia pescajului mediu B Cm

-0,063 -0,063 Schimbarea asietei B Cm 0,525 -0,575 Pescajele finale B Cm 8,262 8,262

Dacã din acest moment se produce o miºcare a nivelului apei din doc cu 20 cm , reacþiunea din cavaleþi se mãreºte cu valoarea: 20 27 20 540P TPC t( @ ( @ ( astfel încât valoarea finalã a reacþiunii din cavaleþi (echivalentul masic) ajunge la valoarea: # $1 170 540 710 710R R P t tf( * ( * ( .

279

BIBLIOGRAFIE [1] Bidoae I., Sgrumala M. - Proiectarea ºi construcþia navelor mici, Editura

Tehnicã, Bucureºti, 1978 [2] Bidoae I., Sârbu N., Chiricã I., Ionaº O. - Îndrumar de proiectare pentru

teoria navei, Universitatea din Galaþi, 1986 [3] Bidoae I. - Teoria navei, Universitatea din Galaþi, 1985 [4] Chiþac V. - Capitole de mecanica fluidelor, Note de curs, Academia Navalã

"Mircea cel Bãtrân", Constanþã 1993 [5] Chiþac V. - Teoria valurilor ºi capitole de hidromecanicã navalã, Academia

Navalã "Mircea cel Bãtrân", Constanþã 1999 [6] Comstock J. - Principles of Naval Architecture, S.N.A.M.E., NJ, 1967 [7] Deboveanu M. - Tratat de manevra navei (vol I), Lumina Lex, Bucureºti 2000 [8] Deboveanu M. - Tratat de manevra navei (vol II), Lumina Lex, Bucureºti

2001 [9] Dinu I. - Teoria generalã a plutirilor, Editura Academiei Republicii Socialiste

România, Bucureºti, 1974 [10] Jong B. - Some Notes on Traverse Stability of Ships in Irregular Longitudinal

Waves, Technische Hogeschool, Delft, Report No 303, 1970 [11] Kaþman F. - Teoria sudna i dvijiteli, Sudostroenie, Leningrad, 1979 [12] Laster A. R. - Merchant Ship Stability, Butterworths, Taiwan, 1986 [13] Maier V. - Mecanica ºi construcþia navei. Statica navei (vol I), Editura

Tehnicã, Bucureºti, 1985 [14] Miulescu I., Câmpian I. - Teoria navei, Editura Militarã, Bucureºti, 1973 [15] Nãstase C. - Calculul ºi construcþia navei, Editura Tehnicã, 1964

_______________________________________________________________________________

280

[16] Popovici O., Chiricã I., Ioan A. - Calculul ºi construcþia navei, Universitatea din Galaþi, 1984

[17] Rajdestvenski B., Lugovski B., Borisov B. - Statika Karablea, Sudostroenie,

Leningrad, 1986 [18] Roberts P. - Watchkeeping Safety and Cargo Management in Port. A practical

guide, The Nautical Institute, London, 1995 [19] Semyonov - Tyan - Shansky V. - Statics and Dynamics of the Ship,

Sudostroenie, Leningrad, 1973 [20] Voitkunski Ia. N. - Spravocinik po teoria karablea, Sudostroenie, Leningrad,

1976 [21] William E. George - Stability and Trim for the Ship's Officer, Cornell

Maritime Press, Inc. 1983 [22] X X X - Principles of Naval Architecture - Second revision, (vol I). Stability

and Strenght, S.N.A.M.E. NJ, 1988 [23] X X X - S.T.C.W. Convention - International Convention on Standards of

Training, Certification and Watchkeeping for Seafarens, 1978, as amended in 1995 and 1997, International Maritime Organization (I.M.O.), London, 1976

Documents

Carte Probleme