Embed Size (px)
Citation preview
MJ
-~
~'
RQ
M
C.P
. 16 - 1
62
7750
0 - B
UC
UR
EST
I te
L 0
1.41
1361
7, fax 0
1.41
1428
0 e-
mai
l: m
atri
x@fk
.ro
ww
w.m
atri
xrom
.ro
i: E
dit
ura
lWA
TF
X R
QM
este
acr
edit
atii
de
! C
ON
BR
IUL
NA
TIO
NA
L A
L C
ER
CE
TA
RII
QT
llNT
lFlC
E D
IN S
NVA
TAM
~TU
L SU
PE
RIO
R
1
Des
crle
rea CIP
a B
iblio
teci
i Nat
ion
ale
a R
csm
lnie
l M
UN
T€.4
NU
, C
ON
ST
AN
TIN
C
arto
gn
ifle
mat
emat
lca
1 C
onst
antin
Mun
tean
u -
- B
ucu
req
i: M
atri
x R
om, 2
003
Bib
liogr
. ISBN 973-685-599-6
ISB
N 9
73 - 6
85 - 5
99 - 6
CA
PIT
OL
UL
I -
SUPR
AFE
E'
DE
RE
FE
RIN
TA
SI
LIN
II
DE
CO
OR
DO
NA
TE
.
.
1.
Elip
soid
ul d
e ro
ta$e
. P
aram
etri
, coo
rdon
ate
gwgr
afic
e .
. (g
wd
ezic
e),
9.'
r&e,
arc
e, re
teau
a de
rner
idia
ne $
par
alel
e .
'
..
..
..
.
2.
Sfe
ra te
rest
rg. C
oord
onat
e ge
ogra
fice
si c
oord
onat
e sf
eric
e po
iare
. 12
V
erti
calu
ri ~i
alm
ucan
tara
te
-. .
3.-
Pla
nul d
e pr
oiec
Ge.
Car
oiaj
ul k
ilom
etri
c 14
CA
PIT
OL
UL
II
- TE
OR
IE G
EN
ER
AL
A P
RN
IND
PR
OIE
CT
IIL
E
.
CA
RT
OG
RA
FIC
E
....
- .
-.
.
...
....
. .
4.
Ecu
atiil
e h
eii
15
5. D
ista
nte
elem
enia
re p
e el
ipso
id ~
i 'in
plan
ul d
e pr
oiec
fie.
16
A
rce
de
mer
idia
n ~i
de
para
lel
6.
Def
orm
atiil
e di
stan
telo
r. E
lips
a de
fom
atii
lor.
Sc
S
19
7.
Def
orm
a$ile
ari
ilor
23
8.
Def
orm
atiil
e un
ghiu
rilo
r 24
9;
Rel
a*
dife
reng
ale
spec
ific
e un
or,c
lase
de
pro
iei.
25
L
atit
udin
ea iz
omet
rid
. ,
..
.
10.'
~la
sifi
kar
ea pr
oi~
ilo
r. ~en
eral
iki$
i 7-
9
1 1.
~la
sifi
car&
proi
e&ilo
r ca
rtog
rsif
ice'
dupg
ia
tk
.
dem
eint
elor
.
. .
3 0
care
nu
52 d
efor
m=
&
, .
.
. .
I. .
12.
Cla
sifi
care
a pr
oiea
lor
dup5
lati
tudg
ea
. po
lulu
i .
,
..
.,
..
..
3
1
. .
13.
CIa
sXca
rea
proi
e+ilo
r du
pg'a
spec
ful g
kndr
a~'d
rael
ei .
..
..
..
.
&6
Sid
e P
.
. ...
......
. ;:
"..
;.
3 1
. .
..
..
..
..
..
..
..
-3 -
14.
Nom
encl
atur
a tr
apez
elor
de
pe e
lipso
id, u
tili
zate
dre
pt c
adm
3 6
pe
ntru
h*
topo
graf
ice
15.
Pri
ncip
ii d
e ba
zg p
i for
mul
e ge
nera
le a
le p
roie
qiil
or a
zim
utal
e 45
16.
Pro
iect
ia a
zim
utaE
nep
ersp
ecti
v8 ec
hidi
stan
t2 p
e m
erid
iane
50
B -
Pro
iecf
ii a
zim
uta
le p
ersp
ecti
ve
18.
Pri
ncip
iul p
roi@
ilor
az
irnu
tale
per
spec
tive
~i c
lasi
fica
rea
lor
54
19.
Foi
mul
e ge
nera
le p
entr
u ca
lcul
ul c
oord
onat
elor
in
pro
iect
iile
azi
mut
ale
pers
pect
ive
20.
Proi
ec$i
az
imut
ale
pers
pect
ive
orto
graf
ice
21.
Pro
ieai
azi
mut
ale
pers
pect
ive
cent
rale
. Ort
odro
ma
22.
Pro
ieqi
i az
imut
ale
pers
pect
ive
ster
eogr
afic
e
23.
Pro
ieqi
a st
ereo
gr&
cg p
e pl
anul
uni
c se
cant
Brq
ov
25.
Cal
culu
l coo
rdon
atel
or st
ereo
graf
ice
1970
, fi
mqi
e de
coo
rdon
atel
e ge
ogra
fice
26.
Tra
nsfo
rmar
ea c
oord
onat
elor
ste
reog
ratic
e 19
70 in
88
co
ordo
aate
geo
graf
ice
29.
Ver
ific
area
cor
ec@
lor
de re
duce
re a
dire
cfiil
or
97
la p
lanu
l de
pro
iect
ie
30.
Ung
hiul
de
conv
erge
- m
erid
ian5
?n pr
oiec
fia s
tere
ogra
ficz
197
0 99
3 1.
Red
ucer
ea d
ista
ntel
or d
e pe
eli
psoi
d,
. 10
1 la
pla
nul p
mie
cfie
i ste
reog
rafi
ce 1
970
...
,
32.
Cad
rul ~
i nom
encl
atur
a hw
ilor
topo
'gra
fice
10
3 ?n pr
oieq
ia s
tere
ogra
6cZ
197
0
3 3.
Tra
nsfo
rmar
ea c
oord
onat
elor
ster
eogr
afic
e 19
70
104
in c
oord
onat
e pl
ank
Gau
ss s
au in
vers
34.
Pro
iect
ie st
ereo
graf
ic3
pe un
plan
sec
ant l
ocal
, 10
4 pa
rale
l cu
plan
ul g
ener
al 1
970
' " .%
.
CA
PIT
OL
UL
IV
-
PR
OIE
CT
IA G
AU
SS (
GA
US
S-K
RU
GE
R) 1
UT
M
. ... .
35.
Gen
eral
itZai
i pri
vind
pro
iecf
ia G
auss
10
5
36.
Cal
culu
l coo
rdon
atel
or p
lane
Gau
ss, .
hn
cfie
de c
oord
onat
ele
107
geog
rafi
ce d
e pe
eli
psoi
d
37.
Tra
nsfo
rmar
ea cd
ordo
nate
lor p
lane
Gau
ss in
coo
rdon
ate
geog
raili
ce
113
pe e
lipso
id
38.
Ung
hiul
de
conv
erge
np m
erid
ian5
in p
roie
cfia
Gau
ss
119
39.
Cal
culu
l mod
ulul
ui d
e de
form
atie
pi a
1 de
form
a$iil
or d
in p
roie
qia
,
123
Gau
ss, f
unct
ie d
e coordonatele.geografic~.
.
40.
Cal
culu
l mod
ulul
ui d
e de
form
atie
si a
l def
orm
a+lo
r di
n p
roie
a
127
Gau
ss, f
unct
ie d
e co
ordo
nate
le p
lane
4 1.
Red
ucer
ea d
irec
tiil
or la
pla
nul d
e pr
oieq
ie G
auss
13
0 .,
..
42.
Ver
ific
irea
cor
e+ilo
r de
redu
cere
a d
irec
fiil
or la
pla
nul p
roie
qid
140
Gau
ss, p
e ix
iung
hiur
i
43..
Red
ucer
ea d
ista
ntel
or d
e pe
elip
soid
la p
lanu
l pro
iecf
iei G
auss
14
1
44.
Tra
nsca
lcul
area
coor
dona
telo
r pla
ne G
auss
din
tr-u
n fus ln
altu
l 14
4
45.
Cad
rul
si n
omen
clat
ura
foil
or d
e ha
rt5
topo
gra6
cS
pro
24
a
. 14
6 G
auss
46.
Pro
iecf
ia U
Th4
(U
nive
rsaE
Tra
nsve
rsal
g M
erca
tor)
CA
PrrO
LU
L V
-
PR
OIE
CT
II C
ILIN
DF
SC
E
J ..
47.
Prop
riet@
i +i f
orm
de g
ener
de a
le p
roie
cfii
lor c
iIin
dric
e 14
9
, .
48.
Pro
ieqi
i.ci%
ndri
ce dr
epte
ech
idis
tant
e 15
2
49.
Proi
ecfi
i ciI
indr
ice
drep
te e
chiv
alen
te
156
. .
50.
Pro
iect
ia c
ilind
rici
i dre
apt5
Mer
cato
r. L
oxod
roin
a 16
0
CA
PIT
OL
UL
VI
- P
RO
IEC
TlI
CO
NIC
E, P
SEU
DO
CO
NIC
E, P
OL
ICO
NIC
E
5 1.
Prop
riet
Zti
si h
mu
le g
ener
ale
ale
proi
ecfi
ilor c
onic
e 16
9
52.
~&
ec!i
i con
ice
drep
te e
chid
ista
nte,
pe
un c
on ta
ngen
t la
elip
soid
17
2
53
Pro
iei c
onic
e dr
epte
ech
ival
eme
174
54.
Proi
ec$i
con
ice
conf
orm
e dr
epte
(pro
ieqi
i con
ice
Lam
bert
) 17
7
. 56
. P
roie
qia
pseu
doco
nic-
5 ec
hiva
lent
g B
onne
gi
mod
ul c
um a
fost
apl
icat
g h R
om
bia
CM
ITO
LU
L V
II
- PR
OB
LE
ME
DE
C
AR
TO
ME
IRE
58.
Tra
sare
a re
fele
i kilo
met
rice
pe
bm
2
197
. .
. 59.
Det
erm
inar
ea co
ordo
nate
lor u
nui p
unct
de
pe h
art5
sa
u ra
port
area
unu
i pun
ct d
at p
rin
coor
dona
te
60.
Det
erm
inai
ea u
ilei d
istm
$ cu a
juto
iul u
nei h
Gi
63.
Mh
ua
rea
pan
telo
r, p
e hk$
cu c
urbe
de
nive
l 20
3 -
: 64
. V
efic
area
viz
ibili
t&@
i dint
re do
115
punc
te d
in te
ren,
fo
losi
nd o
har&
cu c
urbe
de
nive
l
Ded
ic a
ceas
tz lu
crar
e pk
-hfl
or
mei
, G
heor
ghe N
. Mun
tean
u (1
896-1 978) $
i E
lena
Gh M
unte
anu
(n.V
asili
u-M
atiu
, 19
07-1
996)
. - P
RE
FA
TA
i i
Ace
st5
lucr
ye s
e ad
rese
az&
in p
nmul
fin
d, s
tude
ntilo
r de
la F
acul
tate
a de
geo
dezi
e di
n 1 .
Uni
vers
itate
a T
ehn
i~g
de
Con
stru
e@ B
ucur
egti.
Ins&
ea p
oale
fi u
tilB
$i
dto
r. p-
=me,
a cb
or
1 ac
tivita
te a
re t
ange
n@ c
u pr
oiec
tiile
cm
o&ce
, in
cad
rul
unor
lu
crz
de
geod
ezie
, to
pogr
afie
, 1
foto
gram
ctrie
, ca
d*
sax
in lu
cr&
de
alt g
en
Prim
a. ...&
ti
e a
. ace
stui
cur
s un
iver
sita
r a
ap
ht in
anul
19
75,
edit
at5
la I
nsti
tutu
l de
j
cons
&&
&
Buc
ureg
ti, k
fo-
lit
ogra
fiat%
, pe
316
pa
ge
sub
titl
ul ,,
Car
toga
fie
rnat
emat
icE
i
into
cmir
e ed
itare
", i
n ca
re p
arte
a de
in
tow
e $i
edi
tare
a m
ar, p
recu
m gi
prim
ele
30 p
agin
i i
ale
lucr
5ii.
au f
ost r
edac
tate
de
regr
etat
ul c
oleg
de
cate
d.6,
dr.
ing.
Vu~
i1 Cal
istr
u.
i 1 A
ctua
Ia e
diti
e a
curs
ului
se
refe
r5 n
urna
i la
cart
ogra
lia
mat
emat
icit.
In
ansa
mbl
u, a
m p
gstr
2t
r st
ruct
ura
p&$
de c
arto
pfi
e m
atem
atic
5 di
n pr
ima
edif
ie, d
ar a
m c
Zut
at s5
mbu
nlit
@e~
c lucr
area
,
a&
sub
aspe
ctul
form
ei, c
lt $
a1 c
ontin
utul
ui. -
Tin
d co
nt d
e fk
ptul
cl p
reda
rea
aces
tui c
urs
Fnc
epe,
Tn g
ener
al, in a
nul LU
de s
tudi
i, ~i
d
in a
nii
ante
rior
i, sa
u co
ncom
itent
cu
aces
t cur
s, s
tude
n!%
dob
lnde
sc u
nele
cun
o~ti
nte d
e ge
odez
ie,
am c
onde
nsat
la m
axim
um e
xpun
ereq
In
pwrfi
le c
are
au ta
ngen
* cu g
eode
zia
elip
soid
alS
pen
tru
a re
duce
repe
tkil
e la
un
min
im s
tric
t nec
esar
urm
kiri
i ex
pune
rii.
De
com
un a
cord
cu
cadr
ele
dida
ctic
e de
la
curs
uril
e cu p
rofi
l geo
dezi
c, a
m tr
atat
in c
ursu
l de
carto
graf
ie
$i p
robl
emel
e de
red
ucer
i la
pla
nul
de p
roie
c$e,
at
5t c
ele
refe
ntoa
re l
a m
ZLsu
rBto
rile
arim
utal
e, c
Zt $
ccl
e re
feri
toar
e la
dis
tanx
ele
de p
e el
ipso
id.
Pro
iect
iile
Gau
ss-K
ruge
r / U
TM
gi
ster
eogr
afic
g 19
70 au
fost
exp
use
foar
te d
etal
iat,
astf
el
?nci
?t si
ofer
stu
dent
ilor
solu
fii c
ompl
ete
,yi p
reci
se, l
a pr
oble
mel
e de
be
ca
re d
ecw
g di
n ut
iliza
rea
in p
rodu
cfia
geo
dezi
cz c
uren
ta a
ace
stor
pro
iect
ii ca
rtog
afic
e of
icia
le.
Mul
fum
esc
tutu
ror
cole
gilo
r ca
re, h f
aza
de r
edac
tare
fin
al5
a lu
crs
, m
-au
ajut
at c
u pk
eril
e lo
r, in
pro
blem
e de
det
aliu
pri
vind
des
enar
ea TII
Aut
ocad
.
Mul
?sm
esc
editu
rii,
care
a a
ccep
tat
sii t
iph
as~
g
~i s5 d
istr
ibui
e ac
east
g lu
crar
e.
~u
dr
,
Con
stan
tin Gk M
unte
anu
" 69
bser
va;ti
i pri
vind
p.ro
ie&
i ne
incl
use i
n cl
asif
icae
a du
pa a
spec
tul r
efel
ei n
orm
ale:
Obr. lo
- -~
hec+
iile
con
vent
iom
xle
hu r
unt
incl
use 3 c
lasi
fica
rea
dupi
asp
ectu
l rep
lei
iom
ale;
d
aare
ce,
in a
cest
e pr
oiee
ii,
repr
eten
tare
a m
erid
i~nc
lor g
i p
adel
elo
r (r
egel
ei
nom
ale)
ete
foar
te d
ifer
iita,
fich
du
-se
dupg
regu
li, 2n
gene
ral,
dest
ul d
e co
mpl
icat
e.
<,..
! ..
..
. .
. .
. .
.. .
. ..
. .
. ' ,
" O
bs.2
'- P
mie
qii
le p
olie
dn
ce "Tn
eent
5r n
u' s
urit
.noi
U. .E
le p
reia
u ue
ele
elem
ente
de
b&
~
de
la'c
elel
alte
pro
ieqi
i rn
eqio
nate
ant
erio
r.
Car
acte
rist
ic p
roie
c*lo
r po
lied
rice
,es
te f
aptu
l cl
l su
praf
ap t
eres
trli
se d
ivtd
e in
-
. tr
apez
e cu
rbil
inii
, de
lim
itat
e de
arc
e de
mer
idia
n gi
de p
aral
el,
apoi
fie
care
tra
pez
se
repr
ezin
tg p
e -c
?ite
o fo
aie
de h
art5
sep
arat
5, c
u un s
iste
m p
ropr
iu d
e ax
e d
e c
oord
onm
te.
Pla
nele
ace
stor
fo
i de
har
t& a
sam
blat
e, a
r pu
tea
cons
titu
i fer
ele
unui
pol
iedr
u, p
e ca
re s
e re
prez
int5
sup
rafa
ta t
eres
trri
. D
e ai
ci g
i de
num
irea
de
"pro
kcti
i po
liedr
ice"
. F
oile
au
o an
umit
s no
rnen
clat
ur3,
?n
funq
ie d
e po
ziua
geo
@cl
i a
trap
ezul
ui 5
i de
scar
a h
ai.
P
roie
ctia
pol
iedr
icH
pen
tru
hart
a ia
tern
atio
nd
s la
sca
m 1:l
000 OW
a fo
st a
dopt
&
in
anul
19
09,
la un
cong
res
inte
rnat
io1m
.I Ti
nut
la
Lon
dra.
E
a ae
rivi
i di
ntr-
o pr
oiec
$e
poli
coni
cl.
:
In a
nuI
1951
, cl
nd R
o&a
a ad
opta
t pr
oiec
$a s
uss
ca p
roie
cfie
ofi
cial
l pe
ntru
!.a
crA
rile
geo
du
icq
?o
pt-
fits
gm
etri
ce $
i czr
togr
dice
, s-a
hot
&,%
ci h
We
topo
graf
ice
$i
pia
n~
le
topo
gati
ce d
e baz
5 s
l aib
zi u
n c
adru
de
tip
geog
raii
c, fo
rmat
din
inag
inil
e pl
ane
ale
unor
arce
.de
mer
idia
n $i
de
para
lel,
care
, pe
elip
soid
uf d
e ro
tafi
e, d
eliin
iteaz
li ni
ste
trap
eze
curb
ilin
ii, n
umit
e 7i1
mod
cur
ent "
trap
eze"
. .
Ace
st t
ip d
e ca
dru
a fo
st m
entin
ut ~
i dup
l ado
ptar
k pr
oiec
tiei s
tere
ogra
fice
197
0.
Fie
care
tra
pez
are
o an
urni
t% no
men
clat
ur5
gi se
rep
rezi
ntl
pe
o
foai
e de
har
t2
sepa
rat5
. .<
.
Nom
encl
atur
a un
ui t
rape
z es
te c
orel
aa cu
scar
a hi%
$ la
da
re u
rmea
zH a
fi
re
prez
enta
t, cu p
od
ia
sa
geog
rafi
c& c
u co
ordo
nate
le
geog
rafi
ce
ale,
co
lwlo
r gi
cu
nom
encl
atur
iIe
trap
ezel
or v
ecin
e.
In f
ara
noas
trg
$ io
alte
mi,
sun
t fo
losi
te u
m&
oare
le
sdri
sta
ndar
d, l
egat
e &
no
men
clat
ura
trap
ezel
or:
1 : 1.
000.
000,
1:
500.
000,
1:
200.
000,
1:
100.
000,
1:
50.0
00,
1:25
.000
, 1:
10.0
00,
1:5.
000,
$
1:
2.00
0.
In
leg
hg
cu
inti
nder
ea t
rape
zelo
r p
e la
titud
ine
gi
pe l
ongi
tudi
ne,
vom
fol
osi
nota
tiil
e:
AB
= d
ifer
enp
de la
titu
dine
din
tre
Gce
le d
e pa
rale
l, ca
re d
elim
iteaz
g un
trap
ez,
la
sud $i Ia n
ord;
OL =
die
ren
p d
e lo
ngitu
dine
din
tre
arce
le dz
mer
idiq
cu
e d
eli
~it
ea
d un
tr
ap&
, Ia *
st ~i
la !s
t, '
, P
entr
u fi
ecar
$ di
n 's
&iI
e ni
enfi
onat
e m
ai ^
min
te, i
ntin
dere
a tra
pezu
lui p
e la
titud
ine
~i
'c&
pe
long
itud
ine
sunt
cor
elat
e cu s
cara
h&$i.
. .
, cotf
fit an
^ Gk. MUhiTEm
, ,
Cm
Gm
@
TE
MA
TfC
A..
, UT
Q -F
a&
I~&
.de
Geo
daie
:.Euc
ures
ti
se
tnce
pe c
u sc
ara 1:1.000.000.
Pe.
elip
soid
u1 d
e,ro
ta$e
se
duc
mer
idia
ne d
m
6' in
6"
, a@
spr
e eS &
~i s
pre
vc
a d
e.m
erid
iaiu
1 G
reen
w;&
:Ele
de
term
inz
fise
de
@,.c
are
se
,. .
. .
. .
../
.."
rnm
erot
eazl
cu
c5
e ar
abe,
de
la 1
la 6
0 (f
ig. 1
4-1.
a ).
W
ea
ga
num
erot
are
a fu
selo
r se
Fac
e de
la
vest
sp
re e
st,
ince
ph
d d
e Ik
gl
rner
-dian
ul de
- 180
".
Fus
ele
1, ...
30
sunt
sit
uate
?n em
isfe
ra v
esti
d,
iar
fuse
le 3
1, ...
60
sunt
si
ke
k
&sf
era
esti
cI.
Mer
idia
nul d
e 18
0" d
espa
rte fusuI
1, s
itua
t Tn
emis
fera
ves
tici
, de
fi~
~u
l 60
, si
tuat
fn
emis
fera
esr
ici
iar
mer
idia
nul
Gre
enw
ich
desp
arte
fis
ul
30,
situ
at l
a ve
st,
de h
sul
3 1,
situ
at la
est
. P
orni
nd d
e la
ecu
atcr
, spr
e po
li, s
e c
~a
sid
ee
pa
rale
le d
use
la i
nter
vale
de
4". P
-ces
tea
delim
iteaz
g zo
ne d
e do,
care
, in
em
isfe
ra n
ord
ici
unde
est
e si
tuat
2 #i
Rom
gnia
, se
not
eaz5
de
la
ecua
tor
spre
Pol
ul n
ord,
(ln
tre
lati
tudi
nile
0"-
889,
cu
urm
atoa
rele
lite
re m
ajus
cule
ale
al
fabe
tulu
i lat
in:
A.,
B,
C, D, E, F, G
, Y I,
J, Y
L,
M,
N, C, P,
Q, R
, S,
T, U, V, a
$a c
um s
e ar
atE
in f
ig.
14 -1
b.
Par
alel
ele
si m
erid
iane
le, d
use qa cc
m am a
rgta
f de
terr
ninE
, pe
elip
soid
, tra
peze
de
$' x
6',
care
um
ek
a fi
repr
&en
tate
1$ s
cam
1 :
1.0
00.0
03.
Nom
encl
atur
a un
ui t
rape
z de
rep
reze
ntat
1:
1.
000.
000
se c
ompu
ne d
intr
-o l
iter5
m
ajus
cul5
, car
e ar
atl z
ona
de 4'
in c
ase
se g
iise9
te tr
apem
4 -ti
de
nu
mh
l fu
sulu
i de
6",
in c
are
este
situ
at. D
e ex
empl
u:
L-3
4
(14
-1)
Pen
tru
a af
la li
mite
le g
eogr
&ce
ale
ace
stui
tra
p-
se p
oate
pra
ceda
ast
fel:
folo
sind
Ii
tera
L, dim
nom
encl
atur
5, f
i fi
g.14
-Ib
, se
pot
sta
bili
lati
tudi
nile
par
alel
elor
car
e de
limite
azg
irap
ezul
la s
ud (
449
gi l
a no
rd (
489,
iar
cu
ajut
orul
nu
mar
~lu
i 54
, ti
r; i
izm
encl
atu
r~ 9 ai
sc
hem
ei d
in
fig.
14-
la,
pot fi s
tabi
lite
long
itud
inil
e mer
idia
nelo
r ca
re d
elir
nite
azl t
rape
zul l
a ve
st (1
8')
$i la
est
(24'
). C
unos
chd
coor
dona
tele
ge
ogra
fice
al
e w
lwlo
r tr
apez
ului
, qt
im
exac
t po
dria
tr
apez
ului
L -
34 p
e el
ipso
idul
de
refe
rint
a C
u aj
utor
ul a
celo
ragi
sch
eme,
pot
E d
edus
e, i
rned
iat,
~i no
men
clat
wil
e tr
apez
elor
ve
cine
. Pen
tru
trap
ezel
e de
rep
reze
ntat
la s
cara
1:500.000,
inti
nder
ea p
e la
titu
diie
~i c
ea p
e lo
ngitu
dine
se
redu
c la
jum
ltat
e f+
de
caz
ul p
rece
dent
, as
tfel
inc
iit,
teri
tori
ul din l
imit
ele
unui
tra
pez
1: 1.
000.
000 .se va
repr
ezen
ta p
e 4
trap
eze
de 2
' x 3
", *l
a sca
m
1:50
0.00
0, n
otat
e,
.
in i
nter
ioru
l tra
pezu
lui 1
:I .0
00.0
00, p
rin
lite
rele
4 B
, C, D
'(fig
:14-
2).
Nom
encl
aiur
c unui
trap
ez
de
repr
ezen
tat
la
scar
a 1:
500.
000,
se
for
mea
zl
din
nom
encl
atur
a tra
pezu
lui
1:1.
000.
000,
in
care
est
e si
tuat
, urm
at5
de u
na d
in l
iter
ele
maj
uscu
le
A B
, @,
sau
D (f
ig. 1
4-2)
. De
exem
piu:
. .
pen&
un
&ap
ez.d
e rep
reze
ntat
li
scar
a 1:200.000,
se &
&re
rZ..
de
6 or
iin%
d%ea
unui
trap
ez 1
:1.0
00.0
00, a&
pe
latit
udir
ie d
t $
pe
long
itud
ine,
aju
ngib
du-s
e 'la
40'
pe
la
~d
ii
e
ei 1
' pe
lo
ng
itd
ie,
de u
nde
rezu
lt5
c& ?n fi
ecar
e tr
apez
1: 1
.000
.000
, tra
peze
Ie d
e .
repr
eten
tat
1:20
0.00
0 ..
. su
nt
. .. . qez
ate
pe 6
col
oane
gi 6
lini
i. ..
. ,.
. .
%. . .
. .
, . .
.
.. -
. ..
Cel
e 36
tra
peze
1:2
00.0
00 s
e nu
mer
otea
G c
u'ci
fie
rom
ane
de l
a I
la
ioce
pgn
d c
u r
lod
ul
dc sus $i
as*
infi
t, p
e fi
ecar
e r
hd
, num
erel
e si c
reas
e5
de l
a st
anga
Ia d
reap
ta (f
ig. 1
4 -2
).
ad
ie in n
omen
clat
ura
(14
-3)
nu ,
se p
reci
zepg
poz
itia
o~
pa
t5. de
tra
pezu
l , X
XX
v'I
in
trap
enrl
sW
im
edia
t m
ai m
ici,
1:50
0.00
0, c
i se
.pre
cize
az5 direct p
o&a
ocup
atg fn c
ah
l tr
apez
ului
L - 3
4 a1
scik
ii 1
:1.0
00.0
00.
:: *..
..
,.
, ,:.
. . .,:.
.. .
' E
CU
AT
OR
UL
f
,.
F
ig. 1'
4 - l
a
Fig
. 14;
Ib
N
umer
otar
ea f
usel
or d
e 6 g
rade
.
. N
otar
ea z
onel
or
..
. ,,, L
' de
4 g
rade
latit
udin
e
Fig
. 14
-2.
Not
aret
rape
zelo
r s
mo
r 1
:500
.000
, 1:
200.
000,
@
l:I0
0.00
0,
in ca
drul
unu
i tra
pez
a1 s
cc
i 1: 1
.000
.000
Tra
peze
1e sc
Zirii 1
:100
.000
au
AB
= 2
0'
AX.
= 3
0'
In fi
ecar
e tr
apez
1 :2
00.0
00 s
unt s
itua
te 4
trap
eze
de re
prez
enta
t 1 :
100.
000.
F
ieca
re tr
apez
1 : 1
.000
.000
con
@e
144
trap
eze
de re
prez
enta
t 1 :
100.
000
(12
linii
x 1
2
colo
ane)
, num
erot
ate cu c
ifre
ara
be, d
e la
1 la
144
(fig
.14
-2).
Nom
encl
atur
a m
i trap
ez 1
:100
.000
se
form
ema
dir
m din n
omen
clam
ra t
rape
zulu
i 1:
1.00
0.00
0 GI c
are
este
situ
at, urmatg d
e un
num
ar c
are-
i p
rec
ize
d p
oziti
a ?n c
aM
ac
estu
ia. D
e ex
empl
u, tr
apez
ul s
ck-ii
1:1
00.0
00 , si
tuat
h colp.1 d
e s
.E.'
~
trap
ezul
ui L
-34,
m
e no
men
clat
ura
L-3
4-1
44
(1
4 -4
)
39
-
Nom
encl
atur
a tr
apez
elor
1 :2
00.0
00 are l
a ba
zi n
omen
clah
n tr
apez
elor
I : I
.000
.000
, .de e
xem
plu :
. .,
., ,
.: . :
_.
'
De
reti
nut
cS p
e or
ice
rbd
(lin
ie),
num
erel
e tr
apez
elor
1:lO
O.O
C)O
ae
sc d
e la
sth
ga
B d
reap
ta;
iarn
umer
otar
eakc
epe
din
colp
l de
N,Y
. N
om
en
cld
a t
r8,p
ezel
or s
c&i
1 :10
0.00
0 se
. ia
ca
ba
zg p
entr
u no
men
clat
ura
cebr
taft
e sr
3jii,
mai
mar
i, ca
re u
nn
eh
. P
entr
u un tr
apez
de
repr
ezen
tat
1:50
.000
, se
ia :
dB= 1
0'
AI,=
15'
,. a
de
l c&
fie
care
trap
ez a
1 sc
kii
1:1
00.0
00'c
onfi
ne 4
trap
eze
de r
epre
zent
at 1
:50.
000,
not
ate
cu li
tere
le m
ajus
cule
A, B. C
, sac
D (
fig.
-14 -
3).
De
exem
plu,
cel
e 4
trap
eze
1:50
.000
, si
tuat
e 21
.tra
pezu
l. L
-34-
144
jal
sc&
i 1 :
100.
000)
, au
nom
encl
atur
ile
L-3
4-14
4-4
L-3
4-14
4-B
, L
-34-
144-
C,
L-3
4-14
4-D
04
-51
, F
ig.
14-3
. ~
itar
eatr
apez
ebr s
Wo
r 1
:50.
000,
1.
25 0
00,
$ 1
:10.
000,
in
cadr
ul u
nui t
rape
z a1
sck
ii 1
:lOO
.OO
O
Pen
tru
scar
5 1 : 25
.000
se
ia: h
e=
5' ..
h~
,=
~j
dl
l
,
Cel
e 4
trap
eze
ale
sch
ii 1
:25.
000,
din
cad
rql
fie
ch
i tr
apez
, a1
sc2
ii 1
:50.
00@
, se
not&
pe
lin
ii, b
cep
ind
de
sus
~i d
e la
sth
ga
la d
reap
ta, cu
liter
ele
min
uscu
le ..
a, b
, c,'
d
De
exer
np!~
, trap
ezul
1:2
5.00
0 si
tuat
.in
colp
d de
S.E
. a!
tra
pc-d
ui
Li3
4144
-A
are
: -
L-3
4-14
4-A
-d ,
iar
trap
ezul
1:
25.0
00 s
itua
t to
t b c
oltu
l de
S.E. ,
dar
a1 t
rape
zulu
i L
-34-
144D
,
are
: L
-34-
144-
D-d
,
' (1
4-6)
&pH
cum s
e po
ate
vede
a in
fig
. 14-
3.
Tra
peze
le d
e re
prez
enta
t la
scar
a 1 : 1
0.00
0 a
. :
--
OB
= 2
'30"
fi= 3
'45"
astf
el c
5, in
fie
care
trap
ez a
1 s
6i
i :25
.@00
sunt
cup
rins
e 4
trap
eze
de r
epre
zent
at 1
: 10.
000,
nu
mer
otat
e cu
cif
rele
ara
be 1
,2, 3
,4
(fig
. 14-
3).
Nor
uenc
iatu
ra u
nui
trap
ex l
a sc
ara
1.!0
.000
se
com
pune
din
nom
encl
atur
a tr
apez
ului
la
sca
ra 1
.25-
000 , ?
n ca
re e
ste
situ
at, l
a ca
re s
e ad
augS
UPC
! d
k nu
mer
ele
1. 2
, 3,
sau
4,
de
exem
plu:
L
-34-
144
-D-d
-4
(14-
7)
Pen
tru
trap
ezel
e de
rep
reze
ntat
la s
cara
B : 5
.000
, au
fos
t ado
ptat
e va
lori
le :
astfe
l Tnc
5 fi
ecar
e tr
apez
& sc
hii
1 : 1
0.00
0 co
ntin
e 4
trap
eze
ale
scgr
ii 1 5
.00
0 (fig. 14
-5),
iai
. ?n fi
ecar
e tq
ez
1 : 1
00.0
00 s
unt
256
trap
eze
de r
epre
zent
at l
a sc
ara
1:5.
000,
ord
onat
e pe
16
lini
i $i 1
6 co
loan
e, ca fn
fig.
14
-4.
Nom
encl
atur
a tr
apez
elor
1:5
000
are
dou
2 va
rian
te ~
i am
me:
Pri
ma
vari
anti
& n
omen
clar
uri5
pen
tru
trap
ezel
e 1 : 5
.000
(v
eche
gi
foar
te p
u$n
folo
sitH
31
sect
orul
civ
il d
in R
om
Ga)
: cu
ajut
orul
unu
ia d
in c
ele
256
num
ere
(de
la 1
la
256)
, se
ara
t.5 p
ozi$
a v
ez
ulu
i '1:
5.00
0 , d
irec
t. in
inte
rior
ul tr
apem
lui W
i 1 :
100.
0063
. D
e ex
empl
k u
tik
hd
aces
t sii
tem
, tra
peze
le d
e re
prez
enta
t 1:
5.00
0, c
upri
nse i
n tr
apez
ul
G34
-144
(sc
ara
1 : 10
0.00
0) au
nom
encl
atur
ile (f
ig. 1
4-4)
: L
-34-
144-
(1)
L34
-144
-(2)
(1
4-8)
-
Fig
. 1
44
. W
umer
ohre
a ce
lor2
56 tr
apez
e 1:
5.00
0 irr
cad
rui u
nui t
rape
z 1:
100.
000
A d
ona
va
rim
ti d
e s
ota
re a
tra
pem
Eor
1:5
.OW
(f
olos
iti c
uren
t in
se
c~
od
ci
vil)
ut
ilue
az5
cifk
ele
rorn
ane
I, IJ,
El, i
Iv ,
pen
tru
a ar
ita
pozi
$a a
nui
trap
ez 1
.500
0, i
n in
teri
oml t
rape
zulu
i sc
kii
1 : 1
0.00
0 (fig. 14-5).
Fig
. 14 - 5
No
tare
a celor
pa
La
trapeze 1 :
5 000 ,
dint
r-un
trapez 1 : 10 000
.
De
exer
nplu
, ac
elea
$ tr
apez
e 1:
5.00
0,
care
?n
pri
ma
vari
ant&
de
nota
re
au
nom
encl
atur
ile (1
4-8)
, in
a d
oua
varh
t'i au
nom
encl
atur
ile (
vezi
fig
.14
3 ~
i fig
.14-
5) :
..........
..........
.........,
.'
. .::
i:r
.. ....
..........
.... ....
..
.
.
L3
4-1
44
-A-a
4N
.
.
...
..- .
.
Ace
asta
est
e ia
rian
ta c
ea m
ai f
olos
itZ Tn u
itat
ile
civi
le d
e pr
oduc
tie
cart
og
rdca
din
R
oman
ia.
~o
me
nc
l&ra
trap
ezel
or d
d re
prez
enta
t la
sca
ra 1
:2.0
00
cuno
a$te
, in
Ron
Gni
a, t
ot
douH
var
iant
e, c
are
dife
r1 a
t& p
rin p
rin
mod
ul d
e no
tare
a tr
apez
elor
, &
$i prin
htin
dere
a lo
r ..
. ge
ogdi
cli:
;
...
. .
- pri
ma
vari
ant5
(vec
he)
: fi
ecar
e tr
apez
de
repr
ezen
tat 1
:5.0
00, w
n@e
9 trapeze d
e ce
prez
enta
t 11:
2.00
0, n
otat
e cu p
rim
ele
9 li
tere
min
uscu
le a
le a
lfab
etul
ui, i
ncep
lnd
cu h
ia d
e sus
ji m
ergi
rnd
totd
eaun
a d
e la
mg
a la
dre
apta
, ca .
in
-.
fig.
14-
6 a
In
acea
stii
vari
antf
i, fi
ecar
e tr
apez
1:2
.000
are
: AE =
25
",0
&
=
37",
5 ,
iar
nom
encl
atur
a un
ui t
rape
z a1
scH
rii 1
.2.0
00 (v
aria
nta
vech
e) s
e fo
rme
d d
in n
omen
clat
ura
tra
pd
ui
1:5.
000
(var
iant
a ve
che)
, ur
mat
5 de
una
din
lit
erei
e m
inus
cule
a,
b.
C,
d,
e,
g, h,
i sc
risg
in i
nter
ioru
l par
anta
ei,
de e
xem
piu:
a)
sist
,e@
pl vech
l b)
sist
ernu
t nq
u ...
..
. .
Fig.
14
- 6
~fa
~iz
ele
sc
arf1
1:2
000.
in c
adru
l unu
i tra
pez
1:5
OW
.
..
L
. .
I .
..
. .
, .
J
. .
,. .
.Con
stan
tan G
h L
WM
Z?JW
C
AR
TO
GR
AF
IE M
AT
EM
AT
ICA
UTCB -F
acul
tatte
a de
Geo
dm
e, B
ucw
estl
I I I
- a doua
vari
ant5
(ap
licat
ii d
in m
u1
1973 ~
i ur
prez
ent)
fol
oseg
te t
rape
ze c
are
au
form
atul
mai
md
e.
i AB =
37"
,50
(in l
oc d
e 25
",00
) I
AL
= 5
6",2
5 (?
nloc
de
37",
50)
,
adic
Z, (Eg. 1
4-6
b), 51
fiec
are
trap
ez a
l s&
ii 1:
5.00
0 ex
ist5
4 tr
apez
e (in
loc
de 9
trap
eze)
de
repr
ezen
tat
la
scas
a 1:
2.00
0.
Nom
encl
atur
a un
ui
astf
el
de
trap
ez
se
form
&
din
nom
encl
atur
a tr
apez
ului
1.5
.000
, ?n ca
re e
ste
situ
at, u
rmat
.5 d
e un
a di
n ci
fiel
e ar
abe
1, 2, 3
sau 4, d
e ex
empl
u:
.. : .,
.Nom
encl
atu
ra u
inei
foi
de
hart
s (&
e ar
e LI
D
cadr
u ge
ogra
fic
de t
ipul
cel
ui e
xpus
rn
ai s
us) se c
ompu
ne d
in n
omen
clat
ura
trap
ezdu
i de
pe
elip
soid
, urm
ati
de d
enum
irea
cal
ei
-__ I
m~
.im
po
rtm
te
loca
lita
6 re
prez
enta
tg p
e ha
rta
resp
ectiv
5, d
e ex
empl
u:
. j
.. ..
. .
L-34-144 (
CR
AIO
VA
)
, i In
caz
ul in
car
e pe
foa
ia d
e ha
i-6
nu a
pare
nic
i o
loca
litat
e, a
tunc
i se
scri
e de
num
irea
I
celu
i m
ai i
mpo
rtan
t det
aliu
topo
graf
ic, a
stfe
l ale
s in
c&. s
2 nu
apa
rZ p
e rn
ai m
ulte
foi d
e ha
rt&
. D
ac5
deta
liul
topo
graf
ic m
entio
nat
G-I
nom
encl
atur
a hw
i es
te s
qio
mt
de c
adrd
, at
unci
, cu
aju
toru
l pun
ctel
or w
din
ale,
est
, ve
st,
sud,
nor
d, s
e fa
c pr
eciz
&iI
e re
spec
tive.
Ds
I ex
empl
u:
1
L-3
5-11
2-B
-b
(PL
OIE
ST
I ves
t)
In e
oncl
ozie
, tr
ebui
e re
*ut
c?i,
atun
ci c
hd
hk
tile
au
drep
t ca
dru
imag
inea
unu
i tr
apez
de
pe e
llpso
id, (
cadr
u de
tip
geog
rafic
), di
men
siun
ile a
cest
uia
sunt
var
iabi
le d
e la
o
foai
e de
har
Ci
la
aka,
ch
iar
dacg
eln
au
ac
eea~
i Win
dere
pe
lati
tudi
ne g
i re
spec
tiv p
e lo
ngitu
dine
, ac
eeq
i sc
ar5
gene
rala
$i a
cela
$ si
stem
de
proi
eqie
. C
adrr
rl de
ace
st ti
p nu
est
e ni
ci tr
apez
, nic
i pat
rat, nici d
rept
ungh
i. E
l es
te u
n un
pat
rula
ter
oare
care
, car
e se
con
stru
ieQ
e ra
po
rth
d p
rin
coor
dona
te re
ctan
gula
re c
olpr
ile
trap
ezul
ui q
i (e
vent
ual)
pun
cte
inte
rmed
iare
. A
cest
e co
ordo
nate
se own pr
in tr
ansf
orm
area
coo
rdon
atel
or g
wg
rdce
i~
wor
dona
te p
lane
, En
proi
ecfi
a 3 c
are
se i
ntoc
meg
te h
arta
(de
exe
mpl
u in
pro
iecf
ia G
auss
sau I
n pr
oieq
ia
ster
eogr
afid
197
0).
Deg
i un
cadr
u de
tip
geo
gd
ic s
e re
pra
intz
mai
gre
u de
cfit it c
cadr
u de
tip
geom
etri
c (c
are
est
e un
pgtr
at s
au un
drep
tung
hi cu
lanu
ile
para
lele
, re
sp
dv
per
pend
icul
are,
pe
liniil
e ca
roia
julu
i kilo
met
ric)
, el
ofe
r?i
unel
e av
anta
je le
gate
de:
com
oda
poz$
onar
e g
m@
d
a te
rito
riul
ui r
epre
zent
at p
e fo
aia
de h
artil
, Ieg
Btu
ra cu h&$
la a
lte
scir
i sa
u in a
lte s
iste
me
de
proi
ecfi
e, m
5sur
a.re
.a a
riil
or n
eces
are cadastruiui
hc
iar *.a
. , A
dn
un
te p
rivi
nd c
onst
rucf
ia g
i ve
ri£ic
are
cadr
ului
de
tip
geog
rafi
c se
&es
c in
capi
tole
le re
fent
oare
la p
roie
cfiil
e G
auss
$i r
espe
ctiv
ste
reog
raii
d 19
70.
CA
PITO
LUL
III
8.
. :
PRO
IEC
TPX
MIM
UT
AL
E
. . . .
-
15.
PRTM
CIP
HI SI
FOR
MU
LE
GE
NE
WL
E A
LE
PR
OlE
CT
1[~
0R AZ
KM
UT
AL
IE
Gas
a pr
oiec
tiiio
r az
imut
ale,
num
ite u
neor
i "
x~
tale
", o
asoc
iern
cu
o re
lea
n~
md
5
repr
ezen
tatg
pri
n ce
rcur
i con
cent
rice
, av
hd
ca
cent
ru im
agin
ea p
olul
ui Q
o , gi
ra
ze c
are
ies
din
aces
t pol
(fi
g. 1
5-2)
.
Fig
. 15
-1
Det
errn
inar
ea po
zitie
i pia
nulu
i de
proi
ectie
, fat
a de
sup
rafa
ts s
fere
i
De
regu
l5,
polu
l se
ale
ge i
n zo
na c
entr
al5
a te
rito
riul
ui d
e re
prez
enta
t, se
def
ine~
te
prin
coo
rdon
atel
e sa
le g
eogr
afic
e, i
ar i
mag
inea
sa
in p
laan
l de
pro
ie&
e se
va
lua
drep
t or
igin
e a
sist
emel
or d
e co
ordo
nate
pla
ne, a
tit
pola
re c
it .t
i rec
tang
ilar
e.
Dac
5 pl
anul
es
te t
ange
nt
la
sfer
5,
atun
ci
punc
td
de
tang
en@
est
e ch
iar
polu
l pr
oie4
ei.
Dac
H s
e ad
opt3
un p
lan
seca
nt, a
cest
a es
te p
aral
e1 cu
plan
ul ta
ngen
t, ia
r po
ziti
a sa fa@
de
polu
l pro
ieqi
ei,
se p
reci
zead
pri
n in
term
edid
dis
tanf
ei z
enit
ale
a ce
rcul
ui d
e se
c$io
nare
(f
ig.
15-I
), s
au a
latit
udin
iii d
acH
pol
ul p
roie
cJie
i coi
ncid
e cu c
e1 g
eogr
afic
. Fu
nc$i
e de
latit
udin
ea cp
, a
polu
lui Q
o , p
roie
ctiil
e b
ut
al
e po
t fi:
- dre
pte
(nor
mal
e, s
m p
olar
e)
cpo =
90°
- o
blic
e 0°
< Q
, <
90'
- tra
nsve
rsal
e (e
cuat
oria
le)
q,,=
o0
Fun
+e
de e
lem
ente
le g
eorn
etri
ce c
are
nu s
e de
form
wZ
, ro
iecf
iile
azi
mut
ale
pot fi:
- con
form
e;
- ech
ival
ente
; - e
chid
ista
nte
pe a
aum
ite d
irm
i (&
exe
mpl
q pe
mer
idia
oe);
.
- &&
rare
(nu
sunt n
ici c
onfo
rme,
nic
i ech
ivde
nte,
nic
i ech
idis
tant
e).
Un
alt
crite
riu
de
clas
ific
are
a pr
oiec
?iilo
r m
imut
ale
este
ut
iliz
area
le
gilo
r pe
rspe
ctiv
ei l
inia
ie. Din a
cest
pun
d de
ved
ere,
ele
pot
fi:
- nep
ersp
eeti
ve,
&d
nu u
tiliz
eazg
Ieg
ile p
ersp
ectiv
ei li
niar
e;
- per
spec
tive
, c
hd
imag
inea
pl
~
se o
btin
e pr
in u
tiliz
area
per
spec
tivei
lini
are.
In
pro
iecf
iile
azim
utal
e dr
epte
, re
teau
a no
rmal
5 co
inci
de c
u re
feau
a de
mer
idia
ne ~
i pa
rale
le,
care
se
repr
ezin
ti5 a
seeI
: - m
erid
iane
le,
ca d
rept
e co
ncw
ente
ink-
un p
unct
, car
e es
te im
agin
ea p
lh
a po
lulu
i ge
ogra
iic
qi a
poI
uIui
Q. (fig. 15-2);
ungh
iuri
le d
intr
e ac
este
dre
pte
sunt
ega
le c
u di
iere
nSel
e de
long
itudi
ne d
intr
e m
erid
iane
l6 ie
epec
tive;
- p
aral
elel
e, c
a ce
rcur
i co
ncen
tric
e, cu
cent
rul
in p
ol;
raze
le p
ale
ace
stor
cer
curi
v
ari
d d
e la
b
proi
ecfi
e az
imut
alE
i la
alta
, fim
c$ie
de
car
acte
rist
icile
pro
iecf
iei
azim
utal
e re
suec
tix?e
. In
ca
zul
proi
ecfi
lw
azim
utal
e ob
lice
vi a
1 ce
lor
tyan
sver
sale
, re
feau
a no
rmal
ii co
inci
de cu
imag
inil
e pl
ane
ale
vert
ical
urilo
r (A
= c
onst
) $i
ale
elm
ucan
tara
telo
r (z
= c
onst
) .
Asp
ectu
l gen
eral
a1
refe
lei e
ste
acel
qi, n
num
ai cl
: - v
erti
calu
rile
se
repr
ezin
tl p
rin
drep
te c
oncu
rent
e in
pol
ul Q
, su
b un
ghiu
ri e
gale
cu
dife
rent
ele
dint
re a
zim
utel
e res
pect
ive
de p
e sf
erR
- d
muc
amta
rate
le s
e re
prez
int5
pri
n ce
rcur
i con
cent
rice
, cu
in p
olul
Q g
i ra
ze p
.
Fig
. -35
.- 2
Asp
ectu
l gen
eral
a1 r
etel
ei n
orm
ale
in p
roie
ctiil
e az
imut
ale
. . , .
: J.n
pro
ie&
ile
azim
utal
e ob
lice
(i i
n ce
le t
rwv
erd
e,
rete
aua
de r
neri
dian
e gi
par
alel
e ;
re
pr
,d
prin
curb
e, c
are
se c
onst
ruie
sc p
rin
punc
te.
Mer
idia
nui m
ediu
(Lo) s
e re
prez
inff
i pr
ink-
un s
egm
ent d
e dr
eapt
& ca
re e
ae ar8 d
e si
met
rie
)i ax
iX
x x'
pent
ru c
oord
onat
ele
plan
e re
ct:m
gula
re.
Dir
ecfi
ile
pri
nci
pd
e,
pe
care
mod
ulii
de d
efon
nati
e li
niar
l co
resp
und
dire
+ilo
r rq
elei
non
naie
si
vor
fi no&#:
m (
pe
mer
idia
n re
spw
tiv
pe v
erti
cal )
, CLZ ( p
e al
muc
anta
rat )
. In
pro
iecf
iile
azi
rrm
tale
, pu
ncte
le d
in p
lan @artZ) s
e de
tenn
ing
plan
e po
lare
, fie
prin
?or
dona
te
plan
e re
chug
dare
. C
oord
onat
ele p
lane
pol
are
se n
ote
d (f
ig.
15-3
):
au
1, fie
Ca ax&
pola
r& i
n ca
zul
proi
ectii
lor
azim
utal
e dr
epte
se
poat
e co
nsid
era
imag
inea
or
icSi
rui
mer
idia
n (d
e ex
empl
u, a
mer
idia
riul
g de
ori
gine
sau
a c
elui
opu
s Iu
i).
In c
azul
D
roie
fliil
or az
imut
ale
oblic
e ~i
al c
elor
tra
nsve
rsal
e, c
a ax
& p
ola
l se
.ia
drea
pta
prin
car
e se
re
prez
intii
mer
idia
nul h,
a1 p
olul
ui Q
n .
Sis
tem
ul &
axe
de
coor
dona
te re
ctan
gu
he
plan
e, xOy,
se a
lsgc
ast
fel i
ncgt
on
gine
a 5 c
oin
cia
cu i
mag
inea
pol
ului
pro
iec#
ei,
iar
axa
x x'
I co
inci
dB cu
axa
pola
rg.
Tin
hd
can
t de
asp
ectu
l ge
nera
l @
rep
lei
no
de
~i
de
mod
ul d
e de
fini
re a
sist
emel
or d
e re
feri
n@ p
entr
u co
ordo
nate
le p
lane
, po
t fi
ded
use
fa-m
ule
geae
rde,
val
abile
pe
ntru
dif
erite
gru
pe d
e pr
oieM
i azi
mut
ale.
In
caz
lil p
rcie
+lo
r a
zim
uth
dre
pte,
fo
rmle
le g
ener
al$
ale
coor
dona
telo
r p
hn
e po
lare
sun
t: 6
=h
(1
5 - 1
)
p=
f(p
) .
.in c
are
h tr
e5ui
e:co
nsid
erat
ca
o di
fere
ng d
e lo
ngitu
dine
, m5s
urat
5 de
la m
eri
did
luat
ca'
ax5
polar
&.
. ~
oo
rdo
n&
ele p
lane
rec
tanp
lare
pot
fi
calc
ulat
e fu
acfi
e de
cel
e pl
ane
pola
re, cu
foqu
!ele
ge
nera
le:
x =
p c
os.6
y
= p
sin
6
(15 - 2
)
Fig.
15
- 3.
Sis
tem
ul d
e ax
e pe
ntm
co
ordo
nEtte
le plan
e, i
n pr
oigc
fiile
azi
mut
ale
Pent
ru d
educ
erea
uno
r fo
rmul
e ge
nera
le a
le m
odul
ilor
de d
efor
mar
ie, f
olos
im fig. 1
5-4,
LU c
are.
B (c
p,h)
es
te un
punc
t oar
ecar
e de
pe
sfer
a de
raza
R;
B Br
ea
e u
n ar
c el
emen
tar
de m
erid
ian,
pe
der
&
B &
es
te u
n ar
c el
emen
tar d
e pa
rdel
, pe s
ferg
; B', B1', BZ' su
nt i
rnag
inile
pla
ne a
le p
unct
elor
B, B1
,Elz
de p
e sf
erg.
P
entr
u m
odul
ul d
e de
form
atie
lini
arl p
e rn
erid
iane
, rez
ult5
: dp
d
$,-B
'B'
-dp
,,
,, -2=-
ds
BB
. R
dp
Rd
W
-- rn
care
sem
nul m
inus
din p
rima
form
ulH
se
dato
reaz
g fa
ptul
ui c.
5 at
unci
cin
d Q
crw
e P
desc
regt
e. P
entr
u m
o&lu
l de
def
orm
afie
lini
ara
pe p
adel
e re
ddtH
: ds
' B
IB',
-pd
6=
P -
P
n=s_
=--
ds,
BB
, rd
h r
Rco
sq,
'
cotw
antin
Gh M
UV
W
CA
RT
OG
RA
FIE
MA
TE
ML
TIC
A
UTCB -
Fac
ul&
te~
dc G
zode
zie,
Bw
rest
ii
/-
b) p
e pl
an
I .
Fig.
15
- 4 A
rce
de m
erid
ian
si d
e p
ard
el, p
e sf
era
(a)$
p
e pl
anul
.de p
mie
ctie
@) ,
L
: .
. . F
orm
ula
gene
ral5
a m
odul
ului
de
defo
rrna
se a
reol
arg
in p
roie
cfii
le az
imut
ale
dreb
te
se d
educ
e di
n fo
rmul
a ge
nera
l& :
p=
m n
sin
i ,
iil c
are
se i
a si
n i =
1 , p
entn
l cB
irn
agin
ile p
lane
ale
mer
idia
nelo
r su
nt p
erpe
udic
ular
e.pe
im
agin
ile
para
lele
lor,
~i
rezu
ltB : ..
p=
m n
(15
- 5)
Pen
tru
calc
ulul
def
omqi
ilor
ung
hiul
are
max
ime
se u
tiliz
eazt
i fo
rmul
ele
gene
rale
cu
nosc
ute,
val
abile
pen
tru
toat
e pr
oieq
iile
. F
o~
ule
le gene
rale
ale
pro
iecl
iilo
r az
itilu
tale
dre
pte,
pen
tru
repr
ezen
tare
a sf
erei
de
razz
R,
sunt
: 6
=h
P
= f
(9)
x= p
co
ss
0
a-b
si
n - = -
2 a
+b
. pau
tg (4
5" +
2)
,4 it
Pent
ru r
epre
zent
area
eIi
psoi
dulu
i de
rota
$ie In p
roie
q5il
e az
imut
ale
drep
te, f
orm
)lle
le
gene
rale
dife
rH d
e ce
le a
le s
fere
< p
rin
expr
esii
le m
odul
ilor d
e de
form
atie
Lin
iarZ,
adi
cg:
- . P
r
Nc
oS
(1
5-6'
)
in c
are
B e
ste
lati
tudi
nea p
e el
ipso
id, i
ar \y
est
e co
lati
tud'
iea.
In c
azul
pro
ie4
ilo
r az
irnu
tale
obl
ice
- ca
zul
gene
ral
a1 p
roie
+ilo
r az
imut
z.le
- su
cces
iune
a ca
lcul
elor
este
'urm
gtoa
rea:
...
. 1 - s
upra
fag
elip
soid
ului
de
rota
tiees
e.re
prez
intZ
pe s
upra
fa9
unei
sfe
re;"
,... .
.. .
. .
' 2
- cco
rdon
atel
e geo
gra.
6ce
de p
e sf
erg
se-t
rans
form
& b c
oord
onat
e sf
eric
e pilf
are;
: \
3 - c
alcu
lul c
oord
onat
elor
pla
ne p
olar
e;
' .
. .
,...
. :_
._
...
4 - ca
lcul
ul c
oord
onat
elor
plan
e re
ctan
gula
re' q
y ;
5 - c
alcu
ld d
efo
mti
ilo
r.
,, .
. ..
.
In c
azul
pro
iect
ii!or
az
imut
ale
pers
pect
ive
ale
unei
sfe
re, ~
calc
ulel
e de
la p
unct
ele
2 $i
3
m s
unt a
bsol
ut n
eces
are,
dup
3 cu
m s
e vo
arz
ta u
lteri
or.
In
cazu
l hk
tilo
r la
s&
i m
ici,
nici
ca
lcul
ele
de l
a pu
nctu
l 1
nu
~n
t
nece
sare
to
tdea
una.
Fom
ulel
e ge
nera
le a
le p
roie
ctiil
or a
zim
utal
e ob
lice
gi a
le c
elor
azi
rnut
ale t
rans
vers
ale
sunt
ana
loag
e cu
ce
le d
edus
e pe
ntru
pro
iect
iile
azim
utal
e dr
epte
gi
se
obt
in d
irec
t dm
ac
este
a, f
ach
d i
n (1
5-6)
urm
2toa
rele
sch
imbi
ri d
e no
tafi
i:
in p
roie
qiil
e in
pro
iect
iile
oblic
e dr
epte
sa
u tr
ansv
ersa
le
-
- - -
--
?L
A
cP
(90° - Z
)
'4' .
z m
PI
n Pz
. Se
obt
in a
stfe
l ur
m2t
oare
le f
orm
ule
gene
rale
pen
tru
repr
ezen
tare
a sf
erei
in
proi
ectii
az
imut
ale
oblic
e sa
u in
pro
iec!
ii az
imut
ale
tran
sver
sale
:
6=
A
p =
f (9
0"-z
) sa
u p
= F
(2)
x=
pc
os
s
y =
p s
in 6
. co
a-b
S
1I1-
C- 2
a+
b
sau
7.
. C
oncl
uxii:
din
Eor
mul
ele
(15
- 6)
gi
(15
- 8)
rezu
lg c
Z in
pro
iect
iile
azim
utal
e,
de
fma
Nle
dep
ind
num
ai d
e d
epaa
rea
punc
tuiu
i co
nsid
mat
, fie
de p
olul
Qo
a1 p
roie
cfie
i D
e ac
eea,
izo
iini
ile
defo
rmag
ilor
(izo
cole
le) s
e re
pra
int2
ca
cerc
uri c
once
ntri
ce, c
are
coin
cid
fie cu lm
agin
ile
para
lele
lor,
fie
cu
imag
j.de
aIm
ucan
tara
telo
r de
pe
sfer
g. A
ceas
ta ju
stif
ica
aleg
erea
pol
ului
pr
oieq
iei
in
zona
cen
tral
l a
teri
tori
ului
de
rep
reze
ntat
qi
reco
rnan
&
proi
ecfi
ile a
zim
utde
pen
tru
teri
tori
ile c
are
se in
suiu
apr
oxim
ativ
htr
-un
cerc
.
fn c
ele
ce u
rn&
su
nt p
reze
ntat
e ex
empl
e d
e pr
oieq
ii a
zim
utal
e, f
ar5
a se
mai
re
peta
la
fiec
are
proi
ec$e
pr
oprie
tZ$l
e ge
nera
le c
omun
e, c
are
au
fost
ar
tdat
e in
ace
st
paragraf.
- ,
- -
16.
PR
QIE
CT
IA A
ZIM
UT
AL
B NEPERSPECTIVA EClTlDlSTANTA PE
ME
RIQ
LA
NIE
Con
side
r3.m
Pii
mW
ul d
e fo
rma
unei
sfe
re d
e ra
zir R
Pen
tru
dedu
cere
a fo
rmul
elor
de
calc
ul s
peci
fice
ace
stei
pro
iecf
ii, a
vem
in v
eder
e cZ
re
prez
enta
rea
kebu
ie s
i3 f
ie e
chid
ista
nt5 pe m
erid
iane
, ad
icl,
in
oric
e pu
nct
a1 e
i, pe
lin
g5
cond
itiiie
gen
eral
e pu
se p
roie
cfiil
or a
zim
utal
e, tr
ebui
e s2
sat
isfa
ci?
Bi co
ndili
a .
m=
l ,
care
, tjn
hd
mnt
de
(15-
3).
se p
oate
scr
ie :
m=
-- dp
-1
,
Rd
v
(16-
1)
deeu
nde
rem
it&
d
p =
Rd
y
P=
RV
+ C
(1
6-2)
Pen
tnr
dete
rmin
area
co
nsta
ntei
de
in
tegr
are C,
avem
7n
vede
re
cL
pent
ru
w =
0 , tr
ehui
e SZ
ave
m s
i p
= 0
, de
und
e re
iese
cfi
. C
=O
(1
6-3)
T*d
co
ot d
e (1
6-I)
, (1
6-2)
gi
(16
-3),
din
(15
-6)
ob$n
em f
orm
ulel
e c5
utat
e:
6=
h
P'R
W
x=
pc
os6
-
y=
psi
n6
m
=l
(1
64
)
n=
P,
RW
=~
r
Rsi
ny
si
ny
se
mia
xele
elip
sei d
e de
form
afie
: a
= n;
b =
l ;
-
Ob
serv
b cZ
, &to
rit2
ech
idis
tant
ei d
e pe
mer
idia
ne, r
azel
e ve
ctoa
re d
in p
roie
cfie
sun
t eg
ale cu lu
ngim
ile a
rcel
or d
e m
erid
ian
(Rw
), dsu
rate
de la
pol
ul g
eogr
afio
spre
ecu
ator
. In
lun
gul
para
lele
lor
gi pe
or
ice
dire
cfie
ca
rs n
u se
con
fun&
cu
un
mer
idia
n,
lung
mil
e se
repr
ezin
a cu d
efor
mas
ii po
zitiv
e.
Ari
ile d
in p
lan ay d
e as
emen
ea, d
efo
nn
a~i po
zitiv
e.
-
Ung
hiud
e ca
re a
uvfi
dul i
n po
lul p
roie
cGei
nu
se d
efor
mea
z&,
^mH ce
la c
are au v
fih
l ?n
atte
pun
&e
se d
efor
mea
z5.
Def
orm
agile
lin
iare
de
pe p
aral
ele,
def
orm
aFe
areo
lare
si
cele
ung
hiul
are
max
ime
depi
nd n
umai
de
cola
titud
ine
(res
pect
iv d
e la
titud
ine)
, ast
fcl d
.izo
wle
le"
core
spu
~~to
are Se
re~
rezi
ntH
ca c
ercu
ri c
once
ntri
ce, c
are
se c
onfu
nd&
cu im
agin
ile p
lane
ale
pad
elel
or.
E
lipse
le d
e de
form
qie
sunt
ori
enta
te c
u ax
a m
are
pe d
iiec
tia
para
lele
lor.
D
efor
mat
iile
men
flon
ate
cres
c pe
mas
urH
ce
crep
e de
p-ea
fa
@ d
e po
l. D
e ac
eea
proi
e+a
este
mai
ava
ntaj
oas5
pen
tm z
onel
e po
lare
.
Ln fi
g. 1
6-1
estk
repr
ezen
tattl
. o r
efea
de
de rn
erid
iane
gi p
aral
ele ?n p
roie
cfia
azi
mut
al5
drea
pt5
echi
dist
ant5
pe
mer
idia
ne.
r
Fig. 16
- 1
Ret
ea d
e m
erid
iane
si p
aral
ele
intr
o pr
oiec
tle a
zlm
utal
a dr
eapt
a ec
hidi
stan
ta p
e rn
erid
iane
Pen
tru
canu
ile
?XI ca
re p
olul
pr
oiec
fiei
nu
coin
cide
cu
polu
l ge
ogaf
ic,
se o
btin
re
prez
entir
i ad
mut
ale
oblic
e sa
u tr
ansv
ersa
le, cu p
ropr
ieta
tea
de e
chid
ista
ng p
e ve
rtic
duri
. F
omul
ele
de c
alcu
l pe
ntru
ace
ste
cazu
ri s
e ob
* di
n (1
6-4)
, f
kk
d sc
him
bhil
e de
not
afii
(1 5
-7).
17.
PR
OIE
CT
9A A
ZK
MIJ
TA
JA O
BL
ICA
IYEPERSPECTWA E
CW
AL
EA
Pro
iec$
a fi
ind
oblic
& po
lul Q
, es
te situat
&re
ecu
ator
~i p
olul
geo
giaf
ic.
Rem
ua
norm
al&
for
mat
5 din
vert
ical
mi
gi al
muc
anta
rate
, ar
e as
pect
ul d
escr
is i
n
PaW
-aik
l 15
, In c
are
se a
raG
gi a
lte
prop
rietZ
L& v
alab
ile
pent
ru to
ate
pro
i4il
e az
imut
ale.
*. -
5
1
Con
difi
a de
baz
i pe
car
e ac
east
3 re
prez
enta
re tr
ebui
e sB o
sat
isfa
ck,
este
ca
toat
e ar
iile
din
pla
n s5
fie
nede
form
ate,
adi
cc ih o
rice
prj
nci a
! pl
anul
ui sH
avem
:
1 ..
. p
= p
1 Fz
=1
a) p
e sf
era
b) In
pla
n L
J
Fig
. 17
-1.
Ser
nnif
icai
ia 1
ui p
inti
-o p
roie
cfie
azim
utal
H e
chiv
alen
ts a
sfe
rei
Pen
tru
a st
abil
i o f
orm
u15
de c
alcu
i a
raze
i vec
toar
e p
, d
in p
lan,
ave
m k v
eder
e &
su
praf
efei
cal
otdi
BQ&
(fig
. 17
-11,
car
e ar
e ca b
azg
un a
lmuc
anm
at d
efin
it pr
in d
ista
nla
--ze
+d5
z,
?i ~
cres
pu
nd
e in p
lan
un c
erc,
a c
hi
arie
-tre
buie
sg fi
e eg
alH
cu,aiia ca
lote
i. P
rin
urm
are,
treb
uie
sati
sfia
t8 re
lati
a :
np2=2n~1
, (1
7-1)
in
car
e I
este
?n&
lfirn
ea calo
tei.
Rez
ulta
: p
2= 2
2'1
(1
7-2)
P
entr
u a-
1 ex
prim
a pe
p c
a fu
ncfi
e de
dist
anp
zeni
tdZ
2,
se f
oios
qte
o te
orem
li di
n ge
omet
ric,
con
form
cZ
reia
, ht
r-un
tiu
ng
hi
drep
tung
bic,
p&
&~
unei
ete
te e
ste
egal
- cu
pro
du
d d
intr
e ip
ote
nd
vi p
roie
*a
cate
tei r
espe
ctiv
e pe
ipot
enuz
5. A
stfe
g din
tiun
ghiu
l B
Q,
Q r
ezul
tEL.
-
Qo
B2
=2
~l
' (1
7-3)
E
gal
hd
(17
-2) cu (
17-3
) ob
tine
m:.
~i e
xp
rim
hd
segm
entu
l Q
, B , di
n tr
iung
hiul
QBQ, , h
c$
e d
e fa
za R
a s
fere
i ter
estr
e e
de
di-
a ze
nita
ll z
, de
duoe
m: -
Z
p=
Q,B
-2R
sin
.-
: .,
.
2 (1
7-5)
Pen
tru
stab
ilii
&
celo
rlal
te
form
ule
de
calc
ul,
spec
ific
e ac
este
i pr
oie+
j se
pM
cula
rize
az&
forp
ulel
e ge
nerd
e (1
5-S)
, *d
, co
nt d
e c6
rldi
tia p
= 1
Si' d
e ex
pi-e
sia
lui
. .
,. .
,.
.:.
.,
...>.
-. p
'dh
(l7
-5).
.
,_
:..,
. .
.. :
..
. . .
. ,
.
. .:
: .
. .
..
. .
"'I
$ P
entr
u m
odul
ul d
e de
form
ape
linia
rg p
e ve
rtic
alur
i se
obpn
e:
g z
dz
~
RC
OS
--
- LP
pl=
-=
=..
s~<
l R
dz
Rdz
2
. de
und
e re
zultH
CZ
vert
ical
uril
e se
repr
ezin
e cu d
efon
nafi
i lin
iare
neg
ativ
e.
Pen
tm n
odul
ul d
e de
form
atie
lin
iaiI
pe
dmuc
anta
rate
, di
n co
ndiT
ia
PI p
2 =
1
se
, ob
fine
' 1
1
pz
=-=
7,1
,
(1 7
-7)
1 C
OS-
2
': ad
ici,
pe a
lmuc
anta
rate
se p
rodu
c de
form
atii
lini
are
pozi
tive.
C
ompa
rdnd
(17
-6)
cu (1
7-7)
, re
zult
a cB
eli
psel
e de
def
orm
atie
au axa
mar
e pe
dir
ecfi
a al
muc
anta
ratu
lui c
are
trec
e pr
in p
unct
ul c
onsi
dera
t, de
ci :
. .
a =
p:
b=
F1
(1
7-8)
P
entr
u ca
lcul
ul d
efor
mat
iilo
r ung
hiu!
are
mna
xim
e. se
par
ticu
lari
zeaz
z fo
rmul
a g
enei
dl :
u,
a-b
tg
-=-
2
2\' '
adn
d in
ved
ere
ci
a b
= p
1 p2
= 1
$i S
B o
bfin
e:
din
care
ret
ult2
cB
ungh
iuri
le 9 v
fi
l In p
olul
pro
ie&
iei
nu s
e de
form
- ks
2i h
rest
ul
plan
ului
de
proi
ecfi
e, d
efor
ma$
ile u
nghi
ular
e m
axim
e cr
esc
odat
Z
cu d
ep
be
a fi
e de
ac
est p
ol
Pen
tru
toat
e de
form
afii
le,
care
dep
ind
num
ai
de
coor
dona
ta s
feric
.5 z
(d
ista
. ze
nita
lq, i
zoco
lele
se
repr
ezin
t5 p
rin
cerc
uri c
once
ntri
ce,
care
coi
ncid
cu
imag
inil
e pl
ane
ale
alm
ucan
tara
tdor
In
con
cluz
ie, p
entr
u re
prez
enta
re s
fere
i te
rest
re d
e ra
zi R
intr
-o p
roie
cfie
azi
mut
al'r
oblic
Si -,(sau tr
ansv
ersa
l5) e
ohiv
alen
t& n
eper
spec
tiv&
se u
tili
zead
for
mul
ele:
Fig
. 17
- 2
Ret
ea n
orm
ala
in6
4 p
roie
die
azi
mu
tala
ech
ival
enta
L
(wn
stru
ch g
rafi
ca)
-I
a
1 z
. z
tg
- =
-tg-
sm -
22
2 2
Ace
as*
proi
ecfi
e se
apl
icii
in
gen
eral
, pe
ntru
rep
reze
ntar
ea l
a sr5
h-i
mic
i a
unor
te
rito
rii
aprb
xim
ativ
cir
cula
re, a
leg
kd
pol
ul p
roie
dei
in m
ijloc
ul te
rito
riul
ui d
e re
prez
enta
t.
ti.
P~
CI
P~
I
PR
O~
G~
OR
A
~X
M~
AL
E
PE
RSP
EC
TIV
E SI
CL
sbS
rnC
WE
A LOR
- -
- -
P~o
prie
tXlf
ile
gene
rale
ale
pro
iec$
ilo
r_~
mu
tale
expu
se 7n
pqa
graf
ul-1
5 su
nt y
alab
ile
gi p
entr
u pr
oieq
iile
azi
mut
ale
pers
pect
ive.
54
Car
acte
rist
ic
proi
ec$l
or
azir
nuta
le
pers
pect
ive
este
fa
ptul
c
l ut
iliz
eazz
le
gile
pe
rspe
ctiv
ei li
niar
e. I
n le
gHtu
r5 c
u ac
east
a se
fkc
mm
Zto
arel
e pre
cizk
i:
- Pkn
Znt
ul s
e co
nsid
ers ,
in g
ener
al, s
ferg
de
razg
R;
- pla
nul d
e pr
oiec
$e s
e m
ai n
urne
ste $i plan
tab
loa;
- d
iam
etru
l car
e tr
ece
prin
pol
ul Q
,(q
o, Ic,)
, ales a
prox
imat
iv in
cen
trul
teri
tori
ului
de
repr
ezen
tat,
se n
umes
e di
amet
ru p
rinc
ipal
; - p
e di
amet
rul p
rinc
ipal
sau
pe
prel
ungi
'ea
aces
tuia
se
aleg
e un
pun
ct d
e ve
dere
0,
a G
rui
dist
* fk$
de c
entr
ul s
fere
i se
no
td
cu D
; - p
lanu
l de
pro
ied
e (p
lanu
i tab
lou)
est
e pe
rpen
dicu
lar
pe d
iam
etru
l pri
ncip
al,
iar
dist
anta
din
tre
punc
tul d
e ve
dere
~i p
lan
se n
otea
z5 c
u K
, - d
rept
ele
care
por
nesc
din
pun
ctul
de
vede
re $
i tre
c pr
in p
unct
e de
pe
sfer
5, w
e
urm
eazl
a fi
rep
ren
tate
pe
plan
, se
num
esc
dre
pte
pro
iect
ante
; - i
mag
inea
pla
n& a
unui
pun
ct B d
e pe
sup
refk
* te
rest
rf! e
ste un p
unct
B',
in c
are
dieapta
proi
ecta
nta
a lu
i B in
leap
H p
lanu
l (f
ig. 1
8-1)
.
Cla
sjfi
cari
le m
ute
ante
rior
, du
pl p
oziti
a po
lulu
i Q
, gi
dupS
car
acte
rul d
efor
ma$
ilor,
sunt
~a
ldil
e gi
pent
ru
aces
te p
roie
*.
Se
adau
gf!
cias
ific
area
pr
oiec
tiil
or
azim
uta
b
pers
pect
ive
func
tie
de
dist
an*
D , d
intr
e pu
nctu
l de
ved
ere
V
gi ce
ntru
l sfe
rei
tere
stre
, as
tfel
:
- cen
tral
e (V
1),
ch
d
D =
G ;
( =
pro
ied
i or
todr
omic
e);
- in
teri
oare
(V
2),
ck
d 0 <
D <
R ;
- ste
re~
gr~
ce
(V3),
c$nd
D
= R
;
- ext
erio
are
(Vs),
cb
d X< D
< i
nfin
it;
- ort
ogra
fice
(V
5),
c
hd
D
= i
nfin
it.
In
fig.
18-2
su
nt =
&at
e po
dfii
le p
unct
ului
de
vede
re V
in
ayst
e ci
nci
subc
lase
ae
proi
e&i
azim
utal
e pe
rspe
ctiv
e pi
imag
inile
B1' , B
z' , .
.. , Bs' al
e ac
elui
avi g
unct
B
de p
e su
praf
afa
tere
strZ
, ut
iliz
ikd
legi
le p
ersp
ectiv
ei l
inia
re ~
i co
nsid
erhd
pla
nul
de p
roie
ctie
ta
ngen
t. De
re$n
ut c
5, I
n p
roie
ciiil
e az
imut
ale
pers
pect
ive,
pod
fia
reci
proc
H d
intr
e pu
nctu
l de
ve
dere
V,
sfer
a te
rest
rH g
i pla
nul d
e pr
oiec
$ie
se d
efin
qte
prin
- c
oord
onat
ele g
eogr
afic
e cp',
, Ic,
ale
polu
lui Q
o , p
rin
care
trec
e di
amet
rul p
rinc
ipal
, - d
ista
@a
D d
intr
e pu
nctu
l de
vede
re 9
cent
rul s
fere
i;
- dis
tanp
K d
intr
e pu
nctu
l de
vede
re .j
i pla
nul d
e pr
oiec
lie.
Ace
ste
elem
ente
con
stitu
ie n
igte
par
amet
ri w
e d
eose
besc
btr
e e
le p
roie
cfiil
e az
imut
ale
pers
pect
ive
Ei
inte
rvin
in
form
ulel
e de
cal
cul
ale
fiecf
rrei
pro
iecf
ii i
nflu
entf
ind
calit
Z$l
e im
agin
ii pl
ane
In c
ele
ce u
nnea
zZ,
vor
fi s
tabi
lite
for
mul
e ge
nera
le a
le p
roie
ctii
lor
azim
utal
e pe
rspe
ctiv
e, k
car
e se
regl
isss
c gi
ace$
pa
ram
etri
.
P' a:,
Fig
. 18-1
. S
emni
fica
fia
pvam
etri
lor
D $
i K
F
ig.
18-2
. Im
agin
ile p
lane
Bl',
... ,E
l5'
ale
. ac
elui
agi p
unct
de
pe s
ferZ
i, k d
iver
se
proi
ectii
azi
inut
ale
pers
pect
ive
. S
ecti
o~
ind
sfer
a (R
) cu p
lanu
l v
ert
ica
lu~
unuL
punc
t oa
reca
re 8, rezu
lt5 s
ituaf
ia d
in
fig.19-1, i'n
'ce ,V
est
e o
p0
z.e
oar
ecar
e pe
car
e o
are
.pun
ch1
de v
eder
e, p
e pr
elun
gire
a di
arne
trul
ui p
rihc
ipal
, 0 e
ste
imag
inea
pla
nH a
pol
ului
pro
iecl
iei,
iar B
' est
e,im
agin
ea pl
an5
a, ,
lui B.
S,m
en
tltl
OB
' rep
rezi
ntZ
raza
vec
toar
e p
a lu
i B';
z es
te ti
ista
r@ z
enita
lH a
lui
B,
iar M
est
e pi
cior
ul p
erpe
ndic
ular
ei c
obo&
G d
in B
, pe
diam
etru
l pri
ncip
al.
:.
Din
triu
nghi
uril
e dr
eptu
nghi
ce as
emen
ea O
B'V
~i M
BV
rez
ultk
i:
OB
' ov
=
-
P ad
icg
-=
K
MB
M
Y
Rsi
nz
D
iRc
os
z
Tin
bd
con
t 9i
de
(15-
S),
se o
bfin
urm
iitoa
rele
for
mul
e ge
nera
le,
pent
ru c
alcu
lul
coor
dona
telo
r pl
ane
pola
re ?
n pr
oiec
fiile
azi
mut
de p
ersp
ectiv
e, f
inG
ie d
e co
ordo
nate
ie
sfer
ice
pola
re A
gi z:
I .
6=
A
Pen
tru
coor
dona
tele
pla
ne re
ctan
gula
re f
irnc
pe d
e ce
le p
olar
e, o
bfin
em:
x=
pc
osS
=
MR
sin
kc
os
~
DsR
co
sz
(19-
3)
y =
psi
n 6=
ICR
si
n z
sin
A
Ds
Rw
sz
1
Fig. 19- 1
. ~ig.19-2. C
oord
onat
ele
plan
e po
lare
gi
cele
pla
ne re
ctan
pula
re.
In s
copu
l exp
rim
bii
coor
dona
tele
rect
angu
lare
qy
hn*e
de
coo
rdon
atel
e ge
ogra
fice
,. vom
inl
ocui
con
vena
bil e
xpre
siil
e (s
in z
cos
A),
(si
n z s
inA
), ei
co
s z.
P
entr
u pr
odus
ul (
sin z c
osA
), a
pli
ch
for
mul
a g
en
ed
(fig. 1
9-3
a) din b
igon
ome-
tr
ia s
feri
cg:
sin
a co
s B
= c
os b
si
n c
- sin
b
cos
c co
s A
we,
in c
azul
de fig
(fig. 1
9-3
b) ia
for
ma:
sin
zco
sA=
cosY
sin
Yo
-sin
Yca
sYo
ms1
SB
U
(19-
4)
sin z c
osA
= si
n cp
cos
cp, -
cosc
p sin
cpo
cosl
in c
are
s-a
nota
t: l=
X-X
, (1
9-43
Co
m~
'11
G
h. @
UM
TAhr
U
CA
RT
OG
WIE
MA
m.M
AT
ICA
. . U
Tm -
Fac
ultm
en d
e G
em
hie
, Bm
rect
i .
z
..
.
. r
, A
P
7
.
a) t
rlun
ghl s
feri
c oa
reca
re
b)
bung
hi s
fenc
form
at d
in p
olul
geo
graf
ic.
polu
l Qo
SI pu
ndul
B d
e re
prez
enta
t
Fig
. 19-3
L
1
sin
z si
nyr
-- --
sin1
si
nA
' de
und
e :
sin
z sin
A =
.sin
Y! si
n 1
sau
~h
zsi
nA
=c
osc
psi
nI
Penhu
term
end
cos z
aplic
iim fo
rmul
a co
sinu
sulu
i une
l la
turi
, in
tri
ring
hiul
sfe
ric
PQ
B (fig. 1
9-3
b)
qi ob
tinem
:
,cos
z =
co
sYw
sYo
c s
inY
isin
T c
osl
sa
u co
sz =
sin
cpsin
cp,
+co
scpc
oscp
, co
s 1
.. .
. . T
inhd
'coi
lt d
e ex
pres
iile
(19-
4);
(19-
5) $i (1
9-6)
, fo
mul
ele
(19-
3) s
e po
t pun
e su
b '
form
a :
KR
(sin
cp c
oscp
, -
cosc
p sin
cp,
cosl
) x
=
(19-
7)
D +
R(s
in cp
sin
cp, +
cosc
p co
scp,
cos
l)
KR
cos
cp s
in 1
= I3 +
R(s
in cp
sin cp
, +
cosc
p w
scp,
co
d)
- A
cest
e fo
rmul
e ge
nera
le au
avan
taju
l, fa
@ d
e fo
rmul
ele g
ener
ale
(19-
3),
@ n
u ne
ce-
sit&
trw
form
area
coo
rdon
atel
or g
eogr
atic
e ?n
coo
rdon
ate
sfer
ice
pola
re.
Fo
,md
ele
(19-
7) S
UE
? v
dabi
le =
emu
ori
ce p
roie
ee a
zim
utdl
per
spec
fivg
e s
fers
i.
h c
azul
pro
iect
iilo
r az
imut
ale
pers
pect
ive
daep
te c
&d
cp, =
90"
), f
orm
ulel
e (1
9-7)
c'a
p5t5
o fo
rm2
mai
sim
p15
.
58
fn c
are
sist
emul
de
axe
de c
oord
onat
e xO
y se
ale
ge ca
fig.
19-4
3. =
180' /+
-
Fig.
19-
4.
Si~
tem
de a
xe, p
entr
u p
roie
ei a
zim
utal
e dr
epte
7
-h
1 +
h
h =
0'
Pro
iecf
iile
azim
utal
e per
spec
tive
oito
graf
ice p
ot fi
dre
pte,
obl
ice
sau
tran
sver
sde.
In
ori
care
din
ace
ste
trei
caz
uri,
pmct
u1 d
e ve
dere
se
gase
ste
la in
fini
t D
= in
fini
t (2
0-1)
P
olul
Qo(
cpo,
k) es
te s
ituat
in z
ona
cen
trd
i a te
rito
riul
ui.
.am
etru
l D
eoar
ece
drep
tele
pro
iect
mte
, ca
re v
in
de l
a in
tinit,
su
nt p
aral
ele
cu
d: pr
inci
pd,
raza
vec
toar
e es
te e
gal5
cu
raza
alm
ucan
tara
tulu
i ca
re t
rece
pri
n p
un
d d
e re
prez
enta
t, as
tfei
~5
6=
A
p =
R s
in z
(2
0-2)
P
eat%
coo
rdon
atel
e re
ctan
g~la
re plan
e, dm
fig.
20-1
rd
t2
x
=p
co
sfi=
R(s
inz
cos
A)
y =
p s
in 6
= R
(sin
z s
in A
)
Dac
H e
xp
ria
m c
on$n
utul
cel
or d
ouZ
par
ante
ze h
n+
e de
coo
rdon
atel
e ge
ogra
fice
, co
nfor
m c
u ex
pres
iile
(19-
4) v
i (19
-S),
atun
ci o
bfin
em.
x=
R(s
ipq
~ co
scp,
-cos
cp
sinq
,,cos
l)
y =R c
osq,
sin
1 (2
0-3.
) un
de
l=h
-h0
. D
k.ec
$.ile
pri
ncip
ale
coin
cid
cu v
ertic
alur
ile g
i cu
alm
ucan
tata
tele
. P
entr
u m
odul
ii de
def
orm
aPe
lia
r& , pl
gi p2 ,
vom
partichlariza
expr
esiil
e lo
r ge
nera
le, d
ate k (
1 5-
8),
Wd
co
nt d
e ex
pres
ia ra
zei v
ecto
are,
din
(20-
2).
Obf
inem
,
pe v
erti
calu
ri :
slst
emul
de
axe
xoy
d u
rord
on
stal
e p
lan
e p
ola
ra
pe a
hnuc
anta
rate
:
p - R
sin
z p
2=
---
=I
(20-
5)
R si
n z
R s
in z
R
ezul
tH cH
pr
oiec
fiile
azi
mut
ale
orto
graf
lce
oblic
e /
tran
sver
sale
sun
t ech
idis
tant
e pe
zr
lrnuc
an,ta
rate
. in
timp
ce d
ista
ntel
e di
n lu
ngul
ver
tical
urilo
r se
rep
rsS
nt8
cu d
efor
mat
ii ne
gativ
e, c
are
cres
c pe
mh
r5
ce s
e m
irreg
te d
ista
nfa
f'
de
pol
ul p
roie
ctie
i R
efea
ua n
orm
al8
are
aspe
ctul
din
fig
.20-
2.
Eli
psel
e de
def
orm
atie
au axa
mar
e pe
dir
eqia
alm
ucan
tara
tulu
i ca
re &
eece
pr
in
punc
t, de
ci .
-
a=
p?
=l
b =
PI= co
s z
(20-
6)
idcc
iillu
: de
defo
rmqi
e ar
eola
rZ
- P
=P
I&Z
=C
OS
~
, (2
0-7)
m
at2
c4
in a
cest
e pr
oiec
gi,
arii
le s
e re
prez
intii
cu
defo
nnat
ii ne
gativ
e, c
u at
2 ~
nai
man, c
u &
t su
nt s
ituaf
e m
ai d
epar
te d
e po
iul Q
,. C
afcu
lul d
efor
ma$
iilor
ung
hiul
are
rnax
ime
se fa
ce fo
losi
nd fo
rmul
a ge
nera
l&
. a,
a-b
sn
-=-
2 a-
tb
' . -
?n ca
re Ii
zloc
uim
ser
niax
ele
a $i
b cu (
20-6
) gi
obf
inem
:
! di
n ca
re r
mll
i ci,
sing
urel
e un
ghiu
ri c
are
nu s
e de
form
- h a
cest
e pr
oieq
ii,
sunt
cel
e ca
re a
u v
W
*m p
blul
Q, .
Toa
te iz
ocol
ele
sunt
cer
curi
conc
entri
ce, cu
centru
l 3n
Q, .
In p
roiw
ile
azim
utde
ort
ogra
fice
obl
ice
~i Tn c
ele
tran
sver
sale
, rep
aua
no
dl
este
0 -
form
at5
din
imW
1e
plan
e al
e ve
rtic
alur
ilor
~i a
le a
lmuc
anta
rate
lor.
Ea
are
aspe
ctul
din
fi
g.20
-2, i
ar r
qeau
a ca
rtog
rafi
d se
repr
ezin
tZ a
stfe
l: -
in p
roie
cfiil
e az
imut
ale
obli
ce o
rtog
rati
ce &
mer
idia
nele
c2t
gi
para
lele
le s
e 1
repr
ezin
tii p
rin
elip
se (r
espe
ctiv
arc
e de
elip
se);
- T
n pr
oiec
we
azim
utal
e tr
ansv
ersd
e ur
togr
afic
e, t
oate
par
alel
ele
se r
epre
zinc
pri
n dr
epte
par
alel
e, i
ar m
erid
iane
le p
rin
elip
se (r
espe
ctiv
arc
e de
elip
sii),
cx
exce
poa
mer
idia
nulu
i
,,ade
l cu p
lanu
l de
pro
iect
ie,
mer
idia
n ca
re %
?rep
rezi
ntg p
rint
r-un
cer
c, e
gal cu c
el d
e pe
sf
ee.
proi
e+ile
az
imut
ale
orto
graf
ice
se h
treb
uint
eaz8
de
obic
ei p
entr
u hh$
la s
cM
mid
$ p
entr
u un
ele
hZr$
ast
rono
mic
e, d
a ex
einp
lu, p
entr
u re
prez
entu
ea ju
mkt
a$i
vizi
bile
a L
usi
,
r -I
Fig
. 20
- 2
Asp
ectu
l ret
etei
nor
mal
e ln
tr-o
pro
iect
ie o
rtog
rafic
a
Plan
urile
topo
graf
ice
ale
unor
s~
~p
raft
w
mic
i (care
nu d
epii
~es
c "c
hp
d to
pogr
afic
"),
cue
nu se
spiij
irtk
pe
rs;e
ale
geod
ezic
4, c
i pe
o t
rian
gulG
ie l
ocal
$ po
t fi
con
side
rate
cz
- iep
reze
nt&
fi Tn p
roie
clii
azim
utal
e or
toga
frce
.
In p
roie
ctiil
e az
imut
ale
pers
pect
ive
cent
rale
, pun
ctul
de
vede
re s
e a
fl5
h c
entr
uI s
fere
i te
rest
re. Fu
nc$e
de
poz
ilia
polu
lui Q, , pr
oiec
$ile
azi
mut
ale
pers
pect
ive
cent
rale
.(nu
mit
e ~i
or
todr
orni
ce) p
ot fi
dre
pte,
obl
ice
sau
tran
sver
sale
. C
onsi
derh
d pl
and
de p
roie
cfie
tan
gent
?n p
olul
Q,(c
p,, L), para
met
rii
D ~
i K
au
urm
5ito
arel
e va
lori
spe
cifi
ce a
cest
or p
roie
4i:
In c
$e t
e U
rme
a~
&.~
e
prez
ihti
i caz
ul p
roie
c$ilo
rcen
tral
i,, p
blic
e.
Par
ticu
lari
zhd
form
ula
gene
rd8
(19-
2):
. ,
. .
KR
sin z
P
= I3 +
R co
sz
! C
onst
mtih
Gh
w CA
RT
OG
RA
FIE
MA
TE
MA
'MC
A
UTC
B - Fac~dtntea d
e G
eode
zfe.
Bzr
curm
h 1 1
ch e
xpre
siile
.. (21
-1),
ob$n
em,
pent
ru c
oord
onit
ele
plan
e po
lare
: 6
=A
.
(_
p
=R
tgz
(2
1-2
) C
oor%
onat
ele p
lank
rec
tang
ular
e po
t fi
cal
cula
te f
ie f
inq
ie d
e ce
le p
olar
e, f
olos
ind
form
ulel
e :
Fig
. 21
- 1
Sls
tem
ul d
e ax
e xO
y si
coo
rdo
nat
ele
pla
ne
po
lare
fie
fun+
e de a
ord
on
atel
e ge
ogra
fice
, cu
form
ule
care
se
ob
in d
in (
19-7
), cu
D =
0 j K
= R.
x= R
(sin
cp c
oscp
, - c
os q)
sin
cpo c
osl)
si
n cp
sin
cp, +
cos r
p co
s tp, co
sl
R c
oscp
sin
1 Y= si
n cp
sin
cp,,
+ cos
cp c
oso
- cos
1 ."
F
oim
ulel
e m
odui
ilor
de
defo
rmqi
e lin
iari
l pe
ver
tid
uri
(pl
) ~i
pe a
lmuc
anta
rzte
(fi2
),
fi&d
cant
de
expr
esia
raz
ei v
ecto
are
(21
4, s
unt:
Q
dz
R-
p-
dp
-
c0
sZz
- 1
I'-
~d
z
Rd
z
coS
2z
pd
A
- R
tgz
1 ---
--
p2
= R
sin z
d~
R s
in z
co
sz
1 ,
- .
- p
=p
,p,=
- .
. (2
1-6
) w
s3 z
Rez
ulta
9 p
olul
Q,
este
sin
guru
l pu
nct
%I ca
re n
u se
pr~
du
c de
fonn
atii.
In
resw
l pI
mu1
ui d
e pr
oieq
ie,
atst
dis
tanf
ele c
fit si
nii
le au
dcfo
mta
tii p
ozit
iv@
cu aG
t m
ai rnari, cu
c2t p
unct
ul e
ste,
mai
dep
arte
de
pol.
Eli
psel
e d
e de
fonn
a$e au s
emia
xele
:
a=
pl
Co~
rrrm
rrin
Gh i
k'U
AT
W.
CA
RT
OG
RA
FIE
M[A
TE
MA
TIC
A
'GTC
B -F
ocul
tmka
iIe G
eode
zie;
Bu
cu~
sti
Pen
tru
calc
ulul
def
onna
oilo
r u
no
ula
re m
axim
e ob
gnem
:
' '
' '
. .
.. .. . .
..
, ,\
. C
OS
Z
CO
SZ
L
de u
nde
trag
en c
onc1
uz.a
cil,
sin
gure
le u
nghi
uri c
ue
nu
se d
efor
mea
z5 s
unt c
ele
cu v
Xu
l In
pol .
Prin
we
, proi
ec!i
iie a
zim
utal
e pe
rspe
ctiv
e ce
ntra
le d
efor
m-
totu
l (di
stan
je, a
rii,
ungh
iuri
), 'k iz
olin
iiie
def
orrn
eilo
r su
nt c
ercu
ri c
mce
ntri
ce, c
u ce
ntni
l in
pol
ul p
roie
cyie
i.
Fig
. 21
- 2
As
pe
al
rete
lei n
orm
ale
intr
d p
roie
ctie
ort
od
rom
ica
Cal
itat
ea
aces
tor
pro
ie~
ii es
te
acee
a cH
,
repr
ezin
tS p
rint
r-o
linie
dr
eapt
H
olao
drom
a (c
urba
de
lung
ime
min
im&
car
e un
egte
dou
5 pu
ncte
de
pe
sfer
a te
rest
r& a
dic'
l ar
cul
de c
erc mare
care
un
e~
te ce
le d
ou&
pun
cte
cons
ider
ate)
., D
ator
it.5
aces
tei
cali
tah
proi
ecfi
ile re
spec
tive sunt u
tiIiz
ate
pent
ru u
nele
hW
i de
navi
gatie
. R
epre
zent
area
ort
odro
mei
ca
segm
ent
de d
rkap
t5 re
zu1t
E d
in f
aptn
l G, t
oate
.dre
ptel
e pr
oiec
tant
e ca
re tr
ec p
rin p
unct
e de
pe
orto
drom
k se
in a
dq
i pl
an,
care
int
erse
ctea
zi
plan
ul d
e pr
oiec
fie
dupg
o d
reap
6 In
pro
iec+
ile o
rtod
rom
ice d
rept
e, r-
norm
alii
coin
cide
cu
rq&
ua
cart
og
afic
i (de
m
erid
iane
si p
aral
ele)
. .
,
22.
PR
OIE
Cm
AZ
ITW
IJT
m P
ER
SPE
CT
IVE
ST
ER
EO
GjR
AF
ICE
:
In
pro
ie4
ile
azim
utal
e pe
rspe
ctiv
e st
ereo
pfi
ce,
punc
tul
de v
eder
e se
afl
ir p
e su
pra
fa s
fere
i ter
estr
e de
raz
z R,
dia
met
rai o
pus p
olul
ui Q
o (qa
, L) al
proi
ecfi
ei.
FW
e de
lat
itud
inea
po!
uIui
Q
, , p
roie
cfii
le s
tere
ogra
fice
pot
fi
drep
te,
obli
ce s
au
tran
sver
sal e
. PI
anul
de
proi
eqie
se
ia f
ie t
ange
nt ?
n po
lul
Q, ,
fie
seca
nt $
i pe
rpen
dicu
lar
pe
diar
uetr
ul p
rinc
ipal
(pl
anul
sec
ant p
aral
el cu
plan
ul ta
ngen
t in
pol)
.
r
1
Fig.
22 -
1
Imag
ine
ster
eogr
aflc
a a
pund
ului
B
B'r
in p
lanu
l lan
gent
6'2
In pl
anul
sec
ant
Intr
-o p
roie
ctie
ste
reog
rafi
cir p
e un
pla
n ta
ng
ent,
para
rnet
rii D
$i K
au
valo
rile
:
D=
R
K=
2R
(2
2-1)
.
. In
caz
ul u
nui p
lan
seca
nt, i
n pr
oiec
tiile
ste
reog
rafi
ce o
bllic
e' $i
in c
ele
trm
sver
sale
, D
=R
1
C=
R+
Rco
szk
,
(22-
2)
in w
e zk
este
dist
a*
zeni
talH
a c
ercu
lui
de s
ecfi
onar
e a
sfer
ei te
rest
re,
de d
tre
pla
nul
de
pro
iMe.
In
caz
ul p
roie
c$ilo
r st
ereo
gaii
ce d
rep
te, p
e un p
lan
seca
nt,
D=
R
K=
R+
Rc
os
~~
=R
+R
sin
cp
, ,
(22-
2')
in c
are yK e
ste
mla
titu
dine
a pa
rale
lulu
i de
seqi
onar
e a
sfer
ei,
de &
re p
lan.
In c
ele
ce u
rmez
5, s
unt
prez
enta
te f
orm
ule
de c
alcu
l pe
ntru
pro
iec$
i st
ereo
graf
ice
oblic
e, p
e un p
lan
tang
ent.
Rep
aua
norm
al&
?.a
aces
te p
roid
i es
te fo
rmat
5 din
imag
inil
e pl
ane
ale
vert
ical
uril
or (
drep
te c
are ies diu
orig
inea
axe
lor
de c
oord
onat
e, G
&nd
int
re e
le
ungh
iuri
@e
cu d
iie
np
le d
e az
imut
e de
pe
sf&)
qi al
e al
muc
mta
rate
lor
(cer
curi
co
ncen
tric
e, c
u ce
ntru
l h o
rigi
nea
axel
or d
e co
ordo
nate
). E
a ar
e as
pect
ul d
in fi
g.22
-3 a
.
Dac
5 fn e
xpre
sia
gene
ralz
a lu
i p
dat5
?n (1
9-2)
:
KR
sin
Z
P=
D +
Rco
sZ
, ..
.
,, ia
D=R
si
K
=2R
, at
unci
se
obtin
e :
- -
1.
1.
2R
sin
- 2
R x
2 si
n - co
r -
--
Z
P=
2 z
2=
2R
tg-
R(1
+ c
osz)
2 "&sZ
-
2 2
:
stfe
l kc
fit,
form
ulel
e de
cal
cul
pent
ru c
oord
onat
ele
plan
e po
lare
ste
reog
rafi
ce p
e un
plan
:
tang
ent S
L~
:
S=
A
Fig. 2
2 - 2
Sis
tem
ul de
axe
xOy
si c
oord
onat
eie
plan
e po
lare
Coo
rdon
atel
e pla
ne re
ctan
gula
re , hn
ctie
de
cele
pol
are,
sun
t :
x =
pco
d =
2R
tgZ
co
s~
2
(22-
4)
z y
= p
sind
= 2
Rtg
-sin
A
2
Coo
rdon
atel
e pl
ane
rect
angu
lare
pot
fi
cal
cula
te ~
i fn
kn
cfie
de
co
ordo
nate
ie
geog
rafi
ce, f
olos
ind
form
ulel
e: 2R
cos c
p sin
I =
~+(~
incp
sin
cp,+
cosc
pco
scp
,cos
1)
. .
. .
care
din
form
ulel
e ge
nerd
e (1
9-7)
, di
c! se ia
D=
R
K+
R.
. :,:, ,
, ,
-Pen
tru
mod
ulii
de
def
ame
~i p
~tr
u de
fo&
ie
ungh
iula
re
max
ime,
.
. i
part
icul
arkh
form
ulel
egen
eral
e,
but
de a
rpre
sia
raze
i vec
toar
e. : ,; .
: .
: .
.
Com
@tin
Gh.
Mzm
TB
MJ
C
AR
TO
GR
AFl
E M
AT
EM
AT
ICA
UTCB - Fa
culM
eo d
e G
eadw
We,
Buc
trre
a ,
,..- ..
. . -
. .. .
.
. ,:.
Pe
vert
ical
uri,
Deo
arec
e p
e di
reqi
ile
prin
cipa
le m
odul
ii de
def
orm
age
lini
ar5
au a
ceea
gi v
aloa
re,
rezu
ltl
c5 P
I-oi
ecti
iIe s
tere
ogra
fice
sunt
conf
orm
e, i
ar r
nodu
lul
de d
efor
mal
ie li
niar
B a
re
acee
qi v
aloa
re, p
e or
ice
dire
qie
din
punc
tul c
onsi
dera
t "E
lipse
le d
e de
fom
aGe"
(w
an
sfo
n~
~~
e
in c
xcur
i ) a
u se
mia
xele
: '
a=
b=
P
Def
orm
atiil
e ur
ighi
ular
e su
nt n
ule,
dec
i: u, =
O
Mod
ulul
de
defo
rrna
fie a
reol
arii
are
expr
esia
:
Con
cllln
zii p
~iv
ind
cdef
orm
a$ile
din
pro
iect
h s
tere
ogra
dcIi
pe un p
lan
tang
ent
Unh
iuri
le n
u se
de
form
-%
In p
olul
pro
ieqi
ei (
orig
inea
sis
tem
ului
de
axe
xOy)
nu
se d
efor
m-
nici
dis
tanc
ele ,
nici
ari
ile.
b~ or
ice
punc
t di
n pl
an,
care
nu
coin
cide
cu
orig
inea
axe
lor,
atk
dis
tant
ele
cat
gi ar
iile
au d
efon
natii
poz
itive
, cu a
t2t m
mai
mar
i, cu c
t pu
nctu
l wte
mai
dep
arte
de
orig
ine.
Def
orm
atiil
e,
de
oric
e fe
l, de
pind
nu
mai
de
de
ph
ea
pun
ctuI
ui f
a$i
de p
olul
p
roie
ei
(ori
gine
a si
stem
ului
de
axe
xQy)
, de
und
e rm
lt8
c5,
izol
iniil
e d
ef
om
or
au
aspe
ctul
uno
r ce
rcur
i con
cent
rice
, cu
cen
tru
l3 p
olul
Q,.
IPro
iec$
iite
ster
eogr
afic
e pe
un p
lan
seca
nt
In
oric
e pl
an s
ecan
t la
sfe
riL, p
aral
el cu
plan
ul ta
ngen
t ?n
pol
ul Q
, , s
e ob
* im
a@
asem
enea
, dar
rnic
gora
te, in r
apor
t cu
imag
ines
din
pla
oul t
ange
nt.
Rap
ortu
l din
tre
o di
stzr
Z d
in p
lml
seca
nt ~
i cea
wre
spm
z5to
are
% p
lanu
l tm
gent
es
te t
otde
auna
sub
unita
r, s
e nu
mef
e "c
o&ic
ient
de
reh
cere
a s
&ri
iU, ~i
ser
vegt
e pe
ntru
tra
nsca
l-ea
coor
dona
telo
r m
e ce
le d
oui p
lane
. C
era
. &p?
i ca
re p
lanu
l ta
ie s
fera
se
repr
ezin
tii f&
% d
efor
m@
. E
l po-
rm
mel
e de
"c
erc d
e de
form
agie
nu
IH1'
gi a
re c
en
td fn o
rigi
nea
sist
emui
ui d
e ax
e de
coo
rdon
ate xOy.
66
In in
teri
orut
cer
alu
i def
orni
ape
nu15
, se
pro
duc
ddfb
&a@
ne
gativ
e al
e di
&re
lor
ai
ale
ariil
or, iar k
ext
erio
rul c
ercu
lui d
e de
form
age
nu18
se
prod
uc"d
efor
%a$
ii po
&fi%
e. . .
, '.
'' In
pra
ctid
, pr
in u
tili
zare
a pl
anel
or s
ecan
te, s
e po
t ow
e do
uii e
fect
e im
post
ante
: 1)
cu
un
sing
ur p
lan
seca
nt,
pmtr
u an
sam
blul
ter
itori
ului
, se
poa
te r
educ
e, p
h5
la
jum
atat
e,
valo
area
def
orm
atie
i max
ime
din
zona
de
fron
tier8
a pl
anul
ui ta
ngen
%
2)
pe
w ud
ele
Loca
lit*
se p
ot s
tabi
li plane
seca
ote
loca
le,
astf
el &
at
cerc
ul.d
e de
form
afie
nul
a s& t
reac
g pr
in z
ona
resp
ectiv
2, d
u-
pe aceasta c
ale,
Ia
anul
area
sau
la
mic
gora
rea
defo
rrna
ti'io
r .
De
retin
ut d
ouz
prop
riet
w a
le p
roie
4ilo
r st
ereo
graf
ice,
car
e vo
r fi
uti
liz'
ate.
dten
or,
la s
tabi
lirea
form
ulei
pen
tru
calc
ulul
cor
@ei
de
redu
cere
7a di
recf
iilor
1a:
plan
ul d
e pr
oie@
e :
. . ly
, y
rkw
ile
max
i ca
re t
rec
,gri
n po
lul
Qo. a
1 p
roiw
iei
(ver
ticd
ui
linii
geod
ezic
e) s
e re
pret
int5
pri
n se
gmen
te d
e &
apt%
i;'ei
es
din
13i@
& a
irel
or d
e cb
ordo
nate
; 2)
i ce
lela
lte c
ercu
ri d
e pe
sfe
ra t
eres
tra
% ' r
epre
zini
C''&
' pfo
iqii
la s
tere
- og
afic
e , t
ot p
rink
ercu
i, re
spec
tiv a
rce
de
cerc
1211
. ".
.a_
....
.
1n..'
fii.2
2-3
este
ar&
t as
pect
id r
etel
ei
de m
eiid
iane
$ p
aral
ele
intr
afr
ci-
ie
. ,. .;
ster
wgr
afic
H d
reap
t2 (f
ig.a
) ~i
GI&
-UM
ob
lici
(fig
.b).
...
.:
.
.
- .
:
Fig
.22-
3 R
efea
c&
graf
ici
-m+
b:pm
iecf
ie s
tere
ogrs
6cZ
dre
apt5
(a)
. '
. '
$ k
tr-m
a ob
licii
(b)
. .
. r.
' >
. .
.. ,
.,.:
..
.
,:
.
. .
. ..
. .. .
Proi
ec$i
le s
tere
ogra
fice
, fi
ind
conf
orm
e gi
av
bd
izo
linii
de d
efor
mas
e in f
orm
5 de
W
rcur
i co
ncen
tric
e, su
nt a
vant
ajoa
se p
entr
u re
prez
-na
la s
cari
mar
ila
teri
tori
ilor
car
e se
ks
criu
ap
roxi
mat
iv
ink-
un
cerc
, cu
m
este
, de
exe
mpl
y R
omfi
nia.
Su
nt u
tili
zate
, de
as
emen
ea, p
entr
u re
prez
enta
rea
zone
lor c
ircu
mp~
lare
. '
a~
tmlf
itz
G
h. M
bN
ThW
C
AR
TO
G3L
IFIE
MA
TE
MA
TIC
A
. U
TCB
- Fa
cu
ke
de
GP
od
~'e
, B
--
- . ..
, Cod
mo;;t
Gh A
WW
' :
ceT
WR
.@IE
IM
ATE
MA
TIC
A
Q?T
X - Fa
cuka
tea
de G
e0da
2~e;
Buc
ures
ti -
8 ---IP
-
-
Pen
tru
teri
tori
ul R
omh.
iei,
au f
ost
~i s
unt
util
izat
e pr
oiec
fii
de t
ip s
tere
ogaf
ic.
~1~
?.
.
:.
- Tn
mu1
190
0, p
rin'
'det
erm
iniir
i. ' as
tron
omic
e a!e
di
fere
ntei
de
long
itud
ine
sunt
pre
zent
atz
sepa
rat,'
fn mod d
etal
iat.
dint
re p
unct
ul a
stro
nom
ic f
unda
men
tal
gi' O
bset
r&tb
ii din
Pot
sdam
, a.
fost
det
erm
inat
a .> ,
indi
rect
long
itudi
nea
pu
nm
hi
fix~
dzm
enta
l fi@ d
e G
re&
Wic
h '&
finh
du-s
e :
. ..;.
, :
k =
29'
01'
3SC
e,51
0 E
st G
ieen
wkh
( =
26'
06' 4
4",%
?72 )
I
.
23.
IPlR
OTE
CTU
ST
ER
EO
GR
AF
ICA
PE P
LlLN
BTE UNlC
SEC
AN
T B
US
QV
-
( 1933 / 1930 )
Lat
itudi
nea,
lon
ptud
inea
gi
azim
utul
, de
term
inat
e in
pun
ctd
fund
amen
tal, au
Coz?
st
r-or
tate
" (W
ansm
ise)
la
cape
tele
bam
i ge
odez
a'ce
Buc
ure@
(b
aza
Cio
rogi
irla
-Mil
itxi
),
In
anul
19
33 a
fos
t pu
blic
at2
lege
a fn
b
aa
mei
a,
pent
ru
lucr
ilrile
geo
dezi
ce,
topo
graf
ice,
de
cad
astr
u et
c di
n R
omiin
ia, t
rebu
ia F
Z se
apl
ice
"pro
iecf
ia s
ter
e0
~c
5
pe
plan
ul u
nic
seca
nt B
ra~
ov
". Ace
st e
veni
men
t marc
- kc
eput
ul u
nei
epoc
i de
mod
erni
zare
k d
omen
iul
mis
urZ
tori
lor
tere
stre
dim
pa
noas
trz
unde
, la
ace
a da
G,
se
folo
seau
dif
erit
e si
stem
e de
pro
iecf
iz, i
ar r
epau
a ge
odez
icg
se c
erea
, de
asem
enea
, ref
ficu
tz.
Arm
ata
inw
tpus
e s5
hcr
eze
k~
aces
t si
stem
de
proi
eGe,
neo
fici
aliz
at, i
ncli
din
anul
19
30.
--~
~.
prin
tr-~
rew
a lo
cal5
de
tria
ngul
atie
, obt
inbd
u-se
: , .
- pen
tru
eapu
l E
st a
l baz
ei @
unct
ul m
ita
r-):
ia. p
entr
u m
pu
l Ves
t (p
unct
ul C
iaro
g8rl
;a):
Chis
din
den
urni
re ( ..
ster
eoga
fi&
..)
reie
se &
pro
ieqi
a es
te c
onfo
rm$
cali
tate
car
e pe
rmit
e ea
mZ
sura
tori
le g
eode
zice
$i t
opog
rafi
ce , sp
riji
nite
pe
rega
ua g
eode
zici
, s
l poz
ti fi
S
ista
rnul
de
axe
pent
ru c
oord
onat
ele
plan
e st
ereo
gr&
ce a
fos
t al
es a
stfe
l inc
2t,
polu
l pr
elur
cate
dir
ect %
I pl
anul
de
proi
eqie
, dup
B a
plic
area
uno
r co
reqi
i de
redu
cere
la p
ian
Q~
(~
P~
,
&)
este
oii
gine
a, m
erid
ianu
l A,,, re
prez
inta
axa
Oy,
cu
sens
ul p
ozit
iv s
pre
nord
, iar
axa
l?re
ciza
rea
"pe
plan
ul u
nic
seca
nt B
ra$o
vu d c&
pen
tru
atr
eaga w
g s-
a ad
opta
t un
- O
x ar
e se
nsul
po
stiv
spr
e es
t, Ca
?n
fig.
23-1
. si
stem
unic
de
refe
rin@
, av
hd
ca
pol Q
, (de
nurn
it un
eori
"pu
nct c
entr
aln)
, ori
gine
a a
xelo
r de
coo
rdon
ate
plan
e, u
n pu
nct f
icti
v, n
emat
eria
liza
t in
ter-e
n, s
itua
t la
cir
ca 3
0 km
no
rd-v
est
de B
rqo
v.
r
Coo
rdon
atde
w-g
;lfi
ce al
e pu
nctu
lui c
ecw
& s
ua:
- la
titu
dine
a cp,
= 5
1' O
OcO
OEC
,OO
O Xor
d (=
45O
54'
00'
,000
0 )
Fig
. 23 - I
- long
itud
inea
L, =
2gG
21c3
8cc,
510
Est
Gre
enw
ich
(= 2
5'
23'
32",
8772
)
Axe
le d
e c
oord
onat
e
Har
ta
fririi
fn
proi
ecfi
a st
ereo
graf
ic2,
urm
a d s
e sp
riji
ne p
e o
tria
ngul
atie
nou
q in
pro
iecb
a'st
ereo
graf
ica
pe p
lanu
l un
ic s
ecan
t Bra
sov
pent
ru
care
s-a
ad
opta
t el
ipso
idul
int
enm
atio
rad
Hay
ford
(1
910)
, ai
h
i
parm
&
geom
etri
ci au
valo
rile
: a
= 6
378
388
,000
m
LO
' i
b=
6 3
56 9
11,9
46m
f =
1 : 29
7 =
0,0
03 3
67 0
034
Pen
tm u
nele
uti
liz2
i pr
actic
e, k
sco
pul d
e a
nu s
e op
era cu c
oord
onat
e ne
gati
ve, s
-a
e2 =
0,
006
722
6700
da
t ad
evar
atei
or a
xe d
e co
ordo
nste
o tr
ansl
a$e
de
500
000
m
spre
ves
t gi
50
0 00
0 m
spr
e =
0,
006
768
1702
su
d, a
stfe
l*
pent
n, te
rito
riul
ktr
egii
$ri, a
cest
e "f
alse
coo
rdon
ate"
dev
in p
ozit
ive.
C
a pu
nct
astr
onom
ic f
unda
men
tal
@en
m "o
rien
tare
a el
ipso
idul
ui")
s-a
lua
t pil
am
D
e re
finu
t 4 a
cest
e co
ordo
nate
car
e au s
ufer
it tr
adsl
* nu
est
e pe
rmis
a f
i uti
liza
te
de b
eton
a1
Obs
erva
toru
lui
astr
onom
ic m
ilit
ar
din
B
ucu
rqti
. In
ac
est
punc
f pr
in
pent
ru o
rice
cal
cul.
De
exem
ply
nu t
rebu
ie u
tili
zate
pen
trtl
red
ucer
i la
plan
ul d
e pr
oieq
ie,
mku
r2to
ri a
stro
norn
ice,
au
fost
det
erm
inat
e la
titu
din
e~ long
itud
inea
$i un
unim
ut,
dupi
i cum
ca
tc~~
lul
defo
rma~
ilor
etc.
as
tfel
: - G
I anu
l189
5, d
in d
eter
rnid
rile
ast
rono
mic
e fa
cute
de
cZpi
tanu
l mc
ea
au
, C
oefi
cien
M d
e re
duce
re a
dr
ii, de
la l
and
tang
ent
Brq
ov
la
pl
d un
ic s
ecan
t, au re
zuIta
t lat
itudi
nea :
are
valo
area
q~
= 4
gG 34
' 38
tc, 1
50 N
ord
( = 4
4" 2
4' 3
3",9
606 )
c =
1 - (1
1 3
000)
= 0
,999
666
67
,
(23-
1)
gi a
zim
utul
nik
xa
t de la s
ud, tu
sens
ul a
do
r de
cea
sorn
ic, s
pre
punc
tul C
otro
ceni
: iar
coe
fici
entu
l pen
im re
veni
re la
sca
m n
orm
al&
(kt p
land
tang
ent)
est
e :
Cp
nsh
zin
Gh. M
mT
EA
AV
C
AR
TO
GR
AF
I@ U
TE
MA
nC
A
. UTC
B - Facultarea de G
eode
ne, B
mrr
esn
. .
. C
alcu
lul
coor
dona
telo
r st
ereo
graf
ice
dh
,:p
lan
hl u
nic
sec
ant .
Brq
ov
, fun
c$ie
de
coordonatele.geografice.'
For
mul
ele
lui
Rou
sbilh
e. : ,:.:
. ,
Ecu
atii
le h
w,
stab
ilit
e pe
ntru
pr
oiec
fiil
~, az
imut
ale
pers
pect
ive
ster
eogr
afic
e. al
e un
ei s
fere
, nu
pot
fi a
plic
ate
aces
tei p
roie
@i,
deoa
rece
pro
iecf
ia s
tere
ogra
fica
pe
plan
ul u
nic
seca
nt B
rqo
v e
ste
ncva
sist
ereo
graf
ic5"
(aproape.stereograficZ). D
e ac
eea,
au
fost
uti
liia
te
form
ulei
e st
abil
ite
de
geod
ezul
hn
ce
z R
ouss
ilhe,
in a
nul1
924:
.
. .
. .
.-
. a:
='a -A
+ A1a
j3"
A2c
z3 - A
3aZ
fi+
A4a
P4 -
A,a
3P2 -
~~
a'
-
A7a
3B3 - A
sa5B
: 30
00
?n c
ue:
x,y
. su
nt c
oord
onat
ele
din
plan
ul u
nic
seca
nt, e
xpri
mat
e in
met
ri;
a
= lu
ngim
ea, In
met
xi,
a arcului
de p
e pa
rale
lul
punc
tulu
i de
rep
reze
ntat
, cu
prin
s ktre
mer
idim
d p
ol
d~
si
mer
idia
nul p
unct
ului
; ..
. . .
. j3.
= l
ungi
mea
, 31
m
et+
a
arcu
lui
de m
erid
ian
cupr
ins
%tr
e la
tihd
inea
pol
ului
ii '
latit
udin
ea p
unct
ului
. P
entr
u ca
lcul
ul a
rcel
or d
e pa
rale
l gi
de
mer
idia
n,
au
fost
?nt
oc.m
ite t
abel
e al
e el
ipso
idul
ui in
tern
atio
nal H
ayfo
rd.
Coe
fici
entii
A1
,.. . As
+ B1 ,..., Bg
sunt
con
stan
te a
ie p
roie
ctie
i, ca
lcul
ate
pent
ru
elip
soid
ul H
ayfo
rd ~
i pen
tru
polu
l di
n ta
ra n
oast
rs.
Au
fost
int
ocm
ite
forn
nu
lam
pen
tru
calc
ulul
coo
rdon
atel
or,
pe c
are
sunt
tip
bite
va
iori
le l
ogar
itm
ice
ale
coef
icie
ntilo
r co
nsta
nti,
urnG
nd a
se
calc
ula
loga
ritm
ic,
va!o
area
ab
solu
d a
fiec
arui
term
en d
in p
olin
oam
ele
resp
ectiv
e. P
roce
ded
nu s
e m
ai p
ract
icH
ast
bi.
Def
orm
a@ile
din
pro
ieq
ia s
tere
ogra
fic%
pe p
llann
i unit
sa
t
Bra
~o
v
In a
ce&
pr
oi&
e se
def
orm
ead
dis
tae
le gi
ari
ile
Exc
eptie
hc
pm
ctel
e si
tuat
e pe
ce
rcul
de
de
fo
me
nulq
a c
hi
razi
est
e r0
=2
33
krn
, (2
3 -4
)
~i a
1 cf
mi c
mtr
u es
te o
rigi
nea
axel
or d
e co
ordo
nate
plan
e. P
entr
u a
se s
tabi
li va
loar
ea a
cest
ei
raze
, s-
a co
nsid
erat
c&
in m
edie
, de
la c
entr
u p
Wi
la e
onti
er5
dist
anta
est
e de
33
0 ian,
s-a
ca
lcul
at c
ii ~
plan
ul tangent,
la a
ceas
.& d
im$
%
defo
rmat
ia e
ste
de +
67
cm 1
km, ~
i s-a
pus
co
nditi
a ca p
lanu
l uni
c se
c& 1 fi
e po
z+on
at i
n q
a fe
l 3c
Zt
la d
ista
np d
e 33
0 km f
ats
de
pol,
defo
ymat
ia d
e +
67 cm I
km
s5 s
e re
ducH
la
jum
aate
.' A
rd
tat
raza
de
233 km
~i
coef
icie
ntul
de
redu
cere
a s
ck-ii
: c =
0,9
99 6
66 6
7 In
pl&
ta
ngen
t, fo
losi
t fi
ecve
nt c
a su
praf
a@ a
ux
iliq
rno
dulu
l de
def
onna
$e
linia
rii s
e ca
lcul
&
cu f
orm
ula :
iar c
el d
in p
lanu
l unic
seca
nt, cu
form
da :
: %
este
raza
med
ie d
e~cu
rbur
H a el
ipso
idul
ui,
la l
atitu
dine
a po
lulu
i Q,.
: In
pla
nul
tang
ent,
toat
e de
form
awle
su9
t .po
zitiv
e. S
ingu
rul
punc
t -Tn ca
re n
u su
nt
defo
rmaf
ii es
te o
rigi
nea
axel
or d
e co
ordo
nate
. .
. -
.-
i
..
.
. .:
. .
. .
In
plan
ul .
unit
sec
ant,
in i
nter
ioru
l ce
rcul
ui d
e de
form
a$e
nu12
su
nt d
efon
na$i
i ne
gativ
e, i
ar in
exte
rior
ul c
ercu
luii
de d
efor
mat
ie n
u15
sunt
def
orm
s@ p
oziti
ve:.c
are
;.:da
di
stan
p de
400
km, a
ting
+ 6
5 cm
fkm
: C
elb
mi-
nari d
efo
rma~
i lieg
atiy
e su
nt in
'ori
gine
a ax
elor
: -
33,3
3 cmlkm.
-..
In a
mbe
le p
lane
(ce
l ta
ngen
t 6
cel
seca
nt),
de
form
a6ile
dep
ind
nl~r
nai d
e de
ph-t
area
p
un
ctu
l~ fa@
de
orig
inea
sis
t,em
ului
de
axe.
R
ezul
tZ cH
izo
lini
ile
dgfo
nnaf
iilo
r sv
t ce
rcur
i .
.. .
.
conc
entr
ice,
'cu ce
ntru
l in
polu
l pro
iecf
iei.
Mod
* de
def
orm
aftie
areo
larH
est
e eg
al cu
pHtn
tul m
odul
ului
de
defo
rmaf
ie li
niar
Z:
Def
orm
qiil
e ar
iilor
au
acel
qi s
ernn
cu
defo
rmaf
iile d
ista
nfel
or.
-
Def
orm
aGi l
inia
re r
elat
ive
[ em
I km ]
ih p
roie
ctia
ste
reog
rafi
cii
pe p
lanu
l un
ic s
ecan
t Brq
ov
(19
33)
Tab
. 23
- 1
*"
Dis
tanp
D
efor
mag
ia
Dis
tanp
D
efo
rrn
ea
Dis
tanp
D
efor
rnaf
ia
pb
gla
[c
mlk
m]
pm
la
[cm
lkm
] p5
nHla
[c
mlk
m]
~0
1~
1
Qo
PO
~U
~
Q,
p~
hl
Qo
Co
req
ia d
e re
duee
re a
une
i di
reef
ii la
pla
nd
uni
e se
cant
Brq
ov d
e pr
oi-e
st
ereo
graf
iicZ
. (C
orec
fia
de
redu
eere
la c
oard
g)
Fie
, in p
lanu
l pr
oiec
fiei
ste
reog
ra6c
ie 1
933,
pun
ctel
e X
I , YI)
$i " 2(x2
, yz
), h
part
icul
ar,
do11
5 pu
ncte
din
rep
am g
eoc!
ezic
H
Lin
ia g
eode
zica
1-
2 , care l
e u
ne
~te
pe
elip
soid
, a?
e ca
imag
ine
pIan
a o
&a
cu c
ollc
avita
tea
catr
e or
igin
ea s
iste
mul
ui d
e ax
e xO
y.
Ace
asta
cur
bg f
ace
cu c
oard
a ei
(fi
g.23
-2)
un&
urile
m
ici.
612
$i h
1 , n
umite
"c
ore+
de
red
ucer
e a
dire
ctii
lor
la p
lanu
l de
pro
ie4
e "
sau
"cor
ec$i
de
redu
cere
a
dire
cfii
lor l
a co
arda
";
Cel
e do
uH c
orec
fii,
de s
emne
con
trar
e, s
unt e
gale
, in
valo
are
abso
lut2
, cu
jum
gtat
e di
n ex
cesu
l sfe
ric
a1 t
riun
ghiu
lui f
orm
at d
in p
unct
ul d
e st
a~
e, pu
nctu
l viz
at 8
i ori
gine
a ax
elor
de
coor
dona
te p
lane
. F
orm
ula
gene
raE
pen
tru
calc
ulul
cxc
esul
ui s
feii
c es
te:
iri c
aie'
E e
ste
exce
sul s
*~
in
rhdi
ani,
S'e
ste
aria
triu
nghi
ului
sfe
ric,
iar R
est
e ra
za s
fere
i.
a)
pe
sfer
a d
e ra
za r
nedi
e b
) in
pla
nul p
;ora
ctic;
st
e+--,
ogra
fice
L
Fig.
23 - 2
R
educ
erea
dir
ed~
ilo
r la p
lan
-I
Deo
arec
e, ir
i luc
r5ri
le g
eode
rice
cur
ente
, cor
e+a
are
valo
ri r
elat
iv m
ici
(sec
unde
sau
C'
zeci
de
secu
nde)
, es
te s
ufic
ient
ca,
pen
tru
calm
lul
ei, s
5 se
cun
oasc
g aria
S , cu
apr
oxim
afie
. .,!,
.
,
In
cons
ecin
$% ar
ia k
iung
hiuh
i sf
eric
se p
oate
hlo
cui
cu a
ria
triu
nghi
ului
pla
n (f
ig.2
3- 2
);
Exp
rimiin
d ar
ia tr
iung
hiul
ui f
un
tie
de d
o16
latu
ri (d
, pl)
gi
ungh
iul W
tre
ele,
i.
C 1
' S
= ( -
2 1.
PI.
d . s
in (
e10 -
e12)
gi lu
ihd
raza
sf&
eg
als.
cu
raza
med
ie d
e cu
rbw
ii a
elip
soid
ului
tn
pol,
se o
bMe,
pen
tru
core
cfia
exp
rim
atH
?n se
cund
e:
F f pa
Slz
"=-h
1m
=(c
).d
-pl.
~in
(01
0-0
~2
) ,
(23 -
1 0)
4%
i E ia
r du
pg
docu
irea
con
stan
telo
r cu
valo
rile
lor
num
eric
e,
k h
61
2~
=3
91
1 . 1
0-".
d
. p
i. s
in ($
lo -e
12)
, '
(23-
1 1)
- ca
re:
: . d * d
ista
w d
intr
e pu
nctu
l de
stag
e ti
pun
ctul
viz
at;
pl =
dis
taqa
din
tre
punc
tul d
e st
atie
gi o
rigi
nea
axel
or d
e co
ordo
nate
; ': ' .
.
8; =
ori
enta
rea
de la
p~
lnct
ul de
sta
tie
C-+e
or
igin
ea a
xelo
r de
coor
dona
te;
Q12
= o
rien
tare
a de
la p
unct
ul d
e st
ajie
cat
re p
unct
ul v
izat
.
In p
ract
ic2,
s-
a fo
losi
t rnu
lt pi
form
ula:
...
. .
*em
Itat
5 di
n ex
prim
area
ari
ei t
riun
ghiu
lui
1 2
0
cu a
juto
rul
unui
det
erm
inan
f al
e &
mi
elem
ente
sunt
coor
dona
tele
qy a
le c
elor
trei
Wi
gi
unit
atea
. Se
mnu
l cu
care
se
aplic
fi c
oreG
a es
te c
el re
zult
at d
in f
orm
ula
de c
alcu
l. C
oord
onat
ele
plan
e ut
iliz
ate
la c
alcu
lul c
orec
fiil
or 6 t
rebu
ie s2
fie
cele
ade
viir
ate,
far
&
tran
slaf
ii, ia
r pre
cizi
a lo
r poa
te f
i de
ordm
ul a
doi
met
ri.
Cor
eqia
s-a
apl
icat
, de
reg
uli.,
in
caz
ul d
irec
tiil
or d
in r
efea
ua g
eode
zic5
, a
mo
r lu
ngim
e d
epb
ea 7
kilo
rnet
ri.
Cor
ecG
a es
te n
ut&
atu
nci c
hd
pun
ctul
de
stat
ie, p
unce
ul v
izat
$i o
rigi
nea
arel
or
de
coor
dona
te su
nt
coli
dar
e.
In c
apito
lul
"Pro
iec$
ia s
tere
ogra
fic.
5 19
7OW
, sunt
pre
zent
ate
~i a
lte
dd
i pr
ivin
d re
duce
rea
dire
qiil
or
la
plan
ul
de
proi
ecfi
e,
vala
bile
, pr
inci
pial
, gi
pent
ru
proi
ecfi
a st
ereo
gafi
cZi p
e pl
anul
uni
c se
cant
Bra
tov.
Tre
sfor
mar
ea c
oord
onat
dor
din
pro
iec9
a st
erec
sgrn
ficl
pe
plan
ul u
nic
seca
nt
Brw
ov,in
coo
rdon
ate
geog
rfic
e pe
elip
soid
ul H
syfo
rd
La
epoc
a re
spec
tivk
ace
astg
pro
blem
5 se
rez
olva
cu
ajut
orul
uno
r po
lino
ame
cu
coef
icie
nti c
on
sta.
i, s
tabi
lite
de
&re
fr
ance
zul R
ouss
ilhe
. Int
rodu
dud
in a
cest
e po
lini
oam
e va
lori
le &
ordo
nate
lor
ster
eoga
fice
din
pla
nul
tang
ent,
se o
bGne
a ar
cul d
e pa
rale
i a
~i arcuI
de m
erid
ian j3
, ia
r cu
aju
toru
l lo
r $i
a1
tabe
lelo
r el
ipso
idul
ui s
e ca
lcul
a di
fere
nple
de
coor
dona
te in
rapo
fi cu
polu
l pr
oie+
ei,
apoi
coo
rdon
atel
e ge
ogra
fice
. F
omul
ele
lui
Rou
ssil
he
asig
ur;i
o p
reci
zie
de c
alcu
l de
ord
inul
cfit
orva
ce
ntim
etri
, sa
u ch
iar m
ai s
lab%
, d
ad p
unct
ul e
ste
situ
at d
epar
te d
e or
igin
ea a
xelo
r, c
atre
hot
arel
e W
i.
Cad
rane
le d
in p
roie
cfia
ster
eogr
afic
5 pe
pla
nul u
nic
seca
nt B
rago
v P
lanu
l ac
este
i pro
iec$
i es
te ?m
p&$t
Tn pa
tm c
adra
ne, d
e cg
tre
axel
e de
coo
rdon
ate
plan
e re
ctan
gula
re F
ieca
re ca
dran
est
e no
tat cu
ajut
orul
ini6
alel
or p
unct
elor
md
inal
e : N
.E.,
S.E. ,
S.V
. ,
N.V
. (f
ig. '
23-3
). +
Y
N.V
. 1
N.E
.
Fig
. 23-
3 N
otar
ea c
elor
pat
ru c
adra
ne
. ~
S.'i
3
1 ' S.
E.
..
..
.
....
...
...
..
..
F
oile
fun
darn
enta
le g
eode
zice
6i.
secf
iuni
le to
pogr
afic
e'di
n pr
oiec
tia
ster
eogr
afic
ii
pe p
lanu
l un
ic s
ecan
t Brq
ov
.
..
.
Du
ckd
, $I.
plan
ul u
nic
-sec
ant, p
&al
ele
la. a
xa Oy, la
inte
rval
e eg
ale
= 8
600
m , gi
para
lele
la
axa
Ox,
la
inte
rval
e A
Y =
, 10
000
m,
rezu
lt5
nige
, dre
ptun
ghiu
ri, n
umite
sec
$uni
ge
odez
ice
sau
foi f
unda
men
tale
geo
dai
ce, d
elim
itkd
fie
care
cit
e 8
000
ha.
Co
loee
le la
te d
e 8 0
00 m
, pe
car
e su
nt a
+ez
ate f
oile
fim
dam
enta
le,
se n
un~
erot
eazi
i cu c
Zr0
rom
ane,
in
ordi
ne c
resc
ltoa
re d
e la
axa
Oy
spre
est
, gi
sim
etri
c sp
re v
est:
I, I1, a
IV, ..
: etc
(fig
.23-
4).
. .
,;;.;,
2 +
' ~
e&
e o
&on
tale
, la
te d
e 10 0
00 m
(z
onel
e) , se n
ote
~g
cu c
ifke
arab
e, in
ord
iie
cres
cZto
&e
de la
axa O
x sp
re n
ord,
$i s
imet
ric
spre
sud
: 1
,2,3
,4,
.... &
c.
I .
:>': ,: .
., : , , . .
.Noi
nenc
latu
ri u
nei
foi f
imda
rnen
tale
geo
dezi
ce e
ste
alca
tuii
i din
num
ele
cadr
anul
ui,
,~
t,
de
rn
~h
l
colo
anei
gi d
e n
um
hl b
enzi
i (zo
aei)
. D
e ex
empl
u, N
.E.T
V.7
(fi
g.23
-5).
. .
c, ,.
' F
ieca
re fo
.aie
fund
amen
t&
'con
fine
40
se@
uni
topp
graf
ice
sau
secf
iuni
crd
astr
ale,
...
~I
SP;S
&
.cin
ci c
oloa
ne, n
imer
otat
e de
'la
1 la
5, b s
ensu
l 'in c
are
cre9
te v
aloa
rea
abso
lut&
a . :
.coq
rdon
at,e
i ~
i opt
lin
ii (z
one)
, nu
mer
otat
e de
la
1 la
8,
in s
ellsu
I in
car
e cr
eFe
do
area
ab
solu
tii a
coo
r#on
atei
Y.(
fig
.~-s
)
Fie
care
sec
fiun
e to
pogr
afic
Z a
re d
imen
siun
ile
AX
= 1 6
00 m
, A
Y=
1 25
0 m
gi
ar
ia
S= 2
00 h,
a, 31 pl
anul
uni
c se
cant
Brq
ov
. -
!.:';I.
.?T
omen
clat
ura
unei
se
qiu
ki
cada
stra
le e
ste
aldb
iit6
di
n :n
omen
clat
ura
foii
'fi;m
dam
entd
e geo
dezi
ce,
urm
at5
de
o fk
aqie
avi
ind
la n
umiir
5tor
nur
n&ul
col
oane
i (c
upri
ns
'trite
I"$,
S),
'iar
la n
umit
or m
mh
l zo
nei
(cup
rim
intr
e 1
$i 8),
in c
are
este
situ
at6
sect
iune
a .
..
..
4
resp
edv
l. I
le e
xem
plu ,
N.E
.IV
.2, -
(fig
.23-
5).
7
..
.
Foai
a fu
ndam
enta
l6 ge
odkz
ici%
a fo
s! ut
iliz
ata,
ca u
nita
te d
e lu
cru
pen
t,,
di.v
erse
lucr
bi
1
. :
de m
@ur
?ori
ge
od
e~
ce
, a* cum a
st*
de e
xem
plu,
se
uti
liz
6 ti
apez
ul s
cv
i 1:
25
000,
ia
r se
qiun
ea t
opog
afic
g (s
e@un
ea c
adas
tral
5) a
fos
t ut
iLiz
ati
in s
peci
al i
n lu
crir
ile
de
cada
slru
. .. .
..
..
...
,.N
omti
vele
'tehn
ice,
de
la e
poca
iesp
ecti
vq p
reyi
d ca
in
fie
c~
e
seqi
une
top
og
dt5
l,
se
de$?
+e
cite
un
punct
geo
dezi
c..
Foi
le f
unda
rnen
tale
geo
dezi
ce s
e re
prez
inta
la
scar
a 1:
25 0
00.
Ele
con
p'n,
pri
ntre
al
tele
, li
rnit
ele
sec$
unilo
r to
pogr
afic
e, p
unct
ele
geod
ezic
e (cu
num
ind
$ c
ota
resp
ectiv
&),
I pr
enun
$i c
ccao
rcto
nate
le p
unct
elor
geo
dezi
ce r
edus
e la
cad
rul s
ec$i
unii
top
o~
lce
, adic
B
::
nig
e w
ordo
nate
rel
ativ
e, m
%ur
ate
de la
acel
e lin
ii al
e ca
drul
ui s
ectiu
nii t
opog
rafi
ce,
care
su
nt s
itua
te c
el m
ai a
proa
pe d
e si
ster
nu1
gene
ral d
e ax
e xOy.
In f
ig.2
3-5
surrt
repm
eata
te g
rafi
c co
orbn
atel
e p.
znct
~!ui
sed
ezic
37,
rd
use
la
se*u
nea
topo
graf
icZ
i In
care
eat
e si
tuat
. Pe
aces
te se
gmen
te d
e dr
eapt
.5 er
a ob
ligzt
oriu
d s
e sc
rie
$i v
alor
ile
lorn
umer
ice,
ast
fel k
c&,
din
date
le s
cris
e pe
foa
ia fh
dam
ent&
geo
dezi
cl
sii
se p
oatl
ded
uce,
fiir
ii di
ficu
ltate
, co
ordo
nate
le a
dev2
rate
ale
ori
caru
i pun
ct g
eode
zic
repr
ezea
tat.
Fig.
23 - 4
Sch
elet
ul fo
ilor
fund
amen
tale
geo
dedc
e (fr
agm
ent)
L
din
proi
ectla
ste
reog
rafic
a pe
plan
ul u
nic
seca
nt B
raso
v _I
FOA
lA F
UN
DA
ME
NT
AL
A G
EO
DE
ZIC
A
Fig. 23 - 5
S
ecti
un
le c
adas
tral
e di
n fo
aia
fund
amen
tala
geo
dedc
a N
.E.IV
.2
L
_I
1 <!i .- La.
d
Con
stnn
tin..G
h. -,
.',
CA
RT
OG
RA
FIX
MA
TE
MA
TIC
A
LTC
B -
Fan
rlrn
teo
de G
eode
zre,
Buc
ures
zi
6. C
oefi
cien
tul d
e re
veni
re la
sca
ra n
orm
alj,
de
la p
lanu
l se
cant
la c
el ta
ngen
t, es
te:
c' =
1 /
c =
1,0
00 2
50 0
63
(24-
4)
Ace
ast2
pro
iec$
e a
ince
put d f
ie a
plic
atg
?n lu
crh
le d
e pr
oduc
fie
cure
nt&
pen
tru
{ara
no
astr
5, k
cept
ind
din
anul
197
3,
docu
ind
trep
tq in
ew
nom
ia n
afio
nalg
uti
liza
rea
proi
e~<
iei
Gau
ss.
Pro
iecf
ia s
tere
ogra
ficg
197
0 es
te c
onfo
rm&
pe
rmie
d c
a rn
5sur
ator
ile g
eode
zice
sl
fie
prel
ucra
te d
irec
t k p
lanu
l de
proi
eqie
, &H
a
se c
alcu
la c
oord
onat
e ge
ogra
fice
, cu c
ondi
tia
apli
ciir
ii p
real
abil
e a
unor
cor
e+
de r
educ
ere
a m
%ur
Eito
rilor
la p
lanu
l de
pro
ieM
e.
Pro
iqia
def
orm
&
dist
anfe
le g
i ar
iile
, fu
nc$i
e de
dep
aare
a ac
esto
ra fa@
de p
olul
p
ioiM
ej
qa
cuin
se va a
rHta
in c
ele
ce u
rmea
zX
Pro
ieq
ia
ster
eoga
ficg
19
70 s
e as
earn
kg
pri
ncip
ial cu cea
din
anul
19
33,
dar
dwse
biri
le p
rivi
nd e
lips
oidu
l, po
lul
Qo ,
orie
ntar
ea s
iste
mul
ui d
e ax
e xO
y, c
oefi
cien
tul
de
redu
cexe
a sc
Fi1-5,
&
c nu
per
mit
ca
on
ce f
orm
ull
a pr
oie&
ei
ster
eogr
afic
e di
n 19
33 sB
fie
ap
lica
tg ce
lei d
in 1
970,
ince
pikd
chi
m c
u fo
rmul
ele
lui R
ouss
ilhe
. Zn p
waf
ele
care
urm
eai5
, su
nt e
xpus
e m
od
alit
me
de r
ewlv
are
a un
or p
robl
eme
cure
nte
de
calc
ul, ~
proi
e+a
ster
eop
iic5
197
0
25.
CA
LC
UL
UL
CO
OR
DO
NA
TE
LO
R S
TE
RE
OG
IRA
FIC
X 1
970,
FU
hT
TlE
DE
C
OO
RIP
QN
AT
EL
E G
EB
GR
AF
'IC
E D
E P
E E
LE
SO
D
Cal
culd
co
ordo
nate
lor
rect
angu
lare
pl
ane
ster
eogr
afic
e 19
70,
fun
qie
de
ce
le
geog
rafi
ce (
B,L
) de
pe
elip
soid
ul K
raso
vski
194
0, s
e fa
ce c
u aj
utor
ul u
nor
form
ule
cu
coef
icie
nti c
onst
an&
?II fu
nqie
de
dife
renp
de
lati
tudi
ne
Si re
spec
tiv
de l
ongi
tudi
ne, d
intr
e po
lul p
roie
cfie
i gi p
unct
ul d
e re
prez
enta
t In
ace
st c
alcu
l se
pot
deos
ebi d
ou
i eta
pe ~
i anu
me:
- c
alcu
lul c
oord
onat
elor
ste
rmg
afic
e in
pla
nul t
ange
nt, f
un
qie
de
cele
geo
grdi
ce d
e pe
eli
psoi
d (e
ste
etap
a ce
a m
ai la
bori
oasg
):
- tra
nsfo
rmar
ea c
oord
onat
elor
ste
reog
rafi
ce d
in p
lanu
l ta
ngen
t in
cel
sec
ant,
prin
m
odif
icar
ea s
ckii
, cu c
od
cien
tul
subu
nita
r c,
de
redu
cere
a s
c&ii.
F
orm
ule
ie d
e c
ald
au f
ost s
tabi
lite
dup
g o
met
o&
prop
usH
de
acad
emic
ianu
l bul
gar
Vla
dim
ir K
. Hri
stov
, met
odZ
car
e,
prin
cipi
u,
cons
tL in
a de
zvol
ta i
n se
ne T
aylo
r , k
juru
l pu
nctu
lui
cen
tra
toat
e m
kim
ile
care
dep
ind
de l
atit
udin
e (l
atir
udin
ea iz
omet
ricg
q ,
saza
par
alel
ului
r . etc
). D
eriv
atel
e re
spec
tive
, ca
ldat
e 21 pu
nctu
l ce
ntra
l (B
o , L), ap
ar ca
niF
e co
nsta
nte,
car
e se
gru
peaz
Z c
onve
nabi
l, su
b f
mZ
de c
oefi
cien
fi co
nsta
nti p
entn
r -m
eg
teri
tori
ul R
om
ae
i.
Pen
tm s
tabi
lire
a fo
rmul
elor
, s-
a po
rnit
de l
a ur
mkt
oare
le c
ondi
fii
de b
azH
pus
e re
prez
enG
.5:
cond
itia
1 : r
epre
zent
area
pla
ng s
g fi
e co
nfor
mL
; ,
cond
ifia
2 :
mer
idia
nulL
o ,
care
tre
ce p
rin
Qo ,
SZ s
e re
prez
inte
pri
ntr-
un
segm
ent
de d
reap
ti,
Sin
d ax
a de
sim
eiri
e gi
axa xx' , cu
sens
ul p
oziti
v sp
re n
ord;
cond
itia
3 :
or
igin
ea s
iste
mul
ui d
e co
ordo
nate
pla
ne s
tere
ogra
fice
est
e im
agin
ea
oolu
lui Q
o ~
i ori
ce p
un&
D@
, Lo) , si
tuat
pe
mer
idia
nul a
cest
ui p
ol, a
re c
oord
onat
a x, d
atZ
9 ..
X,
= 2
R,
tg-
(25-
1)
2RO
.
.
in c
are
(fig
.25-
1):
&
este
raza
med
ie d
e cu
rbur
2 ae
lips
oidu
lui l
a la
titu
dine
a,B
o ;
p es
te un
arc
de c
erc
mer
idia
n, a
ch
i lu
ngim
e es
te e
galg
cu
!ung
imea
wcu
lui
de
mer
idia
n de
pe
elip
soid
, cup
rins
htr
e la
titu
dini
le Bo
$ B
. R
elat
ia (
25-1
) es
te e
xpre
sia
raze
i ve
ctoa
re d
in p
roie
cfia
ste
reog
rafi
cg a
une
i sf
ere
pe
un
plan
tan
gent
, 01
2%)
repr
ezen
thd
dist
anta
zen
italZ
a
punc
tulu
i D
. D
ar,
ea
nu e
ste
vala
bilk
d,d
t pe
mer
idia
nul
cent
ral,
mot
iv p
eatr
u w
e "p
roie
ssa
ster
eogr
afid
197
0" e
ste
cons
i der
ati c
a fi
ind
" cva
sist
ereo
gafi
cg" (
apro
ape
ster
eogr
afi ~
3).
.. ._
. .
.Deo
arec
e re
prez
enta
rea
este
con
form
Z, t
rebu
ie ca (x +
iy)
sl f
ie o
func
$e
anal
itic
g d
e va
riabi
lH c
ompl
exH
(q
+ il
) :
(X +
iy) =
f(q
+ il
) ,
(25-
2)
in c
are
a es
te la
titu
dine
a iz
omet
rick
a c
kei
&fe
ren$
al?i
est
e :
iar
I es
te lo
ngit
udin
ea p
unet
ului
, mgs
urat
g de
la m
eiid
iar~
ul ce
ntra
l LJ .
.---
I- 1
0
xm
D'
Dez
volt
ikd
me
mb
d a
l do
ilea
in s
erie
Tay
lor k ju
rul
punc
tulu
i ce
ntra
l (B
o ,
1=0)
, du
pZ p
uter
ile
vari
abile
i (A
q -I- il
), gi
luh
d o
ri-oi
nea
coor
dona
telo
r pl
ane
?n ac
est
punc
t, se
ob
fine
:
. -
.
79
Co
nsr
nri
n G
it B
~E
4N
U
CA
RT
OG
RA
FIE
MA
TE
MA
TIC
A
(170 - F
acul
rmea
de
Geo
dm'z
, Buc
urzs
fi [ I
qq)
= x,
, ia
r f
(q)~
= 0
gi
aix
nci:
x+il
= a1
(Aq
+ il)
+ a2
(A
q +
iI)2 +
a3 (A
q +
il)) +
a4 (
Aq
+ i
~)
~
+ as
(A
q +
jllS
+ Q
(dq +
i)6
+...
[ 1 in care
coef
icie
qii
a,,
@en
tru
n =
I,%
3, ...
) au e
qre
sia:
t
I du
x,
a" =
-(-)o
n!
dq"
...
Du
pl r
idic
arec
z bi
nom
ului
(A
q +
il)
la p
uter
ile
I,2,
6,
gi
do
mir
ile:
i=
fi
i2=-
1 i3
=-i
i4
= +
I is
= +
i is
=-1
, se
sep
ar4
?n
(25-
5),
part
ea re
&
de c
ea im
agin
ar2,
obt
idnd
u-se
:
Cre
sere
a la
titu
dini
i iz
omet
rice
, A
q =
q - q,
,
poat
e fi
scr
isH
sub f
orm
a un
ei
dezv
ol%
i in
ser
ie, f
incf
ie d
e di
iere
nfa
de la
titu
dine
AB,
ast
fel:
4=
9@
) q
=q
(Bo
+A
B)
1 de
und
e :
I
-i ca
re, j
co,~
strm
bz G
h. M
LN
iZA
W
C&
UT
OG
RA
FIE
MA
TE
MA
TIC
A
UT
CB
-Fac
ultn
ten
de G
~o
dm
~e
, B
urz
rest
i
Deo
arec
e la
titu
diie
a Bo es
te c
onst
ant&
nl2
rim
ile
a, . a2
...
..
. cl . .Q,
..., c
6. s
mt
cons
tant
e.
Intr
oduc
hd (2
5-8)
in (
25-7
) rez
ulti
: .
.
fn c
are
coef
icie
n$i
aij . b
i j
(pen
tru
i, j =
0,
1, 2
, 3 ..
. ) au
indi
cele
i eg
al C
'U ex
pone
ntul
lui
B, i
ar in
dice
le j
egJ cu e
xpon
entu
l lui
1.
Ln c
alcu
lul c
oefi
cinn
filo
r con
stan
fi a
ij , b
ij , i
ntri
val
oril
e nu
mer
ice
ale
tenn
enil
or
a,,
c, , in a
le c
aror
exp
resi
i ,
date
in
(25-
6) $
i (2
5-7)
fig
ur
d d
eriv
atel
e ca
lcul
ate
pent
ru
lati
tudi
nea
cons
tant
s Bo
, de
exe
mpl
u:
aoo=
O
a10 =
a: c
l z2
0 =
a,
C; +
a1 c
?
Pen
lru
calc
ulul
coe
fici
enfi
lor a,
nece
sari
in
(25-
1 I)
, ?n
conf
orm
itat
e cu
(2
5-6)
, se
fo
lose
$e r
ela$
& (
2.5-
1):
n I' X
, =
2R
0 tg
- 2R,
P D
ezv
olt
hd
in s
erie
tg-
d
up
i for
mul
a ge
nera
li:
2Ro 1
2 ...
tg
x=
x+
- x
3+
-x5
+
3 15
Com
ian
tm Gh
CA
RT
OG
WE
MA
~EM
AT
ICA
LT
CB
-Fac
ulta
reo
de G
eode
ne. B
uncr
esh
P
- i I-
Con
Mnt
zn Gh h
fUK
Z4
W
CA
RT
OG
RbJ
FIE
MA
TE
MA
TIC
A
UTCB - F
dulr
arer
r de
~~
od
a,
~,
~
,mr
es
n
Da.
5 se
fac
idoc
uiri
le:
''
iar $
cega
lp
(1+
qE) =
1+
e'2
~~
sZ
B0
term
eni d
in (
25-1
2) s
e ?n
locu
iett
e Fb
I D
up5
calc
ul~
l deri
vate
lor d
e or
din
supe
rior
, ti
nihd
con
t de
( 25
-6),
se
&fi
ne : . -
. '
. .
. .
. .
i.
' ,
.,.,
iar
din
rela
tiil
e cu
nosc
ute
: dp
= M
dB
se o
bfin
e: .
.
Dac
Z (
25-1
4) $
i (25
-15)
se
intr
oduc
h (
25-1
3), a
tunc
i rez
ulG
: I
cosB
co
sB
+ ll
9co
sB
~=
~c
or
~+
-(
l+
q~
)~
'
+-T
P4
$"
(2
5-1
6)
4
4N0
24N
0 2
01
60
~:
Pen
tru
lati
tudi
nea Bn , a
rcul
de
mer
idia
n j3 =
0
ti a
tunc
i de
riva
ta (
25-1
6) a
re
valo
area
: .
I .,$ . . ,
82
.+--
. ,.
,S~
.,
-,. ,
. .
P.. .%$
.;; :.
calc
ulul
wef
icie
nGlo
r c, , cu f
orm
ula
gen
erfi
(25-
9),
. ..
-,
'{L
din
rela
fia :
Dar
:
ti at
unci
' :
dq
1 -=
- dl
3 co
sB 0
-q2
+q
4 -q
6)
Pri
n de
riva
rea
succ
esiv
H a
ace
stei
rela
tii,
tiG
nd c
ont d
e (2
5-9)
, se
obf
ine :
cl=
(l/c
osB
o)
(1-q
o2
+q
o4
-qo
6)
c2 =
(to
/ 2 c
os B
o)
(1 +
qo2 -
3q04
) q
=(
1 /6
co
sB0
) (1
+2
t02
+q
o2
-3q
04
+6
t02
q0
4)
~4
=(1
/24
co
sBo
) (5
+6
t02
-?l
o2
)'
(25-
19)
cs=
(1/1
20
cosB
o)
(5+
28
t02
+ 1
20
%~
) ~
g=
(~
/72
0c
os
B~
)
(61
+ 1
80
$+
1
20
t04
)
Intr
oduc
hd
(25-
17)
~i
(25-
19)
in
(25
-ll)
, re
mIt
8 ex
pres
iile
pe
ntru
ca
lcul
ul
coeE
cie@
ilor
cons
tang
aq.,
bjj :
in c
are.
Bo
= la
tihd
inea
pol
ului
(pu
nctu
lui c
entr
al a1
pro
iecf
iei)
; N
o =
rnar
ea n
orm
al&
12 la
titu
dine
a Bo ;
to
=tg
Bo
; qo
2 =
el
CO
S~
Bo ;
e'
=a d
oua
exce
ntri
cita
te a
elip
soid
ului
.
Pen
tru un e
lipso
id d
at p
i o l
atit
udin
e B
O s
tabi
litH
pen
tru
polu
l pro
iecf
iei,
coef
icie
nfii
(25-
20),
uti
liza
~i ?I?
(25-
lo),
au
valo
ri n
umer
ice
cons
tant
e.
Dif
eren
~el
e de
lati
tudi
ne
(AB
) gi
de l
oq
itu
din
e (
1 )
care
fig
urea
zii i
n (2
5-lo
),
treb
uie
expr
imat
e ra
dian
i, de
exe
mpl
u:
L
dB'
Al3
jrad
iini
] =-
(25-
21)
" P
Pen
tru
Rom
lnia
, AB
" ~
i, m
ai a
les,
&Lo
)" po
t at
inge
val
ori m
ai m
ari d
dt
10
000"
. I
4stf
el d
e nu
mer
e, r
idic
ate
la p
uter
ile
5 gi
6 ar
fi i
ncom
ode,
din
cau
za r
nsm
ii I
or, i
n tir
np c
e co
efic
ien~
ii w
nm
i din
(25-
lo),
ca
lcul
a+ c
u (2
5-20
), su
nt f
oart
e rn
ici,
unii
dint
re e
i, gi
in
ccm
ozi
din
cauz
a n
um
kd
ui
mar
e de
zec
imal
e.
In s
copu
l ev
iw a
cest
ui in
conv
enie
nt.,
in
i fo
rmul
ele
(25-
10)
sa
luat
: . -
f =
104
mfl
1 = l
o4
&~
)*
l
(25-
22)
~i %
i
mc2
czw
zpun
zabr
, ti&
d c
oa
gi d
c (2
5-21
), ex
pres
iile
(25-
20)
au f
ost m
ultip
licat
e cu
i fa
cto
d :
7n care i
sste
ega
l cu
expo
nent
ul lu
i f
(res
pect
iv a
l llri
AB),
iar j
est
e eg
al cu
expo
nent
ul lu
i I .
Coe
fici
enti
i co
nsta
n$ a
u fo
st c
alcu
la$
pen
in e
lipso
idul
Kra
sovs
ki 1
940
si p
entr
u la
titu
dine
a B
0=46
" .
Val
oril
e ca
re u
rmea
zH a
u fo
st c
alcu
late
gi
util
izat
e de
cH
tre I
nstit
utul
de
Geo
dezi
e ,
Fot
ogam
etri
e, C
arto
gafi
e gi
Org
aniz
area
Ter
itori
ului
- IG
FC
OT
- di
n B
ucur
egti
(ver
siun
ea
1972
):
a00
=
0 ar
e =+
308
758,
957
9%
i3
a20 =
+
75,3
58 4
967
a30 =
+
60,2
16 2
733
a+,=-
0,01
4 85
71
a50 =
+
0,01
4 26
09
&o =
- 0,
021
5834
Cu c
oefi
cien
tii c
onst
anp
(25-
24)
se o
bfin
coo
rdon
atel
e st
ereo
grai
ice
la s
cara
1:I
,
a&cZ
" 'in
pla
nul t
ange
nt"
para
le1
cu c
el s
ecan
t. C
u su
bstit
utii!
e (2
5-22
), d
bd
in f
acto
r di
fere
np d
e lo
ngitu
dine
1 , fo
rmul
ele
(25-
10)
se p
ot'sc
rie $i sub
forn
a:
Dac
& in
(25-
101,
exp
resi
ile din
para
ntez
e se
no
te
cu
SO
, S2 ,
S4
. Ss
si r
esp
edv
s1
, s3
, sS
, atun
ci , pe
ntru
coo
rdon
atel
e di
n pl
anul
tang
ent a
vem
:
x =
SO
+ S2
1'
+ S4
l4
+ S
S l6
= rO
+
r~
+ r4
+ r6
(2
5-10
")
y
= S
l 1 +
S3
l3 +
S5 l5
= r
l +
r3 +
r5
h m
od c
uren
t, d
culu
l w
ordo
nate
lor
rect
angu
lare
ste
reog
atic
e di
n pl
anul
tang
ent s
e fa
ce cu
form
ulel
e (2
5-10
') $i
(25
-10"
).
&d
se l
ucre
&
cu
calc
ulat
oare
de
buzu
nar,
nepr
ogam
abil
e, se
recu
rge,
de
obic
ei,
la f
orm
dare
de
calc
d, p
e ca
re s
unt
dq
a irn
p&z:.
te va
lori
le c
oefi
cien
filo
r con
stan
$
Coo
rdon
atel
e def
init
ive,
din
plc
nu
l sec
ant
al p
roie
cfie
i ste
reog
rafi
ce 1
970
(qy
) se
&f
in p
rin
rnod
ific
area
sc
zi d
in p
lanu
l tan
gent
, cu. a
juto
rul c
oefi
cien
tulu
i co
nsta
nt .
. 6
0,99
9 75
0 00
0.
.._
_>
.
.
In afar2 d
e ad
evilr
at-d
sis
tem
de
axe soy, in
care
or
igin
ea a
re c
ocrd
onat
ele
gogr
afic
e 46
%
~i 2
5%
Gre
enw
ich,
se
mai
fol
ose$
e, din
mum
ite
cons
ider
ente
de
ordi
m
pram
c, un
sist
em d
e re
feri
n*
"fal
s" (
x'O
1y') a
le c
hi
axe
sunt
dep
lasa
te cu
500
000
m s
pre
sud
gi cu 5
00 0
00 m
spr
e ve
st f
a9
de
axel
e si
stem
ului
ade
vkat
, as
fel
hcg
t, c
oord
onat
ele
ster
eogr
afic
e fa
lse
(xT
,y')
au v
alor
ile:
De
ra
ut
c2q
in to
ate
prob
lem
ele
de tr
ansc
alcu
lare
, de
eval
uare
a d
efor
mat
iilo
r ,
de
redu
cere
la p
lanu
l de
pro
i&e,
s.
a.,tr
ebui
e sil
se
lucr
eze cu c
oord
onat
ele a
dev
hte
. P
e li
niii
e cz
roia
julu
i ki
lom
emc
de p
e hk
$!e
topo
graf
ice,
su
nt s
cris
e, d
e re
,&%
, co
ordo
nate
le false.
In r
evis
ta "
Sul
etin
topo
graf
ic" nr.
3 1
1959
, edi
tat5
de.
Min
iste
ru1
For
felo
r h
at
e,
la
Buc
uref
i, V
asil
e F
aie
~i C
onst
anti
n S
tmp
au
stab
ilit
fo
mu
lele
cu
ooef
icie
nti
cons
tant
i ,
pent
m c
alcu
lul c
oord
onat
elor
ste
reog
rafi
ce, u
tili
zkd
pro
cede
ul d
e "c
alcu
l cra
covi
an".
Ace
st c
alcu
l wm
po
rti d
oui e
rape
: P
rin
ia e
hp
P w
nsG
7n t
rans
form
area
coo
rdon
atel
or st
erkg
rafi
ce d
in p
lanu
l se
cant
b
plan
ul t
ang
em "
para
lel
cu c
el s
ecan
t":
se m
odif
id s
ca
q p
rin
hrn
dti
rea
cu c
oefi
cien
tul
c' ,
aum
it
" coe
fici
ent
de re
veni
re la
sL
aa n
orrn
d8".
c'
= (
11
~)
=
1,0
00
25
00
63
E
tap
a db
ua, mai
labo
rioa
si,
wn*
%I
tran
sfor
mar
ea c
oord
onat
elor
ste
reog
rafi
ce d
in
plan
ul t
ange
nt,
in c
oord
onat
e ge
ogra
fice
B,L
, pe
elip
soid
ul K
raso
vski
,194
0.
Se
rezo
lvfi
cu
ajut
orul
Eno
r f~
mu
le
CLJ
coe
iicie
nfi c
onst
an$,
sta
bilit
e kt
r-U
II m
od a
sern
?inF
itor,
ca p
rinc
ipiq
cu
for
mul
ele
pent
ru c
alcu
lul c
oord
onat
elor
pla
ne s
tere
oo
gd
ce.
Se
calc
ulea
zh h
&,
coor
dona
tele
geo
graf
ice r
elat
ive,
AEt
si 1
, f@
de
polu
l pr
oieq
iei
(I30 ,
Lo ), a
poi c
oord
onat
ele
geog
ra5c
e ab
solu
te:
B=
Bo
+A
B
(26-
1)
L=
Lo
+l
F
orm
uleI
e pe
ntru
cal
culu
l co
ordo
nate
lor g
eoga
fice
rel
ativ
e su
nt:
I"=
B
oiY
+
B~
IX
Y
+B
~IX
'Y +
B~
~x
~Y
+
B~
IX
~Y
-
+B
~~
X~
Y
+..
+ B
03 y
3 + B
i3 X
Y3 +
Bu
x2y
3 + B
Bg3
x3y3
+
...
+~
os
y
5+
~1
s
XY
s+ ..
. m
care
s-a
not
at:
x =
X[Q] /
100
000
Y
= Y
[t,]
/ 10
0 00
0 D
acZ
se
lucr
e&
cu c
alcu
lato
are
de b
uzun
ar,
nepr
ogra
mab
ile, e
ste mai
com
od s
Z se
ap
lice
form
ulel
e de
cal
cul i
nk-o
fo
m b ca
re Y
, Y
2 , .
.. , y
b su
nt d
afi k
fact
or:
Val
oril
e co
ordo
nate
lor g
eog
rdce
rela
tive se o
b$n b
secu
nde
sexa
gesi
mal
e.
:I
Pent
m e
lips
~id
ul F
kaso
vski
19
40 g
i Bo
=
46
" ,
coef
icie
ntii
cons
tant
i p
evm
ua
nsfo
rmar
ea c
oord
onat
elor
ste
reog
raii
ce,
din
plan
ul t
ange
nt,
in c
oord
onat
e ge
ogra
flce
au
valo
rile
: - -
Ace
ste
valo
ri (
vers
iune
a 19
72) au f
ost c
alcu
late
~i u
tiliz
ate
la I
nsti
tutu
l de
Geo
dezi
e,
Foto
gram
ePie
, Car
togm
fie
~i O
rgan
izar
ea T
erito
riul
ui - IGFCOT - d
in B
ucur
qti.
Intr
-un
&ic
ol
publ
icat
?n re
vist
a "B
ulet
in to
pogr
afic
" nr
.3/1
959,
Vas
ile F
aie
gi C
onst
antin
Sm
p a
u da
t de
duce
rea
aces
tor
fom
ule,
a c
oefi
cien
ti co
nsta
n@,
uti
lkb
d
proc
edeu
l de "calcui c
~aco
vian
". Val
oril
e da
te d
e ei
, pe
ntru
coe
fici
entii
con&
@,
se r
efer
ii .to
t la
latit
udin
ea B
o = 46
' , k
sH e
lips
oidu
l fol
osit
nu e
ste Ih
sov
ski
1940
ci H
ayfo
rd.
89
Co
da
nti
n G
h. W
EA
NU
. C
AR
TO
GR
AFI
E M
AT
EM
AT
ICA
U
TCB
-Fac
zrltn
rca
de G
eode
zie,
Bu
~re
sd
/
Pro
iecf
ia
ster
eogr
afic
3 19
70 EU
defo
rmea
zii
ungh
iuri
le,
fiii
dcH
es
te
conf
orm
3 ~
un
gim
ile ~
i ari
ile
de p
e el
ipso
id s
e de
form
ecg.
.
.. . .
,
Eva
luar
ea d
efor
mat
iilo
r nec
esit
g cu
noas
tere
a m
odul
ului
de
defo
rma$
e li
ni&
~ m =
n .
La
prez
enta
rea
proi
ecti
ei s
tere
ogaf
ice
a un
ei s
fere
pe un p
lan
tang
ent,
am ,m
bili
t c3
Con
side
rhd
o sf
er3
a cs
rei r
a&
&I e
ste
esal
3 cu
raz
a m
edie
de
curb
urg
a el
ipso
idul
ui
la l
atit
udin
ea Bo
= 4
6' , u
n punct
oare
care
, sit*
pe s
ferg
, la
dist
an+
L
fa@
de
orig
inea
L
sist
emul
ui d
e ax
e de
wor
dona
te p
lane
, are
dis
tant
a ze
nita
la z
= - , a
stfe
l Tnc
gt
Ro
Pen
tru
un p
uilc
t di
n R
omfi
nia,
sit
uat
la d
ista
ng m
axim
3 fa
@ d
e or
igin
ea a
xelo
r de
co
ordo
nate
, de
exe
mpl
u la
400
Inn,
ungh
iul
(L/2
&I)
est
e m
ic,
de o
rdin
ul a
0,
03 r
adia
ni,
asfe
l cZ
, de
zvol
tfin
d ta
ngen
ta in
ser
ie $
i con
side
rfin
d do
ar p
rim
ii te
rmen
i, =
L
L1
L-
2L
tg
- = - + -- (-1'
+-.
(-)5
ZR
O ZR,
3
2R
0
15 2R,
. .
sau
Dac
ii se
inlo
cuie
ge ta
ngen
ta 'in (
27-2
), d
up2
sim
plif
icar
e re
zult
g:
T 3
T
5
si d
efor
rnat
ia to
taiH
a r
azei
vec
torr
ae did
plan
ui ta
ngen
t:
Gon
sfaM
in G
h M
UN
TW
C
AR
TO
GR
AF
IE M
AT
EM
AT
ICA
' UTCB- F
acul
tnte
a de
Geo
dcn
e, B
unir
zsn
t P
entr
u d
efom
atii
le li
nia
re r
elat
ive,
D , di
n p
lanu
l se
can
t re
zult5
:
iar
dupg
klo
cuir
ile
c =
0,9
99 7
50 g
i &
= 6
378
95
6,
se o
btin
e :
. .
. ..
P
entr
u p
= 2
01,7
km
, D =
0 8
i ne
g%im
pe
cerc
ul d
e d
efor
mat
ie n
uG
. L
a di
stan
? m
ai m
ici
de 2
01,7
km
fa@
de o
rigi
ne,
sunt
em i
n in
teri
orul
cer
culu
i de
d
efo
dti
e n
ul&
und
e de
form
atii
le su
nt n
egat
ive.
In
ori
gine
a si
ster
nulu
i de
axe
de c
oord
onat
e p
= 0
, ia
r D
= - 25
cm
1 km
. C
hd
dis
tan
g fa
* de
ori
gine
a ax
elor
est
e rn
ai m
are
de
201,
7 km
. a
tunc
i sun
tem
in
afar
a ce
rcul
ui
de
defo
rmat
ie n
ulZ
, i
ar d
efor
mat
iile
sun
t po
zitiv
e.
In p
uude
le c
ele
mai
d
ep
aa
ie d
e or
igin
e, d
e ex
empl
u in
zon
ele:
Sul
ina,
Man
gali
a ,
resp
ecti
v B
eba
Vec
he i
n
extr
emit
atea
ves
ticl
, d
efor
rnar
iile
din
pro
i4a
ste
reog
rafi
cg 1
970
atin
g va
lori
de
ordi
nul a
+
65 cm/km.
Def
om
a$il
e de
pind
num
ai d
e di
stan
ta p
fa@
de
orig
inea
axe
lcr
gi,
in c
ou
ecin
$,
izol
inii
le d
efor
mat
iilo
r sun
t cer
curi
con
cent
rice
, cu
cent
rul f
n or
igin
ea si
stem
ului
xO
y.
Coo
rdom
tele
fol
osit
e pe
ntru
cal
culu
l def
orm
aflo
r tr
ebui
e &
nu
aib
i tra
nsla
$.
Def
orm
atii
le a
riil
or a
u ac
elq
i se
mn
cu d
efor
maG
ile d
ista
nlel
or,
iar
mod
ulul
de
defo
rma$
e ar
eola
r4 p
, se
cal
cule
aza
folo
sind
rela
tia :
Val
oril
e de
form
a$~
lor r
elat
ive
ale
dist
arrf
elor
dm
pla
nul p
roie
ctie
i st
ereo
graf
ice
1970
su
nt d
ate
in ta
belu
I27-
1. S
e ob
serv
g C
Z va
riat
ia l
or e
ste cu a
tdt m
ai r
apid
2, cu
cdt d
epkt
area
fa
g d
e pu
nctu
l ce
ntra
l est
e m
ai m
are
.. .
28.
. ' ..R
ED
UC
ER
EA
DIR
EC
TII
LO
R L
A P
LA
NU
L P
RO
lEC
TIE
I ST
ER
EO
GR
A-
.. F
ICE
197
0
" A
ceas
t2 o
pera
ge d
e ca
lcul
se
rnai
num
egte
~i "
red
uce
rea d
irec
tiiio
r la
coa
rd5"
. Ea
se
apli
c'i:
dir
ecfi
ilor
azi
mut
ale
mils
watr
ate Tn
refe
aua
de t
rian
gula
pie
geod
ezic
H
gi tr
ebui
e s
l pr
ecea
d'l l
ucrk
ile,
de c
ornp
ensa
re ri
guro
asZ
pro
priu
zisk
'.In prin
cipi
u, f
ieca
re d
ire@
ie re
dus5
la e
lipso
id, .
rnku
rati
i din
sta
fia
i c5
tre pun&
j di
n'r&
kaua
geo
dezi
cEL
, va p
hi
o co
reqi
e 6i
j , a
ciir
ei v
aloa
re d
epin
de d
e lu
ngim
ea v
izei
, de
o
rie
nk
e gi
de
dep
aare
a ei
fa$%
de o
ri=
&a
sist
emul
ui d
e ax
e xO
y.
'. '
In
ved
erea
ded
ucer
ii un
ei f
orm
ule
de c
alcu
l, d c
onsi
deri
im , h
pl
d pr
oiec
fiei
st
erec
jgra
fice
, pu
ncte
le g
eode
zice
l(
xl ,
yl)
si 2(xz , y
z).
Lii
a g
eode
zica
1-
2 ,
care
le
un
e~
te pe
elip
soid
, ar
e ca
imag
ine
o cu
rb5
cu c
onca
vita
tea
c&e
orig
inea
sis
tem
ului
de
-axe
fOy.
In
eitr
emkZ
tile
ei,
- ?n pu
ndel
e ' I
.si 2
, ac
east
5 &
b5
face
cu
coar
G 'e
i' (E
g.28
-1)
Co
nh
ztin
Gh.'M
UA
ZU
hU
..
C&
TO
GR
4FIE
M
A'l%
MA
TIC
A ':': Ll3"CB -F
ad
tatc
a d
e G
eode
zie,
Bum
rejn
'
-&hi
urile
rn
ici, 6i2
si 62i
: re
prez
entk
d "c
orec
@le
de
redu
cere
a d
irec
tiil
or la
pla
nul
de
a)
pe s
fera
de
raza
rn
ede
b) i
n pl
anul
pro
iect
iei s
tere
ogra
fice
i
Fig
.28
- 1
Red
uce
rea
dir
ech
~lo
r la p
lanu
l pro
ieh
ei s
tere
og
rafic
e 19
70
A
Vom
fol
osi u
rmat
ozre
le p
ropr
ieta
ti a
le u
nei p
roie
qii
ster
eoga
iice
:
Pro
prie
tate
a 1 : r
epre
zent
area
est
e c
on
fod
. P
ropr
ieta
tea
2 : l
inii
le g
eode
zice
car
e tr
ec p
rin
polu
l Qo
(ver
tica
lwil
e de
pe
o sf
erl)
se
repr
ezin
tH k p
lan
prin
seg
men
te d
e d
rap
t2 c
are
trec
pri
n or
igin
ea a
xelo
r.
Pro
prie
tate
a 3 : ar
cele
de
cerc
de pe
sf=
& c
are
nu t
rec
prin
pol
ul Qo , s
e re
p~ez
intZ
tat
prin
arc
e de
cer
c.
Pe
baza
ace
stor
pro
prie
t@,
se e
xplic
H a
spec
tul i
mag
inii
pla
ne a
'riu
nghi
ului
for
mat
di
n p
~c
tul de
' sta
fie,
pun
ctul
viz
d ~
i ori
gine
a si
stem
ului
de
axe
de c
oord
onat
e :
- lat
ura
1-2
se r
epre
zint
g pr
intr
-un
arc
de c
erc;
in
cons
ecin
f& ce
le d
ou
i co
rect
ii s
unt
egal
e in
val
oare
abs
olut
s - l
atur
ile
care
une
sc c
ele
do
ui p
unct
e cu o
rigi
nea
axel
or s
e re
prez
inti
i pri
n lin
ii dr
epte
, in
baz
a pr
opri
etZ
g 2.
Proi
e*
fi
d c
on
fom
treb
uie
ca s
uma
ungh
iuri
lor
fi@
din
plan
s2
fie
egal
H cu
surn
a un
ghiu
rilo
r fi@
i co
resp
onde
nte
de p
e el
ipso
id (
sfer
a de
raz
a m
edie
). D
eci,
se p
oate
sc
rie :
ad
ie k
val
oare
' abs
olut
g (6
). c
orec
$a
este
ega
lH cu
jurn
ztat
e di
n ex
cesu
l sf
eric
E
al
tr
iung
hiul
ui f
orm
at d
in p
unch
1 de
sta
tic, punctul v
izat
si
polu
l Q
o a
l pr
oiec
tiei
(o
rigi
nea
axel
or d
e-eo
ordo
nate
):
Fo
da
gene
ralz
pen
tru
calc
ulul
exc
esul
ui s
feri
c es
te:
95
?n ca
re E
est
e 31 ra
dian
i, S
est
e ar
ia tr
iugh
iulu
i sf
eric
, iar
R e
ste
ra7a
sfe
rei.
Deo
arec
e co
rect
ia a
re v
alor
i re
lati
v m
ici
(sec
unde
sau
ze
ci d
e se
cund
e),
este
su
fici
ent
ca,
pen
iiu
cal
cuIu
l ei
, s5
se
cuno
ascF
i ar
ia
S cu a
prox
imat
ie. I
n co
nsec
in~
il, ar
ia
triu
nghi
ului
sfe
ric se p
oate
-do
cui
cu aria
S1
a tr
iung
hiul
ui p
lan
(fig
.28.
I),
pe c
are
o pu
tem
c
ald
a f
orm
find
un
det
erm
inan
t ca
re a
re c
a el
emen
te c
oord
onat
ele
v~
io
r
triu
nghi
ului
8i
uait
atea
:-
1 T
idu
d c
ont
de k
ptu
l cZ
?n fi
ecar
e di
n ce
!e do
uE s
tag
dir
ecci
a cu
rbei
est
e &
cc$a
i
mgs
urat
L5,
iar
dire
cfia
co
nii
est
e di
recf
ia r
ed
d Ia
pla
n, p
ra
m g
i de
fap
tul c
l un
ghiu
rile
az
imut
ale
au c
re8t
erile
poz
itive
in
sen
sul
acel
or d
e ce
asor
nic,
rez
ultZ
c8,
pent
ru o
dir
ectie
i vi
zatH
rec
ipro
c, c
ele
dou5
cor
e.$i
i vo
r fi
ega
le,
dar
de s
ernn
e co
ntra
re.
Dup
i in
locu
iri,
se
I ob
tine
: .
L
m ca
re:
I ,-,"
=
n
um
hl d
e se
cund
e din
tr-u
n ar
c de
un
radi
an;
Rc,
=
raza
med
ie d
e cu
rbur
g a
elip
soid
ului
la la
titud
inea
Bo
a po
lulu
i pro
iect
iei;
xl ,
yl , )ij
! , y
? su
nt c
oord
onat
e pro
vizo
rii, cu a
prox
imaf
ie d
e ck
tiva
mem
.
, In
locu
ind
cons
tant
ele
prin
val
oril
e lo
r nu
mer
ice,
re
d6
urm
atoa
rele
for
mul
e de
ca
lcul
: - f
r~
grad
atie
cen
tesi
mal
5 :
Sem
nul c
ore
ei r
ezul
ti d
in fo
rmul
a de
cal
cul.
Die
4a
redu
sfi l
a pl
anul
de
pro
ie~
e
este
ega
l5 cu
dire
c$a
m5s
urat
5 (p
e el
ipso
id)
plus
co
rec*
. C
ore
qia
est
e nd
H i
n c
d
k c
are
punc
tul d
e st
age,
pun
ctul
viz
at g
i or
igin
ea a
xelo
r su
nt c
olin
iare
. C
oord
onat
ele
plan
e ut
iljz
ate
pent
ru r
educ
erea
dir
e@or
la
pIa
nul
de p
roie
+e
treb
uie
sH rm
aib5
tran
slal
ii.
CA
RT
OG
WIZ
, ?fA
TE
MA
TIC
A : U
TCB
- Fac
uifa
tea d
e G
eo8e
n'e,
Bun
trer
ti
Dac
% se
inv
erse
azg
sem
nul u
nei
core
cfii,
atu
nci i
n d
itect
ia r
espe
ctiv
g se
int
rodu
ce 0
eroa
re s
hem
atic
H eg
alH
cu
dubl
ul c
ore@
iei.
Pen
tru
evita
rea
greg
elilo
r, s
e re
curg
e la
ver
ific
area
cor
ec$i
lor
de id
uce
re a
dir
ec$i
Ior
la p
lanu
l de
proi
ectie
, pe
mun
ghiu
ri.
29.
VE
R4F
ICA
RE
A C
OIZ
EC
TX
ILO
R D
E R
ED
UC
ER
E A
DIC
RE
CT
IIL
OR
]L
A
PlA
MJL
DE
PR
OIE
CT
IE
Fie
triu
nghi
ul 1
-2-3
din
ret
eaua
de
tria
ngul
atie
geo
deti
c%. In
pla
nul
oric
arei
pro
ieti
i co
nfor
me,
lat
urile
sal
e de p
e el
ipso
id,
linii
geod
ezic
e, s
e re
prez
intg
pri
n cu
rbel
e ca
re u
nesc
vM
ixil
e tr
iung
hiul
ui (fig. 29
.1)
J
. .
..
. ; U
nghi
urile
PI ,
P2
, P3
din
tre
aces
te c
urbe
sun
t eg
ale
cu c
ele
ale
triu
nghi
ului
de
pe
soid
, deo
arae
pro
iect
ia e
ste
conf
orm
a. P
rin
ma
re,
P1
+&
+P
3 =
18
0°+
& ,
(29-
1)
. :.i.
.
in c
are
E es
te e
xces
ul s
feri
c al
triu
nghi
ului
. U
nglu
urile
j3'1 ,
p'z ,
j3'3 ,
dint
re d
rept
ele
care
une
sc v
arfu
rile
triu
nghi
ului
, sunt
... .I
redu
se la
pla
nul d
e pr
oiec
$e;.
,
,:
PI1
+ p
iz + P
I3 =
18
0 O
..
i :-
. (2
9-2)
.
. .
. ,,
Not
and:
G =
dir
4a
mW
atE
g c&=
dire
c$a
redu
sZ la
pla
nul d
e pr
oiec
$e;-
6 =
cor
ectia
de
rduc
erel
a pl
anul
de
proi
ecfi
e, s
e po
ate
scri
e, Tn g
ener
al:
Dif
eren
p d
ktr
c ce
le d
ouZ
dir
4i e
ste:
(&)I
3 - (&
)lz=
(a,
)13
-.(a
&
+ 61
3 - 6
12
, '
.. ..
..
adic
l:
. -
B'I =
PI
+ (
613 -
612)
,;
!'
..
.
(29-
4)
: . ,:
Apl
icZ
nd p
roce
deul
to
ate
vm
il
e tr
iung
hiul
ui,
cons
ider
ate,
pe
rkd
, ca
sta
fii,
ob$i
nem
: Insu
mh
d a
cest
e re
lati
i $i t
in&
nd c
ont d
e (2
9-1)
~i (
29-2
), z
vem
:
180"
= 1
80" +
E +
(813
- 61
2)
- 6=
) +
(632
- 63
1)
sau
(613
- 61
2) +
(621
- 82
3) +
(83
2 - 63
1) =
- E
(29-
6)
Ace
asta
est
e re
lati
z de
ver
ific
are.
Fie
care
par
ante
s re
prez
intH
cor
ecfi
a de
red
ucer
e la
pla
nul
de p
roie
cfie
a u
nuia
dip
ce
le t
rei
ungh
iuri
ale
ale
tri
ungh
iulu
i. P
rim
a pa
rant
ezg
= c
oreq
ia p
entn
, un
hid
1;
a do
ua
para
ntez
z =
cor
ecfi
a pe
ntru
ung
hiul
2;
ulti
ma
par
ante
e =
cor
eqia
pen
tru
ungh
iul3
. '
Reg
ula
de
veri
fica
re s
e po
ate
form
ula
astf
el:
in o
rice
triu
nghi
din
rep
aua
ge
od
e~
ci
din
plan
ul u
nei
proi
eqii
con
form
e, s
uma
core
cfii
lor
de r
educ
ere
la p
lanu
l de
pro
iec$
ie a
le
celo
r tr
ei u
nghi
uri
ale
triu
nghi
ului
, tre
buie
sI
fie
egal
H c
u ex
cesu
l sf
eric
E
a1 t
riun
ghiu
lui
resp
ecti
v, lu
at cu
sem
nd in
vers
. . '
Rea
rnin
tim
c5,
exc
esul
sfe
ric
este
, pri
n de
fini
tie,
poz
itiv
, ~i
are
ca fo
rmul
H g
ener
al;
: P
U
&
=-
- R2 '
(29-
7)
in c
are
S =
ari
a tr
iung
hiul
ui, i
ar R
= ra
za s
fere
i pe
care
se
cons
ider
a tr
iung
hiul
, res
pect
iv r
aza
med
ie d
e cw
bu
rl a
eli
psoi
dulu
i. A
ria
S s
e po
ate
calc
ula cu o
ncar
e di
n fo
rmul
ele
de c
alcu
l cu
nosc
ute.
In m
od f
iecv
ent
se fo
lose
ge~
elat
ia:
<=
f a
bs
in~
, .
(29-
8)
31 c
are:
rf e
ste
fact
orul
exc
esul
ui~
sfen
c; a
pi
b su
nt d
ouZ
latu
ri a
le tr
iung
hiul
ui,
iar
C e
ste
ungh
i~li
cupr
ips
3ntr
e eb
.
, ,
Con
sim
ztin
Gfi
,bW
NTE
AN
V
CA
RT
OG
RA
FIE
MA
TE
MA
TIC
4 ...
' LK
CB -
Fac
ultn
teu
de G
eode
zie,
Buc
urzs
n'
-- P
f ..=
-
. .
2~
'
. (2
9-9)
.
.
Fac
toru
I ex
cesu
lui
sfer
ik e
ste
vari
abil
'cu la
titu
dhea
, da
r v&
ia$a
es
te l
ent&
ast
fel
c&
in u
nele
sit
uati
i se
poa
te c
onsi
dera
con
stan
t, pe
ntru
un~
num
Eir
' mai
- mar
e de
tri
ungh
iuri
, de
tem
inkd
u-se
pen
tru
o la
titu
dine
med
ie a
zon
ei d
e lu
cru.
," ,. "<
..
.
. .
..
..
..
.
..
..
..
. .
..
.
Tol
eran
fa cu
care
tre
buie
sai
isfa
cutl
rel
a$a
de v
erif
icar
e (2
9-6)
dep
inde
de
ordi
nul
tria
ngul
afie
i. In p
rinc
ipiu
, ea
est
e eg
alH
cu
irei
un
iq d
eult
imul
ord
in z
ecim
al cu
care
se
calc
ulea
zl c
orec
fiil
e (0
,3"
in c
azul
tri
angu
lati
ei d
e or
dine
le
$1 N , r
espe
ctiv
0,0
3" i
n ca
zul o
rdin
ului
11).
Dac
a ex
ist;
di
scor
danf
e ?n li
mit
ele
men
tion
ate,
atu
nci's
e aj
uste
ai5
cgte
va -m
~ec
fii?
a ul
tim
a ze
cim
al&
ast
fel i
n&
rela
fia
de v
erif
icar
e s
l fi
e sa
tis%
cutH
exa
ct,
ca ~
i cum e
xces
ul
sfer
ic a
r fi
eror
i.
30.-
~'N
GH
IKJL
DE
CO
NV
ER
GE
NT
A M
3ER
IPdI
AN
A IN
PR
OIE
CT
IA S
TE
RE
O-
GW
IC
A 1
970
Pri
ntr-
un p
unct
om
care
P(x
,y)
din
plzn
ul p
roie
cfie
i ste
reog
rafi
ce 1
970
(fig
.30.
1),
sB
duce
m i
mag
inea
mer
idia
nulu
i $i
o p
arde
le l
a ax
a O
x. U
nghi
ul y
pe c
are
acea
stH
dre
aptH
?l
fax
cu
mer
idia
nul,
?n p
unct
ul c
onsi
dera
t, se
num
este
ung
hi d
e co
nver
genF
mer
idia
n5 d
in
pioi
ecfi
a st
ereo
graf
id.
In v
eder
ea d
educ
erii
uae
i fo
rmul
e de
cal
cul,
pe p
aral
elul
pun
ctul
ui P
se
ia
un p
unct
in
fini
t ap
ropi
at,
Q(x
+dx ; y
+dy
). P
aral
ele
la a
xele
de
coor
dona
te , d
use
prin
P s
i Q
, se
in
ters
ecte
z; i
n
iar u
nghi
ul y =
a , a
vh
d la
turi
le re
cipr
oc p
erpe
adic
~le
re.
In p
roie
ctia
ste
reog
rafi
ci 1
970,
coo
rdon
atel
e re
ctan
gulz
rz s
unt f
in6
i de
coo
rdon
ateI
e .
geog
afic
e, @
,I),
ad
id:
x =
f1 @
,I)
Y =
f2 @
,I)
(30-
1)
Deo
arec
e pu
ncte
le P
~i Q
sun
t sit
uate
pe
acel
a$ p
aral
el,
dB =
0,
~i at
unci
, d
up
l si
mpl
ific
ki,
se o
bfin
e:
ax
-
I I ConstMnn Glr d
fL&
TW
W
CA
XT
OG
RA
FIE
MA
TeM
AT
ICA
U
TCB
- Fa
cult
aleo
de
Geo
dme,
3unr
re.m
!
D-
&
+
dlo
AB
+
d2
0A
E3
~2
+d
3~
'b8
3
+d
am
4 +
d5
0A
B5
+
r +
do2
12+
dl2
AB
l2 i-
dZ2 A
B
1 +-
d 32 A
B3
12+
+
do4 i
4 +
dl4
h~
14
Ti
hd
cont
din
calc
ulel
e pra
ctic
e cu
rent
e se
ia :
.,
..
~i de
tran
sfor
mar
ea
aces
tora
in r
adia
ni, au f
ost.
obfi
nute
urd
oa
rele
val
on .n
um&
c6'p
entr
u co
efic
ienf
ii c
onst
anti
c s
i d
[24]
:
Pri
n ur
mar
e :
. .
C
y =
arc
tg
-
(3G
-7)
D
In p
unct
ele
situ
ate
la e
st d
e rn
erid
ianu
l Lo , un
ghiu
l de
con
-{er
gen@
mer
idia
nZ y
es
te '
pozi
tiv,
iar
in p
unte
le s
itua
te la
ves
t de
Lo , e
ste
nega
tiv.
Pe
mer
idia
nul
cent
ral
Lo , u
nghi
ul d
e co
nver
ge@
m
erid
ianZ
est
e m
l, i
ar p
e m
eri-
di
anel
e ex
trem
e al
e R
omiin
iei,
ia v
alor
i de
ordi
nul a
3' .
Din
tre
ap
iica
tiie
un
ghiu
iui y
, rn
enfi
on
h:
lo :
%I re
lati
a di
ntre
ori
en
tae
oij
din
plan
ul d
e pr
oiec
fie
$i a
zim
utel
e &j
de
pe
elip
soid
: &
ii 0.
. u +
Yi - 6x1
, (3
0-8)
?n ca
re
6ij
este
cor
e&a
de r
educ
ere
la p
lanu
l de
pro
ieq5
e, a
dir
e4ei
mZ
sura
te d
in s
tati
a i
cgtr
e pw
ctul
j .
\ L6
2'
: la
orie
ntar
ea In t
eren
a u
nei h&$
topo
gafi
ce, dacEi d
kw
a p
ivot
-zer
o a
buso
lei
se -5
p
ard
el cu o
lini
e su
d-no
rd a
ca
roia
julu
i kilo
met
ric
de p
e br&
In a
cest
caz
, dec
li-
nati
a m
agne
tic%
, m
enfi
onat
ii pe
foa
ia d
e tr
ebui
e m
odif
icat
5 cu u
nghi
ul y
, k~ co
nfor
- m
itat
e cu o
sc
he
d ex
iste
nt5 l
ing5
ca
m h*. 10
0
Co
nst
an
tin Gh. h
ME
AN
d'
CA
RT
OG
RA
FIE
MA
TEM
ATX
CA
EC
B
-Fac
ulta
tea
de ~
eod
&e,
Buc
ures
ti
Cun
osdn
d lu
ngim
ea u
nei
lini
i geo
dezi
ce p
e el
ipso
id, s
, gi c
oord
omte
le s
tere
ogra
fim
pr
oviz
orii,
cu
apro
xim
atie
de
c2
~v
a
met
ri, a
le e
smif
i$lo
r ei
, se
cer
e sg
se
afle
dis
tmga
So ,
care
3 c
ores
pund
e in
pla
nul
seca
nt a
1 pr
oieq
ie?
ster
eogr
afic
e 19
70. A
ceas
ta e
ste-
!'dis
tz+
re
dusk
la p
lanu
l de
proi
ecfi
e".
Cuv
%nt
ul "r
educ
ere"
treb
uie
infe
les cu
sens
ul d
e "r
epre
zent
are"
~i n
u de
mic
gora
re.
Rez
olva
rea
se p
oate
sep
ara
in d
ouZ
eta
pe:
.I/ -
redu
cere
a di
stan
lei
s la
pla
nul t
ange
nt in
pol
ul
Qo
Po
, Lo),
unde
se
obfi
ne S
; 21
- red
ucer
ea d
ista
qei
S di
n pl
ahul
tang
ent (cu
scar
a n
od
Z),
la p
lanu
l se
cant
(cu
scar
a re
dusg
), un
de s
e ob
tine
SO
. . ..-
. In
fig
.3 1
.1,
din
plan
ul ta
ngen
t d p
roie
cfie
i ste
reog
afic
e, c
urba
din
tre
punc
tele
1
(xl , pl)
gi
2(xz
, yz)
ate
inag
inea
pla
nE! a
lini
ei g
eode
zice
. N
egli
jhd
dife
renp
din
tre
lung
imea
cur
bei ~
i cea
a c
orzi
i, vo
m c
5uta
o le
gZtu
ra in
tre
s si
S.
Vom
con
side
ra i
mag
inea
pl
d ca
fii
d a
lc5t
uit5
$in
dist
anT
e in
fini
t m
ici,
ksum
ate
prin
tr-o
ope
ratie
de
inte
grar
e.
Dis
tanT
ele
infi
nit m
ici d
in p
lanu
l de
proi
eqie
sun
t leg
ate
de c
ele
de p
e el
ipso
id (
sfer
a de
razz
med
ie) p
nn in
term
ediu
l mod
ulul
ui d
e de
forr
natie
lini
a6:
Uti
lizi
nd e
xpre
sia
mod
ulul
ui d
e de
forr
na9e
gi d
ezvo
lthd
-o ?
n se
rie
dupH
bin
omul
lui
N
ewto
n, l
imitf
indu
-ne
la p
rim
ii te
rmen
i ave
m.
Coo
rdon
atel
e qy , a
le u
nui
punc
t si
tuat
pe
linia
1-
2, s
e po
t ex
prim
a fu
nc$i
e de
di
stan
p p
nGsu
ratg
de
la p
unct
ul 1
ph
8 la
pun
ctul
con
side
rat q
i de
ori
enta
rea
t a
lini
ei
resp
ectiv
e:
x=
x1
+p
cos
t y
=y
l +
p s
int
....
.
..
.t.. C
mlm
tirr
Gh
tw
:
C&
RT
OG
RA
FIE
M&
~~
IA
TI
CA
UTCB - F
acu
liat
a de
Geo
dem
.e, p
B
ucr
esti
..
....
. -.
~ gi h
locu
ind k (
3 1 -
2),
....
....
.
.
st;
;rd
cZ:
S
co
st=
Ax
I>
S si
nt=
Ay
, di
n (3
1-5)
se
ob++
e:
,. ' ,
Pen
tru
a in
trod
uce
coor
dona
tele
x, , y
, , a
le p
unct
ului
sit
uat l
a m
ijloc
ul s
egm
entu
lui
1-2,
n&:
Tin
hd
con
t de
ace
ste
rela
fii,
face
m k
(3 1-
'7) i
nloC
uiri
le:
, .
:
.. -
..
..
&
c&e
ooor
dona
tele
ste
reog
rafi
ce su
nt ?
n pl
anul
tangent,
iar
dist
anfa
s di
n rn
embr
ul a
ldoi
leq
. 'I
necu
nosc
ut&
, po
ate
fi ^
docu
itZ
fie cu d
is
w s
de p
e el
ipso
id, f
ie cu
dist
anfa
cal
cula
t2 d
in
coor
dona
tele
ste
reo
pji
ce p
rovi
zori
i. V
aloa
rea
num
eric
5 a
mem
brul
ui d
oi d
in (3
1-9
) tre
buie
cal
cula
t5 cu
8-9
zec
irna
le.
Dup
Z o
b$ne
rea
dist
anfe
i S, r
edus
e la
pla
nul t
ange
nt, .
se ca
lcul
eazZ
dis
tanp
So , r
edu
g
12 $
m-d
szc
azi:
1
(31-
10)
So
=S
c ,
. .-
- .
..
.
GI c&
e co
nst
pta
c =
0,9
99 7
50 0
00 e
ste
coef
icie
ntul
de
redu
cere
a W
.
..
.
....
....
.
__
--
.
..
..
.
. io
i'
Red
ucer
ea d
ista
nte1
or:la
pla
nul
de p
roie
ctie
ste
reog
rafi
cg 1
970
este
obl
igat
orie
pen
tn~
di
star
$ele
mls
urat
e in
lu
crk
ile.
de.
~te
rati
e care
se,p
rduc
reaz
Z $
aces
t pla
n de
pro
iec~
ie.,
Cor
npen
sare
a pr
opri
u-zi
sZ a
mis
urZ
tori
lor t
rebu
ie ficu? q &
sta$
ele
redu
se la
pla
nul
de p
roie
cfie
, .
. ... .
.
. C
ele
doug
eta
pe d
e ca
lcul
pot
fi
com
asat
e ,
aSa cum
sunt
pre
zent
ate
.in f
orm
ula
unnZ
toar
e [2
4] :
-
So =
s [
+0,
999
750
000
+
+ 0,
614
538
792
:(lo
-14)
(XG +
.ym
2-) +
.
. .
. .
. +
0,51
2 l1
(~
o-'
~)(
AX
~-+
AY
~).
+
.:.;
. .
' : ..
+ 0,
377
75
) ( x,,
,' +
~2 )'
1 ,
(3 i-
11)
': ., -
.I
* ' -.__
in
cie
:.so
.est
e dis
tanf
a re
du
s~.l
i:p
fan
ul seca
nt a1
pro
iec~
ei ster
eogr
ai5c
q.19
70,
s es
te d
ista
up
de
pe
elip
soid
, iar
coo
rdon
atel
e rez
ctan
gula
re, a
prox
imat
ive,
sun
t in
plan
d, se
cap.
, ,
. .
32.
CA
DR
UL
SI
NO
ME
NC
LA
TU
RA
E4
RT
aO
R T
OPO
GR
AIF
ICE
IN
PR
QE
CT
U.
S'IK
RE
QG
RA
FPC
A
19'7
0
H5r
tile
topo
graf
iw i
n pr
oiec
$a s
tere
ogra
fie
1970
au
ca
b de
tip
geog
rafi
c, a
lcH
tuit
din
douE
L ar
ce d
e m
erid
ian
$i d
oug
arce
de
pad
el,
care
, pe
elip
soid
, del
imit
eaz5
un
trap
ez.
Sc
zle
sunt
stz
ndar
diia
te,
dim
ensi
unil
e tr
apez
elor
de
pe d
ipso
id d
epin
d de
val
oare
a sc
5rii
$i fi
ecar
e tr
apez
are
o n
omen
clat
uri , co
rela
5 cu
poz
ifia
sa
geog
rafi
ca s
i cu
scar
a.
Toa
te a
mku
ntel
e pr
ivii
d di
men
siun
ile
gi no
men
clat
ura
trap
ezel
or d
e pe
eli
psoi
d S
UE
Z
expu
se in
par
agra
ful
14.
Dat
oriti
i de
form
atii
lor
ineg
ale
din
plan
ul d
e pr
oieq
ie,
trap
eml
de p
e el
ipso
id
se
def
orr
neh
ineg
al,
astf
el h
c2t
co
l~
le
sa
le d
evin
vk
hil
e u
nui
patr
ulat
er o
arec
are,
In
at
dre
pt c
adru
pen
tru
foai
a d
e h
art5
res
pect
ivii
. Ir
nagi
nile
arc
elor
de
pe e
lips
oid
sunt
cur
be c
u o
curb
ur5 f
oart
e m
ici.
La
scb
i mar
i , de
ex
empl
u 1:
25 0
00 ...
1:2
000,
pen
m c
are
arce
le d
e pe
elip
soid
sun
t scu
rte,
cur
bele
car
e un
esc
cele
pat
ru v
bh
i al
e pa
trul
ater
ului
se
conf
un&
cu
corz
ile lo
r. In
acea
st5
situ
a$ie
, a c
onst
rui
cadr
ul hEirtii i
nsea
mn5
a r
apor
ta c
ele
patr
u co
1px-
i pin
coor
dona
tele
lor
ste
reog
afic
e, a
ve
rifi
ca d
imen
siun
ile r
apor
tate
ale
latu
rilo
r gi
ale
diag
onal
elor
$i a
uni c
ol@
-ile
prin
seg
rnen
te
de d
reap
ta
Dim
ensi
unil
e cad
rulu
i rap
orta
t pot
dif
eri
de d
imen
siun
ile t
eore
tice,
red
use
la s
car&
cu
plus
sau
min
us 0
,2 mm p
e fi
ecar
e la
turZ
gi 0
,3 m
rn p
e di
agon
ale.
.
. ~
kw
nsi
un
ile
teor
etic
e al
e m
idu
i se
calcu
lm.7.
Z pe
eli
psoi
d, a
poi
se r
educ
la
plan
ul d
e pr
oiec
+e,
apoi
se
redu
c la
sca
ra .h
a%
e~
~d
re
dta
tele
ha
le h cm , cu
do
us
..
..
ze
cirn
ale.
. . . .
: L
atur
ile
de na
rd gi
de s
udrs
e ca
lcul
eazi
i ca
arce
de
para
lel.
. , . .
..
'
. .
La
me
de y
est ;g
.i de
.est
,se c
alc
uld
ca
de m
erid
im .
. ::
;.. :
:;:.... ..
....
....
....
..
;.. :. . R
apor
tare
a.;~
dsul
ui .s
k.:
fp l
a co
ordo
nato
&
....
p
e un
mat
eria
l ne
defo
-bil
.pnm
. de
sen.
.
. .
Con
stan
tin Gh m
.1
MI
C
AR
TO
GR
m M
AT
EM
AT
ICA
UTCB -F
acul
tata
tfa d
e G
eodm
'c, B
uncr
w -
M
dB
dx=
a-x
---
.
N
cosB
D
ar:
Intr
od
uch
d a
ce
ex
pres
ie h
(50-
I%),
ob
tiem
:
eZ co
sZ B
x
=a
J~
-
,. , )=+C
I-e
si
n B
cos
B
sau
dB
e co
sB
x= a
J=
-CL
CJ
~B
+C
1
-e2
sin
2B
Pri
ma
inte
grzl
5 a
fost
dej
a cd
cula
tH p
entr
u ca
zd s
fere
i, &
el ct
i, in
con
form
itate
cu
(50+
:
Pen
tm c
alcu
lul c
elei
de
a do
ua in
tegr
ale
se in
trod
uce
o no
ua v
aria
bilti
, y,
no
tkd
:
e si
n B
= si
n w
, de
und
e, d
ifer
entii
nd, r
ezul
tg: e
cosB
dB
= w
s~
d
v
Inlo
cuin
d iu
(50-
13),
se
obtin
e:
Inlo
cuin
d..
1- s
in
w =
cos
2 w
, du
pH s
irnp
lific
area
cu
cog
v ,
se a
jung
e la
o
inte
gral
% de
form
a ce
lei p
rece
dent
e:
e co
sB dB
W
-
dv
-ae1
ntg
(45
0 +
-)+
c ae
Ii-e
zsin
2B
2
Inlo
cuin
d ce
le d
ouZ
rezu
ltat
e ?n (5
0-13
), re
zulG
:
B
. .
W
. .
. .
x=
~~
[h
t~
(4
5~
+-
)-
eh
tg
(4
5~
+-
)]
+~
. ,
' .
, ..
. ..
. 2
2 .
,
. .
. .
._
.: ..;.
. i...
...I
...
.., :,
. sa
u, r
estr
hg
hd
dif
eren
p ce
lor d
oi lo
gari
tmi ~
i tre
cind
la
loga
ritm
ii ze
cim
ali;
. '"':L?".'.
' .
-
... :.
.*
. ..
.. ti.
. .':
"',. :"
" un
de :
Mod
.= I
g (n
um
hl
e) =
0,4
34 2
94 4
819 ,
C e
ste
o co
nsta
nt%
de.in
tegr
are,
iar
ex
pone
ntul
e d
e la
num
itoru
l exp
resi
ei e
ste
egal
cu
prim
a ex
cent
rici
tate
a &
psoi
dulu
i. ,:
Det
enni
nare
a ce
lor
dou%
cons
tant
e,. c
gi
a.
se f
ace
ca h
caz
ul p
rece
dent
, &
d P
Zm
ktul
a fo
st c
onsi
dera
t sfe
rg.
Din
con
di$a
ca
axa
Oy G c
oin
cia
cu ir
nagi
nea
ecu
ato
du
i rez
ultH
C
=O
, (5
0-18
) ia
r din
mnd
itia
ca
la la
titu
diie
a 3
1 sL
nu
se p
rodu
cZi d
efor
mtj
i, r
ezul
tZ : .-.
. a
=r
l =N1 cosB
l (5
0-1
9)
'I
.
.-
Pen
tru
fasi
!itar
ea c
alcu
lulu
i coo
rdon
atei
x , ca
re d
epin
de n
urna
i de
latit
udin
e, a
u fo
g
into
cmit
e gi
tdoe
le, p
entr
u ex
pres
ia:
B-
- tg
(45 O
+ -)
U=
,
unde
si
n W
= e
sin
8 (5
0-21
).
W
tge (
45O
+ -) 2 -
Flc&
nd p
artic
ular
izar
ile d
e m
ai s
us in
fon
nule
le g
ener
de (
47-Z
), re
zult
l ud
toa
rele
fo
rmul
e de
cal
cul p
entr
u re
prez
enta
rea
elip
soid
nlui
de
rota
ge
in p
roie
cga
Mer
cato
r:
y=
a -
" ;
'& =
long
itudi
nea
axei
Ox)
P"
B1 =
Iatit
udin
ea p
aral
elul
ui s
tand
ard
r m
=n
=1.
r p
= n
Z
Pen
tru
cilin
drul
tan
gent
in
lunE
3.ul ec
uato
rulu
i, B1
=
0 , a
cest
a se
rep
rezi
ntii &Z
defo
rmat
ii, ia
r to
ate
cele
ldte
par
alel
e se
rep
rezi
ntg cu d
efor
maf
ii p
od
ive,
car
e po
t at
inge
va
lori
spe
ctac
uloa
se.
Pen
tru
B1
dife
rit d
e ze
ro,
ne a
£lb
in c
azul
unu
i c
ilin
h se
cant
; exi
sfi
dou2
par
alel
e st
anda
rd,
htr
e c
are
defo
rmat
iile
sun
t ne
gati
ve,
iar
defo
nnat
iile
poz
itiv
e ,
care
se
prod
uc l
a la
titu
dini
le r
nai
mar
i de
cgt
ale
para
lele
lor
stan
dard
, su
nt m
ai m
ici
fag
de
cele
din
caz
ul
cili
ndru
lui t
ange
nt..
....
,. :I
uti
ebu
in@
ri
La
scar
i m
ici,
prc
ida
Mer
cato
r se
poa
te a
plic
a p
entn
h&
$ de
ans
ambl
u, p
entn
? po
rfim
i m
ari
din
supr
afaf
a te
rest
rH $
i chi
ar p
entr
u in
trea
ga s
upra
fag (w
clim
atic
e et
c), cu
exce
p$a
zone
lor
pola
re.
'Si'
':.+:s'
ci%i
med
ii ~
i mar
i, pr
oiec
fia se p
oate
fol
osi p
entr
u te
rito
rii
in f
orm
2 de
ban
d& n
u pr
ea ia
tf&&
e se
bti
nd
?n.
lung
ul e
cuat
orul
ui s
au d
e o.
part
e $i
de
.aka
a p
arai
elel
or s
tand
ard.
.I
-'
s.'Q
..:
~&
t.rh
mel
e de
nav
igat
k, e
ste
foar
te u
till
, da
tori
tLfa
ptul
ui 6i r
epre
fint
i pri
ntr-
o
drea
pti c
urb%
de
pe e
lips
oid
sau sf&
num
i& lo
xodr
oml.
: ' .
. '
.*..
...
.: .%
oxijd
rom
a j
In p
~c
ipiu
, &te
impo
rtan
t pen
tru im n
avig
ator
sH a
jung
zla
dest
inaf
ie pe
hm
ul-
Eel
i
mai
scu
rt, a
di&
sg
se d
epla
sezz
pe
o li
nie
geod
ezic
g. I
ncon
veni
entu
l est
e ci
, ~ lun
gul u
nei
: as
tfel
,.iIe
liri
i< nu
mk5
, in
navi
gafi
e, o
rtod
rom
i, az
imu
tul w
te v
aria
bil,
oblig
8nd
navi
gato
ml
i s5
mod
ific
e pe
xman
ent a
zim
utul
dir
eqie
i de
depl
asar
e.
'.
1..
. ..:
?DO
G-p
unct
e de p
e el
ipso
id, sau d
e pe
sfe
rii,
Ynt
re c
are
ar u
rma si se
navi
ghez
e, p
ot
I fi
uni
te p
rin
tco
cur
bH r
mm
itH l
oxod
rom
ii., c
are
taie
toa
te r
neri
dian
ele,
din
tre
cde
doo
5 .,
pu
nct
e, s
ub
ace
lqi a
zim
ut.
;
Nav
igar
ea p
e Io
xodr
orni
Z p
resu
pune
par
curg
erea
mui
dm
n c
eva
rnai
lun
g de
cst cel
de
pe o
&dr
om&
da
r av
anta
jul e
ste d n
avig
ator
ul n
u tr
ebui
e sk
i wre
ctez
e pe
rman
ent
dire
* de
1
depl
asar
e.
i
. Ln p
roie
qia
Mer
cato
r,
imag
inil
e m
erid
iane
lor,
fap
i de
me
se &
oarE
r az
imut
ul
I
loxo
drom
ei, s
e re
prez
inta
pri
n dr
epte
par
dele
. Pr
oie*
a fi
ind
conf
orm
& im
agin
ea lo
xodr
omei
I
treb
uie 6 ta
ie i
mag
ines
mer
idia
nelo
r su
b un
un
ghi
egal
cu
cel
de p
e el
ipso
id I s
ferZ
, ad
icH
eg
al cu
azim
utul
. 0 a
stfe
l de
lie
, di
n pl
anul
de
proi
ecti
e (r
espe
div
de p
e ha
rt2 ),
nu p
oate
fi
1 de
c& un
segm
ent
de d
reap
tk A
ceas
ta d
emou
mea
z5 c
5,
pe h
i@e
fn p
roie
ctie
Mer
cato
r,
loxo
drom
a se
repr
ezin
t5 p
rint
r-un
seg
men
t de
drea
ptl.
t P
ract
ic,
dacH
un
navi
gato
r di
spun
e de
o Im
-G fn p
roie
cfia
Mer
cato
r, p
e ca
re id
enti
fid
pozi
fia
punc
tulu
i de
ple
care
gi
a cd
ui
de d
esti
nafi
e, u
nind
u-le
pri
ntr-
o dr
eapt
& p
oaie
I d
dete
rmin
a , p
e k
tZ, a
zim
utul
loxo
drom
ei re
spec
tive
, pre
cum
si
wor
dona
te g
eogr
afic
e pe
ntru
;
punc
te d
e pe
.tra
seul
ei .
-
For
mu
le p
rivi
id lo
xod
rom
a pe
elip
soid
j i
L2 -
LI
=tg
A~
z
(hU
2 -1
11U
1)
(50-
23)
E i C
onsi
derk
d c
l L1= 0, BI = 0
~i
L2
= L
, B
z =
B , av
em e
cuag
a lo
xodr
omei
pe
elip
soir
l :
3 t B Tn
care
azi
mur
ul A
= c
on
st, iar f
incf
ia U
se
calc
ulea
z2 cu
(50-
21).
S
...
...
. .
Fig
.50
- 1
2.
..
Asp
ectu
l gen
eral
al r
etel
ei n
orm
ale
in p
roie
ctia
Mer
cato
r L
oxo
dro
ma
0 f
75'
30'
45
' 60
" 75
' .
. - L
--
i
Lun
gim
ea lo
xodr
omei
pe
elip
soid
, se
paat
e ca
lcul
a cu
for
mul
a:
in c
are
(Sm
)~i,
est
e lu
ngim
ea a
rcul
ui d
e-m
erid
ian,
Tnt
re l
atit
udin
ile
extr
emit@
ilor
loxo
- dr
omei
. For
mu
le p
rivi
nd
loxo
drom
a pe
sfe
rg
Ecu
afia
loxo
drom
ei p
e sf
&:
sau
tg(4
50
+2
)=ee
"-A
,
2 in
car
e e
este
baza
loga
ritm
ilor
nat
ural
i. A
cest
e ec
uafi
i ar
ati
c& p
e w
pra
fap
sfe
rei,
loxo
drom
a es
te o
spi
ral&
cu
punc
tul
asim
ptot
ic in
pol
ul g
eog
rdc.
L
ungi
rnea
loxo
drom
ei p
e sf
er5
poat
e fi
cal
cula
tL c
u fo
rmul
a:
SI,,
= R (c
p 2 -
4) I
) se
c A
(5
0-27
)
In p
lanu
l p
roie
c$ei
,Mer
cato
r : .
Tn
care
1
~i
2 su
nt
extr
emit
@le
lox
odro
mei
, ia
r pe
ntru
un
punc
t cu
rent
(x,
y),
de p
e im
agin
ea lo
xodr
omei
, h
.
y=
y1
+tg
A(~
-xl)
(5
0-28
)
I C
onsr
mri
rz G
h. II
~~
Jv
ZE
~N
U C
AR
TO
GL
UT
E M
AT
EM
AT
ICA
U
TCB
-Foc
ulra
iea
de G
eode
ne, B
umre
rh
In fig. 4
9-1
se
mat
5 as
pect
ul
gene
ral
a1
refe
iei
cart
ogra
fice
Fn
tr-o
~ro
iecf
;,~
I
izoc
ilin
dric
4 da
r gi
un p
roce
deu
graf
ic,
expe
diti
v, p
rin
care
poa
te f
i re
prez
ecta
tg a
ce a
s^
i re
rea.
!
r
I 1
I l
I
- I L
- J
I Fi
g. A
9-I
Ref
ea c
arto
grdc
5 in
pro
iect
ia e
chiv
alen
tl iz
ocili
ndri
c5.
Ace
astg
pro
iecf
ie a
fos
t im
agin
atz
8i a
plic
atg,
?n
'nu1
15
69,
de c
2te
car
togr
aful
ol
ande
z G
erar
d K
rem
er, n
umit
~i M
erca
tor.
P
roie
ctia
cili
ndri
cH d
reap
tZ M
erca
tor
este
con
form
5 ~i
mai
are
o c
alita
te,
dato
riti
cc
eia
este
uti
liza
G ?
n m
od c
uren
t pe
ntru
Wl
e de
nav
igaf
ie: e
a re
prez
intil
pri
ntr-
o dr
eapt
z cu
rba
num
itg
loxo
drom
H c
are,
pe
elip
soid
~i
pe s
ferE
, in
ters
ecte
azH
sub
ace
lqi
azim
ut
mer
idia
nele
din
tre
doua
pun
cte
oare
care
. R
Gea
ua n
orm
ala
este
ald
tuit
g di
n ir
nagi
nile
pla
ne a
le m
erid
iane
lor
$i a
le p
aral
elel
or
$i a
re u
rm5t
oruI
asp
ect g
ener
al:
* m
erid
iane
le s
unt r
epre
zent
ate
prin
dre
pte
vert
ical
e pa
rale
le,
la d
ista
nse
prop
orti
onal
e cu
dif
eren
fele
de
long
itud
ine;
*
para
lele
le
sunt
rep
reze
ntat
e pr
in l
inii
drep
te p
aral
ele,
per
pend
icul
are
pe i
mag
iniI
e m
erid
iane
lor;
in
terv
alel
e di
ntre
par
alel
ele
succ
esiv
e cr
esc
pe m
%w
a ap
ropi
erii
de
poli
i ge
ogra
fici
, m
otiv
pen
tru
care
, ref
eaua
car
togr
afic
8 es
te d
enur
nit5
"cu
lat
itud
ini
yesc
%nd
e".
Se
poat
e ap
lica
fie
unei
sfe
re, f
ie e
lips
oidu
lui d
e ro
tatie
. In
am
bele
caz
uri,
repr
ezen
tare
a tr
ebui
e s
i fie
con
ford
i, i
ar p
entr
u ac
east
a m
odul
ul
de d
efor
mat
ie li
niar
ii tr
ebui
e sF
i fie
inde
pend
ent d
e ai
rnu
t, a
stfe
l inc
gt, c
ondi
$a d
e co
nfor
mi-
ta
te s
e po
ate
scri
e in f
orm
a m
=n
(5
0-1)
-Fac
ulm
rea
de G
eode
de, B
ucvr
estr
Caz
ul 1
: H
epre
zent
srea
drr
ei fn
pi o
iecf
ia M
erea
tor
In (
47-3
: s
a ar
ztat
Ci
in c
azul
rep
reze
ntar
ii s
fere
i de
raz
z R in
proi
ecti
i ci
lindr
ice
drep
te, r
nodu
lii d
e de
form
afie
a lu
ngim
ilor
au
expr
esiil
e ge
nerd
e:
dx
m=
- a
si
n=-
P.dq
Rco
scp
'
in c
are
a =
con
stan
t8.
Fol
osin
d ac
este
exp
resi
i, co
ndit
ia d
e co
nfor
mit
ate
se p
oate
rci
ie:
- dx
-
U
---
Rd
p
Rco
scp
'
din
care
se
dedu
ce fo
rmul
a de
cal
cul p
entr
u x
:
x=
aj*
+~=a
j .
dq
+
C
CO
S 0
SU
;(~O
O
+ cp
)
Pen
tru
calc
ulul
inte
gral
ei , tr
ansf
orm
gm n
umit
orul
apl
icln
d fo
rmul
a ge
nera
l2 :
A
A
A
sin
A=
sin
2-=
2sin
-cos
- 2
2
2 ~i
rezl
lltl
dw
+c
cp
2
sin
(45'
+
-) c
os(4
5' +
-)
2 2
cP Im
p&$n
d at
2t n
cm5r
Zto
rul c
2t $
i nur
nito
rul c
u 2
c0s'
(45
~ +
-) 2
se o
bfin
e:
in-c
are
In e
ste
sim
bolu
l log
arit
mil
or n
atu
rdi
iar
C e
ste
con
sta
nts
de
inte
rne
In
trodu
c&nd
ace
st re
zult
at in
(50-
3),
se o
b@ne
:
Inlo
cuin
d lo
gari
tmii
natu
rali
cu
loga
rit%
zec
imal
i, re
zult8
:
LX
/
1 1
Com
unrn
r~ Glr.
.VUhTR1N(I
CA
RT
OG
- M
AT
EM
AT
ICA
U
TCB
- Fac
rtlm
tea
de G
eode
n'e,
Buc
ures
ri
i i
Rez
ult5
c5
toat
e pa
rale
lele
cv
p~
inse
intr
e la
titu
dini
le +
cp si
- cp
1 sa
rep
rezi
nt5
cu
f de
form
afii
nega
tive
, ce
le m
ai
mar
i fi
ind
pe e
cuar
or.
Intr
e ac
este
lat
itudi
ni,
elip
sde
de
1 de
form
age
au a
xa m
are
pe d
irec
tia
rner
idia
nulu
i, un
de d
efor
ma$
a es
te n
ula.
In
tre
poli
i ge
ogra
fici
gi p
aral
elel
e d
e se
cyio
nare
, toa
te d
efor
mat
iile,
de
lung
me
~i a
le
arii
lor,
sun
t po
ziti
ve
~i c
resc
spr
e po
li. E
lips
ele
de d
efor
ma$
e au
axa
mar
e pe
dir
ecti
a I
- pa
rale
lulu
i car
e trece
prin
pun
ctul
con
side
rat.
Caz
ul2
:
~F
~rn
4ni.
l se
co
nsi
ded
eli
psoi
d f
i-
I T
inh
d m
nt
de
fom
adel
e ge
nem
le a
le p
ruic
@il
or c
ilin
dri
a pe
ntru
elip
soid
, (4
7-2)
, f-
i co
ndil
ia d
e ec
hidi
stan
p pe
mer
idia
ne s
e sc
rie
in fo
nna :
1 !
- - 1
din
care
, pro
cedf
ind
ca in c
azul
pre
cede
nt, r
efer
itor
la s
ferZ
, ob
iine
m u
rmir
toar
ele
forn
lule
de
calc
ul p
entr
u re
prez
enta
rea
elip
soid
ului
de
rota
$e in
pro
ie*
cili
ndri
ce d
rept
e ec
hidi
stan
te p
e m
erid
iane
:
x =
SO
,B
y=
aL
, u
nde
cons
tant
s a =
N1
~S
BI
;
n?
=l a
r, N
,cos
B,
n=-=;= r
r N
cosB
w a-
b
sin-
=-
sau
~((
45
0 +
= /:
, 2
a+
b
4
in c
are SOB re
prez
intg
lung
imea
arc
ului
de
men
dial
mm
Hsu
rat5.
pe e
lipso
id, d
e la
ecu
ator
p-
,
la la
titu
dine
a B
. -
I
Con
stm
rin
Gh.
WM
UEI
TE4N
U
CA
RT
OG
RA
FIE
MA
TE
RC
AT
ICA
W
CB
-Fac
ulto
im d
e G
eodm
e, B
unne
sti
a,
fie
cone
tiant
. D
e ob
icei
, ac
east
Z c
onst
ant5
se
ia e
gala
cu
unit
atea
, as
tFeI
inc
&
t,nd
ifla
re
prez
ent&
ii ec
hiva
lent
e se
poa
te s
crie
: p=
mn
=l
(49-
1) . .
Caz
ul1
: P
hln
tul s
e co
nsid
er2
elip
soid
de
rota
tie
.:
.,
I
In c
azul
elip
soid
ului
, in
onc
e pr
oieq
ie c
ilin
dric
a dr
eapt
ii, m
odul
ii de
def
orm
afie
li
niai
r pe
dir
ecfi
a m
erid
ianu
lui g
i res
pect
iv a
par
alel
ului
, au
expr
csii
le (4
7-2)
:
CL
CL
n=
-=- r
Nco
sB
FoIo
sind
ace
ste
expr
esii,
con
difi
a de
ech
ival
en$
se m
ai p
oate
scr
ie:
dx
a. -x
-=l
,
MdB
N
cosB
din
care
rezu
lti:
I x
= -~
MN
CO
SB
~B
+
c (4
9-2)
CL
Dar
:
, P
entr
u B
l =
0,
repr
ezen
tare
a co
resp
unde
unu
i ci
lind
ru ta
ngen
t la
ecu
ator
, iar p
entr
u in
car
e, d d
oile
a te
nnen
d m
mei
din
par
ante
zl e
ste
subu
nita
r. D
ezvo
lthd
h se
rie
expr
esia
B
1 di
feri
t de
zer
o, r
epre
zent
area
cor
espu
nde
unui
cil
indr
u se
cant
, ca
re i
nter
sect
eaza
elip
- di
n pa
rant
ez&
dup
Z b
inom
ul lu
i New
ton,
~i i
nloc
uind
h (4
9-2)
, re
zultg
: so
idul
du
pIi p
aral
elel
e de
lati
tudm
e +B
1 gi
-B
l , p
aral
ele
care
se
repr
ezin
G n
edef
orm
ate
ca
{ :
lung
ime.
t
Ln a
mbe
le c
azur
i, fi
e ci
lind
ru t
ange
nt f
ie c
ilin
dru
seca
nt,
reie
aua
de m
erid
iane
gi
para
lele
est
e al
c3xi
tH d
in d
rept
ungh
iuri
nee
gale
.
Com
enta
riil
e fa
cute
cu
priv
ire
la d
efor
ma$
i Tn
cazu
l 1 (I?
hht
sfei
5),
sunt
val
abil
e ~
i pe
ntru
ca
d2
(Pkn
2nt
elip
soid
).
. 49.
PR
OIE
CT
H C
ILIN
DR
P-
DR
EP
TE
EC
HN
AL
EN
'lT
i .. ,.
. . .'$..I.
i k
'2ir
e co
nsta
nts
de in
tegr
are
C
se s
e de
term
inir
in f
unc$
e de
mod
ul cum s
e sf
abil
ese
axa
) Oy.
Dac
Zi i
riia
gine
a ec
uato
rulu
i se
ia c
a ax5
Oy
, tre
buie
ca, a
tunc
i c
kd
B =
0,
sH
exis
te ~
i ;..
. .- .
- - .
- ..
.. . - ..
-.
--
- - -
- - - -
.- .- - - - .-
i .-
.- - -
- -
-_
- ...
. .. _ - .I.
-. . e
ga
bte
z Y =
O,-&f'e
! c&
din
. (49-
31 r
e,dt
g -
.- - -
. - -
-,
-- ._
- - -
,..:
--
-- --
_ -
Vom
&a
do
ul
cazt
u-i:
ch
d P
hW
se c
onsi
derg
eIi
psoi
d de
ro
we
si
&d
C= 0
piim
intu
l se
cons
ider
2 sf
e5 d
e ra
i5 R
... .
. F
orm
ula
de c
alcu
l pen
txu
y se
abbe
din
fonm
rla
gene
ral:
(49-
41
In a
mbe
le c
azur
i de
repr
ezen
tare
' khi
bale
nt.5
, co
n&@
spe
c&cl
ste
~5%
'm
portu
l dim
e y
=a
L ,
o ar
ie d
in p
lanu
l d
e pr
oie@
e $
ari
a co
resp
unS
toar
e pe
sup*
el
ipso
idul
ui, s
au a
sfe
rei,
sir
. Co
,r&
ni
Gh
. C
AR
TO
GR
AF
~E lM
AT
EM
AT
ICA
U
TCB
- Fa
calr
area
de
Geo
dezi
e. B
unu-
esn
- .Tn
care
con
sxan
ta
cr se
det
erm
ini3
pun
find
con
di$a
su
plim
enta
ri c
a un a
num
it pa
rale
l, de
la
titu
dine
B1, si, s
e re
pred
nte
aede
form
at ca
lung
ime.
Ace
asti
co
nd
i~e
se e
xpri
mi i
n fo
rma :
din
carc
se
obfi
ne:
: i.,,. . . '
. . '
. .
.,
-.
. .
adid
, co
nsta
nta
a
este
xg
ali
cu r
aza
para
lelu
lui 1
par
alel
elor
ca
re d
orim
sFi
se r
epre
zint
e ne
defo
rmat
(e)
ca lu
ngim
e.
Tin
hd
con
t de
for
mul
ele
dedu
se p
e ba
za c
ondi
gei d
e ec
hiva
lent
k da
r ~i
de
form
ulel
e '
gene
rale
ale
proi
ecG
ilor
cili
ndri
ce d
rept
e, g
nrp
b,.
ce
le c
e ur
mea
zZ,
fom
ulel
e pe
ntru
re
prez
enta
rea
elip
soid
ului
de
rota
tie
Tn pr
oiec
fii c
ilin
dric
e dre
pte
echi
vale
nte:
b
2.
2
3 4
x=--
(smB
+-e2
sin'
~+-e
Csin
SB+-
e6si
n7B+
...)
a
3 5
7
y =
a L =
rl L
;
(par
alel
uI BI se
repr
ezin
tfi f
arii-
def
orm
atii)
;
p=
mn
=l
(4
9-7)
r r
1
m=
- n.
sem
iaxe
le e
lips
ei d
e de
form
atie
: a
= m
ax (3 n);
b =
min
(m,
n);
7
Toa
te iz
olin
iile
sun
t dr
epte
, par
dele
cu
imag
inea
ecu
ato
du
i . .
~a
zu
l2
: P
Irn
Qn
tul s
e co
nsid
er5
sfer
g P
entr
u sf
era
de r
azz
avem
for
mul
ele
gene
rale
(4
74
, di
n ca
re f
olos
im
expr
esii
le
1ui
m ..
~i n,
~i a
tunc
i con
difi
a de
ech
ivd
enp
se
poat
e ex
prim
a as
tfel
: dx
a
p=m
n=-,
- =
I R
dcp
Rco
scp
Se
obti
ne:
Ca
$i LI
cam
1 pr
eced
ent,
luk
d c
a axa
Oy
drea
pta
care
repr
ezin
ti e
cuat
orul
, rez
ulG
i
iar
din
cond
i~ia
supl
imen
targ
nl =
I, s
e ob
tine:
.
.
a=
rl=
Rc
os
cp
~ ,
fn c
are
cp
este
lati
tudi
nea
para
lelu
lui /
par
alel
elor
ca
re d
orim
sfi
se r
epre
zint
e f&Z
defo
rma-
~
i.
Tin
Znd
con
t ~i
de
form
ulel
e ge
nera
le (
47-3
) al
e pr
oiec
tiilo
r ci
lind
rice
dre
pte,
rez
ultf
i ur
m5t
oare
le fo
rmul
e'de
cal
cul p
entr
u re
prez
ent5
ile
cili
ndri
ce d
rep
te e
chiv
alen
te a
le s
fere
i :
--
R2
x =
-sin
cp
-a
y =a h ; u
nde
cons
tant
a cr
= rl
=R
cos
cp 1
;
r r
cosc
p
Pentru
ur.
ciIi
ndiu
tan
gent
sfe
rei
la e
cuat
or,
se o
btin
e pr
oiec
fia
cili
ndri
ci d
reap
ti
ech
ival
edi n
umit
z "
izoc
ilina
dric
5". F
orm
ulei
e ei
se
dedu
c di
n (4
9-i2
), I
uk
d c
p I =
0,
adic
2
a=
R
x =
R s
in cp
y=Rh
1 n
= -
cos c
p m
=co
scp
se
rnia
xele
eli
psei
de
derb
rmat
ie:
a =
n ; b
= m
-
In c
azur
ile
in
care
Pim
htu
l se
con
side
r5 sf
er5,
raz
a R
se
dete
nnin
fi d
im c
ondi
fia
ca
supr
afaf
a sf
erei
sZ f
ie e
galf
i cu
supr
afag
eli
psoi
dulu
i de
refe
rin
s S
fera
ell o
sup
rafa
$ eg
ali cu
ceb
a el
ipso
idul
ui K
raso
vski
194
0, a
re r
aza
. R
=?3
71
11
6 m
In t
oate
for
mtil
e cu c
are
se c
alcu
l6az
a. y
, v
aloa
rea'
num
eric
8 a
long
imdi
nii t
rebu
ie
cons
ider
ats
fa$
de m
erid
ianu
l axe
i Ox.
P
entr
u re
prez
enta
rea
refe
lei
cart
ogra
fice
, es
te
reco
man
dabi
l sf
i se
ca
lcul
eze
coor
dona
tele
pla
ne q
y r
edus
e la
sca
ra h
wi
si e
xpri
mat
e In
cen
tirne
tri.
Pen
tru
acea
sta,
%I
ecu@
le
h+i
se in
trod
uce
fact
orul
" 1
00 so
", k ca
re s
o es
te s
cara
gen
eral
s a M
i.
1 i C
onst
antm
Gh
A4VXE-1MI
CA
RT
OG
RA
FiE
MA
TE
MA
TIC
A
UTCB - F
amIt
aten
de
Geo
dezi
e. B
ucur
eszi
1 i in
we
A ~
i z s
unt c
oord
onat
ele
sfer
ice
pola
re, m
fisur
ate
in p
olul
pro
ie+
ei.
i S
ucce
siun
ea c
alcu
lelo
r, ?
n ca
zul
proi
ectii
lor
cili
ndri
ce o
biic
e sa
u ci
lindr
ice
tran
s-
vers
ale
ale
sfer
ei e
ste
urm
5toa
rea:
- s
tabi
lire
a co
ordo
nate
lor g
eop
fice
ale
pol
ului
pro
iecf
iei;
- tr
ansf
onaa
rea
coor
dona
telo
r geo
gafi
ce Tn c
oord
onat
e sf
eric
e po
lare
; - c
aIcu
lul
coor
dona
telo
r pla
ne r
ecta
ngul
are,
qy , a
le n
odur
ilor
rete
lei
de m
erid
iane
~i
para
lele
, pr
ecum
gi
ale
oric
kor
deta
lii c
are
urm
eazZ
a f
i re
prez
enta
te p
e ha
rt&
pri
n co
ordo
- nz
te re
ctan
gula
re;
- cal
culu
l mod
ulil
or d
e de
form
afie
gi a
l def
orm
atiil
or.
Dac
Z e
lips
oidu
l de
rota
tie
um
eazg
a fi
repr
ezen
tai k
tr-o
pro
ieee
cili
ndri
cg o
blic
g sa
u ci
lin
dri
e tr
ansv
ersa
l& a
tunc
i pro
blem
a tr
ebui
e re
dusg
la
repr
ezen
tare
a un
ei
sfer
e, 6
e
i ap
roxi
rnbd
d l
atit
udin
ea ~
i lon
gitu
dine
a de
pe
elip
soid
is
i p5
stre
azZ
ace
lea~
i valo
ri ~
i pe
1 sf
er5
(adm
isib
il p
entr
u h
wlc
la s&
i m
ici
even
tual
med
ii),
fie
recu
rgbd
la
o pr
oiec
fe
~r
dubl
g: r
epre
-zen
tare
a el
ipso
idul
ui p
e o
sfer
q ap
oi re
prez
enta
rea
sfer
ei p
e un p
lan.
E =
In p
roie
ctii
e ci
lindr
ice
drep
te, r
etea
ua c
arto
gdic
g ar
e ce
l m
ai s
impl
u as
pect
pos
ibil:
I
doug
fam
ilii d
e dr
epte
par
alel
e. P
rin
urm
are,
se
mns
trui
ege
cel m
ai u
sor.
i
In v
aria
ntel
e "c
ilin
dm t
ange
nt",
cer
cul
de t
ange
n$
este
rep
feze
ntat
ned
efor
mat
ca
. I
lung
ime.
In
var
iant
ele
"ciin
cim
sem
nt",
sun
t rep
reze
n~at
e ErFZ
def
orm
afii
de lu
ngim
e am
lindo
uk
cerc
uril
e de
sec
fion
are a
eli
psoi
dulu
i sau
a s
fere
i.
i In
toa
te
situ
a$ile
, iz
olin
iile
def
orm
agil
or s
unt
para
lele
cu
im
agin
ile p
arde
lelo
r,
resp
ecti
v cu
ima,
Gle
al
muc
anta
rate
lor.
I
Pro
iect
jile
ci!i
ndric
e se
uti
lize
aza
la T
ntoc
rnire
a hg
rfilo
r geo
gafi
ce,
la h
tocr
nire
- a u
n3r
hZrg
i de
nav
igee
~i i
n al
te s
copu
ri.
I -
I In
cel
e ce
urm
eazq
sun
t pr
ezen
tate
caz
uri
part
icul
are
de p
roie
qii
cilin
dric
e, ?
n w
e
4 fo
mul
ele
de c
alcu
l se
obf
in p
rin
part
icul
ariz
area
fo
rmul
elor
gen
eral
e ex
puse
in
aces
t j
par
Waf
. 4 s j
Pro
iecf
iile
cil
indr
ice
drep
te p
ot fi
ecb
idis
tant
e num
ai p
e m
erid
iane
. D
a&
cilm
drul
est
e ta
ngen
t, %
afa
r5 d
e m
erid
iane
, se
rep
re-
nede
form
at c
a lu
ngim
e gi
ecu
ator
ul.
Dac
5 ci
lind
rul
este
sec
ant,
atm
ci s
e m
ai r
epre
zint
ii ne
defo
rmat
e, c
a lu
ngim
e, g
i ce
le
doug
par
dele
dup
ii w
e ci
lind
rul i
nter
sect
&
sfer
a.
Con
di$a
de
bw.5
pu
d pr
oie+
ilor
ci
lind
rice
dre
pte
echi
dist
ante
est
e ca
mer
idia
hele
sg
se r
epre
zint
e n
edef
om
te c
a lu
hgim
e, a
dick
%
oric
e pu
nct
a1 p
roie
cfie
i sk
fie
sat
isf-
cuG
co
ndif
ia:
m=
l
(48-
1)
Co-
tin
Gh
MLm
TEA
NU
C
AR
TO
GR
AR
E U
TE
MA
TIC
A
UTC
B -F
acuI
tmeo
de
Geo
dm'e
, Bw
em
.
Pent
ru
repr
ezen
t5ri
le
la
sc*
mic
i P
hn
htu
l se
co
nsid
er:
sfer
'i,
iar
pen
m
repr
ezen
tcle
la s
cEiri
nar
i (s
au m
edii)
Ph
lntu
l se
con
side
rg e
lipso
id d
e ro
taG
e.
Caz
ul 1
: P
grnB
ntuI
se
con
sid
erg
sfer
g de
razH+R,,
, .a
:>.
Tin
hd
con
t de
for
mul
ele
gene
rale
(47
-3),
cond
ifii
de
echi
dika
np p
e '&
dim
e s
e po
ate
scri
e:
. .
'7.:
.
.- .. . .
. .
. .....
. ' . :.,
CU
E m
=--
-1
, R
dcp
de u
nde
rezu
ItZ:
dx
=R
dq
x=
Rcp
+C
= S
a,
+C
,
- . 3, ",
. , 'i
. ,..
. .
in c
are
So,
re
prez
intg
lung
imea
arc
ului
de
mer
idia
n m
kura
t pe
sfe
r'i, d
e la
ecu
ator
pb
g la
la
titud
inea
cp.
Con
stan
ts d
e in
tegr
are
C
se d
eter
min
g di
n co
ndit
ia c
a ax
a O
y sB
coi
ncid
g cu
irna
giile
a ec
uato
rulu
i, a
did
pen
tru
cp =
0 &
avem
x =
0. I
n ac
est c
az,
din
(48-
2) r
ezu!
tZ
C=
O,
astf
el c
Z, p
entr
u o
latit
utud
ine
oare
care
ave
m:
x =
s0,rp
Pent
ru c
alcu
lul l
ui y
ne
fo
losk
de
form
ula
gene
ralg
:
y=
ah
,
k c
are,
con
stan
ta a .
se
dete
rmin
i p
un
kd
con
difi
a su
plim
enta
rg c
a un
anu
rnit
para
lel,
de
lati
tudi
ne cp
, , d s
e re
prez
inte
ned
efor
mat
ca-
lung
ime.
T
inan
d co
nt d
e fo
rmul
ele
gene
rale
(47-
3), a
ceas
tg c
ondi
tie
se p
oate
scr
ie:
de u
nde
rezu
ltH c
l a
=r~
=R
co
sq
l (4
84
) Fo
rmul
ele
gene
rale
ale
pro
iecf
iilor
cil
indr
ice
drep
te e
chid
ista
nte p
e m
erid
iane
, pen
tru
repr
ezen
tare
a sf
erei
de
raz.5
R,
sunt
.
. o
a-b
sm
- =
-
2
a+
b
Pro
iect
ia c
ilin
dric
ii d
reap
tg e
chid
ista
ntg
pHtr
atic
5 L
uh
d, fn
(48-
5), c
pl=
0, ec
uato
rul s
e re
prez
intg
ned
efom
at c
a lu
ngim
e, f
apt
ce c
ore-
sp
unde
unu
i ci
lind
ru ta
ngen
t sf
erei
la e
cuat
or.
Rep
reze
ntk
d m
erid
iane
le ~
i pa
rale
lele
ast
fel
incf
it di
fere
nfa
de l
ongi
tudi
ne d
intr
e m
erid
iane
le s
ucce
sive
sg
fie
egal
l cu
dife
rent
a de
latit
udin
e di
ntre
par
alel
e su
cces
ive,
refe
aua
cam
gra
ficl
ia
asp
ectu
l un
ei
refe
le d
e pg
trat
e.
De
acee
a,
acea
stl
proi
ecfi
e se
num
este
"p
roie
cfie
cili
ndri
cl d
reap
tZ p
Wc
5"
.
For
mul
eIe
aces
tei p
roie
cfii
se
obti
n di
n (4
8-5)
, cu
part
icul
ariz
area
cp 1
= 0
Ele
sun
t:
x=S
o,*
=Rq
y=aI =
RI
m=
1
1 w
S'p
~ =-2
1
. . ..
nl-
cosc
p co
scp 1
p=
mn
=n
=->
l (4
8-6)
cp
S
emia
xele
elip
sei
de d
efor
ma$
e: a
= n
> 1
; b
= m =
! ;
. o
a-b
1-
cosc
p cp
. ..
nn
- =
- =
= tg
2 -20
2 a
+b
l+
casi
p
2
Din
in
terp
reta
rea
aces
tor
form
ule;
rez
ultk
urm
&ttt
nare
le p
ropr
ietg
i a:
c pr
oieq
iei
cili
ndri
ce e
chid
ista
nte
pgtr
atic
e:
- mer
idia
nele
~i e
cuat
oru!
nu
se d
efor
mea
zH c
a lu
ngim
e;
- pe
ecua
tor n
u ex
ist5
nic
i def
orm
atii
are
olar
e , n
ici u
n&iu
!are
, '- . -
pe t
oate
cel
elal
te p
aral
ele,
dis
tanf
ele
si a
riil
e au
def
orm
afii
poz
itive
, ca
re c
resc
pe
rnls
urg
ce c
rest
e la
titu
dine
a;
- toa
te d
ef~
mti
ile
depi
nd r
mm
ai
de l
atitu
dine
; de
ace
ea,
izol
inii
le d
efor
mag
ilor
(i
zoco
lele
) sun
t dre
pte
care
se
conk
ndg
cu i
mag
inile
pla
ne a
le p
aral
elel
or;
- pol
ii g
eogr
afic
i nu
se
pot
repr
ezen
ta: p
entr
u la
titud
inea
de
goo,
im
agin
ea in
pla
n a
unui
pun
ct d
e pe
sfe
ra (
polu
l g
eog
dic
) es
te o
dre
aptii
, de
ci o
inf
init
ate
de p
unct
e, n
efiin
d as
tfel
sat
isfa
cutl
co
ndit
ia c
a re
prez
enta
rea
plan
5 sH
fie
biun
ivoc
g; h
acea
sta
proi
ecfi
e, ca
gi in
cel
elal
te p
roie
+lc
ilin
dric
e dr
epte
, pol
ii ge
ogra
fici
sunt
ni$e
Mpu
ncte
sing
ular
e";
- pro
iec$
a es
te a
vant
ajoa
sl p
entr
u re
prez
enta
rea
teri
tori
ilor
din
zon
a ec
uato
rialH
.
Pro
iecf
ia c
ilind
l-ic
g d
reap
t5 e
chid
ista
ntZ
dre
ptun
ghiu
larg
a s
fere
i D
acl ih f
orm
ulel
e (4
8-5)
se
ia
cp,
dife
rit
de z
ero,
aiu
nci
sunt
em i
n ca
zul
unui
ci
lind
ru
seca
nt ,
iar
cele
do
ul
para
lele
de
sect
iona
re,
de l
atit
udin
e +
cp 1
gi
- cp
1 ,
se
- -
repr
ezin
$Z farg
defo
rmaf
ii d
e lu
ngim
e.. -
- -
- _ - - - -
Tra
shd
mer
idia
nele
la
dif
ereq
e de
long
itudm
e eg
ale
cu'c
ele
dgla
tiG
&n<
lC
cEre
3e
-
repr
ezin
ta p
aral
elel
e, r
etea
ua c
arto
grat
icl i
a as
pect
ul u
nei r
eple
de
dre
ptu
ng
hiu
ri e
gale
. Din
ac
est m
oth
, pr
oiec
$a
este
den
umit
l "ci
lind
ricg
ech
idis
tant
.5 d
rep
tun
gh
iula
ri"
Asp
edu
l gen
eral
al r
etel
ei n
orm
ale
intr
a pr
oiec
tie c
ilind
rica
dre
apta
ec
hidi
stan
ta p
atra
tica
. .
Asp
eclu
l gen
eral
a1 r
etel
ei n
orm
ale
intr
-o p
roie
ctie
cili
ndri
ca d
reap
ta
echi
dist
anta
dre
ptun
ghiu
lara
(c
ilind
ru s
ecan
t)
I 1 I h a
cest
caz
sun
t fa
vori
zate
, din
pm
ctu
l de
ved
ere
al d
efor
mat
iilo
r, d
ou
l ben
zi s
itua
te
i de
o p
arte
si d
e al
ta a
cel
or d
ou5
para
lele
de
seeo
nar
e.
;-
--
-
_ __
-
--
--
-
- -
-
- -_
__
__
_ _
-
Toa
te p
aral
elel
e, i
nclu
siv
ecua
tord
, se
repr
ezin
tg c
u lu
gim
ea p
e ca
re o
au , p
e sf
er2,
!
para
lele
le d
e se
ctio
nare
. 1 j
In s
udul
Rom
iinie
i, li
niil
e d
e de
fsrm
ape
nu15
int
erse
ctea
zti
para
lelu
l de
44'
la
di
fere
ntg
de
long
itud
ine
de +
gi -
2' 15
', ia
r in n
ord,
par
alel
ul d
e 48
' la
+ gi
- 2"
25'
fa!l
de
mer
idia
nul
axia
l. .D
eci,
lini
ile
de d
efor
maf
ie n
u14
din
fiec
are fus
de 6
', sunt s
itua
te d
inco
lo d
e li
mit
ele
fisu
lui
de
3'.
Prin
urm
are,
uti
liza
rea
fuse
lor
de 3',
h p
roie
ctia
UT
M, n
u m
ai a
re se
ns.
Spr
e de
oseb
ire
de p
roie
c$a
Gau
ss, in c
are
toat
e de
form
awe
sunt
poi
tive
, si
tuat
e ?n
inte
rval
ul
[0 ;
+71
] c
m / k
m,
in p
rsie
ctia
UT
M a
u l
oc a
tat
defo
rmat
ii p
ozit
ive,
c5t
si
nega
tive
. C
ele
nega
tive
sun
t cup
rins
e h
tre
- 40
cm /
km , pe
mer
idia
nul a
xial
al f
iec
hi f
is,
~i 0
, pe
Sini
ile d
e de
fort
na$e
nulH.
Def
orm
afii
le
pozi
tive
se
pr
oduc
W
e l
inii
le
de
defo
rmat
ie n
u15
~i m
erid
iaue
le m
argi
nale
. In
sudu
l Ro
dn
iei,
ele
pot
lua
val
orf
de o
rdin
ul a
t3
1 c
rn/]
on
. L
zolin
iile
defo
rmat
iilo
r sun
t apr
oxim
ativ
par
alel
e ku
mer
idia
nul a
xial
a1 f
isul
ui.
Def
qrrn
atii
Iini
are
in p
roie
ctii
ie G
auss
si
UT
M [cm
/ h]
:: .. . :
!., .
. . ..
. . E
lip
soid
ul K
raso
vski
194
0:
Mtu
din
ea B
= 44
'. Tab. 4
6.1
- ,P
roie
ctia
P
roie
ctia
Y
y ..
. P
roie
ctia
P
roie
ctia
[k
m j
Gau
ss
UT
M
PI
G
~U
SS
.. U
TM
--
. .
0
O,O
-40,
O
130
+20,
S -1
9,2
10
+ 0
,l
-39,
9 14
0 +
24,1
-1
5,9
20
' '
'+.0
,5
-39,s
150
+27
,7
-12,
4 3 0
4-
1
,l
-3 8
,'s
160
.1-3 1
,5
- 8,
5 40
+
2,O
-3
8,O
17
0 +
35,5
-
4,5
50
+ 3
,1
-36,
9 18
0 +
39,8
-
0,2
60
+ 4,
4 -3
5,6
.I90
+
44,4
+
4,4
70
..
..
-i-
6,O
-34,
O
200
+49,
2 +
9,2
SO
.>
+
7,9
-3
2,l
210
+54
,2
+14
,2
90."
' .+
10
,0
-30,
l 22
0 +
59,5
+
19,5
10
0. ,.
+12
,3
-27,
7 23
0
+65
,0
+25
,0
.:'
1'10
'
+14
,9
-25,
l 24
0 +
70$
+30,
S '
120
+17
,7
-25
3
-
. -
-
--
. .
...,
,
,
52?e c,
=p=
aii~
re
pri
viod
dipsoizii KrasovsE I940
si W
GC
84
Tab
. 4
6.2
Eli
psoi
dd K
raso
vski
194
0 E
Lip
soid
ul W
GS
84
sem
ima
mar
e a =
6
378
245,
000
6 37
8 13
7,00
0 in
turt
kea
geo
rnet
rica
f =
1 /
298,
3 1 /
298,
257
223
563
sem
iaxa
mic
a b
=
6 35
6 86
3,01
9 6
356
752,
314 m
raza
la
poli
c =
6
399
698,
901
6 39
9 59
3,62
6 m
pr
ima-
exce
ntri
cita
te
e2 =
0,
006
693
421
622
97
0,00
6 69
4 37
9 99
0 14
a
do=
nc
ceat
i?ci
tate
el
=
- 9,
806
738
525
414
68
- 0.
006
739
496
742-
28 -
sfer
tul d
e m
erid
ian
=
10 0
02 1
37,5
0 10
001
965
,73
m
,. .
--
ecua
toru
l =
40
075
695
,27
40 0
75 0
16,6
9 m
ar
ia
= 5
10 0
83 0
59,3
4 51
0 06
5 62
1,72
km2
CA
PIT
OL
UL
Y
. ..
PR
OIE
CT
II C
EL
IND
RIC
E
7 .:
47.
PR
OP
RE
TA
TI SI F
OR
MX
LE
GENERALE A
LE
PR
OlE
CT
IXL
OR
C
ILIN
DR
ICE
Pro
iecp
iile
cil
indr
ice
se c
arac
teri
z-
prin
ace
ea ci?
repa
m.
norm
al%
se r
epre
zint
ir
prin
dou
5 fa
mili
i de
drep
te p
arde
le, r
ecip
roc.
prp
endi
cula
re,
ca in
fig.
47-1
. D
rept
ele
unei
fam
ilii,
para
lele
cu
axa
Ox,
pot
rep
reze
nta
fie
imag
inile
mer
idia
nelo
r (c
azul
pro
ie4i
lor
drep
te),
fie
imag
inil
e ve
rtic
zlur
ilor
(ca
zul
proi
ecti
ilor
obl
ice sw
al c
elor
tr
ansv
ersa
le).
D
rept
ele
din
a do
ua f
amil
ie, p
aral
ele
cu a
xa Oy, re
prez
in6
fie
cerc
uril
e pa
rale
le,
fie
alm
ucan
tara
tele
.
Pe
o sf
era
de r
az5
R,
pozi
tia
polu
lui
proi
ecfi
ei, Q
o ,
care
est
e 8i
polu
l co
ordo
nate
lor
sfer
ice
pola
re, se d
efin
eqte
cu
ajut
orul
coo
rdon
atel
or s
ale
geog
rati
ce @
est
e p
un
d 5
carc
axa
unui
cil
indr
u &
liar,
itila
gina
r, F
ntea
p5 s
fera
. F
uncf
ie d
e la
titu
dine
a po
lulu
i Q
o , p
roie
cfiii
e ci
lind
rice
pot
fi
: dr
epte
, ob
lice
sa
u tr
ansv
ersa
le.
%un
c$ie
de
natu
ra e
lem
ente
lor g
eom
etri
ce c
are
nu s
e de
form
eazk
pro
i&ile
ci
lind
rice
po
t ti
: con
f&m
e, e
chiv
alen
te sa
u ec
hidi
stan
te p
e m
erid
iane
(re
spec
tiv,
pe
vert
ichu
ri).
.
. E
xist
% p
roie
ctii
cili
ndri
ce
care
nu
su
nt
nici
co
nfor
me,
ni
ci
echi
vale
nte,
nic
i ec
hidi
stan
te. S
unt a
rbitr
are.
In
cel
e ce
urm
eaz&
sunt
prez
enta
te p
ropr
ietz
ti fi
gi.f
orm
de ge
nera
le a
le u
nor subclase
ale
proi
ecti
ilor
cili
ndri
ce.
A -
Pro
iecg
ile
cili
ndri
ce d
rep
te s
e ca
ract
eriz
eaza
pri
n ur
m2i
toar
ele:
'
Rep
aua
norm
alg
coin
cide
cu
raea
ua c
arto
graf
id g
i se
repr
ezin
g as
tfel
(fi
g47-
1) :
m
erid
iane
le -
prin
dre
pte,
la d
ista
nfe p
ropo
rtio
nale
cu
dife
reng
de
long
itud
ine;
pa
rdel
ele
- pr
in d
rept
e pa
rale
le,
per
pen
did
are
pe i
mag
inil
e m
erid
iane
lor;
di
stan
g di
ntre
imag
inile
par
alel
elor
suc
cesi
ve a
le re
plei
var
iaG
de
la o
pro
i&e
cili
ndri
cz la
al
ta,
dup5
cum r
epre
zent
area
est
e fi
e co
nfor
m&
fie
echi
vale
nti,
fie
*el.
Sist
emul
de
axe
pent
ru c
oord
onat
ele
recta
nD&
e pl
ane
se a
lege
ad
el:
- ca
ax2 Ox, b p
rinc
ipiy
poa
te f
i ale
as5
imag
inea
ori
ch
i mer
idia
n; a
lege
rea
treb
uie
$6 co
nt d
e in
tind
erea
~i d
e po
zi$a
geo
g-af
ic%
a te
rito
ridu
i;
- ca axZ Oy ,
se ia
, de
obi
cei,
ecua
toru
l, ca
re e
ste
gi o
oZ
de s
imet
rie;
dac
5 te
rito
rid
este
cam
- dep
arte
de
-tor:
atun
ci- p
i-@ i
nter
med
iul u
nei -
cons
tant
e-(@
ansl
at;e
z _s
e ~
o-gt
g ap
ropi
a ax
a Oy d
e zo
na re
prez
enta
a.
Din
cel
e ex
puse
, re
zult.
5 c5,
in p
roie
cfii
le c
ilin
dric
e dr
epte
, co
ordo
nata
x
de
p~
de
nu
mai
de
lath
dine
, ia
r co
ordo
nata
y
este
dire
ct p
rqor
tion
alz cu lo
ngit
udin
ea
In t
oate
pro
iect
iile
cil
indi
ce d
rept
e, d
irec
fiile
pri
ncip
ale
coin
cid
cu m
erid
ianu
l $i
pa
rale
lul c
are
trec
pri
u pu
nct,
astf
el c
%, se
mia
xele
eli
psel
or d
e de
form
atie
sunt
:
r
1
Asp
ectu
l gen
eral
a! r
etel
ei n
orm
ale
intr
-o p
roie
ct~e
cilln
dric
a d
reap
ta
.,.
...
(ech
ival
enta
)
sein
iaxa
mar
e a =
max
(a n)
se
mia
xa m
ica
b =
min
(m, n
) .
,
.. .
~&
b~
le
le
ge
nera
le a
le p
roi.e
c$ilo
r ci
lind
rice
dre
pte
peat
ru r
epie
zent
arez
e!i
psoi
dulu
i de
ro
ta$,
e su
nt:
'
. . , . x=f.@)
..
..
. . . .
y =
a L , u
nde
a =
con
st,
iar L s
e rn
Zso
ar5
de la
axa
Ox ;
'.?'.!..
. ' .
._ -
. -
dsb,
- dx
m=---
ds,
Mci
B
ds:, - d
y udL
a
a
n=
---
=-=
-=-
ds,
ds,
rdL
r
Nco
sB
p=
m n
sin
i =
m n
sin9
o0 =
m n
- . a
a-b
m
-=-
2 a
+b
in c
are.
,.
. o e
ste
defo
rm$i
a m
axim
5 a
unui
ung
hi q
i'v&
l k p
unct
d co
nsid
erat
. F
uncf
ia
f ~
i con
stan
ts a
unneazk
a f
i'det
e-at
e pe
b,u
aun
or
cond
i$i
sGli:
m
enig
e, y
a
se v
a ex
emp
lica
k &
toar
ele
para
gfaf
e. .
,
Da&
sup
.~af
@i Ph
&ntu
lui b
e c.
gn
sid
~6
sic.+
:de
razz
R , &c
i fo
rmde
ie
. , ie
n?ra
lo
ale'
-pro
ieel
or C
ilin
dri~
e dre
pte
sunt
ur&
toa?
ele:
'
x=f(cp)
y =
a h
,
unde
a =
con
st, i
ar h
se
m?i
soar
% d
e la
axa
Ox ;
... . - ...
(47-
3)
dy
cia
u
a
n=
-=,-
=-=
- ., ..:
.
rdh
. rd
h.. ,
r
Rco
scp
. ..
. ... "
. a. a
-b
sm-=-
2 a
+b
Din
for
mul
ele
gene
rale
de
mai
sus
, se
cons
tat.2
d , a&
Tn
cam
1 el
ipso
idul
ui c
Zt .
ti h
cw
l sf
erei
, de
form
a$iil
e di
n pr
oiec
fiil
e cilindrice d
rept
e de
pind
&m
ai
de la
titu
dine
gi,
prin
ur
mar
e, b
olin
iile
def
onna
fiil
or v
or f
i dre
pte
para
lele
, car
e se
con
fbnd
Z cu
knag
inil
e pl
ane
ale
para
lele
lor.
B -
Pro
iect
iile
cil
indr
ice
obli
ce g
i ce
le c
ilin
dri
ce t
raos
vers
aie
au
urm
Z~o
arcl
e ca
ract
eris
tici g
ener
ale:
F
orm
a P
bW
ui
se rx
nsid
m-5
. de
obi
&
sfer
l de
razi
i R.
Rez
eaua
no
rmal
2 es
te
alch
itii
di
n im
agin
ile
plan
e al
e ve
tica
luri
lor
si
ale
alm
ucan
tara
telo
r si s
e re
pre.
zint
2 as
tfel
: - v
erti
calu
rile
(A=
cons
t) -
prin
dre
pte
para
lele
, la
dis
tme
prop
oqio
nale
cu
dife
renF
le
le az
imut
(a
sed
gto
r m
erid
iane
lor
dim p
roie
G-l
e ci
lindr
ice
drep
te);
- a
lmuc
anta
ra~
els -
tot
prin
dre
pte
para
lele
, da
r pe
rpen
dim
lare
pe
imag
inile
ver
tica-
lu
rilo
r (as
emZ
n%to
r para
lele
lor din
proi
e+il
e ci
lind
rice
dre
pte)
. M
erid
iane
le $
i par
alel
ele,
in
proi
ecfi
ile c
ilin
dric
e ob
lice
8i i
n ce
le c
ilin
dric
e tr
ans-
ve
rsal
s, s
e re
prez
intg
p-&
cu
rbe
sirn
etri
ce f
a@ d
e o
drea
ptZ
, ca
re e
ste
ima,+
ea
mer
idia
nul
polu
lui p
roie
cfie
i-
Pol
ul Qo
este
gi p
pol
al c
oord
onat
elor
sfer
ice
pola
re.
Sis
tern
ul d
e ax
e de
coo
rdon
ate
rect
angu
lare
pla
ne, xOy, s
e al
ege
astf
el k
c& a
xa Ox
s5 c
oinc
i& c
u dr
eapt
. pri
n ca
re s
e re
prez
intZ
mer
idia
nul p
olul
ui p
roie
ctie
i, ia
r or
igin
ea a
xelo
r se
ia h a
Sa f
el, i
ncst
val
orile
lui x
s3 fi
e po
zifi
ve p
e te
rito
riul
de
repr
ezen
tat.
Dir
eqii
le p
rinc
ipai
e co
inci
d cu d
ire@
le v
erti
caiu
iui s
i al
muc
anta
ratu
lui c
are
trec
pri
n pu
nct
gi se
not
eazZ
:
,ti1 -
pe
vert
icai
uri ,
p2 -
pe
ahnu
cant
arat
e .
For
mul
ele
gene
rale
al
e pr
oiec
tiil
or
cili
ndri
ce
obli
ce
~i
ale
celo
r ci
lind
rice
tr
sans
vers
ale s
e ob
fin
din
form
ulel
e ge
nera
le a
le p
roie
cfiil
or c
ilin
dric
e dre
pte
ale
sfer
ei
(47-
3),
&h
d
inlo
cuir
ile:
i C
u ac
east
l fo
rmul
& p
oate
fi
calc
ulat
g lu
ngim
ea
s a
unei
lin
ii g
eode
zice
de
pe
elip
soid
, at
unci
ch
d su
nt G
unos
cute
coo
rdon
atel
e pl
ane
Gau
ss,
defi
niti
ve, a
le e
xtre
rnit5
tilor
_
i
ei. E
ste
prob
lem
a in
vers
a fa
@ d
e re
duce
rea
la p
lanu
l de
proi
e+e.
I k
Une
ori,
rela
tia
dint
re s
si S
este
pre
zent
atZ
sub
form
a un
ui r
apor
t:
, D
ista
nta
S , re
dusH
la p
lanu
l pro
ie@
ei G
auss
, se
ca
lmle
e cu f
orm
ula :
i
in c
are
expr
esia
de
la n
umit
or s
e ca
lcul
eazH
cu o
pt s
au n
ouH
zec
imal
e.
In
toat
e fo
rmul
ele
de m
ai s
us,
raza
med
ie d
e c
urb
~~
5
, R
, se
ia
pent
ru l
atit
udm
ea
med
ie a
lat
urii
Red
ucer
ea d
ista
nfel
or la
pla
nul
de p
roie
c$e
, cu
form
ula
(43-
10)
sau cu o
alt5
form
ulH
ca
re d
eriv
5 di
n ac
east
a,
este
ne
ce
sa
de
exem
plu,
atu
nci
~2
nd
se p
relu
crea
zZ,
in p
lanu
l pr
oieq
iei
Gau
ss, m
5sur
Hto
ri de
trila
tera
Jie.
C
oord
onat
ele
plan
e G
auss
, ile
cesa
re re
duce
rii d
ista
ntel
or d
e pe
eli
psoi
d la
pla
nul d
e pr
oiec
fie,
est
e su
fici
ent a
fi c
unos
cute
cu
o ap
roxi
mat
ie d
e p
in3
la 5
met
ri g
i se
pot
dete
rmin
a pr
in a
prox
imaf
ii s
ucce
sive
, fol
osin
d 5 p
rim
a ap
roxi
mat
ie d
stan
fele
de
pe e
lipso
id, n
ered
use
la p
lan.
Pen
tm o
dis
tanp
de
acee
qi
lung
ime,
dif
eren
fa d
intr
e di
stan
fa re
dusk
~i
cea
nere
dusH
es
te c
u at
% r
nai
mat
e, c
u &it
sunt
rna
i m
ari
y, gi
Ay,
ad
id ?
n zo
nele
mer
idia
nelo
r
mar
gina
le, p
entr
u la
turi
le o
rien
tate
per
pend
icul
ar p
e ax
a O
x .
La
lati
tudi
nile
Ro
de
i,
pent
ru o
Iatu
rH d
e 30
km : in
zon
ele
mer
idm
elor
mar
gina
le
ale
fUse
lor
de 6
', co
rec$
a po
ate
dep@
i 15
met
ri.
La
me
redu
se l
a pl
an s
unt
rnai
mar
i d
eca
cele
de
pe e
lips
oid,
deo
arec
e in
pro
iecf
ia
Gau
ss to
ate
defo
rmaf
ile
sunt
pon
tive
. P
e m
erid
ianu
l ax
ial,
dist
anp
redu
sg la
pla
n es
te e
gdH
cu
cea
de p
e eI
ipso
id.
44.
TR
AN
SC
AL
CU
L4R
.U C
OO
JXD
ON
AT
EL
OR
P
LA
NE
GA
USS
DIN
TR
-UN
FJS M F
Lm
Ace
as6
pro
blem
5 se
pu
ne
eecv
enf
mai
al
es
ped
m p
unct
e si
tuat
e in
zo
nele
m
erid
iane
lor
mar
gina
le a
le fu
selo
r , o
n k
cazu
l rep
reze
ntid
or c
arto
grdi
ce l
a sc
ara
1: 5
000
sa
u la
sca
ri m
ai mari.
Dat
ele
prob
lern
ei s
unt:
coor
dona
tele
pun
ctul
ui Tn
fusu
l I
~i lo
ilgitu
dini
le m
erid
i-
mel
or a
xial
e al
e m
lor
douH
fus
e ve
cine
, ktr
e m
e se
efe
ctue
azH
tran
scal
cula
rea.
R
ezul
tate
le tr
ansc
klcu
l5ri
i: co
ordo
nate
le a
celu
iagi
pun
ct d
e pe
elip
soid
, dk
in fu
sul a
.
Pro
cede
e de
tran
scal
cula
re a
coo
rdon
atel
or pl
ane
Gau
ss d
intr
-un
51s
in a
ltul
: ,
..
i_
.'
.
..
.-
. .
1)
Tra
nsca
leul
area
pri
n in
term
ediu
l coo
rdon
atel
or g
eogr
afic
e -
Ace
st p
roce
deu
pres
upun
e do
& e
tape
de
calc
ul:
- pr
ima
etap
2 se
ca
lcul
eazg
coo
rdon
atel
e ge
ogra
fice
ale
pu
nctu
lui,
hc
$e
de
coor
dona
tele
rect
anaa
re
plan
e di
n pr
imul
5Is
; - a
dou
a et
apH
: se
cal
cule
az5
coor
dona
tele
G
auss
k fu
sul
al d
oile
a, f
uncg
e de
co
ordo
nate
le g
eogr
afic
e de
pe
elip
soid
, fo
losi
nd l
ongi
tudi
nea
mer
idia
nulu
i ax
ial
al a
cest
ui
fus
Alg
oritm
ii de
cal
cul,
nece
sari
am
belo
r et
ape,
sun
t ex
pugi
in
ca3i
tolu
l 4 a
l cu
rsul
ui,
dedi
cat p
ioie
ctie
i Gau
ss.
'.i ..
Pro
cede
ul s
e po
ate
apli
ca &
it pe
ntru
fus
ele
stan
dard
, fie
de
trei
fie
de
gase
gra
de, c
Zt
gi in
caz
ul h
selo
r lo
cale
.
2)
Tra
nsca
lcul
area
en
ajut
orul
uno
r fo
rmul
e eu
eoe
fici
enti
con
stan
ti
In r
evis
ta "
Bul
etin
top
ogra
fic"
m.1
/
1958
, V
asile
Fgl
ie g
i C
onst
anti
n S
tru
p a
u pu
blic
at a
cest
pro
cede
u.
Aut
orii
au
dat d
ouH
per
mhi
de
polin
oam
e cu
coe
fici
enti
con
stan
$:
Pri
ma
pere
che
de p
olin
oam
e se
ref
&
la s
itua
liil
e in c
are
dife
renp
de
long
itud
ine
dint
re m
erid
iane
le d
ale
ale
celo
r do
uafu
se e
ste
de p
lus
sau
min
us 3'
, adi
c: po
ate
rezo
lva
situ
atii!
e in
car
e tr
ansc
dcul
area
se
face
fie
7nt
.e C
I-OUH
fus
e ve
cine
de
c2te
3' , fi
e k
tre
un fU
s de
3"
~i un
ul d
e 6'
.
A d
oua
pere
che
de p
olin
oam
e se
ref
er5
la s
itua
fiil
e f
i ca
re d
ifer
enfa
de
long
itud
ine
dint
re m
erid
iane
le a
xial
e al
e ce
lor
doug
fus
e es
te d
e,p
lus
sau
min
us
6" E
a pe
rmit
e tr
ansc
alcu
lare
a nu
ma.
int
re f
usel
e de
6' ve
cine
.
Coe
fici
enti
i au
fost
cdc
ulat
i pe
ntru
eli
soid
ul K
raso
vski
194
0 vi
sunt
val
abili
numai
g pe
ntru
teri
tori
ile
situ
ate i
ntre
lati
tudi
nile
de
42
gi 50
' .
3)
Tra
nsca
lcul
area
din
tr-u
n fu
s in
altu
l, cu
aju
toru
i tab
elel
or s
peci
ale
Ast
fel d
e ta
bele
au
fost
int
ocm
ite
$i d
e c5
Ue
Ant
al T
arcz
y-H
orno
ch,
in c
olab
orar
e cu
V
ladi
mir
K. H
rist
ov [
33].
~c
ei
e
tabe
le sunt
vala
bile
num
ai p
entr
u el
ipso
idul
Kra
sovs
ki 1
940
gi p
ot f
i fol
osit
e nu
mai
la
trm
scal
culk
i iri
car
e diferenfa
de l
ongi
tudi
ne d
intr
e m
erid
iane
le a
xial
e al
e ce
lor
dou5
kse
este
fie
de 3
', fi
e de
6' .
' Din
p&tu
l de
ved
kg
',?l
' pre
c%iii
re
zulh
teld
i'; f
inal
e, =
el&
trei
pr
oced
ee -
t co
rnpa
rabi
le, p
ut&
du-s
e co
nta
pi c
enti
met
ru s&
cb
iar p
e o
prec
izie
ind
bun
k '
. .
Con
stan
tin G
I= M
UM
BW
U
CA
RT
OG
RA
FIE
MA
TE
MA
TIC
A
UTC
B - F
acul
tat&
,de,
Geo
dq:e
, Buc
uras
ri
. ..i
_ ...
....
__
. .:
.
., .
. L
45.
CA
DR
UL
SI
NO
MJ3
NC
LA
TU
R.A
FO
ILO
W D
E H
AX
TA
TO
PO
GR
AF
ICA
IN P
RO
lEC
l3.A
GA
US
S
In R
o&a,
h
wle
topo
graf
ice
exec
utat
e du
pZ a
nul 1951, In
pro
iecf
ia G
auss
, au
fost
T
ntoc
mite
la u
rrng
toar
ele
s&.s
tand
ardi
zate
: 1:
1 000 000,
1: 500 000,
1: 200 000,
1:100000, 1:.50000, 1:25000; 1:10000, 1:5,000, 1:2000.
. .
..
.
'. ;'.
Toa
tk a
ceA
e h%$
topo
graf
ice
au c
adru
de
tip
&eo
graf
ic,
adic
2: p
rin
mer
idia
ne $
i pq
+el
e, d
use
cu o
den
sita
te c
orel
ati5
cu
scar
a, s
-a i
mp
wt
elip
soid
ulin
trap
eze,
' apo
i fie
care
tr
ap?
de p
e el
ipso
id,
repr
ezen
tat k p
lanu
l pro
iecf
iei G
auss
, dev
ine
cadr
u pe
ntru
o f
oaie
de
Gar
tk
Nom
encl
atur
a un
ei f
oii
de h
a&
este
for
mat
ii di
n no
men
clat
ura
trap
ezul
ui d
e pe
el
iiso
id,
inso
m d
e de
num
irea
cel
ei m
ai i
mpo
rtan
te lo
calit
g$ r
epre
zent
ata
pe fo
es de
har
t%,
sau,
'n I
ipsa
une
i lo
calit
Zfi
, in
soti
t5 d
e de
num
irea
unu
i al
t de
tali
u to
pogr
afic
,im
port
ant,
kpre
zent
at p
e-ha
rta r
=sp
ecti
vk
. .
Con
stru
ctia
unu
i as
tfel
de
cadr
u pr
esup
une u
rm5t
orel
e cp
er*:
..
..
,-
. . -
dete
rmin
area
coo
rdon
atel
or g
eogr
a£ic
e ale
coi
pril
or tr
apez
ului
; .
. -
calc
ulul
wor
dona
telo
r pl
ane
Gau
ss
ale
colp
rilo
r tr
aped
G,
bq
ie
de
cele
g
eog
dic
e;
- cal
culu
l lun
gim
ii la
turi
lor
$i d
iago
nale
lor t
rape
zulu
i, pe
eL
pso?
d;
- re
duce
rea
latu
rilo
r de
pe
elip
soid
1s p
lanu
l pro
iecf
iei G
auss
; -
redu
cere
a la
turi
lor
din
plan
la
scar
a hZ
rfii
8i e
xpri
inar
ea lo
r 21
ced
rnet
ri (
co d
ou5
=&
&de
);
> ." <
' .
- .
..
.
. L
."ra
port
area
col
piil
or c
adru
lui,
prin
coo
rdon
atel
e re
ctan
guhr
s pl
ane;
.
..
.
..
..
2 ' v
krif
icar
ea c
adru
lui,
com
par
hd
latu
riie
miis
urat
e di
rect
, cu
cele
ded
use p
rin
calc
ul ,
expn
mat
e in
cen
tim
etri
.
.: i; ''::
>.
1:' 'In c
ondi
$le'
Tn
care
se
lucr
-5
pe u
n su
port
ned
efor
rnab
il pe
ntru
de's
en, i
ar r
apor
tare
a '.:::..
colp
ilo
r' s
e fa
ce l
a co
ordo
nato
gr&
re
ctan
gu1a
r;to
lera
ntel
e la
rap
ofia
rea
cadr
ului
sun
t de
0,2 m
m p
e fi
ecar
e la
tur5
$i d
e 0,3
mm
pe
diag
onal
e.
Cad
rul
rezu
ltat
est
e un p
atru
late
r oa
reca
re,
ale
ch
i di
mes
iuni
se
mod
ific
g de
la
o fo
aie
de h
art5
la a
lta,
chia
r d
ad
foil
e de
har
t5 su
nt la
ace
eqi s
car%
.
''
' A
cdst
tip
de
cadr
u po
ate
fi in
t3hi
t ~i l
a n
um
erk
e p
lanu
ri c
adas
tral
e la
sca
ra 1 :5 000,
.kie
&ta
te f
ie in
prbi
ecfi
a G
auss
, fie
?n
proi
ecfi
a st
ereo
graf
ica 1970.
.
In c
apit
olul
I& pa
ragr
aful
14, e
ste
expu
s am
5nun
tit m
odul
de
mp&
-$re
a el
ipso
idul
ui
in'k
apez
~, fim
cfie
de
dar
a &r+
, pr
ecum
~i m
odul
de
stab
ilir
e a
nom
encl
a+
aces
tora
. ,
..
.
. .
..
..
.
.
- ..
....
- P
entn
rrep
reze
ntW
e ca
rtog
rafi
ce %I
proi
ecti
a ~
au
ss-l
a
sc&
.m
ai -r
ni&
de&
t 1.:
2 OOO,..
se o
bi~
nu
iese
a se
fol
osi un
cadr
u de
tip
geo
met
ric,
ad
ici
pgtr
at s
au d
rept
ungh
i de
'd
imen
iiun
i ' h
e,
ale
ch
i la
turi
su
nt
para
lele
, re
spec
tiv
' p
erp
end
i~la
re , ,, .
..
la
. axe
le d
e .
. ..
. .
..
..
.
...
. .
.:
. ,
. .
coor
dona
te:
&uT
anrin
G
h.
CA
RT
OG
RA
FIE
MA
TE
MA
TI-G
A
U?CB
- F
acuI
rare
ad~G
eW'e
zie,
Bu-
emi
..
..
.
..
..
.
I- .
.
.- ....
..
I .
. ",,.;
..
46.
PR
OIE
CT
I.4
UT
M (
Uni
vers
als
Tra
nsve
rsal
a M
erca
tor)
.
..
..
..
.
..
..
..
.
I .
..
.
. .
. .
. .
..
.
..
..
.
Pro
iecf
ia U
TM
-est
e o
vari
ant5
a.p
roie
qiei
Gau
ss-K
nrge
r, u
tiliz
atZ
de
Stat
ele,
LJr
iite a
le
Am
eric
ii (A
my
Map
Ser
vice
- U
SA),
$i d
e A
te w
,. care
o a
plic
g pe
kse
de 8, q
~t+
d
zone
le c
ircu
mpo
lare
@2n
5 la
lati
tudi
nile
de SO').
:: :
,..
,. :::
Pin
s ?n a
ql 1.990, Tn R
od
nia
acea
sta
proi
ec1i
e:a
fost
pu
~n
ap
Lca
t5.
, . : ,
.... . 2
, . , .-\ ,. .. , ...
. I
n ul
tim
ii a
ni, k
tens
ific
area
. div
erse
lor
cola
bora
ri.s
o&o-
occi
dent
~e,
+p
une:
cg,.,
ip
anum
ite
activ
itgti,
s5
se u
tili
zeze
ace
st s
iste
m d
e pr
oie@
e si
eli
psoi
dul W
GS
8.4, p
entr
u ee;
sern
iaxa
mar
e a
= 6378 137,000m
..
..
.
,
. .I
..
.
tu~
tire
a geom
etri
ca
f =
1 / 298,257 223 563
. .
: _
. .
. P
rinc
ipal
e ca
ract
eris
tici
ale
aces
tui s
iste
m d
e pr
oiec
tie
sunt
urm
%to
arel
e:
Rep
reze
ntar
ea s
e fa
ce p
e fu
se, c
a in
caz
ul p
roie
qiei
Gau
ss.
ke
le d
e cc
ordm
at::
rect
w!a
re
p!m
e U
Th4
s*s
.t s+
&iIi
te
la f
el %
a.:i
n pr
oiec
fia
. -.
.
Gau
ss;-d
ar c
oord
onat
ele p
oart
z de
num
iri a
le p
unct
elor
car
dina
le:
. .
.:.
....
....
.
- coo
rdon
ata
Nor
d, n
ota
G "
N"
(Noi
rhin
g), c
u se
nsul
poz
itiv
de
la e
cuat
or s
pre
nor&
es
te e
chiv
ale1
it5 cu
x di
n p
roie
a G
auss
;
. -.
.-
.
. .
- co
ord
on
at. E
st,
no-tZ
"EM (E
astin
g),
cu s
ensu
l poz
itiv
spr
e es
t, co
resp
unde
lui
y d&
pro
ieqi
a G
auss
util
izat
g la
noi
in
prB
. O
rigi
nea
sist
emul
ui d
e ax
e de
coo
rdon
ate
adev
hte
est
e la
int
erse
@ia
mer
idia
nulu
i ax
id cu
ecu
ato
d,
dar
sunt
uti
liza
te ~
i " c
oo
rdo
nat
de
fak
e " , E'
= E
t 500 0
00 m
. R
epre
zent
uea
UT
M s
atls
hce
urm
Hto
arel
e co
ndit
ii :
1 - e
ste
conf
om8 ;
2 - m
erid
ianu
l axi
al a
l fus
ului
se
repr
ezin
ta p
rint
r-un
seg
men
t de
dre
aptg
, est
e ax2
de s
imet
rie
~i axa
ON
;
3 - p
e m
erid
ianu
l axi
al, s
cara
repr
ezen
tZri
i are
val
oare
a &
= 0,99960.
Sat
isfa
cere
a ac
esto
r co
ndi@
face
ca
imag
inea
eli
psoi
dufu
i 'in
pro
iect
ia U
TlM
s5
fie
asem
enea
cu
cea
din
proi
ecti
a G
auss
, d
ar m
ai rn
icP.
R
elat
ia c
are
perm
ite
trec
erea
de
la c
oord
onat
ele
plan
e G
auss
(qy
) la
coo
rdon
atel
e pl
ane
UT
M (N,E) $i in
vers
est
e :
. .
t (d
istd
in p
roie
ea
UT
M /
dis
tdin
pro
ieq
ia G
auss
) =
J&
= 0
,999
6 =
co
nst
Pri
n un
nare
: N
=x
&
E=
y&
S
cara
(m
odul
ul d
e de
form
age
Iini
arg)
din p
roie
cfia
UT
M s
e ca
lcul
eazg
cu r
elaf
ia
. .
mu
m=
KO
-m,
. .,
.....
Red
ucer
ea s
&ri
i din
pro
iecf
ia U
TM
pro
vo
ad m
odif
icar
ea v
alo
ri..
~i a re
part
itie
i ...
.
,,
. ,.
..
....
. dc
fo-a
$i:o
i. d
ig p
:a_p
,_co
-=pa
~~e%
i ciip
i~ie
Ga
.%.a%=.
- -
- -
-. -
:-. .:
_.
-
_ .
,
'In fi
ecar
e fu
s d
e 6'
a1 p
roie
cfie
i UT
M e&
st?i do
uP li
nii d
e de
form
a$ie
nul
& .s
irne
tric
e .:
'.
fa@
de
mer
idia
nul axial $
i apr
oxim
ativ
par
alel
e cu
ace
sta,
la d
im+
de
circ
a 180 h,
...
. - ::.
... .:.
. .
.
I C
at
em
Gh M
LW
TE
WU
C
AR
TO
GR
AF
IE M
AT
EM
AT
XC
A
UTCB - F
acul
tate
n de
Geo
dezi
e, B
ucur
esti
I 1
42.
VE
RIF
TC
AR
EA
CO
RE
Cm
R D
E R
E3U
CE
RE
A D
lR.E
CT
II[E
OR
LA
t
LA
PL
AN
UL
PR
OlE
CT
IEI
GA
USS
, P
E T
RIU
NG
-
In p
arag
rafU
l 29
di
n cu
rs,
este
dem
onst
rirtZ
i rel
&a
de v
erif
icar
e a
co
r~
or
de
re
duce
re a
dir
ecfi
ilor l
a pl
mui
ori
ke
i pro
iec$
i co
nfor
me.
In
ori
ce tr
iung
hi d
m r
egea
ua d
e tr
iang
ulat
ie g
eode
zicZ
, su
ma
core
cfiil
or d
e re
duce
re la
pl
an a
le c
elor
tre
i ung
hiur
i tr
ebui
e sH
fie
ega
lH cu
exce
sul s
feri
c a1
tri
ungi
ului
resp
ectiv
, lu
at
cu s
emnu
l inv
ers
(adi
cz n
egat
iv).
C
or
4a
de
redu
cere
la
plan
a u
nui
ungh
i se
ob+
e ca
dif
eren
? h
tre
care
c$iil
e de
re
duce
re l
a pl
an a
le c
elor
dou
H d
irec
fii c
are
dete
rmin
i5 u
nghi
ul.
Exc
esul
sfe
ric
se c
onsi
derg
ca
Gin
d va
loar
ea "
just
&",
pe
care
se
com
pens
eazZ
, d
ad
es
te cazul,
cele
max
imum
3 u
nitz
ti d
e ul
tim
ul o
rdin
zec
imal
, cu c
are
sum
a nu
se
Fnch
ide
pe
exce
sul s
feri
c.
Exe
mpl
u nu
mer
ic p
entr
u ca
lcul
ul 8i
ver
ific
area
cor
e@lo
r de
redu
cere
a d
ire+
ilor
la
p
bl
proi
ecfi
ei G
auss
, in
cazu
l unu
i tri
ungh
i geo
dezi
c di
n re
feau
a de
ord
inul
lI (
fig.
42-
1).
Sumt d
ate
coor
dona
tele
pro
vito
rii
ale
celo
r tre
i viW
%ri,
cu
apro
xirn
atia
de
1 m
etru
:
Punc
tul
x -
Y
Frin
ttr-u
n ca
lcul
apr
oxim
ativ
se
ob$n
e la
titu
dine
a m
edie
a z
onei
: 4
4' 57
' S
e ca
lcul
eazH
term
enul
car
e co
nfin
e fk
toru
I 6x
cesu
lLii
sfer
ic :
f, 1 S
= 845 .
Se
calc
ulea
zH c
ele
Qas
e cor
e@
ale
dir
mil
or
si ce
le t
rei
core
@
ale
ungh
iuri
lor
(qre
siil
e d
in c
ele
trei
par
ante
ze):
8.43 = +
7",65
Sqc
= +
10':5
8 -
Pozk
ia tr
iung
hiul
ui
fata
de
rncr
idia
nul a
xial
Vel
-ifi
care
a cc
rect
iilo
r:
Exc
esul
sfe
ric
E =
f, a
b s
in C
= +
1",
05
In c
oncl
uzie
, cor
ec@
e au
fos
t bin
e ca
lcul
ate.
43.
RE
DU
CE
RE
A D
IST
AN
TE
LO
R D
E P
E E
rJP
SOID
LA
PL
AN
UL
P
RO
IEC
TIE
I G
AU
SS S
AU
IN
VE
RS
"Red
ucer
ea"
unei
dis
tant
e s
de p
e el
ipso
id l
a pl
anul
pro
iec$
ei
Gau
ss t
rebu
ie
cons
ider
atg cu s
ensu
l de
"re
prez
enta
re"
a ac
este
ia %
I pl
anul
de
proi
ecfi
e, p
roce
s pr
in w
e
dist
anp
de p
e el
ipso
id s
e de
form
exz5
, neu
nifo
rm, p
e kt
reag
a ei
lung
irne
. Pr
oble
ma
care
se
pune
, es
te s5
se g
iisea
scZ
I o r
elat
ie m
atem
ati&
htr
e lu
ngim
ea
s a
lini
ei g
eode
zice
de
pe e
lipso
id $
i lm
gim
ea S
, re
dusi
i la
plan
ul p
roie
cfie
i Gau
ss, ~
Gsu
raG
pe
coar
da c
are
une$
e pu
ncte
le 1
$2
din
pla
n (f
ig. 4
3-1)
. Im
agin
es
a'li
niei
ge
od
@~
de p
e el
ipso
id e
ste,
&a
1-2 , d
,e lk
gim
e 0 .
k'
lite
rahi
ra de
spec
ialit
ate
se'a
xatH
cc
pent
ru o
dist
ajita
de
30 km , di
fere
* di
ntre
curb2
gi m
ar&
est
e m
ai m
icH d
e G,
14
mm
~i d
e ac
eea,
3.n
mod
pra
ctic
, se
apro
*a
:
S=
o,
ia
r per
rtru
.mod
ulu1
de
def
om
qie
hia
rii :
dS
in c
are
raza
med
ie d
e cu
rb*
. . R
, se
ia p
entm
un
p~
ct
. .
. .
situ
at la
mijl
ooul
let
urii
~i s
e co
nsid
era
P=
x ,
cons
tant
&.
Not
ind:
de
und
e re
zult
l :
p =
dis
tanl
a el
emen
tulu
i dS
fa@
de
pun
ctul
1;
. :.
.. yl=
ordo
qata
pun
ctul
ui 1;
%, : .:
dS
. . .. . .
,
, .
. , .
. .
. , . .
A
=-
(43
-2)
0 =
ori
enta
rea
corz
ii
1-2
, .
. . .
..
. .
...;.
..
P
. -
I av
em:
I +x
+ i
hloc
uind
?n (4
34
) , s
e o
bti
e:
;.I ~
(X
ZY
~)
P&
(y, + p
sin
8)'
s=
ID-
VP
(&-6)
P*
2R2
Efe
ctu
hd
pfi
wat
ul,
:
y12 +
~y
1p
~e
+P
2~
2e
s
=J
O-
)d
~
2R2
l(xr
,yr)
1
ri i
nte
grh
d te
rmen
cu
td
en
,
Fig
.43
-1
Ois
tanb
' S
red
usa
la p
lanu
l pr
oiac
tlei
Gau
ss
Pe
m lu
ngir
nea
s de
p'e
elip
suid
se
poza
te s
crie
: i
AvZ
nd ?
n ve
dere
ck:
Tem
enu
l in
y4 , p
entr
u y
= 1
00 km , a
re o
val
oare
de
apro
xim
ativ
0,
3 . 1
0'. N
egli
jbdu
-1 ~
i de&
olfi
d ex
pres
ia d
in p
aran
t&
dup5
bin
omul
lui
New
ton,
lu
hd
num
ai
prim
ii do
i ter
men
i, re
zult
z:
Inlo
cuin
d p
= S
$i s
co
wd
S Tn
fact
or, s
e ob
fine
:
Pen
tru
a el
imin
a or
ient
area
0
qi a
intr
oduc
e co
ordc
-lat
ele
med
ii a
le la
turi
i, co
nsid
e -
rZm
:
$i a
tunc
i, (4
3-7
se
po
de
scri
e su
b fo
nna:
. .
. .
. . .
Dup
H r
educ
eri:
Co~
s.tw
~ri
,z
Gh.
C
AR
TO
G-
MA
TE
MA
TIC
A
UTCB -F
acul
tate
o de
Geo
deri
e. B
~u
m~
esti
I
- i
Pen
tru
a ob
$e
o di
recf
ie r
edus
i la
pla
nul
de p
roie
c$ie
G
auss
, tr
ebui
e ca
dir
ec$&
! m
issr
ate
s2 i
se a
dune
, alg
ebri
c, c
orec
$ia
calc
ulat
l cu
fom
iiii
de d
e ln~i ns.
3.
Red
ucer
ea d
irec
tiilo
r la
pla
nul
proi
ecti
ei G
auss
, fn
tria
ngul
agia
geo
dez
icl
de
ordi
nul I
!
In c
azd
tri
angu
latie
i ge
odez
ice
de o
rdin
ul I
, pe
ntnl
red
ucer
ea d
iieq
iilo
r la
pla
nul
pro
ie4
ei G
auss
, po
t fi f
olos
ite
.m5
toar
ele
form
ule :
I P"
P"
Y ,'
P"
2 a;,
=++x.
-xJ(
~.
+v
)7
(x
2
-x
,)
+~
Y.
(yZ
-~,h
.~t.
2
Rm
6
Rm
R
m
b c
are-
y,
= y
med
iu, l
uat l
a m
ijloc
ul la
turi
i res
pect
ive ;
B, =
lat
itud
inea
med
ie, l
uatf
i Is m
fjte
cul l
atur
ii ;
R, =
raz
a m
edie
de
cwbu
rfi a
eli
psoi
dulu
i la
lati
tudi
iea
B, ;
(41-
16)
.-- ?'
= e
'2 co
s2 B
;
t =
tg B
.
Indi
cele
"xu
" ata
gat t
erm
enil
or
q
gi I ,
care
dep
ind
de la
titud
ine,
ara
ti c
l ace
pi
term
eni
treb
uie
calc
ula$
pen
tru
lati
tudi
nea
rned
ie B,
a la
turi
i res
pect
ive.
In
lite
ratu
ra g
eode
zic5
, se
arat
.5 cZ
, pe
ntru
ktu
ri d
e p
2Z
la 7
0 km
gi y
de p
bl
la 3
50
Ian,
fcr
mul
ele
(41-
15)
asig
arg
o ap
roxi
mat
ie d
e 0"
,001
in c
alcu
lul c
orec
gei
6 .
4.
Apr
oxim
atia
adm
isP
in
coo
rdon
atel
e pr
oviz
orii
folo
site
pen
tru
redu
cere
a di
reef
iilor
la p
lanu
l pro
iect
iei G
auss
Deoaiece i
ed~
c-
&ie
c$iIo
r la
pla
id d
e p
roi4
e tr
ebie
s5
prec
eadL
dca
lele
de
corn
lens
are,
car
e se k
ihx
z5
prin
coo
rdon
atel
e de
ijniti
ve,
ne g
him
in
situ
aria
cfi
pent
ru
punc
teie
noi
nu
disp
unem
de
coor
dona
te q
y n
eces
are
calc
ulul
ui c
ore@
or.
Pen
tru
a ie
gi d
in a
cest
cer
c vi
cios
, se r
ecur
ge l
a un c
alcu
l ite
rativ
al
coor
dona
telo
r pl
zne.
?n pr
ima
apro
xim
age,
sun
t fol
osit
e di
rect
iile
mbu
rate
, ne
redu
se la
pla
n, $
i se
dete
rmi&
co
ord
onat
e pr
oviz
orii,
cu
care
se
pot calcula
cor-e
de
red
ucer
e. D
upg
aplic
area
co
re+
or
se re
ia c
alcu
ld c
oord
onat
elor
, fol
osin
d, d
e ac
east
5 da
t& d
irec
fii r
edus
e la
pla
nul
de
proi
e+e.
" Din
cons
ider
ente
de
ordi
n te
hnic
, da
r $i ec
onom
ic,
este
nec
esar
1 s
e re
aliz
eze
o co
rew
e k
tre
prec
izia
nec
- co
rec$
ilor
@ p
eciz
ia n
eces
ari
wor
dona
telO
r' pr
oviz
orij
cu
yare
urm
eazl
a s
e ca
lcul
a ac
este
cor
ecfi
i. In
ace
st s
cop,
da
d s
e di
fere
ntk5
, Tn r
apor
t cu
coor
dona
tele
pla
ne,
form
ula
de c
alcu
l a c
orec
fiei
6 p
entr
u or
dinu
l Ill d
e t
ri
me
, $ d
ac2
se h
locu
iegt
e si
mbo
lcl "d"
(dif
eren
jiak
) cu
sim
bolu
l "4
" (cu
sen
sul
de "
apro
xim
atie
u ),
se
obtin
e:
AS"
&
,Y
= fn
bm +(
~2
-XI
)I .L
ukd,
pen
tru
tria
ngul
apa
do o
rdin
ul I
: AS'=
0'
,001
; y,
= 2
50 h ;
(x,-;;)
= 5
0 h ,
rem
ltZ
apr
oldm
afia
Ax,
y =
1 m
erru
, '11
cun
oagt
erea
coo
rdon
atel
or p
rovi
zori
i uti
liza
te p
entr
u ca
lcuI
ul c
ore@
or
6 .
Pen
tru
tria
ngul
atia
de
ordi
nui II, l
ub
d a6"=
oO",
O1,
se o
b*e,
cu f
orm
ula
de m
ai S
US,
A
x,y
= 1
0 m
.
Dec
i, pe
ntni
red
ccer
ea d
ire
do
r la
pla
nul
de p
roie
ctie
Gan
ss, ?
n ca
zd v
izel
or re
lztit
iv
lung
, pe
ste
med
ia
ordi
nulu
i re
spec
tiv
de t
rian
gula
tie,
gi si
tuat
e ?n z
onel
e m
erid
iane
lor
ma
rw
e al
e fu
selo
r, e
ste
nece
sar
s-5 s
e-cu
noas
c5 co
ordo
nate
le p
rovi
zori
i cu
o ap
roxi
mat
ie d
e 0,
l rn
la
ordi
nul
I ,
resp
ectiv
de
1 m
la
ord
inul
11.
Ati
nger
ea a
prox
imat
iei
de o
rdin
ul
deci
met
rilo
r ne
cesi
t2 un
proc
es d
e ca
lcul
ite
rativ
, ca
re v
a fi
opr
it a
tunc
i c
hd
do
ul
itera
* su
cces
ive
duc
la a
cele
a$ r
ezul
tate
.
In c
am1
trbg
ulaf
iilo
r ge
odez
ice
de o
rdin
ele
111
gi IV ,
coo
rdon
atel
e pr
oviz
orii
ne
cesa
re r
educ
erii
dh
tiio
r la
pla
nul
proi
ecfi
ei G
auss
es
te n
eces
ar a
fi
cuno
scut
e cu
o
apro
xim
atie
de
ordi
nul a
10
m , re
spec
tiv
c2te
va z
eci d
e m
etri
.
5.
Situ
atii
part
icul
are,
cen
d la
tura
de
tria
ngul
atie
inte
rsec
teaz
l m
erid
ianu
l axial
d fu
sulu
i
Apl
icbd
co
rect
for
mul
els
de c
alcu
l pr
ezen
tate
, re
zult
5 c0
rew
.e d
e re
duce
re
cu
sem
nul c
u ca
re
urm
eazf
i a fi b
sx
~a
te
cu d
irec
tiile
mhu
rate
, pe
n%
a ob
$e
dir-e
redu
se
la p
lanu
l de
proi
ecji
e G
auss
.
Deo
arec
e in
vers
area
unu
i se
mu
rno&
ic&
in
m
od e
rona
t, di
re*
resp
ecti
vl c
u o
valo
are
egal
fi c
u du
blul
cor
etie
i, e
ste
impo
rtan
t sg
se
v&ce
cu
ate
nfie
toat
e c
ore
me
de
redu
cere
. Une
le i
nver
siuc
i de
sem
n po
t fi
dep
ista
te u
gor,
exam
iniin
d , c
u pr
ivir
ea,
o sc
hie
la
scar
5 a
tria
ngul
afie
i, $
&id
cor
n d l
atur
ile
triu
nghi
urilo
r ge
odez
ice
de p
e el
ipos
oid
se
repr
ezin
tg h
pro
iecf
ia G
auss
pri
o cu
rbe cu w
ncav
itat
ea s
pre
mer
idia
nul a
xial
al
hsul
ui,
iar
sens
ul p
oziti
v de
crg
tere
din
mh
5to
de
azim
utal
e es
te s
ensu
l ace
lor d
e ce
asom
ic.
Jn ac
est m
od, p
zntr
u si
tuha
din
fi
g. 4
1-4 , p
utem
sta
bili,
dir
ect
de p
e fig
ur51
, d :
I.. .
63.4
= +
...,
&,I
= - ...
, 632 =
- ...,
= +
.. e
tc.
I ._.L__... i .. A - , *___-. . - .* a,. . G...,.. .* I-."--.-.; \ 3 i ,<
, ~ f i. . . .: . - : .. . i
astf
el c
&
sau :
Pe
de a
l& p
arte
, $n2
nd c
ont
de e
xpre
siile
raze
lor p
rinc
ipal
e de
cur
burg
ale
elip
soid
ului
, av
ern:
3
N
-- =
a
(1 -
eZ si
n B);
M
I a(
1-
e2)
I
(1 - e2
sin B);
iar
dupg
sip
lplif
icar
e,
Co
mp
ark
d (4
0-3)
cu
(43-
4),
reie
se d :
0 f
orm
u15
rnai
pre
cisz
pen
tru
cdcu
ld lu
i m
, pe
car
e o
dh
f2rZ
dem
onsh
afie
, con
fine
gi
term
end in y
4 , a
dicZ
: ..2
..4
Pen
tru
y =
250
000
m , te
rme
d Tn
y4 p
oate
innu
en@
doa
r a
wpt
ea z
ecim
alH
cu
o un
itat
e, a
stfe
l kc2
t pe
ntm
nev
oile
cur
ente
ale
pra
cti&
se
poa
te n
eglij
a.
Raz
a de
cw
burL
R
, va
riab
ii cu
latit
udin
ea,
este
com
od s
L se
cal
cule
ze cu
ajut
orul
ta
bele
lor
elip
soid
ului
, pen
tru
o la
titu
dine
apr
oxim
ativ
z , B1, p
e ca
re o
c3e
tem
kG.m
cu
ajut
orul
co
ordo
nate
i x , ca
in c
azul
tram
form
Zri
i coo
rdon
atel
or p
lane
Gauss ?n co
ordo
nate
geo
gd
ce.
In a
num
ite
si- la
titu
dine
a ne
cesa
rfi
pent
ru calculul
lui
R
se p
oate
det
erm
ina
gafi
c, cu
ajut
arul
une
i h*.
Def
ame
rela
tive
ale
dist
ante
lor,
din
pk
d pr
oie@
ei G
aw
, po
t fi
dete
rmin
ate
f;:;oc$ie d
e co
ordo
nate
!e p
lme,
fab
scl r
e!a$a
:
din
care
se
cons
tat5
ck
pe
ntm
y
= 0
, D
= 0
, ad
icZ
pe
mer
idia
nd a
xial
def
omaf
iile
di
stan
telo
r su
nt n
ule,
iar
in
cele
lalt
e pu
ncte
din
pla
rul
de p
roie
cfie
sun
t po
ziti
ve ~
i c
r~
c,
apr~
xim
afi~
, di
rect
pro
po
tio
nd
cu
pkt&
ttiT
dist
krig
ekfa
$5 d
e m
erid
ianu
laxi
al al
fusd
ui.
..>
.+,,
Mod
ulul
de
def~
rma$
e are
ola6
se
calc
ulea
zZ fo
losi
nd fo
rmul
a cu
nosc
utk
. .
. .
. .
. .
: .
p =
m2
'j .
. . .
.
. ..
.-
. ..
.:I.
ia d
efom
x@e
ariil
or s
unt p
ozit
ive
qi cr
esc
pe m
zsur
a de
pfirt
Zrii
fatf
i de
mer
idia
nul a
xial
.
Def
erm
a9 r
elat
ive
ale
dist
anfe
lor,
k~ proi
- G
auss
,. fu
ncti
e d
e co
ordo
nata
y ,
la l
atit
udin
ea m
edie
a R
om
kie
i (
Bo =
46'
) T
ab.
40-1
Y[
~I
D
[c
m/k
m]
Obs
enr*
-
0
0,O
B
e m
erid
ianu
l axi
al al
fusu
lui
2
50
+
3,l
lir
100
+ 12
,3
5 1.16 km
+ P6,6 cm
/ km
B
e m
erid
. mar
gina
le a
le fa
sdc:
de3
" .
.
+ 27
,6
i 1
50
f 2
00
+ 49
,2
= 23
2 km
+ 66,4 c
m / k
m
Be
mer
id. m
argi
nale
ale
fusu
lui
de
6'
In
tabe
ld 4
0-1
se vede. ci
, in z
onel
e m
erid
iane
lor
mar
gina
le d
e u
nui
fi~
s de 6'
, de
fom
a$a
este
de
patm
on
mai
mar
e de
cfit
cea
de p
e m
erid
iane
le m
ar
we
ale
unui
fbs
de
3'.
In s
cop
d li
mit&
+ de
form
a@lo
r pr
odus
e de
pro
ieqi
a G
auss
, ?TI
-&a
+i ?n
alte
tki,
repr
eze&
ide
la s
cara
1:
5 00
0 $
la s
&i
mai
mar
i (1
: 2
000
, 1 : 1
000
etc
) s
e fac, d
e ob
icei
, pe
fks
e ce
3'.
Pen
tru
1ucr
k-i s
pckd
e, cu
apro
bM
e de
nga
are,
se
poat
e ut
iliz
a un b
sloc
al,
ales
k a.y
a fe
l, m
erid
ianu
l ax
ial
a1 a
cest
uia
sL t
reac
fi p
rin zona d
e re
prez
enht
. In
ace
st
caz,
pe
o ba
n& d
e cf
iteva
zec
i de
kilo
met
ri,
cenf
m~f
i pe
mer
idia
nul r
espe
ctiv
, dd
orm
a$il
e.pr
adus
e de
p
roie
e ~I
.x&
prac
tic, n
ule.
. -
. , .
. . ,.
Con
stm
ttin
Gh.
W
CA
RT
OG
RA
KE
MA
TE
MA
TlC
A
UrC
B -F
ocul
tate
a L
-
.
Geo
dem
e. B
ucur
enl
1 1 at
unci
@'
RE
Du.
CE
RE
A ~
~~
Tl
&o
R
LA
PI&
TJL
DE
PR
OIE
~Z
GA
.US
$ (
Red
ucer
ea l
a co
ard
5 )
Lil
e. g
eode
zice
de
pe e
lipso
id, !n
part
icul
ar l
atur
ile
triu
nghi
urilo
r ge
odez
ice
de p
e el
ipso
id,
sere
prez
int5
In p
roid
c$a
Gau
ss p
rin
curb
e, in g
ener
al cu c
onca
vita
tea s
pre
mer
idia
nul
ruda
l. !n
cele
dou
H p
unct
e ex
trem
e al
e lln
iei
geod
ezic
e, c
wba
$i c
oard
a ei
fac
c2t
e un u
n un
ghi
mic
, 6i2
$i 621 , (f
ig. 41 -
I),
repr
ezen
thd
core
cfii
le d
e re
duce
re a
dir
e+il
or r
espe
ctiv
e, la
pl
anul
de
prd
Me
Gau
ss.
Da
G m
Zsu
diio
rile
azi
mut
ale
ef
at
e &I
qe
au
a d
e tr
ian
gula
fie
gm
da
ic5
ur
me
a fi
pre
lucr
ate
31 p
lanu
l de
pro
iecf
ie G
auss
, at
unci
dir
ee
e a
zim
utal
e *r
ate
treb
uie
si
fie
redu
se la
pla
nul a
cest
ui s
iste
m d
e pr
okct
ie,
apli
chd
fiec
irei
di
re
&e
o co
recf
ie, c
alcu
latg
cu fo
-Iele
s
pd
ce
proi
e+ei
. .
. F
om
llel
e de
cal
cul p
entr
u re
duce
rsa
ctire
c@or
la
pla
d d
e pr
oiec
ge G
auss
dif
er5
de
la un
ordi
nde
tria
ngui
atie
geo
dezi
cH la
altu
l, fu
ncfi
e de
pre
cizi
2 n
ec
ed
In c
azul
res
pect
iv.
1. R
edu
cere
a d
irec
gilo
r la
pla
nu
l pr
oiec
siei
Gau
ss, i
in Q
kngn
lafi
lIe
de c
rdin
ele
HI q
i IV F
ie , (f
ig.
41.1
) ,
1' (x
, , y
l )
gi
2' (
xz , y2
) i-e
plan
e al
e pu
ncte
lor
1 .$
2
de p
e el
ipso
id, i
ar c
urba
l'a
2'
- im
agin
ea p
M a lin
iei g
eode
zice
resp
ecti
ve.
Ung
hiur
ile 612
~i
sunt
cor
e@ile
de
redu
cere
a d
irec
$il~
r la
plan
d de
pro
iecf
ie
Gau
ss P
unct
ele
C' $
,D: s
up
pici
oare
le p
srpe
ndic
ular
elor
dus
e di
il pu
ncte
le 1
$i 2
' pe
axa
Or,
. - F
igur
a 1
a 2 C
D
este
imag
inea
pl&
a
patr
ulat
erul
ui 1 2
C D
de
pe
elip
soid
, car
e ar
e su
ma
ungh
iudo
r eg
ali cu
360'
+ E , i
n ca
re E
est
e ex
cesu
l sfe
nc.
Pro
iec*
ii
hd
co
nf
o~
tr
ebui
e ca s
uma
ungh
iuri
lor fi,d
din
plan
s5
fie
egal?
i cu
sum
s mgk
iuri
lor
figur
ii re
spec
tive
de
pe
elip
soid
, adi
cg:
ti ti
nh
d c
ont
de f
aptu
l ci
i o
ne
ntx
e ,$
i gra
dafi
ile
de p
e lim
bul
teod
olit
elor
au
crev
teri
le
pozi
tive
Zn se
nsul
ace
lor '
de c
easo
rnic
, u~
~d
fig
ura
$i s
emne
le d
in u
lMe
...,
rela
tii,
dedu
cem
fm
9ula
def
itiv
2.:
. ..
. .
- ..
Ac
e6
fo
dH
asi3
M 0
.~1 5
dd
ul
core
c$ei
ce
ea c
e es
te s
dcie
I?t,
de
regu
l& 3-1
trian
gula
$ia
geod
ezic
k de
ord
inel
e III $
i N.
r
+x
l,
. . Lo
Lo
a)
pe
elip
soid
b)
in
pla
nui p
roie
ctie
i G
auss
L
Fig
.41
- 1
Cor
edia
de
redu
cere
a d
irect
iilor
la p
lanu
l de
proi
eciie
Gau
ss
A
. .
. -
.
S &
" =
pW7 R
2. R
edu
cere
a di
rec$
lor
la p
lanu
l pro
iect
iei
Gau
ss, 21 tr
iang
ulag
ia
. .
geod
ezic
Z d
e ?XI
care
, in
cazul d
e fa@,
S es
te
aria
pat
rula
tedu
i 1 2
C D
de
pe
elip
soid
, id
r R
est
e ra
za
med
ie d
e cu
rbur
Z a
eli
psoi
dulu
j in
po
we
a pa
trul
ater
ului
con
side
rat.
In c
azul
ace
sta
este
nec
esar
sii
se a
sigu
re s
utim
ea d
e se
cund
g Tn c
alcu
ld c
orec
$lor
de
. .
. .
. -
.Deo
a%ce
ex
ysu
l sfe
ric.
este
rela
tiv
mic
, pyt
ru c
alc
ul
sZu
se p
oate
do
cui aria. S
, de
F
olos
im f
orm
ula
dedu
sii a
nter
ior,
pen
tru
ordi
nul'l
It,
clen
tru
core
cp'a
6 , o
luZ
m 5
h
pe e
lips
oid,
cu
aria
S
a tr
apez
ului
pla
n 1'
2' C
' D ,
dacZ
se
ia a
prox
knat
iv :
. ..
va
loar
e ab
solu
t5 5
i o ex
p*
h, ra
dian
i: .:
,
. .
-1612/4621/ ,
&(XZ
-"I)
Y,
.-.
..
(4
1-1'
) 2~'
i C
onsc
antin
Gh h
lZJ?
EE
AN
U
CA
RT
OG
RA
FIE
MA
TZ
MA
TIC
A
UTCB - F
acul
tate
a de
Geo
dme7
ee
Bw
resh
C
onst
antin
Gh M
UN
TE
4'
CA
RT
OG
RA
SE M
AT
EM
AT
ICA
UTCB -F
amlr
nte
a de
Geo
dmM
e,
I ds
' -.
m2=
(-1'
=
dy2(
1 +ct
g2
8)
r
. .
i,.
f (3
9-2)
' 1
1 ds
N
2 CO
S'
B d
l (l +
ctg
*~
)
. .
, . .. ., .
X'
, rel
afia
de
mai
sus
dev
ine:
S
tiind
d, Tn
gene
ral,
(1 +
ctg'
x) =
-
sin2
x
,
I!=.- .
. ..
,
sin
A
'
I m2=
dy
2
X- N
2cos
2Bd
l si
n2
8
, !
Fig
.39
- 2
: sa
u, e
xt6g
2nd
rgdz
cina
pZ
traiZ
vi g
rup
kd
con
vena
bil:
L"..",
. ,
A=9
O0
dy
1 si
nA
....
..
7; :;
i ; :
:.., .:
~1
m =
-x-x-
(3 9-
3)
'e. .
dl
NW
SB
si
ne
--.
. .
.
Vom
tran
sfor
ma
conv
enab
iI uI
timul
term
en.
. .
P
.' LL..,
!
r
7
i - .;G
L
"- .
. {=const
J
. .
C'(x
+dx;
y +dy)
L&d
dm e
xpre
sia
lui -
{ nu
mai
term
end
prin
cipa
l, a&
&:
y=
1 s
inB
,
expr
esia
(39
-5)
ia fo
rma:
.
..
- j
. .
... .
'
-. .:
($gs
' )
P'(X,Y)
folo
sim
exp
rcsi
a lu
i y
din
(36-
17):
Ecuatorul
0
>
+Y
a) p
e el
ipso
id
b) i
n p
lan
...
1 I-
Fig.
39 - 1
J
y =
lNco
sB+
I'-N
cos3
B(1
-t2
+
q3
)+..
. 6
Deo
arec
e p
roie
ea e
ste
conf
orm
i, m
du
l de
def
orm
atie
lini
arg
are-
acee
ag va
loar
e pe
os
3 ~(1
-t2
+q
2)+
...
oric
are
dire
c$ie
car
e po
rnev
te d
in P'
~i at
unci
se
poat
e lu
a A
= 90'.
Prin
unn
are:
sin
A =
sin
90'
= 1
s2
B(l
-t2
-fq
2)+
...]
s
in@
= s
in(9
0°-
y)=
c
osy
, (3
9-6
1 ad
ic5 :
1 dy
.
1 m
= -x
- (3
9-41
F5
cZnd
^do
cuir
ile ~
((3 9-
4) , du
p5 si
mpl
ific
area
cu N
cos
B r
ed
ti:
x- dl
N
cosB
co
sy
1 1
rn=
p+
i2-~
os
~B
(l-t
~+
q~
)#l+
l~-s
in~
~)
2 .
'
2
..
. (3
9-7)
;
Un@
d y
[rad
iaui
] fi
ind
mic
, ul
timul
term
en s
e se
tran
sfor
mZ
i, pr
in d
ezvo
ltZri
iri s
erie
, . ..,
-&e
se c
onsi
der5
doz
r ~rk
nii
tma
i, am
: .
.
1 ne
glija
r&te
rme&
or
care
1 co
n*
pe
I la
put
eri m
ai
--
- 1
y2
r2
=
(l--
+
...)-
I =
I+-+
...
: (3
9-5)
..
.. '
2
2 . ..
. .
l-f
. ..
<;
- .
2 t2
+q
2)+
12
sin2
B -I
-...
. (3
9-8)
;;::
..
.
125
124
, .
Com
tari
tin
.Gh
. . CARTOGRAFIE MATE~4TICA.. UTCB - F
acu
lmea
de
..
G~
~~
'e
,
Buc
ures
ri
'I. S
tiin
d cH
:
1' si
n ' B
t2
= tg
ZB
= -
cos2
B
~i s
mfb
du
-1 di
n pa
rant
ezFi
,
iar
dupH
red
ucer
ea u
ltim
ilor
term
eni,
1 m
= 1
+12
x~
~~
z
B(1
+ q
2)
I - 0 f
od
m
ai p
rec
ie c
onfi
ne ~
i term
eaul
k l
4 :
I in
car
e q
2 =
efZ
COS'
B .
1 D =
m
-l=
[-c
os2
~(
1
+e
f2 co
s2 B
)]12
(39-
10)
2 D
m
ma
st5
fo
di
, s
e po
t tr
age
nrm
Itoa
rde
conc
luzi
i, pr
ivin
d de
form
a.de
d
ista
.elo
r din p
lanu
l pro
iec$
ei G
auss
: -
pe m
erid
iand
axial,
unde
1-0
, di
stan
tele
nu
smr
defo
rmte
; - Tn o
nce
pw
~ct
nesi
tuat
pe
mer
idia
nul a
xial
se
prod
uc d
efor
mag
i poz
itive
, :u at
fit m
ai
mar
i, cu c
iit d
epZ
rtar
ea a
cest
uia
fa$
de m
erid
ianu
l axi
al e
ste
mai
mar
e;
- pe
mer
idia
nele
mar
gina
le a
le fi
rsel
or, a
u lo
c ce
le m
ai m
ari d
efor
maf
ii;
- pe
ori
care
mer
idia
n, d
efor
maG
a m
axim
5 ar
e lo
c la
inte
rsec
fia a
cest
uia
cu e
cuat
orui
.
Dac
Zi
se
dore
$te
expr
imar
ea d
ef0r
rnaG
e.i
rela
tive
a d
ista
nfel
or in
cm 1
km , a
tunc
i se
fo
lose
yte
form
ula:
D[
cm
lhj=
(m
-i)1
05
(3
9-10
')
Mo
dd
ul
de d
efor
maf
ie a
ari
ilor
, p ,
se c
alcu
lead
i cu
rela
$a:
- (3
9-1 1
) p
=m
Z,
din
care
rez
ultg
4 s
ingu
ra li
nie
pe c
are
nu s
e pr
oduc
def
orm
agi a
reol
are
este
mer
idia
nul axial;
in to
ate
cele
lalt
e pu
ncte
din
pk
ml d
e pr
oiec
fie
Gau
ss au
loc
defo
rrna
g po
zitiv
e, c
ele
mai
mar
i &
d Tn z
onel
e m
erid
iane
lor m
argi
nale
.
i .
.
. -
-
..
.
tabe
lul a
l&at
.
Con
stan
tin G
II. M
UM
iOJQ
NLl
CAkToGRAFIE M
AT
EM
AT
Id14
- U
TCB
- F
acul
tote
a de
Geo
d~.ti
e,.~
Buc
urar
zi
Tab
elul
39.
1 D
efor
mat
ii re
lati
ve a
le d
ista
ntel
or d
in
proi
ecti
ei G
auss
, D
cm
I k
m],
func
tie
de c
oord
onat
ele g
eogr
afic
e
-. : .,
I=E
-I4
B
= 4
8' B
= 4
6'
B =
44O
Obs
.
o0 00
' 0,O
0,
o 0,
o P
e m
erid
ianu
l axi
al
0' 30
' +
1,7
+ 1
,s
+
1,9
lo 00
' +
6,s
+ 7,
4 +
7,9
+ 15,4
+ 16
,7
+ 1
7,8
Fns
de 3',
pe m
erid
iane
le m
argi
nale
pe m
erid
iane
le m
argi
naie
- -
40.
CA
LC
'tJL
UL
MO
DU
EU
LU
I D
E D
EF
OR
MA
TP
E SI
AL
DE
FO
RM
AT
IIL
OR
D
IN P
RO
IEC
TL
A
GA
USS
, F
UN
CT
lE D
E C
OO
RD
ON
AT
EE
E P
LA
NE
Uti
lizb
urm
Eito
arel
e re
l*
dedu
se a
nter
ior:
Dm
ulti
rna
rela
tie se s
coat
e:
Y 1 =-
Nw
sB
..;.
Sub
stit
uind
5-1 (
40-I
), d
upZ
sir
nplif
rcar
e se
ow
e:
. .
n r;
F 00 t 0 I-'
(D 9: a i g a~s'z+ jep8
2 ; g g.g~ 2. Egw ;
0,q 9 igz " P,, g 'd" 2 s. q p. P
d 25: ",,(D ; 0 q2.P 0 P. 0 0. 1.k" (D
prrs 4 8 4ge 8gg i?
5.e L EW - w .go"
3.2. v 2 u u 0 0 -I g. % @ z EL 5 ea . . 3
a 0,
9 9: "
(D i3 2
J O
bser
vati
e : v
aloa
rea
num
erid
a w
ordo
nate
i y
treb
uie
tons
ider
at5
de la
mer
idia
nul .
.
axia
l a1
fusu
lui.
Onc
e tr
ansl
afie
a a
xei O
x , c
are
rnod
ific
g va
loar
ea a
deva
ratg
a lu
i y ,
duce
la
vdor
i er
onat
e pe
ntru
coo
rdon
atel
e ge
ogra
fice
B,L.
calc
ulat
e !
Con
stan
tin G
h. A
dU
AZ
UW
C
AR
TO
G-
MA
TE
MA
TIC
A
.,
U7C
B - F
acul
tare
a de
Geo
da.
e, . B
upr
esti
.
. .',
".
... ..
. .
.. .
.. ..
-
.. ..%
,
unde
1 e
ste
dife
renp
de
long
itudm
e a
punc
tulu
i, fa
5'de
'mer
idia
nul a
gal
.
. .. C
oodo
n?ta
y p
oatc
avc
a va
lori
car
e de
pQes
c 20
0 OW
rnet
ri, &
el c5
, uns
le p
uter
i -
ale''
1ui
y ar t
rebu
i sB
se e
xpri
me
prin
num
ere
foar
te m
ari,
care
ar
depQ
i ctir
eva
zeci
di c
ifri, k
timp
ce unii
coef
icie
nti , nu
mer
e m
ici,
ar t
rebu
i si5
se s
crie
cu
foar
te m
ulte
zec
imal
e. P
en
tr~
a , :
se
dgtu
ra a
cest
inco
nven
ient
, tz
bele
le a
juta
toar
e pe
ntru
ace
st g
en d
e ca
icde
, co
ordo
nata
y
':.
h c
are
coef
icie
n$i
cons
tan$
, pe
ntru
eiip
soid
ul K
raso
vslc
i 19
40
latit
udin
i cup
rins
e ?n
ee 4
2' ~i
50'
, au
valo
rile
:
. se
mul
pzgt
e cu
IF',
iar
valo
rite
coe
fici
enfl
or su
nt d
eja
inm
dtit
e cu
lo5,
resp
ectiv
cu
(10'
)2
.
,... ,
(IO
~,)
~.,
~
abel
ele
Tar
czy-
Hor
noch
-
V.K
.Hri
stov
(ta
b.V
m),
[33
], as
igur
L o
apr
oxim
atie
de
, .
.. ca
lcul
de
ordi
nuI
Ow
, 000
1 pe
ntru
coo
rdon
atel
e g
eo
mc
e B;L .
.
..
.
.
..
.
. .. . :
.. .. .:.
For
mul
e cu
co
efic
ient
i co
nsta
nti,
pent
ru
tran
sfor
mar
ea c
oord
onat
elor
pla
ne
:,j
Gau
ss, in
coor
dona
te g
eogr
afic
e pe
elip
soid
ul K
raso
vski
194
0 .
Con
stan
tin
Str
up ~i
Vas
ile F
Ze,
%I ar
tiw
lul
inti
tula
t "
Tra
nsfo
rmar
ea c
oord
onat
elor
.;:
plan
e G
auss
EJ
coor
dona
te g
eo@
ce,
prin
for
mul
e cu
coef
icie
n$
cons
tan$
",
pubi
icat
'h
'.;.
cevi
sta
Bul
etin
Top
ogra
iic
nr.
4119
57,
edit
&
de M
inis
teru
l F
orte
lor
ha
te
ale
RP
.R,
::,.:
. ..
pre
zine a
spec
te te
oret
ice
gi pr
acti
ce p
rivi
nd a
cest
mod
de
rezo
lvar
e.
. . , . .. . ..
Dat
ele
prob
lern
ei s
unt
wor
dona
tele
pla
ne G
auss
(qy
) gi
long
itud
iea
mer
idia
milu
i axi
al
,?,,
. -
(LO
) a1
fisu
lui.
.
Fam
e de
cal
cul:
..
h=x-a.
AM
= +
d,
004
357
2 B
os =
+
0, 0
00 1
45 6
3 A
14 =
+
0,00
0244
2 B
ig=
+
0,0
00
01
47
8
A24 =
+
0,0
00
009
0 Bx :+
,
0,0
00
000
90
A3
4 =
f
0,0
00
~0
00
3
1:
'
.
..
.
.
'. ..
. .
..
~0
= 5
096
175
,747
= c
onst
.
. Y
= y
.~
~5
.,.
. ..
. .
, ..
. . , ..
..
.
(37-
17)
...
. .
B =
46O
+A
B
L =
L+
l
<: .
. 11
6
Calculut de :
Dora : I
- CALCNLUI, COORDONATELOR CEOGMICE m, L), FUNCTIE DE COORDONATELE PLANE GAUSS (x.r)
Elipso~du? KRASOVSKI 1940 I
Calculul lul B
Cnlculnl de : - Dnta: - -
CALCULI& COORUONATELOR~D(x COORDONATELE GEOGMFICE (B. L) Eli1)soidd KRASOVSKI 1940
Con
stan
tin G
h. M
KlM
TA
NU
C
AR
TO
GR
AIr
lE M4TEMATICA .
VTCB - F
acultafeu.de G
eCdc
de, Bunup*
care
s-a
not
at :
-q2
= e
'2~
s2
B
gi t =
tgB
(3
7-10
)
Mem
brul
al d
oile
a din
(37-
1) s
edez
vo
ltk
k s
erie
Tay
lor,
in ju
rul p
unct
ului
.
Dl
,
@I
):
. ,.
.
1 T
rece
rea
de
la la
titu
dine
a iz
orn
etri
d q
la
lati
tudi
nea
geog
rafi
cz 3
3 L
atit
udin
eaiz
omet
ricH
q e
ste
func
$e n
umai
de
lati
tudi
nea
geog
ra£i
c?i B
. In
ver
sbd
, se
po
ate
scri
e d la
titu
dine
a B
est
e b
$e
de
q :
. .
.. .
(37-
3)
sa
d=
% i=
J-l,
p
=-i
, i4'
= +
I ,
i5=
+i,
eg
alh
d p
arte
? rL
&
din
nmem
brul
st
kg
- cu
part
ea r
eal5
ditl
plem
brul
drk
pt,
proc
edhd
' as
emk
ito
r cu
pe
e
ima
ea
re,
. .
~i @
bd
coq
t de
(3'1
-2),
se d
educ
e, din
(37'
-3):
sau
31 c
are : D
ezvo
ltth
d ?n se
rie
Tay
lor f
imcf
ia (3
7-12
), ?n v
ecin
iitat
ea p
aral
elul
ui
de la
titu
dine
B1 ,
a&os
cut$
rez
ultl
:
-4ce
stea
sunt
rel
apie
mat
emat
ice
de bazH a
le tr
ansf
em5r
ii.
Pen
tru
obfi
nere
a fo
rmde
lor
de c
alcu
l nu
rnes
c, e
ste
nece
sv sH
se
ca!c
u!ez
e de
riva
tele
su
cces
ive
ale
fur~
c$ei
q
In ra
port
cu
ar
d de
mer
ibaq
p
ai s;i
se
tre
acl
de la
lat
itud
inea
iz
omet
ricl
q
la la
titu
dine
a g
eo
gd
d ig
eode
zid)
B.
dB
1
d2B
B
=%
I +
Aq(
-), +
-~
q~
(y
),
+.
. dq
2
dq-
dB
dq =
- Nco
sB
Cre
sere
a Aq
se
sco
ate din
(3 7
-4):
rezu
It5:
dq
1
1
-=-=
- dj
3 N
cosB
r
i (3
7-8)
dB
1
. .
. , , . . .
. -=
- ..
. M
iar
deri
vate
le lu
i q k ra
port
cu
P su
nt c
unos
cute
din
(37
-9).
Inl
ocui
ndu-
le k
ace
ast2
rela
tie
vi ap
oi i
ntro
dudn
d-o
2n
07-1
4),
dupH
neg
lija
rea
unor
ter
men
i $
sco
ater
ea Tn
fact
or a
pu
teri
lor l
ui y
, va
rezu
lta
form
ula
pent
ru c
ald
ul l
atitu
dini
i B
. F
orm
ula
de c
alcu
l pen
tru
dife
renF
de
long
itudi
ne 1
, fap
de m
erid
ianu
l axial a
t hsu
lui,
re
Pll
t?i d
in (3
7-5
), du
pii "
docu
irea
dev
atel
or cu e
xpre
siile
lor
din
(37-
9).
Dup
H s
coat
erea
?n
fact
or a
put
eril
or lu
i y , e
xpre
siile
cu
care
ace
ste
pute
ri s
e h
ult
es
c
repr
ezin
tg n
igte
coe
fici
enti
var
iab
ili
care
dep
ind
mm
ai
de l
atit
udin
ea
B,
a pu
nctu
lui
abet
or
Dl
$ p
ot f
i sc
o~
i din
tabe
le s
peci
ale,
pri
u in
terp
olar
e, cu
argu
men
tul
Bl .
Fol
osin
d ul
tkni
le e
xpre
sii k de
riva
tele
succ
esiv
e, d
up5
calc
ule
rezu
ltg:
For
ma
fina
l% c
onde
nsat
& a
for
mul
elor
cu
coef
icie
nfi v
aria
biJi
pen
tm t
rans
form
area
co
ordo
nate
lor p
lane
Gau
ss b
coor
dona
te p
eoga
fice
pe
elip
soid
est
e:
h ca
re c
odci
enti
; var
iabi
li au e
xpre
siile
:
Col
lsta
nrin
Gh ~
~
CA
RT
OG
RA
TE
M.t
iTl3
M~T
Ic.4
0,
TC
B -
Fac
ulza
zea
de G
eode
n'e,
Bu
cvre
sti
..
.
.-
.
..
Rel
a@e
(36-
18)
sunt
cun
oscu
te ~
i su
b nu
rnel
e de
for
mul
e cu
coe
fici
enti
vari
abili
, pe
ntru
cal
culu
l coo
rdon
atel
or pl
ane
Gau
ss,
hc
$e
de
coor
dona
tele
geo
gra
fir~
de p
e el
ipso
id.
In t
abel
ele
"doc
mit
e de
Tar
czy-
Hor
noch
- V
.K.H
rist
ov,
pent
ru e
lipso
idul
Kra
sovs
ki
1940
. for
mul
ele
(36-
1 8)
sunt
scr
ise
mai
res
trh
s, s
ub f
orm
a:
= p
+ 1-
42 l2
+
i4 +
+&
l6
(36-
18 '
) y
=IB
I 1+
;Bj 1
3 +]Bs l5
~ ra
re
I = (I,
- 4)"
. , i
ar c
oefj
cien
fii v
aria
bili
P ,
, lB
i se
ext
rag
din
tabe
ie (t
ab.V
II),
pr
in in
terp
olar
e, fo
losi
nd c
a ar
gum
ent l
atit
udin
ea p
mct
ului
F
om
ule
le (
36-1
8),
resp
ecti
v (3
6-18
' ),
asi,w
&
o ap
roxi
ma$
e de
cal
cul
de o
rdin
ul
o,m
i rn . For
mu
le c
u c
oefi
cien
ti c
onst
ane
pen
tru
cal
culd
coo
rdlo
nat
dar
pla
ne G
auss
In
re
vist
a B
uiet
in T
opo@
c nr
.3 /
195
7, E
ditu
ra r
nili
tarz
a M
inis
teru
lui
For
telo
r A
rrna
te a
le R
.P.R
, V
asile
Fa
e S
i C
onst
anti
n S
tru$
au
pub
licat
art
icol
ul "
Rep
reze
ntar
ea
wnf
orm
g G
auss
, a e
lipso
idul
ui d
e ro
tati
e ?n p
lq p
rin
seri
i cu
coef
icie
nfi c
onst
an$
(apl
ica$
e la
F
a no
astr
ti)"
, tr
at2n
d p
rob
lem
pri
n pr
oced
eul
de "
calc
d cr
acov
ian,
al
ch
i a
utvr
est
e as
tron
omul
pol
onez
T. B
anac
hiew
icz"
(pr
oced
eu c
ompa
rabi
l cu
calc
ulul
mat
rice
al ).
-
In c
ele
ce u
nnez
G,
se p
rezi
ntg
aspe
ctel
e pr
acti
ce a
ie r
ezoi
vkii
, va
labi
le p
ent=
in
treg
te
rito
riul
Ro
nG
ei,
sau
pen
tru
oric
are
alt
teri
tori
u si
t~a
t Tnt
re l
ztit
udin
ils
de 4
2' ~i
50'
~i
fo
losi
nd e
lips
oidu
l Kra
sovs
ki 1
940.
Dat
ele
prob
lem
ei:
Lo
= lo
ngit
udii
ea m
erid
ianu
lui a
xial
al f
usul
ui in
car
e se
i6pr
ezin
t.2 p
unct
ul;
B, L
= c
oord
onat
ele
geo
gd
ice
ale
punc
tulu
i, pe
eli
psoi
dd K
raso
vslc
i 19
40 .
Toa
te w
ordo
nate
le g
eogr
afic
e su
nt ?
n ga
dati
e se
xage
sim
alZ
:
For
mul
e d
e ca
lcul
: f =
@-B
~)I
~
. 10"
1 =
(l
-Lo)
" .
lo4
Con
sran
tin G
h. M
Lm
W
C.4
RT
OG
RA
FIE
M4T
EM
AT
ICA
U
TC
B - F
acul
zare
a de
Geo
de*,
Bu
~u
mst
i
Sc
ow
d in
fac
tor , in
fiec
are
iinie
, lon
gitu
dine
a 1
,
sau :
&=
so
l0 +
s21Z
+ s4I4 =
&+R2+%
In c
are
prin
S;
sunt
not
ate
val
od
e nu
mer
ice
ale
expr
esii
lor d
in p
aran
teze
le (
36-2
1aj,
iar
prin
. R
i , va
lori
le n
umer
ice
ale
eqre
siil
or d
e pe
fie
care
hie
din
(36-
21)
sau
(36-
2 1'
).
Val
orile
num
eric
e al
e co
efic
ient
ilor
co
ns
t6 su
nt:
aoo =
0
a10 =
+ 3
08 7
58,9
58 0
2 a2
0 = +
75
,360
64
as0
= -
0,
064
59
Q=
-
0,05
9 09
In s
copu
l fac
ilit&
-ii calcuiului,
a fo
st Y
ntoc
mit un f
orm
ular
(ta
bel
de c
alcu
l),
pe c
are
se
gZse
sc ti
p5ri
te to
ate
valo
rile
con
stan
te.
Pre
ckia
de
talc
* ob
@ut
ii cu a
cest
e fo
rmul
e es
te c
ompa
rabi
lti cu
cea
ob$i
nut5
cu
- -
ford
ele
cu c
oefi
cien
ti va
riab
ili.
t C
arsi
rmtin
Gh. ~
~
CA
RT
OG
RA
FKE
MA
TE
MA
TIC
A
UTCB - F
acul
zate
a de
Geo
dene
, Buc
ures
b - In
caz
ul M
ar
topo
grai
5ce
la s
cki
mai
vl;i,
dn
d c
urb
ura
lat
uril
or d
epH
~eg
te
tole
ran$
ele
p-f
ice,
est
e ne
voie
ca, i
n af
ara
celo
r pa
tru
colp
ri a
le c
adru
lui,
sk s
e ra
poiie
ze
prin
co
ord
o~
aie $i
pun
cte
inte
rmed
iare
. C
aroi
ajul
kiio
rnet
ric
apar
e ro
tit
fa@
de
cad%
cu u
nghi
ul d
e co
nver
ge@
m
erid
i&
din
proi
ecfi
a st
ereo
grai
5c?i
197
0.
1
33.
TRANSFOXUMkREA C
OO
RD
ON
AT
EL
OR
ST
ER
EO
GX
UF
ICE
197
0
- <
IN C
OO
RD
ON
AT
E P
LA
NPl
G
AU
SS S
AU
IN
VE
RS
; 1 ;
In
Rom
Zni
a,
pent
ru
ambe
le
sist
eme
de
proi
ecji
e se
foi
bseg
te a
cela
gi
datu
m
geod
ezic
(e
lipso
idul
K
raso
vski
19
40,
orie
ntat
la
Pu
llcov
o).
Dat
oritg
ac
estu
i fa
pt,
tran
scal
cula
rea
coor
dona
telo
r htr
e ce
le d
outi
sist
eme
de p
roie
cfie
se
poat
e fa
ce fo
arte
pre
cis,
i
priii
inte
rmed
iul w
ordo
mte
lor
geog
iafic
e,
astfe
l: I 1
lo
- co
ordo
nate
le p
lane
din
pro
iec$
a I
se tr
ansf
orm
% in
wor
dona
te g
eogr
afic
e pe
I
eiip
soid
ul K
raso
vski
194
0,
i i 2"
-
coor
doila
tele
geo
grat
ice
de
pe e
lipso
idul
Kra
sovs
ki 1
940
se t
rans
form
5 in
w
ordo
nate
pla
ne, 7
.n si
stem
ul d
e pr
oie@
e II
Irl
prt
~n
t-a
lucr
are
sunt
mpu
gi t
o$ a
lgor
itmii
de
caln
lf
ficw
sai
pent
m r
ezol
vare
a pr
oble
mei
.
@
PR
OIE
CT
IE S
TE
RE
OG
RA
FIC
A PE U
N P
LA
N S
EC
AN
T L
OC
AL
, P
AR
AL
EL
CU
PT
,AN
UL
SE
CA
T G
EN
ER
AL
197
0
In o
rice
pro
ieee
ste
reog
rafi
cH p
e un p
lan
seca
nt, p
aral
el cu
plan
ul ta
ngen
t in
polu
l Q
o
imag
ines
teri
tori
ului
repr
ezen
tat
este
ase
men
ea cu c
ea d
in p
ld
tang
enf
dar
este
mai
mic
3,
fk
d "c
ornp
rim
at5
unif
orm
" in to
t pla
nul
seca
nt, p
rin
mod
ific
area
s&i.
Imag
inea
din
pla
nul
tang
ent
este
con
side
ratZ
ca
av
hd
"sc
ara
norm
al5"
, ia
r ce
a di
n pl
anul
sec
ant a
re "
scar
a re
du
s".
Rap
ortu
l di
ntre
o d
ista
ng d
in p
ld
seca
nt g
i om
oloa
ga e
i di
n pl
anul
tan
gent
est
e w
nsta
nt 9
i se
num
e@e "
coef
icie
nt d
e re
duce
re a
sc2
irii"
. In
pro
ie+
a st
ereo
graf
id 1
970,
dup
H c
um s
e $i
e, c
oefi
cien
tul d
e re
duce
re a
s&
ii a
re
valo
area
con
stan
t5 c
= 0
,999
750
000
, fa
pt c
are
atra
ge d
up5
sine
un
cerc
de
defo
rmat
ie n
ul5
cu r
aza
de a
prox
imat
iv 2
01,7
km
8i
o d
efor
mat
ie d
e -2
5 cr
nlla
n 7.n
ori
gin-
si
stem
ului
de
axe
de c
oord
onat
e.
Da&
se
mo
dif
id v
aloa
sea
coef
icie
xrtu
lui d
e re
duce
re a
Mi
h
du
-i-s
e o
valo
are
k ,
dife
ritg
de
c, a
tunc
i se
obf
ine
o re
prez
enta
re s
tero
graf
icg
pe un
plan
sec
ant l
ocal
, par
alel
cu
plan
ul
gene
ral. Prin a
cest
pro
cede
u se
poa
te f
ace
ca n
oul
cesc
de
defo
nna$
ie n
ulZ
s5
trea
d
prin
ZO
M d
e lu
cru,
avf
tnd
efec
tul d
e. an
ular
e a
defo
rma@
lor
prod
use
de p
roie
cfia
ste
reog
rafi
d 19
70,T
n zona re
spec
tivk
Cor
ntan
tin G
h. M
WhT
EAN
U
CA
RT
OG
RA
FIE
MA
TE
MA
TIC
A
UrC
B -F
acu
lfat
ea d
e G
ecde
zie.
Buc
ures
ti
PR
OIE
CT
IA G
AU
SS (
GA
USS
-KR
UG
ER
)/ U
TM
-
1 . ... @
G
EN
E-X
Am
P&
D PR
O,,,
GA
USS
.
~
Ace
@
proi
ec$e
car
toga£
i& es
te d
enur
nit2
une
ori
"pro
iec$
a G
auss
-Kri
iger
", a
lteor
i, m
ai p
e sc
urt,
"pro
iecf
ia G
auss
".
In p
ra n
o@
ea a
fcs
t ad
opta
Gi ,
ofi
cia
pe
~tn
! lu
cr
~
geod
edce
, pe
ntru
hZ
r@s
topo
graj
ice
$ a
lte 8
.enu
ri d
e I
ucrk
i, In
anul
19
51.
In a
ceea
gi p
enoa
Q
a fo
st a
dopt
at g
i el
ipso
idul
l(i
asov
ski
1840
, cu
pun
ctul
ast
rono
mic
fun
dam
enta
l la
Pui
kovo
.("s
iste
rnu1
de
coor
dona
te 1
942"
).
Proi
e*
Gau
ss p
oate
rea
liza
o re
prez
enta
re p
lan5
a i
ntre
gulu
i el
ipso
id d
e ro
tafi
e,
imp&
r$5 in p
real
abil,
pe
fuse
(fig
. 3 5.
1)
. . .
men
dia
ne
mar
gin
ale
mer
idia
n ax
ial
~ii
.35
- I
Fus
pe
elip
soid
Ori
care
fus
se in
tinde
de
la P
olul
nor
d la
Pol
ul s
ud gi
este
del
imita
t de
do
6 m
erid
iane
nu
mite
mer
idia
ne m
argi
nale
. D
ifer
enp
de lo
ngitu
dine
din
tre
mer
idia
nele
mar
gina
le c
arac
teri
zed
mP
rim
ea f
usul
ui.
In p
ract
ie s
e u
tili
zd
fiec
vent
fis
e de
6' gi
he
de 3
' , d
ar e
ste
posi
bii
s2i s
e fo
lose
ascH
gi
he
loca
le, d
e al
te d
imen
sitm
i. Pr
in p
arte
a ce
ntra
lii a M
ui t
rece
mer
idia
nul a
xial
. Po
@
geog
ratic
ii a um
i fbs e
ste
d-f
it5
pri
n lo
ngitu
dine
a m
erid
ianu
lui a
xial
. In
cap
itolu
l E,
para
gdid
14,
est
e pr
ezen
taG
o c
on
ve
e @
emat
ion&
pr
ivin
d de
li-
rnita
rea
fbse
lor s
tand
ard
de 6
9.@
nom
erot
area
lor, cu &
e ar
abe,
de ,
la 1
la 6
0 (f
ig. 1
4-1
a).
Rom
2nia
sst
e si
tuat
g in f
iisc!
nr.
34
(cu
mer
idia
nul axial d
e 21
" E
st G
reen
wic
h) $
i ?n
hsu
l nr. 35
(cu
rc&
dian
ul a
xial
de
27" E
st G
reen
wic
h).
Fie
cve
fus
se r
epre
zint
a in
nod i
ndep
ende
nt,
av
bd
sis
tern
ul p
ropr
iu
de a
xe d
e co
ordo
nate
pla
ne,
stab
ilite
ast
fel:
- ori
gine
a si
stcm
ului
xO
y es
te la
inte
rsec
tia m
erid
ianu
iui a
xial
cu
ecub
onri
; - m
eridianul
axia
l ,
repi
.eze
ntat
pri
m-u
n se
gmen
t de
dre
aptg
- ,s
e cc
nsid
er5
ax
Ox,
cu s
en
d po
zitiv
spr
e no
rd;
, -
mcu
l de
mat
or,
din
cad
rul
fusu
lui,
se r
epre
ziT
ltg t
ot p
rhtr
-un
sqm
ent
de
drea
pta
luat
ca a>=
Oy,
cu
sens
ul p
oziti
v sp
re e
st.
Rep
rwen
tare
a pl
an5
Tn pr
oiec
fia
Gau
ss, i
n &
care
fus
, sat
isfa
ce u
rm5t
oare
ls c
ond
itii
:
1 - e
ste
conf
orm
&;
2 - m
erid
ianu
l ax
ial a
1 fi
sulu
i se
rep
rezi
ntg
prin
tr-u
n se
gmen
t de
drea
ptZ
, H
e m
a d
e si
met
rie
gi ax
a O
x c
u se
nsul
poz
itiv
spre
nor
d;
3 - 7
r1 cr
ice'
pmct
de
pe n
erid
ianu
l axi
a! d
efo
rma9
e su
nt n
ule (
mod
u!ul
c!
z def
orm
a$e
linia
r% ed
e e
gd
m ri
nita
tea ).
Asp
eetu
l ge
ner
al a
1 re
felt
i ca
rtog
rafi
ce, in o
ricx
e fb
s, e
ste
urm
5~0r
cl (f
ig.3
5.2)
: m
erid
iane
le s
e rq
rez;
intS
pri
n cu
rbe
oare
ca-e
, cu
co
ncav
iriit
ez c
5tre
~er
idia
nu
: zxie
iar
para
lele
le p
rin
he
a c
onca
vita
tea
spre
pol
ul d
in e
mis
fera
re
s~e
dv
5, ea
iato
rcl,
rpr
ezen
tat
prki
w-u
n se
gmen
t de
drea
p'L
2, e
ste
a do
ua ax;
de s
irne
tfie
in f
usd
resp
ectiv
Asp
ectu
l gen
eral
a1 r
etel
ei c
arto
gra
fice
dlnt
r-un
fu
s, In
pro
iect
ia G
auss
In s
copu
l ra
co
rds
luc
r~
or
di
n ve
cina
tate
a m
erid
iane
lor
rnar
g.de
ale
fir
selo
r, se
cr
eaz;
zone de a
mp
erir
e h
b-e
fiis
ele
veci
ne.
In R
om
hiq
pen
m s
ecto
rul
civi
l, ac
oper
irea
fu
selo
r est
e de
7' 30'
spre
est
~i 7
' 30'
spre
vest d
e fie
-e
mer
idia
n m
argi
nal.
la z
ona
de a
cope
rire
, pe
ntru
pun
ctel
e ge
odez
ice
se c
alcu
leaz
5 ci
te d
ou&
pere
ck d
e co
ordo
nate
, jar p
e fo
le d
e ha
rt%
topo
graf
icZ
, in
afar
a ca
&ul
ui,
se m
arch
em&
p5n
mic
i liu
te,
caro
iaju
l kilo
met
ric
refe
rito
r la
fusu
l vec
in p
recu
m $
i coo
rdon
atel
e de
pe
aces
te li
nii.
Deg
i dm
anul
197
1 pr
oi*a
ca
rtogr
;rafic
% oE
cial
fi pe
ntru
Ro
mh
ia e
sre
p~oi
ec$a
st
ereo
gr&
cfi
1970
, pen
tru
&-@
e topo
graf
ice
mili
tare
a c
ontin
uat s
% fi
e fo
losi
tk p
idfe
ecyi
a G
auss
. Mai
rec
ent,
serv
icii
cart
ogr+
ice
din
cadr
ul u
mat
ei,
care
co
lab
ord
cu
NA
TO
, apl
icq
pent
ru u
nele
h-a
rfi t
opog
alic
e m
ilita
re, o
var
iant
5 a
proi
&ei
G
auss
, nu
n%
U'TM
(U
nive
rsal
a T
rans
vers
al5
Mer
cato
r), a
supr
a cZ
reia
vom
rev
eni cu
arnk
unte
h pa
rtea
&d
I E
cap
itolu
lui.
36.
CA
LC
UL
UL
CO
OR
DO
NA
TE
LO
R P
LA
NE
GA
USS
, EW
N-
DE
C
OO
RD
ON
AT
EL
E G
EO
GW
ICE
DE
PE
EL
IPSO
ID
Cun
osch
d co
ordo
nate
le g
eoga
fice
ale
unu
i pun
ct d
e p
e el
ipso
idd
de ro
taG
e @,L> $
i lo
ngit
udii
ea m
erid
ianu
lui
axia
l a1
fusu
lui in
we
um=Z
a
fi re
prez
enta
t &
), se
cer
e G s
e ca
lcul
eze
coor
dona
tele
plan
e G
auss
(q
y) a
ie p
unct
ului
res
pect
iv.
In p
lanu
l de
pro
iecs
e co
ordo
nare
le r
ecta
ngda
re q
y f
or
m6
un S
stem
izor
netr
;.~. P
e el
ipso
id, s
e co
nsid
er5
coor
dona
tele
izon
etri
ce q
(lat
itudi
nea
izom
etri
cZ) $
! , Tn
are
. 1
=L
-?iQ
(3
6-1)
m
:
I x
+iy
=F
(q+
il)
(36-
3)
h c
are
funq
ia a
nalit
ica
$ d
e va
riab
il5 c
ompl
exfi
( q
+ il
), se
det
erm
ina
fin2n
d co
nt d
e fa
ptul
ca p
roie
cfie
i G
auss
, in
ak
a c
ondi
giei
de
conf
orm
itate
, i
se r
nai
pun
inca
dm
8 c
ondi
fii
Vi an
ume.
con
dif
ia 2
: m
erid
ianu
l axi
al a
1 fu
sulu
i , cu l
ongl
tudi
nea
1 = 0 ,
s5 s
z re
prez
inte
pri
ntr-
se
gzie
Et d
e &
apt&
mrs
est
!: 2x2 d
e slm
-eh5
e ~i m
i x
x' (n
! sem
ul p
oziti
v q
rt
nord
).
Rez
ultZ
c5 p
entr
ul=
O,
y=
O,i
ar:
con
dit
ia 3
: m
erid
ianu
l axi
al s3
se r
epre
zint
e ne
defo
nnat
ca
lung
ime.
De &ci
rezu
lt5:
XI*=
P 0s
)
in c
are
p es
te l
ungi
mea
arc
ului
de
mer
idia
n,.
mk
at
pe
eiip
soid
, de
ia
ecua
tor
(ori
gine
a si
stem
ului
xoy
) p
hfi
la p
aral
elul
car
e tr
ece
piin
pun
ctul
con
side
rat.
Com
parb
d (a
) cu (
b)
rezu
ltZ c
5:
.
. W
=P
(3 6
-41
Co
nst
at~t
in Gh. M
zN
EA
W
CA
RT
OG
RA
FIE
fiI
AT
EM
4TIC
A
WB
-Fn
cuit
atea
de
Geo
dezi
e. B
ucur
csti
1 -
Q
I L
Var
iati
ile
(d' )
cres
csnd
e cu
lati
tudi
nea,
din
tre
imag
inil
e pa
rale
lelo
r,
in p
roie
cfia
Mer
cato
r pe
un
cili
ndru
tan
gen
t sfe
rei
@ =
6 3
78 2
45 m
)
Tab
. 50-
2
cP
x d1
dU
--
---- -----
89'
30 2
41
484
4
601 5
49
88"
25 8
19 9
35
2 0
14 5
84
2 5
86 9
65
870
23 2
32
970
75
0 92
4 1
836
041
86'
21
336 9
29
411
319
~~
~z
ti
n
Gh
-1
CARTOGRAFIE M
AT
EIv
L4T
ICA
UTCB - F
aculrnteo
dc G
ec
dd
c,
Bu
mes
ti
-'
CR
PrTO
LUL
VI
PR
OIE
CT
II C
ON
ICE
, PSE
TJD
OC
ON
ICE
Sb
PO
EIC
QN
ICE
.
..
.a
.
In c
azul
pro
iect
iilo
r con
ice,
se
cons
ide6
d r
efez
ua d
e rn
erid
iane
(sa
u de
ver
tical
uri)
9i
de
para
lele
(sau
de
alm
ucan
tara
te) s
e re
prez
intf
, m
ai kt%
, pe
sup
r&a$
a la
tera
l8 a
unui
con
ta
ngen
t sa
u se
cant
sfe
rei
(sau
elip
soid
ului
, da
ca p
roie
4a
tste
dre
aptii
): o
rice
mer
idia
n se
re
prez
int5
pr
in g
ener
atoa
rea
sihr
ata in p
lanu
l m
erid
ian
resp
ectiv
, 9i
fie
ch
i pa
rdel
i s
e as
ocia
z5, p
e co
n , un
cerc
a1 G
uui p
lan
este
per
pend
icul
ar p
e m
a c
onul
ui.
Fig.
51-
1.
Axa
con
ului
inpa
p2 s
fera
Fi
g. 5
1-2.
Asp
ectu
l gen
eral
al r
efel
ei
h po
lul
Qa
no
de
in p
roie
qiil
e co
nice
TG
nd c
onul
dup
2 o
gene
rato
are
$i d
esfa
surb
du-i
su
praf
qa l
ater
al2
pe p
lanu
l de
pr
oie@
e, s
e ob
*e
rete
aua
norm
al2 cu a
spec
tul g
ener
al c
arac
tmis
tic o
rim
ei p
roie
c$ii
coni
ce
(fig. 5
1-21
: * u
n fa
scic
ul d
e dr
epte
con
cure
nte %
ntr-
un pu
nct ,
S' , po
ate
repr
ezen
ta f
ie m
erid
iane
, fi
e ver
tical
uri (
dac8
proi
ecG
a es
te o
hlic
H sau tr
ansv
ersa
lZ);
*
o fa
mili
e de
arc
e de
cer
curi
con
cent
tice,
cu
cent
rul
in
S' , p
oate
rep
reze
nta
fie
para
lele
, fie
alr
nuca
ntar
ate (d&
proi
e&a
este
ob
lid
sau tr
ansv
ersa
l5).
In
ipot
eza
Ph
kt-
sfer
& c
onul
poa
te o
cupa
ori
ce p
o&ie
, ia
r pun
ctul
Qo , GI c
are axa
conu
lui in@@
sfer
a, e
ste
polu
l pr
oi@
ei
coni
ce.
Poz
itia
sa
pe s
feri
i se
pre
cize
azz
prin
co
ordo
nate
geo
grai
ice,
iar
ace
st p
mct
va
7nde
plin
i ~i
rol
ul d
e po
l al
coo
rdon
atel
or s
feri
ce
pola
re.
~0
h-j
~
Gli:
,MTR
CE
AN
U
CA
RT
OG
RA
FlE
MA
TE
MA
TIC
A
UTCB - F
acul
rare
a de
Gco
dene
, Bua
ires
ri
Fun
ctie
de
pozi
tia
gmgr
afic
5 a
polu
lui Qo , pr
oiec
fiile
con
ice
pot 6
: dr
epte
, obl
ice
sau
tran
sver
sale
(ecu
ator
iale
).
Fu
nti
e d
e el
erne
ntel
e ge
omet
rice
car
e nu
se
def
orm
ed,
proi
ecfi
ile m
nice
pot
fi:
conf
orm
e, e
chiv
aIen
te or
i ech
idis
tant
e pe
mer
idia
ne (r
espe
ctiv
pe
vert
ical
uri)
.
RZ
~I-e
iwta
rea.
eIip
soid
n1u
i in p
roie
cfii
coni
ce d
rept
e M
erid
anel
e se
rep
rezi
ntg
prin
seg
rnen
te d
e dr
eapt
5, c
are
mnv
erg
spre
pun
ctul
S:
fig
sf-3
, fa
cM
intr
e el
e un
giur
i pro
porf
iond
e cu
dif
eren
tele
de
lo+
tudi
ne,
adic
k
6=aL,
unde
c
on
sta
<l
. (5
1~
1)
Dre
apta
car
e co
inci
de cu
ima_
@ne
a m
erid
ianu
lui
de o
rigi
ne,
o co
nsi
der
h a
m p
olar
5 a
s~te'~ulu~'da~~c'6'0rdomte
p!z?
e p
ok
e, (
5 =
ag
ku
l po
!zr,
p =
mz
veck
are)
. PC
!=!
&6&
lbiit
elo'
r:~p
lane
pola
re e
ste
punc
tul S
. -.
',-
':i''k
cel:
'de
.cl.i-
Jcu
conc
entr
ice,
pri
n caie &
repr
ezin
tg p
aide
lele
, au r
azel
e no
tate
cu
p
gcehrn
l 'P
ri'S ..
" .
..
<
'Z
Par
alel
ul d
in e
xtre
mit
ztea
sudi
cB a
zon
ei d
e Iu
cru
se re
prez
inta
cu
raza
vec
toar
e ps
,
iar
inte
rsec
fia
sa c
u m
erid
ianu
l de
la c
are
se &
oat5
6
se c
onsi
derg
ori
gine
a s
iste
mul
ui d
e ax
e xO
y al
co
ordo
nate
lor
rect
mgd
are
plan
e.
Une
ori
sa c
orni
des
c5 e
xeem
itat
ea s
udic
2 es
te e
cuat
oml.
r
41 +x
1
-a
Coo
rdon
ate p
olar
e si c
ele
rect
angu
lare
in
proi
ectii
le c
onic
e dr
epte
....
... P
e ba
za p
ropr
ietZ
tilor
enu
nfat
e si
a fi
guri
i , se
pot
.scr
ie u
rmzt
oare
le f
orm
ule
gene
rale
p
~n
m
rep
rqen
tare
. elip
soid
ului
fn p
roie
c$ii
coni
ce d
rept
e:
..
I,.
.
,,
6
=a
L.
m-
m-
-
-
,i.;-
.?;
::..
..
p
=f@
)'
..
..
..
.
'.-
..
..
..
..
..
..
....
....
x
,=
-~
CO
S~
; (
S~
U ~
=p
s-p
co
sS
) y
= p
sin
6 (5
1-2)
,=%=
dd~ -
. . :
. .
.
ds,
MdB
. (D
a
-b
""
si
n - =
- -
,. .s
m:
2 a
+b
'
.
i Se
mnu
l min
us d
in e
xpre
sia
lui m
se d
at0r
ea.G
fap
tulu
i cZ,
cre
seri
le r
azei
vec
toar
e ~i
ale
la
titu
dini
i au
serr
me
cont
rare
, iar
m t
rebu
ie s5
i aib
H o
val
oare
po
did
.
Rep
reze
ntar
ea sf
erei
in
pro
iecf
ii co
nice
dre
pte
. .
..
..
..
..
D
8cH
?n fo
rmul
ele
(51-
Z),
vala
bile
pen
tru
elip
soid
, 7n
locu
im r
azel
e pr
inci
pale
de
j cu
rbilr
ir M
~i N
, w ra
za s
fere
i, R
, re
zultZ
ur&
toar
ele
form
ule
gene
rale
pen
tru
repr
ezen
tare
a
; sf
erei
% p
roie
cgi c
onic
e ck
qte:
6
=a
h,
un
de
co
nst
a<
l 1
p=
f(cp
) x
=-p
co
s6;
(sau
x
=p
s-p
co
s6)
1 y
= p
sin
6 --
dp
m=
-- R
dq
P o =
a!? =
a-
r R
cosc
p
. a,
a-b
.
~111-=
- a
+b
'
sau:
tg
(4s0
+ -) 4
=
-
2 "
R t
In c
azul
pro
iecf
iilo
r con
ice
drep
te p
e un c
on t
ange
nt,
para
lelu
l de
tan
gen@
se
mai
!
num
ege
9i pa
rale
l sta
ndar
d E
l se
repr
ezin
tg f%
5 de
form
atii
de lu
ngm
e.
XII
proi
ecfi
ile
coni
ce d
rept
e pe
un
con
seca
nt,
exis
t2 d
ou5
para
lele
sta
ndar
d (f
ar8
i de
form
atii
).
. .
Rep
reze
ntar
ea sf
erei
in p
roie
c*
coni
ce o
blic
e I tr
ansv
ersa
le
i In
pro
iecf
iile
con
ice
obli
ce g
i %I
cele
tra
nsve
rsal
e, r
efea
ua n
orm
al5 , cu
aspe
ctul
:
gene
ral d
in f
ig.5
1-2,
est
e fo
rmat
la d
in im
agin
ile p
lane
ale
ver
ticd
uril
or-(
drqt
ele c
are
conv
erg
....... i
fn
S' )
gi
ale
alm
ucan
t&at
elor
(ar
cele
de
ce
rwi
conc
entr
ice,
,qu ce
ntru
I in
S ). .U
nghi
uril
e i
dint
re i
mm
e ve
rtic
alur
ilor
sunt
pro
porf
iona
le c
u di
fere
wle
de
azim
ut , A
, de
pe
sfer
g.
1 i F
onnu
lele
gen
eral
e ,al
e pro
iecf
iilor
qni
ce..o
blic
e I t
rwe
rsa
le a
le. s
fere
i su
nt a
nalo
ge
...
-1
m c
ei
-e
rd
e-
pa
i~
&~
~~
~~
.~
~~
c-
Ve
h , (90'
- cp),
m s
i res
pect
iv n
s i Su
cces
iune
a ca
lcul
elor
in
proi
ecfi
ile c
onic
e ob
lice
1 tr
ansv
ersa
le e
ste,
in g
ener
al,
u&oa
rea:
- tre
cere
a de
la s
upra
fap
elip
soid
ului
de
rota
tie
la s
upra
fafa
sfer
ei;
i - c
alcu
lui c
oord
onat
elor
sfe
rice
pol
are
A $
i z ;
I 1 /
- cal
culu
l co
ordo
nate
lor p
lane
pol
are
6 ~i
p ;
- cal
culu
l coo
rdon
atel
or p
lane
rec
tang
ular
e q y
;
- cal
culu
l mod
ulil
or d
e de
form
atie
~i a
l def
orm
a?ii
lor u
neu
lare
max
ime.
I I h p
roie
qiil
e co
nice
car
e su
nt p
reze
ntat
e Fn
cele
ce
dim
i&,
nu v
or m
ai f
i re
peta
te
, to
ate
piop
riet
%$l
e yen
erzl
e al
e pr
oiec
fiil
or c
onic
e, e
xpus
e m
ai s
us.
-
Par
ticu
lari
zare
a fo
rmul
elor
gen
eral
e se
va
face
cu
ajut
orul
uno
r co
nditi
i sup
limen
tare
, -?
pu
se re
prez
entZ
rii p
e pl
anul
de
proi
ecqi
e.
:I .
i .L
52
PR
O3E
CT
lI C
ON
ICE
DR
EP
TE
EC
HID
IST
AN
TE
, PE
UN
CO
N
1 T
AN
GE
NT
LA
EL
ZSG
XE
Pro
iec$
ile
coni
ce d
rept
e po
t fi e
chid
ista
nte
num
ai p
e m
erid
iaae
. Pe
im2s
jnil
e pl
ane
: al
e ac
esto
rq n
u tr
ebui
e s5
se p
rodu
c5 d
efor
mqi
i al
e lu
ngim
ilor
.
I.
Lu
hd
un
con
tang
ent
la s
upra
faia
elip
soid
ufui
de
rota
+
(fig
.52-
I),
dvp5
pd
elu
l de
lz
titu
dine
Bo . ac
esta
se
va r
epre
zent
a ~i
el n
edef
omat
c2
lung
ime.
P
rin
urm
are,
con
diti
ile
spec
ific
e ac
este
i rep
reze
gtti
i con
ice
sunt
: <
' m
=l
(52-
1)
no
=l
(52-
2)
Fig
.52-
1.
Se@
une
Fig.
52-2
. C
oord
onat
ele p
lane
in
pla
nul
unui
mer
idia
n
din
care
se
om
e:
sau
in c
are
C e
ste
cons
tant
a de
ints
grar
e, ia
r S,
este
lung
imea
arc
rilu
i de
mer
idia
n , m
5sur
at d
e ia
ecu
ator
pk
5 ia
par
alel
ul d
e la
titu
dine
B .
Ap
lich
d a
ceas
t5 f
orm
ula
pent
ru c
alcu
lul
raze
i p,
, cu
car
e se
tra
seaz
5 im
agin
ea
ecua
toru
lui, S,=O
gi re
zult
5 :
c =
pec
(5
2-4)
Din
form
ulel
e ge
nera
le, s
e $t
ie d
6=
aL
(5
2-5)
Pe
n+m
aete
rmin
aree
ccn
stm
tei
c <
1 , s
e ut
iliz
ezz5
con
diti
z rs
= 1
. E
a tre
b!!ie
sa
:is%
cut5
PC
roa
ta lu
ngim
ea p
aral
elul
ui d
e ta
ngen
@, p
rin
urm
are,
im
agin
ea p
lan5
a u
nui
arc
fini
t de
pe a
ces:
pa-
ale!
tre
buie
s5
fie
egal
ii cu
lung
imea
arc
ului
cor
espu
nzat
or d
e pe
elip
soid
, ad
ica:
%
'=%
sa
u PO
6 =
rc 5
(52-
6)
Da-, co
nfor
m f
ig.5
2-1.
po =
No
ctg B
o
astf
el c
& e
gali
tate
a (5
2-6)
se
poat
e sc
rie :
cosB
, 6
No-
=L
NO
CO
SB
O ,
sin B
, de
und
e se
obf
ine:
6 =
L
sin
Bo
(52-
8)
a =
sin
BO
..
.
. (5
2-9)
adic
& c
onst
anta
a
de
pro
port
iona
lita
te a
lon
gitu
dini
lor
este
ega
la cu
sinu
sul
lati
tudi
nii
para
lelu
lui d
e ta
ngen
$.
Rel
atia
(52
-4)
arat
5 do
ar s
emni
fica
ria g
eom
etri
c5 a
con
stan
tei C
. P
entr
u g5
sire
a un
ei
---c
~e-
&fe
eez6
yW
~i-
&ea
@i~
-.ib
(-e-
- la
titu
dine
a Bo
: Po =
C-S
ug
di
n w
e rczu
ltH : c =
PO
+S
O&
--
177
-
ConrtoniizGh M
Uh
EW
C
AR
TO
GR
AFI
E M
AT
EM
AnC
A .
UTCB - F
anrl
rnte
a de
Geo
dezi
e, B
ucur
esti
- .
'- P
,
Din
for
mul
ele
gene
rale
(51
-2),
wn
d c
ont
de (
52-3
), (5
2-9)
$i
(52-
10) ,
rezu
lti
dt
og
el
e fo
rmul
e d
e ca
lcul
, pen
tru
repr
ezen
tare
a el
ipso
idul
ui d
e ro
tafi
e Tn
tr-o
proi
ecse
co
nicg
dre
apt5
ech
idis
tetz
pe
mer
idia
ne (c
on ta
ngen
t la
lati
tudi
nea Bo):
.. ;:;
8
6=
aL
0: '
P=
C- SO,B
cons
t a =
sin Bo
. .
CO
IIS
~ C
= p,
= No
ctg
Bo +
SO. B
x=
C-p
co
s6
.
: y =
p s
in S
. 0
a-b
.
sm-=
- 0
sau:
tg
(450
+ -1
= 1;
2 a
+b
'
4
La
oric
are
lati
tdim
e di
ferit
H d
e Bo ,
n >
I,
astf
el c
Z,
elip
sele
de
defo
nnaf
ie a
u se
mia
xele
: -
,
a=zl
b
=m
, ad
icZ
sun
t ori
enta
te m z
xa m
are
pe d
ireq
ia p
aral
elel
or.
Ari
ile
au d
efor
mat
ii po
ziti
ve, c
a gi
lung
imil
e de
pe
pad
ele.
Ele
cre
sc p
e rn
8.s~
-' ra c
e cr
gte
dep
kta
rea fa
g d
e pa
rale
lul
stan
dard
. D
efo
rma
~le
depi
nd m
ai
de l
atit
udin
e $i
, 21
con
seci
ng,
izol
inii
le d
efor
mat
iilo
r se
supr
apun
pes
te ir
nagi
nile
par
alel
elor
.
, .
Con
side
r-
sfer
a te
rest
r5 d
e r
d
dete
rrui
nat5
Tn
qa
fel,
hck
t ar
ia s
fere
i s?i
fie
egal
Z c
up
ia el
ipso
idul
ui d
e re
ferin
$.
Pii
nd v
orba
de
proi
e+
&ni
ce d
rept
e, r
etea
ua n
orm
al5
este
for
mat
5 di
n im
agin
ile
lane
ale
med
ian
elo
r gi
par
alel
elor
8i a
re a
spec
tul g
ener
al d
in fi
g. 5
1-2.
, -
Da&
?n co
ndig
a de
ech
ival
enp:
se -d
ocui
eso
mod
ulii
de
defo
rmag
e li
ar5
pri
n ex
pres
iile
br
gene
rate
, dat
,e ?n
451-
3),
adic
g:
. -
rn =
-dp s
i n
=a
- P
,
(53-
2)
R d
cp
R c
os cp
ahln
ci c
ondi
fia
(53-
1) se
poa
te
scri
e:
-dp
a
p
p=-x
-=l,
R
dcp
Rco
scp
. .
iar d
e ai
ci s
e de
duce
exp
resi
a ra
zei V
edoa
re
p di
n pl
an:
- ap
dp =
R2 co
scp
dcp
.;: ....
. ,
. . , ..,=
'>
. . .
.
R2
- ,
.-.:,
..-A ?
' >
<--
. ,.:;$
': 7s
:
p dp
=--
cosc
pdcp
..
...
...
. .
a 2
~'
.
p2
=c-
-sm
q
, (5
3 -2)
a
in c
are
C e
ste
o co
nsta
nt5
de in
tegr
are.
N
oth
d:
2~
'
c=-
, (5
3 3)
a
in c
are
c es
te o
con
stan
t5 ar
bitr
arq
se p
oate
scr
ie:
7 2R2
p- =
-(c-
sin(
3)
(53
-4)
a
Tin
find
cont
de
ultim
a ex
pres
ie q
i de
con
diti
a de
ech
ival
enT
5, d
in (
51-3
) se
ob;
in
ura8
toar
ele
form
ule
pent
ru r
epre
2ent
are.
a w
ei
sfer
e R
in p
roie
cfii
con
ice
echi
vale
nte
drep
te:
6 =
ah
, u
nde
cons
tmta
a <
1 ,
y =
p s
in 6
P
aP
n
=a
-=- r
Rco
scp
p=
mn
=a
b=
l
Co,
zsra
ntnl
Gh
h.K
WE
WL7
C
QR
TO
GM
JX
MA
TX
MA
TIC
A
UTC
13 - F
acul
tare
a de
Geo
dezi
e, B
ucur
esn.
Pen
tru
dedu
cere
a co
nsta
ntei
c s
e ap
lic5
form
ula
(53
-4) p
entr
u la
titu
dim
a cp,
:
, S
e ob
serv
5 c2,
defo
rmaf
iile
lun
gim
ilor
gi
defo
rmaf
iile
ung
hiul
are
max
ime
depi
nd
: p
- =-
num
ai
de
lati
tudi
ne.
Rez
ulta
c&
iz
olin
iile
de
form
afii
lor
se
supr
apun
pe
ste
imag
inil
e ; 2
R'
(c-s
"cpx
) ,
a
%
f pa
rale
lelo
r.
iar
de a
ici ,
i
Cel
e dou5 c
onst
ante
ale
pro
ieqi
ei,
a ~
i c,
se d
eter
min
it pe
baz
a un
or c
c~nd
ifii
su
plir
nent
are
puse
rep
reze
ntZ
rii,
de e
xem
plu
(con
diti
e su
piim
enta
rg):
pe
un
pard
el
de
- la
titu
dine
a, , d
atq
valo
area
mod
ulul
ui d
e de
form
a$e
a lu
ngim
ilor
sa
fie
egaI
Z cu
uni
tate
a i
sau
j .i
sl f
ie m
inim
& a
dic5
:
n, =
1 =
min
(53-6)
I I A
ceas
re m
resp
nd
e u
nui c
on tm
gent
la
sfer
i in
!un
g~
l pzra
lelu
lci 9,.
i- s
1
Din
fig
.53-
1 re
zult5
:
k2t
cond
iGa
supl
imen
t&
se p
oate
scr
ie:
n, =
&=
,&
%!!!L
i
r, R
cos
cp,
.
For
mul
ele
(53-
7),
(53-
8)
si (
53-9
) ne
per
mit
sit
calc
ul5m
cel
e do
u5 c
onst
ante
ale
pr
oiec
tiei.
-
54.
PRQ
EE
CT
TP
CO
NIC
E C
ON
FO
RR
.IE
, DlX
EP'
TE
( P
roie
ctii
con
ice
LA
IMB
ER
T )
Ca
72 o
rice
pro
iect
ie c
onic
5 dr
eapt
g, r
efea
ua ro
rmd
8 e
ste
form
aG d
in im
agin
ile
plan
e al
e m
crid
iane
!or
$i a
le p
arde
lelo
r, i
ar e
spec
tul e
i gen
eral
est
e ce
l din
fig.
5 1
-2.
Rep
reze
ntar
ez f
iind
conf
orm
% m
odui
ul d
e de
form
a$ie
iin
iarZ
, h o
rica
re p
unct
din
pl
anul
de
proi
ec$e
, tr
ebui
e sB
aib
5 ac
eea~
i val
oare
pe
toat
e di
recf
iile
car
e ie
s di
n pu
nctu
l co
nsid
erat
. In
aces
t caq
con
diiia
de
conf
orm
itat
e se
poa
te s
crie
sub
form
a .
m=
n
(54-
1)
In
fom
ule
le g
ener
de
(51-
Z),
pent
ru r
epre
zent
area
el
ipso
idul
ui d
e ro
tzfi
e h
tr-o
gr
oiec
tie
coni
c5 d
reap
tL, a
vem
rel
zfii
le:
P
m =
-dp
n=
a-
MdB
'
Nco
sB
'
unde
a =
con
st, a
stfe
l in
ch, c
ondi
tia
(54-
1) s
e m
ai p
oate
scr
ie :
sau
dp
P
--=a-
M
dB
Nco
sB
d~
M d
B
-=*-
P
Nco
sB
Din
ace
astL
ew
ie
dife
ren$
alit
se d
educ
e fo
rmul
a de
cal
cul p
entr
u ra
za v
ecto
are
p ,
din
plan
ul d
e p
roi4
e:
C
nK =
--
Fn ca
re C
est
e o c
onst
ant5
de
inte
grar
e.
- 1
sin c
p, I
Rap
ortu
l cel
or d
oua
raze
pri
ncip
ale
de c
urbu
rg s
e pu
ne s
ub fo
rma:
$0
und
e :
. M
1
-e2
-
-=
- 1-
e2(s
in2
B+
cos2
B)
a =
sin
cp,
(53-
8)
N
1-e
2si
n2
B
1-e
2s
in2
~
, sau
w
177
Cun
stnn
&~
Gh.
WE
.;Y
JU
C
AR
TO
GR
AF
IE I
MA
TE
rnT
ICA
UTCB - F
acul
ulle
a dc
Geo
detie
, B~
mu
ess
M
-=I-
e2
cos2
B
N
I-e
2s
in'B
' ca
re s
e in
locu
ie$e
Tn
(54-
2) ~
i atu
nci:
Rez
ulta
tele
cel
or d
ou
i int
egra
le s
unt
cuno
scut
e de
la p
roie
aa M
erca
tor.
Fol
osin
rlu-
le
si s
crii
nd c
onst
anta
de
inte
grar
e C
sub
for
ma
unui
log
arit
m, p
u~
nd
:
C=
lnK
,
din
(54-
3) r
ezul
t5:
B
1np
=-a
lntg
(45
' +
-)+
ae
ln
tg(4
s0 +
y)
+~
n
K
2 2
sau
unde
sun
t fo
bsi
te n
otat
iile
: B
tg
(45 O
+ -)
U=
qi
sm
iy=
esm
i3,
(54-
5)
tge (
45%
2
in c
ase
e es
te p
rim
a ex
cen
rric
itat
e a e
lips
ei m
erid
iane
P
entr
u a
vede
a ce
rep
rezi
nti
cons
tan&
de
inie
grar
e K
. ap
llcZ
m
form
ula
(54-
4)
pent
ru l
aiit
udin
ea B= 0'
S
e ob
tine
U=
l gi
rezu
ltl
Dec
i, co
nsta
nta
de i
nteg
rare
K
es
tee&
g cu
raza
vec
toae
a
arcu
lui
de c
erc
prin
car
e se
re
prez
ing
ecua
toru
l in
plan
ul d
e pr
oiec
tie.
T
inh
d c
ont
de f
orm
ulel
e st
abil
ite
mai
sus
gi
de f
orm
ulel
e ge
nera
le (
51-2
), r
ezul
ti
m~
Zo
aie
:e fo
lu~
iile
geil
ei&
e pe
ll'-c
rs
prez
zii;
si-e
z e:
ipso
id-;
:iii
de
rotz
tie fx
-,rG
ec$i
co
nic
e d
rep
te c
onfo
rme:
#
.
-6=
crh
;(
unde
wn
st a <
1)
'.
.'
K
p=
- ;(
unde
w
nst
K
= p,
,, =
p,)
ua
Ccn
nanr
m G
h. A
4UN
TE4N
G
CA
RT
OG
RU
E M
AT
E-U
TIC
A
nC
B -
Fac
ulra
reo
de G
c&aE
ile. B
ucur
esn.
Dac
5 Pn
ace
ste
form
ule
se fa
c in
locu
iril
e:
r =R co
scp
e=
O
U=
tg(4
S0 +T) ,
2 at
unci
se
&$i
n ur
m5t
oare
le f
orm
ule
gene
rale
pen
tru
rep
reze
nta
rea
sfer
ei d
e -5
R
, in
p
roie
coi c
onic
e co
nfo
rme
drep
te:
6 =
-ah
; (
md
e w
nst
a <
1 )
cons
t K
= p,,
=
p,
x=
-pc
os6
; (
sau
x=
p,-
pc
os6
)
y =
p s
in 6
(5
4-9)
Din
rre
cele
dou
g co
nsta
nte,
K g
i a ,
care
aga
r in
for
mul
ele
proi
ecfi
ilor
con
ice
conf
orm
e, c
ea r
nai
mar
e in
flue
n@ o
are
con
stan
ta a , ca
re in
terv
ine
in c
alcu
le s
ub f
orm
2 de
ex
pone
nt.
Det
erm
inar
ea c
elor
do
ui
cons
tant
e se
fac
e pe
baz
a un
or c
ondi
$i
supl
imen
iare
pu
se
repr
ezen
tei,
in
afar
a w
ndif
iei
de w
form
itat
e.
In c
ele
ce u
rmea
zk s
unt p
reze
ntat
e ex
empl
e de
det
emin
are
a co
nst
ante
lor a
vi
K ,
pe
~!t
.~~
pr
oie+
ile
sori
se ~
s~L
f=rr
nz
drq
te.
Caz
ul 1
. Rep
reze
ntar
ea w
nf
oa
se fa
ce cu
cond
itia
sup
lim
enta
rz c
a, p
e un
par
alel
da
t, de
Iati
tudi
ne B
o c
unos
cuti
j sl a
vem
: n
o =
l=m
in.
. (5
4- 1
0)
Ace
ast5
con
diti
e co
resp
unde
une
i re
prez
ent%
pe
un
con
tang
ent
para
lelu
lui
de
lati
tudi
ne B
, , cu
nosc
uti.
T
inh
d c
ont
de f
orm
ulel
e ge
nera
le,
cond
ifia
sup
lim
enta
rg (5
4-10
) se
poa
te e
xpri
ma
gi iz f
crm
z:
0 Jld Q,
3
r I 56.
PR
OlE
CT
IA P
SEU
DO
CO
NIC
A E
CH
WA
LE
NT
A B
ON
NE
31
MO
DU
L
1 C
UM
A F
OST
AP
LIC
AT
A I
N R
OM
AW
A
t
In
proi
ecfi
a B
onne
, ca
in
oric
e p
roie
4e
gseu
doco
nicZ
dre
aptk
, as
pect
ul g
enw
l a1
r rq
elei
car
toga
fice
se
cara
cter
iz-B
pr
in m
a 15,
toat
e pa
rale
lele
se
repr
ezin
G p
rin arce d
e ! !
cerc
uri
conc
entr
ice
(ca k p
roie
cfiil
e m
nice
), p
erpe
ndim
lare
pe
o dr
eapt
a ca
re r
epre
zint
g I
mer
idia
nul
med
iu Lo, ia
r ce
iela
lte
mer
idia
ne s
e re
prez
int5
pri
n n
ise
carb
e si
rnet
rice
fafH
de
aces
t mer
idia
n.
I ; I r
R\ +V
7
Coo
rdon
ate
pola
re
si c
ele
rect
angi
ilare
in
pro
iect
ia B
on
~e
In a
farl
de
acea
stg
prop
riet
ate,
val
abilH
pen
tru
toat
e pr
oieq
iile
pse
udoc
onic
e dr
epte
, -
proi
ei$a
B
onne
treb
uie
s2 sa
tisf
acs
~i u
rmiX
toar
ele
cond
i$i
refe
rito
are
la d
efor
ma$
i. I
1 - sZ
fie
ech
ival
entZ
, adi
cZ
p=
l ;
(56-
1)
2 - in
lung
ul o
rici
mi p
aral
el,
defo
rmat
iile
linia
re sZ
fie
nul
e, d
eci
n=
l ;
(56-
2)
3 - k lc
lngd
in
erid
iaah
i rne
diri
def
omat
iile
liii
iaie
SZ
fie,
de
zsm
anea
, o
de,
pri
n ur
rnar
e m
!~=
l (5
1-3)
Poz
itia
unu
i pu
nct
oare
care
, A
, din
proi
+e,
se d
eter
mid
i pr
in c
oord
onat
e pl
ane
. po
lare
, b
,p,
sau
prin
coo
rdon
ate
plan
e re
ctan
gula
re, qy, c
are
se c
alm
leaZ
fin
cfie
de
coor
dona
tele
geo
graf
ice
B,L
.
Dre
apta
ca
re
repr
ezin
a m
erid
ianu
l m
ediu
Lo
se
cons
ider
% a
xa p
olar
% p
entr
u co
ordo
nate
le p
lane
pol
are
gi axa
Oy
penh
-u c
oord
onat
ele p
lane
rect
angu
lare
.
Pun
ctul
O1 , p
olul
coo
rdon
atel
or p
lane
pol
are,
est
e ~i
,=ntru
l ar
celo
r de
cer
c, d
e ra
zZ
p ,
pri?
car
e se
repr
ezin
t2i p
aral
elel
e.
- -
1.84
'
C-a
nhi
GI,.
CA
XT
OG
R&
ElE
MA
TE
M4T
ICA
.' :' UTCB - F
acui
tute
a de
Geo
dezi
t, B
um
rtst
i
Pen
tru
un p
aral
el Bo ,
ales
arb
itrar
(de
obi
cei,
pwai
elul
car
e tr
ece
pe .l
a la
titud
inea
m
edie
a te
rito
iiul
cj d
c re
prez
enta
t), s
e ia
ca
ra5
vect
oare
care
com
titu
ie o
con
stan
t5 a
rbit
rarg
a p
roie
&ei
.
. r
..- 7
.....
..
..
.
4 +y
Raz
ele
vect
oare
p
ale
celo
rlal
te p
aral
ele
se e
xpdn
Z fu
ncfi
e de
p,,
av
hd
in ~
ed
ere
co
ndif
ia (5
6-3)
, obf
inhd
u-se
P=
Po+
(Po-
B)
2 (5
6-5)
k c
are:
0, -
este
o c
onst
ant5
, eg
ali cu l
ungi
mea
arc
ului
de
mer
idia
q de
la
ecua
tor,
ph2
la
la
titud
inea
Bo;
p -
lung
imea
arc
ului
de
mer
idia
q de
la e
cuat
or, p
Zi3
la l
~ti
tudi
nea B
. T
infin
d c
ok
de
aspe
ctul
par
alel
elor
in
proi
eqia
Bo
~e
gi
de c
ondi
$a
n =
1 , re
zult8
ur
mZ
toar
ea f
ornu
15 d
e c
ald
, pe
ntm
mu
1 po
lar:
k c
are
r es
te ra
za p
aral
elul
ui,
iar
p es
te ra
za v
ecto
are
No
thd
cu Bs la
titud
inea
par
alel
ului
car
e Ii
mite
azZ
la s
ud te
rito
riul
de
repr
eten
tac
se
calc
uIea
z& cu
(56-
5), d
ista
nta
01
0:
010 =
P,
=P
O +(P
O -4
s)
. (5
6-7)
st
abili
ndu-
se as
tfel
po
ea
orig
inii
0, i
n ra
port
cu 01 .
Dist
* p,
es
te o
no
ud
cons
tant
5 a
proi
e@ei
ca
re s
e re
gis
ege
?n c
alcu
lul
coor
dona
telo
r rec
tang
ular
e pla
ne:
x=
psi
n6
Y =
ps
-P
msb
(5
6-8)
C
urbe
le p
rin
care
se
repr
ezin
t5 m
erid
iane
le ?n p
roie
c$ia
Bon
ne s
e tr
asea
zfi p
rin
punc
te.
In p
ract
icZ
, at
unci
ciin
d se
urr
nk
ege
cons
tmcf
ia p
e ca
le g
rafi
cii
a no
duri
lor
re9l
ei
cart
ogra
fice
, es
te c
omud
sl
se &
eze
coar
cid
de
lung
ime
K,
pea
m p
unct
ele
situ
ate
pe
acel
qi p
aral
el (
fig.
56-
2).
185
Con
sran
tin G
h. ~
~~
YC
'
CA
RT
OG
WE
MA
TE
MA
TIC
A
sLT
CB
- F
acu
lwte
a de
Gco
dez
ie, 1
3u
curb
-
Cu
m s
-a u
tili
zat
~ro
iec
tia
Bon
ne fn
tara
no
astA
P
entr
u R
om
hia
, p
roie
6a
Bo
rne
are
o im
port
ang
isto
ricZ
, de
oare
ce "
este
pr
ima
pro
ie4
e ap
lica
t5 p
entr
u ^b
tocm
irea
h+
topo
gafi
ce a
Fi
. E
a a
fost
ado
ptat
5 21
anul
187
3,
cin
d a
u fo
st E
cute
$i p
rim
ele
luc
fi d
e ge
odez
ie, In
aces
t sc
op".
Luc
r&-il
e ge
odez
ice
+i t
opog
rafi
ce p
entm
exe
cuta
rea
hw
i to
po
safi
ce Tn
proi
ecfi
a B
onne
au
ince
put
din
nord
ul M
oldo
vei,
de
s~
~k
du
-s
e
trep
tat i
n M
unte
nia
de e
st,
p&
la
ilie
ridi
anul
Zim
aice
a P
entr
u O
lteni
a gi
Mun
teni
a de
ves
t ex
ista
o h
artL
mai
vec
hc, l
a sc
ara
1 : 5
7 60
0, e
mta
t5 pr
in p
roce
dee
expe
diti
ve.
Dup
Z a
nul
1902
, lu
crii
rile
au
cont
inua
t gi
spre
ves
t de
mer
idia
nul
Zim
nice
a,
in
Mun
teni
a d
e ve
st ~
i Olt
enia
, ter
rnin
hdu-
se ?
n an
ul 1
932.
' I
n R
omZ
nia,
pro
iecf
ia B
onne
s-a
apl
icat
?n
mod
neu
nita
r, u
tili
ikd
u-s
e el
ipso
izi
de
refe
rin@
diie
rifi
sis
tem
e d
e ax
e de
coo
rdon
ate
dife
rite
etc
, a
del
: , .
A-
Pe
ntm
Mol
dova
$i
Mu
nte
sia
de
est,
p%nZ
la m
erid
ianu
l Zim
nice
a:
s-a'
folo
sit
elip
soid
ul B
esse
l 18
41;
sist
emul
de
axe
xOy
( fi
g.56
-5a
): m
erid
ianu
l central (axa O
y, s
pre
nord
),
are
long
itud
inea
L
Q = 2
5' es
t Par
is ,
tr&
d pr
in a
prop
iere
de
Tec
uci
$i d
e C5
l&ra$
, ia
r axa
Ox
aste
tang
en2
la p
de
lul
de l
atit
udin
e Bo
= 4
6' 30
' ,
care
trec
e pr
in a
prop
iere
de
loca
lita
tea
Rom
an;
cadru
l une
i fo
i de
har
t2 (
secf
iun
e to
pogr
afic
l")
are
form
a de
p5t
rat
repr
ezef
itin
d, 2
-1
plan
ul d
e pr
oiac
fie,
10 km x
10 km (
cadr
u de
tip
geo
met
ric)
; gr
adaf
ia se
xage
sim
al?t
, lu
crii
rile
de
tere
n au
fos
t ex
ecut
ate,
pen
tru
Mol
dova
, ktr
e a
nii
(iS
73-1
876)
, (1
884-
18
93),
iar
pen
tru
Mun
teni
a de
est,
ph
'a la
mer
idia
nul
Zim
nice
a, i
n pe
rioa
da (
1893
- 19
02).
B.
Pen
tru
Mu
nte
nia
de
vest
de
mer
idia
nu
l Zim
nice
a $i
Ol
te
a
efip
soid
ul C
lark
e (1
880)
; si
stem
ui d
e ax
e m
y (fig.
56-5
b):
axa
Oy,
spr
e no
rd,
este
mer
idiz
iiil
CS
s~
~i
oi
d~
i
-. ep
on
orn
ic d
in B
ucur
esti
, ,a lo
ngit
udin
ea :
L,J =
23'
46
30
" es
t Par
is ,
iar
axa
Ox, s
p?e
est,
est
e ta
ngen
ta la
par
alel
ul d
e la
titu
dine
:
Bo =
45O
'I&$ cu cadru d
e ti
p g
eogr
afic
(tr
apez
cw
bili
niu)
, del
imit
at d
e ar
ce d
e meridian $
i de
para
lel;
ga
&$a
ce
ntes
imal
5;
luc
rHe
de
tere
n au fo
st e
xecu
tate
in p
erio
ada
(190
2-19
32).
Pe
nb
hci
lita
rea
repr
ezen
tkii
re
elei
ca
rto
grd
ce, au
fost
^h
tocm
ite
"Tab
elel
e P
lesi
s",
care
co*
coor
dona
tele
rect
angu
Iare
pla
ne B
onne
ale
nod
urilo
r re
tele
i de
mer
idia
ne
~i p
aral
ele.
I P
entr
u M
oldo
va
i Fi
g.56
- 5 b
I Pe
ntru
Mun
teni
a de
vest
si
Olte
nia
"\ "\.
Lo=23"46'30" e
st P
ans
0
( O
bser
vato
rul a
stro
nom
ic B
ucur
ssti
) +X
57.
PR
OIE
CT
IA H
AR
TII
IN
TE
RN
AT
ION
AL
E L
A S
CA
RA
1:1
00
00
00
In m
u1 1
909,
?n ca
drul
unu
i C
ongr
es in
tern
atio
nal f
inut
la
Lon
dra,
au
fost
pus
e ba
zele
un
ei H
kti
int
erna
tion
ale
a lu
mii
(a
btr
egii
pla
nete
), s
tabi
lind
u-se
: s
cara
(1
: 1
000
OOO)
, el
emen
tele
car
acte
rist
ice
ale
proi
ecti
ei,
nom
encl
atur
a fo
ilor
de
bar@
co
ndit
ii u
nice
de
exec
@ie
etc
, exp
rim
ate
prin
tr-u
n re
gula
men
t d
e fn
tocm
ire
a ac
este
i h&$.
Pro
ieqi
a H
k$
inte
maf
iona
le la
sw
a 1
:l 0
00 0
00
are
la bazL
pro
ieea
pol
icon
icl
sim
p15
amer
ican
Z $
i de
ac
eea
este
de
num
itk
un
eo
i " pr
oie&
a p
oli
con
id
a H-+
inte
rnat
iona
le 1
: 1 0
00 0
00 ".
C
arac
teri
stid
e ge
nera
le a
le a
cest
ei p
roie
cfii,
dup
5 M
.D.S
olov
iev
(301
, sun
t.
1.
Pro
iect
ia i
ntem
atio
nalg
face
par
te d
in g
rupa
pro
iec$
ilor
poli
edri
ce.
Dim
ensi
unil
e tr
apez
elor
sunt
de
4' pe
lati
tudi
ne gi
6'
pe lo
ngit
udii
e, ia
r n
om
encl
atu
ra a
cest
ora
este
cea
.
Co
nsm
rin
Gh.
MV
NTE
&'v/
U
CA
RT
OG
RA
FIE
IM
AT
EM
AT
ICA
. .
OTC
E - F
aculroroa
de G
eode
rie,
Bu
au
~~
~
9
fo!o
sitZ
vi d
e pr
oiec
fia
Gau
ss, pentru
trap
ezel
e de
repr
ezen
tat l
a sc
ara
I: 1
000
000
(
pent
ru
, fo
ile
de
hartA
1:l
000
000
in
proi
ecti
a G
auss
, nom
encl
atur
a a
fast
pre
luat
5 de
la
foi
le
.j E
T4
i in
tern
atio
nale
1 :1
000
000
).
2.
Par
alel
elc
care
lim
it-5
trap
end,
la
nord
gi
la s
ud,
se r
epre
zint
a pr
in a
rce
de
cerc
uri e
xcen
tric
e, c
u ra
ze
I P
= N
ctg
B ,
(5 7
- 1)
iar
cent
rele
ace
stor
a su
nt s
itua
te p
e pr
elun
gire
a m
erid
ianu
lui m
ediu
a1
fiec
liru
i tra
pez,
car
e es
le re
ctil
iniu
. 3.
Arc
ele
de m
erid
ian
(din
fiec
are
trap
ez)
se re
prez
intz
ca
linii
drep
te (s
pre
decs
ebir
e de
pro
ie+
a po
licon
icti,
tn
care
mer
idia
nele
se
repr
ezin
ti p
rin
curb
e;
de a
ceea
pro
iect
ia
1 in
term
tion
all e
ste
denu
rnit2
une
ori ' 'p
olic
onic
5 m
odif
icaG
").
4. L
ungi
mil
e pa
rdel
elor
ext
rem
e al
e fi
ec
hi t
rape
z se
rep
rezi
fi n
edef
om
te,
deci
n,
=
n,
=1
(5
7-2)
5.
Dou
H m
erid
iane
, si
tuat
e !a
o di
fere
np d
e lo
ngit
udin
e de
+2'
fa
@ d
e m
erid
ianu
l in
ediu
(ca
re w
ece
prin
cen
trd
trap
ezul
ui),
se
repr
etin
t5 n
edef
orm
ate
ca lu
ngim
e.
6.
Ret
eaua
car
togr
afic
2 se
tras
eazi
l din
gra
d in
gra
d.
7. T
rasa
rea
para
lele
lor
inte
rioa
re.
Con
gres
ul d
e la
Lon
dra
n-a
dat
indi
catii
pre
cise
cu p
rivi
re l
a re
prez
enta
rea
para
lele
lor
inte
rioa
re.
Spe
cial
igii
au
dat
dive
rse
solu
tii c
u pr
ivir
e la
ace
ase
prob
lem
l. I
n pr
actic
Z,
s-a
bucu
rat
de m
ai m
ult
inte
res
met
oda
lui
Hin
ks,
care
a
prop
us c
a pa
rale
lele
sH i
mpa
rt5
toat
e m
erid
iane
le in
p&+
eyaI
e.
8. E
lips
oidu
l fol
osit
a f
ost C
lark
e (1
SSO
).
In v
edsr
ea s
atis
face
rii c
ondi
fiei
man
tion
zte
la p
unct
ul5,
de
mai
sus
, est
e ne
cesa
r ca
in
repr
ezen
tare
a m
erid
ianu
lui
med
iu d
tra
peru
lui
sH
se p
rodu
ca o
def
orm
afie
neg
ativ
g (s
pre
dsos
gbir
e d
e pr
oiec
tia
poli
coni
d si
mpl
ii am
enca
n& u
nde
mer
idia
nul
med
iu a
3 zo
nei
se
repr
ezin
tk &E
i de
form
afii
de
lung
ime)
.
Pen
tru
repr
ezen
tare
a ca
drul
ui ~
i a r
egel
ei c
arto
graf
ice
ale
unui
tr
apez
la
scar
a 1:
1 0
00 0
00,
se p
roce
deaz
ii as
tfel
: - S
e tr
asea
zii p
e h&
a de
des
en o
dre
apt.5
ver
tica
l& c
are
repr
ezin
tg m
erid
ianu
l cen
tral
d tr
apez
ului
~i a
xa xx', a
poi s
e ia
, pe
acea
sta
drea
ptZ
, seg
men
ml
0s
ON
(fi
g. 5
7-1)
.
08
, =(
SO.&
-S
o.F&
)-K
r
(57-
3)
1 I in c
are:
So,
- rep
rezi
nt5
lung
imea
unu
i ar
c de
mer
idia
n, m
gsur
at p
e el
ipso
id,
de l
a ec
uato
r,
ph
% la la
titu
dine
a B
;
K
- est
e o
wr
ee
, in
trod
usZ
pen
tru
a sa
tisf
ace
cond
i9a
de la
pun
ctu1
5 .
- In
punc
tele
Os
gi O
N s
e du
c pe
rpen
dicu
lare
pe
axa xx';
Zn f
elul
ace
sta,
fiec
are
din
cele
dou
ii p
aral
ele,
Bs
si BN ,
are
o ax
a p
rop
rie
pent
ru y
. Pun
ctel
e pa
rale
lulu
i BN (a
, b,
C, ..
. c'
) pr
imes
c co
ordo
nare
Tn s
iste
mul
car
e ar
e or
igin
ea 7n
GN, iar
punc
tele
par
alel
ului
2s
(4 2,
C
, ...
C')
prim
esc
coor
dona
te Z
n si
ster
nu1
care
are o
rigi
nea
in
0s
. S
e m
port
eaz5
nod
uril
e ig
elei
car
togr
afic
e.
! - P
aral
elel
e ex
trem
e Bs g
i EN w
tras
eazi
l uni
nd p
rim
-o l
ink
cur
b% ~
nti
nu
x
punc
tele
)
care
au
wee
a~i la
titu
dine
. Mer
idia
nele
se
tras
eai5
uni
nd p
rin
lin
ii d
rep
te p
unct
ele
de a
ceea
~i
long
itudi
ne, s
itua
te p
e ce
le d
ouH
par
alel
e ex
trem
e.
I - T
rasa
rea
para
lele
lor
ints
rioa
re s
e fa
ce im
p%nd
fi
ecar
e ar
c d
e m
erid
ian,
de
patm
i
gade
, in p
atru
se
pe
nte
egal
e ~i
unin
d pu
ncte
le re
spec
tive
pri
n lin
ii cu
rbe
cont
inui
.
For
mul
ele
pefi
tm c
oord
onat
ele
plan
e pe
par
alel
ele
extr
eme
se r
ledu
c fin
hd c
ont
de
(57-
I),
(57-
2),
$i d
e (f
ig.5
7-2)
. St
iind
cH r
aza
vect
oare
are
exp
resi
c p
= N
ctg
B,
cdcu
llim
ung
hiul
pol
ar h
nct
ie d
e /
lung
imea
arcu
lui d
e ps
alel
: LL - I.
,,)N
cosB
S~
-
\
&=
--
=(
L-
So
)~
B
a
Nco
sB
r
sin
B
Prin
urm
are,
cuo
rdon
atel
e pl
ane
pola
re a
le a
le p
unct
elor
de
pe p
aral
elel
e ex
trem
e se
ca
lcul
eaza
cu
form
ulel
e.
Fig.
57 -
1
Ret
eaua
car
togr
aflc
a
L
intr-
un tr
apez
I:?
000 000'
iar
coor
dona
tele
rect
aupl
are
plan
e, Tn
sist
emul
de
axe
arat
at in (
fig.
57-2
), cu
form
ulel
e:
Cdc
uPui
bef
orm
aGei
abs
olut
e Ii: (c
orec
eiej
, be
pe
mer
idia
nu
l rne
biu
Con
form
rela
$ei
(57-
9, i
n (f
ig.5
7-3)
treb
uie
sZ a
vem
:
0s0
, =
(So&
-S
,,EI
1-K
(5
7-3)
Con
scan
tin G
h ~
E4
hl
ri
CA
RT
OG
RA
JTE
MA
TE
M4T
ICA
.3
XB
- F
amlln
reu
de G
eod
ezie
, Buc
ures
d
Men
dian
ul. d
e lo
ngit
udin
e L
+~O
are
c2 i
~~
zir
?e
bB
, ia
r p
roie
4a.
!~i p
e m
erid
ianu
l m
ediu
est
e se
men
tul
bo B
O .
r
a'
a -1
Dar
b
oB
c = G
,O,
+(x
, --
x,)
(5
7-6)
1n
loc.
uiild
cu (
57-3
) in
acea
sti3
exp
resi
e, s
e ob
rine
: bo
B0
=(S
o,&
-so
.Bsf
-R+
(xD
-xz!
(57-
7)
Pen
tru
acel
a~i se
gmen
t, di
n tr
iung
hiul
dre
ptun
ghic
BD
b re
z~lt
8:
b,
~,
=
b~
= 4-
(57
31
;i
fiin
dcH
sei
men
tul
bB
se re
prez
ints
ned
efor
mat
,
bB =
(SO
.Bx
-SO
.& ! I
ard
infi
g.5
7-3
re
iese
cZ
BD
=y
,-y
b
, el
a$a
(57-
8) s
e po
atd
scri
e:
b0
~,
=
J(sQ
BN
-s
o.B
. )I
-(y
B - Y b
)'
(57-
9;
Egz
IEzd
re!
z$ii!
e (5
7-7'
'j ~
i (57
-0) se o
wiz
e:
'
For
mul
a (5
7-10
) pe
rmit
e s2 s
e ca
lcul
eze d
efor
mat
ia (
core
*)
Y c
are
treb
uie
apli
cat5
le
ridi
anul
ui m
ediu
. In
sco
pul
faci
lit5
rii
caIc
ulel
or ?
n p
roie
Ga
H-i
inte
rnaG
omle
1:l
000
000
, au
fos
t lt
ocm
ite
tabe
le,
din
care
se
pot
extr
age
valo
rile
arc
elor
de
mer
idia
n gi
core
cfia
K,
pent
ru
37e de h~~tli o~
pri
llse
btr
e la
titu
dini
le 0
' $
60'.
Con
cluz
ii cu
pri
vire
la d
efor
mat
ii
Pe
fiec
are
foai
e a
Hw
i in
tern
afio
nale
1:1
000
090
exi
st5
patr
u li
nii
de d
efor
mat
ie
: nu
15 :
cel
e do
uH p
araf
ele
extr
eme
$i c
ele
dou5
mer
idia
ne s
itua
te s
irne
tric
, la
. dou
L p
de
se
xage
sim
ale,
fa@
de m
erid
ianu
l cen
tral
a1
foii
.
Pe
mer
idia
nele
sit
uate
fnt
re c
ele
do
G n
edef
orm
ate,
se
prod
uc d
efom
atii
neg
ativ
e,
care
pot
ati
nge
-0,6
1 m
/km
, ia
r pe
res
td m
erid
iane
lor
se p
rodu
c de
form
afii
poz
itiv
e, c
are
pot
atin
ge +
0,7
6 d
m.
P
e pa
rale
le; e
xcep
thd
cel
e do
uZ p
aral
de e
xtie
me,
se p
rodu
c de
foxm
atii
.nc,
v&g,
cel
e m
ai m
ari f
iind
pe p
aral
eiul
cen
tral
a1 t
rape
zulu
i (fig. 573).
Pe
pm-a
lele
, ex
cep
thd
cel
e do
ug p
aral
ele
extr
eme,
se
prod
uc d
efon
na!i
i ne
gati
ve, c
ele
mai
mar
i fi
ind
pe p
aral
elul
cen
tral
a1 t
rape
zulu
i (fig. 5
7-41
,
i
a)
pe w
ioan
e b)
pe z
one
si m
loan
e _I
Fig
. 57
-5.
Rac
orda
rea t
rape
zelo
r vec
ine,
ale
hi%-$
inte
rnat
iona
le 1
: 1 0
00 0
00
I
Pac
ord
area
foi
lor
de
hart
5 In p
roie
qia
W&
r$i in
tern
alio
nale
1:l
000
000
, a
wc
i cd
nd a
l2tu
r&m
foil
e ve
cine
din
sb
eeqi
col
oan&
nu
apar
intr
erup
eri
sau
supr
apun
eri
(fig
52-
5 a)
, in
s& d
ata
hcer
cZm
sH
le
- ra
cord
kn p
e zo
ne g
i pe
col
oane
, ca
h (fig. 5
7-5
b),
atun
ci a
par
htre
mpe
ri i
n lu
ngul
ra
leie
lor.
I i
Cal
cuiu
l mpt
urii
, in
uni
tgg
ungh
iula
re, s
e po
ate
face
cu
rela
tia:
- i
E' =
25'
,15c
osB
,
(57-
1 1)
"- j ,
izr
rupt
ura
lini
arg
a] a2
se
poat
e ev
alua
cu
aju
tod
for
mul
ei :
L
Re,+tt
H c;i, p
rin
allt
war
ea a
pat
ru f
oi d
e ha
rt&
val
oare
a un
ghiu
laZ
a r
uptu
rii
nu
+p
Qe~
te 25
,I,
cea li
niar
i2 3,25
min,
iar
acea
sta
are
loc Pn z
ona
ecua
tori
all.
ku
crsr
ile
din
Bra
moa
stri
, pen
fna Ha*
inte
rnaf
iooa
l5 1
:l 0
00 0
00
Rom
@ni
a z
ader
at l
a ho
t&&
ie C
nnye
sulu
i pr
ivi~
ld in
tocm
irea
Wi
in
tern
afio
nale
: 0
00 0
00 gi
i-a
reve
nit i
ntoc
mir
ea a
601
.15 fu
i Je hit.
r L
-34
- (C
luj-
Nap
oca)
, av
hd
coo
idon
atel
e ge
ogra
f~ce
: -
I r
&=a0;
~~
'4
8'
;
~~
'1
s'
;
h=
2!
';
~~
=2
4'
.
L-3
5 - (
Buc
urgt
i),
&I co
ordo
nate
le g
eogr
afic
e :
- -
~~
=4
4:;
3~~48';
Lp
24
;
=2
?;
~~
~3
0'
.
Pen
tru
trap
emf L35 - (
Bu
curq
ti),
au
fost
ob+
ute
valo
rile
num
eric
e :
(So.
, - So
.,) =
444
>60
mm
K
=
0,13
mm
i
O,O, =
444,
47 mm
a di
rnen
siun
ile fo
ii :
45 c
m
x
48 e
m .
. .
8 .,
:
. <
. .
"
WI
TO
L UL
M
- P
XO
BL
EM
E D
E C
AR
TO
ME
TR
IE
: .,
'
58.
TRASAREA R
ET
EL
EI
MIL
OM
ET
IUC
E PE H
AR
TA
Rqe
auz
kilo
met
rid
este
fo
rmat
Z din
drep
te
pd
ele
la
axel
e de
w
ordo
nate
re
ctan
gula
re p
lane
. In
terv
alul
din
tre
Lin
iile
succ
esiv
e al
e re
plei
est
e co
nsta
nt g
i re
prez
intg
un
nurn
zr
rotu
nd d
e ki
lom
etri
sau s
ute
de m
et*
ad
el i
n&
se fo
rmea
z5 o
ref
ea d
e p
bat
e, o
rien
tatii
.
Fig
.58
- 1
Tra
sare
a re
tele
i ki
lorn
etric
e
Pre
supu
nem
c5
avem
o f
oaie
de
hark
& intr-o
proi
eqie
cun
oscu
G ; p
e hart&
sau
la
cad-
nu
est
e m
arca
t ca
roia
jul k
ilom
etri
c, d
ar e
ste
repr
ezen
tatZ
refe
aua
de m
erid
iane
gi d
e pa
rale
le. Pen
tru
patr
u pu
ncte
, q
B,C
,D,
situ
ate
c&e
co1p
riIe
zon
ei fn
care
dor
im s
l tr
ash
w
oiaj
ul,
pres
upun
em d
am r
eu~
it sH
.: de1
emiG
.m c
oord
onat
ele
rect
angu
lare
pla
ne,
in
pro
iMa
foii
de
hart
5.
Stab
itim
val
oril
e nu
mer
ice
XN ,
xs , y
v , YE . al
e un
ora
din
drep
tele
car
oiaj
ului
ki
lom
etri
c, p
e ca
re v
rem
&-1
tra
sh.
Pen
tru trasarea d
rept
ei
x =
x~
, ca
re t
rece
pri
n v
ecat
atea
pun
ctel
or A
gi
B,
se
un a
rc d
e cerc , de
(XA - X&
cu c
ed
in A
, ap
oi
m c
entt
d 53
B,
se ra
seaz
5
Cm
an
tin
Glr
LW
LN
EW
C
AR
TO
GR
AF
IE M
AT
EM
AT
ICA
UTCB - Fa
cuIr
area
de
Geo
dczi
e, B
m+
esti
-
alt
arc
de c
erc,
cu
raza
(xB - xN),
si s
e du
ce o
dre
apt5
tang
ent5
la c
ele
dou2
arc
e, c
a in
fi
gura
58
-1.
Ace
asta
est
e to
cmai
dre
apta
x =
x~
. P
entm
tra
sare
a dr
epte
i y
= y
v , n
e se
rvim
de
cent
rele
A
si C, di
n ca
re s
e tr
asea
zg
arce
le d
e ce
rc cu
raze
le O
~V - ya)
, re
spec
tiv
CYV -
yc),
si s
e du
ce d
reap
ta y
= y
v , t
ange
nt2
la
cele
do&
ace
de
cerc
, ca 3
fig.
58- 1
. P
roce
dh
d a
sem
FiG
tor,
se
tras
eaz5
gi
cele
lalt
e do
u5 d
rept
e, d
up5
care
, se
ver
ific
g pa
rale
lism
d lo
r.
Apo
i, re
feau
a se
ind
eseg
te, d
upg
nevo
i.
Cel
e pa
tru
punc
te , A
, B, C, G
, ar
put
ea fi
, un
eori
, col
turi
le tr
apez
ului
cur
bili
niu
care
d
eli
mit
4 fo
aia
de h
ad5 sm
punc
te g
eode
zice
de
coor
dona
te c
unos
cute
+i p
reci
s ra
port
ate
pe h
art2
Pe
Wl
e to
poga
fice
~i p
e un
ele
h+
/ pl
anur
i ca
dast
rale
, ca
roia
jul k
ilom
etri
c es
te
tip
st,
cu o
den
sita
te c
are
depi
nde
de s
cara
hw
i. E
l es
te f
oart
e ut
il i
n re
zolv
area
rnu
ltor
pr
oble
me
de c
arto
met
rie,
?n ca
re s
e op
erea
zg cu
coo
rdon
ate
rect
ansl
are
plan
e.
r
1
Dete
rmin
are
s co
ordo
naie
lor
irnu
i pun
ct d
e pe
,har
ta
59.
DE
TE
RM
INA
RE
A C
OO
RD
ON
AT
EL
OR
U
NLS
I P
UN
CT
DE
PE
HA
RT
A
SAU
RA
PGIP
TA
KE
A U
iWX
PU
PK
T S
AT
FE
D C
BO
XE
OX
AT
E
Coo
rdon
atel
e ge
ogra
-tice
al
e un
ui p
unct
de
pe h
xt5
pot
fi d
eter
min
ate
gafi
c, f
olos
ind
refe
aua
de m
erid
iane
pa
rale
le. R
ezol
vare
a se
redu
ce la
o p
robl
em5
de in
terp
olar
e P
entm
ca
rezu
ltat
ele d f
ie c
2t m
ai e
xact
?, t
rebu
ie c
a de
nsit
atea
rete
lei c
arto
graf
ice sl
fi
e su
fici
erit
de
mar
e, a
stfe
l kc%
, in
inte
rval
ul d
intr
e do
u5 p
aral
ele
sau
mer
idia
ne s
ucce
sive
, di
-ele
de p
e h
art5
s5
fie
prop
orti
onal
e cu d
ifer
enfe
le de
coo
rdon
ate.
P
entm
a d
eter
min
a co
ordo
nate
le g
eo
gd
ce
B, L
al
e un
ui p
unct
oar
ecar
e P
,
cuno
scZ
nd c
oord
onat
ele
B1 , B
z , L1 , Lz ,
se m
&.o
arZ
dir
ect,
cu o
rig1
5 g
adat
% d
ista
qele
dl
, dz
,I1
, l2
, a
poi,
din
prop
or$i
te :
B-B
, - B
, -B
B
,=---
(d,
+d
,)
d,
d2
... :
. ..
(59
?1)..
.
, ,
L, -L, - L
-L, -
L,
-L
,:. ...
,
-" '.
-----
-.
I . '
, 1,
12
.
.
. .,
.
'.
se
ded
uce:
...
.. .
..
.
, .
. .
-,
: ,:
.. \;;
.;
'.
...
, '
. .: ,! ::.
> .: .
. .
. .
...
Inve
rs,
da&
do
rim
d r
ap
ort
k
pe h
artZ
i un p
unct
P
(B,L
), u
tili
zhd
refe
aua
de
mer
idia
ne ~
i par
alel
e, a
tunc
i, pl
ecZ
nd d
e la
ace
leq
i pr
opo+
i (5
9-l)
, se m
bo
ar5
pe
-- cu ~
=&la
, (dl
+dz
) gi (I1
+
I2),
apoi
se
calc
ulea
zla:
cu a
juto
rul c
ko
ra se
poa
te ra
port
a pu
nctu
l pe
harG
. A
nalo
g se
poa
te p
roce
da ,s
i atu
nci &
d, in
locu
l coo
rdon
atel
or g
eogr
afic
e $i
al
refe
lei
de m
erid
iane
$i p
aral
ele,
se
utiI
izea
z5 c
oord
onat
e re
ctan
gula
re p
lane
~i r
etea
ua k
ilom
etri
cZ. I
n ac
est c
aq n
e pu
tem
fol
osi ~
i de
scar
a g
afi
ci a
Wi
.
60.
DE
TE
RM
INA
RE
A UNEI D
IST
AN
TE
CU A
JUT
OR
UL
UN
EI
HA
RT
1
In I
egat
urZ
i cu
mku
rare
a d
istq
elo
r cu
aju
toru
l hw
or,
ne
pute
m g
&.i ?n un
ele
situ
atii
ti
pice
, cum
sun
t :
1. U
rmea
zZ sH
fac
em m
Mto
are
a p
e o barti
topo
graf
ic8
la s
car5
med
ie s
au m
are,
de
exem
plu in p
roie
c+a
ster
eogr
&c5
197
0 sa
u in p
roi*
G
auss
sau
?n
proi
ec$i
a U
TM
. In
astf
el
de p
roie
cfii
, def
orr
na~
ile lu
ngim
ilor
sun
t, in
gen
eral
, m
ici
~i ,
de o
bice
i, nu
dep
gges
c er
oare
a gr
afic
k In s
itua
tii
de a
cest
fel
, pr
oble
ma
cons
t2 i%
a .a
prec
ia &
t m
ai e
xact
dis
tan
9 c
itif
i pe
rig
15 ,s
i de
a el
imin
a, s
au rn
ic,s
ora.
& m
ai m
ulf
efec
tul d
efor
mat
iilo
r loc
ale
ale
hw
ei,
.. . - . -----:.-. .r.._- "-~ .... -., k -.-*..- L... , . I. ..; . _. ... l < . . . . ,. , . . ,: . .
. i . . , : . , . . ? . i . ... i r : , - ., , ! . . . . t , . . . . i i I I ,. , . - . . .
