7/28/2019 Cas6_vaps i Veps

1/5

Ampliaci de matemtiques

PROBLEMES ENTREGAR

INSTRUCCIONS: Us recomano pensar i resoldre els exercicis en parelles. Aquest exercici s de

carcter voluntari. Data d'entrega: 15 d'abril de 2013

CAS 6. VALORS PROPIS I VECTORS PROPIS

Definici

Sigui A una matriu nxn, es diu que un nmero s un valor propi (VAP) de A si existeix unvector , no nul, tal que : En aquest cas, el vector soluci

, es diu que s un vector propi (VEP) de A, corresponent al

valor propi (en angls, s'anomena eigenvalor i s'anomena eigenvector).Exemple1

Comprova que ( ) s un vector propi de la matriu ( ) .

Calculem la multiplicaci : ( ) ( ) () ( )

Per tant, ( ) s un vector propi de A, corresponent al valor propi .Procs de clcul dels VAPs de A:

Aplicant les propietats de les matrius, podem expressar la igualtat

com:

on s la matriu identitat.D'aquesta forma, tenim un sistema homogeni:

[( ) ( ) ] (

) ()

s a dir:

( ) () ()

7/28/2019 Cas6_vaps i Veps

2/5

Al ser homogeni, sabem que una soluci sempre ser () per a la definici de VEP, ensinteressen les solucions no trivials, s a dir, que el vector no sigui el vector nul i per tant,necessitem que aquest sistema de n equacions i n incgnites sigui compatible indeterminat. Aix

noms passar quan el rang de la matriu de coeficients sigui menor que n.

Per tant, s'ha de complir que: Aquesta condici es tradueix en una equaci de grau n on la nica incgnita s . S'anomenaequaci caracterstica de A. Per tant seran les arrels d'aquest polinomi de grau n (polinomicaracterstic).

Exemple2

Calcular els valors propis de la matriu .El polinomi caracterstic s: Per tant, l'equaci caracterstica s Les seves solucions sn i . Aquests dos valors sn els dos valors propis de A.

Procs de clcul dels VEPs de A:Un cop trobats els VAPs de A, per cada un, resolem el sistema homogeni: que ja sabem que ens donar compatible indeterminat (podem aplicar, per exemple, el mtode deGauss per resoldre el sistema). Per cada valor propi, els vectors propis seran els vectors linealmentindependents que generen totes aquestes solucions.

Continuaci de l'exemple2

Trobar els vectors propis de la matriu :Resolem el sistema per cada valor propi trobat anteriorment. Per Per tant, tots els vectors soluci sn de la forma

. Si agafem els coeficients de k,

obtenim el vector propi , corresponent al VAP

7/28/2019 Cas6_vaps i Veps

3/5

Per

Per tant, tots els vectors soluci sn de la forma

. Si agafem els coeficients de i enaquest cas doblem el vector obtingut (per evitar les fraccions),

obtenim el vector propi , corresponent al VAP (observaci: tamb podrem haver agafat el vector propi )

Exemple3

Calcula els VAPs i els VEPs de la matriu ( ).Calculem els VAPs:

| | = 0L'equaci caracterstica t solucions: sn i . Aquests sn els tres valorspropis de A.

Calculem els VEPs: Per

( |)

( |) {

A partir d'aqu, podem considerar el coeficients de k (i ho multipliquem per 13 tot i no sernecessari),

obtenim el VEP ( ), corresponent al VAP Per

( |)

( |)

( |) (

|)

Tenint en compte el canvi de columnes:

7/28/2019 Cas6_vaps i Veps

4/5

obtenim el VEP (

), corresponent al VAP

Per ( |

) ( |

) ( |

) ( |

)Tenint en compte el canvi de columnes:

obtenim el VEP ( ) , corresponent al VAP

Exemple 4

Calcula els VAPs i els VEPs de la matriu ( ).Calculem els VAPs:

| | = 0L'equaci caracterstica t solucions: sn

i

. Aquests sn els valors

propis de A. (el VAP

t multiplicitat 2)

Calculem els VEPs:

Per ( |

) ( |

)

Si agafem com a vectors generadors els coeficients de d'una banda i els de de l'altraobtenim dos vectors generadors i per tant,

obtenim els VEPs ( ) i ( ) , corresponents al VAP

7/28/2019 Cas6_vaps i Veps

5/5

Per ( |

) ( |

) ( |

)

obtenim el VEP

(), corresponent al VAP

Exercicis

1. Determinar els valors i els vectors propis de les segents matrius: c) ( ) ( )

2. Es defineix la traa d'una matriu com la suma dels elements de la seva diagonal principal.Comprovar, en les 4 matrius anteriors, les dues propietats segents:

La traa d'una matriu coincideix amb la suma dels seus valors propis (tenint en comptela multiplicitat)

El determinant d'una matriu coincideix amb el producte dels seus valors propis (teninten compte la multiplicitat)

3. A partir de la matriu A de l'exercici 1, definim una matriu T formada pels VEPs de Acollocats en columna, i sigui D una matriu diagonal on els elements de la diagonal sn elsVAPs de A. Comprova que: Observaci: en aquest cas, es diu que la matriu A diagonalitza. Aix passar sempre queuna matriu A nxn, tingui n vectors propis linealment independents. En l'exercici 1, les

matrius A i C diagonalitzen, mentre que les matrius B i D no ho fan.