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ejercicios elasticidad
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CASOS PRÁCTICOS 1, 2, 3 Y 4
ELASTICIDAD Y RESISTÉNCIA DE MATERIALES I
Robert Campos Ruf
05/06/2012
CURSO 2011/2012
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 2
ÍNDICE
1.- Práctica 1: Leyes de esfuerzo ............................................................................... 3
1.1.- Enunciado caso práctico 1 ............................................................................ 3
1.2.- Solución del caso práctico 1 ......................................................................... 3
1.3.- Tabla de resultados caso práctico 1 .............................................................. 6
2.- Práctica 2: Tensiones ............................................................................................ 7
2.1.- Enunciado caso práctico 2 ............................................................................ 7
2.2.- Solución del caso práctico 2 ......................................................................... 7
2.2.1.- Forma analítica ..................................................................................... 7
2.2.2.- Forma gráfica ........................................................................................ 10
2.3.- Resultados caso práctico 2 ............................................................................ 11
3.- Práctica 3: Deformaciones ................................................................................... 12
3.1.-Enunciado caso práctico 3 ............................................................................. 12
3.2.- Solución del caso práctico 3 ......................................................................... 12
3.3.- Resultados del caso práctico 3 ...................................................................... 15
4.- Práctica 4: Tensión-Deformación......................................................................... 16
4.1.- Enunciado caso práctico 4 ............................................................................ 16
4.2.- Solución del caso práctico 4 ......................................................................... 17
4.3.- Resultados del caso práctico 4 ...................................................................... 19
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 3
1. Práctica 1: Leyes de esfuerzos.
1.1 Enunciado caso práctico 1.
1.2 Solución del caso práctico 1.
Calculo de la carga distribuida:
R=3·14= 42 kN
Cálculos de reacciones, R1y, R1x y R2y:
Para calcular aplicamos las leyes de la estática:
∑M1=05-42·14+14· R2y+4·21=0;
=
∑ Fy=0 R1y -42+35,64+4=0; R1y=42-35,64-4=2,36kN
∑ Fx=0 R1x=0 kN
Una vez calculado las reacciones calcularemos las leyes de esfuerzos internos:
Criterio de signos de las leyes de esfuerzo
interno:
R1y R2y
R1x
+
+
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 4
Tramo 1: 0 ≤ x≤ 7:
M(x)= R1y·x= 2,36·x kN
Q(x)=- R1y=-2,36 kN
N(x)= 0 kN
M(x=0) = 2,36·0=0 kN
M(x=7) = 2, 36·7=16,52 kN
Q(x=0) = -2,36=-2,36 kN
Q(x=7) = -2, 36=-2,36 kN
Tramo 2: 7 ≤ x≤ 14:
Carga distribuida:
M(x)= R1y·x - 5-
·(x-7)= 2,36·x – 5 -
Q(x)=- R1y +
=-2,36
M(x)
Q(x)
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 5
N(x)= 0 kN
M(x=7) = 2,36·7 – 5 -
11,52 kN
M(x=14) = 2,36·14– 5 -
-45,46 kN
Q(x=7) = -2,36
=-2,36 kN
Q(x=14) = -2, 36
=8,14 kN
Tramo 3: 14 ≤ x≤ 21:
Carga distribuida:
M(x)=- -
+ 4·(21-x) kN
Q(x)= - + 4 kN
N(x)= 0 kN
M(x=14) = - -
+ 4·(21-14)= -45,5 kN
M(x=21) = - -
+ 4·(21-21)= 0 kN
Q(x=14) = - + 4= -17 kN
Q(x=21) = - + 4= 4 kN
M(x)
Q(x)
Q(x)
M(x)
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 6
Gráficos leyes de esfuerzo internas:
Momento flector, M(x):
Esfuerzos cortantes, Q(x):
Esfuerzo axil, N(x):
Apunte: La escala de los gráficos es, 1:10.
1.3 Tabla resultados caso práctico 1.
M(x) Q(x) N(x)
Tramo 1: 0 ≤ x≤ 7
M(x=0)=0 kN
M(x=7) =16,52 kN
Q(x=0) =-2,36 kN
Q(x=7) =-2,36 kN
N(x=0) =0 kN
N(x=7) =0 kN
Tramo 2: 7 ≤ x≤ 14
M(x=7) =11,52 kN
M(x=14) =-45,46 kN
Q(x=7) =-2,36 kN
Q(x=14) =8,14 kN
N(x=7) =0 kN
N(x=14) =0 kN
Tramo 3: 14 ≤ x≤ 21
M(x=14) =-45,46 kN
M(x=21) =0 kN
Q(x=14) =-17 kN
Q(x=21) =4 kN
N(x=14) =0 kN
N(x=21) =0 kN
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 7
τyz=4MPa
2. Práctica 2: Tensiones
2.1 Enunciado del caso práctico 2.
2.2 Solución del caso práctico 2.
Empezamos montando la matriz de deformaciones [T] y buscando el vector .
=
=
[T]=
2.2.1 Forma analítica:
Calculo σppales y ppales:
σ
σ σ
⇒ -σ3+σ2
+57σ+7=0;
σ1=8,12MPa;
σ2=-0,12MPa;
σ3=-7MPa
σnz=3MPa
σnx=7MPa
σny=5MPa
Calcular:
σppales y ppales
σn y τ para el plano, cuya normal forma
=30º con “y” y 60º con “z”. (forma
analítica y gráfica.
Tabla resultados:
σ1, σ2 y σ3 (con σ1> σ2 > σ3)
σn y τ para el plano definido por
σnz necesario para obtener σn= 3MPa
manteniendo iguales la resta de los
valores.
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 8
Una vez encontrado las tensiones principales buscaremos las ppales:
Para σ1=8,12MPa
·
=
Para σ2=-0,12MPa
·
=
Para σ3=-7MPa
·
=
Las ppales, son: , y
α=0
β=-0,62
γ=0,79
α=0
β=0,79
γ=0,61
α=0
β=-0,32
γ=0,94
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 9
Una vez calculado ppales, calcularemos σn y τ en la dirección del vector :
=
·
·
Cálculo de la cuando el valor de , conservado los mismos valores
anteriores.
[T]=
=
·
=
Aplicamos la formula siguiente e igualaremos a 3MPa.
·
⇒
Aislamos ⇒
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 10
2.2.2 Forma gráfica:
Las medidas del gráfico están expresadas en cm.
Explicación: Primero hacemos los círculos blancos que son las tensiones
principales (σppales). Lo siguiente es encontrar el ángulo α y lo haremos
multiplicando y haciendo el arco coseno, da 8,44º. Trazamos una línea
(línea roja) que pasa por c2 y c1, a continuación desde el centro de la
circunferencia c3 trazamos un arco que pase por la intersección entre recta y
circunferencia (nos queda el arco rojo). Para encontrar el ángulo γ lo haremos
multiplicando y haciendo el arco coseno, da 78,88º. Trazamos una línea
(línea azul) que pasa por c3 y c1, a continuación desde el centro de la
circunferencia c2 trazamos un arco que pase por la intersección entre recta y
circunferencia (nos queda la circunferencia azul).
Para encontrar σn y τ gráficamente trazamos una línea (línea verde) desde el
punto “0” hasta la intersección M. Tomamos la medida en horizontal que nos
dará la σn= 7,68MPa y la medida en vertical que pertenece a τ= 1,89MPa.
La τ nos da este error a causa de los decimales en los cálculos analíticos.
σ3 σ1 σ2
c3
c1
c2
γ
α
M
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 11
2.3 Resultados caso práctico 2:
σ1=8,12MPa
σ2=-0,12MPa
σ3=-7MPa
ppales:
; ;
= (forma analítica); = (forma gráfica)
= (forma analítica); = (forma gráfica)
Cuando buscamos .
σppales
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 12
3. Práctica 3: Deformaciones
3.1 Enunciado caso práctico 3.
Calcular:
La matriz de deformaciones.
Las deformaciones principales y sus direcciones.
La deformación angular (Γxa) producida entre el eje ‘x’ y la dirección de la
galga ‘a’.
3.2 Solución caso práctico 3.
Cálculo de la matriz de deformaciones.
Utilizaremos la formula siguiente para relacionar la matriz de deformaciones con
las deformaciones unitarias. El vector vendrá definido por las direcciones de
las galgas extensométricas. Sabemos ya que este está situado encima
del eje x, por lo tanto 3·10-3
= · ;
=
⇒7·10-3
=
·
·
⇒7·10-3
=
(1)
Se conocen las deformaciones unitarias
medidas en las galgas extensométricas 'a', 'b' y
'c'.
= 7·10-3
= 5·10-3
= 3·10-3
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 13
= · ;
=
⇒5·10-3
=
·
·
⇒5·10-3
=
(2)
Cogemos las ecuaciones (1) y (2), construimos un sistema y resolvemos.
7·10-3
=
(1)
5·10-3
=
(2)
Con los valores obtenidos construimos la matriz de deformaciones.
Las deformaciones principales y sus direcciones.
Para calcular las deformaciones principales cogemos la matriz de
deformaciones, [D], y restamos .
= ⇒ ⇒
Una vez sabemos el valor de las deformaciones principales, buscamos sus
direcciones. Para hacerlo cogeremos la matriz de deformaciones y le restaremos
los valores de y y montaremos un sistema de ecuaciones con α y β igualando a 0.
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 14
Para
·
Para
·
Las ppales, son: .
La deformación angular (Γxa) producida entre el eje ‘x’ y la dirección de la galga
‘a’.
Aplicamos la formula de encontrar la deformación angular. Para hacerlo
iremos a los ejes de las galgas extensométricas y utilizaremos las galgas ‘c’ y
‘a’. El ángulo que forman las dos galgas es de 60º.
α=0,26
β=0,97
α=-0,97
β=0,25
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 15
3.3 Resultados caso práctico 3.
Matriz de deformaciones:
Deformaciones principales:
Direcciones principales: y
La deformación angular (Γxa) producida entre el eje ‘x’ y la dirección de la galga
‘a’:
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 16
4. Práctica 4: Tensión-Deformación
4.1 Enunciado caso práctico 4.
Tabla de resultados:
Material 1 (pieza azul):
E1=7·104 MPa
L1= 50 cm
b1= 21cm
h1= 42cm
T1= 3 kN/cm2
μ= 0,2
b1
h1
L1
b2
h2
L2
Material 2 (pieza verde):
E2=3·104 MPa
L2= 30 cm
b2= 21cm
h2= 4cm
T1= 7 kN/cm2
μ= 0,25
Material 3 (pieza roja):
E3=2·105 MPa
Ω3= 5cm2
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 17
4.2 Solución caso práctico 4.
Antes de empezar hacer ningún cálculo pasaremos todas las unidades a Newtons
(N) y centímetros (cm).
Una veza hemos hecho la conversión haremos una tabla para saber que
incógnitas sabemos y que variables ya tenemos tanto en tensiones como
deformaciones.
Material 1 Material 2 Material 3
Por la definición de deformación y mediante el enunciado sabemos lo siguiente:
Aplicamos las leyes de Hooke generalizadas a la ecuación anterior.
=
Substituimos
=
=
(1)
Tenemos una ecuación y tres incógnitas, nos falta dos ecuaciones para resolver
el sistema. Estas las buscaremos a través de las fuerzas:
?
=? ?
=?
?
=? ?
=?
?
=? ?
=?
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 18
*Las fuerzas dibujadas no tienen que ir así, están dibujadas bajo mi criterio.
⇒ ⇒
⇒ (2)
⇒ ⇒
⇒ (3)
Una vez tenemos las ecuaciones 1, 2 y 3 montamos el sistema:
=
(1)
(2)
(3)
F3 F1 F3 F2
Las tensiones y son negativas
porque trabajan a compresión. La
tensión es positiva porque trabaja a
tracción.
Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 19
4.3 Resultados caso práctico 4.