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华杰 MBA 《数学核心考点精化. 习题答案与详解》 版权所有 抄袭必究 www.huajie100.com
华杰专注 MBA考前培训 17年! 全国咨询热线 400 8801 596
第十三章 排列组合概率
【注 1】以下解题过程仅参考。 【注 2】更多的方法请观看老师系统班排列组合概率课程。
1 、【 解 析 】 条 件 ( 1 ), 610
410 CC = ; 条 件 ( 2 ), 126
12346789
44
494
9 =××××××
==PP
C ,
84123789
33
393
969 =
××××
===PP
CC ,则 69
49 CC > ,充分。
【答案】B
2、【解析】 4 1 731 31
n nC C− += 4 1 7n n⇒ − = + 或者4 1 7 31n n− + + = ,所以83
n = 或者 5n = .
条件(1) ( 3)( 4) 0 3n n n− − = ⇒ = 或者 4n = ,不充分.
条件(2) ( 4)( 6) 0 4n n n− − = ⇒ = 或者 6n = ,不充分.
考虑联合,联合为 4n = ,也不充分. 【答案】E 3、【解析】此题利用组合数的计算规则,采用排除法较为快速,排除 A、B、D,选 C。 【答案】C
4、【解析】 111
)2()1(1
21 −=== −
−−−−
−− mCCC m
mmm
mm ,
6)1()1(
33
313
1)2()1(
121
−+==== +
+−−+
+−+
nnnPPCCC n
nnn
nnn ,
则 ∑=
−+ =
+=
−+⋅
−=
−
n
k
nn knnnnn
nC
n 1
21 2
)1(6
)1()1(1
31
3,
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12
34
则 ∑=
=−n
kkm
11 ⇒ ∑
=
+=n
kkm
11
【答案】D 【注】秒杀法请看黄河的系统班课程。
5、【解析】任意两站之间都有车票,且往返车票不同,则条件(1)有 9022
210 =PC 充分;
条件(2)有 7222
29 =PC 不充分。
【答案】A 6、【解析】“若每两次陈列的商品不完全相同”等价于“每两次拿出 5 种的商品不完全相同”,等价
于“15 件产品任取 5 件”,即 515
15 14 13 12 11 30035 4 3 2 1
C ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅种
【答案】B 7、【解析】本题为涂色问题,
① 先在“1”区域涂色,有15C 种涂法;
② 在“ 2 ”区域涂色,由于不能与“1”区域颜色相同,有 14C 种
涂法;
③ 在“3”区域涂色,由于不能与“1”,“2 ”区域颜色相同,有13C 种涂法;
④ 在“4 ”区域涂色,只要不与“2 ”,“3”区域颜色相同即可,有13C 种涂法;
根据分步原理,则共有涂法: 18013
13
14
15 =CCCC 。
【答案】D
8、【解析】构成的矩形的个数为 280225 =⋅ nCC ,解得 8=n 。
【答案】D
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9、【解析】从 1 2 6, ,...,A A A 中取2 个点,再从 1 2 7, ,...,B B B ,中取2 个点,构成四边形,对角线必然
相交于一点,则交点共有 2 26 7 315C C = 个。
【答案】A 【注】不考虑交点在线段上的情况也不考虑交点重合的情况。
10、【解析】特殊位置优先安排,先选出个位数字 16C ,剩下的千位,百位,十位从剩下的 5 个数字
选 3 个数字出来就满足题干的要求了 35C ,所以四位数有 60 个。
【答案】D 【注】更多方法见黄河系统班排列组合概率课程。 11、【解析】条件(1)可以从种子选手的角度考虑,每天每队只比赛一场,一个队只跟其它 11 个
队比赛,所以需要 11 天完成比赛,充分。条件(2)比赛需要 6 天,不充分。 【答案】A 【注】更多方法见黄河系统班排列组合概率课程。
12、【解析】假设受伤选手是第二小组的,则第一小组比赛场数为: 24 6C = ,第二小组比赛场数为:
231 4C+ = ,所以小组赛的实际比赛场数是10场。(单循环赛是每两个队只进行一场比赛)
【答案】E 13、【解析】假设一个球队胜了a 场,平了b 场,负了c场,那么列方程有
≤≤≤≤≤≤
=++
808080
8
cba
cba
,则它的得分 bay += 3 的可能性有 240 ≤≤ y 且 23≠y ,所以 y 的取值有 24 种
可能。 【答案】B
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*********************************************************************************** ***********************************************************************************
14、【解析】 22224 216)2(3 xxC =−⋅⋅ 。
【答案】D
15、【解析】3322
5 720)2(3 xxC −=−⋅⋅
【答案】B
16、【解析】2211
1 2)1(2 −−−+ +=⋅⋅ nnn
n nnxC
【答案】B
17、【解析】 28)1()( 23
628 =−
xxC
【答案】D
18、【解析】6)
33( xx− 中的常数项为: 20)
3()3( 333
6 −=−x
xC 。
【答案】C
19、【解析】
4
+
xax 的展开式中,常数项为: 66)( 2222
4 ==⋅⋅ axaxC ,解得 1±=a 。条件(1)
充分,条件(2)不充分。 【答案】A
20、【解析】考虑rrrC −⋅⋅ 504
50 )3()2( ,成为有理数必须要2r和
450 r−
均为整数才行,解出
50,46,42,38,34,30,26,22,18,14,10,6,2=r 共 13 项。
【答案】C
【注】考虑rrrC )3()2( 450
50−
,必须要2
50 r−和
4r均为整数才行,解出 48,,8,4,0 =r 共 13 项。
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21、【解析】 7)1( ax− 的展开式中 3x 的系数为:33
7 )( aC − ; 6)1( −ax 的展开式中 2x 的系数为:
4246 )1()( −aC ,解得
73
−=a ,条件(2)充分。
【答案】B
22、【解析】2x 的系数:
257 aC ;
3x 的系数:34
7 aC ;4x 的系数:
437aC ;成等差数列,所以
437
257
3472 aCaCaC += ,化简 03105 2 =+− aa ,根据求根公式解得
5101±=a 。
【答案】C
23、【解析】44
855
833
8 2 ααα CCC =+ ,化简得 0252 2 =+− αα ,因式分解求得 221
== αα or
【答案】A
24、【解析】 )2()2( 310 xxx −+ 的展开式中 11x 项的系数为:
1111210
328210
010010 178)24(2)2(2 xxCxxCxxC =−=⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅
【答案】C
25、【解析】 102 )1()1( xx −+ 的展开式中 4x 的系数为:
28210
2022
37310
1112
46410
0202 )(11)(11)(11 xCxCxCxCxCxC −⋅⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅
44210
310
12
410 15)( xxCCCC =+−= 。
【答案】B
26、【解析】 2 5 2 2 2 2 2( 3 1) ( 3 1)( 3 1)( 3 1)( 3 1)( 3 1)x x x x x x x x x x x x+ + = + + + + + + + + + +
2x 可以由 2x 与常数之积产生;也可以由3x与3x之积产生;
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2抽查:7正品: 3次品:
1) 2 25 3 90C ⋅ = 2) 1 5
5 1 5C ⋅ = 则90 5 95+ =
【解析】黄老师上课方法:232023
325
05
401244
04
15 95)1()3()()1()3()( xxxCCCxxCCC =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 。
大家可以利用我的方法把前面所有的题再练习一遍。 【答案】E *********************************************************************************** *********************************************************************************** 27、【解析】:
1) 1 1 13
17CC
2) 0 2 23
07CC
(1)“一般事件数”—10件产品中有3件次品,从中随机抽出2 件,共有多少种不同的选法?
45210 =C
(2)“特殊事件数”—10件产品中有3件次品,从中随机抽出2 件,至少抽到一件次品的选法有多少
种?
2423
07
13
17 =+ CCCC
而“概率=特殊事件数
一般事件数”
则10件产品中有3件次品,从中随机抽出2 件,至少抽到一件次品的概率是
158
210
23
07
13
17 =
+=
CCCCCp 。
【参考答案】:D
28、【解析】至少 2 名男生:2 名男生 1 名女生或者 3 名男生,所以 5035
14
25 =+CCC
【答案】A
【注】请同学思考为什么这样做出错: 0616
25 =CC (先从 5 名男生中选 2 人,再从剩下的 6 人中选
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1 人)错的地方当然是重复了,请思考明白!
29、【解析】一般事件: 49C 种;特殊事件数: 1 3
1 8C C 种;故概率为:1 31 8
49
49
C CC
=
【答案】D
30、【解析】“总的事件数”: 10 个人选 3 人;“特殊事件数”:每个专业选一人。1 1 15 4 1
310
16
C C CC
=
【答案】E 31、【解析】一般事件数:从 12 页试卷中抽出 1 页,有 12 种可能。
特殊事件数:抽出的 1 页是数学的可能有 4 种可能。
概率31
124==P
【答案】E
32、【解析】一般事件“10 件灯泡中随机抽出 5 件灯泡”:510C
特殊事件“5 件都是合格品”: 57C ,所以概率为:
121
510
57 =
CC
【答案】A
33、【解析】一般事件“10 件灯泡中随机抽出 5 件灯泡”: 510C
特殊事件“3 件是合格品 2 件是不合格”: 23
37CC ,所以概率为:
125
510
23
37 =C
CC
【答案】B
34、【解析】一般事件“10件产品中随机抽出2 件”: 210C ,特殊事件“至少有一件次品”: 1 1 0 2
7 3 7 3C C C C+ ,
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则至少抽到一件次品的概率是:1 1 0 27 3 7 3
210
815
C C C CC+
= 。
【答案】D 同 27 题
35、【解析】条件(1)1 13 2
25
6 0.610
C CC
= = ,充分;条件(2)1 14 2
26
8 0.615
C CC
= ≠ ,不充分
【答案】A
36、【解析】一般事件数:24 6C = ( 4 只球中任取2 球);特殊事件数: 1 1
2 2 4C C = (红球与三色球两
个球中取1球,则有红色,而另一只球从黑球、白球两个球中取1球),则概率为:1 12 2
24
23
C CC
=
【答案】D
37、【解析】一般事件: 410C ,特殊事件:①2 红 2 黑,
2 26 4C C ;②1 红 3 黑,
1 36 4C C ;③0 红 4 黑
0 46 4C C ,
概率为:2 2 1 3 0 46 4 6 4 6 4
410
2342
C C C C C CC
+ +=
【答案】A
38、【解析】“总的事件数” 1035 == C ,
“特殊事件数” 1 21 3 3C C= = (4 号球一定选上,剩下的只能在1、 2 、 3这 3个球中任选 2 个),
3 0.310
p = = .
【答案】A
39、【解析】条件(1)说明布袋中的球数为2 10
0.2= 个,得不出黄球的个数,不充分;条件(2)
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不充分;联合有黄球的概率为0.3,所以黄球的个数为10 0.3 3× = 个,充分。 【答案】C 40、【解析】条件(1)举反例:布袋中有 2 个白球,2 个黑球,1 个红球,则随机取出的一球是白
球的概率为52,布袋中红球不是最多,不充分;条件(2)举反例:布袋中有 3 个白球,1 个黑球,
1 个红球,则随机取出的两球中至少有一个黑球的概率为:51
254
54
51
<=⋅ ,布袋中红球不是最多,
不充分;考虑联合,设取出一个红球的概率为 p ,那么由条件(2)取出两球中没有黑球的概率大
于54
,而取出两球中没有黑球分类:两球是白球,两球是红球,一球白一球红:
54
522
52
52 2 >⋅⋅++⋅ pp ,可以解得
21
>p ,所以红球的数量最多
【答案】C
41、【解析】O型血的有 110C 种选法,A型血的有 1
5C 种选法,B 型血的有 18C 种选法,AB 型血的有
13C 种选法,根据乘法原理有: 1 1 1 1
10 5 8 3 1200C C C C =
【答案】A
42、【解析】一般事件:236C ;
特殊事件数:①两人血型相同的是 A型 212C ;②两人血型相同的是 B 型 2
10C ;③两人血型相同的
是 AB 型 28C ;④两人血型相同的是O型 2
6C ;则两人血型相同的概率为:2 2 2 2
12 10 8 6236
77315
C C C CC
+ + +=
【答案】A
43、【解析】 1 1 1 1 1 12 3 2 4 3 4 26C C C C C C+ + = 种。
【答案】B
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44、【解析】总共有 6 个班,其中有 2 个班和另 2 个班课程重复,所以不同选课方式为:
2 2 26 2 2 13C C C− − = 种。
【答案】D
45、【解析】条件(1)从11人中任选三人有 311 165C = 种,排除对立面“来自同一科室”,即 3 3
6 3 21C C+ =
种,则有 3 3 36 3 2 6 3( ) 165 21 144C C C+ + − + = − = 种选法,每天一种,有 144 天是不同的选择,充分;
条件(2) 1 1 16 3 2 36 62C C C⋅ ⋅ = < ,不充分。
【答案】A
46、【解析】分类考虑:①只能做英语翻译的选 2 人,只能做法语翻译的选 1 人,2 14 3 18C C = ;
②只能做英语翻译的选 1 人,只能做法语翻译的选 2 人, 1 24 3 12C C = ;
③既能做英语翻译的又能做法语翻译的选 1 人,剩下的选 2 人, 1 21 7 21C C = ;共有 51 人。
【答案】E 47、【解析】
总共有六座桥梁可供选择,在其中任选3座,有 36 20C = ,其中该种图案不满足要求:
故 36 4 16C − = 种。
【答案】B
48、【解析】设 A =“甲考试合格”, 设 B =“乙考试合格”;则 AB =“甲乙考试都合格”, ,A B独
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立。甲考试合格有两类:
第一类为甲恰好答对2 题: 2 18 2C C ;第二类为甲恰好答对3题: 3
8C ;
故甲考试合格的概率为2 1 38 2 8
310
14( )15
C C CP AC+
= = ;
同理乙考试合格有两类:
第一类为乙恰好答对2 题: 2 16 4C C ;第二类为乙恰好答对 3 题: 3
6C ;
故乙考试合格的概率为2 1 36 4 6
310
2( )3
C C CP AC+
= = ;
所以甲乙考试都合格的是28( ) ( ) ( )45
P AB P A P B= = 。
【注】此题不是很严谨,“甲乙抽出 3 题是相互独立的” 【答案】A 49、【解析】一般事件数:100 种,特殊事件数:20+14-2=32 种,所以概率为 0.32。 【答案】D 50、【解析】价格的总可能性有 513,135,353,535,353,531,319共 6 种(其中353两次重复,只能算一
次),而正确的价格只有1种,所以顾客一次猜中价格的概率是16
p =
【答案】B
51、【解析】特殊事件,共4 件(可以取 ( , ) (1,1), (3,3), (5,5), (7,7)a b = );
一般事件数: 25 1 24− = ( (0,0) 不能构成直线),则4 124 6
=
【答案】B 52、【解析】特殊事件数:先从4 种赠品中任取一种作为相同的品种,则一位顾客应从选剩下的3种
赠品中任取一种,另一位顾客应从选剩下的 2 种赠品中任取一种,1 1 14 3 2C C C ;一般事件数:一位顾
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客从4 种赠品中任取2 种,另一位顾客从4 种赠品中任取2 种, 2 24 4C C ,概率为:
1 1 14 3 2
2 24 4
23
C C CC C
= .
【答案】E *********************************************************************************** 53、【解析】一般事件:前两位可选数字共有 1001010 =× 种, 特殊事件:前两位数字都不超过 5(小于等于 5)共有 3666 =× 种,概率为 0.36。 【答案】A
54、【解析】一般事件:36 20C = ,特殊事件:列举法 10 1 3 6= + + 或者 10 1 4 5= + + 或者
10 2 3 5= + + 共三种,所以概率为3 0.15
20=
【答案】C 55、【解析】一般事件:“两前,一前一中,一前一后,两中,一中一后,两后”共 6 种,
特殊事件:不超过 70 元为:“一前一后,两中,一中一后,两后”共 4 种,概率为32
【答案】D 56、【解析】该质点移动3个坐标单位到达点 3x = 可以分为以下三类:
1) 每次移动一个坐标单位,共移动3次,概率为
32 83 27
=
;
2)先移动一个坐标单位,再移动两个坐标单位到达,概率为2 1 63 3 27⋅ = ;
3)先移动两个坐标单位,再移动一个坐标单位到达,概率为1 2 63 3 27⋅ = ;
根据加法原理:8 6 6 2027 27 27 27
+ + =
【答案】B
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57、【解析】分类讨论,甲获得冠军的可能为:①甲胜乙,丙胜丁,甲胜丙, 3.05.03.0 ⋅⋅ ②甲胜乙,
丁胜丙,甲胜丁, 8.05.03.0 ⋅⋅ ,算出概率为 165.0 【答案】A
58、【解析】分类:①从甲袋中抓出白球,从乙袋中抓出白球,115
83⋅ ,②从甲袋中抓出黑球,从乙
袋中抓出黑球,117
85⋅ ,所以概率为
8850
117
85
115
83
=⋅+⋅ 。
【答案】E 59、【解析】分类:①甲发球乙回球失败,则乙输掉一分的概率为:0.3;
②甲发球成功,乙回球成功,甲再回球成功,乙回球失败,则乙输掉一分的概率为
0.210.50.60.7 =×× ,所以在这几个回合中,乙输掉一分的概率为 0.51。
【答案】D
60、【解析】一般事件:4
12C ;特殊事件: 4 1 1 1 16 2 2 2 2C C C C C (这样可以保证没有成双的鞋子),则概率
为:4 1 1 1 16 2 2 2 2
412
1633
C C C C CC
= 。
【答案】C
61、【解析】甲获胜的可能:“正,反反反正,反反反反反反正,...”概率为:74...
21
21
21
74 =+++
乙获胜的可能:“反,反正,反反反反正,反反反反反反反正,...”概率为:72...
21
21
21
852 =+++
丙获胜的可能:“反,反反正,反反反反反正,反反反反反反反反正...”概率为:71...
21
21
21
963 =+++
【答案】D 62、【解析】由于盒子中有 0只,1只,2只,...10只铜螺母是等可能的,则拿每个盒子的概率为
111。
今随机从盒中取出一个螺母,该螺母是铜螺母的可能性为:
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若拿到的是 0只铜螺母的盒子,则拿到铜螺母的概率为111
111× (第一个
111是拿 0只铜螺母的盒子
的概率,第二个111是该盒子中拿到的铜螺母的概率,因为该盒子中有 10和螺母加上放进去的 1个
铜螺母,所以拿到铜螺母的概率为111);
若拿到的是有 1只铜螺母的盒子,则拿到铜螺母的概率为112
111× ;
若拿到的是有 2只铜螺母的盒子,则拿到铜螺母的概率为113
111× ;
若拿到的是有 3只铜螺母的盒子,则拿到铜螺母的概率为114
111× ;...
若拿到的是有 10只铜螺母的盒子,则拿到铜螺母的概率为1111
111× .
根据加法原理,所以概率为116
1111
111
113
111
112
111
111
111
=×++×+×+×
【答案】A
63、【解析】一般事件:三个开关随机闭合两个,23 3C = ;特殊事件: 3S 闭合, 1 2,S S 闭合一个即
可, 1 11 2 2C C = ,概率为
23。
【答案】E 64、【解析】一般事件:连续停留 2 天,有 13 种选择;特殊事件:空气质量优良,有 4 种选择,(1
日 2 日;2 日 3 日;12 日 13 日;13 日 14 日),所以此人停留期间空气质量都是优良的概率为134
。
【答案】B 65、【解析】每条棱中间的3个小正立方体有两面涂有红漆, 共有 36123 =× 个这样的小正立方体; 而8个顶点的小正立方体有三面涂有红漆; 共有 44836 =+ 个小正立方体至少两面涂有红漆,
则 352.012544
==p 。
【答案】D
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66、【解析】64 个正方体中有 8 个正方体的三面是有红漆的,一般事件:364C ;特殊事件,
38
156
28
256
18 CCCCC ++ ;至少有1个三面是红漆的小正方体的概率是: 335.03
64
38
156
28
256
18 ≈
++C
CCCCC
【答案】E
67、【解析】条件(1)一般事件: 1 13 3 9C C = ,特殊事件:利用例举法得出有5个组合满足,所以概
率为59,充分;同理条件(2)也充分。
【答案】D
68、【解析】一般事件数: 26 36= 。特殊事件数如下:
1) 1, 1, 2,3, 4x y= = ;2) 2, 1, 2,3x y= = ;3) 3, 1,2x y= = ;4) 4, 1x y= = ;
共有10种。故概率是10 536 18
= 。(落在圆内,需要满足 1822 <+ yx )
【答案】D
69、【解析】一般事件:26 36= 。特殊事件数如下:
1) 1, 1, 2,3, 4x y= = ;2) 2, 1, 2,3x y= = ;3) 3, 1,2x y= = ;4) 4, 1x y= = ;
共有10种。故概率是10 536 18
= 。(落在三角形内,需要满足
<+>>
600
yxyx
)
【答案】E
70、【解析】条件(1) 3=a ,则 222 )()( aayax =−+− 为 222 3)3()3( =−+− yx
满足条件的有:① 1=x , 1=y ,2 ,3, 4 ,5;② 2=x , 1=y , 2 ,3, 4 ,5
③ 3=x , 1=y , 2 ,3, 4 ,5;④ 4=x , 1=y ,2 ,3, 4 ,5;
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⑤ 5=x , 1=y , 2 ,3, 4 ,5;共 25 种结果,则点 ),( ts 落入圆 222 3)3()3( =−+− yx 的概
率为41
625
2 ≠ ,不充分。
条件(2) 2=a ,则 222 )()( aayax =−+− 为 222 2)2()2( =−+− yx
满足条件的有:① 1=x , 1=y ,2 ,3;② 2=x , 1=y ,2 ,3;③ 3=x , 1=y ,2 ,3;
共9种结果,则点 ),( ts 落入圆 222 2)2()2( =−+− yx 的概率为41
69
2 = ,充分
【答案】B
71、【解析】临界状态考虑,要使得 AB 是最大边的概率等于21,也就是说 P 点的可能性为 CD 线段
的一半,根据图形,所以 21, PP 是四分点,假设 xDP =1 ,那么47
4)3()4( 22
=−
=x
xxABAD
,因
为概率是大于21,所以
47
<ABAD
。条件(1)充分。
【答案】A *********************************************************************************** 72、【解析】第一个人可以有3种不同的选择;第二个人可以有3种不同的选择; 第三个人可以有3种不同的选择;第四个人可以有3种不同的选择;
第五个人可以有3种不同的选择;根据乘法原理有: 53 243= 种不同的报法
【答案】A
73、【解析】“一般事件数” 6443 == ,“特殊事件数” 633 == P ,则概率
323
646==p
【答案】D
74、【解析】“一般事件数” 6443 == (将3人放入4 间房中)
“特殊事件数” 2433
34 =⋅= PC (先从4 间房中选3间,再将3个人放入3间房,且1人1间)。
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则 =p “特殊事件数”/“一般事件数” 375.06424
43
33
34 ==⋅
=PC
。
【答案】B
75、【解析】“一般事件数”=“3个人,每人都以相同的概率被分配到4 间房的每一间的分法” 34= ;
“特殊事件数”=“某指定房间中恰有2 人的分法”:
① 先从3个人任意选2 个人放入某指定房间有 23C ;
② 再把剩下的1个人放入剩下的3间房中的一间有 13C ;
则649
43
13
23 ===CCp
“一般事件数”
“特殊事件数”。
【答案】C 76、【解析】
【答案】D
77 、【 解 析 】 1 ) 第 一 步 : 从 A B→ 有 ( )甲:山,乙:山 , ( )甲:大,乙:大 ,
( )甲:山,乙:大 , ( )甲:大,乙:山 ,共4 种;
2)若第一步为 ( )甲:山,乙:山 ,
甲 乙 丙
白红01
白红11
白红02
白红12
①
②
③
④
82201
12 =⋅⋅CC
412
11
12 =⋅⋅ CCC
212
01
22 =⋅⋅ CCC
111
22 =⋅CC
95
2 71 5
31248
3 ==+++
=p
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则第二步从 B C→ ,有 ( )甲:山,乙:山 ,( )甲:大,乙:山 ,( )甲:山,乙:大 ,共3种;
即排除二人都更改道路: ( )甲:大,乙:大 。
3)同理,第三步从C A→ ,即排除二人都更改道路的那种情形,共3种。 根据分步原理有4 3 3 36× × = 种。 【答案】C *********************************************************************************** 78、【解析】6 个人中有 1 个人得一等奖,剩下的 5 个人有 2 个得到二等奖,剩下的 3 个人得到三等
奖: 6033
25
16 =CCC 种结果。
【答案】D
79、【解析】先把班级分三组,一组 1 个班,一组 2 个班,一组 3 个班,33
25
16 CCC ,再把三个老师
分给三个小组, 33P ,所以分法有 3603
333
25
16 =PCCC 种
【答案】B
80、【解析】先将4 封信分成2 、1、1共3堆,有 622
12
12
24 =
⋅⋅P
CCC种分法,
再将3堆不同的信放入3个不同的邮箱,有 633 =P 种投法,
根据乘法原理,共有 3666332
2
12
12
24 =⋅=⋅
⋅⋅ PP
CCC种投法。
【答案】C
81、【解析】第一步:将5名志愿者分为2,1,1,1共 4 堆,有2 1 1 15 3 2 1
33
10C C C CP
= ;第二步:将这4 组分
配到4 所中学,有 44 24P = ;根据乘法原理有
2 1 1 145 3 2 1
433
240C C C C PP
⋅ = 种
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【答案】A
82、【解析】10 组选手平均分 2 组的可能有5 510 5
22
C CP
种,两位选手不在同一组,先把 8 个分 2 组,再
与 2 名种子选手排4 4
28 422
2
C C PP
⋅ ,所以概率为4 48 45 510 5
22
59
C CC C
P
=
【答案】C
83、【解析】一般事件:6个人分甲乙丙三组,平均每组两人:22
24
26 CCC ;
特殊事件:每组都是异性: 33
33 PP ;所以概率为:
52
【答案】E 84、【解析】10个相同的小球,中间有9个空隙,在这9个空隙中任取3个空隙,可将这10个相同
的小球分为4 堆,因此 39 84C = 。
【答案】B ***********************************************************************************
85、【解析】1)先安排某一种工种,只能在前4 个中选择一种,即 14C ;
2)剩下的4 个工种随便排列,即 44P ;根据乘法原理有 1 4
4 4 96C P =
【答案】A
86、【解析】剩下的四位号码从九个数字里面选四个数字任意排列:4
9 3024P = 。
【答案】C
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87、【解析】先选后排, 720055
24
35 =⋅⋅ PCC 。
【答案】D
88、【解析】2个女生在第二局和第四局有 22 2P = 种,剩下3个男生只能在第一局、第三局和第五局
有 33 6P = 种,根据乘法原理有 2 6 12× = 种.
【答案】A
89、【解析】条件(1)先从两名女生选一人出来进行第一位面试,剩下任意排列:1 42 4 48C P = ,不
充分;条件(2)第二位是指定男生,有一种选法,剩下四个位置四个人任意排列: 1 41 4 24C P = ,
充分。 【答案】B
90、【解析】(1)“一般事件数”6 名与会者坐10个座位,有 6 610 6C P 种坐法
(2)求“特殊事件数”先从6 名与会者选4 名,坐4 个座位,有 4 46 4C P 种坐法,
再让剩下的 2 名与会者坐另外6 个座位中的 2 个,有 2 26 2C P 种坐法,根据乘法原理,则指定的 4 个
座位被坐满的坐法共有 4 4 2 26 4 6 2C P C P 种坐法;则概率为:
4 4 2 26 4 6 2
6 610 6
114
C P C PC P
= 。
【答案】A
91、【解析】利用捆绑法,先三个家庭内部排列,然后每个家庭看成整体进行排列: 4)!3(
【答案】D
92、【解析】11个座位安排2 人就座,总的坐法种数为 2 211 2 110C P = 种。
两个相邻的坐法共有 228 16P = 种:
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因此,有110 16 94− = 种不相邻的坐法。 【答案】C 93、【解析】错排问题,4 个错排,有 9 种选择。 【答案】D *********************************************************************************** 94、【解析】条件(1)合格的概率是 20.81 0.6561 0.8= < ,不充分. 条件(2)合格的概率是 20.9 0.81 0.8= > ,充分. 【答案】B
95、【解析】 , ,A B C 三个为并联关系,则1 (1 )(1 )(1 )p q r− − − − 而, 1 2,D D 与 , ,A B C 构成串联电
路,则 )]1)(1)(1(1[)()]1)(1)(1(1)[( 221 rqpsDPrqpDP −−−−=−−−−
【答案】E
96、【解析】直接套用公式:
334
2 1 323 3 81
C =
。
【答案】C 97、【解析】①“他在每一个路口遇到红灯的事件相互独立”, 事件是独立的。 ②“王先生驾车从家到单位必须经过三个有红绿灯的十字路口”,事件是重复的。 ③“他在每一个路口遇到红灯的概率都是 5.0 ”,事先知道概率
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只有联合(1)(2),才会使以上三点都成立,那么该事件就是一个独立重复事件,其概率为
125.0)211()
21( 300
3 =−C ,因此联合充分。
【答案】C
98、【解析】条件(1)12815)2.01()2.0( 71077
10 ≠− −C ,不充分;
条件(2)12815
1024120)5.01()5.0( 71077
10 ==− −C ,充分。
【答案】B 99、【解析】设流感的发病率为 p ,从对立面思考问题,则 3 中至少有 1 人患该种流感的概率为
( )31 1 p− − 。条件(1) 0.3p = , ( )3 31 1 1 0.7 0.271p− − = − ≠ ,不充分;
条件(2) 0.1p = , ( )3 31 1 1 0.9 0.271p− − = − = ,充分
【答案】B
100、【解析】条件(1)答对 2 道题或者答对 3 道题: 2 2 3 33 3
2 1 2 20( ) ( )3 3 3 27
C C+ = ,充分.
条件(2)推出答错各题的概率是13,则答对的概率是
23,于是等价条件(1),充分
【答案】D
101、【解析】成功报警的对立面是没有一个报警,则1 (1 ) 0.999np− − ≥ ;
条件(1) 3n = , 0.9p = ,则 31 (1 0.9) 0.999− − = ,充分;
条件(2) 2n = , 0.97p = ,则 21 (1 0.97) 0.9991− − = ,充分
【答案】D
102、【解析】条件(1)显然不充分,条件(2)显然也不充分;联合(1)(2)有 9744.0)6.01(1 4 =−−=P ,
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不充分。 【答案】E
103、【解析】51
210
11
19 ==
CCC
P ,条件(1) 2=n , PQ <=⋅−=10019
109
1091 不充分,条件(2)
PQ >=⋅⋅−=1000271
109
109
1091 ,充分
【答案】B 104、【解析】一个人的血型为O型的概率为 46.0 ,不是O型的概率为 54.0 。
至多一人血型为O型,可以分为两类:
1) 血型为O型的一个人也没有: 0459.0)54.0()46.0( 5005 =C
2)血型为O型的有一人: 1956.0)54.0()46.0( 4115 =C
根据加法原理有 241.01956.00459.0 ≈+ 。 【答案】D
105、【解析】A:表示“单天超过15人”的事件,则 ( ) 0.25 0.2 0.05 0.5P A = + + = ,B:表示“单
天不超过15人”的事件,则 ( ) 0.1 0.2 0.2 0.5P B = + + = 。
解法一:“连续两天至少有一天超过15人”的概率:
( ) ( ) ( ) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5P P AB P BA P AA= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅
解法二:“连续两天至少有一天超过15人”的概率 1 ( ) 1 0.5 0.5 0.75P P BB= − = − ⋅ =
【答案】E 106、【解析】用反面做最快,“至少有一个是 A 类细菌”的反面是“没有一个是 A 类细菌”,而没有
一个是 A 类细菌意味着全部是 B 类细菌,概率为 n)21( ,所以至少有一个是 A 类细菌的概率为:
n)21(1− 。
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【答案】D 107、【解析】甲选手以 1:4 战胜乙选手,则比赛共进行5局,甲在前 4 局败了1局,最后一局一定
是甲胜(如若甲在最后一局败了,则前4 局全胜,比赛的结果为 0:4 ,根本无需赛第5局,因此甲
在前4 局败了1局,最后一局一定是甲胜)甲在甲在前4 局败了1局,可以在任何一局败,并无指定。
则甲选手以 1:4 战胜乙选手的概率为 334334 7.084.07.0)7.01()7.0( ×=⋅− −C 。
【答案】A 108、【解析】有 5 次试验,说明最后 1 次成功,前 4 次成功 1 次,失败 3 次,有贝努利定律有:
1 3 2 34 (1 ) 4 (1 )C p p p p p− ⋅ = − 。
【答案】A 109、【解析】“这三个事件不全发生”的对立事件是“这三个事件全发生”。
则 P (“这三个事件不全发生”)= −1 P (“这三个事件全发生”) 3321 1)(1 pAAAP −=−=
而选项 C. 32323 133331)1(3)1( ppppppppp −=−+−+−=−+− 。 【答案】C 110、【解析】分类,第 1 个投中,还剩 4 个未投概率为:0.1 第 1 个没中,第 2 个投中,还剩 3 个未投概率为: 0.10.9× 前 2 个没中,第 3 个投中,还剩 2 个未投概率为: 0.10.90.9 ×× 前 3 个没中,第 4 个投中,还剩 1 个未投概率为: 0.10.90.90.9 ××× 所以概率为:0.1+0.09+0.081+0.0729=0.3439。 【注】也可以考虑反面,“至少剩下一个未投”的反面为“5 个环都要投,前 4 个都没进,第 5 个投
中不投中都可以” 【答案】B
111、【解析】分类:①第一次结束:第一次正面朝上:21;
②第三次结束:81
21
21
21
=⋅⋅ ;
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所以概率为85
【答案】C
112、【解析】前提通过每关的概率都是21,则不通过的概率也是
21.
要求是连续通过 2 关就算成功,分类:用√表示成功,用×表示不成功.
第一类(只需闯两关即可):√√ 则概率为 21 1( )2 4
=
第二类(需闯三关才可):×√√ 则概率为31 1( )
2 8=
第三类(需闯四关才可):××√√ 则概率为41 1( )
2 16=
√×√√ 则概率为41 1( )
2 16=
第四类(需闯五关才可):×××√√ 则概率为51 1( )
2 32=
×√×√√ 则概率为51 1( )
2 32=
√××√√ 则概率为51 1( )
2 32=
故总的概率是3219
【答案】E
113、【解析】设 iA =“第 i 将锁打开”,则101)( 1 =Ap ,
109)( 1 =Ap ,第 4 次试开时才将锁打开,
意味着前3次都没有打开,第 4 次时打开,即 4321 AAAA ,101
71
87
98
109)( 1234 =⋅⋅⋅=AAAAp
【答案】D
114、【解析】1)第一次打开的概率为1 1 1 1
10 9 8 720⋅ ⋅ = ,第一次没打开的概率为
1 7191720 720
− = ;
2)第一次没打开,第二次才打开的概率为719 1 1720 719 720
⋅ = ;
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A B
A BC
3)第一次第二次没打开,第三次才打开的概率为719 718 1 1720 719 718 720
⋅ ⋅ = ;
则能够启动此装置的概率为1
240。
【答案】C
115.甲、乙、丙三人进行定点投篮比赛,已知甲的命中率为 0.9,乙的命中率为 0.8,丙的命中率
为 0.7,现每人各投一次,则三人中至少有两人投进的概率为( )。
A.0.398 B.0.496 C.0.504 D.0.892 E.0.902
116*.甲、乙、丙三人进行定点投篮比赛,已知甲的命中率为 0.9,乙的命中率为 0.8,丙的命中
率为 0.7,现每人各投一次,则三人中至多有两人投进的概率为( )。
A.0.398 B.0.496 C.0.504 D.0.892 E.0.902
115、【解析】无人投进:甲不中乙不中丙不中: 006.03.02.01.0 =×× 有一人投进:甲中乙不中丙不中;甲不中乙中丙不中;甲不中乙不中丙中:
092.00.70.20.10.30.80.10.30.20.9 =××+××+×× 有两人投进:甲中乙中丙不中;甲中乙不中丙中;甲不中乙中丙中;
398.00.70.80.10.70.20.90.30.80.9 =××+××+×× 有三人投进:甲中乙中丙中; 504.07.08.09.0 =×× 【答案】E 116、【解析】由 115 题可知,或者逆向考虑:总概率减去三人都投进的概率: 496.0504.01 =− 【答案】B 117、【解析】 ( ) ( ) ( )P A B P A P AB− = − ,得到 ( ) 0.2P AB = ,所以
( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 0.4 0.2 0.7P A B P A P B P AB+ = + − = + − = 【答案】D
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AB
118、【解析】 CA ⊃ , 7.0)( =AP , 4.0)( =−CAP ,
则 3.04.07.0)()()( =−=−−= CAPAPCP ,
CA ⊃ , CB ⊃ ,则 CAB ⊃ ,则 2.03.05.0)()()( =−=−=− CPABPCABP 。
【答案】B
119、【解析】 6.04.01)(1)( =−=−= BPBP , AB ⊃ , 30.0)( =AP ,则 3.0)()( == APABP ,
3.03.06.0)()()()()( =−=−=−=− APBPABPBPABP ,
则 7.03.01)(1)( =−=−−=− ABPABP 。
【答案】D
120、【解析】 2.03.05.0)()()( =−=−−= ABAPAPABP
8.0)(1)()( =−==+ ABPABPBAP
【答案】E 121、【解析】 BA ⊃ , CA ⊃ ⇒ BCA ⊃ ,
8.0)( =+CBP ⇒ ( ) ( ) 1 ( )P B C P BC P BC+ = = − ,可得 ( ) 0.2P BC = ,
7.02.09.0)()()( =−=−=− BCPAPBCAP
【答案】C
122、【解析】 9.0)(6.05.0)()()()( =−+=−+=+ ABPABPBPAPBAP ,
解得 2.0)( =ABP , ( ) ( ) 1 ( ) 1 0.2 0.8P A B P AB P AB+ = = − = − = 。
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【答案】E
123、【解析】 3.0)()(1)()( =⇒−==+ ABPABPABPBAP ,
所以 5.03.08.0)()()( =−=−=− ABPCPABCP 。
【答案】E
124、【解析】: ))(1))((1()()()()()()( BPAPBPAPBAPBPAPABP −−==== ,
即 6.0)())(1(6.0)(4.0 =⇒−= BPBPBP 。
方法二: )()()(1)(1)()( ABPBPAPBAPBAPABP =−−=−== ,
1)()( =+⇒ BPAP ,即事件 A和 B 为对立事件,则 6.0)(1)()( =−== APAPBP 。
【答案】E 125、【解析】条件(1), ACBA = ,即 AABC = ABC ⊃⇒ AB ⊃⇒ 且 AC ⊃ 故 A发生必然导致 B 、C 同时发生,充分;
条件(2), ACBA = ,即 ACBA =++ ACB ⊂+⇒ , 故 A发生, B 、C 未必同时发生,不充分;
【答案】A
126、【解析】条件(1) BCA⊂ ,即 CBA ⊂ ,故 A发生必导致 B 与C 至少有一个不发生,充
分;条件(2) BCA ⊃ ,即 BCCBCBA ==⊃ BCA⊂⇒ ,充分。
【答案】D
127、【解析】条件(1)事件 A与 B 相互独立⇒ A 与 B 相互独立,但由此推不出 Ω=BA ,即
推不出 BA 是必然事件,条件(1)不充分;
条件(2)事件 A与 B 互不相容,即 φ=BA
而 Ω=−Ω=−Ω=−Ω== φABBABABA ,即 BA 是必然事件,条件(2)充分。
【答案】B
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128、【解析】 0)](),(min[ =BPAP ⇔ )(AP , )(BP 至少一个等于零,即 0)( =AP 或 0)( =BP ,
因此两个条件联合时,有 0)()()( == BPAPABP 0)( =⇒ AP 或 0)( =⇒ BP
【答案】C
129、【解析】条件(1) A与 B 互不相容,即 φ=−= BABA ,从而 AB ⊃ ,不充分;
条件(2) A 与 B 互不相容,即 φ=−= ABBA ,从而 AB ⊂ ,故 )()()( BPAPBAP −=− ,充
分。 【答案】B
130、【解析】(1) )()()()( ABPBPAPBAP −+=+ 在任何时候都成立;
(2)事件 A和 B 互不相容,则 0)( =ABP 成立;
(3)事件 BA 和 BA 有交集,则 )()( BPBAP = , )()( APBAP =
)()()()()( BAPBAPBPAPBABAP +=+=+ 成立;
(4) 1)(1)()( =−==+ ABPABPBAP ,成立。
【答案】A
131、【解析】A. )()()()( APABPAPBAP =−=− ,正确;
B. ))(1()()()()( ABPAPABPAPBAP −−=−=−
)(1)( BAPAP ++−= ,正确;
C. )()()( BPAPBAP −=− ,因为 A, B 互不相容,则 BA ⊃ ,则
)()()()()( BPAPBAPAPBAP −=−=− ,正确;
D. )()()()()]()[( APABPAPBAPBABAP =−=−=− ,正确;
E. )()()(1)(1)( APABPAPBAPBAP =+−=−−=−
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)()(1)()()()()( APABPAPABPAPBAPAP −=+−=−=− ,不正确;
【答案】E
132、【解析】 )()()(])[(])[( ABCPACPABCACPCABAPCBAP −=−=−=−
由条件(1), A、 B 、C 两两独立,则 )()()( CPAPACP = ,
由条件(1), )()()()( CPBPAPABCP =
故 )()()()()()()( CPBPAPCPAPABCPACP −=−
)()]()()([ CPBPAPAP −=
)()]()([ CPABPAP −=
)()( CPBAP −=
由以上推导易知,条件(1)和条件(2)单独均不充分,但联合充分。 【答案】C
133、【解析】 CAB ⊂ ,故 1)()()()()()()( −+≥+−+=≥ BPAPBAPBPAPABPCP ,
(因 1)( ≤+ BAP )。
【答案】B
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