第十章 离散小波变换得多分辨率分析

第10章 离散小波变换的多分辨率分析

在上一章，我们给出了连续小波变换的定义与性质，给出了在

)

(

1

k

d

平面上离散栅格上小波变换的定义及与其有关的标架问题。在这两种情况下，时间

t

仍是连续的。在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研究

b

a

,

及

t

都是离散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意义。由Mallat和Meyer自80年代末期所创立的“多分辨率分析”技术[87,88,8]在这方面起到了关键的作用。该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法[34,33]结合起来，构成了小波分析的重要工具。本章将详细讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。

10.1多分辨率分析的引入

10.1.1信号的分解近似

现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。

给定一个连续信号

)

(

t

x

，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。如图10.1.1(a)所示，令

î

í

ì

=

0

1

)

(

t

f

其它

1

0

<

£

t

(10.1.1)

显然，

)

(

t

f

的整数位移相互之间是正交的，即

)

(

)

(

),

(

k

k

k

t

k

t

¢

-

=

ñ

¢

-

-

á

d

f

f

Z

k

k

Î

¢

,

(10.1.2)

这样，由

)

(

t

f

的整数位移

)

(

k

t

-

f

就构成了一组正交基。设空间

0

V

由这一组正交基所构成，这样，

)

(

t

x

在空间

0

V

中的投影（记作

)

(

0

t

x

P

）可表为：

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

,

t

k

a

k

t

k

a

t

x

P

k

0

k

0

k

0

0

f

f

å

å

=

-

=

(10.1.3)

式中

)

(

)

(

,

0

k

t

t

k

-

=

f

f

,

)

(

k

a

0

是基

)

(

,

0

t

k

f

的权函数。

)

(

0

t

x

P

如图10.1.1(b)所示，它可以看作是

)

(

t

x

在

0

V

中的近似。

)

(

k

a

0

是离散序列，如图10.1.1(c)所示。

令

)

(

)

(

/

,

k

t

2

2

t

j

2

j

k

j

-

=

-

-

f

f

(10.1.4)

是由

)

(

t

f

作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，对图10.1.1(a)的

)

(

t

f

，

)

(

,

t

k

j

f

和

)

(

,

t

k

j

¢

f

是正交的。这一结论可证明如下：

因为

dt

k

t

2

k

t

2

2

t

t

j

j

j

k

j

k

j

)

(

)

(

)

(

),

(

,

,

¢

-

-

=

ñ

á

-

*

-

-

¢

ò

f

f

f

f

令

t

t

2

j

¢

=

-

，则

t

t

j

¢

=

2

,

t

d

dt

j

¢

=

2

,再由（10.1.2）式，有

)

(

)

(

)

(

k

k

t

d

k

t

k

t

¢

-

=

¢

¢

-

¢

-

¢

ò

*

d

f

f

(10.1.5)

于是结论得证。

将

)

(

t

f

作二倍的扩展后得

)

2

(

t

f

，如图10.1.1(g)所示。由

)

2

(

t

f

作整数倍位移所产生的函数组

Z

k

k

t

t

k

Î

-

=

-

-

),

2

(

2

)

(

1

2

/

1

,

1

f

f

当然也是两两正交的（对整数

k

），它们也构成了一组正交基。我们称由这一组基形成的空间为

1

V

，记信号

)

(

t

x

在

1

V

中的投影为

)

(

1

t

x

P

，则

å

=

k

k

1

1

1

t

k

a

t

x

P

)

(

)

(

)

(

,

f

(10.1.6)

式中

)

(

k

a

1

为加权系数。

)

(

1

t

x

P

如图10.1.1(h)所示。

)

(

k

a

1

仍为离散序列，如图10.1.1(i)所示。

若如此继续下去，在给定图10.1.1(a)的

)

(

t

f

的基础上，我们可得到在不同尺度

j

下通过作整数位移所得到一组组的正交基，它们所构成的空间是

Z

j

V

j

Î

,

。用这样的正交基对

)

(

t

x

作近似，就可得到

)

(

t

x

在

j

V

中的投影

)

(

t

x

P

j

。

由图10.1.1(a)和图10.1.1(g)，我们不难发现：

)

1

(

)

(

)

2

(

-

+

=

t

t

t

f

f

f

(10.1.7)

再比较该图的(b)和(h)，显然图(b)对

)

(

t

x

的近似要优于图(h)对

)

(

t

x

的近似，也即分辨率高。所以，用

)

(

,

t

k

j

f

对

)

(

t

x

作（10.1.3），或(10.1.6)式的近似，

j

越小，近似的程度越好，也即分辨率越高。当

-¥

®

j

时，

)

(

,

t

k

j

f

中的每一个函数都变成无穷的窄，因此，有

)

(

)

(

t

x

t

x

P

j

j

=

-¥

®

(10.1.8)

另一方面，若

+¥

®

j

，那么

)

(

,

t

k

j

f

中的每一个函数都变成无穷的宽，因此，

¥

®

j

j

t

x

P

)

(

时对

)

(

t

x

的近似误差最大。按此思路及（10.1.7）式，我们可以想象，低分辨率的基函数

)

)(

(

1

j

2

t

=

f

完全可以由高一级分辨率的基函数

)

0

)(

(

=

j

t

f

所决定。从空间上来讲，低分辨率的空间

1

V

应包含在高分辨率的空间

0

V

中，即

1

0

V

V

É

(10.1.9)

但是，毕竟

0

V

不等于

1

V

，也即

)

(

0

t

x

P

比

)

(

1

t

x

P

对

)

(

t

x

近似的好，但二者之间肯定有误差。这一误差是由

)

(

k

t

-

f

和

)

2

(

1

k

t

-

-

f

的宽度不同而产生的，因此，这一差别应是一些“细节”信号，我们记之为

)

(

1

t

x

D

。这样，有

)

(

)

(

)

(

1

1

0

t

x

D

t

x

P

t

x

P

+

=

(10.1.10)

该式的含义是：

)

(

t

x

在高分辨率基函数所形成的空间中的近似等于它在低分辨率空间中的近似再加上某些细节。现在我们来寻找

)

(

1

t

x

D

的表示方法。

设有一基本函数

)

(

t

y

，如图10.1.1(d)所示，即

ï

î

ï

í

ì

-

=

0

1

1

)

(

t

y

其它

1

2

/

1

2

/

1

0

<

£

<

£

t

t

(10.1.11)

很明显，

)

(

t

y

的整数位移也是正交的，即

dt

k

t

k

t

k

t

k

t

)

(

)

(

)

(

),

(

¢

-

-

=

ñ

¢

-

-

á

ò

*

y

y

y

y

)

(

k

k

¢

-

=

d

(10.1.12)

进一步，

)

(

t

y

在不同尺度下的位移，即

Z

k

j

t

k

j

Î

,

),

(

,

y

，也是正交的，即

dt

k

t

k

t

t

t

j

j

j

k

j

k

j

)

2

(

)

2

(

2

)

(

),

(

,

,

¢

-

-

=

ñ

á

-

*

-

-

¢

ò

y

y

y

y

)

(

k

k

¢

-

=

d

(10.1.13)

(2)

t

y

如图（j）所示。同时，

)

(

t

f

和

)

(

t

y

的整数位移之间也是正交的，即

Z

k

k

0

k

t

k

t

Î

¢

=

ñ

¢

-

-

á

,

)

(

),

(

��

y

f

(10.1.14)

观察图(a)，(d)和(g)，不难发现，

)

(

t

y

和

)

(

t

f

之间有如下关系：

2

/

)]

2

(

)

2

(

[

)

(

t

t

t

y

f

f

+

=

(10.1.15a)

及

2

/

)]

(

)

(

[

)

1

2

(

t

t

t

y

f

f

-

=

-

(10.1.15b)

记

)

(

k

t

-

y

张成的空间为

0

W

，

)

2

(

1

k

t

-

-

y

所张成的空间为

1

W

，依次类推，

)

(

,

t

k

j

y

张成的空间为

j

W

，记

)

(

t

x

在空间

0

W

中的投影为

）

t

x

D

(

0

，在

1

W

中的投影为

）

t

x

D

(

1

，它们均可表为相应基函数

)

(

,

t

k

j

y

的线性组合，即

)

(

)

(

)

(

,

t

k

d

t

x

D

k

0

k

0

0

y

å

=

(10.1.16)

)

(

)

(

)

(

,

t

k

d

t

x

D

k

1

k

1

1

y

å

=

(10.1.17)

式中

)

(

k

d

0

,

)

(

k

d

1

是

0

=

j

,

1

=

j

尺度下的加权系数，它们均是离散序列。

）

t

x

D

(

0

,

)

(

k

d

0

分别如图10.1.1(e)和(f)所示，

）

t

x

D

(

1

,

)

(

k

d

1

分别如图(k)和(l)所示。

由图10.1.1不难发现，若将图(h)的

)

(

1

t

x

P

和图(k)的

)

(

1

t

x

D

相加，即得图(b)的

)

(

0

t

x

P

，由空间表示，即是

1

1

0

W

V

V

Å

=

(10.1.18)

式中

Å

表示直和[注1]。这说明，

1

W

是

1

V

的正交外空间，并有

0

1

V

V

Ì

，

0

1

V

W

Ì

[注2]。我们把上述概念加以推广，显然有

)

,

(

b

a

)

(

1

k

a

j

-

)

(

1

k

d

j

+

)

(

k

a

j

)

(

1

k

a

j

+

)

(

k

a

j

)

(

1

k

d

j

+

)

(

1

k

a

j

+

K

)

(

1

k

a

j

+

)

(

k

a

j

)

(

1

k

d

j

+

K

图10.1.1 信号

)

(

t

x

的近似

1

2

2

1

1

0

W

W

V

W

V

V

Å

Å

=

Å

=

1

1

W

W

W

V

j

j

j

Å

Å

Å

=

-

L

L

（10.1.19）

并且

L

L

1

2

1

0

+

É

É

É

É

j

j

V

V

V

V

V

（10.1.20）

这样，给定不同的分辨率水平

j

，我们可得到

)

(

t

x

在该分辨率水平上的近似

)

(

t

x

P

j

和

)

(

t

x

D

j

，由于

)

(

t

f

是低通信号，因此

)

(

t

x

P

j

反映了

)

(

t

x

的低通成份，我们称其为

)

(

t

x

的“概貌”。由于

)

(

k

a

j

是由

)

(

t

x

P

j

边缘得到的离散序列，所以

)

(

k

a

j

也应是

)

(

t

x

在尺度

j

下的概貌，或称离散近似。同理，由于

)

(

t

y

是带通信号，因此

)

(

t

x

D

j

反映的是的高频成份，或称为

)

(

t

x

的“细节”，而

)

(

k

d

j

是

)

(

t

x

的离散细节。

在以上的分析中，我们同时使用了两个函数，即

)

(

t

f

和

)

(

t

y

，并由它们的伸缩与移位形成了在不同尺度下的正交基。由后面的讨论可知，对

)

(

t

x

作概貌近似的函数

)

(

t

f

称为“尺度函数”，而对

)

(

t

x

作细节近似的函数

)

(

t

y

称为小波函数。读者不难发现，图10.1.1(d)中的

)

(

t

y

即是我们在上一章提到的Haar小波。图(a)中的

)

(

t

f

即是Haar小波在

0

=

j

时的尺度函数。

10.1.2树结构理想滤波器组

我们在第七、八两章详细讨论了滤波器组的原理。一个离散时间信号

)

(

n

x

经过一个两通道滤波器组后，

)

(

0

z

H

的输出为其低频部分，频带在

2

/

~

0

p

；

)

(

1

z

H

的输出为其高频部分，频带为

p

p

~

2

/

。由于

)

(

0

z

H

、

)

(

1

z

H

输出后的信号频带均比

)

(

n

x

的频带降低了一倍，因此，在

)

(

0

z

H

和

)

(

1

z

H

的输出后都各带一个二抽取环节，如图10.1.2所示。

如果我们把

)

(

n

x

的总频带

)

~

0

(

p

定义为空间

0

V

，经第一次分解后，

0

V

被分成两个子空间，一个是低频段的

1

V

，其频率范围为

2

/

~

0

p

；另一个是高频段的

1

W

，其频带在

p

p

~

2

/

之间。显然，

1

1

0

W

V

V

Å

=

，并且

1

V

和

1

W

是正交的，即二者的交集为空间

0

V

（此亦是直和的定义）。按此思路，我们可在

)

(

0

z

H

的输出后再接一个两通道分析滤波器组，这样就将空间

1

V

进一步剖分，一个是高频段的空间

2

W

EMBED Equation.3

)

2

/

~

4

/

(

p

p

，另一个是低频段的空间

2

V

EMBED Equation.3

)

4

/

~

0

(

p

，如图10.1.2(a)和(b)所示。

由上面的分解不难发现，

1

1

0

W

V

V

Å

=

，

L

,

2

2

1

W

V

V

Å

=

EMBED Equation.3

j

j

1

j

W

V

V

Å

=

-

,

(10.1.21a)

及

j

j

V

W

W

W

V

Å

Å

Å

Å

=

L

2

1

0

(10.1.21b)

或

j

V

V

V

V

É

É

É

L

2

1

0

(10.1.21c)

注1:

1

S

,

2

S

是空间

S

的子空间，若 ①

0

2

1

=

S

S

I

;②

S

S

S

=

2

1

U

，则称

S

是

1

S

和

2

S

的直和。式中“

I

”表示求

1

S

和

2

S

的交集，“

U

”表示求

1

S

和

2

S

的并集；

注2：

Y

X

É

，“

É

”表示包含，即空间

X

含空间

Y

。

)

(

1

k

a

)

(

2

k

a

图10.1.2 基于滤波器组的频带剖分(a)滤波器组，(b)频带剖分

现在我们来分析一下图10.1.2对信号分解的特点。

1．各带通空间

j

W

和各低通空间

j

V

的恒Q性

先看带通空间。由图10.1.2(b)，

1

W

的带宽为

2

/

p

，中心频率为

4

/

3

p

，其

3

/

2

4

3

/

2

=

=

p

p

Q

；

2

W

的带宽为

4

/

p

，中心频率在

8

/

3

p

，所以其

Q

也是

3

/

2

，同理，

4

3

,

W

W

的

Q

均是

3

/

2

；

再看低通空间

j

V

，很明显，

0

V

的

2

2

/

=

=

p

p

Q

，

1

V

的

2

4

/

2

=

=

p

p

Q

，

2

V

的

j

V

Q

,

,

2

8

/

4

L

=

=

p

p

的

Q

也是2。

2．各级滤波器的一致性

在图10.1.2(a)中，我们将各级滤波器组的低通和高通滤波器都写成了

)

(

0

z

H

和

)

(

1

z

H

，这意味着各级滤波器组使用的是同一组滤波器，这一方面体现了树状滤波器组中各级滤波器的一致性，也深刻体现了上述空间剖分的特点，现对此作一简单的解释。

假定对

)

(

n

x

的抽样频率

1000

=

s

f

Hz，对

)

(

0

z

H

，设其截止频率

300

=

p

f

Hz，也即

p

w

6

.

0

=

p

，或归一化频率

3

.

0

=

¢

p

f

；对第二级，由于前一级有一二抽取环节，致使

s

f

变成了

500

Hz，同时，由于第一级的输出使频带减少一半，故第二级低通滤波器的

p

f

应改为

150

Hz。但是，这时的

p

w

仍为

p

6

.

0

，即

500

/

150

2

´

=

p

w

p

，依次类推，各级的

)

(

0

z

H

、

)

(

1

z

H

均保持不变。这样，只要设计出第一级的

)

(

0

z

H

和

)

(

1

z

H

，以后各级的滤波器均可采用它们。

图8.1.1的M通道均匀滤波器组不适于多分辩率分析。这是因为它不是按照由大及小的逐级分解，因此不具备恒Q性，也不会满足（10.1.21）式。

以上我们用两个实际的例子引入了多分辩分析的基本概念，以期读者对多分辩率分析有一个直观的理解。下面的内容将是更加深入具体的讨论。

10.2多分辩率分析的定义

Mallat给出了多分辩率分析的定义[8]：

设

{

}

j

V

EMBED Equation.3

Z

j

Î

是

)

(

2

R

L

空间中的一系列闭合子空间，如果它们满足如下六个性质，则说

{

}

j

V

，

Z

j

Î

是一个多分辨率近似。这六个性质是：

1．

2

)

,

(

Z

k

j

Î

"

，若

j

V

t

x

Î

)

(

则

j

j

V

k

t

x

Î

-

)

2

(

(10.2.1)

2．

Z

j

Î

"

，

1

+

É

j

j

V

V

，即

L

L

L

1

2

1

0

+

É

É

É

j

j

V

V

V

V

V

(10.2.2)

3．

Z

j

Î

"

，若

j

V

t

x

Î

)

(

，则

1

)

2

(

+

Î

j

V

t

x

(10.2.3)

4．

{

}

0

=

=

¥

-¥

=

¥

®

j

j

j

j

V

V

Lim

I

(10.2.4)

5．

)

(

)

(

2

R

L

V

Closure

V

Lim

j

j

j

j

=

=

¥

-¥

=

¥

®

U

(10.2.5)

6．存在一个基本函数

)

(

t

q

，使得

{

}

)

(

k

t

-

q

，

Z

k

Î

是

0

V

中的Riesz基。

现对以上性质作一些直观的解释：

性质1说明，空间

j

V

对于正比于尺度

j

2

的位移具有不变性，也即函数的时移不改变其所属的空间。我们在上一章对

)

,

(

b

a

作二进制离散化时曾说明，若令

j

a

2

=

，则

b

应取

0

2

kb

b

j

=

，将

0

b

归一化为

1

，则

)

(

)

2

(

)

(

1

)

(

,

2

/

,

t

k

t

a

a

b

t

a

t

k

j

j

j

b

a

y

y

y

y

=

-

=

-

=

-

-

(10.2.6)

所以，（10.2.1）式实际上应等效为：

Z

j

Î

"

，若

j

V

t

x

Î

)

(

，则

j

V

k

t

x

Î

-

)

(

(10.2.7)

这是因为

Z

j

Î

"

，必有

Z

j

Î

2

;

性质2说明，在尺度

j

2

(或

j

)时，对

)

(

t

x

作的是分辩率为

j

-

2

的近似，其结果将包含在较低一级分辩率

1

2

-

-

j

时对

)

(

t

x

近似的所有信息，此即空间的包含，也即（10.2.2）式；

性质3是性质2的直接结果。在

1

+

j

V

中，函数作了二倍的扩展，分辩率降为

1

2

-

-

j

，所以

)

2

(

t

x

应属于

1

+

j

V

；

性质4说明当

¥

®

j

时，分辨率

0

2

j

®

-

，这时我们将会失

)

(

t

x

的所有信息，也即

0

)

(

=

¥

®

t

x

P

Lim

j

j

从空间上讲，所有

)

~

(

+¥

-¥

=

j

V

j

的交集为零空间；

性质5是性质4的另一面，即当

-¥

®

j

时，分辩率

¥

®

-

j

2

，那么信号

)

(

t

x

在该尺度下的近似将收敛于它自身，即

0

)

(

)

(

=

-

-¥

®

t

x

t

x

P

Lim

j

j

(10.2.8)

从空间上讲，即是所有

)

~

(

+¥

-¥

=

j

V

j

的并集收敛于整个

)

(

2

R

L

空间；

性质6说明了

0

V

中Riesz基的存在性问题，并将要由此引出

j

V

V

V

,

,

,

1

0

L

中正交基的存在性问题，因此，需要着重加以解释。

设

0

V

是一Hilbert空间(注：能量有限的空间

)

(

2

R

L

即是Hilbert空间)，

{

}

Z

k

k

t

k

Î

-

=

,

)

(

q

q

是

0

V

中的一组向量，其个数与

0

V

的维数一致。自然，

0

V

中的任一元素

x

都可表为

k

q

的线性组合，即

)

(

)

(

k

t

c

t

x

k

k

-

=

å

¥

-¥

=

q

(10.2.9)

我们在1.8节已指出，若

（1）

{

}

Z

k

k

t

k

Î

-

=

,

)

(

q

q

之间是线性无关的，且

（2）存在常数

¥

<

£

<

B

A

0

使得

2

2

2

x

B

c

x

A

k

k

£

£

å

¥

-¥

=

(10.2.10)

则

Z

k

k

t

Î

-

),

(

q

是

0

V

中的Riesz基。

注意，（10.2.10）式等效于（9.8.32）式，只不过在（10.2.10）式中

0

=

j

，我们已指出，Riesz基本身是一个标架，但它比标架的要求要高，即

k

q

之间是线性无关的，但它又比正交基要求低，即并不要求

k

q

之间一定要两两正交。（10.2.10）式的能量约束关系保证了（10.2.9）式对

)

(

t

x

表示的数值稳定性。

下述定理给出了在

0

V

中存在Riesz基的充要条件。

定理10.1

Z

k

k

t

Î

-

),

(

q

是

0

V

中的Riesz基的充要条件是存在常数

0

,

0

>

>

B

A

使得

]

,

[

p

p

-

Î

W

"

，有

A

k

B

k

1

)

2

(

ˆ

1

2

£

+

W

£

å

¥

-¥

=

p

q

(10.2.11)

式中

)

(

ˆ

W

q

是

)

(

t

q

的傅里叶变换。

证明：对任意的

0

)

(

V

t

x

Î

，我们均可按(10.2.9)式对

)

(

t

x

作分解。现对(10.2.9)两边作傅里叶变换，有

dt

e

k

t

c

X

k

t

j

k

ò

å

¥

-¥

=

W

-

-

=

W

)

(

)

(

q

å

¥

-¥

=

W

-

W

=

k

k

j

k

e

c

)

(

ˆ

q

(10.2.12)

这是我们在（1.7.14）及（1.7.15）式所遇到的FT和DTFT混合的形式。若设想

k

c

的实际间隔为

s

T

，由

s

T

W

=

w

[19],

)

(

w

w

j

k

j

k

k

k

k

T

j

k

e

C

e

c

e

c

s

=

=

-

¥

-¥

=

¥

-¥

=

W

-

å

å

(10.2.13)

应是周期的，周期为

p

2

，为了书写的方便，我们暂把

)

(

w

j

e

C

记作

)

(

W

C

，这样，(10.2.12)式变成

)

(

)

(

ˆ

)

(

W

W

=

W

C

X

q

(10.2.14)

于是，

)

(

t

x

的范数

W

W

=

ò

¥

¥

-

d

X

x

2

2

)

(

2

1

p

W

+

W

W

=

å

ò

¥

-¥

=

d

k

C

k

2

2

0

2

)

2

(

ˆ

)

(

2

1

p

q

p

p

(10.2.15)

注意式中

)

(

ˆ

W

q

的

W

应从

+¥

¥

-

~

，上式中的分段积分及对

k

的求和保证了这一点。

（10.2.10）式所要求的Riesz基的条件进一步可表为：

2

2

2

0

2

2

)

(

2

1

x

B

c

d

C

x

A

k

k

£

=

W

W

£

å

ò

¥

-¥

=

p

p

(10.2.16)

若

{

}

Z

k

k

t

k

Î

-

=

,

)

(

q

q

是

0

V

中的Riesz基，则（10.2.16）式必须成立。为保证（10.2.16）式成立，由（10.2.15）式，由于

)

(

)

(

2

R

L

t

x

Î

，即

)

(

t

x

的能量是有界的，因此

)

(

ˆ

W

q

必须满足(10.2.11)式。因此必要性保证。

反之，若（10.2.11）式成立，则由（10.2.15）式必然可导出（10.2.16）式。此外，凡满足（10.2.9）式的

k

c

，它必然满足（10.2.16）式。若

0

)

(

=

t

x

，则必有

0

=

k

c

，对所有的

k

，因此，

{

}

Z

k

k

t

k

Î

-

=

,

)

(

q

q

是线性无关的。由此，充分性保证。于是定理得证。

在实际工作中，人们总是偏爱正交基。下述定理给出了如何由Riesz基构造正交基的方法。

定理10.2 令

{

}

Z

j

V

j

Î

,

是一多分辨分析，

)

(

t

f

是一尺度函数，若其傅里叶变换可由下式给出：

å

¥

-¥

=

+

W

W

=

W

F

k

k

2

/

1

2

]

)

2

(

ˆ

[

)

(

ˆ

)

(

p

q

q

(10.2.17)

并令

)

2

(

2

)

(

2

/

,

k

t

t

j

j

k

j

-

=

-

-

f

f

(10.2.18)

则

)

(

,

t

k

j

f

是

j

V

中的正交归一基，对所有的

Z

j

Î

。式中

)

(

ˆ

W

q

是产生Riesz基的基本函数

)

(

t

q

的傅里叶变换。

证明：为了构造一个正交基，我们需要寻找一个基本函数

)

(

t

f

，由（10.2.18）式的定义，

)

(

)

(

0

,

0

t

t

f

f

=

必然属于

0

V

，由定理10.1，

)

(

t

f

也可表为Riesz基

)

(

k

t

-

q

的线性组合，即

)

(

)

(

k

t

c

t

k

k

-

=

å

q

f

（10.2.19）

由（10.2.14）式，上式对应的频域关系是：

)

(

)

(

ˆ

)

(

W

W

=

W

F

C

q

（10.2.20）

式中

)

(

W

C

是

k

c

的DTFT，因此，它仍是周期的，周期为

p

2

。

如果，

Z

j

k

t

Î

-

),

(

f

是

0

V

中的正交归一基，由1.7节关于正交基的性质，有

1

)

2

(

2

=

+

W

F

å

¥

-¥

=

k

k

p

（10.2.21）

将(10.2.20)式代入（10.2.21）式，有

2

2

2

)

2

(

)

2

(

ˆ

)

2

(

)

2

(

ˆ

p

p

q

p

p

q

k

C

k

k

C

k

k

k

+

W

+

W

=

+

W

+

W

å

å

¥

-¥

=

¥

-¥

=

å

¥

-¥

=

+

W

W

=

k

k

C

2

2

)

2

(

ˆ

)

(

p

q

1

)

2

(

ˆ

)

(

2

2

=

+

W

W

=

å

¥

-¥

=

k

k

C

p

q

由Riesz基的性质,

å

¥

-¥

=

+

W

k

k

2

)

2

(

ˆ

p

q

是有界的，因此，有

å

¥

-¥

=

+

W

=

W

k

k

C

2

2

)

2

(

ˆ

1

)

(

p

q

即

å

¥

-¥

=

+

W

=

W

k

k

C

2

/

1

2

]

)

2

(

ˆ

[

1

)

(

p

q

(10.2.22)

将该式代入（10.2.20）式，即得（10.2.17）式。因此，

Z

j

k

t

Î

-

),

(

f

是

0

V

中的正交归一基。

（10.1.12）和（10.1.13）式已证明，若

Z

j

k

t

Î

-

),

(

f

是正交归一基，

)

(

t

f

按（10.2.18）式作二进制伸缩与位移所产生的

)

(

,

t

k

j

f

对所有的

j

，都是相应

j

V

中的正交归一基。于是定理得证。

我们在定理9.7给出了由半正交小波求正交小波的方法，其原理和定理10.2是一样的。这样，定理10.1给出了

0

V

空间中Riesz基的存在性，定理10.2给出了由Riesz基过渡到正交基的方法。在实际工作中，找到一个正交归一的基函数

{

}

Z

k

k

t

Î

-

,

)

(

f

并不太容易，但找到一组Riesz基

{

}

Z

k

k

t

Î

-

,

)

(

q

却比较容易。具体步骤是：

1．由

)

(

t

q

作FT得

)

(

ˆ

W

q

；

2．由（10.2.17）式求

)

(

W

F

；

3．由

)

(

W

F

作逆傅里叶变格得

)

(

t

f

，则

{

}

Z

k

k

t

Î

-

,

)

(

f

即是一组正交基。

文献[5]和文献[21]介绍了利用此方法构造Battle-Lemarie小波的例子。其思路是令

)

(

t

q

为一个三角波，其傅里叶变换为

)

2

(

sin

4

)

(

ˆ

2

2

W

W

=

W

q

(10.2.23)

可以证明，

{

}

Z

k

k

t

Î

-

,

)

(

q

构成一组Riesz基，但是，

)

(

k

t

-

q

之间并不正交，可以求出：

)

2

cos

2

1

(

3

1

)

2

(

ˆ

2

2

W

+

=

+

W

å

¥

-¥

=

k

k

p

q

(10.2.24)

显然，

)

(

ˆ

W

q

是有界的，满足(10.2.11)式所要求的Riesz基的频域条件。按（10.2.17）式，可以求出

2

/

1

2

2

2

)

2

cos

2

1

(

)

2

(

sin

4

3

)

(

W

+

W

W

=

W

F

(10.2.25)

由

)

(

W

F

作反变换即可得到

)

(

t

f

。

{

}

Z

k

k

t

Î

-

,

)

(

f

即可构成一组正交基。

10.3空间

j

V

、

j

W

中信号的分解

由上两节关于频率轴剖分的思想，

)

(

t

f

应是

0

V

中的低通函数，

)

(

t

y

应是

0

W

中的带通函数。将

)

(

t

f

归一化，有

ò

¥

¥

-

=

1

)

(

dt

t

f

(10.3.1)

定理10.2已指出，

{

}

Z

k

k

t

Î

-

,

)

(

f

是

0

V

中的正交归一基，

{

}

2

,

,

),

(

Z

k

j

t

k

j

Î

f

是

j

V

中的正交归一基。这样，我们可将

)

(

)

(

2

R

L

t

x

Î

按此基函数逐级进行分解。

1．子空间

0

V

令

)

(

0

t

x

P

是在

0

V

中的投影，则

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

,

0

0

0

0

t

k

a

k

t

k

a

t

x

P

k

k

k

f

f

å

å

¥

-¥

=

¥

-¥

=

=

-

=

(10.3.2)

式中

)

(

0

k

a

是加权系数，它应是一个离散序列。由

)

(

k

t

-

f

的正交性质，我们有

ñ

á

=

)

(

),

(

)

(

,

0

0

0

t

t

x

P

k

a

k

f

由图10.1.1(b)，

)

(

,

0

t

k

f

和

)

(

0

t

x

P

作内积实质上是

)

(

,

0

t

k

f

和

)

(

t

x

作内积，即

ñ

á

=

)

(

),

(

)

(

,

0

0

t

t

x

k

a

k

f

(10.3.3)

这样

)

(

)

(

),

(

)

(

,

0

,

0

0

t

t

t

x

t

x

P

k

k

k

f

f

å

¥

-¥

=

ñ

á

=

(10.3.4)

这是我们已经很熟悉的信号分解的表示形式。由于

)

(

0

t

x

P

是时间

t

的函数，而

)

(

k

t

-

f

又具有低通性质，因此我们称

)

(

0

t

x

P

是

)

(

t

x

在

0

V

中的“分段平滑”逼近，而称

)

(

0

k

a

为

)

(

t

x

在

0

V

中的“离散”逼近。它们都是

)

(

t

x

在分辨率

0

=

j

时的“概貌”。

2．子空间

1

V

由多分辨分析的定义，若

0

)

(

V

t

Î

f

，则

1

)

2

(

V

t

Î

f

，由定理10.2，

)

2

(

2

)

(

1

2

/

1

,

1

k

t

t

k

-

=

-

-

f

f

是

1

V

中的正交归一基。仿照(10.3.2)~(10.3.4)式，我们有

)

2

(

)

(

2

1

)

(

)

(

)

(

1

1

,

1

1

1

k

t

k

a

t

k

a

t

x

P

k

k

k

-

=

=

-

¥

-¥

=

¥

-¥

=

å

å

f

f

(10.3.5)

ñ

á

=

ñ

á

=

)

(

),

(

)

(

),

(

)

(

,

1

,

1

1

1

t

t

x

t

t

x

P

k

a

k

k

f

f

(10.3.6)

及

)

(

)

(

),

(

)

(

,

1

,

1

1

t

t

t

x

t

x

P

k

k

k

f

f

å

¥

-¥

=

ñ

á

=

(10.3.7)

3．子空间

1

W

若我们在子空间

0

W

中能找到一个带通函数

)

(

t

y

，使

{

}

Z

k

k

t

Î

-

),

(

y

是

0

W

中的正交归一基，类似尺度函数

)

(

t

f

，因

0

)

(

W

t

Î

y

，则

1

)

2

(

W

t

Î

y

，

)

2

(

2

1

)

(

1

,

1

k

t

t

k

-

=

-

y

y

也可构成

1

W

中的正交归一基，即

ò

=

0

)

(

dt

t

y

(10.3.8)

)

(

)

(

),

(

,

1

,

1

k

k

t

t

k

k

¢

-

=

ñ

á

¢

d

y

y

(10.3.9)

依次类推，

)

(

,

t

k

j

y

将是

j

W

中的正交归一基。我们称

)

(

t

y

为小波函数，满足上述正交归一性质的正交小波的构造问题将在下一章详细讨论。这样，我们可依次将

)

(

t

x

在

j

W

中作类似在

j

V

各空间中的分解。

令

)

(

)

(

)

(

,

1

1

1

t

k

d

t

x

D

k

k

å

¥

-¥

=

=

y

(10.3.10)

则

ñ

á

=

ñ

á

=

)

(

),

(

)

(

),

(

)

(

,

1

,

1

1

1

t

t

x

t

t

x

D

k

d

k

k

y

y

(10.3.11)

我们在10.1节中已述及，

)

(

1

t

x

D

是

)

(

t

x

在子空间

1

W

上的投影，它是时间

t

的函数。因为

)

(

t

y

是带通函数，所以

)

(

1

t

x

D

是

)

(

t

x

的分为连续细节逼近。同理，

)

(

1

k

d

是

)

(

t

x

在

1

W

中的离散细节。由于

1

1

0

W

V

V

Å

=

，所以必有

)

(

)

(

)

(

1

1

0

t

x

D

t

x

P

t

x

P

+

=

(10.3.12)

或

)

(

)

(

)

(

1

0

1

t

x

P

t

x

P

t

x

D

-

=

(10.3.13)

这两个式子指出，

)

(

t

x

在

1

W

中的投影等于

)

(

t

x

分别在

0

V

和

1

V

中的投影的差，它也是在

0

=

j

和

1

=

j

这两个分辨率水平上的逼近之差，因此，

)

(

1

t

x

D

和

)

(

1

k

d

均被称为

)

(

t

x

的“细节”。实际上，它们反映的也是

)

(

t

x

的高频成份，且

)

(

1

k

d

就是尺度

j

a

2

=

时的离散栅格上的小波变换。

4．对子空间

j

V

，

j

W

将上述的讨论加以推广，自然有如下的结论：

)

(

)

(

)

(

,

t

k

a

t

x

P

k

j

k

j

j

f

å

¥

-¥

=

=

(10.3.14)

ñ

á

=

)

(

),

(

)

(

,

t

t

x

k

a

k

j

j

f

(10.3.15)

)

(

)

(

)

(

,

t

k

d

t

x

D

k

j

k

j

j

y

å

¥

-¥

=

=

(10.3.16)

ñ

á

=

)

(

),

(

)

(

,

t

t

x

k

d

k

j

j

y

(10.3.17)

)

(

)

(

)

(

1

t

x

D

t

x

P

t

x

P

j

j

j

+

=

-

(10.3.18)

一般，令

¥

=

~

1

j

，我们可依次实现对

)

(

t

x

的多分辨率分析。下一节，我们将深入地探讨这种分解的内在联系。

10.4二尺度差分方程

前已指出，

)

(

,

t

k

j

f

是

j

V

中的正交归一基，

)

(

,

t

k

j

y

是

j

W

中的正交归一基，并且

j

j

W

V

^

,

j

j

j

W

V

V

Å

=

-

1

。这一关系启发我们，在相邻尺度（如

j

和

1

-

j

）下的尺度函数和尺度函数之间、尺度函数和小波函数之间必然存在着一定的联系。

由于

j

j

j

j

V

t

t

Î

=

-

-

)

2

(

2

)

(

2

/

0

,

f

f

，而

j

V

包含在

1

-

j

V

中，这样，把

)

(

0

,

t

j

f

设想成是

1

-

j

V

中的一个元素，因此它当然可以表为

1

-

j

V

中正交基的线性组合，即

)

(

)

(

)

(

,

1

0

0

,

t

k

h

t

k

j

k

j

-

¥

-¥

=

å

=

f

f

式中

)

(

0

k

h

是加权系数，它是一个离散序列。将上式进一步展开，有

)

2

(

)

(

2

)

2

(

2

)

1

(

0

2

/

)

1

(

2

/

k

t

k

h

t

j

k

j

j

j

-

=

-

-

¥

-¥

=

-

-

-

-

å

f

f

即

)

2

(

)

(

2

)

2

(

1

0

k

t

k

h

t

j

k

j

-

=

-

¥

-¥

=

å

f

f

(10.4.1)

同理，由于

j

W

也包含在

1

-

j

V

中，因此，

j

W

中的

)

(

0

,

t

j

y

也可表为

1

-

j

V

中正交基

)

(

,

1

t

k

j

-

f

的线性组合，即

)

(

)

(

)

(

k

2

t

k

h

2

2

t

1

j

k

1

j

-

=

-

¥

-¥

=

å

f

y

(10.4.2)

)

(

1

k

h

也是加权系数。（10.4.1）和(10.4.2)两式被称为“二尺度差分方程”[53]，它们揭示了在多分辨率分析中尺度函数和小波函数的相互关系。这一关系存在于任意相邻的两级之间，如

1

=

j

，有

)

(

)

(

2

)

2

(

0

k

t

k

h

t

k

-

=

å

¥

-¥

=

f

f

(10.4.3a)

)

(

)

(

)

(

k

t

k

h

2

2

t

k

1

-

=

å

¥

-¥

=

f

y

(10.4.3b)

该式又等效于

)

2

(

)

(

2

)

(

0

k

t

k

h

t

k

-

=

å

¥

-¥

=

f

f

(10.4.4a)

)

(

)

(

)

(

k

t

2

k

h

2

t

k

1

-

=

å

¥

-¥

=

f

y

(10.4.4b)

因此，二尺度差分方程是多分辨率分析中小波函数和尺度函数的一个重要性质。

由

k

j

,

f

和

k

j

,

y

各自的正交性，

)

(

0

k

h

,

)

(

1

k

h

可由下式求得：

ñ

á

=

-

)

(

),

(

)

(

,

1

0

,

0

t

t

k

h

k

j

j

f

f

dt

k

t

t

j

j

j

j

)

2

(

)

2

(

2

2

1

1

1

-

=

-

*

-

ò

f

f

令

t

t

j

¢

=

-

1

2

，则

t

d

k

t

t

k

h

¢

-

¢

¢

=

*

ò

)

(

)

2

(

2

1

)

(

0

f

f

或

ñ

á

=

)

(

),

(

)

(

,

0

0

,

1

0

t

t

k

h

k

f

f

(10.4.5)

同理

ñ

á

=

)

(

),

(

)

(

,

,

t

t

k

h

k

0

0

1

1

f

y

(10.4.6)

这两个式子揭示了一个重要得关系，即

)

(

0

k

h

和

)

(

1

k

h

与

j

无关，它对任意两个相邻级中的

f

和

y

的关系都适用。这就是说，由

0

=

j

和

1

=

j

的二尺度差分方程求出的

)

(

0

k

h

和

)

(

1

k

h

适用于

j

取任何整数时的二尺度差分方程。由至，读者可能会想到，

)

(

0

k

h

和

)

(

1

k

h

类似于图10.1.2(a)中的两通道滤波器组，

)

(

0

k

h

对应低通滤波器

)

(

0

z

H

，

)

(

1

k

h

对应高通滤波器

)

(

1

z

H

，且在每一级，

)

(

0

z

H

和

)

(

1

z

H

保证不变。如果这一设想是正确的，那么就把小波变换和滤波器组联系了起来。当然，实际情况也正是如此。

现在再回过来观察图10.1.1，显然有：

)]

(

)

(

[

)

(

)

(

)

(

1

t

2

1

t

2

1

2

1

t

t

2

t

-

+

=

-

+

=

f

f

f

f

f

)]

(

)

(

[

)

(

)

(

)

(

1

t

2

1

t

2

1

2

1

t

t

2

t

-

-

=

-

-

=

f

f

f

f

y

对比(10.4.3)和(10.4.4)式，有

2

1

)

0

(

0

=

h

,

2

1

)

1

(

0

=

h

,

2

1

)

0

(

1

=

h

,

2

1

1

h

1

-

=

)

(

这是Haar小波及其尺度函数所对应的滤波器的系数。

现在我们来研究二尺度差分方程在频域的表示形式。对(10.4.3)式两边取傅里叶变换，有

dt

e

k

t

k

h

dt

e

t

t

j

k

t

j

W

-

¥

-¥

=

W

-

-

=

ò

å

ò

)

(

)

(

2

)

2

(

0

f

f

该式是我们在前面多次遇到过的FT和DTFT的混合表示形式，式中

)

(

k

t

-

f

是

)

(

t

f

在

b

轴上离散取值所得到的，假定对

b

轴的抽样间隔为

s

T

，则上式积分的

左边

)

2

(

2

W

F

=

右边

dt

e

kT

t

k

h

t

j

s

k

W

-

¥

-¥

=

ò

å

-

=

)

(

)

(

2

0

f

)

(

)

(

2

0

W

F

=

W

-

¥

-¥

=

å

s

T

jk

k

e

k

h

)

(

)

(

2

0

W

F

=

w

j

e

H

式中

s

T

W

=

w

，

W

是相对连续信号的角频率，

f

p

2

=

W

,而

w

是相对离散信号的圆频率。由于后面的讨论以离散信号和离散系统为主，所以，我们将

w

,

W

都记为

w

，并将

w

j

e

简记为

w

。这样，最后有

)

(

)

(

)

2

(

2

0

w

w

w

F

=

F

H

(10.4.7)

同理，有

)

(

)

(

)

2

(

2

1

w

w

w

F

=

Y

H

(10.4.8)

请读者记住，

)

(

w

F

、

)

2

(

w

F

和

)

2

(

w

Y

都是连续信号的傅里叶变换（FT），而

)

(

0

w

H

,

)

(

1

w

H

是离散信号的傅里叶变换（DTFT）。

将(10.4.3)和(10.4.4)两式的两边分别对

t

积分，由于

ò

=

1

)

(

dt

t

f

，

ò

=

0

)

(

dt

t

y

,所以，有

2

)

(

0

=

å

¥

-¥

=

k

h

k

(10.4.9)

0

)

(

1

=

å

¥

-¥

=

k

h

k

(10.4.10)

对应于频域，有

å

¥

-¥

=

=

=

=

k

k

h

H

2

)

(

)

(

0

0

0

w

w

(10.4.11)

å

¥

-¥

=

=

=

=

k

k

h

H

0

)

(

)

(

1

0

1

w

w

(10.4.12)

因此，

)

(

0

z

H

应是低通滤波器，

)

(

1

z

H

应是高通滤波器。

由（10.4.7）式，有

)

2

(

)

2

(

2

1

)

(

0

w

w

w

F

=

F

H

)

4

(

)

4

(

2

1

)

2

(

2

1

0

0

w

w

w

F

=

H

H

L

=

F

=

)

(

)

(

)

(

)

(

8

8

H

2

1

4

H

2

1

2

H

2

1

0

0

0

w

w

w

w

)

(

)

(

J

J

1

j

j

0

2

2

2

H

w

w

F

=

Õ

=

(10.4.13)

由于当

¥

®

J

时，

1

)

0

(

)

2

(

=

F

=

F

J

w

，因此

)

2

(

2

)

2

/

(

)

(

1

0

1

0

w

w

w

j

j

j

j

H

H

-

¥

=

¥

=

Õ

Õ

¢

=

=

F

(10.4.14)

式中

2

/

)

2

(

)

2

(

0

0

w

w

j

j

H

H

-

-

=

¢

.同理可由(10.4.8)式求出：

)

2

(

)

2

(

2

1

)

(

1

w

w

w

F

=

Y

H

Õ

¥

=

-

=

2

0

1

2

)

2

(

)

2

(

2

1

j

j

H

H

w

w

即

)

2

(

)

2

(

)

(

2

0

1

w

w

w

j

j

H

H

-

¥

=

Õ

¢

¢

=

Y

(10.4.15)

式中

2

/

)

2

(

)

2

(

1

1

w

w

H

H

=

¢

.这样，(10.4.14)和(10.4.15)式建立了

)

(

0

w

H

,

)

(

1

w

H

分别和

)

(

w

F

和

)

(

w

Y

的直接关系。若

)

(

0

z

H

,

)

(

1

z

H

已知，我们可由它们求出相应的

)

(

w

F

和

)

(

w

Y

，进一步求出相应的

)

(

t

f

和

)

(

t

y

。

例如，若

2

)

(

0

w

w

j

e

H

-

=

，即

w

w

j

e

H

-

=

¢

)

(

0

，则

w

w

w

w

w

j

j

l

j

e

e

e

l

-

+

+

-

¥

=

-

=

=

=

F

Õ

]

4

2

[

1

2

/

)

(

L

(10.4.16)

若

2

/

cos

)

(

0

w

w

=

H

，即

w

w

cos

)

(

0

=

¢

H

，则

w

w

w

w

w

w

w

sin

]

2

cos

4

cos

2

[cos

)

2

cos(

)

(

1

=

=

=

F

¥

®

¥

=

-

Õ

j

j

j

j

Lim

L

(10.4.17)

此外，由于

j

j

V

W

W

W

V

Å

Å

Å

=

L

2

1

0

, 且当

¥

®

j

时

{

}

0

=

j

V

因此，从能量守恒的角度，有

å

¥

=

Y

=

F

1

2

2

)

2

(

)

(

j

j

w

w

（10.4.18）

或

2

1

2

2

)

2

(

)

2

(

)

(

w

w

w

J

J

j

j

F

+

Y

=

F

å

=

(10.4.19)

10.5 二尺度差分方程与共轭正交滤波器组

(10.4.7)和(10.4.8)式给出了二尺度差分方程的频域关系，(1.7.11)和(1.7.12)式给出了正交基的频域性质。在此基础上，我们可导出在二尺度差分方程中

)

(

0

k

h

和

)

(

1

k

h

的频域关系，从而把多分辨率分析和滤波器组结合起来。

定理10.3设

)

(

2

R

L

Î

f

,

)

(

2

R

L

Î

y

分别是多分辨率分析中的尺度函数和小波函数，

)

(

0

k

h

,

)

(

1

k

h

分别是满足二尺度差分方程(10.4.3)和（10.4.4）式的滤波器系数，则

2

)

(

)

(

2

0

2

0

=

+

+

p

w

w

H

H

(10.5.1a)

2

)

(

)

(

2

1

2

1

=

+

+

p

w

w

H

H

(10.5.1b)

0

)

(

)

(

)

(

)

(

1

0

1

0

=

+

+

+

*

*

p

w

p

w

w

w

H

H

H

H

(10.5.1c)

证明：先证明(10.5.1a)式。由(10.4.7)式，有

)

2

(

)

2

(

2

1

)

(

1

w

w

w

F

=

F

H

(10.5.2)

由于

)

(

k

t

-

f

是

0

V

中的正交归一基，所以，其傅里叶变换满足(1.7.11)式，于是

1

2

k

2

2

k

2

H

2

1

k

2

2

2

k

0

2

k

=

+

F

+

=

+

F

å

å

¥

-¥

=

¥

-¥

=

)

(

)

(

)

(

p

w

p

w

p

w

即

2

)

2

(

)

2

(

2

2

0

=

+

F

+

å

¥

-¥

=

p

w

p

w

k

k

H

k

式中

)

(

0

w

H

实际上是

)

(

0

w

j

e

H

，它是以

p

2

为周期的。现将

k

按奇、偶分开，即分别令

p

k

2

=

和

1

2

+

=

p

k

，于是，有

2

)

2

2

(

)

2

(

)

2

2

(

)

2

(

2

2

0

2

2

0

=

+

+

F

+

+

+

F

å

å

¥

-¥

=

¥

-¥

=

p

p

w

p

w

p

w

w

p

H

p

H

p

p

令

w

w

¢

=

2

，又有：

2

)

2

(

)

(

)

2

(

)

(

2

2

0

2

2

0

=

+

+

¢

F

+

¢

+

+

¢

F

¢

å

å

¥

-¥

=

¥

-¥

=

p

p

p

H

p

H

p

p

w

p

w

p

w

w

由(1.7.11)式，

1

)

2

(

2

=

+

¢

F

å

¥

-¥

=

p

p

p

w

,作了常数移位后，

å

¥

-¥

=

+

+

¢

F

p

2

p

2

)

(

p

p

w

也必然等于1。因此

2

)

(

)

(

2

0

2

0

=

+

+

p

w

w

H

H

即(10.5.1a)式得证。同理可证明(10.5.1b)式。

由第七章的讨论可知，满足(10.5.1a)和(10.5.1b)的

)

(

0

z

H

及

)

(

1

z

H

分别都是功率互补的，二者是功率对称的。

现在证明(10.5.1c)式。由(1.7.12)式，我们有

0

)

2

(

)

2

(

=

+

Y

+

F

å

¥

-¥

=

*

p

w

p

w

k

k

k

(10.5.3)

令

w

w

¢

=

2

，则上式变成

0

)

2

2

(

)

2

2

(

=

+

¢

Y

+

¢

F

å

¥

-¥

=

*

p

w

p

w

k

k

k

将二尺度差分方程的频域关系代入上式，有

0

k

k

H

k

k

H

2

1

k

1

0

=

+

F

+

+

¢

F

+

¢

å

¥

-¥

=

*

*

)

(

)

(

)

(

)

(

p

w

p

w

p

w

p

w

再一次地将

k

按奇、偶分开，并注意到

)

(

0

w

H

,

)

(

1

w

H

都是以为

p

2

周期的，于是

0

p

2

p

2

H

p

2

p

2

H

p

2

p

2

H

p

2

p

2

H

p

1

0

p

1

0

=

+

+

¢

F

+

+

¢

+

+

¢

F

+

+

¢

+

+

¢

F

+

¢

+

¢

F

+

¢

å

å

¥

-¥

=

*

*

¥

-¥

=

*

*

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

p

p

w

p

p

w

p

p

w

p

p

w

p

w

p

w

p

w

p

w

即

0

)

2

(

)

(

)

(

)

2

(

)

(

)

(

2

1

0

2

1

0

=

+

+

¢

F

+

¢

+

¢

+

+

¢

F

¢

¢

å

å

¥

-¥

=

*

¥

-¥

=

*

p

p

p

H

H

p

H

H

p

p

w

p

w

p

w

p

w

w

w

由(10.5.1a)式的证明过程，最后可得

0

)

(

)

(

)

(

)

(

1

0

1

0

=

+

+

+

*

*

p

w

p

w

w

w

H

H

H

H

这样(10.5.1c)式得证。

将(10.5.1)式写成Z变换的形式，有

2

)

(

)

(

)

(

)

(

1

0

0

1

0

0

=

-

-

+

-

-

z

H

z

H

z

H

z

H

(10.5.4a)

2

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

1

1

1

1

=

-

-

+

-

-

z

H

z

H

z

H

z

H

(10.5.4b)

0

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

0

1

1

0

=

-

-

+

-

-

z

H

z

H

z

H

z

H

(10.5.4c)

将(10.5.4a)式和(7.4.9b)式相比较，我们立即发现，满足小波变换多分辨率分析中二尺度差分方程的

)

(

0

z

H

、

)

(

1

z

H

正是一对共轭正交滤波器组（CQMFB）。这样，我们就把小波变换和滤波器组联系了起来，从而为离散信号的小波变换的快速实现提供了有效的途径。

注意，满足（10.5.1c）式的

)

(

0

w

H

和

)

(

1

w

H

并不唯一，其中一个解是

)

(

)

(

0

1

p

w

w

w

+

-

=

*

-

H

e

H

j

(10.5.5a)

或

)

(

)

(

1

0

1

1

-

-

-

-

=

z

H

z

z

H

(10.5.5b)

读者可自行验证，若

)

(

)

(

0

1

p

w

w

w

+

±

=

*

±

H

ce

H

j

，都可满足（10.5.1c）式。

我们在7.4节给出了CQMFB中

)

(

0

z

H

和

)

(

1

z

H

的关系。由（7.4.1）式，

)

(

)

(

1

0

)

1

(

1

-

-

-

-

-

=

z

H

z

z

H

N

，由（7.4.3b）式，则

)

1

(

)

1

(

)

(

0

1

1

n

N

h

n

h

n

-

-

-

=

+

，现在若按（10.5.5b）式定义

)

(

0

z

H

和

)

(

1

z

H

的关系，即令

2

=

N

，且比（7.4.1）式多了一个负号。很容易验证（10.5.5b）式所对应的时域关系是：

)

1

(

)

1

(

)

(

0

1

k

h

k

h

k

-

-

=

(10.5.6)

至此，我们给出了一系列重要的概念，它们分别是：

1．在

0

V

中总存在

)

(

t

q

，使

{

}

Z

k

k

t

Î

-

),

(

q

构成

0

V

中的Riesz基；

2．定理10.2说明如何由Riesz基

)

(

k

t

-

q

得到

0

V

中的正交归一基，进而

k

j

,

f

是

j

V

中的正交归一基，即

)

(

t

f

是尺度函数。

3．把

j

W

视为

j

V

的正交补，并假定在

0

W

中存在小波函数

)

(

t

y

，使

{

}

Z

k

k

t

Î

-

),

(

y

是

0

W

中的正交归一基，进而

k

j

,

y

是

j

W

中的正交归一基；

4．由于假定

j

j

V

W

^

，所以假定

k

j

,

f

和

k

j

,

y

是正交的；

5．按

k

j

,

f

，

k

j

,

y

分别对

)

(

t

x

作分解，得到（10.3.14）~(10.3.18)式的分解（或投影）关系；

6．由

1

+

É

j

j

V

V

，

j

j

j

V

W

V

=

Å

+

+

1

1

这一包含关系，得到了（10.4.4）式的二尺度差分方程；其频域关系如（10.4.7）和（10.4.8）式所示；

7．由定理10.3，满足二尺度差分方程的

)

(

0

z

H

和

)

(

1

z

H

恰是一对共轭正交滤波器组，即它们满足（10.5.1）式。

按此思路，我们即可有效地实现信号

x

EMBED Equation.3

)

(

t

的小波变换，这即是下一节要讨论的Mallat算法。在讨论这一算法之前，也许读者已经看到上述总结的第3条中，

j

W

中正交基

)

(

,

t

k

j

y

的存在性及

)

(

,

t

k

j

y

和

)

(

,

t

k

j

f

的正交关系并没得到证明，在这之前，对它们的认同还都是“假设”。下述两个定理回答了这一结论。

定理10.4 令

{

}

j

V

是一多分辨率分析序列，

)

(

,

t

k

j

f

是

j

V

中的正交归一基，再令

)

(

0

z

H

和

)

(

1

z

H

是一对共轭正交滤波器组，记

)

(

t

y

的傅里叶变换为

)

(

w

Y

，

若

)

2

(

)

2

(

2

1

)

(

1

w

w

w

F

=

Y

H

(10.5.7)

则存在基本小波函数

)

(

t

y

，使

{

}

Z

k

k

t

Î

-

),

(

y

是

0

W

中的正交归一基，进而，

{

}

Z

k

j

t

k

j

Î

,

),

(

,

y

是

j

W

中的正交归一基。

证明：定理10.4实际上是定理10.3的逆命题。若

{

}

Z

k

k

t

Î

-

),

(

y

构成

0

W

中的正交归一基，由1.7节关于正交基的性质，则必有

å

¥

-¥

=

=

+

Y

k

k

1

)

2

(

2

p

w

(10.5.8)

将（10.5.7）式的所给条件代入（10.5.8）式的左边，有

2

2

k

1

k

2

k

2

k

2

H

2

1

k

2

)

(

)

(

)

(

p

w

p

w

p

w

+

F

+

=

+

Y

å

å

¥

-¥

=

¥

-¥

=

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

+

+

F

+

+

+

+

Y

+

=

å

å

=

+

=

p

2

k

1

p

2

k

2

2

1

2

2

1

p

2

2

p

2

2

H

p

2

2

p

2

2

H

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

p

p

w

p

p

w

p

w

p

w

令

w

w

¢

=

2

，考虑到

)

(

1

w

H

是以

p

2

为周期的，

)

(

t

f

是正交归一基，因此

上式

]

)

(

)

(

[

2

1

2

1

2

1

p

w

w

+

¢

+

¢

=

H

H

因为

)

(

0

z

H

、

)

(

1

z

H

是一对共轭正交滤波器组，所以，

)

(

1

w

H

必满足（10.5.1b）式，因此（10.5.8）式得证，即

{

}

Z

k

k

t

Î

-

),

(

y

是

0

W

中的正交归一基。

由（10.1.3）式，可证

{

}

Z

k

j

t

k

j

Î

,

),

(

,

y

是

j

W

中的正交归一基，因此定理得证。

定理10.5 设

{

}

j

V

是一多分辨率分析序列，

j

j

j

W

V

V

Å

=

-

1

,

k

j

,

f

和

k

j

,

y

分别是

j

V

和

j

W

中的正交归一基，则

k

j

,

f

和

k

j

,

y

是正交的，即

Z

k

k

0

2

1

k

j

k

j

Î

"

=

ñ

á

,

,

,

,

���

y

f

(10.5.9)

证明：同样，由1.7节关于正交基的性质，若证明（10.5.9）式，只需证明

0

)

2

(

)

2

(

=

+

Y

+

F

*

¥

-¥

=

å

p

w

p

w

k

k

k

(10.5.10)

即可

将

2

/

)

2

/

(

)

2

/

(

)

(

0

w

w

w

F

=

F

H

及

2

/

)

2

/

(

)

2

/

(

)

(

1

w

w

w

F

=

Y

H

代入（10.5.10）式，再利用（10.5.1c）式有关正交滤波器组的关系，则（10.5.10）式可证。

10.6 Mallat算法

在上述多分辩率分析的基础上，下述两个定理给出了如何通过滤波器组实现信号的小波变换及反变换。

定理10.6 [8] 令

)

(

k

a

j

，

)

(

k

d

j

是多分辨率分析中的离散逼近系数，

)

(

0

k

h

，

)

(

1

k

h

是满足（10.4.3）和（10.4.4）式的二尺度差分方程的两个滤波器，则

)

(

k

a

j

，

)

(

k

d

j

存在如下递推关系：

)

2

(

)

(

)

2

(

)

(

)

(

0

0

1

k

h

k

a

k

n

h

n

a

k

a

j

n

j

j

*

=

-

=

å

¥

-¥

=

+

(10.6.1a)

)

2

(

)

(

)

2

(

)

(

)

(

1

1

1

k

h

k

a

k

n

h

n

a

k

d

j

n

j

j

*

=

-

=

å

¥

-¥

=

+

(10.6.1b)

式中

)

(

)

(

k

h

k

h

-

=

。

证明：先证明（10.6.1a）式

由于正交基函数

1

,

1

+

+

Î

j

k

j

V

f

，

j

k

j

V

Î

,

f

，而

j

j

V

V

Ì

+

1

，因此，

)

(

,

1

t

k

j

+

f

可用正交基

)

(

,

t

k

j

f

来作分解，即

)

(

)

(

,

,

1

t

c

t

n

j

n

n

k

j

f

f

å

¥

-¥

=

+

=

(10.6.2)

式中分解系数

ñ

á

=

+

)

(

),

(

,

,

1

t

t

c

n

j

k

j

n

f

f

dt

n

t

k

t

j

j

j

j

)

2

(

)

2

(

2

2

1

)

1

(

1

-

-

=

-

*

+

-

+

ò

f

f

令

k

t

t

j

-

=

¢

+

-

)

1

(

2

2

，则

t

d

k

n

t

t

c

n

¢

+