1

1

第三章測邊-Edge Detection

2

內容

3.1 前言3.2 拉普拉斯（Laplacian）與Sobel算子3.3 Marr+Hildreth算子3.4 鬆弛法3.5 基底投射法3.6 輪廓追蹤法3.7 動態規劃法

2

3

3.1 前言

在影像的前置處理(Preprocessing)中，如何做好測邊(Edge Detection)的工作是非常重要的。

4

通過零點(Zero crossing)

測邊: 灰階的突然變化(Abrupt Change)。兩個區域的邊緣處: 一次微分後形成的波峰(Peak)。若波峰超過門檻值(Threshold)，在該處有邊點形成的邊線(Edge Line)。邊緣處不明顯處: 可用二次微分通過零點(Zero Crossing)觀念來判定。

白黑ab c

y

-ab c

y

-

圖3.2.1 兩個同質但不同色的區域

圖3.2.2 圖3.2.1的一次微分結果

圖3.2.3通過零點示意圖

Zero+crossing

3

5

通過零點的示意圖 。

白 黑

-

f(-)

-

f’(-)

-

f″(-)

(a) (c)(b)

兩個同質但不同色的區域(edge 不清楚–變化緩慢)

一次微分結果 通過零點

6

3.2 拉普拉斯算子：（Laplacian）先討論中間case: 對 f(-, y) 沿著 - 軸微分得差分：

再進而對 - 軸微分 (可和差分交換使用)得：

令 -=--1 以進行參數變換，可得：

同理，沿著 y 軸微分二次得：

合併二個軸的二次微分效應，可得拉普拉斯算子如下：

),(),1( yxfyxffx −+=∇

),(),1(2),2()],(),1([),1(),2(2

yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxffx

++−+=−+−+−+=∇

),1(),(2),1(2 yxfyxfyxffx −+−+=∇

)1,(),(2)1,(2 −+−+=∇ yxfyxfyxffy

),(4),1()1,(),1()1,(

222

yxfyxfyxfyxfyxffff yx

−−+−++++=

∇+∇=∇(3.2.1)

010

1+41

010

另兩種cases 同理 。

4

7

測邊算子

Sobel測邊算子:其對應的-方向與y方向面罩，(另為45o、135o方向)。

從 和 的兩個分量，

我們可知合成的量(Magnitude)為

而角度

為了計算更快速，並加上weight

以 的運算取代的運算。

Prewitt算子: 另外一個類似Sobel測邊算子的方法。

1

1−

0

2−

0

1

1−

0

2 11−

02−

0 11−

0

2

圖3.2.8 Sobel測邊算子

(a) 測 y 方向的灰階變化 (b) 測 - 方向的灰階變化22 )()( ff yx ∇+∇

ff

x

y

∇

∇= −1tanθ

fx∇ fy∇

ff yx ∇+∇

1

1−

0

1−

0

1

1−

0

1

11− 0

1− 0

11− 0

1

圖3.2.9 Prewitt算子

(a) 測 y 方向的灰階變化 (b) 測 - 方向的灰階變化

8

例如:給一5×5子影像，用Prewitt算子來測邊，假設門檻值 T = 78。

2124576045

1818331518

31227219

915482112

1227423915

使用Prewitt算子決定下面 3-3 pie-ls ((1)~(9))是否為邊點。

5

9

(9)(8)(7)

(6)(5)(4)

(3)(2)(1)

ff yx ∇+∇

39-81 = 120 > T48-27 = 75 39-93 = 132 > T15-69 = 84 > T18-12 = 30 3-78 = 81 > T105-45 = 150 > T81-42 = 123 > T60-75 = 135 > T

27+36+18= 81-12-6-9= -27-30-39-24= -9336+18+15= 69-6-9+3=-12-39-24-15= -7818+15+12= 45-9+3-36= -42-24-15-36= -75

(1) -6-18-15= -39(2) -18-15-15= -48(3) -15-15-9= -39(4) +6-6-15= -15(5) -6-15+3= -18(6) -15+3+9= -3(7) 36+39+30=105(8) 39+30+12= 81(9) 30+12+18= 60

x方向的灰階化y方向的灰階化

圖3.2.10為使用Prewitt算子得到的相關資訊

圖3.2.10利用Prewitt算子得到的結果

10

(9)(8)(7)

(6)+(5)+(4)+

(3)(2)(1)

---

ff yx ∇+∇

39-81 = 120 > T48-27 = 75 39-93 = 132 > T15-69 = 84 > T18-12 = 30 3-78 = 81 > T105-45 = 150 > T81-42 = 123 > T60-75 = 135 > T

27+36+18= 81-12-6-9= -27-30-39-24= -9336+18+15= 69-6-9+3=-12-39-24-15= -7818+15+12= 45-9+3-36= -42-24-15-36= -75

(1) -6-18-15= -39(2) -18-15-15= -48(3) -15-15-9= -39(4) +6-6-15= -15(5) -6-15+3= -18(6) -15+3+9= -3(7) 36+39+30=105(8) 39+30+12= 81(9) 30+12+18= 60

x方向的灰階化y方向的灰階化

圖3.2.10為使用Prewitt算子得到的相關資訊

圖3.2.10利用Prewitt算子得到的結果

-6 = 9-15;

-18 = 21-39;

-15 = 27-42;

6

11

從圖3.2.10中可得知像素(1)、(3)、(4)、(6)、(7)、(8)和(9)皆為邊點，所以最後測邊結果為一個如下的倒ㄇ字型。

---

--

--

Sobel算子的應用相同。

12

7

13

3.3 Marr+Hildreth算子Marr+Hildreth測邊算子結合了高斯平滑算子和拉普拉斯算子的雙重技巧。

高斯平滑算子(Gaussian Smoothing Operator)：

LOG (Laplacian of Gaussian)：

表迴積運算，而 表拉普拉斯算子。

2

22

2),( σyx

eyxG+

−=

[ ]),(),,(2 yxfyxGLOG ∗∇= σ

∗ 2∇(3.3.2)

),()],,([ 2 yxfyxGLOG ∗∇= σ (3.3.3)

(3.3.1)

2

22

2)(

4

222

)2( σσ

σ yxeyxcLOG+−−+

=＊ ONE CASE: (3.3.4)

高斯平滑運算Zero+crossing

14

Plot of the negative of the LoG

A 5x5 LoG mask

8

15

對式(3.3.4)做解釋：使用的面罩大小仍為5-5，面罩內各像素的位置定義如下：

(2,+2)(1,+2)(0,+2)(+1,+2)(+2,+2)

(2,+1)(1,+1)(0,+1)(+1,+1)(+2,+1)

(2,0)(1,0)(0,0)(+1,0)(+2,0)

(2,1)(1,1)(0,1)(+1,1)(+2,1)

(2,2)(1,2)(0,2)(+1,2)(+2,2)

將面罩內25個位置座標代入下面式子中的(-, y)內

2

22

2)(

4

222 2 σσ

σ yxeyx+−−+

計算 5-5 mask之 25個值。

16

如此一來，可得到25個值，根據這25個值的大小，可將它們分為4類，就得到下面墨西哥帽子式樣的面罩。

Δ

**O**

*O-O*

O--O

*O-O*

**O**

* 號的值為趨近於零;- 、o 和 號的值都不大，呈現16：+2：+1的比例。△

9

17

Example of the LoG

σ=4N=25Threshold=4% of the maximum value of the image in LoG

18

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−−−−

−

0010001210121621

0121000100

圖3.3.1 測試影像 圖3.3.2 利用Marr+Hildreth算子測邊後的結果

(3.3.4)

面罩大小為5×5，正規化後則可得下列面罩：

Marr+Hildreth算子：

10

19

3.4.1 Canny algorithms: 偵測邊首先利用高斯平滑算子去除過多的細紋，然後在每個像素上計算其梯度方向和梯度量。假若在這梯度方向上，該像素的梯度量大於二個鄰居的量，則該像素為邊點，否則為非邊點。較弱的邊點可利用磁滯(Hysteresis)門檻化予以去除。

圖3.3.3 利用Canny測邊法所得到的邊圖(Edge Map)

20

3.4 鬆弛法

有些邊不理想，由稀稀疏疏的邊點構成，而這些邊點並非連接的，可用鬆弛法判定(細節省略)。

端點類型：

圖3.4.1二個小例子

(a) 強邊線例子 (b) 弱邊線例子

(a) 無邊型端點 (b) 一邊型端點 (c) 二邊型端點 (d) 三邊型端點

圖3.4.2端點的四個類型

以上如何判定為連邊 ??

11

21

(initial) 開始的信賴度：

信賴度的疊代式：

)()()(

所有eSMax

eSeCe

=°

),(),()( '' yxfyxfeS −= ，此處 代表鄰近 的像素灰階值。

),( '' yxf ),( yxf

(3.4.1)

(3.4.2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−

∈

∈+

=+

DedeCUeeC

IedeCeC

k

k

k

k

　若))(,0max(　若)(

　若))(,1min()(1

符號 I 代表需增加其強度d；符號U代表不改變其強度d；符號D則代表需減弱其強度d。直到對所有的e而言，時，就可停止這疊代的過程。也可自行設定疊代的次數限制。

)()(1 eCeC kk =+

I(加強)0+1，1+01+2 ，2+11+3 ，3+1

1+1

D(減弱)0+2，2+00+3，3+0

0+0

U(不動)2+2，2+33+3，3+2

圖3.4.3強度增減表

0代表無邊型端點，1代表一邊型端點，2代表二邊型端點，3代表三邊型端點。

越大越是邊

22

舉一個小例子以說明式(3.4.1)

首先將各像素以節點的型式表示，而鄰近兩兩像素的灰階差之絕對值以圖論符號的邊表示，我們由是得到下面的灰階差異圖：

將{S(e)}集合中的最大值挑出，可得到 ，根據信賴度的定義，上面的灰階差異圖轉換為下面的信賴圖：

( )e

MaxS e∀

49

79

29

29

79 2

929

59

29

19

19

12

23

假設邊的門檻值定為0.5，則對端點A和端點B而言，可得到

24

3.5 基底投射法

在圖3.5.1中任挑二個不同向量，皆可檢定出內積為零，從而知道這九個向量兩兩為正交的。

令圖3.5.1中的九個向量分

為 、 、 …和 ，

則 、

、…

和可另外

構成一組正交且單位化的基

底。

2

2−

1 1

1− 1−

000 2 2−

1

1

1−

1−0

0

0

2

1

1

1−

1−

0

0

0

2−

2

2−

1

1

1−

1−

0

0

0

1

1

1−1−

0

0

0 0

0 1

1 1−

1− 0

0

0

00

1

1

4

2−

2−

2−2−

1

1

1

1

4

2−

2− 2−

2−

1 1

1

1

1 1

1

11

1

1

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

圖3.5.1 基底

1v 2v 9v

1

11 v

vw =2

22 v

vw =

9

99 v

vw =

13

25

視窗所框住的 子影像，依列優先(Row Major Order)的順序得向量 。對上述九個正交且單位化的基底投影，

可得 、 、 … 和 。令

假設m對應的基底之向量為圖3.5.1(a)，則代表有類似圖3.2.8(a)所測得的邊點。若對應的為圖3.5.1(i)，則表z的紋理頗平滑的。

實作時，也需引入門檻值，依迴積的方式進行。

基底投射法的缺點是，有些基底向量的代表意義不是很明確。

33×tzzzz ),...,,( 921=

11 wzmt ⋅= 22 wzm

t ⋅= 99 wzmt ⋅=

},...,,{ 921 mmmMaxm =

26

Discussion:以上的九個基底向量為何要化成單位正交向量? 可否給一個示意圖以明示基底投射法的觀念?

每個基底的向量經過單位正交化後，我們在進行基底投射(其實就是做內積運算)時，才有比較公平的尺度。令自影像中取出的3-3子影像為S，而 < , >代表子影像S和單位正交基底向量進行向量內積運算。當完成了所有的九個內積運算後，我們再從中排出最大內積值所對應的 。如果最大內積值大於門檻值，則 能讓我們更了解該邊點(子影像的正中央像素)的紋理特性。以上的運算可以用下面的示意圖來解釋：

S

iWiW

iW

14

27

2,S W< >1,S W< > 9,S W< >

S1W 2W 3W 9W

Max

>T

No

Yes

j

. . .

. . .

28

3.6 輪廓追蹤法(蛇行法 snake ++Active contour)

在物體邊緣的外側些標識一圈控制點集(可利用雲形曲線集 )。能量函數 (求 minimum)( )dtEtEtEtE imagecurvcont∫ ++= )()()( γβα

21

2)(−−== iicont bbdt

tdcE

211

2

2

2

2)( +− +−== iiicurv bbbdttcdE

IEimage ∇−=

微分一次後連續項能量(平滑為佳，即 min)

微分二次後平滑項能量(越小越平滑為佳)

輪廓受到往影像邊點處的拉力(越大越趨向邊，加上“+＂為 min)

為影像中初步用雲形曲線框住的輪廓且輪廓上構成的點為 、 、 … 和 。通常 、 和 可定為1，但是若碰到角點 (Corner Point) 時， 可定為 0。

)(tc1b 2b 3b nb iα iβ iγ

iβ

15

29

雲形曲線(B+spline Curve)

決定smooth曲線：

iv 1+iv 2+iv 3+iv)(3,0 tN )(3,1 tN )(3,2 tN )(3,3 tN

)()( 3,0 tNvtP ii ×= )()()( 3,333,223,11 tNvtNvtNv iii ×+×+×+ +++ 10 ≤≤ t

)0()1( 3,13,0 NN =

)0()1( 3,23,1 NN =

)0()1( 3,33,2 NN =

)0()1( ' 3,1'

3,0 NN =

)0()1( ' 3,2'

3,1 NN =

)0()1( ' 3,3'

3,2 NN =

)0()1( '' 3,1''

3,0 NN =

)0()1( '' 3,2''3,1 NN =

)0()1( '' 3,3''

3,2 NN =

0)0(3,0 =N

0)0(' 3,0 =N

0)0('' 3,0 =N

0)1(3,3 =N

0)1(' 3,3 =N

0)1('' 3,3 =N

33,0 6

1)( ttN =

)1333(61)( 233,1 +++−= ttttN

)463(61)( 233,2 +−= tttN

)133(61)( 233,3 +−+−= ttttN

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

+

+

+

3

2

123

0141030303631331

161)(

i

i

i

i

i

vvvv

ttttP

給定四個控制點 ， ， 和 ，令四個接續的彎曲函數為 ， ， 和 。且該雲形線

，

利用四個彎曲函數(Blending Function)的下列十六個boundary關係

雲形曲線可表示為：

30圖3.6.1 輸入的影像 圖3.6.3 最終所找到的輪廓圖3.6.2 初始輪廓

正規化能量項：

和 可除以視窗內相關能量的最大值。

中的 可改為 ，這裡m代表鄰近 的最小值，而M代表鄰近 的最大值。從 出發，首先以 視窗將點 框住，針對視窗內的每一點

計算其能量。移往能量和所得為最小的點。直到n個點都處理完。不斷地進行疊代直到輪廓不再改變為止。

contEcurvE

imageE

I∇mMmI

−−∇

I∇ I∇

1b 33× 1b

16

31

3.7 動態規劃法假設我們給定起始像素集為 如圖3.7.1(a)所示。另外，假設我們想在最終像素 集中找到一個像素 使

得 到 之間有一條路徑為邊點形成的最佳路徑，這路徑

可看成物體的邊線。

{ }4321 P,P,P,PS ={ }16151413 P,P,P,PT = TPt ∈

SPs ∈ tP

1P

14P

12P11P10P

4P3P2P

8P6P5P

9P

7P

13P 16P15P

圖3.7.1(a) 一個小例子

32

首先利用拉普拉斯算子算出 ， 的邊強度(Edge Strength)。所得的反應值如圖3.7.1(b) 所示。

iP 41 ≤≤ i

推進到倒數第二列，即S2 = {P5，P6，P7，P8}。把相關的反應

值累加並取最大者即33。圖3.7.1(c) 為修正後花費圖。

20

19271815

12251710

1081315

6510

圖3.7.1(b) 初始反應值

16183335

圖3.7.1(c)修正後的花費圖

77857667

30585245

16183335

圖3.7.1(d) 最後的花費圖

圖3.7.1(e)逆過程以找到最佳路徑

同樣的計算方式，最後可得圖3.7.1(d) 的花費圖。從圖中可知85為最大的花費。從85所在的節點 往來時路退回去，可得圖3.7.1(e) 箭頭所示的最佳路徑。

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

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