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证明用更简洁、更明确的话加以改写。经过这样简化以后，

均被收人其杰作《几何原本》里。这部书共 13 卷，它叙述

并证明了一大批人类所知道的有关点、线、圆以及简单立

体的知识。所有这些信息都是从以下 5个公理、5个公设

即一共 10 个简单的“前提”，用最能增进思考能力的逻辑

推理方法得出的：

　　公理 1 等于同量的量相等。

　　公理 2 等量加上等量，和相等。

　　公理 3 等量减去等量，差相等。

　　公理 4 能够重合的量相等。

　　公理 5 全量大于它的部分。

　　公设 1 经过两点可以连结一条直线。

　　公设 2 有限线段可以无限延长。

　　公设 3 以任意点为圆心，任意有限线段为半径，可

以作一个圆。

　　公设 4 直角都相等。

　　公设5 给定一条直线与不在这条直线上的任意一点，

经过此点只有一条直线平行于给定直线。

　　

从这些“前提”出发，欧几里得不仅建立了我们目前

在中学学习的几何学的主要内容，而且还构造了许多其他

的数学题材。《几何原本》把许多世代的创造精神熔于一炉，

成了一部好书。它明白无遗，风格独特，有些学者认为它

是人类写出来的逻辑推理中最为简明紧凑的精品。在古代，

这部书曾以手稿形式广为流传。自从印刷术发明以来，数

以千计的版本在全世界刊行。在整个西方世界，除了《圣经》

以外，它是流传最广、影响最深、版本最多的著作。直到

今天，它的主要内容仍然是世界上很多中学生都要学习的。

生活中的数学

数学我知道

数学思想的一大进步──证明

数学与折纸

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上期答案

通过这周的学习，大家了

解了线段垂直平分线的概念，

探索了它的性质；大家还了解

了等腰三角形、等边三角形的

有关概念，并掌握了它们的性

质及判定方法。几何的证明学

习起来有一定难度，大家掌握

得如何？

开心果

八年级

■2009年10月02日 星期五 第5期　 ■总第58期　

主办单位：人民教育出版社·人教网　 本期责任编辑：傅波（网名：质数）

投稿：send.pep.com.cn E-mail:fubo@pep.com.cn

　　这里是展示同学们数学成果的空间，这里是同学们共同探讨感兴趣的数学话题的天地，如：你

在读什么数学读物？你有什么数学学习心得？有什么学习经验？你知道哪些有意思的数学知识？大

家都可以在这个互动的栏目里和大家交流。欢迎给我们来稿。

我们很多人都在小时候折过纸，但只是为折纸而折纸，几

乎没有谁是为了探究其蕴含的数学道理而有目的地折纸。折纸

既有教育意义，也有着娱乐性。在折纸时，自然而然地，一些

几何概念就出现了。这些是其中的部分：正方形、长方形、直

角三角形、全等角、对角线、中点、内切、面积、梯形、中垂

线、几何原理和代数原理。

以下是一些折纸实例，贯穿了对这些概念的运用。

公元前 7世纪的古希腊人喜欢旅行和经商，这些活动使他

们接触许多数学知识。他们被数学知识吸引住，很敬畏，但又

觉得不满足。他们认为，不仅应该知道有哪些数学知识，而且

应该知道为什么有这些数学知识。在这种“研究为什么”的精

神支配下，他们在人类历史上第一次提出了对一切数学进步起

决定性作用的两个心理过程：抽象与证明。

　　抽象就是从不同的事物中找出共同的东西，并从中形成一

般概念。例如：从苹果、梨、香蕉、葡萄中抽象出“水果”；

从正午的太阳、十五的月亮、马车的轮子、茶杯的杯口中抽象

出“圆”；从牛、马、猫、狗中抽象出“动物”；又从“动物”、

“植物”中抽象出“生物”等。

　　证明则是一种从“题设”到“结论”的论证过程，并且要

求论证的每一步都不出毛病。

希腊人把“题设”叫做“前提”，并把它分为两种：第一

种是普遍性的“前提”，他们称之为“公理”；第二种是特殊的

数学上的“前提”，他们称之为“公设”。另外，他们还设计出

“归纳”、“演绎”、“反证”等思维方法和技巧。凡是能用“公理”

和“公设”证明出来的命题，叫做“定理”。由“定理”必然

能推导出来的命题，叫做这个定理的“推论”。

　　古希腊人是以几何学作为抽象与证明的舞台的。在这方面

起过巨大作用的数学家有柏拉图、泰勒斯、尤多苏斯、毕达哥

拉斯、欧几里得、阿波罗尼斯、阿基米德、埃拉托瑟尼、希巴

克思、齐诺等。下面我们要向同学们特别介绍一下几何大师欧

几里得的情况。

　　欧几里得（约公元前330—275年）是亚历山大里亚的学者，

早年曾在柏拉图创设的学院里学过数学。他本人不是一个伟大

的革新家，但却是希腊几何黄金时代出现的名人泰勒斯、尤多

苏斯等人所取得的数学成果的杰出组织者。他极善于把前人的

■互联网出版许可证：新出网证(京)字016

1）把纸张从长方形折成正方形。

2）再把正方形折成四个全等的直角三角形。

3）找到正方形的每条边的中点。

4）在正方形里又得到一个正方形。

5）查看纸张的折痕，发现内三角形面积是外三角形的

1/2。

6）拿出一张正方形的纸张，在其中任意一边折起，保

证折痕经过中心，得到的是两个全等梯形。

7）把正方形纸张沿着中垂线折成两半──折痕是上下

两条边的中垂线。

游戏地带 英国发明家瓦特获得了蒸汽机专利后，从一个大学实

验员一跃为波士顿•瓦特公司的老板，还成为英国皇家学

会的会员，引起了许多旧贵族的不满。据说，在一次皇家

音乐会上，有个贵族故意嘲讽地对瓦特说：“乐队指挥手

里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已。”瓦特回

答道：“是的，那的确是根棒子，但是我可以用这样 3根

棒子组成 12 个直角，而你却不能做到。”那个贵族不服气

地用 3根指挥棒在桌上摆来摆去，可始终无法摆出 12 个

直角。

你能拼出 12 个直角吗？

旗杆的高度

一队工程师在丈量一根旗杆的高度，他们只有一根皮尺，

不好固定在旗杆上，因为皮尺总是落下来。一位数学家路过，

拔出旗杆，很容易就量出了数据。他离开后，一位工程师对另

一位说：“数学家总是这样，我们要的是高度，他却给我们长

度！”

最大面积

一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的

篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最

优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有

无限长，认为围起半个地球总够大了。数学家好好嘲笑了他们

一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在

外面。”

面对仓库一边的铁丝网价钱记错了，应该为 40 元。

根据条件 4可推断仓库一边的铁丝网价格记错。真正铁

丝网价格应该（30-20）元 <价格 <（30+20）元，且价

格不能为 20 元、30 元，所以是 40 元。

几何证明是培养逻辑推理能力的最好载体，另外，几何证明过程包含着大量的直观、想象、探究和发现的因素，这对培养创新意识也非常有利。