三维欧氏空间中的 Weingarten 曲面faculty.neu.edu.cn/liuhl/geometry/Master/张颖慧...The properties of the surfaces can be related to the Gaussian curvature and the mean

分类号密级

UDC

学位论文

三维欧氏空间中的 Weingarten 曲面

作者姓名：张颖慧

指导教师：刘会立教授

东北大学理学院

申请学位级别：硕士学科类别：理学

学科专业名称：基础数学

论文提交日期： 2014 年 6 月论文答辩日期： 2014 年 6 月

学位授予日期： 2014 年 7 月答辩委员会主席：

评阅人：

东北大学

2014 年 6 月

A Thesis in Fundamental Mathematics

Weingarten surfaces in Euclidean 3-space

By Yinghui Zhang

Supervisor: Professor Huili Liu

Northeastern University

June 2014

- I -

独创性声明

本人声明, 所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的. 论文中

取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外, 不包含其他人已经发表

或撰写过的研究成果, 也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料.

与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确

的说明并表示谢意.

学位论文作者签名：

日期：

学位论文版权使用授权书

本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学

位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的

复印件和磁盘, 允许论文被查阅和借阅. 本人同意东北大学可以将学

位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流.

作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后：

半年 □ 一年□ 一年半□ 两年□

学位论文作者签名：导师签名：

签字日期：签字日期：

东北大学硕士学位论文摘要

- II -

三维欧氏空间中的 Weingarten 曲面

摘要

微分几何学是一门历史悠久的学科, 它对数学中其他分支的影响越来越深刻.

曲线论和曲面论是它的两大重要组成部分. 由于曲面的性质是与其高斯曲率和平

均曲率有关的, 并且我们知道高斯曲率和平均曲率满足一个函数关系的曲面称为

Weingarten 曲面, 所以说 Weingarten 曲面是一种很特殊的曲面, 研究 Weingarten 曲

面有着重要的意义.

国内外很多数学家对于欧氏空间中的 Weingarten 曲面已经有了很好的研究.

H.Hopf 早在 1956 年就对三维欧氏空间 Weingarten 曲面进行了研究. J.A.Galvez,

A.Martinez 和 F.Milan 在 2002 年对三维欧氏空间中的线性 Weingarten 曲面进行了

研究. Juan A.Aledo Sanchez 和 Jose M.Espinar 在 2006 年对三维欧氏空间中的双曲

线性 Weingarten 曲面进行了研究.

本文基于引入 Cauchy-Riemann 算子并考虑利用曲面的局部等温坐标系的方法,

研究了曲面的结构方程和可积条件 , 并获得了复坐标下三维欧氏空间中满足

cbKaH 2 的 Weingarten 曲面的表示式.

关键词：Weingarten 曲面；等温参数；平均曲率；高斯曲率

东北大学硕士学位论文 Abstract

- III -

Weingarten surfaces in Euclidean 3-space

Abstract

Differential geometry is a subject which has a long history. In recent years, it has a

deeper influence on other subjects more and more. Curve theory and surface theory are

two important elements in differential geometry. It is well-known that the surfaces

whose the Gaussian curvature and the mean curvature satisfy some relationships are

Weingarten surfaces. The properties of the surfaces can be related to the Gaussian

curvature and the mean curvature, so it is very important to study the Weingarten

surfaces.

In Euclidean 3-space, many people have studied the Weingarten surfaces. H.Hopf

studied the Weingarten surfaces in 1956. J.A.Galvez, A.Martinez and F.Milan studied

the linear Weingarten surfaces in 3R in 2002. Besides Juan A.Aledo Sanchez and Jose

M.Espinar studied the hyperbolic linear Weingarten surfaces in 3R in 2006.

In this paper leading in the Cauchy-Riemann operator and considering the method

of local surface isothermal coordinates. We studied structural equation and integrable

condition of the surfaces. And we obtain a representation for a linear Weingarten

surface whose Gaussian curvature and mean curvature satisfy the relationship

cbKaH 2 .

Key words: Weingarten surfaces; isothermal parameter; Gauss curvature; mean

curvature

东北大学硕士学位论文目录

- IV -

目录

独创性声明 ................................................................................................................................... I

摘要 ............................................................................................................................................. II

Abstract .......................................................................................................................................... III

第 1 章引言 ................................................................................................................................. 1

1.1 微分几何的历史和发展 ..................................................................................... 1

1.2 欧氏几何的诞生和发展 ..................................................................................... 2

1.3 研究背景和现状 ................................................................................................. 4

1.4 本文的主要研究内容, 研究目的及意义 .......................................................... 4

第 2 章预备知识 ...................................................................................................................... 6

2.1 向量的概念 ......................................................................................................... 6

2.2 向量函数的概念 ................................................................................................. 6

2.3 三维欧氏空间 ..................................................................................................... 6

2.4 三维欧氏空间中向量的内积, 外积和混合积 .................................................. 7

2.5 正则参数曲面与曲面的定向 ............................................................................. 8

2.5.1 正则参数曲面 ........................................................................................... 8

2.5.2 曲面的定向 ............................................................................................... 9

2.6 三维欧氏空间中曲面的基本量 ......................................................................... 9

2.6.1 曲面的第一基本量 ................................................................................... 9

2.6.2 曲面的第二基本量 ................................................................................. 10

2.6.3 曲面的高斯曲率 ..................................................................................... 10

2.6.4 曲面的平均曲率 ..................................................................................... 12

2.7 高斯映射 ........................................................................................................... 12

2.8 三维欧氏空间中曲面的等温参数系 ............................................................... 13

2.9 三维欧氏空间中的 Weingarten 型曲面 ........................................................... 13

2.10 三维欧氏空间中满足 cbKaH 2 的 Weingarten 型曲面 ......................... 14

东北大学硕士学位论文目录

- V -

2.10.1 满足 cbKaH 2 的双曲的线性 Weingarten 曲面 ........................... 14

2.10.2 满足 cbKaH 2 的椭圆的线性 Weingarten 曲面 ........................... 15

第 3 章主要研究内容 ........................................................................................................ 17

3.1 复坐标表示法下三维欧氏空间中曲面的基本量 ........................................... 17

3.1.1 曲面的高斯曲率 ..................................................................................... 19

3.1.2 曲面的平均曲率 ..................................................................................... 19

3.1.3 曲面的结构方程 ..................................................................................... 20

3.1.4 曲面的可积条件 ..................................................................................... 25

3.2 复坐标表示法下满足 cbKaH 2 的 Weingarten 型曲面 ........................... 26

3.2.1 满足 cbKaH 2 的椭圆的线性 Weingarten 曲面 ............................. 31

3.2.2 满足 cbKaH 2 的双曲的线性 Weingarten 曲面 ............................. 31

第 4 章总结 .............................................................................................................................. 33

参考文献 ...................................................................................................................................... 35

致谢 .............................................................................................................................................. 36

东北大学硕士学位论文第 1 章引言

- 1 -

第 1 章引言

数学本身是一个历史的概念, 其内涵随着时代的变化而变化着. 数学的发展

是一个错综复杂的知识过程与社会过程. 在人类文化的发展历程中, 数学一直占

据着十分独特的地位.

1.1 微分几何的历史和发展

微分几何学肇始于 17 世纪微积分的创立. 17～18 世纪, 由牛顿和莱布尼兹所

创立的微积分及由此引发的分析运动, 对数学和整个科学界带来了极大的刺激.

正是分析方法的应用, 开拓了一个新的数学分支——微分几何[1]. 微分几何是以微

积分和代数学为基础的学科, 伴随着微积分在数学各个分支中的应用以及解析几

何的确立, 微分几何在 18 世纪得到了广泛的发展. 到 19 世纪, 微分几何已经成为

数学的一个非常重要的分支, 它渗透到各数学分支和理论物理等学科中, 成为推

动这些理论发展的一项重要工具.

Clairaut是微分几何的先行者之一. 1731年, Clairaut发表了《关于双重曲率曲线

的研究》一文, 从此开始了真正意义上的曲线研究. Euler是微分几何的重要奠基人

之一. 1736年, Euler以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标, 从而首先引进了

平面曲线的内在坐标的概念, 并由此开始了曲线内在几何的研究. 1760年, Euler发

表了《关于曲面上曲线的研究》的著作, 被公认为是微分几何史上的第一个里程碑,

开创了曲面理论的研究. 蒙日是微分几何的另一重要奠基人, 他在1785年发表了

《关于双曲率曲线的渐曲线、曲率半径和不同形式的分析》一文, 在1795年出版了

第一部系统的微分几何论著：《关于分析的几何应用的活页论文》, 在1805年出版

了第一部系统的微分几何教程《分析法在几何中的应用》, 此教程一直连续使用40

多年并在1850年由其学生刘维尔第五次修订后再版, 这对微分几何的研究和教育

起到了巨大的推动作用. 其后, 蒙日的学生Cauchy对微分几何的发展作出了贡献.

在1816年, C.F.Gauss开始了他的测地工作从而引起了对微分几何的兴趣. 在

1826年, Gauss发表的《曲面的一般理论》, 成为了微分几何发展史上的第二个里程

碑 , 开创了微分几何研究的一个新的历史时期——曲面内蕴微分几何的研究 .

Gauss对微分几何学做出了划时代的贡献, 他认为非欧空间和欧氏空间的区别实质


- 2 -

在于空间具有不同的度量形式, 从而具有不同的弯曲性质, 欧氏空间是平直的, 而

非欧空间是负常弯曲的. Gauss的这一惊人发现开创了微分几何的一个新时代. 过

去, 微分几何所研究的是欧式空间中的曲线与曲面的弯曲性质, 而现在赋予度量

形式的空间本身就是微分几何的研究对象, 这使得微分几何真正成为了一个独立

的学科.这一时期, 微分几何的另一重要代表人物是Riemann, 他在1854年的演讲中

把Gauss的理论推广到高维的空间, 就此诞生了黎曼几何.

黎曼几何是微分几何发展的第三个里程碑. 黎曼之后, 19世纪初, 意大利数学

家里奇发展了对黎曼的微分形式不变量的研究, 开创了―绝对微分学‖——现在的

张量分析, 比较系统地研究了黎曼度量在坐标变换之下的不变性质. 1917年, 列维-

奇维塔将欧氏空间的平行概念推广到弯曲空间, 从而使黎曼几何具有了明显的几

何意义.

1872年, F.Klein在德国埃尔朗根大学做就职演讲时, 阐述了《埃尔朗根纲领》,

用变换群对已有的几何学进行了分类. 在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内,

它成了几何学的指导原理, 推动了几何学的发展, 同时导致了射影微分几何、仿射

微分几何、共形微分几何的建立. 微分几何的另一位代表人物是E.Cartan, 他精巧

地发展了外微分法和活动标架理论, 把李群和微分几何结合了起来[1].

近代微分几何大师陈省身先生给出了高维流形上的高斯—博内公式以及重要

的―陈示性类‖. 陈省身先生对于整体微分几何作出了杰出的贡献, 他的研究也对整

个数学学科产生了深刻的影响. 当代微分几何的主要问题是整体的, 即研究空间

或者流形的整体性质的关系. 我们所熟悉的欧几里得空间只是其中的一部分, 大

批数学家正在开垦的是非直观的神秘空间, 甚至是无穷维空间. 他们已经有了大

量新成果, 但同时又存在更多的新问题. 这预示着大范围微分几何这一领域有着

强大的生命力, 是一座未来世纪的数学宝库.

微分几何这门学科虽然古老, 但生命力依然旺盛, 不仅是当前基础研究的热

门领域, 也是21世纪数学研究的方向之一.

1.2 欧氏几何的诞生和发展

公元前三世纪, 古希腊伟大数学家欧几里得创建了欧几里得几何学, 简称欧

氏几何. 欧几里得在前人已经积累的大量的几何知识的基础上, 按照逻辑系统把


- 3 -

几何命题整理起来, 完成了数学史上的光辉著作《几何原本》. 这本书的问世, 标

志着欧氏几何的建立, 在整个数学发展史上意义深远.

《几何原本》的伟大历史意义在于, 它用公理法建立起演绎的数学体系的最早

典范．在这部著作里, 全部的几何知识都是从最初的几个假设出发, 运用逻辑推理

的方法展开和叙述的. 也就是说, 从《几何原本》发表开始, 几何才真正成为一个

有着比较严密的理论系统和科学方法的学科.

欧氏几何具有鲜明的直观性和与逻辑演绎方法相结合的特点, 历史上有很多

科学家从学习几何中得到益处, 从而作出了伟大的贡献. 在几何学发展的历史中,

欧几里得的《几何原本》起了重大的作用. 但是, 无论怎么样高明的前辈和名家, 都

不可能把问题全部解决. 由于历史条件的限制, 欧几里得在《几何原本》中提出几

何学的―根据‖问题并没有得到彻底的解决, 他的理论体系并不是完美无缺的. 比如,

对直线的定义实际上是用一个未知的定义去解释另一个未知的定义, 这样的定义

不可能在逻辑推理中起什么作用. 又如, 欧几里得在逻辑推理中使用了―连续‖的概

念, 但是在《几何原本》中从未提到这个概念. 人们对《几何原本》中在逻辑结果

方面存在的一些漏洞、破绽的发现, 正是推动几何学不断向前发展的契机.

从高斯的遗稿中可以了解到, 他从1799年开始意识到平行公设不能从其他的

欧几里得公理推导出来, 并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几

何．他起先称之为―反欧几里得几何‖, 最后改称为―非欧几里得几何‖. 非欧几何的

产生, 引起了数学家们对几何基础的研究, 从而从根本上改变了人们的几何观念,

扩大了几何学的研究对象, 使几何学的研究对象由图形的性质进入到抽象空间,

即更一般的空间形式. 可以说, 非欧几何的产生是数学从以直观为基础的时代进

入以理性为基础的时代的重要标志. 非欧几何的产生同时, 也引起了一些重要的

数学分支的产生. 如数的概念、分析基础、数学基础等, 公理化方法也获得进一步

的完善. 非欧几何学的创立, 也为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有

力工具, 对相对论和物理学带来了一场深刻的革命, 使人们对客观世界的认识产

生了质的飞跃. 非欧几何学使数学哲学的研究进入了一个崭新的历史时期. 数学

家们从根本上改变了对数学性质的理解.

非欧几何从发现到获得普遍接受, 经历了曲折的道路. 正是非欧几何的出现

打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面, 引进了全新的空间观


- 4 -

念. 在现代物理学中获得了广泛的应用, 对于二十世纪初关于空间和时间的物理

观念的变革起了重要的作用.

1.3 研究背景和现状

欧几里得空间(Euclidean Space), 简称为欧氏空间, 在数学中是对欧几里得所

研究的2维和3维空间的一般化. 三维欧氏空间已经被人们广泛的研究, 这对于三

维欧氏空间中曲面的研究是至关重要的.

三维欧氏空间中的曲线论与曲面论, 都已经取得了广泛和系统的研究．高斯曲

率和平均曲率是反映曲面性质的两个比较重要的概念, 所以对曲面的高斯曲率和

平均曲率的研究有着重要的意义. 如果一个曲面的高斯曲率和平均曲率满足一个

函数关系式, 那么这个曲面就称为 Weingarten 型曲面, 或 Weingarten 曲面. 人们对

Weingarten 型的旋转曲面、螺旋面、直纹面进行了一定的研究．若一个平移曲面的

高斯曲率和平均曲率满足一个函数关系式, 则我们称其为平移Weingarten曲面. 三

维欧氏空间中对于 Weingarten 曲面的研究也已经有了深刻的认识, 著名数学家霍

普夫在他的关于几何和整体微分几何的著名讲演记录中的第二部分对三维欧氏空

间中的 Weingarten 曲面进行了研究, 特别是那些中曲率或高斯曲率为常数的曲面,

并且还构造了许多关于欧氏空间里具常数中曲率而不是超曲面的实例. Lopez 研究

了三维欧氏空间中 Gauss 曲率是常数的圆纹曲面, Gauss 曲率K 和平均曲率H 满足

cbKaH 2 (其中 a , b , c为常数)的Weingarten型曲面的分类以及研究了主曲率

满足 nmkk 21 线性 Weingarten 型曲面, 另外他还研究了三维 Minkowski 空间中

园纹曲面的常平均曲率曲面[2-5].

J.A.Galvez, A.Martinez 和 F.Milan 在 2002 年发表的《Linear Weingarten surfaces

in 3R 》中对线性的 Weingarten 曲面进行了研究, 并且第二部分中获得了满足

cbKaH 2 的椭圆的线性 Weingarten 曲面的一个表达式. Juan A.Aledo Sánchez

和 José M 在 2007 年发表的《Hyperbolic linear Weingarten surfaces in R3》中写出了

满足 cbKaH 2 的双曲得线性 Weingarten 曲面的一个表达式[6-9].

1.4 本文的主要研究内容, 研究目的及意义

本文在三维欧氏空间曲线论与曲面论的基础上, 引入 Cauchy-Riemann 算子,

http://baike.baidu.com/view/454452.htm


- 5 -

利用曲面的局部等温坐标系, 并依据建立的活动标架来计算曲面的基本形式、结构

方程和可积条件. 进而研究在复坐标下三维欧氏空间中的 Weingarten 曲面．人们对

于三维欧氏空间中 Weingarten 曲面早已进行了广泛的研究, 同时研究了一些线性

Weingarten 曲面在特定条件下的表达式, 本文的意义在于研究复坐标下的曲面的

结构方程, 并获得复坐标下满足 cbKaH 2 的线性 Weingarten 曲面的表达式.

东北大学硕士学位论文第 2 章预备知识

- 6-

第 2 章预备知识

2.1 向量的概念

定义 2.1 既有大小、又有方向的量成为向量, 或矢量. 向量的大小叫做向量的

模, 也称向量的长度.

模等于 1 的向量叫做单位向量.

2.2 向量函数的概念

定义 2.2[10]

给出一点集G , 如果对于G 中每一点 x , 有一个确定的向量 r 和它

对应, 则可以说, 在G 中给定了一个向量函数, 记作

)(xrr , Gx .

设G 是实数轴上一区间 10 ttt , 则得一元向量函数

)(trr , 10 ,ttt .

设G 是空间中一区域, Gzyx ,, , 则得三元向量函数

),,( zyxrr , Gx .

通过数学分析中对实数函数的讨论, 我们也可以对向量函数引入极限、连续、

微商和积分等概念.

定义 2.3 在区间 21, tt 上有 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k 次可微函数

或 kC 类函数, 连续函数也称为 0C 类函数, 无限可微的函数记为 C 类函数. 解析

函数记为 C 类函数.

2.3 三维欧氏空间

定义2.4 设V 是实数域 R 一线性空间, 在V 上定义了一个二元实函数, 称为内

积, 记作 , 它具有以下性质：

(1) ,, ；


- 7-

(2) ,, kk ；

(3) ,,, ；

(4) 0, 当且仅当 0 时, 0),( .

其中, , , 是V 中任意的向量, 而K 是任意实数, 这样的线性空间V 为欧

几里得(Euclid)空间(简称欧氏空间)．

特别地, 当欧氏空间的维数 3n 时, 此时的欧氏空间称为三维欧氏空间, 记

做 3R .

2.4 三维欧氏空间中向量的内积, 外积和混合积

任取向量 , , 3R , 设 111 ,, zyx , 222 ,, zyx , 333 , zyx ,

ix , iy , iz R .

定义 2.5[11]

在 3R 中取一组正交标架基 ie , 向量的内积定义如下

212121, zzyyxx .

定义 2.6[11] 在 3R 中取一组正交标架基 ie , 向量的外积定义如下

122121121221

222

111

321

,, yxyxzxzxzyzy

zyx

zyx

eee

.

定理 2.1[11] 外积适合下列运算规律：对于任意向量 , , 和任意实数 a , 有

(1) (反交换律),

(2) aa ,

(3) (左分配律),

(右分配律).

定理 2.2[11] 对于任意向量 , , 有

．


- 8-

称为二重外积公式.

定义 2.7[11] 在 3R 中取一组正交标架基 ie , 向量的混合积定义如下

321

321

321

,,,

zzz

yyy

xxx

．

定理 2.3 设向量 , , 是 3R 中任意三个向量, 则有

,, ,

),(, ,

),(),( ,

,),( ,

,, .

2.5 正则参数曲面与曲面的定向

2.5.1 正则参数曲面

所谓的参数曲面 S 是指从 2R 中的区域D到空间 3R 的一个连续映射 3: RDS .

若在 2R 和 3R 中分别建立了笛卡儿直角坐标系, 用 ),( vu 记 2R 中的点的坐标, 用

),,( zyx 记 3R 中点的坐标, 则参数曲面S的方程可以表示为

).,(

),,(

),,(

vuzz

vuyy

vuxx

.),( Dvu

或者写成向量方程的形式

)),(),,(),,((),( vuzvuyvuxvurr .

曲面 S 的参数曲线在点 ),( 000 vuP 的两个切向量是

),(

00

00

),(vu

uu

rvur

,

),(

00

00

),(vu

vv

rvur

.


- 9-

如果 ),( 00 vuru , ),( 00 vurv 是线性无关的, 即 0),( 00

vuvu rr , 则称曲面 S 在点 0P 是

正则的. 我们所研究的曲面都是三次以上连续可微的, 处处是正则点的参数曲面,

称为正则参数曲面[12].

2.5.2 曲面的定向

正则曲面 S 的每一点 p 有一张切平面 )(STp , 它的一个定向的选取诱导了 P 点

邻域中的一个定向, 即沿着这领域中每一点的充分小闭曲线正向运动的概念, 如

对每点 Sp 能做这种选取, 使在任何两个相交邻域的交集中所取的定向是一致的,

那么 S 称为可定向的. 如果不能做到这样, S 就叫做不可定向的[13].

一个正则曲面称为可定向的, 如果一个正则曲面容有在全曲面上的可微的单

位法向量场；这样的一个向量场 N 的选取, 称为 S 的一个定向.

定义2.8[13]

如果正则曲面 S 能被一族坐标邻域所覆盖, 使得若 Sp 属于族中

二个邻域，那么坐标变换Jacobi行列式在 p 点是正的, 则 S 称作是可定向的. 这样

一族坐标邻域的选取称为 S 的一个定向, 在这种意义下称 S 为定向曲面. 如果这样

的选择不可能, 曲面称为是不可定向的.

2.6 三维欧氏空间中曲面的基本量

2.6.1 曲面的第一基本量

定义 2.9[10] 设三维欧氏空间中 2C 类曲面 S 的方程为

vurr , .

若以 s 表示曲面上曲线的弧长, 则有

2222 2 GdvFdudvEdudrds . (2.5.1)

这个二次型可以决定曲面上的曲线的弧长, 称为曲面 S 的第一基本形式. 用 I

表示：

22 2 GdvFdudvEduI .

它的系数

uu rrE , vu rrF , vv rrG .


- 10-

称为曲面 S 的第一基本量.

2.6.2 曲面的第二基本量

定义 2.10[10] 设三维欧氏空间中 2C 类曲面 S 的方程为

vurr , ,

即 ),( vurr 有连续的二阶导函数 uur , uvr , vvr .

曲面的单位法向量为 n , 则有

222 2 dvrndudvrndurndrn vvuvuu .

称为曲面的第二基本形式. 用 II 表示：

222 2 NdvMdudvLdurdnII ,

它的系数

uurnL , uvrnM , vvrnN . (2.5.2)

称为曲面 S 的第二基本量.

其中, 曲面的单位法向量

vu

vu

rr

rrn

. (2.5.3)

2.6.3 曲面的高斯曲率

定义 2.11[10]

设 2C 类曲面 S 的方程为 ),( vurr , 曲面的第一基本量、第二基本

量分别为 E , F , G 和 L , M , N . 并且 02 FEG ．

则曲面 S 的高斯曲率为

2

2

FEG

MLNK

.

下面给出高斯曲率的具体表达式.

由(2.5.2)及(2.5.3)可知

2

,,

FEG

rrrL vuuu

,


- 11-

2

,,

FEG

rrrM vuuv

,

2

),,(

FEG

rrrN vuvv

.

所以

2

2

FEG

MLNK

2

22,,),,(,,

)(

1vuuvvuvvvuuu rrrrrrrrr

FEG

vvuvuvv

vuuuuvu

vuvuuvuvuv

vvuvvvv

vuuuvvu

vuuuuuvvuu

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

FEG 22 )(

1

GFrr

FErr

rrrrrrrr

FEGvvv

vvu

vuuuuuuvuvvvuu

22 )(

1

GFrr

FErr

rrrr

uvv

uvu

vuvuuv0

.

由于

vuvuvuuv rrFF ))(()()(

vvuuvuu rrrr )(

,uvuvuvvuvuuvvvuu rrrrrrrr

,)()2

1(

2

1uvuvuvvuvuvuvvvv rrrrrrEE

,)2

1(

2

1vuvuvuuvuvuvuuuu rrrrrrGG

所以

.2

1

2

1uvuvvvuuuuvvuv rrrrGEF

于是可以得到公式


- 12-

GFG

FEGF

EFEGEF

FEGK

v

uv

vuuuuvvuv

2

12

12

1

2

1

2

1

2

1

)(

122

GFG

FEE

GE

u

v

uv

2

12

12

1

2

10

. (2.5.4)

2.6.4 曲面的平均曲率

定义 2.12[10]

设 2C 类曲面 S 的方程为 ),( vurr , 曲面的第一基本量、第二基本

量分别为 E , F , G 和 L , M , N . 并且 02 FEG ．

则曲面 S 的平均曲率为

)(2

22FEG

NEMFLGH

. (2.5.5)

2.7 高斯映射

设是曲面 ),(: vurrS 上一块不大的区域, 另外再作一单位球面. 现在我们

建立中的点和单位球面上的点的对应关系如下：中任取一点 ),( vuP , 作曲面在

P 点处的单位法向量 ),( vunn , 然后把 n 的始端平移到单位球的中心, 则 n 的另

一端点就在单位球面上 . 设该点为 p , 这样对于曲面的小区域中的每一点

),( vur , ),( vu 与球面上向径 ),( vun 的点对应.

因此, 曲面上所给出的小区域表示到单位球面的对应区域上. 这就是说,

建立了曲面的小区域到单位球面上区域的对应.

我们把曲面上的点与球面上的点的这种对应称为曲面的球面表示, 也称为高

斯映射[10].

定义 2.13[13]

设 3RS 是有定向 N 的曲面. 映照 3: RSN 取值于单位球面


- 13-

}1;),,{( 22232 ZYXRZYXS ,

这样得到的映照 2: SSN 称为 S 的 Gauss 映照.

2.8 三维欧氏空间中曲面的等温参数系

定义 2.14[14]

对于正则参数曲面

vurr , , 2, RDvu

定义了第一基本形式

22 2 GdvFdudvEduI ,

其中, E , F , G 恰好是自然标架的切向量 ur , vr 的度量系数, 即

uu rrE , vu rrF , vv rrG .

如果 0F , 并且 GE , 则我们称 ),( vu 为曲面的等温参数系.

在等温参数系 ),( vu 下, 自然标架的切向量 ur 、 vr 是彼此正交的, 并且它们的长

度相等. 此时, 曲面的第一基本形式成为

22 dvduI .

其中

0),(, vuGvuE .

如果曲面的第一基本形式的系数 E , F , G 是参数 u , v 的 C 类函数

10 , 则在曲面的每一点的邻域内存在 1C 类的等温参数系；若 E , F , G 是

参数u , v的 nC 类函数, 则等温参数系是 1nC 类的. 特别地, 若 E , F , G 是光

滑函数, 则在曲面上存在局部的光滑的等温参数系.

2.9 三维欧氏空间中的 Weingarten 型曲面

定义 2.15[15]

三维欧氏空间中的曲面 S , 如果曲面的主曲率 1k 和 2k 之间存在函

数关系 0),( 21 kkW , 则称曲面为 Weingarten 型曲面, 简称 W 曲面.

设 21 kk , K 和 H 分别表示为曲面 S 的高斯曲率和平均曲率 , 且


- 14-

KHHk 2

1 , KHHk 2

2 .

定义 2.16[15]

三维欧氏空间中的曲面 S , 平均曲率H 和高斯曲率K 满足某一非

平凡关系式 0),( KHF , 则也称曲面 S 为 Weingarten 型曲面.

2.10 三维欧氏空间中满足 cbKaH 2 的 Weingarten 型曲面

令 3: RMr 是一个浸入映射, 其中M 是一个 3R 中的可定向曲面. M 的高斯

曲率K 和平均曲率H 满足关系

cbKaH 2 ,

此时, r 是一个线性 Weingarten 映射, 曲面M 为 Weingarten 曲面或 Weingarten

型曲面, 其中 cba ，，为不全为零的实数.

当 02 bca 时, 曲面M 为双曲的线性 Weingarten 曲面.

当 02 bca 时, 曲面M 为椭圆的线性 Weingarten 曲面.

当 02 bca 时, 曲面M 为抛物的线性 Weingarten 曲面[16].

2.10.1 满足 cbKaH 2 的双曲的线性 Weingarten 曲面

令 3: RM 是一个浸入映射, 其中M 是一个 3R 中的可定向曲面. M 的高

斯曲率 K 和平均曲率 H 满足关系 cbKaH 2 且 02 bca . 令 N 表示曲面的高

斯映射.

考虑 Weingarten 曲面M 的对称张量

),(),(),( YXbIIYXaIYX

YXdNbYXa ),(, . )(, MYX .

这里 , 是 3R 中曲面M 的诱导度量, 通过的标准度量得来的.

引入等温参数 ),( vu , 那么

)( 22 dvdu ,

其中, 是一个正的光滑函数.

由此, 经过适当的计算整理可以得到三维欧氏空间中满足 cbKaH 2 的双


- 15-

曲线性 Weingarten 曲面关于其高斯映射 N 的一个表达式. 即

.

,

uvv

vuu

NNc

dN

c

a

NNc

dN

c

a

其中, bcad 2.

定理 2.4[6]

令 3: RM 是一个浸入映射, 满足 cbKaH 2 , 02 bca ,

其中 a , b , c 为M 上的函数, 高斯映射为 N . 如果对于度量 bIIaI , 考虑曲

面M 的等温参数 ),( vu . 那么就曲面的高斯映射 N , 能表示为如下形式：

.

,

uvv

vuu

NNc

dN

c

a

NNc

dN

c

a

这里, bcad 2.

2.10.2 满足 cbKaH 2 的椭圆的线性 Weingarten 曲面

设 S 是一个可定向的曲面, 3: RS 是一个浸入映射, 高斯映射 2: SSN .

我们说是一个椭圆的线性 Weingarten 映射, 如果曲面 S 满足关系 cbKaH 2

并且 02 bca , 其中 a , b , c为M 上的不全为零的任意实数.

定理 2.5[7]

令 3: RS 是一个椭圆的线性 Weingarten 浸入映射, 高斯映射为

. 则有

,2

bca

bKc

.22

bca

cHaK

这里表示关于黎曼度量 bIIaI 的拉普拉斯算子.

考虑黎曼度量 bIIaI 的局部等参数 ),( vu , 即 )( 22 dvdu . 若 u

和 v 是切平面的一组基, 则有


- 16-

.

,

2221

1211

vuvv

vuuu

ba

ba

其中, 11 , 12 , 21 , 22 是任意的实函数.

经过适当的计算和整理能够得出曲面 S 关于其高斯映射的一个表达式：

.

,

uvv

vuu

c

d

c

ac

d

c

a

这里, bcad 2.

定理 2.6[7]

令 3: RS 是一个浸入映射, 满足 cbKaH 2 且 02 bca ,

其中 a , b , c为M 上的函数, 高斯映射 2: SS . 如果对于度量 bIIaI , 考

虑曲面 S 的等温参数 ),( vu . 那么就曲面高斯映射 , 能表示为如下形式：

.

,

uvv

vuu

NNc

dN

c

a

NNc

dN

c

a

这里, bcad 2.

东北大学硕士学位论文第 3 章主要研究内容

- 17-

第 3 章主要研究内容

本章主要在复坐标的基础上, 研究了三维欧氏空间中曲面的基本量, 并研究

讨论了满足 cbKaH 2 的双曲的线性 Weingarten 曲面和椭圆的线性 Weingarten

曲面的一个表达式.

3.1 复坐标表示法下三维欧氏空间中曲面的基本量

引入 Cauchy-Riemann 算子：

vi

uz 2

1: , idvdudz .

令 3: RMr 是一个浸入映射, 高斯映射 2: MMn , M 是一个可定向曲面.

n为曲面的单位法向量.

给出 3C 类曲面M 的方程：

),( vurr ,

即 ),( vur 有连续的二阶导函数 uur , uvr , vvr .

由 Cauchy-Riemann 算子有

vuz irrr 2

1,

vuz irrr 2

1,

zdrdzrdr zz ,

zdndzndn zz .

则曲面存在连续的二阶导函数 zzr , zzr , zzr .

由(2.5.1)有

drdrI

)()( zdrdzrzdrdzr zzzz

22 2 zdrrzdzdrrdzrr zzzzzz . (3.1.1)

其中


- 18-

))(( idvduidvduzdzd

22 dvdu .

考虑曲面M 的局部等温参数 ),( vu , 则存在曲面M 的一个函数 , 使得

)(2 222 dvdueI . (3.1.2)

比较(3.1.1) 和(3.1.2), 可得

0 zz rr , (3.1.3)

0 zz rr , (3.1.4)

22err zz . (3.1.5)

对(3.1.3)两边同时取 z 和 z 微分, 可得

.0

,0

zzzzzz

zzzzzz

rrrr

rrrr (3.1.6)


.0

,0

zzzzzz

zzzzzz

rrrr

rrrr (3.1.7)


.2

,22

2

errrr

errrr

zzzzzzz

zzzzzzz (3.1.8)

由(3.1.6)和(3.1.7)式, 可得

0 zzzzzz rrrr ,

0 zzzzzz rrrr ,

0 zzzzzz rrrr ,

0 zzzzzz rrrr . (3.1.9)

将上式带入(3.1.8)中, 可得

.2

,22

2

err

err

zzzz

zzzz (3.1.10)


- 19-

3.1.1 曲面的高斯曲率

考虑的曲面M 的等温参数系, 并由(3.1.2)式可知, 曲面的第一基本量为

22eE ,

22eG ,

0F .

则由公式(2.5.4)可知

v

v

u

u

G

E

E

G

EGK

)()(1

ln)(1

2

2

2

2

vu

ln2

zz

2

22ln

2

2e

zze

zze

2

2 .

即曲面的高斯曲率为

zze

K 2

2 . (3.1.11)

3.1.2 曲面的平均曲率

因

)(2

1vuz irrr ,

所以由 Cauchy-Riemann 算子, 可得

v

r

u

rr zz

zz2

1

v

irri

u

irr vuvu

4

1

vvuvvuuu ririrr 4

1

vvuu rr 4

1. (3.1.12)


- 20-

于是

nrnrnr vvuuzz 4

1

NL 4

1. (3.1.13)

又由(2.5.5)和 22eGE , 0F , 可得

E

NL

EG

NELGH

22

. (3.1.14)

由(3.1.13)和(3.1.14), 可得

)2(2

4

2 2e

nr

E

NLH zz

,

即

nre

H zz 2

1.

令 nr zz , 即曲面的平均曲率为

2

1

eH .

3.1.3 曲面的结构方程

给出 3C 类曲面M 的方程:

vurr , .

考虑 ),( vu 的局部等温参数, 曲面的第一基本量为

22eE ,

22eG ,

0F .

则曲面的单位向量

vu

vu

rr

rrn

2FEG

rr vu

22e

rr vu .


- 21-

引入 Cauchy-Riemann 算子, 它确定了向量

z

rrz

, z

rrz

. (3.1.15)

由于

1( )

2z u vr r ir ,

).(2

1vuz irrr

则有

)(2

1)(

2

1vuvuzz irrirrrr

)(4

1vuvvuu irririrrr

)(4

1vvuvvuuu rrrirrirrr

)(4

1uvvu rirrir

vu rri

2 .

可得

2ie

rrn zz .

对(3.1.15)中的两个向量和上式再求导, 我们能够得到一个类似于曲线论中的

Frenet 标架的公式.

令

.

,

,

2

1

1

1

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

zzz

zzzz

zzzz

rrn

nrrr

nrrr

(3.1.16)

我们希望确定这些式子的系数. 令

nrzz , nr zz .

把(3.1.16)的第一式两边同时点乘 n , 且因为

0nrz , 0nrz ,

可得

nnnrnrnr zzzz 3

1

2

1

1

1 ,


- 22-

即

nrzz

3

1.

把(3.1.16)的第一式两边同时点乘 zr , 并由(3.1.9)和(3.1.10)有

zzzzzzzz rnrrrrrr 3

1

2

1

1

1 ,

整理得

22

10 e .

即

02

1 .

把(3.1.16)的第一式两边同时点乘 zr , 并由(3.1.9)和(3.1.10)有

zzzzzzzz rnrrrrrr 3

1

2

1

1

1 ,

整理得

21

1

22 eez .

即

z 21

1 .

所以

nrr zzzz 2 . (3.1.17)

把(3.1.16)的第二式两边同时点乘 n , 可得

nnnrnrnr zzzz 3

2

2

2

1

2 ,

即

nr zz

3

2.

把(3.1.16)的第二式两边同时点乘 zr , 可得

zzzzzzzz rnrrrrrr 3

2

2

2

1

2

由(3.1.9)和(3.1.10)可知

02

2 .


- 23-

把(3.1.16)的第二式两边同时点乘 zr , 可得

zzzzzzzz rnrrrrrr 3

2

2

2

1

2

由(3.1.9)和(3.1.10)可知

01

2 .

所以

nr zz .

又因

2

1

eH ,

可得

Hner zz

2 . (3.1.18)

把(3.1.16)的第三式两边同时点乘 zr , 并由(3.1.9)和(3.1.10)有

zzzzzz rrrrrn 2

1

1

1 ,

整理得

zz rne 1

1

2 ,

即

zz rne 21

1. (3.1.19)

把(3.1.16)的第三式两边同时点乘 zr , 并由(3.1.9)和(3.1.10)有

zzzzzz rrrrrn 2

1

1

1 ,

整理得

zz rne 2

1

2 ,

即

)(22

1 zz rne . (3.1.20)

因 0nru , 0nrv , 所以

nirrnr vuz )(2

1


- 24-

nirnr vu 2

1

0 ,

nirrnr vuz )(2

1

nirnr vu 2

1

0 .

即

0nrz , 0nrz .

对 0nrz , 两边同时取关于 z 和 z 的微分, 有

.0

,0

zzzz

zzzz

nrnr

nrnr

对 0nrz , 两边同时取关于 z 和 z 的微分, 有

.0

,0

zzzz

zzzz

nrnr

nrnr

故

nrrn zzzz ,

nrrn zzzz .

将上述两式带入(3.1.19) 和(3.1.20)中, 可得

zz rne 21

1

nre zz 2

2 e ,

)(22

1 zz rne

)(2 nre zz

2 e .

可得

zzz reren 22 . (3.1.21)


- 25-

结合(3.1.17), (3.1.18)和(3.1.21), 我们可以得到下面的曲面结构方程：

.

,

,2

22

2

zz

zz

zzzz

reen

Hner

nrr

(3.1.22)

3.1.4 曲面的可积条件

引入Cauchy-Riemann算子, 我们得到了复坐标表示下曲面的结构方程(3.1.22),

现在我们根据恒等式zzzzzz rr , 来计算曲面在复坐标表示下的可积条件.

对(3.1.22)中的第一个式子的两边同时取对 z 的微分, 并结合(3.1.22)中第三个

式子, 有

zzzzzzzzzzz nnrrr 22

)(22 22

zzzzzzz rerennr

zzzzzz renre 22 )2()2( . (3.1.23)

同理, 对(3.1.22)中的第二个式子的两边同时取对 z 的微分, 有

zzzzz nnr

zzz reren 22 . (3.1.24)

根据恒等式 zzzzzz rr , 由(3.1.23)和(3.1.24)可得

.

,2

,2

22

22

ee

ee

zzz

zz

即

.

,2

,2 2222

zzz

zz ee

(3.1.25)

又由(3.1.11)知

zze

K 2

2 .

代入(3.1.25)中可得


- 26-

.

,2

,224

zzz

Ke

(3.1.26)

故(3.1.26)即为所求的曲面的可积条件.

3.2 复坐标表示法下满足 cbKaH 2 的 Weingarten 型曲面

令 3: RMr 是一个浸入映射, 高斯映射 2: MMn , M 是一个可定向曲面.

n为曲面的单位法向量.

给出 3C 类曲面M 的方程：

),( vurr .

引入 Cauchy-Riemann 算子：

.),(2

1idvdudz

vi

uz

并利用 I 的局部等温坐标系 ),( vu . 即

22eGE , 0F .

由 3.1 可知复坐标表示下曲面的高斯曲率, 平均曲率, 曲面的结构方程和可积

条件. 根据这些条件我们来研究满足 cbKaH 2 的 Weingarten 型曲面的一个表

达式.

考虑曲面的切平面的一组基 zrn 和 zrn , 我们有

.

,

2221

1211

zzzz

zzzz

rnrnbnar

rnrnbnar

(3.2.1)

其中 11 , 12 , 21 , 22 为确定的函数.

对(3.2.1)中的第一个式子两边同时取共轭, 有

zzzz rnnnbnar 1211 , (3.2.2)

比较(3.2.1)和(3.2.2)中的第二个式子, 可得

2211 , 2112 . (3.2.3)

把(3.2.1)中的第一个式子点乘 zr , 可得


- 27-

zzzzzzzz rrnrrnrbnrar )()( 1211 , (3.2.4)

因为 )(2

1vuz irrr , )(

2

1vuz irrr 且

)(2

1)(

2

1vuvuzz irrirrrr

vu rri

2

.

又因为22e

rrn vu 且 22eGE , 0F , 所以

22

)(

e

rrrrn zvu

z

)(2

1)(

2

12 vuvu irrrr

e

vvuuvu rrrirrre

24

1

uvvvvuuuvvuu rrrirrrirrrrrre

)()(4

12

uv i G rEr

e

24

1

)(2

1uv irr

zir . (3.2.5)

同理

22

)(

e

rrrrn zvu

z

)(2

1)(

2

12 vuvu irrrr

e

vvuuvu rrrirrre

24

1

uvvvvuuuvvuu rrrirrrirrrrrre

)()(4

12

uv i G rEr

e

24

1

)(2

1uv irr

zir . (3.2.6)

又因


- 28-

0 zz rr , 0 zz rr , 2err zz .

将(3.2.5)和(3.2.6)代入(3.2.4)中, 可得

zzzzzzzz rirrirrbnrar 1211 ,

即

zz rbnie 12

2 .

又因为 nrrn zzzz , 即

2

12

ibe . (3.2.7)

同理, 把(3.2.1)中的第一个式子点乘 zr , 可得

zzzzzzzz rrnrrnrbnrar )()( 1211 ,

zzzz rirrirbae 1211

2 ,

2

11

2 iebae .

即

2

11

ebai . (3.2.8)

把(3.2.1)中的第二个式子点乘 zr , 可得

zzzzzzzz rrnrrnrbnrar )()( 2221

zzzz rirrirbae 2221

2

2

22

2 iebae ,

即

)( 2

22

ebai . (3.2.9)

把(3.2.1)中的第二个式子点乘 zr , 可得

zzzzzzzz rrnrrnrbnrar )()( 2221 ,

zzzzzzzz rrrirrbnrar 2221 ,

2

21eib .


- 29-

即

bie 2

21

. （3.2.10）

由(3.2.7), (3.2.8), (3.2.9), (3.2.10)以及(3.2.3), 可知

)()( 22

2211

ebaiebai ,

22

2112

ibeibe .

则有

02 eba ,

0)(2 ibe .

即

02211 . (3.2.11)

假定 0b , 则由上式可知

2

be

a, 0 . (3.2.12)

将(3.2.7), (3.2.8), (3.2.9), (3.2.10), (3.2.11)代入(3.2.1)中, 有

.

,

2

2

zzz

zzz

rni b ebnar

rnibebnar

(3.2.13)

由(3.2.13)中的第二个式子, 可得

zzz rna

iben

a

br

2

,

因为 0 zrn , 所以

)(2

zzz rnna

ibenn

a

brn

)(2

zz rnna

ibenn

a

b

][2

zzz rnnnrna

ibenn

a

b

zz ra

ibenn

a

b 2

.


- 30-

将其代入(3.2.13)第一个式子中, 可得

)(2

2

zzzz ra

ibenn

a

bibebnar

zz r

a

ebnn

a

eib 4222

,

移项整理得

zzzz nneibabnrebra 22422 ,

即

zzz nneibabnreba 222422 )( ,

即

2422

22

2422

eba

nneib

eba

abnr zz

z. (3.2.14)

现在要确定(3.2.14)的系数.

由曲面的可积条件(3.1.26)可知

224 Ke ,

并且曲面的平均曲率为 2 eH , 代入 Weingarten 曲面的条件 cbKaH 2 中,

可得

ce

bae

4

22

22 , (3.2.15)

再将(3.2.12)代入(3.2.15)中, 并且 . 可得

ceeb

ab

be

aae

42

42

2

2

2 )()(2

,

cebbe

a

b

ae

42

4

2242

,

bcebaa 242222 ,

bceba 2422 . (3.2.16)

又由(3.2.16), 有 bcaeb 2242 , 即


- 31-

)( 242 bcaeb . (3.2.17)

由(3.2.12)知 0 , 即

.

代入(3.2.17)中, 可得

bcaeb 2242 . (3.2.18)

3.2.1 满足 cbKaH 2 的椭圆的线性 Weingarten 曲面

若 02 bca , 曲面M 为椭圆线性 Weingarten 曲面, 则由(3.2.18)有

bcabe 22 . (3.2.19)

将(3.2.16)和(3.2.19)代入(3.2.14)中, 可得

zzz nnc

bcain

c

ar

2

.

即满足 cbKaH 2 的椭圆线性 Weingarten 曲面的一个表示式为

.

,

2

2

zzz

zzz

nnc

bcain

c

ar

nnc

bcain

c

ar

(3.2.20)

定理 3.1 令 3: RMr 是一个满足 cbKaH 2 的浸入映射( a , b , c为曲面

M 上的函数), 并且 02 bca . 高斯映射 2: MMn , 其中M 是一个可定向曲面.

如果考虑M 上关于第一基本形式的局部等温坐标系 ),( vu , 那么曲面就高斯映射 n

的表达式为

.

,

2

2

zz

zzz

nnc

bcain

c

ar

nnc

bcain

c

ar

3.2.2 满足 cbKaH 2 的双曲的线性 Weingarten 曲面

若 02 bca , 曲面M 为双曲线性 Weingarten 曲面, 则由(3.2.18)有


- 32-

bcaibe 22 . (3.2.21)

将(3.2.16)和( 3.2.21)代入(3.2.14)中, 可得

zzz nnc

bcan

c

ar

2

.

即满足 cbKaH 2 的双曲线性 Weingarten 曲面的一个表示式为

.

,

2

2

zzz

zzz

nnc

bcan

c

ar

nnc

bcan

c

ar

(3.2.22)

定理 3.2 令 3: RMr 是一个满足 cbKaH 2 的浸入映射( a , b , c为曲面

M 上的函数), 并且 02 bca . 高斯映射 2: MMn , 其中M 是一个可定向曲面.


的表达式为

.

,

2

2

zzz

zzz

nnc

bcan

c

ar

nnc

bcan

c

ar

东北大学硕士学位论文第 4 章总结

- 33-

第 4 章总结

本文主要研究的是三维欧氏空间中的一类特殊的曲面, 即 Weingarten 曲面.

首先, 第1章引言部分主要介绍了微分几何的历史和发展、欧氏几何的诞生与

发展、研究背景和现状以及本文的主要研究内容、研究目的及意义. 第2章主要介

绍了本文所用到的重要的基础知识, 例如欧氏空间的定义、曲面的第一基本形式和

第二基本形式、等温参数系、Weingarten曲面的定义等. 这些基础知识将在后面的

理论分析中用到, 此处不给出定理的证明.

其次, 在第3章中引入了Cauchy-Riemann算子, 并利用曲面的局部等温坐标系

的方法, 研究了曲面在复坐标表示下的高斯曲率、平均曲率、结构方程和可积条件.

即曲面的高斯曲率可表示为：

zze

K 2

2 .

曲面的平均曲率可表示为：

2 eH , nr zz .

曲面的结构方程可表示为：

.

,

,2

22

2

zz

zz

zzzz

reen

Hner

nrr

曲面的可积条件可表示为：

.

,2

,2 2222

zzz

zz ee

其中, nr zz , nrzz .

在同一条件下, 根据上述得到的曲面的高斯曲率、平均曲率、结构方程和可积

条件. 研究了复坐标表示法下三维欧氏空间中满足 cbKaH 2 的Weingarten型曲

面的表达式. 得到的具体结论如下：

定理3.1 令 3: RMr 是一个满足 cbKaH 2 的浸入映射( a , b , c 为曲面

M上的函数), 并且 02 bca . 高斯映射 2: MMn , 其中M 是一个可定向曲面.

东北大学硕士学位论文第 4 章总结

- 34-


的表达式为

.

,

2

2

zzz

zzz

nnc

bcain

c

ar

nnc

bcain

c

ar

定理3.2 令 3: RMr 是一个满足 cbKaH 2 的浸入映射( a , b , c 为曲面

M上的函数), 并且 02 bca . 高斯映射 2: MMn , 其中M 是一个可定向曲面.


的表达式为

.

,

2

2

zzz

zzz

nnc

bcan

c

ar

nnc

bcan

c

ar

本文的研究使人们对欧氏空间中的Weingarten曲面有了新的了解, 针对本文还

可以研究满足 02 bKaH 的Weingarten曲面的性质, 例如曲面的测地线以及一些

特殊的曲线.

东北大学硕士学位论文参考文献

- 35-

参考文献

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HeidelbergNew York: Springer,1983.

东北大学硕士学位论文致谢

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致谢

本论文是在导师刘会立教授的悉心指导下完成的. 导师渊博的专业知识, 严

谨的治学态度, 精益求精的工作作风, 诲人不倦的高尚师德, 严以律己、宽以待人

的崇高风范, 朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远. 使我树立了远大的学

术目标、掌握了基的研究方法. 本论文从选题到完成, 每一步都是在导师的指导下

完成的, 倾注了导师大量的心血. 在此, 谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！

感谢杨云老师, 于延华老师, 袁媛老师和钱若云老师. 从最初的定题, 到资料

收集, 到写作、修改, 到论文定稿, 她们给了我耐心的指导和无私的帮助, 在此我

向她们表示我诚挚的谢意.

同时, 感谢所有任课老师和所有同学在这两年来给自己的指导和帮助, 是他

们教会了我专业知识, 教会了我如何学习, 教会了我如何做人, 正是由于他们, 我

才能在各方面取得显著的进步, 在此向他们表示我由衷的谢意, 并祝所有的老师

培养出越来越多的优秀人才, 桃李满天下！

感谢答辩委员会的各位老师以及东北大学理学院的所有老师！

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三维欧氏空间中的 Weingarten 曲面faculty.neu.edu.cn/liuhl/geometry/Master/张颖慧...The properties of the surfaces can be related to the Gaussian curvature and the mean