CE 307 Hidrolik

1. GİRİŞ Kapsam

Suyun bir yerden bir başka yere iletilmesi su

mühendisliğinin ana ilgi konusunu oluşturur.

İki temel iletim biçimi vardır:

1. İçindeki akımın basınçlı olduğu kapalı sistemler

2. İçindeki akımın serbest yüzeyli olduğu açık

sistemler

• Bu dersin temel amacı kapalı sistemler (genel

olarak borular) ve açık kanallardaki akımların

incelenmesidir.

Örnekler:

Şehirlerdeki su dağıtım şebekeleri

Çamlıdere Barajından İvedik Arıtma Tesisine Su iletim

hattı ( = 3400 mm, L = 15500 m)

Atatürk Barajından Harran Ovasına Urfa Tunnelleri

Harran Ovası ana sulama kanalı

(L=118 km, Q = 80 m3/s)

ŞANLIURFA

YEŞİLÇAY SİSTEMİ

Karadeniz YEŞİLÇAY REG.

SUNGURLU

Baraj

İSAKÖY

Baraj

KABAKOZ

Baraj

DARLIK

Baraj

EMİRLİ Arıtma

ÖMERLİ

Baraj

AĞVA

M A R M A R A

depolama

Ø 3 000 mm öngerilmeli beton borular

Ad.Vbdb

tDt

DB

s.cv.c

İntegral Denklemlerin Tekrarı Reynolds Taşınım Teoremi

Bir boyutlu kararlı akımlar için:

sabitVAAVAVQ 211

hHzp

g2

Vz

p

g2

Vs2

222

211

21

1

Süreklilik Denklemi:

Enerji Denklemi:

Momentum Denklemi:

1122f2211 VVQFsinWApAp

W z1 z2

Kontrol hacmi

p2A2

p1A1 Ff

1

2

W

1

2

Ff

Kontrol

hacmi

z2 z1

P1A1

Kıyas düzelmi

Basınçlı akım Serbest yüzeyli akım

p2A2

2. BORULARDA AKIM

Reynolds Deneyi: a. Experiment to illustrate type of flow.

Q=VA Boya izi

Boya

boru

pürüzsüz eğrisel giriş

D

2.1 Borularda Akımın Genel Özellikleri 2.1.1 Laminer ve Türbülanslı Akımların Tanımı

b. Tipik boya izleri

Q=VA Boya izi

boya

boru

pürüzsüz eğrisel giriş

D

Akım tipini gösteren deney Tipik boya izleri

Laminer

Türbülanslı

Geçiş

u(t) _u = time-averaged(or mean) value

u'

T

tO tO + T

u

t

(t)

c. Türbülanslı Akımın Özellikleri

u(t) = x-yönünde anlık hız

= u(t)’nin zamansal ortalama değeri

u’ = u(t)’nin çalkantı kısmı

u

T

dtuT

u0

1, T = entegrasyon süresi

u(t)= +u′(t) u

𝑢 =zamansal ortalama değer

d. Reynolds Sayısı,Re

VDRe

Laminer akım: Re ≤ 2000

Geçiş akımı: 2000 < Re < 4000

Türbülanslı akım: Re ≥ 4000

Laminer akım

Geçiş akımı

Türbülanslı akım

Inviscid coreBoundary layer

Entrance regionflow

Fully developedflow

D

xr

(2)(1)

e

(3)

(4)(5)(6)

x6 – x5

Fully developedflow

x5 – x4

Developingflow

2.1.2 Giriş Bölgesi ve Tam Gelişmiş Akım

Giriş bölgesi akımı Tam gelişmiş akım

Sürtünmesiz çekirdek bölge Sınır tabakası

Tam gelişmiş akım Gelişen akım

Giriş basınç düşüsü

Giriş bölgesi

D p

x 3

– x 2

= Dx

x 2

= e x 1

= 0

p

x 3

x

Tam gelişmiş akım: D(p+z)/Dx = sabit

Toplam Yük Kaybı, hk

mfk h+h=h

hf – Sürtünme (Viskoz, Majör) kaybı hm– Lokal (Minör) kayıp

Sürtünme Kaybının Hesaplanması (hf):

1. Darcy-Weisbach Denklemi

2

2

25

2

f KQ=g2

Q

π

16

D

Lf=

g2

V

D

Lf=h burada

52Dg

fL8K

2.1.3 Borularda Yük Kayıpları

2.Hazen-Williams Denklemi

851851874851

8511651851f KQ=Q

D

L

C

610=V

D

L

C

86=h ..

...

..

..

K

D – boru çapı (m)

V – ortalama hız (m/s)

g – yerçekimi ivmesi (m/s2)

Q – hacimsel debi (m3/s)

L – boru uzunluğu (m)

f – Darcy – Weisbach sürtünme faktörü (boyutsuz)

C – Hazen-Williams pürüzlülük katsayısı (boyutsuz)

Lokal Kaybın Hesaplanması (hm):Ampirik denklem

(ani genişleme durumu hariç)

g2

VKh

2

mm =

2.2 Borularda Tam Gelişmiş Akım 2.2.1 Darcy-Weisbach Denkleminin Türetilmesi

Prizmatik bir boruda kararlı tam gelişmiş bir akım için (A = sabit alan)

R

W

z1 z2

KH

p2A2 p1A1

Ff

1

2

Wsin

V2

x

L

V1

Wcos

V1 = V2 = V, A1 = A2 = A, 1 = 2, 1 = 2

a.Duvardaki kayma gerilmesi ve yük kaybı arasındaki ilişki:

Süreklilik Denklemi: Sabit VA AV AV Q 2221

Momentum Denklemi: )(sin 11222211 VVQFWApAp f

Burada Wsin = ALsin = A(z1-z2)

ve Ff = wPL (P =ıslak çevre),

Momentum denkleminden;

02121 PLzzAApAp w)(

H

ww

R

L

A

LPz

pz

p

2

21

1 (1)

burada: P

ARH hidrolik yarıçaptır

24

4

2

RD

D

D

burada D = boru çapı, R = boru yarıçapı

* Enerji denkleminden:

fhzp

zp

22

11 (2)

Denklem (1) ve (2)’den D

L

R

L

R

Lh ww

H

wf

42

Note: 1) Türetilen denklem hem laminer hem de türbülanslı akımlar için geçerlidir. 2) Ayrıca, açık kanal akımı için de geçerlidir.

b.Duvardaki kayma gerilmesi ve hız arasındaki ilişki:

Duvardaki kayma gerilmesi, w, V-ortalama hız, D-boru çapı, -

akışkanın yoğunluğu, -akışkanın dinamik viskozitesi, -borunun

pürüzlülüğü’ne bağlıdır.

w

V

D

, w= f(V, D, , , )

k = 6 parametre

r = 3 ana boyut,

n = k-r = 6-3 =3 terimi

2

2

32

3

2

21

Vρfτ

fD

ε,

μ

VDρφ

Vρ

τ

)π,π(φπ

Pürüzlülük Rölatif ,D

επ

Rν

VD

μ

VDρπ

fVρ

τπ

w

w

1

e

w

𝒌𝒂𝒚𝒎𝒂 𝒈𝒆𝒓𝒊𝒍𝒎𝒆𝒔𝒊

𝒅𝒊𝒏𝒂𝒎𝒊𝒌 𝒃𝒂𝒔𝚤𝒏ç

Reynolds sayısı

c.Yük kaybı ve hız arasındaki ilişki:

faktörü sürtünme Weisbach

/g veff8

)/(Re,

Darcyf

g2

V

D

Lf=h

için==′

D

LVf′4=

D

L4=h

Vf′=

Df=V

=f′

2

f

2

w

f

2

w

2

w

→

ργ

γ

ρ

γ

τ

ρτ

ερ

τ

𝒇 = 𝒇𝝆𝑽𝑫

𝝁,𝜺

𝑫= 𝒇 𝑹𝒆,

𝜺

𝑫

2.2.2 Borularda Laminer Akım

Varsayımlar :

•Akışkan sıkıştırılamaz ve Newtoniyendir.

•Akım kararlı, tam gelişmiş, ve boru çapına göre

paralel ve simetriktir.

•Boru düz bir borudur ve sabit çapa sahiptir.

z1 z2

d

x

r

Kıyas düzlemi

p+(dp/dx)dx p

r0 x

Momentum Denklemi

zP

h since r

2

dx

)zp(d

dx

dh

r

2

dx

)zp(d

)r Aby sides both (Divide

0rdx2Adx

dzdxdxA

dx

dp

0rdx2sinAdxAdxdx

dpppA

2

o

w

r

2

r

2

dx

dh

r = 0 ise, = 0

r = ro ise, = w

Her iki taraf A=r2 ye bölünürse

Verilen denklem borularda oluşan laminer ve türbülanslı akımlar için geçerlidir.

y

r

w

CL

Laminar akım için:

(2) 2

r

dx

)zp(d

(1) dr

du

dy

du

Denklem (1) ve (2) den

2

r

dx

)zp(d

dr

du

Sınır koşulları: r = 0 , u = Vmax r = ro ; u = 0 u = u(r) integrasyonu ile çözülebilir

•Hız:

2

o

2o

2

omax

r

r1

4

r

dx

zpd

r

r1Vu

•Ortalama Hız:

8

r

dx

zpd

2

V

A

dau

A

QV

2omax

av

•Maksimum Hız:

4

r

dx

zpdV

2o

max

•Duvardaki kayma gerilmesi:

o

avw

r

V4

•Kayma gerilmesi: o

wr

r

dr

du

•Debi:

( )dx

z+pd

8

r=VA=Q

4

o γ

μ

π

dx

)zp(d

dx

dh

L

hf

r

VL8

r

L2h

2o

av

o

wf

•Yük kaybı:

Laminer akımda Darcy–Weisbach Sürtünme Faktörü

1. Laminar Akım: Re 2000

u(r)

Vmax

g2

V

D

L

Re

64

D

VL32

2V

2V

D

VL32

r

VL8h

2av

2av

av

av2

av2

o

avf

Darcy Weisbach denklemi: g2D

LVfh

2av

f

Yani Laminer akımda Re

64f