ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ1

ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Για κάθε πραγµατικό αριθµό α και β να δείξετε ότι

(((( ))))2 2 22α β α αβ βα β α αβ βα β α αβ βα β α αβ β+ = + ++ = + ++ = + ++ = + +

Β. Να συµπληρώσετε τα αναπτύγµατα των ταυτοτήτων

(((( ))))2α βα βα βα β− =− =− =− =

(((( ))))3α βα βα βα β− =− =− =− =

(((( )))) (((( ))))α β α βα β α βα β α βα β α β− + =− + =− + =− + =

ΘΕΜΑ 2Ο

1 ΑΠΟ ΤΑ ∆ΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΛΕΓΕΤΕ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΑΤΕ ΜΟΝΟ ΣΕ ΕΝΑ

Α. Στο διπλανό σχήµα δίνεται σηµείο

Μ(x,y) τέτοιο ώστε να είναι

ˆ ˆxOM ωωωω==== και ΟΜ = ρ.

Να ορίσετε τους τριγωνοµετρικούς

αριθµούς της γωνίας ω συναρτήσει

των συντεταγµένων του σηµείου Μ

και να γράψετε τη σχέση του ρ µε τις

συντεταγµένες του σηµείου Μ

Β. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες που συσχετίζουν τους

τριγωνοµετρικούς αριθµούς των παραπληρωµατικών γωνιών ω και 180-ω

(((( ))))180ηµ ωηµ ωηµ ωηµ ω− =− =− =− =

(((( ))))180συν ωσυν ωσυν ωσυν ω− =− =− =− =

(((( ))))180εφ ωεφ ωεφ ωεφ ω− =− =− =− =

ΑΣΚΗΣΕΙΣ2

ΑΣΚΗΣΗ 1

Α. Να λύσετε την εξίσωση 2 2 15 0x x− − =− − =− − =− − =

Β. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις

2 2 3x x+ −+ −+ −+ − και 2 2x −−−−

Γ. Να λύσετε την εξίσωση

2

2 4 1

3 2 3 2 2

x x

x x x x

+ ++ ++ ++ +− =− =− =− =

+ + − −+ + − −+ + − −+ + − −

ΑΣΚΗΣΗ 2

ΑΣΚΗΣΗ 3

Στον αγώνα ποδοσφαίρου Άγιος ∆ηµήτριος – Παναχαϊκή διατέθηκαν εισιτήρια

των 20 ευρώ και των 30 ευρώ. Κόπηκαν συνολικά 4300 εισιτήρια και

εισπράχτηκαν 111.000 ευρώ. Να βρείτε πόσα εισιτήρια των 20 ευρώ και πόσα

εισιτήρια των 30 ευρώ διατέθηκαν στον αγώνα.

2 ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΕΓΕΤΕ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΑΤΕ ΜΟΝΟ ΤΙΣ ∆ΥΟ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

Θέµα 1ο

Α) Πώς πολλαπλασιάζουµε πολυώνυµο µε πολυώνυµο;

Β) Να αποδειχθεί η ταυτότητα ( )3 3 2 2 33 3a aα β α β β β+ = + + +

Γ) Για ποιους πραγµατικούς αριθµούς ,α β ισχύει ( )2 2 2α β α β+ = + ;

Θέµα 2ο

Σε ορθοκανονικό σύστηµα µε άξονες ,x x y y′ ′ που τέµνονται στο Ο να πάρετε ένα σηµείο Μ στο 1ο

ή στο 2ο τεταρτηµόριο µε συντεταγµένες Μ ( ,α β ).

Α) Να ορίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ˆˆ xOMω = .

Β) Να αποδείξετε πως 2 2 1ηµ ω συν ω+ = .

Γ) Είναι δυνατόν για µια γωνία ω να έχουµε 1ηµω συνω= = ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή

σας.

Ασκήσεις

Θέµα 1ο

Στο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήµατος η ∆Ε είναι

παράλληλη στην ΑΒ και η ΕΖ είναι παράλληλη

στην Α∆ . ( ∆Ε//ΑΒ, ΕΖ//Α∆) Αν ΕΓ=15 cm,

ΖΓ=10 cm, ∆Ζ=x-2, AE=x και B∆=y να

υπολογίσετε τα x και y.

Θέµα 2ο

∆ίνεται το πολυώνυµο ( ) ( ) ( )( ) ( )36 1 14 2 2 15 4x x x x xΡ = − + − + − − .

Α) Να βρεθεί ο βαθµός του και ο σταθερός του όρος.

Β) Να παραγοντοποιηθεί.

Γ) Να λυθεί η εξίσωση ( ) 0xΡ = .

Θέµα 3ο

Μια µηχανή Α παράγει 3 αντικείµενα την ώρα και µια µηχανή Β παράγει 4 αντικείµενα την ώρα. Μια

µέρα δούλεψαν, πρώτα η µηχανή Α και έπειτα η µηχανή Β, συνολικά 18 ώρες και παρήγαν συνολικά

60 αντικείµενα. Πόσες ώρες δούλεψε η µηχανή Α και πόσες ώρες δούλεψε η µηχανή Β;

Να απαντήσετε σε ένα (1) θέµα θεωρίας και σε δυο (2) θέµατα ασκήσεων.

15 cm

10 cmΖ∆

Α

Β Γ

Ε

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ3

ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Για κάθε πραγµατικό αριθµό α και β να δείξετε ότι

(((( ))))2 2 22α β α αβ βα β α αβ βα β α αβ βα β α αβ β− = − +− = − +− = − +− = − +

Β. Να συµπληρώσετε τα αναπτύγµατα των ταυτοτήτων

(((( ))))3α βα βα βα β− =− =− =− =

(((( )))) (((( ))))2 2α β α αβ βα β α αβ βα β α αβ βα β α αβ β− + + =− + + =− + + =− + + =

ΘΕΜΑ 2Ο

3 ΑΠΟ ΤΑ ∆ΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΛΕΓΕΤΕ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΑΤΕ ΜΟΝΟ ΣΕ ΕΝΑ

Α. Στο διπλανό σχήµα δίνεται σηµείο

Μ(x,y) τέτοιο ώστε να είναι

ˆ ˆxOM ωωωω==== και ΟΜ = ρ.

Να ορίσετε τους τριγωνοµετρικούς

αριθµούς της γωνίας ω συναρτήσει

των συντεταγµένων του σηµείου Μ

και να γράψετε τη σχέση του ρ µε τις

συντεταγµένες του σηµείου Μ

Β. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει η ισότητα

2 2 1ηµ ω συν ωηµ ω συν ωηµ ω συν ωηµ ω συν ω+ =+ =+ =+ =

(((( ))))2α βα βα βα β+ =+ =+ =+ =

ΑΣΚΗΣΕΙΣ4

ΑΣΚΗΣΗ 1

Να λύσετε την εξίσωση

2

2

3 2 11 10

2 4 2

x x x x

x x x

− − −− =

+ − −

ΑΣΚΗΣΗ 2

Να λύσετε τo σύστηµα

( )

( )2 12 1

4 3

4 8 2

yx

x y y x

+−− =

+ + = −

ΑΣΚΗΣΗ 3

4 ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΕΓΕΤΕ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΑΤΕ ΜΟΝΟ ΣΤΙΣ ∆ΥΟ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ5

ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Τι ονοµάζεται ταυτότητα;

Β. Να συµπληρώσετε τις ισότητες

(((( ))))2α βα βα βα β− =− =− =− =

(((( ))))3α βα βα βα β+ =+ =+ =+ =

(((( )))) (((( ))))α β α βα β α βα β α βα β α β− + =− + =− + =− + =

Γ. Για κάθε πραγµατικό αριθµό α και β να δείξετε ότι

(((( ))))3 3 2 2 33 3α β α α β αβ βα β α α β αβ βα β α α β αβ βα β α α β αβ β− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −

ΘΕΜΑ 2Ο

Α. Τι τιµές µπορεί να πάρει το ηµίτονο µιας γωνίας ωωωω αν ˆ0 180oωωωω≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ .

Β. Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς παραπληρωµατικών γωνιών;

Γ. Να δείξετε 180 0, 180 1o oηµ συνηµ συνηµ συνηµ συν= = −= = −= = −= = − και 180 0oεφεφεφεφ ==== . Να κάνετε το κατάλληλο σχήµα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ6

ΑΣΚΗΣΗ 1

Να λύσετε την εξίσωση 2

2 4 8

2 2

x

x x x x

−− =

− −

ΑΣΚΗΣΗ 2 Ο τελικός του Champions League το Μάιο του 2007 έγινε στην Αθήνα. Από τα 81.000

εισιτήρια τα 16.000 διατέθηκαν σε σπόνσορες κ.ά. Τα υπόλοιπα εισιτήρια διατέθηκαν στην τιµή

των 120 ευρώ και των 80 ευρώ και εισπράχτηκαν 6.400.000 ευρώ. Να βρείτε πόσα εισιτήρια

των 120 ευρώ και πόσα εισιτήρια των 80 ευρώ διατέθηκαν στον αγώνα.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Στο διπλανό σχήµα ισχύει ότι οι γωνίες ˆΑΕ∆ΑΕ∆ΑΕ∆ΑΕ∆ και

ˆΑΒΓΑΒΓΑΒΓΑΒΓ είναι ίσες, ΑΓ=10 cm και Α∆=4 cm .

α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕ∆ και ΑΒΓ είναι

όµοια

β) Να βρείτε το λόγο οµοιότητας λ

γ) Αν το εµβαδόν του τριγώνου Α∆Ε είναι 6cm2,

να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

5 ΑΠΟ ΤΑ ∆ΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΛΕΓΕΤΕ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΑΤΕ ΜΟΝΟ ΣΕ ΕΝΑ

6 ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΕΓΕΤΕ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΑΤΕ ΜΟΝΟ ΤΙΣ ∆ΥΟ