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书书书
现代拱形钢结构
设计原理与应用
郭彦林!
窦!
超!
著
北!
京
科
学出版社
职教技术出版中心
www.abook.cn
内 容 简 介
!!
本书系统地介绍了拱形钢结构设计中涉及的关键问题!包括拱形钢结
构的基本类型"受力特点和荷载效应分析"稳定性概念"稳定理论及设计方
法"动力特性及抗震性能"特殊形式钢拱的稳定性能以及拱形钢结构的制
作"安装和施工分析等!重点介绍了拱形钢结构平面内和平面外稳定理论和
设计方法的研究现状及最新研究进展#本书的部分研究成果纳入了$拱形
钢结构技术规程%&
!"!
'
#$%&
(
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)!为工程设计中结构与节点选型"荷载
效应分析"强度及稳定性计算"制作安装及工程验收等提供了指导#
本书可作为钢结构设计和施工人员的参考资料!也可供高等院校土木
工程专业高年级本科生和结构工程专业研究生学习参考#
!
图书在版编目!
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"数据
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现代拱形钢结构设计原理与应用'郭彦林!窦超著)
(北京*科学出版
社!
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钢结构1
结构设计!&
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中国版本图书馆5+6
数据核字 &
$'(*
)第$(/($$
号
责任编辑!王!
钰"责任校对!马英菊
责任印制!吕春珉"封面设计!耕者设计工作室
出版
北京东黄城根北街(2
号
邮政编码*
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788
9
*''
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9
3<@A
印刷
!
科学出版社发行!!
各地新华书店经销
"
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年&
月第!
一!
版!!
开本*
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(2
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年&
月第一次印刷!!
印张*
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$
字数*
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定价#
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元
&如有印装质量问题!我社负责调换)
销售部电话'('12$(*%&00
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编辑部电话'('12$(*/(C%
版权所有$侵权必究
举报电话*
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(*C'((C(*'*
序
拱是一种古老的结构形式!它以改直为曲的方法把直梁的受弯状态改变为受压状态!
从而使石材结构得以跨越更大的空间#早在(C''
年前隋朝建成的赵州桥!跨度达到
*/A
!就是一个创纪录的杰出范例#进入近代后!钢筋混凝土和钢材成为结构工程的主要
材料!拱形结构仍然以它的优良性能继续发挥作用!而且结构形式不断发展!跨度不断
增大#
钢材的强度高!而且还在持续提高#钢构件的截面尺寸小!使钢拱结构的设计面临两
个重要问题*保证稳定承载力和对内力进行二阶分析#钢拱的稳定问题有许多和直杆结
构不同的特点*拱轴曲线的类型&圆弧"抛物线和悬链线等)和矢跨比的取值对它的性能有
很大影响!而这些因素在直杆结构中并不存在,拱在轴线压力作用下的压缩变形会使拱的
曲率和弯矩发生变化!也是拱结构特有的现象,拱肋接受荷载的方式不同!导致面外稳定
计算需要区分荷载是否保向#所有这些特点导致拱结构稳定计算的复杂性!以致始终未
能形成一套完整而成熟的稳定计算方法#
(&&(
年美国结构稳定研究会出版的$金属结构稳定-世界观点%第二版针对拱的稳
定写到*.规范关于拱承载力的规定!应该涵盖各类拱结构的各个方面#当前还未建立起
合理而细致的规则/#时隔$'
年后!局面仍然没有根本性的改变#本书的出版对填补这
一空白做出一定贡献#全书重点论述钢拱的稳定性能"设计理论及方法!兼及它的动力特
性"抗震性能和施工过程分析#稳定计算既包括面内和面外整体稳定!还涉及许多局部稳
定问题#结构形式既有实腹拱!又有腹板开孔拱和桁架式拱#此外!书中还论述了索拱结
构"拱墙结构和波形钢板拱!内容十分全面#
合理的设计方法奠基于对结构性能的深入了解!本书对此给予充分注意#拱结构一
般不会仅承受弯矩!然而了解它在正"负弯矩作用下的不同响应!有助于掌控弯矩和压力
共同作用下二者的相关关系#设计公式的精确度需要试验验证!本书建议的面内和面外
稳定计算公式先和大挠度弹塑性有限元分析结果进行比较!后者又和试验结果做出比较!
证明了建议公式的可靠性和适宜性#
本书除介绍国内外已有研究成果外!主要反映郭彦林教授带领几届博士生持续研究
的成果#这些成果综合在一起形成了一本系统性强"论述深入的拱结构专著!反映我国学
者在结构工程前沿辛勤耕耘的收获!值得钢结构从业人员一读#这本书也反映我国博士
研究生教育的可喜成绩*既培养了人才!又推动了学科发展!并对经济建设提供了有益
资料#
$'(*
年/
月
科
学出版社
职教技术出版中心
www.abook.cn
前!!
言
拱形结构是一种古老而又独特的结构形式!其拱轴线的曲线形式与拱脚的水平推力
使结构受力转化为以截面受压为主!从而提高了材料的承载效率#随着我国钢结构的迅
速发展!拱形结构以实腹式截面钢拱"腹板开孔钢拱"钢管桁架拱及波形腹板钢拱等结构
形式广泛应用在建筑结构与桥梁工程中#
拱形钢结构的设计主要包括选型设计&轴线"拱脚"截面及矢跨比等)"整体稳定设计
&平面内外稳定设计及面外支撑设计)"局部稳定设计以及抗风与抗震计算等#与直构件
相比!拱形钢结构表现出的稳定问题十分突出且相当复杂!其稳定性能和失稳机理受轴线
形式"矢跨比"长细比"拱脚约束"截面形式"荷载条件"面外支撑等诸多因素影响#可以
说!拱形钢结构的稳定性已不是构件层面的问题!而是结构层面的问题#
近十年来!作者的课题组对拱形钢结构稳定理论及设计方法开展了大量的研究工作!
取得了系列研究成果#在这些研究工作的基础上!本书对拱形钢结构设计所涉及的关键
问题进行了系统的阐述与总结!包括拱形钢结构的基本类型"受力特点和荷载效应分析"
稳定性概念"稳定理论及设计方法"动力特性及抗震性能"特殊形式钢拱的稳定性能以及
拱形钢结构的制作"安装和施工分析等!重点对拱形钢结构的平面内和平面外稳定理论和
设计方法的研究现状及最新研究成果进行了介绍!旨在使读者能通过本书对拱形钢结构
有更为全面和深入的了解#其中关于拱形钢结构稳定性设计的内容!既有理论研究又包
括数值分析和试验研究!同时对国内外研究现状"成果与发展动态给出了较为全面和详细
的论述#
书中的部分研究成果纳入了$拱形钢结构技术规程%&
!"!
'
#$%&
(
$'((
)!为工程设
计中结构与节点选型"荷载效应分析"强度及稳定性计算"制作安装及工程验收等提供了
指导#
书中吸纳了作者的课题组近年来对拱形钢结构的研究成果!包括研究生窦超"赵思
远"郭宇飞"林冰"黄李骥"王高宁等的研究工作!也参考了同行的研究成果与论著#在本
书的撰写过程中!澳大利亚新南威尔士大学D)E)6+
教授提出了许多宝贵意见!在此一
并感谢#
由于作者的理论水平以及工程经验有限!书中难免存在不妥之处!敬请读者批评
指正#
$'(*
年/
月
目!!
录
第'
章!
拱形结构的发展与现状(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(3(
!
拱形结构的应用与发展(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(3$
!
结构特点/
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(3*
!
结构设计的关键问题($
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
(3*3(
!
结构体系选型($
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
(3*3$
!
结构细部设计(*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
(3*3*
!
结构稳定性设计(*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
(3*3%
!
结构振动控制(%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
(3*3C
!
地震作用及抗震设计(%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
(3*32
!
施工方案和施工控制(%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
参考文献(C
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第(
章!
拱形结构的基本类型%受力特点和荷载效应分析(/
!!!!!!!!!!!!
$3(
!
引言(/
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
$3$
!
拱形结构的基本类型(/
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
$3$3(
!
结构形式(/
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
$3$3$
!
节点形式(&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
$3*
!
拱形结构的基本受力特点$'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
$3%
!
荷载及荷载组合$$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
$3C
!
一阶与二阶分析$*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
$32
!
拱脚支承结构水平刚度的影响$2
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
$3/
!
组合体系拱桥$0
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
$3/3(
!
结构体系受力特点$0
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
$3/3$
!
移动荷载和影响线*'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
参考文献*(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第)
章!
拱形钢结构稳定问题的基本概念及分类**
!!!!!!!!!!!!!!!
*3(
!
引言**
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
*3$
!
拱形钢结构的失稳类型*%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
*3$3(
!
平面内失稳*%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
*3$3$
!
平面外失稳*C
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
*3$3*
!
稳定问题分类*2
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
*3$3%
!
稳定分析方法*/
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
*3*
!
拱形钢结构的失稳机理%(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
*3*3(
!
平面内稳定%$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
科
学出版社
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!
-
F=
-
!
!!
*3*3$
!
平面外整体稳定%$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
*3*3*
!
局部稳定%%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
参考文献%2
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论%&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%3(
!
平面内屈曲荷载%&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3(3(
!
平面微元拱段的平衡微分方程C'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3(3$
!
几何方程C'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3(3*
!
截面内力与变形的关系C'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3(3%
!
圆弧拱的平面内屈曲方程C'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3(3C
!
静水压力作用下的屈曲荷载C$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3(32
!
均布保向力作用下铰支拱的屈曲荷载CC
!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3(3/
!
均布向心力作用下铰支拱的屈曲荷载C2
!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3(30
!
平面内屈曲荷载的比较和讨论C/
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3(3&
!
平面内屈曲的计算长度系数法C&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%3$
!
平面外屈曲理论2(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3$3(
!
曲线构件微元段的一般平衡方程2$
!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3$3$
!
均匀受压铰支圆弧拱的弹性屈曲荷载2C
!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3$3*
!
均匀受弯铰支圆弧拱的弹性屈曲荷载/'
!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3$3%
!
两端固支拱的弹性屈曲/$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3$3C
!
不等拱脚端弯矩作用下圆弧拱的弹性屈曲荷载0'
!!!!!!!!!!!!
!!
%3$32
!
压弯圆弧拱的弹性屈曲性能0*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%3*
!
钢管桁架拱的线弹性屈曲02
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3*3(
!
桁架结构的截面刚度02
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3*3$
!
面内弹性屈曲荷载&(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
%3*3*
!
平面外弹性屈曲荷载&$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
参考文献&0
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第+
章!
拱形钢结构平面内稳定承载力设计方法(''
!!!!!!!!!!!!!!!
C3(
!
引言(''
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
C3$
!
平面内稳定承载力的研究现状('(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
C3*
!
有限元计算方法('$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C3*3(
!
有限元模型('$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C3*3$
!
几何初始缺陷及残余应力('*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
C3%
!
平面内弹塑性稳定性能('*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C3%3(
!
整体稳定性能('*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C3%3$
!
局部稳定性能('/
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C3%3*
!
平面内失稳破坏机理(((
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
C3C
!
实腹式截面钢拱的平面内稳定承载力设计方法((*
!!!!!!!!!!!
!!
C3C3(
!
均匀受压拱((*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
现代拱形钢结构设计原理与应用
!
-
F==
-
!
!!
C3C3$
!
压弯钢拱((0
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C3C3*
!
板件局部稳定设计($'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
C32
!
腹板开孔铰支圆弧钢拱($(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C323(
!
腹板开孔钢拱的孔洞优化($(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C323$
!
腹板开孔钢拱的等效计算模型($$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C323*
!
局部稳定性设计($*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C323%
!
稳定承载力!"#
相关设计公式($%
!!!!!!!!!!!!!!!!!
C3/
!
铰支圆弧钢管桁架拱($C
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C3/3(
!
钢管桁架拱的换算长细比($C
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C3/3$
!
弹塑性稳定承载力设计方法($2
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
C30
!
平面内稳定承载力的试验研究(*'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C303(
!
实腹式截面钢拱(*(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C303$
!
钢管桁架拱(%'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
C3&
!
索拱结构(C*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C3&3(
!
结构性能(C*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
C3&3$
!
车辐拱(C2
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
参考文献(2(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第,
章!
拱形钢结构平面外稳定承载力设计理论(2*
!!!!!!!!!!!!!!!
23(
!
引言(2*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
23$
!
平面外稳定承载力问题的研究现状(2%
!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
23$3(
!
无支撑钢拱的稳定理论(2%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
23$3$
!
有面外支撑钢拱的稳定设计方法(2/
!!!!!!!!!!!!!!!!!
23*
!
钢拱的平面外稳定承载力设计理论和方法(20
!!!!!!!!!!!!!
!!
23*3(
!
有限元数值方法(20
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
23*3$
!
均匀受压圆弧拱的平面外稳定承载力设计(/'
!!!!!!!!!!!!!
!!
23*3*
!
拱脚端部弯矩作用下圆弧拱的平面外稳定承载力(/%
!!!!!!!!!!!
!!
23*3%
!
压弯圆弧拱的平面外稳定承载力设计方法(0$
!!!!!!!!!!!!!
23%
!
钢管桁架拱的平面外稳定承载力(&$
!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
23%3(
!
均匀受压桁架拱的平面外稳定(&*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
23%3$
!
均匀正弯矩作用下桁架拱的平面外稳定(&%
!!!!!!!!!!!!!!
!!
23%3*
!
相关稳定性(&C
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
23%3%
!
一般荷载作用下的稳定承载力(&&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
23C
!
有面外支撑钢拱的平面外稳定性能及承载力$'$
!!!!!!!!!!!!
!!
23C3(
!
弹性稳定性能及支撑刚度$'$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
23C3$
!
平面外弹塑性稳定分析的几何初始缺陷$('
!!!!!!!!!!!!!!
!!
23C3*
!
面外支撑非均匀布置的钢拱平面外弹性屈曲性能$(C
!!!!!!!!!!!
232
!
拱墙结构平面外失稳机理与设计研究$$$
!!!!!!!!!!!!!!!
!!
2323(
!
拱墙结构的失稳机理$$$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
目!!
录
科
学出版社
职教技术出版中心
www.abook.cn
!
-
F===
-
!
!!
2323$
!
拱墙结构的弹性屈曲分析$$*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
2323*
!
某火车站站房拱墙结构$$C
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
23/
!
实腹式截面拱的平面外稳定承载力试验$$0
!!!!!!!!!!!!!!
!!
23/3(
!
试验装置及参数$$0
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
23/3$
!
平面外稳定承载力试验结果$*C
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
23/3*
!
数值计算与试验结果分析$%(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
参考文献$%%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第-
章!
拱形钢结构的动力特性及抗震性能$%&
!!!!!!!!!!!!!!!!!
/3(
!
引言$%&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
/3$
!
拱形钢结构的自振特性$%&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
/3$3(
!
平面内振动$%&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
/3$3$
!
空间振动$C(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
/3*
!
拱形钢结构的抗震性能$C$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
/3*3(
!
地震作用$C$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
/3*3$
!
地震作用下拱形钢结构的动力响应$C*
!!!!!!!!!!!!!!!!
参考文献$C&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第$
章!
波形钢拱结构的稳定性能$2'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
03(
!
引言$2'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
03$
!
波形拱板结构$2'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
03$3(
!
组成与成型过程$2'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
03$3$
!
受力特性和破坏机理$2(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
03$3*
!
计算和设计方法$2*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
03$3%
!
波形拱板试验研究$2%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
03*
!
波浪腹板钢拱$2C
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
03*3(
!
波浪腹板构件的应用背景$2C
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
03*3$
!
波浪腹板构件的受力特点$2/
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
03*3*
!
波浪腹板钢拱的受力及失稳机理$/'
!!!!!!!!!!!!!!!!!
参考文献$/C
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第.
章!
拱形钢结构的制作%安装与施工分析$/2
!!!!!!!!!!!!!!!!
&3(
!
引言$/2
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&3$
!
基本制作方法及工艺要求$/2
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&3*
!
复杂形式的钢拱制作工艺$//
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
&3*3(
!
腹板开孔钢拱$//
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
&3*3$
!
波浪腹板钢拱$/0
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&3%
!
基本安装方法及技术要求$/&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&3C
!
施工方案与施工过程分析$0'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&32
!
工程实例$0$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
&323(
!
工程背景$0$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
现代拱形钢结构设计原理与应用
!
-
=G
-
!
!!
&323$
!
施工方案比选$0*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
&323*
!
两种施工方案对结构成型内力的影响$0C
!!!!!!!!!!!!!!!
!!
&323%
!
一体化有限元结构分析模型及算法实现$0/
!!!!!!!!!!!!!!
参考文献$&$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
附录/
!
拱形钢结构拱脚推力计算系数$&%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
附录0
!
实腹截面钢拱平面内稳定曲线参数$&C
!!!!!!!!!!!!!!!!!
附录!
!
实腹截面钢拱平面内稳定系数$&/
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
附录1
!
圆弧形铰支钢管桁架拱平面内稳定曲线的系数*'/
!!!!!!!!!!!!
附录2
!
圆弧形铰支钢管桁架拱平面内稳定系数*'0
!!!!!!!!!!!!!!!
附录3
!
拱形钢结构制作及安装偏差限值规定*(%
!!!!!!!!!!!!!!!!
目!!
录
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书书书
第!
章!
拱形结构的发展与现状
!"!
!
拱形结构的应用与发展
!!
拱形结构是一种古老的结构形式!其发展历史伴随着人类社会文明的进步"从力学
角度看!结构的发展都遵循着一个基本的客观规律###将外荷载产生的弯矩转化为构件
的轴向拉压力!从而不断地提高结构的承载效率$
!
%
"拱是结构与建筑的完美结合###在
竖向荷载作用下支座产生水平推力!凭借其曲线拱轴线将弯矩转化为轴压力!实现空间
的跨越!从而与梁柱等直构件在受力性能上存在本质差别!因此也被称为推力结构"拱
形结构在提供良好建筑效果及充足内部空间的同时!以其较高的承载效率广泛应用于现
代大跨空间建筑结构和桥梁结构中"建筑材料&结构形式及设计计算理论&建造技术的
革新和应用!使得拱形结构不断地向前发展"
首先在建筑材料方面!拱形结构经历了由圬工拱 '生土拱&砖石拱(到钢筋混凝土
拱 '钢#
混凝土拱(及钢拱的发展过程"如今在建筑结构领域!大多采用钢拱结构!而
在桥梁结构领域中钢筋混凝土拱&钢管混凝土拱及钢拱均较为常见"圬工拱主要依靠自
身重量在拱肋中产生较大的轴力作用!从而使截面处于轴压状态来抵抗外荷载!因而其
自重大&跨越能力较小"典型代表为图!"!
'
$
(所示的我国赵州桥!跨度约%&"'(
!
矢高约&")%(
!为世界首座敞肩式单孔弧形石拱桥"
)'''
年建成的山西晋城丹河新桥!
跨度达!*+(
!矢跨比约!
)
*",
!是目前世界上跨度最大的石拱桥 $图!"!
'
-
(%"
图!"!
!
石拱桥
钢筋混凝土拱 '钢#
混凝土拱(以抗压强度高的混凝土材料为主!配置承受拉力的
钢骨架!二者共同作用!较大地提高了跨越能力"我国重庆万州长江大桥!跨度约
*)'(
!矢跨比约!
)
,
!拱肋采用钢管混凝土劲性骨架外包混凝土!是世界跨度最大的钢
#
混凝土组合拱桥"但总体来看!钢筋混凝土拱由于自重大!当跨径进一步增大时施工
难度增大&经济性降低"随着钢结构的发展!拱形钢结构因其自重轻&材料强度高及抗
拉性能好&结构效率更高&造型美观多样&施工安装快速方便等优点!在建筑结构和桥
梁工程中得到了广泛应用"例如鄂尔多斯东胜体育场 $图!")
'
$
(%!其主结构为悬链
线形的矩形截面立体钢管桁架拱!通过两侧的拉索悬吊着屋盖的部分重量!主拱整体倾
斜+.
!跨度约%%'(
!矢跨比约'"*
"图!")
'
-
(所示的重庆朝天门大桥采用中承式钢
管桁架拱!主拱跨度约,,)(
!矢跨比约'")%
!是世界上最大跨度的钢拱桥"
图!")
!
拱形钢结构
虽然拱形钢结构具有上述优点!但其耐候防腐及稳定问题突出&细部构造复杂!导
致造价相对较高"例如对于大型钢箱截面!为保证其板件局部稳定!需要选用较大板厚
或设置大量加劲肋"因此!近些年来钢管混凝土拱在桥梁领域得到了迅速发展"在钢管
混凝土拱中!一方面混凝土受到钢管约束使其强度和延性得到提高!另一方面填充混凝
土延缓或避免了外包钢管的局部屈曲!同时钢管的劲性骨架作用使其施工比混凝土拱更
为方便!因此具有较好的经济效益*但自重过大仍是其与混凝土拱共有的缺点"图!"%
'
$
(所示的旺苍东河大桥是我国首座钢管混凝土拱桥!主拱采用实腹式哑铃形断面!跨
度约!!,(
!矢跨比约!
)
+
"巫山长江大桥 $图!"%
'
-
(%是目前世界上跨度最大的钢管
混凝土拱桥!主拱为矩形截面的桁架拱!弦杆填充混凝土!跨度约*+'(
!矢跨比
约'")+
"
图!"%
!
钢管混凝土拱桥
在结构形式方面!单就拱肋而言!钢筋混凝土拱多为矩形截面或多室箱形截面!钢
管混凝土拱肋一般采用圆管&矩形管或哑铃形截面"而拱形钢结构由于加工制作灵活!
具有实腹式截面拱 '包括腹板开孔拱&波形腹板拱(&桁架拱以及索拱等多种形式"腹
板开孔拱继承了拱和开洞构件的特点!除了结构承载效率较高外!常用于管线通道或结
+
)
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
科
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构造型和通透性有要求的情况"普通实腹截面钢拱在加工过程中采用冷弯成型时!平腹
板将承受拉压力并产生塑性变形!导致材性劣化及局部屈曲等缺陷!因而出现了波形腹
板钢拱"波形腹板的面内轴向拉压刚度很小!因此易于在板平面成型为拱形板件!加工
精度和质量容易控制"此外!由于波浪腹板的面外刚度很大而在运输安装过程中不易变
形!腹板可以做得高而薄!从而节约材料$
)
!
,
%
"钢管桁架拱结合了拱与桁架的双重优
势!通过格构的方式将拱轴线的弯矩转化为弦杆的轴力!因而比实腹式截面拱具有更高
的承载效率!常用于超大跨度空间结构中"此外!针对钢拱结构对反对称初始缺陷敏感
及半跨荷载作用下承载力低&刚度弱的问题!在拱肋中增加拉索或撑杆而形成索拱结
构"索拱可根据设计需要由拉索&撑杆或索盘与其他任何形式的拱肋进行组合!利用拉
索的牵制作用或撑杆的支承作用!来有效提高结构的整体刚度及承载力&降低钢拱的缺
陷敏感性&减小支座推力!甚至可以消除钢拱的整体失稳而转变为由强度控制其结构设
计"但索拱结构中拉索的增加将减小拱的内部空间 '净矢高(!因此需根据使用功能合
理选择"图!"*
'
$
(所示的英国泰晤士河谷大学学术资源中心是弦张式索拱的典型应
用!而图!"*
'
-
(的德国汉堡历史博物馆玻璃屋顶采用了车辐式索拱结构"
图!"*
!
索拱结构
与建筑结构中拱肋本身作为主要承力构件的情况不同!桥梁结构中的拱桥一般由拱
肋&桥面&吊索 '杆(或立柱以及拱肋间横向风撑等形成整体结构体系!桥面由横梁&
纵梁&桥面板和 '或(拉杆组成"拱桥按照组成方式的不同可分为上承式&中承式和下
承式三种!按照对基础的作用又可分为有推力拱桥和无推力拱桥!如图!",
所示"其中
上承式拱桥大部分属于有推力结构体系!需建造在基础条件较好的场地!并且所需高程
'从拱脚到桥面(较大!因此从现有工程来看主要应用在山区等地形地貌复杂的地区"
中承式和下承式拱适用于城市道路及平原地区!可依靠桥面的纵梁 '拱梁组合桥(或与
桥面结构分离的水平拉杆 '拉杆拱桥(来承担拱的水平推力!设计成无推力拱桥以减轻
基础的负担"总体来看!钢筋混凝土拱桥中以上承式拱居多!而钢拱桥梁中则以中承式
和下承式拱为主"根据统计资料$
+
%
!我国*,
座钢拱桥中!上承式拱%
座!占总数的
+"&/
*中承式拱)0
座!占总数的+'"'/
*下承式拱!)
座!占总数的)+"+/
*另外!
双层式拱%
座!占总数的+"&/
"此外!拱桥通常采用双拱肋的设计方案!拱肋之间在
面外横向 '即垂直于拱轴线平面(有一字形&
1
形或2
形风撑相连接"还可采用双拱
肋向内斜靠的 ,提篮拱-!以增加结构的面外稳定性"当然!如果设计允许也可采用单
+
%
+
第!
章!
拱形结构的发展与现状
拱吊挂桥面的形式!或两拱肋之间不设风撑!以达到开阔视线的效果"此外对于拱桥结
构体系!拱肋&桥面以及吊杆或立柱之间的连接关系和相对刚度变化对荷载的分配和各
部分的受力有较大影响!合理设计使之协同作用!可对结构的内力&刚度&稳定性起到
明显的改善作用!从而优化整体受力性能"对于中&下承式拱桥中的吊索!要求具有稳
定的弹性模量 '低松弛(&良好的耐疲劳和抗腐蚀能力"吊索的布置形式有平行式和斜
交叉式等!其中平行式吊索的构造简单&施工方便!为大多数桥梁所采用*斜交叉式吊
索能够加强拱肋与桥面纵梁的共同作用!提高结构的整体刚度!降低拱肋和纵梁的弯矩
幅值!减小吊索连接部位的应力集中现象!同时便于维护换索"对于桥面而言!其结构
整体性即防局部倒塌破坏能力!以及车桥系统振动控制!是设计中的两个重点问题"
图!",
!
拱形桥梁结构示意
图!"+
'
$
(所示为美国新河谷大桥!采用上承式变截面钢管桁架拱!主拱跨度约
,!0(
!拱肋通过立柱支承着上部桁架梁!拱脚立于两侧基岩之上"图!"+
'
-
(所示的
上海卢浦大桥是典型的中承式钢结构拱桥!主拱跨度约,,'(
!由内倾的提篮式钢箱拱
肋&正交异性桥面板&倾斜钢吊杆&拱上立柱及拱肋之间横向一字形和1
形风撑组成!
并在主桥的纵向布置了水平拉杆!以平衡拱肋的水平推力!形成无推力体系!以适应上
海的软土地基"图!"+
'
3
(的重庆菜园坝大桥同样为中承式拱桥!由约*)'(
中跨的拉
杆主拱和两边跨各约!!)(
的预应力混凝土三角形刚架结构组成三跨无推力刚构#
拉杆
拱桥"其主拱在桥面以上采用钢箱截面拱肋!在桥面以下则采用钢筋混凝土拱肋!降低
造价且利于抵抗船舶撞击作用!二者在桥面部位对接形成混合结构"与上述平行吊杆的
+
*
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
科
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拱桥不同!图!"+
'
4
(所示的德国费马恩大桥为下承式拱桥!采用了吊杆斜向交叉布
置的尼尔森体系"
图!"+
!
拱形桥梁工程
伴随着新材料和新结构形式的出现!相应的设计理论和建造技术也亟需进一步发
展"在设计理论方面!随着现代计算机技术的迅速发展以及大型结构分析软件的普及使
用!通用有限元方法使得针对拱形结构的计算能力得到大幅提升!能够解决很多结构设
计中的具体问题"但是在深入掌握结构受力性能及失效机理的研究基础上!提出相应的
结构计算与设计理论!提炼得到反映有关参数影响规律的简化设计方法和设计公式!无
论在理论创新还是实践应用方面都具有重要意义!能够有力地促进拱形结构的推广和发
展"总体来看!拱形结构的设计理论主要包括以下几个方面.
"
结构体系的概念设计与
创新研究*
#
结构稳定性理论及设计方法研究*
$
结构动力性能研究"首先!结构体系
的概念设计与创新是一个涵盖面广且十分重要的内容!直接决定了拱形结构未来的发展
活力"具体到细节包括结构形式的创新!如从单拱结构到拉杆拱和索拱&从平行拱肋到
提篮式拱&从单一的混凝土或钢结构到组合结构等!以及细部节点的创新!即新型连接
节点&活动及限位节点等"此外还有结构抗灾变能力方面的创新!如耗能元件设计&减
震隔震设计等"其次!随着高性能&高强度材料的应用!拱的稳定问题愈加突出!成为
结构设计中的关键因素"线性稳定理论以线性化的方法求解临界荷载!以掌握结构失稳
的主要影响参数*非线性稳定理论能够跟踪考察结构屈曲前变形的影响以及屈曲后性
能!揭示其实际破坏机理及实际承载能力"对实际结构设计而言!考虑几何大变形&材
料弹塑性的稳定承载力分析!并在此基础上提炼出稳定承载力计算的实用设计方法具有
更直接的实践指导意义"再次!现代拱形结构的跨度不断增大!其振动问题不可忽视"
+
,
+
第!
章!
拱形结构的发展与现状
例如大型桥梁结构中移动车辆与结构自身的车桥耦合振动问题&大型拱形结构的地震反
应问题以及动力失稳问题等!都需要对拱形结构的振动特性以及在典型动力荷载下的动
力响应进行研究并提出相应设计方法"必须看到!以上三点研究内容是相互联系&相辅
相成的.只有真正把握了拱形结构的受力特点&稳定性能和动力特性!才能在结构体系
层面上有的放矢地进行概念设计与创新*只有在结构体系中有了明确的概念设计!才能
使得拱形结构从根本上具有实现优良受力性能的可能"
拱形结构体系的大型化和复杂化给其安装就位带来诸多挑战!基于大量拱形结构的
工程建设!一系列建造技术应运而生"总体来看!建造技术包括自架设法和非自架设法
两大类"自架设法即不需要或少采用辅助施工设施或临时结构来进行拱的安装!例如逐
步悬臂施工法!先前安装完毕的构件段可作为将要安装构件段的支撑体系!即通过悬臂
单元的不断延伸最终形成整体结构"非自架设法借助临时辅助结构进行主体结构的安
装!例如分段吊装法&整体提升法&旋转起扳法&转体施工法等"在各种施工方法中!
逐步悬臂施工法适用于拱肋本身刚度比较大的桁架拱!即先前安装的悬臂桁架拱段要具
有足够的刚度来支持后续施工荷载!如悉尼港大桥*也可使用简单辅助措施如拉索来承
受悬臂拱段的部分重量!减小其悬伸长度!如美国狱门桥 $图!"&
'
$
(%"对于建筑结
构中的大跨度拱形结构!当有充足的作业面时!可采用分段吊装法!如图!"&
'
-
(所
示的鄂尔多斯东胜体育场主拱的安装"此方法操作性强!易于控制*但支撑胎架用钢量
较大!相邻拱段之间对接困难!高空焊接作业量大!误差积累效应大"针对上述问题!
设计施工人员提出了整体提升法"澳门多功能体育馆的屋盖主桁架拱采用将主拱在跨中
分割&跨中同步提升及两拱脚对拉的施工方案$
&
%
$图!"&
'
3
(%!通过计算给出提升点
竖向位移与拱脚水平位移的最佳协调比例!保证桁架拱与塔架柱的受力和变形控制在安
全范围内"对于在拱下没有足够施工作业面的情况!旋转起扳法是一个可供选择的安装
方法!如图!"&
'
4
(所示"这种方法具有自动化程度高&施工效率高&减小施工误差
和装配内力等优点"在起扳过程中!需要建立一个由斜拉起吊索&
5
形支承架以及背
索等形成的自适应平衡体系"在5
字形架顶部!安装穿心式液压千斤顶并通过千斤顶
张拉斜拉起吊索!实现钢拱的整体旋转起扳!直至达到设定位置"对于跨越河流&山谷
的拱形桥梁!近些年来旋转施工法应用较多 $图!"&
'
6
(%"此方法将在障碍物上空的
作业转化为在岸上或近地面作业!具有对交通影响小&施工一体化程度高的优点"广州
丫髻沙大桥便在分段吊装&整体浮运吊装和转体施工等备选方案中选定了竖转加平转的
转体施工方案!其技术先进&安全度高&工期短!取得了良好的社会和经济效益"
除拱形结构的建造技术本身外!与之配套的施工分析方法和控制理论也受到了人们
的高度重视"安装就位是一个结构不断产生和生长&连接和就位的动态过程!不同施工
方法导致的内力和变形发展变化过程&竣工时刻结构中的锁定内力有较大不同$
0
%
"例如
拱形结构悬臂施工中的合龙前后&分段吊装施工中的拆撑前后等!施工中的受力体系和
受力状态往往与一次成型的结构设计状态存在显著的差异"施工分析方法和施工控制理
论实现了施工过程的可控性!其主要目的在于.
"
选择适当的施工方案!在保证安全
性&经济性和方便性的同时!使得结构在施工过程及竣工完成时的受力最为有利"
#
确
保在施工过程中!结构在不利工况作用下安全可靠"
$
把握结构竣工状态的锁定内力"
+
+
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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图!"&
!
拱形结构的施工建造技术
%
准确控制结构位形 '线形(!确保顺利对接或合龙等!保证竣工形态与设计位形吻合"
施工计算与施工控制的疏忽可能导致施工阶段存在安全隐患&结构无法顺利安装&竣工
状态的内力和位形不满足设计要求!或累积过大的附加内力!形成巨大安全隐患潜伏在
结构之中"
!")
!
结 构 特 点
推力结构是拱的主要受力特征!即利用其曲线拱轴线将外荷载产生的弯矩转化为轴
向压力!因此在拱轴线平面内的竖向荷载尤其是全跨竖向荷载作用下的弯矩远小于同跨
+
&
+
第!
章!
拱形结构的发展与现状
度的直梁或曲梁!具有较高的刚度和承载力"尤其当设计轴线接近理想拱轴线时!拱在
控制荷载工况下主要承受轴压力!弯矩和剪力的影响很小!能够充分利用材料的强度"
拱的受力与其轴线形式&矢跨比和拱脚边界条件等密切相关"拱轴线形式的确定原
则是!在建筑外观要求的前提下!在主要荷载工况下尽量减少截面的弯矩!以轴压受力
为主 '对于圬工拱和混凝土拱不要出现拉应力("通常拱的轴线形式有圆弧形或抛物线
形&悬链线形&椭圆形等变曲率轴线"全跨水平均布竖向荷载作用下的抛物线拱&全跨
轴线均布竖向荷载作用下的悬链线拱是工程中常见的两种均匀受压拱模型!其中全跨水
平均布竖向荷载的水平投影集度沿拱跨度保持恒定!通常对应于从其他构件传递给拱肋
的竖向分布恒荷载*全跨轴线均布竖向荷载的水平投影集度由拱顶向拱脚逐渐增大!常
对应于拱的自重分布荷载"圆弧拱在径向均布荷载作用下属于理想的均匀受压拱!而在
工程中常见荷载作用下存在一定的弯矩!尤其当矢跨比增大时其弯矩幅值较大!但由于
造型美观!多用在建筑结构或小型桥梁结构中!考虑到制作施工的方便性也在个别大跨
桥梁中采用"当然!这里的理想拱轴线是没有计及拱肋弹性压缩变形影响的"对于矢跨
比较小&跨度较大的拱形结构!需考虑由于轴压变形引起的理想轴线偏移!对拱轴线进
行修正或在计算中考虑附件弯矩的影响"实际设计中荷载情况复杂!宜根据荷载效应组
合的控制工况!确定合理的拱轴线形状"一般来说!对于圬工拱桥或钢筋混凝土拱桥!
其恒载所占比重较大!且一般呈全跨均布!而活荷载的影响较小!因此设计时多根据恒
载压力线作为其设计拱轴线!此时其他活荷载组合作用下的压力线虽有所偏移!但影响
不大!截面也基本以轴压作用为主"而对于大型铁路拱桥&钢拱桥梁或建筑中的拱形结
构!由于自重的减轻其偏跨荷载的影响更为显著!因此设计中应根据主要荷载控制工况
对拱轴线进行优化"此外!拱轴线的选型也需要考虑建筑物功能要求!如南通会展中心
体育场的开合结构!其空间钢管桁架拱作为活动屋盖开合时的运行轨道要求是圆弧形!
以保证屋盖台车在曲率恒定的曲面上顺畅运动"
矢跨比是拱设计中的一个重要参数!对内力的大小和分布的影响很大!因此应根据
建筑外观&承载效率&基础条件及通航限制等各方面因素综合确定"图!"0
和图!"7
为
圆弧拱的一阶内力分析结果!其中箱形截面尺寸"
#!8"8#
$
8#
%
9+''((8*''((8
!'((8!,((
!跨度),(
!施加单位集度!
水平均布竖向荷载"可以看到!对于拱形
结构而言.
"
一般地!拱内轴力在拱顶处较小而在拱脚处最大!当矢跨比较小时分布较
为均匀!随着矢跨比的增大其分布趋于不均匀!其大小基本与拱的矢跨比成反比关系"
矢跨比越小则轴压力越大!这对于圬工拱的受力是有利的!但对钢拱来说则结构承载效
率降低&稳定性变差!且基础负担增大"
#
当拱形结构同时承受轴力和弯矩时!弯矩的
分布及变化十分复杂.当矢跨比较小时!其分布类似于直梁!随着矢跨比的增大其分布
接近于门式刚架!弯矩沿拱轴线出现多次正负变化*固支拱的最大弯矩通常出现在拱脚
位置!而铰支拱一般出现在!
)
*
跨或拱顶附近"矢跨比过大或过小时!拱轴线内的弯矩
幅值均较高!受力较为不利"在偏跨荷载作用下!拱形结构中弯矩比全跨荷载时更大"
因此!设计中需重点考虑荷载不对称分布的情况!在建筑结构中要特别重视局部雪荷载
的堆积作用"
+
0
+
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图!"0
!
典型水平均布竖向荷载作用下两端铰支圆弧拱的内力分布
'矢跨比由上至下依次为'"!
&
'"%
&
'",
(
图!"7
!
典型水平均布竖向荷载作用下两端固支圆弧拱的内力分布
'矢跨比由上至下依次为'"!
&
'"%
&
'",
(
除轴线形式和矢跨比外!拱脚边界条件也是影响拱受力性能的重要因素"根据拱肋
中铰的数量!可分为三铰拱&两铰拱 '后文称 ,铰支拱-(和无铰拱 '后文称 ,固支
拱-("三铰拱为静定结构!对温度作用和基础变形的适应性强!但由于跨中设铰!构造
复杂!且刚度和承载力较小!因此除基础条件很差或温差很大的地区外!在工程中较少
采用"铰支拱和固支拱在建筑结构中应用较多!而拱形桥梁中为了方便拱脚构造与施
工!常采用固支的形式"相同几何尺寸和荷载条件下!铰支拱与固支拱二者的轴力分布
和大小相差不大*固支拱拱脚的弯矩要大于铰支拱的最大弯矩!从截面强度分析!其承
载效率较低*但由于固支拱的边界约束更强&超静定次数更多!从结构整体稳定承载力
的角度而言!要高于铰支拱"固支拱常采用变截面拱肋!即截面惯性矩从拱顶向拱脚逐
渐增大!用以降低拱脚应力幅值"
另外在温度荷载&材料收缩徐变及支座位移等作用下!不同于静定结构的三铰拱!
固支拱和铰支拱会产生不可忽视的附加内力"但随着拱矢跨比和跨度的增大!结构刚度
减小!上述附加内力相应降低"不同于固支拱!铰支拱在支座竖向沉降时不会产生附加
内力!同时由于刚度较固支拱小!相同荷载作用下其附加内力也相对较小"拱的基础或
+
7
+
第!
章!
拱形结构的发展与现状
支承结构应具有足够的强度和刚度!以限制拱脚的水平侧移"当拱脚支承结构的变形较
大时!在计算中应考虑拱脚位移的影响!建立包含支承结构的整体模型或等效弹性支承
模型进行内力与承载力分析"一般情况下!考虑拱脚支承结构的刚度影响后!拱脚推力
减少!截面正弯矩增大$
7
%
"
通常拱在竖向荷载作用下的拱脚推力较大!因此拱脚推力的计算十分重要!一般可
采用线弹性分析方法或考虑几何非线性的弹性分析方法进行"分析表明$
!'
%
!考虑几何
非线性与否对拱脚推力的计算结果影响较小!故其计算可采用线弹性分析方法"对于静
定结构的三铰拱!其拱脚推力可通过简单平衡条件得到"对于承受竖向荷载作用的超静
定拱!其拱脚推力不但与矢跨比有关!还和截面弯曲刚度与轴压刚度的比值有关"随着
矢跨比的增加!拱脚推力近似成反比例减小*随着弯曲刚度的增大&轴压刚度的减小!
拱脚推力也随之减小"
值得一提的是!上述受力特点是针对结构一次成型&荷载一次施加的情况而言的!
即结构施工成型后的外荷载响应"然而结构的建造是构件依次生成&材料逐渐成形&荷
载依次施加&边界依次形成的动态过程"竣工状态结构的内力和变形是各施工效应依次
累积的结果$
!!
!
!)
%
"因此对于这种超静定&施工过程中体系或受力状态有较大转变的结
构!要注意以下问题.
"
施工过程中部分成型的结构体系的受力特点与竣工状态的完整
结构存在差异!有可能最危险的受力工况出现在施工阶段而不是正常使用状态"
#
由于
施工方法的不同!实际成型后结构中的锁定内力和变形与一次成型时存在差异!这就需
要在结构设计时考虑施工过程逐步成型导致的不利影响!而不能简单地对完整结构一次
性施加荷载进行分析"总之!对于拱形结构应综合考虑各种因素!选取技术先进&安全
可靠&受力合理的施工方法*进行结构后续的设计和计算时!应考虑施工成型过程造成
的结构初始态的影响"
如前所述!拱形结构的轴压特征明显!因此其稳定性计算成为设计中的关键问题!
包括局部稳定性和整体稳定性两个方面"局部稳定对于实腹式截面拱表现为翼缘或腹板
的鼓曲!对于钢管桁架拱表现为腹杆或弦杆的屈曲"整体稳定性包括拱轴线的平面内稳
定及平面外稳定"当屋面檩条&屋面板或支撑提供足够平面外约束&限制拱截面的面外
位移和扭转时!只需验算拱的平面内稳定性"当面外无支撑或支撑不足时!整个钢拱或
支撑间拱段会发生面外的空间弯扭失稳破坏!成为稳定设计的控制因素"由于矢跨比的
影响!钢拱截面的位移&弯曲和扭转等变形分量!以及扭矩&弯矩和轴力等内力分量相
互耦合!其受力和变形较梁柱等直构件更为复杂$
!%
%
"此外!为防止钢拱平面外失稳而
设置面外支撑时!如何确定支撑布置以及进行支撑刚度和强度设计!来保证支撑的有效
性!也是平面外稳定设计的难点$
!*
%
"
拱形钢结构通常在全跨均布竖向荷载作用下具有较好的平面内稳定承载性能"在荷
载施加的起始阶段!在竖向荷载作用下拱产生对称的变形*当荷载增大到一定程度时!
在不可避免的非对称几何缺陷或有限扰动下!其荷载#
位移平衡路径将发生分岔!逐渐
越来越偏离平面内对称变形状态!最终发生非对称的平面内弹性或弹塑性失稳破坏!这
一过程称为平面内二次分岔失稳$
!,
%
"拱在初始缺陷的影响下发生非对称失稳时!其稳
定承载力低于完善拱对称失稳时的承载力"由于非对称初始缺陷不可避免地存在!因此
+
'!
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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钢拱发生平面内非对称失稳破坏对平面内稳定设计起控制作用$
!+
!
!&
%
"而当荷载呈偏跨
作用时!拱内会产生较大的弯矩!承载力大幅降低"风荷载和雪荷载在拱屋面上往往呈
现不均匀分布的特点!应根据具体情况确定其最不利分布形式"
针对单拱对初始缺陷较为敏感以及半跨荷载作用下稳定承载力低&刚度弱的问题!
人们提出了索拱结构!包括弦张式&车辐式和弦撑式等形式$
!0
!
)!
%
!如图!"!'
所示"弦
张式索拱与车辐式索拱通过拉索与拱肋的拉扯作用!牵制拱肋的变形发展!从而达到改
善拱肋的受力性能&降低拱的初始缺陷敏感性&提高半跨荷载下的结构刚度和承载力&
减少拱脚推力等目的"弦撑式索拱通过撑杆的反作用为拱肋提供弹性支承!降低拱肋的
弯矩峰值!提高结构的整体刚度与承载力!这与张弦梁的受力机理类似"因此!索拱结
构相当于对单拱设置一系列面内支撑!从而改善了其平面内的受力性能"一般地!钢拱
的矢跨比越大&长细比越大!拱肋变形越明显!此时拉索对拱肋性能的改善作用越
显著"
图!"!'
!
索拱结构
!
#拉索*
)
#拱肋*
%
#撑杆*
*
#索盘
以车辐式索拱为例!其由位于跨中的索盘&辐射状拉索和拱肋组成!在竖向荷载作
用下其变形如图!"!!
所示"全跨荷载作用下!拱顶及相邻两侧的拱肋向下变形!相连
的拉索缩短而松弛*
!
)
*
跨至拱脚部分的拱肋则向外及向上变形!相应的拉索有伸长的
趋势!产生拉力引起索盘向上移动!从而限制了拱肋的变形发展"半跨荷载作用下!加
载半跨的拉索松弛 '与拱脚相连的拉索伸长以保持索盘平衡(!非加载半跨的拉索张紧!
也能达到控制变形及提高承载力的效果"同时通过对拉索施加一定的预应力!还能调节
拱脚处的水平推力!减轻基础负担"车辐结构设计中一个重要问题是结构选型!除了单
拱设计中包含的拱的跨度&矢跨比&轴线形式和截面形式等参数外!还包括拉索的数
量&索盘位置&拉索的辐射形式等"
图!"!!
!
竖向荷载下车辐式索拱的变形示意
以上论述主要针对拱的静力性能"除此之外!拱形桥梁的动力特性!特别是抗震性
能!也是科研工作者和工程师关注的重点"外激励作用下!拱形结构的动力反应不但与
结构形式&边界条件&连接构造&几何尺寸等有关!还受到外界动力荷载如地震作用的
+
!!
+
第!
章!
拱形结构的发展与现状
频谱&峰值&输入方向&行波速度等特性的影响!其规律十分复杂!很难像静力性能那
样给出一套明确的量化公式或结论"但是大量工程实例&振动试验及抗震分析表明!拱
形结构的动力性能和地震反应总体有如下特点$
))
!
)*
%
.
"
拱形结构的面外刚度弱于面内
刚度!一般其第一阶振型为拱轴线平面外 '横向(振动!而高阶振型较为复杂!与结构
形式&连接条件及质量分布均有关"
#
随着矢跨比的增大!拱形结构在拱轴线平面内的
水平刚度减小而竖向刚度增加!当矢跨比大于!
)
,
时平面内将以水平振动为主"
$
拱形
结构中拱肋的轴压比通常较高!难以实现延性设计!因此常依靠其他构件或装置来提高
结构整体的延性耗能能力"
%
面外地震作用下!拱肋主要承受面外弯矩作用!拱顶的加
速度反应最大!而内力峰值出现在拱脚附近"面内地震作用下结构反应比面外地震作用
下要小"
&
通常拱形桥梁的矢跨比不大!一般小于或接近!
)
,
!考虑竖向地震后结构的
内力和纵向&竖向变形将有较大的增加!因此对于大跨拱桥应进行多维地震输入的响应
分析!以免低估结构的地震反应"
'
对于大跨拱形结构!当拱脚由于场地特性显著不同
而引起输入的地震波特性存在差异时!会产生抗震分析中的多点激励问题!多点激励下
拱形结构的高阶振动模态可能被激发!从而进一步加大结构反应"当地震波沿纵向传播
导致分别到达两拱脚的地震波存在相位差时!即带来行波效应问题!跨度越大其影响越
大"由于拱形结构对拱脚的相对位移较为敏感!因此上述非一致地震激励的影响不容忽
视"
(
在地震作用下!大跨拱形结构的几何非线性效应明显!由此可能导致拱肋的动力
失稳"
)
沿拱桥纵向适当放松对桥面的约束!如采用橡胶支座或限位阻尼器等!对于拱
肋和桥面的整体抗震有利*上承式拱桥中!较短的立柱 '常为混凝土柱(会承受较大的
剪力而发生脆性破坏!适当放松短立柱与拱肋和桥面间的联系刚度也将有利于结构抗
震*在面外地震作用下!拱肋间的风撑易首先发生破坏!因此可采用防屈曲支撑构件!
以提高其塑性耗能能力*提篮式拱肋的地震反应小于平行式拱肋!抗震性能较优"
*
地
震作用下!上部结构传递给下部支座或桥墩很大的作用力!应注意下部结构的抗震设
计!必要时采取减震&隔振的方式减小地震输入"
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结构设计的关键问题
综上所述!虽然建筑结构&大跨空间结构及桥梁结构中的拱形结构具有各自不同的
结构形式!但根据其基本受力特点!总体来看其设计存在以下几个共同的关键问题"
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!
结构体系选型
结构体系选型相当于方案设计或概念设计!需综合各方面因素!选择技术先进&安
全适用&施工方便&经济合理的结构形式"比如在建筑结构设计中!选用实腹式拱还是
桁架式拱&单一的混凝土拱或钢拱还是组合结构拱&铰支拱还是固支拱&等截面拱还是
变截面拱&单拱还是索拱结构!选用哪种拱轴线形式及矢跨比!面外支撑如何布置等*
在桥梁结构中!选用上承式&中承式还是下承式拱桥&有推力拱还是无推力拱&单拱还
是组拼拱&平行拉索还是斜交拉索等"通过研究把握拱形结构的受力变形特点&传力路
径及破坏机理!对结构组成进行改变&组合&改进甚至提出新的结构形式!是结构体系
+
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现代拱形钢结构设计原理与应用
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选型设计的核心"例如涉及抗震设计时!应优先选用符合抗震概念设计&具有多道抗震
防线的结构体系!包括体系构成&布置原则&各部分刚度和延性比要求等!人为控制结
构中地震破坏的发生位置&顺序&程度等!实现基于性能的抗震设计目标"
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!
结构细部设计
结构体系选型是从宏观层面上对拱形结构整体性能把握与设计的重要内容"要实现
一些先进的结构设计理念!同样需要在结构的关键细部构造方面进行合理设计和创新!
包括连接节点&活动及限位节点&延性构件&耗能部件等!以达到改善局部受力&提高
结构整体性能及抗灾变能力等目的"如图!"!)
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(所示的旧金山#
奥克兰海湾大桥是一
座跨度约,+,(
的单塔自锚式钢结构悬索桥!为了提高桥塔的抗震能力!设计中将整个
塔柱分为四个分肢!彼此之间通过抗剪缀板连接在一起"在正常使用状态或小震作用
下!分肢依靠缀板的连接而整体共同抵抗外荷载作用*在大震等强外力作用下!缀板进
入屈服从而累积变形耗能!同时结构刚度的减弱减小了地震作用!从而保护主体结构不
发生大的损坏"类似的例子还有应用于希腊:;<=#5=>;?;<=
桥中的 ,加筋土隔震基础-
$图!"!)
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-
(%!其从振动输入的角度对地震作用进行了削减或隔离!取得了比纯粹加
强上部结构抗震能力更为直接和显著的效果"这些思路和措施都是可以在拱形结构的设
计中借鉴并发展的"
图!"!)
!
工程中的结构细部设计
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!
结构稳定性设计
对于拱形钢结构!由于材料强度的提高其构件较为细长&板件较薄!在压应力作用
下结构的整体稳定性或局部稳定性往往是其承载效率和经济性的主要制约因素"同时由
于曲线轴线的特点!其稳定性能受轴线形式&跨度&矢跨比&拱脚边界条件&截面形
式&荷载形式及组合&面外支撑设置情况等诸多因素影响!稳定设计方法较梁柱等直构
件更为复杂"对于钢拱的稳定性问题!通过其稳定性能和失稳破坏机理的研究!一方面
建立结构稳定承载力的计算方法!更重要的是在掌握其主要影响因素和规律的基础上!
+
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+
第!
章!
拱形结构的发展与现状
提出加强其稳定性的对策!包括节点构造&连接构造&支撑布置和体系优化等"
钢结构在中国的发展!促使了拱形钢结构在空间结构领域的广泛应用"由于受轴线
形式&拱脚推力及矢跨比等多因素影响!其受力性能特别是失稳机理较梁柱等直构件更
为复杂!长期以来在世界范围内没有形成一部完整的钢拱技术标准!技术人员缺乏对拱
形钢结构设计中安全储备与经济性之间平衡的把握!也缺乏对制作与施工技术及经验的
系统总结"钢拱相关标准之所以迟迟不能问世!主要是长期以来人们对拱形钢结构稳定
性的研究和认识不够深入"理论研究方面!世界范围内以澳洲@;
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及C?$D$;?
为代表!其研究局限在特定荷载&特定轴线和特定截面等!到形成普遍性的设计条款还
相差较远"规范应用方面!仅德国EFG!00''#
+
简单粗略地涉及实腹式截面拱的稳定
计算!采用把拱比拟为受压直杆的计算思想!设计方法十分粗糙"此外!对于广泛应用
的腹板开孔钢拱&钢管桁架拱及索拱!之前鲜有研究或规范涉及"因此长期以来!拱形
钢结构的稳定设计方法远远滞后于工程实践!设计人员常采用一阶或二阶内力分析并辅
以强度与刚度验算!忽视了稳定性设计"
针对长期以来建筑拱形钢结构设计无章可循的现象!清华大学联合国内其他高等学
校&科研院所以及钢结构企业!在大量理论和试验研究成果基础上!结合丰富的工程设
计施工实践经验!完成了我国 /拱形钢结构技术规程0 '
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作!已经于)'!!
年&
月正式颁布!涵盖了结构与节点选型&荷载效应分析&强度及稳
定性设计&制作安装及工程验收等各方面内容"拱形钢结构稳定理论的研究成果将在后
续章节做详细论述"
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!
结构振动控制
结构振动是影响拱形结构尤其是拱形桥梁正常工作的重要因素之一"特别是当今拱
桥向着大型化和轻量化不断发展!车桥耦合振动和拱桥振动控制理论的研究显得尤为重
要"此外!对于振动带来的构件或节点的疲劳问题!也是研究和设计中的重点"
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!
地震作用及抗震设计
抗震分析方面!对于大跨拱形结构!应充分考虑多维地震输入&多点激励&行波效
应以及桩#
土#
结构相互作用等影响"从工程震害实例来看!拱形结构多表现为支座&桥
墩等下部结构的脆性破坏&下部与上部结构连接部位的破坏以及桥面系的局部塌落破
坏!因此在抗震设计方面!应重视下部结构的延性设计&节点部位的连接可靠性以及桥
面系的整体性设计等"此外还应适当地进行结构减震&隔震设计!通过合理地选型和布
置!达到方便&经济和有效地提高结构抗震能力的目的"
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!
施工方案和施工控制
拱形结构的施工方案是整体建设过程中的重要组成部分之一"各种施工方法具有其
自身的特点和适用性!也需要不同的配套设施设备!因此应综合工程的场地条件&结构
类型&受力特点等因素!因地制宜地选择先进可行&经济安全的施工方法"大跨度拱形
桥梁大多跨越河流&山谷等!其施工受场地条件局限性很大!常采用悬臂施工法及转体
+
*!
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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施工法等"建筑拱结构的施工方案虽然也要考虑与其他分项工程的交叉施工作业问题以
及与相邻建筑物的关系!但不像拱桥的施工方案受场地条件影响那么大!选择余地较
多!最常见的是采用 ,吊装J
胎架支承J
高空拼装-相结合的施工方法!特殊情况下也
可采用整体提升&整体起扳等施工技术"
由于大跨拱形结构的施工过程是一个复杂的动态系统!结构体系&荷载和边界约束
条件均随着施工阶段的推进而不断变化!因此不同施工方法导致的结构响应及成型时的
受力状态将有很大的不同"第一!需要对施工全过程进行分析!以确保整个施工环节中
的结构安全*第二!把握结构竣工状态的锁定内力!确保不会累积过大的附加内力&形
成巨大安全隐患潜伏于结构之中*第三!准确控制结构位形 '线形(!保证竣工形态与
设计位形吻合!避免出现结构无法顺利安装和合龙的情况*第四!焊接残余应力和变形
对结构的锁定内力和安装位形会有很大影响!对这种影响进行分析和评估!进而对焊接
工艺&安装方案提出改进建议$
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参 考 文 献
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波浪腹板工形构件抗剪承载力设计理论及试验研究 $
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波浪腹板钢结构设计理论研究及应用现状 $
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波浪腹板钢拱的一种计算机辅助成型方法 $
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中国钢拱桥发展现状调查与分析 $
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澳门综合体育馆主桁架整体提升及提升塔架分析 $
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现代拱形钢结构设计原理与应用
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第$
章!
拱形结构的基本类型!受力特点和荷载效应分析
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引!!
言
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如第!
章所述!进行钢拱的结构设计时!需要从其基本受力特点&稳定性能&动力
和抗震性能以及结构体系构成等方面进行全面把握!以期做到技术先进&安全适用和经
济合理"为此!作为拱形结构设计理论的基础!本章首先对结构及节点形式进行介绍!
接着从拱形结构的基本受力特点出发!针对荷载组合&一阶与二阶分析&支承结构的刚
度影响!以及移动荷载和影响线等问题进行阐述和讨论"
)")
!
拱形结构的基本类型
拱形结构选型包括确定结构形式&轴线形状&截面形式&拱脚条件以及节点构造
等!应根据建筑物的功能要求&荷载条件&跨度大小&施工方法及基础条件综合确定"
此外!由于无面外支撑拱的平面外稳定承载力通常低于平面内稳定承载能力!还应考虑
面外支撑的设置要求"
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!
结构形式
从结构类型来看!拱形钢结构主要分为实腹式截面拱&桁架拱&索拱及钢管混凝土
拱等四大类"其中实腹式截面拱包括普通截面钢拱&腹板开孔钢拱及波形腹板钢拱等各
种形式!如图)"!
和图)")
所示"
图)"!
!
拱形钢结构类型
实腹式截面拱一般用于中小跨度结构中!常用的截面形式有圆管&箱形及工形截面
等"当有设备管线穿过或建筑美观要求时!可选择腹板开孔钢拱"波形腹板钢拱由于腹
板面外波折或波浪从而大大增强了腹板的面外刚度和剪切屈曲荷载!可做得高而薄!具
有成型和运输方便&截面抗弯刚度大&节约材料等优点"当实腹式截面拱采用圆管或箱
形截面时!可在拱身内填充混凝土形成钢管混凝土拱!提高其刚度和稳定承载力!改善
图)")
!
拱形钢结构示意
局部稳定性&耐火性能及防腐性能等"
桁架拱结合了拱与桁架的双重优势!以其曲线拱轴线实现弯矩向轴力的转化!并通
过格构的方式将截面弯矩转化为弦杆的轴力!具有更高的结构承载效率!常用于超大跨
度空间结构中!如体育场馆和桥梁工程中"按照其组成形式可分为平面桁架拱&立体桁
架拱和空腹桁架拱等!按照杆件类型又分为传统的缀条缀板式桁架拱和钢管桁架拱"
索拱结构依据布索形式及构成方式可分为张弦式索拱&弦撑式索拱及车辐式索拱等!
通过合理的布索!有效控制拱肋的变形!从而改善和提高结构的整体刚度和承载能
力"钢管混凝土拱同样包括实腹式和桁架式两种形式!桁架拱通常在上下弦杆中灌
注混凝土"
就轴线形式而言!拱形钢结构的轴线选择包括轴线形状和矢跨比两个方面!选型原
则是使钢拱在主要荷载工况作用下以轴压受力为主"实际工程中的荷载情况复杂!宜根
据荷载效应组合的控制工况进行轴线的优化分析与设计!确定合理的拱轴线形状"此
外!拱轴线也需要考虑建筑物的功能要求!如南通会展中心体育场的开合结构中$
!
%
!空
间钢管桁架拱作为活动屋盖开合时的运行轨道!因此选择圆弧形以保证活动屋盖的台车
在曲率恒定的曲面上顺畅运动"关于矢跨比的取值!当钢拱的跨度一定时通常存在使其
稳定承载力最高的最优矢跨比 '
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左右(
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)
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!还需结合建筑功能要求最后确
定"车辐式索拱的矢跨比宜选择在'"%
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!索盘位置应控制在拱脚连线的上方!高
度方向宜等于拱矢高的一半!此时承载效率较优$
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%
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此外关于截面类型!一般选择双轴对称的工形开口截面或圆管&箱形闭合截面"考
虑拱形钢结构平面外稳定时!采用闭合截面将获得较高的自由扭转刚度与平面外弯曲刚
度!还可灌入混凝土形成钢管混凝土拱"对于三角形截面的空间钢管桁架拱!宜优先选
择正三角形截面 '下弦为两个弦杆(
$
)
%
.在全跨均布荷载作用下!当矢跨比%
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大于
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时!正三角形截面桁架拱的平面内稳定承载力比倒三角形截面 '下弦为一个弦杆(
高很多"这主要是因为当矢跨比较大时!全跨均布荷载作用下的拱截面边缘纤维最大压
应力的位置为!
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*
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*
跨附近的下边缘!因此倒三角形截面桁架拱相当于使结构中的
薄弱位置更加削弱!而正三角形截面桁架拱则相当于将结构中的薄弱位置加强!在达到
极限承载力时正三角形截面比倒三角形截面桁架拱有更多的构件进入屈服"
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节点形式
拱形钢结构的节点设计应遵循构造简单&整体刚度好&传力明确&安全可靠&节约
材料和施工方便的原则"其节点选型可参照其他钢结构节点类型!如钢管桁架拱可参考
钢管桁架梁柱的节点构造处理方法!索拱结构中拱肋与撑杆&拉索的连接节点可参照其
他预应力钢结构的通常做法"对于车辐式索拱结构! /拱形钢结构技术规程0 '
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%参考国外工程资料!给出了可供参考的平板节点&铸钢节点等索盘节点形
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车辐式索拱结构的索盘
拱形结构应采用传力可靠&连接简单的拱脚形式"其构造应保证与计算假定一致.
铰支时应保证拱脚截面具有充分的自由转动能力!且能有效传递剪力和轴力!固支时应
保证其能充分传递弯矩!否则应根据实际构造情况在计算中考虑节点的弯矩#
转角特性"
实腹式截面钢拱采用铰支拱脚时!可设置拱脚加劲肋并采用销轴连接*固支时拱脚截面
高度宜适当扩大!或采取加强措施如设置加劲肋或填充混凝土等!以防止拱脚应力过大
而引起板件局部屈曲或强度破坏"腹板开孔钢拱的拱脚附近不宜开孔!以避免截面的削
弱"钢管桁架拱采用铰支拱脚时!可将各分肢在拱脚处收于一处*采用固支拱脚时!宜
将弦杆直接嵌固于基础"从受力的角度看!固支拱的刚度和稳定承载力要高于铰支拱!
特别是半跨荷载作用下尤为明显"但固支拱的截面最大弯矩一般出现在拱脚位置!因此
对基础的承载能力要求更高"
当涉及拱的平面外受力及变形时!截面发生面外弯曲并伴随绕拱轴线切线方向的扭
转!故拱脚截面除了三个方向线位移及面内转动外!还涉及绕拱轴线的扭转&绕截面主
轴的面外转动以及截面的翘曲变形等"对于圆管&箱形等闭合截面!由于翘曲刚度与翘
曲变形很小!因此拱脚翘曲约束与否对平面外屈曲荷载几乎没有影响!而对于工形等开
口截面!翘曲变形的影响很大"采用闭合截面形式&约束拱脚截面的面外弯曲转动等措
施能够有效地提高其面外屈曲荷载!而仅约束拱脚截面翘曲变形的提高作用有限"实际
工程中!应用较为广泛的为固支拱和销轴支座拱*除非具有充分的面外支撑!铰支拱因
其平面外稳定承载力随着矢跨比的增大而迅速降低!因此仅作为一种理论研究的理想拱
脚模型"在这里!,两端铰支拱-指拱脚截面的%
个线位移!以及绕拱轴线切线方向的
扭转受到约束!而面内和面外转动自由*,两端固支拱-指拱脚完全嵌固于基础的情况!
即各个自由度全部被约束*,销轴支座拱-指拱脚截面的%
个线位移&绕拱轴线切线方
向的扭转&平面外转动和翘曲变形受到约束!而在平面内可以自由转动"此外对于落地
+
7!
+
第)
章!
拱形结构的基本类型&受力特点和荷载效应分析
拱!可考虑设置连接拱脚的钢绞线或型钢拉杆来平衡拱脚推力!减小基础负荷"当为非
落地拱时!应重视下部结构刚度和强度的设计"如果支承结构的水平刚度不足!在拱脚
推力作用下产生的水平位移将对拱的受力带来不可忽视的影响"这时如果仍按理想铰支
或固支拱脚处理!会带来较大误差"关于这点将在)"+
节中加以讨论"
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拱形结构的基本受力特点
在竖向荷载作用下支座产生水平推力!这是拱形结构与梁系构件等非推力结构的本
质区别"图)"*
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(为两端铰支拱在跨中集中竖向荷载作用下的受力简图"可以看到
由于拱脚推力的影响!拱形结构的支座反力作用线与拱轴线接近!截面弯矩'9(
!
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(
为拱脚反力(!因此相比完全依靠弯曲变形来抵抗外荷载的直梁!其承载效率更高"图
示同时表明!在拱顶集中荷载作用下!拱的理想轴线退化为双折线形式 '图中虚线所
示(!此时截面上只有轴压力作用"
图)"*
!
拱形结构示意
对应于特定荷载分布形式!拱形结构存在典型的理想拱轴线!如径向均布荷载作用
下的圆弧拱&全跨水平均布竖向荷载作用下的抛物线拱以及全跨轴线均布竖向荷载作用
下的悬链线拱"但在实际工程中的荷载组合工况下!拱大多处于轴力和弯矩共同作用的
受力状态"以箱形截面"
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的圆弧拱为
例!跨度&9),(
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!对应的平面内几何长细比"
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(的变化范围约为,'
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为拱轴线全长!
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为截面在拱轴线平面内的回转半
径("承受单位水平均布竖向荷载作用时!进行一阶分析得到拱的最大内力及最大截面
正应力随矢跨比的变化如图)",
所示"其中 '
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(图给出了拱内最大弯矩'
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与相应直
梁中最大弯矩'
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的比值! '
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(图为拱内最大剪力-
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与相应直梁中最大剪力-
"
的比
值!'
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(图为拱中由轴力和弯矩共同产生的截面最大正应力与相应直梁的最大弯曲正应
力的比值!而 '
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(图为拱内弯矩产生的截面最大弯曲正应力与轴力引起的最大轴压正
应力的比值!反映了拱内弯矩与轴力的相对影响程度"
从上述截面应力计算可知!均布荷载作用下的圆弧拱存在最优矢跨比!对应的拱内
正应力幅值较小"以矢跨比%
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&9'"!,
的两端固支圆弧拱为例!在全跨水平均布竖向
荷载作用下!其最大弯矩&剪力分别约为相同跨度直梁的!
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!拱内最大正应
力约为相应直梁的!
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!自身截面最大弯曲正应力与最大轴压正应力之比约为'"%7
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均布荷载作用下圆弧拱中内力及正应力随矢跨比的变化
半跨水平均布竖向荷载作用下!拱内弯矩和剪力明显增大!上述比值分别为!
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)"7
和%"+
"从计算结果可以看到.第一!矢跨比过小时拱内轴力明显增大*弯
矩随矢跨比的变化呈 ,
[
-形!即矢跨比适中时弯矩幅值较小*拱的内力和应力要远小
于相同条件下的直梁"第二!除全跨荷载作用下中等矢跨比 '
%
)
&9'"!'
!
'"),
(的情
况外!其他情况下圆弧拱均以弯矩作用为主!尤其是半跨荷载作用下弯矩的影响很大!
无疑将显著降低拱的整体刚度和承载能力"
针对半跨荷载作用下拱的承载力降低这一问题!人们提出了柔性索与拱肋组合形成
的索拱结构!包括张弦式&弦撑式和车辐式索拱等多种形式!其原理是依靠拉索的牵制
作用或撑杆的支承作用!使拱肋的受力性能得到改善!其受力特性与拱的矢跨比&长细
比&拱脚边界条件!以及拉索&撑杆或索盘布置方式等参数均密切相关"索拱结构的本
质是通过限制拱肋的变形来提高结构整体刚度和承载力!因此从这个角度出发!其拉索
宜布置在荷载作用下拱肋上相对位移最大的两点之间"随着矢跨比的变化以及荷载作用
形式的改变!拱肋各点的变形比例关系发生改变!拉索对承载力的提高作用也将有所不
同"一般地!拱的矢跨比和长细比越大!拱肋变形越明显!拉索的效用越明显"由于车辐
式索拱结构沿着拱肋均匀布置拉索!因此相比传统的张弦式索拱和弦撑式索拱更为有效"
+
!)
+
第)
章!
拱形结构的基本类型&受力特点和荷载效应分析
仍选取上述箱形截面拱!添加拉索形成车辐式索拱"拉索数量共!!
条!沿拱轴线
均布布置*各索截面面积%!*((
)
!弹性模量.9!"0,8!'
,
Z@$
*索盘位于跨中!高度
为矢高的一半"图)"+
给出了拱内弯矩产生的截面最大弯曲正应力与轴力产生的最大轴
压正应力的比值随矢跨比的变化情况"可以看到!虽然比值变化曲线仍呈 ,
[
-形!但
相比图)",
'
4
(的单独钢拱!拉索的引入使得拱中弯矩的影响大大降低!全跨和半跨
荷载下的受力性能均得到较大改善"
图)"+
!
索拱结构及车辐拱算例
)"*
!
荷载及荷载组合
拱在全跨荷载作用下具有较高的刚度和承载力!但半跨荷载下相对较低!因此设计
计算中需重点考虑荷载不对称分布的情况"对于建筑拱形结构及小型桥梁 '如人行桥(
等!由于拱本身自重不大!更易在风荷载&雪荷载或行人荷载等活荷载作用下产生偏载
效应"对于大型拱形桥梁!特别是钢筋混凝土拱桥!自重很大而活荷载所占比例较小!
偏载效应弱!因此合理设计下可保证在主要荷载组合工况下拱肋主要承受轴压作用"铁
路钢拱桥中!要特别注意列车动荷载及影响线最不利位置等问题"
进行拱的静力分析时!由于三铰拱属静定结构!其对支座位移和拱温度变化具有很
好的适应性!可应用在基础条件较差的情况"而对于固支拱!位移及温度荷载的影响是
不可忽视的"这里以某车站中的两端固支圆弧拱为例!跨度&9&,(
!箱形截面"
#!8"8
#
$
8#
%
9)'''((8!,''((8)+((8)+((
"温度升高%'\
!变化矢跨比%
)
&9'"!
!
'",
!图)"&
'
$
(给出了升温引起的最大轴压正应力&最大弯曲正应力及拱顶竖向位移
的变化"可以看到!矢跨比较小时温度荷载作用下结构变形难以释放!导致附加应力较
大!其中附加弯曲应力更大一些!最大弯矩出现在固支拱脚处"随着矢跨比的增加!温
度应力迅速减小"升温引起的拱顶竖向变形的变化规律类似!也随矢跨比的增大而减
小"图)"&
'
-
(为一端拱脚同时产生水平侧移和竖向沉降!或仅有水平侧移时拱内附
加应力随矢跨比的变化情况!其中各位移分量大小均为,'((
!等于跨度的!
)
!,''
"结
+
))
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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果表明!在拱脚位移影响下!矢跨比较小时弯矩引起的弯曲应力十分可观!随着矢跨比
的增大其附加应力水平不断降低"同时相比竖向位移!水平位移造成的影响占主要部
分!因此对于拱形结构!其基础或支承结构应具有足够的刚度和强度!以限制拱脚的水
平侧移"当拱脚支承结构的变形较大时!在计算中应建立包含支承结构的整体模型或等
效弹性支承模型进行分析!以充分考虑附加内力和应力的影响"
图)"&
!
支座位移和温度荷载对两端固支拱的影响
)",
!
一阶与二阶分析
一般情况下!拱形结构的内力计算可采用一阶弹性分析法"对于长细比较大的拱!
计算其内力特别是弯矩!当拱脚推力在一阶分析的变形上产生的附加弯矩与一阶分析得
到的弯矩结果相比不可忽略时!则需采用考虑几何非线性的二阶分析方法"可以看到!
二阶分析与一阶分析的本质区别在于前者考虑了由于拱轴线变形 '包括轴向压缩&弯曲
及剪切等变形(而偏离最初位置所引起的附加弯矩的影响"
对于如图)"0
所示的平面内竖向荷载作用下的拱形结构!采用一阶分析时!内力根
据变形前的结构位形计算"对于截面/
!其弯矩'
/
等于
'
/
0
'
1
2
3
4
5
6
)
5
-
1
)
'
)7!
(
式中!
3
为拱脚水平推力*
'
1
&
-
1
分别为拱脚1
处的弯矩和竖向反力*
6
)
为外荷载
在截面/
产生的弯矩"
采用二阶分析时!需要在变形后的位置上建立平衡方程!假设所计算截面/
'
)
!
4
(的水平位移和竖向挠度分别为!
)
和!
4
!则其弯矩'
/
#为
'
#
/
0
'
1
#
2
3
#
4
5!
' (
4
5
6
)
#
5
-
1
#
)
5!
' (
)
'
)7)
(
!!
通常按照二阶分析得到的弯矩会与一阶分析得到的弯矩有差别!而轴力&剪力及拱
脚推力影响不大!因此上式中3
#
$
3
!
-
#
$
-
!而6
)
#由于水平位移!
)
的影响!与
一阶分析的6
)
有少许差异"选取两端铰支圆弧拱!工形截面F#!8"8#
$
8#
%
9*''((8
%''((8!'((8!*((
!跨度&9)'(
!矢跨比%
)
&9'"%
!在全跨水平均布竖向荷载
作用下通过有限元计算得到的一阶与二阶分析的内力结果如图)"7
所示!其中8,/9
为平
+
%)
+
第)
章!
拱形结构的基本类型&受力特点和荷载效应分析
图)"0
!
拱形结构在平面内竖向荷载下受力示意
图)"7
!
全跨均布荷载下铰支拱一阶与二阶分析内力对比
!
!
)
.
8
)
8,/9
9'"),
!一阶)二阶*
%
!
*
.
8
)
8,/9
9'",'
!一阶)二阶*
,
!
+
.
8
)
8,/9
9'"&,
!一阶)二阶
面内第一阶屈曲荷载!横坐标截面位置指所考虑的截面到左端拱脚的弧长与拱整个弧长
的比值"结果表明!轴力的二阶与一阶分析结果差别不大!而二阶弯矩均大于一阶弯
矩!且随着荷载的增加二者差异明显"图)"!'
给出了拱脚水平推力3
随矢跨比%
)
&
及荷载参数8
)
8,/9
的变化情况"可以看到!拱脚推力随着矢跨比的增大而减小!但一阶
分析和二阶分析结果相近!受荷载幅值影响较小"
一般来说!拱脚推力可采用简化的方法进行估计"以水平均布竖向荷载作用为例!
拱脚推力近似等于
全跨荷载.
3
$
8
&
)
0
%
!!
半跨荷载.
3
$
8
&
)
!+
%
'
)7%
(
可以看到!当跨度和荷载集度一定时!拱脚推力随矢跨比的增大而迅速减小"需要注意
的是!上式只考虑了拱轴线的弯曲变形而未计入轴向压缩变形的影响!实际上拱脚推力
还与截面弯曲刚度和轴压刚度的相对大小有关"截面轴压刚度越大而抗弯刚度越小!则
拱脚推力越大!特别是对小矢跨比的扁拱!轴向压缩变形对拱脚推力有较大影响"
这里通过对大量有限元数值结果进行拟合!得到典型竖向荷载作用下等截面铰支拱
+
*)
+
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图)"!'
!
两端铰支拱拱脚水平推力的一阶与二阶分析结果
和固支拱的拱脚推力3
的计算公式$
+
%
3
0#
!
#
)
3
'
'
)7*
(
式中!
3
'
为拱脚推力基准值!采用下式计算.
全跨或半跨水平均布竖向荷载8
3
'
0
8
&
)
0
%
'
)7,
(
!!
拱顶集中或!
)
*
跨集中竖向荷载:
3
'
0
:&
*
%
'
)7+
(
式 '
)#*
(中!
#
!
为拱脚推力调整系数!可按附录5
取值*
#
)
为与截面刚度相关的折减
系数!其表达式为
#
)
0
!
!
5
.;
.1
%
)
$
'
)7&
(
式中!
$
为与拱轴线形状&拱脚条件和矢跨比相关的系数!按附录5
取值"
选取箱形截面两端固支圆弧拱!截面尺寸"
#!8"8#
$
8#
%
90''((8+''((8
!'((8)'((
!跨度&9%'(
!图)"!!
给出了其在单位集度!
的半跨水平均布竖向荷载
图)"!!
!
两端固支圆弧拱的拱脚推力结果
+
,)
+
第)
章!
拱形结构的基本类型&受力特点和荷载效应分析
作用下拱脚推力的计算结果"可以看到!由式 '
)#*
(得到的拱脚推力与有限元数值解
吻合很好*对于小矢跨比的扁拱!不考虑截面轴向压缩变形影响将过高估计拱脚推力"
)"+
!
拱脚支承结构水平刚度的影响
实际工程中!拱脚支座并非理想的铰支或固支"对于落于下部结构之上的拱形结
构!由于下部结构的水平支承刚度有限!拱的受力性能将与完全刚性支承的情况存在差
异!因此有必要考虑拱脚支承结构水平刚度的影响"从定性角度分析!拱脚支承结构的
水平刚度对于推力结构特征的发挥起着至关重要的作用.水平刚度越弱!梁的受力特征
越突出!整体受弯程度越大*随着水平刚度的增大!拱效应增强"对于两端铰支拱和固
支拱!拱脚推力随支承结构水平刚度的增加而逐渐增大!直至接近完全刚性支承的情
况$
&
!
0
%
"图)"!)
给出了单位拱顶集中竖向荷载作用下圆弧拱的拱脚推力!箱形截面尺寸
"
#!8"8#
$
8#
%
9)''((8)''((8!'((8!)((
!弧长*9&"0&(
"其中 '
-
(图中
为3
%
为水平刚度系数等于%
时的拱脚推力!
3
9
为刚性支承时的拱脚推力"水平刚度系
数定义为
%0
<*
.1
'
)70
(
式中!
.1
为拱截面轴压刚度"
从图)"!)
可以看到.第一!刚性支承时在通常矢跨比范围内 '
%
)
&9'"!
!
'",
(!
固支拱的拱脚推力略高于铰支拱"在小矢跨比范围内 '
%
)
&
%
'"!
(!随着矢跨比的减小
拱脚推力先迅速增大后减小!直至与直梁相同等于零!扁拱的拱脚推力很大"铰支拱的
拱脚推力变化相比固支拱更为剧烈!拱脚推力的峰值更高"第二!若将拱脚推力比值
3
%
)
3
9
&
'"7,
所需要的拱脚支承结构水平刚度定义为临界支承刚度%
#!
!则随着拱脚约
束的加强 '铰支拱到固支拱(以及矢跨比的减小!临界支承刚度%
#!
逐渐增大!即结构
本身刚度越大!对支承结构水平刚度的需求也就越大"
图)"!)
!
铰支拱和固支拱的拱脚推力
从内力分布角度来看!当支承结构水平刚度等于零时!拱退化为曲梁"以承受单位
+
+)
+
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集度的全跨水平均布竖向荷载作用的铰支圆弧拱为例 '矢跨比%
)
&9'"%
!其余参数同
图)"!)
算例(!其内力分布情况如图)"!%
所示"当拱脚支承结构水平刚度很小时!弯
矩的分布类似于简支梁!轴线内只存在正弯矩且跨中最大!幅值也较大*轴力分布很不
均匀!拱顶接近零而拱脚处最大"随着水平刚度的增大!拱中将同时出现正弯矩和负弯
矩!且弯矩幅值显著降低*轴力有所增大!但分布趋于均匀"由此可见拱脚支承结构水
平刚度是实现拱推力结构特征的重要保证"一般在拱的设计中!均会对支承结构或基础
的水平刚度提出一定要求!以免产生过大变形并大幅削弱结构的刚度和承载力"只要满
足临界支承刚度的要求!即可采用刚性支承钢拱的计算公式进行设计"
图)"!%
!
支承结构水平刚度对拱内力分布的影响
临界支承刚度%
#!
与矢跨比&长细比以及荷载条件等各因素均有关"通常有三种指
标来确定!即内力&拱脚位移及稳定承载力.当满足临界支承刚度要求时!拱中最大内
力及稳定承载力将接近拱脚刚性支承时的结果!拱脚水平位移也被限制在可控范围内"
然而选用不同的衡量指标时!对应的临界支承刚度%
#!
的具体数值也是存在很大差别的!
因此究竟以内力&位移还是稳定承载力为控制目标!是研究支承结构水平刚度影响的关
键问题"文献 $
&
%&$
0
%对拱脚水平弹性支承圆弧拱的平面内受力及稳定性能进行了系
统研究"文中从两端铰支拱的内力分布出发!定义了反映水平支座约束程度的无量纲化
参数 ,弹性柔度系数-!为拱脚水平弹性支承钢拱的分析带来了较为明确的依据"通过
对极限状态时拱脚位移和稳定承载力两种参数的研究!给出了支承结构水平刚度对拱的
受力及稳定性能的折减作用以及临界支承刚度的拟合公式"以全跨水平均布竖向荷载作
用下的拱脚水平弹性支承的两端铰支圆弧钢拱为例!线性理论推导得到的轴力解为$
&
%
=
6
=
9
!
6
0
!
2
)>
>
'
0
!
!
5
"
&
'
)77
(
!!
弹性柔度系数&
定义为
&
0
).;
<
%
,
(
%
0
).1
<
%
%
"
)
)
(
'
)7!'
(
式中!
=
6
为水平弹性支承拱的跨中轴力*
=
9
!
6
为相同条件下刚性支承时拱的跨中轴力*
>
为弹性支座的水平位移*
>
'
为相同条件下曲梁 '无拱脚推力(的支座水平位移*
<
为
支承结构水平刚度*
%
为圆弧拱圆心角的一半*
(
为拱半径*
"
)
9*
)'
)+
)
(为拱平面内长
细比*
"
为与拱的圆心角和平面内长细比有关的系数"
+
&)
+
第)
章!
拱形结构的基本类型&受力特点和荷载效应分析
以上述箱形截面两端铰支圆弧拱为例!在水平均布竖向荷载作用下考察拱顶线性内
力和稳定承载力随支承结构水平刚度的变化情况!如图)"!*
所示"其中纵坐标为内力
或承载力的比值.对于拱顶轴力和稳定承载力!为弹性支承时与刚性支承时的比值*对
于拱顶弯矩!为刚性支承时与弹性支承时的比值"可以看到!以比值'"7,
作为限定指
标!采用拱顶轴力与采用拱顶弯矩作为衡量指标所确定的临界支承刚度之间存在很大差
别!同样也与以稳定承载力作为衡量指标得到的数值不同"通过拱顶轴力得到的临界支
承刚度远大于以弯矩为指标的结果!且基本不随矢跨比变化!而以稳定承载力为指标的
临界刚度随着矢跨比变化而差异较大"此外!全跨荷载或半跨荷载等不同荷载工况下!
支承结构水平刚度的要求也有所不同!半跨荷载作用下的临界刚度小于全跨荷载作用下
的临界刚度"
图)"!*
!
内力或稳定承载力随支承结构水平刚度的变化
由于轴力和弯矩的影响最终反映在拱的平面内稳定承载力中!因此根据稳定承载力
来确定临界刚度取值应更为直接和合理"文献 $
0
%即从稳定承载力和极限状态时拱脚
水平位移限值两方面条件出发!给出了设计中弹性柔度系数临界值的取值标准!满足此
条件即可采用刚性支承拱的设计公式进行设计计算"
)"&
!
组合体系拱桥
以上讨论针对的是单拱!对于桥梁结构中的组合体系拱桥!桥面和拱肋按照不同的
方式构成一个整体共同受力!因此桥面纵梁&拱肋及吊杆或立柱的组成方式和相对刚度
对结构整体性能有较大影响"此外在桥梁结构中!还存在车辆移动荷载的影响问题"
$"("!
!
结构体系受力特点
上承式组合拱桥依靠竖向立柱的联系作用将拱肋和桥面纵梁联系在一起!协调变
形&共同承受外荷载!其中纵梁主要承受弯矩作用!而拱肋处于弯矩和轴力共同作用状
态"根据二者刚度比例的不同!结构的内力分配情况也有所变化"以全跨水平均布竖向
荷载作用下的上承式圆弧拱桥为例"拱跨度!'(
!矢跨比'"%
!箱形截面尺寸"
#!8"8
+
0)
+
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#
$
8#
%
9)''((8)''((8!'((8!)((
"拱肋轴压刚度记为.1
,
!弯曲刚度记为
.;
,
"沿跨度等间距布置!!
个立柱!其截面刚度取为.1
/
9
'
.1
,
()
!'
!上下与纵梁
和拱肋铰接"纵梁标高*(
!弯曲刚度记为.;
"
!承受单位集度的全跨水平均布竖向荷
载作用"通过变化纵梁的抗弯刚度.;
"
来改变结构内力分配!如图)"!,
所示"其中刚
度比指纵梁与拱肋的截面抗弯刚度比值即 '
.;
"
() '
.;
,
(! '
$
(图为假定立柱轴力相
等并将立柱轴力直接施加于拱肋 '即不考虑纵梁的共同作用(所得到的内力结果!'
-
(
图与 '
3
(图为纵梁&拱肋及立柱形成的整体结构的内力分布"
图)"!,
!
构件刚度比对上承式拱桥的内力影响
可以看到.
"
相比单拱!由于纵梁的分担作用!组合拱桥中拱中轴力有所减小!但
是在通常刚度比范围内其变化幅度较小"
#
相比轴力!弯矩在纵梁和拱之间的分配变化
较为明显"当纵梁的刚度很小时!拱中弯矩分布与单拱比较接近!立柱相当于纵梁的固
定铰支座!纵梁中弯矩较小!其分布与均布荷载作用下的多跨连续梁类似"
$
随着刚度
比的增大!弯矩由拱肋向纵梁中转移!其分布逐渐接近不等跨连续梁!跨中弯矩幅值较
大!而拱中的弯矩明显减小"
%
纵梁刚度较小时!各立柱的轴力比较均匀!拱脚至!
)
*
跨范围内的立柱轴力稍大*纵梁刚度增大时!立柱轴力趋于不均匀!
!
)
*
跨附近立柱的
轴力明显大于拱顶及拱脚附近的立柱"
此外当立柱与纵梁和拱肋为刚性连接而非铰接时!在纵向水平力的作用 '如沿桥面
方向作用的水平地震力(下!立柱中将产生一定的剪力和弯矩作用!特别是拱顶附近较
短的立柱由于刚度大所分配的剪力较大*拱脚至!
)
*
跨的立柱虽剪力较小!但由于高度
较大其端部弯矩也比较可观"这些问题在设计中应予以重视"
下承式组合体系拱桥由拱肋&纵梁和吊索组成"纵梁承受的竖向荷载通过吊索传递
给拱!而拱产生的水平推力由纵梁分担!二者可形成自平衡体系而简支于基础之上"选
取全跨水平均布竖向荷载作用下的下承式组合体系拱桥!拱肋的拱脚与纵梁端部刚接!
拱肋参数同上述上承式拱桥!吊索数目为7
根"同样通过变化纵梁的抗弯刚度.;
"
!
图)"!+
给出了在不同刚度比下结构中内力分布结果"可以看到!其变化规律与上承式
拱类似.
"
当纵梁较柔时!拱肋承受大部分弯矩作用!而纵梁的作用主要是抵消拱脚水
平推力*随着纵梁抗弯刚度的增加!其分配的弯矩更大!逐渐趋近简支梁的受力情况"
+
7)
+
第)
章!
拱形结构的基本类型&受力特点和荷载效应分析
#
随着刚度比的增大!拱由压弯状态逐渐转变为以承受轴压力为主!弯矩主要由纵梁承
担"
$
拱肋及纵梁的轴力随刚度比变化不大*吊索为局部受力构件!其受力的大小与主
桥的跨径关系不大!主要取决于吊索的间距和荷载的大小!其内力分布随刚度比增大变
得不均匀!拱脚至!
)
*
跨范围内的索力大于拱顶附近的索力"
图)"!+
!
构件刚度比对下承式拱桥的内力影响
上述下承式拱桥的吊索形式为竖直吊索!除此之外还有斜交叉吊索"斜交叉吊索能
够大幅提高结构的竖向刚度!减小拱肋和纵梁的弯矩&剪力幅值!同时使弯矩分布更加
均匀!结构整体性更好"选取上述下承式拱桥!令刚度比等于!
!其他参数不变!将竖
直吊索变为斜交叉吊索!在单位集度全跨水平均布竖向荷载作用下的内力结果如
图)"!&
'
$
(所示"与图)"!+
'
-
(对比可见!采用斜交叉吊索后!相同条件下拱肋和
纵梁的轴力变化不大!而二者的弯矩均明显减小"但同时可以看到!由于拱肋与纵梁端
部刚接!拱脚的弯矩幅值较大"图)"!&
'
-
(将二者设为铰接!发现由于释放了拱肋与
纵梁端部节点的弯矩!拱脚弯矩峰值有显著减小!但在靠近端部的局部范围内仍存在弯
矩集中的现象"图)"!&
'
3
(在拱肋与纵梁端部铰接的基础上!再在拱脚附近增加虚线
所示的斜拉索"这样结构中弯矩幅值削减至图)"!+
'
-
(的!
)
%
左右!分布也更为均
匀"但总体来看!斜交叉吊索拱桥中虽然拱肋和纵梁整体受力更为均匀!但吊索之间拉
力差异很大!在设计中需要通过改变不同区域吊索的刚度或预应力大小来对吊索的内力
分布进行优化和调整"
$"("$
!
移动荷载和影响线
拱形桥梁中!车辆移动荷载是重要的荷载工况之一"车辆荷载可等效为小段范围内
的分布荷载!为简化分析这里视其为集中竖向荷载"随着荷载位置的变化!结构中的内
力分布和大小将随之改变"根据)"+
节的分析可知!当荷载条件一定时!结构反应与各
组成部分的刚度比例有密切关系.当纵梁 '桥面(的刚度很小时!集中荷载的影响范围
较小!荷载作用位置附近立柱的轴力较大!拱肋承受的弯矩较大*随着纵梁及立柱刚度
的增加!集中荷载的影响范围增大!纵梁中分配的弯矩增大"
+
'%
+
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图)"!&
!
斜交叉吊索的拱桥内力结果刚度比 '
.;
"
()'
.;
,
(
9!
对于)"&"!
小节的上承式组合体系拱桥!考虑单位集中竖向荷载为代表的车辆移动
荷载!其他参数相同!图)"!0
给出了拱肋和纵梁的跨中及!
)
*
跨截面的弯矩影响线"
结果表明.
"
对于某一截面!当荷载作用于此处时其弯矩幅值最大"
#
当纵梁与拱肋的
截面抗弯刚度相等时 $'
$
(图%!跨中及!
)
*
跨截面拱肋及纵梁二者的弯矩影响线基本
接近"只是当荷载作用于!
)
*
跨时!
!
)
*
跨的纵梁截面弯矩明显大于拱肋!这是由于此
时荷载作用点落在两立柱间的梁段跨中!梁段局部挠度导致了较大的附加弯矩"
$
当纵
梁刚度较大时 $'
-
(图%!拱肋分配的弯矩很小!但分布模式仍与 '
$
(图相似"
图)"!0
!
上承式拱桥的弯矩影响线
参 考 文 献
$
!
%陈以一!陈扬骥!刘魁K
南通市体育会展中心主体育场曲面开闭钢屋盖结构设计关键问题研究 $
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%
K
建筑结构学
报!
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)
%郭彦林!郭宇飞!窦超K
钢管桁架拱平面内失稳与破坏机理的数值研究 $
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工程力学!
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'
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+
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+
第)
章!
拱形结构的基本类型&受力特点和荷载效应分析
$
%
%窦超K
钢拱平面外稳定性能及设计方法 $
E
%
K
北京.清华大学!
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$
*
%郭彦林!王高宁K
车辐结构平面内弹性稳定承载力及设计建议 $
H
%
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空间结构!
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%王高宁K
车辐拱的稳定性能研究 $
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北京.清华大学!
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%中华人民共和国行业标准K
拱形钢结构技术规程 '
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C)*7
#
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北京.中国建筑工业出版社!
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%杨洋!童根树K
水平弹性支承圆弧钢拱的弹性屈曲分析 $
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工程力学!
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%杨洋!童根树K
水平弹性支承圆弧钢拱的平面内极限承载力研究 $
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工程力学!
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+
现代拱形钢结构设计原理与应用
科
学出版社
职教技术出版中心
www.abook.cn
第#
章!
拱形钢结构稳定问题的基本概念及分类
%"!
!
引!!
言
!!
稳定是钢结构设计中最为普遍同时十分关键的问题"结构中任何存在压应力的构件
和部位!均有可能发生整体或局部失稳!并成为结构设计的控制因素$
!
%
"拱形钢结构的
受力性能及工作机理受轴线形式&矢跨比&跨度&拱脚边界条件&截面形式&荷载形式
及面外支撑等诸多因素影响!因此其稳定问题较梁柱等直构件更为复杂"
拱形钢结构的稳定包括局部稳定和整体稳定两个方面"局部稳定对于实腹式截面拱
表现为翼缘或腹板的鼓曲!对于钢管桁架拱表现为腹杆或弦杆的屈曲"整体稳定包括平
面内稳定及平面外稳定.在拱轴线平面内承载的钢拱!当所受荷载达到临界值时!拱轴
线将在竖直平面内离开原来的平衡路径!产生过大的弯曲变形而丧失承载力即发生平面
内整体失稳*或是其截面在平面外倾侧并扭转!发生空间弯扭变形!称为平面外整体失
稳"一般情况下!建筑结构中的钢拱在平面外有次梁&交叉撑等支撑构件提供侧移和扭
转约束!不易发生面外失稳*而对于一些体育场&大跨桥梁中的主拱!往往在很大跨度
内没有有效的面外侧向支撑!此时面外失稳将起控制作用"当钢拱考虑平面外失稳而设
置面外支撑时!如何进行支撑布置及其刚度和强度设计来保证支撑的有效性!是设计人
员关注的问题"此外钢拱在平面内受力变形时!当轴线长度比跨度略大 '扁拱(&拱脚
水平支承刚度不足时!由于轴力作用产生较大的轴线压缩变形或支座水平位移!外荷载
达到临界值时拱轴线将由上凸的位形突然转变为下凹的位形!发生跃越屈曲$
)
%
"
与梁柱等其他构件一样!拱形钢结构的稳定研究经历了由简单受力条件到复杂荷载
工况&由线性理论到几何非线性理论&由弹性稳定到弹塑性稳定的发展过程"从!7
世
纪末开始!已有众多学者对钢拱稳定问题开始了研究工作!提出了各自的计算理
论$
)
!
*'
%
"但由于问题的复杂性!迄今为止拱形钢结构稳定设计理论仍未达到系统化和
成熟化!研究工作仍然严重滞后于工程实践"目前仅有少数国家如德国EFG!00''#
+
$
*!
%在钢结构设计规范中粗略地体现出拱的稳定性计算方法"
在对拱形钢结构的大量理论与试验研究以及工程建设实践经验的基础上!清华大学
联合国内其他高等学校&科研院所及钢结构企业!编制了 /拱形钢结构技术规程0
'
HIH
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C)*7
#
)'!!
(
$
*)
%
'以下简称 /拱规0("/拱规0主要包括结构与节点选型&荷载
效应分析&强度及稳定性设计&制作&安装及验收等几方面内容!针对工业与民用建筑
和构筑物中常用的实腹式截面拱&腹板开孔钢拱&钢管桁架拱&索拱以及钢管混凝土拱
等结构形式!初步建立了它们的设计理论与方法!为我国工程实践中拱形钢结构的设
计&制作&安装及验收提供了依据"/拱规0中重点规定了拱形钢结构的选型&构造以
及内力&变形&稳定性设计的原则和方法!包括拱脚推力&风荷载效应和地震作用&平
面内整体稳定承载力计算等!并对钢拱曲线成型的制作方法与工艺给予了关注"但应看
到!其中平面内稳定设计的部分内容还有待深化!平面外稳定设计计算还有待补充"
拱形钢结构稳定理论的研究总是从线弹性屈曲开始!逐步深入建立复杂的稳定承载
力计算理论及设计方法"弹性稳定性能研究包括平衡分岔失稳以及考虑几何非线性的极
值点失稳!用以掌握钢拱失稳的主要影响参数*弹塑性稳定性能研究则面向设计应用!
关注钢拱在各种荷载形式或荷载组合下的极值点失稳问题!揭示其实际破坏机理及承载
能力!给出能够应用于工程实践的设计公式和建议"本章针对拱形钢结构稳定性的基本
概念进行阐述!作为后续弹性理论和稳定承载力设计方法等章节的基础"
%")
!
拱形钢结构的失稳类型
#"$"!
!
平面内失稳
!!
当拱形钢结构在平面外具有足够支撑时!在平面内竖向荷载作用下将在面内发生弯
曲变形的失稳模式"钢拱平面内稳定问题!按照失稳模态的不同可分为对称失稳和反对
称失稳*按照分析方法的不同可分为线弹性失稳和大挠度弹塑性失稳*按照平衡路径的
不同!又包括分岔失稳和极值点失稳"
图%"!
'
3
(给出了钢拱发生平面内失稳的平衡路径"在对称荷载作用下!通过一
阶弹性分析得到的荷载#
位移曲线如曲线,
所示*按照特征值屈曲分析得到拱的线弹性
屈曲荷载!对应反对称的失稳模态 '曲线"
("用二阶弹性理论分析可以得到两条曲线.
第一条 '曲线/
(假定无初始几何缺陷或存在对称缺陷!拱失稳破坏时属极值点失稳!
变形完全对称*第二条 '曲线%
(假定具有非对称初始几何缺陷!此时发生非对称的失
稳破坏"在对称荷载作用下!完善拱也可能发生二次分岔失稳!其特征表现为.荷载先
沿着曲线/
行进!拱的变形是完全对称的*当荷载达到二次分岔屈曲荷载时!在微小的
非对称扰动下!拱由对称变形突然跳跃到非对称变形!如?
曲线或@
曲线所示!分别表
示稳定和不稳定的二次分岔屈曲路径"二次分岔屈曲为几何非线性分析!即二次分岔屈
曲前的荷载#
位移曲线要考虑几何非线性的影响"对于几何非线性影响较大的拱形结构!
二次分岔屈曲荷载会明显小于线弹性屈曲荷载"在具有非对称初始几何缺陷的情况下!
全跨对称荷载作用下的荷载#
位移曲线 '曲线%
(必然落在曲线/
与曲线?
的下方"在
半跨荷载作用下!拱失稳破坏时必然是反对称变形!荷载#
位移曲线如曲线A
所示"不
同于轴心受压柱!在考虑初始几何缺陷的情况下!钢拱二阶弹性分析的平衡路径存在极
值点"
此外钢拱还可能发生平面内的跃越屈曲$
)
%
"对于矢跨比很小的扁拱!一方面拱的推
力增大!另一方面拱轴线长度比跨度大的不多!这样轴线缩短后拱可能由上凸的位形突
然转变为下凹的位形"当拱脚水平支承刚度不足导致支座水平位移较大时!更易引发扁
拱的跃越屈曲"如图%")
所示!在均布荷载8
作用下拱的跨中挠度为$
!当荷载较小
时!荷载#
位移曲线呈现非线性上升段B1
!到达最高点1
时会突然跳跃到一个非临近
的&变形很大的C
点!拱轴线顷刻下垂"荷载#
位移曲线上的虚线1D
段是不稳定平衡
+
*%
+
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科
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图%"!
!
拱的平面内稳定
态!
DC
段虽然稳定且荷载一直上升!但此时结构由于已经发生跃越的大变形而丧失适
用性"
图%")
!
扁拱的跃越屈曲
#"$"$
!
平面外失稳
与单一的弯曲变形模式的平面内失稳不同!面外没有支撑或是支撑刚度不足的钢
拱!当面内荷载增加到一定值时!在面外方向将发生挠曲且伴随扭转的空间弯扭失稳"
图%"%
!
拱平面外失稳的平衡路径
图%"%
给出了钢拱面外失稳的平衡路径"
曲线,
为完善拱的特征值屈曲分析结果!
对应于拱的平面外线弹性屈曲荷载8,/9
"
曲线"
代表对具有面外初始几何缺陷的钢
拱进行二阶弹性分析得到的平面外失稳平
衡路径"曲线/
为完善拱发生二次分岔失
稳的平衡路径!即在面内荷载作用下首先
发生面内的挠曲变形而面外无侧移和扭
转!当荷载达到一定值时在微小的面外扰
动下!钢拱即跳跃至平面外弯扭变形的平
衡路径"实际中若同时考虑面外初始缺陷
以及材料弹塑性!则得到曲线?
"对于钢拱的平面外大挠度弹塑性分析!一般其稳定承
载力远低于平面外线弹性屈曲荷载"然而研究发现$
%+
!
*%
!
**
%
!对于矢跨比较大的工形截面
两端铰支拱 '边界条件定义见第)
章)")")
节(!由于平面外刚度很弱同时翘曲双力矩
+
,%
+
第%
章!
拱形钢结构稳定问题的基本概念及分类
影响显著!其荷载#
位移曲线?
可能与上述二阶弹性分析曲线"
十分接近!并随着变形
的增加其承载力不断增加!直至超越平面外线弹性屈曲荷载"
#"$"#
!
稳定问题分类
钢结构稳定问题可分为分岔失稳和极值点失稳两大类!而跃越失稳从平衡路径性质
来看可归入后者的范畴!视为一种特殊行为的极值点失稳"分岔失稳是指无任何缺陷的
完善结构达到临界状态时!从外荷载作用下未屈曲的平衡位形突变到邻近的其他平衡位
形!表现在荷载#
位移曲线上即出现平衡路径的突变和分岔!突变点对应的荷载称为分
岔屈曲荷载或特征值屈曲荷载"所谓完善结构!是指结构中没有与分岔失稳路径上的变
形相类似的初始缺陷!比如对称荷载下的钢拱没有非对称的初始变形!同时外荷载无偏
心!否则一经加载结构便偏离路径,
!最终发生极值点失稳而非分岔失稳"如图%"*
所
示!结构在荷载#
位移平衡路径,
附近存在另一分岔平衡路径+
"当荷载到达临界值E
/9
时!在微小扰动之下结构由平衡路径,
跳转并沿着路径+
继续变形发展"其中路径+
#!
为典型的特征值屈曲*路径+
#)
为稳定的分岔失稳!即随着变形增大结构能继续承载*
路径+
#%
为不稳定分岔失稳!即随着变形增大结构发生卸载"
图%"*
!
结构的分岔失稳示意
事实上!分岔失稳并不特指在弹性还是弹塑
性范围内!而是主要考察其平衡路径是否发生突
变"因此除线弹性分析的特征值屈曲外!图%"!
和
图%")
所示的二次分岔屈曲 '二阶分析!可考虑弹
塑性(的平衡路径!同样属于分岔失稳的类型.
在分岔点之前!拱沿着对称的面内变形 '对于平
面内稳定而言(或仅有面内变形 '对于平面外稳
定而言(的平衡路径发展!当荷载达到分岔屈曲
荷载时!在微小扰动下平衡路径发生突变!由面
内对称变形跳转到非对称变形!或由面内弯曲变
形跳转到面外弯扭变形的平衡位形"
分岔失稳常发生在完善结构中"与分岔失稳不同!结构发生极值点失稳时不发生平
衡路径突变的分支现象!其荷载#
位移曲线表现为一个连续渐变的过程.随着变形的发
展荷载逐渐达到极值点!此后发生结构的卸载或位移的跳跃 '跃越失稳("平衡路径上
极值点对应的荷载称为结构的稳定承载力 '图%",
("
拱的稳定性研究开始于均匀受压拱"完善的均匀受压拱与轴心受压柱类似!在屈曲
前只发生轴线压缩变形!当轴力增大到一定值时平衡路径转变为面内弯曲变形!属于典
型的分岔失稳"两端铰支拱 '两铰拱(和固支拱 '无铰拱(在平面内最低阶屈曲模态总
是反对称变形!而三铰拱的平面内最低阶屈曲模态随着矢跨比的变化而在对称和反对称
两种变形间交替.矢跨比较小时为对称失稳!矢跨比较大时为反对称失稳!此时由于拱
顶为反弯点!其屈曲荷载与铰支拱相同"承受轴力和弯矩共同作用的压弯拱发生平面内
失稳时!以完善的圆弧拱为例!在半跨荷载作用下!由于一经加载便产生面内的非对称
变形!因此其在平面内属于极值点失稳*而在全跨荷载作用下发生平面内反对称失稳!
+
+%
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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图%",
!
结构的极值点失稳示意
则属于分岔失稳的类型"对于完善拱的面外稳定性!由于初始变形位于平面内!而屈曲
路径沿平面外发展!因此均属分岔失稳"实际工程中!结构都会存在或大或小的缺陷!
因此与分岔失稳的理想情况不同!极值点失稳是一种普遍的失稳模式"
#"$"%
!
稳定分析方法
结构的稳定问题!无论是线弹性分析还是非线性分析!确定其屈曲荷载或稳定承载
力本质上就是一个寻求使结构的切线刚度矩阵变为奇异的外荷载的过程!即求解以下特
征值方程
$
/
F
G
%
/
1 2
'
0
'
'
%7!
(
式中!$
/
F
G
%为结构在荷载E
/9
下的切线刚度矩阵*1
/
'
2为结构对应的位移向量"对于
式 '
%#!
(表示的稳定问题!根据考虑失稳前的变形与否!可将稳定性计算划分为线性
稳定分析 '即特征值屈曲分析(以及非线性稳定分析两大类"如果不考虑失稳前变形对
平衡方程和几何方程的影响!则可采用线性稳定分析求解其分岔屈曲荷载*如果屈曲前
变形不能忽略!则需采用非线性分析方法!沿着荷载#
位移的平衡路径进行追踪!不断
地在新的荷载和位形基础上更新结构切线刚度矩阵和荷载矩阵!寻求发生二次分岔屈曲
或极值点失稳的临界荷载!并可考察结构的屈曲后性能"
!"
线性稳定分析
线性稳定分析也称特征值屈曲分析!即不考虑屈曲前变形以及材料弹塑性的影响!
求解线弹性分岔点的屈曲荷载 '图%"*
中+
#!
("特征值屈曲分析一般可采用平衡法&
能量法及有限单元法进行"
'
!
(平衡法是求解结构线弹性屈曲荷载最基本的方法"通常通过对产生微小变形后
的构件微元段建立平衡微分方程!得到屈曲方程进而结合边界条件求解临界荷载"平衡
法的物理意义明确!从构件整体的刚度&变形和受力出发!概念清晰&各项取舍明确!
在许多情况下可以获得精确解"但对于复杂系统!很难利用静力平衡条件来建立稳定问
题的平衡微分方程!在求解时也会遇到困难"
'
)
(相比平衡法!能量法采用总势能驻值原理来求解屈曲荷载!并采用总势能的二
阶变分 '极值(判断屈曲后平衡路径的稳定性"作为一种求解保守系统的近似方法!它
+
&%
+
第%
章!
拱形钢结构稳定问题的基本概念及分类
克服了平衡法的局限性!能够处理更为复杂的稳定问题"能量法不像平衡法那样直接求
解边值条件的微分方程!而是从微分方程的等效积分形式出发!将其转化为代数方程
组*与平衡法不同!能量法并不要求在整个求解域上任一点都满足微分方程!而只需假
定满足几何边界条件的一种失稳变形模式!使之在全域的加权意义上满足总势能一阶变
分为零的条件即可*当假设的变形模式与真实屈曲模态一致时!将得到问题的精确解"
采用能量法存在的问题是!其推导和求解过程不如平衡法直观!对高阶项取舍的不同会
导致结果的差异"
'
%
(有限元特征值屈曲分析方法是求解线弹性屈曲问题的常用数值方法"与能量法
不同!它并不要求在整个求解域中假定一个满足几何边界条件的失稳变形模式!而是在
每个单元区域内对变形进行独立插值!因此其适用性更好&操作性更强"有限元特征值
屈曲分析基于这样一个事实.构件中压 '应(力的存在会降低结构的刚度"当压 '应(
力水平达到一定值时!结构将丧失刚度而发生整体失稳或板件局部失稳"在式 '
%#!
(
基础上!考虑压应力对结构刚度影响的线弹性屈曲方程可表示为
'$
F
.
%
5
$
F
H
%(1
I
2
0
1
J
2 '
%7)
(
式中!$
F
.
%为不考虑荷载和变形效应的结构刚度矩阵!其保持不变*$
F
H
%为考虑压应
力影响的几何刚度矩阵!反映了荷载的负刚度效应!在小变形情况下其与应力水平成正
比"由于屈曲前变形的线性假定!应力与外荷载呈线性关系!因此$
F
H
%也是外荷载的
线性函数"假设荷载J
1 2
'
下几何刚度矩阵为$
F
H'
%!则在屈曲荷载"
/ J
1 2
'
作用下结构
发生失稳!刚度矩阵产生奇异
$
F
.
%
5"
/
$
F
H'
%
0
'
'
%7%
(
!!
求解式 '
%#%
(的广义特征值方程!所得特征值即为结构的屈曲荷载"
/ J
1 2
'
!相应
的特征向量对应于结构的屈曲模态"最低屈曲荷载对应第一阶失稳模态!也是最易发生
的失稳形式"
以上三种方法的本质都是寻求某一临界荷载!使得在临界荷载作用下结构的线性刚
度矩阵退化为零!任何小的扰动将引起不可控的趋于无穷大的位移"
有限元特征值屈曲分析方法在很多商用有限元软件中都能够方便地实现!也成为钢
拱分岔屈曲荷载计算的最常用手段"只要结构中存在轴压力!采用有限元软件进行特征
值屈曲分析均能给出其屈曲荷载及屈曲模态结果"然而很多情况下!其计算结果值得商
榷"以全跨水平均布竖向荷载作用下的三铰圆弧拱为例!采用有限元特征值屈曲分析得
到如下结果$
!0
%
.当矢跨比%
)
&
'
'"%!+
时!拱发生对称失稳"事实上!在全跨荷载作用
下圆弧拱一开始便处于轴力和弯矩共同作用的对称变形状态!有限元特征值屈曲分析虽
然能够得到对称失稳的屈曲荷载和屈曲模态!但由于平衡路径并未发生分支!因此不能
算作严格意义上的分岔屈曲"同样!半跨荷载作用下钢拱发生反对称失稳!其特征值屈
曲分析结果也不具有明确意义"
轴力和弯矩共同作用下的压弯钢拱发生平面内失稳时!与在端部弯矩或横向荷载作
用下的压弯梁柱类似"由于仅受弯矩作用时!构件不会在弯矩作用平面内发生整体失
稳!因此在不考虑屈曲前变形的前提下!压弯构件中的弯矩对平面内线弹性屈曲荷载并
不产生影响"所以特征值屈曲分析并不反映弯矩的影响!而只是体现了轴力对结构刚度
+
0%
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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的削弱作用"对称荷载作用下的压弯钢拱发生平面内非对称失稳!严格上讲属于分岔失
稳中的二次分岔问题!虽然有限元特征值屈曲分析能够给出线性屈曲荷载和屈曲模态的
计算结果!但采用非线性分析获得其二次分岔屈曲荷载!从概念上讲更为合理"图%"+
所示为两端铰支圆弧拱在对称荷载作用下采用有限元方法进行平面内稳定分析获得的荷
载#
位移曲线"箱形截面尺寸"
#!8"8#
$
8#
%
9)''((8)''((8!'((8!)((
!平面
内几何长细比"
)
9*
) '
)+
)
(
90'
!纵坐标为分布荷载8
或集中荷载K
与线弹性屈曲荷
载8/9
或K
/9
的比值"结果表明!非线性分析的二次分岔屈曲荷载总是低于特征值屈曲荷
载!尤其是在拱顶集中竖向荷载作用下当矢跨比较小时!几何非线性影响较大!二者差
异比较明显"此外还可由图%"+
看到!矢跨比较小的钢拱发生的是不稳定的二次分岔屈
曲 $图%"+
'
$
(
!
'
3
(%!而矢跨比较大时则发生稳定的二次分岔屈曲 $图%"+
'
4
(%"
图%"+
!
平面内稳定分析获得的平衡路径
对于钢拱的平面外稳定分析!由于平面内弯矩或轴力均会引起面外弯扭失稳!在各
种平面内荷载作用下!特征值屈曲分析都具有明确的意义!都属于典型的分岔屈曲"
)"
非线性稳定分析
与忽略屈曲前变形的线性稳定分析方法不同!对于二次分岔失稳及极值点失稳问
+
7%
+
第%
章!
拱形钢结构稳定问题的基本概念及分类
题!需要考虑几何变位对荷载效应的影响!即采用非线性稳定分析方法!跟踪荷载#
位
移全过程曲线!获得极值点对应的稳定承载力或二次分岔点对应的屈曲荷载!也可以考
察结构的屈曲后性能"对于弹塑性稳定承载力!还要计及材料的弹塑性性能以及构件截
面残余应力等"
非线性稳定分析常采用有限元等数值方法来实现"对于前述线性稳定分析即特征值
屈曲分析!稳定问题基本方程 '
%#!
(中的刚度矩阵为结构初始刚度矩阵与线性的几何
刚度矩阵之和!而对于非线性稳定问题!刚度矩阵为特定加载时刻的切线刚度矩阵!它
是荷载和位移的非线性函数"因此非线性稳定分析必须从初始条件开始!沿着荷载#
位
移平衡路径进行追踪!对于每个荷载增量计算结构的切线刚度矩阵"
非线性稳定分析一般采用增量迭代的方法来跟踪非线性变形历程!常用于极值点屈
曲过程的跟踪方法有牛顿#
拉普森法及弧长法等"牛顿#
拉普森法可采用荷载控制或位移
控制的加载方法!其中荷载控制法只能得到极值点之前的荷载#
位移曲线!位移控制法
能够获得荷载#
位移曲线的下降段!但通常只用于单点加载或变形模式事先预知的结构
分析中"弧长法是一种较为先进的非线性分析方法!它是处理结构软化现象或N=$
X
#
A$3]
现象的有效算法!能够克服牛顿#
拉普森法在极值点附近由于刚度矩阵接近奇异而
导致平衡迭代收敛很慢或根本不收敛的缺点!并能获得极值点后的卸载路径!因此可追
踪荷载#
位移全过程上的任意一点"
对于一般极值点稳定问题!在考虑初始几何缺陷和材料弹塑性的基础上!选取合适
的非线性分析方法能够方便地获得结构荷载#
位移全过程曲线!求解其稳定承载力"但
对于二次分岔失稳!其分岔点计算和二次屈曲路径的跟踪!需要采用特殊方法实现"二
次分岔屈曲分析的关键问题是如何找到二次分岔屈曲点!一般采用如下判断准则.
极值失稳点!!
46>
$
/
F
G
' (
%
0
'
!
!
1
/
(
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C
1 2
:
(
'
'
%7*
(
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分岔失稳点
46>
$
/
F
G
' (
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0
'
!
!
1
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2
C
1 2
:
0
'
'
%7,
(
式中!$
/
F
G
%是结构在临界点的刚度矩阵*1
/
'
2为特征向量*1
:
2为外荷载向量"
公式 '
%#*
(和公式 '
%#,
(的物理意义是.极值点失稳的临界点对应的特征模态与
外荷载向量方向一致!屈曲过程中外荷载会做功*而分岔失稳的临界点对应的特征模态
与外荷载向量正交!屈曲过程中外荷载不做功$
*,
!
*&
%
"
然而上述准则只是针对临界点的判断准则!并不能用于对屈曲前与屈曲后路径的跟
踪"从图%"+
可以看到!当钢拱存在与第一屈曲模态 '如反对称失稳(相似的初始几何
缺陷时!随着变形的发展!极值点失稳的平衡路径逐渐偏离二次分岔失稳的平衡路径"
因此一种最直接的想法是!当初始几何缺陷足够小时!极值点失稳与二次分岔失稳的平
衡路径将十分接近!此时采用一般的非线性分析方法就可获得近似的二次分岔失稳路径
及分岔点对应的屈曲荷载"但实施的关键是如何选择合适大小的扰动.如果初始几何缺
陷幅值过大!荷载#
位移曲线将与二次分岔失稳路径有很大差异*幅值过小!则不能触
发二次分岔失稳的出现!平衡路径将与完善拱对称失稳的平衡路径重合"因此采用这种
方法虽然计算简单!但需根据经验来进行多次试算!确定合适的初始扰动"
+
'*
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
科
学出版社
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为此这里提出一种跟踪二次分岔屈曲平衡路径的迭代算法!具体求解过程如图%"&
所示$
*,
!
*+
%
!其中1
点是极值失稳点!
D
点是二次分岔失稳点.
"
首先施加与屈曲模态
相同的初始几何缺陷!采用弧长法进行荷载#
位移全过程计算!得到平衡路径BL3
!获
得极值点对应的荷载E
!
'即L
点("
#
将完善拱加载至上述荷载E
!
!再施加扰动!得
到新的平衡路径BCH
及极值点荷载E
)
'即C
点("
$
重复#
中的迭代过程!直至相邻
两次得到的极值点荷载之差 '
E
+J!
^E
+
(小于给定限值!那么E
+J!
即为二次分岔屈曲
荷载"此迭代算法相比前述直接采用有缺陷拱的荷载#
位移曲线进行逼近的方法!其对
施加的初始缺陷或扰动大小并无严格限制!因此适用性好&收敛速度快!一般迭代)
!
%
次即可满足精度要求"
图%"&
!
二次分岔屈曲荷载的迭代算法
%"%
!
拱形钢结构的失稳机理
钢拱结构失稳时的破坏机理主要包括两个方面的内容.一是钢拱在失稳过程中荷
载#
位移历程即对平衡路径的跟踪!二是内力如何随着荷载#
位移历程在拱轴线内变化"
内力变化与变形的发展二者相互影响!构成了钢拱失稳破坏机理的主要内容"
拱形钢结构由于其曲线轴线的特点!失稳机理和破坏形式与梁柱直构件存在差异"
对于压弯直构件!一般其轴力和弯矩的分布与变化相对简单.轴力由端部轴压力产生!
且沿轴线分布均匀!弯矩由端弯矩及横向分布荷载产生!构件中的最不利截面位置比较
明确*轴力和弯矩相对独立!即在计算中可单独施加和分别考虑其影响!或调整二者间
的比例关系"而拱形结构中轴力和弯矩的大小和分布都与外荷载直接相关"不同荷载形
式&不同矢跨比下其压力和弯矩差别较大!且沿轴线的变化剧烈!最大压力和最大弯矩
的截面位置往往不重合.全跨均布荷载作用下拱内轴力比较均匀!而非对称荷载和集中
荷载作用下轴力变化较为剧烈*由于拱轴内的弯矩由拱脚反力与外荷载沿曲线拱轴共同
作用产生!其分布极不均匀!往往具有多个反弯点"因此总体来看!梁柱直构件的轴力
和弯矩可视为主动力!二者相对独立*而拱中轴力和弯矩是外荷载作用下被动产生的内
力!其分布在计算中不能人为控制"如图%"0
所示!通过施加不同比例的端部压力E
&
分布荷载8
和端弯矩'
1
或'
D
!可对压弯直构件中轴力和弯矩的比例及分布情况进行
人为调整!而拱中内力大小和分布则完全由外荷载8
所决定"
+
!*
+
第%
章!
拱形钢结构稳定问题的基本概念及分类
图%"0
!
拱与直构件的受力比较
此外!拱形钢结构还具有在对称荷载下发生非对称失稳破坏&一阶内力最大的位置
不一定是最终最不利截面位置&正负弯矩下平面外稳定性存在巨大差异等一系列特点!
这些都造成了钢拱的失稳机理和内力相关作用十分复杂!很难像普通压弯构件那样得出
概念明确且具有较高精度的稳定承载力设计公式!这也正是迄今尚未形成成熟且公认的
稳定设计方法的主要原因"
#"#"!
!
平面内稳定
对于压弯直构件!考虑几何非线性效应的二阶分析与一阶分析相比!几何非线性效
应仅对一阶弯矩'
'
产生了放大作用!而最不利截面位置基本没有发生改变"但以全跨
水平均布竖向荷载作用下的压弯圆弧拱发生平面内非对称失稳破坏为例!其弯矩的发展
变化过程如图%"7
所示!其中弯矩包络线即为拱的变形线"当矢跨比%
)
&9'"!
时!在
变形初期首先产生对称的变形和弯矩 $图 '
$
(
!
%*随着荷载增加!拱产生面内侧移!
逐渐偏离对称变形的平衡路径!变形和弯矩分布变得不对称 $图 '
$
(
)
%*当达到极限
承载力时!最终发生非对称的平面内失稳破坏!弯矩和变形如图 '
$
(
%
所示"可以看
到非线性效应不仅放大了弯矩幅值!并使变形形式和最不利弯矩位置发生了变化.一阶
分析的最不利弯矩位置位于跨中!而大挠度弹塑性分析达到极限状态时其最大弯矩位于
!
)
*
跨附近"但随着矢跨比的增大!例如%
)
&9'"%
时!钢拱发生平面内失稳破坏时的
变形和内力分布与加载初期接近!接近对称变形状态"
图%"7
!
全跨均布竖向荷载作用下两端铰支拱的弯矩发展过程
#"#"$
!
平面外整体稳定
与平面内失稳相比!拱形钢结构平面外失稳时受力和变形机理更为复杂!影响因素
+
)*
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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也更多"与单一位移模式的平面内弯曲失稳不同!钢拱在平面外总是发生弯扭失稳破
坏!因此不仅受到面内弯矩&轴力和剪力的作用!还有面外剪力&弯矩&扭矩以及翘曲
内力等!并且各变形分量之间及各内力分量之间由于曲率半径的影响而相互耦合"此
外!由于钢拱的平面外稳定承载力要远低于平面内稳定承载力!拱设计中常设置面外支
撑以提高其平面外稳定性"平面外支撑的布置与设计!也是钢拱稳定设计中的重要内容
之一"钢拱的平面外稳定性及承载能力受轴线形式&矢跨比&长细比&拱脚边界条件&
荷载作用形式以及平面外支撑布置情况 '类型&位置&刚度及数量(等诸多因素影响"
关于外荷载作用!除荷载分布形式之外!与直梁构件类似!荷载作用点在截面上的
位置也影响到钢拱的面外稳定性能"此外荷载的方向性也是一个重要影响因素"对于拱
形钢结构!一般情况下作用在拱轴线平面内的外荷载如自重&雪荷载等!其方向始终竖
直向下!不因拱截面的面外侧移和扭转变形而改变作用方向"但有时外荷载的方向可能
在屈曲前后发生变化!导致平面外稳定性有很大不同"如图%"!'
所示的两种结构形式!
'
$
(图中的上部结构通过立柱将上部荷载传递给拱肋!当拱肋截面产生面外弯扭变形
时!立柱轴压力产生的水平分量将加剧拱肋的侧倾*相反! '
-
(图中拱肋承受吊杆传
来的拉力!弯扭屈曲时吊杆拉力的水平分量将提高拱肋的面外稳定性"选取固支圆弧
拱!工形截面F#!8"8#
$
8#
%
9&)'((8*,'((8!*((8!0((
!跨度&9)'(
!矢跨
比%
)
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!拱顶标高为,(
"考察拱顶设有一个立柱或吊杆&承受跨中集中竖向荷
载作用的情况!其中结构!
中立柱高度为!(
!结构)
中的吊杆底端与拱脚平齐!即吊
杆长度等于拱的矢高,(
"采用大挠度弹塑性有限元方法计算得到的跨中集中力#
拱顶侧
向位移曲线如 '
3
(图所示"可以看到!荷载方向性对钢拱的面外刚度和稳定承载力影
响很大"当然!结构中立柱或吊杆的长度越短!传递至拱肋的压力或拉力的水平分量越
明显!所造成的影响也就越大"
图%"!'
!
荷载方向性对固支拱平面外稳定承载力的影响
为了增强拱形钢结构平面外稳定性!常增设面外支撑!例如建筑结构的檩条&结构
次梁等"它们对钢拱截面的侧移和扭转约束作用可比拟为侧向弹簧及扭转弹簧"随着支
撑刚度或支撑数量的增加!钢拱平面外屈曲荷载将得到提高!而当支撑刚度大于等于一
+
%*
+
第%
章!
拱形钢结构稳定问题的基本概念及分类
定值时会充分阻止支撑点的面外变形"此时!若相邻支撑点的间距过大!支撑间拱段仍
将发生面外失稳"只有同时满足支撑刚度和支撑点间距的双重要求!钢拱的面外失稳才
能被完全限制!而只在拱轴线平面内失稳破坏"设置面外支撑时!支撑的类型 '如檩
条&桁架或屋面板(&布置方式 '如等间距或非均匀布置&位于截面上翼缘还是下翼缘
处(以及其刚度和强度!都决定了其支承效能"
综上所述!拱形钢结构的平面外稳定性能及承载力设计方法研究主要涉及无面外支
撑拱和有面外支撑拱两个方面!后者又包括支撑刚度&强度设计及布置方法研究!以及
支撑间拱段的面外稳定承载力计算等.
'
!
(对于面外无支撑钢拱!由于拱形钢结构在竖向荷载作用下!内力的大小与分布
受矢跨比&拱脚条件影响!其变化规律十分复杂"因此相比梁柱等直构件!钢拱平面外
稳定有其自身的特点.
"
对于直梁的面外弯扭承载力而言!正负弯矩产生的影响相同!
而对于具有曲率的钢拱!正弯矩作用和负弯矩作用下其面外承载力差别较大"
#
梁柱直
构件的弯矩通常由端部弯矩或横向荷载作用产生!与轴力分布相对独立&互不影响!且
弯矩沿轴线变化不太剧烈!轴力分布也较为均匀"而对于压弯拱!其轴力与弯矩的大小
因分布随荷载形式以及矢跨比的不同而变化很大"弯矩沿拱轴线常呈现多次正负变化!
轴力分布亦不均匀"可见!压弯钢拱的轴力与弯矩的相关作用十分复杂!构建如梁柱直
构件那样概念清晰&精度较高的面外稳定承载力的=#'
相关公式难度很大"
'
)
(在拱身一点或多点处设置面外支撑构件 '称为离散支撑(!是工程中常见的防
止钢拱平面外失稳的方法"钢拱发生弯扭失稳时!其截面产生侧移&扭转&翘曲及面外
弯曲等变形!相应的面外支撑约束作用亦包括侧移约束&扭转约束&翘曲约束以及面外
弯曲约束等"面外支撑对钢拱平面外稳定性有很大的提高作用"但同时此提高作用有一
定的限值.当支撑刚度达到门槛刚度要求时!即可保证支承点的面外位移得到充分限
制!平面外屈曲荷载或稳定承载力基本与刚性支撑时一致!继续增加支撑刚度对面外稳
定性的提高作用不大 '图%"!!
("因此!支撑刚度的门槛刚度要求是设计人员进行面外
支撑设计时最为关注的参数"
'
%
(除支撑的门槛刚度和对应的强度要求外!支撑布置的间距要求也是设计人员进
行设计时的重要参数之一"当支撑刚度和间距设置满足要求时!钢拱的平面外稳定性能
够得到保证!只需对其平面内稳定承载力进行验算"当然!如果此时支撑间距过大!支
撑点间拱段仍将发生面外弯扭失稳!那么就需要对拱段的平面外稳定承载力进行验算"
由于钢拱往往处于复杂的轴力和弯矩共同作用的受力状态!各支撑点间的拱段由于长度
不同&受力不同而存在相互约束作用!因此如何考虑这种相互约束作用的影响!是支撑
间拱段面外稳定承载力设计中的难点问题$
%+
%
"
#"#"#
!
局部稳定
拱形钢结构中板件局部失稳或杆件失稳将极大影响结构的整体稳定承载力"以承受
半跨水平均布竖向荷载作用下的两端铰支圆弧平面桁架拱为例!矢跨比%
)
&9'"%'
!截
面高度39'"+(
!平面内几何长细比"
A
9*
)'
)+
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(
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!弦杆尺寸L
/
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9!,)((8
+((
!腹杆与弦杆夹角&'.
!腹杆与弦杆的壁厚比#
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#
/
9'",
"选取腹杆和弦杆的外径
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**
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现代拱形钢结构设计原理与应用
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图%"!!
!
全跨水平均布竖向荷载下拱顶面外侧向支撑的固支拱
比L
?
)
L
/
分别为'",
和'")
!两种情况下分别发生面内非对称整体失稳和腹杆失稳"图
%"!)
给出了采用5GNTN
有限元程序进行大挠度弹塑性分析得到的荷载#
拱顶面内水平
位移曲线"可以看到!发生整体失稳时!到达极值点后荷载随着变形的增加而缓慢下
降"而发生杆件失稳时!位于拱顶剪力最大位置的腹杆首先破坏!随后结构承载力迅速
下降!具有脆性破坏的特征"对于桁架拱!与整体失稳和弦杆失稳相比!腹杆失稳会导
致拱内剪力传递路径中断!同时对弦杆的约束作用减弱!导致稳定承载力大幅降低!因
此在设计中应重点保证腹杆不首先发生失稳破坏$
))
!
)*
%
"
图%"!)
!
半跨水平均布竖向荷载作用下桁架拱的荷载#
位移曲线
相比实腹式截面拱!腹板开孔钢拱由于孔洞对构件截面的削弱!开孔处腹板更易局
部屈曲!对整体稳定承载力的影响也更加突出!因此孔洞的大小和间距成为影响其屈曲
模式和稳定承载力的重要参数"在不同参数组合下!腹板开孔钢拱可能发生整体失稳&
腹板或翼缘的局部失稳&
[;6?6=466U
塑性铰及单边塑性铰破坏等形式!如图%"!%
所示"
+
,*
+
第%
章!
拱形钢结构稳定问题的基本概念及分类
如何考虑孔洞引起的破坏机理的变化以及对稳定承载力的削弱作用!是腹板开孔钢拱研
究的重点内容之一"
图%"!%
!
腹板开孔钢拱的局部失稳
拱形钢结构的局部稳定问题!反映在实腹式截面拱&腹板开孔钢拱中为板件的局部
鼓曲!其影响规律无论在平面外还是平面内稳定研究中均是类似的"而对于钢管桁架
拱!其弦杆或腹杆在拱轴线平面外和平面内失稳时受到的约束作用是不同的!因此需要
根据面外支撑情况对平面外失稳和平面内失稳分别考虑"此外!设计中一般采用限制板
件宽厚比或设置加劲肋的方式!以确保局部屈曲不先于整体失稳破坏而发生"由此带来
的问题是!板件厚度或杆件截面尺寸较大或需密布加劲肋!从而导致不经济的设计或给
加工制作和施工带来很多不便"因此!如果允许板件发生一定程度的局部失稳同时整体
承载力不降低过多!则可缓解上述矛盾!从承载效率来看也更为合理"这就涉及局部与
整体稳定的相关作用问题!相关内容将在后续章节中进行阐述"
参 考 文 献
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钢结构稳定设计指南 $
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北京.中国建筑工业出版社!
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钢管桁架拱平面内失稳与破坏机理的数值研究 $
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四边形截面圆弧空间钢管桁架拱平面内稳定性及试验研究 $
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拱结构的弹性稳定性能研究 $
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压弯圆弧拱平面外稳定承载力设计方法 $
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第%
章!
拱形钢结构稳定问题的基本概念及分类
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拱结构的稳定性研究 $
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拱结构的弹性二次屈曲性能 $
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现代拱形钢结构设计原理与应用
科
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第%
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
与梁柱直构件类似!拱形钢结构的线弹性屈曲是研究其稳定性及设计方法的基础"
由于线弹性屈曲揭示了结构最易发生的失稳模态及最低阶屈曲荷载等本质特性!其对于
掌握失稳的主要影响参数尤为重要"而与轴心受压柱或受弯梁一样!均匀受压拱 '对于
平面内和平面外失稳(或受弯拱 '对于平面外失稳(的线弹性屈曲构成拱形钢结构的经
典屈曲理论"值得注意的是!实际中钢拱由于屈曲前变形的影响!其屈曲荷载还与轴向
压缩刚度 '对于平面内失稳(及截面两个主轴方向的抗弯刚度比值有关 '对于平面外失
稳(!这些在非线性分析中均可予以考虑"本章主要关注拱形钢结构的线弹性屈曲 '即
特征值屈曲(!因此推导过程中忽略屈曲前的拱轴线变形"对于矢跨比较小的扁拱!由
于轴压力显著!需考虑屈曲前轴线压缩变形的影响而采用非线性屈曲理论进行分析"
*"!
!
平面内屈曲荷载
如前几章所述!均匀受压拱通常有三种类型.
"
承受沿轴线径向均布荷载作用的圆
弧拱*
#
承受全跨水平均布竖向荷载作用的抛物线拱*
$
承受沿拱轴线均布竖向荷载作
用的悬链线拱"在这三种拱中!除轴压力之外的内力均非常小!可忽略不计"在忽略屈
曲前变形及轴线不可压缩的假定下!由于圆弧拱的曲率为常量!可获得弹性屈曲荷载的
解析解"而抛物线拱和悬链线拱由于为变曲率拱!平衡微分方程为变系数方程!只能通
过能量法或数值方法求得近似解"
在钢拱平面内稳定的研究方面!早在!7'0
年RS?U-?;=]
$
!
%从均匀受压两端铰支圆弧
拱的屈曲方程中求得其屈曲荷载公式"
!7)%
年G;3<U$;
$
)
%进一步得到两端固支圆弧拱的
屈曲荷载"
!7%*
年起!诸多学者如I$-6?
&
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&
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6?
&
E;==;]
&
C;(<VD6=]<
&
5SV>;=
和:<VV
相继讨论了均匀受压抛物线拱的平面内屈
曲问题!针对轴向力非均匀&拱截面沿弧长变化等问题!采用解析法&数值法或试验方
法给出了屈曲荷载的近似公式或计算表格"这些研究成果在C;(<VD6=]<
$
%
%
&
5SV>;=
与
:<VV
$
*
%
&
H<D=V><=
$
,
%和I$U$(-<V
$
+
%的论文或专著!以及日本柱子研究委员会编写的
3,M?"NN<N
%
O#9I/#I9,PO#,"+P+#
4
$
&
%中得到了总结"尽管上述理论是在忽略屈曲前变形
和轴线不可压缩的特定假定下建立的!只能得到平衡分岔的屈曲荷载而不能跟踪拱平面
内失稳的荷载位移过程!但线弹性屈曲的经典理论奠定了钢拱平面内稳定研究的基础"
就工程应用而言!由于在常见的全跨水平均布竖向荷载作用下的抛物线拱属于均匀
受压拱!其承载力较圆弧拱更高"但从计算方面来看!推导均匀受压抛物线拱屈曲荷载
的微分方程十分复杂!只能给出数值解!而均匀受压圆弧拱可得到相应的解析解"因
此!下面重点给出采用平衡法求解均匀受压圆弧拱平面内屈曲荷载的一般过程!接着对
现有经典屈曲理论进行讨论和总结"
%"!"!
!
平面微元拱段的平衡微分方程
取微元拱段4O9
)
4
'
'
)
为曲率半径(!在径向荷载8M
&切向荷载8O
以及轴力=
&
剪力K
和弯矩'
的共同作用下处于平衡状态!如图*"!
所示"根据径向力&切向力及
图*"!
!
微元拱段的平衡条件
弯矩的平衡条件分别得到如下微元段平衡方程
4K
4O
5
=
)
5
8M
0
'
!
!
4=
4O
2
K
)
5
8O
0
'
!
!
4'
4O
2
K
0
'
'
*7!
(
!!
此方程组称为平面曲杆的1;?3DD<BB
平衡方程"
%"!"$
!
几何方程
记$
为切向位移!
>
为径向位移!
*
为截面转角!微元
4O
在变形前后的几何关系如图*")
所示"轴向应变+
包含
由切向位移引起的应变和径向位移引起的应变两部分
+0
4$
4O
2
>
)
'
'
*7)
(
式中!
)
'
为变形前微元拱段在面内的曲率半径"
微元拱段截面转角*
包含由切向位移引起的转角和径向位移引起的转角!即
*
0
$
)
'
5
4>
4O
'
*7%
(
图*")
!
微元拱段的几何变形
%"!"#
!
截面内力与变形的关系
对于曲线构件!当曲率较小且截面高度与曲率半径相比也较小时!可以认为弯矩与
曲率改变量有如下关系
'
02
.;
)
!
)
)
2
!
)
' (
'
02
.;
)
4
*
4O
'
*7*
(
式中!
.;
)
为截面在拱轴线平面内的抗弯刚度*
)
)
为变形后微元拱段的曲率半径"
%"!"%
!
圆弧拱的平面内屈曲方程
对于承受轴线均布荷载8
&半径)
'
9(
的圆弧拱 '图*"%
(!圆心角为,
!跨度和矢
+
',
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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高分别为&
和%
!截面的位置坐标为'
"屈曲前钢拱近似处于均匀受压状态$
0
%
!弯矩&
剪力均为零!轴力=9^
8
(
"当均布荷载8
小于屈曲临界值时!拱将保持此圆弧形稳
定的平衡形式!当达到临界压力时将发生平面内分岔失稳"通过对1;?3DD<BB
平衡方
程 '
*#!
(进行扰动!可得到屈曲方程!具体过程如下"
图*"%
!
均匀受压圆弧拱的几何参数
发生失稳时!平衡路径发生改变!各分量为
)
)
0
(
5-
(
!
!
=
02
8
(
5-
=
!
!
8M
0
8
3<V
'
!
!
"
(!
!
8O
0
8
3<V
'
!
!
#
( '
*7,
(
式中!
)
)
为拱段屈曲后的曲率半径*
=
为屈曲后的轴力*
8M
&
8O
分别为荷载向量!
在变
形后微元段的法线方向"
和切线方向#
的分量*
-
(
&
-
=
为微量"
8M
&
8O
的具体表达式与均布荷载8
作用方式有关!通常有三种典型情况!如图*"*
所示"静水压力指屈曲前后荷载方向始终沿着微元段的法线方向!即与微元段垂直"保
向力在屈曲前后作用方向保持不变!而向心力在屈曲前后始终指向一固定点"
图*"*
!
三种分布荷载的作用方式
将式 '
*#,
(代入平衡方程 '
*#!
(!化简略去高阶微量!得到
4K
4O
5
-
=
(
5
8M
-
(
(
0
'
4
'
-
=
(
4O
2
K
(
5
8O
0
'
4'
4O
2
K
0
)
*
+
'
'
*7+
(
!!
反映截面内力与变形关系的式 '
*#*
(可写作
'
0
.;
)
-
(
(
)
02
.;
)
4
*
4O
'
*7&
(
+
!,
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
%"!"&
!
静水压力作用下的屈曲荷载
当轴线均布荷载8
为静水压力时!由于其始终与轴线垂直!因此法向分量8M
9
8
!
切向分量8O
9'
"连同O9(
'
及式 '
*#&
(带入平衡方程 '
*#!
(中!可以得到
4
%
'
4
'
%
5
<
)
4'
4
'
0
'
!
!
<
)
0
!
5
8
(
%
.;
)
'
*70
(
!!
上述屈曲方程的一般解为
'
0
C
!
5
C
)
V;=<
' (
'
5
C
%
3<V<
' (
'
'
*77
(
!!
假设屈曲时刻拱轴线无伸长和缩短!则由轴向应变的表达式 '
*#)
(可得
+0
4$
4
'
2
>
0
'
'
*7!'
(
!!
由上式及式 '
*#%
(
!
式 '
*#*
(!可得弯矩与径向位移的关系式!以及屈曲后的剪
力&轴力表达式为
'
02
.;
(
)
>
5
4
)
>
4
'
' (
)
K
0
C
)
3<V<
'
2
C
%
V;=<
' (
'
<
(
=
0
<
)
(
C
)
V;=<
'
5
C
%
3<V<
' (
'
2
8
(
)
.;
'
2
8
)
*
+
(
'
*7!!
(
!!
屈曲时其径向位移>
和切向位移$
分别为
>
0
(
)
.;
2
C
!
5
C
)
V;=<
' (
'
5
C
%
3<V<
' (
'
<
)
2
' (
!
5
C
*
V;=
'
5
C
,
3<V
'
$
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(
)
.;
2
C
!
'
5
2
C
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3<V<
' (
'
5
C
%
V;=<
' (
'
<
'
<
)
2
!
' (
(
2
C
*
3<V
'
5
C
,
V;=
'
5
C
)
*
+
+
'
*7!)
(
!"
两端铰支拱!平面内反对称失稳
当发生反对称失稳时 $图*",
'
$
(%!其径向位移>
为圆心角坐标'
的奇函数!即
>
'
^
'
(
9 >
'
'
(!切向位移$
为'
的偶函数!即$
'
^
'
(
9$
'
'
(!因此C
!
9C
)
9C
%
9'
!则有
>
0
C
)
)
8
' (
( V;=<
' (
'
5
C
*
V;=
'
$
02
C
)
)
<
8
' (
( 3<V<
' (
'
2
C
*
3<V
'
5
C
+
'
0
C
)
V;=<
' (
)
*
+
'
'
*7!%
(
!!
同时边界条件的表达式为
>
'
2,
)
)
(
0
>
'
,
)
)
(
0
'
$
'
2,
)
)
(
0
$
'
,
)
)
(
0
'
'
'
2,
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(
0
'
'
,
)
)
(
0
)
*
+
'
'
*7!*
(
!!
这样可以得到C
*
9'
和C
)
V;=
'
<
,
)
)
(
9'
"由于C
)
不能为零!否则没有弯曲变
形!对于反对称失稳!有如下条件
V;=
'
<
,
)
)
(
0
'
'
*7!,
(
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),
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!当M9!
即<
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9!J
8
(
%
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)
9
.
)
'
,
)
)
(
)
时!得到最低阶屈曲荷载为
8,/9
!
I
0
.;
)
(
%
.
)
,
)
' (
)
)
2
' (
!
'
*7!+
(
图*",
!
拱的平面内失稳
)"
两端铰支拱!平面内对称失稳
当发生对称失稳时 $图*",
'
-
(%!其径向位移>
为圆心角坐标'
的偶函数!即
>
'
2
'
(
0
>
'
'
(!切向位移$
为角'
的奇函数!即$
'
2
'
(
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$
'
'
(!因此有C
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0
C
*
0
C
+
0
'
*边界条件同式 '
*#!*
(!可得
>
'
,
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0
(
)
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2
C
!
5
C
%
3<V
'
<
,
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<
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2
' (
!
5
C
,
3<V
,
)
' (
)
0
'
$
'
,
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0
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2
C
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,
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C
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'
<
,
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<
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5
C
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V;=
,
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)
0
'
'
'
,
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(
0
C
!
5
C
%
3<V
'
<
,
)
)
(
0
)
*
+
'
'
*7!&
(
将第一式代入后两式并令行列式等于零!得到求解屈曲荷载的超越方程为
<
%
>$=
,
)
' (
)
2,
)
$ %
)
0
>$=
'
<
,
)
)
(
2
<
,
)
)
'
*7!0
(
!!
<
值随圆心角,
的变化如图*"+
所示"对此超越方程进行数值回归拟合!可得屈曲
荷载的拟合公式为
8,/9
!
O
0
.;
)
(
%
.
)
,
)
' (
%
)
2
' (
!
'
*7!7
(
图*"+
!
静水压力作用下两端铰支圆弧拱的屈曲系数<
+
%,
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
!!
由图可见!简化式 '
*#!7
(与解析解 '
*#!0
(吻合很好"由于式 '
*#!+
(计算的反
对称屈曲荷载8,/9
!
I
!小于由式 '
*#!7
(确定的对称屈曲荷载8,/9
!
O
!静水压力作用下的均
匀受压两端铰支圆弧拱首先发生反对称失稳"
%"
固支拱!平面内反对称失稳
对于静水压力作用下的两端固支圆弧拱!反对称失稳时式 '
*#!%
(仍成立"结合转
角表达式 '
*#%
(及屈曲时拱轴线无伸缩的表达式 '
*#!'
(!拱脚边界条件可表示为
>
'
2,
)
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)
C
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C
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令上式左端矩阵行列式等于零!可得求解屈曲荷载的方程为
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>$=<
,
)
' (
)
'
*7))
(
!!
对上式进行数值拟合!可得屈曲荷载的表达式为
8,/9
%
!
I
0
.;
)
(
%
.
,
)
' (
)"0&
)
2
$ %
'")*
'
*7)%
(
*"
两端固支拱!平面内对称失稳
采用相同的推导步骤!可得求解固支圆弧拱对称失稳时屈曲荷载的方程为
<
,
)
' (
)3<><
,
)
' (
)
2
!
0
<
)
,
)
' (
)3<>
,
)
' (
)
2
$ %
!
'
*7)*
(
!!
相应的屈曲荷载拟合公式为
8,/9
%
!
O
0
.;
)
(
%
.
,
)
' (
%"+&
)
2
$ %
'",&
'
*7),
(
,"
三铰拱
均匀受压铰支拱和固支拱在平面内首先以反对称的形式发生失稳"而均匀受压三铰
拱发生平面内失稳时!随着矢跨比的不同!存在两种可能的最低阶屈曲模态即对称失稳
和反对称失稳!通常后者在矢跨比较大的情况下首先发生"发生反对称失稳时!拱顶是
反弯点!其屈曲荷载与均匀受压铰支拱的反对称屈曲荷载 $式 '
*#!+
(%相同"对称失
稳时!拱顶处转角不连续!因此选取半跨拱段为研究对象!其边界条件为
>
'
,
)
)
(
0
'
$
'
,
)
)
(
0
$
'
'
(
0
'
'
'
,
)
)
(
0
'
'
'
(
0
)
*
+
'
'
*7)+
(
!!
除拱轴线不可压缩条件即式 '
*#!'
(外!还需补充另一个条件!即拱顶截面的合力
在竖直方向投影为零
=V;=
*
5
K3<V
' (
*
'
0
'
0
=
*
5
' (
K
'
0
'
0
'
'
*7)&
(
+
*,
+
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!!
经过类似推导过程可得求解屈曲荷载的超越方程为
,
%
>$=<
,
)
' (
*
2
<
,
)
$ %
*
0
* <
,
)
' (
*
%
>$=
,
)
' (
)
2 ,
)
' ($ %
)
'
*7)0
(
!!
对上式进行拟合可得屈曲荷载的拟合公式为
8,/9
%
!
O
0
.;
)
(
%
.
,
)
' (
!"&%
)
'
*7)7
(
!!
如图*"&
所示!与反对称屈曲荷载的计算公式 '
*#!+
(进行比较可以发现!在正常
矢跨比范围内 '
'"!
%
%
)
&
%
'",
(!均匀受压三铰圆弧拱发生平面内对称失稳的屈曲荷
载小于反对称失稳的屈曲荷载!即首先发生对称失稳.当矢跨比%
)
&9'",
时!二者的
屈曲荷载相等 '
<9)
(*当矢跨比%
)
&
,
'",
时三铰拱将首先发生反对称屈曲"对于全
跨水平均布竖向荷载作用下的均匀受压抛物线拱!其平面内失稳模态同样与矢跨比相
关.研究表明$
%
!
+
!
7
!
!'
%
!当矢跨比%
)
&
'
'"%
时首先发生对称失稳*而矢跨比%
)
&
&
'"%
后!首先发生反对称失稳"
图*"&
!
静水压力作用下三铰圆弧拱的屈曲系数<
%"!"'
!
均布保向力作用下铰支拱的屈曲荷载
当圆弧拱承受的均布荷载在屈曲前后其方向始终保持不变 '称为 ,保向力-(!发生
失稳时微元拱段的转动会引起式 '
*#,
(中切向力8V
发生改变!即
8O
0
8
3<V
'
!
!
#
(
0
8
*
!
!
8M
0
8
'
*7%'
(
!!
采用与静水压力作用下相同的求解步骤!可得
4
*
'
4
'
*
5
!
5
<
' (
/
4
)
'
4
'
)
5
<
/
'
0
'
'
*7%!
(
其中屈曲荷载系数<
/
9
8
(
%
.;
)
"
上式的一般解为
'
0
C
!
V;=
'
5
C
)
3<V
'
5
C
%
V;=
'
<槡/
'
(
5
C
*
3<V
'
<槡/
'
( '
*7%)
(
!!
径向位移>
与切向位移$
分别为
+
,,
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
>
02
C
!
)
'
3<V
'
5
C
)
)
'
V;=
'
5
C
%
!
2
<
/
V;=
'
<槡/
'
(
5
C
*
!
2
<
/
3<V
'
<槡/
'
(
5
C
,
V;=
'
5
C
+
3<V
'
$
02
C
!
)
'
V;=
'
2
C
)
)
'
3<V
'
2
C
!
)
5
C
' (
,
3<V
'
5
C
)
)
5
C
' (
+
V;=
'
!!2
C
%
<槡/
'
!
2
<
/
(
3<V
'
<槡/
'
(
5
C
*
<槡/
'
!
2
<
/
(
V;=
'
<槡/
'
)
*
+
(
'
*7%%
(
!"
平面内反对称失稳
当发生反对称失稳时!径向位移>
为圆心角坐标'
的奇函数即>
'
^
'
(
9 >
'
'
(!
切向位移$
为'
的偶函数即$
'
^
'
(
9$
'
'
(!因此C
)
9C
*
9C
+
9'
!则
'
0
C
!
V;=
'
5
C
%
V;=
'
<槡/
'
(
>
02
C
!
)
'
3<V
'
5
C
%
!
2
<
/
V;=
'
<槡/
'
(
5
C
,
V;=
'
$
02
C
!
)
'
V;=
'
2
C
!
)
5
C
' (
,
3<V
'
2
C
%
<槡/
'
!
2
<
/
(
3<V
'
<槡/
'
)
*
+
(
'
*7%*
(
!!
对于两端铰支拱!代入边界条件!令系数行列式等于零!可得屈曲荷载方程为
<槡/
<
/
2
' (
!
,
)
)
5
V;=
,
)
' (
)3<V
,
)
' ($ %
) V;=
<槡/
,
)
' (
)
0
)
<槡/
V;=
<槡/
,
)
' (
)
3<V
,
)
' (
)
2
3<V
<槡/
,
)
' (
)
V;=
,
)
' ($ %
)
V;=
,
)
' (
)
'
*7%,
(
!!
不同圆心角,
)
.
下的屈曲系数<
/
值如表*"!
所示"
表%"!
!
均布保向力作用下铰支圆弧拱的屈曲系数$
%
,
)
.
'"! '") '"% '"* '", '"+ '"& '"0 '"7 !"'
<
/
*'' !'' **"* )*"7 !,"7 !'"7' &"7 ,"0% *"%& %")&
)"
平面内对称失稳
当发生对称失稳时!同理可得对称屈曲荷载方程为
<槡/
<
/
2
' (
!
,2
V;=
,
3<V
' (
,
3<V
'
<槡/
,
(
0
)
V;=
'
<槡/
,
(
3<V
,2
<槡/
3<V
'
<槡/
,
(
V;=
$ %
,
3<V
,
'
*7%+
(
!!
对此超越方程进行数值拟合!得屈曲荷载的简化计算公式为
8,/9
!
O
0
.;
)
(
%
.
,
)
' (
%
)
'
*7%&
(
!!
与反对称失稳的屈曲荷载式 '
*#%,
(对比可知!保向力作用下铰支拱的最低阶屈曲
模态仍为反对称失稳形式"
%"!"(
!
均布向心力作用下铰支拱的屈曲荷载
对于均匀受压圆弧拱!除上述静水压力&均布保向力外!还有一种在拱屈曲前后作
用方向始终指向圆心的均布荷载形式"当圆弧拱发生屈曲后!截面和荷载方向的转动导
+
+,
+
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致外荷载分量为
8O
0
8
3<V
'
!
!
#
(
0
8
4>
(4
'
!
!
8M
0
8
'
*7%0
(
!!
将上式连同屈曲时刻拱轴线无伸缩条件式 '
*#!'
(带入1;?3DD<<B
平衡方程 '
*#!
(!
以径向位移>
为变量!可得屈曲方程
4
,
>
4
'
,
5
)
5
<
' (
/
4
%
>
4
'
%
5
!
5
)<
' (
/
4>
4
'
0
'
'
*7%7
(
!!
经过求解可得均匀受压铰支拱发生反对称失稳时的屈曲荷载为
8,/9
!
O
0
.;
)
(
%
Q
!
2
,
)
' (
.
$ %
) )
,
)
' (
.
)
!
2
)
,
)
' (
.
$ %
)
'
*7*'
(
%"!")
!
平面内屈曲荷载的比较和讨论
!"
!
铰支拱屈曲荷载的理论解
!!
经典理论的解析解均建立在忽略屈曲前变形对屈曲荷载的影响以及拱轴线不可压缩
的假设之上"对于铰支圆弧拱承受静水压力作用的情况!
C;(<VD6=]<
$
%
%
&
[U$V<W
$
!!
%
&
T<<
$
!)
!
!*
%给出的屈曲荷载结果与式 '
*#!+
(相同"而N;(;>V6V
$
!,
%
&
@$
X
$=
Y
6U;V
和C?$D$;?
$
!+
%
得到了下式所示的不同结果
8,/9
!
I
0
.;
)
(
%
.
,
)
' (
)
)
'
*7*!
(
!!
事实上!上式解答是存在问题的"
这是因为铰支圆弧拱发生反对称屈曲时其径向位移为
>
0
CV;=<
'
'
*7*)
(
!!
根据边界条件>
'
^
,
)
)
(
9>
'
,
)
)
(可得
<
,
)
)
0
M
.
'
*7*%
(
!!
于是各内力表达式分别为
'
'
'
(
0
8
(CV;=<
'
K
'
'
(
0
8
C<3<V<
'
=
'
'
(
02
8
(
5
8
CV;=<
)
*
+
'
'
*7**
(
!!
上式必须满足1;?3DD<<B
平衡方程!由式 '
*#!
(中第一式可得
8
C
!
2
<
)
5
8
(
%
.;
' (
)
V;=<
'
0
'
'
*7*,
(
!!
上式只有当<
)
9!J
8
(
%
.;
)
时成立!也就是式 '
*#!+
(成立"而将式 '
*#*!
(代入上
式!则会发现平衡方程不再满足"
由于均匀受压圆弧拱屈曲时通常为平面内反对称变形!拱顶为反弯点!常类比轴压
柱将其屈曲荷载写作如下形式!即
=
,/9
0
8,/9
(
0
F
=
.
)
.;
)
*
)
' (
)
)
'
*7*+
(
+
&,
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
式中!
F
=
为屈曲系数*
*
为拱轴线弧长"对于静水压力作用下铰支圆弧拱的反对称屈
曲荷载计算公式 '
*#!+
(和式 '
*#*!
(!屈曲系数F
=
的表达式分别为
F
=!
0
!
2
,
)
' (
.
)
'
*7*&
(
F
=)
0
!
'
*7*0
(
!!
对于均布保向力作用下的反对称屈曲!屈曲系数表达式为
F
=%
0
<
/
,
)
' (
.
)
'
*7*7
(
!!
对于均布向心力作用下的反对称屈曲!屈曲系数表达式为
F
=*
0
!
2
,
)
' (
.
$ %
) )
!
2
)
,
)
' (
.
)
'
*7,'
(
)"
屈曲荷载的有限元求解方法
均匀受压圆弧拱的线弹性屈曲问题!可采用平衡法或能量法进行理论推导!求得屈
曲荷载的解析解"而对于变曲率拱&变截面拱等大多数情况!无论通过平衡法还是能量
法得到的平衡微分方程都是复杂的变系数微分方程!必须进行数值求解"而数值方法大
体可分为两类.一类是直接对微分方程求解!包括有限差分法&有限积分法和加权残值
法等*另一类基于能量原理!如:;>j
法和有限单元法"有限元方法是最常用的分析手
段!可进行钢拱的特征值屈曲分析!获得弹性屈曲荷载和屈曲模态"
以通用有限元程序5GNTN
的特征值屈曲分析模块为例进行说明"进行钢拱平面内
线弹性屈曲分析!可选用壳单元或梁单元"壳单元 '如NRMQQ+%
等(能全面考虑整体
屈曲&局部屈曲和相关屈曲等各种失稳形式*梁单元 '如AM5Z!00
等(则采用 ,截面
刚周边-假定!计算时不考虑板件的局部变形和局部失稳!分析仅限于构件的整体失
稳"由于壳单元分析中板件可发生局部变形!因此由于加载区域和拱脚边界约束等产生
的应力集中的影响!其整体屈曲荷载往往低于梁单元的计算结果$
!&
!
!7
%
"
进行均匀受压拱的平面内特征值屈曲分析时!根据拱脚面内约束条件不同有两种模
型"如图*"0
所示!以两端铰支圆弧拱为例!当拱脚沿圆弧径向可以滑动时!在径向均
布荷载8
作用下钢拱处于均匀受压状态!截面上的实际轴力=
等于名义轴力8
(
*而当
拱脚完全铰支时!钢拱并不处于理想的均匀受压状态!拱中仍存在弯矩作用!因此其轴
力=
将小于名义轴力8
(
!并且随着长细比和圆心角 '矢跨比(减小二者的差异增大!
拱轴内弯矩影响愈加明显$
0
%
"因此有限元特征值屈曲分析中采用图*"0
'
$
(的拱脚滑
动模型!能在理想均匀受压状态下获得几何刚度矩阵!从而与线性屈曲理论推导的假设
条件保持一致$
)'
!
)!
%
"
此外!有限元分析中有两种加载方式!如图*"7
所示.一为在节点加载!荷载在屈
曲过程中将保持方向不变!即属于前述保向力的类型*二为在单元上加载!荷载随着单
元的变形而变化!但始终垂直于单元表面!因此属于静水压力作用"图*"!'
给出了不同
类型均布径向荷载作用下拱的反对称屈曲系数的理论解式 '
*#*&
(
!
式 '
*#,'
(与5GNTN
+
0,
+
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图*"0
!
有限元特征值分析的两种拱脚边界条件
图*"7
!
有限元中荷载的施加方式 图*"!'
!
平面内反对称失稳的屈曲系数F
=
有限元特征值屈曲分析结果的比较"由图可见!在三种不同类型荷载中!向心力作用下
均匀受压拱的屈曲荷载最高!并随着矢跨比的增大而增加*静水压力作用下的式 '
*#*&
(
给出的屈曲荷载最低!与保向力一样均随矢跨比的增大而减小!而式 '
*#*0
(给出的屈
曲荷载系数等于!
而与矢跨比无关"
%"!"*
!
平面内屈曲的计算长度系数法
拱脚支承条件的改变将影响均匀受压拱的平面内稳定承载能力!随着拱铰数量的减
少!相同几何参数下均匀受压拱的平面内承载力提高"对于均匀受压拱的平面内稳定设
计!其核心是如何确定拱的稳定系数曲线!即稳定系数与长细比&矢跨比的关系!这其
中便涉及如何确定计算长度系数的问题"对于轴心受压柱!其计算长度系数的意义是将
不同端部约束条件的柱子统一等效为理想的两端铰接柱"均匀受压拱发生平面内失稳
时!除某些矢跨比参数下的三铰拱外!多为反对称的屈曲模态"反对称变形时拱顶存在
反弯点!其半跨拱段的失稳机理与轴心受压柱的弯曲失稳类似!因此通常的做法如德国
的EFG!00''
+
中是通过引入计算长度系数-
O
!将钢拱等效为长度为-
O
*
的两端铰接轴
压柱!依据长细比由规范中的柱子曲线得到稳定系数对拱进行设计"为此钢拱平面内屈
曲荷载可写为如下形式!即
=
,/9
0
.
)
.;
)
-
O
*
)
' (
)
)
'
*7,!
(
+
7,
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
式中!
=
,/9
为平面内线弹性屈曲时拱的临界轴力!对于均匀受压圆弧拱沿轴线大小相
同!而对于抛物线拱则由拱顶至拱脚逐渐增大!可统一以拱脚或!
)
*
跨截面的轴力为基
准*
-
O
为计算长度系数!可由经典弹性屈曲理论分析得到*
*
为拱轴线全长!平面内换
算长细比"
,
0
-
O
*
)'
)+
)
("
如前所述关于拱的弹性屈曲经典解!
C;(<VD6=]<
$
%
%
&
H<D=V><=
$
,
%和I$U$(-<V
$
+
%在
专著中均做了全面总结!其中前者的数据来源于E;==;]
$
))
%
!而H<D=V><=
和I$U$(-<V
则引用了5SV>;=
和:<VV
$
*
%的研究结果"图*"!!
给出了针对两端铰支圆弧拱和抛物线
拱!不同学者或规范提供的计算长度系数取值与有限元数值结果的对比"从图中可以看
到!各理论给出的计算长度系数十分接近!均为矢跨比的函数"
E;==;]
的结果与其他
结果存在略微差别!其原因是前者在推导过程中假定均布荷载随着拱轴线的弯曲变形而
发生转动!而其余结果的假定均为屈曲前后均布荷载的方向保持不变"此外从图*"!!
'
-
(中各曲线的走势来看!
E;==;]
给出的计算长度系数随矢跨比的变化不很均匀!其
正确性值得怀疑"
EFG!00''
+
#
!77'
采用了5SV>;=
和:<VV
的理论结果"
图*"!!
!
两端铰支均匀受压拱经典屈曲理论的计算长度系数
本节基于有限元数值结果!对圆弧拱和抛物线拱平面内失稳时的计算长度系数进行
拟合得到以下表达式.
三铰圆弧拱.
!!!!!!!!!!
-
O
0
!"!,
铰支圆弧拱.
!!!!!!!!!!
-
O
0
!"'
5
'"*+
%
)
' (
&
!",
固支圆弧拱.
!!!!!!!!!!
-
O
0
'"&'
三铰抛物线拱.
!!!!!!!!!
-
O
0
!")'
2
'"7)
%
)
' (
&
!
%
)
&
'
'"%
!!!!!!!!!!!!!!!!
-
O
0
'"7)
!
%
)
&
&
'"%
铰支抛物线拱.
!!!!!!!!!
-
O
0
!"'
2
'",!
%
)
' (
&
5
'"+%
%
)
' (
&
)
固支抛物线拱.
!!!!!!!!!
-
O
0
'"&%
2
'"+*
%
)
' (
&
5
'",0
%
)
' (
&
)
文献 $
7
%&$
!'
%通过引入计算长度系数-
!将弧长为*
的均匀受压铰支拱&固支拱
统一等效为弧长为-
*
的三铰拱!即将三铰拱类比为轴心受压两端铰接柱!计算长度系
数定为!"'
!其他边界条件下的钢拱均换算为三铰拱进行设计"具体内容将在第,
章进
行详细介绍"
+
'+
+
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*")
!
平面外屈曲理论
与平面内弯曲失稳不同!对于面外没有支撑或是支撑不足的钢拱!当面内荷载增加
到一定值时!拱将发生面外挠曲并伴随扭转的空间弯扭失稳"拱中不仅存在面内弯矩&
轴力和剪力作用!还有面外弯矩&剪力&扭矩以及翘曲内力等"钢拱平面外弯扭屈曲研
究与曲梁理论的发展紧密相关"其中沿轴线均布径向荷载作用下的均匀受压圆弧拱&拱
脚端弯矩作用下的均匀受弯圆弧拱!与轴心受压柱及均匀受弯梁一样!是线弹性屈曲理
论研究的基础"
C;(<VD6=]<
$
%
%类比梁柱直构件!对内力#
位移关系进行曲率项的修正!采用平衡法
对均匀受压及均匀受弯矩形截面圆弧拱的平面外屈曲荷载进行了解答!并讨论了荷载作
用方向对稳定的影响"
[U$V<W
$
!!
%提出了开口薄壁构件 ,截面刚周边-与 ,中面剪应变
为零-的两个基本假定!将拱的曲率项代入直梁平衡方程中!建立了钢拱稳定分析的基
本方程!将研究拓展到考虑翘曲位移的任意截面形式"
bV$(;
$
)%
%假定开口薄壁构件的
,中面非线性剪应变为零-!根据旋转薄壳的有限变形理论建立了开口薄壁曲梁的非线性
应变#
位移关系!并采用虚功原理对铰支拱进行了弯扭屈曲分析!推导的翘曲位移表达
式多被后来学者所引用"
T<<
$
!)
!
!*
%将曲梁的内力#
位移关系代入直梁的总势能方程中!
考虑截面不对称性的影响得到了曲梁稳定分析的基本方程"然而T<<
的解答与C;(<#
VD6=]<
&
[U$V<W
等存在很大差异!从而引起了广泛的讨论"
:$
e
$V6]$?$=
与:$((
$
)*
%采
用有限元程序GFN5
中壳单元的计算结果与[U$V<W
的解答更为接近"
@$
Y
$=
Y
6U;V
与
C?$D$;?
$
!+
!
),
%从钢拱微元拱段空间变位的坐标系旋转关系出发!推导轴向应变和自由扭
转剪应变的非线性表达式!代入总势能方程求得屈曲荷载!并通过弹性弯扭屈曲试验进
行了验证"其均匀受压拱的屈曲荷载解答与[U$V<W
相差较大!而均匀受弯拱的结果与
[U$V<W
接近"
T$=
Y
与1S<
$
)+
!
)0
%假定 ,中面线性剪应变为零-!在柱面坐标系下给出了
曲梁的非线性应变#
位移表达式!通过虚位移原理得到屈曲方程!并考虑了径向应力的
影响*其均匀受弯拱的屈曲荷载结果与[U$V<W
&
C;(<VD6=]<
接近!但均匀受压拱的结
果与[U$V<W
差别较大"
@;
与@$
Y
$=
Y
6U;V
$
)7
!
%'
%引入正交旋转矩阵!借用[U$V<W
翘曲位移
得到曲梁的非线性应变#
位移表达式!其关于均匀受压与受弯拱的屈曲荷载结果与T$=
Y
接近"国内童根树&许强$
%!
!
%%
%假定 ,截面中面线性剪应变为零-!推导了任意开口薄壁
截面曲梁的精确翘曲位移表达式!依据有限变形理论建立了工形截面曲梁的非线性理
论"杨永华$
%*
%采用bV$(;
的翘曲位移公式!根据虚功原理求解了铰支和固支的均匀受
压&均匀受弯拱的屈曲荷载!其结果与童根树&
T$=
Y
吻合"
1$=
Y
与T<<
$
%,
!
%+
%指出!钢拱的各屈曲理论存在较大分歧的主要原因在于.
"
推导
方法不同"就基本方法而言!有的从直梁的平衡方程或能量方程出发!有的从曲梁的虚
功原理出发"就应变#
位移关系看!有的从曲梁的空间变位出发!有的从有限变形理论
出发"
#
对于 ,薄壁中面剪应变为零-假定的理解不同"有的认为是线性剪应变为零!
有的认为是线性和非线性的总剪应变为零"
$
应变推导过程中某些项的近似程度不同"
高阶项截断与取舍的人为因素影响较大"
+
!+
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
可以看到!线弹性屈曲的求解方法主要分为解析法和数值法!其中解析法又包含平
衡法和能量法"平衡法是求解结构弹性屈曲荷载的最基本的方法!早期学者多采用此方
法对钢拱的平面外弹性屈曲荷载进行研究"平衡法通过对结构微元拱段建立平衡微分方
程!获得屈曲方程并求解屈曲荷载"其物理意义明确!在许多情况下!可以获得精确
解"但是对于构成复杂&荷载或边界条件复杂的更为一般的情况!利用静力平衡条件来
建立稳定问题的平衡微分方程难度大!容易遗漏项次!求解时也会遇到困难"相比之
下!能量法则是一种应用较为普遍的近似方法!它可以克服平衡法的局限性!用总势能
驻值原理求解屈曲荷载!而用总势能最小判断屈曲后平衡的稳定性"但是采用能量法进
行求解时!对高阶量取舍的不同会导致结果差异较大!同时如何取舍也存在很大的主观
性!这也是造成目前各国学者在钢拱平面外弹性屈曲荷载解答上存在着分歧的主要原
因"因此对于本章所关注的线弹性屈曲荷载而言!经典的平衡法仍不失为一种有效的求
解方法"本章通过理论推导结合有限元数值方法!系统研究各种拱脚条件下均匀受压&
受弯圆弧拱的平面外屈曲荷载!以及均布荷载&集中荷载等一般荷载条件下圆弧拱的面
外屈曲性能"有限元计算中!采用5GNTN
的AM5Z!00
梁单元建模!并进行特征值屈
曲分析获得拱的面外屈曲荷载及屈曲模态"
%"$"!
!
曲线构件微元段的一般平衡方程
!"
空间微元拱段的平衡微分方程
!!
本节采用平衡法!根据曲线微元段平衡条件推导其空间平衡方程"在此基础上结合
几何变形条件&截面内力与变形的关系即可得到圆弧拱的平面外弯扭屈曲方程"
如图*"!)
的长度4O
的微元拱段!以截面形心N
为原点建立坐标系N7)7
4
7R
!
R
轴为
形心轴的切线方向!
)
轴&
4
轴分别与截面的两个惯性主轴重合"微元拱段在外分布荷
载8)
&
8
4
和8R
!截面剪力K
)
和K
4
!轴力=
!弯矩'
)
和'
4
!扭矩'
R
的共同作用下处
于平衡状态"
图*"!)
!
空间微元拱段的受力简图
在坐标系N7)7
4
7R
中建立空间微元拱段的平衡方程!基于以下前提条件.
"
平衡方
程建立在变形后的位形上!坐标系N7)7
4
7R
为右手坐标系"
#
平衡方程以图*"!)
微元拱
段左端截面的坐标系为基准"
$
分布荷载在截面上的作用位置即离形心坐标原点的距离
+
)+
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
科
学出版社
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www.abook.cn
分别为)
8
&
4
8
!对于不对称截面!
)
O
&
4O
为截面)
轴&
4
轴的剪心距"
%
轴力=
&弯矩
'
)
和'
4
针对形心 '轴(而言!而切向力K
)
和K
4
&扭矩'
R
则针对剪心 '轴(而言"
&
忽略高阶微量"
根据微元拱段的空间平衡条件!有如下关系!即
-
:
)
0
4K
)
4O
2
K
4
#
R
5
=
)
4
5
8)
4O
8
4O
0
'
'
*7,)
(
-
:
4
0
4K
4
4O
5
K
)
#
R
2
=
)
)
5
8
4
4O
8
4O
0
'
'
*7,%
(
-
:
R
0
4=
4O
2
K
)
)
4
5
K
4
)
)
5
8R
4O
8
4O
0
'
'
*7,*
(
!
-
'
)
0
4'
)
4O
2
K
4
2
'
4
#
R
5
'
R
)
4
5
K
4
)
)
2
K
)
)
' (
4
4O
2
=)
O
#
R
5
8R4
8
4O
8
4O
0
'
'
*7,,
(
-
'
4
0
4'
4
4O
5
K
)
5
'
)
#
R
2
'
R
)
)
5
K
)
)
4
2
K
4
)
' (
)
)
O
2
=
4O
#
R
2
8R
)
8
4O
8
4O
0
'
'
*7,+
(
-
'
R
0
4'
R
4O
2
'
)
)
4
5
'
4
)
)
5
=)
O
)
)
5
=
4O
)
4
5
6
R
8
4O
8
4O
0
'
'
*7,&
(
式中!
6
R
8
为绕截面剪心&沿R
轴的分布扭矩*
?O
8
为分布力8
及分布扭矩6
R
8
作用线对
应的弧段长度!由于荷载位置的影响!其与4O
有所差别*
)
)
&
)
4
分别为微元段变形后在
N#
4
7R
平面&
N#R7)
面内的曲率半径!且)
)
4
/
9
)
4
4
.
94O
*
#
R
为沿着R
轴单位杆长的截
面扭转角!且#
R
4O94
/
"上述平衡方程考虑了截面翘曲&不对称性&荷载作用位置等
因素的影响!对于任意曲率形状&截面形式均普遍成立"特别地!当曲率半径)
)
!
)
4
.
k
!上式退化为梁柱直构件的平衡方程"
)"
微元拱段的变形关系
假设在变形前的空间微元拱段上!以截面形心N
'
为原点建立坐标系N
'
#)
'
#
4'
#R
'
"
如果N
'
点以单位速度沿拱段轴线方向运动 '在时间段4#
中行进的弧段长度4O9!
+
4#
94#
(!则坐标三面体N
'
#)
'
#
4'
#R
'
将以角速度$
'
绕N
'
点旋转!角速度$
'
在)
'
&
4'
&
R
'
各轴上的分量分别为$
)'
&
$
4
'
&
$
R'
"假设形心N
'
在变形后的微元拱段中的位置为N
!以其
为原点建立坐标系N7)7
4
7R
"如果N
点以单位速度沿拱段轴线方向运动!则坐标三面体
N7)7
4
7R
将以角速度$
绕N
点旋转!角速度$
在)
&
4
&
R
各轴上的分量分别为$
)
&
$
4
&
$
R
"
由于
$0
4
'
4#
0
4
'
4O
0
!
)
'
*7,0
(
$
)
&
$
4
分别代表微元拱段在4
7R
平面&
R7)
平面的曲率!
$
R
为沿R
轴单位拱段长度的扭
转角!即
$
+
0
!
)
+
!
+
0
)
!
4
!
)
'
!
4
' (
'
!
!$
R'
0#
R'
!
!$
R
0#
R
'
*7,7
(
!!
当空间微元拱段发生变形时!形心N
'
移动至点N
!坐标三面体N
'
7)
'
7
4'
7R
'
分别绕
N
'
7)
'
&
N
'
7
4'
&
N
'
7R
'
轴转动微小角度%
&
*
&
0
后!与坐标三面体N7)7
4
7R
重合"则%
&
*
&
0
分
+
%+
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
别为点N
'
处截面的转动角 '以坐标轴正方向为正("由于转角均为微量!因此可线性
叠加"
考虑到坐标三面体N7)7
4
7R
以角速度$
的旋转!可分解为相对于坐标三面体N
'
#)
'
#
4'
#R
'
的转动与N
'
#)
'
#
4'
#R
'
自身角速度为$
'
的转动之和!即!0!
9
5!
'
"将此矢量式向
变形后的坐标系N7)7
4
7R
的各轴线方向分别投影!可得微元拱段空间变形时其截面转角
与拱段曲率之间的关系为
$
)
0
4
%
4O
5$
)'
5$
4
'
02$
R'
*
!
!$
4
0
4
*
4O
5$
4
'
5$
R'
%2$
)'
0
$
R
0
4
0
4O
5$
R'
5$
)'
*
2$
4
'
)
*
+
%
'
*7+'
(
!!
设空间微元拱段发生变形时!形心N
'
移至点N
的位移在坐标系N
'
7)
'
7
4'
7R
'
各轴的
投影分别为I
&
>
&
$
"点N
的速度&
由对点N
'
的相对速度&
9
和与点N
'
重合的点Nl
'
的牵
连速度&
NS
'
复合而成!即
&
0
&
9
5
&
N
'
0
&
9
5!
'
Q
'
5
&
NS
'
'
*7+!
(
将各项分别沿)
'
&
4'
&
R
'
轴方向投影可得
!
+
*
0
4I
4O
5$
4
'
$
2$
R'
>
5
'
!
!2
!
+
%0
4>
4O
2$
)'
$
5$
R'
I
5
'
!
0
4$
4O
5$
)'
>
2$
4
'
I
5
)
*
+
!
'
*7+)
(
即
*
0
4I
4O
5$
4
'
$
2$
R'
>
!
!2%0
4>
4O
2$
)'
$
5$
R'
I
!
!
'
0
4$
4O
5$
)'
>
2$
4
'
I
'
*7+%
(
上式给出了微元拱段变形时其截面转角与位移及曲率的关系"
对于4
轴沿着惯性主轴指向圆心&
)
轴垂直于拱轴平面的圆弧拱!
4O9(4
'
"在变
形前
$
)'
0
!
)
)'
02
!
(
!
!$
4
'
0
!
)
4
'
0$
R'
0
!
)
R'
0
'
'
*7+*
(
因此可得截面转角与杆件曲率的关系&截面转角与位移的关系分别为
$
)
0
!
(
4
%
4
'
2
' (
!
!
!$
4
0
!
(
4
*
4
'
5
' (
0
!
!$
R
0
!
(
4
0
4
'
2
' (
*
'
*7+,
(
与
*
0
4I
(4
'
!
!2%0
!
(
4>
4
'
5
' (
$
!
!
4$
4
'
2
>
0
'
'
*7++
(
!!
而对于梁柱直构件!
$
)
94
%
)
4O
!
$
4
0
4
*
)
4O
!
$
R
0
4
0
)
4O
"对比可见!由于曲率半径
的影响!拱段截面的面外转角与轴线扭转角耦合"当曲率半径)
)
!
)
4
.k
!上式退化为
直构件的变形关系"
%"
截面内力与变形的关系
C;(<VD6=]<
$
%
%指出!当拱段承受均匀受弯作用时!截面确实保持平面!初等解答
+
*+
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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'直梁理论(与精确解之间的差异是由于初等解答中略去了径向应力分量!假设纵向纤
维只受简单的拉伸或压缩"鉴于通常情况下钢拱的曲率半径远大于截面尺寸!因此拱段
截面的弯矩与曲率关系仍可简化为
'
)
0
.;
)
!
)
)
2
!
)
)
' (
'
'
4
0
.;
4
!
)
4
2
!
)
4
' (
)
*
+
'
'
*7+&
(
式中!
)
)'
&
)
4
'
分别为拱段变形前在4
7R
平面内和R7)
平面内的曲率半径"
截面扭矩为
'
R
0
H;
#
'
#
R
2#
R'
(
2
.;
$
'
#
R
2#
R'
(
mm
5
F
'
#
R
2#
R'
( '
*7+0
(
式中!
F
为a$
Y
=6?
效应系数!与梁柱直构件的表达式相同!不再赘述"
%"$"$
!
均匀受压铰支圆弧拱的弹性屈曲荷载
对于圆弧拱建立坐标系N7)7
4
7R
'图*"!%
(!
N
点为截面形心!
4
轴沿着截面惯性主
图*"!%
!
均匀受压圆弧拱
轴指向圆心!
)
轴垂直于拱轴平面即指向面外方向!
R
轴沿着拱轴切线方向"当承受拱轴线径向均布荷载8
作
用时!屈曲前轴力=9
8
(
2
9^
8
'
(^
4
8
(!而弯矩&剪
力均为零!其中4
8
为荷载作用点在N7
4
轴的坐标且4O
8
9
'
!
4
8
)
(
(
4O
"当到达临界荷载时拱发生平面外分岔失
稳!由圆弧形的稳定平衡状态跳跃至平面外弯扭失稳状
态"通过对空间微元拱段的平衡方程进行扰动!可得到
屈曲方程"
平面外失稳时!平衡路径发生改变!各内力项变为
=
02
8
(
2
5-
=
!
K
)
!
K
4
!
'
)
!
'
4
!
'
R
'
*7+7
(
!!
各曲率项为
$
)
02
!
(
5-$
)
!
$
4
!
$
R
'
*7&'
(
其中!
-
=
&
-
K
)
&
-
K
4
&
-
'
)
&
-
'
4
&
-
'
R
&
-$
)
&
-$
4
&
-$
R
均为微量"
对于平面外屈曲!如图*"!*
所示!分布力8
有以下几种类型.
"
保向力!屈曲前
后力的方向保持不变的分布荷载"
#
向心力!在屈曲前后其方向始终指向固定一点"
$
静水压力!屈曲前后始终与弧段的轴线保持垂直&沿着法线方向"不同类型的分布
力!其屈曲时分量8)
&
8
4
与8R
不尽相同!导致屈曲荷载存在差异"
当圆弧拱承受沿径向均布保向力作用且荷载作用点坐标为)
8
&
4
8
时!变形后微元
拱段的平衡方程中
8)
0
8
0
!
!
8
4
0
8
!
!
8R
0
8
%
!
!
6
R
8
02
8
0
4
8
5
8
)
8
'
*7&!
(
!!
当承受向心力时!各荷载分量为
8)
0
8
05
I
' (
(
!
!
8
4
0
8
!
!
8R
0
8
%2
$
' (
(
!
!
6
R
8
02
8
05
I
' (
(
4
8
5
8
)
8
'
*7&)
(
+
,+
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
图*"!*
!
不同分布荷载形式下)7
4
平面外变形
!!
当承受静水压力时!各荷载分量为
8)
0
'
!
!
8
4
0
8
!
!
8R
0
'
!
!
6
R
8
0
8
)
8
'
*7&%
(
!"
保向力作用下
将外荷载表达式 '
*#&!
(!连同内力和曲率的扰动量式 '
*#+7
(和式 '
*#&'
(一并代
入空间微元拱段的平衡方程 '
*#,)
(
!
'
*#,&
(中!化简并略掉高阶微量!可得屈曲方程
如下
4K
)
4
'
2
8
(
2
(
$
4
5
8
0
(
2
0
'
!
!
4K
4
4
'
5
-
=
5
8
(
2
(
-$)
5
8
(
2
2
' (
(
0
'
!
!
4
-
=
4
'
2
K
4
5
8
%
(
2
0
'
4'
)
4
'
2
K
4
(
0
'
!
!
4'
4
4
'
5
'
R
5
K
)
(
0
'
!
!
4'
R
4
'
2
'
4
5 2
8
0
4
8
5
8
)
' (
8
(
2
0
)
*
+
'
'
*7&*
(
式中!
I
2
0
I
)
(
"可以看到!式 '
*#&*
(中方程)
!
*
代表平面内弯曲变形的情况!而方
程!
&
,
&
+
对应于拱发生平面外弯扭变形的情况"
对于实际设计使用广泛的双轴对称截面钢拱!根据截面内力与变形的关系式 '
*#+&
(
和式 '
*#+0
(!结合截面转角与曲率&截面转角与位移的关系式 '
*#+,
(和式 '
*#++
(可
得弯矩与扭矩表达式为
'
)
0
.;
)
(
Q
4
%
4
'
!
!
'
4
0
.;
4
(
4
)
I
2
4
'
)
5
' (
0
'
R
0
H;
#
(
2
8
9
' (
)
'
4
0
4
'
2
4I
2
4
' (
'
2
.;
$
(
%
4
%
0
4
'
%
2
4
%
I
2
4
'
' (
)
*
+
%
'
*7&,
(
式中!
I
为弯扭屈曲时截面形心的平面外侧移*
0
为截面转角*
9
'
为截面极回转半径"
可见!不同于梁柱直构件中弯矩&扭矩仅为单一位移分量的函数!拱中半径(
的存在
使得平面外弯矩'
4
&扭矩'
R
的表达式中均涉及侧移项I
2和转角项0
!这也决定了钢拱
面外稳定性能与梁柱的弯扭失稳存在很大的不同"
由平面外弯扭屈曲方程式 '
*#&*
(中方程!
&
,
&
+
!可以得到
4
)
'
4
4
'
)
5
4'
R
4
'
5
8
((
2
4
*
4
'
0
'
!
!
4'
R
4
'
2
'
4
2
8
(
2
4
8
00
'
'
*7&+
(
!!
将截面内力与位移的关系式 '
*#&,
(&截面转角与位移的关系式 '
*#++
(代入上式!
得到
+
++
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
科
学出版社
职教技术出版中心
www.abook.cn
.;
4
(
4
*
I
2
4
'
*
5
4
)
0
4
'
' (
)
5
H;
#
(
2
8
(
2
(
9
' (
)
'
4
)
0
4
'
)
2
4
)
I
2
4
'
' (
)
2
.;
$
(
%
4
*
0
4
'
*
2
4
*
I
2
4
'
' (
*
5
8
(
2
(
4
)
I
2
4
'
)
0
'
H;
#
(
2
8
(
2
(
9
' (
)
'
4
)
0
4
'
)
2
4
)
I
2
4
'
' (
)
2
.;
$
(
%
4
*
0
4
'
*
2
4
*
I
2
4
'
' (
*
2
.;
4
(
4
)
I
2
4
'
)
5
' (
0
2
8
(
2
4
8
00
)
*
+
'
'
*7&&
(
!!
对于两端铰支拱!拱脚截面线位移以及绕拱轴切线方向的扭转被约束!而面内面外
弯曲变形及翘曲变形自由!因此边界条件表示为.在圆心角坐标'
9^
,
)
)
及,
)
)
处!
位移I
2
0
'
!扭转角02
I
2
0
'
!面外弯矩'
4
0
.;
4
(
4
)
I
2
4
'
)
5
' (
0
0
'
!翘曲正应力1
$
0
.;
$
4
)
0
4
'
)
2
4
)
I
2
4
'
' (
)
$
;
$
0
'
即
I
2
0
'
!
!00
'
!
!
4
)
I
2
4
'
)
0
'
!
!
4
)
0
4
'
)
0
'
'
*7&0
(
!!
引入屈曲模态I
2
)
I
'
00
)
0
'
0
V;=M
.
)
' (
,
'
#
'
'
%
'
#
J
,
)
)
%,
(!满足边界条件!代
入式 '
*#&&
(可得
<
!!
<
!)
<
)!
<
$ %
))
I
'
0
)
*
+
/
0
1
'
0
12
'
'
'
*7&7
(
!!
其系数行列式中各元素为
<
!!
0
E
4
M
)
,
)
M
5
E
RM
)
"
)
M
2
=
,/9M
)
"
)
M
2
=
,/9M
)
,
)
M
<
!)
02
<
)!
02
E
4
M
2
E
RM
)
"
)
M
5
=
,/9M
)
"
)
M
<
))
02
E
4
M
,
)
M
2
E
RM
)
"
)
M
5
=
,/9M
)
"
)
M
2
=
,/9M4
2
8
其中=
,/9M
9
8,/9M
(
2
!
,
M
9
,
)'
M
.
(!
"
M
9*
)'
M
.
+
'
(!
4
2
8
9
4
8
)
(
"
E
4
M
9M
)
.
)
.;
4
)
*
)
!
E
RM
9
'
H;
#
J
M
)
.
)
.;
$
)
*
)
()
9
'
)
!分别为长度等于拱轴线长度*
&相同截面的轴压铰接柱的第M
阶弯曲
屈曲荷载和扭转屈曲荷载"
令式 '
*#&7
(的系数行列式等于零!可得求解屈曲荷载的二次方程
1
+
=
,/9M
)
5
D
+
=
,/9M
5
C
0
'
'
*70'
(
式中!
1
0
!
2
4
2
8
,
M
)
5
"
M
' (
)
!
D
02
'
!
2
,
M
)
(
)
5
"
M
)
'
,
M
)
2
4
2
8
$ %
(
E
4
M
2
'
!
2
4
2
8
,
M
)
(
E
RM
!
C
0
'
!
2
,
M
)
(
)
E
4
M
E
RM
当荷载作用于截面形心时 '
4
2
8
0
'
(!其最低阶屈曲荷载为
=
,/9
0
E
4
)
!
2
,
' (
) )
5
,
)
"
)
5
E
R
E
4
2
!
2
,
' (
) *
5
E
R
E
4
5
,
)
"
' (
)
)
5
) !
2
,
' (
) )
,
)
"
)
2
E
R
E
' (槡$ %
4
'
*70!
(
!!
此外!在扭矩表达式 '
*#&,
(中略去轴力的a$
Y
=6?
效应!可得屈曲荷载的近似
解为
=
,/9
0
E
4
!
2
,
' (
) )
!
5
-
,
)
'
*70)
(
式中!
-
9
.;
4
H;
#
J
.
)
.;
$
)
*
)
"系数!
5
-
,
)反映了扭转刚度对屈曲荷载的影响!'
! ,
)
(
)
+
&+
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
反映了拱轴线曲率的影响"对比发现!近似解在常用长细比及矢跨比范围内与精确解的
误差不超过!'/
"
)"
向心力作用下
径向均布向心力作用下的均匀受压拱发生面外屈曲时!外荷载分量由式 '
*#&)
(给
出"在这种情况下!类似地可得到面外屈曲方程
4K
)
4
'
2
8
(
2
(
$
4
5
8
(
2
05
I
' (
2
0
'
!
!
4'
4
4
'
5
K
)
(
5
'
R
0
'
4'
R
4
'
2
'
4
2
8
(
2
05
I
' (
2
4
8
0
)
*
+
'
'
*70%
(
!!
结合截面转角与曲率的关系式 '
*#+,
(&截面转角与位移的关系式 '
*#++
(以及内
力表达式 '
*#&,
(!可得
.;
4
(
4
*
I
2
4
'
*
5
4
)
0
4
'
' (
)
5
H;
#
(
2
8
9
' (
)
'
4
)
0
4
'
)
2
4
)
I
2
4
'
' (
)
2
.;
$
(
%
4
*
0
4
'
*
2
4
*
I
2
4
'
' (
*
5
8
(
2
(
4
)
I
2
4
'
)
2
I
' (
2
0
'
H;
#
(
2
8
9
' (
)
'
4
)
0
4
'
)
2
4
)
I
2
4
'
' (
)
2
.;
$
(
%
4
*
0
4
'
*
2
4
*
I
2
4
'
' (
*
2
.;
4
(
4
)
I
2
4
'
)
5
' (
0
2
8
(
2
05
I
' (
2
4
8
0
)
*
+
'
'
*70*
(
!!
当荷载作用于截面形心时 '
4
2
8
0
'
(!采用与保向力作用下相同的求解过程可得两
端铰支拱的屈曲荷载为
=
,/9M
0
E
4
M
)
!
2
,
M
' (
)
5
,
M
)
"
M
)
5
E
RM
E
4
$
M
2
!
2
,
M
' (
) )
5
E
RM
E
4
M
5
,
M
)
"
M
' (
)
)
5
)!
2
,
M
' (
)
,
M
)
"
M
)
2
E
RM
E
4
' (槡 %
M
'
*70,
(
%"
静水压力作用下
类似地!采用式 '
*#&%
(给出的静水压力作用下各荷载分量!连同变形&内力关系
代入平衡方程可得静水压力作用下的屈曲方程
4K
)
4
'
2
8
(
2
(
$
4
0
'
!
!
4'
4
4
'
5
K
)
(
5
'
R
0
'
!
!
4'
R
4
'
2
'
4
0
'
'
*70+
(
!!
对于两端铰支拱同样可得其屈曲荷载为
=
/9M
0
8/9M
(
0
!
2
,
M
' (
)
E
4
M
'
*70&
(
*"
结果对比与讨论
取工形截面的均匀受压圆弧两端铰支拱!截面尺寸F#!8"8#
$
8#
%
9),'((8
!)'((8,((80((
!轴线长度*9*(
!对比三种径向均布荷载即保向力&向心力和
静水压力作用下的最低阶弯扭屈曲荷载!假设荷载均作用于截面形心!计算结果如
图*"!,
所示"其中纵坐标为钢拱屈曲轴力=
,/9
与长度等于拱轴长度*
&相同截面轴压铰
接柱的弯曲屈曲荷载E
4
的比值"结果表明!均匀受压铰支拱的屈曲荷载随圆心角的增
大而迅速减小"究其原因!对于铰支拱其整体面外刚度主要依靠拱脚截面绕拱轴线切线
+
0+
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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方向的扭转约束来提供"随着圆心角的增加!由于扭转约束方向与整体轴线方向夹角的
增大!使得拱脚约束所能提供的抗侧刚度减小!因而面外稳定性降低"当圆心角等于.
时!拱脚扭转约束不能提供抗侧刚度!钢拱发生刚体位移从而屈曲荷载等于零"此外还
可以看到!弯扭屈曲荷载在保向力作用下最低!向心力作用下稍高!静水压力作用下最
大"这是因为在静水压力作用下!均布荷载沿水平方向存在指向屈曲前位形的分量!大
大提高了钢拱的面外稳定性"以下各节重点对保向力作用的情况进行讨论"
图*"!,
!
均匀受压两端铰支圆弧拱屈曲荷载
从屈曲荷载的表达式可见!由于轴线曲率参数,9
,
)
.
的影响!对于均匀受压钢
拱!即使双轴对称截面&均布荷载作用于截面形心时仍发生面外弯扭失稳!而双轴对称
截面轴压柱则仅仅发生弯曲屈曲"内力表达式 '
*#&,
(表明!钢拱中的弯矩&扭矩同时
与面外侧移I
2及转角0
相关!从而导致了其屈曲行为与梁柱直构件存在较大差异"对于
偏心距等于4
8
的偏心受压柱!其面外屈曲方程为
'
!
2
4
8
)
)
9
'
)
(
=
)
/9
2
'
E
4
5
E
R
(
=
/9
5
E
4
E
R
0
'
'
*700
(
!!
而对于均布荷载作用位置偏离形心4
8
的圆弧拱!当半径(
.k
!式 '
*#0'
(退化为
两端铰接轴心受压柱的屈曲荷载
=
,/9
)
2
'
E
4
5
E
R
(
=
,/9
5
E
4
E
R
0
'
'
*707
(
!!
由此可见均布荷载的作用位置4
8
并不改变钢拱的轴心受压特性!这是由于两端铰
支偏心受压柱的轴力直接源于外部集中力!而径向均布荷载作用下钢拱的轴力则源于作
用在拱脚截面形心的支座反力!因此均布荷载作用位置远离形心并不会产生附加的弯矩
作用"
下面采用5GNTN
软件进行有限元特征值屈曲分析!与上述保向力作用下的屈曲荷
载理论结果进行比较"需要特别注意的是!与图*"0
所示的平面内稳定分析相同!拱脚
处沿法线方向设定为可滑动支座!以期在理想均匀受压状态下获得几何刚度矩阵!从而
与线性理论推导的假设条件保持一致"取圆管截面L8#90''((8),((
以及工形截
面F#!8"8#
$
8#
%
9),'((8!)'((8,((80((
!变化圆心角,
!有限元数值结果与
上述理论解的比较如图*"!+
所示!其中平面外长细比定义为"
4
9*
)
+
4
'
*
为拱轴线全
+
7+
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
长!
+
4
为截面在平面外弯曲的回转半径("可以看到!均匀受压铰支圆弧拱的平面外弯
扭屈曲荷载=
,/9
始终小于长度等于拱轴线长度*
&相同截面的两端铰支轴压柱的弯曲屈
曲荷载E
4
"上述屈曲荷载理论解式 '
*#0!
(与有限元数值解吻合良好!最大误差小于
!/
*在常用矢跨比范围%
)
&9'"!
!
'",
内!近似解式 '
*#0)
(同样具有较高的精度!
与有限元结果的最大误差对于圆管截面小于!/
!对于矢跨比较小的工形截面拱!最大
误差在0/
左右!随着矢跨比的增加误差迅速减小"
图*"!+
!
均匀受压铰支圆弧拱面外弯扭屈曲荷载
%"$"#
!
均匀受弯铰支圆弧拱的弹性屈曲荷载
如图*"!&
所示!对于承受平面内均匀弯矩的圆弧拱!由于曲率的影响!存在正弯
矩作用和负弯矩作用两种情况"其中正弯矩定义为使截面靠近圆心的一侧纤维受拉!负
弯矩定义为使截面靠近圆心的一侧纤维受压"
图*"!&
!
均匀受弯圆弧拱示意
为了保证钢拱处于均匀受弯的受力状态!拱脚采用曲梁的简支支座形式.两拱脚截
面绕拱轴线切线方向的扭转位移约束!面内外转动及翘曲变形自由!有一端拱脚在水平
方向可自由滑动"
钢拱承受大小相等&方向相反的拱脚端弯矩'
时!屈曲前拱轴内力只有面内弯矩
'
"发生平面外失稳时!平衡路径发生改变导致的曲率项变为
$
)
02
!
(
5-$
)
!
$
4
!
$
R
!!
内力项为
=
!
K
)
!
K
4
!
'
)
0
'
5-
'
)
!
'
4
!
'
R
+
'&
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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!!
代入微元段平衡方程并略去高阶微量!可得描述面外失稳的屈曲方程为
4K
)
4
'
0
'
!
!
4'
4
4
'
5
K
)
(
5
'(
#
R
5
'
R
0
'
!
!
4'
R
4
'
2
'(
+
$
4
2
'
4
0
'
!!
采用与均匀受压铰支拱相同的步骤可得
'
,/9M
'
4
' (
RM
)
5
,
M
/
M
5
,
M
/
' (
M
'
,/9M
'
4
' (
RM
2
!
2
,
M
' (
)
0
'
'
*77'
(
式中!
'
4
RM
0
9
'
)
E
4
M
E槡 RM
*
,
M
0,
)
M
' (
.
*
/
M
0
M
.
'
4
RM
)
E
4
M
' (
*
"
上式存在正负两个解!其中正解代表承受正弯矩的情况!负解代表承受负弯矩的情
况"图*"!0
给出了均匀受弯铰支圆弧拱分别在均匀正&负弯矩作用下的最低阶弯扭屈
曲弯矩!其中拱的面外长细比"
4
9!''
!工形截面尺寸F#!8"8#
$
8#
%
90''((8
+''((8!)((8!,((
!
'
4
R
长度为*
&相同截面的均匀受弯简支梁的屈曲弯矩"可以
看到!在正弯矩和负弯矩分别作用下!均匀受弯拱的面外稳定性差别很大"正弯矩作用
下的最低阶屈曲临界弯矩始终小于长度为*
&相同截面的均匀受弯简支直梁的临界弯
矩!且二者比值随着长细比&圆心角的增大而减小!当圆心角等于.
时因发生刚体位移
而屈曲荷载等于零"而承受负弯矩作用时!二者比值基本随着圆心角的增加而线性增
大"上述现象的原因在于!在正弯矩作用下随着圆心角的增加!拱脚所能提供的有效抗
侧刚度减小*而负弯矩作用下!钢拱相当于具有初始下凹变形的纯弯梁!曲率的存在使
得其面外稳定性增大!并且随着圆心角的增大这种提高作用更明显"
图*"!0
!
均匀受弯两端铰支拱的弯扭屈曲荷载
图*"!7
给出了均匀受弯铰支拱发生失稳时的平面外变形示意"可以看到由于曲率
的影响!承受正弯矩与负弯矩时其面外屈曲模态存在很大差异.正弯矩作用时其上翼缘
受压&下翼缘受拉!截面扭转并且上下翼缘向面外同方向侧移!形态与均匀受压拱接近
$图*"!7
'
$
(&'
3
(%*负弯矩作用下其上翼缘受拉&下翼缘受压!截面侧移并扭转!但
侧移量相比正弯矩作用的情况要小!且截面扭转方向与正弯矩作用时的扭转方向相反!
因此即使圆心角等于.
时!钢拱也不会产生完全的刚体位移!仍具有抵抗外荷载的
能力"
+
!&
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
图*"!7
!
两端铰支拱弯扭屈曲变形示意
%"$"%
!
两端固支拱的弹性屈曲
如前所述!现有关于拱形钢结构平面外弹性屈曲的研究大多集中于均匀受压或均匀
受弯的两端铰支圆弧拱!而固支拱的研究较少!其中C;(<VD6=]<
和I6?6
对固支拱的
面外屈曲进行了简单讨论$
%
%
*
@;
和A?$4B<?4
$
%'
%在总势能方程的基础上!采用:$
_
U6;
Y
D#
:;>j
法通过引入一项余弦函数作为面外弯扭屈曲模态!获得了均匀受压及均匀受弯固支
圆弧拱的屈曲荷载解答"
对于两端铰支圆弧拱的平面外屈曲荷载!现有各理论之间总体上比较一致!并得到
了有限元数值结果的验证$
)'
!
)!
!
)%
!
)7
%
"然而对于固支拱!有试验证实$
%&
%
!由于拱的曲线
轴线特征!其平面外最低阶屈曲模态相比梁柱直构件复杂得多!存在多次正负号变化!
与之前理论研究中假设的一项余弦函数差别较大"因此!关于固支拱的平面外屈曲荷载
需要进一步研究"
本节针对均匀受压及均匀受弯两端固支圆弧拱的平面外弹性屈曲荷载进行求解"首
先!采用有限元数值方法研究其平面外失稳时的屈曲模态和变化规律!然后分别通过能
量法和直接求解屈曲方程的方法得到其屈曲荷载的解答!并根据有限元数值计算结果给
出了箱形截面固支圆弧拱屈曲荷载的拟合公式"研究中涉及的径向均布荷载为保向力"
!"
平面外弯扭屈曲模态
如前所述!对于均匀受压或均匀受弯的圆弧两端铰支拱!其平面外最低阶弯扭屈曲
模态可假设为一个正弦半波!即
I
I
'
0
0
0
'
0
V;=
.
,
'
!!!
'
'
0
'
2
,
( '
*77!
(
!!
分析表明$
)'
%
!两端铰支圆弧拱的屈曲模态确为正弦半波!这与铰接梁柱直构件相
同!采用正弦半波屈曲模态获得的屈曲荷载也与有限元计算结果吻合"因此与梁柱直构
件的分析类似!一个直观的想法就是对于两端固支圆弧拱!同样采用固端轴压柱或固端
均匀受弯梁的一项余弦函数的屈曲模态!即
I
I
'
0
0
0
'
0
!
)
!
2
3<V
)
.
'
' (
,
!!!
'
'
0
'
2
,
( '
*77)
(
+
)&
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
科
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!!
事实上!若将式 '
*#7)
(代入式 '
*#&&
(所示的平面外弯扭屈曲方程中!将会发现
方程并不成立"因此两端固支拱的平面外屈曲模态不能简单地采用一项余弦函数来描
述"这里以均匀受压工形截面和箱形截面固支圆弧拱为例!通过有限元特征值屈曲分析
研究其平面外弯扭屈曲模态"拱的矢跨比%
)
&
分别取'"!,
和'"%,
!平面外几何长细比
"
4
分别为0'
和!+'
!截面尺寸为!8"8#
$
8#
%
9&)'((8+''((8!,((8)'((
!径
向均布荷载作用于截面形心"由图*")'
可以发现!对于工形截面拱其弯扭屈曲模态与
式 '
*#7)
(的一项余弦函数差别很大!尤其是扭转角在靠近拱脚附近与拱顶附近的方向
相反!并且其屈曲模态的形状除受截面参数如自由扭转参数HT
)
.;
4
及翘曲参数.;
$
)
'
HT*
)
(的影响之外!还随着矢跨比和长细比而变化"对于箱形截面固支拱!弯扭屈曲
模态与一项余弦函数差别稍小!并且基本不随平面外长细比而变化"因此可以预见!如
果引入一项余弦函数作为面外屈曲模态!那么得到的固支拱的屈曲荷载将与真实解存在
误差!并且此误差会随着矢跨比或长细比的增加而增大"
图*")'
!
均匀受压固支圆弧拱的平面外弯扭屈曲模态
如图*")!
所示!对于承受均匀正弯矩作用的两端固支圆弧拱!其面外弯扭屈曲模
态与均匀受压拱类似"然而当承受负弯矩作用时!其面外屈曲模态与一项余弦函数十分
接近"
图*")!
!
均匀受弯固支圆弧拱的平面外弯扭屈曲模态
+
%&
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
)"
能量法!均匀受压固支拱
@;
与A?$4B<?4
$
%'
%给出了保向力作用下的双轴对称截面均匀受压圆弧拱平面外弯扭
失稳的总势能方程!其中假定荷载作用于截面形心"这里考虑荷载在截面上作用位置的
影响!对总势能方程进行修正得到
30
2
,
)
)
'
.;
4
4
)
I
2
(4
'
)
5
0
' (
(
)
5
H;
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4
0
(4
'
2
4I
2
(4
' (
'
1
)
5
.;
$
4
)
0
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)
4
'
)
2
4
)
I
2
(
)
4
'
' (
)
)
2
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2
4
' (
'
)
5
9
)
'
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'
2
4I
2
(4
' (
'
$ %
)
5
=
4
8
(
0
2
)
(4
'
'
*77%
(
式中!
=9
8
'
(^
4
8
(为拱中轴力*
9
'
为截面极回转半径*
4
8
为均布荷载在截面平面内
主轴上的作用点坐标"
采用:$
_
U6;
Y
D#:;>j
法对上述能量方程进行求解时!首先需要假定面外弯扭屈曲位
移函数!可用余弦函数数列来近似
I
0
-
1
+
!
2
3<V
"
+
' (
'
00
-
D
+
!
2
3<V
"
+
' (
)
*
+
'
!
!"
+
0
)+
.
,
!
!
'
0
'
2
,
!
!
+
0
!
!
)
!3!
M
'
*77*
(
!!
如前所述!与固端梁柱直构件不同!对于固支拱仅采用一项余弦函数 '即上式中M9!
(
无法得到足够精度的屈曲荷载解答"于是这里选取以下两种屈曲位移模式进行讨论.
'
,
(
I
0
1
!
!
2
3<V
)
.
,
' (
'
00
D
!
!
2
3<V
)
.
,
' (
'
5
D
)
!
2
3<V
*
.
,
' (
)
*
+
'
'
*77,
(
'
+
(
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0
1
!
!
2
3<V
)
.
,
' (
'
5
1
)
!
2
3<V
*
.
,
' (
'
00
D
!
!
2
3<V
)
.
,
' (
'
5
D
)
!
2
3<V
*
.
,
' (
)
*
+
'
'
*77+
(
首先!将位移函数式 '
*#7+
(代入总势能方程 '
*#7%
(中!根据势能驻值原理
03
0
1
M
0
'
!
!
03
0
D
M
0
'
'
*77&
(
得到*
阶线性方程组为
<
+
$ %
U
*
Q
*
1
!
!
D
!
!
1
)
!
D
1 2
)
C
0
'
'
*770
(
引入下列无量纲化参数<
!
&
<
)
&
<
%
和屈曲系数6
,
<
!
0
H;
#
.;
4
!
!
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)
0
.;
$
.;
4
(
)
!
!
<
%
0
9
'
)
(
)
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,/9
%
0
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(
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4
' (
8
0
6
,
.;
4
(
)
4
2
8
0
4
8
(
!
!"
+
0
)+
.
)
)
*
+
,
'
*777
(
式中!
=
/9
%
为平面外最低阶屈曲荷载"
<
)
&
<
%
和4
2
8
一般情况下均远小于!"'
"
+
*&
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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*
阶矩阵<
+
$ %
U
*
Q
*
的表达式为
<
!!
0
"
!
)
"
!
)
'
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5
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)
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<
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2
'
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5
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<
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,4
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"
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)
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$ %
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)
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)
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)
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<
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2
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,
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)
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"
)
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'
<
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5
<
)
"
)
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"
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"
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)
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"
)
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2
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!
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!
!
<
!*
0
<
*!
0
'
!
!
<
)%
0
<
%)
0
'
发生平面外失稳的条件为上述矩阵行列式等于零!即
<
+
U
0
'
'
*7!''
(
!!
这样可得到求解屈曲荷载的*
阶方程!其最小正解即对应固支拱的平面外最低阶屈
曲荷载=
/9
%
"采用同样的步骤!可以得到与式 '
*#7,
(的位移函数相对应的屈曲荷载!
在此不赘述"
选取上述工形截面均匀受压固支圆弧拱 '
F#!8"8#
$
8#
%
9&)'((8+''((8
!,((8)'((
(!面外长细比"
4
9!)'
!变化矢跨比'
!
'",
"图*"))
给出了上述屈曲
荷载理论解与有限元数值解的比较!其中E
4%
为固端轴压柱弯曲失稳时的屈曲轴力"可
以看到!根据式 '
*#7)
(的一项余弦函数或式 '
*#7,
(的不完全二项余弦函数作为面外
屈曲位移函数!所得到的屈曲荷载高于有限元数值解!并且随着矢跨比的增大其差异愈
加明显"当采用式 '
*#7+
(的两项余弦函数时!屈曲荷载与有限元解较为接近"
图*"))
!
工形截面均匀受压固支圆弧拱的屈曲荷载比较
%"
能量法!均匀弯矩固支拱
双轴对称截面均匀受弯圆弧拱平面外弯扭失稳时的总势能方程为$
%'
%
30
2
,
)
)
'
.;
4
4
)
I
2
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' (
)
)
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'
(
)
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)
5
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2
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' (
'
$ %
2
)
(4
'
'
*7!'!
(
!!
选用式 '
*#7+
(的两项余弦函数!采用与均匀受压拱相同的求解步骤!可以得到求
解屈曲弯矩的*
阶方程为
<
"
!
+
U
0
'
'
*7!')
(
+
,&
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
<
"
!
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!
)
"
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)
'
!
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'
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<
"
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)%
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<
"
!
%)
0
'
!!
其中参数6
"
对应于拱的屈曲弯矩'
,/9
%
!定义为
6
"
0
'
,/9
%
(
.;
4
'
*7!'%
(
!!
方程式 '
*#!')
(有*
个根!其中最小的正解对应承受正弯矩的情况!最大的负解
对应承受负弯矩的情况"图*")%
给出了分别采用式 '
*#7)
(的一项余弦函数或式 '
*#7,
(
的不完全二项余弦函数!以及式 '
*#7+
(的两项余弦函数得到的屈曲弯矩解答与有限元
数值解的比较"参数与上述均匀受压拱相同!
'
4
R
%
为均匀受弯固端梁的弯扭屈曲弯矩"
结果表明!与均匀受压固支拱类似!承受正弯矩的均匀受弯拱也需至少引入两项余弦函
数才能获得较为精确的解答"但对于承受负弯矩的情况!即使采用一项余弦作为假设位
移函数!其屈曲弯矩解答也与有限元数值解吻合"此外从图*")%
还可以看到!均匀受
压固支拱的屈曲轴力始终低于轴压固端柱的弯曲屈曲轴力!而大部分情况下均匀受弯固
支拱的屈曲弯矩均高于受弯固端梁的弯扭屈曲弯矩!同时由于拱曲线拱轴的影响!正弯
矩作用下与负弯矩作用下存在很大差异"
图*")%
!
工形截面均匀受弯固支拱的屈曲荷载比较
*"
屈曲方程直接求解
基于总势能方程!采用:$
_
U6;
Y
D#:;>j
法通过假设位移函数可以求得固支拱的平面
外屈曲荷载"但由于随着矢跨比和平面外长细比的增大!固支拱的弯扭屈曲模态与
式 '
*#7)
(所示的余弦数列差异更明显!因此即使采用式 '
*#7+
(的)
项余弦函数所得
到的屈曲荷载仍与有限元数值解有较大差别"为了获得更为精确的解答!往往需要在
式 '
*#7*
(中选用更多的项数!这使得整个求解过程变得异常复杂"
上文针对均匀受压及均匀受弯圆弧拱!给出了平面外弯扭失稳的屈曲方程!方程对
+
+&
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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于各种拱脚边界条件均成立"本节以保向力作用下的均匀受压拱为例!通过结合拱脚边
界条件对屈曲方程进行直接求解!得到固支拱的屈曲荷载"
通过引入式 '
*#77
(中的各参数!式 '
*#&&
(所示的屈曲方程可表示为
!
5
<
' (
)
4
*
I
2
4
'
*
5
<
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6
,
5
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4
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2
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0
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,
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,
00
'
'
*7!',
(
!!
对以上两式分别取二阶导数并相减!得到
4
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I
2
4
'
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!
5
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,
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*7!'+
(
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式 '
*#!'+
(乘以<
)
并与式 '
*#!'*
(相加!可得
<
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2
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*7!'&
(
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联立式 '
*#!'+
(和式 '
*#!'&
(消去转角0
!得到关于面外位移I
的高阶微分方程
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)
0
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*7!'0
(
!!
上式对应的特征方程为
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6
' (
,
!
5
<
' (
%
6
,
2
<
$ %2
!
0
'
'
*7!'7
(
!!
一般地!其通解可写作
I
0
,
'
5
"
'
'
5
-
%
M
0
!
'
,
M
3<VD
$
M
'
5
"
M
V;=D
$
M
'
( '
*7!!'
(
式中!
,
'
!
,
%
及"
'
!
"
%
为任意系数*
$
!
)
&
$
)
)及$
%
)为特征方程的%
个非零解"当拱发生
平面外失稳时!第一阶屈曲模态在 '
^
,
)
)
!
,
)
)
(范围内为对称变形!因此"
'
!
"
%
9'
!
则式 '
*#!!'
(简化为
I
0
,
'
5
,
!
3<VD
$
!
'
5
,
)
3<VD
$
)
'
5
,
%
3<VD
$
%
'
'
*7!!!
(
从式 '
*#!'*
(减去式 '
*#!',
(可得
4
*
I
2
4
'
*
5
!
5
6
' (
,
4
)
I
2
4
'
)
5
4
)
0
4
'
)
5
!
5
4
2
8
6
' (
,
00
'
'
*7!!)
(
将式 '
*#!'&
(与式 '
*#!!!
(代入式 '
*#!!)
(!可得到转角0
的表达式为
004
!
,
!
3<VD
$
!
'
54
)
,
)
3<VD
$
)
'
54
%
,
%
3<VD
$
%
'
'
*7!!%
(
式中!
4
+
'
+9!
!
)
!
%
(为与<
!
&
<
)
&
<
%
&
6
,
&
4
2
8
和$
+
相关的参数!其表达式复杂!在
此不再列出"
+
&&
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
在固支拱的两个拱脚即'
9^
1
)
)
和'
9
,
)
)
处!截面形心的面外变形满足以下边
界条件
面外侧移.
I
0
'
! 面外转角.
*
0
4I
2
)
4
'
0
'
截面扭转角.
00
'
! 截面扭转率.
#
R
0
4
0
)
4
'
2
4I
2
)
4
'
0
)
*
+
'
'
*7!!*
(
将面外位移表达式 '
*#!!!
(和式 '
*#!!%
(代入边界条件方程 '
*#!!*
(中!得到如下线
性方程组
$ %
F
*
Q
*
,
'
!
,
!
!
,
)
!
,
1 2
%
C
0
'
'
*7!!,
(
根据行列式为零可以得到求解屈曲荷载的方程
4
!
$
)
$
%
4
)
24
' (
%
3<>D
$
!
,
)
' (
)
54
)
$
%
$
!
4
%
24
' (
!
3<>D
$
)
,
)
' (
)
54
%
$
!
$
)
4
!
24
' (
)
3<>D
$
%
,
)
' (
)
0
'
'
*7!!+
(
!!
上式为复杂的超越方程!一般需要采用数学工具如Z5CQ5A
对屈曲荷载参数6
,
进行求解"定义如下方程
9
!
6
' (
,
04
!
$
)
$
%
4
)
24
' (
%
3<>D
$
!
,
)
' (
)
9
)
6
' (
,
04
)
$
%
$
!
4
%
24
' (
!
3<>D
$
)
,
)
' (
)
9
%
6
' (
,
04
%
$
!
$
)
4
!
24
' (
)
3<>D
$
%
,
)
' (
)
*
+
)
'
*7!!&
(
其中9
+
'
6
,
(可能为复数"方程 '
*#!!+
(的条件等价于与6
,
相关的残差(O
'
6
,
(等
于零!即
(O
'
6
,
(
0
:69
!
6
' (
,
5
9
)
6
' (
,
5
9
)
6
' ($ %
,
3
9
!
6
' (
,
353
9
)
6
' (
,
353
9
%
6
' (
,
3
0
'
'
*7!!0
(
上式右边项中!分子上:6
表示取复数的实部"
给定特定范围内的一组6
,
的数值!计算出一系列残差(O
'
6
,
(结果"绘制
(O
'
6
,
(
#6
,
曲线!其与横坐标的交点即为满足方程 '
*#!!+
(的屈曲荷载参数6
,
的取
值"具体操作时!上述6
,
数组的取值范围可从'
到6
,'
!其中6
,'
根据前述假定!
项
余弦函数采用:$
_
U6;
Y
D#:;>j
法求得的屈曲荷载获得"
选取工形截面均匀受压固支拱!截面尺寸F#!8"8#
$
8#
%
9&)'((8+''((8
!,((8)'((
!荷载作用于截面上翼缘"图*")*
'
$
(所示为矢跨比等于'",
时的
(O
'
6
,
(
#6
,
曲线!图*")*
'
-
(为不同计算方法得到屈曲荷载结果"可以看到!采用
式 '
*#!!+
(直接求解屈曲方程的方法所得到的屈曲荷载与有限元结果十分吻合!比基于
能量法采用)
阶余弦函数的结果更为精确"
,"
固支拱平面外屈曲荷载的拟合公式
以上分别给出了求解均匀受压和均匀受弯固支拱平面外屈曲荷载的能量法和直接求
解法"然而!采用上述方法均带来复杂的数学计算"为了方便设计人员的使用!本节在
大量有限元特征值屈曲分析结果的基础上!给出固支圆弧拱屈曲荷载的拟合公式"值得
注意的是!由于固支拱屈曲荷载的影响因素很多!如截面翘曲刚度&截面扭转刚度&矢
跨比和长细比等!一般情况下很难得到一个适用于各种参数条件下的通用拟合公式"但
是对于箱形等闭合截面!由于其截面翘曲刚度相比自由扭转刚度可以忽略!能够提出适
+
0&
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
科
学出版社
职教技术出版中心
www.abook.cn
图*")*
!
均匀受压固支圆弧拱的屈曲荷载结果 '荷载作用于上翼缘(
用的拟合公式"
为使拟合公式具有代表性和统计性!选取0
组尺寸的箱形截面!其截面尺寸比例变
化涵盖了工程中的常用范围 '详见文献 $
%0
%(!矢跨比%
)
&9'"'
!
'",
!平面外长细比
"
4
9*'
!
*''
"对于均匀受压拱!均布荷载作用于截面形心"定义E
4%
长度为*
&相同截
面的轴压固端柱的最低阶弯曲屈曲荷载!
'
4
R
%
为相应纯弯固端梁的最低阶弯扭屈曲荷
载"经过大量有限元数值计算!得到如下拟合公式.
均匀受压固支拱
=
,/9
%
0
!
5% ,
)
' (
.
)
!
5
*
,
)
' (
.
)
E
4%
'
*7!!7
(
%0
'"%%*7'"'*0+<
"
0
'"0!'
2
'")
)
1
<
!
!
<
0
HT
.;
4
!
!
E
4%
0
*
.
)
*
)
.;
4
!!
均匀正弯矩作用的固支拱
'
5
,/9
%
0
'
4
R
%
0
.
*
)
)
.;
4
槡 HT
'
*7!)'
(
!!
对于承受均匀负弯矩作用的固支圆弧拱!由前述分析可知!基于能量法采用!
项余
弦函数便可方便地得到其屈曲弯矩解答!因此不再给出拟合公式"
图*"),
所示为不同截面和矢跨比下!箱形截面固支圆弧拱的屈曲荷载随矢跨比的
变化情况"其中截面!
尺寸"
#!8"8#
$
8#
%
9%''((8%''((8!'((8!'((
!截面)
尺寸"
#!8"8#
$
8#
%
9*)'((8)!'((8+((8!'((
"结果表明!拟合公式与有限元
吻合很好!对于承受均匀正弯矩的固支拱其屈曲弯矩与相应纯弯固端梁接近"
+"
关于计算长度系数法的讨论
计算长度系数法应用于梁柱直构件的稳定计算中!使不同边界条件下屈曲荷载计算
式得到统一"例如!对于轴压固端柱其计算长度系数等于'",
!即几何长度为*
的固端
柱的第!
阶弯曲屈曲荷载等于长度为'",*
的铰接柱的第!
阶弯曲屈曲荷载!或者等于
长度为*
的铰接柱的第)
阶弯曲屈曲荷载"然而!由于固支拱平面外失稳时弯扭屈曲变
+
7&
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
图*"),
!
箱形截面固支圆弧拱的屈曲荷载拟合公式
形复杂!计算长度系数法是否能应用于钢拱还有待检验"
选取工形截面圆弧拱!截面尺寸F#!8"8#
$
8#
%
9&''((8+''((8!,((8
)'((
!均布荷载作用于截面形心"其中固支拱的轴线长度为*
%
9)7(
!圆心角,
%
9
'
!.
"铰支拱有两组.第!
组轴线长度*9*
%
)
)
!圆心角,
9
,
%
)
)
*第)
组轴线长度
*9*
%
!圆心角,
9
,
%
"从图*")+
的比较中可以看到!第)
组铰支拱的第!
阶屈曲荷载
等于第!
组铰支拱的第)
阶屈曲荷载"对于轴线长度*
%
&圆心角,
%
的固支拱!当处于
均匀受压或承受均匀正弯矩作用时!其第!
阶屈曲荷载要明显高于这两组铰支拱的屈曲
荷载*当承受均匀负弯矩作用时!其第!
阶屈曲荷载低于上述铰支拱的屈曲荷载"由此
可见!计算长度系数法并不适用于钢拱结构!即很难通过引入一个简单的计算长度系数
来使不同拱脚条件下的屈曲荷载得到统一"
图*")+
!
固支圆弧拱屈曲荷载的比较
%"$"&
!
不等拱脚端弯矩作用下圆弧拱的弹性屈曲荷载
在一般荷载作用下!钢拱内弯矩沿轴线不均匀分布"本节对不等拱脚端弯矩作用下
+
'0
+
现代拱形钢结构设计原理与应用
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圆弧拱的平面外线弹性屈曲弯矩进行求解"由于问题的复杂性!难以直接给出解析解!
因此采用:$
_
U6;
Y
D#:;>j
法求得屈曲弯矩的近似解"
计算模型如图*")&
所示!两端拱脚分别作用有平面内弯矩'
和%
'
'
%
称为端弯矩
系数("此时拱轴线内的轴力和剪力较小可略去其影响!弯矩沿拱轴线呈线性分布即
'
'
0
!
5
%2
!
,
' (
'
'
!!
'
'
%
'
%
,
( '
*7!)!
(
!!
将其带入式 '
*#!'!
(的总势能方程中!可得
30
2
,
)
)
'
.;
4
(
4
)
I
2
4
'
)
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' (
0
)
5
H;
#
(
4
0
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2
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' (
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$
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%
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0
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'
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)
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'
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,
' (
'
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0
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I
2
4
'
)
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)
5
4I
2
4
' (
'
$ %
2
)
4
'
'
*7!))
(
图*")&
!
不等拱脚端弯矩作用的圆弧拱示意
!"
两端铰支拱
采用下列弯扭屈曲位移函数
I
2
0
-
1
M
V;=
M
.
,
'
!
!00
-
D
M
V;=
M
.
,
'
'
*7!)%
(
!!
取前两项式即M9)
!根据势能驻值原理得到
F
+
$ %
U
*
Q
*
1
!
!
D
!
!
1
)
!
D
1 2
)
C
0
'
!!
其中对称矩阵F
+
$ %
U
*
Q
*
为
F
!!
0
.
)
,
<
!
5
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,
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6
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.
)
!
2
' (
%
!
+
!0
+
第*
章!
拱形钢结构线弹性屈曲理论
