点集合置換法による十回対称準周期タイリングの作成

東北大多元研 藤田伸尚

骨子

1. 準周期タイリングの基礎

2. タイリングの一般的作成法～点集合置換法～

3. 三元十回対称タイリング～RPHタイリング～

4. フェイゾンと乱雑タイリング

5. まとめ

１．準周期タイリングの基礎

準周期性

定義: ある構造が「準周期的である」とは、

1. フーリエ変換（構造因子）が純点スペクトルを持つ(ディラックピークのみ) ↔長距離秩序

2. ディラックピークの指数付けを行う為に必要な波数ベクトル基底の数（N）が空間次元数（D）より大きい

618.12

51

5cos2 ≅+== πτ

1

ττττ

κκκκ1111

κκκκ2222κκκκ3333

κκκκ4444

Κ Κ Κ Κ ==== m1111κκκκ1 1 1 1 + m2222κκκκ2 2 2 2 + m3333κκκκ3 3 3 3 + m4444κκκκ4 4 4 4 =[m1111m2222m3333m4444]

準結晶

定義: ある構造が次の二つの条件を満たすとき、これを「準結晶」と呼ぶ。

1. 準周期的な長距離秩序を有する

2. 結晶学的に許されない点対称性を有する例） 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12回対称性

タイリングとは

本セミナーでの定義:

(2D)有限種類の多角形による平面充填

(3D)有限種類の多面体による空間充填特に、隣接タイル同士が辺または面を共有する場合に話を限定する場合が多い－edge-to-edge，face-to-face

アルキメデスタイリングアルキメデスタイリングアルキメデスタイリングアルキメデスタイリング（（（（周期的周期的周期的周期的））））

代表的な準周期タイリング

菱形菱形菱形菱形Penrose

タイリングタイリングタイリングタイリング

Ammann-Beenker

タイリングタイリングタイリングタイリング

Stampfli

タイリングタイリングタイリングタイリング

八回対称 十回対称 十二回対称

Prototiles T1, T2(Ammann rhombohedra)

菱面体タイリング(三次元Penroseタイリング)

5555回対称軸方向回対称軸方向回対称軸方向回対称軸方向からからからから見見見見たたたた図図図図 2222回対称軸方向回対称軸方向回対称軸方向回対称軸方向からからからから見見見見たたたた図図図図

物理

空間

物理

空間

物理

空間

物理

空間���� //

直交

補空

間

直交

補空

間

直交

補空

間

直交

補空

間����┴┴┴┴

窓窓窓窓

AA

A

AA

AA

A

AA

B

BB

B

B

B

切断射影法（射影法）

},|{ Ζ∈+⊂Ω nmnmτ

x

階数が2のZ加群加群加群加群

頂点集合 Ω

物理

空間

物理

空間

物理

空間

物理

空間���� //

直交

補空

間

直交

補空

間

直交

補空

間

直交

補空

間����┴┴┴┴

窓窓窓窓

AA

A

AA

AA

A

AA

B

BB

B

B

B

切断射影法（射影法）

},|{ Ζ∈+⊂Ω nmnmτ

x

階数が2のZ加群加群加群加群

頂点集合 Ω

八回対称八回対称八回対称八回対称

}|{: 332211008 Ζ∈+++= jnnnnn eeeeZ階数が 4のZ加群加群加群加群

Z加群(Z-module)

e0

e1e2e3

e0

e1

e2e3

Z加群(Z-module)十回対称十回対称十回対称十回対称

e0

e1e2

e3

e0

e1e2

e3

}|{: 3322110010 Ζ∈+++= jnnnnn eeeeZ階数が 4のZ加群加群加群加群

四次元の十方格子

基本格子基本格子基本格子基本格子ベクトルベクトルベクトルベクトル

)5

4sin,

5

4(cos

)5

2sin,

5

2(cos

),(~

jj

jj

j

j

jjj

ππ

ππε

=

=

=

⊥

⊥

e

e

ee2π/5

0e

1e

2e

3e 4e

2π/5 ⊥0e

⊥3e

⊥1e

⊥4e ⊥2e

�// �

}|~~~~{:~

3322110010 Ζ∈+++=Λ jnnnnn εεεε十方格子十方格子十方格子十方格子

十方十方十方十方Z加群加群加群加群←←←←十方格子十方格子十方格子十方格子のののの二次元物理空間二次元物理空間二次元物理空間二次元物理空間へのへのへのへの投影投影投影投影

}|{: 3322110010 Ζ∈+++= jnnnnn eeeeZ

Z加群は、それを特徴付ける二次の無理数（Pisot単位）のスケール変換に対して不変

Z加群のスケール不変性

1010 ZZ ≡deτ

…高次元代数学による帰結

88 ZZ ≡ocτ

1212 ZZ ≡doτ2

51+=deτ21+=ocτ 32+=doτ

Pisot unit

黄金比黄金比黄金比黄金比 ττττ

準周期タイリングを作成する為の二種類のアプローチ

• 切断射影法

• 置換法—スケール変換を伴う変換規則（（（（インフレーションインフレーションインフレーションインフレーション則則則則））））

� 窓はあらかじめ与えられたものとする� 窓の形状は通常、多角形を仮定する� タイリングに対する拘束条件は自明ではない

� 窓はあらかじめ与えられていない� 窓の形状は、多角形である必要は無い� 反復によりタイリングが自動的に生成� 変換規則の構成には試行錯誤が必要

５５５５角形角形角形角形Penroseタイリングタイリングタイリングタイリング (P1)

0

0

0 0

0

P(1)

SCR

P(2) P(3)

0 0

0

1 10 0

11

2

11

2 2 1111

1 12

11

11 1

1

1

111

Grünbaum and Shephard, “Tilings and Patterns” (1987)

(1): 拡大相似変換

(2): 拡大したタイルを元の大きさのタイルで分割する

（タイルの種類は保持）

置換法によるタイリングの作成

インフレーション則（二段階 ）

５５５５角形角形角形角形Penroseタイリングタイリングタイリングタイリング (P1)

0

0

0 0

0

P(1)

SCR

P(2) P(3)

0 0

0

1 10 0

11

2

11

2 2 1111

1 12

11

11 1

1

1

111

Grünbaum and Shephard, “Tilings and Patterns” (1987)

(1): 拡大相似変換

(2): 拡大したタイルを元の大きさのタイルで分割する

（タイルの種類は保持）

置換法によるタイリングの作成

インフレーション則（二段階 ）

頂点集合頂点集合頂点集合頂点集合 ~Cluster centersof a QC

プロトタイルプロトタイルプロトタイルプロトタイル

R. Penrose, Bull. Inst. Math. Appl. 10 (1974) 266.

五角形Penroseタイリング

[Q] 準周期タイリングのインフレーション則を系統的に構成することは可能か？

• 適用可能適用可能適用可能適用可能ななななインフレーションインフレーションインフレーションインフレーション則則則則はははは構造全域構造全域構造全域構造全域にににに亘亘亘亘っっっってててて矛盾矛盾矛盾矛盾をををを生生生生じさせないものにじさせないものにじさせないものにじさせないものに限限限限られるられるられるられる（（（（特特特特にににに、、、、edge-to-edge のののの条件条件条件条件をををを満満満満たすことをたすことをたすことをたすことを要請要請要請要請するするするする））））

[Q] 準周期タイリングのインフレーション則を系統的に構成することは可能か？

• 適用可能適用可能適用可能適用可能ななななインフレーションインフレーションインフレーションインフレーション則則則則はははは構造全域構造全域構造全域構造全域にににに亘亘亘亘っっっってててて矛盾矛盾矛盾矛盾をををを生生生生じさせないものにじさせないものにじさせないものにじさせないものに限限限限られるられるられるられる（（（（特特特特にににに、、、、edge-to-edge のののの条件条件条件条件をををを満満満満たすことをたすことをたすことをたすことを要請要請要請要請するするするする））））

[Q] 準周期タイリングのインフレーション則を系統的に構成することは可能か？

• 適用可能適用可能適用可能適用可能ななななインフレーションインフレーションインフレーションインフレーション則則則則はははは構造全域構造全域構造全域構造全域にににに亘亘亘亘っっっってててて矛盾矛盾矛盾矛盾をををを生生生生じさせないものにじさせないものにじさせないものにじさせないものに限限限限られるられるられるられる（（（（特特特特にににに、、、、edge-to-edge のののの条件条件条件条件をををを満満満満たすことをたすことをたすことをたすことを要請要請要請要請するするするする））））

２．タイリングの一般的作成法～点集合置換法～

一般化点集合置換法Generalized Point Substitution Processes

(1) タイリングタイリングタイリングタイリングにににに拡大相似変換拡大相似変換拡大相似変換拡大相似変換をををを適用適用適用適用するするするする但但但但しししし、、、、拡大比率拡大比率拡大比率拡大比率ははははσ σ σ σ ====ττττ n (ττττ：：：：Pisot unit )

(2) 各頂点各頂点各頂点各頂点にににに基本点集合基本点集合基本点集合基本点集合モチーフモチーフモチーフモチーフ S をををを配置配置配置配置するするするする

(3) 得得得得られたられたられたられた点集合点集合点集合点集合からからからから、、、、新新新新しいしいしいしいタイリングタイリングタイリングタイリングのののの頂点頂点頂点頂点をををを

与与与与えるもののみをえるもののみをえるもののみをえるもののみを残残残残しししし、、、、それそれそれそれ以外以外以外以外はははは消去消去消去消去するするするする（（（（局所的規則局所的規則局所的規則局所的規則によるによるによるによる））））

N. Fujita, Acta Cryst. A 65, 342 (2009)

タイリングのインフレーション則を構成する手法

一般化点集合置換法の適用例

(S1)拡大相似変換(比率 σ =τ 2≃2.618)

(S1)拡大相似変換(比率 σ =τ 2≃2.618)

(S2) 基本点集合モチーフSを全頂点に配置

Sττττ

(S1)拡大相似変換(比率 σ =τ 2≃2.618)

(S2) 基本点集合モチーフSを全頂点に配置

Sττττ

(S3) 過剰な点を削除

(S1)拡大相似変換(比率 σ =τ 2≃2.618)

(S2) 基本点集合モチーフSを全頂点に配置

Sττττ

(S3) 過剰な点を削除

(S1)拡大相似変換(比率 σ =τ 2≃2.618)

(S2) 基本点集合モチーフSを全頂点に配置

Sττττ

繰繰繰繰りりりり返返返返しししし

(S3) 過剰な点を削除

(S1)拡大相似変換(比率 σ =τ 2≃2.618)

(S2) 基本点集合モチーフSを全頂点に配置

Sττττ

• RPHC family

• RPH family

R P H C

R P H

本研究で見つけた新しいタイリング

N. Fujita, Acta Cryst. A 65, 342 (2009)

３．三元十回対称タイリング～RPHタイリング～

(S1)拡大相似変換(比率 σ =τ 2≃2.618)

三元タイリング（RPH）

(S1)拡大相似変換(比率 σ =τ 2≃2.618)

(S2)基本点集合モチーフSを全頂点に配置

Sττττ

三元タイリング（RPH）

(S1)拡大相似変換(比率 σ =τ 2≃2.618)

(S2)基本点集合モチーフSを全頂点に配置

Sττττ

三元タイリング（RPH）

(S3)過剰な点を削除

(S1)拡大相似変換(比率 σ =τ 2≃2.618)

(S2)基本点集合モチーフSを全頂点に配置

Sττττ

三元タイリング（RPH）

(S3)過剰な点を削除

(S1)拡大相似変換(比率 σ =τ 2≃2.618)

(S2)基本点集合モチーフSを全頂点に配置

Sττττ

三元タイリング（RPH）

(S3)過剰な点を削除

(S1)拡大相似変換(比率 σ =τ 2≃2.618)

(S2)基本点集合モチーフSを全頂点に配置

Sττττ

三元タイリング（RPH）

RPHタイリングタイリングタイリングタイリング

正方形正方形正方形正方形パッチパッチパッチパッチ

l r

m m’

第三ステップ（消去）の自由度

拡大した菱形の各鋭角に対して、点の消去の仕方は二通り許される(青と赤の矢印で区別）

RPHタイリングの窓

赤赤赤赤いいいい領域領域領域領域：：：：コンピュータコンピュータコンピュータコンピュータでででで作成作成作成作成したしたしたしたタイリングタイリングタイリングタイリングのののの頂頂頂頂点集合点集合点集合点集合（（（（約約約約24万点万点万点万点））））

をををを、、、、直交補空間直交補空間直交補空間直交補空間にににに投投投投影影影影したものしたものしたものしたもの

一般化点集合置換法（直交補空間）

(1*) 初期図形初期図形初期図形初期図形にににに縮小相似縮小相似縮小相似縮小相似

変換変換変換変換をををを適用適用適用適用するするするする。。。。但但但但しししし、、、、拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率はははは σ σ σ σ ====ττττ −−−−n (ττττ：：：：Pisot unit )

(2*) 縮小縮小縮小縮小したしたしたした図形図形図形図形をををを基本基本基本基本点集合点集合点集合点集合モチーフモチーフモチーフモチーフのののの像像像像 S*

のののの各点各点各点各点にににに配置配置配置配置するするするする

(3*) 消去則消去則消去則消去則にににに対応対応対応対応するするするする部分部分部分部分

をををを削削削削りりりり取取取取るるるる

一般化点集合置換法（直交補空間）

(1*) 初期図形初期図形初期図形初期図形にににに縮小相似縮小相似縮小相似縮小相似

変換変換変換変換をををを適用適用適用適用するするするする。。。。但但但但しししし、、、、拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率はははは σ σ σ σ ====ττττ −−−−n (ττττ：：：：Pisot unit )

(2*) 縮小縮小縮小縮小したしたしたした図形図形図形図形をををを基本基本基本基本点集合点集合点集合点集合モチーフモチーフモチーフモチーフのののの像像像像 S*

のののの各点各点各点各点にににに配置配置配置配置するするするする

(3*) 消去則消去則消去則消去則にににに対応対応対応対応するするするする部分部分部分部分

をををを削削削削りりりり取取取取るるるる

一般化点集合置換法（直交補空間）

(1*) 初期図形初期図形初期図形初期図形にににに縮小相似縮小相似縮小相似縮小相似

変換変換変換変換をををを適用適用適用適用するするするする。。。。但但但但しししし、、、、拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率はははは σ σ σ σ ====ττττ −−−−n (ττττ：：：：Pisot unit )

(2*) 縮小縮小縮小縮小したしたしたした図形図形図形図形をををを基本基本基本基本点集合点集合点集合点集合モチーフモチーフモチーフモチーフのののの像像像像 S*

のののの各点各点各点各点にににに配置配置配置配置するするするする

(3*) 消去則消去則消去則消去則にににに対応対応対応対応するするするする部分部分部分部分

をををを削削削削りりりり取取取取るるるる

一般化点集合置換法（直交補空間）

(1*) 初期図形初期図形初期図形初期図形にににに縮小相似縮小相似縮小相似縮小相似

変換変換変換変換をををを適用適用適用適用するするするする。。。。但但但但しししし、、、、拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率はははは σ σ σ σ ====ττττ −−−−n (ττττ：：：：Pisot unit )

(2*) 縮小縮小縮小縮小したしたしたした図形図形図形図形をををを基本基本基本基本点集合点集合点集合点集合モチーフモチーフモチーフモチーフのののの像像像像 S*

のののの各点各点各点各点にににに配置配置配置配置するするするする

(3*) 消去則消去則消去則消去則にににに対応対応対応対応するするするする部分部分部分部分

をををを削削削削りりりり取取取取るるるる

一般化点集合置換法（直交補空間）

(1*) 初期図形初期図形初期図形初期図形にににに縮小相似縮小相似縮小相似縮小相似

変換変換変換変換をををを適用適用適用適用するするするする。。。。但但但但しししし、、、、拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率はははは σ σ σ σ ====ττττ −−−−n (ττττ：：：：Pisot unit )

(2*) 縮小縮小縮小縮小したしたしたした図形図形図形図形をををを基本基本基本基本点集合点集合点集合点集合モチーフモチーフモチーフモチーフのののの像像像像 S*

のののの各点各点各点各点にににに配置配置配置配置するするするする

(3*) 消去則消去則消去則消去則にににに対応対応対応対応するするするする部分部分部分部分

をををを削削削削りりりり取取取取るるるる

一般化点集合置換法（直交補空間）

(1*) 初期図形初期図形初期図形初期図形にににに縮小相似縮小相似縮小相似縮小相似

変換変換変換変換をををを適用適用適用適用するするするする。。。。但但但但しししし、、、、拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率はははは σ σ σ σ ====ττττ −−−−n (ττττ：：：：Pisot unit )

(2*) 縮小縮小縮小縮小したしたしたした図形図形図形図形をををを基本基本基本基本点集合点集合点集合点集合モチーフモチーフモチーフモチーフのののの像像像像 S*

のののの各点各点各点各点にににに配置配置配置配置するするするする

(3*) 消去則消去則消去則消去則にににに対応対応対応対応するするするする部分部分部分部分

をををを削削削削りりりり取取取取るるるる

一般化点集合置換法（直交補空間）

(1*) 初期図形初期図形初期図形初期図形にににに縮小相似縮小相似縮小相似縮小相似

変換変換変換変換をををを適用適用適用適用するするするする。。。。但但但但しししし、、、、拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率はははは σ σ σ σ ====ττττ −−−−n (ττττ：：：：Pisot unit )

(2*) 縮小縮小縮小縮小したしたしたした図形図形図形図形をををを基本基本基本基本点集合点集合点集合点集合モチーフモチーフモチーフモチーフのののの像像像像 S*

のののの各点各点各点各点にににに配置配置配置配置するするするする

(3*) 消去則消去則消去則消去則にににに対応対応対応対応するするするする部分部分部分部分

をををを削削削削りりりり取取取取るるるる

一般化点集合置換法（直交補空間）

(1*) 初期図形初期図形初期図形初期図形にににに縮小相似縮小相似縮小相似縮小相似

変換変換変換変換をををを適用適用適用適用するするするする。。。。但但但但しししし、、、、拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率拡大縮小比率はははは σ σ σ σ ====ττττ −−−−n (ττττ：：：：Pisot unit )

(2*) 縮小縮小縮小縮小したしたしたした図形図形図形図形をををを基本基本基本基本点集合点集合点集合点集合モチーフモチーフモチーフモチーフのののの像像像像 S*

のののの各点各点各点各点にににに配置配置配置配置するするするする

(3*) 消去則消去則消去則消去則にににに対応対応対応対応するするするする部分部分部分部分

をををを削削削削りりりり取取取取るるるる

⊥φ⊥lγ ⊥lγ

0X 1X 2X

0

~X 1

~X W

⊥φ

S*

⊥φ⊥lγ ⊥lγ

0X 1X 2X

0

~X 1

~X W

⊥φ

S*

⊥φ⊥lγ ⊥lγ

0X 1X 2X

0

~X 1

~X W

⊥φ

S*

⊥φ⊥lγ ⊥lγ

0X 1X 2X

0

~X 1

~X W

⊥φ

S*

フラクタルな窓の境界

1415.1

)ln(

)3ln(

)dim(

2

≅

=

∂

τ

W

von Koch 曲線曲線曲線曲線にににに類似類似類似類似

フラクタルフラクタルフラクタルフラクタル次元次元次元次元↓↓↓↓

0

1

2

3

∞N. Fujita., J. Phys.: Conf. Ser.

全ての菱形の鋭角に対して、左向き矢印の消去則を適用した場合

N. Fujita., J. Phys.: Conf. Ser.

全ての菱形の鋭角に対して、左向き矢印の消去則を適用した場合

N. Fujita., J. Phys.: Conf. Ser.

菱形の鋭角の方位によって異なる消去則を適用した場合

N. Fujita., J. Phys.: Conf. Ser.

菱形の鋭角の方位によって異なる消去則を適用した場合

N. Fujita., J. Phys.: Conf. Ser.

菱形の鋭角の方位によって異なる消去則を適用した場合

N. Fujita., J. Phys.: Conf. Ser.

反復ステップ毎に異なる消去則を適用した場合

4周期のインフレーション則

窓の形状

タイリングの正方形パッチ

N. Fujita., J. Phys.: Conf. Ser.

4種類の消去則をランダムに

適用した場合

４．フェイゾンと乱雑タイリング

フェイゾンフリップ（Phason flip）

十回対称準結晶Al 65Cu20Co15電子顕微鏡像（1123K）～時間変化を追ったもの

K. Edagawa, K. Suzuki & S. Takeuchi,Phys. Rev. Lett. 85 (2000) 1674.

フェイゾンフリップ（Phason flip）

十回対称準結晶Al 65Cu20Co15電子顕微鏡像（1123K）～時間変化を追ったもの

K. Edagawa, K. Suzuki & S. Takeuchi,Phys. Rev. Lett. 85 (2000) 1674.

熱的フェイゾン揺らぎのシミュレーション

Etot = JR NR + JL NL + JLL NLL + JRR NRR + JRL NRL + JP NP + JF NF + JC NC + JS NS

LL

JJLLLL

RR

JJRRRR

LR

JJLRLR

R

JJRR

L

JJLL

P

JJPP

C

JJCC

F

JJFF

S

JJSS

Energy parametersフェイゾンフリップによる構造の熱的揺らぎを調べる

有効有効有効有効ハミルトニアンハミルトニアンハミルトニアンハミルトニアン

JR = −−−− 2.0, JL = −−−− 4.5, JP = 0.3,JLL = 3.0, JRR = 3.0, JLR = −−−− 0.7,

JF = 3.8, JC = 3.0, JS = 1.0

熱的フェイゾン揺らぎのシミュレーション

0

T1

T0

0 500 8500 24500

Tem

pera

ture

Monte Carlo steps

T1=4.9

カノニカルモンテカルロシミュレーション

0

T1

T0

0 500 8500 24500

Tem

pera

ture

Monte Carlo steps

T1=4.9

モンテカルロシミュレーション

0

T1

T0

0 500 8500 24500

Tem

pera

ture

Monte Carlo steps

T1=4.9

モンテカルロシミュレーション

モンテカルロシミュレーション

温度無限大の平衡状態→完全に準周期性を喪失した乱雑タイリング

モンテカルロシミュレーション

1. 一般化点集合置換法～準周期タイリングの系統的作成法

2. 三元タイリングの族（RPHタイリング）～点群 C10, D5, C2, D1, C1, C5

3. 確率的な操作の導入～限定的にランダムなRPHタイリングの作成

4. カノニカルモンテカルロシミュレーション～フェイゾンによる熱的構造揺らぎの考察

課題：一般的な数学的定式化

（窓の形状を決定する一般則、等）

５．まとめ