統計的仮説検定について - 奈良先端科学技術大学院大学（NAIST ... · 2016-10-07 · /49 2016@Hiroki Tanaka, AHC-Lab, IS, NAIST 統計的仮説検定について

2016@Hiroki Tanaka, AHC-Lab, IS, NAIST

田中宏季

知能コミュニケーション研究室

/ 49

統計的仮説検定について

1

/49 2016@Hiroki Tanaka, AHC-Lab, IS, NAIST


ある事柄について、どの程度の確率でそうなのかを主張することができる

偶然にそうなったのではない

幅広い分野で基本的には必須

2

なぜ検定？

よくなった？

１０人のスキルの平均

A B

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0



3

データの種類

大分類小分類意味例

量的変数

比較尺度量が０である点が存在間隔にも比率にも意味がある

身長体重時間

間隔尺度数値の間隔には意味がある量が０である点が存在しない

温度時刻

評価点

質的変数（カテゴリカル・

データ）

順序尺度順位には意味がある間隔には意味がないもの

満足度年代

名義尺度順序のないカテゴリの変数異なる・同じしか示さない

性別職業

血液型



4

1変数の記述統計



x={13,14,7,12,10,6,8,15,4,14,9,6,10,12,5,12,8,8,12,15}

ヒストグラム

平均

n：サンプル数

5

データの可視化

Histogram of X

X

Fre

que

ncy

4 6 8 10 12 14 16

01

23

4



中央値

データを大きさの順に並べたときに真ん中に位置する値

外れ値がある場合などに有効

先ほどの例では、10

最頻値

もっとも頻繁に観測される値

質的変数で主に使用

先ほどの例では、8

6

平均以外の代表値

x 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 1 1 2 1 3 1 2 4 1 2 2

4 5 6 6 7 8 8 8 9 10 10 12 12 12 12 13 14 14 15 15



代表値のみならず、ばらつきを見ることも重要

（不偏）分散

平均からの偏差

標準偏差

分散の平方根

論文などではこの値

そのほか、範囲（レンジ）など 7

ばらつき



正規化

データ値の変換

Z値

平均0、標準偏差1

範囲[0,1]におさまるように写像する場合もある

8

正規化



9

2変数の記述統計



正の相関

負の相関

無相関（相関なし）

10

散布図

2 4 6 8 10

12

14

16

18

20

x

y

正の相関例

4 6 8 10

46

81

012

14

c

d

無相関例



2変数の関係の強さを反映する指標

変数xとyについて、

共分散が正 -> 正の相関、共分散が負 -> 負の相関

共分散を正規化したものが、相関係数

11

共分散



２変量について相関の度合いを示した係数r

12

相関係数

相関係数評価の目安

-0.2 < r < 0.2 ほとんど相関なし

-0.4 r < -0.2, 0.2 < r < 0.4 弱い相関あり

-0.7 < r -0.4, 0.4 < r < 0.7 中程度の相関あり

-1.0 < r < -0.7, 0.7 < r < 1.0 強い相関あり

岩永雅也, 大塚雄作, and 高橋一男. "社会調査の基礎." 放送大学教育振興会(1996).



質的変数の関係性（連関）

例）数学と統計の好き、嫌い

13

クロス集計

統計

嫌い好き

数学嫌い 10 4

好き 2 4



14

母集団と標本



母集団：対象となる全データの集合

母集団の平均：母平均μ（真の平均）

母集団の分散：母分散σ2（真の分散）

標本集団：サンプリングされたデータの集合

標本集団の平均：標本平均

標本集団の分散：標本分散

15

母集団と標本

既知

未知

推測



16

推測統計の分類

推測統計

推定

検定

点推定

区間推定（信頼区間）



点推定（誤差を含む）

母集団から抽出した標本を用いて、母数の点推定を行う

標本平均（推定量）から、母平均を推定

区間推定

標本の統計量から、母集団の平均などを、幅(区間)を持たせて推定

17

点推定と区間推定



18

統計的仮説検定



標本抽出から母数の推測を行う

確率論に基づいて、主張を行うための方法

19

統計的仮説検定

よくなった？

スキルの平均

A B

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0



20

検定と手順

手順

1 母集団に関する帰無仮説と対立仮説（両側か片側検定）を設定

2 検定統計量を選ぶ

3 有意水準αの値を決める

4 （データを収集し）データから検定統計量の値を求める

5 検定統計量の値が棄却域に入れば帰無仮説を棄却して、対立仮説を採択する。



１つの平均値の検定、母分散が既知

実際には、ほとんどない

例：過去のデータの蓄積から「心理学テスト」の得点は平均12、分散

10の正規分布に従う。新しい20人の心理学テスト得点は、この母集

団からの無作為標本と考えてよいか

帰無仮説H0：u = 12（心理学テストの母平均は12である）

対立仮説H1：u 12（心理学テストの母平均は12ではない）

正規分布を分布とする検定

21

Z検定

両側検定



有意水準αの決定

5%、α=0.05、両側検定

Zの実現値を求める

Z=-2.8284

Z < -1.95より、棄却域に入る

帰無仮説の棄却

p < 0.05

平均12,分散10からの

サンプリングとは言えない

実際のp値の計算

22

Z検定

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dno

rm(x

) 棄却域2.5%

-1.95 1.95

棄却域2.5%



１つの平均値の検定、母分散が未知

自由度df = n-1のt分布を使用、データが大きいと正規分布に近づく

23

1群のt検定

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dt(

x, 8)

df=8

df=1



母集団では相関がないのに、偶然に相関が出てしまったのでは？

ピアソンの積率相関係数

帰無仮説H0：ρ = 0（母相関は0である）

対立仮説H1：ρ 0（母相関は0ではない）

統計検定量

24

無相関検定

2 4 6 8 10

12

14

16

18

20

x

y

偶然？



相関の検定でわかるのは、共変関係があるかということ

因果関係はわからない

相関関係は因果関係の必要条件の１つ

25

統計的因果推論

相関関係因果関係



因果関係ならば相関関係（真）

相関関係でなければ因果関係なし（対偶も真）

因果関係は、相関関係というのに十分（十分条件）

相関関係は、因果関係というのに必要（必要条件）

26

必要条件・十分条件

http://juken-mikata.net/how-to/mathematics/meidai.html

因果関係

相関関係



２値データ、カテゴリカルデータの独立性・連関を検定

例）数学の好き・嫌いと、統計の好き・嫌いに連関はない

データ中に10以下の数値がある場合は、イエーツ補正χ2 検定

データ中に4以下の数値がある場合は、フィッシャー直接確率試験

27

χ2 検定

統計

嫌い好き

数学嫌い 10 4

好き 2 4



28

2つの平均値（2群）の比較



無作為標本（独立性）が前提

例１）男女で心理学テストに差があるのか

例２）統計が好き・嫌いで統計テストの平均値に差があるか

帰無仮説H0：u1 = u2（2つの母平均は等しい）

対立仮説H1：u1 u2（2つの母平均は等しくない）

検定統計量（対応なし、等分散）

29

t検定



等分散性の検定

データのばらつき・分布に差があるか

30

F検定

-10 -5 0 5 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dt(

x,

100

)

等分散性によって、検定法が異なる



対応あり

同一被験者が反復測定を行っている場合などは「対応がある」

p値が低く出やすい

例）同一被験者のタスク変更課題、事前事後での血圧

対応なし

例）対象群と、統制群

n数が異なることもありえる

31

対応の有無

対応の有無によって、検定法が異なる



帰無仮説が棄却されなかった場合

帰無仮説・対立仮説の両方とも正しいとも正しくないとも言えない

第1種の誤りを犯す確率＝p値

32

検定での2種類の誤り

棄却棄却しない

帰無仮説は正しい第1種の誤り ○

帰無仮説は正しくない ○

第2種の誤り 1 - 第2種の誤り確率

= 検定力



33

3つ以上の平均値（3群以上）の比較



3群以上の平均値について比較するための統計的方法

統計検定量としてF分布を利用

分散分析で有意差が出たら、多重比較を行うという流れ

34

分散分析

01

23

45

3群



主効果と交互作用を考慮

35

２要因の分散分析

http://kogolab.chillout.jp/elearn/hamburger/chap7/sec3.html



多重検定はしてはいけない

第1種の誤りが含まれる可能性が向上するため

多重比較として、Tukey法やBonferroni法など 36

多重比較

http://www.slideshare.net/antiplastics/dna-21259335



2群間の比較を行うが、比較する回数で危険率を割る

37

Bonferroni法

http://www.slideshare.net/k-kajiwara/r2015-2



38

まとめ



2群の比較をしたい場合

対応の有無

正規分布か調べる -> コルモゴロフ-スミルノフ検定、シャピロ・ウィル

ク検定

No: ノンパラメトリック -> ウィルコクソンの順位和検定など

母分散が等分散か調べる -> F検定

3群以上の比較をしたい場合

分散分析、混合モデル

多重比較

39

よく使用する検定法



ビッグデータになるとサンプル数が大量

数万〜数十テラバイト

統計的有意差が出やすい

効果量の結果も示すことが重要

もしくはサンプルが少なく、統計的差がない時にも有効

40

ビッグデータ解析と検定



論文ではこの数値も出すのが最近の傾向

t検定に対応

Cohen’s d

2群の標本平均の差を，データのバラツキで正規化した量

分散分析に対応

Partial η2

要因の効果を誤差（それ以外の効果）で割ったもの

41

効果量



42

ブートストラップ法

標本のデータから重複を許したサンプリングを行い、新たな標本を作製

する、といった作業を何度も繰り返す手法



43

ブートストラップを用いた解析の例

ブートストラップでの値を計算し、パーセンタイル値を求めて、下2.5％と

上97.5%の間を95%信頼区間とする

ある標本から取得したサンプルがあるシステムに勝った数が95%以上の

ときに、有意に優れているとする（α=0.05） [Koehn, 2004]

http://ghw.pfizer.co.jp/comedical/evaluation/relation.html



Ｒ言語；オープンソース

データ取得

統計解析

基本統計量、統計的仮説検定、ブートストラップ

多変量解析；主成分分析、多次元尺度構成法

回帰モデル；重回帰

機械学習；SVM,…

データの可視化

散布図、棒グラフ、円グラフ、レーダーチャート…

44

Rでデータ解析



Windows

https://cran.r-project.org/bin/windows/base/

(“Download R 3.3.1 for Windows”より)

Mac

https://cran.r-project.org/bin/macosx/

(“R-3.33.1.pkg”より)

Linux

https://cran.ism.ac.jp/

(“Source Code for all Platforms”より)

45

Rのインストール













Rのインストール

x<-c(??)

y<-c(??)

平均、中央値、最小値、分散、標準偏差

mean(x), median(x), min(x), var(x), sd(x)

散布図

plot(x,y)

相関係数、無相関検定

cor(x,y), cor.test(x,y)

46

簡単な演習



統計的仮説検定を使用することは重要

統計的仮説検定について注意するべき

対応の有無

サンプルサイズ

多重比較

Rで計算可能

47

留意してほしいこと



課題内容：

R言語を用いて，以下のコマンドにより生成される画像と結果を提出

> x<-1:10

> y<-4:13

> summary(x)

> barplot(c(mean(x),mean(y)))

> t.test(x,y)

課題の記載項目：

授業名，課題番号（第一回課題），名前，学籍番号，メールアドレス，

summary(x)の実行結果，barplotで生成した画像、t検定の結果（種類、t値、p値）

ファイル形式：PDF

ファイル名, 件名：BDA-日付-学籍番号-名前

ex) BDA-20161007-1251079-hiroki_tanaka

提出先

[email protected] (締切10/14(金)の授業開始時まで) 48

課題



舟尾暢男. The R Tips データ解析環境 R の基本技・グラフィックス活用

集. 株式会社オーム社, 2009.

http://cse.naro.affrc.go.jp/takezawa/r-tips/r2.html

山田剛史, 杉澤武俊, and 村井潤一郎. R によるやさしい統計学. 株式

会社オーム社, 2008.

鷲尾泰俊. "実験の計画と解析." 岩波書店 (1988).

田中豊, and 脇本和昌. "多変量統計解析法." (1983).

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参考資料





Documents

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