CEIT_LM_04_CVV_PD_U2

Clculo de varias variables

Programa desarrollado

Educacin Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas 1

1


UNIDAD 2 Funciones de varias variables

4 cuatrimestre

Clave:

50920414

Octubre de 2011




2

UNIDAD 2. Funciones de varias variables

Presentacin de la unidad

En esta unidad aprenders a utilizar algunas herramientas de integracin para representar reas,

volmenes y superficies mediante el uso de integracin de primitivas. Se abordarn los conceptos de

producto escalar y vector(es) para determinar el producto escalar y realizar operaciones de proyeccin de

distancias.

Ejecutars procedimientos en donde utilices las reglas y frmulas de integracin para determinar primitivas,

lmites y continuidad, as como las frmulas para obtener las derivadas de orden parcial y superior de

funciones implcitas e inversas.

Tambin analizaremos los espacios euclidianos y su relacin con el clculo de varias variables.

Abordaremos las propiedades principales de los espacios eucldeos, notacin vectorial y su representacin

en al mbito de varias variables. Trataremos los puntos referentes a las funciones derivadas y su relacin

con los campos vectoriales.

Propsito de la unidad

Mediante el estudio de esta Unidad podrs:

Identificar las funciones como producto de varias variables, tomando como base el producto escalar de un

vector.

Emplear la distancia Euclidiana tomando como herramienta los lmites y la continuidad.

Competencia especfica

Utilizar las herramientas de integracin para representar reas, volumen y superficies mediante el uso de

integracin de primitivas.

2.1. Plano y espacios Euclideos

El desarrollo de la geometra Euclidiana tiene su principal momento en los siglos XIX y

XX, tras la aparicin del clculo vectorial. El nombre lo recibe en honor del matemtico

Euclides quien vivi en los aos 300 A.C., y que estudi los principios bsicos de la

geometra plana, o en dos dimensiones.




3

Los espacios vectoriales se pueden combinar con nociones de geometra como lo es la ortogonalidad,

distancias, ngulos, etc. Estos conceptos se pueden introducir en los espacios vectoriales a travs del

producto escalar.

En otras palabras se trata de una funcin que relaciona a cada o vector de componentes

reales , con nmero real , escribindose como se muestra a continuacin:

Para la notacin vectorial es:

Hay que precisar que a los elementos del vector se les llama variables independientes y al

nmero real , variable dependiente.

2.1.1. Producto escalar

Para comenzar a comprender el concepto de geometra Euclidiana en relacin con el clculo vectorial,

consideremos el siguiente producto de dos vectores:

El resultado de esta operacin es un escalar, por eso a ste se le denomina producto escalar y permite

conocer algunas de las propiedades de los vectores, por ejemplo aquellos que tienen ngulo recto (tambin

llamados ortogonales), los cuales tienen producto escalar igual a cero, como se muestra a continuacin:

Las propiedades del producto escalar en cualquier espacio son las siguientes:

Se le denomina funcin real de a toda relacin que contenga valores reales y

su dominio sea un conjunto en el espacio euclidiano de dimensin , .




4

.

De esta manera:

Al producto escalar tambin lo conocemos como producto interno y como se mostrar a continuacin,

Consiste en una operacin sobre dos vectores. As tenemos que para en donde

, , se define:

En donde:

=2: =

=3: =

Ahora consideraremos las propiedades del producto escalar y, aunque existen algunas otras propiedades,

principalmente se mencionan dos:

Cuando el producto escalar es simtrico o conmutativo:

Cuando el producto escalar es lineal respecto a la primera variable:

Ejemplos:

< >

Un espacio Euclidiano es un espacio vectorial con un producto escalar.

Denotamos al producto escalar con pero tambin lo podemos utilizar como:




5

El producto escalar, en , puede considerarse

como una multiplicacin de dos matrices, la primera

con un rengln y la segunda con una columna

nicamente.

(

)

La multiplicacin de matrices en el espacio no

es un producto escalar.

En el espacio para matrices de en

podemos definir el producto escalar como sigue: ( ) (

*

Sea { | el espacio de

todos los polinomios de grado , entonces

podemos definir el producto escalar.

2.1.2. Distancia Euclidiana

En la interpretacin geomtrica del espacio eucldeo, se encuentran dos elementos de estudio:

Puntos

Generacin de los nmeros reales en diferentes representaciones del espacio. Anlogamente que

representado geomtricamente en una recta, tenemos que:

Vectores

La regla del paralelogramo responde a la suma de vectores, en donde cada n-upla son el vector, o

tambin llamado segmento orientado, que une el punto de coordenadas con el origen

.

Tambin habr que considerar a los vectores de la base estndar , se ubican en las

direcciones de los ejes de las coordenadas; luego entonces, los elementos del vector segn dichos ejes

son:

Nmero Elementos Representacin

Plano en el que corresponde a las abcisas e a

las ordenadas en un sistema de coordenadas

cartesianas

Espacio tridimensional en el que una -upla es un

punto en el espacio tambin de dimensiones




6

Puede resultar til tomar en cuenta los segmentos orientados con origen arbitrario, sin embargo, habr que

identificar a los dos segmentos que se obtengan recprocamente aplicando exactamente la misma

traslacin a su extremo y a su origen. As tenemos que el extremo en = y el segmento con

origen en un punto = le corresponde el siguiente vector:

De manera recproca = , es decir, cada uno de los vectores de = pueden ser

representados por un segmento con origen en cualquier punto = . Con lo que se concluye

que la interpretacin grfica de la suma de vectores es: , cualesquiera que sean los punto

Con referencia a la desigualdad de Cauchy-Schwartz, para se tiene que:

Dndose la igualdad si y slo si

Ahora bien, en cuanto a la desigualdad triangular, para se tiene que:

Dndose la igualdad si y slo si

/

+

/

La norma euclidea es una norma asociada al producto escalar , en donde para:

Se define:

Con lo que tenemos que:

con o .

con o .




7

El significado geomtrico es un espacio mtrico es un par donde es un conjunto y es

una funcin tal que:

De la definicin anterior podemos desprender las siguientes propiedades:

Con lo que se concluye que dado que es la distancia que hay del origen al punto ,

es la distancia entre los puntos e .

Nota: La funcin se llama mtrica o distancia y los elementos de se denominan puntos.

2.1.3. Lmites y continuidad

En el clculo de variables tomaremos funciones definidas en un conjunto y que adquieren valores

en , donde Al conjunto se le denomina dominio de la funcin y lo representaremos

mediante .

Sea y una funcin que va de

a) Si , la funcin se denomina funcin real de una variable real.

b) Si > , a la funcin se le llama funcin vectorial de una variable real.

c) Si > , se conoce como una funcin real de una variable vectorial o campo

escalar.

d) Si > > , es una funcin vectorial de una variable vectorial o campo vectorial.

Ejemplos:

y est definida por para todo

El volumen de un cubo de medidas es la funcin dada por la funcin




8

Sea una funcin, tal que:

Donde son funciones escalares.

Estas funciones se llaman funciones escalares de . Es comn utilizar la notacin abreviada

.

Si consideras la funcin , las funciones escalares de son:

Ejemplo:

Considera la funcin

El dominio de es el conjunto

Si tomamos el valor para entonces para tenemos que:

y

La nocin de lmite y continuidad la podemos ampliar a funciones entre dos espacios mtricos. Conocemos

que con la mtrica euclidiana es un espacio mtrico en el que o en otros

trminos:

(( ) )

Consideramos la norma euclidiana en y la denotaremos simplemente como .

Por lo expresado hasta aqu, podemos considerar tambin los conceptos de lmite y continuidad en las

funciones .

Ejemplo:




9

El lmite de para este caso es igual a 2 y el de es igual a 10.

Probaremos esto considerando que:

Dado un > existe un > tal que si < entonces se cumple que < / y adems

existe un > tal que si < entonces < /

Ahora tomemos a y a tal que < | | < entonces tenemos que:

< < | | | | <

y adems:

< < | | | | <

y finalmente, de esto se desprende:

<

2.2. Campos escalares y vectoriales

El concepto de Campo, proviene originalmente del estudio de fenmenos fsicos. Por ejemplo, si pensamos

en una de las habitaciones de nuestra casa, que tiene una puerta que da al pasillo u otra habitacin

contigua o al bao y una ventana por donde entra la luz del sol en la maana. Si tomamos la temperatura

en distintos puntos de la habitacin, en la ventana, en la puerta, cerca de la lmpara de la habitacin, etc.,

tendremos diversas lecturas en el termmetro.

Ahora consideremos otro ejemplo, una cisterna profunda, o una fosa de clavados o una alberca, un tinaco

de agua, etc. Si medimos la presin del agua a distintas alturas de los envases anteriores, obtendremos

tambin diferentes valores de la presin hidrulica.

En el primer ejemplo tendramos un conjunto de valores de temperatura de la habitacin, el cual conforma

un campo de valores de temperatura y en el segundo ejemplo tendramos un campo de valores de presin.

En ambos casos, los diferentes valores solamente dependen de la posicin espacial en donde se tomaron

las mediciones y nada ms.

Cuando tenemos un campo de valores, que solamente tienen una magnitud o valor de medida, entonces

decimos que se trata de un Campo Escalar.

En cambio si ahora medimos la velocidad de algn vehculo en movimiento o si dejamos caer

una pelota desde la azotea de un edificio y medimos la posicin, la velocidad de la pelota, en




10

ambos casos, tenemos que decir cul es el valor de la velocidad, pero tambin tenemos que decir en qu

direccin se mueve el objeto y hacia qu lado. En el primer caso, el automvil se mueve hacia la derecha

con una velocidad de 20 km/hr. En el segundo caso, decimos que la pelota cae con una velocidad de 5 m/s.

Si tuviramos que levantar un objeto pesado que se encuentra en el piso, utilizando una polea y una cuerda

para ello. Tendramos que aplicar una cantidad de fuerza determinada sobre la cuerda para levantar el

objeto del piso a una altura dada, tal y como se muestra en la figura

En todos estos ejemplos, las cantidades que medimos no solamente tienen un valor

numrico, como en los campos escalares, sino que ahora tenemos una direccin sobre

la cual est tomando la medicin. As, al mediar la velocidad de alguno de los objetos,

tenemos que decir cul es la direccin y el sentido en el cual se est moviendo el

objeto. En el caso del levantamiento del objeto, adems de decir el valor de la cantidad

de fuerza que se debe aplicar, tambin est involucrada la direccin y el sentido en los

cuales debe aplicarse la fuerza.

As pues, cuando tenemos entidades que tienen una magnitud, pero adems tienen asociada una direccin

y un sentido, decimos que se trata de un vector y al conjunto de vectores considerados dentro de un

problema o escenario determinado lo llamamos Campo Vectorial.

En los ejemplos dados, tendramos un campo de velocidades y un campo de fuerzas, ambos son ejemplos

de campo vectoriales.

2.2.1. Derivadas Parciales y direccionales

Hemos aprendido hasta aqu que el Clculo de varias variables, es similar al clculo de una variable,

simplemente aplicando varias variables.

Derivadas parciales con funciones de dos variables.

Considere como un punto en el

dominio de una funcin , el plano

vertical , que corta la superficie

en la curva ,

como se indica en la figura siguiente. En

este plano, es la coordenada

horizontal y es la vertical, mientras que

es una constante.

Fig. Interseccin en el plano en la superficie .




11

Definicin. Derivada parcial con respecto a .

Ejemplo 1

Calcule la derivada parcial,

encontrando los valores

y

en el punto (4,-5) en la

funcin

Solucin:

Para resolver este problema, consideramos a como una constante y

derivamos con respecto a . Por lo tanto:

Para el punto (4,-5), el valor de

es .

Ahora, para encontrar

tomamos a como una constante y derivamos

con respecto a .

(

Evaluando

en el punto (4,-5), quedara as: 3(4)+1=13.

Ejemplo 2

Encontrar y si tenemos

que:

Solucin:

Tomaremos a como un cociente y a como una constante:

(

*

0 0

l

La derivada parcial de con respecto a en el punto es la siguiente:




12

Tomamos a como una constante, tenemos que:

(

*

Ejemplo 3

Para este ejemplo debemos encontrar

en la ecuacin l . Esta ecuacin tiene a como

una funcin con dos variables independientes y existe la derivada parcial.

Solucin: Debemos derivar ambos lados de la ecuacin con respecto a . Tomaremos a como una

constante y como una funcin derivable de .

l

(

*

Ejemplo 4

Considere el plano toca al paraboloide en una parbola. Determinar la pendiente de la

tangente a la parbola en la direccin (1,2,5) como se muestra en la figura:




13

Fig. Tangente a la curva de interseccin en la superficie del plano , en el punto (1, 2,5).

Ejemplo:

Considere ahora una funcin de tres variables independientes:

Encontrar

.

Solucin:

[ ]

Ejemplo:

Considera la siguiente funcin:

{

Determine el lmite de como en el punto (0,0) alrededor de la lnea . Probar que es

discontinua en el punto (0,0) y muestre que existen las derivadas parciales

y

en el punto (0,0).

Solucin:

Como tiene un valor de 0 a lo largo de la lnea (excepto en el origen), tenemos que:

l

l




14

Por otra parte, como el lmite de , como se puede ver en el punto anterior, entonces se

demuestra que la funcin no es continua en el punto (0,0).

Por ltimo, si queremos encontrar

en el punto (0,0) y tomamos a , entonces el valor de

para todo . Podemos ver la grafica de , en la figura. Podemos ver que la pendiente de en cualquier

, es

, en particular en el punto (0,0). De igual forma

es la pendiente de en la figura y podemos

ver que

en el punto (0,0).

Fig. Grfica de la funcin {

Derivadas parciales de segundo orden

A continuacin se presentan la nocin de funciones de dos variables con derivadas de segundo orden.

Denotamos a la derivada de segundo orden para una funcin de dos variables como:

1.- 2

2

3.- 2

2.- 2

2 4.-

2

Utilizando esta notacin las ecuaciones quedaran as:

(

*

(

*

Note que se deriva primer con respecto a y luego con respecto a .




15

O bien, esto mismo podramos representarlo como: ( ) .

Ejemplo:

Encontrar las derivadas parciales de segundo orden para la funcin

Solucin:

Entonces:

Entonces:

(

*

2

(

)

(

*

2

2

(

)

Teorema de las derivadas mixtas

Las derivadas parciales de segundo orden mixtas del ejemplo anterior son iguales, lo cual no es una

coincidencia, ya que deben ser iguales siempre que .

Este teorema es conocido como el teorema de Clairaut en honor al matemtico francs Alexis Clairaut

quien lo descubri. Este teorema muestra que para calcular una derivada de segundo orden mixto

podemos derivar en cada uno de los rdenes verificando que se cumplan las condiciones de continuidad.

Ejemplo:

Determinar / considerando que

2

Solucin:

Podemos ver que la expresin / nos

indica que primero debemos derivar con respecto a

y despus con respecto a . Sin embargo

podemos hacer ms rpido el procedimiento si

Teorema. Si y sus derivadas parciales se definen en una regin que contiene un

punto y son todas continuas en el punto , entonces tenemos que:




16

derivamos primero con respecto a , como veremos

a continuacin:

Por supuesto, si derivamos primero con respecto a

obtenemos el mismo resultado.

Derivadas parciales de mayor orden

En ocasiones podemos encontrarnos con problemas que requieran derivadas parciales de un orden mayor

a dos. Para estos casos no debe existir limitacin sobre el nmero de veces que podemos derivar una

funcin.

Ejemplo:

Calcular las derivadas parciales de cuarto orden

para la funcin

Solucin:

El orden en que derivaremos la funcin es: y

por ltimo .

=-

=-4

Diferenciabilidad

Recordemos que para funciones de una sola variable si es derivable en entonces el cambio

en el valor de se obtiene del resultado de del cambio de a y se expresa con la ecuacin

siguiente:

Donde

Este concepto se puede extender para funciones de ms de una variable.

Teorema. Incremento para funciones de dos variables:

3

4

Las derivadas de orden mayor a dos, podemos representarlas como:




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Consideremos que la primera derivada de una funcin a lo largo de una regin conteniendo el

punto ( y tambin que y son continuas en dicho punto.

Definicin. Funcin diferenciable.

Una funcin es diferenciable en si y existen y satisface la

ecuacin de la forma siguiente:

Donde y

Llamaremos a una funcin diferenciable si es diferenciable en todo punto de su dominio.

Corolario del teorema de del incremento para funciones de dos variables.

Por lo tanto, el incremento

en el valor de la funcin resulta del

movimiento desde a otro punto

)

en R, satisface la ecuacin siguiente:

Una funcin es diferenciable en si y existen y satisface la ecuacin de la forma siguiente:

Donde y

Llamaremos a una funcin diferenciable si es diferenciable en todo punto de su dominio.




18

Si existe continuidad en las derivadas parciales y en una funcin a travs de una regin ,

entonces es diferenciable en cualquier punto de .

Regla de la cadena para funciones de varias variables

La regla de la cadena para funciones de una sola variable establece que cuando es una funcin

derivada de y adems es una funcin derivada de , entonces se es una funcin diferenciable

de y

Para funciones de varias variables la regla de la cadena presenta varias formas y cada una de ellas

depende de cuantas variables estn consideradas.

Funciones de dos variables

Para una funcin donde y donde ambas son funciones diferenciables de , la

frmula para la regla de la cadena est expresada en por el teorema siguiente.

TEOREMA. Regla de la cadena para funciones de dos variables independientes.

Si tiene derivadas parciales continuas y y adems si son funciones

diferenciables de , entonces la composicin de funciones ( ) es una funcin diferenciable

de y podemos expresar que:

( )

( )

o bien,

Prueba. La prueba del teorema anterior consiste en mostrar que si y son funciones diferenciables en

cuando es diferenciable en y adems

(

* 0

(

* 0

(

* 0

(

* 0

(

* 0

donde y los subndices indican que las derivadas han sido evaluadas.




19

Consideremos ahora lo siguiente, sea y , y incrementos derivados del cambio de por .

Sabemos que es diferenciable, por lo que

(

) 0 (

) 0

Donde y y tambin .

Dividiremos esta ecuacin por para encontrar

, con lo cual obtenemos:

(

* 0

(

* 0

Haciendo que , tenemos que:

(

* 0

l

(

* 0

(

* 0

(

* 0

(

* 0

(

* 0

Ejemplo:

Encontrar la derivada de con respecto a , utilizando la regla de la cadena, donde y

. Calcular el valor de la derivada en

.

Para encontrar / aplicamos la regla de la cadena de la forma siguiente:

(

) /

(

)

Funciones de tres variables




20

Lo visto anteriormente se puede extender para el clculo con tres variables. A continuacin se muestra un

teorema que hace referencia a esto.

Teorema. Regla de la cadena para funciones de tres variables independientes.

Consideremos como una funcin diferenciable y son a su vez, funciones diferenciables

de u, por lo tanto es una funcin diferenciable en .

Ejemplo:

Calcular / si .

Calcule la derivada para

(

)

(

) .

2.2.2. Vector gradiente y matriz jacobiana

A continuacin se aborda el concepto de matriz jacobiana y vector gradiente en el clculo de varias

variables.

Matriz jacobiana

Definicin. Sea una funcin tal que diferenciable en a. Cuando se fijan , la matriz

que corresponde a la aplicacin lineal se le denomina matriz jacobiana de en . Esta matriz

jacobiana se denota por:

(

,

Considere la funcin . Esta funcin es diferenciable en si y solo si existe el lmite




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l

Para este caso, se denota , donde el apostrofe representa a la derivada de la funcin.

es el vector tangente a la curva en .

Ejemplo: Consideremos el valor de y representa, para una partcula mvil, el vector de

posicin en el espacio. Entonces es el vector velocidad y su mdulo es la velocidad.

Vector gradiente

Definicin. El vector gradiente de , cuando existen las derivadas parciales, se define

como .

De acuerdo a lo anterior podemos sacar las siguientes conclusiones:

< >

Por lo tanto una funcin escalar diferenciable tiene una direccin mxima de variacin dada por su vector

gradiente.

Por otra parte, el vector gradiente no nulo, es ortogonal a los llamados conjuntos de nivel. Como ejemplo

considere y obtenemos las ecuaciones de la recta tangente y del plano tangente de la forma

siguiente:

Recta tangente a la curva en el punto .

< >

En cuanto al plano tangente a la superficie en el punto , tenemos que

< >

Hay que hacer notar que si la superficie viene dada de manera explcita por , donde como hemos

visto es una funcin diferenciable en , entonces el plano tangente es:




22

Ya que si y solo si .

2.2.3. Derivadas de orden superior

Las derivadas de orden superior de funciones de varias variables, estn relacionadas con las derivadas

parciales de dichas funciones. Por ejemplo, suponga que tenemos la funcin , de dos variables,

sabemos que las derivadas parciales de dicha funcin son:

A estas derivadas se les llama las derivadas parciales de primer orden.

Si ahora volvemos a obtener las derivadas parciales de las funciones que representan las derivadas

parciales de primer orden, obtendremos las derivadas parciales de segundo orden de la funcin

Estas derivadas se representan como:

(

*

(

*

(

*

(

*

Algunas propiedades de las derivadas parciales

Si las derivadas parciales son funciones continuas, entonces las derivadas cruzadas son idnticas

Si las derivadas parciales son funciones continuas entonces no importa el orden en el que se realicen las

derivadas, sino del nmero de veces que se derive con respecto a cada una de las variables. Esto es muy

importante tomarlo en cuenta ya que aunque el resultado final sea el mismo, el proceso de clculo puede

ser ms tedioso y difcil si se lleva a cabo en un orden que en otro.

Para calcular las derivadas parciales de tercer orden o superiores, se procede de la misma manera que se

hizo anteriormente.

Ejemplo 1.




23

Obtener la derivada parcial de segundo orden de la funcin .

Para empezar, calculamos las primeras derivadas parciales de la funcin :

Ahora volvemos a derivar las primeras derivadas parciales para obtener las derivadas parciales de segundo

orden:

3

3

4

Observe que las derivadas parciales cruzadas son idnticas, ya que las funciones de las derivadas

parciales de primer orden son continuas.

Si seguimos derivando una vez ms el resultado anterior (la derivada parcial de segundo orden),

obtendremos la derivada parcial de tercer orden de la funcin y as sucesivamente, las de orden

superior.

Las derivadas parciales de tercer y cuarto orden de la funcin se escriben como:

3

4

Ejemplo 2.

Calcular la derivada parcial de cuarto orden de la funcin

Para calcular esta derivada de cuarto orden, primero tenemos que derivar a con respecto a la

variable luego con respecto a luego con respecto a y finalmente con repecto a




24

2.2.4. Derivacin implcita e inversa

En esta seccin veremos el concepto de funciones implcitas y cmo calcular sus derivadas parciales.

Tambin estudiaremos la forma para obtener las derivadas parciales de una funcin inversa.

Derivadas implcitas

Una funcin implcita es aquella en la que las variables de la funcin estn relacionadas de tal manera que

no es posible despejar a todas y cada una de las variables en trminos de las otras. Por ejemplo, si

tuviramos la funcin podemos despejar, ya sea a en trminos de o viceversa

como se muestra a continuacin:

Pero si la funcin fuera: 3 cmo despejara a o a ?

Por qu nos interesara despejar una variable en trminos de las otras? Pues para obtener la derivada de

una de las variables con respeto a las otras.

Regla de la cadena

Del clculo de una variable, tenemos la Regla de Cadena, que nos dice que si tenemos una funcin de

igualada a y es una funcin de entonces la derivada de con respecto de se calcula de

la siguiente manera:

Para el caso de dos ms variables la regla de la cadena tiene varias formas dependiendo del nmero de

variables involucradas. Por ejemplo si tenemos que , y tanto como dependen de la variable

entonces la derivada de con respecto a la variable viene dada por:

Ejemplo 3. Vamos a usar la regla de la cadena para calcular la derivada de con respecto a

suponiendo que y que Calcule el valor de la derivada en /




25

Sabemos por la regla de la cadena que la derivada de

est dada por la expresin:

Evaluando la derivada en el punto

tenemos que (

)

(

)

En trminos generales podemos decir que una funcin implcita la podemos representar, en el caso de dos

variables como:

En la parte izquierda de la ecuacin aparecen todos los trminos en y mezclados en diferentes

expresiones matemticas. Por ejemplo:

En el caso de 3 variables lo escribimos as: Un ejemplo sera:

Si queremos calcular la derivada parcial de segundo orden de alguna de las funciones anteriores, por

ejemplo 2

, procedemos de la siguiente manera:

Sea entonces tenemos que:

( )+




26

Derivadas parciales de funciones inversas

Caso de una variable

Para el caso de funciones de una sola variable, de la forma es fcil demostrar que la derivada de

primer orden de la funcin inversa de , viene dada por la expresin:

Suponiendo que

Ejemplo 4. Calcular la derivada de primer orden de la funcin inversa

de la siguiente ecuacin:

Calculemos la derivada

. Para ello derivamos implcitamente la ecuacin dada.

(

*

6

2

Por lo tanto, la derivada de la funcin inversa

es:




27

Las derivadas de rdenes superiores de funciones inversas, se obtienen de la misma manera, llegando a

las siguientes expresiones:

(

* 3

3

3 [

3

3

] (

* 5

Caso de varias variables

Cuando tenemos ms de una variable y una funcin de dos ms variables como por ejemplo y

tenemos una transformacin dada por es decir que existe una funcin inversa, tal que:

Tal que podemos representar a ( ) usando la regla de la cadena podemos derivar con

respecto a para obtener:

Que tambin podemos escribir como:

Dado que sabemos que entonces podemos calcular las siguientes derivadas

parciales:

y

. Las otras derivadas parciales pertenecen a las funciones inversas:

y

,

las cuales podemos obtener derivando implcitamente:

Primero, derivemos las expresiones




28

Este es un sistema de ecuaciones simultneas, que podemos resolver fcilmente para

y

:

Ahora derivamos pero con respecto a para obtener, despus de la misma serie

de pasos anteriores:

Como se puede ver, los denominadores de las expresiones anteriores, son el Jacobiano de la

transformacin de , dada por , que es precisamente el determinante:

|

|

De la misma manera tenemos que:

|

|

Usando las expresiones calculadas anteriormente y substituyendo en este ltimo Jacobiano tenemos:

|

|

|

|




29

Que es la generalizacin en varias variables del caso la derivada de una funcin inversa de una variable.

2.3. Introduccin al anlisis vectorial

Considera que un objeto, trtese de un punto, una pelota, un insecto, un helicptero, etc., se mueve en un

espacio tridimensional y te interesa saber cules son los ejes de ese objeto en un sistema de coordenadas,

ya sea cartesiano, esfrico o cilndrico.

Si consideras un sistema cartesiano, entonces las coordenadas de dicho objeto estaran representadas

como una triada de valores .

Figura representativa de las coordenadas cartesianas

Si quisieras utilizar un sistema esfrico, entonces necesitaras un sistema coordenado con valores .

Figura representativa de las coordenadas esfricas

Si decides emplear un sistema cilndrico, entonces usaramos un sistema coordenado con valores .

Figura representativa de las coordenadas cilndricas




30

Ahora bien, dado que los objetos considerados cambian de posicin constantemente, es decir, se mueven,

de tal manera que las coordenadas en cualquiera de los sistemas van a estar tambin cambiando. As

pues, si se piensa en un sistema cartesiano, cada una de las tres coordenadas estaran cambiando con el

tiempo, es decir, seran funciones dependientes del tiempo, ms que valores constantes.

La representacin matemtica de las tres coordenadas cartesianas de un punto en movimiento en el

espacio, estara dada por la expresin , en donde representa al tiempo siendo una

variable independiente, quedando representada de la siguiente manera:

Entonces para un punto , movindose en el espacio, su posicin estara descrita por la expresin:

La posicin de un punto en el espacio, se puede representar por medio de un vector . Por lo tanto el

vector que representa la posicin del punto se denota como:

Tambin lo podemos representar utilizando los vectores los unitarios de la siguiente manera:

Grficamente el vector de posicin se muestra en la siguiente figura:




31

Figura que representa un vector

Si el objeto se moviera exclusivamente en el plano - , la componente en sera idnticamente cero, es

decir, , para todo valor de .

2.3.1. Curvas y superficies

Sabemos que el vector de posicin genera una lnea curva cuando la variable independiente toma

valores reales.

Ahora sabemos que el vector de posicin puede representarse por medio de la triada:

( )

En donde y son funciones cualesquiera de . A manera de ejemplo vamos a asignar algunas

definiciones a estas funciones y luego ver sus representaciones grficas.

Ejemplo

1

Sean las funciones

Si graficamos la

curva generada por

al darle valores

a , tendramos que

el vector de posicin

generara la

siguiente figura:

Ejemplo

2

Sean las funciones

Entonces la grfica

generada por se

vera como se

muestra en la

siguiente figura:

Ejemplo

3

Sean las funciones

( )

( )

Entonces la grfica

generada por se

vera como se

muestra en la

siguiente figura:




32

Mediante el uso de vectores tambin se puede representar una superficie en tres dimensiones. Esto se

logra si se considera nuevamente un punto sobre la superficie, el cual est descrito por un vector de dos

variables, que en realidad son funciones de dos variables , como se muestra en la siguiente

expresin:

Supongamos adems que esta funcin vectorial es continua en el plano y que es una funcin uno a uno

dentro de una regin de dicho plano. Esta regin es el rango o dominio de la funcin vectorial que

representa la superficie .

Regin R Superficie S

De la misma manera que podemos representar las curvas en diversos sistemas coordenados, tambin las

superficies las podemos representar ah.

Vamos a suponer que la regin est delimitada de la siguiente manera:

Sea

La suposicin de que es una funcin vectorial uno a uno dentro de la regin , garantiza que la

superficie no se cruza con ella misma.

Observa que para la funcin vectorial , las coordenadas cartesianas estn representadas por las

tres funciones paramtricas siguientes:




33

Ejemplo 1.

Consideremos que las variables

estn relacionadas mediante la siguiente

expresin:

Podemos identificar que dicha expresin

representa a una superficie cnica, como

se muestra en la siguiente figura.

Si consideramos un sistema de coordenadas cilndrico, apoyados en la figura anterior podemos ver que las

coordenadas estn dadas por las siguientes expresiones:

En donde y . Si hacemos el siguiente cambio de variables: , tendremos

que la representacin vectorial de la superficie est dada por:

Ejemplo 2.

Consideremos ahora la ecuacin de una

esfera de radio la cual est

representada por la expresin

La grfica se muestra en la siguiente

figura.

Un punto sobre la superficie de la esfera se puede representar en coordenadas esfricas de la

siguiente manera:




34

Con . Si hacemos el siguiente cambio de variables: , entonces

obtenemos la representacin vectorial de la superficie esfrica:

Ejemplo 3.

Vamos a encontrar la representacin

vectorial de una superficie cilndrica, cuya

ecuacin en coordenadas cartesianas

est dada por la ecuacin:

con

Su grafica se muestra en la siguiente

figura.

Un punto con coordenadas cartesianas se puede representar en coordenadas cilndricas,

considerando los siguientes cambios: . Por lo tanto los puntos sobre la

superficie cilndrica, tendran su representacin vectorial como:

Esto es , con

Un punto sobre la superficie del cilindro tiene las siguientes representaciones en cada una de sus

coordenadas:

Si hacemos el cambio de variables: y se obtiene la representacin vectorial de la superficie

cilndrica:




35

Actividad 1. Curvas de nivel

A travs de esta actividad podrs, identificar que es una curva de nivel de una funcin, como se obtienen,

representan y como se usan.

Instrucciones:

1. Desarrolla en colaboracin con tus compaeros el concepto de curva de nivel, el contenido debe

tener las siguientes condiciones:

a. Concepto de curvas de nivel

b. Como se obtienen las curvas de nivel

c. Como se representa una curva de nivel

d. En qu reas del mbito profesional y social se pueden aplicar

e. Ejemplifica graficas de curvas de nivel.

2. Recuerda que el contenido deber ser verdico y correspondiente a lo solicitado

3. Utiliza herramientas y recursos que permitan que la informacin mostrada en el wiki sea til para

tus compaeros.

2.3.2. Integral curvilnea y de superficies

Ahora veremos cmo realizar integrales de funciones vectoriales. Esto lo usan los ingenieros, los fsicos y

matemticos para analizar fluidos, disear cables submarinos, fenmenos de trasferencia de calor, campos

elctricos con diversas geometras, entre otras muchas ms aplicaciones.

En particular, las integrales curvilneas se usan para calcular el trabajo hecho por un campo de fuerzas

sobre una partcula para moverla de un punto a otro a lo largo de una trayectoria dentro del campo.

Por otra parte, las integrales de superficie te ayudan a medir la cantidad de flujo que pasa a travs de una

determinada superficie. Los flujos pueden ser elctricos, magnticos, de radiaciones en general, fluidos

como lquidos, gases, plasma, partculas, etc.




36

La integral definida de una funcin dentro de un intervalo cerrado [ ], en el eje de las , que se

representa como

, te puede ayudar a resolver una gran cantidad de problemas matemticos y de

la vida real, por ejemplo, puedes calcular la masa de una varilla recta o el trabajo hecho por un campo de

fuerza alineado a lo largo del eje-x.

Ahora bien, con la integral curvilnea o tambin llamada integral de lnea, puedes calcular la masa de una

varilla o cables que tengan un forma caprichosa en dos o en tres dimensiones. Tambin es posible que

calcules el trabajo hecho por un campo de fuerza (elctrico, magntico, gravitacional, etc.) sobre una

partcula a lo largo de una trayectoria curva en dos tres dimensiones.

Ahora, tendremos que considerar en lugar del eje-x, una curva general (en dos en tres dimensiones) que

designaremos con la letra

Si se tiene la funcin y queremos integrarla, no a lo largo del eje-x, del eje-y o del eje-z, sino a lo

largo de una curva tridimensional, descrita por el vector de posicin con

dentro del dominio de la funcin , entonces los valores que toma la funcin a lo largo de la

curva vienen dados por ( )

Para encontrar la integral de la funcin a lo largo de recordaremos el concepto de sumas de Riemann y

para ello se parte la curva en pequeos arcos, desde el punto hasta el punto y luego hacemos la

suma de los valores de la funcin evaluada en cada uno de esos pequeos arcos y multiplicada por la

longitud del pequeo arco, como se indica en la siguiente expresin:

Suponiendo que las funciones tienen, cada una de ellas, su primera derivada continua a lo largo de

la curva y dentro del intervalo [ ] cuando la sumatoria tiende al lmite que llamaremos

integral de lnea o curvilnea de la funcin a lo largo de en el intervalo de a Esto lo denotamos con

la expresin:




37

Que se lee como La integral de sobre .

Pasos para calcular la integral de lnea de una funcin

Revisa los siguientes ejemplos de la integral de lnea para diferentes curvas C.

Ejemplo 1.

Sea la funcin f(x, y, z) = 1

es una funcin constante

La integral de la funcin f es

l l

Ejemplo 2

Sea f(x, y, z) = 3x2-2y+z

Primer paso:

Calculamos la integral sobre la curva

C representada por la lnea recta que

va del origen al punto (1, 1, 1) como se

muestra en la grafica

Segundo paso.

El vector de posicin que representa

al segmento de la curva viene

dado por

Por lo tanto, la longitud de este

vector es

| |

en donde

Calcule la integral como:

Determine la forma vectorial de la curva




38

Tercer paso.

Calculando la integral de f sobre la curva c es:

* 3

2+

(

*

Una propiedad importante y til que se utiliza en las integrales curvilneas es llamada aditividad que se

define de la siguiente manera

Ejemplo 1

1. Calcular la integral de lnea de la funcin

sobre la curva formada

por los dos sub-segmentos de curva, tal y

2. Sean los dos sub-segmentos las lneas dadas por:

1

2

Si una curva se puede descomponer en un conjunto finito de sub-segmentos de curva,

de tal manera que al unirlos todos, se forma la curva original entonces la

integral curvilnea de una funcin es la suma de las integrales curvilneas sobre cada uno

de los sub-segmentos:




39

como se muestran la siguiente figura.

3. la integral de es:

1 2

2 1

Cuando se desea calcular la integral de una funcin sobre una superficie curva en tres dimensiones, como

la que se muestra en la siguiente figura

La integral sobre la superficie curva es una integral doble evaluada sobre la superficie representada por la

proyeccin (o sombre) de la superficie curva sobre el plano (X, Y). estos se usan para calcular los flujos de

lquidos , electrnicos, magnticos etc..

rea de una superficie

Cmo se puede calcular el rea de la superficie S si conocemos la funcin (x, y, z)? Para contestar esta

pregunta se debe hacer la siguiente suposicin.




40

La funcin f(x, y, z) es una funcin suave, es decir que no cuenta con picos ni quiebres, esto se representa

como continua la cual no se desvanece sobre la superficie S. De esta manera se puede calcular como la

integral doble sobre la sombra R. para llevar a cabo esto, debemos suponer que la proyeccin de la

superficie sobre su sombra es uno a uno, esto es, cada punto de corresponde con uno y solo un

punto de .

Para ejemplificar esta situacin se muestra algunos ejemplos donde se demuestra el clculo de reas de

superficies.

Vamos a considerar una superficie general para

modelar la forma en la cual calcular el rea de la

superficie

En la figura se muestra una superficie general con

las condiciones indicadas anteriormente. Tomemos

un pequeo cuadrado sobre la superficie que

llamaremos , que representa un rea

infinitesimal. sta pequea rea la vamos a

aproximar por el valor que es el pedazo de

plano tangencial a la curva en ese punto.

La proyeccin del cuadrado sobre la regin ,

es un pequeo rectngulo . En la siguiente

figura tenemos una vista ampliada de la figura

anterior, para poder visualizar los distintos

elementos involucrados en el anlisis del clculo de

la integral de superficie.

En esta figura observamos el vector que es normal a la superficie . El punto es la proyeccin

sobre R del punto sobre la superficie , en donde se est evaluando la funcin . El rectngulo formado

por los vectores es el plano tangente a la superficie en el punto . El vector perpendicular a este

plano es el vector formado por el producto cruz de los vectores que se denota por .

La pequea rea infinitesimal est dada por la expresin




41

| |

El rea del cuadrado es precisamente .

De esto tenemos que

suponiendo que Esto sucede si no es paralelo al plano

del piso y si As pues, al hacerse ms pequeos los rectngulos tienden a ser casi igual a

los rectngulos y si hacemos la suma de estos elementos, en el lmite tender al valor real de la

superficie

l

Por lo tanto, el rea de la superficie es el valor de la integral anterior, siempre y cuando sta exista.

Haciendo las observaciones siguientes, tenemos que para una funcin y sabemos que

| | | | as que tenemos que

| |.

Substituyendo esta ltima expresin en la ecuacin de la superficie, tenemos que el rea de la superficie

est dada por la expresin

| |

En donde es el vector normal a la superficie y

As pues, finalmente tenemos que el rea de la superficie es la integral doble sobre la proyeccin o

sombra de la magnitud de dividida entre la magnitud de la componente escalar de que es normal

a

Ejemplo 1

Encontrar el rea de la superficie del paraboloide

representado por la funcin implcita a

partir del plano hasta el plano tal como se

muestra en la siguiente figura




42

Solucin

El corte que hace el plano al paraboloide, proyecta una sombra sobre el plano x-y representada

por la expresin , que es un crculo de radio igual a 2, tal y como se ve en la figura.

Podemos tomar como vector perpendicular al crculo al vector unitario en la direccin

Cualquier punto sobre la superficie del paraboloide est representado por la funcin

,

Por lo tanto

| | | |

En el plano x-y, en la regin se tiene que un rea infinitesimal es , entonces tenemos que el

rea total de la superficie es

| |

2 2 4

*

4 2 3 2 +

( 3 )

( )

Ejemplo 2.

Calcular el rea del casquete esfrico que se

halla en el polo norte de la superficie semi-esfrica

con , cortada por el cilindro

Tal y como se representa en la figura

siguiente.




43

Solucin

El casquete polar es parte de la esfera centrada en el origen de un sistema cartesiano, cuya funcin est

dada por

La imagen proyecta una sombra sobre el plano x-y en forma de crculo, cuyo radio es 1 y que est

representado por la expresin

Podemos tomar como vector normal a la superficie al vector unitario en la direccin de

As, cualquier punto sobre la superficie de la semi-esfera est dado por la funcin

En donde tenemos que:

| | | |

Por lo tanto, el rea del casquete polar es:

| |

2 2 4

[ 2 1 2 ]

( )

2.3.3. Aplicaciones

Con la integral de lnea ahora se pueden tratar los problemas de mecnica considerando la masa de los

resortes, cables y alambres en un espacio tridimensional, en una forma ms real, pues anteriormente, la




44

consideracin que se haca al respecto era despreciar ese aspecto, por no poderlo manejar con precisin o

en ltima instancia se hacan aproximaciones haciendo consideraciones muy burdas o rudas.

Ahora podemos considerar distribuciones de masa mediante la densidad de los materiales involucrados,

tales como el cobre, el oro, el fierro, etc. Con ello, podemos calcular el centro de masa o los momentos de

inercia de materiales con distribuciones caprichosas o con geometras y formas no regulares o triviales.

Mediante el anlisis vectorial podemos describir y resolver una gran cantidad de problemas fsicos y

matemticos, as como de ingeniera. Todos los fenmenos y problemas que se originan dentro de los

campos vectoriales se pueden manejar con cierta facilidad con la ayuda del clculo vectorial o de varias

variables.

Podemos calcular flujos a travs de cualquier superficie caprichosa. Llevar a cabo anlisis del

comportamiento de las alas de los aviones cuando se someten a flujos de aire dentro de tneles de viento

y as modelar la mejor forma.

El mejor diseo de tuberas de gaseoductos o de cualquier fluido ya sea lquido o gaseoso. Tambin

mejorar diseo de antenas para microondas, celulares y satelitales y de todos aquellos dispositivos que

funcionen con ondas electromagnticas.

Tambin estas herramientas nos sirven para los estudios de fenmenos meteorolgicos y del clima, tanto

atmosfricos como martimos.

Actividad 2 Calculo vectorial

A travs de esta actividad podrs calcular la posicin de un objeto en un espacio tridimensional de

acuerdo a dos observadores.

Instrucciones:

1. Descarga el documento llamado Calculo vectorial ubicado en la pestaa de la unidad 2 de la

plataforma de Moodle.

2. Resuelve el problema que ah se te presenta siguiendo las instrucciones que se te indican.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV_U2_A2_XXYZ. Sustituye las XX

por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z

por la inicial de tu apellido materno.

4. Enva tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentacin.




45

Actividad 3 Integrales mltiples

En esta unidad podrs calcular volmenes y superficies utilizando las integrales mltiples

1. Descarga el documento llamado Integrales multiples ubicado en la pestaa de la unidad 2 dentro

de la plataforma Moodle.

2. Resuelve los ejercicios que ah se muestran siguiendo las instrucciones que se te indican.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV_U2_A3_XXYZ. Sustituye las XX por

las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la

inicial de tu apellido materno.

4. Enva tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentacin.

Autoevaluacin

Para terminar resuelve la actividad de autoevaluacin que corresponde a una relacin de columnas.

Instrucciones: anota en parntesis de la pregunta, la opcin que corresponda a la respuesta de la

pregunta planteada.

Considere el slido que se muestra en la siguiente figura y determine la ecuacin que lo describe o

genera, para que pueda responder las siguientes preguntas. Considere que la tapa superior est en

y la inferior en

1. La ecuacin que representa a dicho slido es:

a)

b)




46

c)

d)

2. Cul es el valor del volumen del slido representado en la figura?

a)

b)

c)

d)

3. Cul es el valor del rea de la superficie lateral del slido de la figura?

a)

b) .

c)

d)

4. Cul es el valor de la tangente a la superficie del slido en los puntos en donde ?

a) 2.

b) 4.

c) .

d) 0.

5. Cul es el valor de la derivada parcial

en los puntos de la superficie en donde ?

a)

b) .

c) .

d) .

Retroalimentacin.

1 - 2 Debes revisar minuciosamente los contenidos nuevamente, ya que ha adquirido poco conocimiento.

3 - 4 Tienes un conocimiento general de los temas vistos en la unidad 2

5 Ha adquirido un buen nivel de conocimiento en los temas vistos en la unidad 2

Evidencia de aprendizaje. Clculo de distancia a travs de vectores y clculo de rea

a travs de integracin

Al finalizar sers capaz de comprender y determinar el comportamiento del rea bajo la curva de una

funcin, adems de calcular distancias a travs de vectores.

1. Descarga el archivo llamado reas y distancia por medio de vectores ubicado en la pestaa de la




47

unidad 2.

2. Resuelve cada uno de los planteamientos que ah se presenta.

3. Describe el proceso de solucin respetando el marco procedimental que requiere el planteamiento.

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV_U2_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las

dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de

tu apellido materno.

5. Enva tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentacin de tu Facilitador(a), atiende

sus comentarios y reenva la nueva versin de tu evidencia.

6. Consulta la Escala de Evaluacin para conocer los criterios con que ser evaluado tu trabajo.

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexin para realizar el ejercicio y enviarlo a travs de la

herramienta Autorreflexiones, recuerda que tambin se toman en cuenta para la calificacin final.

Autorreflexiones

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexin para realizar el ejercicio correspondiente y

enviarlo a travs de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que tambin se toman en cuenta para la

calificacin final.

Cierre de la unidad.

En esta unidad revisamos como podemos resolver ejercicios de integrales con varias variables, analizamos

su representacin grfica y su cambio respecto a las variables.

En la unidad 3 se mostrara como poder resolver ecuaciones con variables separadas, ecuaciones exactas

y factores integrantes, el cual nos permitir reforzar los conocimientos que hasta ahora hemos obtenido.

As pues te invito a que contines esforzndote con la ayuda de tu facilitador que es un medio importante

para poder obtener un conocimiento integral.

Referencias bibliogrficas




48

Bosch, C. (2006). Clculo diferencial e integral. Mxico: Publicaciones cultural S.A.

Picn, P. E. (2006). Anlisis conjunto. Mxico: Porra.

Thomas (2006). Clculo de varias variables. Mxico: Pearson.

Documents

CEIT_LM_04_CVV_PD_U2