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Centro de Competencias de la
ComunicaciónUniversidad de Puerto Rico en Humacao
Walter López Moreno, MBA, cDBA
EDADES
Veces que salen a comer fuera durante una semana
E5Menores de 30
E630 a 50
E7 Mayores de 50
TOTAL
E1
10 o mas veces
e1 200
e2100
e3100
400
E2
3 a 9 veces
e4 600
e5900
e6400
1900
E3
1 a 2 veces
e7 400
e8600
e9500
1500
E4
Menos de una vez
e10 700
e11500
e120
1200
TOTAL 1900 2100 1000 5000
Las reglas de probabilidad
Tabla de contenido
Introducción Objetivo general Objetivos específicos Instrucciones de cómo usar la presentación
Glosario de términos
Las reglas de probabilidad Utilidad
Descripción de las reglas
Tabla de ejemploProbabildad marginalProbabilidad conjuntaCómputo de la probabilidad
EjerciciosEjercicios de pruebaEjercicios de redacción
Repaso de conceptos Referencias
Introducción
El concepto de probabilidad tuvo su origen en los juegos de dados, cartas y el tiro de la moneda. Luego se implementó en problemas sociales y económicos.
Las probabilidades son muy útiles para tomar decisiones de posibles resultados futuros. Para utilizarlas es necesario seguir ciertas reglas generales.
En este módulo se describen las reglas de probabilidad utilizando ejemplos, ejercicios y enlaces que incluyen video y audio. El mismo va dirigido a todos los/as estudiantes de Administración de Empresas.
Objetivos que persigue la presentación
Objetivo generalEsperamos que cuando termine esta presentación pueda utilizar las reglas de probabilidad para resolver problemas con el método clásico, de frecuencia relativa o distribuciones de frecuencias normal, binomial o de poisson.
Objetivos específicosAdemás, esperamos que pueda:
Aplicar las reglas de suma, condicional y las de multiplicación. Interpretar los eventos dependientes, independientes y los
mutuamente excluyentes. Identificar probabilidades conjuntas y marginales aplicando las
reglas aprendidas en este módulo.
Instrucciones de cómo usar la presentación
La presentación inicia con la descripción de cada regla.
Se recomienda que tengas acceso a Internet mientras trabaja la presentación
Siempre que se presente la siguiente figura: puede presionarla para navegar adecuadamente a través de toda la presentación.
Luego de leer el material que sirve de introducción, podrá establecer enlaces que demuestran los conceptos teóricos.
Glosario de términos
Experimento - Proceso que produce algún resultado. Experimento aleatorio – Experimento que se puede repetir. Evento o suceso – Es el resultado conocido o desconocido de
un experimento. Evento elemental – Es un resultado particular el cual no se
puede subdividir como por ejemplo la selección de una moneda.
Evento compuesto – Hay más de un resultado. Por ejemplo, que en la selección de la moneda se vea cara o cruz.
Espacio muestral – Es la colección de todos los posibles eventos que pueden surgir de un experimento. Por ejemplo, el espacio muestral de E es (e1, e2, e3).
(El glosario de términos continúa en la próxima lámina)
Glosario de términos
Eventos mutuamente excluyentes – Son eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si sale 2 en un dado no puede salir 5 en el mismo tiro.
Evento independiente – La ocurrencia de un evento no tiene influencia en la ocurrencia de otro evento. Si sale 2 en un dado no afecta el número que salga en el próximo tiro.
Evento dependiente – La ocurrencia de un evento influye en la ocurrencia de otro evento. Si un proyecto se empieza tarde otro proyecto que dependa del mismo requerirá tiempo adicional.
Con reemplazo - Que se incluye nuevamente en la muestra o grupo de origen.
Vea otros ejemplos relacionados a las
definiciones.
Las reglas de probabilidad
El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del suizo Jacob Bernoulli (1654-1705)
El francés Abraham de Moivre (1667-1754) abundó en las reglasde probabilidad.
Utilidad Las reglas que se presentan en este
módulo se utilizan para:
facilitar el cómputo de probabilidades asociadas a sucesos y fenómenos que siguen un modelo probabilístico.
definir el máximo y mínimo de una probabilidad.
permitir la sumar, restar, división y multiplicación de la probabilidad de un evento o suceso.
relacionar la probabilidad de un evento dependiente o independiente.
obtener la probabilidad condicional de un segundo evento.
Descripción de las reglas
La reglas 1 y 2 definen los límites de las probabilidades.
De la 3 a la 5 se conocen como las reglas de suma.
Las reglas 6 y 7 se aplican a probabilidad condicional.
La 8 y 9 se conocen como las reglas de multiplicación.
A continuación se dará una descripción de las 9 reglas de probabilidad incluyendo un colorario de las primeras dos. Los enlaces contienen ejemplos y gráficos que ayudan al entendimiento de las reglas presentadas.
Regla #1
Regla del rango de la probabilidad0 < P(E) < 1
Para cualquier evento E, la probabilidad de que ocurra ese evento está entre 0 y 1. Si estamos seguros de que algo puede ocurrir, podemos asignar al evento la probabilidad de 0.0 ó 1.0
Regla # 2
Regla del 1 ∑ P(e) = 1
La probabilidad de todos los eventos elementales suman 1. Ejemplo: la probabilidad de que salga cara en una
moneda es de 0.50 mas la probabilidad de que salga cruz es de 0.50. El total es 1.
Vea ejemplos y conceptos
relacionados a las reglas 1 y 2
Colorario de las reglas #1 y #2
Regla del suceso contrarioP(Ë) = 1 – P(E)
La probabilidad del complemento de un evento E, es 1 menos la probabilidad de ese evento.
Ejemplo: La probabilidad de que salga 2 ó 3 en un dado es 2 de 6 (2/6). La probabilidad de que no salga 2 ó 3 será 1 – 2/6 = 4/6 = 2/3
Regla # 3
Regla de suma para eventos elementales (e)Si E=(e1,e2,e3)
entonces P(E)=P(e1)+P(e2)+P(e3)
La probabilidad de un evento compuesto E es igual a la suma de las probabilidades de los eventos elementales que lo forman (su espacio muestral).
Regla # 4
Regla de suma para eventos mutuamente no excluyentes
P(E1 ó E2) = P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 y E2)
La probabilidad de que ocurran los eventos no excluyentes P(E1 ó E2) que es lo mismo que P(E1 U E2) es la suma de sus probabilidades individuales P(E1) más P(E2) menos la probabilidad conjunta de ambos eventos P(E1 y E2) que también se escribe como P(E1 ∩ E2).
Regla # 5
Regla de suma para eventos mutuamente excluyentes
P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2)
La probabilidad de que ocurran los eventos mutuamente excluyentes E1 y E2 es la suma de sus probabilidades individuales P(E1) y P(E2)
Presione para ver una explicación gráfica sobre
uniones e intersecciones de eventos o sucesos
Regla # 6
Regla de probabilidad condicional para dos eventos dependientes E1 y E2
P(E1/E2) = P(E1 ∩ E2)/P(E2) en donde P(E2) es mayor que cero
P(E1/E2) se lee como probabilidad de E1 dado que ha ocurrido E2. ***No es una división de la probabilidad de E1 entre E2***
La probabilidad de que ocurra el evento E1 dado que ha
ocurrido el evento E2, es la probabilidad conjunta de ambos eventos E1 y E2, dividido por la de E2 donde esta última debe ser mayor de cero.
Regla # 7
Regla de probabilidad condicional para dos eventos independientes E1 y E2
P(E1/E2) = P(E1)
La probabilidad de que ocurra el evento E1 dado que ha ocurrido el evento E2, es la probabilidad de que ocurra el evento E1.
Regla # 8
Regla de multiplicación para dos eventos dependientes E1 y E2P(E1 y E2) = P(E1∩E2) = P(E1) P(E2/E1)
Es útil cuando necesitamos encontrar la probabilidad conjunta pero no tenemos las frecuencias relativas. La probabilidad conjunta de dos eventos E1 ∩ E2, es el producto de la probabilidad individual de E1 por la probabilidad condicional de E2 dado que ha ocurrido E1.
¿Cuál será la probabilidad de escoger dos ases corridas (sin reemplazo) de un paquete de 52 cartas?
P(E1) es la probabilidad de escoger el primer as = 4/52P(E2) es la probabilidad de escoger el segundo as = 3/51
El resultado será 4/52 * 3/51 = 12/2652 = 0.0045
Regla # 9
Regla de multiplicación para dos eventos independientes E1 y E2
P(E1 ∩ E2) = P(E1) P(E2)
La probabilidad conjunta de dos eventos E1 y E2 es el producto de la probabilidad de E1 por la probabilidad de E2.
¿Cuál será la probabilidad de escoger dos Ases corridas (con
reemplazo) de un paquete de 52 cartas?P(E1) es la probabilidad de escoger el primer As = 4/52
P(E2) es la probabilidad de escoger el segundo As = 4/52El resultado sería 4/52 * 4/52 = 16/2704 = 0.006
Presione para mayor información de probabilidad condicionada incluyendo el
Teorema de Bayes
Reglas de probabilidadTabla de ejemplo
EDADES
Veces que salen a comer fuera por
semana
E5 Menores de
30
E6 30 a 50
E7Mayores de
50
TOTAL
E1
10 o más veces
e1
200
e2
100
E3
100
400
E2
3 a 9 veces
e4
600
E5
900
e6
400
1900
E3
1 a 2 veces
e7
400
E8
600
E9
500
1500
E4
Menos de una vez
e10
700
e11
500
e12
0
1200
TOTAL 1900 2100 1000 5000
En la siguiente tabla tenemos un resumen de tres grupos divididos por edades y las veces que comen fuera de la casa por semana.
Probabilidad marginal
EDADES
Veces que salen a comer por
semana
E5 Menores de
30
E6 30 a 50
E7Mayores de
50
TOTAL
E1
10 o más veces
e1
200
e2
100
e3
100
400
E2
3 a 9 veces
e4
600
e5
900
e6
400
1900
E3
1 a 2 veces
e7
400
e8
600
e9
500
1500
E4
Menos de una vez
e10
700
e11
500
e12
0
1200
TOTAL 1900 2100 1000 5000
Marginal
Probabilidad marginal – Representada en letra mayúscula al margen de la tabla
Probabilidad conjunta
EDADES
Veces que salen a comer fuera por
semana
E5 Menores de
30
E6 30 a 50
E7Mayores de
50
TOTAL
E1
10 o más veces
e1
200
e2
100
e3
100
400
E2
3 a 9 veces
e4
600
e5
900
e6
400
1900
E3
1 a 2 veces
e7
400
e8
600
e9
500
1500
E4
Menos de una vez
e10
700
e11
500
e12
0
1200
TOTAL 1900 2100 1000 5000
Probabilidad conjunta representada en letra minúscula dentro de la tabla.
Conjunta
Cómputo de la probabilidad
Probabilidad de e1 = 0.04
Todo se divide entre el total de 5000
Probabilidad de E2 = 0.38
EDADES
Veces que
salen a comer fuera
durante una
semana
E5
Menores de 30
E6
30 a 50
E7
Mayores de 50
TOTAL
E1
10 o mas veces
e1
200/5000=0.04
e2
100/5000=0.02
e3
100/5000=0.02
400/5000=0.08
E2
3 a 9 veces
e4
600/5000=0.12
e5
900/5000=0.18
e6
400/5000=0.08
1900/5000=0.38
E3
1 a 2 veces
e7
400/5000=0.08
e8
600/5000=0.12
e9
500/5000=0.10
1500/5000=0.30
E4
Menos de una vez
e10
700/5000=0.14
e11
500/5000=0.10
e12
0/5000=0.00
1200/5000=0.24
TOTAL 1900/5000=0.38 2100/5000=0.42 1000/5000=0.20 5000/5000=1.00
Ejercicios
Los siguientes ejercicios le permitirán relazar los conceptos y reglas estudiadas en este módulo. Cada ejercicio incluye la idea de cómo hacer el cómputo. Para contestarlos utilice la tabla de ejemplo presentada en las láminas anteriores.
Ejercicios Use la tabla de ejemplo
1 - Compruebe las reglas 1 y 2 sumando todos los eventos elementales. La suma de todas las probabilidades conjuntas designada como “e”, debe ser igual a uno.
2 - Utilice la regla 3 para determinar la probabilidad de que las personas menores de 30 años salgan a comer fuera. Sume las probabilidades P(e1) + P(e4) + P(e7) + P(e10). Debe ser igual P(E5)=0.38.
3 - Con la regla del suceso contrario determine la probabilidad de que las personas menores de 30 años no salgan a comer fuera. Debes restar uno menos la probabilidad del ejercicio anterior. Esto es 1-P(E5).
4 – Utilice la regla 4 para conseguir la probabilidad de personas que coman fuera 3 a 9 veces por semana o que sean mayores de 50 años. Haga el siguiente computo: P(E2) + P(E7) – P(E2 ∩E7)
En este caso P(E2 ∩E7) es igual a P(e6) que es 0.08.
(Los ejercicios continúan en la próxima lámina)
Ejercicios Use la tabla de ejemplo
5 – Utilice la regla 5 para conseguir la probabilidad de personas que coman fuera de 1 a 2 veces o de 3 a 9 veces por semana. El resultado lo obtendrá con la suma P(E2) + P(E3).
6 – Con la regla 6 determine la probabilidad encontrar personas que coman fuera menos de una vez dado de que son menores de 30 años. Esto es P(E4/E5) = P(E4 ∩ E5)/P(E5)
7 – Con la regla 7 demuestre la probabilidad de encontrar personas menores de 30 dado de que hay personas mayores de 50. Esto es P(E5/E7) debe ser igual a P(E5).
Ejercicios de redacciónUse la tabla de ejemplo
1 - Mencione cuáles de los eventos en la tabla son independientes y cuáles son dependientes. Mencione si hay eventos mutuamente excluyentes. Explique su razonamiento de acuerdo a las definiciones presentadas en este módulo.
2 - Dé ejemplos de eventos elementales y compuestos.
3 - Escriba sobre cuál es el espacio muestral de los eventos E2, E4, E5 y E7.
Repaso de conceptos
Observe un video de repaso de los conceptos y las reglas de probabilidad
Referencias
Anderson, S. (2006). Estadísticas para administración y economía. (8tva edición). México: Thomson.
Newbold P. (2003). Statistics for Business And Economics. (5ta. ed.). New Jersey: Prentice Hall.
Bluman, A. G. (2007) Statistics. (6ta ed.). New York: Mc Graw Hill.
Curso Interactivo de Probabilidad de la Universidad de Costa Ricahttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Probabilidad/index.html
Video de Repaso Universidad de Málaga Españahttp://campusvirtual.uma.es/est_fisio/apuntes/tema4/index.html Prueba virtual de la monedahttp://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Azar_y_Probabilidad/comenzando.htm Ejercicios de probabilidadhttp://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ggarrigo/ccaa/hoja1.pdf Ejercicios de probabilidadhttp://www.math-online.cl/paa/probabilidades.pdf
Referencias
Referencia de L. Paula (2001) Introducción al cálculo de probabilidades mediante casos reales Españahttp://optimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver_texte/prob_spanish.pdf videos gratis de estadísticashttp://sofia.fhda.edu/gallery/statistics/resources.html Referenciahttp://www.ing.unp.edu.ar/estadisitio/index.html
http://descartes.cnice.mecd.es/index.html
