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UNIVERSIDAD DE JAÉN Centro de Estudios de Postgrado

Trabajo Fin de Máster

PROPUESTA DIDÁCTICA DE

ENSEÑANZA DE LA

GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA

ALUMNOS DE MATEMÁTICAS

ORIENTADAS A LAS

ENSEÑANZAS ACADÉMICAS

DE 4º ESO

Alumno/a: Alcántara Durán, Jaime Tutor/a: Prof. D. Fº de Paula Roca Rodríguez Dpto: Matemáticas

Octubre, 2019

Según la norma del <<Uso del masculino en referencia a seres de ambos sexos>> en

contextos lingüísticos estipulada por la Real Academia Española y Asociación de

Academias de la Lengua Española, la cual estable que <<En los sustantivos que

designan seres animados, el masculino gramatical no solo se emplea para referirse a

los individuos de sexo masculino, sino también para designar la clase, esto es, a todos

los individuos de la especie, sin distinción de sexos…>>, el género masculino será

utilizado como plural durante todo el desarrollo de este trabajo.

Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán

I

Índice

Pag.

Resumen/abstract 1 1. Introducción 2

2. Objetivos 3

3. Fundamentación curricular 3

4. Fundamentación epistemológica. 4

4.1. Análisis y formalización de los conceptos geométricos intuitivos:

incidencia, paralelismo, perpendicularidad, ángulo, etc. 4

4.2. Puntos, Rectas y Plano. 5

4.3. Propiedades de la división de conjuntos de puntos. 5

4.4. Axiomas y teoremas. 6

4.5. Intersecciones de conjuntos de puntos en el espacio. 8

4.5.1. Intersección entre dos rectas. 8

4.5.2. Intersección entre dos planos. 8

4.5.3. Intersección entre una recta y plano. 8

4.5.4. Intersección entre tres planos. 9

4.6. Ángulos. 9

4.7. Medida y congruencia. 10

4.7.1. Medida y congruencia de segmentos de recta. 10

4.7.2. Medida y congruencia de ángulos. 11

4.8. Perpendicularidad. 12

4.9. Pruebas de paralelismo 12

5. Fundamentación didáctica: Aprendizaje de conceptos geométricos. 14

6. Proyección didáctica: Geometría analítica (4º ESO) 20

6.1. Geometría analítica 20

6.2. Justificación 22

6.3. Contextualización del centro y del aula 23

6.4. Objetivos 24

6.5. Competencias Clave 25

6.6. Contenidos 25

6.7. Metodología 25

6.8. Actividades y recursos 26

6.9. Atención a la diversidad 44

6.9.1. Programas de refuerzo 44

6.9.2. Programas de adaptación curricular: 45

6.10. Temporalización 46

6.11. Evaluación 47

7. Conclusiones 51

8. Referencias bibliográficas 52


1

Resumen

El presente trabajo desarrolla una propuesta didáctica diseñada para alumnos de

Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de 4º de ESO. Esta está basada en

una metodología activa y dinámica, que ayude a la participación del alumnado, haciendo

que las situaciones-problema expuestas generen aspectos intuitivos y manipulativos

que sean asumidos de forma lógica – formal. Para ello, en primer lugar, se han revisado

y analizado diversos artículos e informes, tanto del ámbito nacional, como del ámbito

internacional, así como el currículum de la asignatura atendiendo a la legislación estatal

y autonómica vigente. Por otro lado, esta propuesta se ha diseñado atendiendo a las

necesidades del alumnado, en cuestión de asimilación de conceptos, encontradas en el

centro público donde se realizó el prácticum del máster al que este trabajo pertenece.

Abstract

The present work develops a didactic proposal for the students of Academic Teaching

Mathematics of 4º ESO, and based on an active and dynamic methodology, with the

purpose that this helps the students to increase their participation in the classroom,

doing that the exposed problem-situations may generate intuitive and manipulative

aspects that can be assumed by a logically – formally way. For this, in the first place,

several nationally and internationally articles and reports have been reviewed and

analyzed, as well as the curriculum of the subject in accordance with current state and

regional legislation. On the other hand, this proposal has been designed in response to

the needs of students, in terms of assimilation of concepts, found in the public center

where the master's degree practicum was carried out.


2

PROPUESTA DIDÁCTICA DE ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA

ALUMNOS DE MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS DE

4º ESO

1. Introducción

El presente trabajo muestra una propuesta didáctica basada en la enseñanza de la

geometría analítica para alumnos de “Matemáticas orientadas a las Enseñanzas

Académicas de 4º ESO”. Para ello, en el marco teórico, se analiza el estado actual de los

alumnos en la enseñanza secundaria obligatoria en España, en concreto en el informe

PISA (Program for International Student Assessment) 2018, donde sitúa a España en el

puesto número 11 del ranking, además de en el primer puesto con los 20 colegios

seleccionados de la Asociación de Colegios Privados e Independientes (CICAE) española.

Figura 1. Ranking Informe PISA 2018, El País, febrero de 2018.

Por otro lado, se ha recabado la información relativa a los contenidos curriculares,

los objetivos y las competencias que se desarrollan en esta asignatura en la “Ley

Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, BOE núm.106 de 4 de mayo de 2006, Ley Orgánica

8/2013, de 9 de diciembre, para la Mejora de la Calidad Educativa, BOE núm. 295, 10 de

diciembre de 2013, Ley 17/2007, de 10 de diciembre, de Educación de Andalucía”. “BOJA

núm. 252, de 26 de diciembre de 2007, Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por

el que se establece el currículo básico de Educación Secundaria Obligatoria y del

Bachillerato”. “BOE núm. 3, 3 de enero de 2015, Decreto 111/2016, de 14 de junio, por

el que se establece la ordenación y el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria

en la Comunidad Autónoma de Andalucía”. “BOJA núm. 122, 28 de junio de 2016 y Orden

de 14/7/2016, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación

Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía, se regulan

determinados aspectos de atención a la diversidad y se establece la ordenación de la

evaluación en el proceso de aprendizaje del alumnado. BOJA núm. 144, 28 de julio de

2016”.


3

A demás de la información recabada de estos informes, leyes, decretos y órdenes,

este trabajo, también refleja un punto de vista propio, ya que al realizar las prácticas

curriculares he detectado graves deficiencias en el sistema educativo, siendo la más

relevante para mí la falta de aplicabilidad que los alumnos encuentran a conceptos ya

aprendidos. Realizando una entrevista con los profesores del departamento de Física y

Química todos coinciden en que en matemáticas se limitan a dar el concepto, pero no

las aplicaciones; la respuestas a esta situación desde el punto de vista del departamento

de matemáticas es que con tantas fiestas como el día de la mujer trabajadora, el día del

niño, el día de la paz, etc. y viajes y excursiones impiden que dé tiempo a dar todo el

temario, con lo que deciden eliminar la parte de aplicabilidad de cada tema así como la

parte de estadística, que siempre dejan al final por si no da tiempo a darla.

2. Objetivos

El objetivo principal del presente trabajo fin de máster ha sido desarrollar y

fundamentar una metodología para la enseñanza del tema “Geometría Analítica”.

3. Fundamentación curricular

El currículo del área de Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas para

4º de ESO se divide en varios bloques: contenidos, criterios de evaluación y estándares

de aprendizaje.

Tabla 1. Currículo de Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas de 4º de Educación Secundaria

(Orden de 14/7/2016)

CONTENIDOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES

COMPETENCIAS CLAVE

BLOQUE 3. GEOMETRÍA

Medidas de ángulos en el sistema sexagesimal y en radianes.

• Razones trigonométricas. Relaciones entre ellas.

• Relaciones métricas en los triángulos.

• Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes. Iniciación a la geometría analítica del plano:

1. Utilizar las unidades angulares del sistema métrico sexagesimal e internacional y las relaciones y razones de la trigonometría elemental para resolver problemas trigonométricos en contextos reales. 2. Calcular magnitudes efectuando medidas directas e indirectas a partir de situaciones reales, empleando los instrumentos, técnicas o fórmulas

Utiliza conceptos y relaciones de la trigonometría básica para resolver problemas empleando medios tecnológicos, si fuera preciso, para realizar los cálculos. Utiliza las herramientas tecnológicas, estrategias y fórmulas apropiadas para calcular ángulos, longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos y figuras geométricas. Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología. Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología. Resuelve triángulos utilizando las razones trigonométricas y sus relaciones. Utiliza las fórmulas para calcular áreas y volúmenes de triángulos, cuadriláteros, círculos, paralelepípedos, pirámides, cilindros, conos y esferas y las aplica

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT). Competencia de aprender a aprender (CAA). Competencia en comunicación língüistica (CCL). Competencia Digital (CD).


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Coordenadas. Vectores.

• Ecuaciones de la recta. Paralelismo, perpendicularidad.

• Ecuación reducida de la circunferencia.

• Semejanza. Figuras semejantes.

• Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes.

• Aplicaciones informáticas de geometría dinámica que facilite la comprensión de conceptos y propiedades geométricas.

más adecuadas y aplicando las unidades de medida. 3. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas sencillas.

para resolver problemas geométricos, asignando las unidades apropiadas. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas sencillas. Establece correspondencias analíticas entre las coordenadas de puntos y vectores. Calcula la distancia entre dos puntos y el módulo de un vector. Conoce el significado de pendiente de una recta y diferentes formas de calcularla. Calcula la ecuación de una recta de varias formas, en función de los datos conocidos. Reconoce distintas expresiones de la ecuación de una recta y las utiliza en el estudio analítico de las condiciones de incidencia, paralelismo y perpendicularidad. Utiliza recursos tecnológicos interactivos para crear figuras geométricas y observar sus propiedades y características.

En el desarrollo de este, se respetarán tanto criterios de evaluación como estándares

de aprendizaje tal y como aparece en el “Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre,

por el que se establece el currículo básico de Educación Secundaria Obligatoria y del

Bachillerato”.

4. Fundamentación epistemológica.

4.1. Análisis y formalización de los conceptos geométricos intuitivos:

incidencia, paralelismo, perpendicularidad, ángulo, etc.

En geometría nos podemos permitir el uso de axiomas como base para definir

diferentes términos, como son los conceptos de recta, punto y plano. La concepción

moderna de estos conocimientos provienen de los intentos de definición de Euclides, el

cual utilizó una nomenclatura no geométrica. Euclides, en su 1º libro de los Elementos,

define que “Un punto es aquello que no tiene parte”, aunque esta definición no concreta

demasiado el concepto de punto. Otra definición que utiliza es: “Una recta es longitud

sin anchura”, sin embargo, Euclides estableció en, ningún momento, que eran los

conceptos de longitud y anchura.


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4.2. Puntos, Rectas y Plano.

A pesar de que los conceptos de recta, plano y punto quedarán sin definir, podemos

intentar hacerlo de una forma intuitiva, por ejemplo un punto sería una localización en

el espacio.

Para definir los puntos, serán nombrados mediante letras: Q, P, R, etc. De la misma

forma una recta se puede definir como una “línea formada por una serie continua de

puntos en una misma dirección que no tiene curvas ni ángulos y cubre la menor distancia

posible entre dos puntos” (Barrantes-Campos, 2001), es decir, aquella que se prolonga

infinitamente en ambos sentidos. La representación de una recta será como el trazo de

una línea en con flechas en sus extremos, y serán denotadas como L1, L2, etc.

Al igual que cualquier conjunto en geometría, las tres definiciones que hemos dado

son agrupaciones de puntos, lo que permite definir una recta mediante el uso de dos

puntos que se incluyan en ella, de manera que si los puntos Q y P incumben a la recta L,

podemos representar esta como PQ.

La definición intuitiva de un Plano sería la de una superficie plana que se extiende

en todas las direcciones de forma infinita. Estos se representan mediante letras griegas

(Σ, Π, etc.).

Por último, hemos de definir el término espacio, como el cómputo de todos los

puntos, de forma que tanto el plano como las rectas serán subconjuntos del espacio,

mientras que el punto será un elemento del espacio.

4.3. Propiedades de la división de conjuntos de puntos.

Partiendo de un punto P perteneciente a L, podemos decir que P divide a L en tres

partes, el propio punto P y dos semirrectas, subconjuntos que contienen todos los

puntos de L a cada lado de P. Si formamos con P y una semirrecta un subconjunto

obtendremos lo que se conoce como rayo, siendo P el extremo del mismo.

Si se verifica que la unión de dos rayos es una recta cuyo punto en común es el

extremo de cada rayo, obtenemos lo que se conoce como rayos opuestos.

Dados dos puntos P y Q de la recta L, definiremos este segmento como el

subconjunto de la recta L que está formado por los puntos encerrados entre dichos

puntos. Ese segmento se denota como 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , el cual se considera como la intersección de

los dos rayos.

De la misma forma que sabemos que un punto dividir a una recta en tres partes

iguales, podemos extender esta idea a un plano, de forma que una recta dividirá a este


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también en tres partes iguales, la recta en sí y los puntos contenidos a cada uno de los

lados de la recta, conocidos como semiplanos.

Si llamamos Π1 y Π2 a los semiplanos formador a cada lado L, comprobamos que al

tomar dos puntos P y Q cualesquiera, situando P en Π1 y Q en Π2 obtenemos que 𝑃𝑄̅̅ ̅̅

sólo tiene punto en común con L, mientras que si tomamos dos puntos P y R,

pertenecientes al mismo semiplano, el PR no tendrá ningún punto en común con L.

En consonancia con lo anteriormente expuesto diremos también que un plano divide

en dos partes al espacio, relacionando estas divisiones con la idea de dimensión. Por

ejemplo, si tomamos un espacio tridimensional, el plano tendrá dos dimensión, la recta

1 dimensión, y cada punto tendrá dimensión cero.

4.4. Axiomas y teoremas.

Desde un punto de vista formal de la geometría podemos enunciar las siguientes

definiciones, axiomas, teoremas, etc.

Axioma 1: Dos puntos distintos conforma una recta única. Esto demuestra la idea de

que mediante el uso de dos puntos, Q y P, podemos representar una recta a la que

pertenezcan dichos puntos. También debemos tener en cuenta que, si tenemos 3 puntos

R, Q, y P pertenecientes a L, obtenemos que PQ=PR, lo que significa que la recta PR es

la misma recta que la representada por PQ.

DEF1 Dada la recta L y sus dos puntos Q y P contenidos en ella, dichos puntos son

colineales.

DEF Si tenemos un plano Π y 3 puntos R, Q y P sobre este, dichos puntos resultan

coplanares.

Axioma 2: 3 puntos que no son colineales definen un único plano.

Axioma 3: Partiendo de 2 puntos pertenecientes al mismo plano, también pertenecerá

a mismo plano la recta que contenga a dichos puntos.

Axioma 4: la intersección entre 2 planos distintos forma una línea recta.

Axioma 5: como mínimo una recta ha ce contener 2 puntos.

DEF Si tenemosDadas dos rectas L1, L2, estas serán paralelas si están en el mismo

plano y no tienen puntos en común, es decir, su intersección será el conjunto vacío.

Teorema 1: Dos rectas diferentes intersectarán como máximo en un punto.

1 DEF: Abreviatura de Definición


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Dem2. Si L1 y L2 son dos rectas diferentes y supongamos que intersectan en más de

un punto, entonces su intersección contendrá 2 o más puntos. Esto significa que habrá

2 rectas distintas, L1 y L2, y que dichas rectas contendrán a ambos puntos. Esto, por el

primer axioma, será inverosímil, pues solo existe una recta que contenga dichos puntos.

Teorema 2: La intersección de una recta L a un plano 𝛿 en el cual no está contenido será

un puntos.

Figura 2. Punto por intersección.

Dem. Suponiendo que 𝐿 ∩ 𝑃 contiene más de un punto, P y Q, tendremos que

ambos están en L, por lo que por el primer axioma 𝑃𝑄 = 𝐿. Como los puntos se

encuentran en 𝛿, según el tercer axioma, L debería estar contenida en 𝛿, lo que resulta

una contradicción a esta hipótesis, de manera que 𝐿 ∩ 𝑃 contendrá solamente a P.

Teorema 3: Dada la recta L y el punto P, el cual no pertenece a L, existe un plano que

contendrá a ambos.

Dem. Partiendo de 2 puntos distintos, R y Q contenidos en L, existente por el quinto

axioma. Ambos puntos han de ser distintos a P, pues este tercer punto no se encuentra

contenido en L. Debido al segundo axioma, los puntos R, Q y P determinarán un único

plano Π. Como Q y R están sobre Π, el cual contendrá tanto el punto P como la recta L.

sin embargo, si existiesen 2 planos, debido al segundo axioma, ambos no podrían

contener a los tres puntos.

Teorema 4: La intersección de dos rectas estará contenida en un determinado plano.

Dem. La intersección de dos rectas L1 y L2 , según el primer teorema, L1∩L2 será un punto

P, de forma que P es un punto de L1 y L2. Sea Q un punto, existente por el quito axioma,

de L2, Q∉P. Por el primer axioma, PQ = L2, siendo Q∉L1 para que L1 sea distinto de L2.

Considerando el punto Q y la recta L1, y haciendo uso de tercer teorema, existe un

plano Π que contendrá a ambos. Ya que P corresponde a un punto de L1, Π también

contendrá a este, y por el tercer axioma PQ=L2, contenido también en Π. Luego L1∪L2

están contenidos en Π. Gracias al tercer teorema dicho plano resulta único.

2 Dem. Abreviatura de Demostración


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Sean R y P puntos contenidos en L1, y Q y P puntos contenidos en L2, con distintos

R, Q y P. Si existe un plano Π’ que contenga a L1∪L2, entonces Π’ también contendrá a

R, Q y P. Esto refuta el 2º axioma, puestos que Π es el único plano que puede contener

los puntos R, Q y P. En conclusión, no existe otro plano que contenga a L1∪L2, quedando

demostrado el teorema.

4.5. Intersecciones de conjuntos de puntos en el espacio.

4.5.1. Intersección entre dos rectas.

Si tenemos 2 rectas L1 y L2 situadas en el espacio, puede acontecer que:

− Si la intersección de ambas resulta un punto, estas estarán contenidas en el

mismo plano, en este caso L1 y L2 son rectas secantes.

− Si L1 y L2 intersectan en más de dos puntos, tendrán todos sus puntos en común,

por lo que se dice que L1 y L2 resultan coincidentes.

− Si la intersección resultan en el vacío y ambas van a pertenecer a un mismo

plano, L1 y L2 serán rectas paralelas.

− Si la intersección resultante es el vacío y están situadas en distintos planos,

estas rectas serán oblicuas, es decir, dichas rectas se cruzarán.

4.5.2. Intersección entre dos planos.

Si tenemos 2 planos Π1 y Π2 en el espacio puede ocurrir:

− Que dichos planos no tengan ningún punto en común, por lo que resultan

planos paralelos.

− Que Π1 y Π2 tengan en común una recta, por lo que dichos planos van a

cortarse en una recta.

− Que si dichos planos se cortan en un punto y una recta, y dicho punto no

pertenece a esta recta, estos planos van a ser coincidentes.

4.5.3. Intersección entre una recta y plano.

Si tenemos un plano Π y una recta L en el espacio, obtenemos que:

− Serán secantes si Π y L tienen en común un punto.

− Si Π y L tienen en común dos o más puntos, Π contendrá a L, siendo L la

intersección entre ambos.

− Si resulta que Π no tienen puntos en común con L, ambos serán paralelos.


9

4.5.4. Intersección entre tres planos.

Si tenemos 3 planos Π1, Π2 y Π3 en el espacio, se obtiene que:

− Π1, Π2 y Π3 serán paralelos sí no presentan puntos comunes.

− Si 2 planos resultan coincidentes, el tercer plano será paralelo a ellos.

− 2 planos son paralelos y son cortadas por el tercero.

− Π1, Π2 y Π3 planos se cortan dos a dos.

− Los tres planos se cortan en una recta, siendo todos distintas.

− Π1, Π2 y Π3 tienen una recta en común cuando 2 planos son coincidentes y el

tercero corta a ambos.

− Los tres planos sean coincidentes.

− Los tres planos se corten en un punto.

4.6. Ángulos.

Sean dos rayos PR y PQ, verificando que el extremo de dichos rayos sea P, puede

ocurrir que una recta sea la unión formada, de forma que ambos rayos sean opuestos,

en el caso de que no sean opuestos, estos definirán un ángulo.

DEF Sean dos rayos que tienen en común el punto extremo, pero no son opuestos,

definimos ángulo como el grupo de puntos situados en el plano capaz de confirman esta

propiedad y se denotará como ∠QPR.

Visiblemente se puede apreciar que un ángulo divide un plano en tres partes:

• Parte 1: el propio ángulo, o sea, el cúmulo de puntos pertenecientes a los

rayos que lo constutuyen.

• Parte 2: el interior, el conjunto de puntos comunes entre los siguientes

semiplanos:

− Semiplano de 𝑃𝑄 ̅̅ ̅̅ ̅que contiene a R.

− Semiplano de 𝑃𝑅̅̅ ̅̅ que contiene a Q.

• Parte 3: los puntos del plano restantes, o puntos externos, los que no

pertenecen ni al ángulo, ni a su interior.

DEF dos ángulos ∠SPT y ∠QPR serán opuestos si al unirse por el vértice p forman 2

rectas.

DEF ∠RPS y ∠QPR son adyacentes si su intersección es un rayo además de tener el

vértice en común.


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4.7. Medida y congruencia.

4.7.1. Medida y congruencia de segmentos de recta.

Si tenemos una recta L, tomamos un punto cualquiera de ella y le damos el valor

“0”, al escoger cualquier otro punto, distinto al anterior, y llamarlo “1” podemos crear

una recta numérica, de forma que asignando un número real a cada punto de la recta y,

siempre que tomemos como unidad de medida los dos puntos arbitrarios designados

anteriormente como “0” y “1”.

Al asignar a cada punto en L un número real estamos estableciendo un sistema

coordenado, llamando coordenada al punto de la recta al que hemos asignado un

número real, identificando cada uno de los puntos de la recta mediante su respectiva

coordenada.

Esto permite medir la longitud de cada segmento 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , mediante una simple

comparación de este segmento respecto al formado por los puntos designados como 0

y 1, siendo la longitud de este el número de veces a que debemos repetir la unidad

escalar pelegidaara ir de P a Q o viceversa.

Por lo tanto, se puede suponer que cualquier recta debe tener asociado un sistema

de coordenadas, esto es lo que designaremos como axioma de la regla.

DEF Dada una recta L, la cual tiene asociado un sistema de coordenadas, de manera

que se asigne un número real a cada punto P y Q, definiendo la distancia o longitud del

segmento 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ como:

𝑃𝑄 = |𝑥 − 𝑦|

PROP Si el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ⊂ 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ⟹ 𝐴𝐵 ≤ 𝑃𝑄

PROP3 Si el punto R pertenece al segmento 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ entonces 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = 𝑃𝑅̅̅ ̅̅ + 𝑅𝑄̅̅ ̅̅

DEF Podemos definir el punto medio de un segmento 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ como el punto 𝑃𝑚

perteneciente al segmento, de forma que: 𝑃𝑃𝑚 = 𝑃𝑚𝑄

DEF Si tenemos 2 segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝑦 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ de una recta, que pueden no ser iguales, y

ambos tienen la misma longitud, se puede decir que son congruentes, “≅”, es decir:

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ⟺ 𝑃𝑄 = 𝐴𝐵

3 PROP. Abreviatura de Propiedad


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4.7.2. Medida y congruencia de ángulos.

Para la medida de los ángulos podemos usar una semicircunferencia de centro C.

Suponemos que el arco de esta, que va de A hasta B, se puede dividir por cualquier

número positivo en 𝑛 partes iguales.

Este suposición puede denominarse como “Axioma del Transportador”. Tomando

180 como valor de 𝑛, tenemos una correspondencia, uno a uno, entre los puntos sobre

la cuerda de la semicircunferencia y los números reales entre 0 y 180. Esto es lo que se

conoce como sistema de coordenadas para la semicircunferencia.

Este sistema de coordenadas puede ser usado para calcular cualquier ángulo

(∠PQR), de forma que el centro o punto C de la semicircunferencia coincida con el

vértice Q del ángulo, y el rayo QR caiga sobre el rayo CB.

QP intersectará con el arco en un punto concreto de coordenadas 𝑡, con lo que

podremos decir que la medida del ángulo ∠PQR es 𝑡, este se escribe como ∠𝑃𝑄𝑅 = 𝑡.

La unidad formada tras la división en 180 partes iguales de una semicircunferencia

es lo que conocemos como grado. Otra forma de medir ángulos es mediante la unidad

de medida conocida como radián, número de veces que el radio de la circunferencia

entraría dentro del arco que queremos medir.

• Propiedades de las medidas de ángulos

− La medida de ángulos mediante grados equivale a un número real y positivo

entre 0º y 180º. Este es el resultado de la definición de ángulo como unión de

rayos.

− Siendo P un punto de la parte interior del ángulo ∠𝐴𝐵𝐶: 𝑚 ∠𝐴𝐵𝑃 < 𝑚 ∠𝐴𝐵𝐶

− Siendo P un punto de la parte interior del ángulo ∠𝐴𝐵𝐶: 𝑚 ∠𝐴𝐵𝑃 +

𝑚 ∠𝑃𝐵𝐶 = 𝑚 ∠𝐴𝐵𝐶

• Clasificación de ángulos

Los ángulos pueden ser clasificados de acuerdo con su medida. Se llama ángulo

recto al ángulo que mide 90º, si la medida es inferior a 90º, el ángulo será agudo,

mientras que si es superior a 90º el ángulo será obtuso. Dos ángulos son

complementarios si la suma de ambos resulta 90º, y además, la suma de sus ángulos

suplementarios es 180º.

• Congruencia de ángulos.

Dos ángulos con la misma medida se dice que son congruentes, por lo que todos los

ángulos rectos serán congruentes, sin embargo esto no implica igualdad entre ángulos,

pues estos están formados por conjuntos de puntos.


12

TEOREMA Si dos ángulos son congruentes, sus suplementarios son congruentes.

Dem. (La respresentación de los ángulos se hará a continuación solo por su vértice)

Si suponemos que ∠𝐴 ≅ ∠𝐵, por lo que 𝑚 ∠𝐴 = 𝑚 ∠𝐵 siendo dicha medida un

número n, entre 0 y 180. Por tanto, el suplementario de ∠A medirá 180 – 𝑛, y ya que

estos tienen igual medida ambos resultan congruentes.

TEOREMA Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Dem. Si consideramos dos ángulos que son opuestos por sus vértices ∠ABC y ∠𝑃𝐵𝑅,

como 𝐴𝑅 es una recta, ∠𝐴𝐵𝑃 es suplementario de ∠𝐴𝐵𝐶, de igual forma, para la recta

𝐶𝑃, ∠ABP será suplementario de ∠𝑃𝐵𝑅. Por tanto, ∠𝐴𝐵𝐶 y ∠𝑃𝐵𝑅 tendrán el mismo

ángulo suplementario ∠𝐴𝐵𝑃; y ya este ángulo ∠𝐴𝐵𝑃 es congruente consigo mismo,

podemos concluir el teorema diciendo que ∠𝐴𝐵𝐶 es congruente con ∠𝑃𝐵𝑅.

4.8. Perpendicularidad.

DEF Dos rectas que se intersectan decimos que son perpendiculares si el ángulo que

forma su unión es recto.

También se puede establecer la relación de perpendicularidad entre dos segmentos

o rayos de una recta, si las rectas que contienen a estos son perpendiculares entre sí,

aún cuando esta intersección sea vacía.

También podemos definir las rectas perpendiculares mediante la utilización de

ángulos adyacentes.

DEF Dos rectas serán perpendiculares si la unión formada por la intersección de

ambas contiene 2 ángulos adyacentes congruentes.

El axioma de perpendicularidad establece que, tomado un punto y una recta, sólo

existe una única recta perpendicular a la otra que pase por el punto.

4.9. Pruebas de paralelismo

Anteriormente se ha definido la relación de paralelismo existente entre 2 rectas

como que estas dos rectas están situadas dentro del mismo plano sin intersectar entre

sí. Sean L1 y L2 rectas paralelas, este paralelismo lo denotaremos como L1 // L2.

De igual forma se puede decir que los segmentos o los rayos de dos rectas serán

paralelos entre sí, si paralelas son las rectas que los contienen.

Pero dicha definición no resulta de gran utilidad ya que dos rayos o segmentos

situados en un mismo plano pueden parecer paralelos, pero no serlo, ya que las rectas

que lo contienen en su extensión son infinitas , por lo que no se puede afirmar con


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exactitud que estas no se corten en el infinito. Por este motivo se deben desarrollar

diversas tentativas, además de la ya dada definición de paralelismo.

TEOREMA Dos rectas situadas en el mismo plano serán paralelas si son perpendiculares

a una misma recta.

Dem. Para poder demostrar dicho teorema usaremos el axioma de

perpendicularidad, que dice: dado un punto P y una recta L, la cual no contiene a P,

solamente una recta puede pasar por el punto P siendo pendicular a L.

Queremos probar que L1 // L2, para este utilizaremos 𝐿1, 𝐿2 y 𝑇, tres rectas incluidas

en un mismo plano, de forma que L1⊥T y L2⊥T.

Si L1 no fuese paralela a L2, L1∩L2 contiene un punto P: por lo que existen dos rectas

L1 y L2 que pasan por el punto P y siendo perpendiculares a T. Sin embargo, esto hace

que el axioma de perpendicularidad sea contradicho, luego L1 // L2.

Figura 3. Pruebas de paralelismo

DEF Dadas tres rectas 𝐿1, 𝐿2 y 𝑇, ∠1 y ∠3 son opuestos por su vértice y ∠1 y ∠7

serán alternos internos, por lo que los ángulos ∠3 y ∠7 serán ambos ángulos

correspondientes.

LEMA La medida de un ángulo exterior a un triángulo, es mayor que la medida de

cualquiera de los dos ángulos interiores opuestos.

Dem. Dado el triángulo de vértices ΔABC

Figura 4. triángulo de vértices ΔABC.


14

Primero calcularemos el punto medio m de 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ y trazaremos 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ , de tal forma que

𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝐸̅̅̅̅̅. Trazamos 𝐸𝐵̅̅ ̅̅ .

Por construcción 𝐶𝑀 ≅ 𝑀𝐵 y (𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅) ≅ (𝑀𝐸̅̅̅̅̅), y ∠1 y ∠2 serán congruentes, ya que

estos son opuestos por su vértice. Como 𝛥𝐴𝑀𝐶 ≅ 𝛥𝐸𝑀𝐵, al poder establecer una

igualdad de ángulos y lados tendremos que: ∠CBE ≅ ∠C.

Sin embargo, como E está situado en el ángulo exterior, ∠𝐶𝐵𝐷, entonces m∠CBE <

m∠CBD, debido a las propiedades de medida de los ángulos. Luego concluimos m∠C <

m∠CBD y análogamente m∠A < m∠CBD.

TEOREMA Si los ángulos correspondientes, formados por una trasversal que corta dos

rectas en el plano son cortadas por una transversal, son congruentes, dichas rectas serán

paralelas entre sí.

Dem.

Figura 5. Rectas paralelas.

Sean dos rectas, situadas en el mismo plano, cortadas por una transversal 𝑇 en los

puntos P, para 𝐿1 y Q para 𝐿2. Supongamos que 𝐿3 ≅ 𝐿7 y tenemos que probar que L1

// L2. Supongamos ahora que 𝐿1 𝑦 𝐿2 no son paralelas, entonces se cortarían en algún

punto, al que llamaremos 𝑟, y supondremos situado a la derecha de T. Por tanto, 𝑃𝑄𝑅

será un triángulo y el vértice ∠8 será uno de los ángulos exteriores de este triángulo. Sin

embargo, al ser ∠3 ≅ ∠7 ángulos alternos internos y ser ∠2 un ángulo interior opuesto

al ángulo ∠8, ∠8 ≅ ∠2. Esto contradice el lema, puesto que el ángulo externo ha de ser

mayor que la media del ángulo interior opuesto. Por lo que L1 debe ser paralelo a L2.

5. Fundamentación didáctica: Aprendizaje de conceptos geométricos.

La investigación de los procesos de aprendizaje y enseñanza de la geometría en los

diferentes niveles educativos, así como de los factores que condicionan estos ha sido un

pozo de búsqueda muy abundante, derivándose en resultados que ayudan y orientan a

los profesores en el proceso de instrucción de los contenidos curriculares. Los trabajos

revisados hacen uso de diversos marcos teóricos y metodológicos, originando una gran

gama de resultados de naturaleza muy diversa, lo que termina resultando una dificultad

para el docente a la hora de intentar establecer cuáles serán los criterios generales o

Dem.

8 7

6 5

4 3

2 1

p

q

T

L1

r

L2


15

específicos para en su labor práctica. No obstante, se debería asumir la necesidad de

identificar algunos posibles conocimientos didáctico-matemáticos mediante los diversos

resultados que ofrecen estas investigaciones (Cruz, Gea y Giacomone, 2017).

La Teoría de la Idoneidad Didáctica (TID4) (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2006;

Godino, 2013) propone una sistematización de criterios, principios o heurísticas, de los

cuales existe, en la comunidad educativa, un consenso relativo al campo de las ciencias-

matemáticas, ya que la aplicación de este podría mejorar para alcanzar altos niveles de

idoneidad en los procesos de instrucción. Esta teoría asume que la enseñanza de la

matemática tiene un componente descriptivo y explicativo (científico), como un

componente normativo (tecnológico), pues el conocimiento científico a elaborar deber

estar orientado a la intervención y mejora de los procesos de aprendizaje y enseñanza.

La TID propone 6 aspectos para el estudio de los procesos instruccionales, aspectos

para los que han sido identificados diversos criterios de idoneidad generales de

aplicación a los contenidos matemáticos (Godino, 2013). De esta forma, se crea una guía

general de indicadores de idoneidad (GVID5), la cual puede llegar a ser una herramienta

de ayuda tanto para profesores como para investigadores en educación matemática. La

GVID es “una herramienta cuya aplicación y discusión por los formadores de profesores,

los propios profesores e investigadores permitirá su progresiva mejora y

enriquecimiento” (Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009, p.60).

Según el Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticas

(EOS6) (Godino y Batanero, 1994; Godino, 2013; Godino, Batanero y Font, 2007), el

cúmulo de elementos teóricos que componen EOS se clasifican en 5 módulos,

delimitando cada uno de ellos un análisis parcial y complementario de los distintos

procesos de enseñanza y aprendizaje para materia específica de matemáticas (Godino,

2013).

De manera concreta, esta investigación se centra en el desarrollo y la aplicación del

último módulo propuesto por EOS, la relación con la TID. El análisis y la interacción de

los componentes de esta, junto con sus criterios respectivos, aportan una valiosa

información al mundo de la investigación, permitiendo establecer un punto de vista

general del proceso de instrucción, proporcionando una reflexión y toma de decisiones

de las diferentes etapas: diseño, implementación y evaluación.

Para cada etapa se establecen distintos descriptores específicos de idoneidad, como

instrumentos de transición entre una didáctica descriptiva–explicativa hacia otra

4 TID. Teoría de la Idoneidad Didáctica 5 GVID. Guía de indicadores de idoneidad 6 EOS. Enfoque Ontosemiótico


16

dirigida a la intervención en clase de manera efectiva, sirviendo de pauta a la hora de

evaluar las acciones tanto planificadas, como implementadas, en el aula (Godino, 2013).

En el análisis de la idoneidad epistémica se trata de estudiar si la visualización

espacial tridimensional del contenido matemático, a nivel elemental respecto a las

reglas, lenguajes matemáticos, argumentos y situaciones-problemas, resultan

adecuadas, además de las relaciones existentes entre ellos, que se establecen para su

enseñanza (Cruz, Gea y Giacomone, 2017).

En primer lugar, la recapitulación realizada por Hershkowitz (2014) sobre los

diferentes problemas con los que se encuentra la geometría resultan de bastante

relevancia como un componente situacional de la idoneidad epistémica. Según

Hershkowitz, desde hace más de 2500 años, la geometría se ha ido desarrollando a lo

largo de unos pocos aspectos, como son “La interacción con las formas en el espacio o

Las formas como base para reflexionar sobre información visual” (Hershkowitz ,2014).

Existe un clásico acuerdo que relaciona estos dos aspectos geométricos al ser

concebida como una ciencia espacial, expresándose claramente en el enfoque de la

enseñanza-aprendizaje de la geometría tanto para la formación de discentes, así como

en los numerosos trabajos de investigación. Clásicamente, la enseñanza de la geometría

se ha basado en una división de forma jerarquizada desde los aspectos más intuitivos de

la geometría a los más formales a lo largo de la escolarización de los alumnos. Esta

intuitiva y manipulativa aproximación se considera la base de la geometría a nivel

preescolar, siendo la educación primaria una etapa de transición entre esta

aproximación y la formal dada en secundaria (Cruz, Gea y Giacomone, 2017).

De aquí nacen 2 criterios de idoneidad epistémica para la instrucción de la

geometría en el aula, relacionado con las situaciones-problema tipo problemas a

plantear:

− La interacción con las distintas formas en el espacio, como son el

reconocimiento de las propiedades de estas y las relaciones existentes entre

ellas.

− Las situaciones-problema deben generar aspectos intuitivos y manipulativos

que, de forma gradual, irán siendo asumidos de una manera lógica–formal.

Gonzato, Godino y Neto (2011) establecen una categorización de diversas tareas de

visualización de cuerpos geométricos tridimensionales en 4 categorías, según la acción

requerida para que el discente logre resolverlas: rotar los objetos tridimensionales en el

espacio, plegar y desplegar desarrollos, coordinar e integrar vistas ortogonales, además

de componer y descomponer dichos objetos. De esta clasificación surgen diversos

criterios de idoneidad relacionados con la visualización de objetos 3D:


17

“Las tareas propuestas deben abordar problemas que involucren el

reconocimiento de los atributos y las formas en el espacio a través de

construcción de objetos con vistas coordinadas, del desarrollo de la

habilidad de plegar y desplegar, componer, descomponer e identificar

partes y elementos de un sólido, así como la habilidad de girar un objeto

en un plano o eje imaginario” (Gonzato, Godino y Neto, 2011).

De los tipos de representación de objetos tridimensionales, teniendo en cuenta el

componente del lenguaje, verbales o escritas, planas, gráficas y manipulables surge un

nuevo criterio de idoneidad:

“Las tareas de visualización serán exitosas si se logra distinguir las

características de los tipos de representaciones de objetos

tridimensionales y se hace uso de ellas al percibirlas y describirlas, ya sea

en el diseño o construcción como en la ejecución de una actividad”

(Gonzato, Godino y Neto, 2011).

Para describir orientación, estructura y posición en el espacio, se hace uso del

lenguaje verbal: dentro/fuera, encima/debajo, adelante/atrás, enfrente, atrás, en el

centro, derecha/izquierda, arriba/abajo, cerca/lejos, allí, allá, aquí, acá, entre, ahí, cerca-

lejos, en medio y próximo/lejano, que usamos como indicaciones de posición relativa de

una figura geométrica respecto a otra/s, o también para especificar direcciones

espaciales respecto a dicho objeto o a un espectador externo (Gonzato, 2013).

De estos aspecto surge una propuesta idónea para la visualización espacial de

cuerpos geométricos:

“Un leguaje adecuado permitirá distinguir y describir la orientación, la

estructura (características y sus relaciones) y la posición de un objeto

tridimensional con otros” (Gonzato, Godino y Neto, 2011).

Con relación a los procedimientos, conceptos y proposiciones, y teniendo en cuenta

la relación con los diferentes objetos que los representan, Battista (2007) destaca las

dificultades presentes en el estudio geométrico debido a la necesidad de diferenciar

entre dos objetos: las representaciones gráficas que forman un cuerpo y las figuras

(geométricas) referentes a objetos teóricos. Como indica el autor, “el estudio de la

geometría implica establecer relaciones entre ambos, pues, en general, en el

pensamiento geométrico, se razona sobre objetos (figuras geométricas); se razona con

representaciones” (Battista, 2007, p. 844).

Una dificultad añadida es el uso de objetos físicos y diagramas para la

representación de conceptos geométricos formales. No obstante, tanto para los

investigadores, como para los currículos docentes, los procesos de formación de


18

conceptos a partir de cuerpos sólidos son ignorados, mientras que si se centran en la

perspectiva “representacional” (Battista, 2007), considerándola como indicador de un

concepto matemático abstracto, por esto, a continuación, se formula un criterio

determinado de idoneidad epistémica en relación con la distinción entre dibujos y

cuerpos geométricos:

“El diseño de un proceso de estudio en geometría será más o menos idóneo

en la medida en que los estudiantes aprendan a distinguir en los objetos

físicos, las representaciones y los diagramas de las correspondientes

figuras geométricas, como entidades o formas no ostensivas cuyo uso está

determinado por las reglas que los definen” (Gonzato, Godino y Neto,

2011).

Itzcovich (2005) plantea la necesidad de aclarar que para los discentes no es facil

identificar las propiedades de los cuerpos con tan solo mirar las figuras que los

representan. La imagen que puede reconocer un alumno no siempre tiene por qué ser

lo que el educador pretende que se identifique, eso va en función de los conocimientos

que cada uno posee, y los estudiantes no suelen reconocer las propiedades que están

representadas, ya que la percepción no funciona de forma independiente a la cognición.

Se propone que el procedimiento ha de ser claro y adaptado a cada nivel educativo,

y así estar presente un grado de idoneidad epistémica; lo que nos presenta un nuevo

criterio:

− “La identificación de las propiedades de un cuerpo o figura geométrica no se

enseña con mirar y dibujar una figura solamente, ya que la percepción va de la

mano de la cognición. El hecho de reconocer las propiedades, mediante la

resolución de problemas, es un proceso que se va construyendo con la práctica

haciendo uso de argumentos que permitan la producción de demostraciones”

(Itzcovich, 2005).

Que los alumnos dispongan de las herramientas necesarias que se utilizan en todos

los procesos deductivos dará paso a la ejecución de prácticas argumentativas, con el

propósito de alcanzar la elaboración de demostraciones. La ganancia de estas

propiedades es la resulta de un proceso de identificación de estos problemas planteados

y está íntimamente relacionada con el nivel de conocimientos que se tenga, las

actividades de construcción propuestas, y los errores, ensayos, intuiciones y aciertos

que se desarrollen en la relación docente-discente, así como en la interacción alumno-

alumno (Itzcovich, 2005).

Fernández (2014) con su propuesta de realizar una valoración pronostica a cerca de

la formación en visualización y razonamiento espacial de los futuros profesores:

constancia perceptual, identificación visual, percepción de posiciones espaciales,


19

discriminación visual, percepción de relaciones espaciales, rotación mental y memoria

visual, para resolver las actividades propuestas de forma exitosa tras la adquisición de

estas habilidades, de este diagnóstico se puede deducir otra idoneidad epistémica:

− “El desarrollo de las habilidades para la resolución de tareas en forma exitosa

se realiza y evidencia durante la aplicación de procedimientos en la relación de

características y propiedades de las figuras para su construcción y despliegue (o

deconstrucción); en la percepción de las relaciones de posiciones físicas y

mentales; en la percepción de relaciones espaciales; y en la discriminación y

comparación de objetos, los cuales contribuyen a la visualización y

razonamiento espacial” (Gonzato, Godino y Neto, 2011).

Van Hiele (2002) diferencia entre 2 niveles fundamentales de aprendizaje

geométrico: uno referente a la identificación de manera visual de las formas

geométricas y otro mediante la identificación de las propiedades de dichas formas, de

manera que para poder alcanzar los niveles superiores de pensamiento geométrico se

debe comenzar por los niveles inferiores, ya que si los niveles de conocimiento no están

afianzados el aprendizaje de los alumnos se basará en un simple proceso de

memorización ante una prueba formal, conduciendo a confusión sobre su propósito real

(Gonzato, 2013).

Por otro lado, Gonzato (2013) distingue entre 2 motivaciones primordiales que

permitan llevar a la justificación de una proposición determinada:

- La necesidad de confirmar la veracidad o falsedad de una proposición.

- La necesidad de establecer la validez de un régimen de reglas y principios

admitidos por una colectividad.

De todo esto podemos deducir otro criterio epistémico fundamental en los

primeros años de enseñanza:

- “Procurar la transición progresiva de las argumentaciones informales hacia las

deductivas, a través de lo intuitivo-práctico a lo formal-abstracto,

respectivamente. Avanzar desde los niveles inferiores de pensamiento hacía

niveles más elevados de pensamiento geométrico. Todo esto, para convencer

sobre la verdad o falsedad, o bien para establecer una proposición en un sistema

de reglas y principios aceptados por una institución” (Gonzato, Godino y Neto,

2011).


20

6. Proyección didáctica: Geometría analítica (4º ESO)

6.1. Geometría analítica

La geometría analítica es la parte de la matemática donde las líneas rectas y curvas,

así como las figuras geométricas son representadas mediante expresiones numéricas y

algebraicas haciendo uso de un conjunto de ejes y coordenadas.

En la práctica, esto simboliza que cualquier punto del plano puede ser localizado

con respecto a un plano cartesiano, describiendo su posición mediante la distancia entre

dicho punto y ambos ejes de coordenadas.

Desde un punto de vista didáctico, la geometría analítica resulta un puente de unión

totalmente necesario entre la geometría euclidiana y otras ramas de las matemáticas y

la propia geometría, como pueden ser el álgebra lineal, el análisis matemático, la

geometría diferencial, la afín o la algebraica.

Los sistemas de coordenadas también se utilizan otras ramas de las ciencias

experimentales como es la Física, donde son usados para representar movimientos,

vectores…

A continuación, se recoge una tabla resumen de los aspectos formales y contenidos

referentes a esta unidad didáctica.

Tabla 2. Cuadro resumen proyección didáctica.

MATERIA: Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas NIVEL: 4º ESO

Criterio de evaluación (Real Decreto 1105/2014): 1. Utilizar las unidades angulares del sistema métrico sexagesimal e internacional y las relaciones y razones de la trigonometría elemental para resolver problemas trigonométricos en contextos reales. 2. Calcular magnitudes efectuando medidas directas e indirectas a partir de situaciones reales, empleando los instrumentos, técnicas o fórmulas más adecuadas y aplicando las unidades de medida. 3. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas sencillas.

Estrategias metodológicas: Metodología activa y dinámica, que ayude a la participación del alumnado en las clases, haciendo que las situaciones-problema expuestas generen aspectos intuitivos y manipulativos que, de forma gradual, se irán asumiendo de una manera lógica – formal. Motivación en el proceso enseñanza-aprendizaje, reforzándola mediante la utilización de las TIC, en concreto gracias a la realización de actividades con GeoGebra.

https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico


21

Objetivos de la etapa (Orden 14 de julio de 2016): - Resolver problemas utilizando los recursos y las estrategias necesarios para ello, e indicando el

proceso seguido en cada caso. - Hacer predicciones utilizando patrones, regularidades y leyes matemáticas en distintos contextos

matemáticos. - Aplicar las matemáticas a la vida cotidiana. - Afrontar la toma de decisiones como un proceso de crecimiento personal y de orientación hacia

el futuro, y valorar su aplicación en contextos matemáticos. - Seleccionar la información necesaria para resolver problemas de la vida cotidiana con autonomía

y sentido crítico. - Traducir eficazmente enunciados de problemas relacionados con la vida cotidiana al lenguaje

algebraico. - Representar relaciones cuantitativas y cualitativas a través de diferentes tipos de funciones e

interpretar los resultados obtenidos a partir de tablas, gráficas… - Profundizar en el conocimiento de configuraciones geométricas sencillas a través de la geometría

analítica plana.

Bloque de contenidos (R.D. 1105/2014): Bloque 3. Geometría - Medidas de ángulos en el sistema sexagesimal y en

radianes. - Razones trigonométricas. Relaciones entre ellas. - Relaciones métricas en los triángulos. - Aplicación de los conocimientos geométricos a la

resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes. Geometría analítica el plano: Coordenadas. Vectores.

- Ecuaciones de la recta. Paralelismo, perpendicularidad.

- Ecuación reducida de la circunferencia. - Semejanza. Figuras semejantes. - Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos

semejantes. - Aplicaciones informáticas de geometría dinámica que

facilite la comprensión de conceptos y propiedades geométricas.

Competencias (Orden 14 de julio de 2016): - Competencia matemática y

competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT).

- Competencia de aprender a aprender (CAA).

- Competencia en comunicación língüistica (CCL).

- Competencia Digital (CD).

Estándares de evaluación (Real Decreto 1105/2014): - Utiliza conceptos y relaciones de la trigonometría básica para resolver problemas empleando

medios tecnológicos, si fuera preciso, para realizar los cálculos. - Utiliza las herramientas tecnológicas, estrategias y fórmulas apropiadas para calcular ángulos,

longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos y figuras geométricas. Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología.

- Resuelve triángulos utilizando las razones trigonométricas y sus relaciones. - Utiliza las fórmulas para calcular áreas y volúmenes de triángulos, cuadriláteros, círculos,

paralelepípedos, pirámides, cilindros, conos y esferas y las aplica para resolver problemas geométricos, asignando las unidades apropiadas.

- Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas sencillas.

- Establece correspondencias analíticas entre las coordenadas de puntos y vectores. - Calcula la distancia entre dos puntos y el módulo de un vector. - Conoce el significado de pendiente de una recta y diferentes formas de calcularla. - Calcula la ecuación de una recta de varias formas, en función de los datos conocidos.


22

- Reconoce distintas expresiones de la ecuación de una recta y las utiliza en el estudio analítico de las condiciones de incidencia, paralelismo y perpendicularidad.

- Utiliza recursos tecnológicos interactivos para crear figuras geométricas y observar sus propiedades y características.

6.2. Justificación

El propósito del departamento de Matemáticas será contribuir al desarrollo de las

capacidades de los alumnos para permitirles:

− Resolver problemas haciendo uso de las estrategias y recursos necesarios para

ello, e indicar el proceso a seguir en cada caso.

− Hacer pronósticos mediante el uso de reglas, patrones y leyes matemáticas en

diferentes contextos.

− Generar variaciones de problemas propuestos ya abordados con la intención de

profundizar en ellos.

− Introducir al alumnado en el ámbito de la investigación realizando informes de

resultados y conclusiones.

− Aplicar las matemáticas a la vida cotidiana.

− Abordar los problemas cotidianos mediante diferentes estrategias.

− Conocer los puntos matemáticos fuertes y débiles de cada individuo.

− Desarrollar la resiliencia en la resolución de nuevas situaciones.

− Desarrollar el proceso personal de toma de decisiones como un proceso de

crecimiento personal y orientación con vistas al futuro, pudiendo realizar

valoraciones de su aplicabilidad en contextos matemáticos.

− Utilizar la calculadora, softwares y applets con destreza, con el fin de comprobar

resultados, descubrir patrones, facilitar la realización de cálculos complejos, etc.

− Aumentar la capacidad de cribar la información realmente necesaria para

desarrollar el sentido crítico y la autonomía a la hora de resolver problemas de

la vida cotidiana.

− La adecuada utilización de los diferentes modelos numéricos y su correcta

aplicación a la hora de realizar operaciones.

− Traducir de manera eficaz los problemas relacionados con la vida cotidiana al

lenguaje algebraico.

− Dominar el uso de forma razonada tanto de polinomios, como de fracciones

algebraicas.

− Utilizar ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones para resolver

problemas matemáticos en el ámbito real.

− Establecer relaciones cuantitativas y cualitativas mediante los diversos tipos de

funciones e interpretar los datos obtenidos a partir de tablas, gráficas…

− Aplicar a la resolución de problemas el concepto básico de semejanza.


23

− Utilizar las razones trigonométricas fundamentales en la resolución de

problemas trigonométricos.

− Profundizar, mediante la geometría analítica plana, en las configuraciones

geométricas sencillas.

− Analizar e interpretar información estadística extraída de diversos medios de

comunicación.

− Resolver problemas mediante estrategias combinatorias básicas.

− Resolver problemas de probabilidad simple y compuesta mediante la ley de

Laplace, diagramas árbol, tablas de contingencia …

6.3. Contextualización del centro y del aula

Para el desarrollo de este epígrafe me he basado en mi propia experiencia personal,

basándome en el ámbito escolar que viví durante el periodo de prácticas curriculares.

• Organización de espacios en el aula

Las aulas donde he asistido como alumno de máster en prácticas eran clases

clásicas, donde la atención docente se centraba en la pizarra, los alumnos estaban

dispuestos en tres filas de dos pupitres por fila y la mesa del profesor se sitúa en una

plataforma elevada que permite un mayor control visual del alumnado. Las clases

impartidas son clases magistrales, por lo que se crea la necesidad de realizar divisiones

grupales.

• Material

Como mobiliario de clase las aulas están dotadas de: ordenador, pizarra digital,

proyector, pizarra de madera tradicional, pupitres de inclinación regulable, sillas,

armarios, percheros, mesa y silla del profesor, sistema de calefacción y sistema de

refrigeración.

Como material escolar los alumnos tenían los libros de texto Física de editorial

Anaya para 2º de Bachilletaro y Física y Química de editorial Anaya para 4º de ESO (ya

que he realizado las prácticas en la especialidad de Física y Química). Los libros sirven

como soporte de apoyo, ya que los alumnos copian apuntes de las explicaciones del

profesor.

• Perfil de los alumnos

En el IES Miguel Sánchez López, centro en el que realicé el prácticum, estudian

aproximadamente 750 alumnos, distribuidos en seis cursos, desde 1º de ESO hasta 2º

de Bachiller, pero con una clara tendencia al alza en lo que a crecimiento de añumnos

matriculados se refiere. Es mayoritario, pero no demasiado marcado, el alumnado


24

femenino, aunque este hecho también depende del curso en cuestión. La procedencia

del alumnado es mayoritariamente local, y un pequeño porcentaje procedente de

localidades colindantes, como son Jamilena y Torredonjimeno. Actualmente, debido a

que se imparten varios ciclos formativos también hay alumnos procedentes de otras

muchas localidades de la provincia.

6.4. Objetivos

El currículo de la asignatura elegida para la realización de este trabajo fin de Máster

se divide en diversos bloques, como son: contenidos, estándares de aprendizaje y

criterios de evaluación, lo cuales son los establecidos por el Real Decreto 1105/2014, de

26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de Educación Secundaria

Obligatoria y del Bachillerato.

Con el desarrollo de esta unidad didáctica se pretende contribuir al desarrollo de

las capacidades del alumnado, algunas de ellas ya descritas en el epígrafe 6.2., que les

ayuden y permitan a:

− Resolver problemas mediante el uso de los recursos y estrategias necesarios,

manifestando el proceso a llevar a cabo en cada caso.

− Hacer pronósticos utilizando patrones, regularidades y leyes matemáticas.

− Generar variaciones de problemas propuestos ya resueltos con la intención de

profundizar en ellos.

− Desarrollar el proceso personal de toma de decisiones como un proceso,

orientado al futuro, de crecimiento personal, pudiendo realizar valoraciones de

su aplicabilidad en contextos matemáticos.

− Aumentar la capacidad de cribar la información realmente necesaria para

desarrollar el sentido crítico y la autonomía a la hora de resolver problemas de

la vida cotidiana.

− Establecer relaciones cuantitativas y cualitativas mediante las diversas funciones

y analizar los datos obtenidos a partir de tablas, gráficas…

− Conocer las diferentes configuraciones geométricas simples mediante la

geometría analítica plana de una forma más profunda.


25

6.5. Competencias Clave

Tabla 3. Competencias Clave (Orden de ECD/65/2015).

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES COMPETENCIAS

CLAVE

Utiliza conceptos y relaciones de la trigonometría básica para resolver problemas

empleando medios tecnológicos, si fuera preciso, para realizar los cálculos. Competencia

matemática y

competencias

básicas en

ciencia y

tecnología

(CMCT).

Competencia

de aprender a

aprender

(CAA).

Competencia

en

comunicación

língüistica

(CCL).

Competencia

Digital (CD).

Utiliza las herramientas tecnológicas, estrategias y fórmulas apropiadas para

calcular ángulos, longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos y figuras geométricas.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología.

Resuelve triángulos utilizando las razones trigonométricas y sus relaciones.

Utiliza las fórmulas para calcular áreas y volúmenes de triángulos, cuadriláteros,

círculos, paralelepípedos, pirámides, cilindros, conos y esferas y las aplica para

resolver problemas geométricos, asignando las unidades apropiadas.

Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica

plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas

sencillas.

Establece correspondencias analíticas entre las coordenadas de puntos y vectores.

Calcula la distancia entre dos puntos y el módulo de un vector.

Conoce el significado de pendiente de una recta y diferentes formas de calcularla.

Calcula la ecuación de una recta de varias formas, en función de los datos conocidos.

Reconoce distintas expresiones de la ecuación de una recta y las utiliza en el estudio

analítico de las condiciones de incidencia, paralelismo y perpendicularidad.

Utiliza recursos tecnológicos interactivos para crear figuras geométricas y observar

sus propiedades y características.

6.6. Contenidos

Los contenidos de esta unidad didáctica son los incluidos en el currículo de

Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas de 4º de ESO establecidos por la

“Orden de 14/7/2016 por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación



evaluación en el proceso de aprendizaje del alumnado: la aplicación de los conocimientos

geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de

longitudes, áreas y volúmenes. Iniciación a la geometría analítica en el plano:

Coordenadas. Vectores.”

6.7. Metodología

Como se ha explicado a lo largo del desarrollo de este trabajo, la geometría analítica,

se estudia desde el conocimiento del cálculo algebraico y las funciones, por lo que para

el desarrollo de este bloque será necesaria una completa asimilación y comprensión de

estos conocimientos anteriormente adquiridos.


26

Todas las sesiones tendrán lugar en el aula ordinaria donde el alumnado suele realizar

prácticamente todas las asignaturas, a excepción de la última sesión, la cual se

desarrollará en el aula de informática.

Ante la extensión de este bloque de estudio, la propuesta de mejora didáctica que se

presenta se centra en la unidad didáctica de Geometría Analítica. Para la docencia de

esta, la metodología utilizada persigue ser activa y dinámica, de forma que contribuya a

la participación del alumnado en clases, haciendo que las situaciones-problema

expuestas en clase generen aspectos intuitivos y manipulativos que, de forma gradual,

se irán asumiendo de una manera lógica – formal. La motivación, la cual ya ha sido

reflejada en anteriores epígrafes del presente trabajo fin de Máster, es primordial en el

proceso enseñanza-aprendizaje, para reforzar esta motivación se hará uso de las TIC, y

específicamente mediante la realización de actividades con softwares específicos,

concretamente GeoGebra.

Por todo lo dispuesto, se intenta dotar esta propuesta de una perspectiva actitudinal,

basada en un marco práctico, donde el alumno pueda adquirir nuevos conocimientos,

en diversos contextos, basados en los conocimientos previos que tienen adquiridos.

Para alcanzar lo descrito, como recurso se utilizará el libro de texto, como soporte de

apoyo cuando el profesor realice la exposición oral, para completar los apuntes tomados

en clase o para la realización de actividades y problemas que el libro contenga. Por otro

lado, y para finalizar la sesión, se utilizará el ordenador como recurso didáctico para

hacer uso del software matemático “GeoGebra”, con el cual se realizará un repaso del

bloque estudiado así como le resolución y visualización de problemas matemáticos y

construcciones geométricas.

6.8. Actividades y recursos

A continuación, se presentan unas fichas modelo semejantes al contenido curricular

contenidos en los libros de texto utilizados en los centros educativos de la Comunidad

Andaluza.


27

Sesión 1: Vectores.

Sesión 1.1. Qué son los vectores y cómo utilizarlos en las traslaciones

Un vector 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se trata de un segmento orientado el cual presenta un origen o punto origen A y un extremo o punto B.

Las coordenadas del vector 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ son las correspondientes al extremo A.

La traslación de un vector 𝒕 es el movimiento por el cual cada punto P hace que corresponda a otro punto P’

de forma que 𝒑𝒑⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝒕 .

A. Dibuja el vector 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en el que 𝐴 = (1,3) y 𝐵 = (−2,5).

B. Calcular las coordenadas dadas para el vector del apartado anterior.

C. Dibuja el vector �⃗⃗� (1,3).

D. Busca el punto B obtenido por la traslación de 𝐴 = (0,4) haciendo uso del vector anterior.

E. Busca el punto C obtenido por la traslación del punto 𝐴 = (0, 4) mediante el vector 2�⃗⃗� , donde �⃗⃗� (1,3).

F. ¿Cuál es la disposición de los puntos A, B y C?

Sesión 1.2. Representación de una recta a partir de su ecuación.

Representación de rectas Para representar la recta dada por

una función lineal 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛 se han de obtener dos puntos, distintos entre si, y trazar la recta que los une.

A. Representa las siguientes rectas: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = 4 𝑓(𝑥) = 2𝑥

𝑓(𝑥) =1

2𝑥 − 1

Sesión 1.3. Qué son las ecuaciones lineales y cómo se representan sus

soluciones.

Ecuaciones lineales Una ecuación lineal con dos

incógnitas tiene como soluciones todos los puntos de una recta.

A. Representa las siguientes ecuaciones: 𝑦 = 𝑥 − 3 2𝑥 = 𝑦 − 1 𝑥 + 𝑦 = 5 6𝑥 − 2𝑦 = 4

Sesión 1.4. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas.

Existen tres métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

• Reducción

• Igualación

• Sustitución Estos sistemas pueden tener una

solución, ninguna o infinitas soluciones.

A. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método conveniente, e indica si tiene solución, y cuantas soluciones tendría en cada caso.

{2𝑥 + 𝑦 = 1𝑥 − 3𝑦 = 3

{𝑥 + 2𝑦 = 44𝑥 − 5𝑦 = 3


28

Sesión 2: Vectores en el plano. Operaciones.

¿Recuerdas, como vimos en el curso anterior, que los vectores servían para definir

con precisión una traslación? Se denomina vector fijo a un segmento orientado con

origen A y extremo B.

Un vector está definido por tres rasgos:

• Módulo o longitud del

segmento.

• Dirección de la recta que

lo contiene.

• Sentido: el que va del

origen al extremo.

Todos los vectores que poseen el mismo módulo,

dirección y sentido se llaman vectores equipolentes.

Un vector libre, 𝑣 , es el conjunto de todos y cada uno

de los vectores fijos equipolentes; por lo que poseen igual

módulo, dirección y sentido.

Un vector libre puede ser representado en cualquier

zona del plano y con un origen cualquiera. Si en el plano

tenemos dos, A y B, el vector fijo 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ será una

representación equipolente del vector libre 𝑣 .

Dado un punto A y cualquier vector libre 𝑣 , es posible dibujar el vector libre 𝑣 que

tenga origen en A.

Sesión 2.1. Operaciones con vectores libres.

• Suma de vectores libres �⃗⃗� + �⃗⃗�

Si 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗� y 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑣, podremos decir que, �⃗⃗� = �⃗� +

𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. Teniendo como origen, el vector suma �⃗� + 𝑣 , el

origen de �⃗� y como extremo 𝑣

• Producto de un vector libre por un escalar 𝒌�⃗⃗�

El vector 𝑘�⃗� tendrá idéntica dirección que �⃗� y su módulo se va a obtener si

multiplicamos 𝑘 por el módulo de �⃗� . El sentido de la dirección será igual cuando el

escalar 𝑘 tenga sentido positivo o contrario si 𝑘 tiene signo negativo.

No olvides que:

Figura 6.

• �⃗� , 𝑣 𝑦 �⃗⃗� tienen igual dirección.

• 𝑣 y �⃗⃗� tienen idéntico sentido.

• �⃗� tiene sentido contrario a 𝑣 y �⃗⃗� .

• �⃗� y �⃗⃗� tienen igual módulo.

Figura 8.

Figura 7.


29

El vector opuesto de �⃗� , se obtiene realizando el producto de dicho vector por un

escalar, es decir −�⃗� = (−1) · �⃗� , cuyos módulo y dirección serán idénticos a los

correspondientes de �⃗� , pero su sentido será contrario al de �⃗� .

En la figura 9 se observa claramente la propiedad conmutativa de la suma de los

vectores. La suma �⃗� + 𝑣 resulta un vector �⃗⃗� , con

idéntico origen, representado por la diagonal del

paralelogramo formado.

Conociendo −𝑣 , se pueden restar los vectores: �⃗� − 𝑣 = �⃗� + (−𝑣 ). Por ejemplo, dados los vectores �⃗� y 𝑣 , calculamos 2�⃗� − 3𝑣 .

ACTIVIDADES

1. Estudia cuál de estos vectores tiene

el mismo módulo, dirección y

sentido:

2. Indica cuál sería el par de vectores

equipolentes representados en la

actividad anterior.

3. Dibuja un rombo, denominando A,

B, C y D a los vértices consecutivos.

Representa y nombra los vectores

resultantes de las siguientes

operaciones:

a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ b) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ c) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

d) 2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗

4. Expresa en función de y los vectores

siguientes del paralelogramo

representado en la figura 11: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗,

𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗.

5. Analiza la siguiente figura:

a) Nombra cinco vectores diferentes

cuyo origen y extremo coincidan

con los vértices del polígono.

b) Expresa el vector como suma de dos

vectores.

c) Expresa como diferencia de dos

vectores.

d) Expresa como producto de un

vector por un escalar.

e) Expresa, como suma de vectores, el

vector nulo.

6. Traza tres vectores que al sumarse

resulte el vector nulo.

7. ¿Qué diferencia hay entre la dirección y el sentido de un vector?

Figura 11.

Figura 12.

Figura 9.

Figura 10.


30

Sesión 3: Coordenadas de un vector.

Sesión 3.1. Vector de posición de un punto.

Se llama vector de posición del punto A al vector OA,

que une a dicho punto con el origen de coordenadas,

(0, 0), y tiene idénticas coordenadas que A.

Sesión 3.2. Coordenadas de un vector.

Observa en la figura 14 como el vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ se calcula

restando a las coordenadas de B a las de A.

Por ejemplo, si 𝐴 = (3, 1) y 𝐵 = (5, 3), el vector

que va de A a B es:

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (5 − 3, 3 − 1) = (2, 2)

Dados los puntos 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2) y 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2), las

coordenadas del vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ se obtienen mediante la

resta de las coordenadas los puntos B y A.

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑎2)

Sesión 3.3. Operaciones con vectores mediante sus coordenadas.

▪ Suma de vectores

�⃗⃗⃗� = �⃗⃗� + �⃗⃗� = (𝑢1, 𝑢2) + (𝑣1, 𝑣2) = (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2)

▪ Producto de un vector por un escalar

�⃗⃗� = 𝒌�⃗⃗� = 𝒌(𝒖𝟏, 𝒖𝟐) = (𝒌𝒖𝟏, 𝒌𝒖𝟐)

▪ Diferencia de vectores

�⃗⃗⃗� = �⃗⃗� − �⃗⃗� = �⃗⃗� + (−�⃗⃗� ) = (𝑢1, 𝑢2) + (−𝑣1, − 𝑣2)

= (𝑢1 − 𝑣1, 𝑢2 − 𝑣2)

ACTIVIDADES

8. Dados los puntos 𝐴(4,6), 𝐵(4,1),

𝐶(−1,3) y 𝐷(3,2), representa las

las coordenadas del vector indicado

en un ejes de coordenadas:

a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ b) 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ c) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ d) 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ e) 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗

Ten en cuenta

Figura 13

Un vector libre 𝑣 con origen (0,0) tiene como coordenadas las mismas que su punto extremo.

Observa

Se denomina vector nulo, �⃗⃗� , al vector cuyo extremo coincide con el origen de coordenadas (0, 0).

Observa

El vector �⃗⃗� = 𝒌�⃗⃗� tiene

idéntica dirección que �⃗⃗� , siendo sus coordenadas proporcionales.

Figura 15.

Figura 14.


31

9. Hallar las coordenadas de los

siguientes vectores:

Figura 16.

10. Representa, en un eje de

coordenadas, los vectores que

confirman las condiciones que a

continuación se indican:

a) Origen A(2,5) y extremo B(-1, 3).

b) Origen A(3,3) y coordenadas de

vector (5,2).

c) Extremo B(2, 0) y coordenadas de

vector (-3,1).

11. Dibuja 5 vectores equipolentes a

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ con origen en C, D, E, F y G,

respectivamente.

Figura 17.

Di cuáles son las coordenadas de

cada vector, así como las de sus

extremos.

12. Representa, haciendo uso de ejes

de coordenadas los vectores que

verifican las siguientes condiciones:

a) 𝑎 (2, 3) c) 𝑐 (3, 1) e) 𝑒 (−4, 0)

b) �⃗� (−2,−3) d) 𝑑 (−2, 5) f) 𝑓 (0, 2)

13. Calcula las coordenadas para los

siguientes vectores y di cuáles

representan el mismo vector libre.

Figura 18.

14. Sabiendo que �⃗� (−2, 3), 𝑣 (5, 2) y

�⃗⃗� (−2,−4), opera:

a) �⃗� + 𝑣 d) 3�⃗� g) �⃗� + 2𝑣⃗⃗⃗⃗ − �⃗⃗�

b) �⃗� − 𝑣 e) �⃗� − �⃗⃗� h) 3(�⃗� − 2𝑣 )

c) �⃗� + �⃗⃗� f) 3�⃗� − 2𝑣 i) −(�⃗⃗� − �⃗�

15. Indica si los siguientes vectores

poseen la misma dirección y realiza

su representación gráfica.

a) �⃗� (2, −3), 𝑣 (6, −9) d)�⃗� (4,6), 𝑣 (10,15)

b) �⃗� (1,5), 𝑣 (−2,−10) e) �⃗� (6,2), 𝑣 (2,1)

c) �⃗� (4,7), 𝑣 (5,8) f) �⃗� (0,8), 𝑣 (0,9)

16. ¿Qué relación existe entre las

coordenadas de 2 vectores

equipolentes?

17. ¿Cuáles son las coordenadas del

vector nulo?

18. Calcula las coordenadas del vector

con origen (0,0) y extremo

𝑃(𝑎1, 𝑎2)


32

Sesión 4: Aplicaciones de los vectores.

¿En la figura 19, sabrías decir cuál es la longitud del

vector �⃗� ? Este vector resultante es la hipotenusa de

dicho triángulo. ¿Sabrías relacionar las coordenadas

de �⃗� con la longitud de dicho vector aplicando el

teorema de Pitágoras a dicha figura?

Sesión 4.1. Módulo de un vector.

El módulo de un vector (u1, u2) corresponde a su longitud:

|�⃗� | = √𝑢12 + 𝑢2

2

Sesión 4.2. Distancia entre dos puntos.

Dados los puntos A y B en la figura 20 ¿Cuál es el

número de vectores que podríamos representar en

su origen o en su extremo? ¿se podrían usar esos

vectores para deducir la distancia entre estos dos

puntos? ¿Cuál es la relación existen entre d y |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗|?

La distancia entre A y B, resulta ser la longitud del segmento que une dichos puntos;

o lo que es lo mismo, el módulo del vector 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

𝑑(𝐴, 𝐵) = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑏1 − 𝑎1)2 + (𝑏2 − 𝑎2)2

Sesión 4.3. Punto medio de un segmento.

Dado un segmento AB, con 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2) y 𝐵 =

(𝑏1, 𝑏2), las coordenadas del punto medio de AB son:

𝑀 = (𝑎1 + 𝑏1

2,𝑎2, +𝑏2

2)

Sesión 4.4. Relación entre coordenadas de 3 puntos que están alineados.

Si tenemos dos puntos 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2), 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2) y 𝐶 = (𝑐1, 𝑐2) alineados como

muestra la figura 21. ¿Qué tienen en común los

vectores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗? ¿Cuál es la operación que a usar

para obtener vectores con idéntica dirección a partir de

uno dado? ¿Cuáles serán las coordenadas de uno de los

vectores si multiplicamos este por un escalar?

Observa

Si M es el punto medio entre A y B, entonces B es el punto simétrico de A respecto de M.

Figura 19.

Figura 20.

Figura 21.


33

Si los puntos 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2), 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2) y 𝐶 = (𝑐1, 𝑐2) están alineados, sus

coordenadas han de cumplir las siguientes proporciones:

𝑏2 − 𝑎2

𝑏1 − 𝑎1=

𝑐2 − 𝑎2

𝑐1 − 𝑎1

𝑏2 − 𝑎2

𝑐2 − 𝑎2=

𝑏1 − 𝑎1

𝑐1 − 𝑎1

De forma recíproca si las coordenadas de tres vectores verifican dichas proporciones,

los puntos estarán alineados.

ACTIVIDADES

19. Calcular el módulo de los vectores

de los siguientes apartados:

a) 𝑎 (2,5) c) 𝑐 (2, −4) e) 𝑒 (−3,−3)

b) �⃗� (−1,3) d) 𝑑 (0, −6) f) 𝑓 (4,0)

20. Calcula la longitud de los vectores

que se representan en la figura 22:

Figura 22.

21. Dados los puntos A(1,3), B(-2,-6) y

C(4,-1), calcula:

a) |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| b) |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| c) |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| d) |𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗|

22. Dados los siguientes puntos A(0,6),

B(-2,5) y C(3,-1), calcula:

a) d(A, B) b) d(A, C) c) d(B, C)

23. Calcula las coordenadas del punto

medio de un segmento AB en cada

caso y compruébalo gráficamente.

a) A(1,3), B(3,5) c) A(-5,0), B(-2,-4)

b) A(2,3), B(5,1) d) A(0,0), B(7,0)

24. Halla las coordenadas del punto Q,

teniendo en cuenta que en casa

caso M es el punto medio del

segmento PQ:

a) P(3,2), M(5,5) c) P(2,-4), M(0,0)

b) P(-5,1), M(1

2,3

2) d) P(−

8

3,5

2), M(-3,2)

25. Demuestra que el triángulo cuyos

vértices son A(-2,-1), B(4,2) y C(6,-2)

es un triángulo rectángulo. (Ayuda:

ten en cuenta el teorema de

Pitágoras.)

26. ¿Cómo son los módulos de los

vectores opuestos?

27. Investiga si los siguientes puntos

están alineados:

a) 𝐴 = (1,5), 𝐵 = (2,6), 𝐶 = (4, 7)

b) 𝐴 = (6, 2), 𝐵 = (3, 5), 𝐶 = (9,−1)

28. Busca un punto que esté alineado

con A(1,2) y B(6,4).


34

Sesión 5: Ecuaciones de la recta.

La ecuación de una recta r es la única que verifica de

forma exclusiva todos los puntos de r.

Para determinar una recta, r, se debe conocer:

▪ Un punto P perteneciente a dicha recta r.

▪ Un vector �⃗� que sea paralelo a r (siendo �⃗� el vector director o vector de

dirección de r).

A continuación vamos a estudiar tres formas distintas de presentar la ecuación de

una recta.

Sesión 5.1. Ecuación vectorial de una recta.

Tenemos un punto P perteneciente a una recta r (𝑃 ∈ 𝑟) y un vector director, �⃗� , de

r. Ahora tomamos un punto X cualquiera de r.

En la figura 24, se pone de manifiesto que

que cualquier punto, X, de la recta r verifica que

𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ es paralelo a �⃗� ; 𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑡�⃗� . Ya que 𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ =

𝑂𝑋⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗, obtendremos 𝑂𝑋⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑡�⃗� en

función de los vectores de posición de P y X.

Para obtener los puntos de r debemos

modificar el parámetro t en todos los números

reales.

𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒕�⃗⃗� , 𝒄𝒐𝒏 𝒕 ∈ ℝ

Sesión 5.2. Ecuaciones paramétricas de una recta.

Sustituyendo los vectores por sus correspondientes coordenadas en la ecuación

𝑂𝑋⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑡�⃗� , obtendremos la siguiente ecuación:

(𝑥, 𝑦) = (𝑝1, 𝑝2) + 𝑡(𝑢1, 𝑢2) ⟹ (𝑥, 𝑦) = (𝑝1 + 𝑡𝑢1, 𝑝2 + 𝑡𝑢2)

Igualamos la x con la primera coordenada y la y con la segunda.

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔:𝒙 = 𝒑𝟏 + 𝒕𝒖𝟏

𝒚 = 𝒑𝟐 + 𝒕𝒖𝟐} 𝒄𝒐𝒏 𝒕 ∈ ℝ

Figura 23.

Figura 24.


35

Sesión 5.3. Ecuación continua de una recta.

Si partimos de las ecuaciones paramétricas anteriores {𝑥 = 𝑝1 + 𝑡𝑢1

𝑦 = 𝑝2 + 𝑡𝑢2 de la recta y

despejamos t obtenemos:

𝑡 =𝑥 − 𝑝1

𝑢1 𝑡 =

𝑦 − 𝑝2

𝑢2

Al igualar términos obtendremos la ecuación contínua:

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂: 𝒙 − 𝒑𝟏

𝒖𝟏=

𝒚 − 𝒑𝟐

𝒖𝟐

ACTIVIDADES

29. Halla la ecuación vectorial de cada

una de las siguientes recta:

a) A(1,3), �⃗� (2,1) c) A(0,0), �⃗� (-2,-4)

b) A(-2,5), �⃗� (3, 6) d) A(1,0), �⃗� (3,0)

30. Determina las ecuaciones en forma

paramétrica de la recta en cada uno

de los siguientes subapartados que

pasen por A y tengan la dirección:

a) A(-2,3), 𝑣 (4,-1) c) A(-2,-1), 𝑣 (3,0)

b) A(-3,1), 𝑣 (-2,-7) d) A(6,-8), 𝑣 (1,-5)

31. Calcula la ecuación continua y la

ecuación vectorial de las rectas

dadas en el ejercicio anterior.

32. Indica, en las siguientes rectas, un

punto y un vector dirección, y si

P(1,0), Q(3,2) y O(0,0) se

encuentran en alguna de ellas.

a) 𝑂𝑋⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2,−1) + 𝑡(1,3) b) 𝑥 = −1𝑦 = 4𝑡

}

𝐜) 𝑥 − 2

−5=

𝑦 + 3

2

33. . ¿Qué número divide a los

miembros de la igualdad de las

siguientes ecuaciones continuas?

Indica un vector director.

𝐚) 𝑥 − 3 =𝑦 + 2

2 𝐜)

𝑥 + 1

−2= 𝑦 − 6

𝐛) 𝑥 =𝑦

2 𝐝) 𝑥 + 8 = 𝑦 − 4

34. Indica, de forma razonada, si las

siguientes ecuaciones están

expresadas de forma continua, en

caso contrario ¿Cómo serían dichas

ecuaciones escritas en forma

continua?

𝐚) 𝑥 − 5

3=

𝑦 + 2

−1 𝐜)

2𝑥 + 3

2=

𝑦 − 1

5

𝐛) 𝑥 − 1

35

=3𝑦 + 2

−2𝐝)

𝑥 + 5

13

=𝑦 + 1

25


36

Sesión 6: Ecuación general o implícita de una recta.

La ecuación continua de una recta manifiesta la equivalencia entre dos fracciones

cuyos productos cruzados son idénticos, obteniendo:

𝑢2(𝑥 − 𝑝1) = 𝑢1(𝑦 − 𝑝2) ⟹ 𝑢2𝑥 − 𝑢2𝑝1 = 𝑢1𝑥 − 𝑢2𝑝2 ⟹

⟹ 𝑢2𝑥 − 𝑢1𝑦 = 𝑢2𝑝1 − 𝑢1𝑝2 ⟹ 𝑢2𝑥 − 𝑢1𝑦 − (𝑢2𝑝1 − 𝑢1𝑝2) = 0

Denominamos:

▪ A al coeficiente de x: 𝐴 = 𝑢2

▪ B al coeficiente de y: 𝐵 = −𝑢1

▪ C al término independiente: 𝐶 = 𝑢1𝑝2 − 𝑢2𝑝1

𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥 𝐨 𝐢𝐦𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

Las coordenadas del vector dirección de las ecuaciones vectoriales, paramétricas y

continuas, son fáciles de identificar, pero esto no ocurre en la ecuación implícita, ya que

este en una ecuación implícita 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 será:

�⃗� = (−𝐵, 𝐴)

Sesión 6.1. Ecuación explícita de una recta

Si 𝐵 ≠ 0, al despejar la ecuación general de la recta obtendremos:

𝑦 = −𝐴

𝐵𝑥 −

𝐶

𝐵

𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐞𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏

Recuerda que en la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, m equivale a la pendiente y n corresponde a

la ordenada en el origen o punto donde corta la recta con el eje de abscisas.

Un vector director de una recta puede ser encontrado a partir de la pendiente de la

misma: �⃗� (𝑢1𝑢2) = (−𝐵, 𝐴).

𝑚 = −𝐴

𝐵= −

𝑢2

−𝑢1=

𝑢2

𝑢1

La pendiente, m, equivale al cociente entre la

segunda y la primera coordenada del vector director de la recta.

Sesión 6.2. Ecuación punto-pendiente de una recta.

Volvemos a utilizar la ecuación continua de la recta para poder obtener la ecuación

de esta por la que para un punto determinado y tiene una pendiente determinada

también:

Figura 25.


37

𝑥 − 𝑝1

𝑢1=

𝑦 − 𝑝2

𝑢2⟹ 𝑦 − 𝑝2 =

𝑢2

𝑢1

(𝑥 − 𝑝1), siendo ahora 𝑢2

𝑢1= 𝑚

𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 − 𝐩𝐞𝐧𝐝𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞: 𝒚 − 𝒑𝟐 = 𝒎(𝒙 − 𝒑𝟏)

6.3. Ecuación de una recta que pasa por dos

puntos.

Dada una recta, r, que contiene a 𝑃 = (𝑝1, 𝑝2) y

𝑄 = (𝑞1, 𝑞2), y tiene por vector director

𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑞1 − 𝑝1, 𝑞2 − 𝑝2), podemos calcular su

pendiente, y escribiremos su ecuación punto-

pendiente mediante uno de sus puntos.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

𝒚 − 𝒑𝟐 =𝒒𝟐 − 𝒑𝟐

𝒒𝟏 − 𝒑𝟏

(𝒙 − 𝒑𝟏)

ACTIVIDADES

35. Escribe las siguientes rectas en sus

ecuaciones implícita y explícita:

a) 𝑥−3

2=

𝑦−4

3 d)

𝑥−5

−3=

𝑦+2

−4

b) 𝑥+1

5=

𝑦−3

−2 e)

𝑥

3= 𝑦 − 1

c) 𝑥+4

−3=

𝑦+1

−1 f) 𝑥 − 5 =

𝑦−3

2

36. Halla las ecuaciones implícita y

explícita de las rectas que cumplan:

a) Pasa por A(-3,5) y su vector director

es �⃗� = (−2,1).

b) Pasa por A(3,-1) y B(6,-4).

c) Pasa por A(0,5), y su pendiente

es 𝑚 = 5.

d) Sus ecuaciones paramétricas son

{𝑥 = 5 − 2𝑡𝑦 = 6 + 𝑡

37. ¿Pertenecen los siguientes puntos a

la recta 5𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0?

a) A(2,5) d) D(-1,4)

b) B(1,1) e) E(3,6)

c) C(-1,-4) f) F(5,-11)

38. Calcula si 𝐴(−1,0), 𝐵(−2,−6),

𝐶(−3,−12⁄ ) y 𝐷(1,−1

3⁄ )

pertenecen a la siguientes rectas:

a) 2𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0 c) 7𝑥 + 5𝑦 − 7 = 0

b) 𝑦 = 5𝑥 + 4 d) 𝑦 = −𝑥

2− 2

39. Calcula un vector y un punto de:

a) 2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 d) 3𝑥 + 𝑦 = 0

b) 𝑦 = −𝑥 + 2 e) −𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0

c) 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 f)−2𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0

40. De las siguientes rectas, calcula su

pendiente:

a) 𝑦 = 3𝑥 − 1 c) 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

b) 𝑦 = −𝑥 − 5 d) 2𝑥 = 𝑦 + 1

41. Escribe las ecuaciones punto-

pendiente de cada una de estas

rectas:

a) (𝐴, �⃗� ), donde 𝐴(2,−1) y �⃗� (3,2).

b) Pasa por 𝑃(−5,−3) y 𝑄(2,−8).

c) Pasa por 𝐴(0,0) y 𝑚 = −52⁄ .

d) Pasa por 𝐴(−2, 1) y 𝐵(−3,−2).

Figura 26.


38

42. Escribe la ecuación de la recta que

pasa por 𝑃 = (−7, 0) y tiene vector

de dirección �⃗� = (−5,2) de todas las

formas posibles.

43. Representa la recta que pasa por

𝑃 = (4,−2) y tiene pendiente 𝑚 =

3, escribe su ecuación y otro punto

de la recta.

44. Halla la ecuación punto-pendiente

las siguientes rectas:

45. Encuentra la ecuación de la recta

que pasa por los puntos 𝑃_(1, 2) y

𝑄_(3, 2).

46. Los vértices de un cuadrilátero son

los puntos 𝑃 = (1,4), 𝑄 = (3, 6), 𝑅 =

(7, 1) y 𝑆 = (5,−1).

a) Calcula las ecuaciones de sus lados.

b) Calcula los vectores: 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝑃𝑆⃗⃗ ⃗⃗ , 𝑆𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗.

47. Estudia si 𝑃 = (−2, 4), 𝑄 = (4, 3) y

𝑅 = (−1,−1) están alineados. Si no

lo están, calcula las ecuaciones de

los lados del triángulo que forman.

48. Determina la altura del lado del

desigual de triángulo.

Figura 27.

Figura 28.


39

Sesión 7: Incidencia y paralelismo de rectas.

7.1. Posiciones relativas de dos rectas

¿Qué relación existe entre las posiciones relativas y los vectores dibujados de las

siguientes tres figuras?

Figura 29. Figura 30. Figura 31.

La siguiente tabla recoge las posiciones relativas de dos rectas, r y s, y la relación

existente con los vectores directores, así como con los coeficientes de las ecuaciones de

las rectas. Si dos vectores no son paralelos lo representaremos mediante símbolo ∠

entre dichos vectores, de lo contrario, si son paralelos, el símbolo utilizado será ∥.

Tabla 4. Posiciones relativas de dos rectas. Proyecto Adarve matemáticas. Matemáticas 4º ESO, Unidad 8

– Geometría Analítica. Oxford University Press.

Figura 29. Figura 30. Figura 31.

Posición relativa

Rectas secantes Rectas paralelas y

distintas Rectas coincidentes

Puntos en común

1 0 ∞

Vectores �⃗� (𝑢1, 𝑢2)∠ 𝑣 (𝑣1, 𝑣2) �⃗� = (𝑢1, 𝑢2)|𝑣 (𝑣1, 𝑣2)

∠ �⃗⃗� (𝑤1, 𝑤2) �⃗� = (𝑢1, 𝑢2) ∥ 𝑣 (𝑣1, 𝑣2)

∥ �⃗⃗� (𝑤1, 𝑤2) Coordenadas

de los vectores

𝑣1𝑢1≠𝑣2𝑢2 𝑣1𝑢1=𝑣2𝑢2

Coeficientes de la

ecuación implícita �⃗⃗� (−𝑩, 𝑨).

𝐵

𝐵′≠

𝐴

𝐴′

𝐵

𝐵′=

𝐴

𝐴′≠

𝐶

𝐶′

𝐵

𝐵′=

𝐴

𝐴′=

𝐶

𝐶′

Pendientes 𝑚 ≠ 𝑚′ 𝑚 = 𝑚′

A cada recta le pertenece una ecuación que verifica todos sus puntos. Encontrar los

puntos de corte entre dos rectas equivale a calcular los puntos que verifican las dos

ecuaciones a la vez. Para calcularlo solo hay que resolver el sistema formado por ambas

ecuaciones.

Dadas las rectas 𝑟: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 y 𝑠: 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′ = 0, sus puntos de corte

se hallan resolviendo un sistema tipo:

{𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′ = 0


40

La siguiente tabla relaciona la posición relativa de las rectas con el tipo de sistema de

ecuaciones.

Tabla 5. Sistemas de ecuaciones y posición relativa de las rectas. Proyecto Adarve matemáticas.

Matemáticas 4º ESO, Unidad 8 – Geometría Analítica. Oxford University Press.

Tipo de sistema de ecuaciones

Sistema compatible determinado

Sistema compatible indeterminado

Sistema imcompatible

Número de soluciones

Una única solución Infinitas soluciones No hay solución

Posición relativa de las rectas

Rectas secantes Rectas paralelas y

coincidentes Rectas paralelas y

distintas

Representación gráfica de las rectas

Figura 32.

Figura 33.

Figura 34.

ACTIVIDADES

49. Evalúa la posición relativa de r y s:

a) 𝑟: (𝑥, 𝑦) = (2,5) + (−1,3)𝑡

𝑠: (𝑥, 𝑦) = (−1,3) + (2, 6)𝑡

b) 𝑟:𝑥−1

3=

𝑦+5

−2 𝑠:

𝑥−4

6=

𝑦+3

−4

c) 𝑟: 𝑥 = 3 − 2𝑡𝑦 = −1 + 𝑡

} 𝑠: 𝑥 = 4𝑡

𝑦 = 2 − 2𝑡}

d) 𝑟: 𝑦 = −3𝑥 − 2 𝑠: 𝑦 =1

3𝑥 + 1

50. Comprueba que las rectas r y s

tienen la misma dirección, y si

ambas rectas son coincidentes.

a) 𝑟: 𝑥 = 2 + 5𝑡

𝑦 = −3 − 2𝑡} 𝑠:

𝑥 = 7 + 5𝑡𝑦 = −1 − 2𝑡

}

b) 𝑟: 𝑦 = 3𝑥 + 2 𝑠: 𝑦 = 3𝑥 − 5

c) 𝑟: 2𝑥 − 𝑦 + 4? 0, 𝑠: − 4𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0

d) 𝑟: 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0, 𝑠: 4𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0

51. Calcula el valor de a para que las

siguientes rectas, r y s, tengan la

misma dirección:

a) 𝑟: 3𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0, 𝑠: 12𝑥 + 𝑎𝑦 = 0

b) 𝑟: 𝑦 = 3𝑥 − 6, 𝑠: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 5

52. Estudia la posición relativa de r:

3𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 y la recta que pasa

por 𝑃 = (0,3) y 𝑄 = (2,9).

53. Encuentra la recta paralela a 1

2𝑥 −

𝑦 + 5 = 0 que pasa por 𝑃 = (1,−1).

54. Si una recta tiene una pendiente

𝑚 =1

2 y el vector dirección de otra

recta es �⃗� = (−4,−2), ¿Cuál será la

posición relativa de ambas rectas?

¿Y si 𝑚 =1

2la pendiente de una de

ellas y �⃗� = (1,2) el vector director

de la segunda recta?


41

Sesión 8: Geogebra: resolución de problemas.

Se procederá a hacer un resumen de los puntos más importantes de la unidad 8,

Geometría analítica, haciendo uso del software Geogebra:

▪ Sesión 2: Operaciones con vectores.

▪ Sesión 3: Coordenadas de un vector. - Vector de posición de un punto.

▪ Sesión 4: Aplicaciones de los vectores. - Módulo de un vector. - Relación entre

las coordenadas de tres puntos alineados.

▪ Sesión 5: Ecuaciones de la recta. - Ecuación vectorial de una recta. - Ecuaciones

paramétricas de una recta. - Ecuación continua de una recta.

▪ Sesión 6: Ecuación general o implícita de una recta. - Ecuación punto-pendiente

de una recta. - Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

▪ Sesión 7: Incidencia y paralelismo de rectas.

Tras este resumen los alumnos realizarán las siguientes actividades utilizando dicho

programa informático.

Figura 36. Ecuación vectorial de

una recta

Figura 37. Ecuación explícita

de una recta

Figura 35. Elementos de un vector y sus operaciones


42

ACTIVIDADES CON GEOGEBRA

Elementos de un vector y sus operaciones

55. Calcula el merímetro y el área de los siguientes triángulos formados por los vértices A, B y C y di si son rectángulos.

a) 𝐴(4, 3), 𝐵(−2, 2), 𝐶(5,−3) b) 𝐴(0,−2), 𝐵(4,−6), 𝐶(7, 5)

56. Calcula las coordenadas del punto M sabiendo que el punto de simetría de 𝐴(5,−2) respecto de M es 𝐵(−3,−4).

57. Dados los puntos 𝐴(−1,−2) y 𝐵(2, 1), calcula las coordenadas del punto de simetría de:

a) A respecto de B. b) B respecto de A.

Ecuaciones de una Recta

58. Determina un vector, un punto y la pendiente de las siguientes rectas:

a) 𝑦 = 5𝑥 + 2 b) 3𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0

c) 𝑥 = 3 − 2𝑡𝑦 = 2 + 𝑡

}

59. Encuentra 3 puntos, un vector y la pendiente de las rectas siguientes y escribe sus ecuaciones correspondientes:

a) El eje de abscisas. b) El eje de ordenadas.

c) La bisectriz del primer cuadrante. d) La bisectriz del segundo cuadrante.

60. Halla que recta de las siguientes tiene la misma pendiente:

a) 3𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 b) −3𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0

c) 𝑦 = −6

4𝑥 − 5

61. Halla la ecuación punto-pendiente de una recta que pasa por 𝐴(3,2) sabiendo que forma con el semieje positivo de abscisas el ángulo indicado en cada caso:

a) 150° b) 45° c) 120° d) 135°

62. Si los puntos 𝐴(−2,−1), 𝐵(1, 1) y 𝐶(3,−1) son los tres vértices de un paralelogramo, calcula:

a) Las coordenadas de D, vértice opuesto a A.

b) Las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto medio de cada uno de los lados paralelos.

c) El punto de intersección de las rectas del apartado c).

Incidencia y paralelismo de rectas

63. Sabiendo que os puntos 𝐴(−3,−4),

𝐵(5,−1) y 𝐶(0,3) corresponden a los tres vértices de un triángulo. Halla:

a) La ecuación general de la recta que contiene cada uno de sus lados.

Figura 38. Ecuación de la recta forma punto - pendiente Figura 39. Condiciones de paralelismo de dos rectas


43

b) La ecuación de las medianas de sus lados.

c) Las coordenadas correspondientes al baricentro del triángulo.

64. Investiga si se forma un triángulo

con los puntos A, B y C dados a continuación y, en caso de ser así, determina las coordenadas del baricentro:

a) 𝐴(0,3), 𝐵(1,4) 𝑦 𝐶(−1,2) b) 𝐴(0,3), 𝐵(1,4) 𝑦 𝐶(3,1)

65. Comprueba que 𝐴(2,2), 𝐵(4,1), 𝐶(5,−1) y 𝐷(3,0) corresponden a los vértices de un paralelogramo y calcula:

a) La ecuación de la recta de cada lado y su posición relativa.

b) La ecuación correspondiente de cada diagonal.

c) El punto de corte de dichas diagonales.


44

6.9. Atención a la diversidad

A la hora de diseñar las medidas necesarias de atención e inclusión a la diversidad

debemos conocer cierta información relevante de cada grupo de alumnos, como:

− El número de estudiantes.

− El funcionamiento del grupo (atención, nivel de disciplina, clima del aula...).

− Evaluar las capacidades del grupo relativas al desarrollo de contenidos curriculares.

− Las necesidades identificadas del mismo (implementación de diversas metodologías,

seguimiento de la eficiencia de las medidas, gestión del aula, etc.).

− Las competencias curriculares prioritarias que hay en abordar en esta materia.

− Los criterios de agrupación para la realización de trabajos cooperativos.

− La adaptación de los recursos necesarios en función del nivel general para obtener

óptimos logros grupales.

− Las necesidades individuales

La realización de una evaluación inicial nos proporciona información no solo de

conocimientos relativos al grupo como conjunto, sino que además nos permite conocer

diversos aspectos individuales de cada uno de los estudiantes; por lo que a partir de

estos resultados podremos:

− Identificar a los estudiantes que presentan una mayor necesidad de control o

individualización de estrategias en su proceso de aprendizaje, considerando el

alumnado con necesidades educativas, necesidades no diagnosticadas y/o altas

capacidades, pero si requieren atención específica.

− Conocer las medidas organizativas que se deben adoptar, como la ubicación de

espacios, planificación de refuerzos, gestión de tiempos grupales, etc.

− Establecer conclusiones tanto de las medidas curriculares como de los recursos a

emplear.

− Estudiar qué modelo de seguimiento será necesario en cada caso.

6.9.1. Programas de refuerzo

• Refuerzo en el área de Matemáticas. Dirigido especialmente a:

− El alumno que no ha promocionado de curso.

− El alumno que, a pesar a haber promocionado, tiene pendiente alguna de las

asignaturas de matemáticas de cursos anteriores.

− Los alumnos que requieren refuerzo en matemáticas al acceder a 1º de ESO.

− Aquellos alumnos que muestren dificultades en la asignatura en cualquier momento

del curso.


45

• Recuperación de contenidos no adquiridos. (Plan de asignaturas pendientes)

El estudiante que promocione de curso sin haber superado alguna de las asignaturas

de matemáticas del curso anterior deberá seguir un programa de refuerzo específico

para recuperar el aprendizaje no adquirido, además deberá aprobar la evaluación que

corresponda a este programa.

Estos programas de refuerzo incluirán tanto las actividades programadas para el

seguimiento, como la atención personalizada que el alumno necesite para superar la

asignatura de matemáticas que tenga pendiente.

• Planes específicos para el alumnado que no promocione de curso.

El alumno que no promocione de curso también seguirá un programa personalizado,

dirigido a superar las dificultades detectadas durante el curso anterior.

Estos planes pueden considerar que los alumnos se incorporen a programas de

refuerzo matemático, además de realizar diversas actividades programadas destinadas

a poder mantener un seguimiento personalizado.

6.9.2. Programas de adaptación curricular:

• Adaptación Curricular Significativa para alumnado con necesidades educativas

especiales.

Se trata de realizar una adaptación curricular no significativa a alumnos que

presenten graves dificultades de aprendizaje, o de alcanzar el currículum establecido,

ligadas a discapacidad o trastornos graves de conducta, por una tardía incorporación al

sistema educativo o con una situación social desfavorecida.

• Adaptación Curricular para el alumnado con altas capacidades intelectuales.

Estos programas deberán contemplar actividades y tareas de carácter motivador para

lograr una alternativa metodológica al programa curricular. Estas actividades deberán

estimular los intereses del alumno y el vínculo con su entorno cultural y social,

especialmente aquellas actividades que ayuden a la expresión y a la comunicación tanto

oral como escrita y un gran control en la competencia matemática.

La siguiente tabla presenta un posible modelo de plantilla para el control de las

diferentes necesidades de adaptación curricular del alumnado.


46

Tabla 6. Programación de apoyos a necesidades educativas especiales.

PROGRAMACIÓN DE APOYOS A NECESIDADES EDUCATIAS ESPECIALES

ALUMNOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Álv

arez

Gar

cía,

Ben

ito

Álv

arez

Ro

drí

guez

, Em

ilio

Álv

arez

Tam

argo

, Mar

ía

Ast

ray

Sán

chez

, Ju

lio

Bar

rera

Cu

ervo

, Mo

isés

Bla

nco

Cu

é, G

raci

ela

Cam

po

Rilo

, Pau

la D

el

Co

rté

s-ec

hán

ove

Gar

cía,

Jai

me

Día

z U

bie

ta, Í

ñig

o

Fern

ánd

ez E

spin

a, B

run

o

Fern

ánd

ez F

ern

ánd

ez, H

écto

r

Fern

ánd

ez S

om

oan

o, P

ed

ro

Atención individualizada para la realización de

actividades propuestas en el aula

Adaptación de las actividades

programadas

Atención individualizada para realizar actividades

adaptadas dentro y fuera del aula

Adaptación curricular significativa por NEE.

Adaptación curricular por alta capacidad

intelectual.

Adaptaciones en el

material curricular por tardía incorporación en

el SE.

6.10. Temporalización

Se pretende ser flexible en los tiempos necesario para cada actividad dependiendo

de las necesidades que tenga cada estudiante, ya que estos serán los que marquen el

ritmo de aprendizaje. Sabiendo que la duración del curso es de 30 semanas

aproximadamente, y que sólo se asignan 4 horas semanales a esta materia, habría una

estimación de 120 sesiones por curso, 8 de las cuales se destinarían a esta unidad


47

didáctica, más una sesión extra dedica a la prueba de evaluación que constará de 2

temas. En teoría esta temporalización sería insuficiente para poder dar todos los puntos

que contiene este tema, ya que, para una correcta asimilación por parte del alumnado,

sería necesario aumentar el número de horas lectivas o disminuir los contenidos a

impartir, pero esto resulta imposible, ya que los contenidos vienen marcados por el

ministerio de educación, y aumentar las horas es imposible en un sistema educativo que

tiene, en comparativa, más festividades y celebraciones que días hábiles de docencia.

Por este motivo expongo la temporalización reglada, y comparada con diversos centros

de enseñanza, aunque en mi opinión debería extenderse el periodo de docencia

reduciendo en días “festivos” como son el día de la Paz, por ejemplo.

Tabla 7. Temporalización.

SESIONES BLOQUE TEÓRICO EJERCICIOS

Sesión 1

Qué son los vectores y cómo se utilizan en las traslaciones. Cómo se representa una recta a partir de su ecuación. Qué son las ecuaciones lineales y cómo se representan sus soluciones. Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Determinación de vectores. Operaciones con vectores.

Sesión 2 Vectores en el plano. Operaciones. Operaciones con vectores libres.

Operaciones con vectores libres.

Sesión 3

Coordenadas de un vector. Vector de posición de un punto. Coordenadas de un vector. Operaciones con vectores mediante sus coordenadas.

Operaciones de vectores mediante sus coordenadas.

Sesión 4

Aplicaciones de los vectores. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento. Relación entre las coordenadas de tres puntos alineados.

Aplicaciones de los vectores. Relación entre las coordenadas de un vector.

Sesión 5

Ecuaciones de la recta. Ecuación vectorial de una recta. Ecuaciones paramétricas de una recta. Ecuación continua de una recta.

Ecuaciones vectoriales

Sesión 6 Ecuación general o implícita de una recta. Ecuación punto-pendiente de una recta. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Ecuaciones vectoriales

Sesión 7 Incidencia y paralelismo de rectas. Posiciones relativas de dos rectas.

Paralelismo y posiciones relativas de dos rectas.

Sesión 8 Geogebra: resolución de problemas.

Elementos de un vector y sus operaciones. Ecuaciones de una recta. Incidencia y paralelismo de rectas.

6.11. Evaluación

• Procedimientos:

− Buen uso de vocabulario matemático a la hora de expresarse en público.

− Actitud positiva, interés, participación y saber estar en clase y ante la materia.

https://www.vitutor.com/ab/p/poli_33.html


48

− Puntualidad, asistencia regular y cuidado del material.

− Limpieza y orden en el cuaderno de trabajo de la asignatura ya que es un

herramienta tanto de aprendizaje como de control.

• Instrumentos:

− Realización de los ejercicios planteados para casa.

− Notas obtenidas en clase por respuestas puntuales a preguntas realizadas

− Comentarios acertados dentro de la dinámica de las explicaciones del mismo.

− Resolución, por parte del alumno, de ejercicios en la pizarra.

− Observación y anotaciones del cuaderno.

• Pruebas escritas:

− Con este tipo de pruebas se evaluarán, de manera objetiva, los contenidos

que el alumno ha asimilados.

− Pruebas de carácter parcial: Controles cada una o dos unidades sobre los

contenidos de la materia.

− Pruebas globales al finalizar cada evaluación, sin exclusión de las pruebas

parciales aprobadas.

Un ejemplo de prueba parcial de dicha unidad didáctica se presenta a continuación.

Prueba parcial – Geometría Analítica.

Conocer los vectores 1. Busca los vectores, en la imagen de la derecha, que cumplan los siguientes apartados:

a) Dos vectores con igualdad de módulo y dirección, pero con distinto sentido.

b) Dos pares de vectores equipolentes. c) Dos vectores con igual sentido y dirección, pero

diferente módulo.

Obtener y operar coordenadas vectoriales 2. Dados los puntos 𝑃(−1,3), 𝑄(4,0) y 𝑅(3,−5), calcula las coordenadas

correspondientes a los vectores propuestos y represéntalos en el eje de coordenadas:

a) 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ b) 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ c) 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ d) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗

3. Dado el punto 𝑃(−2,5), calcula las coordenadas del punto Q para que el vector 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ sea el indicado en cada apartado:

a) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (4,−3) b) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0,2) c) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1,9) d) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (7,0) 4. Dados los vectores (-1,-2), (4,-3) y (2,6), halla las coordenadas vectoriales resultantes

tras realizar las siguientes operaciones: a) �⃗� + 𝑣 + �⃗⃗� b) 𝑣 − �⃗⃗� + �⃗� c) −3𝑣 + �⃗⃗� d) 2�⃗� + 4�⃗⃗�


49

Resolución de problemas de geometría analítica 5. Determina el módulo de los vectores siguientes:

a) �⃗� (0,2) b) 𝑣 (−1,3) c) �⃗⃗� (5, −10) d) 𝑠 (−4,−3) 6. Calcula la distancia entre P y Q en cada caso, así como el punto medio de PQ:

a) 𝑃(−2,−2), 𝑄(1,0) b) 𝑃(4,3), 𝑄(−5,8) c) 𝑃(1,2), 𝑄(3,6) d) 𝑃(6,9), 𝑄(−1,−2)

Reconocer y expresar las diferentes formas en que se presenta la ecuación de una recta 7. Describe todas las posibles formas de escribir la ecuación de una recta sabiendo que

pasa por un determinado punto 𝐴(−6,−1) y que su vector dirección es �⃗� = (4,−5). 8. Calcula la pendiente, el vector de dirección y un punto para las siguientes rectas y

expresa sus ecuaciones de todas la formas posibles: a) (𝑥, 𝑦) = (−1,1) +

(3,2)𝑡 b)

𝑥 = −3 + 2𝑡𝑦 = 5 + 6𝑡

}

c) −2𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0

d) 𝑦 = 6𝑥 − 1

e) 𝑥−4

7=

𝑦

−3

9. Halla la ecuación general de la recta que cumple con lo indicado en cada uno de los siguientes epígrafes a) Pasa por 𝐴(9, −2) y 𝐵(−6, 10). b) Pasa por 𝐴(0, 3) y 𝑚 = 5. c) Pasa por 𝐴(5, −1), además es paralela a la recta que contiene a 𝐵(4, 9) y 𝐶(1, 1). d) Pasa por 𝐴(6, −3) y posee idéntica pendiente que la recta 3𝑥 − 𝑦 − 6 = 0.

Estudias la posición relativa de dos rectas 10. Estudia la posición relativa de las siguientes parejas de rectas:

a) 𝑟:𝑥 = −4 − 𝑡

𝑦 = 5𝑡} 𝑠:

𝑥 = 3𝑡𝑦 = 4

}

b) 𝑟: − 𝑥 + 8𝑦 − 5 = 0𝑠: 4𝑥 − 32𝑦 + 20 = 0

c) {𝑟: 𝑦 = −3𝑥 − 1𝑠: 𝑦 = 6𝑥 + 2

d) {𝑟:

𝑥−5

9=

𝑦+1

6

𝑠: 𝑦 =2

3𝑥+1

• Evaluación docente - Autoevaluación

A continuación, se presenta una plantilla de autoevaluación docente, la cual evalúa

la adecuación de la planificación mediante parámetros como: Preparación de clases y

materiales didácticos, uso de metodologías adecuadas, regularización de la práctica

docente, evaluación de procesos de aprendizajes e información extraída y compartida

con alumnos y familiares y utilización de medidas para la atención a la diversidad.


50

.EVALUACIÓN DE LA PRÁCTICA DOCENTE

ADECUACIÓN DE LA PLANIFICACIÓN RESULTADOS ACADÉMICOS

PROPUESTAS DE MEJORA

Preparación de clases y materiales didácticos

El desarrollo de las clases es coherente con lo programado y el desarrollo de las clases.

La distribución temporal es equilibrada.

el desarrollo de la clase se adecua a las características del grupo.

Uso de metodologías adecuadas

El aprendizaje significativo se han tenido en cuenta, teniendo en cuenta la

interdisciplinariedad.

La metodología fomenta la motivación y el desarrollo de las capacidades del alumno.

Regularización de la práctica docente

Grado de seguimiento de los alumnos.

Validez de los recursos utilizados en clase en cuanto a los aprendizajes.

Los criterios de promoción están consensuados entre los profesores.

Evaluación de procesos de

aprendizajes e información extraída

y compartida con alumnos y familiares

Los criterios para una evaluación positiva están vinculados a los objetivos y

contenidos.

Los instrumentos de evaluación permiten inspeccionar numerosas variables del

aprendizaje.

Los criterios de calificación están en concordancia con a la tipología de

actividades planificadas.

Se han dado a conocer, tanto a alumnos como a familiares, los criterios de

evaluación y calificación.

Utilización de medidas para la

atención a la diversidad

Se adoptan medidas para la detección de dificultades de aprendizaje con antelación.

Se ofrecen respuesta tanto a las diferentes capacidades como a los diferentes ritmos

de aprendizaje.

Son suficientes tanto las medidas como los recursos ofrecidos.

Aplica medidas extraordinarias recomendadas por el equipo docente

atendiendo a los informes psicopedagógicos.

Tabla 8. Evaluación de la práctica docente.


51

7. Conclusiones

El principal objetivo del presente trabajo fin de Máster ha sido desarrollar y

fundamentar una metodología para la enseñanza del tema “Geometría Analítica” de la

asignatura de matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de 4º de ESO.

1. En relación al objetivo, diversos artículos, informes y estudios, tanto

nacionales como internacionales, han puesto de manifiesto la necesidad de

una modificación de la enseñanza de las matemáticas en nuestro país. A pesar

de que informe PISA de 2018, sitúa a España en el puesto número 11 del

ranking, además de en el primer puesto con los 20 colegios seleccionados de

la Asociación de Colegios Privados e Independientes (CICAE) española, este

hecho no refleja la realidad de los centro públicos, ya que, tras la realización

del prácticum, he podido comprobar en primera persona la carencia de

conocimientos de aplicabilidad de la disciplina matemática a otras

asignaturas, así como a la vida cotidiana.

2. Se han recopilado los contenidos y competencias básicas propuestos en el

“Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el

currículo básico de Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato, el BOE

núm. 3, 3 de enero de 2015 y el Decreto 111/2016, de 14 de junio, por el que

se establece la ordenación y el currículo de la Educación Secundaria

Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía y el BOJA núm. 122, 28

de junio de 2016 y la Orden de 14/7/2016, por los que se desarrolla el currículo

correspondiente a la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad

Autónoma de Andalucía”. Considerándose, por tanto, que este trabajo

cumple la legislación vigente.

3. A pesar de que en un principio la idea original de este trabajo fin de máster

era realizar una unidad didáctica innovadora, haciendo uso de tecnologías TIC,

como son el caso aplicaciones informáticas como GeoGebra y otros softwares

similares (Cabri, Wiris), aplicaciones Android y otras applets, he optado por

desarrollar una unidad didáctica basada en una metodología activa y

dinámica, de modo que ayude a la participación del alumnado en el aula,

haciendo que las situaciones-problema expuestas en clase generen aspectos

intuitivos y manipulativos que, de forma gradual, serán asumidos por el

alumno de una manera lógica – formal.


52

8. Referencias bibliográficas

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Educação Matemática, São Paulo, 8(2).

Decreto 111/2016, de 14 de junio, por el que se establece la ordenación y el currículo

de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía.

BOJA núm. 122, 28 de junio de 2016.

Decreto 301/2009, de 14 de julio, por el que se regula el calendario y la jornada escolar

en los centros docentes, a excepción de los universitarios. BOJA núm. 139, de 20 de

julio de 2009.

Decreto 327/2010, de 13 de julio, por el que se aprueba el Reglamento Orgánico de los

Institutos de Enseñanza Secundaria. BOJA núm. 139, 16 de julio de 2010.

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