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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciência
Faculdade de Engenharia
Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil
Karina Mota Rocha
Otimização Topológica de Vigas Metálicas com Aberturas na Alma
Rio de Janeiro
2017
Karina Mota Rocha
Otimização Topológica de Vigas Metálicas com Aberturas na Alma
Dissertação apresentada, como requisito
parcial para a obtenção do título de
mestre, ao Programa de Pós Graduação
em Engenharia Civil, da Universidade do
Estado do Rio de Janeiro. Área de
concentração Estruturas.
Orientadores: Prof. Dr. Rodrigo Bird Burgos
Prof. Dr. André Tenchini da Silva
Prof. Dr. Anderson Pereira
Rio de Janeiro
2017
CATALOGAÇÃO NA FONTE
UERJ / REDE SIRIUS / BIBLIOTECA CTC/B
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial
desta dissertação, desde que citada a fonte.
________________________________________ ____________
Karina Mota Rocha Data
Karina Mota Rocha
Otimização Topológica de Vigas Metálicas com Aberturas na Alma
Dissertação apresentada, como requisito parcial para a obtenção do título de mestre, ao Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Área de concentração Estruturas.
Aprovado em 14 de Agosto de 2017.
Banca Examinadora:
____________________________________________
Prof. Dr. Rodrigo Bird Burgos (Orientador)
Faculdade de Engenharia – UERJ
____________________________________________
Prof. Dr. André Tenchini da Silva (Orientador)
Faculdade de Engenharia – UERJ
____________________________________________
Prof. Dr. Anderson Pereira (Orientador)
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
____________________________________________
Prof. Dr. Rodolfo Luiz Martins Suanno
Faculdade de Engenharia – UERJ
____________________________________________
Prof. Dr. Daniel Carlos Taissum Cardoso
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Rio de Janeiro
2017
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar, agradeço a Deus, sem o qual eu não existiria, por cada
benção concedida a mim e por ter sido meu suporte ao longo de toda a minha vida.
Agradeço também, à minha família, meus pais Nilson Rocha e Lenalda Mota
Rocha por tudo o que fizeram e fazem por mim, por acreditarem em mim e trilharem
essa jornada comigo, mesmo quando isso significou atravessar o país de carro para
que eu pudesse defender um artigo. À minha irmã Vivian Rocha, e minha tia Luiza
Mota por acreditarem em mim todo esse tempo.
Ao meu orientador Rodrigo Burgos, uma das pessoas mais inteligentes que
eu já conheci, por todo apoio e tempo investido em mim, pelo jeito calmo mesmo
quando os prazos eram curtos.
Ao meu orientador André Tenchini, por me orientar em algo completamente
diferente do seu escopo de trabalhos, por cada conversa, e por todo o tempo
investido em mim e para que esta dissertação fosse possível.
Ao meu orientador Anderson Pereira pela sua disponibilidade em me orientar.
Aos meus amigos e companheiros durante todo o tempo de graduação e
mestrado, por tornarem os meus dias mais coloridos, divertidos, multiplicarem as
minhas alegrias e dividirem comigo cada momento de tristeza Keila, Petterson e
Filipe.
Ao querido Thiago Elias pelas horas de companhia enquanto eu escrevia
artigos ou até mesmo esta dissertação, por fazer os meus dias melhores e mais
alegres e pela disponibilidade em me ajudar em tudo que fosse necessário.
Obrigada meu bem.
As cada uma das meninas, da Igreja Metodista em Icaraí que trilhou esse
caminho comigo, que orou por mim, que escutaram cada uma das minhas
reclamações e experiências vividas ao longo desses dois anos. Vocês são um
presente de Deus para mim.
A CAPES pelo apoio financeiro.
RESUMO
ROCHA, Karina Mota. Otimização Topológica de Vigas Metálicas com Aberturas na Alma. 2017. 118f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Faculdade de Engenharia, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2017.
O uso eficiente de materiais é um tema extremamente importante atualmente.
Desta forma, a busca por estruturas ótimas tem se expandido rapidamente ao longo
do tempo, isso ocorre, pois este tipo de estrutura possui um melhor desempenho e
por isso são capazes de gerar economia de material. Menos sensíveis a
deformações e mais resistentes a flexão, as vigas perfuradas são também mais
leves do que um perfil I com a alma cheia de mesma seção transversal. Entretanto,
quando submetidas a carregamentos, as vigas celulares sofrem com a ocorrência de
altos gradientes de tensão, o que pode indicar que estas vigas são suscetíveis à
falha. Desta forma, torna-se perceptível que estes furos não apresentam uma
topologia ótima, sendo assim essa remoção de material criando furos nas almas das
vigas perfuradas pode ser analisada do ponto de vista da otimização topológica.
Assim, este trabalho tem como objetivo encontrar uma nova forma para os furos da
alma de vigas perfuradas através do módulo de otimização do programa ABAQUS.
Após isso, é feita uma análise comparativa dos resultados obtidos do ponto de vista
estrutural, a fim de avaliar os resultados das análises não lineares e de carga crítica
para as vigas, celulares e otimizadas, ambas com o mesmo volume, tendo apenas
como diferença entre si a distribuição e o formato dos furos ao longo da alma da
viga. Os resultados obtidos mostraram o bom comportamento estrutural das vigas
otimizadas quando comparadas a viga celular, no que tange a sua resistência e
rigidez. Além disso, foi proposto um modelo aproximado a viga otimizada, modelo
este que também apresentou um bom comportamento quando comparado a viga
celular.
Palavras chave: Otimização estrutural, Vigas perfuradas, Modelagem computational,
Análise não linear de vigas otimizadas.
ABSTRACT
ROCHA, Karina Mota. Topology Optimization of Steel Beams with Web Openings. 2017. 118f. Dissertation (Master in Civil Engineering) - College of Engineering, Rio de Janeiro State University, RJ, Brazil 2017.
Efficient use of materials is an important issue nowadays. In this way, the search for optimal structures has expanded rapidly over time; this is because this type of structure presents better performance and therefore avoids material underutilization. Perforated beams are not only lighter than an I-profile with full web of the same cross section; they are also less susceptible to deformations and more resistant to bending. However, when subjected to loading, these beams can have occurrence of high stress gradients, which may indicate that these beams are susceptible to failure. In this way, it becomes clear that these holes do not present an optimum topology, and this “removal” of material that creates web openings can be looked at from a topology optimization point of view. Thus, this work aims to find a new shape for the web holes of perforated beams using the ABAQUS software optimization module. A comparative study of the results obtained from the structural point of view is carried out in terms of stresses and critical loads. These analyses are performed for the cellular and optimized beams with the same volume (weight); the only difference between them is the distribution and shape of the holes along the web. The results obtained showed a good structural behavior of the optimized beams when compared to the cellular one, in terms of strength and stiffness. Finally, an alternative model was proposed similar to the one obtained by the optimization procedure; this model also presented a better performance in comparison to the cellular beam.
Keywords: Structural optimization, Beams with web openings, Computational
modeling, Nonlinear analysis of optimized beams.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Exemplos da utilização de vigas casteladas em estruturas. ............ 21
Figura 2 – Exemplos do processo de formação das vigas casteladas. ............. 22
Figura 3 – Vigas com aberturas irregulares na alma. ........................................ 22
Figura 4 – Viga com perfurações feitas após a sua soldagem .......................... 23
Figura 5 – Passagem de serviços pelos furos das almas das vigas perfuradas
......................................................................................................... 24
Figura 6 – Viga celular submetida à flexão. ...................................................... 24
Figura 7 – Pilares da alma de vigas perfuradas. ............................................... 30
Figura 8 – Formação de um mecanismo de Vierendeel. ................................... 32
Figura 9 – Formação de mecanismo de flexão em uma viga perfurada
submetida à condição de contorno biapoiada. ................................. 32
Figura 10 – Módulo plástico de uma seção "I" perfurada. ................................... 33
Figura 11 – Juntas soldadas de vigas casteladas. .............................................. 34
Figura 12 – Flambagem do pilar da alma. ........................................................... 35
Figura 13 – Flambagem do pilar da alma de uma viga celular devido ao
cisalhamento. ................................................................................... 35
Figura 14 – Flambagem lateral com torção. ........................................................ 36
Figura 15 - Malha de elementos finitos utilizada na modelagem das vigas. ....... 37
Figura 17 – Esquema dos pontos de aplicação de condições de contorno e de
cargas para a viga modelada. .......................................................... 39
Figura 18 – Primeiro modo de flambagem do modelo de validação submetido à
análise buckle. ................................................................................. 40
Figura 19 – Seção transversal da viga modelada ............................................... 43
Figura 20 – Exemplo de um problema discreto. .................................................. 44
Figura 21 – Exemplo de um problema contínuo. ................................................ 44
Figura 22 – Domínio otimizável da estrutura. ...................................................... 47
Figura 23 – Topologias para a viga biapoiada obtidas após o processo de
otimização através do método SIMP para diversos fatores de
penalização. ..................................................................................... 47
Figura 24 – Topologias para a viga biengastada obtidas após o processo de
otimização através do método SIMP para diversos fatores de
penalização. ..................................................................................... 48
Figura 25 – Topologia obtida após o processo de otimização da viga biapoiada
com fator de penalização 𝑝 = 2. ...................................................... 48
Figura 26 – Topologia otimizada para as vigas, com fator de penalização 𝑝 = 4 e
espessura mínima dos elementos da alma igual a 100 milímetros. . 49
Figura 27 – Topologias obtidas para as vigas, com fator de penalização 𝑝 = 4 e
simetria imposta entre as partes inferior e superior da alma da viga.
......................................................................................................... 50
Figura 28 – Diagramas de esforço cortante para as vigas submetidas às
condições de contorno biapoiada e biengastada. ............................ 51
Figura 29 – Diagramas de momento fletor para as vigas submetidas às
condições de contorno biapoiada e biengastada. ............................ 51
Figura 30 – Geometria da viga celular de referência. ......................................... 53
Figura 31 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises para
a viga celular biapoiada submetida à análise linear elástica. ........... 54
Figura 32 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises para
as vigas otimizadas biapoiadas submetidas a análise linear elástica.
......................................................................................................... 55
Figura 33 – Resultados obtidos para os deslocamentos para a viga celular
biapoiada submetida à análise linear elástica. ................................. 56
Figura 34 – Resultados obtidos para os deslocamentos para as vigas otimizadas
biapoiadas submetidas à análise linear elástica. ............................. 56
Figura 35 – Carga crítica e modo de falha para a viga celular submetida à
condição de contorno biapoiada. ..................................................... 59
Figura 36 – Cargas críticas e modos de falha para as vigas otimizadas
submetidas à condição de contorno biapoiada. ............................... 59
Figura 37 – Mecanismo de falha das vigas submetidas à condição de contorno
biapoiada. ........................................................................................ 63
Figura 38 – Detalhe do enrijecedor colocado no centro da viga celular .............. 64
Figura 39 – Detalhe do enrijecedor colocado no centro da viga otimizada para a
condição de contorno biapoiada com restrição de simetria. ............ 65
Figura 40 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises para
a viga celular biapoiada com enrijecedor submetida a análise não
linear. ............................................................................................... 65
Figura 41 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises para
as vigas otimizadas biapoiadas com enrijecedores submetidas a
análise não linear. ............................................................................ 66
Figura 42 – Carga crítica e modo de falha para a viga celular com enrijecedor
submetida à condição de contorno biapoiada com enrijecedor. ...... 68
Figura 43 – Cargas críticas e modos de flambagem para as vigas otimizadas
com enrijecedor submetidas à condição de contorno biapoiada. ..... 68
Figura 44 – Mecanismo de falha das vigas com enrijecedores submetidas à
condição de contorno biapoiada. ..................................................... 72
Figura 45 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises para
a viga celular biengastada submetida a análise linear elástica. ....... 73
Figura 46 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises para
as vigas otimizadas submetidas a condição de contorno
biengastada. .................................................................................... 74
Figura 47 – Carga crítica e modo de falha para a viga celular submetida à
condição de contorno biengastada. ................................................. 76
Figura 48 – Cargas críticas e modos de falha para as vigas otimizadas
submetidas à condição de contorno biengastada. ........................... 76
Figura 49 – Mecanismo de falha das vigas submetidas à condição de contorno
biengastada. .................................................................................... 79
Figura 50 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises para
a viga celular biengastada com enrijecedor submetida a análise
linear elástica. .................................................................................. 80
Figura 51 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises para
as vigas otimizadas biengastadas com enrijecedores submetidas a
análise não linear. ............................................................................ 81
Figura 52 – Carga crítica e modo de falha para a viga celular submetida à
condição de contorno biengastada com enrijecedor. ....................... 83
Figura 53 – Cargas críticas e modos de flambagem para as vigas otimizadas
submetidas à condição de contorno biengastada. ........................... 83
Figura 54 – Mecanismo de falha das vigas com enrijecedores submetidas à
condição de contorno biengastada. ................................................. 86
Figura 55 – Processo de medição da espessura das barras da viga no ABAQUS.
......................................................................................................... 87
Figura 56 – Pontos onde a espessura das barras foi medida. ............................ 88
Figura 57 – Dimensões da topologia aproximada obtida para a viga com barras
de 50 mm. ........................................................................................ 89
Figura 58 – Topologia obtida durante o processo de otimização para a viga sob a
condição de contorno biapoiada com restrição de simetria. ............ 90
Figura 59 – Topologia aproximada obtida para as vigas com barras de 50, 60 e
70 mm. ............................................................................................. 90
Figura 60 – Distribuição de tensão de von Mises para as vigas aproximadas
submetidas a análise linear elástica com condição de contorno
biapoiada. ........................................................................................ 92
Figura 61 – Deslocamento máximo no meio do vão das vigas com topologia
aproximada, submetidas à análise linear elástica com condição de
contorno biapoiada. ......................................................................... 92
Figura 62 – Modo de flambagem das vigas com topologia aproximada. ............ 93
Figura 63 – Mecanismo de falha das vigas com topologia aproximada,
submetidas à condição de contorno biapoiada. ............................... 96
Figura 64 – Distribuição da tensão de von Mises para a viga com topologia
aproximada com enrijecedor submetida a condição de contorno
biapoiada. ........................................................................................ 97
Figura 65 – Modo de flambagem e carga crítica das vigas com topologia
aproximada com o uso de enrijecedor submetidas à condição de
contorno biapoiada. ......................................................................... 98
Figura 66 – Mecanismo de falha da viga com topologia aproximada com
enrijecedor, submetidas à condição de contorno biapoiada. ......... 101
Figura 67 – Distribuição de tensão de von Mises para a análise linear elástica da
viga com topologia aproximada submetida a condição de contorno
biengastada. .................................................................................. 101
Figura 68 – Modo de flambagem e carga crítica das vigas com topologia
aproximada, submetidas à condição de contorno biapoiada. ........ 102
Figura 69 – Modo de falha das vigas com topologia aproximada, submetidas à
condição de contorno biengastada. ............................................... 105
Figura 70 – Distribuição de tensão de von Mises das vigas com topologia
aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada com
enrijecedor. .................................................................................... 105
Figura 71 – Modo de flambagem das vigas com topologia aproximada,
submetidas à condição de contorno biengastada com enrijecedor.
....................................................................................................... 106
Figura 72 – Mecanismo de falha das vigas com topologia aproximada,
submetidas à condição de contorno biengastada com enrijecedor.
....................................................................................................... 109
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Dimensões dos espécimes teste (ELLOBODY, 2011). .................... 38
Tabela 2 – Características físicas dos perfis teste (ELLOBODY, 2011). ........... 38
Tabela 3 – Comparação entre as cargas últimas das vigas obtidas
numericamente e os resultados experimentais obtidos por Warren,
2001. ................................................................................................ 42
Tabela 4 – Comparação entre os deslocamentos no meio do vão na falha das
vigas obtidas numericamente e os resultados experimentais obtidos
por Warren, 2001. ............................................................................ 42
Tabela 5 – Comparação de volume, peso e número de elementos finitos
utilizados na discretização da malha de cada uma das vigas. ......... 54
Tabela 6 – Resultados obtidos para as análises das vigas submetidas à carga
distribuída de equivalente de 100 kN. .............................................. 58
Tabela 7 – Cargas críticas e modos de flambagem das vigas submetidas a
condição de contorno biapoiada. ..................................................... 60
Tabela 8 – Comparação entre os pesos e cargas últimas das vigas. ................ 62
Tabela 9 – Resultados obtidos para a tensão de von Mises para as vigas com o
uso de enrijecedores. ....................................................................... 67
Tabela 10 – Carga crítica das vigas submetidas à condição de contorno
biapoiada e percentual de aumento da carga crítica com a utilização
de enrijecedores. ............................................................................. 69
Tabela 11 – Resultados obtidos para a máxima tensão de von Mises e
deslocamentos máximos no meio do vão para as vigas submetidas a
condição de contorno biengastada. ................................................. 75
Tabela 12 – Cargas críticas e modos de flambagem das vigas submetidas à
condição de contorno biengastada. ................................................. 77
Tabela 13 – Resultados obtidos para a tensão de von Mises para as vigas
biengastadas com o uso de enrijecedores. ...................................... 82
Tabela 14 – Carga crítica das vigas submetidas à condição de contorno
biengastada e modo de flambagem. ................................................ 84
Tabela 15 – Espessuras e ângulos das barras medidos no ABAQUS. ................ 88
Tabela 16 – Volume, peso e número de elementos finitos utilizados na malha das
vigas aproximadas modeladas. ........................................................ 91
Tabela 17 – Comparação dos resultados obtidos na análise linear elástica para a
viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada com
restrição de simetria e com topologia aproximada. .......................... 94
Tabela 18 – Comparação dos resultados obtidos na análise de autovalores e
auto vetores para a viga celular, otimizada para a condição de
contorno biapoiada com restrição de simetria e com topologia
aproximada. ..................................................................................... 94
Tabela 19 – Comparação dos resultados obtidos na análise linear elástica para a
viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada com
restrição de simetria e com topologia aproximada com o uso de
enrijecedores. .................................................................................. 97
Tabela 20 – Comparação dos resultados obtidos na análise de autovalores e
auto vetores para a viga celular, otimizada para a condição de
contorno biapoiada com restrição de simetria e com topologia
aproximada com o uso de enrijecedores. ........................................ 99
Tabela 21 – Comparação dos resultados obtidos na análise linear elástica para a
viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada com
restrição de simetria e com topologia aproximada, submetidas à
condição de contorno biengastada. ............................................... 103
Tabela 22 – Comparação dos resultados obtidos na análise de autovalores e
auto vetores para a viga celular, otimizada para a condição de
contorno biapoiada com restrição de simetria e com topologia
aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada. .... 103
Tabela 23 – Comparação dos resultados obtidos na análise linear elástica para a
viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada com
restrição de simetria e com topologia aproximada, submetidas à
condição de contorno biengastada com enrijecedor. ..................... 107
Tabela 24 – Comparação dos resultados obtidos na análise de autovalores e
autovetores para a viga celular, otimizada para a condição de
contorno biapoiada com restrição de simetria e com topologia
aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada. .... 107
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 – Curva carga versus deslocamento obtida para o modelo de validação.
........................................................................................................... 41
Gráfico 2 – Carga versus deslocamento para as vigas submetidas à condição de
contorno biapoiada. ............................................................................ 61
Gráfico 3 – Variação de peso e carga crítica entre as vigas com e sem
enrijecedores submetidas à condição de contorno biapoiada. ........... 70
Gráfico 4 – Carga versus deslocamento para as vigas com enrijecedores
submetidas à condição de contorno biapoiada. ................................. 71
Gráfico 5 – Carga versus deslocamento para as vigas submetidas à condição de
contorno biengastada. ........................................................................ 78
Gráfico 6 – Carga versus Deslocamento para as vigas com enrijecedores
submetidas à condição de contorno biengastada. ............................. 85
Gráfico 7 – Curvas carga versus deslocamento das vigas com topologia
aproximada submetidas a condição de contorno biapoiada. ............. 95
Gráfico 8 – Curva carga versus deslocamento das vigas com topologia
aproximada com enrijecedor submetidas a condição de contorno
biapoiada. ........................................................................................ 100
Gráfico 9 – Curva carga versus deslocamento das vigas com topologia
aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada. ...... 104
Gráfico 10 – Curva carga versus deslocamento das vigas com topologia
aproximada, submetida à condição de contorno biengastada com
enrijecedor. ...................................................................................... 108
Gráfico 11 – Curvas carga versus deslocamento das vigas celular, otimizada para
a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) e
com topologia aproximada (VTA), submetidas a condição de contorno
biapoiada com imperfeição de 5 mm. .............................................. 110
Gráfico 12 – Curvas carga versus deslocamento das vigas celular, otimizada para
a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) e
com topologia aproximada (VTA), submetidas à condição de contorno
biapoiada com enrijecedor e com imperfeição de 5 mm. ................. 111
Gráfico 13 – Curvas carga versus deslocamento das vigas celular, otimizada para
a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) e
com topologia aproximada (VTA), submetidas à condição de contorno
biengastada com imperfeição de 5mm. ........................................... 112
Gráfico 14 – Curvas carga versus deslocamento das vigas celular, otimizada para
a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) e
com topologia aproximada, submetidas à condição de contorno
biengastada com enrijecedor e com imperfeição de 5 mm. ............. 113
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ATOM Abaqus Topology Optimization Module
ESO Evolutionary Structural Optimization
SCI The Steel Construction Institute
SIMP Solid Isotropic Material with Penalization
VBA Viga Otimizada para a Condição de Contorno Biapoiada
VBAS Viga Otimizada para a Condição de Contorno Biapoiada com restrição de
Simetria
VBE Viga Otimizada para a Condição de Contorno Biengastada
VBES Viga Otimizada para a Condição de Contorno Biengastada com restrição
de Simetria
VTA Viga com Topologia Aproximada
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 20
Motivação do estudo sobre vigas com abertura de alma .......................................... 23
Objetivos ................................................................................................................... 25
Estrutura do trabalho ................................................................................................. 25
1. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................... 27
1.1. Otimização topológica de vigas ...................................................................... 27
1.2. Modos de falha de vigas perfuradas ............................................................... 30
1.2.1 Formação de um mecanismo de Vierendeel .................................................. 31
1.2.2. Formação de um mecanismo de flexão .......................................................... 32
1.2.3. Ruptura de uma junta soldada em um pilar da alma ...................................... 33
1.2.4. Flambagem do pilar da alma devido à compressão ....................................... 34
1.2.5. Flambagem do pilar da alma devido ao cisalhamento .................................... 35
1.2.6. Flambagem lateral com torção ....................................................................... 36
2. VERIFICAÇÃO DO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS ............................ 37
2.2. Modelagem computacional de vigas celulares ............................................... 37
3. OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DAS VIGAS NO PROGRAMA ABAQUS ...... 43
3.2. O método SIMP .............................................................................................. 45
3.3. Processo de otimização utilizado .................................................................... 46
3.4. Topologias obtidas para as vigas submetidas às condições de contorno
biapoiada e biengastada, com restrição de espessura mínima das barras .... 48
3.5. Topologias obtidas para as vigas submetidas às condições de contorno
biapoiada e biengastada, com restrição de simetria ....................................... 50
3.6. Discussão das topologias obtidas ................................................................... 50
4. AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO ESTRUTURAL DAS VIGAS .................... 52
4.1. Propriedades físicas e geométricas da viga de referência .............................. 52
4.2. Propriedades das vigas obtidas através do processo de otimização. ............. 53
4.3. Análises das vigas submetidas à condição de contorno biapoiada. ............... 54
4.4. Análise das vigas com enrijecedores submetidas à condição de contorno
biapoiada. ....................................................................................................... 64
4.5. Análise das vigas submetidas à condição de contorno biengastada. ............. 73
4.6. Análise das vigas com enrijecedores sob a condição de contorno biengastada.
........................................................................................................................ 80
5. DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO APROXIMADO ............................. 87
5.1. Análise das vigas com topologia aproximada e comparação com os resultados
obtidos para as outras vigas. .......................................................................... 90
5.2. Análise das vigas considerando as imperfeições iniciais .............................. 109
CONCLUSÃO ......................................................................................................... 114
Discussão dos resultados........................................................................................ 114
Considerações finais ............................................................................................... 115
Trabalhos futuros .................................................................................................... 116
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 117
20
INTRODUÇÃO
O uso eficiente de materiais é importante em diversos contextos e nas mais
diversas áreas de estudos, o que ocorre inclusive na Engenharia Civil. Por esse
motivo, a busca por estruturas ótimas tem se expandido rapidamente ao longo do
tempo.
Desta forma, apesar de a otimização estrutural ser um campo de estudo
relativamente novo, já existem diversas pesquisas sobre métodos e estudos que
buscam encontrar estruturas mais eficientes.
O aumento na procura por este tipo de estrutura pode ser atribuído ao fato de
que estruturas ótimas possuem geralmente um melhor desempenho. Sendo assim,
são capazes de gerar economia de material, o que consequentemente faz com que
este tipo de estrutura seja capaz de gerar impactos ambientais menores, possuam
custos mais baixos devido à redução de materiais necessários e, além disso, sejam
mais leves devido ao seu volume reduzido quando comparadas a estruturas não
otimizadas, possibilitando assim o uso de fundações menos robustas.
Otimizar uma estrutura significa maximizar o emprego de uma quantidade fixa
de recursos para satisfazer um determinado objetivo (KINGMAN et al., 2014), ou
seja, encontrar a melhor maneira de distribuir uma determinada quantidade de
material, dentro de um domínio de projeto, durante a concepção de uma estrutura.
Pode-se dividir a otimização estrutural em três abordagens: a otimização de
forma, de tamanho e topológica, sendo a otimização estrutural topológica a mais
geral destas. Isto ocorre devido ao fato desta ser capaz de produzir informações
sobre o número, localização, tamanho e formas das aberturas (KINGMAN et al,
2014).
No caso das vigas casteladas, com o desdobramento da viga I, tem-se um
aumento da altura da seção e consequentemente um aumento da resistência a
flexão. Desta forma, estas são indicadas para vãos livres de maiores dimensões
(Figura 1). Isso ocorre devido à majoração da altura da seção sem que haja
acréscimo no peso do perfil, gerando então um aumento do momento de inércia no
plano principal de flexão, que, por sua vez, resulta em uma maior resistência da
seção ao momento fletor.
21
Figura 1 – Exemplos da utilização de vigas casteladas em estruturas.
(a) Centro de esportes, St Albans – Reino Unido (b) Spyros Kyprianou Athletic Center – Grécia
Fonte: (a) https://sdc.co.uk/sports-centre-st-albans-school acesso em janeiro de 2017.
(b) http://cyprussports.org/en/ acesso em janeiro de 2017.
Segundo publicação do SCI (The Steel Construction Institute) de 2011
(LAWSON e HICKS, 2011), existem três métodos de fabricação de vigas com
aberturas na alma.
No primeiro deles uma seção laminada a quente é cortada longitudinalmente
ao longo da alma; as seções “T” resultantes são reposicionadas e soldadas para
formar uma série de aberturas regulares em uma seção de maior inércia (LAWSON
e HICKS, 2011). O esquema de corte e soldagem destas vigas é mostrado na Figura
2.
A seção destas vigas pode ser assimétrica, o que pode ser obtido quando as
seções “T” são cortadas de seções “I” diferentes. Entretanto, este método só é
apropriado para aberturas regularmente espaçadas, formando as chamadas vigas
casteladas. Vigas formadas a partir deste método com aberturas circulares são
também chamadas de vigas celulares.
Outro método de fabricação de vigas perfuradas consiste no corte de
aberturas individuais na alma de uma seção laminada a quente e a seção de aço é
de forma simétrica). Este método é utilizado para vigas com aberturas isoladas
(Figura 3).
22
Figura 2 – Exemplos do processo de formação das vigas casteladas.
a.1) Viga Original
a.2) Viga Celular
b.1) Viga Original
b.2) Viga castelada com aberturas hexagonais
c.1) Viga original
c.2) Viga com abeturas retangulares
Figura 3 – Vigas com aberturas irregulares na alma.
(a)Viga com aberturas irregulares na alma b) Viga com aberturas circulares e alongadas.
Fonte: (a) http://www.steelconstruction.info/Long-span_beams acessado em Março de 2017
(b) http://www.steelconstruction.info/Service_integration acessado em Março de 2017
23
O terceiro método consiste em uma seção formada por três chapas que são
soldadas para formar uma seção em “I”. Neste caso, a seção pode ser assimétrica
(por exemplo, com mesas de tamanhos diferentes). As aberturas podem ser
cortadas na alma da viga antes ou depois de formar a seção em “I” (Figura 4). Este
método é usado tanto para aberturas isoladas quanto para aberturas regularmente
espaçadas.
Figura 4 – Viga com perfurações feitas após a sua soldagem
Fonte: http://www.tagliolaser.net/de/bilder-cmmlaser/stahltraeger-heb-hea/index.html acessado em
Julho de 2017
Sendo assim, a partir da utilização destes novos métodos para a fabricação
de vigas perfuradas é possível olhá-las através de uma nova perspectiva. Com a
otimização topológica, um novo formato pode ser dado aos furos destas vigas,
visando não só o seu processo de fabricação, como atualmente é feito, mas também
ganhos de resistência e uma melhor distribuição de tensões em seu interior.
Motivação do estudo sobre vigas com abertura de alma
As vigas casteladas e celulares têm como principal característica o
incremento da resistência do perfil original, com o aumento da sua altura, sem
alteração de peso, com a limitação de altura das edificações de vários pavimentos,
através do processo de otimização, é possível obter vigas com aberturas de alma,
mais resistentes, sem que haja acréscimo de peso ou altura dos perfis.
Além disso, frequentemente limitações de altura são impostas a edificações
de vários pavimentos por diversos motivos, como regulamentos de zoneamento
24
urbano, aspectos econômicos e considerações estéticas (RODRIGUES, 2007).
Desta forma, com a utilização de vigas com alma perfurada, a passagem de dutos e
serviços é possível (Figura 5), sem que para isso seja necessário um incremento do
pé-direito destas edificações.
Figura 5 – Passagem de serviços pelos furos das almas das vigas perfuradas
Fonte: http://www.archiexpo.com/prod/arcelormittal-longhtml acesso em Agosto de 2017
http://rotocoat.com/projecten-1?itemId=Project:124&PID=3410 acesso em Agosto de 2017
Entretanto, quando submetidas a carregamentos, as vigas celulares sofrem
com a ocorrência de regiões com altas concentrações de tensões (Figura 6), o que
pode indicar que estas vigas são suscetíveis à falha, ao mesmo tempo em que
outras regiões da viga estão sujeitas a baixas tensões indicando a existência de
material subutilizado. Desta forma, torna-se perceptível que estes furos não
apresentam uma topologia ótima.
Figura 6 – Viga celular submetida à flexão.
Região de baixa concentração de
tensões, material subutilizado.
Região de alta concentração de
tensões
25
Sendo assim, fica claro como o formato dos furos destas vigas foi motivado
apenas pelo processo de fabricação destas. Todavia, com o surgimento de novas
técnicas de fabricação de vigas perfuradas atualmente é possível obter novas
opções, no que tange as posições e formatos para esses furos na alma destes
perfis.
Portanto, essa remoção de material criando aberturas nas almas das vigas
casteladas pode ser analisada do ponto de vista da otimização topológica, buscando
para estes furos um novo formato.
Objetivos
Este trabalho tem como objetivo encontrar uma nova topologia para os furos
da alma de vigas perfuradas através do módulo de otimização do programa
ABAQUS 6.14 (2014).
Após isso, foi feita uma avaliação dos resultados obtidos realizando-se uma
análise comparativa do ponto de vista estrutural, a fim de aferir os resultados da
análise linear elástica, não linear completa e de carga crítica para as vigas, celulares
e otimizadas, ambas com o mesmo volume, tendo apenas como diferença entre si a
distribuição e o formato dos furos ao longo da alma da viga.
Todas as análises foram realizadas separadamente para cada condição de
contorno da viga: biapoiada e biengastada.
Estrutura do trabalho
Neste trabalho, a otimização estrutural topológica é apresentada através dos
modelos de vigas de perfis I otimizadas através do módulo de otimização do
programa comercial ABAQUS, conhecido como ATOM (Abaqus Topology
Optimization Module), para a solução estrutural e análise dos resultados obtidos
através do Método dos Elementos Finitos.
26
Neste capítulo é apresentada uma breve introdução abordando a motivação
deste estudo, bem como seus objetivos principais.
No primeiro capítulo será apresentada uma revisão bibliográfica sobre a
otimização topológica de vigas e os modos de falha das vigas perfuradas, bem como
uma breve explicação sobre cada um deles.
No segundo capítulo é feita uma avaliação do modelo numérico utilizado para
a análise estrutural das vigas através da modelagem computacional de estudos
feitos experimentalmente.
No terceiro capítulo será mostrado todo o processo de otimização utilizado,
bem como, uma breve apresentação sobre o método de interpolação de materiais
(SIMP) e todas as topologias obtidas para ambas as condições de contorno,
biapoiada e biengastada, e para diversos fatores de penalidade.
No quarto capítulo são enfim apresentados os resultados obtidos para a
análise estrutural das vigas celulares e otimizadas, bem como, uma comparação de
todos os resultados obtidos para ambas as condições de contorno utilizadas neste
estudo, biapoiada e biengastada.
No quinto capítulo é apresentado um modelo aproximado ao modelo
otimizado que apresentou o melhor desempenho durante as análises realizadas no
capítulo quatro, os modelos aproximados são então analisados e os resultados
comparados aos obtidos para a viga celular e para a viga otimizada de melhor
comportamento.
O último capítulo deste estudo apresenta as conclusões obtidas após a
comparação dos resultados obtidos para as análises das vigas celular, otimizadas e
das vigas aproximadas, além de alguns trabalhos futuros que podem ser
desenvolvidos a partir deste estudo.
27
1. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
1.1. Otimização topológica e análise de vigas com aberturas na alma
O primeiro estudo sobre otimização estrutural foi apresentado por Michell
(MICHELL, 1904), há mais de um século, em 1904, e seu artigo tratava da busca por
uma solução ótima para uma viga biapoiada com um carregamento vertical colocado
no meio do vão em sua parte inferior. Até hoje a estrutura tipo Michell é utilizada em
diversos estudos a fim de avaliar métodos de otimização.
Apesar do estudo de Michell datar de mais de 100 anos, a otimização
estrutural ainda é uma área de estudos recente e apenas em 1989 o método SIMP
(Solid Isotropic Material With Penalization), ainda chamado de método de
abordagem direta, foi proposto por Bendsøe (BENDSØE, 1989), em um estudo que
tratava do problema da otimização topológica como um problema de distribuição de
material e apresentava diversos métodos capazes de otimizar uma estrutura.
O nome SIMP dado ao método de otimização com abordagem direta foi
utilizado pela primeira vez em um artigo de 1992 (ROZVANY et al., 1992), em um
estudo sobre a otimização topológica sem homogeneização.
Em 2008, Rozvany publicou um artigo (ROSVANY, 2008) revisando métodos
estabelecidos de otimização topológica, bem como o uso desenfreado destes em
diversos artigos e estudos, sem maiores preocupações com a verificação real tanto
do processo de otimização, quanto da capacidade resistente das estruturas finais
obtidas. Neste estudo foi possível concluir que o método SIMP requer relativamente
poucas iterações e é adequado para uma combinação de uma ampla gama de
condições de contorno, carregamento e sistemas extremamente grandes (muitas
vezes em 3D). Desta forma o método SIMP foi verificado quantitativamente
mostrando convergência numérica para topologias Michell. Além disso, foi verificado
que o método ESO (Evolutionary Structural Optimization) é completamente
heurístico, computacionalmente ineficiente e pouco confiável. Ao contrário da
verificação quantitativa do SIMP. Também concluiu-se neste estudo que atualmente,
o ESO quase nunca é usado em aplicações industriais, embora muito divulgado na
literatura.
28
Diferentemente, dos estudos sobre métodos de otimização, que são bastante
recentes, os estudos sobre a resistência de vigas perfuradas vêm sendo feitos ao
longo do tempo. Em 1984, Kerdal e Nethercott publicaram um estudo (KERDAL e
NETHERCOTT, 1984) sobre os modos de falha para as vigas casteladas onde estes
já eram conhecidos. Neste estudo, os autores buscavam encontrar formas de prever
as modos de falhas das vigas perfuradas usando métodos relativamente simples.
Juliet Warren publicou em 2001 uma dissertação sobre análise de cargas
últimas e deslocamentos de vigas celulares (WARREN, 2001), onde testes
experimentais destrutivos em vigas casteladas foram feitos e extraídos destes as
cargas, os modos de falha e as deflexões. Além disso, neste estudo Warren
comparou os resultados obtidos experimentalmente com os resultados obtidos
usando três diferentes métodos para a previsão de carga última e deslocamentos de
vigas celulares.
Em 2007, Rodrigues apresentou um estudo sobre o comportamento estrutural
de vigas de aço com aberturas na alma, cujo objetivo era o desenvolvimento de
métodos capazes de avaliar o desempenho estrutural das vigas de aço com
aberturas na alma, analisando o comportamento de vigas com aberturas de
diferentes tamanhos e formas na alma, onde concluiu que o método dos elementos
demonstrou ser bastante útil e preciso na avaliação do comportamento estrutural de
vigas com aberturas na alma, inclusive na previsão da distribuição de tensões,
modelos de escoamento, deformada e carga de ruína.
Gama publicou em 2011, uma dissertação onde era realizada uma avaliação
numérica da estabilidade lateral de vigas casteladas. Tal estudo foi motivado devido
ao fato de que a estabilidade das vigas casteladas é sempre um motivo de
preocupação durante a construção quando os contraventamentos laterais ainda não
estão instalados. Além disso, tais vigas são indicadas para grandes vãos, longos o
suficiente para que a instabilidade ocorra. Entretanto, acréscimo da resistência à
flexão devido ao aumento da altura destas vigas em relação ao perfil matriz, aliado a
economia de material e utilidade, garante a atratividade no aproveitamento destas,
para grandes vãos. Onde concluiu que a esbeltez é bastante significante em vigas
casteladas e seus estados limites últimos tendem a ser controlados pela flambagem
lateral, uma vez considerada a sua alta capacidade resistente no que tange ao plano
principal de flexão.
29
Também em 2011, Silveira publicou uma dissertação sobre o desempenho de
vigas alveolares de aço com ênfase nos modos de colapso por plastificação,
apresentando os resultados de uma análise numérica não linear realizada com vigas
de aço com almas perfuradas utilizando o programa ABAQUS para diversos padrões
de castelação das vigas.
Com a publicação do SCI (The Steel Construction Institute), também em 2011
(LAWSON e HICKS, 2011), novos métodos para a fabricação de vigas perfuradas
são mostrados. Estes métodos possibilitaram então o estudo da otimização
topológica para os furos destas aberturas, tendo em vista que os furos das vigas
otimizadas possuem formatos diferentes dos fabricados atualmente.
Também em 2011, Tsavdaridis e D’Mello publicaram um artigo apresentando
um estudo experimental e analítico sobre o comportamento de vigas de aço com
aberturas de alma estreitamente espaçadas, onde foram testadas sete vigas,
incluindo duas vigas celulares típicas e cinco vigas com novos formatos de abertura
de alma, para investigar o modo de falha e a resistência dos “pilares da alma” entre
duas aberturas de alma adjacentes. Foram então realizadas análises de elementos
finitos elasto-plásticas de duzentos e vinte vigas em um estudo paramétrico para
propor uma fórmula empírica que prevê a força de cisalhamento última dos pilares
da alma formados a partir das aberturas da alma das vigas.
Abordando ainda os modos de falha de vigas perfuradas, Ellobody (2012) fez
um extenso estudo sobre a análise não linear das vigas celulares de aço submetidas
a modos combinados de flambagem. Nesta publicação, foi desenvolvido um modelo
3D de elementos finitos não lineares e realizados diversos estudos paramétricos
visando investigar o efeito da mudança nas geometrias da seção transversal,
comprimento da viga, resistência do aço e esbeltez não dimensional nas cargas de
falha e no comportamento de flambagem das vigas de aço celular As cargas de
falha previstas a partir do modelo de elementos finitos foram comparadas com a
prevista pelos padrões australianos para vigas de aço sob o flambagem lateral com
torção. Mostrando que as previsões da especificação são geralmente conservadoras
para as vigas celulares falhando por flambagem lateral com torção, não conservador
para vigas celulares de aço falhando por modos combinados de flambagem
distorcional e flambagem do pilar da alma e bastante conservadora para vigas
celulares de aço de alta resistência falhando por flambagem lateral com torção.
30
Somado a isso, o trabalho de Tsavdaridis et al. (2014) constatou a
possibilidade de, através da otimização topológica, elaborar um novo modelo de
vigas perfuradas com um novo formato para os furos da alma destas vigas, gerando
com isso grandes ganhos estruturais, de resistência, menores concentrações de
tensões e outros.
1.2. Modos de falha de vigas perfuradas
Vigas de alma perfurada possuem um comportamento estrutural diferente das
vigas de alma cheia, resultado direto da maneira diferente pela qual o cisalhamento
é transferido através da alma perfurada. A presença dos furos não só altera a
importância relativa de modos possíveis de falha, como também, introduz a
possibilidade de novos modos. São exemplos de possíveis modos de falha que
ocorrem exclusivamente em vigas perfuradas: a formação do mecanismo
Vierendeel, a flambagem dos “pilares da alma” (web-post) devido ao cortante e, nos
casos em que a viga é soldada, a ruptura da solda da alma (KERDAL e
NETHERCOTT, 1984).
Os pilares da alma podem ser conceituados como os recessos dos furos da
alma de uma viga perfurada. Em uma viga submetida à flexão, estes recessos dos
furos acabam atuando como pilares, submetidos à compressão na alma das vigas
perfuradas (Figura 7).
Figura 7 – Pilares da alma de vigas perfuradas.
“Pilares da alma” de vigas perfuradas
31
Podem ainda ocorrer a falha pela formação de um mecanismo de flexão ou
por flambagem lateral com torção, semelhantes aos modos equivalentes para vigas
de alma cheia.
As grandes aberturas causam uma redução significativa na resistência ao
cisalhamento das vigas, devido à perda de uma grande porção da alma quando
comparadas as vigas de alma cheia com a mesma seção transversal. Entretanto a
alma das vigas quando perfuradas causam uma menor redução na resistência à
flexão, tendo em vista que essa resistência é, em grande parte, gerada pelas mesas
das vigas.
As vigas fabricadas geralmente possuem almas esbeltas que podem exigir
uma rigidez vertical para evitar a flambagem da alma em pontos próximos as
aberturas. No entanto, a necessidade de tal rigidez pode ser minimizada pela
escolha de uma alma de maior espessura e/ou pelo posicionamento cuidadoso das
aberturas (ou seja, longe dos pontos de aplicação de carga), resultando em um
projeto mais econômico (LAWSON e HICKS, 2011).
Sendo assim, fica claro como a presença de furos na alma de uma viga
implica diretamente em um comportamento estrutural diferente das vigas de alma
cheia em vários aspectos, por esse motivo serão apresentados a seguir os possíveis
modos de falha das vigas perfuradas.
1.1.1 Formação de um mecanismo de Vierendeel
A formação do mecanismo de Vierendeel acontece em pontos da viga onde
existem altos esforços de cisalhamento (KERDAL e NETHERCOTT, 1984). Este é
caracterizado pela formação de rótulas plásticas nos recessos dos furos devido à
transferência do esforço cortante ao longo das aberturas da alma da viga (Figura 8).
Este fenômeno depende do comprimento das aberturas e da resistência local
ao cisalhamento e à flexão. Ocorre normalmente nas vigas com pequenas alturas
das seções “T” (Figura 10), inferior e superior, e grande comprimento entre furos. A
ruptura acontecerá na abertura em que o máximo esforço cortante estiver atuando,
entretanto, no caso de aberturas com o mesmo esforço cortante, esse colapso
ocorrerá na abertura em que atuar o maior momento (BADKE-NETO et al., 2015).
32
Figura 8 – Formação de um mecanismo de Vierendeel.
Geralmente, os furos nas almas das vigas têm um maior impacto na
resistência ao esforço cortante do que na sua resistência a flexão, o que pode ser
facilmente percebido através da parcela de contribuição da alma na resistência aos
esforços.
1.2.2. Formação de um mecanismo de flexão
Também chamado de formação de rótula plástica, este é um modo de falha
decorrente da ação do momento fletor que faz com que as seções “T” acima e
abaixo dos furos da alma sofram escoamento por tração e/ou compressão. Isso
ocorre devido ao binário de forças longitudinais que gera momentos locais ao redor
dos furos da viga.
A Figura 9, apresentada a seguir, mostra a formação de rótulas plásticas em
uma viga submetida à condição de contorno biengastada.
Figura 9 – Formação de mecanismo de flexão em uma viga perfurada
submetida à condição de contorno biapoiada.
O momento resistente de uma viga perfurada é dado pelo momento de
plastificação no centro da abertura que é igual ao produto do módulo plástico neste
ponto e a tensão de escoamento nominal do material (Equação 1).
33
𝑀𝑟 = 𝑊𝑝𝑙×𝑓𝑦 (1)
Onde:
𝑊𝑝𝑙 é o módulo plástico da seção em um furo; e
𝑓𝑦 é a tensão de escoamento do material.
O módulo plástico da seção em um furo é dado pela multiplicação da área da
seção “T” superior ou inferior multiplicada pela distância do seu centroide ao
centroide da seção “I” (Equação 2).
𝑊𝑝𝑙 = (𝑏𝑓×𝑡𝑓 + ℎ𝑤×𝑡𝑤) ×𝑦 (2)
Figura 10 – Módulo plástico de uma seção "I" perfurada.
1.2.3. Ruptura de uma junta soldada em um pilar da alma
Este tipo de ruptura ocorre quando o esforço horizontal de cisalhamento
nessa região excede a força resistente da solda (Figura 11). Este modo de colapso
geralmente é impactado pelo comprimento entre as aberturas, ou seja, pela largura
dos pilares da alma. Desta forma, quanto menor é a largura de um pilar da alma,
y
bf
tf
hw
tw
34
maior a possibilidade de que a viga perfurada sofra este tipo de falha (BADKE-NETO
et al, 2015).
Entretanto, há de se considerar que este tipo de falha não é um fator
preocupante em todas as vigas perfuradas. Isto ocorre devido ao fato de que nas
vigas perfuradas fabricadas através do processo onde três chapas são soldadas
formando posteriormente uma seção em “I”, o comprimento de solda é o mesmo da
viga e por isso este tipo de viga se torna menos susceptível à falha pela ruptura de
uma junta soldada.
Figura 11 – Juntas soldadas de vigas casteladas.
1.2.4. Flambagem do pilar da alma devido à compressão
A flambagem do pilar da alma ocorre essencialmente pela presença de
cargas concentradas ou reações de apoio na direção dos pilares da alma da viga.
Neste modo de falha o pilar da alma sofre um deslocamento para fora do plano da
viga, não acompanhado por torção, como na flambagem devido ao cisalhamento
(seção 1.5). Sendo assim, este modo de falha é bastante semelhante à flambagem
de barras esbeltas e a possibilidade de que este tipo de falha ocorra é maior à
medida que os pilares da alma de viga tornam-se mais esbeltos.
Juntas soldadas de vigas casteladas
35
1.2.5. Flambagem do pilar da alma devido ao cisalhamento
A flambagem do pilar da alma ocorre quando a força de cisalhamento F, que
surge ao longo da junta soldada da alma da viga gera um momento equilibrado pela
metade da força cortante atuante na abertura. Desta forma, surgirão no trecho entre
os pontos A e B, como mostra a Figura 12, esforços de tração e de compressão no
trecho entre os pontos C e D, podendo ocasionar assim a flambagem do pilar da
alma devido ao esforço cortante.
Figura 12 – Flambagem do pilar da alma.
a) Configuração inicial do pilar da alma b) Configuração do pilar da alma pós flambagem
Legenda: Configuração inicial Configuração do pilar da alma pós flambagem
A flambagem dos pilares da alma por compressão ocorre para os casos em
que o momento fletor é predominante, enquanto a flambagem por cisalhamento
(Figura 13) ocorre quando a força cortante é significativa diante do momento
(SILVEIRA, 2011).
Figura 13 – Flambagem do pilar da alma de uma viga celular devido ao
cisalhamento.
F
F
A
B
C
D
V/2
V/2
V/2
V/2
36
1.2.6. Flambagem lateral com torção
A flambagem lateral com torção (Figura 14) é caracterizada por um
deslocamento lateral e um giro da seção transversal. Para este tipo de modo de
falha, tanto as vigas perfuradas como as vigas de alma cheia possuem
comportamentos similares, entretanto, as propriedades geométricas das vigas
perfuradas devem ser tomadas no centro das aberturas.
Figura 14 – Flambagem lateral com torção.
37
2. VERIFICAÇÃO DO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS
Neste capítulo serão apresentados os modelos numéricos utilizados na
análise do comportamento estrutural de vigas metálicas com aberturas na alma. Tais
modelos foram reproduzidos através do software ABAQUS baseado no Método dos
Elementos Finitos. As premissas apresentadas neste trabalho foram então validadas
a partir da modelagem numérica dos trabalhos experimentais apresentados a seguir.
2.2. Modelagem computacional de vigas celulares
Com o objetivo de validar todos os modelos utilizados neste trabalho, foi
então elaborado um modelo em elementos finitos de uma viga celular com base no
trabalho experimental de Warren J. (2001).
Assim como todos os outros apresentados neste estudo, a viga experimental
foi reproduzida em um modelo com elementos de casca e discretizada em uma
malha com elementos triangulares de primeira ordem com aproximadamente 20
milímetros cada do tipo S3, disponível na biblioteca do ABAQUS (Figura 15 - a).
Todos os enrijecedores foram modelados com uma malha de elementos quadrados
de aproximadamente 15 milímetros, de primeira ordem com integração reduzida do
tipo S4R (Figura 15 - b), também disponível na biblioteca do ABAQUS.
Figura 15 - Malha de elementos finitos utilizada na modelagem das vigas.
a) Malha utlizada na modelagem das vigas b) Malha utilizada na modelagem dos enrijecedores
38
Ellobody (2011), visando também validar um modelo computacional para o
seu estudo sobre a análise não linear de vigas casteladas de aço sob modos
combinados de flambagem, desenvolveu a modelagem computacional de cinco
vigas submetidas anteriormente a ensaios experimentais.
As vigas de aço celular simplesmente apoiadas analisadas através de
modelagem computacional por Ellobody foram baseadas nos estudos experimentais
de Surtees e Liu (1995), Warren J. (2001), Tsavdaridis e D'Mello (2011) e
Tsavdaridis et al. (2009). No estudo de Ellobody (2011), os espécimes foram
designados como C1, C2, C3, C4 e C5 e as dimensões das suas sessões transversais
são apresentadas na Tabela 1.
Tabela 1 – Dimensões dos espécimes teste (ELLOBODY, 2011).
Viga Teste
Dimensões (mm)
H B t s L L1 L2 h D
C1 581,0 141,8 8,6 6,4 5250 1575 461,0 572,4 375
C2 463,2 101,6 7,0 5,8 7400 2466 400,0 452,5 325
C3 303,4 165,0 10,2 6,0 1500 600 900,0 293,2 231
C4 449,8 152,4 10,9 7,6 1700 850 409,5 438,9 315
C5 449,8 152,4 10,9 7,6 1700 850 378,0 438,9 315
Fonte: Adaptado de Ellobody (2011).
As propriedades físicas do material das vigas, obtidas em laboratório são
apresentadas na Tabela 2.
Tabela 2 – Características físicas dos perfis teste (ELLOBODY, 2011).
Viga Teste
Propriedades do material – 𝒇𝒚 (MPa) Referências
Mesa Alma
C1 401,0 392,0 Surtees e Liu (1995)
C2 401,0 392,0 Warren J. (2001)
C3 337,5 299,0 Tsavdaridis e D'Mello (2011)
C4 359,6 375,3 Tsavdaridis et al. (2009)
C5 359,6 375,3 Tsavdaridis et al. (2009)
Fonte: Adaptado de Ellobody (2011).
39
Para a validação do modelo numérico deste trabalho foi então reproduzido o
espécime C2 assinalado na Tabela 1. Em detalhes, uma viga celular simplesmente
apoiada com um comprimento (L) de 7,4 metros, fabricada a partir do perfil UB 305 x
102 x 25 laminado a quente. As mesas superior e inferior de C2 foram apoiadas
lateralmente, como mostrado na Figura 16.
A viga de aço celular C2 foi carregada com duas cargas concentradas com
espaçamento do apoio igual a L1, como mostrado na Tabela 1. O diâmetro celular e
a profundidade da viga foram 325,0 e 463,2 milímetros, respectivamente. O
espaçamento entre as linhas centrais de duas células circulares adjacentes (L2) foi
de 400 milímetros, também mostrado na Tabela 1.
Figura 16 – Esquema dos pontos de aplicação de condições de contorno e de
cargas para a viga modelada.
Sendo assim, após a elaboração do modelo numérico foi realizada então a
análise de elementos finitos dividida em duas etapas. Primeiramente, o modelo foi
submetido a uma análise conhecida como análise de autovalor que estima os modos
Travamentos laterais
Pontos de aplicação da carga
Restrição de deslocamento vertical
Restrição de deslocamento vertical
40
de flambagem e as cargas críticas (análise buckle). Tal análise é a análise elástica
linear realizada com a carga aplicada no passo. A análise de flambagem fornece o
fator pelo qual a carga deve ser multiplicada para alcançar a carga de flambagem
(ELLOBODY. 2011). O resultado obtido para o primeiro modo de flambagem da viga
é apresentado na Figura 17.
Figura 17 – Primeiro modo de flambagem do modelo de validação submetido
à análise buckle.
Após isso, a viga foi então submetida a uma análise não linear completa. As
propriedades não lineares do material (elasto–plástico perfeito) e as condições de
carregamento são incorporadas na análise não linear. Entretanto, diferentemente do
modelo de referência (ELLOBODY, 2011), no modelo computacional utilizado para a
validação deste estudo, as tensões residuais não foram incluídas.
As imperfeições geométricas iniciais são encontradas em elementos de aço
estrutural como resultado do processo de fabricação e por esse motivo, no modelo
41
apresentado aqui, assim como no modelo de referência, as imperfeições iniciais
foram inseridas, buscando obter resultados mais próximos da realidade.
No software ABAQUS, as imperfeições iniciais podem ser aplicadas como
uma amplitude do modo de flambagem das vigas, obtido anteriormente através de
uma análise de autovetores e autovalores.
Neste modelo foram inseridas imperfeições da ordem de 0,1% do
comprimento da viga, ou seja 7,4 mm e da ordem de 0,045%, ou seja 3,4 mm.
A curva de carga aplicada versus deslocamento no meio do vão, obtida
através do modelo de elementos finitos foi então comparada às obtidas
experimentalmente por Warren, 2001. Os resultados obtidos são apresentados no
Gráfico 1.
Gráfico 1 – Curva carga versus deslocamento obtida para o modelo de validação.
A primeira parte da curva representa a parte elástica até a tensão limite
proporcional à rigidez da viga no modelo de elementos finitos.
0
20
40
60
80
100
120
140
-100-80-60-40-200
Carg
a A
plicad
a (
kN
)
Deslocamento (mm)
Viga Celular com imperfeição I=3,4 mm
Viga Celular com imperfeição I=7,4 mm
Viga Experimental (WARREN, 2001apud ELLOBODY, 2011)
42
As cargas de falha, o deslocamento do meio do vão na falha, e curvas
de carga aplicada versus deslocamento no meio do vão foram comparadas.
A Tabela 3 mostra uma comparação entre as cargas últimas obtidas
experimentalmente por Warren, 2001 (PExp) e as obtidas numericamente
(PEF).
Tabela 3 – Comparação entre as cargas últimas das vigas obtidas
numericamente e os resultados experimentais obtidos por Warren, 2001.
Pexp (kN)
PEF (kN)
I=3,4 mm I=7,4 mm
114,00 126,59 112,67
Na Tabela 4, apresentada a seguir, é feita uma comparação entre os
resultados obtidos para o deslocamento no meio do vão das vigas na falha.
Tabela 4 – Comparação entre os deslocamentos no meio do vão na falha das
vigas obtidas numericamente e os resultados experimentais obtidos por Warren,
2001.
dexp (mm)
dEF (mm)
I=3,4 mm I=7,4 mm
48,00 52,74 48,17
Sendo, assim é possível ver que com o uso de imperfeições da ordem
de 0,1% os resultados são bastante satisfatórios. Obtendo uma relação
Pexp/PEF igual a 1,01 e dexp/def igual a 0,99.
43
3. OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DAS VIGAS NO PROGRAMA ABAQUS
Neste trabalho, o processo de otimização das vigas é obtido através do
módulo de otimização do programa ABAQUS utilizando o método SIMP de
interpolação de material (Solid Isotropic Material With Penalization). Para a
realização do processo de otimização, uma viga de seção “I”, sem furos na alma, foi
modelada. Neste estudo foi utilizado o perfil 305 x 165 UB 40 com 5000 milímetros
de comprimento, cujas dimensões são apresentadas na Figura 18.
Figura 18 – Seção transversal
da viga modelada
O desenvolvimento da otimização topológica no programa ABAQUS é feito
através do seguinte processo: dada uma distribuição de material inicial, a otimização
topológica produz uma nova forma, a partir da classificação das densidades relativas
dos elementos no domínio de projeto. Elementos com grandes densidades relativas
são mantidos, enquanto aqueles elementos cujas densidades relativas se tornaram
suficientemente pequenas são assumidos como vazios, assim, uma nova forma é
obtida (ABAQUS 6.14, 2014).
A otimização topológica de estruturas é um problema intrinsecamente discreto
(Figura 19), como dito anteriormente. Contudo, o uso de algoritmos discretos de
otimização torna este processo extremamente caro em termos computacionais. Isso
ocorre devido ao grande número de elementos usados para discretizar o modelo.
44
Sendo assim, para que seja possível solucionar este tipo de problema sem a
utilização de algoritmos discretos de otimização é necessário remover esta natureza
discreta do problema. Uma das maneiras de realizar esta tarefa é através da
introdução de uma função de densidade, que é uma variável de projeto contínua
(BENDSØE, 1989).
Figura 19 – Exemplo de um problema discreto.
Legenda: Material isotrópico
Vazio
Figura 20 – Exemplo de um problema contínuo.
Material isotrópico Material com densidades
inttermediárias Vazio
No caso do ABAQUS, um dos possíveis métodos utilizados para o
desenvolvimento da otimização topológica é o método SIMP. Desta forma, para
aplicar técnicas de otimização baseadas em gradiente (problema contínuo - Figura
20), o problema discreto é transformado em contínuo; desta forma, as variáveis de
projeto (densidades relativas) são assumidas como contínuas. Os elementos com
densidades intermediárias são então penalizados para que seja obtida então uma
solução final (ABAQUS 6.14, 2014).
Após desenhar a topologia inicial da estrutura, definir carregamento e
condições de contorno, é possível escolher, dentro do programa, o método de
interpolação de material a ser utilizado. Todas as vigas desta dissertação foram
submetidas ao método SIMP de interpolação de material.
45
3.2. O método SIMP
A otimização topológica, de maneira geral, requer a determinação da
distribuição espacial ótima do material para determinadas condições de
carregamento e contorno (BENDSØE, 1989). Desta forma, cada ponto no espaço é,
portanto, um ponto material ou um vazio, sendo assim, o problema de otimização é
função de uma variável discreta.
No caso de uma estrutura modelada em elementos finitos cada elemento
pode ser considerado um vazio potencial ou um membro estrutural. Desta forma, no
caso de uma estrutura a ser otimizada sua topologia não é fixa a princípio.
Assim, após a escolha do domínio de projeto e suas condições de
carregamento e contorno, é feita então a sua discretização através de uma malha de
elementos finitos, onde então é introduzida uma função de densidade artificial,
apresentada na Equação 1.
𝜇(𝑥) ∴ 𝑥 ∊ 𝛺 ∴ 0 ≤ 𝜇 ≤ 1 (1)
Onde:
𝜇 (𝑥) é a densidade artificial do elemento 𝑥; e
𝛺 é o domínio de projeto.
Entretanto, sabe-se que nenhum material possui naturalmente um valor de
densidade intermediária. Esta é obtida tornando-se a relação entre um determinado
parâmetro da estrutura utilizado como restrição durante o processo de otimização,
por exemplo, a rigidez, e a densidade do elemento conforme apresentada na
equação 2.
𝜇 = 𝑠 (2)
onde:
𝑠 é o parâmetro da estrutura (ex.: rigidez).
46
A densidade do elemento é normalizada dividindo-se a densidade real (�̅�)
pela densidade máxima (𝜇0), resultando em:
𝜇 =�̅�
𝜇0 (3)
Similarmente, a rigidez normalizada é igual a rigidez real do elemento dividida
pela maior rigidez encontrada em um elemento da estrutura. No entanto, soluções
baseadas apenas na relação apresentada na equação 2 consistiriam basicamente
de elementos com densidade intermediárias, ou porosos. Para que isto não ocorra,
as densidades intermediárias são então penalizadas.
Desta forma, é possível obter um material artificial, onde valores
intermediários de densidade são penalizados através de um processo iterativo,
fazendo com que eles tenham pouca ou nenhuma rigidez associada à estrutura
otimizada. Sendo assim, o tensor do material se torna:
𝐸𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑥) = [𝜇(𝑥)]𝑝𝐸𝑖𝑗𝑘𝑙, 𝑉𝑜𝑙 = ∫ 𝜇(𝑥)𝑑𝑥𝛺
(4)
onde:
𝐸𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑥) é o tensor constitutivo do material;
𝜇(𝑥) é a densidade artificial do elemento 𝑥;
𝑝 é o fator de penalização (𝑝 ≥ 1);
𝐸𝑖𝑗𝑘𝑙 é o tensor de rigidez constante para o material.
3.3. Processo de otimização utilizado
O módulo de otimização do programa ABAQUS foi utilizado para a realização
do processo, onde foi modelada uma viga de alma cheia conforme as dimensões da
seção transversal apresentada na Figura 18. O comprimento da viga modelada foi
de 5 metros.
47
Além disso, as propriedades do aço da viga utilizadas foram módulo de Young
igual a 210 GPa e coeficiente de Poisson igual a 0,3. Foram utilizados elementos de
casca na modelagem da viga, discretizada em uma malha de 7781 elementos finitos
quadrangulares de segunda ordem (somente para o processo de otimização). A viga
foi submetida a uma carga distribuída equivalente a 100kN e a duas diferentes
condições de contorno: biapoiada e biengastada.
Apenas a parte central da alma da viga foi otimizada (Figura 21). As duas
extremidades da alma da viga não foram inseridas no domínio de projeto a ser
otimizado, a fim de facilitar o processo de aplicação das condições de contorno da
viga em um projeto real (chapas de ligação, por exemplo).
Figura 21 – Domínio otimizável da estrutura.
As vigas modeladas foram então submetidas ao processo de otimização,
utilizando o método SIMP de interpolação de material, com diversos fatores de
penalização. Os resultados obtidos são mostrados nas Figura 22 e Figura 23.
Figura 22 – Topologias para a viga biapoiada obtidas após o processo de
otimização através do método SIMP para diversos fatores de penalização.
a) 𝑝 = 3
b) 𝑝 = 4
c) 𝑝 = 5
48
Figura 23 – Topologias para a viga biengastada obtidas após o processo de
otimização através do método SIMP para diversos fatores de penalização.
a) 𝑝 = 3
b) 𝑝 = 4
c) 𝑝 = 5
Após o processo de otimização com diversos fatores de penalização fica claro
como os fatores de penalidade 𝑝 = 1 e 𝑝 = 2 são pequenos e por isso geram muitos
elementos com densidades intermediárias (Figura 24). Por esse motivo as
topologias finais obtidas utilizando estes fatores de penalização não são
interessantes para este estudo.
Figura 24 – Topologia obtida após o processo de otimização da viga
biapoiada com fator de penalização 𝑝 = 2.
Para os fatores de penalidade 𝑝 = 3, 𝑝 = 4 e 𝑝 = 5 ambas as estruturas
apresentaram topologias próximas, entretanto, o fator de penalidade 𝑝 = 4 foi
escolhido neste estudo como base para todos os outros processos de otimização.
3.4. Topologias obtidas para as vigas submetidas às condições de
contorno biapoiada e biengastada, com restrição de espessura
mínima das barras.
O processo de otimização, já explicado anteriormente, foi novamente
realizado, desta vez com o objetivo de introduzir um controle de espessura mínima,
49
a fim de que a viga otimizada não possua elementos estruturais extremamente
esbeltos na sua alma.
Tal providencia foi tomada com base nos diversos modos de falha que podem
ocorrer em vigas perfuradas, gerados pela esbeltez excessiva de pilares da alma
destas vigas. Sendo assim, para evitar problemas de instabilidade foi inserida,
durante o processo de otimização, uma restrição de dimensão mínima de material
para alma da viga igual a 100 milímetros. Os resultados obtidos são apresentados
na Figura 25.
Além disso, após o processo de otimização é necessário escolher uma
superfície de corte que irá gerar a topologia final da estrutura. Esta superfície separa
a parte da estrutura que terá elementos sólidos, e a que terá elementos vazios que
serão desconsiderados na estrutura final. Neste estudo o valor de 0,3 foi utilizado,
desta forma todos os elementos cuja densidade fosse inferior a 0,3 após o processo
de otimização foram cortados da estrutura final. Tal valor foi escolhido, tendo em
vista que este gera uma estrutura final com um volume mais próximo a fração de
volume inserida como objetivo durante o processo de otimização.
Sendo assim, mesmo com a inserção de uma restrição de dimensão mínima
de material para a alma da viga, a topologia final extraída após o processo de
otimização poderá possuir elementos esbeltos na sua alma.
Figura 25 – Topologia otimizada para as vigas, com fator de penalização 𝑝 =
4 e espessura mínima dos elementos da alma igual a 100 milímetros.
a) Topologia obtida para a viga biapoiada
b) Topologia obtida para a viga biengastada
50
3.5. Topologias obtidas para as vigas submetidas às condições de
contorno biapoiada e biengastada, com restrição de simetria.
Com o objetivo de facilitar a produção e a aplicação de vigas otimizadas, o
processo de otimização foi mais uma vez executado, inserindo desta vez uma nova
restrição.
A simetria entre as partes superior e inferior das vigas foi inserida como
restrição durante o processo de otimização, pois, desta forma, a aplicação de vigas
otimizadas se torna mais simples e menos suscetível a erros durante o processo de
montagem das estruturas no campo. Tal restrição é interessante, pois as vigas
apresentadas no item anterior têm uma resistência inferior quando utilizadas de
forma inversa. Sendo assim, para evitar possíveis acidentes gerados pelo
posicionamento incorreto destas vigas, esta restrição foi inserida. Os resultados
alcançados são apresentados na Figura 26.
Figura 26 – Topologias obtidas para as vigas, com fator de penalização 𝑝 = 4
e simetria imposta entre as partes inferior e superior da alma da viga.
a) Topologia obtida para a viga biapoiada
b) Topologia obtida para a viga biengastada
3.6. Discussão das topologias obtidas
Após o processo de otimização das vigas, as topologias obtidas apresentam
grandes vãos na parte central das almas de todas as vigas otimizadas. Tal topologia
pode ser atribuída ao fato de que normalmente o esforço cortante das vigas é
resistido pela alma destas, sendo o esforço cortante quase nulo no meio do vão para
ambas as vigas (Figura 27).
51
Figura 27 – Diagramas de esforço cortante para as vigas submetidas às
condições de contorno biapoiada e biengastada.
a) Diagrama de esforço cortante para a viga biapoiada
b) Diagrama de esforço cortante para a viga biengastada
À medida que o esforço cortante aumenta, é possível ver que o tamanho dos
furos da alma das vigas diminui, ou seja, há mais material na região próxima aos
apoios.
Além disso, também é possível atribuir o tamanho menor da perfuração
central para a viga biapoiada ao fato de que esta precisa de uma maior resistência à
flexão, isso ocorre, pois como mostra a Figura 28, as vigas submetidas à condição
de contorno biapoiada possuem um maior momento fletor no meio do vão.
Figura 28 – Diagramas de momento fletor para as vigas submetidas às
condições de contorno biapoiada e biengastada.
a) Diagrama de momento fletor para a viga biapoiada
b) Diagrama de momento fletor para a viga biengastada
52
4. AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO ESTRUTURAL DAS VIGAS
Após o processo de otimização, as vigas foram submetidas a diversas
análises que serão apresentadas neste capítulo; seus resultados foram então
comparados com os resultados obtidos para as análises realizadas nas mesmas
condições para uma viga celular de volume correspondente submetida às mesmas
condições de contorno e carregamento.
Todas a vigas e enrijecedores utilizados neste estudo possuem as mesmas
propriedades, sendo estas, módulo de Young igual a 210 GPa e coeficiente de
Poisson igual a 0,3.
4.1. Propriedades físicas e geométricas da viga de referência
Para comparação com as vigas otimizadas, foi utilizada uma viga celular, cuja
seção transversal é a mesma apresentada na Figura 18. Como dito anteriormente o
volume da viga de referência, igual a 21.721.612 mm³ e foi utilizado como volume
alvo durante o processo de otimização.
O comprimento da viga modelada é de 5.000 milímetros e as perfurações da
viga de referência foram feitas através de cortes em formato circular de raio igual a
113,775 mm. A distância utilizada entre furos adjacentes da viga celular igual a 294
mm e distância entre o início da viga e centro da primeira perfuração igual a 295
mm, conforme mostrado na Figura 29.
Tal viga, apresentada na Figura 29, possui uma distância maior entre o
primeiro furo e o inicio da viga do que a distância entre furos adjacentes. Assim,
como foi feito durante o processo de otimização, onde as duas extremidades da
alma da viga não foram inseridas no domínio otimizável, estas extremidades
também foram poupadas no processo de fabricação das vigas casteladas, a fim de
facilitar o processo de aplicação das condições de contorno da viga em um projeto
real com a utilização de chapas de ligação, por exemplo.
53
Figura 29 – Geometria da viga celular de referência.
Foram utilizados elementos de casca na modelagem da viga, discretizada em
uma malha de 13694 elementos finitos de casca triangulares de primeira ordem do
tipo S3 com tamanho de aproximadamente 20 mm, disponível na biblioteca da
ABAQUS.
4.2. Propriedades das vigas obtidas através do processo de otimização.
As vigas obtidas através do processo de otimização, cuja seção transversal,
assim como a da viga celular, é a mesma apresentada na Figura 18 analisadas,
possuem volume e número de elementos finitos diferentes para cada uma das vigas.
Desta forma, na Tabela 5 abaixo, são apresentados o volume, peso, volume
percentual comparado a uma viga de mesma seção, entretanto com alma cheia e
número de elementos finitos utilizados na discretização da malha de cada viga. Além
disso, todas as vigas otimizadas possuem o mesmo comprimento de 5.000
milímetros.
54
Tabela 5 – Comparação de volume, peso e número de elementos finitos
utilizados na discretização da malha de cada uma das vigas.
Viga Volume (mm³)
Volume (%) Peso da viga (Kg)
Nº de elementos
Celular 21721612 84,76% 170,51 13694
Otimizada para a condição de contorno biapoiada (VBA)
21690582 84,64% 170,27 13040
Otimizada para a condição de contorno biapoiada com
restrição de simetria (VBAS) 21790630 85,03% 171,06 13620
Otimizada para a condição de contorno biengastada (VBE)
21274656 83,02% 167,01 12622
Otimizada para a condição de contorno biengastada com
restrição de simetria (VBES) 21196954 82,72% 166,40 13084
4.3. Análises das vigas submetidas à condição de contorno biapoiada.
Com o objetivo de avaliar o desempenho estrutural das topologias obtidas
durante o processo de otimização, todas as vigas foram submetidas a uma análise
linear elástica sob a condição de contorno biapoiada com uma carga distribuída
equivalente a 100 kN (121,21 kN/m²) aplicada ao longo da mesa superior da viga.
Tal procedimento foi adotado inclusive para as vigas otimizadas para a condição de
contorno biengastada. As figuras apresentadas a seguir, mostram os resultados
obtidos. Apenas metade das vigas foi plotada, tendo em vista que todas elas são
simétricas. A mesma grade de distribuição de tensões foi utilizada para a plotagem
de todas as vigas.
Figura 30 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises
para a viga celular biapoiada submetida à análise linear elástica.
Viga Celular - Tensão máxima: 314,8 MPa.
55
Figura 31 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises
para as vigas otimizadas biapoiadas submetidas a análise linear elástica.
(a) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada – Tensão máxima: 174,6 MPa.
(b) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria – Tensão
máxima: 150,7 MPa.
(c) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada submetida à condição de contorno
biapoiada – Tensão máxima: 314,2 MPa.
(d) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de simetria submetida à
condição de contorno biapoiada– Tensão máxima: 685,4 MPa.
56
Figura 32 – Resultados obtidos para os deslocamentos para a viga celular
biapoiada submetida à análise linear elástica.
Viga Celular – Deslocamento máximo no meio do vão: 12,96 mm
Figura 33 – Resultados obtidos para os deslocamentos para as vigas
otimizadas biapoiadas submetidas à análise linear elástica.
(a) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada – Deslocamento máximo no meio do vão:
11,12 mm
(b) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria – Deslocamento
máximo no meio do vão: 10,96 mm
(c) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada submetida à condição de contorno
biapoiada – Deslocamento máximo no meio do vão: 12,39 mm.
(d) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de simetria submetida à
condição de contorno biapoiada– Deslocamento máximo no meio do vão: 16,14 mm.
57
A partir das análises, foi possível observar que as vigas otimizadas para a
condição de contorno a que estavam submetidas nesta análise, ou seja, as vigas
otimizadas para a condição de contorno biapoiada apresentaram um melhor
desempenho estrutural, com menores concentrações de tensões e menores
deslocamentos no meio do vão, quando comparadas à viga celular, assim como
esperado. Também foi possível observar que a viga otimizada para a condição de
contorno biengastada com restrição de simetria gerou um excesso de concentração
de tensões nos cantos superiores na junção da mesa e alma no meio do vão (Figura
31 - d), fazendo com que a mesa de compressão da viga sofresse um grande
deslocamento.
Acredita-se que tal concentração de tensões na mesa desta viga ocorra
devido ao fato de que toda a sua alma no meio do vão foi retirada durante o
processo de otimização, já que a condição biengastada, quando comparada a
condição biapoiada possui um menor momento fletor no meio do vão. Sendo assim,
em capítulos futuros é feita a inserção de enrijecedores de alma na parte central de
todas as vigas, visando evitar grandes deslocamentos e possíveis modos de falha
associados ao escoamento das mesas das vigas, como ocorre com esta viga
especificamente.
A Tabela 6 apresenta um resumo dos resultados obtidos para a análise linear
elástica das vigas biapoiadas com uma carga distribuída de 100kN. Com os
resultados apresentados nesta tabela, fica claro como o desempenho das vigas
otimizadas para a condição de contorno biapoiada (VBA e VBAS) é superior ao
desempenho apresentado por todas as outras vigas, seja a viga celular ou as
otimizadas para a condição de contorno biengastada.
A viga celular apresentou pequenas concentrações de tensões nas bordas
dos furos mais próximos a extremidade da viga, provavelmente associado ao alto
valor da força cisalhante neste ponto da viga. Já as vigas otimizadas para a
condição de contorno biengastada apresentaram excessivas concentrações de
tensões na parte superior das vigas na junção da mesa com a alma destas, acredita-
se que tal concentração de tensões seja consequência do menor momento fletor que
ocorre no meio do vão de vigas biengastadas, quando comparadas a vigas
biapoiadas submetidas a mesma condição de carregamento.
58
Tabela 6 – Resultados obtidos para as análises das vigas submetidas à carga
distribuída de equivalente de 100 kN.
Viga Máxima Tensão de von Mises (MPa)
Deslocamento máximo no meio do vão (mm)
Celular 314,8 12,96
Otimizada para a condição de contorno biapoiada (VBA)
174,6 11,12
Otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição
de simetria (VBAS) 150,7 10,96
Otimizada para a condição de contorno biengastada (VBE)
314,2 12,39
Otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição
de simetria (VBES) 685,4 16,14
Sendo assim, como visto no primeiro capítulo deste estudo, diversos modos
de falha de vigas perfuradas podem estar associados à instabilidade destas. São
exemplos de modos de falhas associados à instabilidade a flambagem do pilar da
alma devido à compressão ou ao cisalhamento e a flambagem lateral com torção.
Tais mecanismos de falha podem ser ainda mais preocupantes nas vigas
otimizadas, devido à existência de barras esbeltas na alma destas vigas, geradas
durante o processo de otimização topológica, tendo em vista que a instabilidade das
vigas não foi considerada no processo de otimização.
Sendo assim, as vigas foram então submetidas a uma análise buckle
disponível na biblioteca do ABAQUS com o intuito de avaliar a carga e o modo de
flambagem de cada uma das vigas. Os resultados são apresentados nas figuras a
seguir.
A Tabela 7, apresentada a seguir, resume os valores encontrados para as
cargas críticas das vigas e os modos de flambagem de cada uma delas.
59
Figura 34 – Carga crítica e modo de falha para a viga celular submetida à
condição de contorno biapoiada.
Viga Celular – Carga crítica: 412,587 kN
Figura 35 – Cargas críticas e modos de falha para as vigas otimizadas
submetidas à condição de contorno biapoiada.
(a) Viga otimizada para a condição de contorno
biapoiada – Carga crítica: 306,686 kN
(b) Viga otimizada para a condição de contorno
biapoiada com restrição de simetria – Carga
crítica: 367,168 kN
(c) Viga otimizada para a condição de contorno
biengastada submetida à condição de contorno
biapoiada – Carga crítica: 107,657 kN
d) Viga otimizada para a condição de contorno
biengastada com restrição de simetria submetida
à condição de contorno biapoiada – Carga
crítica: 139,985 kN
60
Tabela 7 – Cargas críticas e modos de flambagem das vigas submetidas a
condição de contorno biapoiada.
Viga Carga Crítica (kN) Modo de flambagem
Celular 412,587 Lateral com torção
Otimizada para a condição de contorno biapoiada (VBA)
306,686 Lateral com torção +
Local
Otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição
de simetria (VBAS) 367,168 Lateral com torção
Otimizada para a condição de contorno biengastada (VBE)
107,657 Local
Otimizada para a condição de contorno biengastada com
restrição de simetria (VBES) 139,958 Local
Através desta, fica claro como a viga celular possui a maior carga crítica
quando comparada a todas as outras vigas. Além disso, também é possível
perceber que ambas as vigas otimizadas para a condição de contorno biengastada
apresentaram cargas críticas muito pequenas, tendo em vista que estas foram
otimizadas para uma carga de 100 kN, além de apresentarem também modos de
flambagem locais na mesa das vigas.
Todavia, tanto a viga celular quanto as vigas otimizadas para a condição de
contorno biapoiada apresentaram modos de flambagem globais, flambagem lateral
com torção e para cargas críticas bastante superiores a carga proposta inicialmente
de 100kN. Desta forma, seguindo com o objetivo de avaliar o desempenho estrutural
das topologias obtidas após o processo de otimização, todas as vigas foram então
submetidas a uma análise não linear completa (análise incremental, incluindo não as
não linearidades física e geométrica), sob a condição de contorno biapoiada com
uma carga distribuída aplicada ao longo da mesa de compressão da viga.
Novamente, o mesmo procedimento foi adotado para todas as vigas, inclusive
para as vigas otimizadas para a condição de contorno biengastada. Os resultados
obtidos são apresentados no gráfico a seguir mostrando as curvas de carga versus
deslocamento.
61
As propriedades do aço das vigas utilizadas foram às mesmas utilizadas em
todas as análises não lineares: módulo de Young igual a 210 GPa, coeficiente de
Poisson igual a 0,3 e tensão de escoamento igual a 355 MPa.
Gráfico 2 – Carga versus deslocamento para as vigas submetidas à condição
de contorno biapoiada.
Legenda: VBA - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada; VBAS - Viga otimizada para a
condição de contorno biapoiada com restrição de simetria; VBE - viga otimizada para a condição de
contorno biengastada; VBES - viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição
de simetria.
Desta forma, é possível perceber que as vigas otimizadas para a condição de
contorno biapoiada (VBA e VBAS), de fato tem um grande ganho de resistência
quando comparadas à viga celular.
0
50
100
150
200
250
300
350
-50-40-30-20-100
Carg
a A
plicad
a (
kN
)
Deslocamento (mm)
Viga Celular
VBA
VBAS
VBE
VBES
62
Na Tabela 8, apresentada a seguir é possível ver o aumento da carga última
gerado pelo processo de otimização, no caso das vigas otimizadas para a condição
de contorno biapoiada.
Tabela 8 – Comparação entre os pesos e cargas últimas das vigas.
Viga Peso da viga (Kg)
Variação de peso em relação
à viga celular
Carga última
Variação da resistência em relação à viga
celular
Otimizada para a condição de contorno biapoiada (VBA)
170,27 -0,143% 306,448 41,15%
Otimizada para a condição de contorno biapoiada com
restrição de simetria (VBAS) 171,05 0,318% 284,958 31,25%
Otimizada para a condição de contorno biengastada (VBE)
167,01 -2,058% 168,728 -22,28%
Otimizada para a condição de contorno biengastada com
restrição de simetria (VBES) 166,39 -2,415% 66,269 -69,48%
Todavia, é possível ver que a viga para a qual, durante o processo de
otimização foi inserida uma restrição de simetria (VBAS) apresenta um desempenho
ligeiramente inferior, apesar de possuir um volume ligeiramente maior, quando
comparada à viga otimizada sem qualquer restrição de simetria (VBA), o que já era
esperado, tendo que vista que a inserção de uma restrição geométrica durante o
processo de otimização diminui o domínio de busca por uma topologia ótima.
Também é possível perceber que as vigas otimizadas para a condição de
contorno biengastada (VBE e VBES) quando submetidas à condição de contorno
biapoiada possuem uma resistência inferior à viga celular de referência. Estas
acabam por apresentar grandes concentrações de tensões na mesa superior, o que
provavelmente está associado à retirada de material do meio do vão destas vigas
gerada durante o processo de otimização. Sendo assim, para entender o mecanismo
de funcionamento de cada uma das vigas foi então analisado o modo de falha de
todas elas.
63
Figura 36 – Mecanismo de falha das vigas submetidas à condição de
contorno biapoiada.
a) Mecanismo de falha da viga celular – Formação do mecanismo de Vierendeel
b) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada – Formação de um
mecanismo de flexão
c) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de
simetria – Formação de um mecanismo de flexão
d) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada submetida à
condição de contorno biapoiada – Formação de um mecanismo de flexão
e) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de
simetria submetida à condição de contorno biapoiada - Formação de um mecanismo de flexão
Sendo assim, após a avaliação dos modos de falha das vigas é possível
perceber todas as vigas otimizadas falharam devido à formação de um mecanismo
de flexão na mesa superior no meio do vão, mesmo as que se mostraram mais
resistentes do que a viga celular. Tal acontecimento pode estar associado à grande
retirada de material da alma na parte central gerada pelo processo de otimização.
64
Desta forma, em tópicos a seguir, será implementado o uso de enrijecedores
na parte central das vigas e novamente o desempenho estrutural de cada uma delas
será avaliado.
4.4. Análise das vigas com enrijecedores submetidas à condição de
contorno biapoiada.
Como visto no item anterior, todas as vigas otimizadas falharam pela
formação de um mecanismo de flexão na parte central da viga, provavelmente
associada a grande retirada de material na alma da viga neste trecho gerada pelo
processo de otimização. Com isso, decidiu-se então implementar o uso de
enrijecedores na parte central das vigas (Figura 37 e Figura 38) e avaliar novamente
o desempenho estrutural de cada uma delas, inclusive a celular.
Figura 37 – Detalhe do enrijecedor colocado no centro da viga celular
65
Figura 38 – Detalhe do enrijecedor colocado no centro da viga otimizada para
a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria.
Além disso, as propriedades do aço do enrijecedor utilizadas foram as
mesmas utilizadas para as vigas, módulo de Young igual a 210 GPa e coeficiente de
Poisson igual a 0,3.
Foram utilizados elementos de casca na modelagem do enrijecedor,
discretizado em uma malha de elementos finitos quadrangulares de primeira ordem
com integração reduzida do tipo S4R com aproximadamente 15 mm, disponível na
biblioteca da ABAQUS.
As vigas com enrijecedores foram então submetidas a uma análise linear
elástica, com uma carga de 100kN e os resultados obtidos são apresentados nas
figuras a seguir. As figuras apresentadas a seguir, mostram os resultados obtidos.
Apenas metade das vigas foi plotada, tendo em vista que todas elas são simétricas.
Figura 39 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises
para a viga celular biapoiada com enrijecedor submetida a análise não linear.
Viga Celular - Tensão máxima: 314,8 MPa.
66
Figura 40 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises
para as vigas otimizadas biapoiadas com enrijecedores submetidas a análise não
linear.
(a) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada – Tensão máxima: 174,6 MPa.
(b) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria – Tensão
máxima: 144,5 MPa
(c) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada submetida à condição de contorno
biapoiada – Tensão máxima: 298,8 MPa.
(d) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de simetria submetida à
condição de contorno biapoiada– Tensão máxima: 316,8 MPa.
67
Na tabela apresentada a seguir é feito um resumo dos resultados obtidos para
as tensões de von Mises e deslocamentos no meio do vão para cada viga. Desta
forma, abaixo são apresentados os resultados obtidos:
Tabela 9 – Resultados obtidos para a tensão de von Mises para as vigas com
o uso de enrijecedores.
Viga Máxima Tensão de
von Mises Deslocamento máximo no meio do vão (mm)
Celular 314,8 12,93
Otimizada para a condição de contorno biapoiada (VBA)
174,6 11,01
Otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição
de simetria (VBAS) 144,5 10,92
Otimizada para a condição de contorno biengastada (VBE)
298,8 12,17
Otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição
de simetria (VBES) 316,8 13,50
Após a análise das vigas enrijecidas submetidas à análise linear elástica é
possível observar a redução da tensão máxima de von Mises em algumas vigas,
quando comparadas as vigas sem enrijecedores. Tal redução está diretamente
associada ao local da concentração de tensões observado em cada viga. Nas vigas
otimizadas para a condição de contorno biengastada, a redução foi maior, devido ao
fato de que anteriormente tais vigas apresentavam concentrações de tensões
excessivas na junção da mesa de compressão com a alma da viga.
Na Figura 39 – d fica claro como esta viga, especificamente, ainda apresenta
concentrações de tensão na junção da mesa com a alma da viga na parte central,
entretanto, após a análise é possível perceber que os valores máximos tiveram uma
queda grande após a inserção do enrijecedor na alma das vigas.
Desta forma, após a análise linear elástica as vigas foram então submetidas a
uma análise buckle, disponível na biblioteca do ABAQUS com o objetivo de avaliar a
carga crítica e o modo de flambagem de cada uma das vigas. Os resultados são
apresentados na Figura 41, apresentada a seguir.
68
Figura 41 – Carga crítica e modo de falha para a viga celular com enrijecedor
submetida à condição de contorno biapoiada com enrijecedor.
Viga Celular – Carga crítica: 499,369 kN
Figura 42 – Cargas críticas e modos de flambagem para as vigas otimizadas
com enrijecedor submetidas à condição de contorno biapoiada.
(a) Viga otimizada para a condição de contorno
biapoiada – Carga crítica: 330,259 kN
(b) Viga otimizada para a condição de contorno
biapoiada com restrição de simetria – Carga
crítica: 473,349 kN
(c) Viga otimizada para a condição de contorno
biengastada submetida à condição de contorno
biapoiada – Carga crítica: 233,438 kN
(d) Viga otimizada para a condição de contorno
biengastada com restrição de simetria submetida
à condição de contorno biapoiada – Carga
crítica: 325,268 kN
69
A Tabela 10 mostrada a seguir, apresenta um resumo dos resultados obtidos
para a carga de flambagem das vigas o modo de flambagem de cada uma após a
inserção do enrijecedor.
Tabela 10 – Carga crítica das vigas submetidas à condição de contorno
biapoiada e percentual de aumento da carga crítica com a utilização de
enrijecedores.
Viga Carga crítica (kN) Modo de flambagem
Celular 499,369 Lateral com torção
Otimizada para a condição de contorno biapoiada (VBA)
330,259 Flambagem do pilar da alma
devido à força cisalhante
Otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição
de simetria (VBAS) 473,349 Lateral com torção
Otimizada para a condição de contorno biengastada (VBE)
233,438 Local
Otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição
de simetria (VBES) 325,268 Local
Assim sendo, tanto a viga celular, quanto a viga otimizada para a condição de
contorno biapoiada com restrição de simetria foram as únicas a apresentar modos
de flambagem globais, todas as demais vigas apresentaram modos distintos de
flambagem, porém locais.
Com isso, o Gráfico 3, apresentado a seguir mostra as variações sofridas em
termos de peso e de carga crítica para todas as vigas após a colocação dos
enrijecedores e evidencia os ganhos atribuídos à carga crítica de cada viga com o
uso de enrijecedores. Além disso, é possível perceber que exceto para a viga
otimizada para a condição de contorno biapoiada, os ganhos em relação ao
aumento da carga crítica são bastante consideráveis tendo em vista o pequeno
incremento do peso das vigas.
70
Gráfico 3 – Variação de peso e carga crítica entre as vigas com e sem
enrijecedores submetidas à condição de contorno biapoiada.
Legenda: VBA - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada; VBAS - Viga otimizada para a
condição de contorno biapoiada com restrição de simetria; VBE - viga otimizada para a condição de
contorno biengastada; VBES - viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição
de simetria.
Assim, é possível ver que o uso de enrijecedores gera um aumento
considerável na carga crítica de algumas vigas, chegando a um aumento maior do
que cem por cento na viga otimizada para a condição de contorno biengastada.
Seguindo com o objetivo de avaliar o desempenho estrutural das topologias
obtidas após o processo de otimização, todas as vigas com enrijecedores foram
então submetidas a uma análise não linear completa sob a condição de contorno
biapoiada com uma carga distribuída aplicada ao longo da mesa de compressão da
viga.
Novamente, o mesmo procedimento foi adotado para todas as vigas, inclusive
para as vigas otimizadas para a condição de contorno biengastada. Os resultados
obtidos são apresentados no Gráfico 4.
2,19% 2,25% 2,25% 2,31% 2,32%
21,03%
7,69%
28,92%
116,83%
109,19%
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
140,00%
Viga Celular VBA VBAS VBE VBES
Variação de peso em relação a mesmaviga sem enrijecedor
Aumento da carga crítica em relação amesma viga sem enrijecedor
71
Gráfico 4 – Carga versus deslocamento para as vigas com enrijecedores
submetidas à condição de contorno biapoiada.
Legenda: VBA - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada; VBAS - Viga otimizada para a
condição de contorno biapoiada com restrição de simetria; VBE - viga otimizada para a condição de
contorno biengastada; VBES - viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição
de simetria.
Após a análise não linear das vigas, é possível perceber que apesar da
inserção de um enrijecedor na alma de todas as vigas, as vigas otimizadas para a
condição de contorno biapoiada continuam apresentando um melhor desempenho,
mesmo quando comparadas à viga celular, também com enrijecedor.
Além disso, novamente é possível verificar que as vigas otimizadas para a
condição de contorno biengastada quando submetidas à condição de contorno
biapoiada possuem uma resistência inferior das vigas otimizadas para a condição de
contorno a que estão submetidas nesta análise.
Tal resultado já era esperado, tendo em vista que as vigas otimizadas para a
condição de contorno biengastada tem uma menor resistência ao momento fletor no
meio do vão.
0
50
100
150
200
250
300
350
-50-40-30-20-100
Carg
a A
plicad
a (
kN
)
Deslocamento (mm)
Viga Celular com Enrijecedor
VBA com Enrijecedor
VBAS com Enrijecedor
VBE com Enijecedor
VBES com Enrijecedor
72
Desta forma, mais uma vez foi verificado o mecanismo de falha de cada uma
das vigas, apresentado na Figura 43.
Figura 43 – Mecanismo de falha das vigas com enrijecedores submetidas à
condição de contorno biapoiada.
a) Mecanismo de falha da viga celular – Formação do mecanismo de Vierendeel.
b) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada – Flambagem do
pilar da alma devido a compressão.
c) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de
simetria – Formação de um mecanismo de flexão.
d) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada submetida à
condição de contorno biapoiada – Formação de um mecanismo de flexão.
e) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de
simetria submetida à condição de contorno biapoiada - Formação de um mecanismo de flexão.
Sendo assim, é possível perceber que com a colocação de enrijecedores de
alma em todas as vigas, os modos de falha destas continuam os mesmos,
entretanto é possível observar um grande acréscimo de rigidez em algumas destas.
73
4.5. Análise das vigas submetidas à condição de contorno biengastada.
Como citado em tópicos anteriores, durante o processo de otimização, a viga
foi submetida a duas condições de contorno, sendo uma delas a biengastada. Desta
forma, com o objetivo de avaliar o desempenho estrutural das topologias obtidas
durante este processo, todas as vigas foram submetidas a uma análise linear
elástica sob a condição de contorno biengastada com uma carga distribuída de
100kN aplicada ao longo da mesa superior da viga.
As propriedades do aço das vigas utilizadas foram módulo de Young igual a
210 GPa e coeficiente de Poisson igual a 0,3.
Assim como o procedimento adotado anteriormente, todas as vigas foram
analisadas sob esta condição de contorno inclusive para as vigas otimizadas para a
condição de contorno biapoiada. Os resultados obtidos para a distribuição da tensão
de von Mises são apresentados, nas Figura 44 e Figura 45, a seguir.
Figura 44 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises
para a viga celular biengastada submetida a análise linear elástica.
Viga Celular - Tensão máxima: 282,8 MPa.
74
Figura 45 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises
para as vigas otimizadas submetidas a condição de contorno biengastada.
(a) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada – Tensão máxima: 246.2 MPa.
(b) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de simetria – Tensão
máxima: 405,2 MPa.
(c) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada submetida à condição de contorno
biengastada – Tensão máxima: 166,8 MPa.
(d) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de simetria submetida à
condição de contorno biapoiada– Tensão máxima: 135,3 MPa.
Na Tabela 11 são apresentados os resultados obtidos para a máxima tensão
de von Mises das vigas e também seus respectivos deslocamentos máximos no
meio do vão.
75
Tabela 11 – Resultados obtidos para a máxima tensão de von Mises e
deslocamentos máximos no meio do vão para as vigas submetidas a condição de
contorno biengastada.
Viga Máxima Tensão de von Mises (MPa)
Deslocamento máximo no meio do vão (mm)
Celular 282,8 5,28
Otimizada para a condição de contorno biengastada (VBE)
232,6 4,23
Otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição
de simetria (VBES) 405,2 8,04
Otimizada para a condição de contorno biapoiada (VBA)
166,8 3,43
Otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição
de simetria (VBAS) 135,3 3,26
Desta forma, é possível perceber que novamente as vigas otimizadas para a
condição de contorno biapoiada tiveram um melhor desempenho, que mais uma vez
pode ser associado ao fato de que estas vigas possuem uma topologia adequada
para suportar maiores momentos no meio do vão (Figura 28) e por esse motivo
geram menores concentrações de tensões neste, gerando consequentemente
menores deslocamentos.
Entretanto quando comparadas a viga celular, as vigas otimizadas para a
condição de contorno biengastada, é possível perceber que ambas têm um melhor
desempenho que a viga de referência. Entretanto, fica claro como a viga otimizada
sem qualquer restrição de simetria tem um melhor desempenho. O pior desempenho
apresentado pela viga otimizada para a condição de contorno biengastada com
restrição de simetria é possivelmente acarretado justamente pela restrição inserida
durante o processo de otimização, que impede a procura por uma topologia ótima
dentro de um domínio mais amplo de soluções para a condição de contorno
aplicada.
Ainda com o objetivo de avaliar o desempenho estrutural de todas as vigas
estas foram submetidas a uma análise buckle, disponível na biblioteca do ABAQUS,
para avaliar a carga crítica e o modo de flambagem de cada uma das vigas.
76
Figura 46 – Carga crítica e modo de falha para a viga celular submetida à
condição de contorno biengastada.
Viga Celular – Carga crítica: 520,0 kN
Figura 47 – Cargas críticas e modos de falha para as vigas otimizadas
submetidas à condição de contorno biengastada.
(a) Viga otimizada para a condição de contorno
biengastada – Carga crítica: 303,029 kN
(b) Viga otimizada para a condição de contorno
biengastada com restrição de simetria – Carga
crítica: 423,405 kN
(c) Viga otimizada para a condição de contorno
biapoiada submetida à condição de contorno
biengastada – Carga crítica: 326,662 kN
(d) Viga otimizada para a condição de contorno
biapoiada com restrição de simetria submetida à
condição de contorno biengastada – Carga
crítica: 701,772 kN
77
A Tabela 12, apresentada a seguir resume os valores encontrados para as
cargas críticas das vigas e os modos de flambagem de cada uma delas. Através
desta, fica claro como a viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com
restrição de simetria possui a maior carga crítica quando comparada a todas as
outras vigas. Além disso, também é possível perceber que todas as vigas otimizadas
apresentaram cargas críticas superiores a carga das vigas, estimada inicialmente
como uma carga de 100 kN.
Tabela 12 – Cargas críticas e modos de flambagem das vigas submetidas à
condição de contorno biengastada.
Viga Carga Crítica (kN) Modo de flambagem
Celular 520,00 Local - Flambagem do pilar da alma devido ao cisalhamento
Otimizada para a condição de contorno biengastada (VBE)
303,029 Local - Flambagem do pilar da alma devido ao cisalhamento
Otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição
de simetria (VBES) 423,405 Local
Otimizada para a condição de contorno biapoiada (VBA)
326,661 Local - Flambagem do pilar da alma devido ao cisalhamento
Otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição
de simetria (VBAS) 701,772 Lateral com Torção
Seguindo com o objetivo de avaliar o desempenho estrutural das topologias
obtidas após o processo de otimização, todas as vigas foram então submetidas a
uma análise não linear completa sob a condição de contorno biengastada.
Mais uma vez, o mesmo procedimento foi adotado para todas as vigas,
inclusive para as vigas otimizadas para a condição de contorno biapoiada. Os
resultados obtidos são apresentados no Gráfico 5.
78
Gráfico 5 – Carga versus deslocamento para as vigas submetidas à condição
de contorno biengastada.
Legenda: VBE - viga otimizada para a condição de contorno biengastada; VBES - viga otimizada para
a condição de contorno biengastada com restrição de simetria; VBA - Viga otimizada para a condição
de contorno b apoiada; VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição
de simetria.
Desta forma, é possível perceber que a viga celular apresenta o pior
desempenho, seguida pelas vigas otimizadas para a condição de contorno
biengastada (VBE e VBES) e apresentando o melhor desempenho as vigas
otimizadas para a condição de contorno biapoiada (VBA e VBAS).
Além disso, também é possível perceber que a inserção de uma restrição
geométrica de simetria durante o processo de otimização para a viga biengastada
gerou uma topologia (VBES) com uma resistência ainda maior do que a viga
otimizada sem qualquer restrição de simetria (VBE).
0
100
200
300
400
500
600
-70,00-60,00-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00
Carg
a A
plicad
a (
kN
)
Deslocamento (mm)
Viga Celular
VBE
VBES
VBA
VBAS
79
Desta forma, para entender o mecanismo de funcionamento de cada uma das
vigas foi então analisado o modo de falha de todas elas.
Figura 48 – Mecanismo de falha das vigas submetidas à condição de
contorno biengastada.
a) Mecanismo de falha da viga celular – Formação de um mecanismo de flexão
b) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada – Formação de
um mecanismo de flexão
c) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de
simetria – Formação de um mecanismo de flexão
d) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada submetida à
condição de contorno biengastada – Formação de um mecanismo de flexão
e) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de
simetria submetida à condição de contorno biengastada - Formação de um mecanismo de flexão
Sendo assim, após a avaliação dos modos de falha das vigas é possível
perceber todas as vigas otimizadas falharam devido à formação de um mecanismo
80
de flexão. Tal acontecimento pode estar associado a grande retirada de material da
alma na parte central gerada pelo processo de otimização.
Desta forma, na seção a seguir, será implementado o uso de enrijecedores na
parte central das vigas e novamente o desempenho estrutural de cada uma delas
será avaliado.
4.6. Análise das vigas com enrijecedores sob a condição de contorno
biengastada.
Como visto anteriormente, e como foi feito para as vigas submetidas à
condição de contorno biapoiada, decidiu-se implementar o uso de enrijecedores na
parte central das vigas. Após isso, foi novamente feita uma avaliação do
desempenho estrutural de cada uma delas. Agora submetidas à condição de
contorno biengastada e com o uso de enrijecedores.
Novamente foi feita então uma comparação entre os resultados obtidos para
as vigas com e sem enrijecedores e o desempenho estrutural de cada uma delas.
Sendo assim, todas as vigas foram submetidas a uma análise linear elástica com
uma carga distribuída de 100kN aplicada na mesa de compressão das vigas, onde
foram avaliados os pontos de concentração de tensões e os deslocamentos no meio
do vão de cada uma delas. Os resultados obtidos são apresentados a seguir.
Figura 49 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises
para a viga celular biengastada com enrijecedor submetida a análise linear elástica.
Viga Celular - Tensão máxima: 282,8 MPa.
81
Figura 50 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises
para as vigas otimizadas biengastadas com enrijecedores submetidas a análise não
linear.
(a) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada – Tensão máxima: 227,2 MPa.
(b) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de simetria – Tensão
máxima: 291,7 MPa
(c) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada submetida à condição de contorno
biengastada – Tensão máxima: 166,8 MPa.
(d) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria submetida à
condição de contorno biengastada – Tensão máxima: 135,0 MPa.
82
Após a análise das vigas enrijecidas é possível observar uma pequena
redução da máxima tensão de von Mises em algumas vigas. Tal redução está
diretamente associada ao local da concentração de tensões observado em cada
uma das vigas.
Nas vigas otimizadas para a condição de contorno biengastada, a redução foi
maior, devido ao fato de que anteriormente tais vigas apresentavam concentrações
de tensões na junção da mesa de compressão com a alma da viga e a colocação de
enrijecedores consegue gerar uma redução desta.
Na tabela apresentada a seguir é feito um resumo dos resultados obtidos para
as tensões de von Mises para cada viga e seus deslocamentos no meio do vão.
Tabela 13 – Resultados obtidos para a tensão de von Mises para as vigas
biengastadas com o uso de enrijecedores.
Viga Peso da viga
com enrijecedor (Kg)
Máxima Tensão de von Mises
(MPa)
Deslocamento máximo no meio do
vão (mm)
Celular 174,24 283,8 5,25
Otimizada para a condição de contorno biengastada (VBE)
170,85 227,2 4,07
Otimizada para a condição de contorno biengastada com
restrição de simetria (VBES) 170,25 291,7 5,42
Otimizada para a condição de contorno biapoiada (VBA)
174,10 166,8 3,35
Otimizada para a condição de contorno biapoiada com
restrição de simetria (VBAS) 174,90 135,0 3,13
Assim como observado para a máxima tensão de von Mises em cada viga, é
possível também observar uma pequena redução nos deslocamentos de meio do
vão. Desta forma, no gráfico apresentado a seguir é feita uma comparação entre as
variações de peso, máxima tensão de von Mises e máximo deslocamento no meio
do vão das vigas, antes e após a implementação do uso de enrijecedores.
Após esse procedimento, as vigas foram então submetidas a uma análise
buckle, disponível na biblioteca do ABAQUS. Os resultados são apresentados nas
figuras a seguir.
83
Figura 51 – Carga crítica e modo de falha para a viga celular submetida à
condição de contorno biengastada com enrijecedor.
Viga Celular – Carga crítica: 520,327 kN
Figura 52 – Cargas críticas e modos de flambagem para as vigas otimizadas
submetidas à condição de contorno biengastada.
(a) Viga otimizada para a condição de contorno
biengastada – Carga crítica: 305,163 kN
(b) Viga otimizada para a condição de contorno
biengastada com restrição de simetria – Carga
crítica: 577,497 kN
(c) Viga otimizada para a condição de contorno
biapoiada submetida à condição de contorno
biengastada – Carga crítica: 323,958 kN
(d) Viga otimizada para a condição de contorno
biapoiada com restrição de simetria submetida à
condição de contorno biengastada – Carga
crítica: 714,201 kN
84
Na Tabela 14, apresentada a seguir é possível ver um resumo das cargas
críticas obtidas para todas as vigas e os modos de flambagem de cada uma delas.
Tabela 14 – Carga crítica das vigas submetidas à condição de contorno
biengastada e modo de flambagem.
Viga Carga crítica da viga com Enrijecedor (kN)
Modo de flambagem
Celular 520,327 Flambagem do pilar da alma
devido à força cisalhante
Otimizada para a condição de contorno biengastada (VBE)
305,163 Flambagem do pilar da alma
devido à força cisalhante
Otimizada para a condição de contorno biengastada com
restrição de simetria (VBES) 577,497
Flambagem do pilar da alma devido à força cisalhante
Otimizada para a condição de contorno biapoiada (VBA)
323,958 Flambagem do pilar da alma
devido à força cisalhante
Otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição
de simetria (VBAS) 714,201
Flambagem do pilar da alma devido à força cisalhante
Desta maneira, é possível perceber que a flambagem do pilar da alma devido
à força cisalhante é o modo comum de flambagem a todas estas vigas, este é um
modo de flambagem local, entretanto as vigas apresentaram este modo de
flambagem para cargas críticas bem superiores a carga inicial de projeto proposta
para 100 kN.
Seguindo com o objetivo de avaliar o desempenho estrutural das topologias
obtidas após o processo de otimização, todas as vigas com enrijecedores foram
então submetidas a uma análise não linear completa sob a condição de contorno
biengastada com uma carga distribuída aplicada ao longo da mesa superior da viga.
O mesmo procedimento foi adotado para todas as vigas, inclusive para as vigas
otimizadas para a condição de contorno biapoiada.
As propriedades do aço das vigas utilizadas foram as mesmas utilizadas em
todas as análises anteriores, módulo de Young igual a 210 GPa, coeficiente de
Poisson igual a 0,3 e tensão de escoamento igual a 355 MPa. Os resultados obtidos
são apresentados no gráfico a seguir.
85
Gráfico 6 – Carga versus Deslocamento para as vigas com enrijecedores
submetidas à condição de contorno biengastada.
Legenda: VBE - viga otimizada para a condição de contorno biengastada; VBES - viga otimizada para
a condição de contorno biengastada com restrição de simetria; VBA - Viga otimizada para a condição
de contorno biapoiada; VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição
de simetria.
Após a análise não linear das vigas, é possível perceber que apesar da
inserção de um enrijecedor na alma de todas as vigas, as vigas otimizadas, para
ambas as condições de contorno apresentam uma maior resistência quando
comparadas a viga de celular.
Além disso, novamente é possível verificar que as vigas otimizadas para a
condição de contorno biapoiada (VBA e VBAS) possuem um ótimo desempenho
mesmo quando submetidas a uma condição de contorno diferente da que foram
otimizadas.
Desta forma, mais uma vez foi verificado o mecanismo de falha de cada uma
das vigas, apresentado na Figura 53Figura 43.
0
100
200
300
400
500
600
-100,00-90,00-80,00-70,00-60,00-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00
Carg
a A
plicad
a (
kN
)
Deslocamento (mm)
Viga Celular
VBE
VBES
VBA
VBAS
86
Figura 53 – Mecanismo de falha das vigas com enrijecedores submetidas à
condição de contorno biengastada.
a) Mecanismo de falha da viga celular – Formação de um mecanismo de flexão.
b) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada – Formação de
um mecanismo de flexão.
c) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de
simetria – Formação de um mecanismo de flexão.
d) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada submetida à
condição de contorno biengastada – Formação de um mecanismo de flexão.
e) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de
simetria submetida à condição de contorno biapoiada - Formação de um mecanismo de flexão.
Assim, é possível perceber que com a colocação de enrijecedores de alma
em todas as vigas, os modos de falha das destas continuam os mesmos, entretanto
é possível observar um grande acréscimo de rigidez em algumas destas conforme
mostra o Gráfico 6.
Desta forma, através do Gráfico 6, fica ainda mais claro como todas as vigas
otimizadas são mais resistentes do que a viga celular, além disso, fica claro como,
com o uso do enrijecedor, as vigas com restrição de simetria têm um comportamento
melhor do que as que foram otimizadas sem esta restrição.
87
5. DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO APROXIMADO
Com o objetivo de facilitar a produção das vigas otimizadas encontradas
durante o processo apresentado neste estudo, a topologia da viga otimizada para a
condição de contorno biapoiada com restrição de simetria foi aproximada para uma
topologia que irá ser apresentada a seguir.
Tal viga foi escolhida tendo em vista o seu desempenho em todas as análises
apresentadas no capítulo 4 desta dissertação. Desta forma, a fim de gerar uma
topologia aproximada para a viga, a espessura de todas as barras que formam a
viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria foi
medida, conforme mostra a Figura 54. O comando “Distance” do ABAQUS foi
utilizado e espessura de todas as barras foi medida.
Figura 54 – Processo de medição da espessura das barras da viga no
ABAQUS.
Sendo assim, a espessura de todas as barras foi medida, conforme mostra a
Figura 55. As barras marcadas na parte superior do desenho foram definidas como
“positivas” e as barras inferiores foram definidas como “negativas” e uma média da
espessura das barras foi calculada.
88
Figura 55 – Pontos onde a espessura das barras foi medida.
O mesmo processo foi adotado para medir os ângulos de inclinação de todas
as barras, onde o comando “Angle” do ABAQUS foi utilizado.
Desta forma, a tabela a seguir mostra as espessuras e os ângulos das barras
medidos conforme o processo citado anteriormente.
Tabela 15 – Espessuras e ângulos das barras medidos no ABAQUS.
Negativas
Positivas
Espessura Ângulo
Espessura Ângulo
73,893 44,343
58,234 47,429
73,893 44,343
54,720 46,437
60,359 40,055
47,174 55,310
54,749 32,633
54,048 44,303
50,081 35,769
50,081 35,769
42,775 43,803
42,861 43,803
33,607 44,316
33,613 44,309
Média: 55,623 40,752
Média: 48,676 45,337
Sendo assim, com o objetivo de facilitar o processo de fabricação das vigas,
tomando como base o valor obtido para a média dos ângulos medidos e a facilitação
do processo de fabricação das vigas todos os ângulos foram aproximados para 45°
e todas as espessuras das barras foram aproximadas para 50, 60 e 70mm, gerando
assim três vigas, tendo apenas a espessura das barras como diferença entre si.
Levando-se em consideração ainda a topologia obtida para a viga sob a
condição de contorno biapoiada com restrição de simetria, todos os cantos foram
transformados em cantos arredondados, com raios de 10mm para os furos inferiores
Pontos de medição da espessura das barras “negativas”
Pontos de medição da espessura das barras negativas
89
e superiores e de 20mm para os losangos. As dimensões da viga aproximada são
apresentadas na Figura 56.
Figura 56 – Dimensões da topologia aproximada obtida para a viga com barras de 50 mm.
Além disso, baseado ainda na topologia obtida durante o processo de
otimização, foram adotados um total de sete furos centrais, assim como na topologia
da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria
90
(VBAS), com formato de losango. As topologias finais obtidas são apresentadas na
Figura 58.
Figura 57 – Topologia obtida durante o processo de otimização para a viga
sob a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria.
Figura 58 – Topologia aproximada obtida para as vigas com barras de 50, 60
e 70 mm.
a) Topologia obitida para a viga aproximada com barras de 50mm.
b) Topologia obitida para a viga aproximada com barras de 60mm.
c) Topologia obitida para a viga aproximada com barras de 70mm.
5.1. Análise das vigas com topologia aproximada e comparação com os
resultados obtidos para as outras vigas.
Após o desenvolvimento do modelo de elementos finitos das vigas com
topologia aproximada, estas foram então submetidas à análise linear elástica, de
autovalores e à análise não linear completa com o objetivo de avaliar desempenho e
o comportamento estrutural de cada uma delas.
As propriedades do aço utilizadas para a análise destas vigas foram as
mesmas utilizadas para todas as análises anteriores, sendo estas, módulo de Young
igual a 210 GPa e coeficiente de Poisson igual a 0,3.
A Tabela 16, apresentada a seguir, mostra o volume de cada viga obtida,
além do peso de cada uma e número de elementos finitos utilizados para discretizar
cada uma das vigas, bem como volume, peso e número de elementos finitos
91
utilizados para as vigas celular e otimizada para a condição de contorno biapoiada
com restrição de simetria (VBAS). Todas as vigas foram discretizadas com uma
malha de elementos finitos triangulares do tipo S3, disponível na biblioteca do
ABAQUS, de aproximadamente 20 mm.
Tabela 16 – Volume, peso e número de elementos finitos utilizados na malha
das vigas aproximadas modeladas.
Viga Volume (mm³) Peso (Kg) Número de
elementos da malha
Viga Celular 21721612 170,51 13694
VBAS 21790630 171,06 13620
VTA com barras de 50 mm 21113320 165,74 13954
VTA com barras de 60 mm 21487986 168,68 13588
VTA com barras de 70 mm 21849246 171,52 13972
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
Assim, é possível ver como a variação de volume entre a viga celular e a viga
otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) é
pequena, o que também ocorre quando esta é comparada à viga com barras de 70
mm. O número de elementos utilizados para discretizar a malha de todas as vigas
também é aproximadamente o mesmo.
Desta forma, as vigas foram primeiramente submetidas à análise linear
elástica, com o objetivo avaliar suas concentrações de tensão e deslocamentos
máximos no meio do vão. O resultado obtido para a análise de cada viga submetida
à condição de contorno biapoiada com uma carga distribuída equivalente a 100 kN
aplicada na mesa superior é apresentado na Figura 59 e na
Figura 60 a seguir. No caso das tensões de von Mises apenas metade das
vigas foi plotada tendo em vista sua simetria.
92
Figura 59 – Distribuição de tensão de von Mises para as vigas aproximadas
submetidas a análise linear elástica com condição de contorno biapoiada.
a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Tensão máxima: 204,1 MPa
b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Tensão máxima: 173,6 MPa
c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Tensão máxima: 164,9 MPa
Figura 60 – Deslocamento máximo no meio do vão das vigas com topologia
aproximada, submetidas à análise linear elástica com condição de contorno
biapoiada.
a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Deslocamento máximo no meio do vão 11,59 mm
b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Deslocamento máximo no meio do vão 11,28 mm
c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Deslocamento máximo no meio do vão 11,08 mm
Após esse procedimento as vigas foram então submetidas à análise buckle,
que estima os modos de flambagem e a carga crítica. Os resultados obtidos são
apresentados na Figura 61.
93
Figura 61 – Modo de flambagem das vigas com topologia aproximada.
a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Carga crítica: 350,956 kN
b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Carga crítica: 378,376 kN
c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Carga crítica: 409,516 kN
Na Tabela 17 e na Tabela 18, apresentadas abaixo, é feita uma comparação
com os resultados obtidos anteriormente tanto para a viga celular quanto para a viga
otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria.
94
Tabela 17 – Comparação dos resultados obtidos na análise linear elástica
para a viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição
de simetria e com topologia aproximada.
Viga Deslocamento
máximo no meio do vão (mm)
Máxima tensão de von Mises (MPa)
Viga Celular 12,96 314,8
VBAS 10,96 150,7
VTA com barras de 50 mm 11,59 204,1
VTA com barras de 60 mm 11,28 173,6
VTA com barras de 70 mm 11,08 164,9
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
Tabela 18 – Comparação dos resultados obtidos na análise de autovalores e
auto vetores para a viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada
com restrição de simetria e com topologia aproximada.
Viga Carga crítica (kN) Modo de flambagem
Viga Celular 412,587 Lateral com torção
VBAS 367,168 Lateral com torção
VTA com barras de 50 mm 350,956 Lateral com torção
VTA com barras de 60 mm 378,136 Lateral com torção
VTA com barras de 70 mm 409,516 Lateral com torção
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
Através dos resultados apresentados nas Tabela 17 e Tabela 18, fica claro
como o desempenho da viga com topologia aproximada é inferior ao desempenho
da viga otimizada original; entretanto, a viga com topologia aproximada, para
qualquer uma das espessuras das barras, apresenta menores concentrações de
95
tensões e menores deslocamentos quando comparada à viga celular submetida às
mesmas condições.
Após este processo, as vigas aproximadas foram então submetidas à análise
não linear completa e os resultados são apresentados no gráfico abaixo, juntamente
com os gráficos obtidos anteriormente para a viga celular e otimizada para a
condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS).
Gráfico 7 – Curvas carga versus deslocamento das vigas com topologia
aproximada submetidas a condição de contorno biapoiada.
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
Através do gráfico obtido com a análise linear completa fica claro como o
desempenho das vigas com topologia aproximada é superior ao da viga celular.
Contudo, também é possível observar que as vigas com topologia aproximada
com barras de 50 e 60 mm apresentaram ruptura frágil, evidenciada pela variação
0
50
100
150
200
250
300
350
-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00
Carg
a A
plicad
a (
kN
)
Deslocamento (mm)
Viga Celular
VBAS
VTA com barras de espessura 50mm
VTA com barras de espessura 60mm
VTA com barras de espessura 70mm
96
brusca de carga após o processo de plastificação, e um desempenho inferior ao da
viga obtida através do processo de otimização.
Apesar disto, a viga com topologia aproximada com barras de espessura de
70 mm apresentou um ótimo desempenho, extremamente próximo ao da viga obtida
pelo processo de otimização. O mecanismo de falha de cada uma das vigas é
apresentado na Figura 62.
Figura 62 – Mecanismo de falha das vigas com topologia aproximada,
submetidas à condição de contorno biapoiada.
a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Formação de um mecanismo de Vierendeel.
b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Formação de um mecanismo de Vierendeel.
c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Formação de um mecanismo de flexão.
Após a obtenção dos resultados, as vigas foram então avaliadas quanto ao
seu desempenho estrutural com o uso de enrijecedores e submetidas à análise
linear elástica.
Os resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises são
apresentados na Figura 63. Apenas metade da viga foi plotada, levando em
consideração sua simetria.
97
Figura 63 – Distribuição da tensão de von Mises para a viga com topologia
aproximada com enrijecedor submetida a condição de contorno biapoiada.
a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Máxima tensão de von Mises: 204,1 MPa
b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Máxima tensão de von Mises: 172,5 MPa
c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Máxima tensão de von Mises: 164,9 MPa
Desta forma, é apresentado abaixo, na Tabela 19, uma comparação com os
resultados obtidos anteriormente tanto para a viga celular quanto para a viga
otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria
utilizando enrijecedores.
Tabela 19 – Comparação dos resultados obtidos na análise linear elástica
para a viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição
de simetria e com topologia aproximada com o uso de enrijecedores.
Viga Deslocamento
máximo no meio do vão (mm)
Máxima tensão de von Mises (MPa)
Viga Celular 12,93 314,8
VBAS 10,92 144,5
VTA com barras de 50 mm 11,47 204,1
VTA com barras de 60 mm 11,17 172,5
VTA com barras de 70 mm 11,04 164,9
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
98
As vigas com enrijecedores foram então submetidas à análise de autovalores
e auto vetores. Os resultados obtidos para a carga crítica e modo de flambagem são
apresentados na Figura 64.
Figura 64 – Modo de flambagem e carga crítica das vigas com topologia
aproximada com o uso de enrijecedor submetidas à condição de contorno biapoiada.
a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Carga crítica: 423,444 kN
b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Carga crítica: 482,593 kN
c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Carga crítica: 499,208 kN
Desta forma, na Tabela 20, é apresentada uma comparação com os
resultados obtidos anteriormente tanto para a viga celular quanto para a viga
otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria
utilizando enrijecedores.
99
Tabela 20 – Comparação dos resultados obtidos na análise de autovalores e
auto vetores para a viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada
com restrição de simetria e com topologia aproximada com o uso de enrijecedores.
Viga Carga crítica
(kN) Modo de flambagem
Viga Celular 499,369 Lateral com torção
VBAS 473,349 Lateral com torção
VTA com barras de 50 mm 423,444 Lateral com torção + Flambagem do
pilar da alma devido à força cisalhante
VTA com barras de 60 mm 482,593 Lateral com Torção
VTA com barras de 70 mm 499,208 Lateral com Torção
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
Mais uma vez, o desempenho de todas as vigas com topologia aproximada foi
intermediário, apresentando menores concentrações de tensão do que a viga
celular, entretanto superiores à máxima tensão encontrada na viga obtida pelo
processo de otimização.
É possível ainda perceber como a viga com topologia aproximada com barras
de 50 mm possui um desempenho inferior em termos de carga crítica. Contudo, o
desempenho das vigas com topologia aproximada com barras de 60 e 70 mm foi
bem próximo ao desempenho obtido pela viga celular de referência e da viga obtida
pelo processo de otimização.
Sendo assim, a viga com enrijecedor foi então submetida à análise não linear
completa, cujo resultado é apresentado no gráfico abaixo, juntamente com os
gráficos obtidos anteriormente para a viga celular e otimizada para a condição de
contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) também com o uso de
enrijecedores.
100
Gráfico 8 – Curva carga versus deslocamento das vigas com topologia
aproximada com enrijecedor submetidas a condição de contorno biapoiada.
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
Assim, mais uma vez fica claro como o comportamento das vigas com
topologia aproximada com barras de 50 e 60 mm apresentou uma ruptura brusca
após o processo de plastificação da viga, mesmo sendo estas mais rígidas que a
viga celular.
Apesar disso, a viga otimizada com barras de 60 mm apresentou a ruptura
num ponto próximo ao da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com
restrição de simetria, em termos de deslocamento. Assim como a ruptura da viga
com topologia aproximada com barras de 50 mm ocorreu em um ponto próximo ao
da viga com barras de 70 mm, também em termos de deslocamento.
Além disso, novamente o comportamento da viga com topologia aproximada
com barras de 70 mm foi muito próximo ao comportamento da viga otimizada para
condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS), obtida
diretamente do processo de otimização.
O modo de falha das vigas com topologias aproximadas após a colocação do
enrijecedor é apresentado na Figura 65, a seguir.
0
50
100
150
200
250
300
350
-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00
Carg
a A
plicad
a (
kN
)
Deslocamento (mm)
Viga Celular
VBAS
VTA com barras de 50mm
VTA com barras de 60mm
VTA com barras de 70mm
101
Figura 65 – Mecanismo de falha da viga com topologia aproximada com
enrijecedor, submetidas à condição de contorno biapoiada.
a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Formação de um mecanismo de Vierendeel.
b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Formação de um mecanismo de Vierendeel.
c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Formação de um mecanismo de flexão.
Assim sendo, após a conclusão das análises das vigas submetidas à
condição de contorno biapoiada as vigas foram então submetidas à análise linear
elástica com a condição de contorno biengastada. Os resultados obtidos para
distribuição da tensão de von Mises são apresentados a seguir.
Figura 66 – Distribuição de tensão de von Mises para a análise linear elástica
da viga com topologia aproximada submetida a condição de contorno biengastada.
a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Máxima tensão de von Mises: 204,7 MPa
b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Máxima tensão de von Mises: 174,6 MPa
c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Máxima tensão de von Mises: 172,3 MPa
102
As vigas foram então submetidas à análise de autovalores e auto vetores com
a condição de contorno biengastada. Os resultados obtidos para a carga crítica e
modo de flambagem são apresentados na Figura 67.
Figura 67 – Modo de flambagem e carga crítica das vigas com topologia
aproximada, submetidas à condição de contorno biapoiada.
a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Carga crítica: 425,283 kN
b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Carga crítica: 522,856 kN
c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Carga crítica: 603,875 kN
Desta forma, são apresentados, nas Tabela 21 e Tabela 22, uma comparação
com os resultados obtidos anteriormente tanto para a viga celular quanto para a viga
otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS),
submetidas à condição de contorno biengastada.
103
Tabela 21 – Comparação dos resultados obtidos na análise linear elástica
para a viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição
de simetria e com topologia aproximada, submetidas à condição de contorno
biengastada.
Viga Deslocamento
máximo no meio do vão (mm)
Máxima tensão de von Mises (MPa)
Viga Celular 5,28 282,8
VBAS 3,26 135,3
VTA com barras de 50 mm 3,97 204,7
VTA com barras de 60 mm 3,51 174,6
VTA com barras de 70 mm 3,33 172,3
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
Tabela 22 – Comparação dos resultados obtidos na análise de autovalores e
auto vetores para a viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada
com restrição de simetria e com topologia aproximada, submetidas à condição de
contorno biengastada.
Viga Carga crítica
(kN) Modo de flambagem
Viga Celular 520,00 Flambagem do pilar da alma
devido à força cisalhante
VBAS 701,77 Lateral com torção
VTA com barras de 50 mm 425,283 Flambagem do pilar da alma
devido à força cisalhante
VTA com barras de 60 mm 522,856 Flambagem do pilar da alma
devido à força cisalhante
VTA com barras de 70 mm 603,875 Flambagem do pilar da alma
devido à força cisalhante
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
104
Através dos resultados apresentados anteriormente, é possível perceber que
as vigas com topologia aproximada apresentaram desempenhos inferiores em
termos de carga crítica, quando comparadas a viga obtida pelo processo de
otimização. O mesmo ocorre em termos de concentração de tensões e
deslocamentos, na análise linear elástica. Contudo, o resultado das vigas com
topologia aproximada com barras de 70 mm tanto para análise linear elástica quanto
para a análise de autovalores e autovetores é bastante satisfatório quando
comparado ao resultado obtido para a viga celular.
A viga, agora biengastada foi então submetida à análise não linear completa.
O resultado desta análise é apresentado no gráfico a seguir.
Gráfico 9 – Curva carga versus deslocamento das vigas com topologia
aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada.
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
O modo de falha de cada uma das vigas com topologia aproximada,
submetida à condição de contorno biengastada é apresentado na Figura 68.
0
100
200
300
400
500
600
-70,00-60,00-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00
Carg
a A
plicad
a (
kN
)
Deslocamento (mm)
Viga Celular
VBAS
VTA com barras de 50mm
VTA com barras de 60mm
VTA com barras de 70mm
105
Figura 68 – Modo de falha das vigas com topologia aproximada, submetidas à
condição de contorno biengastada.
a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Formação de um mecanismo de flexão.
b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Formação de um mecanismo de flexão.
c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Formação de um mecanismo de flexão.
Desta maneira, para completar a série de análises a que foram submetidas às
vigas com topologia aproximada, estas foram então submetidas à análise linear
elástica, de autovalores e autovetores e não linear completa com a condição de
contorno biengastada e com o uso de um enrijecedor. Os resultados obtidos para
distribuição da tensão de von Mises são apresentados na Figura 69.
Figura 69 – Distribuição de tensão de von Mises das vigas com topologia
aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada com enrijecedor.
a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Tensão máxima: 204,7 MPa
b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Tensão máxima: 174,6 MPa
c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Tensão máxima: 177,2 MPa
106
As vigas foram então submetidas à análise de autovalores e autovetores com
a condição de contorno biengastada e com enrijecedor. Os resultados obtidos para a
carga crítica e modo de flambagem das vigas é apresentado na Figura 70.
Figura 70 – Modo de flambagem das vigas com topologia aproximada,
submetidas à condição de contorno biengastada com enrijecedor.
a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Carga crítica: 425,683kN
b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Carga crítica: 522,856 kN
c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Carga crítica: 604,473 kN
Na Tabela 23 é apresentada uma comparação com os resultados obtidos
anteriormente tanto para a viga celular quanto para a viga otimizada para a condição
de contorno apoiada com restrição de simetria utilizando enrijecedores.
107
Tabela 23 – Comparação dos resultados obtidos na análise linear elástica
para a viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição
de simetria e com topologia aproximada, submetidas à condição de contorno
biengastada com enrijecedor.
Viga Deslocamento
máximo no meio do vão (mm)
Máxima tensão de von Mises (MPa)
Viga Celular 5,25 282,8
VBAS 3,13 135,0
VTA com barras de 50 mm 3,69 204,7
VTA com barras de 60 mm 3,41 174,6
VTA com barras de 70 mm 3,30 177,2
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
Tabela 24 – Comparação dos resultados obtidos na análise de autovalores e
autovetores para a viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada
com restrição de simetria e com topologia aproximada, submetidas à condição de
contorno biengastada.
Viga Carga crítica
(kN) Modo de flambagem
Viga Celular 520,327 Flambagem do pilar da alma
devido à força cisalhante
VBAS 714,201 Flambagem do pilar da alma
devido à força cisalhante
VTA com barras de 50 mm 425,683 Flambagem do pilar da alma
devido à força cisalhante
VTA com barras de 60 mm 522,856 Flambagem do pilar da alma
devido à força cisalhante
VTA com barras de 70 mm 604,473 Flambagem do pilar da alma
devido à força cisalhante
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
108
Mais uma vez as vigas com topologia aproximada foram então submetidas à
análise não linear completa, agora sob a condição de contorno biengastada e com
enrijecedores. Os resultados obtidos são apresentados no gráfico a seguir.
Gráfico 10 – Curva carga versus deslocamento das vigas com topologia
aproximada, submetida à condição de contorno biengastada com enrijecedor.
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
O modo de falha das vigas com topologia aproximada após a colocação do
enrijecedor é apresentado na Figura 71, apresentada a seguir.
0
100
200
300
400
500
600
-70,00-60,00-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00
Carg
a A
plicad
a (
kN
)
Deslocamento (mm)
Viga Celular
VBAS
VTA com barras de 50mm
VTA com barras de 60mm
VTA com barras de 70mm
109
Figura 71 – Mecanismo de falha das vigas com topologia aproximada,
submetidas à condição de contorno biengastada com enrijecedor.
a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Formação de um mecanismo de flexão.
b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Formação de um mecanismo de Vierendeel.
c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Formação de um mecanismo de flexão.
Após todas as análises realizadas com as vigas com topologia aproximada,
ficou claro como apenas a viga com barras de espessura de 70 mm apresentou um
bom desempenho em todos os casos, desempenho ainda inferior ao da viga obtida
através do processo de otimização, contudo bastante superior ao da viga celular de
referência em todos os casos aqui analisados.
5.2. Análise das vigas considerando as imperfeições iniciais
As imperfeições geométricas iniciais são encontradas em elementos de aço
estrutural como resultado do processo de fabricação, como já dito anteriormente.
Desta forma, buscando obter resultados mais próximos da realidade, as
imperfeições iniciais foram então inseridas nas análises das vigas celular, otimizada
para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria e para as vigas
com topologia aproximada.
Sendo assim, após os modelos das vigas terem sido submetidos à análise de
autovalor que estima os modos de flambagem e as cargas críticas, as vigas foram
então submetidas a uma análise não linear com imperfeições de 0,1% do tamanho
das vigas, assim como foi feito no Capítulo 2, ou seja, 5 mm.
110
Os resultados obtidos para todas as vigas serão apresentados nos gráficos a
seguir.
Gráfico 11 – Curvas carga versus deslocamento das vigas celular, otimizada
para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) e com
topologia aproximada (VTA), submetidas a condição de contorno biapoiada com
imperfeição de 5 mm.
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
Como é possível perceber através do Gráfico 11, o desempenho das vigas
com topologia aproximada com barras de 50 e de 60 mm não foi satisfatório: ambas
as vigas apresentaram ruptura frágil quando ainda trabalhavam na região elástica.
Entretanto o desempenho da viga obtida pelo processo de otimização (VBAS) e da
viga com topologia aproximada com barras de 70 mm foi bastante superior ao da
viga celular de referência.
0
50
100
150
200
250
300
-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00
Carg
a A
plicad
a (
kN
)
Deslocamento (mm)
Viga Celular
VBAS
VTA com barras de 50mm
VTA com barras de 60mm
VTA com barras de 70mm
111
Gráfico 12 – Curvas carga versus deslocamento das vigas celular, otimizada
para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) e com
topologia aproximada (VTA), submetidas à condição de contorno biapoiada com
enrijecedor e com imperfeição de 5 mm.
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
Mais uma vez, semelhante ao que ocorreu para a análise das vigas sem
enrijecedor as vigas com topologia aproximada com barras de 50 e de 60 mm
romperam antes de começar a trabalhar no regime plástico. Entretanto o
desempenho da viga com topologia aproximada com barras de 70 mm foi superior
ao da viga celular e bem próximo ao desempenho da viga otimizada para condição
de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS).
0
50
100
150
200
250
300
350
-80,00-70,00-60,00-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00
Carg
a A
plicad
a (
kN
)
Deslocamento (mm)
Viga Celular
VBAS
VTA com barras de 50mm
VTA com barras de 60mm
VTA com barras de 70mm
112
Gráfico 13 – Curvas carga versus deslocamento das vigas celular, otimizada
para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) e com
topologia aproximada (VTA), submetidas à condição de contorno biengastada com
imperfeição de 5mm.
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
No caso das vigas submetidas à condição de contorno biengastada, as vigas
com topologia aproximada com barras de 50 e 60 mm deixaram de apresentar
ruptura frágil ainda na parte elástica. Entretanto o desempenho da viga com
topologia aproximada com barras de 70 mm apesar de se mostrar superior ao da
viga celular de referência, se mostrou ligeiramente inferior ao da viga obtida pelo
processo de otimização.
0
50
100
150
200
250
300
350
-20,00-10,000,00
Carg
a A
plicad
a (
kN
)
Deslocamento (mm)
Viga Celular
VBAS
VTA com barras de 50mm
VTA com barras de 60mm
VTA com barras de 70mm
113
Gráfico 14 – Curvas carga versus deslocamento das vigas celular, otimizada
para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) e com
topologia aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada com
enrijecedor e com imperfeição de 5 mm.
Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;
VTA – Viga com topologia aproximada.
Assim como ocorreu para as análises das vigas sem o uso de enrijecedores,
as vigas com topologia aproximada com barras de 50 e 60 mm também não
apresentaram ruptura frágil ainda na parte elástica. Entretanto, mais uma vez o
desempenho da viga com topologia aproximada com barras de 70 mm apesar de se
mostrar bastante superior ao da viga celular de referência, se mostrou ligeiramente
inferior ao da viga obtida pelo processo de otimização.
0
50
100
150
200
250
300
-20,00-10,000,00
Carg
a A
plicad
a (
kN
)
Deslocamento (mm)
Viga Celular
VBAS com Enrijecedor
VTA com barras de 50mm
VTA com barras de 60mm
VTA com barras de 70mm
114
CONCLUSÃO
Foram apresentados neste trabalho os resultados obtidos para a otimização
topológica de vigas perfuradas, obtidas através do método SIMP de otimização,
realizado no software ABAQUS. As vigas obtidas através do processo de otimização
foram então submetidas à análise linear elástica, de autovalores e autovetores e não
linear completa. Tal procedimento foi adotado para as vigas submetidas à condição
de contorno biapoiada com e sem o uso de enrijecedores e biengastada, com e sem
o uso de enrijecedores.
Discussão dos resultados
No caso da análise linear para as vigas submetidas à condição de contorno
biapoiada, a viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de
simetria (VBAS) foi a que apresentou o melhor desempenho, com menores
concentrações de tensão e um menor deslocamento no meio do vão, quando
comparada a todas as outras. Já no caso da análise buckle também realizada para
as vigas submetidas à condição de contorno biapoiada, a viga celular apresentou a
maior carga crítica, entretanto as vigas otimizadas para a condição de contorno
biapoiada (VBA e VBAS) também apresentaram um bom desempenho. Para a
análise não linear completa, ambas as vigas otimizadas para a condição de contorno
biapoiada (VBA e VBAS) apresentaram um bom desempenho, sendo a viga
otimizada sem restrição de simetria (VBA) a que apresentou um desempenho
melhor.
As mesmas conclusões podem ser estendidas para as vigas submetidas à
condição de contorno biapoiada com o uso de enrijecedores. A viga otimizada
(VBAS) apresentou as menores concentrações de tensões na análise linear elástica,
a viga celular apresentou a maior carga crítica, seguida pelas vigas otimizadas para
a condição de contorno biapoiadas (VBA e VBAS), e, para a análise não linear
completa, as vigas otimizadas para a condição de contorno biapoiada (VBA e VBAS)
apresentaram também o melhor desempenho.
115
No caso das vigas submetidas à condição de contorno biengastada, a viga
otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS)
apresentou o melhor desempenho para todas as análises, apresentando menores
concentrações de tensão, além de apresentar a maior carga crítica e o melhor
desempenho na análise não linear completa.
Além disso, o mesmo acontece quando as vigas são submetidas à condição
de contorno biengastada com o uso de enrijecedores. A viga otimizada para a
condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) apresenta um
desempenho superior em todas as análises quando comparada a todas as outras
vigas.
Já a viga modelada a partir da viga otimizada para a condição de contorno
biapoiada com restrição de simetria, chamada no trabalho de viga com topologia
aproximada (VTA), apresentou resultados superiores aos obtidos para a viga celular
em termos de concentração de tensões em todos os casos, ou seja, para as vigas
com barras de 50, 60 e 70 mm.
Para as análises com imperfeições, a viga com topologia aproximada com
barras de 70 mm apresentou resultados muito próximos ao da viga otimizada para a
condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) nas análises em
que as vigas também estavam submetidas à condição de contorno biapoiada.
Entretanto, quando submetida à condição de contorno biengastada, a viga com
topologia aproximada (VTA) com barras de 70 mm apresentou resultados
ligeiramente inferiores aos da viga obtida através do processo de otimização,
contudo em ambos os casos os resultados obtidos foram superiores aos alcançados
pela viga celular de referência.
Considerações finais
Através do estudo realizado foi possível ver como a otimização topológica
pode gerar resultados bastante satisfatórios para as vigas perfuradas; a comparação
com a viga celular realizada neste estudo mostrou que, apesar de terem pesos muito
próximos, a viga otimizada (VBAS) se mostrou mais rígida e apresentou menores
concentrações de tensões.
116
Foram realizadas diversas análises com o objetivo de demonstrar a eficiência
das estruturas obtidas, com diferentes condições de contorno, com e sem
enrijecedores, com e sem imperfeições iniciais. Somente na análise de autovalores e
autovetores (cargas e modos críticos), as vigas otimizadas apresentaram resultados
ligeiramente inferiores à viga de referência, mas deve-se levar em conta que não
foram utilizadas restrições nos parâmetros de instabilidade durante o processo de
otimização.
Além disso, ficou claro como é possível obter uma viga com topologia próxima
à da viga obtida pelo processo de otimização que apresentou o melhor desempenho,
ou seja, a viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de
simetria (VBAS), com uma topologia mais simples de ser fabricada e ainda assim
obter ótimos resultados em termos de concentração de tensões e rigidez, quando
comparados aos mesmos resultados obtidos para a viga celular de referência.
Sugestões para trabalhos futuros
Como citado anteriormente, a otimização estrutural faz parte de uma gama de
pesquisas recentes, fazendo então com que exista ainda uma grande possibilidade
de estudos a serem feitos sobre o assunto, principalmente nos trabalhos
relacionados à otimização de vigas com abertura na alma.
Assim sendo, algumas extensões desse estudo são listadas a seguir:
- Extensão da análise utilizada como base no processo de otimização para
consideração de não linearidades do material ou geométricas.
- Desenvolvimento de análises comparativas que levem em consideração as
tensões residuais.
- Considerar restrições de frequências naturais de vibração e cargas críticas;
- Estender o estudo para vigas mistas.
- Desenvolvimento de um modelo capaz de simular as condições de contorno
utilizadas na aplicação destas vigas, como a modelagem das chapas de ligação.
- Realizar estudos mais amplos sobre o modelo proposto, de maneira a
possibilitar uma fácil aplicação em projetos estruturais.
117
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