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CIRCUITOS RESSONANTES 1
CEFET-MG
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
PRÁTICA DE LABORATÓRIO DE TELECOMUNICAÇÕES
PROF: WANDER RODRIGUES - 3o e 4o MÓDULOS DE ELETRÔNICA - 2003
EXPERIÊNCIA No 2
TÍTULO: CIRCUITOS RESSONANTES
Os circuitos que apresentam uma variação marcante em suas caracterís-
ticas de resposta sobre uma faixa de freqüência são chamados de circuitos sintoni-
zados ou circuitos ressonantes, e esse fenômeno é conhecido como ressonância.
Os circuitos sintonizados são usualmente utilizados em todas as situa-
ções onde existem a necessidade de discriminação entre sinais de diferentes fre-
qüências. Em rádio, ou TV, os circuitos sintonizados são utilizados para separar os
sinais das estações transmissoras.
01 - Ressonância série
Investigaremos o tão conhecido fenômeno da ressonância série.
Considere o circuito série da FIG. 01. A impedância da parte à direita dos
terminais ab é:
−+=
CLjRZ Lab ω
ω 1Equação 01
Em uma freqüência angular ωωr o termo reativo será igual a zero e a impe-
dância, com característica puramente resistiva. Esta condição é conhecida como
ressonância série, e ωωr ou ωωo ou fr é a sua freqüência de ressonância angular ou fre-
CIRCUITOS RESSONANTES 2
CEFET-MG
qüência de ressonância.
Figura 01 - Circuito Série.
Na forma polar, a expressão geral para a impedância, "olhando" a partir
dos terminais ab, é:
−
−+= −
LLab R
CL
tgC
LRZω
ω
ωω
1
1 1
2
2 Equação 02
e a corrente será:
( )abg ZZE
I+
=
( )C
LjRR
EI
Lg ωω 1−++
= Equação 03
Se a resistência do gerador (Rg = 0), então:
abZE
I =
Da equação 01 podemos ver que Zab exibirá uma impedância mínima
igual a RL ohms. Se a fonte de impedância Rg é puramente resistiva, como indicado,
então a corrente está em fase com a tensão aplicada.
CIRCUITOS RESSONANTES 3
CEFET-MG
Se Rg é diferente de zero ele pode ser adicionado a RL para fornecer um
circuito equivalente total Rt, como segue:
gLt RRR += Equação 04
A freqüência de ressonância série pode ser expressa em termos dos pa-
râmetros do circuito igualando-se o termo reativo da equação 01 a zero, como se-
gue:
01 =−C
Lω
ω
012 =−LCω
LC12 =ω Equação 05
LCor
1=== ωωω Equação 06
LCfff or π2
1=== Equação 07
Nota-se que ωωr é independente da resistência do circuito e depende ape-
nas dos valores de L e de C. O resistor RL representa a resistência total entre os
pontos ab. Isto inclui a resistência CC do enrolamento mais a resistência CA que
depende das perdas no núcleo e do efeito Skin ou peculiar.
Uma representação da maneira pela qual jXL, -jXC e j(XL-XC) variam com
a freqüência está mostrada na FIG. 02. Para ωωr, a distância positiva X é igual à dis-
tância negativa X, e a reatância resultante é zero. A maneira pela qual a corrente va-
ria com a freqüência é a conhecida Curva de Ressonância, mostrada na FIG. 03. A
corrente é máxima para ωωr, porque Zab é mínima e igual a RL, se Rg = 0.
CIRCUITOS RESSONANTES 4
CEFET-MG
Figura 02 - Variação da reatância com a freqüência.
Figura 03 - Curva de Ressonância.
CIRCUITOS RESSONANTES 5
CEFET-MG
02 - Largura de faixa de um circuito ressonante série
Seria interessante termos algum meio de descrever a inclinação da Curva
de Ressonância, uma vez que isso indicaria com que precisão poderíamos selecio-
narmos uma freqüência desejada dentre as freqüências adjacentes. O método usa-
do está baseado nas seguintes considerações: Na ressonância, a potência dissipada
em um circuito ressonante está em um máximo. Existirão então duas freqüências,
uma de cada lado de fr, onde a potência dissipada é a metade da potência na resso-
nância. Essas duas freqüências são chamadas freqüência superior (f2) e freqüência
inferior (f1) de meia potência. Lembre-se que, quando falarmos de potência, estamos
nos referindo à potência real que é dissipada nos elementos resistivos.
Para fr: trr RxIP 2=
Em f222
rPP =
Todavia,2
222
trt
RxIRxI =
rr Ix
II 707,0
22 ==
De maneira similar podemos mostrar que para f1,
rr Ix
II 707,0
21 ==
Agora pode ser desejável determinar a largura de faixa do circuito sintoni-
zado pela inspeção dos parâmetros, ao invés de medidas diretas em um circuito
real. Podemos facilmente estabelecer as proporções seguintes, uma vez que temos
desenvolvida a relação entre I na freqüência de ressonância, Ir e I na freqüência de
meia potência I12. O índice 12 é usado para designar um ponto de meia potência
CIRCUITOS RESSONANTES 6
CEFET-MG
ocorrendo em ωω1 e ωω2.
2
112 =rI
I
t
t
r
RE
XR
E
I
I 212
212 +
=
212
22
1
XR
R
t
t
+= Equação 08
212
2
2
21
XR
R
t
t
+=
Resolvendo para a relação entre X12 e Rt, obtemos:
tRX ±=12
Notamos que a reatância resultante é igual à resistência resultante nos
pontos de meia potência. Isso também nos mostra que o ângulo de fase é de mais
ou menos 45o. Para ωω2, o circuito comporta-se como indutivo e o ângulo de fase é
45o enquanto que para ωω1 a reatância resultante é capacitiva e a corrente avança
45o em relação à tensão. A reatância resultante pode ser expressa em termos de L,
C e ωω como segue:
tRC
LX ±=−=12
1212
1ω
ω
CRLC t12212 1 ωω ±=−
0112212 =−± ωω CRLC t
CIRCUITOS RESSONANTES 7
CEFET-MG
Portanto
LC
LCCRCR tt
2
422
12
+±±=ω
Uma vez que o radical é visivelmente muito maior que RtC, o caso onde o
radical é precedido por um sinal negativo resultará em uma freqüência negativa.
Uma freqüência negativa é sem importância para nós e nesse caso é desconsidera-
do. Com apenas o sinal positivo antes do radical, temos duas freqüências possíveis:
LC
LCCRCR tt
2
422
12
++±=ω
As duas raízes são então:
LC
LCCRCRf tt
2
42
22
11
++−== ωπ
LC
LCCRCRf tt
2
42
22
22
++==ωπ
Temos agora três fórmulas desenvolvidas, que nos permitem determinar a
freqüência de ressonância e as freqüências de meia potência, em termos dos parâ-
metros do circuito. A faixa de freqüência entre ωω1 e ωω2 é denominada Largura de
Faixa, Bw. O que significa que Bw = ωω2 - ωω1. Uma palavra de atenção nesta oportuni-
dade: a quantidade Rt inclui as resistências do gerador e da bobina. A resistência da
bobina varia com a freqüência, devido ao efeito Skin etc., o que significa que Rt de-
vida a RL também varia com a freqüência. O valor de RL não será necessariamente
o mesmo em f1, fr , ou f2.
Embora a resistência CA da bobina varie com a freqüência, a relação en-
tre a reatância e a resistência da bobina permanece constante aproximadamente
dentro da largura de faixa, na maioria dos casos. Como RL aumenta com a freqüên-
CIRCUITOS RESSONANTES 8
CEFET-MG
cia, da mesma forma que XL, a relação de XL para RL permanece aproximadamente
constante. A quantidade XL/RL é conhecida como sendo o Q da bobina, ou QL e
permite-nos analisar de forma conveniente o circuito sintonizado. Enquanto os fabri-
cantes de bobinas não têm comumente gráficos de RL versus freqüência, as curvas
de QL versus freqüência são facilmente disponíveis.
Vejamos se podemos relacionar as freqüências de ressonância e de meia
potência diretamente com os parâmetros do circuito. Se multiplicarmos ωω1 e ωω2, o
resultado é:
LCCL
CRLCCR tt 14
422
2222
21 =−+
=ωω
Mas LCr
1=ω ; Portanto
221 rωωω =
Ou 221 rfff = . Isto é o mesmo que escrever
2
1
ff
ff r
r
= Equação 09
O termo largura de faixa, como temos usado até agora, não nos diz real-
mente muito, a menos que a freqüência de ressonância seja especificada. Por
exemplo, se você dissesse que a largura de faixa de um circuito ressonante série é
de 100 Hz, poderia assegurar que o circuito é também de características aguda de
sintonia? Certamente, não. Se fr é 500 Hz, 100 Hz seria uma grande porcentagem
de fr, resultado em uma curva achatada de resposta, baixa seletividade. Se fr fosse
1 MHz, a sintonia seria muito aguda. Portanto, o que realmente necessitamos como
um indicador de mérito, para julgarmos a seletividade de um circuito sintonizado, é a
relação de largura de faixa com a freqüência de ressonância. Esta relação algumas
vezes referida por unidade de largura de faixa ou apenas por largura de faixa
CIRCUITOS RESSONANTES 9
CEFET-MG
(Bw). Podemos, assim, definir:
wrr
Bdeunidadeporf
ff=
−=
− 1212
ωωω
Equação 10
e ωωω ∆=− 12 como largura de faixa.
Portanto, vamos desenvolver uma relação simples entre a expressão an-
terior e os parâmetros do circuito. Mostramos que:
LC
LCCRCR tt
2
422
2
++=ω Equação 11
LC
LCCRCR tt
2
422
1
++−=ω Equação 12
LCr
1=ω Equação 13
Em geral, f2 - fr é diferente de fr - f1. Ou seja, as freqüências de meia po-
tência não são igualmente espaçadas em relação à freqüência de ressonância. Se
todavia, o Q total do circuito (Qt) é 10, o erro é desprezível e as freqüências de meia
potência podem ser consideradas igualmente espaçadas de fr. Portanto se conhe-
cermos o Q do circuito, podemos escrever, quando Qt ≥≥ 10:
t
rr
wr Q
B222
ωωωω +=+= Equação 14
t
rr
wr Q
B221
ωωωω −=−= Equação 15
Se o Q do circuito é cerca de 10 ou mais, a tensão através de L ou C será
também máxima em ωωr e apresentará uma curva de resposta de freqüência similar
CIRCUITOS RESSONANTES 10
CEFET-MG
aquela da corrente. A mesma largura de faixa, Q e outras relações podem ser usa-
das. Por exemplo, o Q do circuito pode ser avaliado medindo pontos de tensão igual
a 0,707 da tensão máxima.
03 - AUMENTO DA TENSÃO RESSONANTE:
Um fenômeno interessante e útil relacionado com os circuitos ressonantes
série é o grande aumento da tensão que ocorre através de L e C para ωωr quando Qr
é grande. Podemos provar este fato da seguinte maneira.
A amplitude da tensão através do capacitor é Ec = I.XC, mas na ressonân-
cia I = Ir = E/R. Portanto, Ecr = E.XCr / R, mas para ωωr, XCr = XLr ou
ECr = EXLr / R = EQtr, Equação 16
onde Qtr é o Q do circuito na ressonância.
Notavelmente, a tensão no indutor ou capacitor na ressonância pode ser
Qtr vezes maior do que a tensão aplicada. Se uma tensão de 10 Volts é aplicada a
um circuito ressonante série tendo um Qtr = 100, a tensão no indutor ou capacitor
será de 1000 Volts. Quando circuitos desse tipo são projetados, a tensão de trabalho
do capacitor deve ser determinada nessa base. Realmente, ωωr não é exatamente a
freqüência para a qual EL ou Ec é um máximo, mas a diferença é pequena, se Qtr é
maior ou igual a 10. A freqüência exata para a qual Ec é um máximo é:
2
11
trr Q
−= ωω Equação 17
que resulta aproximadamente abaixo de ωωr. Se Qtr = 10, essa freqüência é essenci-
almente a mesma que ωωr e a tensão máxima do capacitor será aproximadamente
igual à tensão do capacitor na ressonância.
CIRCUITOS RESSONANTES 11
CEFET-MG
A tensão através da bobina na ressonância ( EL ) é complicada pelo fato
que L tem uma resistência ( RL ) associada. Portanto, usaremos ZL ao invés de XL.
( )22 LRZ LL ω+=
uma vez que RL não é usualmente especificada, mas QL é especificada, podemosescrever:
+=2
222
L
LLLL
RZ
ωωω
11
2 +=Lr
LL QZ ω
11
2 +==Lr
rLLrrLr QR
EZIE ω
11
2 +=Lr
trLr QEQE
10≥= LrtrLr QquandoEQE Equação 18
A freqüência exata para a qual a tensão da bobina é máxima é ligeira-
mente superior a e é dada por:
221
1tr
r
Q−
=ω
ω Equação 19
outra vez, se Qtr é maior ou igual a 10, a tensão da bobina pode ser considerada
máxima para ωωr.
Uma nota de alerta: Sempre que você fizer qualquer cálculos envolvendo
o Q da bobina nas proximidades de ωωr, esteja certo de usar o valor de Q correspon-
CIRCUITOS RESSONANTES 12
CEFET-MG
dendo a ωωr. QL pode variar largamente sobre uma grande faixa de freqüências, e
portanto, é melhor medir o Q da bobina para a freqüência de interesse, ou usar os
dados do fabricante, que podem representar QL versus freqüência.
04 – ANTI-RESSONÂNCIA PARALELA
Investigaremos, em seguida, o fenômeno da ressonância paralela, ou an-
ti-ressonância, como ele é algumas vezes chamado. O circuito da FIG. 04 ilustra
completamente um circuito geral anti-ressonante.
A impedância “vista”, olhando a partir dos terminais de entrada pode vari-
ar muito, dependendo do Q dos circuitos indutivos e capacitivos. Para freqüências
abaixo da freqüência de ressonância, a impedância do ramo indutivo é pequena e
uma grande corrente fluirá através da bobina. A corrente através do ramo capacitivo
será pequena, porque XC é grande para baixas freqüências. A corrente da linha flu-
indo nos terminais é, portanto, grande. Em altas freqüências, o ramo indutivo oferece
uma alta impedância, mas o ramo capacitivo tem uma baixa impedância, novamen-
te, a corrente da linha é relativamente alta. Qualquer freqüência intermediária, a im-
pedância de entrada será maior e a corrente da linha será mínima. Essa não é ne-
cessariamente a mesma freqüência para a qual a corrente está em fase com a ten-
são aplicada. Se Q for baixo, da ordem de 5, mesmo assim, o erro está em torno de
1,0 % e, portanto, a impedância máxima será considerada como que ocorrendo à
mesma freqüência, que resulta em um fator de potência unitário. Então para uma
determinada freqüência que nós definimos como a freqüência anti - ressonante (far),
a impedância vista a partir dos terminais de entrada é puramente resistiva. Nosso
primeiro objetivo é determinar como esta freqüência está relacionada com os parâ-
metros do circuito.
CIRCUITOS RESSONANTES 13
CEFET-MG
Figura 04 - Circuito ressonante paralelo.
Uma vez que estamos tratando com um circuito paralelo, é mais conveni-
ente trabalhar com as admitâncias.
CCLLCLenen jXRjXRZZZ
Y−
++
=+== 11111
Racionalizando cada termo, obtemos:
2222CC
CC
LL
Llen XR
jXR
XR
jXRY
++
++
−=
Separando, e então agrupando as componentes resistivas e reativa,
+
−+
+
+
++
= 22222222LL
L
CC
C
CC
C
LL
Len XR
XXR
Xj
XRR
XRR
Y
Para Yen ser puramente resistiva, a componente reativa (susceptância ) de Yen deve
ser nula. Portanto, vamos igualar a susceptância a zero e resolver para aquele valor
de ωω, para o qual a afirmação anterior é verdadeira.
CIRCUITOS RESSONANTES 14
CEFET-MG
02222 =+
−+ LL
L
CC
C
XR
X
XR
X
( ) ( ) 02222 =+−+ CCLLLC XRXXRX
01
222
222
=
+−+
CRL
CLR
CL
ωω
ωω
01
22
2222222 =
+−+
C
RCLCLR C
L ωω
ωω
( ) 012222224222 =+−+ CL RCLCCLRC ωωωω
Fatorando ωω2C fora de cada termo, temos:
( ) 01222222 =+−+ CL RCLCLCR ωω
Expandindo e coletando os termos,
0222222 =−+− LCRRLCCL LCωω
( )2
2
222
22
C
L
C
L
CRLLCCRL
RLCCLCRL
−−=
−−=ω
2
21
C
LAR CRL
CRL
LC −−
==ωω Equação20
Nota-se que a freqüência anti-ressonante paralela é realmente depen-
dente das resistências do circuito. Nos circuitos série, a freqüência de ressonância
era independente das resistências do circuito. A equação 20 é bastante interessante.
Ela indica que a ressonância pode ser estabelecida não apenas variando ωω, L ou C,
mas também pelo controle de RL ou RC. Isso, entretanto, raramente é feito na práti-
ca, visto que RL e RC tendem a deteriorar a seletividade do circuito.
CIRCUITOS RESSONANTES 15
CEFET-MG
Na maioria dos circuitos para comunicações, a resistência no ramo capa-
citivo é desprezível e a do ramo indutivo é pequena se o Q da bobina é razoavel-
mente alto. Então, L será usualmente maior do que 2LCR ou 2
CCR , e a equação 20 se
reduz a:
LCAR
1=ω
que é a mesma do circuito ressonante série. Se 2LCR ou 2
CCR forem maiores do que
L, a quantidade sob o radical será negativa, o que resulta em um valor imaginário de
ωωAR. Isto é alguma coisa que não podemos gerar fisicamente e portanto, não tem
outro significado, a não ser o de que não existirá a condição de ressonância em
qualquer freqüência. Se RL = RC , a quantidade sob o radical é igual a 1 e, portanto,
LCAR
1=ω
para este caso. Se RL igualar a RC e também igualar a CL , ωωAR é indeterminado
e o circuito aparece resistivo para todas as freqüências.
Em circuitos anti-ressonantes práticos, a resistência no ramo capacitivo é
usualmente desprezível e a equação 20 reduz-se a:
LCRL
LCL
AR
21 −=ω
que pode ser manipulada em:
2
221LLCRL
LCL
AR
−=ω
CIRCUITOS RESSONANTES 16
CEFET-MG
Elevando ao quadrado ambos os lados e substituindo a freqüência ressonante série
ωωr por LC1 , obteremos:
2
22
2
22
1
L
RL Lr
rAR
ωωω−
=
−= 22
222 1
LR
r
LrAR ω
ωω
e desde que LLr QRL =ω , temos:
2
11
LrAR Q
−= ωω Equação 21
que indica que as freqüências ressonantes série e paralela são quase idênticas
quando QL é grande nas proximidades da ressonância.
Note que o valor de QL na equação 21 está baseado no Q da bobina para
ωωr e não para ωωAR. Uma expressão ligeiramente diferente para ωωAR é obtida se o Q
da bobina para ωωAR é introduzido. Elevando ao quadrado ambos os lados temos:
−= 2
222 1
LLCRL
LCARω
Substituindo 2rω por LC1 e separando o termo entre parênteses em dois termos,
−= 2
2
22
222 1
LR
LL
rRar ω
ωω
Multiplicando numerador e denominador do termo 22 LR por 2ARω
CIRCUITOS RESSONANTES 17
CEFET-MG
−= 222
2222 1
LR
ARr
ARrAR ωω
ωωω
−= 22
222 1
LR
ARrAR Qω
ωωω
onde QL agora é o Q da bobina determinado para ωωAR . Resolvendo para ωωAR, obte-
mos
2
11
L
rAR
Q+
=ω
ω Equação 22
Comparando as equações 21 e 22, vemos que, embora o Q da bobina
para ωωr possa diferir daquele para ωωAR, a freqüência anti-ressonante ωωAR é ainda es-
sencialmente igual a ωωr se QL está em torno de 10 ou mais.
Uma interpretação física das condições do circuito para ωωAR pode ser ob-
tida da figura 04. A corrente em cada ramo é determinada pela impedância deste
ramo. A corrente no ramo capacitivo (IC) adiantará da tensão aplicada de um ângulo
θθL. Podemos também resolver IL através de uma componente em fase e outra em
quadratura. IL.cos θθL e IL.sen θθL, respectivamente. Para ωωAR, as amplitudes e os ân-
gulos de fase de IL e IC não precisam ser os mesmos, uma vez que RL e RC podem
ser diferentes. As componentes em quadratura IC.sen θθC e IL.sen θθL se cancelam, o
que resulta em uma corrente total em fase de IC.cos θθC mais IL.cos θθL. A impedância
vista "olhando" a partir dos terminais de entrada da figura 04 para ωωAR é então uma
quantidade finita igual à tensão aplicada dividida pela corrente resultante em fase.
Quando o Q de cada ramo é alto, de forma que a reatância do ramo é
muito maior que a resistência no mesmo ramo do circuito, as correntes em quadratu-
ra serão muito maiores que as correntes em fase. Isso está ilustrado na figura 05,
CIRCUITOS RESSONANTES 18
CEFET-MG
diagramas de corrente. A corrente resultante em fase para ωωAR é entretanto baixa, o
que significa que a impedância de entrada na anti-ressonância é mais alta que o
mais alto Q do circuito. Para ωωAR, as correntes do circuito podem ser bastante gran-
des, mas a sua soma vetorial, se Q é alto, resulta em uma corrente de linha peque-
na.
Figura 05 - Diagramas de Corrente.
05 - CIRCUITO ANTI-RESSOANTE PRÁTICO
A FIG. 06 ilustra um circuito anti-ressonante prático comumente usado em
trabalhos de comunicação. Temos desenvolvido a equação 21, que expressa a fre-
qüência ressonante da FIG. 04. Isto, com RC = 0, é o mesmo que a FIG. 06 uma vez
que de nossos objetivos primários é obter experiências na manipulação e interpreta-
ção das equações com números complexos, vamos iniciar de leve a nossa análise
da FIG. 06. Vamos primeiro verificar a equação 21.
CIRCUITOS RESSONANTES 19
CEFET-MG
Figura 06 - Circuito anti-ressonante prático
CLLenen jXjXRZ
Y−
++
== 111
CLL
LLen X
jXR
jXRY
122 +
+−
=
+
−++
= 2222
1
LL
L
CLL
Len XR
XX
jXR
RY
jBGYen +=
( )22
22
22 _ LLC
CLLL
LL
Len XRX
XXXRj
XRR
Y+−+
+= Equação 23
Para Zen ser puramente resistiva, a componente reativa de Yen deve ser igual a zero.
Isto é:
( ) 022
22
=+−+
LLC
CLLL
XRX
XXXR
a expressão anterior é verdadeira quando o numerador é zero ou
CIRCUITOS RESSONANTES 20
CEFET-MG
022 =−+ CLLL XXXR
Resolvendo para o valor de ωω que faz a expressão igual a zero,
0222 =−+CL
LRL ωωω
2
2
2
2
22 1
LR
LCLR
CLL LL −=−=ω
2
21L
RLC
LAR −==ωω
Isto pode ser manipulado na forma da equação 21 se fazermos novamente
LLr R
LQe
LCωω == 12 .
22
222
L
R
r
LrrAR ω
ωωω −=
2
22
L
rrAR Q
ωωω −=
2
11
LRAR Q
−= ωω
que verifica a equação 21.
CIRCUITOS RESSONANTES 21
CEFET-MG
06 - IMPEDÂNCIA DE ENTRADA NA RESSONÂNCIA
A impedância para ωωAR, "vista" olhando a partir dos terminais de entrada
da FIG. 05, é facilmente determinada examinando-se a equação 23. Para ωωAR, a
componente reativa de Yen é zero, o que faz a admitância de entrada igual a G. Por
outro lado, Zen = ZAR = RAR = 1/G; onde RAR é a impedância anti-ressonante.
LL
L
L
L
L
L
L
LLAR
XQ
Q
XR
XR
RXR
R1
111 2
2
2
2
22 +
=+
=+=
Todas as reatâncias são tomadas para ωωAR.
+= 2
11
LLLAR Q
QXR Equação 24
se QL é grande, digamos 10 ou mais,
LLar QXR ≈
Podemos expressar RAR em termos de XC resolvendo a equação do circuito prático
anti-ressonante para XC em termos de XL e podemos, em conseqüência, obter:
022 =−+ CLLL XXXR
L
L
L
L
LLC
X
X
R
XRX
X1
1 2
2
22 +=+=
+= 2
11
LLC Q
XX Equação 26
CIRCUITOS RESSONANTES 22
CEFET-MG
Da equação 26 vemos que XC não pode mais igualar a XL em ωωAR, mas a
diferença é pequena se QL é grande. Resolvendo para XL a equação 26, obtemos:
+=
2
11
1
L
CL
Q
XX Equação 27
e substituindo na equação 24, resulta
LCAR QXR ≈ Equação 28
A equação 28 pode ser usada para expressar RAR diretamente em termos dos pa-
râmetros do circuito como segue:
CRL
CRL
QXRLLar
arLCAR ===
ωω
Equação 29
Da equação 29, formas adicionais úteis expressando RAR podem ser derivadas, por
exemplo:
LLL
L
L
C
L
LCAR RQ
RX
R
X
R
XXR 2
22
=≈≈= Equação 30
Se a resistência está presente no ramo capacitivo, ela poderia ser adicionada a RL
quando determinamos RAR. Por exemplo,
( ) CL
C
CL
L
CL
LC
CLAR RR
X
RRX
RR
XX
CRRL
R+
=+
=+
=+
=22
Equação 31
A equação 31 não é exata, mas é suficientemente precisa quando os fatores de mé-
rito do circuito são em torno de 10 ou mais.
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O Qtotal do circuito paralelo quando a resistência está' presente em ambos
os ramos pode ser tomado como:
CL
Ltotal RR
XQ
+= Equação 32
quando Qr é 10 ou mais.
Com a ajuda das várias expressões para RAR pode ser mostrado que as
correntes dos ramos são aproximadamente Qt vezes a corrente da linha para ωωAR.
Façamos Is igual à corrente de linha forçada por alguma fonte Eg a partir dos termi-
nais de entrada da FIG. 05. Podemos escrever as seguintes expressões:
ARg
g RI
E=
Lg
g ZI
E=
se Qt é alto, portanto,
tL
Lt
L
AR
g
L QXXQ
ZR
II
=≈= Equação 33
Desde que CL XX ≈ para ωωAR, quando Qt é grande, vemos que:
tg
C QII
= Equação 34
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Questionário da Exp. No 02
Nome: _____________________________________ No _____ Turma: _____
01 - Dado o circuito série abaixo, determine: a freqüência de ressonância, a largurade faixa, a corrente na ressonância se a tensão de entrada é de 15/0o V, e apotência dissipada no resistor de 60 Ω na ressonância.
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02 - Dado o circuito ressonante abaixo, determine: a freqüência de ressonância, acorrente na ressonância e as duas freqüências de meia potência.
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03- Dado o circuito sintonizado paralelo abaixo, determine: a freqüência de anti-ressonância, a tensão de saída, a corrente na indutância, a potência dissipadano circuito tanque, a largura de faixa e o fator de mérito do circuito.
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04 - Para o circuito sintonizado paralelo, determine: a freqüência de ressonância, acorrente no gerador na ressonância, a largura de faixa e o fator de mérito docircuito, a tensão de saída e a potência dissipada no circuito.
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05 - Represente "eo" versus "freqüência" para o circuito abaixo. Explique a funçãodo circuito.
Considere: C1 = 0,1 µF C2 = 0,02 µF L1 = 1H L2 = 0,6H
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06- Projete um circuito de filtro que selecione a freqüência de 10kHz e faça o blo-queio da segunda harmônica, utilizando o princípio da ressonância.