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Equipo de Matemática 340

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS,

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

DE ÁNGULOS COMPUESTOS

1. FUNCIÓN SENO

a. Definición

Dom (Sen): “x” <-; > o IR

Ran (Sen): “Y” [-1; 1]

Gráfico de la Función SENO

Una parte de la gráfica de la función seno se repite por tramos de

longitud 2. Esto quiere decir que la gráfica de la función seno es

periódica de período 2. Por lo tanto todo análisis y cálculo del dominio

y rango se hace en el siguiente gráfico

X

Y

1

-1

-4 -2 2 4 0

Sen = {(x; y) / y = Senx}

0

1

-1

/2 3/2 2

Y

X

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X 0 /2 3/2 2

Y=Senx 0 1 0 -1 0

Nota

El período de una función se representa por la letra “T”. Entonces

el período de la función seno se denota así:

b. Propiedad

Si tenemos la función trigonométrica y=Asenkx, entonces al número

“A” se le va a llamar Amplitud y el período de esta función es 2/k.

Es decir:

y = ASenkx

k

2)Senkx(T

AAmpitud

Gráfico:

Ejemplo: Graficar la función y=2Sen4x. Indicar la amplitud y el período

Solución:

y = 2Sen4x

24

2)x4Sen(T

2Ampitud

T(Senx) =2)

0

A

-A

2

k

Y

X

Amplitud

Período Tramo que se repite

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Graficando la función:

2. FUNCIÓN COSENO

a. Definición

Dom (Cos): “x” <-; > o IR

Ran (Cos): “Y” [-1; 1]

Gráfico de la Función COSENO

Una parte de la gráfica de la función coseno se repite por tramos de

longitud 2. Esto quiere decir que la gráfica de la función coseno es

periodo 2. Por la tanto todo análisis y cálculo del dominio y rango se

hace en el siguiente gráfico:

Cos = {(x; y) / y=Cosx}

X

Y

1

-1

-4 -2 2 4 0

0

2

-2

2

2

Y

X

Amplitud

Período

/8 /43/8

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X 0 /2 3/2 2

Y=Cosx 1 0 -1 0 1

Nota

El período de una función Coseno se denota así:

b. Propiedad

Si tenemos la función trigonométrica y=ACoskx, entonces al número

“A” se le va a llamar Amplitud y el período de esta función es 2/k.

Es decir:

y = ACoskx

k

2)Coskx(T

AAmpitud

Gráfico:

T(Cosx) =2

0

1

-1

/2 3/2 2

Y

X

0

A

-A

2

k

Y

X

Amplitud

Período Tramo que se repite

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Ejemplo: Graficar la función y = 4Cos3x. Indicar la amplitud y el

período.

Resolución

:y = 4Cos3x

3

2)x3Cos(T

4Ampitud

Graficando la función

3. PROPIEDAD FUNDAMENTAL

a. Para la Función SENO

Si (a; b) es un punto que pertenece a la gráfica de la función y=Senx.

Entonces se cumple que: b=Sena

Período

0

4

-4

2

3

Y

X

Amplitud

/6 /3/2

0

b=Sena (a;b)

Y

X a

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Ejemplo:

Graficamos la función: y=Senx

b. Para la Función COSENO

Ejemplo: Graficamos la función: y=Cosx

0

Y

X

b=Cosa (a;b )

a

0

Y

X

1/2=Cos60º (60;1/2)

60 180º

-1=Cos180º (180º;-1)

0

=Sen120º (120º; )

Y

X 120º 270º

2

3

2

3

(270º;-1) -1=Sen270º

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I. IDENTIDAES TRIGONOMÉTRICAS

1. IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA.- Una identidad trigonométrica es

una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen

para todo valor admisible de la variable.

2. IDENTIDADES FUNDAMENTALES

Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base

para la demostración de otras identidades más complejas.

Se clasifican:

Pitagóricas

Por cociente

Recíprocas

2.1 Identidades recíprocas

Senx.cscx=1 ; x n; nZ

cosx.secx=1 ; x(2n+1)2

;nZ

Tgx.ctgx=1 ; xn2

; nZ

2.2 Identidades por división

Tgx = Senx

Cosx x (2n+1)

2

; nZ

Ctgx = Cosx

Senx x n ; nZ

2.3 Pitagóricas

Sen2x+cos2x=1 ;xR

2 2

2 2

sen x 1 cos x

cos x 1 sen x

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Tg2x+1=sec2x; x (2n+1)2

nR

2 2

2 2

sec t 1

t sec 1

x g x

g x x

ctg2x+1=csc2x; xn; nR

2 2

2 2

csc c 1

c csc 1

x tg x

tg x x

Observación

Verso de “x”:vers x = 1 – cosx

Coverso de “x”: cov x = 1 – senx

Exsecante de “x”:ex secx = secx – 1

FÓRMULAS ADICIONALES

1. 5.

2. 6.

3. 7-

4-

II. ÁNGULOS COMPUESTOS

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ARCOS

1) sen(+) = sen.cos+cos.sen

2) cos(+) = cos.cos - sen.sen

3)

tg.tg1

tgtg)tg(

tgx + ctgx = secx . cscx

sec2x + csc2x =sec2x.csc2x

sen4x + cos4x =1–2sen2x.cos2x

(1senxcosx)2 = 2(1senx)(1cosx)

(senx + cosx)2 = 1+2senx.cosx

(senx – cosx)2 = 1–2senx.cosx

sen6x + cos6x = 1–3sen2x.cos2x

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4)

tgctg

1tgc.tgc)tg(c

2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERENCIA DE DOS

ARCOS

1) sen(-)=sen.cos - cos.sen

2) cos(-)=cos.cos + sen.sen

3)

tg.tg1

tgtg)tg

4)

tgctgc

1tgc.tgc)tg(c

¡No olvides!

sen(xy) = senx.cosy cosx.seny

cos(xy)=cosx.cosy senx.seny

ytg.xtg1

ytgxtg)yxtg(

Ejemplos:

a) Sen 75º = Sen (45º+30º) = Sen 45º Cos30º+Cos45º Sen30º

=

2

1

2

2

2

3

2

2 Sen75º =

4

26

b) Cos 16º = Cos (53º-37º) = Cos 53º.Cos37º Sen37º

=

5

3

5

4

5

4

5

3Cos 16º =

25

24

c) tg 8º = tg (53º-45º)

= º45tgº.53tg1

º45tgº53tg

=

3

73

1

3

41

13

4

Tg 8º 7

1

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PROPIEDADES

A) a senx+b cosx=22 ba .sen(x+)tal que:

22 ba

bsen

22 ba

acos

Ejemplos:

senx-cosx= 2 sen(x-45º)

senx- 3 cosx=2sen(x+60º)

B) Dada: f(x)=asenx + bcosxxR

se cumple que:

2222 ba)x(fba

Ejemplos:

- 2 senx + cosx 2

- 5 senx + cosx 5

C) Si A + B + C = k; (k Z)

Se cumple:

tgA+tgB+tgC= tgA.tgB.tgC

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Propiedades Adicionales

3. IDENTIDADES DE ÁNGULOS DOBLES

sen2x = 2senx.cos x

cos2x= cos2x -sen2x =1-2sen2x= 2cos2x -1

2

2 tgtg2

1 tg

xx

x

Ejemplos:

1. º2

ºacos.

º2

ºasen2ºasen

3. cos12º = cos26º - sen26º

2. 2

2 tg20ºtg40º

1 tg 40

4. sen4x = 2sen2x.cos2x

Fórmulas de degradación

Sumando I y II se obtiene:

( )

.

( )

.

Sen a bTg Tgb

Cosa Cosb

Sen a bCtga Ctgb

Sena Senb

2 2

2 2

( ). ( )

( ). ( )

Sen a b Sen a b Sen a Sen b

Cos a b Cos a b Cos a Sen b

Cos2x +sen2x = 1 ……………. I

Cos2x - sen2x = cos2x……………… II

2cos2x =1+cos2x

2 1 cos2cos

2

xx

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Restando I y II se obtiene:

Ejemplos:

1. xcos12

xsen2 2

3. 2cos24x=1+cos8x

2. xcos12

xcos2 2

4. 1+cos12=2cos26

Identidades auxiliares del ángulo doble

Triangulo del ángulo doble: Para determinar Razones Trigonométricas

en función de tangente.

1. Como: xtg1

xtg2x2tg

2 ,construiremos el triángulo rectángulo:

1. x4cos4

1

4

3xcosxsen 44

3. Ctgx + tgx = 2csc2x

2. x4cos8

3

8

5xcosxsen 66

4. Ctgx - tgx = 2ctg2x

1+tg x

2x

2tgx

1-tg x

2

2

2sen2x =1-cos2x

2 1 cos2sen

2

xx

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IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD

Como: 22sen 1 cos

2

xx

1 cossen

2 2

x x

Como: 22cos 1 cos

2

xx

1 coscos

2 2

x x

Como:

sen2tg

2 cos2

xx

x

1 costg

2 1 cos

x x

x

Como:

cos2tg

2 sen2

xx

cx

1 cos

tg2 1 cos

x xc

x

El signo de () se dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo

2

x

y de la Razón Trigonométrica que la afecta.

Identidades auxiliares del ángulo mitad

1. xcos1

sen

2

xtg

2.

xsen

xcos1

2

xtg

3. xtgcxcsc2

xtg 4.

xsen

xcos1

2

xtgc

5. xcos1

xsen

2

xtgc

6. xtgcxcsc

2

xtgc

7. sen12

xcos

2

xsen 8. sen cos 1 sen

2 2

x xx

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE TRIPLE

Fórmulas

Especiales:

1x2Cos2

1x2Cos2Tgxx3Tg

)1x2Cos2(Cosxx3Cos

)1x2Cos2(Senxx3Sen

Fórmulas de Degradación:

3

3

4 3 3

4 3 3

Sen x Senx Sen x

Cos x Cosx Cos x

Propiedades:

x3Tg)x60(Tg)x60(TgxTg

x3Cos)x60(Cos)x60(CosxCos4

x3Sen)x60(Sen)x60(SenxSen4

3

3

3

2

3 3 4

3 4 3

33

1 3

Sen x Senx Sen x

Cos x Cos x Cosx

Tgx Tg xTg x

Tg x

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TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS

DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO

DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA

2Senx Seny = Cos(x - y) – Cos(x + y)

2Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x - y)

2Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x - y)

PROBLEMAS DE APLICACION

1. Al simplificar la expresión

sen º cos cos º senPcos cos º sen sen º

15 15

15 15

g g

g g, se obtiene:

2cos2 2

x y x ysenx seny sen

2 cos2 2

x y x ysenx seny sen

cos cos 2cos cos2 2

x y x yx y

cos cos 22 2

x y x yx y sen sen

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A) 2 3 B) 2 3 C) 2 3 D) 3

2 E)

3

6

Resolución

sen ºPcos º

15

15

sen ºP tg ºcos º

15

1515

P 2 3 CLAVE: B

2. Al simplificar la expresión E =Sen²(+) + sen²- 2sen (+)

Sen.Cos, Se obtiene:

A) 1 B) sen x C) cos x D) sen2 x E) cos2 x

Resolución: Ordenando y utilizando el artificiode sumar (Cos²Sen² -

Cos²Sen²) y definición de binomio al cuadrado

= Sen²(+) – 2Sen(+) Sen.Cos+ Sen² + Cos²Sen² - Cos²Sen²

=sen(+)-Cos.Sen²+Sen²(1-Cos²), desarrollando

E = Sen²Cos² + Sen² . Sen²= Sen²(Cos² + Sen²) = Sen²

CLAVE: E

3. Si:

sec

sec

4 , el valor de tg tg g , es:

A) 3

5 B)

3

5 C)

2

5 D)

2

5 E)

5

2

Resolución

sec

sec

cos

cos

4, aplicando proporciones

cos cos

cos cos

5

3, desarrollando se obtiene

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cos cos

sen sen

2 5

2 3

tg tg 3

5 CLAVE: B

4. En la figura, el valor de tg , es:

A) 5

14

B) 3

7

C) 1

7

D) 3

14

E) 1

2

Resolución

5 b5 b

2 b

b

5 b5 b

2 b

b

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Del gráfico 3

5tg y tg

1

5, por propiedad del ángulo

exterior del triángulo, se tiene tg tg

tg tgtg

tg tg

1, reemplazando y resolviendo

tg 5

14 CLAVE: A

5. Al simplificar la expresión

sen º cos º

Esen º cos º

3 7 3 7

8 8, se obtiene:

A) 6 B) 6 C) 3 6

4 D)

4 6

3 E) 5 6

Resolución

sen º cos ºE

sen º cos º

3 7 3 7

8 8

3 3 7 7

1 12 8 8

2 2

sen º cos º

sen º cos º

sen º cos º

Esen ºcos º cos ºsen º

3 12 3 7 7

2 2

2 45 8 45 8

7 30 7 302 3

45 82

sen ºcos º cos ºsen ºE

sen( º º)

sen º ºE

sen º

30 76 6

37

CLAVE: B

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6. Si: senx 1

sen5x 5 ,el valor de M tg3 ctg2 g , es:

A) 5 B)1/5 C) 1 D) 2/3 E)3/2

Resolución

senx 1

sen5x 5senxsen5x 5

gM tg3x ctg2x gsen3x cos2x

cos3x sen2x

g

g

2 sen3x cos2xM

2cos3x sen2x

sen5x senx

sen5x sen x

5senx senxM

5senx senx 6senx 3

4senx 2

CLAVE: E

7. Si: 3 3 1

senx cos x sen x cosx8

El valor de2H sen 4x 1 , es:

A)1/4 B)5/4 C)5/8 D)3/4 E) 2/5

Solución: 3 3 1

senx cos x sen x cosx8

2 2 1senx cosx cos x sen x

8

12senx cosx cos2x .2

8

12sen2x cos2x 2

4 ≫

1sen4x

2

2E sen 4x 1 11

4

5E4

CLAVE. B

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