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MATERIAL DIDÁTICO

MATEMÁTICA FINANCEIRAAPLICADA À GESTÃOEMPRESARIAL I

CREDENCIADA JUNTO AO MEC PELA

PORTARIA Nº 1.282 DO DIA 26/10/2010

0800 283 8380

www.ucamprominas.com.br

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 4

UNIDADE 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS, REGIMES DE CAPITALIZAÇÃOE IMPLEMENTAÇÃO NA HP 2C ........................................................................... 8

1.1. Objetivos da Unidade ................................................................................ 8

1.2. Aspectos Introdutórios da Matemática Financeira Aplicada a Gestão ...... 8

1.3. Elementos Básicos .................................................................................. 10

1.4. Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) e Aplicações ................................... 13

1.5. 5. Regimes de Capitalização ................................................................... 181.6. O Regime Linear de Juros ...................................................................... 19

1.7. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes: O que são? ........................ 26

1.8. O Regime Exponencial de Juros (Juros Compostos) .............................. 30

1.9. Cálculo do Valor Futuro no Regime Exponencial .................................... 31

1.10. Como Caracterizar Taxas Equivalentes no Regime Exponencial? ...... 39

1.11. Taxa Nominal e Taxa Efetiva: Como Reconhecê-las no MercadoFinanceiro? ....................................................................................................... 42

1.12. Capitais Equivalentes nos Juros Compostos ....................................... 46

UNIDADE 2 – A GESTÃO FINANCEIRA NO FOCO DA HP 2C ......................... 48

2.1. Objetivos da Unidade .............................................................................. 48

2.2. Informações Iniciais da HP 12C .............................................................. 48

2.3. Como Operar com Datas na HP 12C? .................................................... 542.4. Principais Funções Matemáticas ............................................................. 57

2.5. Resolvendo Problemas sobre os Regimes de Capitalização .................. 60

2.5.1. Problemas Simulados – Juros Simples ....................................................... 61

2.5.2. Problemas Simulados – Juros Compostos ................................................. 62

2.5.3. Exercícios Resolvidos Envolvendo Taxas Equivalentes e Taxas

Efetivas 67

2.6. Códigos de Erros .................................................................................... 74


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CONCLUSÃO DA DISCIPLINA ........................................................................... 76

REFERÊNCIAS .................................................................................................... 78


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INTRODUÇÃO

Vamos iniciar a disposição teórica de uma das disciplinas mais importantes

que compõem a sua matriz curricular do seu curso, que é a disciplina de

Matemática Financeira Aplicada à Gestão Empresarial I, ou seja, uma disciplina

em que estaremos estudando e aplicando as principais funções no âmbito da

Gestão de Negócios ou no Mercado Financeiro. Desta forma, você saberia

escolher qual a melhor forma de comprar? Saberia descrever quanto está

pagando de juros? Saberia caracterizar o rendimento da sua caderneta de

poupança? Saberia explicitar o verdadeiro custo efetivo de uma operação

financeira? Para respondermos questões como estas e muitas outras queaparecem comumente na nossa vida, seja ela pessoal ou empresarial, é que

utilizamos dos conceitos, métodos e técnicas da Matemática Financeira.

No mundo moderno, sabemos que a Matemática Financeira ocupa uma

posição de destaque, pois é a partir dela que podemos olhar de forma mais

estruturada para o que acontece no mercado financeiro. De outra forma, podemos

visualizar que a Matemática Financeira tem extrema importância na vida

financeira de uma organização, já que a sua aplicação quando bem desenvolvida,possibilita melhor desempenho, desde a parte relacionada à rentabilidade como a

de redução de custos ou dispêndios. Num primeiro momento, podemos dizer que

a Matemática Financeira trata em essência do estudo do dinheiro ao longo do

tempo, ou ainda, como a área da Matemática Aplicada que tem como objeto o de

estudar o comportamento do dinheiro ao longo do tempo, com a busca

quantitativa sobre as transações que ocorrem no universo financeiro, levando em

conta a variável tempo, ou seja, o valor monetário no tempo, o que é amplamente

conhecido no mercado financeiro como “Time Value Money ”.

Cabe ressaltar ainda que as operações de financiamento, empréstimos e

análise da viabilidade econômica de projetos empresariais podem ser melhores

discutidos e implementados com as ferramentas da mesma, fazendo com que a

empresa diminua o risco associado ao negócio e consiga estruturar de uma

melhor forma os seus investimentos.

Em verdade, ao longo do tempo, seja a nível pessoal ou empresarial, na

área econômico-financeira, todos nós enfrentamos situações que envolvem


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tomadas de decisões em alternativas que se aplicam os estudos da área

financeira. Não é uma tarefa simples tomar decisão quando falamos em gestão

financeira de um modo geral. Nesta direção, especificamente falando, para que

possamos analisar investimentos, devemos levar em consideração uma série de

fatores, como o tipo de série de anuidade aplicada, o custo do capital utilizado, o

prazo da operação, o retorno do investimento e a taxa implícita de juros para

confirmarmos ou não a viabilidade do projeto em questão.

Antes de iniciarmos, propriamente dito, todos os aspectos teóricos

relacionados à disciplina em si, listamos aqui alguns Cases Empresariais que

são interpretados e resolvidos a partir das ferramentas práticas da Matemática

Financeira (conceitos introdutórios e regimes de capitalização) e no Foco da HP12C.

Case Empresarial 01: Um banco emprestou R$8.000,00 por um ano, à

taxa anual de 18% ao ano, com capitalização bimestral. Qual será a taxa efetiva

anual e o montante que será devolvido ao final do ano?

Case Empresarial 02: A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6%

com capitalização mensal. Qual a rentabilidade efetiva desta caderneta depoupança?

Case Empresarial 03: Um médico emprega seu capital nas seguintes

condições: a terça parte a 15% ao ano, a quinta parte a 18% ao ano e o restante

a 21% ao ano. A que taxa única esse médico poderia empregar todo o capital a

fim de obter o mesmo rendimento anual?

Case Empresarial 04: Um componente médico é oferecido a um hospital

por R$130,00 à vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um

pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que

está sendo cobrada.

Case Empresarial 05: Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente

durante 3 anos, na base de 10% ao ano, seu montante final é?

a) ( ) 30% superior ao capital inicial.

b) ( ) 130% do valor do capital inicial.


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c) ( ) 150% do capital inicial, aproximadamente.

d) ( ) 133% do capital inicial, aproximadamente.

e) ( ) O dobro da quantia inicial.

Case Empresarial 06: Para uma taxa de juros de 7% ao mês, qual das

alternativas de pagamento representa o menor custo para o devedor Hospital

AFA:

a) Pagamento integral de R$140.000,00 à vista (na data zero).

b) R$30.000,00 de entrada, R$40.000,00 em 60 dias e R$104.368,56 em

120 dias.

Case Empresarial 07: Alessandro aplicou suas economias em um banco,

a juros simples comerciais de 15% ao ano, durante 2 anos. Findo o prazo,

reaplicou o montante e mais R$2.000,00 de suas novas economias, por mais 4

anos e à taxa de 20% ao ano, sob o mesmo regime de capitalização (regime

simples). Admitindo-se que os juros das 3 aplicações somaram R$18.216,00, o

capital inicial da primeira aplicação era de?

Case Empresarial 08: Um equipamento eletrônico está anunciado por R$

950,00 para pagamento a prazo ou cartão de crédito. Para o pagamento à vista é

dado um desconto de 18%. Qual o valor do desconto? Por quanto sai o

equipamento eletrônico se você pagar à vista? Qual o percentual de acréscimo

que você pagará se optar pelo cartão de crédito? Implementar a solução na HP

12C.

Case Empresarial 09: Um banco emprestou R$8.000,00 por um ano, à

taxa anual de 18% ao ano, com capitalização bimestral. Qual será a taxa efetiva

anual e o montante que será devolvido ao final do ano?

A fim de atingirmos os nossos objetivos, o nosso guia de estudos está

estruturado em duas Unidades, descritas a seguir:

Unidade 1: Conceitos Fundamentais e Regimes de Capitalização –

apresentaremos os conceitos fundamentais da Matemática Financeira e da


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Gestão Financeira Empresarial, bem como, diferenciaremos os dois regimes de

capitalização e apresentaremos as principais taxas associadas que aparecem no

âmbito financeiro brasileiro, como as taxas proporcionais, efetiva e nominal.

Unidade 2: A Gestão Financeira no Foco da HP 12C –

apresentaremos a resolução de situações comuns do dia a dia empresarial e

pessoal, via a HP 12C, que é considerada a principal ferramenta para a

implementação de soluções no mundo dos negócios.

Para finalizarmos os aspectos introdutórios da nossa disciplina, deve-se

destacar que “aprendizagem” não significa, apenas, realizar os acréscimos na

estrutura cognitiva do aluno; é preciso, sobretudo, estabelecer modificações para

que ela se configure como uma aprendizagem significativa. Desta forma, é muito

importante que você pesquise em outras fontes bibliográficas, tais como artigos,

revistas e, principalmente, nas nossas referências.

Além disso, tentaremos buscar uma linguagem bastante simples como

forma de propiciar um bom entendimento dos aspectos discutidos na disciplina.

Sempre refaça os diversos exemplos ilustrativos deste material de apoio.

“O único lugar onde sucesso vem antes de trabalho é no dicionário.”

(Albert Einstein)

“Os números governam o mundo”.

(Platão)

"Tempo é dinheiro."

(Benjamin Frankl in)


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UNIDADE 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS, REGIMESDE CAPITALIZAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO NA HP 2C

1.1. Objetivos da Unidade

Nesta unidade é de nosso interesse apresentar os conceitos introdutórios

da Matemática Financeira aplicada à gestão empresarial como um todo, bem

como, apresentar as propriedades fundamentais dos regimes de capitalização

simples e composto, além de discutirmos as principais taxas que comparecem

nos mesmos, que são as taxas proporcionais, taxas equivalentes, taxa nominal e

taxa efetiva. Neste sentido, ao final desta unidade, o aluno será capaz de:

apresentar e discutir os conceitos introdutórios da Matemática

Financeira Aplicada à Gestão de Negócios;

apresentar e aplicar os conceitos fundamentais da Matemática

Financeira;

apresentar e diferenciar os dois tipos de regimes de capitalização

aplicados no mercado brasileiro;

caracterizar taxas proporcionais, taxas nominais e taxas equivalentes;

interpretar e aplicar a noção de taxa efetiva de juros;

interpretar e aplicar a noção de equivalência financeira;

apresentar uma série de exemplos resolvidos que ilustram a aplicação

prática dos conceitos apresentados anteriormente.

1.2. Aspectos Introdutórios da Matemática Financeira Aplicada a Gestão

É sabido que a Matemática Financeira é uma ferramenta fundamental paraanalisar, por diversos pontos de vista, o cotidiano financeiro e, principalmente,

“pegar uma carona” na máquina do tempo da matemática, com o objetivo de

planejar a vida financeira futura tanto de uma empresa como de um indivíduo, ou

seja, com o objetivo central de maximizar resultados em caráter empresarial ou

pessoal.

Em outras palavras, podemos dizer que a Matemática Financeira é um

ramo da Matemática Aplicada que estuda as operações financeiras de uma forma

geral, analisando seus diferentes fluxos de caixa ao longo do tempo. Entendemos


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por fluxo de caixa as entradas e saídas de dinheiro efetivadas no decorrer do

tempo numa dada operação. Desta forma, para analisarmos e tomarmos a

decisão acerca de uma situação financeira, num primeiro momento, temos que

nos familiarizar com os conceitos fundamentais da Matemática Aplicada à Gestão

de Negócios.

Ressaltamos ainda, que segundo Samanez (2006), postergar uma entrada

de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser

pago mediante uma recompensa, definida como sendo os juros, que é um termo

que nos preocupa muito nos dias atuais. Sendo assim, são os juros que

efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de

poupanças e novos investimentos na economia. Um dos elementos básicos queapresentaremos na sequência, é o conceito de taxas de juros, porém tais taxas

devem ser eficientes de maneira a remunerar:

1. O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado

em linhas gerais pela incerteza com relação ao futuro. Este risco denominamos

de risco do negócio.

2. A perda do poder de compra do capital motivada pela inflação. Note que

a inflação, termo também que ouvimos comumente no cotidiano, é um fenômenoque desgasta o capital, determinando o volume cada vez menor de compra com o

mesmo montante.

3. O capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro (ou

ganho) ao proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por

determinado período de tempo.

Importante! A Matemática Financeira propõe-se avaliar fluxos de caixa, demodo a permitir a tomada de decisão racional a partir dessa avaliação.

Dinheiro tem custo associado ao tempo. Em outras palavras, o tempo é uma

variável chave para a Matemática Financeira. As três razões que influenciam

pela posse atual do dinheiro são: risco, utilidade e oportunidade.

Ressaltamos, também, a importância do entendimento do Diagrama de

Fluxo de Caixa (DFC), que é uma representação gráfica fácil e simples das

movimentações financeiras no contexto geral de finanças, ou seja, é muito


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importante o entendimento desta ferramenta para que possamos analisar com

maior estrutura e clareza as operações financeiras no âmbito do mercado.

Figura 01: Diagrama de Fluxo de Caixa: representação fundamental para o estudo de situaçõesfinanceiras do nosso dia-a-dia.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

1.3. Elementos Básicos

Você com certeza já deve ter escutado sobre os termos que descrevem os

elementos fundamentais para a construção da teoria envolvendo a Matemática

Financeira Aplicada ao Meio Empresarial ou à Gestão? De outro modo, com

certeza, emprega os mesmos no seu cotidiano? Você se lembra deles? Saberia,

por exemplo, descrever e definir o valor futuro de uma determinada situação? Os

juros inseridos em um financiamento? Sendo assim, antes de definirmos

propriamente os dois tipos de regimes de capitalização, ou caracterizar as séries

de pagamentos ou anuidades, caracterizar taxas de mercado e entender os

sistemas de amortização, é necessário introduzirmos os elementos básicos da

Matemática Financeira, ou seja, seriam as células fundamentais para a

construção de toda a teoria da gestão financeira de empresas ou de pessoas.

Logo, a descrição específica de cada um aparece a seguir.


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Valor Presente ou Capital Inicial ou Principal (PV, P ou C): termo

proveniente do inglês “Present Value ”, sendo caracterizado como a quantidade

inicial de moeda que uma pessoa tem em disponibilidade e concorda em ceder a

outra pessoa, por um determinado período, mediante o pagamento de

determinada remuneração.

Taxa de Juros (i): termo proveniente do inglês “Interest Rate ” (taxa de

juros) e relacionado a sua maneira de incidência. Salientamos que a taxa pode

ser mensal, anual, semestral, bimestral, diária, entre outras. Além disso,

comumente, a taxa de juros pode ser descrita na forma percentual (1,45% ao mês

ou 1,45% a.m.) ou na forma unitária (0,25 ao mês ou 0,25 a.m.).

Juros (J): é o que pagamos pelo aluguel de determinada quantia por um

dado período, ou seja, é a nomenclatura dada à remuneração paga para que um

indivíduo ceda temporariamente o capital que dispõe.

Montante ou Valor Futuro (FV ou M): termo proveniente do inglês

“Future Value ”, sendo caracterizado em termos matemáticos como a soma docapital inicial mais os juros capitalizados durante o período. Em outras palavras, é

a quantidade de moeda (ou dinheiro) que poderá ser usufruída no futuro. Em

símbolos, escrevemos FV = PV + J.

Tempo ou período de capitalização (n): nada mais é do que a duração

da operação financeira, ou seja, o horizonte da operação financeira em questão.

O prazo pode ser descrito em dias, meses, anos, semestres, entre outros.


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Figura 02: Elementos básicos da Matemática Financeira.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

Além disso, é interessante ressaltarmos que temos dois princípios básicos

a serem respeitados quando analisamos problemas no contexto financeiro, que

são:

Princípio 01: Só podemos comparar valores (R$) se estes estiverem

referenciados na mesma data. Em outras palavras, isto nos mostra que só

podemos comparar dois valores quando estes estiverem referenciados na

mesma data, data esta chamada de focal ou comum ou de comparação.

Princípio 02: Só podemos efetuar operações algébricas com valores

referenciados na mesma unidade, ou seja, se apresentarmos a taxa de juros

como a anual, o prazo em questão também deve ser referenciado em anos.

Importante! Jamais posso somar dois fluxos de caixa em datas diferentes

para efeito comparativo, bem como, por exemplo, não posso comparar

quem seria melhor: R$ 1.000,00 hoje ou R$ 1.300,00 daqui 4 meses.


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1.4. Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) e Aplicações

Você já interpretou um diagrama de fluxo de caixa? Saberia descrever o

mesmo? Saberia identificar os seus elementos? Já pensou em relacionar asentradas de dinheiro e seus pagamentos em um determinado mês? Desta forma,

o Diagrama de Fluxo de Caixa, é uma importante ferramenta para uma melhor

interpretação e tomada de decisão a nível gerencial em operações financeiras do

mercado.

Geralmente! No mercado financeiro denotamos um Diagrama de Fluxo de

Caixa pela sigla DFC.

Vejamos um exemplo ilustrativo introdutório.

Exemplo Introdutório: Gilberto necessita comprar um CD Player, sendo

que a compra do mesmo custa à vista R$100,00, ou pode ser paga em duas

parcelas mensais (sendo uma entrada no ato) no valor de R$60,00. Se Gilberto

faz a opção de compra do CD Player em duas prestações de R$60,00 como

descrito anteriormente, qual é a taxa de juros mensal cobrada pela

distribuidora que repassa tal componente?

Devemos observar com cuidado o exemplo para não respondermos com

equívoco o mesmo, ou seja, a priori , parece uma resposta muito óbvia, mas

devemos sempre ter cuidado com as respostas diretas e sem interpretação.

Sendo assim, antes da análise detalhada do Diagrama de Fluxo de Caixa desta

operação, uma pessoa qualquer, em um primeiro momento, poderia achar que a

resposta seria 20%, já que se pagou R$120,00 (duas parcelas de R$60,00).

Todavia, será mesmo a resposta do exemplo? Estaremos resolvendo este

exemplo introdutório com coerência e interpretando corretamente o mesmo, se

fizermos a interpretação a partir da ferramenta geométrica do Diagrama de Fluxo

de Caixa. Note que ao comprar e pagar o componente no valor de R$100,00,

Gilberto já havia pagado a entrada de R$60,00. Logo, financiou apenas a

diferença no valor de R$40,00, comprometendo-se a pagar R$60,00 um mês

depois. Desta maneira, a taxa de juros incidente sobre a operação foi igual a:

[(60/40 – 1)x100%] = 50%


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A representação geométrica da situação descrita (DFC), nos auxilia e muito

para o um melhor entendimento da operação financeira apresentada, ou seja, da

caracterização da taxa de juros encontrada. Inicialmente, devemos perceber que

como na data zero existem dois valores, um positivo igual a R$100,00 e um

negativo igual a R$60,00, ambos poderiam ser representados por um valor

líquido igual a R$40,00. Vejamos o DFC associado na Figura 03 a seguir.

Figura 03: Diagrama de Fluxo de Caixa do caso descrito anteriormente.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

A partir do exemplo anterior, percebe-se que para facilitar a representação

das operações financeiras da gestão financeira como um todo, utiliza-se umarepresentação gráfica que consiste na representação gráfica da movimentação de

recursos ao longo do tempo (entradas e saídas de caixa).

Figura 04: O Diagrama de Fluxo de Caixa.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

Segundo Bruni, Adriano e Famà, Rubens (2003), nesta representação

gráfica destacam-se alguns aspectos fundamentais, tais como:


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a escala horizontal representa o tempo, que pode ser expresso de

qualquer uma das formas, por exemplo, em dias, semanas, meses, anos, entre

outros;

os valores (ou os pontos) 0 e n indicam as posições relativas entre as

datas. Assim, o ponto 0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n

representa o número de períodos passados. Caso a unidade de tempo utilizada

seja meses, então consideramos n meses e, assim por diante;

as entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Desta

maneira, é associado o sinal positivo e estas entradas são representadas por

setas apontadas para cima;

as saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Desta forma, é

associado o sinal negativo e estas saídas são representadas por setas

apontadas para baixo.

Figura 05: Os elementos formadores do DFC.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

Em termos gerais, no mercado financeiro ou na gestão financeira temos

duas representações para as operações financeiras a partir de um DFC, que são

mostradas na Figura 06 a seguir.


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.

Figura 06: Diagramas de Fluxo de Caixa.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

Vejamos mais exemplos ilustrativos acerca do diagrama de fluxo de caixa.

Exemplo 01: Vamos construir o diagrama de fluxo de caixa para os

seguintes pagamentos ou recebimentos:

Ano Fluxo de Caixa (em R$)

0 450,00

1 300,00

2 800,00

3 (150,00)

4 350,00

5 (150,00)

Solução: Inicialmente, devemos salientar que toda vez que um valor do

fluxo de caixa aparecer em parênteses ele quer representar um pagamento, ou

seja, ele representa uma saída de caixa. Sendo assim, note que os fluxos de data

(3 e 5) são pagamentos ou saídas de caixa.


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Figura 07: Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

Importante! Sempre que um fluxo de caixa aparecer com o seu valor

colocado em parênteses, significa que o mesmo é um PAGAMENTO.

Exemplo 02: Representar o DFC associado aos fluxos de caixa definidos

abaixo.

Ano Fluxos de Caixa (em R$)

0 (500,00)

1 250,00

2 250,00

3 150,00

4 100,00

Solução: Neste caso, o DFC associado é dado por:

Figura 08: O Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.


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Exemplo 03: A Argepal Implementos Agrícolas pensa em abrir uma nova

unidade com investimento inicial igual a R$ 1.000.000,00. Sabe-se que os gastos

anuais associados aos cinco anos de vida do negócio são estimados em

R$80.000,00, e as receitas, em R$200.000,00. Representar o diagrama de fluxo

de caixa dessa operação.

Solução: Neste caso, temos o seguinte diagrama de fluxo de caixa

seguindo a visão da Argepal Implementos Agrícolas:

Figura 09: O Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo.

Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

1.5. 5. Regimes de Capitalização

Chamamos de Regime de Capitalização a maneira pelo qual será pago o

juro por um capital aplicado ou tomado emprestado. Em verdade, temos dois

regimes de capitalização, que são: o Regime Linear de Juros (ou Juros

Simples) e o Regime de Capitalização Exponencial (ou Juros Compostos).

Ressaltamos que o primeiro tem aplicações limitadas no mercado financeiro,enquanto que o segundo é usado amplamente. Podemos dizer que:


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Regime Linear de Juros: comporta-se como se fosse uma progressão

aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo, sendo que

aqui os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação ou

empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados;

Regime Exponencial de Juros: incorpora ao capital não somente os

juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados

até o momento anterior. Pode-se falar que é um comportamento equivalente a

uma progressão geométrica (PG), pela qual os juros incidem sempre sobre o

saldo apurado no início do período correspondente (e não unicamente sobre o

capital inicial).

Figura 10: Aplicações envolvendo os regimes de capitalização.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

1.6. O Regime Linear de Juros

Como podemos descrever o regime linear de juros simples? Saberiadescrever onde os mesmos são utilizados no mercado financeiro brasileiro?

Especificamente falando, no Brasil, os juros simples são usados nas operações

de empréstimo de curtíssimo prazo, até mesmo por um dia, que no mercado

financeiro chamamos de hot Money , na cobrança de cheques especiais, nos

financiamentos indexados em moeda estrangeira e, também, no desconto de

duplicatas e notas promissórias.

Neste contexto, geralmente, os juros são calculados periodicamente: aofinal de um dia, de um mês, de um ano ou de qualquer outro período pré-fixado


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por ocasião de um investimento ou empréstimo. Vejamos um exemplo introdutório

para descrevermos o processo de cálculo dos juros no regime linear de juros.

Exemplo Introdutório: Vamos considerar um empréstimo de R$5.000,00

pelo qual deverão ser pagos 4% de juros simples por mês. Para saber de quanto

serão os juros ao final de um mês, basta calcular o valor de:

4% de R$5.000,00 = 0,04 x 5000 = R$200,00

No segundo mês, estes juros dobram, no terceiro triplicam, e assim por

diante. Desta forma, para calcular os juros num período n de tempo, poderíamos

fazer:

Juros = 5000 x 0,04 x n

Geralmente, os juros simples J, resultantes da aplicação de um capital C a

uma taxa i, durante um período n de tempo, podem ser calculados pela seguinte

expressão:

J = PV x i x n

Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros

valores financeiros mediante simples dedução algébrica, ou visualização damesma de outra forma como é descrito a seguir.

PV =n xi

J i =

n x PV

J n =

i x PV

J

Importante! Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano

com 360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do denominado juro

comercial ou ordinário. Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente ocalendário do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira, denomina-

se juro exato. Além disso, salientamos que o juro comercial diário é

ligeiramente superior ao exato pelo menor número de dias considerado no

intervalo de tempo.

De outro modo, como podemos calcular o valor futuro no regime linear de

juros? Segundo Samanez (2006), um determinado capital, quando aplicado a uma

taxa periódica de juro por determinado tempo, produz um valor acumulado, o


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qual denominamos de Montante ou Valor Futuro e, identificado por FV ou M. Em

outras palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos

juros, isto é:

FV = PV + J (I)

Por outro lado, sabemos que:

J = PV.i.n (II)

Substituindo (II) em (I), obtemos que:

FV = PV.(1 + i.n) ou M = C.(1 + i.n)

Evidentemente, o valor de PV desta fórmula pode ser obtido através de

simples transformação algébrica PV =)1( n xi

FV

. Além disso, de acordo com

Samanez (2006), a expressão (1 + i.n) é definida como Fator de Capitalização

(ou de Valor Futuro – FCS) dos juros simples e o fator inverso, ou seja,).1(

1

ni

é chamado de Fator de Atualização (ou de Valor Presente – FAS).

Figura 11: Fator de Capitalização e Fator de Atualização.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

Vejamos alguns exemplos ilustrativos referentes ao que acabamos deapresentar sobre as expressões características do regime linear de juros.


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Exemplo 04: Determinar o juro simples que um capital de R$6.000,00

rende quando aplicado durante o período de dois anos, considerando uma taxa

de 2,75% ao mês?

Solução: Neste caso, temos que PV = 6000, n = 2 anos = 24 meses e i =

2,75% ao mês = 0,0275 ao mês. Daí:

J = PV x i x n

J = 6000 x 0,0275 x 24

J = 3960,00

Ou seja, o juro é de R$3960,00.

Exemplo 05: Qual é a taxa mensal de juros simples que deverá incidir

sobre um capital de R$80.000,00 para que este, em quatro meses, renda

R$2.335,60?

Solução: Neste caso, temos que PV = 80000, n = 4 meses e J = 2335,60,

daí:

J = PV x i x nOu seja,

2335,60 = 80000 x i x 4

i =480000

60,2335

x

i = 0,00729 ao mês, ou seja, 0,729% ao mês

Portanto, a taxa mensal é de 0,729% a.m., para que o capital de

R$80000,00 renda R$2335,60 em quatro meses.

Exemplo 06: Uma pessoa aplica R$20.000,00 à taxa de 1,35% ao mês

durante 6 meses. Qual é o valor acumulado ao final deste período?

Solução: Temos que PV = 20000, n = 6 meses e i = 1,35% ao mês =

0,0135 ao mês. Daí:

FV = PV x (1 + i x n)

FV = 20000 x (1 + 0,0135 x 6)


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23

FV = 21.620,00

Portanto, o valor acumulado depois de 6 meses foi de R$21.620,00.

Exemplo 07: Um indivíduo possui uma dívida no valor de R$750.000,00

que irá vencer em cinco meses. O credor está oferecendo um desconto de 2,8%

ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para a data de hoje. Qual é

o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida?

Solução: Neste caso, temos que FV = 750000, n = 5 meses e i = 2,8% ao

mês = 0,028 ao mês. Desta forma, escrevemos:FV = PV x (1 + i x n)

75000 = PV x (1 + 0,028 x 5)

PV = 657.894,74

Exemplo 08: Coloquei certa quantia em um banco a 8% ao ano e retirei,

depois de três quatro anos, R$861,00. Quanto recebi de juros sabendo que a

aplicação foi feita à base de juros simples?

Solução: Do enunciado temos que FV = 856, i = 0,08 e n = 4. É de nosso

interesse calcular o valor dos juros, sendo assim, escrevemos:

J = PV x i x n

J = PV x 0,08 x 4

J = 3,2.PVMas, como FV = PV + J, segue que:

861 = PV + 3,2.PV

861 = 4,2.PV

PV = 205

Logo, o capital investido foi de R$ 205,00. Para encontrarmos os juros,

basta subtrairmos o montante do capital, ou seja, J = 856 – 205 = 651.


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24

Exemplo 09: Alessandro aplicou suas economias em um banco, a juros

simples comerciais de 15% ao ano, durante 2 anos. Findo o prazo, reaplicou o

montante e mais R$2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 anos e à taxa

de 20% ao ano, sob o mesmo regime de capitalização (regime simples).

Admitindo-se que os juros das 3 aplicações somaram R$18.216,00, o capital

inicial da primeira aplicação era de?

Solução: Neste caso, temos a seguinte disposição de dados:

J 1 = PV x 0,15 x 2 = 0,3.PV

J 2 = (1,3.PV) x 0,2 x 4 = 1,04.PV

J 3 = (2000) x 0,2 x 4 = 1600

(NOTE QUE O PRIMEIRO MONTANTE É PV + 0,3PV = 1,3PV)

Logo:

J 1 + J 2 + J 3 = 0,3.PV + 1,04.PV + 1600 = 18216

1,34.PV = 16616

Portanto,

PV = 12400

Ou seja, o capital inicial da primeira aplicação era de R$12400,00.

Exemplo 10: Um aluno na aula de Matemática Financeira faz a seguinte

argumentação para a sala, a respeito de um dos fatores (inflação) que

determinam à existência dos juros:

“In f lação (desgaste da moeda) – diminuição do poder aquisitivo da

moeda exige que o investimento produza retorno menor que o capital

investido”. Esta argumentação é coerente ou não? Justifique a sua resposta.

Solução: Não está coerente a argumentação, pois diminuição do poder

aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno MAIOR que o

capital investido.

Exemplo 11: Um administrador de empresas emprega seu capital nas

seguintes condições: a terça parte a 15% ao ano, a quinta parte a 18% ao ano e o

restante a 21% ao ano. A que taxa única esse administrador poderia empregar

todo o capital a fim de obter o mesmo rendimento anual?

Solução: Neste caso, de acordo com a fórmula dos juros no regime linear,


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temos que:

para a terça parte a 15% ao ano: J1 = (3

PV ).0,15.1 = 0,05.PV;

para a quinta parte a 18% ao ano: J2 = (5

PV ).0,18.1 = 0,036.PV;

para o restante (1 – 1/3 – 1/5 = 7/15) a 21% ao ano: J3 = (7

15

PV ).0,21.1

= 0,098.PV.

Logo, para descobrirmos a que taxa única esse médico poderia empregar

todo o capital a fim de receber o mesmo rendimento anual, poderíamos escrever:

J1 + J2 + J3 = PV.i.1

0,05.PV + 0,036.PV + 0,098.PV = PV.i

0,184 = i

Ou seja, i = 18,4% ao ano.

Exemplo 12: Um componente médico é oferecido a um hospital por

R$130,00 à vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um pagamento

de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo

cobrada.

Solução: Neste caso, podemos escrever:

20% de entrada = 20%.(R$130,00) = R$26,00

Saldo = 130 – 26 = 104

Logo, temos que PV = 104 e FV = 106,90 então J = 2,90. Daí:

J = PV.i.n

2,90 = 104.i.1

i =2,90

104

i = 0,02788

Ou seja,i = 2,788% a.m.


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1.7. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes: O que são?

Você saberia descrever no regime linear de juros o que seriam taxas

equivalentes? E taxas proporcionais? Vamos averiguar? Num primeiro momento

já vimos que o regime linear possui aplicações limitadas no mercado financeiro,

porém estas definições de taxas são muito utilizadas e, sendo assim, de

fundamental importância para os nossos propósitos. Para compreendermos

melhor estas definições temos dois prazos importantes para analisarmos que são:

o prazo a que se refere à taxa de juros e o prazo de capitalização (ocorrência) dos

juros.

De acordo com Samanez (2006), no regime linear de juros, se estes dois

prazos estiverem referenciados em unidades distintas, ou transforma-se o prazoespecífico da taxa para o prazo de capitalização ou, de maneira inversa, o

período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de

juros. Sendo assim, por conta de sua linearidade, no regime linear de juros, esta

transformação é processada pela taxa proporcional de juros também denominada

de taxa linear ou taxa nominal. Salienta-se que tal taxa é obtida da divisão entre a

taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os

juros (quantidade de períodos de capitalização). Por exemplo, para uma taxa de juros de 12% ao ano, se a capitalização for definida mensalmente (ocorrerão 12

vezes juros no período de um ano), o percentual de juros indicará sobre o capital

a cada mês será Taxa proporcional =12%

12 = 1% ao mês.

Cabe ressaltar de forma específica, que a aplicação de taxas proporcionais

é amplamente utilizada em operações de curto, tais como cálculo de juros de

mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos

sobre saldo devedor de conta corrente bancária, entre outros.

De outro modo, dizemos que as taxas de juros se dizem equivalentes

quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo,

produzem o mesmo juro. Por exemplo, as taxas de 4% ao mês e 12% ao trimestre

são equivalentes, pois se considerarmos o valor presente de R$2.000,00,

aplicados durante o período de 6 meses, podemos escrever:

No primeiro caso, temos:


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27

..04,0..%4

6

000.2

mamai

mesesn

PV

Logo:

J = 2.000 x 6 x 0,04 = R$480,00.

No segundo caso, temos:

..12,0..%12

2

000.2

t at ai

trimestresn

PV

Daí:

J = 2.000 x 2 x 0,12 = R$480,00

Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que 4% ao mês e

12% ao trimestre são taxas equivalentes.

Importante! No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou

lineares) e taxas equivalentes é considerada a mesma coisa, sendo

indiferente à classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou

equivalentes, ou seja: Taxas equivalentes Taxas proporcionais. Além

disso, observe que no regime linear podemos até dividir a taxa pelo número

de períodos de capitalização exatamente por conta da igualdade descrita

anteriormente. Porém, deve se ter em mente que tal divisão não pode serfeita no regime composto de juros.

Definição (Capitais Equivalentes): Dois ou mais capitais representativos

de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros,

produzem resultados iguais numa data comum (denominada data focal).

Importante! Na prática, a definição da data focal em problemas de

substituição de pagamentos no regime de juros simples deve ser decidida

naturalmente pelas partes, não se verificando um posicionamento técnico


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definitivo da Matemática Financeira.

Vejamos dois exemplos ilustrativos envolvendo taxas proporcionais,

equivalentes e capitais equivalentes.

Exemplo 13: Uma duplicata com valor nominal de R$8.500,00 vence em

120 dias. Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o

valor dessa duplicata

a) hoje.

b) dois meses antes de seu vencimento.

c) um mês após o seu vencimento.

Solução: Neste caso, temos que:

a) Valor da Duplicata Hoje = D 0 =8.500,00

0,3121 4

12 x

=8.500,00

1,104 =

R$7.699,27 (Neste caso devemos atualizar o valor da duplicata para a data

de hoje).

b) Valor da Duplicata Dois Meses antes do Vencimento = D 2 =

8.500,00

0,3121 2

12 x

=8.500,00

1,052 = R$8.079,85 (Neste caso devemos atualizar o valor

da duplicata para a data n = 2).

c) Valor da Duplicata Um mês após o Vencimento = D 5 = (8.500,00) x (

1+12

312,0 x 1) = R$8.721,00 (Neste caso devemos capitalizar o valor da

duplicata para a data n = 5).

Exemplo 14: Um consultor de vendas tem os seguintes compromissos

financeiros:


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R$35.000,00 vencíveis no fim de 3meses;

R$65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses.

Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas

financeiras, aplicando-as em uma conta de poupança que rende 55% ao ano de

juros simples. Pede-se para determinar o valor do capital que deve ser aplicado

nesta poupança de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas

respectivas datas de vencimentos sem deixar saldo final na conta.

Solução: Temos a seguinte disposição geométrica:

Figura 12: A interpretação do exemplo.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

Data Focal: data zero (hoje) - (Neste caso devemos atualizar os dois

capitais).

Além disso, i = 55% ao ano = 5,5% ao mês ou 0,055 ao mês. Logo:

C 0 =)5055,01(

00,000.65

)3055,01(

00,000.35

x x

(Neste caso devemos atualizar os dois

capitais).

C 0 = 30.042,92 + 50.980,39

C 0 = 81.023,31


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30

O consultor de vendas, depositando hoje R$81.023,31 numa poupança que

paga 5,5% ao mês de juros simples, terá condições, com este capital aplicado, de

resgatar suas dívidas nas respectivas datas de vencimento. Logo, ao capitalizar o

capital aplicado para os momentos 3 e 5, o resultado registrado deve ser igual ao

valor dos pagamentos, isto é:

Momento 3 = 81.023,31x (1 + 0,055 x 3) = R$ 94.392,16

( –) Resgate (35.000,00)

Momento 5 = 59.392,16 x (1 + 0,055 x 2) = R$ 65.925,30

( –) Resgate (65.000,00)

Observemos que o saldo remanescente de R$925,30 é devido à

capitalização dos juros (regime linear ), já que vimos anteriormente que neste

regime o prazo da operação não pode ser fracionado, originando-se daí a

diferença que encontramos.

1.8. O Regime Exponencial de Juros (Juros Compostos)

Você já ouviu o termo “juros sobre juros”? Se nunca ouviu, com certeza

já deve ter realizado alguma operação que se utilizou deste procedimento, ouseja, do regime exponencial de juros. Neste regime temos que o cálculo dos juros

é realizado, no primeiro período, multiplicando-se a taxa de juros pelo capital e, a

partir do segundo período, calculam-se os juros em cada período multiplicando a

taxa de juros pelo montante acumulado no fim de cada período imediatamente

anter ior, donde surge o linguajar popular “juros sobre juros”. Observe que os juros

são incorporados, a cada período, a partir do montante acumulado no fim de cada

período imediatamente anterior e, consequentemente, o valor dos juros cresce

exponencialmente com o passar dos períodos.

Saldo: R$925,30

Saldo: R$53.392,16


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31

Figura 13: A diferença entre os regimes de capitalização.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

No gráfico, a linha em vermelha nos mostra o regime linear de juros,

enquanto que a curva em azul representa o regime de juros compostos. Ou ainda:

Figura 14: Interpretação dos dois regimes de capitalização.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

1.9. Cálculo do Valor Futuro no Regime Exponencial

Consideremos um principal PV aplicado a juros compostos, à taxa de juros

i. Desta forma, podemos observar que:

1 FV = PV + PV. i logo 1 FV = PV.(1 + i)

2 FV = 1 FV + 1 FV . i, ou seja, 2 FV = 1 FV .(1 + i) = PV.(1 + i).(1 + i) = PV.(1 +

i)²

3 FV = 2 FV + 2 FV . i, isto é, 3 FV = 2 FV (1 + i) = PV.(1 + i)³


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32

...

...

...

Assim sendo, podemos deduzir que o valor futuro no enésimo período será

dado por:

FV = PV. (1 )ni

Importante! Denomina-se fator de capitalização no regime composto a

expressão (1 )ni , indicada por FCC(i, n), enquanto que a expressão1

(1 )nié dita

fator de atualização (ou fator de descapitalização) no regime composto e

descrita por FAS (i, n).

Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo o regime exponencial de

juros.

Exemplo 15: Qual o valor futuro de uma aplicação de R$14.000,00 em um

título pelo prazo de 6 meses à taxa de juros composta de 2,0% a.m.?Solução: Neste caso, temos que PV = 14000, i = 2% ao mês = 0,02 a.m. e

n = 6 meses, daí:

FV = PV.(1 + i) n

FV = 14000.(1 + 0,02) 6

FV = 15766,27

Exemplo 16: Determinar a taxa mensal composta de juros de uma

aplicação de R$60.500,00 que produz um montante de R$82.750,00 ao final decinco meses.

Solução: Do problema temos que: PV = 60.500,00, n = 5 meses e FV =

82.750,00. Sendo assim, escrevemos:

FV = PV x (1 + i) n

82750 = 60500 x (1 + i) 5

60500

82750 = (1 + i) 5

1,367768595 = (1 + i) 5


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33

5 51,36776859 = 5 5)1( i

1,064639378 = 1 + i

i = 0,064639 ou aproximadamente 6,46% ao mês

Exemplo 17: Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de

juros compostos de 1,8% ao mês?

Solução: Neste caso, podemos considerar PV = PV, FV = 2.PV e i = 1,8%

ao mês = 0,018 ao mês. Logo:

FV = PV x (1 + i) n

2.PV = PV x (1 + 0,018) n

2 = (1,018) n

log2 = log(1,018) n

0,301029995 = n.log(1,018)

n = 38,85 meses

Exemplo 18: Calcular o montante de uma aplicação financeira de R$

80.000,00, admitindo-se os seguintes prazos e taxas:

a) i = 5,5% ao mês; n = 2 anos

b) i = 9% ao bimestre; n = 1 ano e 8 meses

c) i = 12% ao ano; n = 108 meses

Solução: Neste caso, temos que utilizar mais uma vez a fórmula do valor

futuro no regime composto: ni)PV.(1FV . Daí:

a) i = 5,5% ao mês; n = 2 anos

289167,19R$FV

5)0000.(1,058FV 24

b) i = 9% ao bimestre; n = 1 ano e 8 meses


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34

189389,09R$FV

)0000.(1,098FV 10

c) i = 12% ao ano; n = 108 meses

221846,30R$FV

)0000.(1,128FV 9

Exemplo 19: Determinar o juro de uma aplicação de R$ 100.000,00 nas

seguintes condições de taxa e prazo:

a) i = 1,5% ao mês; n = 1 ano

b) i = 3,5% ao trimestre; n = 2 anos e meioc) i = 5% ao semestre; n = 3 anos

d) i = 4,2% ao quadrimestre; n = 84 meses

Solução: Neste caso, temos que:

Fórmulas: J = FV – PV e ni)PV.(1FV

Daí:

a) i = 1,5% ao mês; n = 1 ano

119561,81R$FV

15)00000.(1,01FV 12

FV 119561,81- 100000

J 19561,81

b) i = 3,5% ao trimestre; n = 2 anos e meio

141059,87R$FV

35)00000.(1,01FV 10

FV 141059,87 - 100000

J 41059,87

c) i = 5% ao semestre; n = 3 anos6FV 100000.(1,05)

FV R$ 134009,56

FV 134009,56 - 100000

J 34009,56

d) i = 4,2% ao quadrimestre; n = 84 meses

237258,67R$FV

42)00000.(1,01FV 21

FV 237258,67 - 100000

J 137258,67


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Exemplo 20: Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3

anos, na base de 10% ao ano, seu montante final é?

a) ( x ) 133% do capital inicial, aproximadamente.

b) ( ) 130% do valor do capital inicial.

c) ( ) 150% do capital inicial, aproximadamente.

d) ( ) 30% superior ao capital inicial.

e) ( ) Nada podemos concluir.

Solução: Neste caso, podemos pensar em um capital inicial PV, com taxa i

= 10% ao ano = 0,10 a.a. e n = 3 anos, daí:

FV = PV. (1 )ni

Logo, substituindo os dados, vem que:

FV = PV. 3(1 0,1)

FV = PV. 3(1,1)

FV = 1,331.PV

Ou seja,

FV = 133,1%.PV

Donde concluímos, que o seu montante será 133% do capital inicial,

aproximadamente, ou seja, a resposta correta é a letra (A).

Exemplo 21: Para uma taxa de juros de 7% ao mês, qual das alternativas

de pagamento representa o menor custo para o devedor Hospital AFA:

a) Pagamento integral de R$140.000,00 à vista (na data zero).

b) R$30.000,00 de entrada, R$40.000,00 em 60 dias e R$104.368,56 em

120 dias.

Solução: Aqui, podemos atualizar a situação descrita em (b) e comparar

com (a). Ou seja, vai representar menor custo para o Hospital AFA aquela

situação que representar o menor valor na data zero. Logo, atualizando os valores

da situação (b) para a data zero, temos que:


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36

30 000 atualizado na data zero = 30 000;

40 000 em 60 dias atualizado para a data zero resulta em:40000

(1 0,07)²=

34.937,54;

104.368,56 em 120 dias atualizado para a data zero resulta em:

4

104.368,54

(1 0,07)= 79.622,25.

Portanto, a soma dos valores atualizados é dada por:

PV = 30000 + 34.937,54 + 79.622,25 = 144.559,79

Desta forma, concluímos que a situação descrita em (a) representa o

menor custo para o Hospital AFA, já que 140.000,00 < 144.559,79.

Exemplo 22: Vamos encontrar a taxa mensal composta de juros de uma

aplicação de R$40.000,00 que produz um montante de R$43.894,63 ao final de

um quadrimestre.Solução: Do problema temos que: PV = 40.000,00, n = 4 meses e FV =

43.894,63. Logo, podemos escrever que:

FV = PV x (1 + i) n

3.894,63 = 40.000,00 x (1 + i) 4

00,000.40

63,894.43 = (1 + i) 4

1,097366 = (1 + i)

4

4 097366,1 = 4 4)1( i

1,0235 = 1 + i

i = 0,0235 ou 2,35% ao mês

Ou seja, a taxa de juros mensal composta é igual a i = 2,35% ao mês.


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Exemplo 23: Uma aplicação de R$22.000,00, efetuada em certa data

produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$26.596,40

em certa data futura. Qual é o prazo da operação?

Solução: Do problema temos que: PV = 22.000,00, i = 2,4% ao mês =

0,024 a.m. e FV = 26.596,40. Desta forma, podemos escrever:

FV = PV x (1 + i) n

26.596,40 = 22.000,00 x (1 + 0,024) n

00,000.22

40,596.26 = (1,024) n

1,208927 = (1,024) n

log (1,208927) = log (1,024) n

0,082400 = n x log(1,024)

n =)024,1log(

082400,0

n = 8 meses

Portanto, o prazo de tal operação é igual a 8 meses.

Importante! Toda vez que nos interessar o cálculo do expoente n (ou seja,

do horizonte da operação em questão), devemos utilizar o logaritmo decimal

(na base 10) para encontrarmos tal valor, como mostrado no exemplo

anterior.

Exemplo 24: Determinar o juro pago de um empréstimo de R$88.000,00

pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês.Solução: Do problema temos que: PV = 88.000,00, n = 5 meses e i = 4,5%

a. m. = 0,045 a.m. Logo, temos que:

J = PV x [ (1 + i) n – 1]

J = 88.000,00 x [ (1 + 0,045) 5 – 1]

J = 21.664,02

Ou seja, o juro pago por este empréstimo é igual a R$21.664,02.


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Exemplo 25: Colocada em um banco, uma quantia rendeu R$40.000,00 a

juros compostos de 2% ao mês, durante 5 meses. Qual é o valor desta quantia?

Solução: Do enunciado do problema temos que: FV = 40000, i = 2% ao

mês = 0,02 a.m. e n = 5 meses e queremos determinar o valor de PV.

Daí:

FV = PV x (1 + i) n

40000 = PV x (1 + 0,02) 5

40000 = PV.(1,104080803)

PV =104080803,1

40000

PV = 36.229,2324

Ou seja, o valor presente (ou a quantia inicial) desta aplicação é igual a

R$36.229,2324.

Exemplo 25: Durante quanto tempo é preciso aplicar R$5.000,00, à taxa

de 7% ao mês, para produzir o montante de R$12.000,00?

Solução: Do problema temos que: PV = 5.000,00, i = 7% ao mês = 0,07a.m. e FV = 12.000,00. Desta maneira, temos que:

FV = PV x (1 + i) n

12000 = 5000 x (1 + 0,07) n

12 = 5 x (1 + 0,07) n

log 12 = log[5 x (1 + 0,07) n ] = log5 + log(1,07) n

1,079181 = 0,69897 + n.log(1,07) n

n =029384,0

380211,0

n 12,9 meses

Portanto, o prazo de tal operação é aproximadamente igual a 12,9 meses.

Exemplo 26: Um capital de R$7.500,00 aplicado durante 5 meses produziu

um montante de R$9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada?

Solução: Do problema temos que: PV = 7.500,00, n = 5 meses e FV =9.500,00. Logo, podemos escrever:


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Figura 15: Interpretação do conceito de taxas equivalentes.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

Exemplo 27: Qual a taxa semestral equivalente para juros compostos a

10% ao ano?

Solução: Para resolvermos tal problema, devemos utilizar a fórmula:

i qq i 1 – 1

Onde:q = número de períodos de capitalização.

Em que i é a taxa anual (maior período), ou seja, i = 10% ao ano = 0,1

a.a. Além disso, temos que q = 2 (1 ano = 2 semestres). Desta maneira, temos

que:

i qq i 1 – 1

i 2 =2 1 i – 1

i 2 =2 1,01 – 1

i 2 =2 01,1 – 1

i 2 = 1,04880 – 1

i 2 = 0,04880 ou seja i 2 4,88% a.s. (ao semestre)

Portanto, a taxa semestral equivalente para juros compostos a 10% ao ano

é aproximadamente igual a 4,88%.


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Exemplo 28: Qual a taxa anual equivalente para juros compostos a 7% ao

bimestre?

Solução: Neste caso, devemos encontrar o valor de i, já que o maior

período em questão é ano. Notemos também, que q = 6 (1 ano = 6 bimestres) e

iq= i 6 = 7% a.b. = 0,07 a.b. Logo, temos que:

i qq i 1 – 1

i 6 =6 1 i – 1

0,07 = 6 1 i – 1

1 + 0,07 = 6 1 i

1,07 = 6 1 i

Elevando ambos os membros a potência 6, obtemos:

(1,07) 6 = ( 6 1 i ) 6

1 + i = (1,07) 6

i = (1,07)6

– 1i = 0,500730351 ou seja i 50,07% a.a. (ao ano)

Portanto, a taxa anual equivalente é de aproximadamente 50,07%.

Importante! (Cálculo de Taxas Equivalentes) Se denominarmos i a = taxa de

juros anual, i s = taxa de juros semestral, i t = taxa de juros trimestral, i m = taxa

de juros mensal, i d = taxa de juros diária e i b = taxa de juros bimestral e,

considerarmos o ano comercial (360 dias), a fórmula a seguir permite o

cálculo dessas taxas equivalentes é dada por:

1+ i a =(1 + i m )12 = (1 + i s )

2 = (1 + i t )4 = (1 + i b )

6 = (1 + i d )36 0


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1.11. Taxa Nominal e Taxa Efetiva: Como Reconhecê-las no Mercado

Financeiro?

Segundo Samanez (2006), a taxa efetiva de juros é a taxa dos juros

apurada durante todo o prazo n, sendo formada exponencialmente através dos

períodos de capitalização.

Definição (Taxa Efetiva): Taxa efetiva é o processo de formação dos

juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. Em

símbolos, temos que:

Taxa Efetiva (i f ) = (1 + i)q – 1

Onde q representa o número de períodos de capitalização dos juros.

Exemplo 29: Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao mês determina um

montante efetivo de juros de 56,45% ao ano, ou seja:

i f = (1 + 0,038)12 - 1 = 56,44% ao ano

Definição (Taxa Nominal): Dizemos que uma taxa de juros é nominal

quando o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e

incorporação dos juros ao valor presente) não é o mesmo daquele definido para a

taxa de juros.

Exemplo 30: Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 48% ao ano,

capitalizada de forma mensal. Os prazos não são coincidentes. O prazo de

capitalização é de um mês e o prazo a que se refere à taxa de juros igual a

um ano (12 meses).

Dessa maneira, 48% ao ano representa uma taxa nominal de juros,

expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de

capitalização. Salientamos ainda que, ao falarmos de taxa nominal é comum

admitir-se que a capitalização ocorre por juros proporcionais simples. Assim, no

exemplo, a taxa por período de capitalização é de 48%/12 = 2% ao mês (taxa

proporcional ou linear). Ao se capitalizar esta taxa nominal, apura-se uma taxa

efetiva de juros superior àquela declarada para a operação. Com base nos dados

do exemplo acima, temos:


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taxa nominal da operação para o período = 48% ao ano;

taxa proporcional simples;

(taxa definida para o período de capitalização) = 4% ao mês;

taxa efetiva de juros: i f =12

0,481

12

– 1 = 60,10322% ao ano

Importante! Observe que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de

uma operação.

Ao falarmos que os juros anuais são de 48%, mas capitalizados

mensalmente, apuramos que a efetiva taxa de juros atinge 60,10322% ao ano.

Para que 48% ao ano fosse considerada a taxa efetiva, a formação mensal dos

juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta, ou seja:

Taxa Equivalente Mensal de 48% ao ano:

12 1212

1 1

1 0,48 1 1,48 1 3,32% . .

q

qi i

i a m

Ao se capitalizar exponencialmente 3,32% ao mês chegamos aos 48% ao

ano.

Taxa Efetiva Anual 12

12

(1 0,0332) 1

(1 0,026) 1 48%

f

f

i

i ao ano

Importante! Vamos convencionar que, quando houver mais de um período

de capitalização e não houver uma menção explícita de que se trata de uma

taxa efetiva, a atribuição dos juros a estes períodos deve ser processada

através da taxa proporcional. Por outro lado, quando os prazos forem

coincidentes (prazo da taxa e o de formação dos juros) a representação dataxa de juros é abr eviada. Por exemplo, a expressão única “10% ao ano”

indica que os juros são também capitalizados em termos anuais. Muitas

vezes, ainda, o mercado define, para uma mesma operação, expressões

diferentes de juros em termos de sua forma de capitalização. Por exemplo, o

custo efetivo de 4,2% ao mês cobrado por um banco, pode ser

equivalentemente definido em 4,12% ao mês para o mesmo período, ou seja:

1042,130

0,137234% ao dia x 30 = 4,12% ao mêsA taxa de 4,12% ao mês é nominal (linear) e equivalente a taxa efetiva de


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4,2% ao mês.

Exemplo 31: Um banco emprestou R$8.000,00 por um ano, à taxa anual

de 18% ao ano, com capitalização bimestral. Qual será a taxa efetiva anual e o

montante que será devolvido ao final do ano?

Solução: Como a capitalização é bimestral, podemos dizer que q = 6 (1 ano =

6 bimestres) e i = 18% ao ano. Desta forma, temos que:

Taxa Proporcional bimestral =6

%18 = 3% a.b. = 0,03 a.b.

Logo:

Taxa Efetiva: (i f ) = (1 + i) q – 1 = (1 + 0,03) 6 – 1 = 0,194

Desta forma, a taxa efetiva será de aproximadamente 19,4% ao ano

aproximadamente. No cálculo do montante a ser devolvido, temos que FV = PV.(1

+ i) n onde:

n = 1 ano = 6 bimestres e PV = 8000

Desta maneira, temos que:

FV = PV.(1 + i) n

FV = 8000.(1 + 0,03) 6

FV = 9552,418372

Portanto, concluímos que o montante a ser devolvido será de

aproximadamente R$9.552,00 e a taxa efetiva será de aproximadamente 19,4%

ao ano.

Exemplo 32: Um empréstimo no valor de R$ 11.000,00 é efetuado pelo

prazo de um ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizadotrimestralmente. Pede-se para determinar o montante e o custo efetivo do

empréstimo.

Solução: Vamos admitir, de acordo com a convenção adotada, que a taxa

de juros pelo período de capitalização seja a proporcional simples, desta forma,

temos que:

Taxa Nominal (taxa linear): i = 32% ao ano = 0,32 a.a.


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Descapitalização Proporcional: i =4

%32 = 8% ao trimestre (já que 1 ano

= 4 trimestres) = 0,08 a.t.

Montante do Empréstimo:

FV = PV.(1 + i) n

FV = 11000.(1 + 0,08) 4

FV = 11000.(1,08) 4

FV = 14.965,40

Taxa Efetiva:

i f = (1 + i)q – 1

i f

= (1 + 0,08) 4 – 1

i f = (1,08)4 – 1

i f = 0,36 ao ano

i f = 36% ao ano

Portanto, o montante é igual a R$14.965,40 e o custo efetivo do

empréstimo é igual a 36% ao ano.

Exemplo 33: A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% com

capitalização mensal à base de 0,5%. Qual a rentabilidade efetiva desta

caderneta de poupança?

Solução: Neste caso, mais uma vez a taxa efetiva dará a rentabilidade

efetiva da Caderneta de Poupança, já que podemos observar que a taxa de juros

de 6% é uma taxa nominal de juros, já que a capitalização é realizada

mensalmente. Notando que q = 12 (já que 1 ano = 12 meses), segue que:

Taxa Efetiva:

i f = (1 +q

i) q – 1

i f = (1 +12

06,0) 12 – 1

i f = (1 + 0,05)12 – 1

i f = 0,617 ao ano

i f = 6,17% ao ano


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Portanto, a rentabilidade efetiva da caderneta de poupança foi de 6,17% ao

ano.

1.12. Capitais Equivalentes nos Juros Compostos

Anteriormente já vimos a definição de capitais equivalentes e foi falado que

seriam a essência da Matemática Financeira. No regime composto, como

poderiam ser definidos? Em verdade, temos que a definição de capitais

equivalentes não difere conforme apresentado anteriormente para o regime linear,

aqui no regime composto de juros, a relação fundamental de equivalência de

capitais para um período é expressa pelas seguintes equações:

FV = PV. (1 )ni e PV =(1 )n FV

i

Sendo assim, através destas relações e uma vez caracterizada uma data

focal para contagem do tempo, é que podemos estabelecer a troca de dois ou

mais capitais, de forma que eles sejam equivalentes financeiramente.

Importante! Note que não existe ganho nem perda para nenhuma das partes,

apenas um eventual interesse na troca temporal das datas de cumprimento

dos compromissos.

Exemplo 34: Um hipermercado de uma rede multinacional possui

compromissos de R$2.000,00 e de R$2.500,00 a vencer de hoje a três meses e

oito meses, respectivamente. Gilberto, seu gerente financeiro, prevê problemas

de caixa nestas datas e, então, propõe à empresa credora a troca desses

compromissos por outros dois que lhe sejam equivalentes, a vencer de hoje a 10

e 15 meses, respectivamente. Considere que a taxa de juros efetiva cobrada é de

10% ao mês e que as obrigações equivalentes devem ter valores iguais. Qual

deve ser o valor único dessas obrigações?

Solução: Inicialmente vamos representar geometricamente a descrição do

problema a ser resolvido como segue.


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Figura 16: Interpretação dos fluxos do exemplo.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

Notemos que neste caso temos as seguintes informações:1 FV = 2000, 2 FV = 2500, 1n = 3, 2n = 8, 3n = 10, 4n = 15 e i = 10% a.m. =

0,10 a.m.

Vamos definir a data focal como sendo a data atual hoje, ou seja, a data

zero, donde podemos escrever:

3 8 10 15

2000 2500

(1 0,10) (1 0,10) (1 0,10) (1 0,10)

FV FV

Note que todos os valores foram atualizados para a data focal = zero,portanto, resolvendo a igualdade acima em FV, obtemos:

2000 2500

1,331 2,143589 2,593742 4,177248

FV FV

2.668,90 = FV.(1 1

2,593742 4,177248 )

2.668,90 = FV.(0,385543 + 0,239392)

2.668,90 = FV.(0,624935)

FV = R$ 4.270,68

Ou seja, o valor destes pagamentos únicos seria igual a R$4.270,68.


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UNIDADE 2 – A GESTÃO FINANCEIRA NO FOCO DA HP2C

2.1. Objetivos da UnidadeVimos através das expressões características do regime exponencial de

juros que o cálculo do parâmetro n (prazo) não é uma tarefa muito cômoda, já que

temos que utilizar do logaritmo na base 10. E, também, temos outros cálculos não

tão simples de serem realizados.

Sendo assim, nesta unidade, é de nosso interesse apresentar a principal

ferramenta utilizada para a implementação de soluções do contexto financeiro

empresarial, que é a calculadora HP 12C, tornando-se assim um importanteinstrumento para a simplificação de cálculos algébricos realizados até o presente

momento, bem como, uma poderosa ferramenta para a resolução geral de

questões envolvendo séries de pagamentos e sistemas de amortização. Além

disso, ela pode ser utilizada para a caracterização de maneira mais simples com

relação a descrição de indicadores associados a rentabilidade e risco do negócio.

Neste sentido, ao final desta unidade o aluno será capaz de:

estar plenamente familiarizado com a HP 12C como a principalferramenta para a implementação de problemas práticos na área da gestão

financeira;

apresentar algumas informações básicas e funções elementares da HP

12C;

implementar a resolução de problemas envolvendo os dois regimes de

capitalização;

disucutir a implementação na HP 12C de problemas relacionados a

taxas equivalentes e convenções associadas;

descrever os principais códigos de erros apresentados pela HP 12C;

apresentar uma série de exemplos resolvidos que ilustram a aplicação

prática dos conceitos apresentados anteriormente.

2.2. Informações Iniciais da HP 12C


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Como simplificar os cálculos na gestão financeira? Qual instrumento a ser

utilizado? Grosso modo, a HP 12 C atualmente é considerada a calculadora mais

popular e mais vendida em todo o mundo. Salientamos, que estaremos

apresentando a implementação de situações práticas daqui em diante que

depende da HP 12C, exatamente como ocorre no mercado financeiro nacional e

na prática empresarial relacionada à gestão de negócios, ou seja, vamos

trabalhar com operações aritméticas, algumas funções básicas, cálculos com

datas, operações com percentagens, bem como trabalhar com conceitos

relacionados aos regimes de capitalização linear, ao regime de capitalização

composto e taxas equivalentes.

Importante! Quem não possui a calculadora HP 12C pode baixar um modelo

de simulador para a mesma (aplicativo), para versão de computador, tablet

ou smar tphone .

De todas as calculadoras atualmente disponíveis no mercado, a HP 12C é,

talvez uma das mais antigas. Em verdade, a mesma foi lançada na década de 80,

mais precisamente no ano de 1981, juntamente com outras calculadoras dafamília 10C, composta pelas máquinas HP 10C, 11C, 12C, 15C e 16C, todas

lançadas entre os anos de 1981 e 1985.

Figura 17: Algumas calculadoras do tipo 10C.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.


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Segundo Samanez (2006), suas características fundamentais englobam o

fato de possuir mais de 120 funções específicas para usos em negócios, as quais

permitem trabalhar com 20 diferentes fluxos de caixa, operações com taxas

internas de retorno e valores presentes líquidos.

Mas, qual seria a diferença básica entre a HP 12C e uma calculadora

científica tradicional?

Em verdade, o que difere a HP 12C reside no fato da notação que a

mesma utiliza, ou seja, no caso particular da HP 12C, a mesma usa a notação

com a lógica RPN (do inglês Reverse Pol ish Notat ion , ou Notação Polonesa

Reversa), que permite uma entrada mais rápida de dados e a execução mais

eficiente nos cálculos. Em tal notação, primeiramente entramos com os dados quesão separados pela tecla ENTER para depois introduzirmos as operações a

serem feitas. Talvez este seja o motivo de que algumas pessoas acham a

implementação mais difícil. Porém, isto não é verdade, porque a partir do

momento que vivencia na HP 12C a resolução de problemas financeiros, você

observa que é mais fácil o seu manuseio. A Figura 18 a seguir apresenta a frente

de um dos modelos da calculadora HP 12C (modelo ouro), enquanto que a Figura

19 apresenta o outro modelo (Platinum).

Figura 18: A Calculadora HP-12C.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.


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Figura 19: O simulador da HP-12C Platinum.

Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

Salientamos que:

a diferença inicial entre uma calculadora HP 12C e as calculadoras

convencionais está na forma de entrada dos dados;

as calculadoras convencionais executam cálculos de uma forma direta,

ou seja, obedecendo à sequência natural da Matemática. Por exemplo, para

fazermos a operação em uma calculadora científica tradicional 5 + 4, tecla-se

primeiro 5, depois +, em seguida 4 e finalmente a tecla =;

a HP 12C trabalha com o sistema de entrada de dados RPN (Notação

Polonesa Reversa), onde introduzimos primeiro os dados, separados pela tecla

ENTER, para depois inserir as operações, ou em outras palavras, introduzimos

em primeiro lugar os dados e depois as operações em ordem inversa. Desta

forma, na HP 12C o cálculo da soma (5 + 4) é realizada da seguinte forma:

introduzimos o valor 5, depois clicamos na tecla ENTER, a seguir colocamos o

dígito 4 para no fim, clicarmos em +.

Por outro lado, temos que a calculadora HP-12C possui quatro memórias

(X, Y, Z e T), chamadas de memórias principais, que funcionam como se fosse

um tambor rotativo. A memória X é aquela cujo conteúdo está aparecendo no

visor. Todas as operações aritméticas são efetuadas apenas com os conteúdos

das memórias X e Y.


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Figura 20: As quatro memórias da HP 12C.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

A função e , ao ser acionada, troca os conteúdos das memórias X

e Y, mantendo as memórias Z e T inalteradas. A tecla serve apenas paraligar ou desligar a HP-12C. A função troca o sinal do número que aparece

no visor. Por exemplo, para trocar o sinal do número 58, procede-se da seguinte

maneira:

58 resultando – 58 (no visor)

Importante! A HP 12C pode operar as seguintes funções:

i) Função Normal, escrita na face superior da tecla.

ii) Função Amarela, , escrita na parte superior da tecla.iii) Função Azul, , escrita na face lateral inferior da tecla.

A tecla é utilizada para calcular o inverso de um número x 0. Se

acionarmos a tecla azul e depois a mesma tecla , ela passará a

executar a função azul . A função serve para guardar e operar com

as 20 memórias fixas existentes na calculadora HP 12C, chamadas de memórias

secundárias. Essas memórias serão indexadas de 0 a 9 e de .0 a .9. Além disso,

a função serve para chamar os valores das 20 memórias (0 a 9 e .0 a .9)


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para o visor e com relação a limpeza de dados na HP 12C, temos as funções

associadas descritas a seguir:

a) Função : limpa apenas o visor (memória X).

b) Função : limpa apenas o conteúdo das memórias financeiras,

isto é, coloca zeros para , , , e .

c) Função : limpa, de uma só vez, os conteúdos da memória

principal, secundária e financeira.

d) Função : cancela o prefixo amarelo ou o prefixo azul

.

e) Função : limpa os programas que estão gravados na HP-

12C.

Importante! Na grande maioria dos casos trabalha-se com duas casas

decimais, salvo com alguma especificação colocada contrariamente. Desta

forma, para fixarmos em duas casas decimais na HP 12C procedemos da

seguinte forma: pressionamos a tecla e a seguir pressionamos o número

2. Aparecerão duas casas decimais no visor. Se você quiser operar com 6

casas decimais, por exemplo, pressionar e a seguir pressionar o número6. Aparecerão seis casas decimais no visor. Ao trabalharmos com duas

casas decimais, a HP 12C, no seu visor, apresentará um número com duas

casas após a vírgula, mas, em sua “memória”, o número armazenado terá

uma precisão bem maior. Desta forma, por exemplo, (25 14) x 100 será na

calculadora igual a 1, 79 x 100 e, finalmente, 178,59.

Salientamos ainda que o trabalho envolvendo o arredondamento de duas

casas decimais após a vírgula, utiliza-se o procedimento: pressionar as teclas 2 e logo a seguir . Analogamente, para arredondar para três casas

decimais após a vírgula, basta pressionar 3 e assim por diante.

Ressaltamos ainda que a função , quando acionada, desencadeia as

seguintes transferências nas memórias principais:

o conteúdo de X é transferido para T;

o conteúdo de T é transferido para Z;

o conteúdo de Z é transferido para Y; o conteúdo de T é transferido para X.


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Sendo assim, observa-se uma rotação completa no tambor para cada vez

que a função é acionada, sem que haja qualquer perda de informação. Se

acionarmos quatro vezes consecutivas, a função , conhecemos os

conteúdos das quatro memórias X, Y, Z e T (ao passarem pelo visor) e o tambor

vai para sua posição inicial. Em verdade, a HP 12C possui a “pilha operacional”,

que pode ser encarada como quatro compartimentos (memórias principais),

onde ela armazena dados para efetuar operações. Esses compartimentos

encontram-se empilhados dentro da calculadora (daí o nome de “pilha

operacional”), sendo aquele que aparece no visor “X” e os demais, nessa ordem,

“ Y”, “Z” e “T”. Para um melhor entendimento do processo, vejamos o exemplo na

Figura 21 a seguir.

T e c l a

M e m ó r i a

5 E N T E R

3 E N T E R

9 E N T E R

7 R

R

R

R

+ x > < y

T 5 5 7 9 3 5 5 5

Z 5 5 3 3 5 7 9 3 5 5

Y 5 5 3

V i s o r

X 5 5 3 3 9 9 7 9 3 5 7 16 3

Figura 21: A rotatividade das memórias na HP 12C.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

Importante! Você sabe como trocar o ponto pela vírgula na HP 12C? Para tal,

basta efetuarmos os seguintes passos:

- desligue a calculadora;- com a calculadora desligada, pressione ao mesmo tempo as teclas

ON e . (ponto);

- solte a tecla ON e logo após a tecla . (ponto).

2.3. Como Operar com Datas na HP 12C?

O trabalho com datas na HP 12C é importante para a caracterização de

datas peculiares, bem como para a determinação do número de dias entre duas

datas referenciadas.


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Em termos específicos, temos que a função < DYS> fornece o número de

dias entre duas datas, calculado com base no ano comercial (360 dias),

enquanto que a função obtém-se uma data futura ou data passada,

tomando-se como base uma data especificada. Particularmente falando, essas

duas funções são úteis nas operações correntes do mercado financeiro,

permitindo relacionar a data de aplicação, a data de resgate e o prazo de

aplicação.

Figura 22: Funções relacionadas a datas.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

Antes da utilização das funções descritas anteriormente, é necessário que

seja estabelecido o formato das datas, ou seja, a ordem de apresentação das

mesmas, desta maneira, para tal, as funções e estabelecem o

formato das datas e indicam a ordem de apresentação, respectivamente, MÊS,DIA, ANO e DIA, MÊS, ANO.


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Figura 23: Funções relacionadas ao formato das datas.Fonte: Elaborado pelo próprio autor.

Importante! É necessário fixar em 6 (seis) o número de casas decimais para

que apareçam no visor as datas digitadas. Além disso, é recomendável

limpar todos registradores (inclusive o visor), usando a função ,

antes de se iniciar qualquer operação com a HP-12C.

Exemplo 35: Qual é o número de dias entre as entre as datas 17/03/2015

e 26/05/2015.

Solução: A sequência de passos a ser desenvolvida na HP 12C para

resolução do exemplo é mostrada a seguir.

Qual tecla usar? O que temos no

visor?

Qual é o significado?

0,00 Limpa os registradores

0,00

DMY

Estabelece o formato da

data

6 0,000000

DMY

Número de casas

decimais exigidas

17.032015

17,032000

DMY

Mostra a data passada


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57

26.052015 26,052000

DMY

Mostra a data atual

< DYS> 70,000000

DMY

Número de dias entre as

duas datas referenciadas

Exemplo 36: Adicionando 52 dias à data 17/01/2015, obtemos qual data e

dia da semana?



Qual tecla usar? O que temos no

visor?

Qual é o

significado?

0,00 Limpa os registradores

0,00

DMY

Estabelece o formato da

data

6 0,000000

DMY

Número de casas

decimais exigidas

17.012015

17,012015DMY

Mostra a data atual

52 10.03.2015

2 DMY

Data pedida e dia da

semana (Terça-feira)

Importante! O dígito que aparece bem à direita do visor indica o dia da

semana, sendo 1 para segunda-feira, 2 para terça-feira, ..., 6 para sábado e 7

para domingo.

2.4. Principais Funções Matemáticas

Vejamos agora as principais funções matemáticas na HP 12C, bem como

alguns exemplos para fixação das ideias.

Porcentagem: < %> – nos permite calcular a porcentagem de um

determinado número.


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58

Exemplo 37: Quanto representa 8,5% de R$ 48.3600,00.



Qual tecla usar? O que temos no visor? Qual é o significado?

0,00 Limpa os

registradores

48360

8.5

4.110,60 Valor de 8,5% de R$

48.360,00

Exemplo 38: Um equipamento médico, adquirido por R$ 780,00, foi

vendido com um lucro de 20,75% sobre o preço de compra. Qual o preço de

venda?




0,00 Limpa os

registradores780 780,00 Preço de compra

20.75 941,80 Preço de venda

Percentagem do Total: < %T > – nos possibilita encontrar quanto

um número representa percentualmente, em relação a outro número.

Exemplo 39: Vamos encontrar quanto 62 representa percentualmente, emrelação a 380.




0,00 Limpa os

registradores

380 62 16,32 Indica que 62 é igual a


59/78

59

16,32% de 380

Exemplo 40: Efetuar a soma das parcelas R$ 1.550,00, R$ 3.450,00, R$

4.720,00 e R$ 5.200,00 e a participação percentual de cada uma delas no total.




0,00 Limpa os

registradores

1550 1.550,00 Valor da Primeira

parcela

3450 5.000,00 Soma da primeira e

segunda parcelas

4720 9.720,00 Soma da primeira,

segunda e terceira

parcelas

5200 14.920,00 Total

1550 10,39 % da primeira parcela

sobre o total

3450

23,12 % da segunda parcela

sobre o total

4720

31,64 % da terceira parcela

sobre o total

5200

34,85 % da quarta parcela

sobre o total

Diferença Percentual entre os Números: < % > – devemos

digitar primeiro o valor antigo e, depois, o valor atual.


60/78

60

Exemplo 41: Calcular a percentagem de prejuízo de um investidor que

aplicou R$ 1.650,00 em CDB a prazo fixo e, antes do resgate, vendeu R$

1.525,60.




0,00 Limpa os

registradores

1650 1.650,00 Valor da aplicação

1525,60 < %> – 7,54 % de prejuízo

Exemplo 42: Um equipamento eletrônico está anunciado por R$ 950,00

para pagamento a prazo ou cartã

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cf463cfabe80cfd49bc3009452578a0120151229.pdf