Metal Forming CAE Lab.

Department of Mechanical Engineering

Gyeongsang National University, Korea

보의 전단력과 굽힘모멘트

보의 지지대, 경계조건

(a) 핀지지 (a) 롤러지지 (a) 고정지지

(a) 단순지지보 (Simply supported beam)

(b) 내다지 단순지지보 (Simple beam with overhang)

(c) 외팔보 (Cantilever beam)

그림 7.3 정정보의 형태

보의 종류

보의 하중

강의 비중량: 7800 , 알루미늄의 비중량: 2720

집중하중 (Concentrated load)

분포하중 (Distributed load)

선분포(Line distribution):

면적분포(Area distribution):

체적분포(Volume distribution): 체적력(body force, 예: 자중(weight))

비중량(Specific weight)

3kg m

3 33 2 3

[ ] [ ] [ ], [ ] , N m , kg/m[ ] [ ] [ ]

M L Fg gL T L

N m, kg m

2 2 2N m , kg m , 1Pa = 1N m

Saint Venant Principle

분포하중과 그에 상응하는 집중하중은 하중이 가해지는 부분의 역학적 현상에는 직접적인

영향을 주지만, 이로부터 멀어질수록 그 영향은 적어지며, 적절한 거리를 벗어나면 두 하중에

기인하는 역학적 거동 특성은 동일함

3kg m

하나의 점에 적절한 크기의 하중이 작용함. 단위면적 당 하중의 크기는 ∞임. 실제 존재

하지 않음

집중하중과 분포하중

( )

( )L A

L A

xq x dx xdAX x

q x dx dA

하중밀도함수

∴분포하중의 합력은 loading diagram의 도심에 위치한다.

합력(Resultant force)은 분포하중을 비롯한 힘의 조합, 즉 조합된 힘에 상응하는 정역학

적으로 동일한 하나의 힘을 의미함

평형조건식을 대입했을 때 동일한 결과가 나와야 함. 그러므로 합력 벡터는 조합하중에 대한

힘의 벡터합과 동일하며, 작용선은 임의의 점에 대하여 발생시키는 모멘트가 동일하도록 결정

되어야 함

직선상에 가해지는 분포하중에 대한 합력의 크기와 위치

원점에 대한 모멘트 합이 같도록 함

모멘트 동일 조건:

하중밀도함수가 만드는 도형

y

xBA

( )q xR

X x

x

y

x

Loading diagram

분포하중의 합력

전단력과 전단응력

보의 내부에 작용하는 힘의 상태

굽힘모멘트와 굽힘응력

=

=bM

x

:, :

:, :

xx

xz xy

xx

xz xy

M twisting momentM M bending moment

F axial forceF F shear force

보에서 좌표 축의 정의 보의 단면의 정의(단면은 항상 두 개)

2차원

단면에서는 작용과 반작용법칙 준수

첫번째 하첨자: 면의 방향

두번째 하첨자: 힘의 방향

x

y

z

대칭축

중립축

Negative x-face

x

y

z

Positive x-face

1x

보의 단면에 작용하는 힘과 모멘트

y

x

VF

bM

VF

bM

xxMxzM

xyM

y

xz

xxF

xyF

xzF, , xx xy b xzF F V F M M

3차원

보의 전단력과 굽힘모멘트 (부호규약 1)

○ 부호규약 1

보의 전단력과 굽힘모멘트 (부호규약 2)

-교과서에서는 부호규약 2를 따름-강의는 부호규약 1중심으로 진행

○ 부호규약 2

전단력과 굽힘모멘트, 축력, 비틀림모멘트 등은 가상의 단면에서 정의됨

단면은 항상 두 개임

두 개의 단면에는 작용과 반작용법칙에 의하여 항상 반대 방향의 힘과 모멘트가 작용함

따라서 단면에서의 힘은 단면의 방향과 함께 힘의 방향 또는 힘의 상태가 고려되어야 함

축력(F ): 축방향의 힘이 부재를 인장할 때 +축력이라고 함

비틀림모멘트(Mt ): 축방향의 모멘트가 축의 바깥을 향하는 경우 +비틀림모멘트임

전단력(V ), 굽힘모멘트(Mb ): +면에 +방향의 힘과 모멘트를 각각 +전단력, +굽힘모멘트로 정의함

단면에 전단력과 굽힘모멘트를 가시화시켰을 경우, 이것은 일종의 외력으로 간주해야 함

따라서 –면에 작용하는 +축력은 –힘임. –면에 작용하는 –비틀림모멘트는 +모멘트임

FF ( )F ( )tM ( )V ( )bM

전단력-힘, 굽힘모멘트-모멘트의 차이 (부호규약 1)

그리는 법 또는 유의사항

가급적 하중밀도함수, 전단력선도, 굽힘모멘트선도를 일렬로 세운다.

전단력과 굽힘모멘트의 +방향의 정의를 좌표축의 왼쪽에 표시한다.

경계조건을 만족시키도록 한다.

하중밀도함수-전단력-굽힘모멘트 간의 관계가 만족되도록 그린다.

1:1 스케일을 유지하여 그린다.

절단법과 미분방정식 사용 방법, 두 방법이 있다.

관심을 가진 지점을 절단하여 계를 분리하여 문제를 해결하는

방법(절단법)을 사용할 경우, 하중밀도함수의 변화가 발생하면

구간을 구분한다.

주요 점에서의 전단력과 굽힘모멘트를 표시하여 기입해 준다.

굽힘모멘트가 극값을 갖는 곳에서 전단력은 0이 된다.

전단력이 극값을 갖는 곳에서 하중밀도함수는 0의 값을 갖는다.

미분방정식을 사용할 경우 특이함수를 사용하는 것이 편리하다.

38x L

o 2L

L( )V x

L0

( )bM x

L0

8L

38

L

29128 L

V

bM

전단력선도와 굽힘모멘트선도 (부호규약 1)

경계조건의 분류:

기하학적 경계조건:

역학적 경계조건:

( ) 0,v L ( ) 0 v L

(0) ,V P (0) ,bM M ( ) ,V L P

(0) 0, v(0) 0,v 필수경계조건

자연경계조건

경계조건의 예:

(0) 0V

( ) 0V L

( ) V L W

( ) 0V L

( ) 0V L( ) 0bM L

(0) 0bM

(0) 0bM

(0) 0bM

( ) 0bM L

( ) 0bM L

( ) 0bM L

( ) 0bM L

( ) 0bM L(0) 0v

( ) 0v a(0) 0v

(0) 0v

(0) 0v

( ) 0 v L a

(0) 0v

( ) 0v L

(0) 0 v

(0) 0 v(0) 0 v

( ) 0v L( ) 0v L

외팔보

(Cantilever beam)단순지지보

경계조건의 수식화

( )V x

00

20 0

0 ; ( )2

0 ; ( )2 2

y

C b

LF V x x

LM M x x x

0( )q x

0R L

0

2L 0

2L

2x

0R x

0

2L

xC V

bM

0

L

( )V x

0

2L

0

2L

xVL0

양단의 반력 계산

임의의 점에서 와 의 계산( )bM x

( )bM x2

0

8L

xbM L0

단순지지보-균일하중, 절단법 (부호규약 1)

20

30

0; ( )2

0; ( )6

y

C b

F V x xL

M M x xL

분포하중 직접 적분을 통한 와 의 계산

합력 이용

00

00

( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

x

y

x

C b

F V x dL

M M x d xL

L

0

반력의 계산

20

2xR L

0 xL

d C

V bM

23 x

xV

( )V x

L0x

bM

( )bM x

L0 x

0

20

6L

0

2LR

3L

0

2L

20

6L

dA dL

bV M

외팔보-1차함수 분포하중-우편고정, 절단법 (부호규약 1)

200

30 ; ( )2 8C bM M x x Lx

① 02Lx

00 ; ( )8C bLM M x L x

② 2L x L

0

8L

CbM V

( )L xx

038

L V bMC

x

0x

0

2LR

38x L

0

8L4

L

o 2L

L( )V x

L0

( )bM x

L0

반력의 계산

0 030 ; ( )8yF V x x L

00 ; ( )8yLF V x

8L

38

L

29128 L

V

bM

038 L

단순지지보-반쪽균일분포하중, 절단법 (부호규약 1)

4 0 1.62.410 24 0

y A B A

BA B

F R R RRM R

① 0 ≤ x ＜6

② 6 ≤ x ≤ 10

1.6 ( ) 0

0 ( ) ( ) 0

( ) 1.6( ) ( ) 1.6

y

A b

b

F V x

M xV x M x

V xM x xV x x

1.6 4.0 ( ) 0

24.0 ( ) ( ) 0

( ) 2.4( ) 2.4 24

y

A b

b

F V x

M xV x M x

V xM x x

4kN

RA RB

6m 4mA B

4 kN의 집중하중에 의해 단순보에 생기는 전단력과 굽힘모멘트 분포를 구하라

4kN6m 4m

V

bM

( )V x

( )bM x

x

V bMA

1.6kN

x

V bMA

1.6kN

4kN6m

전단력선도와 굽힘모멘트선도 (부호규약 1)

4.5 0

4 / 3 1 3 2 6 1.5 5 0

1.2233.27

y A B

A B

A

B

F R R

M R

RR

① 0 ≤ x ＜22

2

2

3

0; 1.223 04

2 / 3 / 4 0

0.25 1.2331.233 0.0833

y

A b

b

xF V

M x x Vx M

V xM x x

하중을 받는 보의 전단력선도와 굽힘모멘트선도를 구하라

반력의 계산

V

bM

( )V x

( )bM x

2m 2m 1m 1m

A B

1.5kN

1kN

RBRA

2kN 1.5kN/m

3차

Extreme point

2차

2차

x

12 x

V bM

1.233kN21 1

2 2 4xx x

1kN/m

전단력선도와 굽힘모멘트선도 (부호규약 1)

② 2 ≤ x ＜4

2

1.223 1.0 ( 2) ( ) 0

4 /3 1 ( 2)(2 ( 2) / 2) ( ) ( ) 0

( ) 2.233( ) 0.667 2.333 0.5

y

A b

b

F x V x

M x x V x x M x

V x xM x x x

③ 4 ≤ x ＜51.223 3.0 ( ) 0

4 /3 1 2 3 ( ) ( ) 0

( ) 1.767( ) 1.767 7.33

y

A b

b

F V x

M V x x M x

V xM x x

④ 5 ≤ x ＜60; ( ) 1.5 0

0; ( ) 1.5(6 ) 0

( ) 1.5( ) 1.5( 6)

y

B b

b

F V x

M M x x

V xM x x

2kN

x

1kN

1.233kN

( )V x( )bM x

2kN

x

1kN

1.233kN

( )V x( )bM x

B

1.5kN

x

전단력선도와 굽힘모멘트선도 (부호규약 1)

그림 7.8a 양의 하중을 받는 일반화된 보

하중밀도함수-전단력-굽힘모멘트의 관계 (부호규약 1, 2)

C( )bM x

( )V x

( )V x x

( )bM x x

( )q x

x x

( )q x x

○보의 미소 선분요소

부호규약 2

부호규약 1

0

0; ( ) ( ) ( ) ( ) 02

( ) ( ) ( )lim ( ) ( )

( ) ( ), ( ) ( ) 0( ) ( )

( ) ( ), ( ) ( ) 0

C b b

b b bx

bb

b

xM M x x M x V x x q x x

M x x M x dM xV x V xx dx

dM x V x M x V xdx M x q x

dV x q x V x q xdx

C( )bM x

( )V x

( )V x x

( )bM x x

( )q x

x x

( )q x x

0; ( ) ( ) ( ) 0 yF V x V x x q x x

0

( ) ( )lim ( )

x

V x x V x q xx

( ) ( ) dV x q x

dx

하중밀도함수-전단력-굽힘모멘트의 관계 (부호규약 1)

의 관계 (부호규약 1)( ) ( ) ( ) b

q x V x M x

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) 02 2

y

o b b

F V x x q x V xx xM M x x V x x V x M x

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) 02

b b

V x x V x q xx

M x x M x V x x V xx

( ) 0 dV q xdx

( ) 0bdM V xdx

( )bM x ( ) bM x x

( )bM x ( ) bM x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a

a

dV xdV dx q x dx V a V a q x dxdx

a

0; ( ) ( ) yF V a V a P

( )bM a

( )V a

( )bM a

a( )V a

P

O

0; OM ( ) ( ) ( ( ) ( ))2b ba aM a M a V a V a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a

bb b b a

dM xdM dx V x dx M a M a V x dxdx

집중하중 전후에서 전단력과 굽힘모멘트 (부호규약 1)

1

0

( ) , 00,( ) ,

1

nn

nn

nx n

F x x a nx a

x ax a x a

x ax a dxn

1 1

010

( )x

F x x a

x a dx x a

2 2

2 10

( )x

F x x a

x a dx x a

Unit doublet function

Unit concentrated force (Delta function)

Step, ramp 함수 등

1( )q x P x a

2( )q x M x a

00( )q x q x a

10( ) qq x x ab

x a

P

x

M

x ax

x a

0q

x

x a

0qx

b

특이함수를 이용한 하중밀도함수의 표현

특이함수 이용 시 참고사항

보가 에서 정의될 경우,0 1 2 21, , ,

0, 2, 1,0,1,2,3,n

x x x x xx L n

0 x L

특이함수 (Singularity function) (부호규약 1)

22f x a

11f x a

00f x a

1 1f x a

2 2f x a 2 1 0( ) SingularityFunctions ( ), ( ) and ( )a f x f x f x

1 2( ) SingularityFunctions ( )and ( )for concentratedforceandconcentrated moment at .

b f x f x

x a

1

00

1

n

x n x ax a dx nn

2 10

010

x

x

x a dx x a

x a dx x a

특이함수(singularity function)의 가시화 (부호규약 1)

1( )q x P x a

2( ) q x M x a

0 00 1 2( ) ( )q x q x a x a

1 1 021 2 2 2

2 1

( ) ( )qq x x a x a q x aa a

0 01 1 2

1 12 11 2

2 1

02 1 2

( ) ( )

( )

( )

q x q x a x aq q x a x aa aq q x a

특이함수(singularity function)의 응용 (부호규약 1)

0( )

( )

( )( )

b

b

x aV x PM x Px

L a x LV x P P P PM x Px Px Pa Px PL Pa PL Px

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0

1 1 1 1

1 1

( ) ( )

( ) ( )

( )

b

b

q x V xP x P x a P x L a P x L

V x M x

P x P x a P x L a P x LP P x a P x L a

M x P x P x a P x L a P x L

Px P x a P x L a

① ②

③

( )V x

x

P P

L

aa

PP

( )bM x

xa L a L

P P

반력 계산

하중밀도함수의 설정

( ) 0( )b

a x L aV x P PM x Px Px Pa Pa

전단력와 굽힘모멘트의 계산

전단력선도와 굽힘모멘트선도의 작도V

bM

특이함수-미분방정식 이용 계산 (부호규약 1)

Pure bending

20kipsP 1kips/ft

10ft 10ft 10ft

( )bM x

x

1 1 10

( ) 7.5 20 10 22.5 20

1 20

q x x x x

x

( )V x

x

22.5kips7.5kips

20kips반력계산 10.0kips

하중밀도함수의 설정

(20) ((7.5 20) (20 10) 0 0)50kips ft

bM

전단력와 굽힘모멘트의 계산

0 0 0

1

1 1 1

2

( ) 7.5 20 10 22.5 201 20

( ) 7.5 20 10 22.5 201 202

b

V x x x xx

M x x x x

x

V

bM

(10 ) (7.5 0 0 0) 75kipsV

(10 ) (7.5 20 0 0) 13.5kipsV

(10) (7.5 10 0 0 0) 75kips ft bM

특이함수-미분방정식 이용 계산 (부호규약 1)

0

L

( )V x

0

2L

0

2L

xL0

( )bM x2

0

8L

xL0

01 1( )

2 2 o o

oL Lq x x x x L

하중밀도함수의 설정

전단력와 굽힘모멘트의 계산

0( )q x

0R L0

2L 0

2L

0 1 0

1 2 1

( )2 2

1( )2 2 2

o oo

o ob o

L LV x x x x L

L LM x x x x L

V

bM

단순지지보-균일하중, 특이함수-미분방정식 (부호규약 1)

L

0

반력의 계산

V

( )V x

L0x

bM

( )bM x

L0 x

20 1

2 1( )6 2o o o

oL Lq x x x x x

L

하중밀도함수의 설정

전단력와 굽힘모멘트의 계산

20 1 2

11( )

6 2 2o o o

oL LV x x x x x

L

20 1 2 31 1( )

6 2 2 6o o o

b oL LM x x x x x

L

2L 3

L

2

LR2

6L

0

2L

2

6L

0

0

2L

2

6L

단순지지보-균일하중, 특이함수-미분방정식 (부호규약 1)

( )V x

L0

( )bM x

L0

반력의 계산

0 01

3( )8 2o

o oL Lq x x x x

하중밀도함수의 설정

전단력와 굽힘모멘트의 계산

o2L

L

0 1 13( )8 2

oo o

L LV x x x x

1 2 23 1 1( )8 2 2 2

ob o o

L LM x x x x

V

bM

0

2LR

038

L 0

8L4

L

단순지지보-균일하중, 특이함수-미분방정식 (부호규약 1)

( )dV w xdx

( )dM V xdx

하중밀도함수-전단력-굽힘모멘트의 관계 (부호규약 2)

집중하중 P0 를 받는 미소보 요소의 자유물체도 집중모멘트 M0 를 받는 미소 보 요소의 자유물체도

집중하중 전후에서 전단력과 굽힘모멘트 (부호규약 2)

0

0

( ) 0yF V P V V

V P

0M M

0( ) { for 0( 0,1,2,...)

( )n

n

when x aw x x a n n

x a when x a

0 0( ) {

1when x a

w x x awhen x a

10

0( ) {

when x aw x P x a

when x a

20

0

0( ) {

when x aw x P x a

M when x a

1

1

0{ 10

n

n

n

x a for nx a dx nx a for n

부호규약 2와 특이함수

보의 전단력과 굽힘모멘트

예제 7.1 (p.237)

그림의 단순지지보에 대해 전단력선도와 굽힘모멘트선도를 작도하라

보의 전단력과 굽힘모멘트

예제 7.2 (p.239)

그림의 단순보에 대해 전단력선도와 굽힘모멘트선도를 작도하라

보의 전단력과 굽힘모멘트

예제 7.3 (p.241)

그림의 단순지지보에 대해 전단력선도와 굽힘모멘트선도를 작도하라

R wL

w

보의 전단력과 굽힘모멘트

예제 7.4 (p.242)

그림의 단순지지보에 대해 전단력선도와 굽힘모멘트선도를 작도하라

w

R R

보의 전단력과 굽힘모멘트

예제 7.5 (p.244)

그림의 외팔보에 대해 전단력선도와 굽힘모멘트선도를 작도하라

6kNR

보의 전단력과 굽힘모멘트

예제 7.6 (p.256)

보여진 단순지지보에 대한 전단력선도와 굽힘모멘트선도를 작도하라. 보의 전 구간에서 발생되는최대 굽힘모멘트를 구하라.

예제 7.7 (p.260)

그림의 단순지지보에 대해 전단력선도와 굽힘모멘트선도를 작도하라. 이 보의 전 구간에서 발생되는 최대 굽힘 모멘트를 구하라.

보의 전단력과 굽힘모멘트

6kNR

예제 7.8 (p.262)

그림의 단순지지보에 대한 전단력선도와 굽힘모멘트선도를 작도하라. 보에서 발생하는 최대 양의굽힘모멘트와 최대 음의 굽힘모멘트를 구하라.

보의 전단력과 굽힘모멘트

20kipsR 50kipsR

예제 7.9 (p.265)

그림의 외팔보에 대한 전단력선도 및 굽힘모멘트선도를 구한다. 보에 작용하는 최대 굽힘모멘트를구하라.

보의 전단력과 굽힘모멘트

180kNR

예제 7.10 (p.277)

그림의 보에서 불연속함수를 이용하여 전단력 V(x)와 굽힘모멘트 M(x)을 구하라. 이 함수를 이용하여 보의 전단력선도와 굽힘모멘트선도를 그려라..

보의 전단력과 굽힘모멘트

90kNR

예제 7.11 (p.280)

불연속함수를 이용하여 보 A와 B사이에 작용하는 선형분포하중에 대한 하중밀도함수를 구하라.

보의 전단력과 굽힘모멘트

62.5kNR

예제 7.12 (p.281)

그림의 보에 대해 전단력 V(x)와 굽힘모멘트 M(x)를 유도하는데 불연속함수를 사용하라. 이 식을 사용하여 보의 전단력선도와 굽힘모멘트선도를 작도하라.

보의 전단력과 굽힘모멘트

27 kipsR 30kipsR 18kipsR