8. Momentum, Impulse, and Collisionsmomentum (linear momentum) skriðþungi (línulegur) 248impulse atlag 249impulse-momentum theorem setning um atlag og skriðþunga 249internal force innri kraftur 253external force ytri kraftur 253isolated system einangrað kerfi 253total momentum heildar skriðþungi 253principle of conservation of momentum lögmál um varðveislu skriðþunga 254elastic collision fjaðrandi árekstur 258inelastic collision ófjaðrandi árekstur 258completely inelastic collision fullkomlega ófjaðrandi árekstur 258center of mass massamiðja 266

Skilgreining skriðþunga

Skriðþungi agnar er skilgreindursem

p = mv(margfeldi massa og

hraðavigurs)

2. lögmál Newtons hljóðar þá:

∑F = ma = mdv/dt = dp/dt

“Ég hugsa þess vegna er ég.”

René Descartes (1596-1650)

Cogito ergo sum.Je pense donc je suis.

Descartes og Kristina Svíadrottning

Atlag

• Af F = dp/dt leiðir að

p2 – p1 = ∆p = ∫ Fdt

• ∫ Fdt er táknað með J og nefnist atlagkraftsins (impulse). Þá gildir

J = p2 – p1

Setning um atlag og skriðþunga(impulse-momentum theorem ):

Breyting skriðþunga agnar er jafnstór atlagi heildakraftsins sem virkaði á ögnina.

Impulse (atlag):

J = ∫ Fdt

xx

Tennis: Atlagið stendur um 0,01 s!

Consider two carts, of masses m and 2m, atrest on an air track. If you push first one cartfor 3 s and then the other for the same lengthof time, exerting equal force on each, themomentum of the light cart is

1. four times2. twice3. equal to4. one-half5. one-quarter

the momentum of the heavy cart.

Consider two carts, of masses m and 2m, atrest on an air track. If you push first one cartfor 3 s and then the other for the same lengthof time, exerting equal force on each, themomentum of the light cart is

1. four times2. twice3. equal to4. one-half5. one-quarter

the momentum of the heavy cart.

Skriðþungi er jafnt og kraftur sinnum tími. Kraftarnir eru jafnstórir og tíminn sem þeir virka jafnlangur. Þess vegna er loka skriðþungi vagnanna sá sami.

Consider two carts, of masses m and 2m, atrest on an air track. If you push first one cartfor 3 s and then the other for the same lengthof time, exerting equal force on each, the kinetic energy of the light cart is

1. larger than2. equal to3. smaller than

the kinetic energy of the heavy car.

Consider two carts, of masses m and 2m, atrest on an air track. If you push first one cartfor 3 s and then the other for the same lengthof time, exerting equal force on each, the kinetic energy of the light cart is

1. larger than2. equal to3. smaller than

the kinetic energy of the heavy car.

Skriðþungi vagnanna er sá sami. Þess vegna hlýtur hraði léttari vagnsins að vera tvisvar sinnum meiri en þess þyngri. Þar af leiðir að hreyfiorkan er tvisvar sinnum meiri.

Breytingar á heildarskriðþungaTökum sem dæmi kerfi 2ja agna:

P = p1 + p2

Samkvæmt 3. lögmáli Newtons gildirF12= - F21

Þá er:dP/dt = dp1/dt+dp2/dt = F1+F2 =

F1,ext+ F12+ F2,ext+ F21 = F1,ext+ F2,ext

• Með öðrum orðum:dP/dt = Fext

• Gildir almennt, óháð fjölda agna!

Varðveisla skriðþungans

• Fext=dP/dt og Fext=0 gefur

dP/dt=0 þ.e.a.s. P=fasti

• Þetta nefnist varðveisla skriðþungansFext=0 er mikilvæg forsenda.Stundum eru ytri kraftar << innri.

• Ef engir ytri kraftar eða summa þeirra 0, þáer heildarskriðþungi kerfisins varðveittur!!

xx

xx

Example 8.4, síðu 255 í University Physics

= 0.5 m/s

Skriðþungi riffils og kúlu er sá sami.

En hvað með hreyfiorkuna?

KB=225 J, KR=0.375 J

Af hverju er þessi munur?

Univ.Physics s. 286

• Munurinn á hreyfiorku og skriðþunga

Tveir boltar:• 0,5 kg, 4,0 m/s• 0,1 kg, 20 m/sHvorn er betra að grípa?

Hvor hefur meiri skriðþunga í marki?

1. 12. 23. jafnmikla

2

1

Hvor hefur meiri skriðþunga í marki?

1. 12. 23. jafnmikla

2

1

m2=2m1, F1=F2, s1=s2

W=F·s => W1=W2

K=W => K2=K1

K=½mv2

½m1v12 = ½m2v2

2 =>

½·m1v12 = ½·2m1v2

2 =>

v12 = 2v2

2 => v1 = √2·v2 => √2·m1v1=m2v2 => √2·p1=p2

Önnur rök:

Sami kraftur er í báðum tilfellum en hann virkar styttra í tilfelli 1 en í tilfelli 2 (1 er fljótari í mark en 2). Þar af leiðandi er atlagið minna í tilfelli 1, og vegna þess að atlagið er minna verður breytingin á skriðþunganum minni.

Example 8.8, síðu 260 í University Physics

xx

Orkan og flokkun árekstra

Árekstur er fjaðrandi (elastic) ef heildarhreyfiorka er varðveitt, annars ófjaðrandi (inelastic)

Hreyfiorka fyrir og eftir:K = ½ m1 v1

2 + ½ m2 v22

K’ = ½ m1 u12 + ½ m2 u2

2

Fjaðrandi: K = K’; ófjaðrandi: K > K’

Síða 263 í University Physics!

xx

If ball 1 in the arrangement shown here is pulled back and then let go, ball 5 bounces forward. If balls 1 and 2 are pulled back and released, balls 4 and 5 bounce forward, and so on. The number of balls bouncing on each side is equal because

1. of conservation of momentum.2. the collisions are all elastic.3. neither of the above

If ball 1 in the arrangement shown here is pulled back and then let go, ball 5 bounces forward. If balls 1 and 2 are pulled back and released, balls 4 and 5 bounce forward, and so on. The number of balls bouncing on each side is equal because

1. of conservation of momentum.2. the collisions are all elastic.3. neither of the above

Það er til margskonar lokaástand sem uppfyllir skilyrðið um varðveislu skriðþunga. Það er hinsvegar aðeins eitt sem uppfyllir skilyrði um varðveislu hreyfiorku. Þegar árekstur er fjaðrandi er hreyfiorkan varðveitt.

Sjá Active Physics on Line:http://wps.aw.com/aw_young_physics_116.3 Momentum Conservation and Collisions (Estimation Video)

Tvívíður fjaðrandi árekstur á kyrrstæðan hlut

• Höfum tvö varðveislulögmál:Skriðþungi, P = P’

Hreyfiorka, K = K’

• Hraðarnir eru tvívíðir vigrar en v2 er 0:m1v1 = m1u1 + m2u2 (2 jöfnur)m1v1

2 = m1u12 + m2u2

2 (1 jafna)• 3 jöfnur með 4 óþekktum, u1x , u1y , u2x , u2y

• Því ekki hægt að leysa nema meira sé vitað.• Hins vegar má draga einfalda ályktun ef m1 = m2.

θθvv11 uu11

uu22

Hornið í fjaðrandi árekstri tveggja eins massa

• Höfum nú m1=m2. Hefjum vigurjöfnuna á síðustu glæru í annað veldi og berum saman við hina jöfnuna (orkuvarðveislu). Fáum þá:u1

.u2 = u1u2 cosθ = 0 > θ = 90o

• Hornið milli hraðavigranna eftir árekstur er alltaf rétt við þessar aðstæður.

Myndir: a) Billjarðkúlurb) Róteind rekst á aðra kyrrstæða

(v << c)

If all three collisions in the figure shownhere are totally inelastic, which bring(s) thecar on the left to a halt?

1. I2. II3. III4. all three 5. I, II6. I, III7. II, III

If all three collisions in the figure shownhere are totally inelastic, which bring(s) thecar on the left to a halt?

1. I2. II3. III4. all three5. I, II6. I, III7. II, III

Varðveisla skriðþungans segir okkur að við alla þrjá árekstra stöðvist bíllinn til vinstri!

If all three collisions in the figure shown aretotally inelastic, which cause(s) the mostdamage?

1. I2. II3. III4. all three 5. I, II6. I, III7. II, III

If all three collisions in the figure shown aretotally inelastic, which cause(s) the mostdamage?

1. I2. II3. III4. all three 5. I, II6. I, III7. II, III

Bíllinn til hægri í III tapar meiri hreyfiorku í árekstrinum en bíllinn til hægri í II (eða veggurinn í I sem hefur enga hreyfiorku).

Öll töpuð hreyfiorku fer í að beygla bílana, þess vegna er skaðinn mestur í III.

Hefur bílstjórinn rétt fyrir sér?

1. Já

2. Nei

Hefur bílstjórinn rétt fyrir sér?

1. Já

2. Nei Jafn hraði > engin hröðun > enginn kraftur

Skilgreining massamiðju

• Staður massamiðju er t.d. skilgreindur fyrir tvær agnir með jöfnunni

rCM = (m1 r1 + m2 r2)/(m1 + m2)• Samsvarandi fyrir N agnir:

rCM = (m1 r1 + m2 r2 + ... + mN rN)/MM = heildarmassi = m1 + m2 + ... + mN

• Einnig skilgreint fyrir samfellda massadreifingu, með heildum.

Að finna massamiðju 1: “Henging”

• Við getum fundið massamiðju í óreglulegum þunnum og sléttum hlut með því að hengja hann upp í 2 stöðum eins og myndin sýnir– Erfiðara fyrir þrívíðan hlut; ekki hægt

að merkja!

Að finna massamiðju 2: Samsettur hlutur

• Ef hlutur er samsettur úr tveimur minni og við þekkjum massamiðjuna í þeim, getum við fundið hana í samsetta hlutnum– Erum í rauninni að skipta

skilgreiningarsummunni í tvennt!

Hvar er massamiðjan?

Að finna massamiðju 3: Samfelld dreifing, heildun

• Þegar massadreifingin er samfellt fall, kemur heildun í stað summu í skilgreiningunni á massamiðju

∫∫∫∫====∫∫∫∫====

ydmy

xdmx

MCM

MCM

1

1

xCM = 0, yCM = 4a/3π

Massamiðja vatnssameindar (H2O), s. 266

Hraði massamiðju og skriðþungi kerfis

• Hraði massamiðju fæst með diffrun á rCM:

vCM = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2) = P/M

P = M vCM

– P heildar er eins og heildarmassinn M hreyfist með hraða CM

– Lykillinn að notagildi massamiðjuhugtaksins, ásamt niðurstöðu á næstu glæru

Massamiðja og ytri kraftar

• Við höfum áður fundið að dP/dt = Fext og fáum því:

Fext= M aCM

– Massamiðjan hreyfist eins og ögn með massa Mundir áhrifum heildarkraftsins Fext

– Lykill að notagildi CM, sbr. síðustu glæru

• Fext= 0 gefur vCM = fasti; (ef 0 í upphafi þá alltaf!)

Hreyfing massamiðju 1: Svífandi skiptilykill (sjá líka UnPh s. 267)

Summa ytri krafta á skiptilykilinn er 0• Þess vegna er aCM = 0 og • vCM = fasti

– sem sést á myndinni ef að er gáð

Hreyfing massamiðju 2: Ballettdansmær

• Massamiðja dansmeyjarinnar hreyfist eftir fleygboga eins og kasthlutur

• Hún færir hins vegar massamiðjuna til miðað við líkamann með því að hreyfa hendur og fætur Í “grand jeté” stökki virðist

dansmeyjan svífa í loftinu, massamiðjan fer þó eftir fleygboga.

Hreyfing massamiðju 3: Loftfimleikakona

• Massamiðja konunnar hreyfist eftir fleygboga eins og kasthlutur

• Takið eftir að hún gæti breytt snúningshraðanum, sbr. líka dýfingafólk

xx

Hreyfing massamiðju 4: Maður í árabát við bryggju

• Massamiðjusetningin er miskunnarlaus við manninn

• Hvað getur hann gert til að komast í land?

• Ef massar þekktir má reikna d

• Athugið ytri krafta og stefnu þeirra

Getur apinn náð í bananana?

Hvor nær bjórnum?? (University Physics s. 268)

1

2

Hvor nær bjórnum?? (University Physics s. 308)

1

2

2.0 m

Þegar James hefur færst 1 m hefur Ramon færst 1,5 m (90 kg/60 kg)

Hreyfiorka agnakerfis og massamiðja

• Höfum K = Σ ½ mi vi2

og vi = vCM + vi’

• Setjum inn og notum að

Σ mi vi = MvCM

Fáum þá:K = KCM + Krel =

½ MvCM2 + Σ ½ mi vi’2

Hreyfiorka og massamiðja: Dæmi

• Hlutur sem hreyfist úr stað og snýst um leið• Þetta er mikilvægt og kemur sér oft vel• Dæmi: Skiptilykillinn aftur!

Sjá Active Physics on Line:http://wps.aw.com/aw_young_physics_11

Tvær kúlur rekast á: 6.3 Momentum Conservation and Collisions(myndir 2 og 5)

Bolti í pendúl fellir múrstein (eða ekki?), fjaðrandi og ófjaðrandi árekstur:6.2 Collisions and Elasticity(mynd 1 og Questions 2 and 3)

Gerum ráð fyrir að þú standir á vagni sem í upphafi er í kyrrstöðu á fleti með sáralitlum núningi. Þú hendir boltum í vegg sem festur er á vagninn. Boltarnir endurkastast frá veggnum. Geturðu komið vagninum á stað með þessu móti?

1. Já, vagninn hreyfist til hægri

2. Já, vagninn hreyfist til vinstri

3. Nei, vagninn hreyfist ekki úr stað.

Gerum ráð fyrir að þú standir á vagni sem í upphafi er í kyrrstöðu á fleti með sáralitlum núningi. Þú hendir boltum í vegg sem festur er á vagninn. Boltarnir endurkastast frá veggnum. Geturðu komið vagninum á stað með þessu móti?

1. Já, vagninn hreyfist til hægri2. Já, vagninn hreyfist til vinstri3. Nei, vagninn hreyfist ekki úr stað.

Varðveisla skriðþungans! Fyrir er samtals skriðþunginn núll, á eftir er hann því líka núll (vagn til vinstri, bolti til hægri).

xx

Hreyfing eldflaugar

Fylgjum Fylgikveri, s. 38-39, sjá líka University Physics s. 270

• Hraði brunnins eldsneytis miðað við flaug: u (fasti)• Massi eldflaugar M, hraði hennar v• Sendir frá sér dM, hraði breytist um dv• Skriðþungavarðveisla í kyrrstöðukerfi flaugar:

M dv + u dM = 0• Leysum fyrir dv og heildum (tegrum):

v – v0 = u ln(M0/M)• Aðeins háð hlutfallinu M0/M og u, hraðanum sem

eldflaugin spýtir brunnu eldsneyti aftur úr sér.

Tveir bílar, annar tvisvar sinnum þyngri en hinn, standa kyrrir á láréttum fleti. Tveir menn jafnsterkir ýta hvorum bíl fyrir sig í 5 s. Er skriðþungi léttari bílsins eftir þetta (engin núningsmótstaða):

1. minni en

2. jafnstór og

3. meiri en

skriðþungi þyngri bílsins

Tveir bílar, annar tvisvar sinnum þyngri en hinn, standa kyrrir á láréttum fleti. Tveir menn jafnsterkir ýta hvorum bíl fyrir sig í 5 s. Er skriðþungi léttari bílsins eftir þetta (engin núningsmótstaða):

1. minni en

2. jafnstór og

3. meiri en

skriðþungi þyngri bílsins

Atlag (Impulse) = breyting á skriðþunga (J = ∆p)

Atlag (J = F ∆t ) það sama í báðum tilvikum.

Tveir bílar, annar tvisvar sinnum þyngri en hinn, standa kyrrir á láréttum fleti. Tveir menn jafnsterkir ýta hvorum bíl fyrir sig í 5 s. Er hreyfiorka léttari bílsins eftir þetta (engin núningsmótstaða):

1. minni en

2. jafnstór og

3. meiri en

hreyfiorka þyngri bílsins

Tveir bílar, annar tvisvar sinnum þyngri en hinn, standa kyrrir á láréttum fleti. Tveir menn jafnsterkir ýta hvorum bíl fyrir sig í 5 s. Er hreyfiorka léttari bílsins eftir þetta (engin núningsmótstaða):

1. minni en

2. jafnstór og

3. meiri en

hreyfiorka þyngri bílsins

Af því að skriðþungi beggja bíla er sá sami hlýtur hreyfiorka léttari bílsins að vera meiri (≈v2!).

xx

Almenn regla um hröðunina.

Í hverjum punkti á hreyfibraut agnar er hægt að brjóta hröðunina, a, í tvo þætti hornrétta hvor á annan, annan í átt hreyfingarinnar (einingarvigur ev) en hinn þvert á hreyfinguna (einingarvigur en):

a = av ev + an en (1)þar sem þátturinn í átt hreyfingarinnar (snertilínunnar) mælir breytingu á stærð hraðavigursins

av = dv/dt (2)og þverþátturinn segir til um breytingu á stefnu hraðavigursins og fyrir hann gildir

an = v2/ r (3)þar sem r er geisli sveigju brautarinnar.