CHAP 2 Martin Gariepy 2013

Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 2 p.1

CHAPITRE 2

Introduction à la conduction


La loi de Fourier

La loi de Fourier

• Le flux de chaleur est perpendiculaire à l’aire de passage

• Le flux de chaleur est une quantité vectorielle

• La loi de Fourier peut donc s’énoncer ainsi:

[W/m2]

[W]

• k est la conductivité thermique en W/m·K

• A est l’aire de passage normale au flux de chaleur (isotherme)

''T T T

q k T k i j kx y z

T T Tq kA T kA i j k

x y z


La conductivité thermique• La conductivité thermique est une propriété des matériaux

La conductivité thermique


• La conductivité thermique dépend de la température






Soit une tige d’un diamètre de 0.1 mètre isolé sur sa surface latérale avec

une face à une température de 100⁰C et l’autre à 27⁰C. En supposant une

variation linéaire de la température dans la tige, calculez le TDC en Watts

pour un longueur de tuyau si la tige est:

a. En cuivre (k = 400 W/m·K)

b. En bois (k = 0.16 W/m·K)

Solution:

Le cuivre laisse passer 2500 fois plus la chaleur que le bois

22 1

2

2

4

100 23*0.025 *0.160.0605

4 0.1

100 23*0.025 *401151.6

4 0.1

bois

cuivre

T TdT d kq kA

dx L

q W

q W


L’équation de diffusion de la

chaleur

• La loi de Fourier nous permet de calculer le TDC

ou le flux de chaleur dans un solide ou un fluide au

repos.

• La loi de Fourier ne permet pas de connaître la

distribution de température dans le solide.

• La résolution de l’équation de diffusion de la

chaleur permet de trouver cette distribution:

L’équation de diffusion de la chaleur

2 2 2

2 2 2(2.19) p

T T T Tk q c

x y z t


• En coordonnées cylindriques

• En coordonnées sphériques



2

1 1(2.26) p

T T T Tkr k k q c

r r r r z z t

2

2 2

2

1 1sin

sin

1 sin

sin

(2.29)

p

T Tkr k

r r r r

T Tk q c

r t


Conditions frontières et initiales

Pour résoudre l’équation de diffusion de la chaleur et ainsi déterminer la

distribution de température T dans un milieu, il faut spécifier des conditions

aux frontières:

1. Deux conditions pour chaque direction x, y, et z

2. Une condition initiale sur le temps

Les conditions frontières et initiales

2 2 2

2 2 2(2.19) p

T T T Tk q c

x y z t


• Condition frontière de type Dirichlet (température imposée)

• Condition de Neumann (flux de chaleur imposé)

• Condition mixtes

sTtT ),0(

Les conditions frontières

Type de conditions à la frontière

''

x

x o

dTq k

dx

'' ( )xq h T T

'' 4 4( )x sq T T

'' 4 4( ) ( )x sq h T T T T


Exemple

La distribution de température dans un mur de 1 m à un certain

temps t0 est donnée par:

avec a = 900 ºC, b = -300 ºC/m et C = -50 ºC/m2. De plus, une

source de 1000 W/m3 est présente à l’intérieur du mur de 10 m2

d’aire. Ce mur possède les propriétés suivantes:

ρ = 1600 kg/m3, k = 40 W/m·K, Cp = 4000 J/kg·K

1)Déterminez le taux de transfert de chaleur entrant ( x = 0) et

sortant (x = 1)

2)Déterminez le taux d’accumulation d’énergie dans le mur

en Watts

3)Déterminez le taux de refroidissement du mur en ⁰C/s

2

0( , )T x t a bx cx

Exemple 2.3


Exemple

Une conduction 1D en régime permanent avec génération de

chaleur se produit dans un mur plan d’une épaisseur de 50 mm et

d’une conductivité thermique de 5 W/m·K. Pour ces conditions, la

distribution de température est de la forme suivante:

À x = 0, la surface à une température de 120 ºC et expérimente une

convection avec le fluide à une température de 20 ºC et ayant un

coefficient de convection de 500 W/m2·K. La surface à x = L est

bien isolée.

1. En appliquant un bilan d’énergie sur le mur, calculer la

génération d’énergie interne;

2. Déterminez les coefficients a, b, et c en appliquant les

conditions aux frontières à la distribution de température.

2( )T x a bx cx

Exercice 2.34


TD – Problème 2.16

Une conduction 1D en régime permanent prend place à l’intérieur d’une tige

de conductivité thermique k constante mais d’une aire variable

ou A0 et a sont des constantes. La surface latérale de la tige est

adiabatique.

1. Écrire une expression pour le transfert de chaleur. Utilisez cette

expression pour déterminer la distribution de température T(x) . Vous

pouvez supposer que T1 est connue.

2. Considérez maintenant les conditions pour lesquelles de l’énergie

thermique est générée dans la tige à une fréquence de (en

W/m3 et avec constant).Obtenez une expression pour le transfert de

chaleur lorsque la face de gauche (x=0) est bien isolée.

0( ) ax

xA x A e

0

axq q e

0q

TD 2.16


TD – Problème 2.42

Une mince couche de charbon d’une épaisseur de 1 m expérimente une

génération volumétrique de chaleur de 20 W/m3 due à l’oxydation lente des

particules de charbon. Une moyenne journalière a permis de déterminer que la

couche de charbon perd de la chaleur au profit de l’environnement pendant qu’elle

reçoit un flux solaire de 400 W/m2. L’absorptivité solaire αs ainsi que l’émissivité de

la surface sont évaluées à 0.95. En considérant que l’environnement est à 25 ºC et

avec un coefficient de convection estimé à 5 W/m2K,

1. Écrivez l’équation de la diffusion de la chaleur en régime permanent. Vérifiez

que est bien une solution de cette équation.2 2

2( ) (1 )

2s

qL xT x T

k L

TD 2.42

2. Obtenir une expression pour le flux

de chaleur par conduction à x = L. En

appliquant un bilan énergétique

autour de l’interface de la couche

de charbon avec l’environnement,

obtenir une expression pour Ts.

Finalement, calculez numériquement

la valeur de Ts et de T(0).

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