1

6.1계량경제학

단순 회귀모형 - 기타(Simple

Regression Model - etc)

제 6 강

6.2계량경제학

yt = b1 + b2xt + t^

설명되지 않은 부분:

yt = b1 + b2xt^

설명된 부분:

t = yt yt = yt b1 b2xt^^

yt의 변동에 대한 설명

2

6.3계량경제학

yt = yt + t^^

yt y = yt y + t^ ^

y 를 기준으로 삼음

SST = SSR + SSE

(yty)2 = (yty)2 +tt = 1

T ^ ^T T

t = 1 t = 1

2 crossproduct

termdropsout

yt의 변동에 대한 설명

6.4계량경제학

SST = total sum of squares

SST yt의 y주변에서의 총 변동을 측정

(yt y)2t = 1

T

SST =

yt의 변동에 대한 설명

총변동

3

6.5계량경제학

SSR = regression sum of squares

yt = b1 + b2xt^Fitted yt values:^

SSR yt 의 y주변에서의 변동을 측정함^

(yt y)2t = 1

T

SSR = ^

yt의 변동에 대한 설명

설명되는 변동

6.6계량경제학

SSE = error sum of squares

SSE yt 의 yt 주변에서의변동을 측정함^

t = ytyt = yt b1 b2xt^^

(yt yt)2 = t2

t = 1

T

SSE = ^t = 1

T ^

설명 안되는 변동

yt의 변동에 대한 설명

4

6.7계량경제학

0 R2 1

yt 의 변동 중 얼만큼의 부분이설명되고 있는가?

SSRSSTR2 =

yt의 변동에 대한 설명

결정계수

6.8계량경제학

SST = SSR + SSE

SST SSR SSESST SST SST= +

SSR SSESST SST1 = +

Dividingby SST

SSRSSTR2 = = 1 SSE

SST

yt의 변동에 대한 설명

결정계수

5

6.9계량경제학

R2 는 단지 기술적(descriptive) 척도임

R2 가 회귀모형의 질적 수준을나타내는 것은 아님.

R2 를 극대화하는 것에 초점을맞추는 것은 좋은 생각이 아님

yt의 변동에 대한 설명

결정계수

6.10계량경제학

cov(X,Y) =var(X) var(Y)

cov(X,Y)r =var(X) var(Y)

수학적 상관계수

^^ ^

표본(경험적) 상관계수

yt의 변동에 대한 설명

상관분석

6

6.11계량경제학

var(X) =^ (xt x)2/(T1)t = 1

T

var(Y) =^ (yt y)2/(T1)t = 1

T

cov(X,Y) =^ (xt x)(yt y)/(T1)t = 1

T

yt의 변동에 대한 설명

상관분석

6.12계량경제학

(xt x)2 (yt y)2t = 1

T

(xt x)(yt y)t = 1

T

r =t = 1

T

표본상관계수

yt의 변동에 대한 설명

상관분석

7

6.13계량경제학

단순회귀분석에 있어서:

r2 = R2

R2 는 또한 yt 와 yt 간의

상관계수의 제곱을 나타냄: 적합도(goodness of fit)의 척도?

^

yt의 변동에 대한 설명

상관분석과 결정계수

6.14계량경제학yt의 변동에 대한 설명

상관분석과 결정계수 (참고)

2 2 221 2 1 2 22

2 2 2

ˆt t t

t t t

y y b b x b b x b x xR

y y y y y y

2 2

2 2t t t

t t

x x y y x x

x x y y

2

2 2t t

t t

x x y y

x x y y

2r

8

6.15계량경제학yt의 변동에 대한 설명

상관분석과 결정계수 (참고)

2

22 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ

t t

t t

y y y yr

y y y y

21 2 1 2

2 21 2 1 2

t t

t t

b b x b b x y y

b b x b b x y y

222 2

2 222

t t

t t

b x x y yR

b x x y y

6.16계량경제학

Computer Generated Least Squares Results (1) (2) (3) (4) (5)

Parameter Standard t for H0:Variable Estimate Error Parameter=0 Prob>|t|INTERCEPT 40.7676 22.1387 1.841 0.0734X 0.1283 0.0305 4.201 0.0002

통계패키지의 전형적인 회귀분석 결과 보고 내용

회귀분석결과의 발표

추정결과

9

6.17계량경제학

yt = 40.7676 + 0.1283xt

(s.e.) (22.1387) (0.0305)

yt = 40.7676 + 0.1283xt

(t) (1.84) (4.20)

회귀분석결과의 발표

^

^

yt = 40.7676 + 0.1283xt

(p-value) (0.0734) (0.0002)^

R2 = 0.317T = 40,

6.18계량경제학

R2 = 0.317

이 R2 값은 낮아보일 수 있으나 개별적 미시적수준 에서 분석된 횡단면 (cross-sectional) 자료와 관련된 연구에서 전형적인 경우임

집계적 거시적 수준에서 분석된 시계열(time-series) 자료와 관련된 연구에서는 매우높은 수준의 R2값이 전형적으로 나타남

회귀분석결과의 발표

10

6.19계량경제학

X의 단위를 변경

yt = 1 + (c2)(xt/c) + t

yt = 1 + 2xt + t

yt = 1 + 2xt + t* *

2 = c2* xt = xt/c*

where

and

해당모수의 추정값과표준오차는 변화하지만 t값과 R2

값은 불변.

관측치의 단위를 변경하는 효과

6.20계량경제학

X의 단위를 변경

관측치의 단위를 변경하는 효과

11

6.21계량경제학

Y의 단위를 변경

yt/c = (1/c) + (2/c)xt + t/c yt = 1 + 2xt + t

1 = 1/c* and

모든 모수의추정값이 변화하지만 역시t값과 R2 값은불변

yt = 1 + 2xt + t* ***

2 = 2/c*

*t = t/cyt = yt/cwhere *

관측치의 단위를 변경하는 효과

6.22계량경제학

Y의 단위를 변경

관측치의 단위를 변경하는 효과

12

6.23계량경제학

x와 y의 단위를 같이 변경

yt/c = (1/c) + (c2/c)xt/c + t/c yt = 1 + 2xt + t

1 = 1/c* and

기울기에 대한추정값외에모든 모수에대한 추정값이변화하나t값이나 R2값은불변

yt = 1 + 2xt + t* ***

xt = xt/c*

*t = t/cyt = yt/cwhere *

관측치의 단위를 변경하는 효과

6.24계량경제학

x와 y의 단위를 같이 변경

관측치의 단위를 변경하는 효과

13

6.25계량경제학

단순선형회귀모형에 있어서선형(linear)은 변수들간의관계가 선형임을 의미하는것이 아니라 모수들이 모형에선형의 방식으로 들어감을의미함

함수의 형태

선형 vs. 비선형

6.26계량경제학

yt = 1 + 2xt + t

선형모형:

비선형모형:

ln(yt) = 1 + 2xt + t

yt = 1 + 2 ln(xt) + t

yt = 1 + 2xt + t2

yt = 1 + 2xt + t3

yt = 1 + 2xt + exp(3xt) + t

yt = 1 + 2xt + t3

함수의 형태

선형 vs. 비선형

14

6.27계량경제학

y

x

식료품 지출과소득간에 비선형

관계

식료품 지출

소득0

함수의 형태

6.28계량경제학

1. Linear2. Reciprocal3. Log-Log4. Log-Linear5. Linear-Log6. Log-Inverse

각 형태를 파악하고특히 그 기울기와탄력성을 관찰

함수의 형태

유용한 함수의 형태

15

6.29계량경제학

Linear

yt = 1 + 2xt + t

slope: 2 elasticity: 2 yt

xt

함수의 형태

선형

6.30계량경제학

Reciprocal

yt = 1 + 2 + t1xt

slope: elasticity:1xt

2 21

xt yt 2

함수의 형태

역수

16

6.31계량경제학

xt

yt

Log-Log

ln(yt)= 1 + 2ln(xt) + t

slope: 2 elasticity: 2

함수의 형태

로그-로그

6.32계량경제학

Log-Linear

ln(yt)= 1 + 2xt + t

slope: 2 yt elasticity: 2xt

함수의 형태

로그-선형

17

6.33계량경제학

Linear-Log

yt= 1 + 2ln(xt) + t

_slope: 2 elasticity: 21

xt yt1_

함수의 형태

선형-로그

6.34계량경제학

ln(yt) = 1 + 2 + t1xt

Log-Inverse

slope: -2 elasticity: -2x2t

yt 1xt

함수의 형태

로그-역수

18

6.35계량경제학

1. E (t) = 02. var (t) = 2

3. cov(i, j) = 04. t ~ N(0, 2)

함수의 형태

선택의 기준 – 선형모형의 가정

6.36계량경제학

1. Demand Models

* quantity demanded (yd) and price (x)* constant elasticity

ln(yt )= 1 + 2ln(x)t + td

경제모형과 가능한 함수형태의 선택

수요모형

19

6.37계량경제학

2. Supply Models* quality supplied (ys) and price (x)

* constant elasticity

ln(yt )= 1 + 2ln(xt) + ts

경제모형과 가능한 함수형태의 선택

공급모형

6.38계량경제학

3. Production Functions* output (y) and input (x)

* constant elasticity

ln(yt)= 1 + 2ln(xt) + t

Cobb-Douglas Production Function:

경제모형과 가능한 함수형태의 선택

생산함수

20

6.39계량경제학

4a. Cost Functions* total cost (y) and output (x)

yt = 1 + 2x2t + t

경제모형과 가능한 함수형태의 선택

비용함수

6.40계량경제학

4b. Cost Functions* average cost (y/x) and output (x)

(yt/xt) = 1/xt + 2xt + t/xt

경제모형과 가능한 함수형태의 선택

비용함수

21

6.41계량경제학

잔차의 정규분포?

Skewness(비대칭도) –어떤 확률변수의 분포가평균을 중심으로 얼마나 비대칭인가를 나타내는척도 (정규분포의 Skewness = 0)

: s E[(X-X)3]/X3,

Kurtosis(첨예도)-어떤 확률변수의 분포가 얼마나뾰쪽한가를 나타내는 척도(정규분포의 Kurtosis=3)

: k E[(X-X)4] /X4,

Jacque-Bera (JB) Normality test (쟈크베라의 정규성 검정)

가설검정과 구간 추정에 있어서 중요한 전제

귀무가설과 대립가설 :H0: X~N(X, X

2 ), H1: H0 is not trueNOTE: 정규분포임을 보이는 목적으로 사용하기에는 부적절한가설설정임

6.42계량경제학

검정통계량

2

2 20

ˆ 3ˆ ~ 2 : under

6 4

kTJB s H

기각역

Χ2(2)

Χ2α,2

JB>Χ2α,2 이면 유의수준 α에서 H0를 기각함.

즉 반대로 JB<Χ2α,2 이면 H0를 기각할 수 없

으며, X의 분포가 정규분포라고 볼 수 있음(엄밀하게는 X의 분포가 정규분포가아님을 입증하지 못한 것임)

α

X가 정규분포라면 그 경험적 비대칭도와 경험적 첨예도는 각각 0과3에 가까운 값일 것이므로 JB의값은 0에 가까운 값이 됨. 따라서JB가 0보다 충분힐 클 때, 즉 오른쪽 꼬리의 값이 나올 때 귀무가설을 기각함

잔차의 정규분포?